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7/24/2019 Armada Em Uma Direo
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PEF 2303
ESTRUTURAS DE CONCRETO I
Lajes Retangulares Macias
PEF 2303PEF 2303 Concreto IConcreto I
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: LajesDimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes
____________________________________________________
Definio
Os elementos estruturais planos (com duas dimenses predominantes, isto ,bidimensionais) sujeitos a cargas transversais a seu plano so chamados genericamente deplacas. As placas de concreto armado so denominadas de lajes. Normalmente, elas temforma retangular e so macias, resultando da a denominao laje retangular macia.
Os apoios das lajes so, geralmente, constitudos pelas vigas do piso. Nestes casos, oclculo das lajes feito, de maneira simplificada, como se elas fossem isoladas das vigas,com apoios (charneiras) livres rotao e indeslocveis translao, considerando-se,contudo, a continuidade entre lajes contguas. No detalhamento das armaduras sotomados cuidados especiais para cobriro monolitismo existente nas ligaes entre a laje eas suas vigas de apoio.
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PEF 2303PEF 2303 Concreto IConcreto I
Classificao
1. lajes armadas em uma direo:
Fig. 1.1 - Laje isolada armada em uma direo
V
V1P1 P2
P
P4
lx B B
A
A
ly
flecha a
Fig. 1.2 - Laje contnua armada em uma direo
lx1 lx2 lx3
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: LajesDimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes____________________________________________________
PEF 2303PEF 2303 Concreto IConcreto I
Continuao
1. lajes armadas em uma direo:
Fig. 1.3 - Laje muito alongada
flecha a
C
lx D
C
ly2 lx
D
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: LajesDimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes
____________________________________________________
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PEF 2303PEF 2303 Concreto IConcreto I
Continuao
2. lajes armadas em duas direes:
Fig. 2.1 - Laje armada em duas direes ou em cruz
flecha a
C
lxD
C
ly2 lx
D
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: LajesDimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes____________________________________________________
PEF 2303PEF 2303 Concreto IConcreto I
Lajes armadas em uma Direo
1. Esforos Solicitantes Laje isolada
mx= p lx2/ 8
my=mx
vx= p lx/2
p
m
v
lx
mx
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: LajesDimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes
____________________________________________________
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PEF 2303PEF 2303 Concreto IConcreto I
Lajes armadas em umaDireo
2. Esforos Solicitantes Laje em balano
mx= p lx2/ 2
vx= p lx+ P
p
m
v
lx
P
m
v
mx
Pplv
Plpl
m
xx
xx
x
+=
+=2
2
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: LajesDimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes____________________________________________________
PEF 2303PEF 2303 Concreto IConcreto I
Lajes armadas em uma Direo
3. Esforos Solicitantes Lajes contnuas
p1 p2
lx1 lx2
mx
mx2
mx
v
A faixa de largura unitria da lajecorresponde a uma viga contnua.
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: LajesDimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes
____________________________________________________
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PEF 2303PEF 2303 Concreto IConcreto I
Lajes armadas em uma Direo
1. DimensionamentoConforme a figura, tem-se:
dx= h - c - x/ 2
dy= h - c - x- y/ 2
onde
c = cobrimento mnimo da armadura em lajes, fixado em 0,5 cm nas lajes
protegidas com argamassa de espessura mnima de 1 cm (NBR-6118)
x= dimetro da armadura Asxcorrespondente a mx
y= dimetro da armadura Asycorrespondente a my.
Nas lajes macias revestidas, usuais em edifcios (comercial e residencial), pode-se adotar aproximadamente:
dxh - c - 1,5 cm
dyh - c - 2 cm
hyxc
dydx
dydx
100 cm
Asy
Asx
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: LajesDimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes____________________________________________________
PEF 2303PEF 2303 Concreto IConcreto I
Lajes armadas em uma Direo
md= fm = 1,4 m
b = 100 cm
h d0,8x
md
0,85fcd
Rcd
Rsd
0,68 b x fcd (d - 0,4 x) = md
Resulta:
x dm
bd f
d
cd
=
1 25 1 10 425 2
,,
Am
f d xs
d
yd
=( , )0 4
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: LajesDimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes
____________________________________________________
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PEF 2303PEF 2303 Concreto IConcreto I
Lajes armadas em uma Direo
Costuma-se impor a armadura mnima usual de flexo para o momento
fletor principal mx:
x0,67.0,15% de acordo com a tabela 17.3 da NBR 6118/2003
onde
h100
A
bh
A sxsxx
== (em unidades: cm2e cm).
Nos apoios de engastamento ou de continuidade de lajes (mx) deve-se
verificar, tambm, a taxa mnima que igual a 0,15%.
Para o momento fletor secundrio myrecomenda-se adotar
Asy0,2 Asxou y0,5 mincom o mnimo de 0,9 cm2/ m, onde
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: LajesDimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes____________________________________________________
PEF 2303PEF 2303 Concreto IConcreto I
Armadura Elementos estruturaissem armadurasativas
Elementos estruturaiscom armadura ativaaderente
Elementos estruturaiscom armadura ativano aderente
Armaduras negativass min s minp 0,67 min
s min - 0,5p 0,67 min(ver 19.3.3.2 da NBR 6118)
Armaduras positivasde lajes armadas
nas duas direess 0,67 min s 0,67 minp 0,5
min
s min - 0,5p 0,5 min
Armadura positiva(principal) de lajesarmadas em uma
direo
s min s min p 0,5 min s min - 0,5p 0,5 min
Armadura positiva(secundria) de
lajes armadas emuma direo
As/s 20 % da armadura principalAs/s 0,9 cm2/ms 0,5 min
-
Onde: s =As/bwhe p =Ap/bw h NOTA - Os valores demin constam da tabela17.3 da NBR6118/2003
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: LajesDimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes
____________________________________________________
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PEF 2303PEF 2303 Concreto IConcreto I
Forma da seo
Valores de min1) (As,min/Ac) %
20 25 30 35 40 45 50
Retangular 0,035 0,150 0,150 0,173 0,201 0,230 0,259 0,288
1) Os valores de min estabelecidos nesta tabelapressupem o uso de aoCA-50, c = 1, 4 e s = 1,15. Caso esses fatores sejam diferentes, mindeveser recalculadocom baseno valor demn dado.
NOTA - NasseestipoT, a rea daseo a ser consideradadeveser caracterizadapela almaacrescida damesacolaborante.
fckmin
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: LajesDimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes____________________________________________________
PEF 2303PEF 2303 Concreto IConcreto I
Lajes armadas em uma DireoEscolha das barras
Bitolas comerciais
= dimetro nominal da barra em mmAs1= rea da seo transversal de uma barra em cm
2
m1= massa de uma barra por metro linear em kg/m
(mm) As1(cm2) m1(kg/m) 2 G(cm)
4 0,125 0,1 8
5 0,2 0,16 9
6,3 0,315 0,25 12
8 0,5 0,4 15
10 0,8 0,63 1812,5 1,25 1,0 23
100 cm
h
s s
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: LajesDimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes
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PEF 2303PEF 2303 Concreto IConcreto I
Lajes armadas em uma Direo
A escolha da bitola x espaamento ( x s) feita para as bitolas comerciais com as
seguintes recomendaes:
min= 4 mm max= h/8
smin= 8 cm s smax= 20 cm
Para as bitolas, adota-se um mnimo de 4 mm e um mximo correspondente a um dcimo
da espessura da laje. O espaamento mnimo de 8 cm tem por finalidade facilitar a
concretagem da laje e, o espaamento mximo, visa garantir a uniformidade decomportamento admitida nos clculos.
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: LajesDimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes____________________________________________________
PEF 2303PEF 2303 Concreto IConcreto I
Lajes armadas em uma Direo
Detalhamento das armaduras
As armaduras obtidas para os momentos de vo so estendidas de apoio a apoio da laje;
As armaduras resistentes calculadas junto aos apoios internos da laje so estendidas de modo cobrir o diagrama de momento fletor negativo; uma extenso de lx/4 para cada lado do apoio ,normalmente, suficiente para essa finalidade;
Nas bordas da laje costuma-se posicionar uma armadura (As,borda) com extenso lx/5, visandocontrolar uma fissurao proveniente do engastamento parcial da laje nestas vigas. Pode-seconsiderar min=0,15%
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PEF 2303PEF 2303 Concreto IConcreto I
Exemplo e Detalhamento
4 m 4 m 4 m
4 m
L1 L2 L3
mx1 mx2 mx3
mx23=-11 kN.m/m
6,96 kN.m/m11 kN.m/m
fck=25 MPa
CA50A
cl = 1,5 cm
cv = 2,0 cm
h = 10 cm (todas as lajes)
g = 3,5 kN/m2
q = 2,0 kN/m2
vigas de bw = 12 cm
PEF 2303PEF 2303 Concreto IConcreto I
Laje L1 Momento Fletor Principal:
mx = p lx2/ 8 = 5,542/ 8 = 11,0 kN.m/m
b = 100 cm ; d = dx h - c - 0,5 = 10 - 1,5 - 0,5 = 8 cmmd = fmx = 1,411,0 = 15,4 kN.m/m = 1540 kN.cm/m
cmfbd
mdx
cd
d 73,14,1/5,28100425,0
154011825,1
425,01125,1
22=
=
=
mcmxdf
mAyd
ds
/85,4)73,14,08(48,43
1540)4,0(
2=
=
=
As > Asmin = x,min b h = 0,001510010 = 1,5 cm2/m
Exemplo e Detalhamento
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PEF 2303PEF 2303 Concreto IConcreto I
Laje L1 bitola x espaamento
min = 4 mm max = h/8 = 12,5mm
smin = 8 cm s 20 cm
(mm) As1 (cm2) n = Asx/As1 s = 100/n (cm)
6,3 0,315 15,5 7 < smin
8 0,5 9,7 10
10 0,8 6,0 17
Exemplo e Detalhamento
PEF 2303PEF 2303 Concreto IConcreto I
Laje L1 Momento Fletor Secundrio:my = mx = 0,211,0 = 2,2 kN.m/m
b = 100 cm ; d = dy h - c - 1,0 = 10 - 1,5 - 1,0 = 7,5 cmmd = fmx = 1,42,2 = 3,08 kN.m/m = 308 kN.cm/m
As > Asmin = = 4,850,2 = 0,97 cm2/m
cm
fbd
mdx
cd
d
34,04,1/5,25,7100425,0
308115,725,1
425,01125,1
2
2
=
=
=
mcmxdf
mA
yd
ds /96,0
)34,04,05,7(48,43
308
)4,0(
2=
=
=
As/s 20 % da armaduraprincipalAs/s 0,9 cm2/ms 0,5 min
Exemplo e Detalhamento
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Laje L1 bitola x espaamento
min = 4 mm max = h/8 = 12,5 mm
smin = 8 cm s 20
(mm) As1 (cm2) n = Asx/As1 s = 100/n (cm)
4 0,125 7,76 13
5 0,2 4,85 20
6,3 0,315 3,0 32
Exemplo e Detalhamento
PEF 2303PEF 2303 Concreto IConcreto I
Lajes L2=L3 Momento Fletor Principal (mx):mx = 6,96 kN.m/m
b = 100 cm ; d = dx h - c - 0,5 = 10 - 1,5 - 0,5 = 8 cmmd = fmx = 1,46,96 = 9,74 kN.m/m = 974 kN.cm/m
As > Asmin = x,min b h = 0,001510010 = 1,5 cm2/m
cmfbd
mdx
cd
d 06,14,1/5,28100425,0
97411825,1
425,01125,1
22=
=
=
mcmxdf
mAyd
ds /96,2
)06,14,08(48,43974
)4,0(2=
=
=
Exemplo e Detalhamento
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PEF 2303PEF 2303 Concreto IConcreto I
Lajes L2=L3 bitola x espaamento
min = 4 mm max = h/8 = 12,5 mm
smin = 8 cm s 20 cm
(mm) As1 (cm2) n = Asx/As1 s = 100/n (cm)
6,3 0,315 9,4 11
8 0,5 5,92 17
10 0,8 3,7 27
Exemplo e Detalhamento
PEF 2303PEF 2303 Concreto IConcreto I
Lajes L2=L3 Momento Fletor Principal (mx23) no apoio interno:
mx = p lx2/ 8 = 5,542 / 8 = 11,0 kN.m/m
b = 100 cm ; d = dx h - c - 0,5 = 10 - 1,5 - 0,5 = 8 cm
md = fmx = 1,411,0 = 15,4 kN.m/m = 1540 kN.cm/m
cmfbd
mdx
cd
d 73,14,1/5,28100425,0
154011825,1
425,01125,1
22=
=
=
mcmxdf
mAyd
ds /85,4
)73,14,08(48,431540
)4,0(
2=
=
=
As > Asmin = x,min b h = 0,001510010 = 1,5 cm2/m
Exemplo e Detalhamento
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PEF 2303PEF 2303 Concreto IConcreto I
Lajes L2=L3 bitola x espaamento
min = 4 mm max = h/8 = 12,5 mm
smin = 8 cm s 20 cm
(mm) As1 (cm2) n = Asx/As1 s = 100/n (cm)
6,3 0,315 15,5 7 < smin
8 0,5 9,7 10
10 0,8 6,0 17
Exemplo e Detalhamento
PEF 2303PEF 2303 Concreto IConcreto I
Lajes L2=L3 Momento Fletor Secundrio (my):my = . mx = 0,2. 6,96 kN.m/m = 1,39 kN.m/m
b = 100 cm ; d = dy h - c 1,0 = 10 - 1,5 1,0 = 7,5 cm
Pode-se adotar a mesma armadura obtida para a laje L1
(5c/20)
Exemplo e Detalhamento
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PEF 2303PEF 2303 Concreto IConcreto I
Laje L1
Exemplo e Detalhamento
No maior
que 30 cm
Lx/5
No maior
que 25
PEF 2303PEF 2303 Concreto IConcreto I
Lajes L2=L3
Exemplo e Detalhamento
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PEF 2303PEF 2303 Concreto IConcreto I
Exemplo e Detalhamento
Tipo ncm m
CUnit CTot
1 6,3 80 104 83,2
2 8 39 214 83,5
3 8 85 424 360,4
4 5 60 406 243,6
5 5 26 400 104
Ctot(m) Peso (kg)
5 347,6 56
6,3 83.2 218 443,9 178
TOTAL 255
Taxa de consumo por m3:
255 kg / 4,7 m3 = 54,3 kg/m3
PEF 2303PEF 2303 Concreto IConcreto I
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: LajesDimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes____________________________________________________
Lajes armadas em duas Direes
lx= o menor vo terico,
ly= o maior vo terico (lylx).
Normalmente, admitem-se as seguintes hipteses simplificadoras:
vigas rigidas flexo;
apoios da laje sobre as vigas atravs de charneiras (rotao livre);
a continuidade de lajes vizinhas quando estiverem no mesmo nvel.
B
A
C
lxly
ly
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PEF 2303PEF 2303 Concreto IConcreto I
Lajes armadas em duas Direes
mx= momento fletor por unidade de largura com plano de atuao paralelo a lx;
my= momento fletor por unidade de largura com plano de atuao paralelo a ly.
y
xy
x
xx
y
xy
x
xx
pm
pm
pm
pm
2222
;;; llll
====
onde, as variveis e esto tabeladas em funo dos seguintes parmetros:
tipo de carga (por exemplo, distribuida uniforme)
condies de apoio da laje (tipos de apoio)
relao (ly/ lx).
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: LajesDimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes____________________________________________________
PEF 2303PEF 2303 Concreto IConcreto I
Lajes armadas em duas DireesTipos de apoio usualmente empregados para o clculo das lajes
lX
ly
charneira
engaste
1 2A 2B 3
4A 4B 5A 5B 6
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: LajesDimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes____________________________________________________
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PEF 2303PEF 2303 Concreto IConcreto I
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: LajesDimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes____________________________________________________
Lajes armadas em duas Direes
TABELA 1 - TIPO 1
Laje com as 4 bordas livremente apoiadas(carga uniforme)
mp
x
x
x
= l
2
mp
y
x
y
= l
2
wp
Ehmax
x= l
4
3
2
= 0 2,
Beton-Kalender (1976)
l ly x/ x y
x
y
2
1,00 22,7 22,7 21,4
1,05 20,8 22,5 19,4
1,10 19,3 22,3 17,8
1,15 18,1 22,3 16,5
1,20 16,9 22,3 15,4
1,25 15,9 22,4 14,3
1,30 15,2 22,7 13,6
1,35 14,4 22,9 12,9
1,40 13,8 23,1 12,3
1,45 13,2 23,3 11,7
1,50 12,7 23,5 11,2
1,55 12,3 23,5 10,8
1,60 11,9 23,5 10,4
1,65 11,5 23,5 10,1
1,70 11,2 23,5 9,8
1,75 10,8 23,5 9,5
1,80 10,7 23,5 9,3
1,85 10,4 23,5 9,1
1,90 10,2 23,5 8,9
1,95 10,1 23,5 8,7
2,00 9,9 23,5 8,6
>2 8,0 23,5 6,7
mx
myl
y
x
PEF 2303PEF 2303 Concreto IConcreto I
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: LajesDimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes____________________________________________________
TABELA 2 - TIPO 2A
Laje com 3 bordas livremente apoiadas euma borda menor engastada
(carga uniforme)
mp
x
x
x
= l
2
mp
y
x
y
= l
2
= m pyx
y
l2
wp
Ehmax
x= l
4
3
2
= 0 2,
Beton-Kalender (1976)
l ly x/ x y
x
y
2
1,00 32,4 26,5 11,9 31,2
1,05 29,2 25,0 11,3 27,6
1,10 26,1 24,4 10,9 24,7
1,15 23,7 23,9 10,4 22,3
1,20 22,0 23,8 10,1 20,3
1,25 20,2 23,6 9,8 18,7
1,30 19,0 23,7 9,6 17,3
1,35 17,8 23,7 9,3 16,1
1,40 16,8 23,8 9,2 15,1
1,45 15,8 23,9 9,0 14,2
1,50 15,1 24,0 8,9 13,5
1,55 14,3 24,0 8,8 12,8
1,60 13,8 24,0 8,7 12,21,65 13,2 24,0 8,6 11,7
1,70 12,8 24,0 8,5 11,2
1,75 12,3 24,0 8,45 10,8
1,80 12,0 24,0 8,4 10,5
1,85 11,5 24,0 8,35 10,1
1,90 11,3 24,0 8,3 9,9
1,95 10,9 24,0 8,25 9,6
2,00 10,8 24,0 8,2 9,4
>2 8,0 24,0 8,0 6,7
mx
myl
y
lx
my
Lajes armadas em duas Direes
7/24/2019 Armada Em Uma Direo
18/27
PEF 2303PEF 2303 Concreto IConcreto I
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: LajesDimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes____________________________________________________
Lajes armadas em duas DireesTABELA 3 - TIPO 2B
Laje com 3 bordas livremente apoiadas euma borda maior engastada
(carga uniforme)
mp
x
x
x
= l
2
mp
y
x
y
= l
2
= mp
x
x
x
l2
wp
Ehmax
x= l
4
3
2
= 0 2,
Beton-Kalender (1976)
l ly x/ x y
x
y
2
1,00 2 6,5 32,4 11,9 31,2
1,05 2 5,7 33,3 11,3 29,2
1,10 2 4,4 33,9 10,9 27,4
1,15 2 3,3 34,5 10,5 26,0
1,20 2 2,3 34,9 10,2 24,8
1,25 21,4 35,2 9,9 23,8
1,30 20,7 35,4 9,7 22,9
1,35 20,1 37,8 9,4 22,1
1,40 19,7 39,9 9,3 21,5
1,45 19,2 41,1 9,1 20,9
1,50 18,8 42,5 9,0 20,4
1,55 18,3 42,5 8,9 20,0
1,60 17,8 42,5 8,8 19,6
1,65 17,5 42,5 8,7 19,3
1,70 17,2 42,5 8,6 19,0
1,75 17,0 42,5 8,5 18,7
1,80 16,8 42,5 8,4 18,5
1,85 16,5 42,5 8,3 18,3
1,90 16,4 42,5 8,3 18,1
1,95 16,3 42,5 8,3 18,0
2,00 16,2 42,5 8,3 17,8
>2 14,2 42,5 8,0 16,7
mx
myy
x
mx
PEF 2303PEF 2303 Concreto IConcreto I
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: LajesDimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes____________________________________________________
Lajes armadas em duas DireesTABELA 4 - TIPO 3
Laje com 2 bordas adjacentes engastadas eas outras duas livremente apoiadas
(carga uniforme)
mp
x
x
x
= l
2
mp
y
x
y
= l
2
= m px xx
l2
= mp
y
x
y
l2
wp
Ehmax
x= l
4
3
2
= 0 2,
Beton-Kalender (1976)
l ly x/ x y
x
y
2
1,00 34,5 34,5 14,3 14,3 41,3
1,05 32,1 33,7 13,3 13,8 37,1
1,10 30,1 33,9 12,7 13,6 34,5
1,15 28,0 33,9 12,0 13,3 31,7
1,20 26,4 34,0 11,5 13,1 29,9
1,25 24,9 34,4 11,1 12,9 28,2
1,30 23,8 35,0 10,7 12,8 26,8
1,35 23,0 36,6 10,3 12,7 25,5
1,40 22,2 37,8 10,0 12,6 24,5
1,45 21,4 39,1 9,8 12,5 23,5
1,50 20,7 40,2 9,6 12,4 22,7
1,55 20,2 40,2 9,4 12,3 22,1
1,60 19,7 40,2 9,2 12,3 21,5
1,65 19,2 40,2 9,1 12,2 21,0
1,70 18,8 40,2 8,9 12,2 20,5
1,75 18,4 40,2 8,8 12,2 20,1
1,80 18,1 40,2 8,7 12,2 19,7
1,85 17,8 40,2 8,6 12,2 19,4
1,90 17,5 40,2 8,5 12,2 19,0
1,95 17,2 40,2 8,4 12,2 18,8
2,00 17,1 40,2 8,4 12,2 18,5
>2 14,2 40,2 8,0 12,0 16,7
mx
myy
x
mx
my
7/24/2019 Armada Em Uma Direo
19/27
PEF 2303PEF 2303 Concreto IConcreto I
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: LajesDimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes____________________________________________________
Lajes armadas em duas Direes TABELA 5 - TIPO 4ALaje com 2 bordas maiores livremente apoiadas e duas bordasmenores engastadas (carga uniforme)
mp
x
x
x
= l
2
mp
y
x
y
= l
2
= mp
y
x
y
l2
wp
Ehmax
x= l
4
3
2
= 0 2,
Beton-Kalender (1976)
l ly x/ x y
x
y
2
1,00 46,1 31,6 14,3 45,3
1,05 39,9 29,8 13,4 39,2
1,10 36,0 28,8 12,7 34,4
1,15 31,9 27,7 12,0 30,4
1,20 29,0 26,9 11,5 27,2
1,25 26,2 26,1 11,1 24,5
1,30 24,1 25,6 10,7 22,3
1,35 22,1 25,1 10,3 20,4
1,40 20,6 24,8 10,0 18,8
1,45 19,3 24,6 9,75 17,5
1,50 18,1 24,4 9,5 16,3
1,55 17,0 24,3 9,3 15,3
1,60 16,2 24,3 9,2 14,4
1,65 15,4 24,3 9,05 13,7
1,70 14,7 24,3 8,9 13,0
1,75 14,0 24,3 8,8 12,4
1,80 13,5 24,3 8,7 11,9
1,85 13,0 24,3 8,6 11,4
1,90 12,6 24,3 8,5 11,0
1,95 12,1 24,3 8,4 10,6
2,00 11,8 24,3 8,4 10,3
>2 8,0 24,3 8,0 6,7
mx
myy
x
my
my
PEF 2303PEF 2303 Concreto IConcreto I
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: LajesDimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes____________________________________________________
Lajes armadas em duas DireesTABELA 6 - TIPO 4B
Laje com 2 bordas maiores engastadas e duas bordas menores
livremente apoiadas (carga uniforme)
mp
x
x
x
= l
2
mp
y
x
y
= l
2
= mp
x
x
x
l2
wp
Ehmax
x= l
4
3
2
= 0 2,
Beton-Kalender (1976)
l ly x/
x
y
x
y
2
1,00 31 ,6 46,1 14,3 45,3
1,05 29 ,9 46,4 13,8 43,2
1,10 29 ,0 47,2 13,5 41,5
1,15 28 ,0 47,7 13,2 40,1
1,20 27 ,2 48,1 13,0 39,0
1,25 26 ,4 48,2 12,7 37,9
1,30 25 ,8 48,1 12,6 37,2
1,35 25 ,3 47,9 12,4 36,5
1,40 24 ,8 47,8 12,3 36,0
1,45 24 ,4 47,7 12,2 35,6
1,50 24 ,2 47,6 12,2 35,1
1,55 24 ,0 47,6 12,1 34,7
1,60 24 ,0 47,6 12,0 34,51,65 24 ,0 47,6 12,0 34,2
1,70 24 ,0 47,4 12,0 33,9
1,75 24 ,0 47,3 12,0 33,8
1,80 24 ,0 47,2 12,0 33,7
1,85 24 ,0 47,1 12,0 33,6
1,90 24 ,0 47,1 12,0 33,5
1,95 24 ,0 47,1 12,0 33,4
2,00 24 ,0 47,0 12,0 33,3
>2 24,0 47,0 12,0 32,0
mx
mymx
ly
lx
mx
7/24/2019 Armada Em Uma Direo
20/27
PEF 2303PEF 2303 Concreto IConcreto I
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: LajesDimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes____________________________________________________
Lajes armadas em duas DireesTABELA 7 - TIPO 5A
Laje com 2 bordas menores engastadas, uma borda maior engastada eoutra livremente apoiada
(carga uniforme)
mp
x
x
x
= l
2
mp
y
x
y
= l
2
= mp
x
x
x
l2
= mp
y
x
y
l2
wp
Ehmax
x= l
4
3
2
= 0 2,
Beton-Kalender (1976)
l ly x/ x y
x
y
2
1,00 44,6 38,1 18,3 16,2 55,4
1,05 41,7 37,3 16,6 15,4 49,1
1,10 38,1 36,7 15,4 14,8 44,1
1,15 34,9 36,4 14,4 14,3 40,1
1,20 32,1 36,2 13,5 13,9 36,7
1,25 29,8 36,1 12,7 13,5 33,8
1,30 28,0 36,2 12,2 13,3 31,7
1,35 26,4 36,6 11,6 13,1 29,7
1,40 25,2 37,0 11,2 13,0 28,1
1,45 24,0 37,5 10,9 12,8 26,6
1,50 23,1 38,3 10,6 12,7 25,5
1,55 22,3 39,3 10,3 12,6 24,5
1,60 21,7 40,3 10,1 12,6 23,6
1,65 21,1 41,4 9,9 12,5 22,8
1,70 20,4 42,7 9,7 12,5 22,1
1,75 20,0 43,8 9,5 12,4 21,5
1,80 19,5 44,8 9,4 12,4 21,0
1,85 19,1 45,9 9,2 12,3 20,5
1,90 18,7 46,7 9,0 12,3 20,1
1,95 18,4 47,7 8,9 12,3 19,7
2,00 18,0 48,6 8,8 12,3 19,3
>2 14,2 48,6 8,0 12,0 16,7
mx
myy
x
my
my
mx
PEF 2303PEF 2303 Concreto IConcreto I
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: LajesDimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes____________________________________________________
Lajes armadas em duas DireesTABELA 8 - TIPO 5B
Laje com 2 bordas maiores engastadas, uma borda menor engastada e
outra livremente apoiada(carga uniforme)
mp
x
x
x
= l
2
mp
y
x
y
= l
2
= m pxx
x
l2
= mp
y
x
y
l2
wp
Ehmax
x= l
4
3
2
= 0 2,
Beton-Kalender (1976)
l ly x/
x
y
x
y
2
1,00 38,1 44,6 16,2 18,3 55,4
1,05 35,5 44,8 15,3 17,9 51,6
1,10 33,7 45,7 14,8 17,7 48,7
1,15 32,0 47,1 14,2 17,6 46,1
1,20 30,7 47,6 13,9 17,5 44,1
1,25 29,5 47,7 13,5 17,5 42,5
1,30 28,4 47,7 13,2 17,5 41,2
1,35 27,6 47,9 12,9 17,5 39,9
1,40 26,8 48,1 12,7 17,5 38,9
1,45 26,2 48,3 12,6 17,5 38,0
1,50 25,7 48,7 12,5 17,5 37,2
1,55 25,2 49,0 12,4 17,5 36,5
1,60 24,8 49,4 12,3 17,5 36,0
1,65 24,5 49,8 12,2 17,5 35,4
1,70 24,2 50,2 12,2 17,5 35,0
1,75 24,0 50,7 12,1 17,5 34,6
1,80 24,0 51,3 12,1 17,5 34,4
1,85 24,0 52,0 12,0 17,5 34,2
1,90 24,0 52,6 12,0 17,5 33,9
1,95 24,0 53,4 12,0 17,5 33,8
2,00 24,0 54,1 12,0 17,5 33,7
>2 24,0 54,0 12,0 17,5 32,0
mx
mymx
y
x
mx
my
7/24/2019 Armada Em Uma Direo
21/27
PEF 2303PEF 2303 Concreto IConcreto I
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: LajesDimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes____________________________________________________
Lajes armadas em duas Direes TABELA 9 - TIPO 6Laje com as 4 bordas engastadas(carga uniforme)
mp
x
x
x
= l
2
mp
y
x
y
= l
2
= mp
x
x
x
l2
= mp
y
x
y
l2
wp
Ehmax
x= l
4
3
2
= 0 2,
Beton-Kalender (1976)
l ly x/ x y
x
y 2
1,00 47,3 47,3 19,4 19,4 68,5
1,05 43,1 47,3 18,2 18,8 62,4
1,10 40,0 47,8 17,1 18,4 57,6
1,15 37,3 48,3 16,3 18,1 53,4
1,20 35,2 49,3 15,5 17,9 50,3
1,25 33,4 50,5 14,9 17,7 47,6
1,30 31,8 51,7 14,5 17,6 45,3
1,35 30,7 53,3 14,0 17,5 43,4
1,40 29,6 54,8 13,7 17,5 42,0
1,45 28,6 56,4 13,4 17,5 40,5
1,50 27,8 57,3 13,2 17,5 39,5
1,55 27,2 57,6 13,0 17,5 38,4
1,60 26,6 57,8 12,8 17,5 37,6
1,65 26,1 57,9 12,7 17,5 36,9
1,70 25,5 57,8 12,5 17,5 36,3
1,75 25,1 57,7 12,4 17,5 35,81,80 24,8 57,6 12,3 17,5 35,4
1,85 24,5 57,5 12,2 17,5 35,1
1,90 24,2 57,4 12,1 17,5 34,7
1,95 24,0 57,2 12,0 17,5 34,5
2,00 24,0 57,1 12,0 17,5 34,3
>2 24,0 57,0 12,0 17,5 32,0
mx
myy
x
my
my
mx mx
PEF 2303PEF 2303 Concreto IConcreto I
Lajes armadas em duas Direes
a) lajes isoladas: inicialmente, isolam-se as lajes, admitindo-se, para cada umadelas, as seguintes condies de apoio:
apoio livre, quando no existir laje vizinha junto a este apoio;
apoio engastado, quando existir laje vizinha no mesmo nvel
permitindo, assim, a continuidade da armadura negativa de flexo deuma laje para a outra;
vigas rgidas de apoio da laje;
e, calculam-se os momentos fletores mximos (em valor absoluto) nestas lajesisoladas (mx, my, mx e my).
Para os pisos usuais de edifcios residenciais e comerciais (sobrecargas devalores moderados) pode ser aplicado o mtodo simplificado exposto a seguir
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: LajesDimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes____________________________________________________
7/24/2019 Armada Em Uma Direo
22/27
PEF 2303PEF 2303 Concreto IConcreto I
Lajes armadas em duas Direesb) correo dos momentos fletores devido continuidade entre as lajesvizinhas:
momentos sobre os apoios comuns s lajes adjacentes: adota-separa momento fletor de compatibilizao, o maior valor entre 0,8m> e(m1 + m2) / 2, onde m1 e m2 so os valores absolutos dos momentosnegativos nas lajes adjacentes junto ao apoio considerado e, m>, omaior momento entre m1 e m2.
momentos nos vos: para sobrecargas usuais de edifcios podemser adotados os momentos fletores obtidos nas lajes isoladas;
portanto. Para sobrecargas maiores convm efetuar essas correes,principalmente, quando acarretar aumento no valor do momentofletor. Para isso, existem tabelas apropriadas.
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: LajesDimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes____________________________________________________
PEF 2303PEF 2303 Concreto IConcreto I
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: LajesDimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes____________________________________________________
7/24/2019 Armada Em Uma Direo
23/27
PEF 2303PEF 2303 Concreto IConcreto I
Lajes armadas em duas Direes
Dimensionamento a momento fletor
a) altura til
Do mesmo modo que para as lajes armadas em uma direo, as alturas teis so dadas por:
dx= h - c - x/ 2 ; dy= h - c - x- y/ 2
podendo ser estimadas, nas lajes usuais, por
dxh - c - 0,5 cm ; dyh - c - 1,0cm
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: LajesDimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes____________________________________________________
PEF 2303PEF 2303 Concreto IConcreto I
Lajes armadas em duas Direes
b) clculo de As
md= (fmx, fmyou fmx) onde f= 1,4 (kN.cm/m)d = (dxou dy) (cm)As= (Asxou Asy) (cm
2/ m)b = 100 cm
fcd= fck/ c (c= 1,4) (kN/cm2)
fyd= fyk/ s (s= 1,15) (kN/cm2)
Para x x34 :
=
cd2
d
fbd425,0
m11d25,1x
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: LajesDimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes____________________________________________________
7/24/2019 Armada Em Uma Direo
24/27
PEF 2303PEF 2303 Concreto IConcreto I
Lajes armadas em duas Direes
Armadura:
)x4,0d(f
mA
yd
ds
=
ondeAs= Asxpara m = mx;As= Asypara m = my;As= As para m = m
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: LajesDimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes____________________________________________________
PEF 2303PEF 2303 Concreto IConcreto I
Lajes armadas em duas Direes
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: LajesDimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes____________________________________________________
Armaduras mnimas (tabelas 19.1 e 17.3 da NBR 6118/2003)
armaduras de vo: As= (Asxou Asy) 0,9 cm2/m e
bh
Ass =
armaduras sobre os apoios de continuidade: As 1,5 cm2/m
bh
Ass
='
7/24/2019 Armada Em Uma Direo
25/27
PEF 2303PEF 2303 Concreto IConcreto I
Lajes armadas em duas Direes
Escolha das barras
dimetro:
4 mm h/8
espaamento entre as barras:
armadura nos vos: A s
h
cmscm
2
208
armaduras nos apoios: As cmscm 208
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: LajesDimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes____________________________________________________
PEF 2303PEF 2303 Concreto IConcreto I
Regras usuais dearranjo dasarmaduras delajes
Dimensionamento de Estruturas de Concreto: LajesDimensionamento de Estruturas de Concreto: Lajes____________________________________________________
7/24/2019 Armada Em Uma Direo
26/27
PEF 2303PEF 2303 Concreto IConcreto I
Exemplo e Detalhamento
fck= 25 MPaAo CA50Acl = 1,5 cm (cobrimento das lajes)q = 2,0 kN/m2 (carga acidental)h = 10 cmvigas:bw = 12 cmcv = 2,0 cm
PEF 2303PEF 2303 Concreto IConcreto I
Exemplo e Detalhamento
peso prprio = 0,1025 = 2,5 kN/m2
revestimento = 1,0g = 3,5 kN/m2 (carga permanente)q = 2,0 kN/m2 (carga acidental)p = g + q = 5,5 kN/m2 (carga total)
Laje Tipo lx ly p ly/lx x y -x -y mx my mx my
L1 3 3,5 4,0 5,5 1,14 28,0 3 3,9 1 2,0 1 3,3 2,4 2,0 -5,6 -5,1
L3 5B 3,5 4,0 5,5 1,14 3 2,0 47,1 14,2 17,6 2,1 1,4 -4,7 -3,8
7/24/2019 Armada Em Uma Direo
27/27
PEF 2303PEF 2303 Concreto IConcreto I
Exemplo e Detalhamento
Apoio mesq
mdir
0,8m>
mmdio
mij
L1-L2 m y=-5,1 m y=-5,1 -4,1 -5,1 m 12=-5,1
L1-L3 m x=-5,6 m x=-4,7 -4,5 -5,2 m 13=-5,2
L3-L4 m y=-3,8 m y=-3,8 -3,0 -3,8 m 34=-3,8
L3-L5 m y=-4,7 m x=-4,7 m 35=-4,7
Laje d (cm) m (kN.cm) md (kN.cm) x (cm) As (cm2) s % Asmin (cm
2) Asf Escolha
L1
(L2)
8,0 mx=240 336 0,35 0,980,10 1,00
1,005 c/20
7,5 my=200 280 0,31 0,87 1,00
8,0 m 12=510 714 0,76 2,130,15 1,50
2,13 6,3 c/15
8,0 m 13=520 728 0,78 2,18 2,18 6.,3 c/16
L3
(L4)
(L5)
8,07,5
mx=210 294 0,3 0,860,10 1,00
1,005 c/20
my=140 196 0,22 0,60 1,00
8,08,0
m34=380 532 0,56 1,570,15 1,50
1,57 5 c/12
m35=470 658 0,70 1,96 1,96 6,3 c/16
PEF 2303PEF 2303 Concreto IConcreto I
Exemplo e
Detalhamento