113

onde Vo o volume molecular (9,2x10" m ) , Su a compliance no relaxada (1,43x10"" N

m^) e T a temperatura do pico (~950K). Como uma primeira aproximao, possvel se

estimar AA, a partir dos tamanhos atmicos dos tomos de Al e Ni (AA, = 0,072) e assim

obter-se:

A|-iioi ~ 'IS/S 1-1101 = 5,7x10"^ C .(V.3)

Como j mencionado, a relaxao mxima quando no plano (111) h u m tomo de Al

extra para cada quatro tomos. Como conseqncia, para u m desvio de 1% atm. da

estequiometna, a intensidade da relaxao para uma tenso de cisalhamento no plano (111)

ser:

A(,u)= dS /S OH) = 2,3x10 \-3 (V.4)

enquanto as intensidades de relaxao para outras tenses de cisalhamento, em outras

dkees , so menores:

A(ioi)= dS/S (101) = 1,25x10"

A(o,o)= I dS/S 1,0,0) = 0,4x10"'

.(V.5)

.(V.6)

[100]

foioi

(a)

(llDplantf

O O O O

O O ^ O ^ O p o [ H O ]

O - o - p ' o ma

o o 3 b 0 1 o o " * " ^ \ _ F e x t r a A l

O O O O o o o o o o \ _

[loT]

Figura V.4.- A estrutura cristana com a substituio de um tomo de Ni por um tomo de Al

extra; (a) num plano (010), a distoro elstica isotrpica e uma tenso de

cisalhamento aplicada nesse plano no resulta em relaxao anelstica; (b) num

plano (111), o tomo extra de Al cria um dipolo elstico que alinhado, no

desenho, segundo a direo[10-1].

114

Os valores experimentalmente encontrados para as intensidades dos picos foram de

aproximadamente 6,5; 2 e 0,7x10'^, para cristais orientados segundo os eixos , e

, respectivamente.

Efetivamente, a amplitude de relaxao, mesmo sendo menor do que as obtidas

experimentalmente, em valores absolutos, mostra uma dependncia similar da orientao

cristalogrfica como nas experimentais. Isto mostra que os defeitos estruturais que esto

relaxando, esto nos planos tipo (111). Tais defeitos no podem ser discordncias, porque no

caso de relaxao de discordncias, o pico deveria ser semelhante a um pico de Debye e a

intensidade desse pico deveria depender fortemente da deformao plstica e da amphtude de

deformao. Alem do que, sabido que a elevadas temperaturas, ou seja, nas faixas de

temperaturas do pico-AI detectado, o sistema de escorregamento ativo o cbico primrio

{a [1-10] (001)} [(Pope, 1984) e (Baluc, 1990)]. Consequentemente, se fosse relaxao de

discordncias, resukaria em u m pico com mxima intensidade segundo a direo de

amostras e no em como aqui detectado.

O modelo aqui proposto baseia-se na idia de uma distoro elstica, devido a tomos

extras de Al, o que est de acordo, uma vez que a hga aqui utilizada apresenta composio

N74,3Al24,7Tai. N o entanto, ela no exphcaria o pico que aparece nas hgas binrias de

composio N76,6Al23,4. Toma-se ento, hnportante, assumir-se que os tomos de Ni podem

estar em excesso e substituir stios de tomos de Al. fcil ver que, neste caso, as distores

elsticas, devido a tomos extra de Ni so isotrpicas nos planos (111) e consequentemente, o

defeito criado no pode dar origem a relaxaes anelasticas. Dessa forma, o conceito de um

dipolo elstico, baseado em tomos extra de Al ou Ta, que substituem posies de Ni, parece

o mais razovel para se interpretar o pico-AI apresentado neste trabalho. Resultados obtidos

por outros pesquisadores (Chakib, 1993) no estudo de ligas N3AI, pelo mtodo de atrito

intemo, mostraram que, para hgas de composies prximas da estequiometria, ocorreu um

aumento da intensidade do pico de atrito interno (pico similar ao aqui apresentado) medida

que o teor de Al aumentava naquelas hgas. No presente caso, considerando-se a liga binria

somente, pode-se assumir que a concentrao atmica no deve ser uniforme ao longo de cada

espcime. Algumas partes dos espcimes podem estar enriquecidas por tomos de Al,

enquanto outras partes podem estar enriquecidas de tomos de Ni, e, assim, as partes

115

enriquecidas por Al seriam responsveis pelo pico-Al.

Observa-se (Figuras IV.2.2 e IV.3.1) que a intensidade de relaxao aumenta com o

aumento de temperatura. Tal comportamento no obedece a relao clssica de Curie-Weiss,

que , gerabnente, satisfeita no caso de tenso induzindo relaxao. O aumento da amplitude

de relaxao observado pode ser interpretado de outra forma, como sendo devido a um

aumento da densidade dos defeitos que relaxam. Dessa forma, um aumento de temperatura

poderia levar a um aumento da desordem e, consequentemente, probabilidade de se ter

tomos de Al em sitios de tomos de Ni. De acordo com o modelo aqui proposto, a

intensidade do pico aumentaria dessa forma.

Observando-se os tempos de relaxao, pode-se observar que a temperatura do pico-

Al ligeiramente mais b a k a aps a amostra sofrer deformao plstica. Isso pode ser devido a

lacunas que foram criadas por deformao plstica e que podem ababcar o coeficiente de

difiiso. O fato da entalpia de ativao do pico ser prxima do coeficiente de difiiso do Ni em

N3AI no contraditria com o modelo aqui proposto , pois a reorientao de dipolos elsticos

Al-Al requer difiiso dos tomos de Ni adjacentes. Por exemplo, na Figura V.4.b, a

movimentao de tomos extra de Al da posio 1 para a posio 2 envolve difuso de tomos

de Ni que estavam inicialmente na posio 2.

Finalizando o presente item, pode-se dizer que o pico-Al est localizado numa faka de

temperatura ligeiramente acima do pico de anomalia de limite elstico. Assumindo-se que o

pico-Al esteja associado reordenao de dipolos elsticos, o mesmo deveria aparecer em

fakas de temperatura onde mecanismos de controle por difuso so importantes. Isto significa

que o fundo exponencial HTIFB est certamente ligado movimentao de discordncias,

controladas por difiiso, uma vez que processos de escalagem (climb) assistidos por difuso

foram detectados por outro pesquisador (Baluc, 1990). Se o pico se deve a reorientao de

dipolos em planos do tipo (111), toma-se lgico imaginar que esses dipolos possam interagir

com discordncias influenciando sua mobilidade. Por outro lado, as distores elsticas

induzidas por tomos de Al, em planos tipo (001) , so isotrpicas. Naqueles planos, a

interao de tais tomos de Al com discordncias deveria ser muito menor que nos planos tipo

(111). Este fato pode explicar porque a movimentao de discordncias por escorregamento

seria mais fcil em planos tipo (001) a altas temperaturas.

116

V .4.- E s t u d o do M d u l o de C i s a l h a m e n t o

Os compostos intermethcos ordenados N3(A1,X) so materiais altamente

anisotrpicos (Pope, 1984). De acordo com a teoria geral de elasticidade, o mdulo de

cisalhamento ( G ) para cristais cbicos definido como sendo o coeficiente elstico C44

(G=C44) e pelos clculos da teoria de shdos isotrpicos o fator de anisotropia A, para cristais

cbicos, definido como A=2C^J(C^^-C^2)^ ^ ig"^^ ^ unidade ( A = l ) para materiais

completamente isotrpicos.

Os valores resultantes de G para amostras paralelepipedais, tendo eixo longitudinal

ao longo da direo so apresentados na Figura IV.4 .1 . Aceita-se que nos materiais

isotrpicos o mdulo de cisalhamento seja o mesmo para todas as direes cristalogrficas,

mas tal afirmativa vUda apenas para materiais policristalinos, com gros pequenos, uma vez

que os metais monocristaUnos, em geral, so materiais anisotrpicos. Pode-se observar na

Figura IV.4 .1 , que as amostras apresentam diferentes mdulos de cisalhamento de acordo com

as diferentes orientaes das amostras e que apresentam crescentes valores partido-se do ebco

de amostra ao ebco . Uma gama de valores de G, variando conforme a orientao

cristalogrfica seria intuhivamente esperado, devido alta anisotropia que os compostos

intermethcos ordenados, do tipo N3AI, apresentam.

O menor mdulo de cisalhamento foi medido nas amostras tendo ebco segundo a

direo cristalogrfica . Isto pode ser exphcado pelo fato de que os testes de toro

aphcam urna tenso de cisalhamento mxima, para estas amostras, nos planos tipo (111) que

so os planos do sistema de escorregamento ativo para temperaturas ababco do pico de

anomaha de Hmite elstico. Por outro lado, o maior mdulo de cisalhamento foi medido para

amostras tendo orientao cristalogrfica ao longo da dh-eo e tambm uma tenso de

cisalhamento mxhna aphcada em um plano do tipo (001). Esta afirmativa decorrncia da

observao direta dos fatores de Schmid, mostrados no captulo III para cada tipo de

orientao das amostras aqui usadas. Desta forma, o menor e o maior valor de mdulo de

cisalhamento, medidos para os planos (111) e (001), respectivamente, esto de acordo com as

observaes da hteratura sobre os dois sistemas de escorregamento e podem explicar porque

as superdiscordncias se movem mais facihnente nos planos tipo (111). Quando o movimento

destas superdiscordncias se t o m a mais difcil nos planos tipo (111), a tenso necessria para o

movimento destas discordncias, aumenta o suficiente para ativar um segundo sistema de

117

escorregamento num plano tipo (001). Observa-se aqui que a direo de escorregamento

[110], pertence a ambos os planos citados. Pode-se ainda observar que o mdulo de

cisalhamento para amostras com orientao de eixo segundo dmiinui mais rapidamente

que para amostras tendo eixo com orientao . Este fato contribui para uma mudana do

sistema de escorregamento ativo quando uma amostra plasticamente deformada.

De acordo com as chamadas ''regras de seleo" (Nowick e Berry, 1972:194), os

cristais cbicos apresentam duas compliances que sofrem relaxao que so S44 e (S11-S12).

Usando-se os valores de mdulo de cisalhamento mostrados na Figura IV.4 .1 , pode-se

observar trs diferentes, mas inconsistentes relaes a partir da equao II.8, j apresentada no

captulo 11. Atravs das trs expresses dos cossenos diretores (yi, y2, ya) entre o ebco das

amostras e os trs ebcos cristahnos padres (equao 11.7) em conjunto com a equao 11.8

para uma barra sujeita a vibraes sob toro, e considerando-se somente as direes de maior

simetria, ou seja e , pode-se determinar os valores de S44 e ( S n - S n ) . A equao

acima mencionada resuha nas expresses numricas V.3(a, b, c), onde as expresses (b) e (c)

podem ser pioladas em lino da temperatura como mostrado na Figura V.5.

G-' = S44 + 4 ( S -S,2 -I/2.S44) r (11.7) r = (Y.Y2)' + (Y2Y3)' + (Y3Y.)' (II.8)

r = 0 r , , > = l / 3 (V.7a)

g'' = S44 = (C44)"' (V.7b)

g"' = 1/3 [S44 + 4 (S - S n ) ] (V.7c)

O coeciente elstico C44 foi interpretado por Zener (Zener, 1955:35) como sendo a

medida da resistncia deformao quando uma tenso de cisalhamento apcada a uma

direo [010] de um plano (100). Os coeficientes Cu e C12 no tm a mesma mterpretao

fsica simples, como C44, requerendo assim algumas combinaes lineares. Uma destas

combmaes lineares a expresso (Cii-2Ci2)/3 que tem como interpretao fsica o mdulo

de compressibidade que mede a resistncia deformao hidrosttica. Outra combinao

near a expresso (Cii-Ci2)/2, que significa a resistncia deformao por cisalhamento na

direo [110], no plano (110).

118

(0

UJ

eu

c G

o o

L

o c

200

Figura V.5.- Valores calculados das constantes elsticas C u , C12 e C44, bem como valores

das constantes Ks, e do fator de anisotropia A, todos em funo da

temperatura.

Pode-se ver na Figura V.5 que o coeficiente C44 diminui mais rapidamente do que (Ci 1-

C12) . Como conseqncia, o fator de anisotropia (A) aumenta em lino da temperatura,

sugerindo que a mudana no sistema de escorregamento ativo ocorra devido ao aumento da

diferena de propriedades mecnicas para diferentes orientaes cristalogrficas. Os valores

dos fatores de anisotropia (A) tm sido relatados, temperatura ambiente, entre 3,02 a 3,30.

Mazot (Mazot, 1992) estudou as constantes elsticas em uma liga monocristalina

base de nquel (AMI) , usando diferentes orientaes cristalogrficas. Foram utilizadas

reqncias de vibrao naturais em modo longitudinal e modo de vibrao por flexo, em uma

gama de temperatura variando de (-80C) a (+1100C). Os valores de mdulo de Young (E),

coeficiente de Poisson (v), e, consequentemente, os valores do mdulo de cisalhamento (G) e

compliance (S), para as orientaes , e , confirmaram os elevados valores

de anisotropia do material, como mostrado na Tabela V. 1.

119

Tabela V. 1.- Resultados Experimentais de E e V, como tambm valores de G

orientao E (GPa) V G(GPa)

129,50,05 0,408 124,8

318,10,05 0,274 58,2

226,70,5 0,5* 87,4*

*- valor mdio calculado

U m coeficiente de anisotropia (A) foi definido pelos mesmos autores como:

/ l = 2 ( S - S , , ) - S , , ( M P a ' )

Foram tambm observadas pelos mesmos, experimentalmente, leis de variao

parablicas do mdulo de cisalhamento e compHances em fimo da temperatura. Foram

tambm calculados os valores de compUances, temperatura ambiente, como sendo : Sn =

7,72x10"', S ,2 - -3 ,15x l0" \ S44 = 8,01x10"' eA= 13,73x10"', ou sejav4=2,71.

Os valores do fator de anisotropia relatados por aqueles pesquisadores apresentam

comportamento shnilar aos resuhados aqui apresentados, sendo que os valores de A,

determinados neste trabalho, vo de 2,85, temperatura ambiente, a 3,35 a 1250K. A

diferena entre os valores aqui apresentados e aqueles da hteratura pode ser atribuda

diferena de composio qumica das ligas estudadas, bem como diferena entre mtodos de

medida.

Como resuhados secundrios os mesmos autores obtiveram espectros AI para cada

uma destas orientaes. No entanto, os mesmos no comentam qualquer coisa sobre suas

possveis origens. Nenhum pico foi achado para as orientaes e , mas dois picos

foram observados para a orientao : um aproximadamente 200C ( -473K) , e outro a

aproximadamente 680C (~953K) que, por coincidncia, aparece na mesma fabca de

temperatura que o pico de atrito intemo detectado no presente trabalho.

Levando-se em considerao a airmao geral de que o concerto de uma elasticidade

isotrpica de um cristal uma idealizao e que os cristais reais so anisotrpicos. Reuss e

Voigt (Hirth. 1968:417) defmem um fator de anisotropia H. no como uma razo mas como

uma diferena entre a constante elstica para cristais cbicos, que zero para materiais

isotrpicos. Os valores de mdulo de cisalhamento Grv , podem ser considerados como valores

anisotrpicos que foram corrigidos pelo fator de anisotropia H.

120

H = 2 C 4 4 + ( C - C , 2 ) Grv=C44-(H/5)

Tem sido considerado [(Shetty, 1981) e (Yoo, 1986)] que o principal efeito de

anisotropia na energia de discordncias dado pelos fatores de energia K , e Ke, mostrados

pelas equaes 11.5 e 11.6, do captulo 11. Observa-se que os fatores K , e Kg, mostrados

ababco, substituem respectivamente o parmetro isotrpico ( G ) para os segmentos de

discordncia em hhce e G / ( l - n ) para as discordncias em cunha. O fator K , substhui o

tradicional mdulo de cisalhamento e assume que a anomalia de hmite elstico um

mecanismo relacionado a discordncias e que o limite de escoamento dos mtermethcos

ordenados controlado por discordncias em hhce. Os valores aqui calculados de Ks

concordam com os valores apresentados na hteratura. Os resuhados apresentados por Yoo

mostram o fator Ks, para compostos N3AI, variando de 70 GPa, temperatura ambiente, a

50GPa a 1150K. Os valores de Ks calculados neste trabalho, so mostrados na Figura V.4 e

estes variam entre de 64GPa temperatura ambiente, a 50GPa a 1200K.

Finazando, a dvida sobre qual dos mtodos de clculo fornece o verdadeiro mdulo

de cisalhamento pode ser encarada de duas maneiras. Enfocando-se a questo do ponto de

vista macroscpico, sem se ter o menor conhecimento da existncia de defehos atmicos de

qualquer forma, pode-se dizer que o mdulo de cisalhamento de materiais anisotrpicos, como

o caso aqui estudado, varia segundo a orientao cristalogrfica, como no caso das medidas

apresentadas na Figura IV.4 .1 . N o entanto, levando-se em considerao a existncia de

defeitos atmicos, como discordncias, e partindo-se da premissa de que o mdulo de

cisalhamento de um dado material a tenso necessria para se movhnentar discordncias

nesse material, o mdulo de cisalhamento pode ser considerado como sendo um dos ou uma

combinao dos fatores de energia K , ou Ke.

;rc.f

121

CONCLUSES Os espectros de atrito intemo obtidos para os dois espcimes, NisAlTa e N3Al-binrio,

so compostos de um pico de relaxao que divide a faixa de temperatura estudada em dois

regimes. N o regime a baixas temperaturas ( T < 8 0 0 K ) o atrito intemo mede a mobilidade de

discordncis, que diminue rapidamente entre 4 5 0 e 6 0 0 K , o que est de acordo com a faixa

onde a anomalia de limite elstico tem sido detectada. N a fabca de temperatura acima do pico

de relaxao ( T > 1 1 0 0 K ) , um aumento exponencial do atrito intemo observado e isso reflete

um aumento na mobilidade de discordancias a altas temperaturas.

O pico de relaxao um pico muito prximo de um pico de Debye e termicamente

ativado. Sua entalpia de ativao muito prxima da energia de migrao do Ni em N3AI. A

interpretao mais razovel para este pico implica em fenmeno de relaxao atmica. Este

pico provavelmente devido reorientao, induzida por tenso aplicada, de dipolos elsticos

nos planos tipo ( 1 1 1 ) . A interao destes dipolos com discordncias pode ter significativa

importncia na diferena de mobilidade que tm as discordncias nos planos octadricos ( 1 1 1 )

quando comparados com os planos primrios ( 0 0 1 ) .

O fator de energia Ks fomece imia aproximao do mdulo de cisalhamento de

intermethcos ordenados N3AI, muito vlida quando se quer tratar de mecanismos de

movimentao de discordncias e outros mecanismos relativos a discordncias, mas valores

distmtos do mdulo de cisalhamento, para diferentes orientaes cristalogrficas, so mais

significativos quando se trata de materiais ahamente anisotrpicos e se tem em vista uma

caracterizao mais mecnica e macroscpica.

1 2 2

A N E X O - A

Tenso Crtica Resolvida em Toro ^

Em testes de monocristais, a tenso de cisalhamento aphcada deve ser resolvida,

ou seja, apenas a tenso de cisalhamento aplicada no plano de escorregamento e na direo

de escorregamento, produz uma fora de escorregamento em uma discordncia.

Os clculos foram desenvolvidos considerando-se um cilindro sob esforos de

toro pura, como apresentado na Fig. A . I . A escolha dos eixos indicada nesta figura

onde x l , perpendicular ao eixo do espcimen x3 e normal ao plano de escorregamento

x 3 ' . A direo de escorregamento x l 6 o ngulo entre x3 e x 3 ' e k o ngulo entre x l e

x l ' .

Figura A. 1.- Coordenadas para um monocristal cilindrico sob toro.

N o presente clculo a deformao helicoidal foi considerada desprezvel e a tenso

de cisalhamento crtica resolvida para esta situao dada pela projeo das duas tenses

de cisalhamento e 023 no plano de escorregamento e na direo de escorregamento x l '.

CT13' = CJo ( m i senv|/ + aiz cosv|;) = (7 m( f )

onde ao= (2 P r/ p R ' ) = (015 + 02.^"^ a tenso de cisalhamento total aplicada e \|; o

ngulo de toro.

Os fatores mi e m2 podem ser obdos da Fig.A-2 abaixo. Escolhendo-se uma

projeo estereogrfica padro normal ao plano de escorregamento e com a direo de

escorregamento no polo norte, os dois fatores podem ser obtidos da projeo

1 2 3

estereogrfica, sobre a projeo do eixo do cilindro. Os valores absolutos mximos e

mnimos de m(*F) so 1 quando 9 =0, ou seja, o plano de escorregamento normal ao eixo

da amostra ensaiada.

m 2

Figura A - 2 . - Plotagem estereogrfica dos fatores de tenso de cisalhamento resolvida mi e

m2.

(1) -J.P.Hirth. J.Lothe: "Theory of Dislocations", ed. McGraw-Hill Inc.. USA. p.272-74. (1968).

124

APENDICE-B

D E F O R M A O P O R T O R O

Introduo

B. 1.- Barras Circulares em Regimes Elsticos

B. 2. - Mtodo de Saint- Venant

B.3.- Resposta Elstica Linear e Resposta Plstica de Slidos Perfeitamente Elsticos

R4.- Analogia da Membrana Elstica de Prandtl

B. 5. - Barras de Seces No Circulares

B. 5.1.-Barras Finas de Seces No Circulares

B. 6. - Deformaes No Homogneas ao Longo de Barras

Referncias

Introduo

A compreenso da deformao por toro de fundamental importncia para o

presente estudo, mesmo no sendo este o objetivo deste trabalho, uma vez que tanto as pr-

deformaes plsticas quanto nas medidas de atrito intemo em regime elstico, ocorrem sob

toro.

O tpico ''toro de barras" no que tange ao seu tratamento matemtico pode ser

encontrado em vrias publicaes relativas ao tema Resitencia dos Materiais, e tem sido

apresentadas em diferentes niveis de complexidade. Em geral, o problema de toro resolvido

por meio de equaes da teoria elstica de materiais isotrpicos. As barras mais usuais em

estudo sob esforo de toro so aqueles com seco circular homognea.

As barras de seces no-circulares, tais como as de seco retangular usadas no

presente estudo, exibem algumas complicaes adicionais. Dentre os mtodos mais conhecidos

usados pra resolver o problema de toro em seces no circulares esto as solues pelo

mtodo de sries e pelo mtodo semi-inverso de Saint-Venant, apresentado em 1855, em

conjunto com a analogia da membrana elstica de Prandtl (1903).

B . I - BARRAS DE SECO TRANSVERSAL CIRCULAR [(Dieter, 1988.18) e (Boresi, 1989)]

Quando um cilindro slido com rea de seo transversal circular A e comprimento L

(Figura B I ) est sujeito a um momento torsor, representado por um vetor T, aphcado parte

no engastada da barra, um torque de equilbrio -T age na extremidade engastada, sendo

ambos ao longo do eixo-z central, de modo que uma linha geratriz do cilindro (AB) tende a se

deformar segundo uma curva helicoidal (AB') .

Para pequenos deslocamentos, o torque T causa uma rotao em cada seo transversal

de um corpo rgido em t o m o do eixo-z. Admite-se que uma quantidade de rotao P de uma

determinada seo depende hnearmente (P = 0 z) de sua distncia do plano z =0.

- T A

Posio indeformada do gerador

T

^ ' 0 -Posio deformada do gerador

B-

i-Tenso Linear Tenses nSo lineares

Deformao Linear

T

125

Regio Elstica

Regio Inelstica

Figura B.I.- Barra com seo transversal circular fixa em uma das extremidades (z =0) e

sujeita a um torque T em sua extremidade livre (z =L); (a) seo longitudinal,

(b) seo transversal, (c) seo transversal quando submetida a deformao

plstica.

Uma vez que as sees transversais permanecem planas, a componente de

deslocamento w (warp), paralela ao z-ebco, zero. As componentes de deslocamento u e v

relacionadas (x,y), assumindo w =0, so dependentes da rotao P de cada seo transversal,

como mostrado nas equaes (B. l . a , b).

u = -yP, v = x p (B . l . a )

u = -yze, v = xze (B. l .b)

Considerando-se a teoria de tenso-deformao da elasticidade linear e as equaes

(B. I . a, b) obtem-se as componentes da tenso e deformao que agem no cilindro, dadas

pelas equaes (B.2.(a), (b) e (c)), onde G o mdulo de cisalhamento isotrpico.

de fo rmao t enso

EXX Eyv = EzZ = EXV = 0 C x x = CTw = Ozz ^ CTXV 0

2 S z x - Y z x = -ey a z x = -eGy 2Szy = Yzv = 0 X azv = 6 G X

(B.2.a)

(B.2.b)

(B.2 .C)

Uma somatria dos momentos em relao ao eixo-z, resultante das tenses em uma de

rea dA do cilindro, resulta na equao B.3 . Esta equao relaciona a toro angular O por

unidade de comprimento da barra sujeita a um torque aplicado T, onde J o momento de

inrcia polar, relativa a seu eixo central z.

e = T / G J , J = (Tb'*) / 2 .(B.3)

As equaes (B.2.(a), (b) e (c)) indicam que CT^ e CT^ independentes de z, ento a

distribuio de tenses a mesma para todas as sees transversais. Assim, o vetor tenso de

126

B . 2 -MTODO SEMI-INVERSO DE SAINT-VENANT [(Boresi, 1985)e(Kal inszky, 1989)]

De acordo com o principio de St-Venant, a distribuio de tenso em sees

suficientemente distantes de ambas as extremidades, depende principalmente da magnitude de

T e no da distribuio de tenso em ambas extremidades. Assim, para barras suficientemente

longas, sob toro, a distribuio de tenso nas extremidades no afeta a distribuio de tenso

em grande parte da barra. Um barra com uma seo transversal uniforme de forma genrica,

sujeita a toro, mostrado na fig.B.II onde trs eixos ortogonais genricos (x,y,z) so

mostrados. Qualquer tipo de distribuio de tenses nas em suas extremidades pode p roduza

um torque T.

O mtodo semi-inverso de St-Venant comea por uma aproximao dos deslocamentos

(u,v,w) baseado em mudanas geomtricas observadas numa barra deformada sob toro

devido ao torque T. Admite-se que toda barra de toro, com seo transversal constante em

relao ao eixo z, tem um eixo de toro onde cada seo transversal gira aproximadamente

como um corpo rgido. Considerando um ponto P (Fig.B.II), com coordenadas (x,y,z) na barra

no-deformada, e o mesmo ponto P' sob deformao. Os deslocamentos (u,v,w), onde w ^0,

relacionados aos eixos x, y e z respectivamente, e P gira de um ngulo P em relao seo

transversal na origem. Admite-se para pequenos deslocamentos que ( P = 0 z ) , onde 9 ngulo

de toro por unidade de comprimento e as componentes de deslocamento podem ser obtidas

das equaes (B.6), onde V}/(x, y) a fimo de ' V a / p / w ^ ' que pode ser determinada de tal

modo que as equaes de elasticidade e suas condies esto satisfeitas.

u = - y z 9 , v = x z 9 , w = 0V | / ( x , y) (B 6)

Para pequenos deslocamentos as relaes (B.7.a, b e c) do o estado de deformao em

um ponto genrico na barra sob toro.

e x x = eyy = 8zz = Exy = O (B.7.a)

28^x = Yzx = e {{^i> I dx) - y)} (B.7 b)

28zy = Yzy = 9 {(5v|/ / Oy + x)} (B.7.c)

cisalhamento % para qualquer ponto P em uma seo transversal determinado pelas equaes

(B.4.a, b). N a mesma relao pode ser verificado que a mxima tenso de cisalhamento Xm

acontece para r = b ( r e o rio de seo atravessado), de outra forma, a tenso de cisalhamento

mxima acontece nas fibras mais extemas da seo transversal circular. Substituindo (B.3) em

(B.4.b) resulta na equao (B.5) que relaciona as magnitudes de x e T.

T = - e G y + 0 G x j (B.4.a)

l T l = e G ( y ^ + xY'' =eGr (B.4.b)

I O = T r / J (B.5)

Em resumo, para barras de seo transversal circular, sujehas a toro, cada seo

transversal do barra permanece plana, em outras palavras, apresenta estados planos de

deformao e tenso. Porm, pode-se ver na Figura B.I.c que a forma da curva de tenso-

deformao na regio elstica pode ser admitida como tendo uma relao linear, mas na regio

de plstica a linearidade entre tenso e deformao raramente observada.

127

Figura B.II.- (a)- barra sob toro com seo transversal uniforme e forma genrica.

(b)- vista genrica da seo transversal da barra sob toro. (Boresi, 1985)

Diferenciando parcialmente as equaes para e yzy em relao a y e x

respectivamente, e subtraindo as equaes resultantes dessas derivaes, a lino warping

pode ser eliminada, resultando na relao (B.8).

&1zxldy -dy^y/x = -2Q .(B.8)

Desta forma, se o problema de toro formulado em termos de (y^^ , dj^^X a

equao acima uma condio geomtrica a ser satisfeita em problemas de toro.

' y no presente traballio usada como engineering shear strain, a qual o dobro da chamda true shear strain 8

128

Para membros de materiais isotrpicos, sob toro, relaes tenso-deformao tanto

para condies elsticas como para no-elsticas podem ser dadas pela equao (B .9).

Levando-se em conta que e DZY no so nulas, e se as foras e aceleraes sobre o corpo

podem ser desprezadas, as equaes de elasticidade e as condies de equilbrio so satisfeitas

para um membro sob toro. Tais condies de equilbrio expressam condies necessrias e

suficientes para a existncia de uma funo de tenso (|>(x,y), tambm chamada de Funo de

Tenso de Prandtl (mais detalties sero apresentados em B.4) dada pela equao (B. lO.a, b).

a = (( l . /y) (B . lO.a)

o^ = -{^ldx) (B . lO.b)

Visando-se a obteno de tal funo de tenso para cada carregamento, pode-se

assumir algumas condie s de contorno para cada membro sob toro, tal como: ter seco

uniforme que no varia ao longo do eixo z; ser feito de material isotrpico e o carregamento

resukar em pequenas deformaes.

Uma vez que a superfcie lateral de um mbreo sob toro est livre de tenses normais

aphcadas, as duas componentes de tenso de cisalhamento ( C T ^ e CTZY) podem ser escritas em

termos de T o qual zero na direo normal em relao ao contorno da sua seco transversal.

Este fato resulta numa fimo tenso (j) constante em tal contorno da seco transversal.

Uma vez que as tenses so dadas pelas derivadas parciais de (|), e assumindo que esta

cosntante zero, pode-se concluir que a tenso de cisalhamento T em qualquer ponto da

seco transversal tangente a curva (j).

Tomando-se as duas componentes da tenso de cisalhamento agindo sobre um

elemento da seco transversal (Figura B.II.b) tendo lados dx, dy e ds (onde ds um elemento

na superfcie) e assumindo esta superficie em contato com o contorno da seco transversal,

resulta em (j)=0 no contorno ds do elemento. Tal argumento pode ser usado para mostrar que

a tenso de cisalhamento T, cuja intensidade pode ser dada por (B. 11) em qualquer ponto da

seco transversal, tangente a curva (j) que por sua vez constante.

X = ({S5j^{C5^fr ( B . l l )

Desta forma, a funo tenso (j) pode ser considerada como representando uma

superficie em t o m o da seco transversal do membro sob toro. Assim, pode-se provar

matematicamente que o torque igual do dobro do volume entre a lino tenso e o plano da

seco transversal, como mostrado pela equao (B .12).

T=2\\(t>dxdy (B .12)

Visando-se melhor entender os comportamentos elsticos e plsticos de eixos, as

respostas dos materiais tem sido classificada em dois tipos principais: resposta elsticamente

linear e resposta plstica de slidos perfeitamente elsticos.

129

-Resposta Plstica de Slidos Perfeitamente Elsticos

U m slido perfeitamente elstico apresenta um diagrama tenso versus deformao por

cisalhamento achatado no seu ponto de escoamento por cisalhamento Xy. Considando um

membro sob toro feito de um material perfeitamente elstico. A medida que o torque

gradualmente aumentado, o escoamento comea em um ou mais pontos do contorno da seco

transversal deste membro e aumenta no sentido de se interiorizar a medida que o torque

aumenta. Finalmente, toda a seo transversal se t o m a plstica para um torque limite. Neste

torque limite, a tenso de cisalhamento resultante T =Ty em cada ponto da seco

transversal. Como as equaes B.lO.a e B.lO.b so vlidas tanto para regies plsticas como

elsticas, pode-se obter pela equao B.16, a qual determina a fijno tenso (|)(x, y) para um

dado membro sob toro sob condies totalmente plsticas.

(^zf + i%f = (5 / + ^* / = (-Cv)' (B.16)

Considere o problema de constmir a funo tenso (f) para uma seco transversal

quadrada de lado 2a, como mostrado na Figura B.l l l . Em um dado ponto P, a tenso de

cisalhamento resultante l y e dirigida ao longo de uma curva de contorno de constante (|); o

B . 3 . - RESPOSTA ELSTICA LINEAR E RESPOSTA PLSTICA DE SLIDOS PERFEITAMENTE

ELSTICOS

-Resposta Linear Elstica KBores l 1985) e (Kalinszky, 1989)]

A resposta elstica linear leva a urna soluo elstica linear do problema de toro,

enquanto que uma resposta plstic a de um slido perfeitamente plstico leva a solues

totalmente plsticas de barras sujeitas a toro, para as quais a totalidade da seco transversal

se deforma plsticamente.

Solues elsticas lineares de problemas de toro apresentam relaes tenso-

deformao em um material isotrpico, dada pela lei de Hooke , o que resulta nas equaes

(B .13 .a ,b , c).

a = (a(|)/ay) = G y (B. lS .a)

cT^ = - (5 ( |> /5x) = G y 2 y (B. lS .b)

/ ay^ + a (j> / x^ = - 2 G 0 (B .13.c)

Substituindo-se (B.12) em (B.8) resulta em uma relao (B.14), onde se especifica o

ngulo unitrio de toro 0 para um dado membro sob toro, e

130

valor da funo tenso (j) em um ponto P igual a Ty multiplicado por sua distncia

perpendicular ao contorno mais prximo. Assim, a funo tenso, para uma seco transversal

quadrada uma pirmide de altura (Ty * a ) .

O torque para total deformao plstica ( T p ) para a seco quadrada pode ser obtido

por meio de B.12, a qual indica que o torque igual ao dobro do volume sob a lino tenso.

Desta forma, para a pirmide exemplificada na Figura B.III, o valor do torque para total

deformao plstica (S/SXya"*).

Contorno (() = o

Curva de contorno

j de constante ^

Figura B.III.- Superfcie de uma fimo de tenso para uma seco transversal deformada

totalmente plasticmanete: (a) vista superior; (b) vista lateral (Boresi, 1985).

B.4- ANALOGIA DA MEMBRANA ELSTICA DE PRANDTL (Boresi, 1987)

A analogia da mebrana elstica baseada na equivalncia de uma equao de toro

tomando-se o deslocamento lateral de uma membrana elstica sujeita a uma presso lateral

devido a uma tenso inicial, em termos de fora por unidade de comprimento.

A equao que define o pequeno deslocamento de uma membrana elstica plana, sujeita

a presso lateral, idntica, em sua forma matemtica, a fimo tenso B.13 .C. A funo

deslocamento de uma membrana matematicamente equivalente a um funo tenso, uma vez

que a forma de contorno da membrana idntica a forma de contorno da seco transversal do

membro sob toro. Tomando-se uma abertura que tem a mesma forma que a seco

transversal do membro sob toro investigado. Cobrindo-se tal abertura com uma membrana

elstica homognea (e.g. filme de sabo) e aplicando-se uma presso a um dos lados da

membrana, faz-se com que a membrana se curve. Se a inclinao da superficie da membrana

suficientemente pequeno, pode-se mostrar que o deslocamento lateral da membrana e a funo

tenso (|)(x, y) satistazem a mesma equao matemtica em (x,y). O deslocamento lateral de

uma membrana elstica (z), sujeita a uma presso lateral p (fora por unidade de rea) e uma

tenso inicial S (fora por unidade de comprimento), mostrada pela equao B.17.

d\ / ay^ + a-z / x- = - p / S .(B.17)

A Figura B.IV exemplifica tal membrana. Para pequenos deslocamentos (sen a * t g a ) .

131

ento a soma da fora na direo vertical alcana um equilbrio para o elemento da membrana

(dx dy) , dado pela equao B. 18.

Sa'z / dy^ dx dy + d \ I dx^ dx dy + p dx dy = O ( B I S )

Figura B.IV.- Analogia da Membrana Elstica: (a)- vista plana; (b)- vista de topo.

Urna comparao anloga de (B.13.c) e (B.17) resulta na equao (B.19), onde c

uma constante de proporcionalidade.

z = c

p / S = c 2 G 0

(|) = 2 G e S z / p (B.19)

Da equao acima, o deslocamento da membrana z proporcional a funo tenso de

Prandtl

132

- Barras Finas de Seccoes Nao-Circulares [(Boresi, 1985 e 1987) (Kalinszky, 1989)]

Para tais seces retangulares possvel o uso da analogia da membrana elstica para

se obter a soluo para o torque e tenses e deformaes por cisalhamento mximas, quando

esta submetida a carregamento sob toro.

Considere a barra de seco transversal retangular uniforme, como mostrado na Figura

B.V.(a) , onde a largura de 2a e a espessura 2 b , tal que b a.

A membrana associada mostrada na Figura B.V.(b), e exceto para regies prximas a

x= b , a deflexo da membrana aproximadamente independente de x. Desta forma,

assumindo-se que a deflexo da membrana independente de x, e que a deflexo com relao

a y parablica, o deslocamento da membrana dado, aproximadamente, pela equao

(B.20), onde za. mxima deflexo desta membrana.

z = Z o l l - ( y /a )^ ] .(B.20)

A equao acima satisfaz a condio z = O no con tomo y= a. Se (p /S) constante na

equao (B.17), o parmetro Zo pode ser slecionado de tal forma que a equao (B.20)

representa uma soluo da equao (B.17). Derivando (B.20) encontra-se (B.21); por meio

das equaes (B.21) , (B.17) e (B.19), pode-se escrever (B.21) e tambm se rescrever (B.20)

como (B.22.a, b).

5 ' z / a y ' + a ' z / 5 x ' = - 2 z / a ' .(B.21)

-2z/a^ = - 2 c G e

133

Por meio da equao (B.IO), a derivada de (B.22) resulta na relao (B.23.a), onde o

mximo valor de tenso de cisalhemento CT dado por (B.23.b), para um dado valor de

torque aphcado por (B.23.c), e a tenso de cisalhamento

134

Tabela B I - Os coeficientes ki e para diferentes dimenses de sees retangulares

b / a 1.00 1.50 1.75 2 . 0 0 2 . 5 0 3 . 0 0 4 . 0 0 6 8 1 0 00

k, 0 . 2 0 8 0 . 2 3 1 0 . 2 3 9 0 . 2 4 6 0 . 2 5 8 0 . 2 6 7 0 . 2 8 2 0 . 2 9 9 0 . 3 0 7 0 . 3 1 3 0 . 3 3 3

k2 0 . 1 4 1 0 . 1 9 6 0 . 2 1 4 0 . 2 2 9 0 . 2 4 9 0 . 2 6 3 0 . 2 8 1 0 . 2 9 9 0 . 3 0 7 0 . 3 1 3 0 . 3 3 3

(Timoshenko, 1963)

O torque para total deformao plstica Tp e o mximo torque elstico Ty so

comparados para algumas seces transversais e listados na Tabela (B.2). Pode-se ver que o

torque para deformaes plsticas , como esperado intuitivamente, maior do que o torque

para deformao elstica, quando uma barra de seco fina e uma no-fina so comparadas, e

para barras finas T y e 9y so dependentes de ambas as dimenses aeb.

Seco Transversal Torque Elstico Mximo (Tv) e Angulo Unitrio de Toro (Ov)

Torque para Total Deformao Plstica (Tp)

Relao Tp/Ty

Quadrado Lados = 2a

TY = 1.664 Ty a' eY = (1.475 T ^ ^ ) / ( 2 G a )

8/3 Ty a 1.605

Retnsulo (2b > 2a)

b/a = 2

TY = 3 . 9 3 6 T y a '

e Y = 1.074 T v / ( 2 G a )

20/3 Ty a 1.69

b/a = 00 TY = 8 / 3 T y b a ^

eY = T , / ( 2 G a ) 4 Ty b a 1.50

Circular raio = a

TY = 7t/2 Ty

0Y = Tv aV (Ga) 2/3 71 Ty a' 1.33

Ty=> tenso de escoamento por cisalhamento

B . 6 - DEFORMAES HETEROGNEAS AO LONGO DE BARRAS ENGASTADAS

[(Kalinszky, 1989) e (Boresi, 1985)]

Considera-se um membro sob toro tendo seco transversal retangular com as

dimenses mostradas na Figura B.VI.a, a qual corresponde a condio sem carregamento, e

uma membrana estendida sobre esta seco, tendo deflexo nula. Quando um pequeno torque

aplicado barra, os contomsos desta membrana devem ser descritos pela Figura B.VI.b. As

maiores tenses devem ser nos pontos A, mas a tenso de cisalhemento sendo menor do que a

tenso de escoamento.

Aumentado-se a tenso sob a membrana, ter-se- que a bolha sob a membrana ser

inflada, e assim tem-se um efeito semelhante a um toro adicional a barra. A mudana de

volume sob a membrana representa o aumento no torque requerido para dar ao eixo a toro

extra, e a mudana na inclinao da mesma no ponto A (Figura B.VI.c), indica a adio

mxima tenso. Se a tenso emA menor do que a tenso de escoamento, pode-se ter certeza

de que todas as fibras esto em regime elstico (Figura B.VI.c).

Aphcando-se um novo incremento a toro pode-se atingir uma deformao tal que em

reas prximas de A atingem o Ihnite elstico. As regies plsticas, so mostradas pelas reas

sombreadas na Figura B.IV.e, onde a tenso mostrada na Figura B.VI.d. Tal tenso de

cisalhamento constante na regio e paralela aresta. A membrana no mais d uma correta

representao da tenso na regio plstica. Uma vez que a tenso constante, a mxima

135

inclinao, que forma um ngulo reto com a tenso, normal aresta. A membrana, para a

regio plstica, portanto um plano com inclinao crescente a partir da aresta. A membrana,

na regio elstica tem ainda um formato curvo de uma bolha. Com um aumento da toro, as

regies em B tambm sofrero deformao plstica e os contornos sero como mostrado na

Figura B.VI.e.

Visando construir tal membrana e determinar os contornos da regio plstica, pode-se

erigir sobre a membrana, um conjunto de superfcies planas que iro conter a membrana. Isto

pode ser feito erigindo-se um teto sobre a membrana (Figura B.VI.e) , onde a incUnao deste

teto (seco B-B e A-A) corresponde tenso de escoamento. Quando as tenses so baixas

as tenses a membrana no toca o teto e assim no participa da distribuio de tenses. N o

entanto, quando a tenso tal que o escoamento plstico ocorre, o te to ir hmitar a membrana

em reas onde a tenso tenha alcanado o hmite de escoamento. Quando o torque resulta em

total deformao plstica, a membrana comprimida contra todos os pontos desse teto.

i (6)

XY em todos os pontos

Corte A-A Corte A-A

Figure B.VI.- Analogia com membrana na regio plstica, (a) seco de uma barra no

carregada, (b) contorno da membrana para tenses elsticas, (c) micio de

regies plsticas em A, (d) tenses em regies plsticas, (e) contornos para regies pacialmente plsticas, (f) te to hmitante. (Kalinszky, 1989)

A deformao por toro de uma barra paralelepipedica engastada no homognea ao

longo de sua direo longitudinal (z) da amostra, e nem ao longo de sua seco transversal.

Como j mencionado em (B. I ) , o ngulo de rotao 9 de uma dada seco depender de sua

distncia a esta extremidade (P= 9 z), onde P o ngulo indicado na Figura B.II. Quando a tenso permanece no domnio elstico, a deformao ao longodo eixo da barra, ou

warp, pode ser desprezado e a toro pode ser considerada como cisalhamento puro com

componentes CT^^ e perpendiculares. Nes te caso, cada seco transversal submetida a um

estado duplo de deformao e a seco transversal permanece plana. A tenso de cisalhamento

mxima pode ser decomposta em duas componentes, chamadas tenses principais e geralmente

definidas na literatura como CTj e a , , uma a 45 no sentido anti-horrio, comprimindo um

elemento mtemo da barra, e a outra a 45, mas no sentido horrio, tensionando o mesmo

elemento.

136

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