”Retkiopas” pdf-kirjaan

”Löytöretkiä matematiikan maisemaan”

(Tämä pdf-versio on vastaa sisällöllisesti v. 2009 tekemääni vihkosta

”Retkiopas” kirjaan Patikkaretkiä matematiikan maisemaan.)

Ajatuksia matematiikasta ja sen opettamisesta niille,

joita kiinnostaa matematiikka ja

lukujen salaperäinen maailma

Kirjassa ANKKALINNAN SÄPINÄT (Sanoma Magazines Fin-

land Oy, 2006) on aivan ihastuttava kertomus ”Aku Ankka mate-

matiikan valtakunnassa”. Roope-sedän kovat lainaehdot pakottivat

Akun yrittämään apua Tupun, Hupun ja Lupun matematiikan kir-

jasta. Lopputulos näkyy tuossa ensimmäisellä sivulla olevassa ku-

vassa.

Matematiikan henki saa houkutelluksi Akun mielenkiintoiselle ja

jännittävälle seikkailulle matematiikan maailmaan. Tämän retken

ansiosta Aku pystyi narauttamaan Roope-setää sillä sakkilautaje-

kulla, joka on minunkin kirjassani kerrottu sivulla 222. Kertomuk-

sen viimeisessä kuvassa (alla) kävelee todella itsevarma mies.

Olisin halunnut julkaista nämä kaksi kuvaa

kirjani esipuheessa, mutta siihen ei Aku

Ankka valitettavasti suostunut.

Olen kuitenkin saanut palautetta, jonka mu-

kaan jotkut ovat löytäneet kirjani avulla ma-

tematiikkaa kohtaan mielenkiinnon, jonka

koulu oli onnistunut sammuttamaan.

Matematiikan dosentti Matti Lehtinen:

Aittokallion laskento ei ole ”leiki, laula ja puuhaile jotain

kivaa” -toimintaa, vaan ihan oikeaa tavaraa.

1

Alkusanat

Kun on ollut jo vuosia poissa aktiivisesta opetustyöstä, on tietyllä tavalla uhkarohkeata lähteä kirjoittamaan

ajatuksia matematiikasta ja sen opetukseen liittyvistä asioista. Teenkin tämän tiedostaen sen, että ajatukset

ovat vain minun, ja jokainen lukija voi oman kokemuksensa ja tietämyksensä pohjalta ottaa sen, mikä tuntuu

hyvältä ja hylätä rohkeasti sen, johon ei voi yhtyä. Koska en ole koskaan opettanut matematiikkaa kahdella

alimmalla luokalla, rohkaisen lukijaa siltä osin hyvin kriittiseen arviointiin. Useat alkuopettajatkin ovat kui-

tenkin olleet kiinnostuneita kirjasta ja sitä hankkineet. Eräs lähetti minulle kysymyksen, sopiiko kirja myös

alkuopettajalle. Vastailen tähän kysymykseen näitten alkusanojen lomassa.

Varsinaisena oppikirjana kirjaa ei voi käyttää millään asteella, mutta mielestäni siitä saa eniten irti opettaja,

joka opettaa luokilla 3-6. Tätä väliä minä jauhoin opettajana koko urani ajan, ja näille luokille kuuluvista

matematiikan aiheista suurinta osaa olen kirjassa käsitellyt. Yläluokkien opettaja saa kirjasta erilaisia virik-

keitä, ja yläluokkien oppilas, joka on innostunut matematiikasta, voi kirjan kanssa tehdä monenlaisia tutki-

musretkiä matematiikan mielenkiintoiseen maailmaan.

Jos itse olisin alkuopettaja, en uskoisi saavani kirjasta kovin paljon materiaalia opetustyöni avuksi. Siihen,

miksi voisin kuitenkin harkita kirjan hankkimista, löydän kolme syytä:

1. Vaikka opettaisinkin vain alkeita, on hyvä päästä kurkistamaan hiukan eteenpäin siihen maailmaan, jota

olen avaamassa pienille ja aloitteleville matemaatikoille. Jos olen itse löytänyt matematiikan mielenkiintoi-

set maisemat, se heijastuu väistämättä minun opetuksessani, ja minun on helpompi innostaa pieniä oppilaita

kärsivälliseen odottamiseen: mitä pitemmälle edetään, sitä mielenkiintoisemmat ja jännittävämmät

maisemat ovat edessä.

2. Uskaltaisin alkuluokillakin jättää välillä oppikirjan syrjään ja askarrella jotakin jännittävää. Kirjan Pulma-

nurkka antaa muutamia kivoja aiheita myös pienille. Eräs keskisuomalainen opettaja, joka pitää matematiik-

kakerhoa 2-6 luokkien oppilaille, kiitti kirjasta ja sanoi, että on löytänyt kirjasta paljon ainesta, jota voi käyt-

tää kerhossa. On todella kova haaste pitää kerhoa, jossa osallistujien ikähaitari on näinkin laaja.

3. Alkuopettajana saatan jatkaa luokkani mukana myös luokille 3.-6., ja tällöin minulla on jo ennakkoon

valmiudet avata matematiikan huikeita näköaloja isommille oppilaille.

Esimerkkinä askartelutehtävästä, johon eka- ja tokaluokkalaiset varmasti innostuvat, on tässä retkioppaassa

sivulla 5 kuvatut kortit, joilla voi arvata kaverin päästä luvun 1-7. Oppilaat tekevät taatusti innoissaan näitä

"temppuja" kavereilleen, vaikka he tietävätkin korttien salaisuuden. Vielä innokkaammin he hämmästyttävät

"maagisella taidollaan" kotona vanhempansa. Lapsenlapseni ovat näillä korteilla hämmästyttäneet toverei-

taan ja ohjaajiaan esikoulussa.

Haluan korostaa, että tämä ei ole varsinainen opaskirjanen – nimi Retkiopas on lainausmerkeissä – vaan pi-

kemminkin suppea kokoelma ajatuksia ja havaintoja lukujen maailmasta ja matematiikan opetuksesta.

Kirjan kirjoitin alusta loppuun niin, ettei käsissäni ollut yhtäkään peruskoulun matematiikan kirjaa. Nämäkin

rivit kirjoittelen työpöytäni ääressä tutustumatta muiden kirjoittamiin ajatuksiin. Ehkä juuri sen tähden mu-

kaan voi tulla ajatuksia, jotka saattavat tuntua jostakin lukijasta jopa yllättäviltä. Joka tapauksessa olisi hyvä,

että matematiikasta ja sen opetuksesta käytäisiin keskustelua mahdollisimman laajalla rintamalla.

Muuttaisimmeko lukutapaa ongelmallisella välillä 11 - 19?

Suomen kielen tavassa ilmaista lukuja on eräs heikkous, joka aiheuttaa lapsille hankaluuksia vielä myö-

hemminkin esim. muistinumeron merkitsemisessä allekkain kertolaskuissa ja jonkin verran myös yhteenlas-

kussa. Olette varmaan huomanneet tämän itsekin. Jos kertolaskussa on tulos 35 (kolme kymmentä viisi),

kolmonen kirjoitetaan muistiin ja viitonen alas. Sekaannusta aiheuttavat nimenomaan kymmenen ja kahden-

kymmenen välissä olevat luvut. Kun tuloksena on 14 (neljä toista), nelonen livahtaa helposti muistiin, kun

se kaikuu luvusta ensimmäisenä.

2

Huomasin aikanaan liitutaulun avulla kertolaskualgoritmia opettaessani, että oli hy-

vä kirjoittaa tulos sivuun näkyviin ja todeta, että aina vasemmalla (eli kymmenien

paikalla) oleva numero kirjoitetaan ylös muistiin ja ykkösten paikalla oleva alas.

Vaikka jouduinkin ottamaan käyttöön tavan merkitä muistinumero oikealle, pitäisin

parempana tätä vanhanaikaista tapaa merkitä se ylös, jolloin se on ”odottamassa”

käyttöönottoa oikeassa paikassa. Lisäksi siinä kertomisen tulos on kymmenjärjes-

telmääkin ajatellen sijoitettuna loogisemmin.

Painotin oppilaille, että merkitsevät aina ensin muistinumeron. Samaa tapaa muistinumeron merkitsemisessä

korostin myös allekkain yhteenlaskussa.

Muistinumeron merkitseminen olisi helpompaa ja johdonmukaisempaa, jos luvut 11–19 luettaisiin mate-

maattisesti samoin kuin luvut 20:stä ylöspäin.

Jotkut voisivat oikeasti kokeilla erilaista lukutapaa alimmilla luokilla. Tässä ongelmia aiheuttavassa välissä

suomen kielessä luetaan ensin ykköset ja sitten kasvamassa oleva toinen kymmenjoukko (1 toista, 2 toista,

3 toista, jne.), kun taas luvusta 20 alkaen luetellaan ensin kymmenet ja perään ykköset (2 kymmentä 1,

2 kymmentä 2, 2 kymmentä 3, jne.). Jotta lukutapa olisi matemaattisesti looginen, tämä ongelmallinen väli

pitäisi lukea näin: 1 kymmen 1, 1 kymmen 2, 1 kymmen 3, jne. Tämä lukutapa selkiinnyttäisi lukujen raken-

tumista loogisesti tällä pienille oppilaille kaikkein keskeisimmällä lukualueella (ks. alla oleva kuvio). Luvut

luettaisiin kautta linjan niin, että ensin luetellaan suuremmat lukujoukot ja viimeiseksi vasta ykköset.

Vanha suomen kielen lukutapa oli johdonmukainen, kun luvut lueteltiin kauttaaltaan niin, että ensin mainit-

tiin ykköset ja sen jälkeen kasvamassa oleva kymmenluku: 6 toista, 7 toista, 8 toista, 9 toista, 2 kymmentä,

1 kolmatta, 2 kolmatta, 3 kolmatta, jne.). Tähän lukutapaan palaamista en kuitenkaan suosittele, koska

siinä on omat heikkoutensa.

Kymppiparit ja kymmenjärjestelmä tutuksi 1. -2. luokilla

Matemaattiset valmiudet ovat koulunkäynnin aloittavilla lapsilla hyvin kirjavat. Joku saattaa laskea oikein

hyvinkin hankalia päässälaskuja, toinen ei välttämättä osaa luetella lukuja vielä kovinkaan pitkälle. Esikoulu

tekee tässä suhteessa hyvää työtä, kun se parantaa niiden lasten valmiuksia, joille ei kotona ole opetettu ma-

tematiikan alkeita.

Matematiikan opiskelun alkumetreillä minun mielestäni kaksi keskeisintä asiaa ovat kymppiparit ja kym-

menjärjestelmä. Kymmenjärjestelmää voisi lähestyä sadunomaisesti vaikkapa siten, miten olen sitä kirjassa

sivulla 13 käsitellyt. Luku kymmenen on pienille lapsille matematiikan tärkein luku, ja siksi se kannattaa

tehdä heille mahdollisimman tutuksi mahdollisimman aikaisin. Havaintovälineitä apuna käyttäen ja riittävin

harjoituksin varmistetaan luvun kymmenen keskeinen paikka matematiikassa. Mitä paremmin lapsi hallitsee

nämä kaksi asiaa, sitä vaivattomammin hän pystyy päättelemään helppojen yhteen- ja vähennyslaskujen tu-

lokset ja siirtymään niistä sitten vaikeampiin tehtäviin. Tästä aiheesta hiukan lisää alempana.

Kertotaulujen osaamista ei voi korostaa liikaa

Matematiikan opiskelun alkumetreillä lukuja rakennellaan ja pilkotaan lähinnä yhteen- ja vähennyslaskulla.

Mutta toisella luokalla löydetään myös kertolasku ja aletaan tehdä tuttavuutta kertotaulujen kanssa. Kolman-

nesta luokasta alkaen on tärkeätä, että lapsi oppii ymmärtämän lukuja myös alkulukujen/ alkutekijöiden

kautta. Mitä paremmin lapsi hallitsee kertotaulut, sitä paremmin lukujen ymmärtäminen tekijöiden tulona

hahmottuu. Kertotaulujen opiskelun yhteydessä on tärkeätä jatkaa jokaista kertotaulua vielä yli sen rajan,

missä kertojana on luku 10. Näitä ylempänä olevia lukuja ei tietenkään opiskella ulkoa, mutta lapsen on hy-

3

vä ymmärtää, että esim. luvun 30 jälkeen joka kolmas luku äärettömiin saakka on kolmen kertotaulussa. Sa-

ma on tilanne kaikissa muissakin kertotauluissa. Tähän aiheeseen liittyy hyvin läheisesti lukujen jaollisuus-

sääntöjen hallinta, mihin palaan hiukan myöhemmin.

Kertotaulut kannattaa päntätä päähän todella hyvin kolmannen luokan aikana. Tiedän omasta kokemuksesta,

että vaatii opettajalta aika tavalla sitkeyttä viedä prosessi onnistuneesti läpi. Tämän tiedoston lopussa on

valmis pohja kertotaulukorteista, joiden käyttö auttoi minua tuon päämäärän saavuttamiseksi. Kirjassa kortit

ovat sivulla 295, mutta helpoiten saat kortit tulostettua tämän oppaan viimeiseltä sivulta. Kuvaa voi tarvitta-

essa suurentaa, jos koulun kone pystyy tulostamaan A4-kokoa suurempia arkkeja. Korttien käyttövinkit löy-

tyvät kirjan sivulta 294. Kertotaulujen kertaus on suoritettava neljännen, viidennen ja tarvittaessa vielä kuu-

dennenkin luokan alussa.

Kirjassa korostan sitä, että potenssimerkintä kannattaisi opettaa jo kolmannella luokalla, jos siihen vain

suinkin löytää ajan. Merkinnän omaksuminen ei tuota minkäänlaisia vaikeuksia, kokeilin asiaa mm. toisella

luokalla olevalle lapsenlapselleni. Merkinnän oppimisesta olisi hyötyä heti ja toki sitä tarvitaan siitä eteen-

päin opiskelujen kaikissa vaiheissa. Potenssimerkintää käsittelen hyvin lyhyesti kirjassa sivulla 54.

Pinta-alasta löytää mielenkiintoisia ulottuvuuksia

Hyppään aiheeseen sivulla 31 melko yllättävästä suunnasta, kun lähden siihen lätäkön ääreltä. Asian käsitte-

ly tällä tavalla antaa oppilaille heti mielenkiintoista askartelua oman laskuvihon ruudukossa. Lisäksi he op-

pivat siinä sujuvasti kaksi tärkeätä käsitettä, alalakiarvon ja ylälikiarvon, joita käsitteitä tarvitaan muuallakin

matematiikassa. Esimerkiksi lukujen pyöristäminen kannattaa mielestäni opettaa niin, että tuloksen etsimi-

sessä käytetään aina näitä kahta likiarvoa. Käsittelen asiaa sivuilla 104–108.

Vaikka Pickin lausetta (s. 37) ei oppilaille voi alaluokilla perustella, se on todella mielenkiintoinen sellaisen

monikulmion pinta-alan laskemiseksi, jonka kärkipisteet ovat kaikki ruudukkoviivojen leikkauspisteissä.

Useimmille oppilaille se on varmasti mielenkiintoinen tuttavuus.

Jos kolmion kärkipisteet ovat ruudukkoviivojen leikkauspisteissä, sen pinta-alaa voi tutkia hyvin monella eri

tavalla (käväisepä kirjan sivuilla 32, 34–35, 37 ja 176).

Vuosien varrella huomasin, että alaluokkien matematiikan kirjoista siirrettiin monia aiheita yläluokkien kir-

joihin. Alaluokkien opetussuunnitelmaa kevennettiin. Tätä suuntausta en pitänyt hyvänä. Kyllä alaluokilla-

kin pitää olla oikeita haasteita, eikä liikaa mekaaniseen laskemiseen panostamista. Ruutuvihko ja erilaiset

monikulmiot antavat mukavasti mahdollisuuksia matemaattiseen askarteluun. Vaativampaa haastetta tarjoaa

mm. puolisuunnikas (s. 172). Aikanani annoin oppilaiden itse etsiä erilaisia ratkaisuja puolisuunnikkaan pin-

ta-alan laskemiseksi, kun kolmion ja suunnikkaan pinta-alat olivat heillä hyvin hallinnassa. Leijakin, jota

suomalaisissa matematiikan kirjoissa tuskin mainitaan, tarjoaa kivaa askartelua (s. 175). Ympyrän pinta-alan

johtaminen siten, että ympyrä muutetaan kolmioksi, oli minulle aikanani löytö, josta olin suorastaan ylpeä,

kun olin sen omalla pohdiskelullani löytänyt. Tämä löytö on esiteltynä kirjassa sivuilla 179 – 180. Pohdin-

toihin pakotti ärsyyntyminen siitä, että kirjassa annettiin vain pinta-alan kaava, mutta ei selvitetty, miksi se

on sellainen. Kuudesluokkalaiset ymmärtävät hyvin pinta-alan laskukaavan johtamisen tällä tavalla.

Ellipsin (s. 178) kanssa voi tehdä tuttavuutta rakentamalla välineet, joilla voi piirrellä erilaisia ellipsejä ja

tutkia niiden ominaisuuksia, vaikka itse ellipsiin liittyvät laskemiset jäävätkin odottamaan.

Prosenttilaskusta

Opettajaurani varrella panin merkille, että alaluokkien matematiikan kirjat pikku hiljaa kevensivät prosentti-

laskujen osuutta opetettavassa aineksessa. Kirjantekijät jättivät ainakin perusarvon laskemisen alaluokkien

ohjelmasta pois, koska ilmeisesti ajattelivat sen tuottavan ylimääräistä vaikeutta. Yleinen piirre matematii-

kan kirjoissa taitaa olla vieläkin, että prosenttilaskuja ratkotaan monen erilaisen kaavan avulla. Oppilaat me-

nevät helposti sekaisin näitten kaavojen kanssa.

4

Kun aikanani hyvinkin perusteellisesti yritin pohtia, miten opettaa prosenttilasku alaluokkien kuudesluokka-

laisille, huomasin, että kaikki prosenttilaskut voidaan ratkaista samalla periaatteella yksinkertaisesta verran-

nosta.

Totean kirjassa sivulla 116, että ”verranto on verraton apu”. Oppilas saa

siitä apua monissa muissakin tehtävissä. Siihen saakka, kun ei tarvitse

laskea korkoa korolle, voidaan kaikki prosenttilaskut selvittää yksinkertai-

sella verrannolla. Kirjassa on asiaa käsitelty melko perusteellisesti sivulta

133 alkaen.

Sain pitkän kirjeen eräältä kirjan hankkineelta keski-ikäiseltä naisihmisel-

tä (ei opettaja), joka kertoi, ettei oikein koulussa tykännyt matematiikasta eikä sitä oikein ymmärtänyt. Hän

oli kuitenkin kahlaillut kirjan kiinnostuneena läpi ja mainitsi, että nyt hänkin ymmärtää prosenttilaskuja,

jotka koulussa jäivät hänelle hämärään.

Olen nähnyt, että peruskoulun kuudesluokkalainen pystyy tällä yksinkertaisella tavalla ratkaisemaan jopa

hyvin hankalilta näyttäviä lukiotason liuoslaskuja. Tällaisesta tehtävästä on esimerkki kirjan sivulla 138.

Alkutekijät ja alkuluvut

Alkulukujen maailma on kiehtonut pitkään matemaatikkoja, jotka ovat yrittäneet löytää suurempia ja suu-

rempia alkulukuja. Tällä hetkellä suurin tunnettu alkuluku lienee 257 885 161 – 1. Luvussa on 17 425 170 nu-

meroa. Luku on niin pitkä, että minun kirjoittamaani kirjaa pitäisi olla noin viisitoista päällekkäin, jotta luku

saataisiin kokonaisuutena näkyviin. Tässäkin huomaamme, miten kätevä tuo potenssimerkintä on.

Internet tarjoaa aiheesta mielenkiintoisia sivuja varsinkin englannin kielellä. Jos haluat tutkia näitä lukuja ja

leikkiä niillä, kirjoita hakukoneeseen sanat prime number calculator. Löydät vaikkapa tällaisen sivun

http://www.math.com/students/calculators/source/prime-number.htm. Materiaalia leikkiin löytyy yllin kyl-

lin, ja sitä pystyy hyödyntämään, varsinkin jos selain tukee Javaa ja sen käyttö on sallittu selaimen asetuksis-

sa. Olen selvittänyt alkulukuja sivulla 53 ja johdatellut pitemmälle sivuilla 192–193.

Leikki sikseen ja hyödyllisempiin töihin. Sivuilla 55–56 on selvitetty erittäin tärkeitä ja hyödyllisiä harjoi-

tuksia lukujen pilkkomisesta, jonka tuloksena nähdään, miten luvut rakentuvat alkutekijöittensä tulona.

Nämä harjoitukset eivät onnistu, jos kertotaulut eivät ole hyvin hallinnassa. Harjoitukset pitää aloittaa jo

kolmannella luokalla, mutta eritoten niitä kannattaa tehdä paljon neljännellä, viidennellä ja vielä kuudennel-

lakin luokalla. Kuudennella luokalla lapset pystyvät pilkkomaan jo aika hankaliakin lukuja, jos lukujen jaol-

lisuussäännöt ovat hallinnassa. Kokemukseni mukaan lapset tykkäävät näistä harjoituksista.

Miksi nämä harjoitukset ovat tärkeitä? Kokonaislukujen matematiikka (diskreetti matematiikka) on hyvin

keskeinen osa matematiikkaa. Kun perusasiat kertotauluista alkaen ovat kunnossa, on paljon helpompi ko-

hottaa uusia kerroksia aina mielenkiintoisemmaksi ja jännittävämmäksi rakentuvaan ”matematiikkataloon”.

Matematiikan kirjat eivät valitettavasti ainakaan alaluokilla – tuskin pahemmin yläluokillakaan – vastaile

esim. kysymykseen, milloin kokonaislukujen jako menee tasan, tai mistä tiedän etukäteen, päättyykö jako-

lasku. Jos edellä olevat asiat ovat selvät, lapsi pystynee omatoimisestikin löytämään vastaukset näihin kah-

teen kysymykseen, joita olen käsitellyt kirjassa sivuilla 59–64 ja 101–103.

Luvun 9 jaollisuussääntö ansaitsee aivan erityishuomion

Ennen kuin jatkat pitempään, käväise vilkaisemassa kirjasta sivulta 59, mikä minua koulussa tosissaan har-

mitti. Samalla voit selvittää siellä itsellesi – ellei se jo ole selvillä – mihin luvun 9 jaollisuussääntö perustuu.

Tähän jaollisuussääntöön rakentuu hyvin moni mielenkiintoinen kirjassa esitetty asia:

- Laskutoimitusten tarkistaminen lukujen redusoidun summan avulla (sivut 65–69).

- Eurosetelin ”aitouden” tarkistaminen (s. 69).

- Matemaattinen ”taikatemppu” (s. 220). Tästä tempusta voi tehdä lukemattomia muunnelmia luvun 9

jaollisuussääntöä käänteisesti soveltaen. Pitää tietää vain keino, miten mistä tahansa kokonaisluvusta

voi tehdä 9:llä jaollisen luvun. Keinoja on kolme erilaista, ja ne löydät sivuilta 242 ja 285.

5

Sivuilla on selvitetty myös, miksi luku näillä toimenpiteillä muuttuu 9:llä jaolliseksi.

Sivun 231 ”Luen ajatuksia 4” perustuu myös luvun 9 jaollisuussääntöön.

- Päättelykykyä voi kehittää tämän jaollisuussäännön avulla (s. 230).

Kun lukujen pilkkominen ja rakentaminen alkutekijöillä on kunnossa, ja jaollisuussäännöt mielessä, siitä on

suuri apu myös murtolukujen syvällisempään hallintaan. Supistaminen ja laventaminen (s. 122–125) on hel-

pompi ymmärtää niin, ettei niitä tarvitse omaksua vain ulkoa opeteltavana rutiinina. Sellaista matematiikan

opiskelu ei saisi olla missään vaiheessa.

Eri lukujärjestelmät

Vaikka kymmenjärjestelmä on matematiikan opetuksessa kaiken perusta, sen ”vangiksi” ei saa jäädä. Kym-

menjärjestelmäkin ymmärretään syvällisemmin vasta, kun on tutustuttu myös muihin lukujärjestelmiin. His-

torian saatossa kymmenjärjestelmä on muodostunut yleisimmin käytetyksi järjestelmäksi varmasti siitä syys-

tä, että meillä on kymmenen sormea. Mutta maailmassa näkyy jälkiä myös 20-järjestelmästä,

5-järjestelmästä ja jopa 60-järjestelmästä. Mielenkiintoista on huomata, että esim. ranskan kielen lukusanat

paljastavat, että muinaisessa Galliassa on mitä todennäköisimmin käytetty 20-järjestelmää. Onhan esim. luku

80 ranskan kielestä suomennettuna ”neljä kaksikymmentä”.

60-järjestelmä on hyvin vahvasti näkyvissä meidänkin aikanamme mm. ajan mittaamisessa. Yksi tunti muo-

dostuu 60 minuutista, ja yksi minuutti puolestaan 60 sekunnista. Lisäksi kulman mittaamisessa käytetään

edelleen yleisimmin 60-järjestelmää. Yksi aste on 60 minuuttia, yksi minuutti on 60 sekuntia. Tiedetään, että

muinaishistoriassa esim. sumerilaiset ja babylonialaiset käyttivät 60-järjestelmää eli seksagesimaalijärjes-

telmää. Heiltä olemme perineet nämä ”poikkeukselliset” järjestelmät ajan ja kulmien mittaamiseen.

Miksi 60-järjestelmä saattaisi olla yleisestikin hyvin käytännöllinen? Mitä etua sillä olisi 10-järjestelmään

verrattuna? Kymmenjärjestelmän kantaluku on tietenkin luku 10, jonka alkutekijät ovat 2 ja 5. Vain nämä

kokonaisluvut (1:n ja 10:n lisäksi) sisältyvät tasan kymmeneen. 60-järjestelmän etu perustuisi siihen, että

lukuun 60 sisältyy tasan hyvin moni luku: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, ja 60.

Kirjassa olen käsitellyt lukujärjestelmiä sivuilla 158–163. Tutuksi tulevat osittain kaikki lukujärjestelmät

2-järjestelmästä 10-järjestemään sivujen 158 ja 159 taulukoissa. Lisäksi käsittelen näillä sivuilla perusteelli-

semmin 4-järjestelmää ja 5-järjestelmää. Sivuilla 168–169 kurkistetaan hiukan tietokoneen ajattelutapaan ja

samalla myös 2-järjestelmään (binäärijärjestelmään) ja 16-järjestelmään. Siellä näemme myös, miten helppo

on muuntaa binäärijärjestelmän luku 16-järjestelmään (eli heksadesimaalijärjestelmään) ja päinvastoin.

Binäärijärjestelmään tutustuminen ja sen ymmärtäminen olisi hyödyllistä jo hyvinkin aikaisessa vaiheessa,

suosittelisin käsittelyä jo alaluokkien puolella. Kirjan Pulmanurkassa on useita binäärijärjestelmään liittyviä

tehtäviä. Kallen ilmiömäinen kyky laskea vaikeitakin kertolaskuja (s. 221) perustuu pelkästään binäärijärjes-

telmään. Siihen perustuu myös sivulla 220 oleva ”Luen ajatuksia 2”.

Binäärijärjestelmä tulee tutuksi, jos jaksaa paneutua näiden pulmatehtävien ratkai-

suihin. Kallen tapauksessa ymmärtäminen on selvästi vaativampi haaste. Ennen

”Luen ajatuksia 2” –tehtävää voisi rakennella vieressä olevan kuvan mukaiset kol-

me korttia, joilla voi arvata naapurin päästä lukuja 1-7. Ymmärtäminen on sitten

helpompaa neljän ja viidenkin kortin tehtävissä.

Korteista voi helposti nähdä miten luvut rakentuvat luvun 2 potensseista:

1 = 20 ja voi siis olla vain ensimmäisessä kortissa,

2 = 21 ja voi olla ainoastaan toisessa kortissa,

3 = 21 + 20, joten sen on oltava ensimmäisessä ja toisessa kortissa,

4 = 22 ja voi siis esiintyä vain kolmannessa kortissa,

5 = 22 + 20, joten sen on oltava ensimmäisessä ja kolmannessa kortissa,

6 = 22 + 21, joten sen on oltava toisessa ja kolmannessa kortissa ja

7 = 22 + 21 + 20, joten sen on siis esiinnyttävä jokaisessa kolmessa kortissa.

6

Korttien vasemmassa ylänurkassa ovat nimikkoluvut eli luvun 2 potenssit nousevassa järjestyksessä. Jokai-

nen kokonaisluku voidaan rakentaa luvun 2 potenssien summana.

Idea on siis se, että annetaan kaverin valita päähänsä luku 1-7, jonka luvun hän pitää omana tietonaan. Sitten

korttien omistaja näyttää hänelle ensin kortin, jossa vasemmassa yläkulmassa on luku 4 ja kysyy: onko se

luku tässä? Jos on, painaa nelosen mieleensä. Sitten hän näyttää korttia, jossa nimikkolukuna on 2 ja kysyy

samalla tavalla. Jos vastaus on myöntävä, kysyjän päähän on rakentunut jo luku kuusi. Jos kysyjä vastaa

vielä viimeisenkin kortin kohdalla myöntävästi, kaverin ajattelema luku on 7. Kun kysyjä esittää kortit tässä

järjestyksessä, hänen ei tarvitse itse nähdä ollenkaan korttien numerosivuja.

Murtolukujen syventelyä eri lukujärjestelmien avulla

Pelkään, että monet kokevat murtolukujen opiskelun kohtalaisen tyl-

säksi. Näin ei tarvitse olla. Murtolukuja voidaan havainnollistaa mo-

nin eri tavoin, ja eläviä esimerkkejä löytyy pilvin pimein käytännön

elämästä. Voimme esim. paloitella piirakoita tai latoa laatikkoon eri-

värisiä palloja, ellemme halua heti käyttää matemaattista alustaa,

esimerkiksi lukusuoraa.

Kun kokonaislukujen jakaminen alkutekijöihin (s. 55-56) on hyvin

hallinnassa, supistaminen ja laventaminen ovat luonnostaan niin sel-

vät, ettei tarvitse päntätä päähän kirjoissa toistettua sääntöä: supista-

minen on sitä. että osoittaja ja nimittäjä jaetaan samalla luvulla. Ei

myöskään laventamissääntöä.

Kirjassa (s.123) olen käyttänyt sanaa supistusketju, jonka avulla olen

johdatellut lukijaa ymmärtämään, että supistaminen on sitä, että osoit-

tajasta ja nimittäjästä voidaan poistaa kaikki yhteiset tekijät, ja luvun

arvo säilyy muuttumattomana.

Laventamisen kohdalla tilanne on samanlainen, vaikkakin päinvastainen. Siinä vain lisätään sama tekijä sekä

osoittajaan että nimittäjään (ks. s. 123-124).

Kun kymmenjärjestelmän perusteet ovat selvillä, ja on tutustuttu alustavasti kokonaislukujen avulla eri luku-

järjestelmiin (s. 158-163), on hyvä syvennellä asiaa tutkimalla, miten eri luvut käyttäytyvät pilkun jälkeen

eri lukujärjestelmissä. Tässä tutkistelussa kannattaa jättää luvun kokonaisosa pois ja käyttää siis vain 0, -

alkuisia lukuja ja syöttää koneeseen aluksi luku, jossa on vain yksi numero pilkun jälkeen. On hyvä palauttaa

mieliin myös se, että lukujärjestelmän suurin numeromerkki on yhtä pienempi kuin lukujärjestelmän kanta-

luku. Me elämme 10-järjestelmästä, jonka kantaluku on siis 10. Tiedämme, että suurin numero tässä järjes-

telmässä on 9. Viisijärjestelmässä suurin numero on 4 jne.

Matikkaretkien sivuilla on mielenkiintoinen muunnoskone (http://www.matikkaretket.fi/index.php?id=16),

jonka avulla voi tehdä näitä tutkimuksia ja samalla syvennellä murtolukujen hallintaa. Koska en Internetin

tarjonnasta löytänyt riittävän monipuolista muunnoskonetta, pyysin poikaani tekemään sellaisen. Hän onnis-

tui mielestäni erinomaisesti. Omaehtoiset tutkimusretket lukujen kiehtovaan maailmaan saattavat olla hyvin-

kin innostavia ja haastavia.

Yritän seuraavassa muutamin esimerkein havainnollistaa, millaisia harjoituksia muunnoskoneen kanssa voisi

tehdä. Kokeillessa jokainen löytää vaivattomasti omia polkujaan.

Ennen tutkimuksen aloittamista olisi hyvä kerrata kirjasta kappale ”Onneksi meillä on kymmenen sormea

eli hiukan asiaa lukujärjestelmistä”, ja siellä erityisesti sivut 164-166.

7

Koneessa on valmiina syötettynä alla olevassa kuvassa näkyvä esimerkki, jonka vastauksen saat napsautta-

malla Laske-painiketta. Voit sitten tehdä omia tutkimuksiasi ja hämmästellä tuloksia. Ota tutkimuksen koh-

teeksi myös lukuja, jotka sisältävät pilkun.

Muunnoskoneella ”leikkiessäsi” täytyy pitää tiukasti mie-

lessä, että esim. 2-järjestelmän luku 0,1 on aivan muuta kuin

oma desimaali-lukumme 0,1, joka on yhtä suuri kuin 1/10.

Kun muutat 2-järjestelmän luvut 0,1 kymmenjärjestelmään,

saat tulokseksi 0,5 eli 1/2.

Tämä näkyy alla olevassa kuvassa, joka kuvaa 2-

järjestelmän luvun 0,1 muuntamista 4-järjestelmään.

Voit syöttää tiedot koneeseen ja tarkistaa tuloksen.

Muunnoskoneen tuloksesta tiedämme, että 0,12 = 0,24. Murtolukuina

viereisestä kuvasta toteamme saman asian 1/2 = 2/4.

Kokeile kuitenkin luvulla 0,112, jonka olen asettanut valmiiksi alem-

paan kuvaan. Koska saat kuvasta yhteenlaskun 1/2 + 1/4, laske tulos

päässäsi (tai paperilla) ja päättele, minkä luvun kone antaa 4-järjes-

telmään. Päättelysi tuloksen voit tarkistaa koneella.

Jatka kokeiluasi esim. niin, että lisäät lähdelukuun uusia ykkösiä. Katso

millä tavalla kohdejärjestelmän luku käyttäytyy.

Pidä koko ajan mielessäsi, että jokainen mihin tahansa paikkajärjestelmään pilkun oikealle puolelle kirjoitet-

tu luku voidaan aina merkitä murtolukujen summana. Esimerkiksi 10-järjestelmän luku 0,12345 sisältää

summan

1/10 + 2/100 + 3/1000 + 4/10 000 + 5/100 000.

Mietipä viereisen kuvan avulla, minkä summan sisältää 3-järjetelmän luku 0,213. Pystytkö

summan avulla päättelemään, mikä tämä luku on 9-järjestelmässä? Kuvan luvusta tulee

suhteellisen helppo murtolukujen yhteenlasku.

Jos muunnat tätä lukua luvun kolme ”sukulaisjärjestelmiin” (6-, 12-, 15-, 18-, 21-,

24-, 27-, 30-, 33- ja 36-järjestelmä), huomaat, että aina on tuloksena pilkun jälkeen nopeas-

ti päättyvä luku. Kun kokeilet järjestelmiä, joiden kantaluku on suurempi kuin 10, vastaan tulee uusia kir-

jainnumeroita, joiden sisällön näet muunnoskoneen yläpuolella olevasta taulukosta.

Mielenkiintoiset tulokset saat, kun valitset kohdelukujärjestelmäksi 18, 27 tai 36. Merkitse tulos murtoluku-

na 10-järjestelmään, niin huomaat, että luku supistuu 7/9:ksi. Huomaa, että 27-järjestelmässä pilkun jälkeen

ei ole numero 1, vaan kirjainnumero l. Jos kokeilet muilla kuin ”sukulaisjärjestelmillä”, huomaat että aina

toistuu pilkun jälkeen lyhyempi tai pitempi numerosarja.

Erittäin mielenkiintoiset tulokset saat, kun kohdelukujärjestelmänä on 10, 19 tai 28. Viimeksi mainitussa

toistuu kirjainnumero l, eikä numero 1.

Varsinkin näistä viimeksi mainituista kokeiluista on hyvin lyhyt hyppäys lähteä tutkimaan myös geometrisia

sarjoja, mikä aiheena on hyvin kiehtova. Päättymätöntä geometrista sarjaa olen käsitellyt kirjassa sivuilla

100 ja 170-171.

Edellä olevat esimerkit valaisevat aihetta vain hyvin suppeasti. Kokeilemalla löydät koko ajan uusia tutki-

musaiheita. Tällainen löytöretkeily kuuluu olennaisesti matematiikan luonteeseen.

8

Ovatko laskutoimitukset oppilaille sisällöllisesti selvät?

Kirjan alkusivuilla (s. 18 -) pyrin selvittämään helppotajuisesti laskutoimitusten sisältöä. Yhteen- ja kerto-

lasku lienevät helpoimmin käsitettävät, mutta sekä vähennyslasku että jakolasku sisältävät piirteitä, jotka

eivät käsitteellisesti ole edes lähellä laskutoimituksen nimitystä.

Vähennyslasku (ja myös sana erotus) tuo aika selvästi mieleen vähenemisen tai sen, että jostakin erotetaan

osa erilleen. Jakolasku taas antaa mielikuvan karamellien, kakun tai jonkin muun asian jakamisesta. Ja toki

nämä edellä mainitut ominaisuudet liittyvät näihin laskutoimituksiin.

Mutta kun on kysymys kahden asian vertaamisesta, vähentäminen tai erilleen erottaminen eivät käsitteelli-

sesti olekaan enää lähellä laskutoimituksen nimitystä. Vähennyslaskun kaksinaisuutta yritän lyhyesti selvit-

tää sivuilla 21–22.

Jakolaskua selvittelen sivuilla 22–28. Kirjassa kerron, että opetustyössäni otin käyttöön kaksi erilaista jako-

merkkiä, jotta voisin havainnollistaa paremmin jakolaskun kaksinaisuuden. Lisäksi käytin nimitysten ositus-

jako ja sisältöjako tilalla omatekoisia nimityksiä varsinainen jakaminen ja jatkuva erotus. Näin sain ehkä

oppilaille hiukan paremmin selvitettyä jakolaskun ominaisuuksia.

Uskallan olettaa, että oppilaat ratkaisevat monet sanalliset tehtävät huomattavasti helpommin, jos heille on

pystytty selvittämään riittävästi laskutoimitusten olemus, ja he ovat asian sisäistäneet.

Sanallisista tehtävistä

Opettajaurani aikana melko usein joko oppilas tai oppilaan vanhemmat kysyivät, voisinko antaa tukiopetusta

sanallisten tehtävien ratkaisemisesta. Ehkä olet törmännyt samaan kysymykseen. Yleensä en tähän suostu-

nut. Yritin selvittää vanhemmille, että ajan ja kokemusten karttumisen myötä lapsen matemaattinen ajattelu

kypsyy, jolloin hän oppii näkemään asiayhteyksiä selkeämmin ja sitä kautta valmiudet sanallistenkin ongel-

mien ratkaisemiseen vahvistuvat. Tärkeitä asioita näiden valmiuksien vahvistumisessa olisivat mm, seuraa-

vat:

- Kaiken perustana on myönteinen asenne opiskeluun yleensä.

- Positiivinen ja utelias suhtautuminen matematiikkaan ja yleensäkin uusien asioiden löytämiseen. On-

gelmana vain on, miten tähän päästään, jos lapsi kokee matematiikan vastenmieliseksi pakkopullaksi.

Tässä on todellinen haaste vanhemmille ja opettajille. Teokseni ”Löytöretkiä …” voisi olla tässä

apuna.

- Päättelykyvyn harjoittaminen (ja myös päässälaskujen harjoitteleminen) antaa pikku hiljaa varmuutta

ongelmien ratkaisuavainten löytymiseen. Päättelykykyä kannattaa aina harjoitella esim. vastauksen

suuruusluokan tarkastelussa.

- Matematiikan perusasioiden (ikä huomioiden) hallinta on tärkeä. Tähän liittyy mm. aikaisemmin

mainittu laskutoimitusten olemuksen ymmärtäminen ja sisäistäminen.

- Matematiikan tarjoamien muiden välineiden (esim. verranto) hyödyntäminen.

- Hyvä ja erittäin tärkeä keino on, että oppilas yrittää aina piirtää ongelmasta kuvan, jos se vain on

mahdollista. Yleensä on.

- Jokapäiväisen arkielämän pikku ongelmia voi tarkastella matemaattisesti. Konkreettisia esimerkkejä

löytyy autolla ajamisesta, retkeilystä ym., kaupassa käynnistä puhumattakaan. Näitä mahdollisuuksia

vanhempien kannattaisi hyödyntää.

Laskutoimitusalgoritmeista

Taskulaskin on tullut jäädäkseen, ja se on todella hyvä apuväline jokapäiväisessä elämässä. Hyvin harva

suorittaa aikuisena laskutoimituksia kynällä ja paperilla, koska kännykkääkin voi tarvittaessa käyttää laski-

mena. Mutta laskin ei saa vallata liian tärkeätä osaa lasten matematiikan opiskelussa, ennen kuin algoritmit

on kunnolla omaksuttu.

Algoritmien merkitys ei ole pelkästään siinä, että lapsi oppii mekaanisesti jonkun laskutoimituksen, jotta sitä

voisi sitten tarvittaessa käyttää myöhemminkin. Merkitys on pikemminkin siinä, että algoritmeja harjoitel-

lessaan lapsi käsittelee lukuja ja harjaannuttaa myös koko prosessin ajan matemaattista ajatteluaan.

9

Rohkenen väittää, että edelleen on hyvin tärkeätä – laskimista ja tietokoneista huolimatta – että lapset oppi-

vat hyvin neljän peruslaskutoimituksen algoritmit.

Villi ehdotus. Kirjassani esittelen sivulla 30 vähennyslaskualgoritmin, jossa ei tarvita ollenkaan lainaamista,

ei edes hankalaa nollan yli lainaamista. Löysin tähän algoritmin vasta eläkkeelle siirryttyäni, joten omille

oppilailleni tätä en ehtinyt opettaa. Valitettavasti.

Vasemmalla on laskettu vähennyslasku perinteisen algoritmin mu- kai-

sesti. Oikealla on sama tehtävä kirjassa esitetyllä algoritmilla. Kun pei-

tät oikealla olevasta kuvasta nuo ohjenuolet pois, huomaat miten pal-

jon siistimmin ja helpommin siinä tulos saadaan.

Vasemmalla puolella virheitä voi syntyä paljon helpommin.

Vaikka nykyinen algoritmi varmasti puoltaa paikkaansa siinäkin mielessä, että se pakottaa lapsen keskitty-

neeseen ajatteluun, uskallan ehdottaa, että kouluissa otettaisiin käyttöön esittelemäni malli.

Uskallan tehdä vielä rohkeamman ehdotuksen sillä perusteella, että tunnen riittävän huonosti ensimmäisen ja

toisen luokan matematiikan kirjoja: Tämä esittelemäni algoritmi kannattaisi opettaa jo ekaluokalla sen jäl-

keen, kun on riittävästi opiskeltu kymppipareja ja tutustuttu perusteellisesti vähennyslaskuihin lukualueella

0–10. Vähennyslaskun perusteellinen opettaminen merkitsisi sitä, että ekaluokalla pyrittäisiin riittävin har-

joituksin selvittämään myös vähennyslaskun molemmat puolet (vähentäminen ja vertaaminen). Tästä olisi

etua, kun oppilaat myöhemmin ratkovat niihin liittyviä sanallisia tehtäviä. Jos luvut ovat lähellä toisiaan,

vastaus etsitään mieluummin vertaamalla. Kun luvut ovat kaukana toisistaan, käytettäisiin vähentämistä.

Koska liikutaan lukualueella 0–10, hankalia vähennyslaskuja ei vielä olisikaan.

Runsas harjoittelu antaa tulokseksi sen, että oppilas oppii huomaamattaan ”vähennyslaskutaulut” lukualueel-

la 0–10. Yhteenlasku saisi alussa jäädä vähennyslaskun ”jalkoihin”. Toki yhteenlaskuakin voi ja pitää harjoi-

tella helpoilla luvuilla, mutta harjoitteiden avulla pyrittäisiin saamaan ensiksi kymppiparit ja vähennyslasku

vahvaan hallintaan. Kun sitten vielä otetaan ohjelmaan tämä erilainen algoritmi, jossa vaikeatkin tehtävät

ratkeavat helpoilla yksittäisillä vähennyslaskuilla ja kymppiparien löytämisellä, nämä edellä olevat kaksi

perusasiaa on saateltu onnellisesti oppilaan selkäytimeen. Tämän pääoman turvin yhteenlaskutkin omaksu-

taan vaivatta, ja on helppo siirtyä hiukan hankalampiin päässä suoritettaviin yhteen- ja vähennyslaskuihin.

Tämän villin ehdotuksen saatte vapaasti ampua lennosta alas, jos ampuminen tuntuu mukavalta.

Koska minulla todella ei ole kokemusta alkuluokilta, älä liian hanakasti lähde minun kehotuksestani esittä-

määni kokeiluun, mutta tästäkin asiasta pitäisi voida ainakin keskustella.

”Vierailu Intiaan”. Sivulla 70 esittelen vanhan intialaisen kertolaskualgoritmin, jonka opettaja voi ottaa

kuriositeettina mukaan omaan opetukseensa. Toki se on malli, johon oppilaat saattavat innostuakin, kun ei

tarvitse kertolaskua suorittaessa pähkäillä muistinumeroiden kanssa. Laskualgoritmeihin liittyen suosittelen

tutustumista sivulla 65 esiteltyyn hassuun tapaan tarkistaa laskutoimituksia. Edellä olikin jo maininta, että

tämä tapa perustuu luvun 9 jaollisuussääntöön. Lapset ovat luonnostaan kiinnostuneet tällaisista erikoisuuk-

sista, ja niiden avulla yleinen mielenkiinto matematiikkaakin kohtaan lisääntyy. Kun opettaja sitten vielä

sopivassa yhteydessä kertoo, mihin salaisuus perustuu, kasvaa myös oppilaiden matemaattinen tietämys.

Asioita, joita kirjassa ei käsitellä ollenkaan

Koska en ole useaan vuoteen lueskellut matematiikan opetussuunnitelmia enkä myöskään selaillut oppikirjo-

ja, en osaa tehdä täydellistä luetteloa niistä asioista, joita oppikirjoissa opetetaan alaluokilla, mutta joita en

ole kirjassani käsitellyt. Koska kirjani on nimensäkin mukaan tietynlainen retkikirja, ei siinä ole ollut tarkoi-

tuskaan käsitellä kaikkea mahdollista. Olen kuitenkin pyrkinyt siihen, että etenkin kaikki kirjan Perusosassa

käsitellyt asiat ovat keskeisiä matematiikan opiskelun kannalta. Lisäksi olen pyrkinyt löytämään asioihin

oppikirjoista poikkeavan lähestymistavan. Kirjan käyttäjä lopulta arvioi, miten olen siinä onnistunut.

10

Kaikkien mahdollisten asioitten esille ottaminen ei tietenkään ole kirjassani edes tarpeellista. Totean kirjan

alkusanoissa mm. näin: ”Kuitenkin haluan painokkaasti todeta, että matematiikan luja pohja luodaan

nimenomaan olemassa olevien oppikirjojen avulla ja opettajien kärsivällisellä työllä sekä vanhempien

kannustuksella. Toivon, että kirja toimisi oppikirjojen rinnalla opettajien ja vanhempien työn tukena ja in-

nostajana.”

Lähinnä tulee mieleen seuraavat asiat, joita kirjassa ei käsitellä:

- aikalaskut

- laskutoimitusten suoritusjärjestys

- erilaiset ”piirakat” ja muut diagrammit

- useat geometriaan liittyvät asiat

Geometriassa olisi paljonkin mielenkiintoisia aiheita, joita olisi ollut mukava ottaa kirjaan mukaan, mutta

Internetistäkin löytää todella hienoja ja havainnollisia geometriaan liittyviä sivuja. Lähinnä tämän tähden

jätinkin geometrian aika vähälle. Haastan kuitenkin oppilaat (tai kenen tahansa kirjan käyttäjän) sivulla 143

kanssani kulmien mittauskilpailuun.

Ohi kirjan ja opetussuunnitelmien

Kerhoja pitäisi olla kouluissa runsaasti. Kysymys on tietenkin resursseista, joita joudutaan pikemminkin vain

puristamaan entistä ahtaammiksi. Jos kerhoihin annetaan mahdollisuuksia, niitä pitäisi ehdottomasti saada

myös matematiikkaan. Kirjan sivulla 121 on kerrottuna eräs ”projekti”, jonka toteutin aikanaan pitämässäni

matematiikkakerhossa. Uskallan kirjan esipuheessa väittää, että kirja tarjoaa materiaalia noin sataan kerho-

kertaan. Matemaattisesti lahjakkaat ja matematiikasta innostuneet lapset saavat kyllä omatoimisestikin irti

kirjasta jännittäviä asioita, mutta yhdessä kokeminen olisi varmasti hauskempaa.

Vaikka kerhoihin ei olisi mahdollisuuksia, ja vaikka matematiikan viikkotuntimäärä ei anna riittäviä resurs-

seja siihen, että oppitunneilla voisi valottaa matematiikan maailmaa oppilaille kaikessa viehättävyydessään

ja jännittävyydessään, haluaisin kuitenkin rohkaista alaluokkien opettajia pikku ”kapinaan” ohi oppikirjan ja

opetussuunnitelman. Kun opettaja uskaltautuu pienille matemaattisille ”harharetkille”, matematiikan suosio

saattaa hetkessä revähtää uusiin lukemiin. Mahdollisuuksia on rajattomasti, ja niihin kirjani pyrkii antamaan

vinkkejä.

Seuraava esimerkki, jota ei voi pitää harharetkenä, löytyy Pulmanurkasta. Kun neljännellä luokalla on opis-

keltu kertolasku allekkain yksinumeroisella kertojalla, opettaja kirjoittaa taululle luvun 142857 ja antaa eri

jonoille/ ryhmille tehtävän siten, että yksi ryhmä kertoo luvun 2:lla, toinen 3:lla, aina 7:ään saakka. Sillä

aikaa, kun lapset laskevat, opettaja kirjoittaa taululle:

2 ∙ 142857 =

3 ∙ 142857 =

4 ∙ 142857 =

5 ∙ 142857 =

6 ∙ 142857 =

7 ∙ 142857 =

Jokaisen ryhmän edustaja kirjoittaa vastauksen taululle. Jos tehtävät on laskettu oikein, lapset havaitsevat

nopeasti jotakin kummallista. Tästä ainakin opettaja voi innostua tutkimaan tarkemmin ”taikalukuja” kirjan

sivulta 223 alkaen. Lukujen mystinen maailma voi olla todella yllättävä.

Pulmanurkassa on useassa kohdassa koottuna ”Lukujen kummajaisia” (s. 217, s. 224 ja s. 227 ).

Osassa ”taikuus” selviää aika helposti, mutta joissakin kohdissa on vain ihmeteltävä.

11

Luvun jaollisuus ja taikakertoimet. Palataan vielä hiukan jaollisuussääntöihin. Korostaisin niiden osaami-

sen merkitystä lähes yhtä paljon kuin kertotaulujenkin täydellistä hallintaa. Jaollisuussääntöjä olen käsitellyt

perinpohjaisesti sivuilla 59–64. Monen asian ymmärtäminen helpottuu huomattavasti, kun jaollisuussäännöt

ovat niin hyvin mielessä, että pystyy suuremmitta vaivoitta toteamaan, millä luvuilla tutkittava luku on jaol-

linen. Sopiva testitehtävä on kirjan sivulla 64. Jos oppilas ratkaisee sujuvasti tuon testitehtävän ja pystyy

omatoimisesti laatimaan jaollisuussäännön vaikkapa luvuille 15, 18 ja 90, hän on sisäistänyt jaollisuussään-

nöt todella hyvin. Tähän saakka jaollisuudessa ei ole mitään taikuutta.

Termi taikakerroin on minun keksintöni. Se oli pakko ottaa käyttöön, kun luvun 7 jaollisuussääntö (s. 58)

avasi aivan uusia näköaloja lukujen maailmaan. Jos mahdollisuuksia löytyy, opettaja voi viedä oppilaat aika

jännittäville ”harharetkille” MATIKKAEKSPERTTIEN sivuilla 194–196. Kun siellä kerrotaan, miksi lu-

vuilla 2 ja 5 ei voi olla taikakerrointa, poraudutaan aiheeseen vielä syvällisemmin. Tässä voin todeta, että 10-

järjestelmän luvuilla, joissa on tekijänä 2 tai 5 (2 • 5 = 10), ei voi olla taikakerrointa. Ja yleisesti voidaan

sanoa, että n-järjestelmän sellaisella luvulla, joka sisältää yhdenkin luvun n tekijän, ei voi olla taikakerroin-

ta. Näitä taikakerroinasioita on mukava tutkia sivun 195 alareunan laatikossa annetussa Internet-osoitteessa

http://www.math.uwaterloo.ca/~snburris/htdocs/linear.html. Katso tarkemmat käyttöohjeet tuosta laatikosta.

Voit tehdä ihan mielenkiintoisia havaintoja.

Vektorit kuuluvat varsinaisesti peruskoulun ylempien luokkien ja lukion oppimäärään, mutta jos opettaja

suinkin löytää sopivan ajan, niin jo kolmannella (ja vaikkapa toisellakin) luokalla voi niitä ottaa askarte-

lunomaisesti esiin, kuten olen kertonut kirjassa sivulla 82. Tutustuminen voi jäädä pelkkien ”tulitikkuleik-

kien” tasolla, mutta aihetta voi halutessaan syventää hienoksi matematiikaksi oppilaiden kiinnostuksen mu-

kaan.

Vektoreista saa irti hyvinkin runsaasti haastavia aiheita, jotka ovat alaluokkalaisillekin täysin mahdollisia.

Vektoreita olen tarkastellut sivuilla 82–84 ja vielä syvällisemmin sivuilla 203–207.

Lukusuora on esillä matematiikan kirjoissa alaluokilla, mutta en ole varma, osataanko sen mahdollisuuksia

hyödyntää riittävästi. Tätä aihetta olen käsitellyt kirjassa sivuilla 77–81. Koordinaatisto on sellainen alusta,

joka pitäisi opettaa jo alaluokilla kolmannelta alkaen oppilaille niin, että kaikki neljännekset ovat mukana.

Koordinaatiston mahdollisuuksia selvittelen sivuilla 85–92. Sivulla 86 oppilaat saavat tehdä matemaattisen

löydön, joka osoittautuu tärkeäksi Pascalin kolmioksi. Pascalin kolmiota tarkastellaan sivulla 150.

Näille ”harharetkille” löytyy kirjasta tavattoman paljon materiaalia. Sitä löytyy jonkin verran kirjan perus-

osastakin. MATIKKAEKSPERTEISSÄ aineistoa on kautta linjan. Nostaisin sieltä opetuksen kannalta mer-

kittävänä osiona esiin aiheen ”Tarvitaanko kaavaviidakkoa kappaleiden tilavuuslaskuissa?” (s. 182). Rooma-

laiset luvut selvitän melko perusteellisesti sivuilla 197–200.

Uskallan sanoa, että alaluokkienkin opettajan kannattaa kahlata Matikkaekspertit tarkasti läpi.

Monissa Pulmanurkan aiheissa on myös tiettyä jännitystä. Oman mielenkiintoisen maailman siellä muodos-

tavat ns. taikaneliöt (s. 218), joihin olin innostunut jo pikkupoikana. Tässä on turha luetella kaikkea sitä,

mitä Pulmanurkka sisältää. Se on hyvin kirjava kokoelma.

Kovimmat haasteet kirjassa

Olen pyrkinyt kirjoittamaan kirjan niin, että matematiikasta innostunut ja siinä pärjäävä oppilas pystyy oma-

toimisestikin tekemään hyvin nuorena tosi haasteellisia ja vaikeita retkiä matematiikan mielenkiintoiseen

maisemaan. Haasteet ovat joissakin kohdin niin vaativia, että niistä riittäisi aineksia yläluokkienkin matema-

tiikkakerhoille, jolloin niitä voisi pohtia ja selvittää yhdessä kavereiden kanssa.

Ystävämme Pythagoras. Tässä emme voi puhua älyllisesti kovin vaikeasta haasteesta, mutta itse Pythago-

raan lauseen todistaminen palapelien avulla suorastaan kutkuttaa ”matemaattista makuaistia”. Sivuilla 187–

191 asiaa on ensin avattu askartelulla ja sitten matematiikalla. Kerholaiset varmasti innostuisivat aiheesta.

12

Fibonaccin lukusarja ja kultainen leikkaus. Aihetta käsittelen sivulta 151 alkaen. Voin sanoa, että nämä

sivut olen kirjoittanut suorastaan häkeltyneenä siitä, minkälaista kauneutta, harmoniaa ja syvyyttä yksinker-

taiset luvut ja lukujen suhteet voivat pitää sisällään. Hämmästellen voi todeta, miten luontokin on tulvillaan

Fibonaccin lukusarjaan ja kultaiseen leikkaukseen liittyviä asioita. Kultainen leikkaus matemaattisena suh-

teena on tämän osan haastavin asia. Fibonaccin lukusarjaa ja Kultaista leikkausta käsittelee mielenkiintoisel-

la tavalla tunnettu taidegraafikko Kimmo Pälikkö omilla sivuillaan:

http://www.kp-art.fi/taustaa/taustaa2/44.htm. Tähän aiheeseen liittyvät myös Pulmanurkan alussa (s. 216)

olevat mystiset ruudukot.

Kurkistus pilkun taakse muissa lukujärjestelmissä tarjoaa aivovoimistelua yllin kyllin. Retki pilkun taak-

se muissa järjestelmissä (s. 164–167) tarjoaa seikkailun lisäksi yllättäen syventävän sukellusretken myös

murtolukujen maailmaan.

Tässä yhteydessä en voi olla mainostamatta Matikkaretkien sivuilla olevaa muunnoskonetta, jolla voi tutkia

lukuja, joihin sisältyy pilkku, muissa lukujärjestelmissä ja muuntaa niitä toisiin järjestelmin. Tämä muun-

noskone, jonka esittelin jo sivulla 7 ja jolle ei helposti löydä vertaista muualta Internetistä, on linkissä

http://www.matikkaretket.fi/index.php?id=16.

Päättymätön geometrinen sarja (s. 170–171) on alaluokkien oppilaalle raju haaste, mutta jos siihen pääsee

sisälle, ei varmasti retkelle lähteminen kaduttanut. Se valottaa nimittäin hyvin jännittävällä tavalla desimaali-

ja murtolukujen maailmaa.

Kapprekarin ja Hailstonen luvut sekä Moessnerin löytö (s. 208–210) ovat esimerkkejä siitä, miten mate-

matiikan leikeissä ”isot pojat” löytävät yllättäviä asioita. Hailstonen luvuilla on mahdollista leikkiä vaikkapa

tässä linkissä http://www.rickdicks.com/hscalc.php.

**************************************

Itse pidin todella paljon matematiikan opettamisesta. Toivon, että sinäkin jaksat säilyttää innon ja tutkivan

mielen. Kyllä oppilas vaistoaa herkästi, kiinnostaako matematiikka opettajaa, vai opettaako opettaja sitä vain

leipätyönään.

Toivotan voimia ja menestystä haasteellisessa ja erittäin arvokkaassa opettajan työssä.

Ja mikäli et ole opettaja, toivotan sinulle antoisia retkiä matematiikan mielenkiintoiseen maailmaan.

13