INDICE1.NUMEROS RACIONALES2.NUMEROS REALES3. NUMEROS DECIMALES4 INTERVALOS EN R

5. COMPLEMENTO ARITMETICO6. DIVISIBILIDAD7. NUJMEROS PRIMOS8. MCM9.MCD

1.NUMEROS RACIONALES ADICION DE FRACCIONES

ADICIN DE FRACCIONES HOMOGENEAS

Un grupo de fracciones homogneas se reconoce cuando tienen todos el mismo denominador. Al sumarse, se escribe como resultado una fraccin con el mismo denominador y cuyo numerador es la suma de todos los numeradores. Ejemplos:

SUMA DE FRACCIONES HETEROGENEAS

Mtodo Prctico: No hay mejor manera de sumar fracciones heterogneas que convirtindolas a homogneas as la suma ser ms fcilEjemplo:

Efectuar:

NOTA: Las mismas reglas se utilizan para la sustraccin y operaciones combinadas PRACSUDNIVEL IEfecte las siguientes operaciones:

SIMPLIFICAR

01.- 11.-

02.- 12.-

03.- 13.-

04.- 05.-

06.-

15. De un tonel se han retirado sucesivamente litros , y an quedan litros. Hallar la capacidad del tonel.

07.-

08.-

09.-

10.-

NIVELO II

14. Cunto le falta a la suma de para ser igual a la unidad?16. Tena derecho a percibir los 4/5 de una suma de dinero. Por ahora slo me dieron los 5/12, Cunto se me debe an?

17.- La edad de un hijo es las 3/5 partes de la edad de su padre. Las edades de los dos juntos se diferencian en 16 aos. Cul es la edad del padre y cul la del hijo?

a) 30 y 24b) 40 y 24c) 20 y 32d) 24 y 18e) NA

18.- Una ama de casa compra 3 kilos de carne, kg de arroz; kg de frutas y de verduras. Qu peso tuvo que llevar?

a) b) c) d) e) NA

19.- Qu conviene mas, recibir sucesivamente 5/6 ; 1/4 y 2/3 kg de caramelos o recibir sucesivamente 3/5 ; 1/2 y 7/8kg de caramelos? Rpta: ............

20.- Cesar mide metros y su hermano Julio mide metros. Cul de ellos es ms alto? . Rpta: .............

21.- Un obrero deba realizar un trabajo en 5 das. Despus de trabajar 3 das. Qu fraccin de trabajo le queda por hacer?

a) 1/5b) 1/7c) 1/3d) 2/5e) NA

22.- Dadas las fracciones 1/3 ; 1/4 ; 1/6 y 4/9. Halla la diferencia entre la mayor la menor, y la suma de las otras dos.

a) 7/18 y 7/11b) 7/18 y 7/13 c) 7/18 y 7/12d) 1/7 y 4/7e) NA

23.- Un grifo llena un depsito en 3 horas. Qu fraccin del depsito llena en 30min?

a) 1/3b) 1/5c) 1/6d) 1/8e) NA

24.- Si del dinero que tengo regalo a mi hermano los 3/8 y luego le doy a mi madre los 2/5 de lo que me quedaba. Cunto me queda an?

a) los 3/4 de mi dinerob) los 3/8 de mi dineroc) los 3/7 de mi dinerod) los 3/11 de mi dineroe) NA

25.- Un obrero puede hacer un trabajo en 6 das y otro ms hbil en 4 das Qu fraccin del trabajo hacen juntos en un da?

a) 4/11b) 3/7c) 4/9d) 5/12e) NA

26.- Si al numerador y denominador de la fraccin 7/13 le restamos 3. Aumenta o disminuye de valor y en cunto?

a) aumenta en 9/6b) disminuye en 9/16c) aumenta en 9/65d) disminuye en 9/65e) NA

27.- Cunto hay que sumarle a para que sea igual a la diferencia entre y ?

a) b) c) d) e) NA

FRACCIONARIOS

Son aquellos nmeros de la forma , donde A y B son nmeros enteros, y B 0.A: numerador ; B: denominador

FRACCIN IRREDUCTIBLE Resulta cuando sus dos trminos numerador y denominador son primos entre s. Para hallar un fia otra, basta dividir a ambos trminos de la fraccin original entre su MCD.Ejemplos:

Ejercicios

01.- En el cuadrado ABCD.

a) En cuantas partes se ha dividido el cuadrado ABCD?

b) Cuntas partes se han sombreado?

c) Cuantas partes hay sin sombrear?

d) Qu fraccin del cuadrado ABCD se ha sombreado?

e) Qu fraccin del cuadrado ABCD no se ha sombreado?

02.- Observa y completa: la parte sombreada de estas figuras se expresan con una fraccin.Indicar en cada caso la fraccin que se esta representando.

a) d)

b) e)

c) f)

03.- Escriba una fraccin que nos diga que parte de cada cuadrado se ha sombreado

a) b)

c) d)

04.- Esta es una prueba de rapidez mental. Reduzca estas fracciones a su ms simple expresin en el menor tiempo posible:

01.- 06.- 11.-

02.- 07.- 12.-

03.- 08.- 13.-

04.- 09.- 14.-

05.- 10.- 15.-

06.- Cada par de fracciones, reducirlas a su ms simple expresin y decir cual es mayor:

a) y b) c)

d) e) f)

07.- Ordenar de mayor a menor

08.- Ordenar de menor a mayor

09.- 4.- Escribe en los espacios libres el signo > < ; segn corresponda:

a) b) c)

d) e) f)

g) h)

10.- Calcule los nmeros que faltan:

MULTIPLICACIN DE FRACCIONES

La multiplicacin con fracciones tiene la misma finalidad que la multiplicacin con nmeros enteros. Los diversos casos que se pueden presentar se reducen a los siguientes:

CASO 1 Para multiplicar dos fracciones, se multiplican los numeradores para formar el numerador del producto, y se multiplican los denominadores para formar el denominador del producto.Ejemplo:

CASO 2 Una fraccin de otra fraccin es igual a una fraccin por otra fraccin

Ejemplo:

CASO 3 Para multiplicar varias fracciones, se multiplican los numeradores para formar el numerador del producto, y se multiplican los denominadores para formar el denominador del producto.

Ejemplo:

CASO 4 Para multiplicar una fraccin por un entero se multiplica el numerador de la fraccin por el entero y se pone el mismo denominador.

Ejemplo:

PRACSUDNIVEL II.- Efectuar:

a) d)

b) e)

c) f)

II.- Efectuar:

a) g)

b) h)

c) i)

d) j)

e)

f)

05.- Simplificar:

a) b) c)

d) e) f)

g) h)

NIVEL II

01.- Hallar de 40. Rpta: .............

02.- Hallar los. Rpta: ...........

03.- Hallar los 5/9 de los 3/17 de los 3/7 del doble de 100. Rpta: ..............

04.- De un grifo salen cada minuto 7 quinceavos de litro. Cunto saldr en cada hora?

a) 22 L b) 23 Lc) 28 Ld) 25 Le) NA

05.- Hallar la tercera parte de 36. Rpta: ..............

06.- Quisiera comprar un mueble que cueste 85 soles. Slo dispongo de los cinco stimos de 84 soles. cunto le falta?

a) S/. 20 b) S/.12c) S/.17d) S/.25e) NA

07.- Cual es el nmero que multiplicado por da como resultado ? Rpta: ...............

08.- Cunto valen metro de tela a 8 soles el metro?

a) S/.360b) S/.350c) S/.400d) S/.364e) NA

09.- Cuanto ser el precio de 12 botellas de cido, si contienen 8 litros y un tercio de cada uno, y el precio del cido es de 6 soles el litro?

a) S/.300b) S/.350c) S/.500d) S/.384e) NA

10.- Un adulto hace 17 inspiraciones por minuto introduciendo en cada inspiracin, 5 novenos de litro de aire en sus pulmones. Qu volumen de aire introduce en sus pulmones en 24 horas?

a) 14000b) 11 000c) 12000d) 13600e) NA

11.- Una pieza de tela recin comprada tiene 180 metros de largo y al lavarse pierde los dos cuarenta y cinco avos de su longitud. Hallar el importe de la venta, a razn de 19 soles el metro. a) S/.1360b) S/.1350c) S/.3268d) S/.1364e) NA

12.- Se reparte una herencia de 56000 soles entre tres hermanos. Al mas joven le ha de tocar 1 octavo, al segundo 3 octavos y al mayor el resto. Calcular lo que recibir cada uno?

Rpta: ..............

13.- Para confeccionar un vestido un sastre emplea 2 metros y tres quintos de tela. Cuntos metros de tela necesitar para confeccionar 3 docenas de vestidos?

a) 127/13b) 165/8c) d) e) NA

14.- Un depsito recibe cada cuarto de hora 13 litros y medio de agua y durante el mismo tiempo pierde 4 litros y dos tercios. Cuntos litros conservar en tres horas y media?

a) 1245/7b) c) d) e) NA

DIVISIN DE RACIONALES

Observa el dibujo:

Reflexiona sobre la pregunta:

Cuntas veces cabe en?

Se trata de dividir La respuesta es 4

Mtodo Prctico

Dividir:

La divisin de dos fracciones, se indica tambin as:

Donde:3 y 7 se llaman extremos

5 y 2 se llaman medios

CASOS ESPECIALES

Divisin de una Fraccin por un Nmero Entero

Ejemplo: Dividir:

Divisin de un Entero por una Fraccin

Ejemplo: Dividir:

Ejercicios en Clase

BLOQUE I

a) b) c)

d) e) f)

BLOQUE II

Hallar el valor de x en las siguientes igualdades:

a) b)

c) d)

BLOQUE III

a) b)

c) d)

e) f)

g)

BLOQUE IV

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

j) k) l)

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

i) k)

l) m)

a) b)

c) d)

e) f)

g) h)

i) j)

Potenciacin de Racionales

La Potenciacin de una fraccin es el resultado de multiplicar por si mismo tantas veces una fraccin como indica el exponente.

As:

Tambin:

Caso del exponente negativo

Ejemplo: =

Radicacin de Racionales

Se cumple:

Ejemplo: Ejercicios

I. Halle el equivalente:

a) b) c)

d) e) f)

g) h) i)

II. Reducir a su menor expresin:

a) b) c)

d) e) e)

III. Simplificar

a) b)

c) d) FRACCIN DECIMAL

Definicin:

Es todo nmero racional representado por una fraccin cuyo denominador es una potencia de 10.

Ejemplo:

= 0,01 se lee: un centsimo

= 0,0008 se lee: ocho diez milsimos

NmeroEnterosDcimosCentsimosMilsimosDiezmilsimosCienmilsimosMillonsimosSe lee

0,02750,0275275 diezmilsimos

4,156894,156894 enteros, 15 689 cienmilsimos

0,0000630,00006363 millonsimas

2,0362,0362 enteros 36 milsimos

Ejercicios Nivel I1.- Calcule los cocientes de estas divisionesa) 75 : 10 b) 75 : 100 c) 75 : 1 000 d) 826 : 10 e) 826 : 100 f) 826 : 1 000 g) 1740 :10 h) 1 740 :100i) 1 740: 1 000 j) 12 : 10 k) 12 : 100 l) 12 : 10002.- Efecta estas divisionesa) 69 : 1 000b) 783 : 100 000c) 174 : 1 000 000 d) 3 472 : 10 000 e) 8 076 : 10 000 f) 273 : 100 000 03.- Calcula estas divisiones a) 67 200 : 10 b) 36,300 : 1 000 c) -69 800 : 10 000 d) 34 700: 100 000 04.- Realiza las divisionesa) 0,6 : 10 b) 0,45 : 10 c) 6,67 : 10d) 345,8 : 1 000 e) 0,7 : 100 f) 0,35 : 100 g) 4,39 : 100h) 6,30 : 1000i) 0,9 : 1 000 j) 0,38: 1 000k) 3,37 : 10 000 05.- Halla el cociente decimal exacto de:a) a) 59 : 2b) 43 : 8b) c) 87 : 4d) 165 : 6c) e) 99 : 18f) 134 : 25d) g) 675 : 48h) 9,721 : 16e) i) 3,675 : 75

06.- Calcule el cociente decimal de estas divisiones aproximado hasta las milsimas:f) 7 : 12f) 24 : 11g) 48 : 7g) 263 : 15h) 381 : 9h) 44 : 6i) 568 : 23i) 1 236 : 23j) 57 091 : 19

07.- Efecta las divisiones:a) 73,5 : 3b) 48,9 : 12c) 7,408 : 8d) 56,214 : 9e) 115,7 : 13f) 247,3 : 93g) 10 342,175 : 34h) 2 435,11 : 608.- Averigua el cociente de estas divisiones:a) 34 : 0,06 b) 53 : 0,002 c) 285 : 3,6 d) 65 : 0,8 e) 18 553 : 3,37 f) 1 062 : 2,2g) 430 : 1,153 h) 8 632 : 21,09 09.- Halla el cociente de estas divisiones:a) 45,4 : 2,7 b) 9,71 : 0,0005 c) 3,86 : 2,35 d) 8,162 : 0,03e) 319,77 : 4,412 f) 1 795,03 : 1,14

1.- Expresa las siguientes fracciones como nmeros decimales e indica en cada uno si es finito o infinito.

2.- Completar con los signos > ; < ; =

a) 0,41 0,43b) 0,281 -0,281c) 0,60 0,60d) 0,5 0,40e) -0,65 -0,66f) 2,47 0,47g) 12,46 12,4h) -3,7 -4,85i) 2,356 2,358j) 0,0579 0,576k) -0,074 -0,045l) -0,002 -0,003

Nivel II

01.- Resolver:

a) 372,47 + 5,6 + 40,05b) 26,3 + 472.0 + 15,467c) 328,5 16,9d) 6,58 0,247

02.- Resolver

a) 2,83 + 16,4 + 193,42b) 124,8 + 2,54 + 0,612c) 6,24 + 6,39 + 0,693d) 3,58 0,6 e) 41,231 26,5f) 62,3 56,4 g) 0,368 0,2514 h) 4,2 0,01839i) 0,6 0,0002

03.- Resolver:

a) 6,42 0,54 + 32,8 2,6b) 10,6 21,46 + 12,5 0,451c) -56,4 6,78 (0,36 + 4,8)d) -0,47 (2,87 + 2,6) 58,1

04.- Multiplicar:

a) 15,4 x 3,4 b) 2,72 x 6,04 c) 6,7 x 0,02 d) 2,8 x 0,6e) -4,89 x 18 f) 36,54 x 2,7 g) 26,3 x 15 h) 0,76 x 28 =i) -42,6 x 13,5 05.- Multiplica en forma abreviadaj) 54,2716 x 10 k) 54,2716 x 100 l) 54,2716 x 1 000 m) 54,2716 x 10 000 n) 0,42 x 10 o) 6,42 x 100 p) 76,53 x 1 000 q) 6,4 x 10 000 r) 0,0008 x 10 s) 0,0008 x 100 t) 0,0008 x 1000u) 0,0008 x 10 000 =

06.- Resuelva las siguientes operaciones combinadas

a) 13,6 0,59 + 3,5 x 0,2 b) 25,3 (0,06 x 8,5) + 3,6c) 0,65 x 8,3 2,5 x 0,04 d) (65,2 23,85) x (19,06 21) e) (6,4 x 0,08) - (6,04 x 3,5)f) 7,2 + 3,6 x (4,36 3,8) NIVEL II

07.- Resolver los siguientes problemasa) Qu nmero es igual a 5 veces la suma de 2,852 y 0,8?b) Qu nmero es 10 unidades menor que el producto de: 18,5 y 35,86?c) Un metro de tela cuesta 32,75 soles. Cul ser el importe de 6 m? Rpta. 196,50 solesd) Un litro de leche cuesta 1,35 soles. Cul ser el costo de 3,45 litros? Rpta. 4,6575 solese) He comprado tres cuadernos a 2,75 soles cada uno y 8 lapiceros a 1,50 soles cada uno. Cunto tuve que pagar en total? Rpta. 20,25 solesf) Un obrero gana 3,40 soles por hora. Cunto ha ganado en 6 das, si trabajo 6 horas cada da?Rpta. 122,4 soles g) Cada luna de una ventana mide 30 cm de ancho por 50 cm de alto. Cul ser su precio a razn de 0,18 soles el centmetro cuadrado? Rpta. 270 solesh) Se compra 5 docenas de navajas a 1,35 soles cada navaja. Cunto se invirti?Rpta. 81 solesi) Cada rueda de una bicicleta recorre en una vuelta 12,56 m. Cul ser la longitud recorrida en 2 417 vueltas? Rpta. 30 357,52 m j) Cada da Nataly hecha en su alcancilla 2,75 soles. Qu dinero echar al cabo de 31 das? Rpta. 85,25 solesk) En una divisin sin resto el divisor es 26,86 y el cociente 31,5. Cul es el dividendo? Rpta. 846,09 l) Cul es el dividendo de una divisin exacta, si el cociente es 0,005 y el divisor 0,078 5? Rpta. 0,000 392 5b) El permetro de un cuadrado tiene 27 metros. Cunto mide su lado?Rpta. 6,75 m c) Por 15 litros de leche se han pagado 250,50 soles. Halla el precio de un litro de leche.Rpta. 16,7 soles d) Cul es el valor un cuaderno si por 7 cuadernos hemos pagado 9,45 soles?Rpta. 1,35 soles e) Doce madejas de lana pesan 906 gramos. Cul es el peso de cada madeja?Rpta. 75,5 gramosf) Por 18 claveles pag Vanessa 103,50 soles. Cul es el precio de cada clavel?Rpta. 5,75 soles g) Cuntas ampollas de 0,01 litros se pueden llenar con 0,85 litros Rpta. 85 ampollas h) Un albail gana 12.6 soles en 12 das. Cul es el jornal diario? Rpta. 10,5 soles i) Una persona ahorra en un mes 1 273,65 soles. Cul fue su ahorro en un da? 42,455 solesFraccin Generatriz

Sabemos que todo decimal, ya sea limitado o ilimitado peridico, procede de una fraccin. La fraccin irreductible de la que procede dicho decimal se llama Fraccin Generatriz del nmero decimal o simplemente Generatriz.Encontramos Tres casos:

1er. Caso:

Cuando el nmero decimal es finito o limitado

Se convierte a fraccin decimal donde el numerador es el nmero que resulta al quitar al nmero decimal la coma, y el denominador es la unidad seguida de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal. Luego simplifique hasta obtener una fraccin irreductible.

Ejemplo:

2do. Caso:

Cuando el nmero decimal es infinito peridico puro

Para hallar la fraccin generatriz de una expresin decimal peridica pura se pone por numerador el periodo y, por denominador tantos nueves como cifras tiene el periodo. La fraccin resultante se simplifica hasta obtener el equivalente irreductible. Si el decimal tuviese parte entera, se puede utilizar la notacin de nmero mixto tambin colocar en el numerador todo el nmero y restarle la parte que no se repite y como denominador tantos nueves como cifras tiene la parte peridica.

Ejemplo:

Ejemplo:

3er. Caso:

Cuando el nmero decimal es infinito peridico mixto

Para hallar la fraccin generatriz de una expresin decimal mixta se pone por numerador la parte no peridica seguida del primer periodo, menos la parte no peridica (todo el nmero menos la parte que no se repite). Y Como denominador tantos nueves como cifras tiene el periodo, seguido de tantos ceros como cifras tenga la parte no peridica, simplificando despus hasta hallar la equivalente irreductible.

Ejemplo: 0,383 =

Ejemplo: 4,23615 =

Nmeros Irracionales

Podemos definir los nmeros irracionales como nmeros de infinitas cifras decimales, no peridicas, y que, en consecuencia no pueden representarse mediante la razn de dos nmeros enteros.

Ejemplos: = 1,41421356........ 3,141559265...............

= 1,73205080.........

PRACSUD NIVEL I07.- Hallar la fraccin generatriz de:a) 0,46 B)3,6 C) 0,324 D) 2,14 E)1,62 F) 32,4 G) 16,460 H) 3,123 I) 2,0450

01.- Hallar la fraccin generatriz de 0,45 y 1,2

NIVEL II03.- Halle el resultado exacto de la operacin siguiente:

0,4 +; expresando el resultado en forma de fraccin.

04.- Halle el resultado exacto de la operacin siguiente:

; expresando el resultado en forma de fraccin.05.- Escribe en forma de nmero decimal las siguientes fracciones:

06.- Hallar el valor de E

E =

01.- El decimal es igual a la fraccin a) 23/10b) 23/9c) 7/30d) 23/90e) 23/9902.- Al dividir 36,86 por 0,2; la amplificacin correcta es:a) 3,686:2b) 3,686:2c) 368,6:2d) 368,6:20e) 368,6:200

03.- Si: a = 0,6; b = ; c = 0, y d = 0,60, la ordenacin correcta es:a) b < a < c < d b) a < c < d < b c) c < d < b < a d) d < a < b < c e) c < a < d < b04.- Cul de las siguientes expresiones es igual a 6000?I. 0,6 x 103II. 0,06 x 105 III. 6 x 103IV. 6 x 103a) I y IIb) II y IIIc) III y IVd) II y IVe) I y IV05.- Cul es la fraccin que sumada con su inversa da por resultado 2,1666?a) 3/4b) 2/3c) 1/3d) 3/5e) 5/4

06.- Se tiene un decimal peridico que esta entre dos nmeros peridicos cuya generatriz tiene como denominador 11 y como numerador a dos nmeros impares consecutivos. Hallar las diferencias entre los periodos.

a) 21b) 15b) 23c) 27d) 0,

07.- El valor exacto de la siguiente operacin es: a) 2/3b) 1/15c) 1/5d) 1/45e) 3/5

08.- Calcular:

a) b) c) d) e)

09.- Simplificar:

a) 0,23b) c) d) -0,25e) -0,75

10.- Cunto le falta a 0,para ser igual a los 2/3 de los 5/7 de 6/11 de 7?a) 8/9b) 11/5c) 8/3d) 16/11e) 9/11

11.- Que parte de es ?a) 1/5b) 7/6c) 7/8d) 15/16e) 6/7

12.- Hallar el valor de E a) 0,4b) 0,5c) 0,6d) 0,36e) ms de 0,5

POTENCIACIN

Para elevar un nmero decimal a una potencia, se eleva como si fuese entero y de la derecha del resultado se separan con una coma tantas cifras como exprese el producto del exponente por el nmero de cifras decimales que tenga la base.

Ejemplo: Basta elevar el cuadrado de 3 = 9 y separar seis cifras decimales (3 x 2 = 6)

Ejemplo:

Ejemplo:

PRACSUDNIVEL I

01.- Efectuar las siguientes operaciones:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

RADICACINRADICACIN DE NMEROS DECIMALES

Sabemos que la raz n-sima de x, denotada por

n: ndice radicalx: cantidad subradical o radicandor: es la raz

Radical es la raz indicada de un nmero y en general de una expresin algebraica como porejemplo:

Nota:

= ; Valor aritmtico: 2 Valor algebraico: +2 y 2 Clasificacin De Los Radicales

1.- Considerando la naturaleza de los radicales pueden ser:a) Racionales: b) Irracionales: c) Reales: d) Imaginarios:

2.- Con respecto a su especie los radicales pueden ser:

a) Homogneos.- Son aquellos que tienen el mismo ndice radical. Entonces decimos que son homogneosLos siguientes grupos son radicales homogneos:

b) Heterogneos.- Son dos o ms radicales con distintos ndices. El siguiente grupo de radicales son heterogneos.

c) Semejantes.- Son dos o ms radicales que tienen iguales ndices y la misma parte subradical, solo se diferencian por los coeficientes.El siguiente grupo de radicales son radicales semejantes.

Extraccin de factores fuera del Radical

= A . Ejemplo:

= = Introduccin de factores dentro del Radical

Ejemplo:

= Reduccin de radicales al comn ndice

Llamada homogenizacin de radicales. Para esto procedemos as: Hallamos el M.C.M. de los ndices de los radicales dados el cual ser el ndice comn. Damos el ndice comn con el mnimo comn mltiplo hallado.

Ejemplo: Homogenizar:

El MCM de 3, 6 y 4 es 12.Entonces, aplicando teora de exponentes:

As todos tiene el mismo ndice: PRACSUDNIVEL I

:

2.- Efectuar las siguientes operacionesI.- Introducir dentro del ndice radical los coeficientes

II.- Extraer fuera del ndice radical los coeficientes.

III.- Expresar en su forma ms simple

IV. Reducir al mnimo comn ndice los radicales dados

V. Reducir las expresiones

VII.- Reducir:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n)

VIII.- Reducir:

A)B) C) D)E) F))H)I) J)K)L) M)

N)

O)

P)

Q)NIVEL II

01.- Efectuar:

a) b) 3c) 3d) 3e) 1/

02.- Efectuar: E = a) 2b) 1c) d) 0e) NA

03.- La expresin decimal equivalente a: E = a) 7,52b) 8,65c) 8,77 d) 8,97e) NA

04.- Reducir: E =

a) 4b) c) 1d) 1/2e) 1/4

05.- Resolver:

a) 8b) 4c) 6d) 9e) 1206.- Resolver:

a) 23/4b) -23/4c) -23/2

d) -25/2e) -27/4

07.- Calcula el valor numrico de:E = Para: a = 0,2 ; b = 1,333. ; c = -0,0999. d = 0,666. a) 3/2b) 2/3c) 5/3d) 4/3e) 5/6

08.- Reducir: E =

a) 2/5b) 2/5c) /6d) 2/3e) 2/3

09.- Reducir: E = a) 12/7b) 6/7c) 12d) 6e) 7

10.- Efectuar:

a) 6b) c) 72d) 36e) 12

11.- Efectuar: E = a) 2b) 1c) 1/4d) 4e) 1/2

12.- Al simplificar se obtiene:

a) 2b) 6c) 15d) -15E) 9RacionalizacinSi una fraccin tiene como denominador a un nmero irracional, puede ser transformada en otra equivalente con denominador racional. A este proceso de transformacin se denomina racionalizacin del denominador.En general:

Ejemplo:

PRACSUDNIVEL IVI. Racionalizar

NUMEROS REALESEl conjunto de los nmeros reales es aquel que engloba a todos los dems conjuntos de nmeros, veamos:

Propiedades:

El conjunto de los nmeros reales es infinito. Esto significa que no tiene primero ni ltimo elemento. El conjunto de los nmeros reales es denso. Esto significa que entre dos nmeros reales siempre existe otro nmero real. Al conjunto de los nmeros reales se les representa grficamente en una recta denominada recta real, en la cual estn ordenados de izquierda a derecha, de menor a mayor. Por eso se dice que el conjunto R es ordenado.

A todo punto de la recta real le corresponde un nico punto real y a cada nmero real le corresponde un solo punto en la recta. Esta caracterstica nos dice que el conjunto R es completo.LOS NMEROS DECIMALESUn nmero decimal es el desarrollo de una fraccin irreductible.Clasificacin:A) Decimal exacto:

Ejemplo: = 0,75B) Decimal Peridico Puro:

Ejemplo: = C) Decimal Peridico Mixto:

Ejemplo: = 0,54121212. = Fraccin GeneratrizEs la que determina la fraccin que dio origen al decimal.a) Expresin Decimal Exacta a,bc = b)

Expresin Decimal Peridica Pura = c) Expresin Decimal Peridica Mixta

=

Aproximacin y Redondeo Veamos primero el siguiente cuadro:NmeroEnterosDcimosCentsimosMilsimosDiezmilsimosCienmilsimosMillonsimosSe lee

0,02750,0275275 diezmilsimos

4,156894,156894 enteros, 15 689 cienmilsimos

0,0000630,00006363 millonsimas

2,0362,0362 enteros 36 milsimos

Ejemplo:

Redondear: 4,638 522 2 , hasta las milsimasEntonces solo debemos contar con tres decimales:Como la cifra que le sigue a las milsimas (5), es igual a 5, entonces la cifra que ocupa el orden (milsima) aumenta una unidad, veamos:4,638 522 2 = 4,639PRACSUDNIVEL I

03.- Completa la siguiente tabla

Tarea Domiciliaria

01.- Comparar los siguientes nmeros reales y escribe en el recuadro uno de los smbolos: > ; < =

OPERACIONES CON NMEROS REALES

1.- Adicin de Nmeros Reales

Como el conjunto R (Nmeros Reales) est formado por la reunin de racionales e irracionales en la prctica se acostumbra efectuar operaciones fundamentales con nmeros reales, utilizando aproximaciones decimales correspondientes.

Ejemplo: 6,3 + = 6,3 + 1,4142135. aprox. al dcimo = 6,3 + 1,4 = 7,7 (aproximado al dcimo) Propiedades de la Adicin

01.- Propiedad de Clausura:

Ejemplo:

02.- Propiedad Conmutativa: .

Ejemplo:

03.- Propiedad Asociativa:

Ejemplo:

04.- Propiedad del Elemento Neutro

Ejemplo:

05.- Propiedad del inverso aditivo u opuesto: .

Ejemplo:

2.- Sustraccin de Nmeros Reales

Dados los nmeros reales a y b se llama diferencia de a y b , y se denota por a-b , al nmero real a+(-b)

Es decir: a b = a + (-b)

PRACSUDNIVEL

I.- Hallar el valor de x

a) x 4,7 = 8,3b) x + 5,9 = 7c) x + 6,52 = 8,4d) 5,21 x = 3,48e) x + 9,2 = 16,7f) 3,76 + x = 7,4g) 8,12 + x = 10h)

x - = i) x 3 = j) x + 6 = II.- Hallar por aproximacin redondeando hasta las centsimas, el resultado de las siguientes operaciones combinadas.

III.- Hallar por aproximacin redondeando hasta las milsimas, el resultado de las siguientes operaciones combinadas.

a)

(+) ( + 1,8)b)

+ 7,8314 3,5656....c)

+ d) 3,72 5,8565 2,483 + e)

4,555 + ()f)

( )g)

( 0,72 ) ( 3,8729 + )h) 4,1231. 3,31662 + (1)

NIVEL IIIII.- Resolver las ecuaciones:a) x 1,5 = 2,6

b) - - 2x = 5c) x + 1,2 = 6,3d) x + 1,2 - 3,4 = 2,8

3.- Multiplicacin de Nmeros Reales

Se escribe: a x b = c a.b = c ab = c

Las reglas de los signos son las mismas que en Z y Q.

Ejemplo: Halla el resultado de: aproximado al dcimo

= 0,66666. ; aproximado al dcimo: 0,67 = 3,242592 ; aproximando al dcimo: 3,14

Luego: = 0,67 x 3,14 = 2,10

Propiedades de la Multiplicacin

01.- Propiedad de Clausura: ..

Ejemplo:

02.- Propiedad Asociativa: .

Ejemplo:

03.- Propiedad Conmutativa:

Ejemplo:

04.- Propiedad del Elemento Neutro

Ejemplo:

05.- Propiedad del inverso multiplicativo: . .

Ejemplo:

06.- Propiedad Distributiva: ..

Ejemplos:

4.- Divisin de Nmeros Reales

Tal como sucede en los nmeros racionales Q, el cociente de dos nmeros reales es un nmero real, siempre que el divisor sea diferente de cero.

Las reglas de los signos son las mismas que en Z y Q.

Clculo del cociente de Dos Nmeros Reales

Ejemplo: Hallar el cociente de: Solucin:

Rpta.

Ejemplo: Hallar el resultado de:

Rpta.Propiedad Distributiva:

Ejemplo:

Operaciones Combinadas

Si las operaciones con Nmeros Reales se presentan en formas combinadas, el resultado de ellas se obtiene respetando las Reglas siguientes:1. Las operaciones dentro de los signos de agrupacin parntesis, corchetes, llaves, se realizan primero.2. Las operaciones se efectan en el siguiente orden:1ro. La divisin ; 2do. La multiplicacin ; 3ero. La adicin y sustraccin

Ejemplo:

Hallar:

Solucin:

PRACSUDNIVEL I

I.- Aproximar los siguientes decimales al centsimo y al milsimo

a) 7,56543b) 2,8765412c) 6,54132d) 7,4522222......e) 0,6555...f) 10,26542g) 0,012333...h) 0,56555.....

II.- Efectuar las siguientes operaciones con aproximacin al centsimo:

a) + b) 5,832 + - 0,49c)

- + d)

- e)

f) 6,4262 2,4333.....g)

h)

i) 16,2444... 5,4555.....j)

k)

l)

( + ) ( + 1,8)m) + 7,8314 3,5656....n)

o)

3,72 5,8565 + p)

4,555 + ()q)

( )r) (- 0,72 ) ( 3,8729 +)s) 4,1231. 3,31662 + (1)t)

I.- Hallar el resultado de:

a) 8,5321 x aproximado al centsimo

b) x 3,2 aproximado al dcimo

c) () x aproximado al milsimo

c) (5)x(4,6) aproximado al centsimod) 4,2168 x 7,18456 aproximado al centsimo

e) aproximado al dcimof) 5,321 2,145 aproximado al centsimo

g) aproximado al dcimo

h) () ( 0,36 ) aproximado al milsimo

i) aproximado al centsimoII.- Efectuar las siguientes operaciones con aproximacin al centsimo:

a)

b) (4,8362 + 3,7) + 2,18

c) 7,8 (2,24 )b)

16 [ (-2,3) ] }

c)

d)

(5 - ) + [ 4 (3 - )]

g)

II.- Resolver

01.- Hallar el valor de E:

E =

a) 0,666.B) 0,444c) 0,555d) 0,888e) 0,777

02.- Hallar a+b , sabiendo que a y b N

a) 9b) 11c) 7d) 6e) 803.- Cuntas cifras tiene en la parte no peridica y en el periodo el siguiente cociente?

a) 3 y 2 b) 2 y 3c) 4 y 1d) 2 y 2e) 1 y 4

04.- Hallar a, si:

a) 1b) 2c) 5d) 4e) 3

05.- Hallar el valor de E , si: E =

a) 1/40b) -1/80c) 1/30d) -1/40e) 1/80

06.- Reducir: E =

a) 4b) 1,3 c) 3d) 12,e) 11,

07.- Efectuar: P =

a) 1b) 1, c) 0,99 d) 1, e) 1,

08.- Efectuar:

a) 1,15 b) 1,184c) 1,074 d) 0,985e) 0,843

COMPLEMENTO ARITMETICO3. COMPLEMENTO ARITMETICO: Se llama as a lo que le falta a un nmero para ser igual a la unidad inmediata superior.

CA(2030) = 10 000 2030 = 7970 CA(1246) = 10 000 1246 = 8754

4. REGLA PRCTICA PARA DETERMINAR EL COMPLEMENTO ARITMETICO: Se procede de la manera siguiente: se resta de nueve cada una de las cifras del nmero de izquierda a derecha y la ltima cifra significativa se resta de diez si el nmero despus de la ltima cifra tiene ceros, entonces el complemento aritmtico tendr la misma cantidad de ceros.

En general:

PRCSUDNIVEL I

1. Si el complemento aritmtico de un nmero de tres cifras es 384; hallar la suma de la cifras del nmero

2. Si se cumple lo siguiente: Hallar: a + b + c + d

3. Hallar el valor de E

E = CA (14) + CA (346) + CA (3462)

4. Si se cumple que:

5. Si:

02.- Si: = 194 ; hallar a + b + ca) 12b) 14c) 13d) 10e) 906.- Hallar R si: R = CA(14) + CA(326) + CA(6321)

a) 1826b) 2326c) 4439d) 1758e) 3325

07.- Si: hallar CA().a) 31b) 46c) 37d) 29e) 33

08.- Si el complemento aritmtico de un nmero de cuatro cifras es 486; hallar la suma de cifras del nmero.a) 19b) 18c) 17d) 12e) 10

09.- Si: ; hallar: a) 176b) 126c) 186d) 175e) 123

10.- Si: el ; hallar el a) 436b)136c) 26d) 474e) 213

DIVISIBILIDADCUANDO UN NUMERO ES DIVISIBLE POR OTRO?Un numero A es divisible entre otro nmero B, cuando A contiene a B exactamente un nmero entero de veces.Es decir: Si dividimos A entre B, el COCIENTE debe ser: EXACTO NUMERO ENTERO EL RESIDUO debe ser cero.Criterios de DivisibilidadPara saber en forma inmediata si un nmero es divisible entre otro, en algunos casos no es necesario efectuar la divisin correspondiente., porque bastar conocer algunas caractersticas de tal situacin de divisibilidad; a estas caractersticas las conoceremos como CRITERIOS DE DIVISBILIDAD que son los siguientes: DIVISIBILIDAD POR 2

Un nmero ser divisible por 2 si termina en cero o un nmero par.Ejemplo: 16 ; 30 ; 46 ; etc.

DIVISIBILIDAD POR 4

Un nmero ser divisible por 4 si termina en dos ceros las dos ltimas cifras es un nmero divisible por 4.Ejemplo: 120 ............... 20 es mltiplo de 4.498 700 ........ termina en dos ceros34 344 ........... 44 es mltiplo de 4 1 208 ............. 08 es mltiplo de 4 23 416 ........... 16 es mltiplo de 4

DIVISIBILIDAD POR 8Un nmero ser divisible por 8 si termina en tres ceros las tres ltimas cifras es un nmero divisible por 8.Ejemplo: 5008 ............... 008 es mltiplo de 8.498 016 ........ 016 es mltiplo de 8343 080 ........... 080 es mltiplo de 8 124 000 ............ termina en 3 ceros 234 024 ............ 024 es mltiplo de 8 DIVISIBILIDAD POR 5

Un nmero ser divisible por 5 si termina en cinco cero. Ejemplo: 135 , 40 , 635 , 120 , 235 DIVISIBILIDAD POR 25Un nmero ser divisible por 25 si las dos ltimas cifras son ceros o forman un nmero divisible por 5.Ejemplo:8 350 , 400 , 6 355 , 1 225 , 2300 DIVISIBILIDAD POR 3

Un nmero es divisible por 3 , si la SUMA DE SUS CIFRAS da un nmero mltiplo de 3.Ejemplos:a) 178 407Sumando las cifras: 1+7+8+4+0+7 = 27 que es mltiplo de 3.Luego 178 407 es divisible por 3.b) 1101 111Sumando las cifras: 1+1+0+1+1+1+1 = 6 que es mltiplo de 3.

DIVISIBILIDAD POR 9

Un nmero es divisible por 9 , si la SUMA DE SUS CIFRAS da un nmero mltiplo de 9.Ejemplos:a) 57 231 Sumando cifras: 5+7+2+3+1 = 18 que es mltiplo de 9.b) 707 454 Sumando cifras: 7+0+7+4+5+4=27 que es mltiplo de 9 DIVISIBILIDAD POR 6

Un nmero es divisible por 6, lo es tambin por 2 y por 3 simultneamente.Ejemplos:a) 1 068 Es divisible por 2? .....S, porque termina en cifra par. Es divisible por 3? ....Veamos: 1+0+6+8 = 15 que es mltiplo de 3. Luego el nmero 1 068 es divisible por 6.b) 53 670 Es divisible por 2? .....S, porque termina en cero. Es divisible por 3? ....Veamos: 5+3+6+7+0 = 21 que es mltiplo de 3. Luego el nmero 53 670 es divisible por 6. DIVISIBILIDAD POR 7Un nmero ser divisible por 7 si cumple con la siguiente regla: Multiplicamos cada una de las cifras del nmero dado de derecha a izquierda por los siguientes factores:1 ; 3 ; 2 ; -1 ; -3 ; -2 ; 1 ; 3 ; 2 ; -1 ; -3 ; -2 ; 1 ; 3 ; 2 ; .... etc Sumamos los nmeros enteros obtenidos. Si el resultado final es CERO o mltiplo de 7 el nmero dado ser entonces divisible por 7.Ejemplo: Es 626 934 divisible por 7?Veamos:

Sumando los enteros obtenidos: 12 6 6 + 18 + 9 + 4 = 7Luego 626 934 es divisible por 7. DIVISIBILIDAD POR 11Un nmero ser divisible por 11 si la suma de sus cifras de orden impar (empezando por la derecha) menos la suma de las cifras de orden par, resulta ser CERO mltiplo de 11.Ejemplo: Es 9873 226 divisible por 11? Sumamos primero las cifras de orden impar a partir de la cifra de las unidades: 6+2+7+9 = 24 .................... (1) Sumemos luego las cifras de orden par a partir de la cifra de las decenas: 2+3+8 = 13 .........................(2) Restemos ahora (1) (2) : 24 13 = 11 Luego 9 873 226 es mltiplo de 11.

PRACSUDNIVEL I

I. Verificar si los siguientes nmeros son divisibles por 4:76 920345 67287 23434 98825 6905642 30023 450II. Verificar si los siguientes nmeros son mltiplos de 25.23 56011 600546 56576 57523 62589 00087 53090 890III. Verificar si los siguientes nmeros son mltiplos de 3.336124 620345238123987300IV. Verificar si los siguientes nmeros son mltiplos de 9.639342100 00823 00445 06323 98786 500V. Verificar si los nmeros son mltiplos de 62 7363 5222 3221304 1343 50457 4085 736VI. Verificar si los siguientes nmeros son mltiplos de 7.40 15246 10969 118671 118782 098235 876675 584VII. Verificar si los siguientes nmeros son mltiplos de 1110 53896 19524 8727591 084 01723 595 86 295676 522

Marcar con una aspa si consideras que el nmero A de la columna izquierda es divisible por alguno de los nmeros de la fila horizontal superior. Numero A234567891011PAR

3 366xxxxx

72 110

4 496

392

2 585

6 180

2 528

5 080

2 235

48 265

43 767

8 046

775

69 575

5 712

Si el nmero 415 350 es divisible por 3, entonces la divisin entre 3 es exacta, luego decimos que 415 350 tiene tercia; si el mismo nmero es divisible por 5, entonces tiene quinta y as sucesivamente. Segn esto llenar el siguiente cuadro, marcando con un SI un NO segn tenga o no TERCIA, CUARTA, QUINTA, etc. el nmero dado en la izquierda.

MITADTERCIACUARTAQUINTASEXTANOVENA

58 950SISINOSISISI

418

2 544

72 950

646 516

318 714

52 618

715 625

71 416

808 708

111 111

NIVEL II

01.- Cuntos valores toma a, para que se cumpla la igualdad? a) 1b) 2c) 3d) 4 e) 5

02.- Hallar el valor de a, si: a) 4b) 5c) 6d) 7e) 8

03.- Si: ; hallar el valor de xa) 1 b) 2c) 3d) 4e) 6

04.- Si: ; hallar la suma de los valores de xa) 16b) 18c) 20d) 22e) 38

05.- Si: ; hallar la suma de los valores de la cifra b.a) 15b) 12c) 16d) 18e) NA

06.- Si se cumple que: ; hallar a.a) 6b) 3c) 2d) 4e) 1

07.- Si: ; Hallar xa) 4b) 3c) 2d) 8e) 708.- Determinar el residuo de dividir: 12 134 134 entre 7.a) 3b) 5c) 4d) 2e) 1

09.- Si: . Halle el valor de: a+ba) 6b) 8c) 8d) 7e) 10

10.- Cuntos valores asume a si el numeral es mltiplo de 3?a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

11.- Hallar el valor de a, si: a) 5b) 6c) 7d) 4e) 812.- Del 1 al 500. Cuntos nmeros son mltiplos de 3 5?a) 133b) 266c) 233d) 100e) 283

13.- Si: Calcule la suma de a, b y c que sea mxima.a) 23b) 24c) 25d) 26e) 27

14.- Calcular cunto debe valer "a" en: ; para que el numeral sea divisible por 9.a) 5b) 6c) 9d) 4e) 0

15.- Calcular cunto debe valer "a" en: para que el numeral sea divisible por 5.a) 0 y 5b) 0c) 5d) 2e) 1

16.- Cunto debe valer "x" para que el numeral: sea divisible por 4?a) 2 y 4b) 0c) 4d) 2 y 6e) 6

17.- Hallar "a", si: a) 1b) 2c) 3d) 5e) 618.- Hallar el valor de x, en cada caso:

I. II. III.

IV. V.

01.- Hallar la suma de valores de "a", si el nmero es divisible por 4.a) 2b) 4c) 6d) 8e) 10

02.- Calcular el valor de "m", si el nmero es divisible por 8.a) 5b) 2c) 4d) 0 e) 6

03.- Hallar "a" para que el nmero sea mltiplo de 9.a) 7b) 6c) 5d) 4e) 3

04.- Calcular la suma de valores de "m", si: es divisible por 3.a) 7b) 9c) 10d) 5e) 15

05.- Hallar "m", si: es divisible por 11.a) 1b) 9c) 10d) 5e) 15

06.- Si: es divisible por 7, hallar la suma de valores de "a".a) 8b) 9c) 10d) 15e) 11

07.- Si: , es mltiplo de 25, hallar la suma de valores que puede tomar "b". a) 9b) 6c) 12d) 10e) 8

08.- Hallar a.b.c ; si: ya) 135b) 180c) 210d) 240e) 225

09.- Hallar a.b, si: es divisible por 72.a) 6b) 10c) 14d) 15e) 12

10.- Hallar a+b, si: es mltiplo de 56.a) 6b) 10c) 14d) 15e) 12

11.- Calcular m2+p2 , si: es divisible por 72.

a) 17b) 26c) 37d) 29e) 4012.- Cuntas cifras 5 como mnimo es necesario agregar a 7327 para que el nuevo nmero formados sea divisible por 9?a) 3b) 4c) 5d) 6e) 713.- Cuntas cifras como mnimo debe tener el nmero 777...7; para que sea mltiplo de 9?a) 7b) 4c) 5d) 6e) 914.- Si el nmero esta formado por 87 cifras 4, cul ser su residuo al dividirse entre 7?a) 3b) 5c) 6d) 1e) 215.- Hallar a.b, si se cumple:

y a) 3b) 4c) 12d) 6e) 7

NIVEL III

01.- Hallar el residuo de dividir: entre 11a) 4b) 5c) 12d) 6e) 7

02.- Hallar a+b+c, si: es divisible de 1125.a) 16b) 8c) 10d) 13e) 14

03.- Hallar a+b+c, si : es divisible por 875.a) 13b) 15c) 10d) 12e) 9

04.- Calcular el residuo de dividir entre 7, si: es mltiplo de 1125.a) 3b) 4c) 5d) 6e) 005.- Hallar el mayor valor de a+b, que cumpla:

= a) 18b) 15c) 17d) 12e) 1606.- Si "x" representa una cifra, hallar el valor o valores de "x" en cada caso:

i) 4x + 2 =

ii) 2x + 1 =

iii) 3x + 7 = 07.- Calcular x, si: 4x + 5x +....+ 9x = 7a) 1b) 2c) 3d) 4e) 3

08.- Hallar "m", si: = a) 1b) 2c) 3d) 4e) 5

09.- Hallar "x", si se cumple: a) 1b) 2c) 3d) 4e) 610.- La suma de un nmero de 4 cifras con el que resulta de invertir el orden de sus cifras es siempre mltiplo de:a) 2b) 3c) 7d) 9e) 1111.- Cuntos nmeros de 4 cifras son mltiplos de 7 y terminan en 1?a) 120b) 126c) 128d) 129e) 140

12.- Hallar "a", si: = a) 2b) 3e) 4d) 6e) 8

13.- Hallar (a - b), si: a) 2b) 3c) 4d) 5e) 614.- En un saln de 50 alumnos, se observa que la stima parte de las mujeres son rubias y la onceava parte de los hombres usan lentes. Cuntos hombres no usan lentes?a) 22b) 28c) 2d) 20e) 4

15.- Hallar el valor de a, si : a) 4b) 5c) 6d) 7e) 8

16.- Sea: N = + 3 , hallar el residuo de:

37N = + r

a) 1b) 2c) 3d) 4e) 0

17.- Cuntos valores toma a para que se cumpla la igualdad: ?a) 2b) 1c) 3d) 4e) 518.- La diferencia entre un nmero de 2 cifras y otro obtenido escribiendo el anterior con las cifras en orden invertido siempre es mltiplo de :a) 4b) 5c) 6d) 7e) 8

19.- Hallar a , si: a) 4b) 6d) 8d) 9e) 7

20.- Hallar a+b ; si: a) 4b) 5c) 6d) 7e) 8NMEROS PRIMOSSe llama nmero primo a todo nmero entero positivo mayor que la unidad que es nicamente divisible por la unidad y por si mismo. NUMEROS PESILos nmeros que tan slo tienen la unidad como divisor comn, se dice que son primos entre s. Ejemplo: 4 y el 15 ; 9 y el 20Tabla de los nmeros primos Menores que 100Hallar los nmeros primos menores que 100.12345678910

11121314151617181920

21222324252627282930

31323334353637383940

41424344454647484950

51525354555657585960

61626364656667686970

71727374757677787980

81828384858687888990

919293949596979899100

Ejemplo 1: El nmero 23 es nmero primo? Resolucin: El nmero 23 lo dividimos sucesivamente por los nmeros primos: 2,3,5,7,11,.... etc.

As:

En esta divisin se ha conseguido que el cociente sea menor que el divisor y el residuo diferente de cero; por lo tanto 23 es un nmero primo.Ejemplo 2: El nmero 127 es nmero primo? Resolucin: El nmero 127 lo dividimos sucesivamente por los nmeros primos: 2,3,5,7,11,.... etc.

En la ltima divisin se ha conseguido que el divisor y el cociente son iguales y el residuo es diferente de cero, por lo tanto 127 es un nmero primo.Divisin De Un Nmero En Sus Factores PrimosCuando un nmero no es primo, puede descomponerse en una serie de factores primos.Ejemplo:408 = 23 x 3 x 17Ejemplo:252 = 22 x 32 x 7Nmero Total De Divisores De Un Nmero Para hallar el total de divisores de un nmero, se aumenta en 1 a los exponentes de sus factores primos y se halla el producto de los exponentes as modificado.FrmulaSi un nmero N se descompone en sus factores primos, quedara representada as:N = ax.by.cz donde a ; b y c son los factores primos , entonces el nmero de divisores esta dado por la siguiente frmula:Nmero de divisores = (x+1)(y+1)(z+1)

PRACSUDNIVEL I1.- Marca con una aspa (x) si el nmero dado es primo o compuesto.NmeroPrimoCompuesto

57

91

001

153

509

413

519

123

179

599

2.- Qu grupo de nmeros son PESI?a) 12; 15; 16b) 21; 70; 105c) 7; 13; 39d) 20; 27; 49e) 1001; 13; 1701.- Seale la proposicin verdadera: I. 377 es un nmero primo.II. 281 es un nmero primo. III. 240 tiene 20 divisores.

a) Slo IIb) l y llc) I y IId) Slo IIIe) II y III3.- Descomponer cannicamente los siguientes nmeros:a) 120b) 5 12c) 3 600d) 1620e) 72004.- Indicar cul de los siguientes nmeros tiene mayor cantidad de divisores:I. 240II. 72 III. 12805.- Indicar cul de los siguientes nmeros tiene la menor cantidad de divisores.I. 28II. 36 III. 4806.- Cuntos divisores tiene el producto de 24 por 36?07.- De los siguientes nmeros: 12; 18; 28; 33; 40 y 9, calcular la suma de todos aquellos nmeros que tengan 6 divisores.08.- Cuntos divisores tiene el nmero 248?09.- Cuntos divisores tiene el nmero 3 600?10.- Indicar verdadero (V) o falso (F) segn corresponda:I. 24 tiene 8 divisores..................................... ( )II. 137 es un nmero primo absoluto.. ( )III. 42 tiene 4 divisores compuestos.................. ( ) 02.- La cantidad de divisores del nmero 7 920 es:a) 30b) 40c) 54d) 60e) 9003.- Determine el nmero de divisores compuestos que tiene 68000. a) 48b) 44c) 45d) 36e) 3706.- Cuntos divisores impares tiene 720 a) 4b) 6c) 8d) 15e) 30

10.- Entre los nmeros 180, 756 y 900. Cul es el que tiene tantos divisores como 360?a) 900b) 180c) 756d) Todose) Ninguno

NIVEL II

04.- Si: 10x.21 ; tiene 100 divisores, el valor de "x" es:a) 3b) 4c) 5d) 6e) 705.- Si: 15x.33.29 ; tiene 700 divisores, dara) 4b) 5c) 6d) 7e) 807.- Cul es el nmero de divisores, del nmero de divisores de 4 500?a) 9b) 12c) 18d) 10e) 608.- El nmero de divisores divisibles entre 20 que tiene 11 880 es:a) 10b) 12c) 16d) 18e) 2009.- Cul es el menor nmero de trminos que debe tener la siguiente serie para que su suma tenga 6 divisores?S = 91 + 91 + 91 + ...........a) 5b) 6c) 7d) 8e) 1311.- Si: 422n tiene 81 divisores. Hallar n. a) 20b) 10c) 15d) 25e) 3012.- Hallar el valor de 2n, sabiendo que: 15n.75 tiene (7n + 30) divisores.a) 10b) 12c) 15d) 25e) 3013.- Calcular la cantidad de divisores de: 142.153.a) 300b) 144c) 408d) 60e) 12014.- Cuntos divisores compuestos tiene: 102.123.154?a) 700b) 600c) 500d) 400e) 30015.- Hallar el valor de n, si: 45.60n ; tiene 100 divisores.a) 1b) 2c) 3d) 4e) 501.- Indicar la suma de la cantidad de divisores de 24 y de 60.a) 16b) 18c) 20d) 24e) 1202.- Dado el nmero: N = 22 x 33 x 51 Cuntos divisores tiene?.a) 20b) 22c) 24d) 36e) 3013. Sea:A = Cantidad de divisores de 36 B = Cantidad de divisores de 30 Calcular la cantidad de divisores de A + B.a) 3b) 2c) 4d) 5e) 615.- Qu nmero tiene mayor cantidad de divisores?.A = 22 x 33 x 51 B = 24 x 32 x 72C = 2400a) Ab) Bc) Cd) A y Be) A y C 06.- Cuntos divisores ms tiene el nmero 360 que el nmero 100?.a) 15b) 10c) 12d) 13e) NA07.- Sea: A = Cantidad de divisores de 20 ; B = Cantidad de divisores de 42 . Calcular A + Ba) 18b) 1612d) 14e) 1008.- Calcular la suma de divisores compuestos de 36.a) 80b) 85c) 81d) 79e) 8409.- Indicar la suma de los nmeros compuestos:I. 91II. 29III. 37 IV. 63V. 89a) 63b) 91c) 154d) 164e) 19210.- La edad de Dbora es la suma de los cuatro menores nmeros primos, menos 4. Cul es la edad de Dbora?.a) 11b) 12c) 13d) 14e) 1511.- Indicar cuntos de los siguientes nmeros son nmeros simples:24; 36 ; 17 ; 12 ; 1 ; 9 ; 7a) 0b) 1c) 2d) 3e) 412.- La edad del profesor de aritmtica es la suma de todos los divisores de 12. Qu edad tiene el profesor?.a) 24b) 20c) 26d) 27e) 2814.- Juan tiene una cantidad de dinero igual a la suma de todos los nmeros primos menores que 30. Cunto tiene Juan?.a) 128b) 129c) 131d) 162e) 13016.- Si: A = 2n x 33 x 54 tiene 100 divisores, calcular "n".a) 4b) 6c) 8d) 9e) 2

NIVEL II17.- Si: N = 22 x 3n x 5 x 7 , tiene 48 divisores, calcular el valor de n.a) 1b) 2c) 3d) 4e) 518.- Si: M = 23 x 71 x 114n tiene 40 divisores. Hallar n. a) 1b) 2c) 3d) 4e) 519. Si: A = 2n x 54 x 32 tiene 60 divisores. Calcular n.a) 1b) 2c) 3d) 4e) 520. Si: P = 74 x 16 x 9n tiene 144 divisores. Calcular n.a) 1b) 2c) 3d) 4e) 601.- Hallar el menor nmero mltiplo de 12 que tenga 20 divisores. Dar la suma de sus cifras.a) 6b) 7c) 9d) 18e) 2702.- Hallar el menor nmero mltiplo de cinco que tenga 10 divisores. Dar su mayor cifra.a) 8b) 6c) 4d) 2e) 503.- Si el nmero: 40.10n ; tiene 24 divisores. Hallar el valor de "n".a) 1b) 2c) 3d) 4e) 504.- Cuntos divisores primos tiene: 104.1442 ? a) 1b) 2c) 3d) 4e) 505.- Hallar la suma de los divisores simples del nmero 18440.a) 468b) 93c) 42d) 17e) 1906.- Si: 44k+2 . 4k tiene 203 divisores, hallar el valor de k1.a) 3b) 10c) 1d) 2e) NA07.- Hallar un nmero N = 12n.15n sabiendo que tiene 75 divisores. Dar como respuesta la suma de las cifras de "N".a) 18b) 15c) 9d) 27e) 2108.- Si: N = 15 x 30n tiene 900 divisores, hallar el valor de n.a) 3b) 4c) 5d) 8e) NA09.- Hallar el valor de n sabiendo que 15n x 75 tiene (7n+174) divisores. a) 11b) 12c) 13d) 14e) NA10.- Si: N = 42.3n tiene tres divisores menos que 900, hallar dicho nmero y dar como respuesta la suma de sus cifras.a) 27b) 24c) 9d) 8e) NA11.- Si: M = 12 x 20n tiene 24 divisores ms que 672 280, hallar el valor de n.a) 2b) 3c) 4d) 5e) 612.- Si: A = 12 x 30n tiene el doble de la cantidad de divisores que B = 12n.30; hallar el valor de n.a) 3b) 4c) 5d) 6e) NA13.- En las siguientes alternativas existe un nmero que es primo absoluto, cul es?a) 39b) 51c) 91d) 103e) 100114.- Al invertirse el nmero 13 sigue siendo como primo. Cul de lo siguientes nmeros primos tienen la misma propiedad?a) 41b) 23c) 17d) 43e) 2915.- El producto de dos nmeros es 143. Si la diferencia de ellos es 2, halle el mayor, si se sabe que es primo. 01.- Hallar el nmero total de divisores que tiene el producto de los tres primeros nmeros capicas de dos cifras.a) 10b) 12c) 14d) 16e) NA02.- Si:< 42n tiene 81 divisores, hallar el valor de "n".a) 20b) 10c) 15d) 25e) 3003.- Hallar el valor de n para que el nmeroN = 9 x 12n tenga 150 divisores.a) 4b) 5c) 6d) 7e) NA04.- Si: 44k+2 . 4k tiene 203 divisores, hallar el valor de k1.a) 3b) 10c) 1d) 2e) NA05.- Hallar un nmero N = 12n.15n sabiendo que tiene 75 divisores. Dar como respuesta la suma de las cifras de "N".a) 18b) 15c) 9d) 27e) 2106.- Si: N = 15 x 30n tiene 900 divisores, hallar el valor de n.a) 3b) 4c) 5d) 8e) NA07.- Hallar el valor de n sabiendo que 15n x 75 tiene (7n+174) divisores.a) 11b) 12c) 13d) 14e) NA08.- Si: N = 42.3n tiene tres divisores menos que 900, hallar dicho nmero y dar como respuesta la suma de sus cifras.a) 27b) 24c) 9d) 8e) NA09.- Si: M = 12 x 20n tiene 24 divisores ms que 672 280, hallar el valor de n.a) 2b) 3c) 4d) 5e) 610.- Si: A = 12 x 30n tiene el doble de la cantidad de divisores que B = 12n.30; hallar el valor de n.a) 3b) 4c) 5d) 6e) NA

MAXIMO COMN DIVISOR

MTODO PARA HALLAR EL M.C.D.MTODO ABREVIADO:Consiste en dividir todos los nmeros por el menor factor primo hasta que los cocientes sean primos entre s. Ejemplo: Hallar el M.C.D. de 60 y 90

M.C.D. ( 60 ; 90 ) = 30

POR DESCOMPOSICIN SIMULTNEAHallar el MCD(60;90) 60 = 22 x 3 x 590 = 32 x 2 x 5El MCD est dado por los factores COMUNES elevados a su MENOR exponente. MCD(60;90) = 2 x 3 x 5 = 30Ejemplo:Cul es el mayor nmero de nios entre los cuales hay que repartir 12; 24 y 60 panes simultneamente para que, en cualquier de los casos cada uno reciba una misma cantidad. Cuntos panes toca por nio en cada caso?Solucin:Para hallar el mayor nmero de nios se calcula el MCD de 12, 24 y 60

Luego: el mayor nmero de nios entre los cuales hay que repartir 12; 24 y 60 panes simultneamente es : 12.Cunto le toca a cada nio?De los 12 panes cada uno recibe 12/ 12 = 1De los 24 panes cada uno recibe: 24/12 = 2De los 60 panes cada uno recibe: 60/12 = 5 Respuesta: el mayor nmero de nios es 12 y en cada caso toca por nio 1 ; 2 y 5 panes.Ejemplo:Manuel camina un nmero exacto de pasos avanzando 700cm; 800cm y 950cm. Cul es la mayor longitud posible de cada paso? Cuntos pasos dio en total? Solucin:Para saber cual es la mayor longitud posible de cada paso, hallaremos el M.C.D. de (700, 800 y 950); as:Luego:La mayor longitud posible de cada paso de 50 cmAhora, llamamos el nmero de pasos: 14, 16 Y 19PRACSUDNIVEL IHallar el MCD de los siguientes nmeros

1. 54; 80 y 642. 6 y 33. 18 y 64. 16; 30; 64 y 725. 240 ; 360 y 480 6. 135 y 245 7. 12; 60 y 728. 32; 40 y 509. 25; 40; 15 y 8010. 30 y 2411. 16 y 1412. 60 y 9013. 272 y 288 14. 1200 ; 1800 y 2200 15. 294 ; 98 ; 392 y 1176

Hallar el MCD de los siguientes nmeros1. 12; 60 y 72...........................3. 32; 40 y 50...........................5. 25; 40; 15 y 80...........................7. 30 y 24...........................9. 16 y 14...........................2. 60 y 90...........................4. 54; 80 y 64...........................6. 6 y 3...........................8. 18 y 6...........................9. 16; 30; 64 y 72..........................10. 240 ; 360 y 480 ..........................11. 135 y 245 ..........................12. 272 y 288 ..........................13. 1200 ; 1800 y 2200 ...................14. 294 ; 98 ; 392 y 1176 ....................01.- Hallar el MCD de 2520 ; 720 y 540a) 100b) 180c) 120d) 130e) NA02.- Calcular el MCD de: 1980 y 1008a) 36b) 35c) 30d) 20e) NA03.- Cual es el mayor nmero que puede dividir a la vez a 612 ; 2040 y 8 976 ?a) 205b) 204c) 230d) 260e) NA01.- El MCD de 420; 360 y 1260 es:a) 40b) 60c) 80d) 90e) 3002.- Hallar la suma de las cifras del MCD de los nmeros 1872; 2520 y 2808a) 6b) 9c) 12d) 15e) 1803.- Sean los nmerosA = 218 . 312 . 58; B = 215 . 316 . 510 . 720Si el MCD(A; B) = 2x . 3y . 5zHallar x + y + za) 25b) 30c) 35d) 40e) 4504.- Cuntos divisores tiene el MCD (A y B) si:A = 48 . 32 . 73 y B = 83 . 27 . 49?a) 60b) 120c) 180d) 90e) 3605.- Cuntos divisores en comn tiene los nmeros 360; 480 y 540?a) 8b) 12c) 16d) 18e) 1506.- Hallar el MCD (720 , 1080 , 2160)a) 180b) 90c) 120d) 360e) 300NIVEL II04.- Una madre distribuye exactamente por partes iguales entre sus hijos: 90 caramelos y 75 chocolates. Qu nmero de cada cosa corresponde a cada uno de ellos?a) 6 y 8b) 5 y 7 c) 6 y 10 d) 6 y 5 e) NA05.- Cual es la mayor longitud de una regla con la que se puede medir exactamente 3 cintas de 120cm, 180cm y 240cm.a) 50cmb) 60cmc) 20cmd) 30cme) NA06.- Se desea dividir dos cordeles de 60 y 80 metros de longitud en trozos iguales y de la mayor longitud posible. Cul es la longitud de cada trozo resultante?.a) 30mb) 40mc) 20md) 10me) NA07.- Un fabricante de jabones, quiere envasar su producto en cajas de 840cm3 y 960cm3. Cul debe ser el mayor volumen de cada jabn para que cada caja entre el mayor nmero exacto de jabones? Cuntos jabones estarn en cada caja?a) 120 ; 7 y 8b) 100 ; 5 y 6c) 120 ; 5 y 4d) 120 ; 5 y 9e) NA08.- Sara ha dado a sus tres hijos 120 soles, 480 soles y 720 soles, para repartir entre los ancianos pobres de la ciudad, de manera que los tres den a cada anciano la misma cantidad. Cul es la mayor cantidad que pueden dar a cada uno? Cuntos son los ancianos beneficiados?a) S/.120;10 b) 100;10c) 120;11d) 180;10e) NA 09.- Un negociante tiene tres barriles de vino, cuyas capacidades son 36, 48 y 60 litros. Si desea vender todo el contenido en recipientes pequeos de mxima capacidad, de modo que no sobre vino en ninguno de los barriles, Cuntos recipientes necesita?a) 10b) 12c) 15d) 24e) 3010.- Se tiene 3 varillas metlicas de 72; 108 y 120cm. Se desea tener la menor cantidad de varillas iguales ms pequeas (cuya cantidad de centmetros sea entera) cortando todas las anteriores. Cuntas varillas se obtendrn?a) 20b) 24c) 25d) 30e) 4214.- Se tiene 3 cajas de galletas sueltas con 288; 360 y 408 unidades; desea venderse en paquetes pequeos de igual cantidad, que estn contenidas exactamente en cada una de las cajas. cul es el menor nmero de paquetes que se obtiene, sin desperdiciar galletas?a) 24b) 32c) 44d) 47e) 5017.- Un padre de a uno da sus hijos 60 soles a otro 75 y a otro 90, para repartirlos entre los pobres, de modo que todos den a cada pobre la misma cantidad. Cul es la mayor cantidad que podran dar a cada pobre y cuntos los pobres socorridos?a) 15 soles y 15 b) 15 soles y 12 c) 5 soles y 45 d) 5 soles y 30 e) 15 soles y 10NIVEL III07.- Cuantos valores toma N, MCD(N;80) = 40 ? a) 10b) 11c) 22d) 23e) 21

08.- Si: MCD( ; 7 ) = 7

MCD( a ; ) = a Halle a+ba) 7b) 10c) 9d) 14e) 811.- Andrea tiene una cartulina que mide 24cm de ancho por 36cm de largo y quiere cortarla en trozos cuadrados de manera que no sobre material. Cuntos trozos obtendr, si el lado de cada uno mide una cantidad entera comprendida entre 5 y 10m?a) 10b) 6c) 24d) 12e) 1812.- El MCD de 2 nmeros es 15. Hallar el mayor de ellos, si la suma de sus cuadrados es 2925a) 15b) 30c) 45d) 60e) 7513.- La diferencia de los cuadrados de 2 nmeros es 1088 y su MCD es 8. Hallar el nmero menora) 60b) 64c) 68d) 72e) 7615.- Un terreno de forma rectangular cuyos lados miden 144 m y 252 m est sembrado con rboles equidistantes y separados lo ms posible si se observa que hay un rbol en cada vrtice y uno en el centro del terreno Cuntos rboles hay en total?a) 112b) 56c) 40d) 135e) 14016.- La diferencia de cuadrados de dos nmeros es 396 y su MCD es 6. Dar como respuesta la suma de dichos nmerosa) 300b) 330c) 60d) 66e) 72

MINIMO COMUN MULTIPLO

El mnimo comn mltiplo (m.c.m) de dos nmeros es el menor nmero (distinto de cero) que es mltiplo comn de ambos nmeros. DETERMINACIN DEL M.C.M.

a) Por Descomposicin Simultnea

Hallar el MCM ( 120 ; 200 )

Todos los factores: MCM(120;200) = 23 . 3 . 52 MCM(120;200) = 600 b) Por Descomposicin CannicaHallar el MCM ( 120 ; 200 )120 = 23 . 3 . 5200 = 23 . 52Para hallar le m.c.m se toma TODOS los factores con sus MAYORES exponentesPRACSUDNIVEL II.- Hallar el MCM de:a) 16 y 14b) 60 y 90c) 54; 80 y 64d) 6 y 3e) 18 y 6f) 16; 30; 64 y 72g) 12; 60 y 72h) 32; 40 y 50i) 25; 40; 15 y 80j) 30 y 24

02.- Calcular el MCM de:18 ; 30 ; 40 y 12a) 340 b) 32c) 360 d) 400 e) NA03.- Hallar el MCM de:16 ; 45 ; 60 y 72a) 340 b) 120 c) 360 d) 100 e) NAII.- Resolver: 01.- Hallar el MCM de 90; 588 y 420a) 8820b) 4410c) 2205d) 1260e) 378002.- Cuntos divisores tiene el MCM de 180 y 240?a) 15b) 18c) 24d) 30e) 4503.- Sean los nmeros:A = 218 . 312 . 58 B = 215 . 316 . 510 .720Si el MCM(A y B) es 2m . 3n . 5p . 7q ; hallar m + n + p +qa) 15b) 18c) 24d) 30e) 4504.- Cuntos divisores tiene el MCM(A y B) si A = 43 . 27 . 49 y B = 32 . 34 . 7a) 100b) 105c) 108d) 115e) 120

05.- Hallar le MCM de: ; ; a) 6/150b) 20c) 12d) 4/5e) 606.- Hallar el MCM de 900 y 1260

a) 6000b) 2300c) 1300d) 6300e) NA07.- Cul es el menor nmero diferente de cero, divisible a la vez entre 3; 5 y 7?a) 103b) 104c) 105d) 106e) NA08.- Cul es el menor nmero, diferente de cero, divisible a la vez por 6; 8 y 10?a) 100b) 120c) 130d) 150e) NA

NIVEL II01.- Las edades de Manuel y la de su hija estn comprendidas entre 23 y 49 y son a la vez divisibles por 8 y 12. Qu edad tiene cada uno?a) 45 y 39b) 48 y 49c) 48 y 24d) 50 y 35 e) NA09.- Cules son los n nmeros naturales entre 500 y 1 000 que sean divisibles por 36 y 84 simultneamente?.a) 504 y 756 b) 500 y 650 c) 700 y 750 d) 504 y 800e) NA10.- Tres compaas de navegacin pasan por cierto puerto. La primera cada 8 das; la segunda cada 18 das y la tercera cada 21 das. Cada cuntos das se hallan los buques de las tres compaas simultneamente en este puerto?a) 504b) 200c) 500d) 400e) NA

11.- Una canasta est llena de huevos. Contienen un nmero exacto de docenas y tambin de decenas. Cuntos huevos contiene, sabiendo que el nmero est comprendido entre 300 y 400?a) 300 b) 350c) 360d) 400e) NA06.- Por una ruta circulan varias lneas de colectivos cuyo terminal est en el km 0. Si la lnea A tiene paradas cada 5 km y la B cada 12 km, cada cuntos km coinciden las paradas?a) 12 kmb) 18 kmc) 24 kmd) 36 kme) 48 km 07.- El 3 de abril de 1995 se encuentran en la guardia de un hospital tres visitadores mdicos. El del laboratorio A va a ese hospital cada 7 das, el del B cada 10 das y el de C cada 15 das. En qu fecha se volvern a encontrar?a) 30 setb) 30 agoc) 31 octd) 25 octe) 30 oct08.- En el ao 2004 se realizaron elecciones para Presidente y para Intendente. El periodo presidencial es de 6 aos y el de Intendente, de 4 aos.A qu ao corresponde la primera vez que volvern a coincidir las 2 elecciones?a) 2012b) 2016c) 2014d) 2015c) 202009.- Dos mviles juntos del punto de partida de una pista circular. Si el primero completa 3 vueltas en 36 minutos y el segundo 5 vueltas en 90 minutos despus de cuntos minutos de haber partido vuelven a estar juntos en el punto de partida.a) 24b) 36c) 48d) 60e) 7210.- Cuntos ladrillos se necesitan para construir un cubo compacto, sabiendo que su arista est entre 2 y 3 metros y que las dimensiones de los ladrillos a usarse son de 20cm, 15cm y 8cm?a) 5760b) 2880c) 1920d) 1440e) 1152NIVEL III11.- Cuatro barcos de una empresa naviera salen al mismo tiempo del callao y se sabe que el primero de ellos tarda 25 das en regresar y pertenece anclado 3 das; el segundo 45 y5 das y el tercero 32 y 3 das y el cuarto 60 y 10 das despectivamente. Cada cuanto tiempo zarpan los cuatro barcos a la vez?a) 700b) 770c) 840d) 910e) 72012.- El MCM de 2 nmeros A y B es 168. Adems; la suma de cuadrados de dichos nmeros es 7632. Hallar la suma de los nmeros a) 63b) 84c) 108d) 132e) 180

MCD Y MCM

NOTA: El producto del MCD y MCM de dos nmeros enteros positivos es igual al producto de dichos nmerosPRACSUDNIVEL I04.- Si:A = 23 x 52 x 3 x 7 ; B = 22 x 5 x 32Calcule el MCM y MCD de A y Ba) 12600 y 50 b) 12000 y 60 c) 12600 y 60 d) 10000 y 56 e) NA05.- Si:A = 2 x 32 x 5 x 72 ; B = 22 x 3 x 52 x 7Calcular el MCM y el MCD de A y B a) 44100 y 210b) 4100 y 560c) 1000 y 2300d) 210 y 11444 e) NA13.- El producto de dos nmeros es 768; si su MCM es 96, hallar su MCDa) 6b) 8c) 12d) 16e) 2414.- La suma de dos nmeros es 30, si su MCD es 6 y su MCM es 36, hallar la diferencia de dichos nmerosa) 4b) 5c) 6d) 8e) 915.- La suma de dos nmeros es 667 y el cociente del MCM entre su MCD es 120. Dar el mayor de ellosa) 232b) 435c) 572d) 115e) 552