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fikai AULA FINANCIERA

MÓDULO 1:

FUNDAMENTOS DE LA INVERSIÓN

Índice2 Concepto de Capital Financiero

3 Comparación de capitales financieros Conceptos básicos de la

inversión

3 Ley financiera

8 Capitalización simple

Capitalización14 Capitalización compuesta

22 Introducción Descuento23 Descuento comercial simple

24 Descuento racional simple

26 Descuento racional compuesto

32 Tipos de interésTipos de interés yrentabilidad 34 Rentabilidad

44 Media y esperanza

46 Varianza y desviación típica Conceptos estadísticos

48 Covarianza y correlación 51 Regresión lineal mínimo cuadrática

62 Rentabilidad

66 Riesgo Rentabilidad y riesgo

69 Supuestos de la hipótesis de normalidad

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1fikai AULA FINANCIERA

1.1 Fenómeno financiero. Concepto de Capital Financiero

1.2 Comparación de capitales financieros

1.3 Ley financiera

1.3.1 Operación financiera

MÓDULO 1: FUNDAMENTOS DE LA INVERSIÓN

Capítulo 1. Conceptos básicos de la inversión

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2 fikai AULA FINANCIERA

1.1 Fenómeno financiero. Concepto de Capital Financiero

Capítulo 1: Conceptos básicos de la inversión

Cuando se dispone de una cantidad de dinero (capital) se puede destinar, o bien agastarlo (satisfaciendo alguna necesidad), o bien a invertirlo para recuperarlo en unfuturo más o menos próximo, según se acuerde.

De la misma manera que estamos dispuestos a gastarlo para satisfacer unanecesidad, estaremos dispuestos a invertir siempre y cuando la compensacióneconómica nos resulte suficiente. En este sentido el principio básico de lapreferencia de liquidez establece que a igualdad de cantidad los bienes máscercanos en el tiempo son preferidos a los disponibles en momentos más lejanos. Larazón es el sacrificio del consumo.

Este aprecio de la liquidez es subjetivo pero el mercado de dinero le asigna un valorobjetivo fijando un precio por la financiación que se llama interés. El interés se puededefinir como la compensación por la renuncia temporal del dinero o coste deoportunidad de no disponer del dinero durante un tiempo.

Esta compensación económica se exige, entre otras, por tres razones básicas:

• Por el riesgo que se asume.

• Por la falta de disponibilidad que supone desprenderse del capital durante un tiempo.

• Por la depreciación del valor del dinero en el tiempo.

La cuantificación de esa compensación económica, de los intereses, depende de tresvariables, a saber:

• La cuantía del capital invertido.

• El tiempo que dura la operación.

• El tanto de interés al que se acuerda la operación.

Cuando se habla de capital financiero (C; t) nos referimos a una cuantía (C) deunidades monetarias asociada a un momento determinado de tiempo (t).

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1.2 Comparación de capitales financieros


En una operación financiera no tiene sentido hablar de capitales iguales (aquellos en

los que coinciden cuantías y vencimientos), sino que siempre estaremos refiriéndonosa capitales equivalentes. Hay equivalencia entre dos capitales cuando a supropietario le resulta indiferente una situación u otra. Es decir, si resulta indiferentecobrar hoy 1.000 euros a cobrar 1.050 euros dentro de un año, entonces diremos queambos capitales (1.000; 0) y (1.050; 1) son equivalentes.

De una manera más general, dos capitales cualesquiera, C1 con vencimiento en t1 y C2 con vencimiento en t2, son equivalentes cuando se está de acuerdo en intercambiaruno por otro.

El concepto de equivalencia no significa que no haya ganancia o coste en laoperación. Todo lo contrario, la equivalencia permite cuantificar ese beneficio opérdida que estamos dispuestos a asumir en una operación concreta.

1.3 Ley financiera


Para que una operación financiera se realice es necesario que a los intervinientes lascuantías que dan y reciben les resulten equivalentes. Es necesario que deudor yacreedor se pongan de acuerdo en cuantificar los capitales de los que se parte y a losque finalmente se llega. Esto implica elegir un método matemático que permita dichasustitución: una ley financiera. La ley financiera se define como un modelomatemático (una fórmula) para cuantificar los intereses por el aplazamiento y/oanticipación de un capital en el tiempo. Conociendo las diferentes leyes financieras que existen y cómo funcionan se podránsustituir unos capitales por otros, pudiéndose formalizar las diferentes operacionesfinancieras.

1.3.1 OPERACIÓN FINANCIERA

CONCEPTO:Se entiende por operación financiera la sustitución de uno o más capitales porotro u otros equivalentes en distintos momentos de tiempo, mediante laaplicación de una ley financiera.En definitiva, cualquier operación financiera se reduce a un conjunto de flujos de caja(cobros y pagos) de signo opuesto y distintas cuantías que se suceden en el tiempo. Así, por ejemplo, la concesión de un préstamo por parte de una entidad bancaria a uncliente supone para este último un cobro inicial (el importe del préstamo) y unos pagosperiódicos (las cuotas) durante el tiempo que dure la operación. Por parte del banco, laoperación implica un pago inicial único y unos cobros periódicos.

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La realización de una operación financiera implica, por tanto, que se cumplan trespuntos:

1. Sustitución de capitales. Ha de existir un intercambio de un(os) capital(es)por otro(s).

2. Equivalencia. Los capitales han de ser equivalentes, es decir, debe resultar dela aplicación de una ley financiera.

3. Aplicación de una ley financiera. Debe existir acuerdo sobre la forma dedeterminar el importe de todos y cada uno de los capitales que compongan laoperación, resultado de la consideración de los intereses generados.

ELEMENTOS

- Personales

En una operación financiera básica interviene un sujeto (acreedor) que pone adisposición de otra (deudor) uno o más capitales y que posteriormente recuperará,incrementados en el importe de los intereses.

La acción de entregar por parte del acreedor y de recibir por parte del deudor seconsiderará la prestación de la operación financiera. La operación concluirá cuandoel deudor termine de entregar al acreedor el capital (más los intereses); a estaactuación por ambas partes se le denomina la contraprestación de la operación financiera.

En toda operación financiera las cantidades entregadas y recibidas por cada una delas partes no coinciden. El aplazamiento (o adelantamiento) de un capital en el tiempo

supone la producción de intereses que formarán parte de la operación y que habrá queconsiderar y cuantificar. Por tanto, prestación y contraprestación nunca sonaritméticamente iguales. No obstante, habrá una ley financiera que haga que resultenfinancieramente equivalentes, es decir, que si valorásemos prestación ycontraprestación en el mismo momento, con la misma ley y con el mismo tanto,entonces sí se produciría la igualdad numérica entre ambas.

Tanto la prestación como la contraprestación pueden estar formadas por más de uncapital que incluso se pueden solapar en el tiempo.

- Temporales

Al momento de tiempo donde comienza la prestación de la operación financiera se ledenomina origen de la operación financiera. Donde concluye la contraprestación de laoperación financiera se le llama final de la operación financiera. Al intervalo de tiempoque transcurre entre ambas fechas se le denomina duración de la operaciónfinanciera, durante el cual se generan los intereses.

- Objetivos

La realización de la operación financiera exige un acuerdo sobre aspectos tales como:la cuantía del capital de partida, la ley financiera que se va a emplear y, finalmente, el

tanto de interés (coste/ganancia) unitario acordado.

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CLASIFICACIÓN

Según la duración:

• A corto plazo: la duración de la operación no supera el año.

• A largo plazo: aquéllas con una duración superior al año.

Según la ley financiera que opera:

• Según la generación de intereses:

1) En régimen de simple: los intereses generados en el pasado no se acumulan y,por tanto, no generan, a su vez, intereses en el futuro.

2) En régimen de compuesta: los intereses generados en el pasado sí seacumulan al capital de partida y generan, a su vez, intereses en el futuro.

• Según el sentido en el que se aplica la ley financiera:

1) De capitalización: sustituye un capital presente por otro capital futuro.

2) De actualización o descuento: sustituye un capital futuro por otro capitalpresente.

Según el número de capitales de que consta:

• Simples: constan de un solo capital en la prestación y en la contraprestación.

• Complejas (o compuestas): cuando constan de más de un capital en la prestacióny/o en la contraprestación.

Según el interés:

• A interés explícito: cuando en la operación financiera se producen los intereses alaplicar el tipo de interés. Por ejemplo, un bono a 5 años con pago anual de intereses.

• A interés implícito: cuando los rendimientos se calculan sobre el valor nominal y sedescuentan de dicho valor nominal. Por ejemplo, una Letra del Tesoro a 12 meses.

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2.1 Capitalización simple

2.1.1 Definición y fórmula general2.1.2 Magnitudes derivadas2.1.3 Tantos equivalentes en capitalización simple2.1.4 Números comerciales: concepto y cálculo2.1.5 Interés simple anticipado

2.2 Capitalización compuesta

2.2.1 Definición y fórmula general2.2.2 Magnitudes derivadas2.2.3 Tantos equivalentes en capitalización compuesta


Capítulo 2. Capitalización

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2.1 Capitalización simple

Capítulo 2: Capitalización

2.1.1 DEFINICIÓN Y FÓRMULA GENERAL

Las operaciones en régimen de capitalización simple se caracterizan porque losintereses, a medida que se van generando, no se acumulan y no generanintereses en períodos siguientes (no son productivos). De esta forma los interesesque se producen en cada período se calculan siempre sobre el mismo capital – elinicial –, al tipo de interés vigente en cada período.Este régimen financiero es propio de operaciones a corto plazo (menos de un año),salvo que las condiciones de la operación indiquen lo contrario.

CONCEPTO:

Operación financiera cuyo objeto es la sustitución de un capital presente por otroequivalente con vencimiento posterior, mediante la aplicación de la ley financiera enrégimen de simple.

DESCRIPCIÓN DE LA OPERACIÓN:

Partiendo de un capital (C0) del que se dispone inicialmente – capital inicial –, se tratade determinar la cuantía final (Cn) que se recuperará en el futuro sabiendo lascondiciones en las que la operación se contrata (tiempo “n” y tipo de interés “i”).

CARACTERÍSTICAS DE LA OPERACIÓN:

Los intereses no son productivos, lo que significa que:

• A medida que se generan no se acumulan al capital inicial para producirnuevos intereses en el futuro y, por tanto

• Los intereses de cualquier período siempre los genera el capital inicial (C0),al tanto de interés vigente en dicho período.

Así pues, la fórmula general del valor de los intereses en capitalización simple, en elcaso de que el tipo de interés sea constante, es:

n·i·CI 0=

donde: i = Tipo de interés nominal expresado en tanto por uno y referido a un año.

n = Duración de la operación, expresada en años.

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DESARROLLO DE LA OPERACIÓN:

El capital al final de cada período es el resultado de añadir al capital existente al iniciodel mismo los intereses generados durante dicho período. De esta forma, la evolucióndel montante conseguido es el siguiente:

Cn = Co + I sustituyendo los intereses por la expresión n·i·CI 0=

Cn = Co + (Co · i · n)

Por tanto: )n·i+1(·C=C 0n

Siendo el factor de capitalización = (1 + i · n)

Expresión aplicable cuando el tipo de interés de la operación se mantiene constante

todos los períodos.

A partir de la expresión anterior (denominada fórmula fundamental de la capitalizaciónsimple) no solamente se pueden calcular montantes sino que, conocidos tres datoscualesquiera, se podría despejar el cuarto restante.

Finalmente, hay que tener en cuenta que «n» lo que indica es el número de vecesque se han generado (y acumulado) intereses al capital inicial, por tanto, esavariable siempre ha de estar en la misma unidad de tiempo que el tipo de interés (no importando cuál sea).

CASO TIPO DE INTERÉS VARIABLE:

Si el tipo de interés es variable la expresión para obtener el capital final o montantesería:

)i1·(C)i...iii1(·CC

n

1 j

j0n3210n ∑=

+=+++++=

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►EJEMPLO RESUELTO Cálculo del montante en C.S. i = cte

Calcular el montante obtenido al invertir 2.000 euros al 8% anual durante 4 años enrégimen de capitalización simple.

Para calcular el montante utilizamos la expresión: )n·i+1(·C=C 0n

C4= 2.000 · (1 + 0,08 x 4 ) = 2.640 €

►EJEMPLO RESUELTO Cálculo del montante en C.S. i = vble

Se quiere conocer qué capital podremos retirar dentro de 3 años si hoy colocamos1.000 euros al 5% de interés anual simple para el primer año y cada año nos suben eltipo de interés simple un punto porcentual.

En este caso al ser el tipo de interés variable, para calcular el capital final, aplicaremosla expresión:

)i1·(C)i...iii1(·CC

n

1 j

j0n3210n ∑=

+=+++++=

C3 = C0 · ( 1+ i1 + i2 + i3 ) = 1000 · ( 1+ 0,05 + 0,06 + 0,07 ) = 1180 €

Co = 2.000 € C4= ?

0 4 años

i = 8% = 0,08

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2.1.2 MAGNITUDES DERIVADAS

CÁLCULO DEL CAPITAL INICIAL:

Partiendo de la fórmula del capital final o montante y conocidos éste, la duración de la

operación y el tanto de interés (cte), bastará con despejar de la misma:

Cn = Co · ( 1 + n · i )

despejando C0 resulta:

i·n+1

C=C n

0

►EJEMPLO RESUELTO Cálculo del capital inicial en C.S. i = cte

¿Cuánto deberé invertir hoy si quiero disponer dentro de 2 años de 1.500 euros paracomprarme un coche, si me aseguran un 6% de interés anual simple para ese plazo?

i·n+1

C=C

n

0 =0,06·21

1500

+ = 1339,29 €

CÁLCULO DE LOS INTERESES TOTALES:

Bastará con calcular los intereses de cada período, que siempre los genera el capitalinicial y sumarlos.

Intereses totales = I1 + I2 + … + In = C0 i1 + C0 i2 + … + C0 in Luego:

=

=+++=

n

1 j j0n210 i·C)i ...i i (·CtotalesIntereses

Si i1 = i2 = … = in = i = cte

·n·iCiC iC iC I I I totalesIntereses 0000n21 =+…++=+…++=

Por último, si conocemos los capitales inicial y final: 0n C-CI =

Co = ? Cn= 1500 €

0 2 años

i = 6% = 0,06

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►EJEMPLO RESUELTO Cálculo de los intereses en C.S. i = cte

¿Qué intereses producirán 300 euros invertidos 4 años al 7% simple anual?

Por suma de los intereses de cada período:

Intereses totales = I1 + I2 + I3 + I4 = C0 i + C0 i + C0 i + C0 i = = C0 x i x 4 == 300 x 0,07 x 4 = 84 €

También se puede obtener por diferencias entre el capital final y el inicial:

C4 = 300 x (1 + 0,07 x 4) = 384 In = 384 – 300 = 84 €

►EJEMPLO RESUELTO Cálculo de los intereses en C.S. i = cte

¿Qué interés producirán 6.000 euros invertidos 8 meses al 1% simple mensual?

In = C0 · i · n = 6.000 x 0,01 x 8 = 480 €

CÁLCULO DEL TIPO DE INTERÉS:

Si se conocen el resto de elementos de la operación: capital inicial, capital final yduración, basta con tener en cuenta la fórmula general de la capitalización simple ydespejar la variable desconocida.

Cn = C0 · (1 + n · i) i·n1

C

C

0

n+= i·n1-

C

C

0

n=

n

1-C

C

i0

n

=

►EJEMPLO RESUELTO Cálculo del tipo de interés en C.S. i = cte

Determinar el tanto de interés anual a que deben invertirse 1.000 euros para que en 5años se obtenga un montante de 1.500 euros.

DATOS: Co = 1000 € Cn = 1500 € n = 5 años

Calculamos i : n

1-C

C

i0

n

= = =5

1-

1000

1500

0,10 = 10%

CÁLCULO DE LA DURACIÓN:

Por último, conociendo C0, Cn y el tipo de interés i, podemos calcular la duraciónmediante la expresión:

i·C

I

i·C

C-C

i

1-C

C

n

00

0n0

n

===

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2.1.3 TANTOS EQUIVALENTES EN CAPITALIZACIÓN SIMPLE

Dos tantos cualesquiera, expresados en distintas unidades de tiempo, son tantosequivalentes cuando aplicados a un mismo capital inicial y durante un mismoperíodo de tiempo producen el mismo interés o generan el mismo capital final omontante.

RELACIÓN DE EQUIVALENCIA entre el tipo de interés anual ( i ) y el tipo de interésefectivo fraccionado ( ik ):

El montante obtenido utilizando i : Cn = C0 · (1 + n · i)y utilizando ik : Cn = C0 · (1 + n·k · ik)

donde k es la frecuencia de capitalización, que indica el número de partes iguales enlas que se divide el período de referencia que se tome (habitualmente el año).

Igualamos C0 · (1 + n · i) = C0 · (1 + n·k · ik)

Y simplificando obtenemos la relación de equivalencia: ki·ki =

Por tanto, los tantos de interés equivalentes en simple son proporcionales.

2.1.4 NÚMEROS COMERCIALES: CONCEPTO Y CÁLCULO

En el caso de una cuenta corriente bancaria es frecuente que, debido a losmovimientos de dinero, el capital (saldo) sea variable.

Cuando se da esta circunstancia, para calcular los intereses usamos los númeroscomerciales, siendo estos el producto del capital (saldo) por la duración de superiodo:

iii n·CN =

De esta forma los intereses de una cuenta corriente, con saldos Ci, podemoscalcularlos de la siguiente manera:

)n·C....n·Cn·C·(i·ni·C....·ni·C·ni·CI nn2211nn2211 +++=+++=

Luego: )N...NN·(i I n21 +++=

2.1.5 INTERÉS SIMPLE ANTICIPADO

El tipo interés simple es anticipado, y lo denotaremos i*, cuando los intereses sonprepagables, es decir, al principio del periodo.

La relación entre el tipo de interés simple anticipado ( i*) y el tipo de interés alvencimiento ( i ) es la siguiente:

n·i1

i

i*

+= , o bien, n·i-1

*i

i *=

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2.2 Capitalización compuesta

Capítulo 2: Capitalización


Las operaciones en régimen de compuesta se caracterizan porque los intereses,a diferencia de lo que ocurre en régimen de simple, a medida que se vangenerando pasan a formar parte del capital de partida, se van acumulando, yproducen a su vez intereses en períodos siguientes (son productivos). Endefinitiva, lo que tiene lugar es una capitalización periódica de los intereses. De estaforma los intereses generados en cada período se calculan sobre capitales distintos(cada vez mayores ya que incorporan los intereses de períodos anteriores).

CARACTERÍSTICAS DE LA OPERACIÓN:

Los intereses son productivos, lo que significa que:

• A medida que se generan se acumulan al capital inicial para producir nuevosintereses en los períodos siguientes.

• Los intereses de cualquier período siempre los genera el capital existente al inicio dedicho período.

DESARROLLO DE LA OPERACIÓN:

El capital al final de cada período es el resultado de añadir al capital existente al inicio

del mismo los intereses generados durante dicho período. De esta forma, la evolucióndel montante conseguido en cada momento es el siguiente:

Momento 0: C0

Momento 1: C1 = C0 + I1 = C0 + C0 i = C0 · (1 + i)

Momento 2: C2 = C1 + I2 = C1 + C1 i = C1 · (1 + i) = C0 · (1 + i) · (1 + i) = C0 · (1 + i)2

Momento 3: C3 = C2 + I3 = C2 + C2 i = C2 · (1 + i) = C0 · (1 + i)2 · (1 + i) = C0 · (1 + i)3

Generalizando:n

0n )i1·(CC += siendo (1+ i )n el factor de capitalización

Al igual que en capitalización simple, la duración (n) siempre ha de estar en lamisma unidad de tiempo que el tipo de interés (i).

Esta expresión:

- Permite calcular el capital final o montante (Cn) en régimen de compuesta,conocidos el capital inicial (C0), el tipo de interés (i) y la duración (n) de laoperación.

- Es aplicable cuando el tipo de interés de la operación es constante. En caso

contrario habrá que trabajar con el tipo vigente en cada período.

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CASO TIPO DE INTERÉS VARIABLE:

Si el tipo de interés es variable la expresión para obtener el capital final o montantesería:

∏=

+=++++=

n

1 j

j0n3210n )i1(·C)i...(1)i1)·(i1)·(i1(·CC

►EJEMPLO RESUELTO Cálculo del montante en C.C. i = cte

Calcular el montante obtenido al invertir 200 euros al 5% anual durante 10 años enrégimen de capitalización compuesta.

C10 = 200 · (1 + 0,05 )10 = 325,78 €

Si se hubiese calculado en simple:

C10 = 200 · (1 + 0,05 · 10) = 300 €

La diferencia entre los dos montantes (25,78 €) son los intereses producidos por losintereses generados y acumulados hasta el final.

►EJEMPLO RESUELTO Cálculo del montante en C.C. i = vble

Se quiere conocer qué capital podremos retirar dentro de 3 años si hoy colocamos1.000 euros al 5% de interés anual compuesto para el primer año y cada año nossuben el tipo de interés compuesto medio punto porcentual.

En este caso al ser el tipo de interés variable, para calcular el capital final, aplicaremosla expresión:

∏=

+=++++=

n

1 j

j0n3210n )i1(·C)i...(1)i1)·(i1)·(i1(·CC

=+++=+++= )06,01)·(055,01)·(05,01·(1000)i1)·(i1)·(i1·(CC 32103 1174,21 €

Co = 200 € C10= ?

0 10 años

i = 5% = 0,05

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2.2.2 MAGNITUDES DERIVADAS

CÁLCULO DEL CAPITAL INICIAL:

Partiendo de la fórmula de cálculo del capital final o montante y conocidos éste, laduración de la operación y el tanto de interés, bastará con despejar de la misma:

Cn = C0 · (1 + i)n

de donde se despeja C0: n

n0

)i1(

CC

+

=

►EJEMPLO RESUELTO Cálculo del capital inicial en C.C. i = cte

¿Cuánto deberé invertir hoy si quiero disponer dentro de 2 años de 1.500 euros paracomprarme un coche, si me aseguran un 6% de interés anual compuesto para ese

plazo?

n

n0

)i1(

CC

+

= =20,06) 1(

1500

+

= 1334,99 €

CÁLCULO DE LOS INTERESES TOTALES:

Conocidos los capitales inicial y final, se obtendrá por diferencia entre ambos:

0n C-CI =

En el caso de i = cte: [ ]1)-)i1(·CC-)i1·(CI n00

n0 +=+=

En el casi de i = vble [ ]1-)i1(·CC-)i1(·CI

n

1 j

j00

n

1 j

j0 ∏∏==

+=+=

►EJEMPLO RESUELTO Cálculo de los intereses en C.C. i = cte

¿Qué intereses producirán 300 euros invertidos 4 años al 7% compuesto anual?

Calculamos primero el montante C4 = 300 (1 + 0,07)4 = 393,24 €

Luego, los intereses generados serán In = 393,24 – 300 = 93,24 €

Co = ? Cn= 1500 €

0 2 años

i = 6% = 0,06

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CÁLCULO DEL TIPO DE INTERÉS:

Si se conoce el resto de elementos de la operación: capital inicial, capital final yduración, basta con tener en cuenta la fórmula general de la capitalización compuestay despejar la variable desconocida.

Cn = C0 · (1 + i)n n

0

n)i1(

C

C+= )i1(

C

Cn

0

n+= 1-

C

Ci n

0

n=

►EJEMPLO RESUELTO Cálculo del tipo de interés en C.C. i = cte

Determinar el tanto de interés anual a que deben invertirse 1.000 euros para que en 12años se obtenga un montante de 1.601,03 euros.

DATOS: Co = 1000 € Cn = 1601,03 € n = 12 años

Calculamos i: 1-C

Ci n

0

n= = 1-

1000

03,160112 = 0,04 = 4%

CÁLCULO DE LA DURACIÓN:

Por último, conociendo C0, Cn y el tipo de interés i, podemos calcular la duración:

Cn = C0 · (1 + i)n n

0

n)i1(

C

C+=

n

0

n)i1log(

C

Clog +=

)i1·log(nClogClog 0n += )i1log(

ClogClog

n0n

+=

►EJEMPLO RESUELTO Cálculo de la duración en C.C. i = cte

Un capital de 2.000 euros colocado a interés compuesto al 4% anual asciende a 3.202euros. Determinar el tiempo que estuvo impuesto.

DATOS: Co = 2000 € Cn = 3202 € i = 4%

Calculamos n:)i1log(

ClogClog

n0n

+= =

)04,01log(

2000log3202log

+ = 12 años

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2.2.3 TANTOS EQUIVALENTES EN CAPITALIZACIÓN COMPUESTA

La definición de tantos equivalentes es la misma que la vista en régimen de simple,esto es, dos tantos cualesquiera, expresados en distintas unidades de tiempo,son tantos equivalentes cuando aplicados a un mismo capital inicial y duranteun mismo período de tiempo producen el mismo interés o generan el mismocapital final o montante.

En capitalización simple se comprobó que los tantos de interés equivalentes sonproporcionales, es decir, cumplen la siguiente expresión:

ki·ki =

Sin embargo, esta relación de proporcionalidad no va a ser válida en régimen decompuesta, ya que al irse acumulando los intereses generados al capital de partida,el cálculo de intereses se hace sobre una base cada vez más grande; por tanto,cuanto mayor sea la frecuencia de capitalización antes se acumularán los intereses y

antes generarán nuevos intereses, por lo que existirán diferencias en función de lafrecuencia de acumulación de los mismos al capital para un tanto de interés dado.

Este carácter acumulativo de los intereses se ha de compensar con una aplicación deun tipo más pequeño que el proporcional en función de la frecuencia de cómputo deintereses. Todo esto se puede apreciar en el siguiente ejemplo, consistente endeterminar el montante resultante de invertir 1.000 euros durante 1 año en lassiguientes condiciones:

a) Interés anual del 12%Cn = 1.000 x (1 + 0,12)1 = 1.120,00

b) Interés semestral del 6%Cn = 1.000 x (1 + 0,06)2 = 1.123,60

c) Interés trimestral del 3%Cn = 1.000 x (1 + 0,03)4 = 1.125,51

Los resultados no son los mismos, debido a que la capitalización de los intereses seestá realizando con diferentes frecuencias manteniendo la proporcionalidad en losdiferentes tipos aplicados.

Para conseguir que, cualquiera que sea la frecuencia de capitalización, el montantefinal siga siendo el mismo es necesario cambiar la ley de equivalencia de los tantos.

RELACIÓN DE EQUIVALENCIA entre el tipo de interés anual ( i ) y el tipo de interésefectivo fraccionado ( ik ):

El montante obtenido utilizando i : Cn = C0 · (1 + i)n y utilizando ik : Cn = C0 · (1 + ik)

n·k

donde k es la frecuencia de capitalización, que indica el número de partes iguales enlas que se divide el período de referencia que se tome (habitualmente el año).

Igualamos C0 · (1 + i)n

= C0 · (1 + ik)n·k

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Simplificamos: (1 + i)n = (1 + ik)

n·k (1 + i) = (1 + ik)k

Despejando: 1)i1(i kk+= , o bien, 1)i1(i k/1

k +=

TANTO NOMINAL:

El tanto nominal jk es un tipo de interés anual proporcional al tipo de interés efectivofraccionado ik en capitalización compuesta.Cuando nos den el valor del tanto nominal jk, calcularemos el efectivo fraccionado dela siguiente forma:

k

ji

kk =

►EJEMPLO RESUELTO Tantos equivalentes en C.C. i = cte

Un capital de 2.000 euros se invierte durante 10 años al 4% anual nominaldevengando los intereses mensualmente. Determinar:a) el tipo de interés efectivo mensualb) el tipo de interés efectivo anual.c) el montante al cabo de los 10 años.

DATOS: Co = 2000 € n = 10 años j12 = 4%

a)===

12

04,0

12

j

i

12

12 0,00333 = 0,33%

b) =+=+= 1)12

04,01(1)i1(i 1212

12 0,04074 = 4,074%

c) =+=+=+=120nK

k0n

010 )12

04,01·(2000)i1·(C)i1·(CC 2981,66 €

►EJEMPLO RESUELTO Tantos equivalentes en C.C. i = cte

Un capital de 5.000 euros se invierte durante 2 años y medio al 4% anual nominalcapitalizable trimestralmente. Determinar:a) el tipo de interés efectivo trimestral.b) el montante al final de la operación.

DATOS: Co = 5000 € n = 2,5 años j4 = 4%

a) ===4

04,0

4

ji

44 0,01 = 1%

b)=+=+=+=

10nK

k0

n

0n )4

04,0

1·(5000)i1·(C)i1·(CC 5523,11 €

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3.1 Introducción

3.2 Descuento comercial simple

3.3 Descuento racional simple

3.3.1 Tipo de interés en las letras del tesoro

3.4 Descuento racional compuesto

3.4.1 Definición y fórmula general3.4.2 Actualización periódica de los intereses


Capítulo 3. Descuento

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3.1 Introducción

Capítulo 3: Descuento

El descuento bancario es una operación de activo para las entidades financieras y uno

de los servicios bancarios de financiación a corto plazo más utilizados por lasempresas. La operación consiste en que la entidad financiera adelanta el importe deun título de crédito no vencido (letra de cambio, pagaré, factura, recibo…),descontando los intereses que corresponden por el tiempo que media entre la fechadel anticipo y la fecha de vencimiento del crédito, las comisiones y demás gastos.

Las figuras que aparecen en la operación son: librador es la persona que emite eldocumento, tenedor o tomador es la persona legitimada para cobrarlo y librado es lapersona obligada al pago.

En términos financieros, la entidad anticipa al cliente, el valor actual descontado de unefecto comercial, y a vencimiento, el banco obtendrá el nominal. Se denominagenéricamente efecto comercial a todo tipo de documento que evidencie que existe uncrédito a favor de la persona que lo posee, como consecuencia de la práctica habitualde la empresa, contra otra que ha contraído dicha obligación o deuda.Por tanto, las operaciones de descuento o de descapitalización son operacionesfinancieras en las que se cambia un capital futuro por un capital presente, es decir, seanticipa un capital (Cn,tn) hasta (Co,t0).

Al capital que figura en el documento (letra, factura, pagaré…) o capital futuro se ledenomina valor nominal (Cn).

El capital en el momento presente, se le llamavalor actual

,valor efectivo

ovalor

descontado (C0) .

La diferencia entre el valor nominal y el valor descontado es el descuento.

D = Cn – C0

El descuento depende, además de la cuantía del valor nominal, del tipo de interésnominal aplicado y del tiempo.

Para el cálculo del descuento comercial en días se suele considerar el año comercialde 360 días. Sin embargo, para operaciones de pasivo las entidades financieras

utilizan el año natural de 365 días.

Vamos a estudiar tres sistemas financieros de descuento:

1. Descuento comercial simple.2. Descuento racional simple.3. Descuento racional compuesto o actualización compuesta.

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3.2 Descuento comercial simple


El descuento comercial simple es el más utilizado en la práctica bancaria y se lleva a

cabo para periodos inferiores a un año.

Fórmula general del valor descontado: )i·n-1·(CC n0 =

siendo (1-n·i) el factor de actualización.

Fórmula general del descuento: i·n·C)i·n-1·(CCCCD nnn0n ===

Donde: i = tipo de interés de descuento nominal = tanto de descuento nominal = dCn = valor nominal C0 = valor descontado n = periodo de descuento

►EJEMPLO RESUELTO Descuento comercial simple

Una entidad financiera descuenta una letra de cambio de 800 euros de nominal 80días antes de su vencimiento. Sabiendo que el tipo de descuento nominal aplicado esdel 9% anual, se pide:a) Valor del descuento realizado.b) Valor descontado o efectivo que abona la entidad.

DATOS: Cn = 800 € n = 80 días d=i= 9%

a) i·n·CDn

= = ,090·360

80 ·008 = 16 €

b) C0 = Cn – D = 800 – 16 = 784 €

►EJEMPLO RESUELTO Descuento comercial simple

Una entidad financiera descuenta una letra de cambio de 5000 euros de nominal100 días antes de su vencimiento. Sabiendo que valor descontado o efectivo queabona la entidad es 4785 €, calcular el tipo de interés nominal utilizado.

DATOS: Cn = 5000 € n = 100 días C0 = 4785 €

i·n·CD n= i =n·C

D

n

=360/100·5000

47855000

= 0,1548 = 15,48%

►EJEMPLO PROPUESTO Descuento comercial simple

Una entidad financiera descuenta una letra de cambio de 1500 euros de nominal90 días antes de su vencimiento. Sabiendo que el tanto de descuento es del 8% anual,que la comisión del 0,5% y que los impuestos ascienden a 30 euros, calcular el valor

efectivo de la letra.

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3.3 Descuento racional simple


Fórmula general del valor descontado:

Partimos de la capitalización simple: Cn = Co · ( 1 + n · i )

y despejamos el valor de C0 , que sería el valor descontado:)i·n1(

CC

n0

+=

siendo)i·n1(

1

+ el factor de actualización.

Fórmula general del descuento:)i·n1(

i·n·C

)i·n1(

CCCCD

nnn0n

+

=

+

==

3.3.1 TIPO DE INTERÉS EN LAS LETRAS DEL TESORO

Las Letras del Tesoro son títulos de Deuda Pública emitidos por el Estado para sufinanciación. Su plazo de vencimiento suele ser inferior a 18 meses, su valor nominales de 1.000 euros y presentan la peculiaridad de que se emiten al descuento. Esdecir, el suscriptor al comprar paga menos que el valor nominal del título, mientras queen el momento del vencimiento recibe dicho valor nominal. Este menor precio en elmomento de la compra es la rentabilidad que ofrece el título. De esta manera, elcapital invertido será el precio pagado por la letra adquirida y los intereses que seobtienen serán la diferencia entre ese precio de adquisición y el precio que seobtenga por la letra cuando se venda o cuando se amortice (1.000 euros).

Para calcular la rentabilidad que obtiene el inversor hay que distinguir entre Letras convencimiento a menos de 1 año y a más de 1 año:

a) Si se emiten a plazos inferiores o iguales a los 12 meses:

• Se calculan aplicando las fórmulas del descuento racional simple.

• Las emitidas a 12 meses (o 52 semanas) tienen una vida exacta de 364días.

b) Si se emiten a 18 meses:

• Se aplican las fórmulas del descuento racional compuesto.

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►EJEMPLO RESUELTO Descuento racional simple

Las Letras del Tesoro a 12 meses se adjudicaron a un tipo de interés marginal del2,975%. ¿Cuál es el precio marginal de la subasta o precio mínimo aceptado?

DATOS: Valor nominal = Cn = 1.000 € d = n° de días = 364 i = 2,975%

Utilizamos la ley de descuento racional simple:)i·n1(

CC

n0

+=

C0 =

·+

=

02975,0360

364 1

000.1P = 970,79 euros

►

EJEMPLO RESUELTO Descuento racional simpleEl importe que se abonó por una Letra del Tesoro a 12 meses fue de 980,75 euros.Calcula el tipo de interés de la subasta.

DATOS: Valor nominal = Cn = 1.000 € d = n° de días = 364 P = C0 = 980,75 €

Utilizamos la ley de descuento racional simple:)i·n1(

CC

n0

+=

Sustituimos:

)i·360

3641(

100075,980

+

= y despejamos i = 0,01941 = 1,941%

►EJEMPLO RESUELTO Descuento racional simple

Un capital de 5000 euros se descuenta 30 días antes de su vencimiento a un 7%anual. Calcular el descuento racional simple y el descuento comercial simple.

DATOS: Valor nominal = Cn = 5000 € d = n° de días = 30 i = 7%

Descuento racional simple: =

+

=+

=

0,07)·360

30(1

0,07·360

30 ·5000

)i·n1(

i·n·CD

n 29 €

Descuento comercial simple: === 0,07·360

30 ·5000i·n·CD n 29,17 €

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3.4 Descuento racional compuesto



En esta ley financiera el descuento se calcula sobre el valor del capital actualizado alinicio de cada periodo.

Fórmula general del valor descontado:

Partimos de la capitalización compuesta: Cn = C0 · (1 + i)n

y despejamos el valor de C0 , que sería el valor descontado: n

n0

)i1(

CC

+

=

Siendon)i1(

1

+

el factor de actualización

Fórmula general del descuento: ))i1(

11(·C

)i1(

CCCCD

nnn

nn0n

+

=

+

==

►EJEMPLO RESUELTO Descuento racional compuesto

Sea un capital de 5000 euros que vence dentro de 10 años. Calcular el valor

descontado y el descuento utilizando la ley de actualización compuesta, siendo el tipode interés el 5% nominal anual.

DATOS: Valor nominal = Cn = 5000 € duración = 10 años i = 5%

Valor descontado: =

+

=n

n0

)i1(

CC =

+10)05,01(

5000 3069,57 €

Descuento = Cn – C0 = 5000 – 3068,57 = 1930,43 €

3.4.2 ACTUALIZACIÓN PERIÓDICA DE LOS INTERESES

►EJEMPLO PROPUESTO Descuento racional compuesto

Sea un capital de 5000 euros que vence dentro de 3 años y medio. Calcular el valoractual de dicho capital siendo el tipo de interés un 6% nominal actualizablesemestralmente.

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►CUESTIONARIO Capítulos 1- 3: CAPITALIZACIÓN Y DESCUENTO

1. ¿Cuánto vale una Letra del Tesoro, en tanto por ciento de nominal, si calculamos suvalor al 3% de interés y faltan 45 días para su vencimiento?

A) 97,20 %B) 99,63 %C) 98,30 %D) 100 %

2. Si se realiza un ingreso de 9.000 euros a plazo fijo durante 5 años al 4% nominal anual.Los intereses se abonan trimestralmente y se reinvierten ¿Cuál es el saldo final de laoperación?

A) 10.981,71 €B) 11.025,85 €C) 10.949,87 €D) 10.988,97 €

3. Si adquiriese Letras del Tesoro a 1 año (exactamente a 360 días en base a 360) por946€, siendo su valor nominal 1.000€ ¿qué rentabilidad obtendría en cada una de lasLetras a 1 año?

A) 5,400%B) 5,708%C) 5,630%D) 5,880%

4. Nos ofrecen un depósito en el que se estima una rentabilidad nominal anual del 6% yque trimestralmente abonan los intereses al depósito. Si decidimos aportar 12.000 euros,¿Cuál será el capital dentro de 4 años?

A) 15.309,86 €

B) 15.227,83 €C) 15.149,72 €D) 15.245,87 €

5. En una inversión financiera a un año y a efectos de conseguir la mejor rentabilidad alfinalizar la operación, ¿Cuál de las siguientes operaciones escogería, suponiendo quelas condiciones de la operación se mantengan durante todo el año?

A) Interés nominal del 4,15% pagadero anualmente.B) Interés nominal del 4,05% pagadero bimestralmente.C) Interés nominal del 4,10% pagadero trimestralmente.D) Interés nominal del 4,07% pagadero mensualmente.

6. En las operaciones de capitalización: A) Se adelanta el cobro de un capital.B) Se retrasa la disponibilidad de un dinero.C) Se realiza un descuento sobre el valor nominal.D) Se generan intereses que se van acumulando siempre al capital inicial.

7. Si depositamos un capital de 5.000 € ¿Qué capital final obtendremos, si dichaimposición es a un plazo de 6 meses y es remunerada al 3% anual?

A) 5.075 €B) 5.070 €C) 75 €D) Ninguna de las anteriores.

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8. Una empresa descuenta una letra de 6.000,00€ que vence dentro de 90 días. La entidadbancaria abona por la Letra 5.855 €. Calcula el tipo de interés nominal que aplica laentidad, suponiendo que no existen gastos.

A) 9,67 %B) 10 %C) 8,32 %

D) Ninguna de las anteriores.

9. Sabiendo que el tipo de interés nominal resultante en una subasta de Letras delTesoro a 12 meses es 3,645%, calcular el valor efectivo de dicha Letra.

A) 35,55 €B) 964,45 €C) 963,55 €D) 96,445 €

10. ¿Qué capital hay que colocar al 4% de interés nominal anual para obtener, al cabo decuatro años, otro de 10.000 €? Se supone que el abono de intereses es trimestral y se vaacumulando al capital inicial.

A) 8.528,21 €B) 1.471,78 €C) 8.874,49 €D) 5.339,08 €

11. Un depósito a plazo de 3 años permite recuperar al inversor 10.500 € por cada 9.000 €de inversión. Calcula el tipo de interés nominal de dicho depósito, sabiendo que losintereses se generan cada semestre y se acumulan al capital.

A) 8,01 %B) 5,20 %C) 10,54 %D) 5,50 %

12. En una operación de actualización a interés compuesto, el valor efectivo disminuye amedida que se hace menor:

A) La duración de la operación.B) El tipo de interés nominal.C) La frecuencia anual de actualización.D) Ninguna es cierta.

13. Calcular el tipo de interés nominal anual que se está aplicando en un bono cupóncero a 10 años, con cálculo semestral de intereses, si por un nominal de 1.000 € sedeben pagar 610 €.

A) 6 %

B) 4 %C) 5 %D) Ninguna de las anteriores.

14. El tipo de interés nominal de una imposición a plazo de 3 años es el 4% si losintereses se acumulan mensualmente al capital. Calcular el tipo de interés efectivo anualcorrespondiente.

A) 4 %B) 4,07 %C) 3,33%D) 6,01 %

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15. Un depósito a plazo ofrece un 5% de interés anual nominal con acumulacióntrimestral de intereses. Por un capital inicial de 8.000 €, a los dos años y tres mesesobtendrá un capital final de:

A) 8.952,58 €B) 8.928,24 €

C) 8.900 €D) 8.946,34 €

16. Una operación de inversión de 25.000 € a cuatro años al 3,75% nominal concapitalización mensual obtendrá un capital final de:

A) 29.039,06 €B) 28.750,00 €C) 21.522,74 €D) 29.045,86 €

17. En una operación en que se descuenta un efecto comercial de nominal 6.000 € yvencimiento a los 60 días a una tasa de descuento del 5% anual, el valor efectivo a

percibir es, suponiendo que se aplica la fórmula del descuento simple comercial: A) 5.700 €B) 5.950 €C) 5.850 €D) Ninguna de las anteriores

18. En la misma operación de la pregunta anterior, ¿qué valor efectivo se percibirá si eldescuento es por modalidad matemática o racional?

A) 5.700,00 €B) 5.950,00 €C) 5.950,41 €D) Ninguna de las anteriores.

19. A que tipo de interés habría que invertir un capital hoy para que se duplique en 10años:

A) 6,25 %B) 5,53 %C) 7,18 %D) 8,11 %

20. En una operación financiera de 1 año, el tipo de interés a vencimiento es del 3%,¿cuál es el tipo de interés simple anticipado?

A) 3,09 %B) 3 %

C) 2,91 %D) Ninguna de las anteriores.

21. Un cliente abre una cuenta corriente bancaria ingresando 3000 €. El tipo de interésanual simple es del 4%. Al cabo de 10 días ingresa otros 1000 € más y 40 días despuésretira 500 €. Si 30 días después la entidad financiera liquida los intereses, ¿cuál será suimporte?

A) 11800 €B) 32,33 €C) 6,03 €D) Ninguna de las anteriores.

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22. ¿Cuál es el criterio para aplicar la ley simple o la compuesta en las operaciones decapitalización?

A) El plazo.B) La frecuencia de pago de intereses.C) La reinversión de intereses.D) No existe ningún criterio.

23. ¿Cual es el criterio para la aplicación de la ley simple o la compuesta en operacionesde descuento?

A) El plazo.B) La frecuencia de pago de intereses.C) La reinversión de intereses.D) No existe ningún criterio.

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4.1 Tipos de interés

4.1.1 Tasa nominal y efectiva en interés compuesto4.1.2 Tipos de interés spot y forward

4.2 Rentabilidad

4.2.1 Rentabilidad nominal y real4.2.2 Rentabilidad Simple4.2.3 Tasa Anual Equivalente (TAE)4.2.4 Tasa Interna de Rentabilidad (TIR)4.2.5 Tasa de Rentabilidad Efectiva (TRE)4.2.6 Tasa Geométrica de Rentabilidad (TGR)


Capítulo 4. Tipos de interés y rentabilidad

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4.1 Tipos de interés

Capítulo 4: Tipos de interés y rentabilidad

4.1.1 TASA NOMINAL Y EFECTIVA EN INTERÉS COMPUESTO

El tanto nominal jk es un tipo de interés anual proporcional al tipo de interés efectivofraccionado ik en capitalización compuesta.

Por tanto, la relación entre el tanto nominal capitalizable k-esimalmente jk y el tantoefectivo k-esimal es:

k

ji

kk = donde k es la frecuencia de capitalización.

Como vimos en el capítulo 2, el tipo efectivo anual compuesto = i = 1)i1( kk+

Luego sustituyendo:

1-)k

j1(i kk

+=

y despejando jk en función de i :

[ ]1-)i1(·k j k

1

k

+=

Si k >1 el tipo de interés efectivo anual (i) es mayor que el tanto nominal (jk)

Si k = 1, entonces i = j1

►EJEMPLO RESUELTO Tanto nominal y tanto efectivo

Calcular el tipo de interés efectivo anual correspondiente a una operación de

capitalización al 10% nominal pagadero semestralmente.

DATOS: Tanto nominal pagadero semestralmente = j2 = 10%

SE PIDE: Tanto efectivo anual = i

Utilizamos la expresión: 1-)k

j1(i kk

+= para k = 2

( ) =+=+= 12

0,1011-)

2

j1(i 222

0,1025 = 10,25% >10% = j2

Tanto nominal

Tipo efectivo anual compuesto

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4.1.2 TIPOS DE INTERÉS SPOT Y FORWARD

Las operaciones al contado se liquidan a un tipo de interés al contado o “spot” y lasoperaciones a plazo, es decir, contratadas en una fecha pero materializadas en unafecha futura, se liquidan a un tipo de interés a plazo o “forward”.

Para vencimientos superiores al año se aplica el interés compuesto, y paravencimientos inferiores a un año el interés simple.

La curva de tipos de interés o curva de rendimientos (yield curve) es larepresentación gráfica en un eje de coordenadas, de los tipos spot observados en elmercado (eje vertical) asociadas a los vencimientos de los activos (eje horizontal); enun momento dado.

La Estructura Temporal de los Tipos de Interés (ETTI) es la curva construida conlos tipos de interés correspondientes a los bonos cupón cero sin riesgo. Esta curva nosproporciona hoy las expectativas sobre la evolución de tipos futuros, es decir, si la

expectativa es de evolución de tipos al alza (curva ascendente), a la baja (curvadescendente) o de no variación (curva plana).

►EJEMPLO RESUELTO Tipo de interés spot

Calcular el tipo spot correspondiente a una operación financiera de duración 2 años,siendo el nominal del activo 1000 euros y el valor efectivo hoy 910,55 euros.

DATOS: Valor nominal = Cn = 1000 € Valor efectivo = C0 = 910,55 € n = 2 años

El vencimiento del activo financiero es superior al año, luego utilizaremos interés

compuesto:

Cn = C0 · (1+i)n sustituyendo: 1000 = 910,55 · (1+i)2

Y despejando: tipo spot asociado al plazo de 2 años = i = 0,0479 = 4,79%

►EJEMPLO RESUELTO Tipo de interés forward

Sean dos activos A y B, el primero con un rendimiento del 6% a 1 año y el B con unrendimiento del 7% a dos años. ¿Cuál será el tipo forward o implícito para unainversión a un año, dentro de un año?

Planteamos la siguiente igualdad: 2B

1forward

1 A )i1()i1·()i1( +=++ Sustituimos

21

forward

1

)07,01()i1·()06,01( +=++ y despejamos i forward = 0,08 = 8%

iforward= ?

iB = 7%

0 1 2

i A = 6%

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4.2 Rentabilidad

Capítulo 4: Tipos de interés y rentabilidad

4.2.1 RENTABILIDAD REAL

La rentabilidad real de una inversión considera, además de la rentabilidad financiera,otras variables tales como la fiscalidad, los gastos de gestión, las comisiones y la tasade inflación.

Para calcular la rentabilidad real, teniendo en cuenta estas variables, utilizaremos lasiguiente expresión:

)r (1)(1·)r 1( FFREAL +=Π++ siendo r REAL = La rentabilidad real

Π = La tasa de inflación

r FF = La rentabilidad financiero fiscal

Así pues, 11

r 1r

FFREAL

Π+

+=

►EJEMPLO RESUELTO Rentabilidad REAL

Calcular la rentabilidad real de una inversión que ha tenido una rentabilidad financiero-

fiscal del 4%, siendo la tasa de inflación del 4,5%.

DATOS: r FF = 4% Π = 4,5% SE PIDE: r REAL = ?

Para calcular la rentabilidad real utilizamos la expresión :

11

r 1r

FFREAL

Π+

+= = =

+

+1-

045,01

04,01 - 0,0048 = - 0,48 % Rentabilidad real negativa.

►EJEMPLO PROPUESTO Rentabilidad REAL

Calcular la tasa de inflación sabiendo que una inversión que ha tenido una rentabilidadfinanciero-fiscal del 6% y una rentabilidad real del 3%.

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4.2.2 RENTABILIDAD SIMPLE ( RS )

La expresión para determinar la rentabilidad simple RST es:

0

0TT

T P

P-D+P=RS

donde P

T:precio del título al final del periodo T

DT:suma de los ingresos percibidos durante el periodo T

P0:precio del título al inicio del periodo

La rentabilidad simple supone que los dividendos y otros rendimientos se perciben alfinal del periodo, o que se reinvierten a una tasa del 0% si se perciben antes.

►

EJEMPLO

RESUELTO

Rentabilidad simpleHace dos años se adquirieron acciones de una compañía, siendo su cotización 15€.Calcular la rentabilidad simple de cada uno de los dos años de una acción, sabiendoque su cotización al final del primer año fue 18€ y al final del segundo año 17,1€.

Para conocer en qué porcentaje se ha revalorizado anualmente la acción calculamosla rentabilidad simple:

==15

15-18RS1 20% ==

18

18-1,17RS2 - 5%

►EJEMPLO

PROPUESTO

Rentabilidad simple

Hace 6 meses compramos 100 acciones a 35 €/acción, pagando 44 € de comisión yhoy la acción cotiza a 36,50€. Calcular la rentabilidad simple de la acción, sabiendoque hace 3 meses se cobró un dividendo de 1,20 € por acción.

0 21

15€ 18€ 17,1€

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4.2.3 TASA ANUAL EQUIVALENTE ( TAE )

El Banco de España, obliga a todas las entidades financieras a incluir este índicedesde el año 1990, en que publica la norma 8/1990 sobre “Transparencia de lasoperaciones y protección de la clientela”.

El significado exacto es Tasa Anual Equivalente o Tasa Anual Efectiva. Es unindicador que, en forma de tanto por ciento anual, revela el coste o rendimientoefectivo de un producto financiero, ya que incluye el interés y los gastos ycomisiones bancarias. Así, si una operación financiera no tiene comisiones ni gastos, su TAE coincidiría conel tipo de interés efectivo anual.

La TAE se calcula de acuerdo con una fórmula matemática estandarizada que tiene encuenta el tipo de interés nominal de la operación, la frecuencia de los pagos(mensuales, trimestrales, etc.), las comisiones y algunos gastos de la operación. En elcaso de los créditos, no se incluyen en el cálculo del coste efectivo algunos

conceptos, como los gastos que el cliente pueda evitar en uso de las facultades quele concede el contrato, los gastos a abonar a terceros o los gastos por seguros ogarantías (salvo que la entidad imponga su suscripción para la concesión del crédito).

La TAE es muy útil porque permite comparar distintos productos u opciones deinversión, con independencia de sus condiciones particulares. Esto es asíespecialmente entre productos de igual naturaleza, en los que los restanteselementos, y en particular el riesgo que tienen, son idénticos.

Las entidades están obligadas a informar sobre la TAE de sus operaciones en lapublicidad que hagan de sus productos, en los contratos que formalicen con susclientes, en las ofertas vinculantes que realicen y en los documentos de liquidación

de operaciones activas y pasivas.

►EJEMPLO RESUELTO TAE

Un cliente solicita un préstamo por 4.000 € que debe devolver a final de año en un sólopago que comprende el capital más los intereses (calculados mensualmente). El tipode interés nominal del préstamo es del 6% y la entidad financiera deduce los gastos degestión, por lo que realmente se entrega al cliente 3.950 €. Calcular la TAE.

Primero calculamos la contraprestación en t=1 (devolución del capital más intereses,siendo j12 = 6%):

Contraprestación = =⎟ ⎠

⎞⎜⎝

⎛ +=+=+=

12

1212

n01

12

06,01·4000)i1·(P)i1·(CC 4246,71 €

Y a continuación, calculamos la TAE planteando la siguiente equivalencia financiera:

TAE1

71,42463950

+= Despejando: TAE = 7,51%

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4.2.4 TASA INTERNA DE RENTABILIDAD ( TIR )

La Tasa Interna de Retorno o Tasa Interna de Rentabilidad (TIR) de una inversión,está definida como la tasa de interés con la cual el valor actual neto o valor presenteneto (VAN o VPN) es igual a cero.

El VAN o VPN es calculado a partir de los flujos positivos y negativos de capital,trasladando todas las cantidades futuras al presente.

La expresión que permite calcular el VAN es:

∑=

++=

N

1 j j

j

0)i1(

QDVAN

Donde: VAN = Valor Actual Neto.

Do = Desembolso inicial.Q j = Flujo de Caja en el periodo j.i = tasa de descuento o actualización

La obtención del VAN constituye una herramienta fundamental para la evaluación ygerencia de proyectos, así como para la administración financiera.

La Tasa Interna de Retorno (TIR) es el tipo de descuento que hace igual a cero elVAN. Así pues, para calcular la TIR plantearemos la siguiente ecuación:

0)TIR1(

QD

N

1ii

i0 =

++∑

=

TIR

Esta tasa interna de rentabilidad TIR corresponde a la rentabilidad del inversor ,asumiendo que los flujos periódicos se reinvierten a una tasa igual a la TIR.

►EJEMPLO RESUELTO Cálculo de la TIR

Un cliente adquirió 2.000 participaciones de un fondo de inversión que cotizaban a 4 €.

Al cabo de un año vendió 600 participaciones que en ese momento cotizaban a 5 €.Si al cabo de dos años la cotización de la participación del fondo es de 6 €, calcular laTIR de esta inversión.

El desembolso inicial de la inversión = Do = 2.000 · 4 = 8.000 €En t = 1, cobra Q1 = 600 · 5 = 3.000 €En t = 2, cobra Q2 = 1.400 · 6 = 8.400 €

Para calcular la TIR de este flujo de cobros y pagos planteamos la siguiente ecuación:

0)TIR1(

QD

N

1ii

i

0=

++∑

= 0)TIR1(

400.8

)TIR1(

000.3

000.8 21 =++++ TIR = 22,92%

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4.2.5 TASA DE RENTABILIDAD EFECTIVA ( TRE )

En el cálculo de la Tasa de Rentabilidad Efectiva (TRE) se considera que un capitalcobrado puede reinvertirse al tipo de interés vigente.

Para calcular la TRE:

Primero, calculamos el montante (Cn) de la inversión capitalizando los flujos de caja altipo de interés correspondiente.

A continuación, planteamos la siguiente ecuación:

n0n )TRE1·(CC += y despejamos la tasa TRE 1

C

CTRE n

0

n=

Si el tipo de interés de reinversión es menor que la TIR TRE < TIR

Si el tipo de interés de reinversión es mayor que la TIR TRE > TIR

►EJEMPLO RESUELTO Cálculo de la TRE

¿Cuál ha sido la rentabilidad efectiva de la siguiente operación si suponemos que elinversor reinvierte los cupones anuales y amortiza el bono a vencimiento?

Compra: 15-05-2001 Tipos de interés a un año

Vencimiento: 15-05-2005 15-05-2001: 3,50%

Cupón anual: 4,5% 15-05-2002: 3,80%

Valor nominal: 1.000 € 15-05-2003: 4,70%

TIR de adquisición: 6,25% 15-05-2004: 5,25%

Precio de compra: 93,97%

Primero calculamos el valor final de los cupones percibidos y del nominal avencimiento utilizando los tipos de interés dados:

Cn=45·(1+0,038)·(1+0,047)·(1+0,0525)+45·(1+0,047)·(1+0,0525)+45·(1+0,0525)+1045== 1193,42 €

A continuación, planteamos la siguiente ecuación:

n0n )TRE1·(CC += y sustituyendo: 1193,42 = 939,7 · (1+TRE)4

Despejando la tasa de rentabilidad efectiva: TRE = 0,06157 = 6,16 % < TIR ya que lostipos de interés de reinversión han sido inferiores a la TIR.

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4.2.6 TASA GEOMÉTRICA DE RENTABILIDAD ( TGR )

La Tasa Geométrica de Rentabilidad (TGR) (Time-weighted rate of return) es larentabilidad del gestor de la cartera y se calculará realizando la media geométrica delas rentabilidades simples de los diferentes periodos.

Para ello seguiremos los siguientes pasos:

Primero, determinamos las rentabilidades simples para cada subperiodo de inversión.

A continuación, planteamos la igualdad:

)RS1)·...·(RS·(1)RS1()TGR1( n21n

+++=+

Y por último despejamos la TGR:

1)RS1)·...·(RS·(1)RS1(TGR nn21 +++=

Esta es la rentabilidad que mide sólo la actuación del gestor quitando la influencia delas decisiones del inversor de aportar o retirar fondos de la cartera.

Comparando la TIR y la TGR se puede analizar el grado de acierto de la política deentradas y salidas de capital de la inversión llevada a cabo:

▪ Si TIR > TGR, el inversor ha acertado en sus decisiones.▪ Si TIR = TGR, el resultado es indiferente de la política llevada a cabo.▪ Si TIR < TGR, el inversor se ha equivocado en su política.

►EJEMPLO RESUELTO Cálculo de la TGR

Un gestor aconsejó a un inversor adquirir participaciones de un fondo de inversión quecotizaban a 4 €. Al cabo de un año las participaciones cotizan a 6 € y a los dos años cotizan a 5 €.Calcular la tasa geométrica de rentabilidad.

Primero, determinamos las rentabilidades simples para cada año:

==4

4-6RS1 0,5 = 50% ==

6

6-5RS2 - 0,1667 = - 16,67%

A continuación, planteamos la igualdad:

)RS·(1)RS1()TGR1( 212

++=+ = (1+0,50)·(1-0,1667) = 1,25

Por último, despejamos: 1-)25,1(TGR 2

1

= = 11,8 %

►EJEMPLO PROPUESTO Cálculo de la TGR

La rentabilidad anual de una cartera ha sido la siguiente: 1er año: 14%, 2° año: 19%,3er año: -10% y 4° año: 14%. Calcular la rentabilidad geométrica anual de la cartera

durante estos 4 años.

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►CUESTIONARIO Capítulo 4: TIPOS DE INTERÉS Y RENTABILIDAD

1. Sean dos activos A y B, el primero con un rendimiento del 8% a 1 año y el B con unrendimiento del 10% a dos años. ¿Cuál será el tipo forward o implícito para una inversióna un año, dentro de un año?

A) El 10%B) El 12%C) El 11,5%D) Ninguno de los anteriores.

2. La rentabilidad efectiva de un bono es mayor que su TIR cuando:

A) El tipo de interés es superior a su TIR.B) El tipo de interés es inferior a su TIR.C) El tipo de interés es igual a su TIR.D) Ninguna de las anteriores.

3. La TAE de una operación sin comisiones que rinde un 4% nominal acumulable

trimestralmente es: A) 4%B) 1%C) 4,074%D) 4,06%

4. Una entidad bancaria oferta una póliza de ahorro al 5,35% TAE. ¿Cuál es el interésnominal aplicado, si el abono de intereses es trimestral?

A) 5,22%B) 5,25%C) 5,46%D) 5,35%

5. Para calcular el coste o la rentabilidad de una operación financiera teniendo en cuentala frecuencia de capitalización o descuento y también los gastos y comisiones, se utiliza:

A) Tipo de interés nominal.B) Tipo de interés efectivo.C) TAE.D) Ninguno de los anteriores.

6. Indica cuál de las siguientes afirmaciones es correcta:

A) La TAE siempre es superior al tipo de interés nominal.B) La TAE la definen, para cada operación, las propias entidades financieras estableciendo los

criterios para su cálculo.

C) La TAE tiene en cuenta todos los gastos de una operación.D) La TAE puede coincidir, en algún caso, con el tipo de interés efectivo.

7. La TAE de una operación sin comisiones que rinde un 3% nominal acumulablebimestralmente es:

A) 3,0000 %B) 3,0225 %C) 3,0378 %D) 0,5000 %

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8. Una persona compra unas acciones por 6.250 €. Al cabo de 1 año recibe unosdividendos de 180 €, y a los 2 años de 240 €. Si vende las acciones a los 3 años por7.500€ y paga en ese momento 40 € en concepto de gastos, la ecuación que permitedeterminar la TIR, i, de la inversión es:

A) 2 3

180 240 7.540

+ + = 6.250(1+i) (1+i) (1+i)

B)2 3

180 240 7.460+ + = 6.250

(1+i) (1+i) (1+i)

C)2 3

180 240 7.500+ + = 6.210

(1+i) (1+i) (1+i)

D)2 3

180 240 7.540+ 6.250

(1+i) (1+i) (1+i)+=

9. En un préstamo hipotecario sin comisión de apertura que cobra una comisión decancelación del 1% y cuya tasa de interés nominal es del 6% liquidable mensualmente laTasa Anual Equivalente será:

A) 5 %B) 6 %C) 6,17 %D) 6,37 %

10. Un cliente solicita a una entidad financiera un crédito por un importe de 4.000 € quedebe devolver al final de año en un solo pago que comprende el capital más losintereses, calculados mensualmente. El crédito tiene un tipo de interés nominal del 6% yla entidad deduce gastos de gestión, por lo que, en lugar del nominal del crédito, entregaal cliente 3.950 €. La TAE de la operación es:

A) 6,51 %B) 6,17 %C) 6 %D) 7,51 %

11. Si las rentabilidades obtenidas por un fondo de inversión durante los últimos 3 añoshan sido, respectivamente, 8’12%, - 3’23% y 5’80%, la tasa geométrica de rentabilidad será:

A) 10,69 %B) 3,26 %C) 5,34 %D) 3,45 %

12. ¿Cuál será la rentabilidad real de una inversión que ha tenido una rentabilidadfinanciero-fiscal del 8% y una tasa de inflación del 4%?

A) 4 %B) 3,265 %C) 3,846 %D) 3,455 %

13. ¿Cuál es la TIR de un proyecto cuya inversión es de 1.000 € y los flujos de caja sonde 300 € (año 1), 400 € (año 2) y 500 € (año 3)?

A) 20 %B) 8’90 %

C) 12’50 %D) 9’18 %

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14. Si ésta es la situación del mercado interbancario de depósitos del Euribor:

Tipos a 1 mes 2’25 %Tipos a 2 meses 2’27 %Tipos a 3 meses 2’30 %Tipos a 6 meses 2’41 %

Tipos a 9 meses 2’53 %Tipos a 12 meses 2’66 %

¿Qué previsión está haciendo el mercado de cómo van a estar los tipos de interés parael plazo de 3 meses de hoy en 6 meses?

A) 2’630 %B) 2’506 %C) 2’737 %D) Ninguna de las anteriores.

15. ¿Qué es la TIR?

A) La tasa de rentabilidad que se va a conseguir en cualquier tipo de inversión,

independientemente del tipo de reinversión.B) La tasa anual equivalente a una operación de tipo de interés simple, pero sólo el interés es

pospagable o vencido e inmediato.C) La tasa de actualización que hace que el VAN de una inversión sea cero.D) La tasa nominal de una inversión.

16. ¿Cuál será la rentabilidad geométrica anualizada de una inversión que genera lossiguientes flujos de caja anuales?

Años Inicio de lainversión

Fin de lainversión

1 200 € 250 €

2 250 € 350 €

3 350 € 400 €

A) 26,40%B) 18,37%C) 66,67%D) 25,99%

17. Una persona compra unas acciones por 6.250 €. Al cabo de 1 año recibe unosdividendos de 180 €, y a los 2 años de 240 €. Si vende las acciones a los 3 años por7.500 € y paga en ese momento 40 € en concepto de gastos y considerando que losdividendos se reinvierten a una tasa del 1’5% anual, la tasa de rentabilidad efectiva de laoperación, expresada en término anual, es:

A) 6,077 %

B) 8,742 %C) 6,453 %D) 8,072 %

18. Si la TIR de una cartera en el último semestre ha sido del 8% y la TGR del 13%,podemos concluir que:

A) El inversor se ha equivocado en la elección de los momentos de compra y venta de losactivos de la cartera.

B) El inversor ha acertado en la elección de los momentos de compra y venta de los activos dela cartera.

C) El inversor ha acertado en la selección de los títulos que forman la cartera.D) El inversor se ha equivocado en la selección de los títulos que forman la cartera.

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5.1 Media y esperanza

5.1.1 Definiciones básicas5.1.2 Media muestral y esperanza matemática

5.2 Varianza y desviación típica

5.3 Covarianza y correlación

5.4 Regresión lineal mínimo cuadrática

5.4.1 Línea Característica de un Título (LCT)

Capítulo 5. Conceptos estadísticos


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5.1 Media y Esperanza

Capítulo 5: Conceptos estadísticos

5.1.1 DEFINICIONES BÁSICAS

En todo estudio estadístico, el investigador se interesa en una población que es elconjunto de todas las observaciones de interés. Por ejemplo, el Ministerio deHacienda, está interesado en conocer los salarios de los trabajadores de España, yaque según su cuantía así será la recaudación que esperará obtener en el próximoejercicio.

En estadística definimos variable como la característica de la muestra o población quese quiere observar. Se clasifican de distintas maneras así distinguimos entre variablescuantitativas y cualitativas; continuas y discretas…

Una serie temporal es un conjunto de datos ordenados en el tiempo, tomados aintervalos regulares, procedentes normalmente de una magnitud económica dedefinición constante a lo largo del tiempo.

Los parámetros son cualquier medida descriptiva de una población. Se entiende pormedida cualquier magnitud que simplifica o resume en un dato la informacióncontenida en toda la población. Así por ejemplo, el salario de todos y cada uno de lostrabajadores de España puede ser descrito de manera resumida por el salario mediode esa misma población.

La muestra es una parte representativa de la población. Existen métodos para buscarmuestras representativas, dado que cualquier subconjunto de una población siendo

una muestra, no tiene porque representar las virtudes o defectos de la población, si lamuestra no se ha obtenido mediante procedimientos adecuados.

Estadístico es la medida que describe una muestra. Es una estimación del parámetrode la población.

La muestra es importante ya que las poblaciones pueden ser muy grandes y recogerinformación de estas es muy costoso. Asimismo, las muestras se recogenrápidamente. Por estas razones, trabajar con estadísticos es conveniente.No obstante, presenta algunas dificultades:

a) Errores en el muestreo: diferencia entre el parámetro desconocido de la

población y el estadístico de la muestra utilizada.

b) Sesgo muestral: es la tendencia a favorecer la elección de ciertoselementos de la muestra en lugar de otros posibles.

La estadística tiene dos grandes ramas, una se dedica a describir la informacióncuantitativa o cualitativa recogida que se pretende analizar. Recibe el nombre deestadística descriptiva, es la que recoge, agrupa, resume y presenta los datosobtenidos.La otra rama de la estadística persigue anticipar resultados y analizando la informaciónpretende descubrir informaciones que permiten conocer lo que ocurrirá. Recibe elnombre de estadística inferencial, persigue como su nombre indica, inferir o concluir

datos sobre la población a partir de los datos de la muestra.

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5.1.2 MEDIA MUESTRAL Y ESPERANZA MATEMÁTICA

La media muestral se obtiene, a partir de un conjunto de datos muestrales

n21 x,...,x,x , al sumar el conjunto de valores de la variable y dividirlo por el numero de

observaciones:

n

x++x=x

n1 L

Por otra parte, si los valores que puede tomar X están sometidos a incertidumbre,

estaremos ante una variable aleatoria que puede tomar los valores n21 x,...,x,x , con

probabilidades respectivas )x(P),...,x(P),x(P n21 .

Se define la esperanza matemática o valor esperado de X como:

)x(P·x++)x(P·x+)x(P·x=)X(E nn2211 L

►EJEMPLO RESUELTO Media y Esperanza

Las cotizaciones de las acciones BBVA en la última semana han sido: 16,01€; 16,35€;16,22€; 16,21€; 15,94€. Calcular su media aritmética.

=++++

=5

94,1521,1622,1635,1601,16x 16,14€

Supongamos ahora que un asesor se plantea determinar la cotización de las accionesBBVA dentro de un mes, y prevé tres posibles escenarios:

Escenario Cotización Probabilidad

Pesimista 15 € 0,20

Normal 16,50 € 0,20

Optimista 17,20 € 0,60

Calcular la cotización esperada (esperanza matemática de la cotización).

=++= 60,0x20,1720,0x50,1620,0x15)X(E 16,62€

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5.2 Varianza y Desviación TípicaCapítulo 5: Conceptos estadísticos

A continuación introducimos medidas estadísticas que nos permitan representar la

dispersión respecto a la media de un conjunto de datos.De nuevo distinguimos dos casos: Si hacemos referencia a valores pasados (datosconocidos) o si hacemos referencia a valores futuros (incertidumbre en los datos).

A partir de un conjunto de datos muestrales n21 x,...,x,x , se define la varianza

muestral como el promedio de las desviaciones respecto a su media, elevadas alcuadrado:

n

)xx(++)xx(+)xx(=S

2n

22

212 --- L

y la desviación típica muestral como la raíz cuadrada de la varianza muestral.

Se define es coeficiente de variación muestral como el cociente de la desviacióntípica muestral y la media muestral.

x

Sg0 =

Por otra parte, si los valores que puede tomar X son n21 x,...,x,x , con probabilidades

respectivas )x(P),...,x(P),x(P n21 . Se define la varianza poblacional de X como:

)x(P·))X(Ex(++)x(P·))X(Ex(+)x(P·))X(Ex(=σ n2

n22

212

12

--- L

y la desviación típica poblacional como la raíz cuadrada de la varianza poblacional.

La desviación típica muestral nos indica la dispersión de una variable respecto a suvalor promedio (si disponemos de datos históricos), mientras que la desviación típicapoblacional nos indica la fluctuación de una variable respecto a su valor esperado (enel caso de valoración de activos es una medida del riesgo).

Se define es coeficiente de variación poblacional como el cociente de la desviacióntípica poblacional y la media poblacional.

)X(E0

σ=γ

El coeficiente de variación mide la representatividad de la media (cuanto menor sea elcoeficiente, más representativa es la media), y nos permite comparar larepresentatividad de los valores de distribuciones distintas.

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►EJEMPLO RESUELTO Varianza y Desviación Tipica

Las cotizaciones de las acciones BBVA en las cinco últimas sesiones han sido:16,01€; 16,35€; 16,22€; 16,21€; 15,94€. La media aritmética es 16,146€.Calcular la varianza y la desviación típica.

Cotización )x( i )xx( i - 2i )xx( -

16,01 - 0,136 0,018496

16,35 0,204 0,041616

16,22 0,074 0,005476

16,21 0,064 0,004096

15,94 - 0,206 0,042436

Σ=0 Σ = 0,11212

022424,05

11212,0S2== y €15,0022424,0S ==

EJMPLO RE►EJEMPLO RESUELTO Varianza y Desviación Típica

Si un asesor prevé los tres escenarios siguientes para la cotización de BBVA dentro deun mes:

Escenario Cotización ProbabilidadPesimista 15 € 0,20

Normal 16,50 € 0,20

Optimista 17,20 € 0,60

Su cotización esperada es €62,16)X(E = . Calcular la varianza y la desviación típica.

Escenario Cotización Probabilidad ))X(Ex( i - 2i ))X(Ex( - 2

ii ))X(Ex(·p -

Pesimista 15 0,20 - 1,62 2,6244 0,52488Normal 16,50 0,20 - 0,12 0,0144 0,00288

Optimista 17,20 0,60 0,58 0,3364 0,20184

0,7296

La varianza será: 7296,02=σ y la desviación típica €85,07296,0 ==σ

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5.3 Covarianza y CorrelaciónCapítulo 5: Conceptos estadísticos

Hasta este momento hemos definido estadísticos referidos a una única característicaestadística. Para estudiar la existencia de relación entre dos variables (p.e. entre uníndice bursátil y la cotización de un título), necesitamos definir estadísticos querelacionen dos conjuntos de datos.

Dados dos conjuntos de datos asociados de la siguiente manera:

X x1 x2 x3 ··· ··· xn

Y y1 y2 y3 ··· ··· yn

Se define la covarianza entre X e Y como:

n

)yy)·(xx(++)yy)·(xx(+)yy)·(xx(=S

nn2211XY

------ L

La covarianza indica la relación entre la variación de ambas variables y suinterpretación es la siguiente:

> Si 0>SXY , la relación entre ambas variables es directa, es decir, se mueven en el

mismo sentido.

> Si 0<SXY , la relación entre ambas variables es inversa, es decir, se mueven en

sentido contrario.

> Si 0=SXY , no hay relación entre las variaciones de ambas variables.

La covarianza entre dos variables se ve afectada por las unidades de medida en lasque se expresen las variables, lo que hace necesario introducir un estadístico que nosindique la relación entre los datos, sin depender de las unidades en las que seexpresen.

Se define el coeficiente de correlación lineal entre X e Y como:

YX

XYXY S·S

S=r

Mide también la relación lineal entre las variables, pero no depende de las unidades demedida y está siempre comprendido entre –1 y 1.

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INTERPRETACIÓN DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN LINEAL

Si aumenta el valor de X, aumenta el valor de Y

Si aumenta el valor de X, disminuye el valor de Y

No se observa relación entre los valores de X e Y.

> Si XYr ≈ 1 ⇒ relación lineal directa y fuerte

> Si XYr ≈ -1 ⇒ relación lineal inversa y fuerte

> Si XYr ≈ 0 ⇒ no se aprecia relación lineal

X

Y

X

Y

Y

X

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►EJEMPLO RESUELTO Covarianza y Coeficiente de Correlación

Si las cotizaciones al cierre del Ibex-35 y de BBVA durante la segunda semana deseptiembre de 2007 han sido:

10/09/07 11/09/07 12/09/07 13/09/07 14/09/07Ibex35 (X) 13726,30 13965,50 13980,40 14077,80 13861,00

BBVA (Y) 16,01 16,35 16,22 16,21 15,94

Sabiendo que la media del Ibex-35 de esa semana es de 13922,20 y la desviación de119,6626 , y que la cotización media de BBVA es de 16,146 con una desviación de0,1497, calcular la covarianza y el coeficiente de correlación lineal.

ix iy )xx( i - )yy( i - )xx( i - · )yy( i -

13726,30 16,01 -195,9 -0,136 26,6424

13965,50 16,35 43,3 0,204 8,8332

13980,40 16,22 58,2 0,074 4,3068

14077,80 16,21 155,6 0,064 9,9584

13861,00 15,94 -61,2 -0,206 12,6072

Σ = 0 Σ = 0 Σ = 62,348

4696,125

348,62SXY == y 6961,0

,14970·19,66261

4696,12

S·S

Sr

YX

XYXY ===

Interpretación: 6961,0r XY = , lo que indica que existe relación directa y no muy fuerte

entre la cotización del Ibex-35 y la cotización de BBVA.

►EJEMPLO PROPUESTO Covarianza y Coeficiente de Correlación

Si las cotizaciones al cierre del Ibex-35 y de Telefónica durante la segunda semana deseptiembre de 2007 han sido:

10/09/07 11/09/07 12/09/07 13/09/07 14/09/07

Ibex35 (X) 13726,30 13965,50 13980,40 14077,80 13861,00TEF (Y) 17,79 18,18 18,62 19,10 18,76

Calcular la covarianza y el coeficiente de correlación lineal entre las cotizaciones delIbex35 y Telefónica.

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5.4 Regresión Lineal Mínimo CuadráticaCapítulo 5: Conceptos estadísticos

La regresión lineal mínimo cuadrática nos proporciona una recta que se aproxima en la

mayor medida posible a la nube de puntos que resulta al representar los valores dedos series de datos X e Y. El criterio más extendido para el cálculo de esta recta es elCriterio Mínimo Cuadrático, que consiste en minimizar la suma de las desviaciones alcuadrado entre los puntos y la recta.

Ecuación de la recta de regresión )x(y (para estimar los valores de Y a partir de los

valores de X)

x·b+a=y , donde x·by=a - y2X

XY

S

S=b

Para analizar la fiabilidad de esta estimación, se utiliza el coeficiente de determinacióndado por

2Y

2X

2XY2

XY2

S·S

S=r =R

Sus valores cumplen que 1R0 2≤≤ y representa la proporción de información de la

serie que queda recogida en la recta de regresión (bondad del ajuste).

►EJEMPLO RESUELTO Regresión lineal mínimo cuadrática

A partir de los datos del ejemplo resuelto anterior sobre la cotización del Ibex-35 y lostítulos de BBVA, hallar la recta de regresión que permita estimar la cotización de untítulo de BBVA cuando el Ibex-35 alcance los 14200 puntos.

La recta de regresión lineal es x·b+a=y , donde

00087,06626,119

4696,12

S

Sb

22X

XY===

034,420,13922·00087,0146,16x·bya =-=-=

luego: x·00087,0034,4x·bay +=+=

Para estimar la cotización de BBVA para un Ibex-35 de 14200, sustituimos en la rectade regresión 14200x = y obtenemos:

€39,1601420·00087,0034,4)14200(y =+=

Si queremos analizar la fiabilidad de esta estimación, calculamos el coeficiente de

determinación 4845,06961,0r R22

XY

2

=== que nos indica que el 48,45% de lainformación queda reflejada en esta recta y por tanto, la predicción no es muy fiable.

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Línea Característicadel Título i

5.4.1 LINEA CARACTERÍSTICA DE UN TÍTULO (LCT)

Un ejemplo práctico de regresión lineal mínimo cuadrática lo constituye la LíneaCaracterística de un Título (LCT) o también llamado Modelo de Mercado de Sharpe.

Se toma como variable explicada la rentabilidad de un título “R it“ y como variableexplicativa la rentabilidad de la cartera de mercado “RMt”, realizando la siguienteregresión lineal:

itMtiiit u+Rβ+α=R

donde Rit y RMt son, respectivamente, las rentabilidades del título i y de la cartera demercado en el momento t ; αi y βi son la ordenada en el origen y la pendiente delajuste ; y uit es la perturbación aleatoria correspondiente al título i en el momento t.

Gráficamente:

itMtiiit u+Rβ+α=R

La pendiente de la recta LCT representada es lo que se conoce habitualmente como elcoeficiente beta del título, que es una medida de la relación entre la evolución dela rentabilidad del título y la del mercado.

Las expresiones de βi y de αi obtenidas a través de la regresión lineal son:

2

M

iM

2

M

Mi

i σ

σ=

σ

)R,Rcov(=β Miii E•βE=α -

siendo iMσ =covarianza entre la rentabilidad del título (R i) y la del mercado (RM)

2

Mσ = varianza de la rentabilidad del mercado

iE = rentabilidad esperada del título

ME = rentabilidad esperada del mercado

RMt

αi

Rit

pendiente=βi

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Distinguimos así entre distintos tipos de valores en función de su beta:

▪Títulos agresivos (β< -1 o β>1). Títulos más arriesgados que el índicerepresentativo del mercado, ya que una variación de un punto en el índiceprovocará una variación mayor en la rentabilidad del título. Son títulos muysensibles a las oscilaciones del mercado.

▪Títulos defensivos (-1<β<1). Títulos menos arriesgados que el índicerepresentativo del mercado, ya que una variación de un punto en el índiceprovocará una variación menor en la rentabilidad del título. Son títulos pocosensibles a las oscilaciones del mercado.

▪Títulos neutros (β=-1 o β=1). Títulos que varían igual que el mercado.

De especial interés, si es que existen, son los títulos con beta negativa(superdefensivos), ya que permitirían reducir el riesgo no diversificable.Su precio habrá de ser forzosamente elevado, con lo que su rentabilidad seráreducida. Y por las condiciones del modelo, deberán ser (caso de existir), muy pocos,ya que, lógicamente, la beta de la cartera de mercado (media ponderada de las betasde los títulos que cotizan en el mercado) debe ser la unidad.

El coeficiente beta opera sobre el rendimiento de los títulos a modo de mecanismo quefiltra, amplifica o transmite sin interferencias las fluctuaciones del mercado, según setrate de activos “defensivos”, “agresivos” o “neutros”.

►EJEMPLO RESUELTO Línea Característica de un Título

La rentabilidad media del título A es del 12% y la rentabilidad media de mercado es del8%. Sabiendo que la varianza de la rentabilidad de mercado es 0,18 y la covarianzaentre las rentabilidades del título A y del mercado es 0,23, obtener la LíneaCaracterística del Título.

La Línea Característica del título A viene determinada por la expresión:

AtMt A A At uRR +β+α=

donde:

El coeficiente beta del título A respecto al mercado: 28,118,0

23,02M

AM A ==

σ

σ=β

Estamos ante un título agresivo al ser β >1.

El coeficiente alfa del título A: 0176,008,0x28,112,0E·E M A A A =-=β-=α

En consecuencia la LCT sería: AtMt At uR28,10176,0R +·+=

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RESUMEN DE CONCEPTOS

> Media aritmética: Valor promedio de una serie de datos históricos.

> Media poblacional o esperanza: Valor esperado de una variable cuando sóloconocemos sus posibles valores y sus probabilidades.

> Desviación típica muestral: Desviación respecto a la media de una serie de datoshistóricos.

> Desviación típica poblacional: Desviación respecto a la media de una variablecuando sólo conocemos sus posibles valores y sus probabilidades. RIESGO.

> Covarianza: Mide la relación entre la variación de dos series de datos. Depende delas unidades de medida.

> Coeficiente de correlación: Mide el grado de relación lineal entre dos series dedatos. Siempre está comprendido entre –1 y 1.

> Recta de regresión lineal: Recta obtenida a partir de dos series de datos, que nospermite estimar los valores de una de las variables a partir de los valores de la otra.

> Coeficiente de determinación: Proporción de información de dos series de datosque queda reflejada en la recta de regresión.

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RESUMEN DE FÓRMULAS

ESTADÍSTICO DATOS FÓRMULA

Media

aritmética n21 x,...,x,x n

x++x

=x

n1 L

Esperanza

n21 x,...,x,x

)x(P),...,x(P),x(P n21

)x(P·x++)x(P·x=)X(E nn11 L

Desviaciónmuestral n21 x,...,x,x

n

2)xx(++2)xx(=S

n1 -- L

Desviaciónpoblacional

n21x,...,x,x

)x(P),...,x(P),x(P n21

)x(P·))X(Ex(++)x(P·))X(Ex(=σ n2

n12

1 -- L

Covarianzan21 x,...,x,x

n21 y,...,y,y n

)yy)·(xx(++)yy)·(xx(=S

nn11XY

---- L

Coef decorrelación

n21 x,...,x,x

n21 y,...,y,y YX

XYXY S·S

S=r

Recta deregresión

n21 x,...,x,x

n21 y,...,y,yx·b+a=y donde: x·by=a -

2X

XY

S

S=b

Coef dedeterminación

n21 x,...,x,x

n21 y,...,y,y 2Y

2X

2XY2

XY2

S·S

S=r =R

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►CUESTIONARIO Capítulo 5: CONCEPTOS ESTADÍSTICOS

1. Las muestras son importantes porque

A) En ocasiones las poblaciones son grandes, o muy grandes.

B) Recoger información en las poblaciones es costoso.C) Recoger información de las poblaciones requiere mucho tiempo.D) Todas son ciertas.

2. La media aritmética es

A) Una medida alrededor de la cual se sitúan los datos.B) Una medida de tendencia central.C) Gráficamente el punto de apoyo de la distribución.D) Cualquiera de las anteriores.

3. La desviación típica

A) Es la media de las desviaciones al cuadrado de los valores respecto a la media.

B) Es la raíz cuadrada de la varianza.C) Es la diferencia entre el valor más alto y más bajo.D) Todas son ciertas.

4. Si el coeficiente de regresión entre X = cotización del Ibex 35 e Y = cotización de AAAes de 1,20:

A) Por cada punto que aumente el Ibex, la cotización de AAA disminuye 1,20 puntos.B) La correlación entre X e Y es muy fuerte.C) Por cada punto que aumente el Ibex, la cotización de AAA aumenta 1,20 puntos.D) No existe relación entre el Ibex y AAA.

5. Un concesionario automovilístico ha vendido 14, 10, 13 y 19 automóviles en los cuatroúltimos trimestres. La desviación típica de ventas trimestral es

A) 5 unidades.B) 3,24 unidades.C) 14 unidades.D) 4 unidades.

6. La desviación típica es un dato clave para medir la volatilidad o riesgo en elcomportamiento de una variable. ¿Cual de las siguientes fórmulas corresponde a ladesviación típica?

A) Raíz cuadrada del sumatorio de las distancias de cada dato con respecto a la media,elevadas al cuadrado y divididas por el número de datos.

B) Raíz cuadrada del sumatorio de las diferencias de cada dato con respecto a la media,elevadas al cuadrado y divididas por el número de datos.

C) Raíz cuadrada de la varianza.D) Todas son ciertas.

7. Las cotizaciones de ABC en los cuatro últimos días han sido: 35’10€ 36€ 37’10€ y37’90€. La desviación típica de estos precios es:

A) 36’525.B) 1’13.C) 1’063.D) Ninguna es cierta.

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8. Para comparar distribuciones distintas es posible realizarlo con

A) Las medidas de tendencia central.B) Con las medidas de dispersión habituales.C) Con el coeficiente de variación.D) Todas son ciertas.

9. El coeficiente de correlación está entre –1 y +1, el valor r = –1 indica

A) Relación positiva perfecta.B) Relación negativa perfecta.C) Que no existe relación.D) Ninguna es cierta.

10. La teoría keynesiana del consumo establece que el consumo de las familias esvariable dependiente de los niveles de renta de las mismas. Queremos contrastar estaafirmación y para ello estimamos una recta de regresión. Cual de las siguientesafirmaciones es cierta

A) Podemos ver que la capacidad explicativa de la renta sobre el consumo es alta por elcoeficiente de regresión.

B) El porcentaje de variabilidad del consumo explicado por cambios en la renta vendrá medidopor el coeficiente de determinación, que toma valores entre –1 y 1.

C) El porcentaje de variabilidad del consumo explicado por cambios en la renta viene explicadopor el coeficiente de correlación que toma valores entre 0 y 1.

D) Ninguna es correcta.

11. Mi cartera tiene un coeficiente de regresión, o también llamado coeficiente beta desharpe, de 0,5, lo cual se interpreta como

A) Mi cartera explica el 50% de la variabilidad del mercado.B) Mi cartera es agresiva.C) Mi cartera ofrece rentabilidades por encima del mercado.D) Ninguna es correcta.

12. Si el coeficiente de regresión vale 2,34, el coeficiente de correlación puede valer

A) -2,34B) 1,34C) 0,72D) -0,72

13. El coeficiente de correlación lineal entre dos variables es r = 0,9. ¿Qué afirmación esfalsa?

A) La bondad del ajuste es del 81%. El modelo de regresión lineal explica el 81% de lainformación contenida en los datos observados.

B) Ambas variables presentan una relación positiva .

C) Un incremento de la variable independiente se traslada a la variable dependiente con unfactor 0,9.

D) El coeficiente de correlación lineal es una medida adimensional comprendida entre -1 y 1,independiente de los cambios de escala en las variables.

14. Hemos estimado un modelo de regresión lineal y = 1661+0,792x entre los gastos deconsumo y los ingresos anuales de las familias en una zona determinada. Para unosingresos anuales de 30.000€ el gasto de consumo estimado es

A) 23.760 €B) 35.781 €C) 25.421 €D) 34.120 €

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15. Tenemos la siguiente recta de regresión Y = a + b X . Las perturbaciones de la rectade regresión, o errores entre el valor estimado y el calculado deben de cumplir lassiguientes condiciones

A) Los residuos deben tener media cero, varianza constante (homocedásticos) y dependenciaentre ellos.

B) Los residuos deben tener media uno, varianza constante (homocedásticos) y dependencia

entre ellos.C) Los residuos deben tener media cero, varianza constante (homocedásticos) e

independencia entre ellosD) Los residuos deben tener media uno, varianza constante (homocedásticos) e independencia

entre ellos.

16. Dos acciones A y B presentan el siguiente comportamiento: el día que A sube untanto por cien, B baja pero la mitad exacta en porcentaje; el día que A baja un tanto porcien, B sube pero igualmente la mitad exacta en porcentaje. ¿Qué podemos decir sobreel coeficiente de correlación r entre ambas variables y sobre la pendiente de la regresiónsiendo p el porcentaje de variación diario.

A) r =1 , b= 0,5

B) r =1 , b= -0,5C) r =-1 , b= -0,5D) r =-1 , b= 0,5

17. Al estudiar el grado de asociación entre dos variables

A) Calculamos el coeficiente de correlación.B) Calculamos el coeficiente de regresión.C) Calculamos el coeficiente de determinación.D) Todas son ciertas.

18. Queremos analizar como variaría el volumen de inversión en activos financieros quedisponen nuestros clientes ante cambios en sus niveles de renta. Para ello planteamos

A) Calcular el coeficiente de regresión en una relación lineal entre renta y volumen deinversión, siendo la renta la variable dependiente.

B) Calcular el coeficiente de regresión en una relación lineal entre renta y volumen deinversión, siendo la renta la variable independiente.

C) Calcular el coeficiente de determinación en una relación lineal entre renta y volumen deinversión.

D) Calcular el coeficiente de correlación en una relación lineal entre renta y volumen deinversión.

19. Mi cartera tiene un coeficiente de regresión o también llamado beta de Sharpe de 0,5,lo cual se interpreta como

A) Mi cartera explica el 50% de la variabilidad del mercado.B) Mi cartera sobre-reacciona ante cambios en las rentabilidades del mercado.C) Mi cartera ofrece rentabilidades por encima del mercado.D) Mi cartera es defensiva.

20. Se habla de regresión múltiple cuando

A) La variable y es función de una variable explicativa.B) La variable y es función de dos o más variables explicativas.C) La variable y es función de dos o más variables dependientes.D) Todas son ciertas.

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21. Un coeficiente de correlación próximo a -1 indica:

A) Relación directa y fuerte entre las variables.B) Relación directa y débil entre las variables.C) La recta de regresión proporciona un buen ajuste.D) Al aumentar una de las variables, la otra variable disminuye en una unidad.

22. Las rentabilidades anuales observadas en los últimos años para un Fondo deInversión han sido: 20%, 10%, 0% y -10%. La desviación típica vale:

A) 0%B) 11,18%C) 20%D) Ninguna de las anteriores es correcta.

23. El coeficiente de correlación asume, por definición, valores comprendidos entre:

A) –2 y +2.B) 0 y +1.C) –1 y + 1, ambos inclusive.D) –1 y +1 , ambos exclusive.

24. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre la desviación estándar es incorrecta?

A) Es la raíz cuadrada de la covarianza.B) Puede ser positiva o negativa.C) Es la media aritmética de las observaciones por raíz de 252 días.D) Todas las anteriores.

25. Un conjunto de datos ordenados en el tiempo, procedentes normalmente deobservaciones tomadas a intervalos regulares, como sucesión de valores que toma unamagnitud económica de definición constante a lo largo del tiempo, se denomina:

A) Intervalo de valores.B) Variable aleatoria.C) Variable estadística.D) Serie temporal.

26. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre el coeficiente de determinación esincorrecta?

A) Es el cuadrado del coeficiente de correlación.B) Puede ser positivo o negativo.C) Representa la proporción de información reflejada en la recta de regresión.D) Toma valores entre 0 y 1.

27. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones sobre la desviación estándar es correcta?

A) Toma valores positivos.B) Puede ser positiva o negativa.C) Es la raíz cuadrada de la covarianza.D) Es la suma de las distancias al cuadrado de los datos a su media.

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6.1 Rentabilidad

6.1.1 Rentabilidad histórica de un activo6.1.2 Rentabilidad esperada de un activo6.1.3 Rentabilidad histórica y esperada de una cartera

6.2 Riesgo

6.2.1 Volatilidad de un activo6.2.2 Riesgo de una cartera de valores

6.3 Supuestos de la hipótesis de normalidad

Capítulo 6. Rentabilidad y Riesgo


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Capítulo 6: Rentabilidad y Riesgo

6.1 Rentabilidad

En el ámbito de las inversiones (sean éstas de índole financiera o económica) el

análisis de la rentabilidad de las mismas constituye un punto de especial atención.

La rentabilidad del accionista es la relación que se establece entre lo que se hainvertido en una determinada acción y el rendimiento económico o resultado queproporciona. El rendimiento que un accionista puede obtener de una acción se midecomputando los dividendos percibidos, las plusvalías o revalorizaciones en sucotización, así como las ventajas que puedan obtenerse por el carácter preferente delas ampliaciones de capital vía derechos de suscripción preferente.

Podrías considerar dos tipos de rentabilidades:

> Rentabilidad a priori o rentabilidad esperada: se trata de una variable aleatoria decarácter subjetivo que depende de nuestras expectativas. Como variable aleatoriapodrá tomar distintos valores, con unas probabilidades determinadas. La esperanzamatemática de dicha variable aleatoria nos proporciona una medida de la rentabilidad,y su varianza nos da una medida de la dispersión o riesgo del activo financierocorrespondiente.

> Rentabilidad a posteriori o rentabilidad al final del plazo. Es una magnitud conocidacon certeza ya que vendrá determinada por el precio al inicio del periodo, precio alfinal del periodo y los ingresos percibidos en el periodo.

En general, dado un periodo T, se utiliza la rentabilidad simple como medida de larentabilidad, que estudiamos en el capítulo 4, y se calcula como:

1P

DP

P

PDPRS

0

TT

0

0TTT

+=

-+=

TP : Precio del título al final del periodo T

TD : Suma aritmética de todos los ingresos percibidos durante el periodo T.

0P : Precio del título al inicio del periodo.

A priori, tan sólo se conoce el precio P0, por lo que para calcular la rentabilidaddeberemos estimar el resto de elementos.

A posteriori, todos los elementos que intervienen en la expresión anterior seránconocidos, pudiendo determinar la rentabilidad.

Como comentábamos en el capítulo 4, la rentabilidad simple considera que losrendimientos, tales como dividendos, derechos de suscripción, se perciben al final delperiodo, o que se reinvierten a una tasa del 0% si se perciben antes.

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6.1.1 RENTABILIDAD A POSTERIORI DE UN ACTIVO

La rentabilidad a posteriori es la rentabilidad histórica al final del plazo. Podemosconocer su valor con certeza ya que se calcula con datos históricos de un determinadoperiodo.

►EJEMPLO RESUELTO Rentabilidad Histórica

Sean las cotizaciones de las acciones AAA, a 31 de diciembre de los años 2001 a2006 y los dividendos correspondientes a esos periodos:

2001 2002 2003 2004 2005 2006

Cotización 21,30 22,70 20,50 23,60 25,00 26,10

Dividendos 1,30 1,25 1,35 1,38 1,40

Calcular: (a) La rentabilidad simple para los años considerados.(b) La rentabilidad anual media aritmética.

(c) La rentabilidad anual media geométrica.

(a) Para calcular la rentabilidad simple utilizamos la expresión:

0

0TTT P

PDPRS

-+=

Así pues, la rentabilidad simple para el año 2002 es:

1268,030,21

30,2130,170,22RS2002 =

-+= = 12,68 %

Para el resto de los años, obtenemos las rentabilidades simples anuales:

2002 2003 2004 2005 2006

Rentabilidad 12,68% - 4,19% 21,71% 11,78% 10%

(b) La rentabilidad anual media aritmética para el periodo 2002/2006 ha sido:

5

1078,1171,2119,468,12RT

+++-= = 10,40 %

(c) Por último, a rentabilidad anual media geométrica será:

10,01)10,01)·(1178,01)·(2171,01)·(0419,01)·(1268,01(TGR 5T =-+++-+= = 10 %

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6.1.2 RENTABILIDAD ESPERADA DE UN ACTIVO

La rentabilidad a priori es una variable aleatoria de carácter subjetivo que depende denuestras expectativas. Como variable aleatoria podrá tomar distintos valores, con unasprobabilidades determinadas en función de unos escenarios (optimista, normal,pesimista,...), pudiendo incluso utilizar la media histórica como un dato de referencia atener en cuenta.

Una vez realizadas las consideraciones anteriores, se habrá construido una variablealeatoria de la forma:

Escenario Rentabilidad Probabilidad

1 R1 p1 2 R2 p2 · · ·n Rn Pn

La esperanza matemática de dicha variable aleatoria nos proporciona una medida dela rentabilidad esperada del activo financiero correspondiente:

∑=

=

=+++=

n j

1 j

j jnn2211T p·R·pR·pR·pRE L

►EJEMPLO RESUELTO Rentabilidad Esperada

En la siguiente tabla se recoge las estimaciones de un gestor sobre rentabilidades

semestrales para un activo A, según diferentes escenarios. Calcular la rentabilidadesperada semestral de dicho activo A.

Escenario Rentabilidad ProbabilidadPesimista -4% 0,20Normal 3% 0,50Optimista 10% 0,30

ET= -4%·0,20 + 3%·0,50 + 10%·0,30 = 3,7% semestral

Para expresar la rentabilidad en términos anuales aplicamos una regla proporcional,suponiendo que la inversión se comporta de la misma forma a lo largo del año y que

los intereses obtenidos no se reinvierten.

La rentabilidad anualizada esperada, si dividimos el año en N periodos, será:

E1= N· EN

Para anualizar rentabilidades mensuales N=12, semanales N=52 o diarias N=250.

►EJEMPLO RESUELTO Rentabilidad Anualizada

Anualizar la rentabilidad semestral del ejemplo anterior

> E2 = 3,7% semestral E1 = 2·E2 = 7,4 % anual

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6.1.3 RENTABILIDAD ESPERADA DE UNA CARTERA

La rentabilidad de una cartera será igual a la media ponderada de las rentabilidadesde los activos que la componen. Se ponderarán las rentabilidades por el pesoespecífico que cada activo tiene en la cartera.

Dada una cartera formada por n títulos, con rentabilidades esperadas E1, E2, ... En ypesos específicos x1, x2, ..., xn respectivamente, la rentabilidad esperada de lacartera, denotada Ep, :

∑=

=+++=

n

1 j

j jnn2211p E·X·Ex·Ex·ExE L

> x1, x2, ..., xn son las proporciones de los respectivos activos en la cartera,por tanto se cumple que x1 + x2 +...+ xn = 1.

>Para formar una cartera con la máxima rentabilidad con unos activos determinados,hay que invertir todo el capital en el título que ofrezca la mayor rentabilidad esperada.

►EJEMPLO RESUELTO Rentabilidad Esperada de una Cartera

Sea una cartera compuesta por 20.000 € en acciones, 5.000 € en depósitos bancariosy 15.000 € en bonos. Las rentabilidades esperadas son respectivamente 12%, 4% y5%. Calcular la rentabilidad esperada de la citada cartera.

Activo (i) Inversión R. Esperada Peso(xi) Acciones 20.000 € 12% 0,5

Depósitos 5.000 € 4% 0,125

Bonos 15.000 € 5% 0,375

TOTAL 40.000 € 1

La rentabilidad esperada de la cartera será:

=++=+++= 5·375,04·125,012·5,0·Ex·Ex·ExE nn2211p L 8,375 %

Es evidente que si disponemos de 40.000€ para formar una cartera con estos tresactivos, obtendremos el mayor rendimiento esperado si destinamos los 40.000€ a lacompra de acciones, pero esta elección tendría un mayor riesgo que el repartooriginal.

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Capítulo 6: Rentabilidad y Riesgo

6.2 Riesgo

Según la R.A.E., el término riesgo significa contingencia o proximidad de un daño. En

términos financieros, entenderemos el “daño” como la posibilidad de obtener unarentabilidad negativa, o bien de ganar menos de lo esperado.

Incertidumbre sobre el futuro. Grado de incertidumbre que acompaña a un préstamo oa una inversión. Posibilidad de que el rendimiento efectivo obtenido de una inversiónfinanciera sea menor que el rendimiento esperado. Convencionalmente, se sueleutilizar como medida del riesgo la variabilidad en la tasa de los rendimientos que seobtienen de la inversión, medida por la desviación típica o el coeficiente de variación.

Por tanto, definiremos riesgo como la incertidumbre que acompaña a una inversión.Es la posibilidad de que el rendimiento efectivo obtenido de una inversión financiera

sea menor que el rendimiento esperado.

Convencionalmente, se suele utilizar como medida del riesgo la variabilidad en la tasade los rendimientos que se obtienen de la inversión, medida por la desviación típica.

6.2.1 VOLATILIDAD DE UN ACTIVO

Se define la volatilidad de un activo como la desviación típica de su rentabilidad.

Se denota T y mide el grado de dispersión de la rentabilidad respecto a la rentabilidadesperada.

►EJEMPLO RESUELTO Volatilidad de un Título

Con los mismos datos que en el ejemplo visto en el apartado 6.1.2., calcular lavolatilidad del activo A.

Escenario Ri pi Ri-ET (Ri-ET)2 pi·(Ri-ET)2

Pesimista -0,04 0,20 - 0,077 0,005929 0,0011858Normal 0,03 0,50 - 0,007 0,000049 0,0000245Optimista 0,10 0,30 0,063 0,003969 0,0011907

Calculamos primero la varianza, haciendo la suma de la última columna y obtenemosσ

2= 0,002401

Extraemos la raíz cuadrada y obtenemos la volatilidad σ = 0,049 = 4,9 %.

De manera análoga a la rentabilidad anualizada, podemos plantearnos el cálculo de lavolatilidad anualizada de un título haciendo:

σ1= N ·σN

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6.2.2 RIESGO DE UNA CARTERA DE VALORES

Para calcular la volatilidad de una cartera, no sólo debemos tener en cuenta lasvolatilidades de cada uno de los títulos, sino que debemos considerar también el gradode correlación que presentan entre sí los títulos que la componen.

Se define la volatilidad de una cartera como la desviación típica de la rentabilidad de

la cartera y se denota P.

> Expresión de la volatilidad de una cartera formada por dos valores:

122122

22

21

21P ·σ·x2·x+·σx+·σx=σ

Como 21

12

12 ·σσ

σ

=ρ 211212 ·· σσρ=σ Sustituyendo en la volatilidad σP

21122122

22

21

21P ·σ·σ·ρ·x2·x+·σx+·σx=σ

CASOS PARTICULARES:

ρ12 = -1 22112

2211212122

22

21

21P xx)·x-·x(·σ·σ·x2·x-·σx·σxσ σ-σ=σσ=+=

En este caso podemos construir una cartera de riesgo nulo σP = 0 :

21

21x

σ+σ

σ= y

21

12x

σ+σ

σ=

ρ12 = 0 22

22

21

21P ·σx·σxσ +=

En este caso la cartera de mínimo riesgo será la siguiente:

22

21

22

1xσ+σ

σ= y

22

21

21

2xσ+σ

σ=

ρ12 = 1 22112

2211212122

22

21

21P xx)·x·x(·σ·σ·x2·x·σx·σxσ σ+σ=σ+σ=++=

En este caso la cartera de mínimo riesgo estará formada en su totalidad por el títulode menor riesgo.

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> Expresión de la volatilidad de una cartera formada por tres valores:

23321331122123

23

22

22

21

21P ·σ·x2·x+·σ·x2·x+·σ·x2·x+·σx+·σx+·σx=σ

> Si la cartera está formada por más de tres títulos, la expresión se generalizaanálogamente.

Como puede observarse el riesgo de una cartera depende en gran medida de lacorrelación entre los títulos que la componen.

►EJEMPLO RESUELTO Volatilidad de una Cartera

Sea una cartera P formada por un 40% de acciones, un 30% de Bonos y un 30% de

Depósitos. La rentabilidad esperada, la volatilidad y la correlación entre las acciones,bonos y depósitos vienen recogidas en la siguiente tabla.Calcular la volatilidad de la cartera P.

CorrelacionesActivo Peso R. Esperada Riesgo

Acciones Bonos Depósitos

Acciones 0,4 12% 20% 1 0,35 0,07

Bonos 0,3 5% 8% 0,35 1 0,2

Depósitos 0,3 4% 3% 0,07 0,2 1

Calculamos primero las covarianzas entre las rentabilidades de los diferentes valores,

según la expresión σij = ρij·σi·σ j.

σ12 = 0,35·0,20·0,08 = 0,0056

σ13 = 0,07·0,20·0,03 = 0,00042

σ23 = 0,2·0,08·0,03 = 0,00048

Aplicar la fórmula de la volatilidad de una cartera de tres títulos, obteniendo:

0,000482·0,3·0,3·0,000422·0,4·0,3·0,00562·0,4·0,3··0,030,3·0,080,3·0,20,4 222222+++++

luego σP= 0085882,0 = 0,09267

►EJEMPLO RESUELTO Rentabilidad esperada y volatilidad de una cartera

Un gestor construye una cartera P con dos títulos (1 y 2) que tienen un coeficiente decorrelación entre sus rentabilidades de 0,35. Las rentabilidades esperadas son del20% y 10%, y las volatilidades del 28% y del 16% respectivamente.

Obtener la rentabilidad y la volatilidad de una cartera compuesta por un 30% de 1 y un70% de 2.

EP = 0,30·0,20 + 0,70·0,10 = 0,13 = 13%

σP = 0,16·0,28·0,35·0,70·0,30·20,16·0,700,28·0,30 2222

++ =16,18%

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E(x)+2σ Capítulo 6: Rentabilidad y Riesgo

6.3 Supuestos de la hipótesis de normalidad

En la práctica, se acepta que una serie de datos referida a la rentabilidad de un activoo una cartera sigue una Ley Normal, que se caracteriza por dos parámetros: la

rentabilidad esperada (esperanza matemática) y la volatilidad (desviación típica).

En el caso de que la rentabilidad de un activo o de una cartera se ajuste a una ley

normal de media E y desviación típica σ, podemos afirmar que:

> Hay aproximadamente una probabilidad del 68% de que la rentabilidad del activo

se encuentre entre E-σ y E+σ. El 32% restante se reparte entre la probabilidad de que

la rentabilidad sea mayor que E+σ (16%) y la probabilidad de que la rentabilidad sea

menor que E-σ (16%).


se encuentre entre E-2σ y E+2σ. El 5% restante se reparte entre la probabilidad de

que la rentabilidad sea mayor que E+2σ (2,5%) y la probabilidad de que la rentabilidad

sea menor que E-2σ (2,5%).


se encuentre entre E-3σ y E+3σ. El 1% restante se reparte entre la probabilidad de

que la rentabilidad sea mayor que E+3σ (0,5%) y la probabilidad de que la rentabilidad

sea menor que E-3σ (0,5%).

►EJEMPLO RESUELTO Consecuencias de la Hipótesis de NormalidadUna cartera tiene una rentabilidad esperada del 15% con una volatilidad del 10%.Hallar intervalos alrededor de la rentabilidad media con probabilidades del 68% y del95% respectivamente.

Si aceptamos que la rentabilidad sigue una ley Normal, podemos afirmar que:

> Existe una probabilidad del 68% de que la rentabilidad se encuentre entre15 - 10 y 15 + 10. Por tanto, el intervalo (5% , 25%) concentra una probabilidad del68%.

> Existe una probabilidad del 95% de que la rentabilidad se encuentre entre

15 - 2·10 y 15 + 2·10. Por tanto, el intervalo (-5% , 35%) concentra una probabilidaddel 95%.

E(x)-2σ E(x)-σ E(x) E(x)+σ

ba

ba

a = 2,5%a + b = 16%

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►RESUMEN DE CONCEPTOS

> Rentabilidad Simple de una inversión: Variación porcentual que experimenta elvalor de un activo durante un periodo.

> Rentabilidad Histórica de un activo: Determinada por el precio al inicio delperiodo, precio al final del periodo y los ingresos percibidos en el periodo. Paracalcular la rentabilidad media de un periodo de varios años, se utiliza la mediageométrica de las rentabilidades anuales.

> Rentabilidad Esperada de un activo: Al inicio de la inversión, sólo se conoce elvalor de P0, por lo que habrá que hacer estimaciones sobre los otros valores paraestimar la rentabilidad. Es la esperanza matemática de la rentabilidad.

> Rentabilidad Esperada Anualizada de un activo: Es la rentabilidad anual que seobtendría suponiendo que los intereses obtenidos no se reinvierten y que elcomportamiento de la inversión se va a repetir a lo largo del año.

> Rentabilidad Esperada de una cartera: Media ponderada de las rentabilidadesde cada uno de los títulos, ponderada por los pesos de los títulos en la composición dela cartera.

> Riesgo: Incertidumbre que genera la fluctuación de la rentabilidad de un activo entorno a su rentabilidad esperada

> Volatilidad de un título: Medida del riesgo. Desviación típica de la rentabilidad.

> Volatilidad de una cartera: Medida del riesgo de una cartera. No coincide con lamedia ponderada de las volatilidades de cada título.

> Consecuencias de la hipótesis de normalidad: Si la rentabilidad sigue una Ley

Normal, la probabilidad de que la rentabilidad de un activo se encuentre entre E - σ y E

+ σ es del 68% y la probabilidad de que la rentabilidad de un activo se encuentre entre

E - 2σ y E + 2σ es del 95%.

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►RESUMEN DE FÓRMULAS

CONCEPTO DATOS FÓRMULA

RentabilidadSimple

PT=Precio final

DT=DividendosP0=Precio final 0

0TTT P

PD+P=RS

-

RentabilidadGeométrica

RS1,RS2, ..., RSN 1)RS+·(1)·RS+(1=TGR NN1N -L

RentabilidadEsperada

R1, ..., Rn p1, ..., pn

=·pR++·pR+·pR=E nn2211T L ΣR j·p j


Anualizada

N = número deperíodos en los que

dividimos el año

E1= N· EN

Rentabilidadesperadade una cartera

n1x,...,x proporciones

n1E,...,E rentabilidades

=·Ex++·Ex+·Ex=E nn2211p L Σx j·E j

Volatilidadde un título

R1, ..., Rn p1, ..., pn n

2Tn1

2T1p ·p)E(R++·p)E(R=σ -- L

Volatilidad Anualizada

N = número deperíodos en los que

dividimos el año σ1= N ·σN

Volatilidadde una cartera(2 títulos)

21x,x proporciones

21σ,σ volatilidades 1221

22

22

21

21P ·σ·x2·x+·σx+·σx=σ

Volatilidadde una cartera(3 títulos)

321x,x,x proporciones

321σ,σ,σ volatilidades

ijσ covarianzas

23321331122123

23

22

22

21

21P ·σ·x2·x·σ·x2·x+·σ·x2·x+·σx+·σx+·σx=σ

Consecuencias

de Normalidad E, σ

P(E-σ , E+σ)= 0,68

P(E-2σ , E+2σ)= 0,95P(E-3σ , E+3σ)= 0,99

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►CUESTIONARIO Capítulo 6: RENTABILIDAD Y RIESGO

1. Aunque en finanzas vinculamos el concepto de riesgo a un determinado estadístico,¿cuál de las siguientes definiciones podría también aproximar el concepto de riesgo?

A) Posibilidad de obtener una rentabilidad negativa.B) Existencia de una elevada fluctuación de la rentabilidad del activo respecto al valor de su

rentabilidad esperada.C) Posibilidad de obtener una rentabilidad inferior a la que ofrece el activo libre de riesgo.D) Todas podrían aproximarse al concepto de riesgo.

2. Con criterio de buen gestor elija entre las siguientes opciones

A) Una cartera formada por 20 títulos con rentabilidad media del 3% y volatilidad 2%.B) Un activo con rentabilidad media del 3% y volatilidad 2%.C) Una cartera formada por 10 títulos con rentabilidad media del 3% y volatilidad 2%.D) Dependerá de las preferencias del usuario.

3. A la hora de calcular la rentabilidad de una cartera

A) No influirá el nivel de correlación entre los activos.B) Se calcula como media ponderada de las rentabilidades de los activos, considerando la

ponderación como el peso del activo en la cartera.C) Nunca podrá superar la rentabilidad del activo más rentable.D) Todas son ciertas.

4. La cartera de un inversor esta constituida únicamente por 4 títulos. Sabiendo que en lacartera todos los títulos tienen el mismo peso y que sus rentabilidades respectivas soniguales a 3,2%, 3,6%, 4% y 2,4% ¿cuál es la tasa de rentabilidad global de la cartera?

A) 3,3%B) 3,6%C) 2,4%

D) 3,10%

5. Indique cuál es la rentabilidad total anualizada de un fondo que ha obtenido un 6% ensu primer año, y un 12,5% en su segundo año.

A) 9,25%B) 18,50%C) 9,20%D) 9,50%

6. Un mercado de acciones presenta una desviación típica mensual con respecto a surentabilidad igual al 2%. ¿Cuál de los valores siguientes aproxima mejor la estimación dela desviación típica anual de dicho mercado?

A) 24%B) 21%C) 7%D) 10%

7. Cuando en finanzas hablamos de volatilidad o riesgo de un instrumento financiero, ¿aqué operador estadístico nos estamos refiriendo?

A) Raíz de la varianza.B) Desviación típica.C) A la raíz del sumatorio de las desviaciones con respecto a la media al cuadrado, dividido

entre el número de datosD) Todas son ciertas.

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8. Esta mañana ha llegado a nuestra oficina un cliente y nos ha pedido que leconstruyamos una cartera con dos instrumentos financieros, tratando únicamente demaximizar su rentabilidad. Las rentabilidades medias son del 5% y del 7%, yvolatilidades del 2,5% y del 3% respectivamente. ¿Cuál sería la ponderación asignada acada uno de los instrumentos?

A) El óptimo estaría en un 50% de cada uno.

B) No hay una cartera óptima en este caso.C) Crearía una cartera únicamente con el instrumento más rentable.D) Tendría que tener en cuenta la correlación para maximizar la rentabilidad.

9. Rentabilidad y riesgo son dos conceptos estrechamente vinculados en la gestión detoda cartera. ¿Cuál de las siguientes opciones sería la más deseable desde el punto devista de la racionalidad económica?

A) Cartera A: Rentabilidad muy alta / Volatilidad menor que cero.B) Cartera B: Rentabilidad alta / Volatilidad menor que cero.C) Cartera C: Rentabilidad cero / Volatilidad cero.D) Cartera D: Rentabilidad alta / Volatilidad cero.

10. El objetivo de la diversificación dentro de una cartera será obtener A) Aumentos de la rentabilidad.B) Una rentabilidad media unido a un determinado riesgo medio.C) Incrementos del número de títulos.D) Reducción del riesgo.

11. Considera una cartera P de acciones A, B y C con las siguientes características:

AcciónNº de Accionesen la Cartera P

Precio por acciónen €


Varianza Beta

A 20 1000 10% 0,01 0,6B 10 2000 2% 0,04 -0,2C 40 1500 18% 0,09 1,4

¿Cuál es la rentabilidad esperada de la cartera P?

A) 13.20%B) 8.80%C) 10.00%D) Ninguna de las respuestas anteriores.

12. Un título con una rentabilidad esperada del 10% y una volatilidad del 6% que siga unaLey Normal tiene una probabilidad aproximada del 68% de que su rentabilidad oscileentre:

A) Un 4% y un 16%B) Un -8% y un 48%C) Un -2% y un 22%D) Un 0% y un 34%

13. Los activos A y B tienen una desviación estándar de 10% y 20% respectivamente. Lacorrelación entre el activo A y B es de -1. ¿Cuál será la desviación estándar de unacartera compuesta por la mitad del activo A y por la mitad del activo B?

A) 10%B) 15%C) 5%D) 30%

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14. Cuál de las siguientes afirmaciones sobre la desviación estándar es correcta.

A) Es la raíz cuadrada de la varianza.B) Puede ser positiva o negativa.C) Es la media aritmética de las observaciones.D) Ninguna de las anteriores es correcta.

15. Conocido un conjunto de datos distribuidos normalmente, de media 35000 ydesviación típica de 4540. ¿Qué porcentaje de observaciones están entre 35000-39540?

A) 68%B) 9,05%C) 47,5%D) Ninguna de las anteriores.

16. Un mercado de acciones presenta una desviación típica semanal con respecto a surentabilidad igual al 3 % ¿Cuál de los valores siguientes aproxima mejor la estimación dela desviación típica anual de dicho mercado?

A) 150 %B) 21 %C) 10 %D) 25 %

17. Conocido un conjunto de datos distribuidos normalmente de media 35000 ydesviación típica de 4540. ¿Qué porcentaje de observaciones están entre 35000-44080?

A) 81,90%B) 9,05%C) 47,5%D) Ninguna de las anteriores.

18. ¿Qué método es el más adecuado para medir la rentabilidad obtenida por un gestor

en el pasado?

A) Media aritmética.B) Composición o media geométrica.C) TIR.D) Plusvalías latentes.

19. Dos acciones A y B presentan una desviación típica anual con respecto a surentabilidad igual, respectivamente, al 20% y al 12%, así como un coeficiente decorrelación entre rentabilidades igual a 0. ¿Cuál sería la desviación típica de una carteraque contuviera ambos títulos igualmente ponderados?

A) 14,22%B) 0%C) 11,66%D) 16%

20. Si las rentabilidades anuales de un fondo han sido: 40%, 10%, -2%

A) Su desviación típica es de 17,66.B) Su desviación típica es de 3,9.C) Su desviación típica es de 5,2.D) Ninguna de las anteriores.

21. Entre dos activos cualesquiera, se considera más arriesgado:

A) El que tenga mayor volatilidad.B) El que tenga menor liquidez.

C) El que tenga menor coeficiente de correlación.D) El que tenga mayor rentabilidad esperada.

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22. La volatilidad de un activo se mide mediante:

A) La varianza.B) La desviación típica.C) La covarianza.D) El coeficiente de correlación.

23. Cuanto más bajo sea el coeficiente de correlación entre dos activos de una cartera:

A) Mayor será la varianza de la cartera.B) Mayor será la rentabilidad de la cartera.C) Menor será la varianza de la cartera.D) No depende de la correlación.

24. Supongamos que la variable aleatoria "rendimiento esperado" de un activo financierosea continua y presente una distribución normal de frecuencias. Si la media de losrendimientos referidos a un período temporal dado es el 9% y la desviación estándar esel 3%, ¿cuál es la probabilidad de que el rendimiento del activo se sitúe entre el 3% y el15%?

A) Cerca del 50%B) Cerca del 68%C) Cerca del 99%D) Cerca del 95%

25. Una inversión por un valor de 6.534 € ha reportado unos dividendos semestrales de243€, 240€ y 105€. Al año y medio se ha liquidado la inversión por un valor de 7.012€. Larentabilidad simple obtenida ha sido:

A) 7,31%B) 9%C) 16,31%D) 10,60%

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►SOLUCIÓN DE LOS CUESTIONARIOS

Módulo 1: FUNDAMENTOS DE LA INVERSIÓN

CAPÍTULOS1, 2 y 3

CAPÍTULO 4 CAPÍTULO 5 CAPÍTULO 6

1 B 1 B 1 D 1 D

2 A 2 A 2 D 2 A

3 B 3 D 3 B 3 D

4 B 4 B 4 C 4 A

5 C 5 C 5 B 5 C

6 B 6 D 6 D 6 C

7 A 7 C 7 C 7 D

8 A 8 B 8 C 8 C

9 B 9 C 9 B 9 D

10 A 10 D 10 D 10 D

11 B 11 D 11 D 11 A

12 D 12 C 12 C 12 A

13 C 13 B 13 C 13 C

14 B 14 C 14 C 14 A

15 D 15 C 15 C 15 D

16 A 16 D 16 C 16 B

17 B 17 D 17 A 17 C

18 C 18 A 18 B 18 B

19 C 19 D 19 C

20 C 20 B 20 A

21 B 21 C 21 A

22 C 22 B 22 B

23 A 23 C 23 C

24 D 24 D25 D 25 C

26 B

27 A

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fikai AULA FINANCIERA

►BIBLIOGRAFÍA

Módulo 1: Fundamentos de la Inversión

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Matemáticas de las Operaciones Financieras". Ed. AC, Madrid.

▪ BETZUEN ZALBIDEGOITIA, Amancio (2001): "Curso de MatemáticasFinancieras: Análisis Financiero Fundamental, Rentas y Constitución deCapitales". Instituto de Estudios Financiero-Actuariales. Bilbao.

▪ BETZUEN ZALBIDEGOITIA, Amancio (1992): "Curso de MatemáticasFinancieras: Operaciones de Préstamos, Operaciones de Empréstitoobligaciones". Instituto de Estudios Financiero-Actuariales. Bilbao.

▪ BETZUEN, Amancio; BILBAO, Alberto; GOMEZ, Rosalía; DE LA PEÑA,

J.Iñaki(1994): "Matemática Financiera: Ejercicios resueltos". Instituto deEstudios Financiero-Actuariales. Bilbao.▪ DE PABLO LOPEZ, A. (1994): "Matemática de las operaciones Financieras".

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▪ GONZALEZ CATALA, V. (1991): "Enfoque práctico de las Operaciones de laMatemática Financiera". Ed. Ciencias Sociales. Madrid.

▪ Bárcena, M.J.; Fernández, K.; Ferreira, E. y Garín, M.A. (2003). Elementos deProbabilidad y Estadística Descriptiva. Servicio Editorial de la Universidad delPaís Vasco, UPV/EHU.

▪ J. Arteche et al. (2000). Ejercicios de estadística I. Elementos de Probabilidady Estadística. Servicio Editorial de la UPV/EHU.

▪ Martín Pliego, F.J.; Ruiz Maya, L. (2004). Estadística I: Probabilidad, Editorial AC, 2ª edición. Madrid.

▪ Martín Pliego, J.M. Montero Lorenzo y F.J.; Ruiz Maya (2002). Problemas deProbabilidad, Editorial AC, Madrid.

▪ Tusell, F. y Garín, A. (1991). Ejercicios de Probabilidad e InferenciaEstadística. TébarFlores, Madrid.

▪ Martín Pliego, F.J. (1994). Introducción a la Estadística Económica yEmpresarial. Editorial AC., Madrid.

▪ “Estadística aplicada a los negocios y la economía”. Allen L. Webster. TerceraEdición. Mc Graw-Hill: Irwin- Mc Graw-Hill.2000

▪ “Probabilidad y Estadística. Aplicaciones y Métodos”. George C. Canavos.Editorial Mc Graw Hill. 1997

▪

“Probabilidad y Estadística”. Ronald E. Walpole y Raymond H. Myers. CuartaEdición. Editorial Mc Graw Hill.

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