1

Apuntes de Límites de funciones

En el tema anterior estudiamos el concepto de función real de variable real y sus principales características.

En este tema, introducimos la idea intuitiva de límite de una función y las propiedades más relevantes.

Además, se trabaja el concepto de límite como una herramienta útil para el estudio de la continuidad de una

función y la aplicación en el cálculo de las asíntotas.

1. Límite de una función. Introducción

El concepto de límite tiene el sentido de “lugar” hacia el que se dirige una función en un determinado

punto o en el infinito. Es decir, el valor al que se aproxima la función 𝑓(𝑥) cuando la variable

independiente 𝑥 se aproxima a valores determinados.

1.1 Límite de una función en el infinito

Consideremos la siguiente gráfica de una cierta función 𝑓(𝑥).

Observamos que a medida que el valor de la variable 𝑥 se va haciendo más grande (𝑥 ⟶ +∞) las

imágenes 𝑦 = 𝑓(𝑥) también se hacen, cada vez, más grandes (𝑓(𝑥) ⟶ +∞). Este hecho lo

escribiremos de la siguiente forma:

lim𝑥⟶+∞

𝑓(𝑥) = +∞

y diremos que el límite de la función 𝑓(𝑥) cuando 𝑥 tiende a +∞ es +∞.

Formalmente se expresa como sigue:

lim𝑥⟶+∞

𝑓(𝑥) = +∞ ≡ ∀𝑀 ∈ ℝ, ∃𝑥0 ∈ ℝ ∕ 𝑥 > 𝑥0 ⟹ 𝑓(𝑥) > 𝑀

2

De forma análoga se definirían

lim𝑥⟶+∞

𝑓(𝑥) = −∞ ; lim𝑥⟶−∞

𝑓(𝑥) = +∞ ; lim𝑥⟶−∞

𝑓(𝑥) = −∞

que se corresponderían con situaciones gráficas como las siguientes:

• lim𝑥⟶+∞

𝑓(𝑥) = −∞

• lim𝑥⟶−∞

𝑓(𝑥) = +∞

• lim𝑥⟶−∞

𝑓(𝑥) = −∞

Aunque los resultados de los límites anteriores, en los cuatro casos, son ±∞ hay que decir que la

función no tiene límite o que el límite es infinito.

Sólo diremos que una función 𝒇(𝒙) tiene límite en el infinito cuando éste sea un número real

𝒃 (límite finito) y lo escribiremos de una de las dos formas siguientes:

lim𝑥⟶+∞

𝑓(𝑥) = 𝐿 𝑜 𝑏𝑖𝑒𝑛 lim𝑥⟶−∞

𝑓(𝑥) = 𝐿

Formalmente:

lim𝑥⟶+∞

𝑓(𝑥) = 𝐿 ≡ ∀𝜀 > 0 ∃𝑘 ∈ ℝ ∕ 𝑥 > 𝑘 ⟹ |𝑓(𝑥) − 𝐿| < 𝜀

En cualquiera de estos dos casos, diremos que 𝑦 = 𝐿 es una asíntota horizontal de la función.

3

Ejemplo 1: la siguiente gráfica muestra la situación en que

lim𝑥⟶+∞

𝑓(𝑥) = 2

A medida que los valores de la variable 𝑥 se hacen más grandes, sus imágenes 𝑓(x) se aproximan a

2 cada vez más.

Ejemplo 2: la siguiente gráfica muestra la situación en que

lim𝑥⟶−∞

𝑓(𝑥) = 2

A medida que los valores de la variable 𝑥 se hacen más negativos, sus imágenes 𝑓(x) se aproximan

a 2 cada vez más.

2. Operaciones con límites de funciones

Consideremos dos funciones 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥) y a partir de los posibles de sus correspondientes límites,

calculamos:

2.1 Límite de la suma/diferencia de funciones

El límite de la suma/diferencia de dos funciones se define como la suma/diferencia de los límites de

dichas funciones, es decir:

lim𝑥⟶+∞

(𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)) = lim𝑥⟶+∞

𝑓(𝑥) ± lim𝑥⟶+∞

𝑔(𝑥)

Distinguimos diferentes posibilidades para los valores de lim𝑥⟶+∞

𝑓(𝑥) y lim𝑥⟶+∞

𝑔(𝑥) según que estos

sean finitos o infinitos.

lim𝑥⟶+∞

𝑓(𝑥) = {𝑎 ∈ ℝ+∞−∞

; lim𝑥⟶+∞

𝑔(𝑥) = {𝑏 ∈ ℝ+∞−∞

Entonces, la siguiente tabla con los valores de lim𝑥⟶+∞

(𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)) se completa como sigue:

𝐥𝐢𝐦𝒙⟶+∞

[𝒇(𝒙) ± 𝒈(𝒙)] 𝑏 +∞ −∞

𝑎 𝑎 ± 𝑏 +∞/−∞ −∞/+∞

+∞ +∞ +∞ / IND ∗ IND */ +∞

−∞ −∞ IND */ −∞ −∞/ IND ∗

4

(*) IND hace referencia a una indeterminación: Por ejemplo: ∞−∞ es una indeterminación, pues

el resultado puede ser cualquier valor; en efecto, si sumamos cantidades de distinto signo todo lo

grandes que podamos imaginar, el resultado es imprevisible (las estudiaremos más adelante)

2.2 Límite del producto de funciones

El límite del producto de dos funciones se define como el producto de los límites de cada una de

ellas, es decir:

lim𝑥⟶+∞

[𝑓(𝑥) · 𝑔(𝑥)] = lim𝑥⟶+∞

𝑓(𝑥) · lim𝑥⟶+∞

𝑔(𝑥)

Distinguimos diferentes posibilidades para los valores de lim𝑥⟶+∞

𝑓(𝑥) y lim𝑥⟶+∞

𝑔(𝑥) según que estos

sean finitos (nulos o no) o infinitos.

𝑙𝑖𝑚𝑥⟶+∞

𝑓(𝑥) = {

𝑎 ∈ ℝ 𝑎 ≠ 00+∞−∞

; 𝑙𝑖𝑚𝑥⟶+∞

𝑔(𝑥) = {

𝑏 ∈ ℝ 𝑏 ≠ 00+∞−∞

Entonces, la siguiente tabla con los valores de lim𝑥⟶+∞

[𝑓(𝑥) · 𝑔(𝑥)] se completa como sigue:

𝐥𝐢𝐦𝒙⟶+∞

[𝒇(𝒙) · 𝒈(𝒙)] 𝑏 ≠ 0 0 +∞ −∞

𝑎 ≠ 0 𝑎 · 𝑏 0 +∞ 𝑠𝑖 𝑎 > 0−∞ 𝑠𝑖 𝑎 < 0

−∞ 𝑠𝑖 𝑎 > 0+∞ 𝑠𝑖 𝑎 < 0

0 0 0 IND* IND*

+∞ +∞ 𝑠𝑖 𝑏 > 0−∞ 𝑠𝑖 𝑏 < 0

IND* +∞ −∞

−∞ −∞ 𝑠𝑖 𝑏 > 0+∞ 𝑠𝑖 𝑏 < 0

IND* −∞ +∞

(*) El tipo de indeterminación que aparece es 0 · ∞ porque al multiplicar cantidades que se

aproximan a 0 tanto como queramos por cantidades (positivas o negativas) todo lo grandes que

queramos, el resultado puede ser cualquier valor. Se necesitan técnicas de resolución.

2.3 Límite del cociente de funciones

El límite del cociente de dos funciones se define como el cociente de los límites de cada una de ellas,

siempre y cuando el límite del denominador sea no nulo:

lim𝑥⟶+∞

[𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)] =

lim𝑥⟶+∞

𝑓(𝑥)

lim𝑥⟶+∞

𝑔(𝑥) 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 lim

𝑥⟶+∞𝑔(𝑥) ≠ 0

Distinguimos diferentes posibilidades para los valores de lim𝑥⟶+∞

𝑓(𝑥) y lim𝑥⟶+∞

𝑔(𝑥) según que estos

sean finitos (nulos o no) o infinitos.

𝑙𝑖𝑚𝑥⟶+∞

𝑓(𝑥) = {

𝑎 ∈ ℝ 𝑎 ≠ 00+∞−∞

; 𝑙𝑖𝑚𝑥⟶+∞

𝑔(𝑥) = {

𝑏 ∈ ℝ 𝑏 ≠ 00+∞−∞

Entonces, la siguiente tabla con los valores de lim𝑥⟶+∞

[𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥)] se completa como sigue:

5

𝒍𝒊𝒎𝒙⟶+∞

𝒇(𝒙)

𝒈(𝒙) 𝑏 ≠ 0 0 +∞ −∞

𝑎 ≠ 0 𝑎

𝑏 ±∞ 0 0

0 0 IND* 0 0

+∞ +∞ 𝑠𝑖 𝑏 > 0−∞ 𝑠𝑖 𝑏 < 0

±∞ IND* IND*

−∞ −∞ 𝑠𝑖 𝑏 > 0+∞ 𝑠𝑖 𝑏 < 0

±∞ IND* IND*

(*) Aparecen dos nuevas indeterminaciones, ∞

∞ 𝑦

0

0, que resolveremos con las técnicas adecuadas.

Los límites 𝑙𝑖𝑚𝑥⟶+∞

𝑎

𝑥𝑘= 0 se llaman infinitésimos y aparecerán muy frecuentemente.

2.4 Límite de una potencia (una función elevada a otra función)

El límite de una función elevada a otra función, se define como el límite de la base (siempre que sea

positivo o nulo), elevado al límite del exponente, es decir:

lim𝑥⟶+∞

𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) = [ lim𝑥⟶+∞

𝑓(𝑥)]lim

𝑥⟶+∞𝑔(𝑥)

𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 lim𝑥⟶+∞

𝑓(𝑥) ≥ 0

Distinguimos diferentes posibilidades para los valores de lim𝑥⟶+∞

𝑓(𝑥) y lim𝑥⟶+∞

𝑔(𝑥) según que estos

sean finitos (nulos o no) o infinitos.

𝑙𝑖𝑚𝑥⟶+∞

𝑓(𝑥) = {𝑎 ∈ ℝ 𝑎 > 0

0+∞

; 𝑙𝑖𝑚𝑥⟶+∞

𝑔(𝑥) = {

𝑏 ∈ ℝ 𝑏 ≠ 00+∞−∞

Entonces, la siguiente tabla con los valores de lim𝑥⟶+∞

𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) se completa como sigue:

𝐥𝐢𝐦𝒙⟶+∞

𝒇(𝒙)𝒈(𝒙) 𝑏 ≠ 0 0 +∞ −∞

𝑎 > 0 𝑎𝑏 1 +∞ 𝑠𝑖 𝑎 > 1 0 𝑠𝑖 0 < 𝑎 < 1𝐼𝑁𝐷∗ 𝑠𝑖 𝑎 = 1

0 𝑠𝑖 𝑎 > 1

+∞ 𝑠𝑖 0 < 𝑎 < 1 𝐼𝑁𝐷∗ 𝑠𝑖 𝑎 = 1

0 0 IND* IND* IND*

+∞ +∞ 𝑠𝑖 𝑏 > 0 0 𝑠𝑖 𝑏 < 0

IND* +∞ 0

(*) Aparecen dos nuevas indeterminaciones 00, 0∞, (+∞)0 𝑦 1∞. 𝑆ólo estudiaremos esta última.

2.5 Límite de funciones con radicales

El límite de función con radicales se define:

lim𝑥⟶+∞

√𝑓(𝑥)𝑛 = √ lim

𝑥⟶+∞𝑓(𝑥)𝑛

A la hora de calcularlo, debemos tener en cuenta que: √+∞𝑛

⟶+∞ ; √−∞𝑛 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟

⟶− ∞

2.6 Límite de la función logarítmica

El límite de función logarítmica se define como el logaritmo del límite de la función, siempre y

cuando este límite sea positivo:

lim𝑥⟶+∞

[ log𝑎 𝑓(𝑥) ] = log𝑎[ lim𝑥⟶+∞

𝑓(𝑥) ] 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 lim𝑥⟶+∞

> 0 , 𝑎 > 0 , 𝑎 ≠ 1

6

3. Cálculo de límites sencillos. Indeterminaciones

Para calcular límites de funciones tenemos que tener en cuenta todo lo que hemos estudiado en los

puntos anteriores y lo que vemos a continuación:

1. A la hora de calcular un límite aparecen expresiones como las siguientes, que conviene recordar:

• 𝑘

±∞= 0 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ ℝ

• ±∞

𝑘= ±∞ 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ ℝ − {0}

• 0

𝑘= 0 𝑐𝑜𝑛 𝑘 ∈ ℝ − {0}

• 𝑘+∞ = {+∞ 𝑠𝑖 𝑘 > 10 𝑠𝑖 0 < 𝑘 < 1

2. Límite de un polinomio: El límite de un polinomio cuando 𝑥 → ±∞ es siempre +∞ o −∞. El signo lo

determina el signo del coeficiente del término de mayor grado, los demás términos no influyen, son

insignificantes.

an ≠ 0

limx⟶+∞

(anxn + an−1x

n−1 +⋯+ a1x + a0) = {+∞ si an > 0 −∞ si an < 0

Ejemplo 7:

lim𝑥⟶+∞

(−2𝑥4 + 𝑥3 + 7𝑥 + 1) = −∞ porque −2 < 0

3. A veces, podemos obtener determinados resultados que, a priori, no tienen sentido. Se llaman

indeterminaciones y estudiamos las siguientes: ∞

∞ ,

0

0 , 0 · ∞ , ∞ −∞ , 1∞

(la indeterminación 0

0 la veremos más adelante)

o Indeterminación ∞

∞

Aparece al calcular límites de cocientes de polinomios.

Sean 𝑃(𝑥) y 𝑄(𝑥) dos polinomios de grados 𝑛 y 𝑚 respectivamente. Al calcular el límite

lim𝑥⟶+∞

𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥) se produce la indeterminación

∞

∞.

Se puede resolver de tres formas distintas, lo mostramos para lim𝑥⟶+∞

2𝑥3+5𝑥−1

𝑥3+4

Forma 1. Como los términos distintos del monomio de mayor grado son insignificantes, en

cuanto al límite en el infinito, podemos suprimirlos tanto en el numerador como en el

denominador:

lim𝑥⟶+∞

2𝑥3 + 5𝑥 − 1

𝑥3 + 4=⏞

∞∞

lim𝑥⟶+∞

2𝑥3

𝑥3= 2

Forma 2. Se divide numerador y denominador por la mayor potencia de la variable y se

aplican las propiedades vistas en el punto 1.

𝑙𝑖𝑚𝑥⟶+∞

2𝑥3 + 5𝑥 − 1

𝑥3 + 4=⏞

∞∞

𝑙𝑖𝑚𝑥⟶+∞

2𝑥3 + 5𝑥 − 1𝑥3

𝑥3 + 4𝑥3

= 𝑙𝑖𝑚𝑥⟶+∞

2𝑥3

𝑥3+5𝑥𝑥3−1𝑥3

𝑥3

𝑥3+4𝑥3

= 𝑙𝑖𝑚𝑥⟶+∞

2 +5𝑥2−1𝑥3

1 +4𝑥3

= 2

7

Forma 3. Se aplica la llamada regla de los grados

lim𝑥⟶+∞

𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥)= lim

𝑥⟶+∞

𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥

𝑛−1 +⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0𝑏𝑚𝑥

𝑚 + 𝑏𝑚−1𝑥𝑚−1 +⋯+ 𝑏1𝑥 + 𝑏0

=

{

𝑎𝑛𝑏𝑚

𝑠𝑖 𝑛 = 𝑚

0 𝑠𝑖 𝑛 < 𝑚

±∞ 𝑠𝑖 𝑛 > 𝑚 𝑦 𝑎𝑛𝑏𝑚

{> 0< 0

lim𝑥⟶+∞

2𝑥3+5𝑥−1

𝑥3+4=⏞

∞

∞2

1= 2 porque son del mismo grado.

Esta indeterminación también puede aparecer al calcular límites de cocientes con radicales.

Se resuelve dividiendo, numerador y denominador, por la mayor potencia de la variable,

compensada por el radical, como vemos en el ejemplo siguiente

lim𝑥⟶+∞

√4𝑥2+5𝑥−1+3𝑥

2𝑥+4=⏞

∞

∞

lim𝑥⟶+∞

√4𝑥2+5𝑥−1+3𝑥

𝑥2𝑥+4

𝑥

= lim𝑥⟶+∞

√4𝑥2+5𝑥−1

𝑥+3𝑥

𝑥2𝑥

𝑥+4

𝑥

= lim𝑥⟶+∞

√4𝑥2+5𝑥−1

𝑥2+3𝑥

𝑥2𝑥

𝑥+4

𝑥

=

lim𝑥⟶+∞

√4+3

𝑥−1

𝑥2+3

2+4

𝑥

=√4+3

2=

5

2

o Indeterminación 𝟎 · ∞

Se resuelve transformándola en una indeterminación del tipo (∞

∞ ,

0

0)

Ejemplo 10:

𝑙𝑖𝑚𝑥⟶+∞

1

𝑥 + 1· √𝑥2 + 1 =⏞

0·∞

𝑙𝑖𝑚𝑥⟶+∞

√𝑥2 + 1

𝑥 + 1=⏞

∞∞

𝑙𝑖𝑚𝑥⟶+∞

√𝑥2

𝑥2+1𝑥2

𝑥𝑥2+1𝑥2

= 𝑙𝑖𝑚𝑥⟶+∞

√1 +1𝑥2

1 +1𝑥2

= 1

o Indeterminación ∞−∞

Aparece al calcular el límite de una suma/diferencia de funciones racionales, como el

siguiente:

lim𝑥⟶+∞

[𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥)−𝑅(𝑥)

𝑆(𝑥)]

Se resuelven efectuando la operación, como mostramos en el siguiente ejemplo:

Ejemplo 11:

lim𝑥⟶+∞

(2𝑥3−1

𝑥2+4−𝑥2−2

2𝑥) =⏞∞−∞

lim𝑥⟶+∞

(2𝑥3−1)·2𝑥−(𝑥2−2)·(𝑥2+4)

(𝑥2+4)·2𝑥= lim

𝑥⟶+∞

3𝑥4−2𝑥2−2𝑥+8

2𝑥3+8𝑥=⏞

∞

∞

+∞

Esta indeterminación también puede aparecer al calcular límites en los que intervienen

expresiones con radicales. En estos casos, se resuelve multiplicando y dividiendo numerador

y denominador por la expresión conjugada.

Ejemplo 12:

lim𝑥⟶+∞

(√4𝑥2 + 5𝑥 − 1 − 2𝑥) =⏞∞−∞

lim𝑥⟶+∞

(√4𝑥2+5𝑥−1−2𝑥)·(√4𝑥2+5𝑥−1+2𝑥)

√4𝑥2+5𝑥−1 + 2𝑥=

8

lim𝑥⟶+∞

5𝑥−1

√4𝑥2+5𝑥−1 + 2𝑥=⏞

∞

∞

lim𝑥⟶+∞

5𝑥

𝑥−1

𝑥

√4𝑥2+5𝑥−1

𝑥 +

2𝑥

𝑥

= lim𝑥⟶+∞

5−1

𝑥

√4+5

𝑥−1

𝑥2 + 2

=5

4

o Indeterminación 𝟏∞

Las resolvemos aplicando la siguiente igualdad:

lim𝑥⟶+∞

[𝑓(𝑥)]𝑔(𝑥) =⏞1∞

𝑒 𝐴 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐴 = lim𝑥⟶+∞

𝑔(𝑥) · [𝑓(𝑥) − 1]

Ejemplo 13:

lim𝑥⟶+∞

(𝑥 − 3

1 + 𝑥)𝑥2−3

=⏞1∞

𝑒𝐴

𝐴 = lim𝑥⟶+∞

[(𝑥2 − 3) · (𝑥 − 3

1 + 𝑥− 1)] = lim

𝑥⟶+∞[(𝑥2 − 3) · (

−4

1 + 𝑥)] = lim

𝑥⟶+∞

−4𝑥2 + 12

1 + 𝑥= −∞

Por tanto: lim𝑥⟶+∞

(𝑥−3

1+𝑥)𝑥2−3

= 𝑒−∞ = 0

❖ Es importante conocer que lim𝑥⟶+∞

(1 +1

𝑥)𝑥= 𝑒

4. Cálculo de límites en -∞

Hasta ahora, hemos calculado límites en los que 𝑥 → +∞, en los casos en los que 𝑥 → −∞ utilizaremos

la siguiente propiedad:

lim𝑥⟶−∞

𝑓(𝑥) = lim𝑥⟶+∞

𝑓(−𝑥)

Ejemplo 14:

lim𝑥⟶−∞

(−2𝑥3−1

𝑥2+4+𝑥2−2

2𝑥) = lim

𝑥⟶+∞(2𝑥3−1

𝑥2+4−𝑥2−2

2𝑥) = lim

𝑥⟶+∞

(2𝑥3−1)·2𝑥−(𝑥2−2)·(𝑥2+4)

(𝑥2+4)·2𝑥=+∞

5. Límite de una función en un punto

5.1 Definición. Idea intuitiva

La siguiente gráfica muestra parte de la representación de la función 𝑓(𝑥) =𝑥2

𝑥+2

¿Qué ocurre si damos valores a la función en un entorno cercano al 2? Construimos la siguiente tabla de valores:

9

Podemos observar que si nos acercamos al valor 𝑥 = 2, las imágenes de la función se aproximan a 1

que es el valor de la función en dicha abscisa; 𝑓(2) = 1.

Se formaliza escribiendo lim

𝑥⟶2𝑓(𝑥) = 1 y diremos que el límite de 𝑓(𝑥) cuando x tiende a 2 es 1.

• En las funciones que vamos a utilizar (salvo las funciones definidas a trozos), cuando queramos

calcular el límite en un determinado punto, lo que haremos, será sustituir dicho valor en la

expresión de la función; y si el resultado es un número real, ese será su límite.

Así, en el ejemplo anterior, para calcular lim𝑥⟶2

𝑥2

𝑥+2 sustituimos 𝑥 = 2 en la expresión

𝑥2

𝑥+2:

𝑓(2) =22

2+2= 1 → lim

𝑥⟶2

𝑥2

𝑥+2= 1

En general:

𝐷𝑖𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑙𝑖𝑚𝑥⟶𝑎

𝑓(𝑥) = 𝐿 cuando para valores de x muy próximos a 𝑎, los valores de la función, en

ellos, se aproximan a 𝐿. En la definición, obviamos el punto 𝑥 = 𝑎, siempre nos acercamos a él, pero no

lo alcanzamos. Es por ello que se definen los límites laterales que vemos a continuación.

5.2 Límites laterales

En ciertas ocasiones, dependiendo de la función, es necesario distinguir entre acercarse al punto por

su izquierda o acercarse por su derecha; pues puede ocurrir que el valor del límite varíe.

Lo mostramos con los siguientes ejemplos de funciones definidas a trozos:

Ejemplo 3: Consideremos la función 𝑓(𝑥) = {2𝑥2 𝑠𝑖 𝑥 ≤ −1

−3𝑥2 + 3 𝑠𝑖 − 1 < 𝑥 < 1𝐿𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 1

cuya gráfica es la siguiente:

10

Antes de calcular lim𝑥⟶−1

𝑓(𝑥), debemos observar que en 𝑥 = −1 hay un cambio en la definición de la

función. La expresión cambia dependiendo de si nos acercamos a 𝑥 = −1 por su izquierda o por su

derecha, por tanto, necesitamos introducir la noción de límites laterales (por la izquierda y por la

derecha) de una función en un punto.

En nuestro caso sería:

lim𝑥⟶−1−

𝑓(𝑥) = lim𝑥⟶−1−

(2𝑥2) = 2

lim𝑥⟶−1+

𝑓(𝑥) = lim𝑥⟶−1+

(−3𝑥2 + 3) = 0

Como los límites laterales no coinciden, concluimos que la función no tiene límite en 𝑥 = −1

Ejemplo 4: Calcular lim𝑥⟶1

𝑓(𝑥) para 𝑓(𝑥) = {−3𝑥2 + 3 𝑠𝑖 𝑥 < 1

𝐿𝑥 𝑠𝑖 𝑥 > 1

En este caso:

lim𝑥⟶1−

𝑓(𝑥) = lim𝑥⟶1−

(−3𝑥2 + 3) = 0

lim𝑥⟶1+

𝑓(𝑥) = lim𝑥⟶1+

(𝐿𝑥) = 0

Como los límites laterales existen y coinciden, podemos concluir que existe limx⟶1

f(x) y limx⟶1

f(x) = 0

Importante:

1. El límite de una función en un punto, si existe, es único.

2. Diremos que una función tiene límite en un punto si existen los límites laterales y coinciden

𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑙𝑖𝑚𝑥⟶𝑎

𝑓(𝑥) ⟺ 𝐸𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛 𝑙𝑖𝑚𝑥⟶𝑎−

𝑓(𝑥) 𝑦 𝑙𝑖𝑚𝑥⟶𝑎+

𝑓(𝑥) 𝑦 𝑙𝑖𝑚𝑥⟶𝑎−

𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚𝑥⟶𝑎+

𝑓(𝑥)

3. Para hallar los límites laterales de una función en un punto, no es necesario que la función esté

definida en dicho punto.

5.3 Límites infinitos

Puede ocurrir que, en ocasiones, al acercarnos a un determinado valor de 𝑥, la función tome valores

cada vez más grandes o cada vez más pequeños. Entonces diremos que el límite de la función en

dicho punto es +∞ ó −∞.

Lo mostramos en el siguiente ejemplo:

Ejemplo 5: Calcular 𝑙𝑖𝑚 𝑥⟶1

2

(𝑥−1)2

En primer lugar, representamos la función y observamos que,

efectivamente, al acercarnos a la abscisa 𝑥 = 1, los valores de la

función se hacen cada vez más grandes.

Esto quiere decir que 𝑙𝑖𝑚 𝑥⟶1

2

(𝑥−1)2= +∞

En efecto, si calculamos el valor del límite:

𝑙𝑖𝑚 𝑥⟶1

2

(𝑥 − 1)2=⏞

20+

+∞

11

Dependiendo de la definición de la función, puede que sea necesario calcular los límites laterales.

Ejemplo 6: Calcular 𝑙𝑖𝑚𝑥⟶1

2

𝑥−1

Si representamos la función, observamos que el comportamiento de

la misma es diferente según que nos acerquemos a 1 por la derecha

o por la izquierda, por tanto, calculamos los límites laterales.

𝑙𝑖𝑚𝑥⟶1

2

𝑥 − 1=⏞

20

{

𝑙𝑖𝑚𝑥⟶1−

2

𝑥 − 1=⏞

20−

−∞

𝑙𝑖𝑚𝑥⟶1+

2

𝑥 − 1=⏞

20+

+∞

En cualquiera de estos dos casos, diremos que 𝑥 = 1 es una asíntota vertical de la función. Son rectas

paralelas al eje Y, hacia las cuales se dirige la función, aproximándose cada vez más, pero sin llegar a

cortarlas.

o Indeterminación 𝟎

𝟎

Tipo 1

Esta indeterminación aparece en el cálculo de límites de cociente de funciones polinómicas

𝑙𝑖𝑚𝑥⟶𝑎

𝑃(𝑥)

𝑄(𝑥) dónde 𝑎 es raíz de 𝑃 y 𝑄. En este caso, se resuelve factorizando numerador y

denominador.

Ejemplo 8:

𝑙𝑖𝑚𝑥⟶1

𝑥2 + 2𝑥 − 3

𝑥 − 1=⏞

00

𝑙𝑖𝑚𝑥⟶1

(𝑥 − 1) · (𝑥 + 3)

𝑥 − 1= 𝑙𝑖𝑚

𝑥⟶1(𝑥 + 3) = 4

Observamos que 𝑓(1) no está definida, pero en cambio, sí existe 𝑙𝑖𝑚𝑥⟶1

𝑓(𝑥) = 4.

Tipo 2

Esta indeterminación también aparece en el cálculo de límites con radicales. En este caso, se

resuelve multiplicado numerador y denominador por la expresión conjugada que tiene raíz.

Ejemplo 9:

𝑙𝑖𝑚𝑥⟶−1

1−√𝑥2−2𝑥−2

𝑥2−1=⏞

0

0

𝑙𝑖𝑚𝑥⟶−1

(1−√𝑥2−2𝑥−2)·(1+√𝑥2−2𝑥−2)

(𝑥2−1)·(1+√𝑥2−2𝑥−2)= 𝑙𝑖𝑚

𝑥⟶−1

−𝑥2+2𝑥+3

(𝑥2−1)·(1+√𝑥2−2𝑥−2)=⏞

0

0

𝑙𝑖𝑚𝑥⟶−1

−(𝑥+1)·(𝑥−3)

(𝑥+1)·(𝑥−1)(1+√𝑥2−2𝑥−2)= 𝑙𝑖𝑚

𝑥⟶−1

−(𝑥−3)

(𝑥−1)(1+√𝑥2−2𝑥−2)=

4

−2·2= −1

12

6. Asíntotas de una función

Una asíntota es una recta hacia la que se dirige la gráfica de una función, aproximándose todo lo que

queramos, sin llegar a cortarla. Existen tres tipos de asíntotas:

• Asíntota horizontal (visto en página 2)

Son rectas paralelas al eje X. Diremos que 𝑦 = 𝐿 es una asíntota horizontal (A.H) de 𝑓(𝑥) si:

lim𝑥⟶+∞

𝑓(𝑥) = 𝐿 𝑜 𝑏𝑖𝑒𝑛 lim𝑥⟶−∞

𝑓(𝑥) = 𝐿

Ejemplo 15: Determina las asíntotas horizontales de la función 𝑓(𝑥) =√𝑥2+1

𝑥

Observamos que

lim𝑥⟶+∞

𝑓(𝑥) = lim𝑥⟶+∞

√𝑥2 + 1

𝑥= 1 ; lim

𝑥⟶−∞𝑓(𝑥) = lim

𝑥⟶−∞

√𝑥2 + 1

𝑥= −1

Por tanto, la función tiene dos asíntotas horizontales: 𝑦 = 1 , 𝑦 = −1

• Asíntota vertical

Son rectas paralelas al eje Y. Diremos que 𝑥 = 𝐿 es una asíntota vertical (A.V) de 𝑓(𝑥) si:

lim𝑥⟶𝐿+

𝑓(𝑥) = ±∞ 𝑜 𝑏𝑖𝑒𝑛 lim𝑥⟶𝐿−

𝑓(𝑥) = ±∞

Las asíntotas verticales se localizan entre los puntos que no pertenecen al dominio de la función,

es decir, los valores para los cuales la función no está definida.

Ejemplo 15: Determina las asíntotas verticales de la función 𝑓(𝑥) =𝑥

𝑥2−𝑥−6

En primer lugar, determinamos el dominio 𝐷𝑜𝑚(𝑓) = ℝ − {−2 , 3}

{

lim𝑥⟶−2+

𝑓(𝑥) = lim𝑥⟶−2+

𝑥

𝑥2 − 𝑥 − 6=−2+

0−= +∞

lim𝑥⟶−2−

𝑓(𝑥) = lim𝑥⟶−2−

𝑥

𝑥2 − 𝑥 − 6=−2−

0+= −∞

→ 𝑥 = −2 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝐴.𝑉

13

{

lim𝑥⟶3+

𝑓(𝑥) = lim𝑥⟶3+

𝑥

𝑥2 − 𝑥 − 6=3+

0+= +∞

lim𝑥⟶3−

𝑓(𝑥) = lim𝑥⟶3−

𝑥

𝑥2 − 𝑥 − 6=3−

0−= −∞

→ 𝑥 = 3 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝐴.𝑉

• Asíntota oblicua

Es una recta de la forma 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 donde:

𝑚 = lim𝑥→±∞

𝑓(𝑥)

𝑥 𝑛 = lim

𝑥→±∞[𝑓(𝑥) − 𝑚𝑥]

Ejemplo 16: Determina las asíntotas oblicuas de la función 𝑓(𝑥) =𝑥3

(𝑥−1)2

𝑚 = lim𝑥→±∞

𝑓(𝑥)

𝑥= 𝑚 = lim

𝑥→±∞

𝑥3

(𝑥 − 1)2

𝑥 = lim

𝑥→±∞

𝑥3

𝑥 · (𝑥 − 1)2 = lim

𝑥→±∞

𝑥3

𝑥3 − 2𝑥2 + 𝑥= 1

𝑛 = lim𝑥→±∞

[𝑓(𝑥) − 𝑚𝑥] = 𝑛 = lim𝑥→±∞

[𝑥3

(𝑥 − 1)2− 𝑥] = lim

𝑥→±∞

2𝑥2 − 𝑥

(𝑥 − 1)2= 2

𝑦 = 𝑥 + 2 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑎𝑠í𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎 𝑜𝑏𝑙𝑖𝑐𝑢𝑎 (𝐴. 𝑂)