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Profesor: MSc. Claudio Araya Sassi
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Apuntes ICI2212 Modelos Estocsticos
Distribucin Gamma
Profesor: MSc. Claudio Araya Sassi 2 Semestre de 2013.
Distribucin Gamma Una v.a. se dice tener una distribucin con
parmetros ( ) si su est dada por:
( ) { ( )
( )
( )
Donde ( ), llamada la funcin gamma, est definida como:
( )
Integrando por partes se tiene:
( )
Reemplazando se tiene:
( ) |
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) Relacin Recursiva As hemos demostrado que la funcin
gamma sigue una importante relacin recursiva. Hacemos aplicando la
ecuacin anterior repetidamente.
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )
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Pero,
( ) |
Por lo tanto, ( ) ( ) ( ) Reemplazando la ecuacin (2) en (1)
queda lo siguiente:
( ) { ( )
( )
Donde la funcin depende slo de , esto es, ( ) ( ) Propiedades de
la Distribucin Gamma a) si n = 1
( ) {
}
Por lo tanto, la fdp exponencial es un caso especial de la
distribucin gamma. b) n > 0 Considrese la integral
luego
Integrando por partes y haciendo
y
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Por lo tanto,
|
[ ( ) ] Por lo tanto,
[ ( )
]
[
]
( )
Donde Y tiene una distribucin de Poisson con parmetro a. Si,
( ) ( )
( )
y por lo tanto la fda de x se transforma en:
( ) ( )
( ) ( )
Haciendo
( )
( )
( ) con
( ) ( )
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Por lo tanto, la fda de la fdp Gamma puede expresarse mediante
la fda de la distribucin Poisson. Gamma Distribucin continua.
Poisson N de ocurrencias de algn evento durante un periodo fijo de
tiempo. Gamma Distribucin del tiempo necesario para obtener un n
especificado de ocurrencias
del evento. Supongamos que:
X= N de ocurrencias del evento A durante (0,t).
X~ Poisson (t) Donde: = N esperado de ocurrencias de A durante
un intervalo de tiempo unitario. Sea T= Tiempo necesario para
observar n ocurrencias de A. Tenemos ( ) { } { } ( [ ]) { }
( )
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Tasa de Falla Distribucin Gamma
( ) ( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) [ ( )
( )
( ) ]
( )
( ) [ ( )
( )
( ) ]
( )
( ) ( ) [
( ) ( )
( )
( )
( )( )
]
( ) [
( )
( )
( )
( )( ) ]
( )
( )
( ) ( )
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Figura 1. Funcin tasa de falla para la Distribucin Gamma con
.
Referencias Meyer, Paul, 1998. Probabilidad y Aplicaciones
Estadsticas, Ed. Prentice Hall, Mxico. Ross, Sheldon, 2006. A First
Course in Probability, Seventh Edition, Pearson Prentice Hall, New
Jersey, U.S.A. Ross, Sheldon, 2007. Introduction to Probability
Models, Ninth Edition, Academic Press, Elsevier, Massachusetts,
U.S.A. Ross, Sheldon, 1996. Stochastic Processes, Second Edition,
John Wiley and Sons, U.S.A. Gazmuri, Pedro, 1994. Modelos
Estocsticos para la Gestin de Sistemas, Ediciones Universidad
Catlica, Chile.
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
0 1 2 3 4 5 6 7 8
Tasa
de
fal
la
Tiempo
n=
n=
