PROPIEDADES DEL OPERADOR SUMATORIA
PROPIEDADES DEL OPERADOR
SUMATORIA------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1] Sumas simples
La letra griega sigma mayscula, (, es una notacin abreviada para
designar una suma. Por ejemplo, la suma x1 + x2 + + xn puede
escribirse con el signo de adicin como:
que se lee la suma de xi desde i = 1 hasta i = n. Aqu, i se
llama ndice de adicin y es una variable que vara entre los nmeros
1, 2, ..., n. La expresin i = 1 debajo del signo ( indica que 1 es
el valor inicial adoptado por i, y la n arriba del signo ( indica
el valor terminal de i. Al smbolo xi se le llama sumando; es una
funcin de i que adopta los valores x1, x2, ..., xn,
respectivamente, cuando i adopta los valores 1, 2, ..., n. El signo
( dice que los valores adoptados por el sumando han de ser
sumados.
El smbolo usado para el ndice de adicin se llama a veces ndice
ficticio porque es completamente arbitrario. Por ejemplo:
x1 + x2 + + xn = === .
Como ilustraciones vemos que:
; ; ;
;.
De los dos ltimos ejemplos podemos apreciar fcilmente que:
Una funcin conocida de n valores x1, x2, , xn es su media
aritmtica (su suma dividida por n), representada por el smbolo.
Usando la notacin ( podemos escribir:
.
Si la amplitud de la suma es completamente clara en el contexto,
puede omitirse el ndice de adicin. As, podemos usar:
para substituir; para substituir;
para substituir ; y as sucesivamente.
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2] Teoremas para adicin simple
A continuacin, se listar una serie de teoremas sin demostracin.
Se deja la demostracin formal para los lectores interesados (las
demostraciones son muy sencillas y rpidas de obtener).
Teorema I
Si a es cierto valor constante de los n valores diferentes de i,
entonces: .
Teorema II
Dado el valor a, que es una constante de todos los valores
individuales que intervienen en la adicin,
Teorema III
Si la nica operacin que ha de efectuarse antes de realizar una
suma es una suma (o una diferencia), la adicin puede ser
distribuida; es decir,
Teorema IV
Si ha de efectuarse alguna operacin sobre los valores
individuales de X antes de la adicin, se indica esto por la notacin
matemtica. A menos que se incluya el signo de adicin en esta
notacin, la adicin ha de hacerse despus de la otra operacin. Por
ejemplo,
mientras que
As,
, en general.
Igualmente:
mientras que
.
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3] Sumas finitas dobles y triples
Los valores de una variable X, el sumando, se disponen, a veces,
como un cuadro en dos sentidos como sigue:
x11x12x1m
x21x22x2m
xn1xn2xnm
donde los valores individuales puede ser representados por el
smbolo genrico xij,
i = 1, 2, , n y j = 1, 2, , m. La suma de xij puede obtenerse
sumando primero las distintas filas y luego sumando los totales de
las filas para obtener el resultado deseado. Sin duda, obtendramos
el mismo resultado sumando primero los valores de las columnas y
luego los totales columnares. Esto es simplemente la aplicacin de
la suma simple dos veces para obtener un signo doble de suma como
sigue:
Consideremos ahora el caso de un signo de triple suma. Si los
valores de una variable se disponen en un cuadro que consta de n
filas y m columnas es decir, nm celdas donde cada valor individual
corresponde exactamente a una celda del cuadro, entonces la k-sima
observacin en la ij-sima celda se representa por xijk. Igualmente,
el nmero de observaciones en la celda ij lo designamos por nij. La
notacin para la suma de las observaciones en tal cuadro puede
escribirse empleando el signo de suma simple tres veces como
sigue:
Esta notacin dice: tome una celda particular, ij, y sume todos
los nij valores de dicha celda; luego, manteniendo constante la
fila i, sume los resultados de la suma de cada celda para todas las
columnas; finalmente, sume los resultados de cada fila i para todas
las filas. Un poco de reflexin revelar que esto es simplemente la
suma de los valores individuales del cuadro.
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4] Teoremas para sumas dobles
Observemos ahora algunos de los teoremas que rigen las sumas
dobles que son de especial inters y que tambin pueden ser aplicados
a sumas triples y an mayores. Tampoco aqu daremos las
demostraciones las cuales se dejan libradas a la inquietud del
lector. De todas maneras, son muy sencillas de obtener.
Teorema I
Si a es una constante, entonces y .
Teorema II
Si ambos lmites de los signos de adicin son constantes, puede
intercambiarse el orden de adicin:
Teorema III
Teorema IV
Teorema V
Obsrvese que el teorema no dice que . Esta ltima igualdad es
falsa, excepto en casos especiales. El teorema se refiere a la suma
doble con dos ndices diferentes de adicin.
Teorema VI
Propiedades de la esperanza matemtica
1. Esperanza de una funcin de una variable aleatoria Variable
discreta
Variable continua
2. Linealidad de la esperanza matemtica E(X+Y) =E(X) +E(Y) E(kX)
=kE(X)para todo nmero realk. E(k) =kpara todo nmero realk. E(aX+b)
=aE(X) +bpara todo par de nmeros realesayb.
Esperanza del producto E(XY) =E(X) E(Y) nicamente en el caso de
queXeYsean variables aleatorias independientes.
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