Olga Lauce

ARITMĒTIKAS UN ALGEBRAS DARBĪBU LIKUMI, FORMULAS, PIEMĒRI

SATURS

Priekšvārds 5 Naturālie skaitļi — . . . . . . 6

Nezināmā darbības locekļa aprēķināšana 6 Darbību īpašības — .. 7 Darbību secība izteiksmēs 8 Skaitļu dalāmība * 8 Lielākais kopīgais dalītājs 9 Mazākais kopīgais dalāmais 9 Summas dalāmība 9 Reizinājuma dalāmība 10 Skaitļu dalāmības pazīmes 10

Parastās daļas 10 Daļas pamatīpašība 10 Parasto daļu saskaitīšana un atņemšana 11 Parasto daļu reizināšana 12 Parasto daļu dalīšana 13

Decimāldaļas 13 Decimāldaļu saskaitīšana un atņemšana 13 Decimāldaļu reizināšana 14 Decimāldaļu dalīšana 14 Skaitļu noapaļošana 15 Parastās daļas pārveidošana decimāldaļā . — 15 Periodiskās decimāldaļas . 16 Procenti 17

Dažādi aprēķinu uzdevumi 17 Daļas vērtības aprēķināšana no dotā skaitļa — . — . — 17 Visa skaitļa aprēķināšana 18 Viens skaitlis kā otra skaitļa daļa 19 Attiecība un proporcija 19

i

Racionālie skaitļi 20 Saskaitīšana un atņemšana 21 Reizināšana un dalīšana 21 Kāpināšana 22 Likumi darbībām ar pakāpēm . 23 Iekavu atvēršana un ieslēgšana iekavās 24

Saknes 24 n-tās pakāpes sakne 24 Aritmētiskā sakne 25 Aritmētisko sakņu īpašības un to izmantošana 26 Saknes normālforma 28 Sakņu saskaitīšana un atņemšana 28 Sakņu reizināšana un dalīšana 28 Kvadrātsakne 29 Piemēri darbībām ar kvadrātsaknēm 30 Kvadrātsaknes aprēķināšana 31

Monomi un polinomi 33 Monoms 33 Polinoms 33 Darbības ar polinomiem 34 Saīsinātās reizināšanas formulas 34 Polinoma sadalīšana reizinātājos 36

Algebriskas daļas 38 Algebriskas daļas pamatīpašība 38 Daļas skaitītāja un saucēja zīmju maiņa 40 Daļu saskaitīšana un atņemšana 40 Daļu reizināšana un dalīšana 41

Vienādojumi 42 Lineāri vienādojumi ar vienu nezināmo 42 Kvadrātvienādojumi 43 Nepilnie kvadrātvienādojumi 44 Pilnie kvadrātvienādojumi 45 Diskriminants : 48 Par kvadrātvienādojumiem reducējami vienādojumi 50

Vienādojumu sistēmas 52 Lineāru vienādojumu sistēmas ar diviem nezināmiem . . . 52 Lineāru vienādojumu sistēmu atrisināšanas paņēmieni .. 53 Otrās pakāpes vienādojumu sistēmas 58

2

Funkcijas 6 1

Lineāra funkcija gļ

Funkcija y=k^ 62

Funkcija y=x3 53 Funkcija y=-y/x 64

Kvadratfunkcija 54 Nevienādības 57

Skaitļu intervāli 57 Lineāras nevienādības 67 Lineāru nevienādību sistēmas 69 Otrās pakāpes nevienādības ........ 70 Nevienādību atrisināšana ar intervālu metodi 71

Progresijas 73 Aritmētiskā progresija 74 Aritmētiskās progresijas īpašības 75 Ģeometriska progresija 75 Ģeometriskās progresijas īpašības 77

Reizinājumu tabula 79 Skaitļu kvadrātu tabula 80

PRIEKŠVĀRDS

Šajā brošūrā apkopota tikai tā pamatskolā aplūkojamā (dažos gadījumos nedaudz plašāka) aritmētikas un algebras viela, kas daudzu gadu darba pieredzē ir izrādījusies pati nepieciešamākā. Brošūra nav izmantojama kā mācību grā­mata, jo tajā nav detalizētu paskaidrojumu, bet ir tikai galvenie darbību likumi, formulas un piemēru risinājumu paraugi.

Brošūras nelielais apjoms ļaus to izmantot katru dienu gan klasē, gan mājā, risinot uzdevumus.

Sevišķi šis likumu, formulu un piemēru apkopojums noderēs tiem vidējo mācību iestāžu audzēkņiem, kuriem nav saglabājušās iepriekšējo gadu mācību grāmatas.

Arī vecāki šajā brošūrā atradīs piemirstās formulas.

NATURĀLIE SKAITĻI

N E Z I N Ā M A D A R B Ī B A S L O C E K Ļ A A P R Ē Ķ I N Ā Š A N A

7

Nezināmo dalāmo x aprēķina, dalījumu reizinot ar dalītāju:

Nezināmo dalītāju x aprēķina, dalāmo dalot ar dalītāju:

D A R B Ī B U Ī P A Š Ī B A S

Saskaitīšanas un reizināšanas komutatīvā (pārvietoja-mības) īpašība:

Saskaitīšanas un reizināšanas asociatīvā (savienojamī­bas) īpašība:

Nezināmo reizinātāju x aprēķina, reizinājumu dalot ar zināmo reizinātāju:

6

Nezināmo mazinātaju x aprēķina, no mazināma atņe­mot starpību:

Nezināmo mazināmo x aprēķina, pie starpības pieskai­tot mazinātaju:

Nezināmo saskaitāmo x aprēķina, no summas atņemot zināmo saskaitāmo:

L I E L Ā K A I S K O P Ī G A I S D A L Ī T Ā J S

Lielākais kopīgais dalītājs (L. k. d.) ir lielākais skaitlis, ar kuru dalās dotie skaitļi. L. k. d. ir doto skaitļu kopīgo pirmreizinātāju reizinājums.

M A Z Ā K A I S K O P Ī G A I S D A L Ā M A I S

Mazākais kopīgais dalāmais (M. k. d.) ir mazākais skait­lis, kas dalās ar dotajiem skaitļiem. M. k. d. atrod šādi: no viena skaitļa (ieteicams no lielākā skaitļa) ņem visus pirm-reizinātājus, bet no pārējiem skaitļiem tos, kuru nav ņem­tajā skaitlī.

S U M M A S D A L Ā M Ī B A

Ja katrs saskaitāmais dalās ar kādu skaitli, tad arī summa dalās ar to:

42 + 84 + 210 = 336 dalās ar 21, jo 42, 84 un 210 dalās ar 21.

9

Reizināšanas distributīvā (sadalamības) īpašība:

S K A I T Ļ U D A L Ā M Ī B A

Pirmskaitļi ir skaitļi, kas dalās tikai ar 1 un paši ar sevi: 7; 11; 23.

Salikti skaitļi ir skaitļi, kas dalās ar 1, paši ar sevi un vēl ar citiem dalītājiem: 18; 24; 230.

8

Iekavas maina darbību secību. Vispirms jāizpilda darbī­bas iekavās, pēc tam jāizpilda pārējās darbības, kā norādīts iepriekš. Ar daļsvītru apzīmētā dalīšanas darbība izpildāma kā pēdējā.

D A R B Ī B U S E C Ī B A I Z T E I K S M E S

Ja skaitliskajā izteiksmē nav iekavu, tad vispirms jāiz­dara kāpināšana, pēc tam reizināšana un dalīšana tādā secībā, kādā tās uzrakstītas, pēc tam saskaitīšana un at­ņemšana tādā secībā, kādā tās uzrakstītas.

R E I Z I N Ā J U M A D A L Ā M Ī B A

Ja viens no reizinātājiem dalās ar kādu skaitli, tad arī reizinājums dalās ar šo skaitli.

38-719 dalās ar 2; 19; 38, jo 38 dalās ar tiem; 501 • 45 dalās ar 3; 15; 45, jo 45 dalās ar tiem.

S K A I T Ļ U D A L Ā M Ī B A S P A Z Ī M E S

Ar 2 dalās skaitļi, kuru pēdējais cipars ir 0; 2; 4; 6; 8. Ar 5 dalās skaitļi, kuru pēdējais cipars ir 5 vai 0. Ar 4 vai 25 dalās skaitļi, kuru pēdējie divi cipari

apzīmē skaitli, kurš dalās ar 4 vai 25. Ar 8 dalās skaitļi, kuru pēdējo trīs ciparu izveidotais

skaitlis dalās ar 8. Ar 3 vai 9 dalās skaitļi, kuru ciparu summa dalās ar 3

vai 9. P i e m ē r i .

17328 dalās ar 2, jo 8 dalās ar 2; 17328 dalās ar 4, jo 28 dalās ar 4; 17328 dalās ar 8, jo 328 dalās ar 8; 17328 dalās ar 3, jo 1 + 7 + 3 + 2 + 8 = 21 un 21 dalās ar 3; 36783 dalās ar 9, jo 3+6 + 7+8+3=27 un 27 dalās ar 9.

PARASTAS DALAS

D A Ļ A S P A M A T Ī P A Š Ī B A

Daļas lielums nemainās, ja tā skaitītāju un saucēju reizina vai dala ar vienu un to pašu skaitli.

10

Daļas izdevīgi saīsināt ar skaitītāja un saucēja lielāko kopīgo dalītāju.

P A R A S T O D A Ļ U S A S K A I T Ī Š A N A

U N A T Ņ E M Š A N A

Saskaitot vai atņemot daļas, kurām vienādi saucēji, saskaita vai atņem tikai skaitītājus, paturot kopīgo saucēju.

i i

Saskaitot vai atņemot daļas, kuru saucēji nav vienādi, vispirms vienādo saucējus.

Lai vienādotu saucējus, rīkojas šādi: a) atrod kopsaucēju (saucējus sadala pirmreizinātājos,

no viena saucēja ņem visus pirmreizinātājus un no pārē­jiem - iztrūkstošos reizinātājus un sareizina);

b) atrod katrai daļai papildreizinātāju (kopsaucēju izda­la ar katras daļas saucēju);

c) sareizina papildreizinātāju ar daļas skaitītāju un saucēju.

12

P A R A S T O D A Ļ U D A L Ī Š A N A

DECIMĀLDAĻAS

D E C I M Ā L D A Ļ U S A S K A I T Ī Š A N A U N A T Ņ E M Š A N A

13

P A R A S T O D A Ļ U R E I Z I N Ā Š A N A

D E C I M Ā L D A Ļ U R E I Z I N Ā Š A N A

D E C I M Ā L D A Ļ U D A L Ī Š A N A

14

Noapaļojot decimāldaļas līdz norādītajai šķirai, jāievēro pirmā atmetamā cipara lielums. Ja šis cipars ir 5 vai lielāks nekā 5, tad pēdējais paliekošais cipars jāpalielina par 1.

P A R A S T A S D A Ļ A S P Ā R V E I D O Š A N A D E C I M Ā L D A Ļ A

Galīgā decimāldaļā var pārveidot tās parastās daļas, kurām pēc saīsināšanas saucēja pirmreizinātāji ir tikai 2 un 5.

Skaitli reizinot ar 10; 100; 1000 utt, komatu pārceļ par vienu, divām utt. vietām uz labo pusi:

Skaitli dalot ar 10; 100 utt., komatu pārceļ par vienu, divām utt. vietām uz kreiso pusi:

15

S K A I T Ļ U N O A P A Ļ O Š A N A

Ja saīsinātas parastās daļas saucējā ir kaut viens no 2 un 5 atšķirīgs pirmreizinātājs, tad tādu daļu nevar pārvei­dot galīgā decimāldaļā, bet to var pārveidot periodiskā decimāldaļā.

P E R I O D I S K A S D E C I M Ā L D A Ļ A S

Pārveidojot tīru periodisku decimāldaļu parastajā daļā, saucējā jāņem tik reižu cipars 9, cik ciparu ir periodā.

16

P R O C E N T I

Par procentu (%) sauc skaitļa simto daļu.

DAŽĀDI APRĒĶINU UZDEVUMI

D A Ļ A S V Ē R T Ī B A S A P R Ē Ķ I N Ā Š A N A

N O D O T A S K A I T Ļ A

Lai aprēķinātu skaitļa daļas vērtību, doto skaitli reizina ar daļu.

17

Pārveidojot jauktu periodisku decimāldaļu parastajā daļā, skaitītājā no skaitļa, kas veidojas aiz komata, atņem skaitli, kas veidojas starp komatu un periodu, bet saucējā ir tik reižu cipars 9, cik ciparu ir periodā, un tik nuļļu, cik ciparu ir starp komatu un periodu.

V I S A S K A I T Ļ A A P R Ē Ķ I N Ā Š A N A

Lai aprēķinātu skaitli x, ja zināma tā daļa un šīs daļas vērtība, tad daļas vērtība jādala ar daļu.

18

V I E N S S K A I T L I S

K A O T R A S K A I T Ļ A D A Ļ A

Lai izteiktu vienu skaitli kā otra skaitļa daļu, pirmais skaitlis jādala ar otru skaitli.

19

Pirmajā diena apsēja 15 ha. Cik procentu no visas platī­bas apsēja, ja tā ir 300 ha?

A T T I E C Ī B A U N P R O P O R C I J A

Par skaitļa a attiecību pret skaitli b sauc skaitļu a un b dalījumu. Attiecība ir nenosaukts skaitlis.

Divu attiecību vienādību sauc par proporciju.

RACIONĀLIE SKAITĻI

Pozitīvos un negatīvos veselos skaitļus, pozitīvos un negatīvos daļskaitļus, kā arī nulli sauc par racionāliem skaitļiem.

Katram racionālam skaitlim uz koordinātu taisnes at­bilst viens noteikts punkts. Punktam atbilstošo skaitli sauc par šī punkta koordinātu.

20

S A S K A I T Ī Š A N A U N A T Ņ E M Š A N A

Saskaitot divus vienādzīmju skaitļus, saskaita to mo­duļus, pie tam summai paliek saskaitāmo zīme.

R E I Z I N Ā Š A N A U N D A L Ī Š A N A

Divu vienādzīmju skaitļu reizinājums (dalījums) ir pozitīvs skaitlis.

21

Lai saskaitītu divus dažādzīmju skaitļus, no lielākā moduļa jāatņem mazākais, pie tam summai ir tāda zīme, kāda ir saskaitāmajam ar lielāko moduli.

Skaitļa atņemšanu var aizstāt ar tam pretēja skaitļa pieskaitīšanu.

Divu dažādzīmju skaitļu reizinājums (dalījums) ir negatīvs skaitlis.

Izteiksmes ar racionāliem skaitļiem darbību secība ir tāda pati kā izteiksmēs ar naturāliem skaitļiem.

K Ā P I N Ā Š A N A

23 22

L I K U M I D A R B Ī B Ā M A R P A K Ā P Ē M

I E K A V U A T V Ē R Š A N A

U N I E S L Ē G Š A N A I E K A V A S

Ja pirms iekavām ir plusa zīme, tad iekavas var atmest, saglabājot katra iekavās ieslēgtā locekļa zīmi:

SAKNES

12-TĀS P A K Ā P E S S A K N E

Par rc-tās pakāpes sakni no skaitļa a sauc tādu skaitli, kura rc-tā pakāpe ir a.

A R I T M Ē T I S K A S A K N E

Lai novērstu nenoteiktību sakarā ar pāra pakāpju sakņu divējādām vērtībām, tad tiek ieviests aritmētiskās saknes jēdziens.

Nenegatīva skaitļa nenegatīvo sakni sauc par šī skaitļa aritmētisko sakni.

25 24

Ja pirms iekavām ir mmusa zīme, tad iekavas var atmest, mainot katra iekavās ieslēgtā locekļa zīmi:

Ieslēdzot izteiksmi iekavās ar plusa zīmi to priekša, izteiksmes locekļu zīmes nemainās:

Ieslēdzot izteiksmi iekavas ar mmusa zīmi to priekša, izteiksmes locekļu zīmes mainās uz pretējām:

A R I T M Ē T I S K O S A K Ņ U Ī P A Š Ī B A S

U N T O I Z M A N T O Š A N A

Tālāk aplūkotās sakņu īpašības vispār piemīt tikai arit­mētiskām saknēm, un tāpēc pieņemsim, ka aplūkotajos pie­mēros zemsaknes izteiksmēs burtu vērtības ir pozitīvas (ja tas nav īpaši atrunāts). Ar šādiem nosacījumiem ir pareiza identitāte

5. Sakne no saknes:

6. Saknes pakāpe:

26

1. Saknes pamatīpašība: ja saknes rādītāju un zemsak­nes skaitļa kāpinātāju reizina vai dala ar vienu un to pašu skaitli, tad saknes vērtība nemainās (saknes rādītājs natu­rāls skaitlis). .

4. Sakne no dalījuma:

3. Racionāla reizinātajā iznešana pirms saknes zīmes un ienešana zem saknes zīmes.

2. Sakne no reizinājuma:

S A K N E S N O R M Ā L F O R M A

Ja zemsaknes izteiksme ir atbrīvota no saucēja, no zemsaknes izteiksmes iznesti racionāli reizinātāji, sakne ir saīsināta, tad tādu sakni sauc par sakni normālformā.

S A K Ņ U S A S K A I T Ī Š A N A U N A T Ņ E M Š A N A

Saknes ir līdzīgas, ja pēc to pārveidošanas normāl­formā tās atšķiras tikai ar racionāliem reizinātājiem pirms saknes zīmes.

Līdzīgas saknes var saskaitīt un atņemt.

S A K Ņ U R E I Z I N Ā Š A N A U N D A L Ī Š A N A

Sareizināt un izdalīt var saknes, kurām vienādi sakņu rādītāji.

28

Ja sakņu radītāji nav vienādi, tad pirms darbības izpil­dīšanas tos vienādo, izmantojot saknes pamatīpašību:

K V A D R Ā T S A K N E

29

Par skaitļa a aritmētisko kvadrātsakni sauc pozitīvo skaitli x, kura kvadrāts vienāds ar a.

P I E M Ē R I D A R B Ī B Ā M A R K V A D R Ā T S A K N Ē M 5) Divas identitātes ar kvadrātsaknēm:

K V A D R Ā T S A K N E S A P R Ē Ķ I N Ā Š A N A

Kvadrātsakni no dota pozitīva vesela skaitļa aprēķina ar īpašu paņēmienu, kas parādīts piemēros.

Zemsaknes skaitli sadala grupas pa diviem cipariem no labās uz kreiso pusi.

No pirmās grupas (39) velk sakni un dabū rezultāta pirmo ciparu, t. i., 6. No pirmās grupas skaitļa (39) atņem rezultāta pirmā cipara kvadrātu (36).

Pie atlikuma 3 pieraksta nākošo grupu, iegūstot skaitli 369. Ar apostrofu atdala tam vienu ciparu no labās puses.

Skaitlim 369 priekšā pieraksta divkāršotu rezultāta pirmo ciparu (6-2 = 12), atstājot vietu vienam ciparam.

31 30

4) Atbrīvot daļu no iracionalitātes saucējā.

Dalot pirms apostrofa skaitli (36) ar 12, nosaka rezultāta nākošo ciparu, t. i., 3. To raksta brīvajā vietā blakus skait­lim 12, un ar 3 reizina izveidojušos skaitli 123 (123-3 = = 369). 3 ir arī rezultāta otrais cipars.

P i e z ī m e . Rezultāta visus nākošos ciparus iegūst, rīko­joties tāpat kā rīkojās, iegūstot 2. ciparu.

Ja zemsaknes skaitlis ir decimāldaļa, to sadala grupās pa 2 cipariem no komata pa labi un pa kreisi.

MONOMI UN POLINOMI

M O N O M S

Par monomu sauc algebrisku izteiksmi, kas ir skait­liska reizinātāja un burtiem apzīmētu skaitļu reizinājums.

33 32

Monoms ir normālformā, ja skaitliskais reizinātājs ir pirmais un mainīgie (burtu reizinātāji) sakārtoti alfabēta kārtībā, pie tam skaitliskie reizinātāji un vienādu bāzu pakāpes ir sareizinātas.

Par monoma pakāpi sauc visu mainīgo kāpinātāju summu.

P O L I N O M S

Par polinomu sauc monomu algebrisko summu. Katru monomu, kas ietilpst polinomā kā saskaitāmais,

sauc par polinoma locekli. Polinoma locekļus, kam burtu izteiksmes ir vienādas,

sauc par līdzīgiem locekļiem, un tos var savilkt.

Polinoms ir normālformā, ja ir savilkti polinoma līdzī­gie locekļi.

D A R B Ī B A S A R P O L I N O M I E M

S A Ī S I N Ā T A S R E I Z I N Ā Š A N A S F O R M U L A S

34 35

POLINOMA SADALĪŠANA REIZINĀTAJOS

37 36

ALGEBRISKAS DAĻAS Par algebrisku daļu sauc daļu, kuras skaitītājs un sau­

cējs ir polinomi, piemēram,

38 39

A L G E B R I S K A S D A Ļ A S P A M A T I P A Š D 3 A

Algebriskām daļām piemīt tāda pati pamatīpašība kā parastajām daļām: ja daļas skaitītāju un saucēju reizina vai dala ar vienu un to pašu izteiksmi, kuras vērtība nav nulle, tad daļas vērtība nemainās.

Daļu paplašina, ja skaitītāju un saucēju reizina ar vienu un to pašu izteiksmi, piemēram,

Daļu saīsina, ja tās skaitītāju un saucēju dala ar vienu un to pašu izteiksmi.

Daļu var saīsināt tikai ar skaitītāja^ un saucēja kopīgo reizinātāju. Ja daļas skaitītājs un saucējs ir polinomi, tad, lai noskaidrotu iespēju daļu saīsināt, tie vispirms jāsadala reizinātājos.

D A Ļ A S S K A I T Ī T A J Ā U N S A U C Ē J A

Z Ī M J U M A I Ņ A

Daļas vērtība nemainās, ja maina zīmes uz pretējām

D A Ļ U S A S K A I T Ī Š A N A U N A T Ņ E M Š A N A

Algebriskās daļas saskaita un atņem līdzīgi tam, kā saskaita un atņem parastās (aritmētiskās) daļas.

1. Daļu saucēji ir vienādi.

D A Ļ U R E I Z I N Ā Š A N A U N D A L Ī Š A N A

Algebriskās daļas reizina un dala tāpat kā parastās (aritmētiskās) daļas.

41

2. Daļu saucēji ir dažādi monomi vai polinomi.

Pirms skaitītajā un saucēja izteiksmju sareizināšanas tās sadala reizinātājos (ja tas iespējams) un daļu saīsina.

40

VIENĀDOJUMI

L I N E Ā R I V I E N Ā D O J U M I A R V I E N U N E Z I N Ā M O

Daļa ir vienāda ar nulli, ja tas skaitītājs ir vienāds ar nulli, bet saucējs nav vienāds ar nulli.

K V A D R A T V I E N A D O J U M I

42 43

N E P I L N I E K V A D R A T V I E N A D O J U M I

44

P I L N I E K V A D R A T V I E N A D O J U M I

1. Kvadratvienadojuma atrisināšana, atdalot binoma kvadrātu.

45

47 46

DISKRIMINANTS

48 49

P A R K V A D R A T V I E N A D O J U M I E M

R E D U C Ē J A M I V I E N Ā D O J U M I

Trešās pakāpes vienkāršākos vienādojumus atrisina, sadalot to kreiso pusi reizinātājos.

51 50

Ceturtās pakāpes vienādojumu, kas satur nezināmo tikai pāra pakāpēs, sauc par bikvadrātvienādojumu. Šos vienādojumus atrisina, ieviešot jaunu mainīgo.

Bikvadrātvienādojuma vispārīgais veids un atrisinā­jums ir šāds:

52 53

LINEĀRU VIENĀDOJUMU SISTĒMU ATRISINĀŠANAS PAŅĒMIENI

1. Ievietošanas paņēmiens.

LINEĀRU VIENĀDOJUMU SISTEMAS AR DIVIEM NEZINĀMIEM

VIENĀDOJUMU SISTEMAS

2. Saskaitīšanas vai atņemšanas paņēmiens.

3. Grafiskais paņēmiens.

55 54

56 57

4. Vienādojumu sistemas atrisināšana ar determinantu.

O T R A S P A K Ā P E S V I E N Ā D O J U M U S I S T E M A S

1. Vienādojumu sistēmu atrisināšana ar ievietošanas paņēmienu.

59 58

2. Vienādojumu sistēmu atrisināšana,izmantojot Vjeta teorēmu.

3. Vienādojumu sistēmu grafiska atrisināšana.

FUNKCIJAS

LINEĀRA FUNKCIJA

6i 60

62 63

KVADRATFUNKCIJA

65 64

6 6

NEVIENĀDĪBAS

SKAITĻU INTERVĀLI

LINEĀRAS NEVIENĀDĪBAS

1. Ja nevienādības abām pusēm pieskaita vienu un to pašu skaitli, tad nevienādības veids nemainās.

67

S e c i n ā j u m s . Nevienādībā jebkuru locekli var pār­nest no vienas nevienādības puses uz otru pusi ar pretēju zīmi.

69 68

LINEĀRU NEVIENĀDĪBU SISTĒMAS

Par nevienādību sistēmas atrisinājumu kopu sauc tās nezināmā vērtības, ar kurām katra no sistēmas nevienādī­bām ir pareiza skaitliska nevienādība.

Četras raksturīgas pamatsistēmas ar divām nevienā­dībām.

2. ^nevienādības abas puses reizina vai dala ar vienu un to pasu pozitīvu skaitli, tad nevienādības veids nemai-nas.

3. Ja nevienādības abas puses reizina vai dala ar vienu un to pasu negatīvu skaitli, tad nevienādības veids mainās uz pretējo.

70

N E V I E N Ā D Ī B U A T R I S I N Ā Š A N A

A R I N T E R V Ā L U M E T O D I

71

O T R A S P A K Ā P E S N E V I E N Ā D Ī B A S

PROGRESIJAS ARITMĒTISKĀ PROGRESIJA

Par aritmētisko progresiju sauc skaitļu virkni, kuras katrs loceklis, sākot ar otro, ir vienāds ar iepriekšējo lo­cekli, kam pieskaitīts viens un tas pats skaitlis.

'78 72

74

ARITMĒTISKAS PROGRESIJAS ĪPAŠĪBAS

Aritmētiskajā progresijā no galiem vienādi attālināto locekļu summa ir pastāvīgs lielums.

ĢEOMETRISKA PROGRESIJA

75

Aritmētiskajā progresija katrs loceklis, sakot ar otro, ir savu blakus esošo locekļu vidējais aritmētiskais:

76

ĢEOMETRISKAS PROGRESIJAS ĪPAŠĪBAS

Ģeometriskā progresijā katrs loceklis, sākot ar otro locekli, ir savu blakus esošo locekļu vidējais ģeometriskais:

77

REIZINĀJUMU TABULA

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 36 38 40 3 3 6 9 12 15 18 21 24 27 30 33 36 39 42 45 48 51 54 57 60 4 4 8 12 16 20 24 28 32 36 40 44 48 52 56 60 64 68 72 76 80 5 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95 100 6 6 12 18 24 30 36 42 48 54 60 66 72 78 84 90 96 102 108 114 120 7 7 14 21 28 35 42 49 56 63 70 77 84 91 98 105 112 119 126 133 140 8 8 16 24 32 40 48 56 64 72 80 88 96 104 112 120 128 136 144 152 160 9 9 18 27 36 45 54 63 72 81 90 99 108 117 126 135 144 153 162 171 180

10 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 11 11 22 33 44 55 66 77 88 99 110 121 132 143 154 165 176 187 198 209 220 12 12 24 36 48 60 72 84 96 108 120 132 144 156 168 180 192 204 216 228 240 13 13 26 39 52 65 78 91 104 117 130 143 156 169 182 195 208 221 234 247 260 14 14 28 42 56 70 84 98 112 126 140 154 168 182 196 210 224 238 252 266 280 15 15 30 45 60 75 90 105 120 135 150 165 180 195 210 225 240 255 270 285 300 16 16 32 48 64 80 96 112 128 144 160 176 192 208 224 240 256 272 288 304 320 17 17 34 51 68 85 102 119 136 153 170 187 204 221 238 255 272 289 306 323 340 18 18 36 54 72 90 108 126 144 162 180 198 216 234 252 270 288 306 324 342 360 19 19 38 57 76 95 114 133 152 171 190 209 228 247 266 285 304 323 342 361 380 20 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400

SKAITĻU KVADRĀTU TABULA

16 25600 25921 26244 26669 26896 27225 27556 27889 28224 28561 17 28900 29241 29584 29929 30276 30625 30976 31329 31684 32041 18 32400 32761 33124 33489 33856 34225 34596 34969 35344 35721 19 36100 36481 36864 37249 37636 38025 38416 38809 39204 39601 20 40000 40401 40804 41209 41616 42025 42436 42849 43264 43681

21 44100 44521 44944 45369 45796 46225 46656 47089 47524 47961

22 48400 48841 49284 49729 50176 50625 51076 51529 51984 52441 23 52900 53361 53824 54289 54756 55225 55696 56169 56644 57121 24 57600 58801 58564 59049 59536 60025 60516 61009 61504 62001 25 62500 63001 63504 64009 64516 65025 65536 66049 66564 67081

26 67600 68121 68644 69169 69696 70225 70756 71289 71824 72361

27 72900 73441 73984 74529 75076 75625 76176 76729 77284 77841 28 78400 78961 79524 80089 80656 81225 81796 82369 82944 83521 29 84100 84681 85264 85849 86436 87025 87616 88209 88304 89401 30 90000 90601 91204 91809 92416 93025 93636 94249 94864 95481

31 96100 96721 97344 97929 98596 99225 99856 — — —

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5

100 400 900

1600 2500

121 441 961

1681 2601

144 484

1024 1764 2704

169 529

1089 1849 2809

196 576

1156 1936 2916

225 625

1225 2025 3025

256 676

1296 2116 3136

289 729

1369 2209 3249

324 784

1444 2304 3364

361 841

1521 2401 3481

6 7 8 9

10

3600 4900 6400 8100

10000

3721 5041 6561 8281

10201

3844 5184 6724 8464

10404

3969 5329 6889 8649

10609

4096 5476 7056 8836

10816

4225 5625 7225 9025

11025

4356 5776 7396 9216

11236

4489 5929 7569 9409

11449

4624 6084 7744 9604

11664

4761 6241 7921 9801

11881 11 12 13 14 15

12100 14400 16900 19600 22500

12321 14641 17161 19881 22801

12544 14834 17424 20164 23104

12769 15129 17689 20449 23409

12996 15376 17956 20736 23716

13225 15625 18225 21025 24025

13456 15876 18496 21316 24336

13689 16129 18769 21609 24649

13924 16384 19044 21904 24964

14161 16641 19321 22201 25281