ÁREA : MATEMÁTICA

PROBLEMAS RESUELTOS

DE POLÍGONOSI.E.P.Nº 2874 Ex 451

2013

Halla la suma de todos los ángulos internos del polígono cóncavo

Del enunciado:

Problema Nº 01

RESOLUCIÓN

180 ( 6 ) 1080º

180°( n - 2 ) 180°( 8 – 2 )

Que polígono tiene 9 diagonales

Del enunciado:

Problema Nº 02

RESOLUCIÓN

n = 6

2

) 3n ( nND

2

) 3n ( n9

18 = n2 – 3n n2 – 3n – 18 = 0

(n – 6 ) ( n + 3 ) = 0

Hexágono

Halla el ángulo interno del polígono regular cuyo ángulo central es 45º

Problema Nº 03

RESOLUCIÓN

n

º360central 8n

n

º360º45

n

)2n(180int

8

)28(180int

8

)6(180int º135int

Como se llama el polígono en el que la suma de sus ángulos internos y externos es 1800º

360° + 180°( n - 2 ) = 1800°

Se + Si = 1800°

Resolviendo:

Del enunciado:

Luego, reemplazando por las propiedades:

Problema Nº 04

RESOLUCIÓN

360° + 180°n – 360º = 1800°

180°n =1800º n =10 DECÁGONO

Cuanto suman los ángulos del polígono que tiene catorce diagonales

Problema Nº 05

RESOLUCIÓN

n = 7

2

) 3n ( nND

2

) 3n ( n14

28 = n2 – 3n

n2 – 3n – 28 = 0 (n – 7 ) ( n + 4 ) = 0

Hallando la suma de los ángulos internos

Si = 180º( n – 2) Si = 180º( 7 – 2) Si = 180º( 5 )

Si = 900º

En que polígono la suma de los ángulos internos es 540º

540º = 180°( n - 2 )

540º = 180n – 360º

Si = 180º ( n – 2 )

Problema Nº 06

RESOLUCIÓN

n = 5

900º = 180n

PENTÁGONO

Halla el número de lados de un polígono, sabiendo que en el se pueden trazar 104 diagonales

208 = n2 -3n

Problema Nº 7

RESOLUCIÓN

n = 16

n2 -3n – 208 = 0

2

) 3n ( nND

2

) 3n ( n104

( n – 16 ) ( n +13 ) = 0

Halla el número de diagonales del polígono cuya suma de ángulos internos es 1260º

Problema Nº 08

RESOLUCIÓN

n = 9

1620º = 180ºn

2

) 3n ( nND

Si = 180º ( n – 2 ) 1260 = 180º ( n – 2 )

1260º = 180ºn – 360

2

) 39 ( 9ND

2

) 6 ( 9ND 27ND

Cuantos lados tiene un polígono si desde uno de sus vértices se pueden trazar 6 diagonales

Problema Nº 09

RESOLUCIÓN

n = 9

n

)2n(º180m int

ND = n – 3 6 = n – 3

Uno de los ángulos internos de un polígono regular mide 150º, como se llama el polígono

Problema Nº 10

n

)2n(º180º150

150n = 180n – 360 360 = 30n n = 12

DODECÁGONO

Cinco ángulos de un hexágono miden 120º , 130º, º140º, 150º, 160º ; cuanto mide el sexto ángulo

Problema Nº 11

RESOLUCIÓN

Sint = 180º ( n – 2 )

700º

Sint = 180º ( 6 – 2 )

Sint = 180º ( 4 ) Sint = 720º

La suma de los ángulos: 120º , 130º, º140º, 150º, 160º es

Entonces el sexto ángulo mide

20º

Cuantos vértices tienen un polígono regular cuyo ángulo interno es 8 veces su ángulo externo

mi = 8(me )

n = 18 ladosn = 18 lados

)n

360(8

n

)2n(180

Problema Nº 12

Reemplazando por las propiedades:

Luego el polígono tiene 18 vértices

RESOLUCIÓN

= 180n – 360 = 2880

180n = 3240

Se tiene un decágono regular ABCDE… hallar la medida del menor ángulo que forman las prolongaciones de AB y ED

Problema Nº 13

Luego el exterior del polígono mide

RESOLUCIÓN

10

) 210( 801m int

n

) 2n( 801m int

)8(18m int º144m int

P

B D36º

216

72º

36º

36ºLuego el del polígono mide

72º

A

BC

D

E

F

GH

I

J

P

144º144º

144º

144º

144º

144º

144º

144º144º

144º

Si el número de lados de un polígono disminuye en 3, el número de diagonales disminuye en 12 ¿ cuantos lados tienen el polígono?

Problema Nº 14

RESOLUCIÓN

heptágono

2

)3n(nND

2

)33n)(3n(12ND

2

)6n)(3n(

2

24

2

)3n(n

18n9n24n3n 22 18n924n3

42n6 7n

Como se llama el polígono cuyo número de diagonales aumenta en 5 al aumentar el número de lados

Problema Nº 15

RESOLUCIÓN

2

) 3n( nND

El polígono es un hexágono

2

13n 1n5ND

2

13n 1n

2

10

2

)3n(n 13n 1n10n3n2

2n 1n10n3n2 2nn10n3n 22

2n10n3 10 + 2 = -n + 3n

12 = 2n n = 6

Si se quintuplica el número de lados de un polígono, las una de sus ángulos internos se sextuplica. Cual es ese polígono

Problema Nº 16

RESOLUCIÓN

El polígono es un Decágono

Si = 180º( n – 2 ) 6(Si ) = 180º( 5n – 2 )

6[180( n – 2 )] =180( 5n – 2 )

6[180n – 360] = 900n – 360

1080n – 2160 = 900n – 360

180n = 1800 n = 10

Al disminuir en 2 el numero de lados de un polígono, el numero de diagonales disminuye en 19. ¿Cual es la suma de los ángulos internos?

Problema Nº 17

RESOLUCIÓN

2

) 3n( nND

2

23n 2n19ND

2

5n 2n

2

38

2

)3n(n

5n 2n38n3n2 2n 1n38n3n2

10n7n38n3n 22 10n738n3

4n= 48 n= 12 Si = 180º( n – 2 )

Si = 180º( 12-2) Si = 180º(10) Si = 1800º

Calcula la suma de los números de dos polígonos equiángulos, sabiendo que las medidas de sus ángulos internos difieren en 4º y la suma de sus ángulos externos es 76º

Problema Nº 18

RESOLUCIÓN

n

)2n(180int

4y

)2y(180

x

)2x(180 4

y

)2y(

x

)2x(180

1y

)2y(

x

)2x(45

1

xy

)2y(x)2x(y45

45

1

xy

x2xyy2yx 45

1

xy

x2y2 45

1

xy

yx2

Continúa el problema

xy)yx(90 45

1

xy

yx2 …….1

Hallando la suma de los ángulos externos

n

º360m ext 76

y

º360

x

º360

76xy

)yx(º360

76xy

)x(360)y(º360

19xy

)yx(90 90

19

xy

yx

)xy(19)yx(90 )yx(9019)yx(90 yx19yx

y19x19yx y10x9 9

y10x Remplazando en 1

9

)y(y10)y

9

y10(90

9

)y(y10)

9

y9

9

y10(90

Continúa el problema

Hallando x

9

)y(y10)

9

y9

9

y10(90

9

y10)

9

y(90

2

9

y)

9

y(9

2

2yy9 9y

x9)9x(90 x9)9x(90 x)9x(10

x90x10 90x9 10x

Entonces : x + y es 19

Cual es el polígono convexo en el cual la suma del número de ángulos rectos a que equivale la suma de sus ángulos internos, más el número de vértices y más el número de diagonales, es igual a 23

Del enunciado:

Problema Nº 19

RESOLUCIÓN

232

)3n(nn

º90S int

n = 6

º90

)2n(º180S interiores rectos

232

)3n(nn

º90)2n(º180 23

2

n3nn)2n(2

2

054n3n2

2

46

2

n3n

2

n2

2

)2n(22 2

46nn8n4 2

0)6n)(9n(

Cuantos lados tiene el polígono regular cuyo ángulo interno es (x + 11) veces el ángulo externo y además se sabe que el numero de diagonales es 110x

Del enunciado:

Problema Nº 20

n

360)11x(

n

)2n(º180

2

)3n(nND

0252x65x2 2

)2)(11x(2n

24x2n Luego remplazamos en

2

)324x2)(24x2(x110

0)19x2)(28x( 28x

……1

24)28(2n 80n

Como se llama el polígono convexo, cuya suma de las medidas de los ángulos interiores es 1620º

1620º = 180º ( n - 2 )

Si = 180 ( n – 2 )

Del enunciado:

Luego, reemplazando por las propiedades:

Problema Nº 21

RESOLUCIÓN

180

16202n

Despejando ( n – 2 ):

n – 2 = 9 n = 11

endecágono

Calcula la suma de las medidas de los ángulos interiores de un cuadrilátero y hexágono

180°( 4 - 2 )

= 360º

Si = 180°( n – 2)

Del enunciado:

Luego, reemplazando :

Problema Nº 22

RESOLUCIÓN

180°( 6 - 2 )

= 720º

Si = 180°( n – 2)

Del enunciado:RESOLUCIÓN

180°( 2 )180°( 4 )

Luego, reemplazando :

n = 4n = 6

¿Cómo se denomina aquel polígono regular, en el cual la medida de su ángulo interno es igual a 8 veces la medida de un ángulo externo

mi = 8(me )

Resolviendo: n = 18 ladosn = 18 lados

Polígono de 18 ladosPolígono de 18 lados

Polígono es regular:

)n

360(8

n

)2n(180

Problema Nº 23

Del enunciado:

Reemplazando por las propiedades:

Luego polígono es regular se denomina:

RESOLUCIÓN

En un polígono, la suma de las medidas de los ángulos exteriores e interiores es 1980°. Calcule el total de diagonales de dicho polígono.

360° + 180°( n - 2 ) = 1980°

Se + Si = 1980°

Resolviendo: n = 11 ladosn = 11 lados

Número de diagonales:

2

)3n(nND

2

) 311 ( 11ND

ND = 44ND = 44

Del enunciado:

Luego, reemplazando por las propiedades:

Problema Nº 24

RESOLUCIÓN

Calcule el número de diagonales de un polígono convexo, sabiendo que el total de las diagonales es mayor que su número de lados en 75.

Resolviendo: n = 15 ladosn = 15 lados

Luego, el número total de diagonales:

2

)3n(nND

2

) 315 ( 15ND

ND = 90ND = 90

2

) 3n ( n

ND = n + 75

= n + 75

n2 - 5n - 150 = 0

Problema Nº 25

Del enunciado:

Reemplazando la propiedad:

RESOLUCIÓN

Si a un polígono regular, se le aumenta un lado, la medida de su ángulo interno aumenta en 12°; entonces el número de vértices del polígono es:

Resolviendo: n = 5 ladosn = 5 lados

NV= 5 vérticesNV= 5 vértices

Polígono es regular:

Polígono original: n ladosPolígono modificado: (n+1) lados

1n

) 21n (180 12

n

) 2n (180

Número de lados = Número de vértices

Problema Nº 26

Del enunciado:

Reemplazando por la propiedad:

RESOLUCIÓN

El número total de diagonales de un polígono regular es igual al triple del número de sus vértices. Calcule la medida de un ángulo central de dicho polígono.

Resolviendo: n = 9 ladosn = 9 lados

mc = 40°

Polígono es regular:

2

)3n(n = 3n

Luego, la medida de un ángulo central:

n

360m c

9

360m c

Del enunciado:

RESOLUCIÓN

ND = 3nReemplazando por la propiedad:

Problema Nº 27

EVALUACION MARCA LA RESPUESTA CORRECTA1.- Cual es el polígono cuyo numero de diagonales es

cinco veces el numero de ladosa) 10 b) 12 c) 13 d) 15

2.- La suma de ángulos internos de un polígono convexo es de 900..Hallar su numero de diagonalesa)10 b) 12 c) 13 d) 14

3.- Hallar el ángulo central de un polígono regular sabiendo que tiene 170 diagonalesa)10º b) 12º c) 13º d) 18º

4.- cual es el polígono convexo, tal que al duplicar el numero de lados, la suma de sus ángulos interiores se cuadruplica.a) 2 b) 3 c) 4 d) 5

¿cuál

será?