APUNTES DE ANALISIS VECTORIAL

4 de septiembre de 2007

Indice general

1. Topologıa de Rn. Sucesiones 1

1.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2. Norma, distancia y bolas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2.2. Norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.2.3. Distancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.4. Bolas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3. Conjuntos cerrados y abiertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.4. Sucesiones de puntos de Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4.1. Sucesiones de Cauchy. Completitud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.4.2. Conjuntos cerrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5. Conjuntos compactos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2. Lımites y continuidad de funciones en Rn 9

2.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2. Funciones de varias variables. Funciones escalares y vectoriales . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3. Lımite de una funcion en un punto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.4. Lımites direccionales, reiterados, infinitos, ... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.4.1. Lımites direccionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.4.2. Lımites reiterados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.4.3. Lımites infinitos y en el infinito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.5. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.5.1. Propiedades de las funciones continuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.6. Otras propiedades de las funciones continuas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.6.1. Teorema de Weierstrass. Consecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.6.2. Conjuntos arco-conexos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.6.3. Continuidad uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

i

ii

3. Calculo Diferencial en Rn 18

3.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2. Derivadas parciales y direccionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2.1. Derivadas parciales. Matriz Jacobiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2.2. Derivadas direccionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

3.3. Derivada o Diferencial de una funcion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.3.1. Concepto de Diferencial. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.3.2. Aproximacion lineal, hiper-plano tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.3.3. Condiciones suficientes de diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.4. Propiedades de las funciones diferenciables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.4.1. Regla de la cadena. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.5. Derivadas parciales de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.5.1. Teorema de Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.6. Teorema de la funcion inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.7. Teorema de la funcion implıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4. Aplicaciones geometricas de la derivacion. 35

4.1. Gradiente de un campo escalar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.1.1. Definicion y propiedades. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.1.2. Interpretacion geometrica del gradiente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4.2. Curvas parametrizadas en Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.2.1. Vector tangente a una curva. Orientacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.3. Curvas regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.3.1. Curvas en R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.3.2. Curvas en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.4. Superficies parametrizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.4.1. Vector ortogonal a una superficie. Orientacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.5. Superficies regulares en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5. Estudio local de funciones en Rn 47

5.1. Formula de Taylor. Expresion del resto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.2. Extremos locales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.2.1. Formas cuadraticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.2.2. Extremos locales de funciones. Puntos crıticos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.2.3. Condicion suficiente de extremo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.3. Extremos condicionados locales. Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

iii

5.3.1. Metodo de los multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.4. Extremos absolutos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

6. Integracion de campos escalares en Rn 59

6.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

6.2. Integral doble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

6.2.1. Particion de rectangulos. Funciones escalonadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

6.2.2. Integral doble de una funcion escalonada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

6.2.3. Integral doble de funciones acotadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

6.2.4. Interpretacion geometrica de la integral doble. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6.2.5. Conjuntos de medida cero. Integracion de funciones discontinuas . . . . . . . . . . . . 65

6.2.6. Integrales dobles en regiones mas generales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

6.2.7. Propiedad aditiva de la integracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

6.2.8. Teorema de Fubini (para regiones tipo I y tipo II) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6.2.9. Aplicacion al calculo de areas y volumenes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6.2.10. Cambio de variable en integral doble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

6.3. Integrales triples. Integrales multiple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

6.3.1. Cambio de variable en integrales n-multiples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

6.3.2. Propiedades de la integral multiple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

6.4. Funciones definidas por integrales. Teorema de Leibnitz (derivacion bajo el signo integral) . . 75

6.5. Integrales impropias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6.5.1. Integrales impropias de primera especie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

6.5.2. Integrales impropias de segunda especie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

7. Integrales de lınea y de superficie 79

7.1. Longitud de una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

7.2. Integral de lınea de una funcion escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

7.3. Integral de lınea de un campo vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

7.4. Campo conservativo. Potencial escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

7.5. Area de una superficie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

7.6. Integral de superficie de una funcion escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

7.7. Integral de superficie de un campo vectorial en R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

8. Teoremas integrales del Analisis Vectorial 91

8.1. Operadores diferenciales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

8.1.1. Gradiente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

iv

8.1.2. Divergencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

8.1.3. Rotacional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

8.1.4. Laplaciana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

8.1.5. Propiedades de los operadores diferenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

8.2. Teoremas integrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

8.2.1. Teorema de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

8.2.2. Teorema de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

8.2.3. Teorema de la divergencia (o de Gauss). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

Capıtulo 1

Topologıa de Rn. Sucesiones

1.1. Introduccion

En la asignatura de Calculo se estudian las funciones f : R → R. El objeto de este curso es estudiarlas funciones f : R

n → Rm. Conceptos como continuidad, diferenciabilidad e integracion conocidos para

funciones de una variable se extenderan a funciones de varias variables. Para ello es preciso introducir unametrica en Rn, es decir, saber cual es la distancia entre dos puntos de Rn. Y a partir de ello daremos lanocion de conjuntos abiertos, cerrados y compactos en Rn. Tambien estudiaremos sucesiones de puntos y suconvergencia.

1.2. Norma, distancia y bolas

1.2.1. Definiciones

Definicion 1.1 Sea n > 0 un entero. Un conjunto ordenado de n numeros reales (x1, ... , xn) se llamapunto n-dimensional o vector con n componentes.

Los puntos o vectores se designaran por x = (x1, ... , xn) e y = (y1, ... , yn). El numero xk se llamak-esima coordenada del punto x o k-esima componente del vector x.

Designaremos por Rn = {(x1, ... , xn)| xi ∈ R}. Definimos ahora las operaciones algebraicas con puntos

de Rn.

Definicion 1.2 Sea x = (x1, ... , xn) e y = (y1 , ... , yn) de Rn entonces

1. Igualdad x = y ⇐⇒ x1 = y1, ... , xn = yn.

2. Suma x+ y = (x1 + y1, ... , xn + yn).

3. Multiplicacion por un escalar si λ ∈ R, λx = (λx1, ... , λxn).

4. Diferencia x− y = x+ (−1)y.

5. Vector nulo u origen 0 = (0, ... , 0).

6. Producto escalar 〈x, y〉 = x · y =n∑i=1

xiyi.

1

2

1.2.2. Norma

Definicion 1.3 Norma ‖x‖ =√

〈x, x〉 =

√√√√ n∑i=1

x2i .

Comentario Observese que cuando n = 1 esta es precisamente la definicion de valor absoluto.

Algunas propiedades de la norma son las siguientes:

Proposicion 1.1 ∀x, y ∈ Rn, ∀λ ∈ R.

1. ‖x‖ ≥ 0, y ‖x‖ = 0 ⇐⇒ x = 0

2. ‖λx‖ = |λ|‖x‖ y como consecuencia ‖x− y‖ = ‖y − x‖.3. |〈x, y〉| ≤ ‖x‖ ‖y‖ (desigualdad de Schwarz).

4. ‖x+ y‖ ≤ ‖x‖ + ‖y‖ (desigualdad triangular).

5. ‖x− y‖ ≥ | ‖x‖ − ‖y‖ |.

6. Si x = (x1, ... , xn), entonces |xi| ≤ ‖x‖ ≤n∑i=1

|xi|.

( Dem. )

Se basan en las propiedades del producto escalar y demostraremos unicamente 3 y 4.

3. Basta con demostrar que:

(n∑i=1

xiyi

)2

≤(

n∑i=1

x2i

)(n∑i=1

y2i

).

En efecto, observemos que

n∑i=1

(xiz + yi)2 ≥ 0, ∀z ∈ R.

Si hacemos A =n∑i=1

x2i , B =

n∑i=1

xiyi y C =n∑i=1

y2i se tiene Az2 + 2Bz + C ≥ 0 para todo z ∈ R y por

tanto, la ecuacion de 2o grado Az2 +2Bz+C = 0, o tiene una solucion real doble, o no tiene ninguna lo queimplica B2 − AC ≤ 0 que es la desigualdad buscada.

Se ha supuesto que A �= 0 si A = 0 la demostracion es trivial pues todos los xi son nulos.

4. ‖x+ y‖2 =n∑i=1

(xi + yi)2 =n∑i=1

(x2i + y2

i + 2xiyi) = ‖x‖2 + 2x · y + ‖y‖2 ≤ ‖x‖2 + 2 ‖x‖ ‖y‖ + ‖y‖2

= ( ‖x‖+ ‖y‖ )2

en la ultima desigualdad se tiene en cuenta 3.

Se dice que (Rn, ‖ ‖ ) es un espacio normado.

3

1.2.3. Distancia

Definicion 1.4 Se denomina distancia entre x e y a d(x, y) = ‖x− y‖.

Las propiedades de la distancia se obtienen a partir de las de la norma y algunas de ellas son las siguientes:

Proposicion 1.2 ∀x, y, z ∈ Rn.

1. d(x, y) = d(y, x).

2. d(x, y) = 0 ⇐⇒ y = x.

3. d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) (desigualdad triangular).

( Dem. ) Inmediatas.

Se dice que (Rn, d) es un espacio metrico.

Con estas definiciones, siguiendo la terminologıa del Algebra lineal, Rn es un espacio vectorial euclıdeo.

1.2.4. Bolas

Los siguientes conceptos generalizan en Rn las nociones de intervalos (abiertos y cerrados) en R.

Definicion 1.5 Sea un punto a ∈ Rn y un escalar r ∈ R+. Se denomina n-bola abierta con centro en a yradio r al conjunto

B(a, r) = Br(a) ≡ {x ∈ Rn | ‖x− a‖ < r}

Tambien se utiliza la bola perforada B∗r (a) = Br(a) − {a}.

Ejemplo 1.1

En R, Br(a) es el intervalo abierto (a − r, a+ r).

En R2, Br(a) es el cırculo de centro a y radio r.

En R3, Br(a) es la esfera de centro a y radio r.

Definicion 1.6 Un conjunto es acotado si existe alguna bola que lo contiene.

Definicion 1.7 Se denomina entorno de un punto a, de Rn, a todo conjunto que contenga alguna bola decentro a.

1.3. Conjuntos cerrados y abiertos

Definicion 1.8 Respecto de A, subconjunto de Rn, se dice que un punto a es:

Punto interior: si existe alguna n-bola abierta, con centro a, tal que Br(a) ⊂ A.

Punto adherente: si toda bola, con centro a, contiene puntos de A. Puede ser

aislado: hay alguna bola Br(a) tal que Br(a) ∩A = {a},de acumulacion: toda bola Br(a) contiene puntos de A diferentes de a.

4

Punto frontera: si toda bola Br(a) contiene puntos de A y de su complementario Rn −A.

Punto exterior: si existe alguna bola Br(a) que no contiene ningun punto de A.

Definicion 1.9 Sea A ⊂ Rn un subconjunto se definen:

Interior de A, A = Int(A) = {puntos interiores deA}.Adherencia de A, A = {puntos adherentes de A}.Conjunto derivado de A, A′ = {puntos de acumulacion de A}.Frontera de A, Fr(A) = {puntos frontera de A}.Exterior de A, Ext(A) = {puntos exteriores de A}.

Ejemplo 1.2 Si A = {1/n, n ∈ R}, entonces 0 es punto de acumulacion de A.

Teorema 1.1 Si x es un punto de acumulacion de A, toda n-bola Br(x) contiene infinitos puntos de A.

( Dem. )

Supongamos que exista alguna bola Br(x) que contiene solamente n puntos de A, a1, a2, ... , an distintosde x. Sea r = min{‖x− a1‖, ... , ‖x− an‖}, entonces Br/2(x) no contiene ningun punto de A distinto de xy por tanto x no es punto de acumulacion de A.

Corolario 1.1 Los conjuntos finitos no tienen puntos de acumulacion.

El recıproco no necesariamente es cierto. Un conjunto infinito puede no tener puntos de acumulacion, comopor ejemplo el conjunto B = {1, ... , n, ...}. Una condicion suficiente para que el reciproco sea cierto la dael siguiente teorema.

Teorema 1.2 (de Bolzano-Weierstrass).

Sea A ⊂ Rn un conjunto acotado con infinitos puntos, entonces existe al menos un punto de Rn que espunto de acumulacion de A.

Definicion 1.10 A subconjunto de Rn es:

Abierto si todos sus puntos son interiores. Esto es, A es abierto ⇐⇒ A = IntA.

Cerrado si su complementario, Rn −A, es abierto.

Ejemplo 1.3

En Rn, (a1, b1)× ... × (an, bn) es un abierto, se denomina intervalo abierto n-dimensional o tambienrectangulo abierto.

En Rn, [a1, b1]× ... × [an, bn] es un cerrado, se denomina intervalo cerrado n-dimensional o tambienrectangulo cerrado.

Los conjuntos finitos son cerrados.

5

Proposicion 1.3

1. Propiedades de los conjuntos abiertos de Rn:

Ø, Rn y las bolas abiertas, son abiertos.

La union de abiertos es un abierto.( Dem. ) Sea F una coleccion arbitraria de abiertos y sea S =

⋃A∈F

A.

∀x ∈ S existe A ∈ F tal que x ∈ A y como es abierto existe Br(x) ⊂ A ⊂ S por tanto x ∈ Int(S)luego S es un abierto.

La interseccion de dos abiertos es un abierto. Como consecuencia, la intersecion de un conjuntofinito de abiertos es un abierto.( Dem. ) Sea S = A1 ∩ A2 para todo x ∈ S existen Br1 (x) ⊂ A1 y Br2 (x) ⊂ A2 y sear = min(r1, r2), entonces Br(x) ⊂ S y por tanto todo punto de S es interior luego S es abierto.

No necesariamente la interseccion de infinitos abiertos es un abierto por ejemplo⋂n∈N

(−1 − 1

n, 1 +

1n

)= [−1, 1] (veanse tambien los problemas adicionales).

2. Propiedades de los conjuntos cerrados de Rn:

Ø, Rn y las bolas cerradas, son cerrados.

La interseccion de cerrados es un cerrado.( Dem. ) La interseccion de cerrados es el complementario de la union de los complementarios,que son abiertos, y por lo anterior es un abierto y su complementario cerrado.

La union de dos cerrados es un cerrado. Como consecuencia, la union de un conjunto finito decerrados es un cerrado.( Dem. ) Igual que la anterior.

La union de infinitos cerrados no necesariamente es un cerrado por ejemplo⋃n∈N

[−1 +

1n, 1− 1

n

]= (−1, 1) (veanse tambien los problemas adicionales).

Dentro de Rn los unicos conjuntos que son cerrados y abiertos son Ø y R

n.

Proposicion 1.4 Otras caracterizaciones de conjunto cerrado son:

A es cerrado ⇐⇒ A = A.

A es cerrado ⇐⇒ contiene todos sus puntos de acumulacion.

A es cerrado ⇐⇒ contiene todos sus puntos frontera.

1.4. Sucesiones de puntos de Rn.

El concepto de sucesion de numeros reales se generaliza en Rn de la siguiente manera:

Definicion 1.11 Se denomina sucesion (de puntos o vectores) en Rn a toda aplicacion N → Rn, y lanotaremos por {xk}k∈N.

6

Comentarios

Se usa la misma terminologıa y notacion que para sucesiones numericas. Ası, las imagenes de la apli-cacion se denominan terminos o elementos de la sucesion. El termino general de una sucesion de vectoresse designa por xk.

Observese que como xk ≡ (x1k, . . . , x

nk), entonces una sucesion de vectores en Rn induce n sucesiones

numericas {xik}k∈N con i = 1 . . . n.

Definicion 1.12 Sea {xk} una sucesion de puntos de Rn. Se dice que a ∈ R

n es el lımite de la sucesion si,∀ε > 0, ∃k0 ∈ N tal que si k ≥ k0, entonces ‖xk − a‖ < ε. Se usara la notacion lım

k→∞xk = a , o tambien

xk −→k→∞

a.

Si una sucesion tiene lımite se dice que es convergente, si no lo tiene es no convergente o divergente.

Comentarios

Esta es la misma definicion que para sucesiones numericas cambiando el valor absoluto por la norma.

Notese que la definicion de lımite significa que, a partir del termino k0-esimo todos los terminos estancontenidos en una bola abierta de centro en a y radio ε.

Las propiedades de las sucesiones de vectores son analogas a las de las sucesiones numericas:

Proposicion 1.5 Sean {xk} y {yk} sucesiones en Rn y λ ∈ R.

1. lımk→∞

xk = a si y solo si, lımk→∞

(xk − a) = 0 (vector nulo).

2. lımk→∞

xk = a si y solo si, lımk→∞

xik = ai (i = 1, . . . , n), (las sucesiones de las coordenadas convergen a

las correspondientes coordenadas de a).

3. Si {xk} es convergente entonces esta acotada.

4. Si {xk} tiene lımite entonces este es unico.

5. Si lımk→∞

xk = a y lımk→∞

yk = b , entonces lımk→∞

(xk ± yk) = a± b.

6. Si lımk→∞

xk = a entonces lımk→∞

λxk = λa.

7. Si lımk→∞

xk = 0 y {yk} es otra sucesion tal que {‖yk‖} acotada entonces lımk→∞

〈xk, yk〉 = 0

8. Si lımk→∞

xk = a y lımk→∞

yk = b entonces para la sucesion de los productos escalares se tiene que

lımk→∞

〈xk, yk〉 = 〈a, b〉 y como consecuencia lımk→∞

‖xk‖ = ‖a‖.

( Dem. )

1. Como en R.

2. Inmediata observando que, de acuerdo con el apartado 6 de la proposicion 1.1,

|xik − ai| ≤ ‖xk − a‖ ≤n∑i=1

|xik − ai|

3. Como en R.

4. Es una consecuencia de 2 y de la unicidad del lımite de las sucesiones numericas.

7

5. Inmediata observando que, de acuerdo con la desigualdad triangular,

‖xk + yk − a− b‖ ≤ ‖xk − a‖ + ‖yk − b‖

6. Inmediata.

7. Usando la desigualdad de Schwarz se tiene que

0 ≤ |〈xk, yk〉| ≤ ‖xk‖ ‖yk‖ −→k→∞

0

8. Observese que

〈xk, yk〉 − 〈a, b〉 = 〈xk − a, yk〉 + 〈a, yk〉 − 〈a, b〉 = 〈xk − a, yk〉 + 〈a, yk − b〉

y ambas sucesiones tienen lımite igual a 0 como consecuencia de 7.

Comentario Teniendo en cuenta la segunda propiedad, el calculo de lımites de sucesiones de vectores sereduce al calculo de lımites de sucesiones numericas (las sucesiones de las cooordenadas).

1.4.1. Sucesiones de Cauchy. Completitud

Igual que se hizo con las sucesiones numericas, se define el siguiente concepto:

Definicion 1.13 Sea {xk} una sucesion. {xk} es una sucesion de Cauchy si ∀ε ≥ 0, ∃k0 ∈ N tal que sik, l ≥ k0, entonces ‖xk − xl‖ < ε.

Comentario :

Notese que esta definicion significa que, a partir del termino k0-esimo todos los terminos de la sucesionestan contenidos en una bola abierta de diametro ε.

Proposicion 1.6 {xk} es una sucesion de Cauchy si, y solo si, lo son las n sucesiones numericas compo-nentes {xik}.

( Dem. ) Inmediata observando que, de acuerdo de nuevo con el apartado 6 de la proposicion 1.1,

|xik − xil| ≤ ‖xk − xl‖ ≤n∑i=1

|xik − xil|

Proposicion 1.7 Toda sucesion en Rn convergente es de Cauchy.

( Dem. ) Como en R.

Se dice que un espacio vectorial es completo si toda sucesion convergente es de Cauchy.

Teorema 1.3 (de completitud de Rn): En Rn toda sucesion de Cauchy es convergente, por tanto las suce-siones convergentes son las sucesiones de Cauchy.

( Dem. ) Basta usar las sucesiones de las coordenadas y el teorema de completitud de R.

8

1.4.2. Conjuntos cerrados

Damos ahora una nueva caracterizacion de conjunto cerrado a partir de sucesiones

Proposicion 1.8 A ⊂ Rn es cerrado si, y solo si, para toda sucesion {xk} de puntos de A convergente, sulımite es un punto x ∈ A.

( Dem. )

( =⇒ )

Si A es cerrado y xk → x, con {xk} ⊂ A, entonces en todo entorno de x hay puntos de {xk}, esto espuntos de A, luego x ∈ A y, por tanto, x ∈ A.

( ⇐= )

∀x ∈ FrA, existe una sucesion {xk} ⊂ A con xk → x. En efecto, basta tomar xk ∈ B 1k(x) ∩A. Pero, por

hipotesis, toda sucesion de puntos de A convergente lo es a un punto de A, luego x ∈ A. Por consiguienteFrA ⊂ A, luego A es cerrado.

1.5. Conjuntos compactos.

Una vez estudiados los conjuntos abiertos y cerrados en Rn vamos a definir ahora los conjunto compactos.

Definicion 1.14 Sea K ⊂ Rn. K es un conjunto compacto si es cerrado y esta acotado.

La propiedad que relaciona los conjuntos compactos con las sucesiones es la siguiente:

Proposicion 1.9 K ⊂ Rn es compacto si, y solo si, de toda sucesion de puntos de {xk} ⊂ K se puede

obtener una subsucesion convergente a un punto x ∈ K.

( Dem. )

( =⇒ )

Sea K compacto y {xk} ⊂ K. Suponemos que la sucesion {xk} tiene infinitos terminos distintos, encaso contrario es facil extraer subsucesiones convergentes, entonces por el teorema 2 de Bolzano-Weierstrasstiene un punto de acumulacion b, lo que implica que toda bola centrada en b contiene infinitos puntos de lasucesion.

Para la bola B1(b) elegimos un punto xh1 ∈ {xk}.Para la bola B1/2(b) elegimos un punto xh2 ∈ {xk}, con h2 > h1.

Para la bola B1/3(b) elegimos un punto xh3 ∈ {xk}, con h3 > h2, y ası sucesivamente.

Obtenemos de esta forma una subsucesion {xhj}j∈N, en K, que tiene como lımite b y como K es cerradoentonces b ∈ K.

( ⇐= )(Reduccion al absurdo):

1. Si K no es cerrado ⇒ ∃x ∈ Fr K con x �∈ K. Sea {xk} ⊂ K tal que xk → x, entonces cualquiersubsucesion de esta converge a x �∈ K, contra la hipotesis.

2. Si K no esta acotado entonces, ∀k ∈ N, ∃ xk ∈ K con ‖xk‖ > K. Obtenemos ası una sucesion {xk}divergente que no tiene subsucesiones convergentes contra la hipotesis.

Capıtulo 2

Lımites y continuidad de funciones enRn

2.1. Introduccion

En el curso de Calculo Infinitesimal se analizaron unicamente las funciones f : R → R reales de variablereal.

Sin embargo, en la naturaleza hay fenomenos para cuya descripcion matematica se requieren funcionesque dependen de mas de una variable y que, en Fısica, suelen denominarse campos. Por ejemplo,

La temperatura de una region del espacio (a lo largo del tiempo):

T : A ⊆ R4 −→ R

(x, y, z, t) �→ T (x, y, z, t)

La velocidad de las partıculas de un fluido en movimiento

v : A ⊆ R3 −→ R3

(x, y, z) �→ v(x, y, z)

El campo electrico creado por una carga puntual.

E : A ⊆ R3 −→ R3

(x, y, z) �→ E(x, y, z)

En este capıtulo comenzaremos el estudio de este tipo de funciones. En concreto estudiaremos los con-ceptos de lımite y continuidad. En los siguientes capıtulos, se abordaran las cuestiones relativas a la diferen-ciabilidad e integrabilidad de estas funciones.

2.2. Funciones de varias variables. Funciones escalares y vectoria-les

Definicion 2.1 Se denomina campo o funcion de varias variables a toda aplicacion

f :A ⊆ Rn −→ R

m (n > 1, m ≥ 1)

El conjunto A ⊆ Rn donde esta definida la aplicacion recibe el nombre de dominio de la funcion y se denotapor Dom f.

Igualmente llameremos imagen de f al conjunto de puntos que son imagen de algun punto del dominio,Im f = {y ∈ Rm| f(x) = y, x ∈ Dom f}.

9

10

1. Si m = 1 entonces se dice que f es una funcion escalar.

2. Si m > 1 entonces se dice que f es una funcion vectorial. La funcion vectorial f

f : A ⊆ Rn −→ Rm

x ≡ (x1, . . . , xn) �→ (f1(x), . . . , fm(x))

da origen a m funciones escalares fj :A ⊆ Rn → R de manera que f(x) = (f1(x), ... , fm(x)).

Estas funciones escalares se denominan funciones componentes de f

Una funcion se dice acotada si su imagen es un conjunto acotado.

Comentario

Como en general el estudio de funciones vectoriales se reduce al de sus funciones componentes haremosespecial enfasis en el estudio de campos escalares.

Ejemplo 2.1

Funciones escalares: temperatura, presion, densidad,...

Funciones vectoriales: campos gravitatorio, electrostatico, electromagnetico...

Introduzcamos, a continuacion, algunas herramientas utiles para el estudio de funciones.

Definicion 2.2 1. Sea f :A ⊆ Rn → R

m una funcion. Se denomina grafica de la funcion f al conjuntode puntos de Rn+m

graf f = {(x, f (x)) ∈ Rn+m| x ∈ A}

Figura 2.1: a) Grafica de un campo escalar en R y b) de un campo escalar en R2

2. Sea F :A ⊆ Rn → R una funcion. Se denomina conjunto de nivel de F al conjunto de puntos deldominio donde la funcion tiene el valor constante k, es decir

Φk = {x ∈ A | F (x) = k }3. Si f :A ⊂ R2 → R se denominan secciones de la grafica de f a la interseccion de graf f con planos de

R3. (Es habitual considerar los planos coordenados o planos paralelos a estos)

11

Comentario

Un campo escalar f :A ⊆ R → R tiene como grafica, en general, una curva en R2 cuya ecuacion esy = f(x) lo que denominaremos ecuacion explıcita de la curva. Igualmente si A ⊆ R2 la grafica de festa en R3 y es, generalmente, una superficie cuya ecuacion explıcita es z = f(x, y) (vease figura 2.1).

Si se trata de una funcion de dos variables el conjunto de nivel es, en general, una curva cuya ecuaciones F (x, y) = cte, diremos que es una curva en forma ımplicita. En el caso de tres variables tenemos lasuperficie en forma ımplicita F (x, y, z) = cte.

Observese que, en particular, para funciones de dos variables f(x, y), las secciones obtenidas al inter-sectar la grafica de f con los planos paralelos al plano coordenado XY proyectadas ortogonalmentesobre dicho plano, coinciden con las curvas de nivel de la funcion .

El estudio de las secciones y superficies de nivel es util con vistas a tener una idea aproximada de comoes la grafica de la funcion.

Sean f, g : Rn → Rm, se definen f + g, λf y fg como suma o producto componente a componente, esdecir (f + g)(x) = ((f1 + g1)(x), ... , (fm + gm)(x)) y analogamente las otras.

Por otra parte, si f : A ⊂ Rn → R

m y g : B ⊂ Rm → R

l se define la funcion compuesta g ◦ f : C ⊂ Rn →

Rl por (g ◦ f)(x) = g(f(x)), observemos que C = Dom(g ◦ f) = A ∩ f−1(B)

2.3. Lımite de una funcion en un punto.

Continuaremos el analisis de las funciones de varias variables estudiando el comportamiento de unafuncion en el entorno de un punto. La primera nocion sobre este particular es la de lımite:

Definicion 2.3 Sea f :A ⊆ Rn → Rm una funcion, a ∈ Rn un punto de acumulacion de A y b ∈ Rm.

Se dice que b es el lımite de f cuando x tiende a a si, ∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que, si x ∈ A−{a} y ‖x−a‖ < δ,entonces ‖f(x) − b‖ < ε. Se escribira lım

x→af(x) = b, o bien f(x) −→

x→ab 1.

La siguiente proposicion nos da una definicion alternativa de lımite.

Proposicion 2.1 Sea f :A ⊆ Rn → R

m una funcion, a ∈ Rn un punto de acumulacion de A y b ∈ R

m.

Entonces lımx→a

f(x) = b ⇐⇒ para toda sucesion {xk} ⊂ A − {a} tal que lımk→∞

xk = a, se tiene para la

sucesion de las imagenes, lımk→∞

f(xk) = b.

( Dem. ) Como en el caso de una variable.

Las propiedades de los lımites de funciones de varias variables son analogas a las del caso de una variabley son las siguientes:

Proposicion 2.2 Sean f, g:A ⊆ Rn → R

m funciones, a ∈ Rn un punto de acumulacion de A y b, c ∈ R

m.

1. Si una funcion tiene lımite,este es unico.

2. lımx→a

f(x) = b ⇐⇒ lımx→a

fj(x) = bj (j = 1, . . . , m)

Ası, el calculo de lımites de funciones vectoriales se reduce al calculo de lımites de funciones escalares.

3. Si lımx→a

f(x) = b y lımx→a

g(x) = c, entonces lımx→a

(f(x) ± g(x)) = b± c.

1Esta es la misma definicion que para funciones de una variable cambiando el valor absoluto por la norma.

12

4. Si lımx→a

f(x) = b y λ ∈ R, entonces lımx→a

λf(x) = λb.

5. Si m = 1, por tanto funcion escalar, f(x) �= 0 ∀x ∈ A y lımx→a

f(x) = b �= 0, entonces1

f(x)esta bien

definida en A y lımx→a

1f(x)

=1b

6. Si m = 1, f tiene lımite en a y este es positivo, existe alguna bola perforada con centro en a sobre laque f toma valores positivos.

7. Si lımx→a

f(x) = b y lımx→a

g(x) = c, entonces lımx→a

f(x)g(x) = (b1c1, . . . , bmcm)

8. Si lımx→a

f(x) = b y lımx→a

g(x) = c, entonces lımx→a

〈f(x), g(x)〉 = 〈b, c〉 lo que implica lımx→a

‖f(x)‖ = ‖b‖.

9. Si f tiene lımite en a, entonces esta acotada sobre alguna bola de centro a.

10. Si m = 1 y f ≤ h ≤ g en un entorno perforado (sin el punto a) de a, y lımx→a

f(x) = lımx→a

g(x) = b,

entonces lımx→a

h(x) = b.

11. Sean f :A ⊆ Rn → Rm y g:B ⊆ Rm → Rl, con f(A) ⊂ B. Si a es punto de acumulacion de Ay b = lım

x→af(x) es un punto de acumulacion de B, y lım

y→bg(y) = c entonces lım

x→a(g ◦ f)(x) = c en

cualquiera de los dos casos siguientes

b �∈ B

g es continua en b, (se define posteriormente).

( Dem. ) Se deducen facilmente de la definicion de lımite y las propiedades de la norma.

2.4. Lımites direccionales, reiterados, infinitos, ...

En el calculo de lımites de funciones de varias variables no se dispone de tecnicas analogas a las del casode una variable, no existe nada semejante a la regla de L’Hopital. Ello obliga a desarrollar otros metodos decalculo basados en los conceptos que se van a exponer en este apartado. Dado que el lımite de una funcionvectorial se obtiene calculando el de sus funciones componentes, solo vamos a considerar, en adelante, el casode funciones escalares.

2.4.1. Lımites direccionales

Definicion 2.4 Sea f :A ⊆ Rn → R y a ∈ A un punto de acumulacion de A.

1. Sea c: I ⊂ R → A− {a} una aplicacion continua tal que lımt→t0

c(t) = a con t0 ∈ I, diremos que c(I) es

una curva en A. Se denomina lımite de f para x tendiendo a a segun la curva c(t) al valor lımt→t0

f(c(t)).

Observese que se trata de un lımite de una funcion de una variable.

2. Con las mismas hipotesis que en el apartado anterior, se denomina lımite direccional de f para x→ aal lımite segun la recta c(t) = a+ tv, esto es, lım

t→0f(a + tv).

Como caso particular, en el caso de funciones de dos variables, y con curvas (rectas) dadas en formaexplıcita se tiene que, si f :A ⊆ R

2 → R y a = (a1, a2) es un punto de acumulacion de A,

1. El lımite de f para x→ a segun la curva y = g(x), que pasa por a, es lımx→a1

f(x, g(x))

2. El lımite direccional de f para x→ a segun la recta y = mx+ b, que pasa por a, es lımx→a1

f(x,mx+ b).

13

Proposicion 2.3 lımx→a

f(x) = b si, y solo si, los lımites segun todas las posibles curvas que pasen por a,contenidas en su dominio, existen y son iguales a b.

Y un corolario de este resultado, referido a los lımites direccionales es:

Corolario 2.1 Si lımx→a

f(x) = b entonces los lımites direccionales segun cualquier recta que pase por a existeny valen b.

Comentarios

Como consecuencia de la anterior proposicion, si el lımite a lo largo de alguna curva no existe o nocoincide con el lımite a lo largo de otra curva, en un mismo punto, deducimos que la funcion no tienelımite en dicho punto. Constituye una herramienta util para deducir que una funcion no tiene lımite.

En general los apartados 10 y 11 de la proposicion 2.2 constituyen una herramienta util para el calculode lımites.

2.4.2. Lımites reiterados

Definicion 2.5 Sea f : A ⊂ R2 → R, se define como lımites reiterados a

lımx→a

lımy→b

f(x, y), lımy→b

lımx→a

f(x, y)

Comentarios

Si lım(x,y)→(a,b)

f(x, y) = p y existen lımx→a

f(x, y) y lımy→b

f(x, y) entonces existen los lımites reiterados de f

y valen p.

Puede ocurrir que exista lım(x,y)→(a,b)

f(x, y) y no exista alguno de los reiterados.

Si existen el lımite de la funcion y los reiterados en un mismo punto, han de coincidir.

2.4.3. Lımites infinitos y en el infinito.

Definicion 2.6 Sea f : A ⊂ Rn → Rm

1. Diremos que lımx→a

f(x) = ∞ si ∀L > 0 ∃δ > 0 tal que ∀x ∈ A − {a} que cumpla ‖x− a‖ < δ se tiene

‖f(x)‖ > L. Lımite infinito.

2. Si A es no acotado, diremos que lımx→∞ f(x) = b si ∀ε > 0 ∃M > 0 tal que ∀x ∈ A que cumpla ‖x‖ > M

se tiene ‖f(x) − b‖ < ε. Lımite en el infinito.

3. Si A es no acotado, diremos que lımx→∞ f(x) = ∞ si ∀L > 0 ∃M > 0 tal que ∀x ∈ A que cumpla

‖x‖ > M se tiene ‖f(x)‖ > L. Lımite infinito en el infinito.

2.5. Continuidad

Definicion 2.7 Sea f :A ⊆ Rn → R

m y a ∈ A. Se dice que f es continua en a si, ∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que∀x ∈ A que cumpla ‖x− a‖ < δ entonces ‖f(x) − f(a)‖ < ε.

14

Comentarios

Si a es un punto aislado de A entonces f es continua en a.

Si a es un punto de acumulacion de A entonces f es continua en a si

lımx→a

f (x) = f (a).

f es continua en a si para toda sucesion {xk} de elementos de A tal que xk → a, se tiene f(xk) → f(a).

f es continua si lo es en todo punto de su dominio.

2.5.1. Propiedades de las funciones continuas

Las propiedades de las funciones continuas se basan en las propiedades del lımite:

Proposicion 2.4 Sean f , g:A⊆ Rn → Rm funciones y a ∈ A.

1. f es continua en a si y solo si, cada una de sus funciones componentes fi es continua en a.

2. Si f y g son continuas en a, tambien lo son: f ± g, fg y 〈f , g〉.3. Sea λ ∈ R. Si f es continua en a, tambien lo es λf .

4. Si m = 1 y f(x) �= 0, ∀x ∈ A, entonces1

f(x)esta bien definida en A y si f es continua en a, tambien

lo es1

f(x).

5. Si m = 1, f(x) �= 0 y f es continua en a, f no cambia de signo en algun entorno de a.

6. Si f es continua en a, f esta acotada en algun entorno de a.

7. Si g:B ⊆ Rm → Rl, b = f (a) ∈ B y f y g son continuas en a y b respectivamente, entonces g ◦ f escontinua en a.

Ejemplo 2.2 Las siguientes funciones son continuas:

Las proyecciones coordenadas fi : Rn → R, fi(x) = xi.

Las lineales.

Las polinomicas.

Las racionales, cociente de funciones polinomicas, en todo punto que no anule el denominador.

Las trigonometricas, logaritmicas, exponenciales, · · ·

Teorema 2.1 Sea f :A ⊆ Rn → Rm. Las tres afirmaciones siguientes son equivalentes

1. f es continua

2. Para todo abierto V ⊂ Rm, f−1(V ) = A ∩U donde U es un abierto de Rn

3. Para todo cerrado T ⊂ Rm, f−1(T ) = A ∩ S donde S es un cerrado de Rn

15

Este teorema sirve para caracterizar conjuntos abierto y cerrados, veanse los ejercicos propuestos.

( Dem. )

Veamos que 1. ⇒ 2.

Sea V un abierto de Rm y a un punto de f−1(V ). Sea f (a) = b, como V es abierto existe Bε(b) ⊂ V .

Por ser f continua en A existe Bδa (a) tal que f (Bδa(a) ∩A) ⊂ Bε(b). De donde se deduce que

Bδa(a) ∩A ⊂ f−1(f (Bδa(a) ∩A)) ⊂ f−1(Bε(b)) ⊂ f−1(V )

y esto implica

f−1(V ) =⋃

a∈f−1(V )

[Bδa (a) ∩A] =

⋃a∈f−1(V )

Bδa(a)

∩A = U ∩A, con U abierto de Rn

donde se ha tenido en cuenta que la union de abiertos es un abierto.

Veamos que 2. ⇒ 1.

Sea a ∈ A y f (a) = b. Veamos que f es continua en a.

Sean ε > 0 y Bε(b) la bola abierta en Rm. Por hipotesis f−1 (Bε(b)) = U ∩A, con U abierto en R

n. Comoa ∈ U ∩A y U es abierto, existe un δ > 0 tal que

Bδ(a) ∩A ⊂ U ∩A = f−1 (Bε(b))

luegof (Bδ(a) ∩A) ⊂ Bε(b)

lo que implica que f es continua en a.

Veamos que 2. ⇒ 3.

T cerrado implica que Rm− T es un abierto. Luego por 2, f−1 (Rm − T ) = U ∩A donde U es un abierto

de Rn. Por tanto f−1(T ) = (Rn − U) ∩A y Rn − U es un cerrado de Rn.

Veamos que 3. ⇒ 2.

Analogo al caso anterior.

Ejemplo 2.3 Sea f : (0,∞) → R dada por f(x) =1x

, y T = [1,∞) (que es cerrado en R). Se tiene que

f−1(T ) = (0, 1] = (0,∞)∩ S, donde S = [0, 1] es cerrado en R.

2.6. Otras propiedades de las funciones continuas.

2.6.1. Teorema de Weierstrass. Consecuencias

A continuacion vamos a dar algunas propiedades de las funciones continuas, que son generalizaciones deotras bien conocidas en el calculo de una variable.

Teorema 2.2 (de Weierstrass): Sea f :K ⊂ Rn → Rm una funcion continua y K un compacto. Entoncesf (K) es compacto.

( Dem. ) Se ha de demostrar que f (K) es cerrado y esta acotado.

16

1. f (K) es cerrado: Hemos de probar que Fr(f (K)) ⊂ f(K) Sea y ∈ Fr(f (K)), sabemos que existe unasucesion {yh} ⊂ f (K) tal que lım

h→∞yh = y.

Sea {xh} la sucesion en K tal que f (xh) = yh. Por ser K compacto, existe una subsucesion {xhi}convergente en K, esto es, lım

i→∞xhi = a ∈ K. Por ser f continua la sucesion {f (xhi)} converge a f (a)

en Rm. Ahora bien, f (xhi) = yhi y la sucesion {yhi} es subsucesion de {yh}, que tiene lımite, y portanto ambas tiene que tener el mismo lımite. Luego y = f (a) ∈ f (K) lo que implica Fr(f (K)) ⊂ f(K),ası pues f (K) es un conjunto cerrado.

2. f (K) esta acotado: Si no lo estuviera, ∀h ∈ N, ∃xh ∈ K tal que ‖f (xh)‖ > h y tendrıamos la sucesion{xh} en K, que como es un compacto ha de tener alguna subsucesion convergente. Sea esta {xhl} ya ∈ K su lımite. Por tanto, puesto que f es continua, {f (xhl)} → f (a), lo cual es absurdo dado que lasucesion no esta acotada. Luego f (K) tiene que estar acotado.

Son consecuencias de este teorema:

Proposicion 2.5 Sea K ⊂ Rn un compacto y f :K → R una funcion continua. Entonces f toma en Kvalores extremos

( Dem. )

Por el teorema anterior f(K) es un compacto o sea cerrado y acotado. Sea h = inf f(K), entonces h esun punto adherente de f(K), que es un cerrado, lo que implica h ∈ f(K) ⊂ f(K). Por tanto existe un x ∈ ktal que f(x) = h y por tanto f alcanza el ınfimo. Igualmente se demostrarıa la existencia del supremo.

Corolario 2.2 Sea K ⊂ Rn un compacto y f :K → Rm una funcion continua:

Cada componente de f toma en K valores extremos.

‖f‖ toma en K valores extremos.

( Dem. )

Basta considerar la proposicion anterior.

2.6.2. Conjuntos arco-conexos

Definicion 2.8

Un camino en A es un aplicacion continua γ : I → A ⊂ Rn, donde I ⊂ R es un intervalo. Si I = [t1, t2]y γ(t1) = a1, γ(t2) = a2 se dice que γ une a1 con a2.

Un conjunto A ⊂ Rn se dice arco-conexo si para todo par de puntos a1, a2 ∈ A existe un camino enA que los une.

En R los conjuntos arco-conexos son los intervalos

Teorema 2.3 Sean f : A ⊂ Rn → R

m continua y A un conjunto arco-conexo. Entonces f (A) es arco-conexo.

( Dem. )

Sean y1 y y2 puntos de f (A), existen x1, x2 ∈ A tales que f (x1) = y1 y f (x2) = y2.

Por ser A arco-conexo, existe un camino γ: [t1, t2] → A, tal que γ(t1) = x1 y γ(t2) = x2. Entoncesf ◦ γ : [t1, t2] → f (A) es un camino tal que f ◦ γ(t1) = y1 y f ◦ γ(t2) = y2. Luego f (A) es arco-conexo.

17

2.6.3. Continuidad uniforme

Definicion 2.9 Sea f :A ⊆ Rn → Rm. f es uniformemente continua en A si ∀ε > 0 ∃δ > 0 tal que, six, y ∈ A con ‖x− y‖ < δ, entonces ‖f (x)− f (y)‖ < ε 2.

Las propiedades de las funciones uniformemente continuas son las mismas que en el caso de una variable.

Proposicion 2.6 Sea f :A ⊆ Rn → Rm una funcion uniformemente continua en A. Entonces:

1. f es continua en A.

2. Si {xm} es una sucesion de Cauchy, tambien lo es {f (xm)}.

( Dem. ) Inmediatas ambas.

Finalmente, enunciamos (sin demostrar) que:

Teorema 2.4 (de Cauchy): Si K ⊂ Rn es un compacto y f :K → R

m es una funcion continua en K,entonces f es uniformemente continua en K.

2Es la misma definicion que para funciones de una variable, sustituyendo valor absoluto por norma y tiene, por tanto, lamisma interpretacion geometrica.

Capıtulo 3

Calculo Diferencial en Rn

3.1. Introduccion

En este capıtulo se trata esencialmente de extender el concepto de derivada a funciones de varias variablesy sus propiedades. Como ya es costumbre, se busca generalizar el concepto ya existente en el caso deuna variable. Por ello conviene recordar que, en ese caso, hay dos maneras de entender esta cuestion, quecorresponden a otras tantas maneras de interpretar el concepto de derivada:

la definicion de la derivada como lımite del cociente incremental

f ′(a) = lımh→0

f(a + h) − f(a)h

la interpretacion geometrica de la derivada como aproximacion lineal, es decir:

Dada una funcion f :A ⊆ R → R, con A abierto, y un punto a ∈ A, se podıa interpretar la derivada def en a como una aplicacion lineal que mejor aproxima la funcion

Ta : R −→ R

h �−→ Ta(h) = αh(3.1)

podemos decir que α es la matriz asociada a dicha aplicacion lineal y T (h) = αh.

Ası tenemos la aproximacion f(a+h) = f(a)+αh, que podemos interpretar como la recta de pendienteα que pasa por el punto (a, f(a)) y de todas ellas la que mejor aproxima la funcion para h pequeno esla que cumple

lımh→0

f(a + h) − f(a) − αh

h= 0 =⇒ α = lım

h→0

f(a + h) − f(a)h

= f ′(a) (3.2)

que da lugar a la ecuacion de la recta que es tangente a la grafica de f en el punto (a, f(a))

y = f(a) + α(x− a)

Si para generalizar este concepto al caso de varias variables se sigue el primer metodo se llega a la nocionde derivada parcial o, mas genericamente, al de derivada direccional. Sin embargo, el resultado obtenido esinsatisfactorio por cuanto sus propiedades distan mucho de ser las esperadas (no se satisface por ejemploque si una funcion es derivable en a entonces es continua en a), lo que no ocurre, como veremos, siguiendoel segundo metodo. Este sera, por tanto, el camino que seguiremos en la exposicion.

(A partir de ahora, siempre que no se diga explıcitamente lo contrario, se toman los dominios de lasfunciones abiertos a fin de evitar los puntos frontera).

18

19

3.2. Derivadas parciales y direccionales

3.2.1. Derivadas parciales. Matriz Jacobiana

Definicion 3.1 Si f :A ⊆ Rn → R

m, con A abierto. Se denomina derivada parcial de f en a respecto a lavariable xi o tambien derivada parcial i-esima de f en a al lımite (si existe)

Dif (a) = fxi(a) =∂f∂xi

(a) = lımt→0

f (a1, . . . , ai + t, . . . , an) − f (a1, . . . , an)t

Si las derivadas parciales existen ∀x ∈ A, se denomina funcion derivada parcial de f respecto a la variablexi o tambien funcion derivada parcial i-esima de f a la funcion

∂f∂xi

: A ⊂ Rn −→ R

m

a �−→ ∂f∂xi

(a)

Comentarios :

Se cumple que∂f∂xi

(a) =(∂f1∂xi

(a), ... ,∂fm∂xi

(a)). (3.3)

La derivada parcial de una funcion de varias variables no es otra cosa que la variacion de la funcionrespecto a una de las variables, manteniendo las otras constantes. Ası pues, en muchos casos, se puedencalcular como derivadas ordinarias de una funcion de una variable. En algunas ocasiones esto no es ası.

Ejemplo 3.1

Las derivadas parciales de la funcion f(x, y) = x1/3y1/3 en (0, 0) son

∂f

∂x(0, 0) = lım

t→0

f(t, 0) − f(0, 0)t

= lımt→0

0t

= 0,∂f

∂y(0, 0) = lım

t→0

f(0, t) − f(0, 0)t

= 0

pero no se pueden obtener derivando las funciones x1/3 e y1/3, dado que ninguna de ellas es derivableen el origen.

Una funcion puede tener derivadas parciales en un punto y no ser continua en dicho punto, luego noes una buena generalizacon del concepto de derivada.

Ejemplo 3.2

Sea f : R2 → R definida por f(x, y) ={

0 si xy = 01 si xy �= 0

Como

∂f

∂x(0, 0) = lım

t→0

f(t, 0) − f(0, 0)t

= lımt→0

0t

= 0,∂f

∂y(0, 0) = lım

t→0

f(0, t) − f(0, 0)t

= 0

la funcion tiene derivadas parciales en (0, 0), sin embargo lımx→0

f(x, 0) = 0 y lımx→0

f(x, x) = 1 y por

tanto la funcion no es continua en (0, 0).

Una funcion escalar de n variables puede tener hasta n derivadas parciales en cada punto.

En el caso de una funcion de dos variables el valor de la derivada parcial∂f

∂x(a, b) es la pendiente de

la recta tangente en (a, b, f(a, b)) a la curva obtenida al intersectar graf f con el plano y = b, cuya

ecuacion, en dicho plano, es z = f(a, b) +∂f

∂x(a, b)(x− a). Igualmente interpretarıamos

∂f

∂y(a, b).

20

A partir de las derivadas parciales se define la matriz jacobiana en un punto:

Definicion 3.2 Sea f :A ⊆ Rn → Rm Si existen todas la derivadas parciales de f en a, se denomina matrizjacobiana de f en a a la matriz m× n que tiene por componentes los valores de estas derivadas parciales:

Jf (a) =(∂fj∂xi

(a))

1≤j≤m1≤i≤n

=

∂f1∂x1

(a) . . .∂f1∂xn

(a)

......

∂fm∂x1

(a) . . .∂fm∂xn

(a)

Si Jf (a) es una matriz cuadrada, se denomina jacobiano a su determinante.

3.2.2. Derivadas direccionales

En la definicion 3.1 de derivada parcial se incrementa la funcion siguiendo direcciones paralelas a los ejes,si en lugar de estas direcciones lo hacemos segun un vector cualquiera u, obtenemos el concepto de derivadadireccional.

Definicion 3.3 Sean f :A ⊆ Rn → Rm, a un punto del abierto A y v ∈ Rn un vector. Se denomina derivadadireccional de f en a segun el vector v al lımite (si existe)

lımt→0

f (a+ tv) − f (a)t

(3.4)

La denotaremos por f ′(a,v) o Dvf(a).

Proposicion 3.1 se cumple que

f ′(a,v) = (f ′1(a,v), ... , f ′m(a,v)).

f ′(a, λv) = λf ′(a,v).

f ′(a, 0) = 0.

Comentarios :

Observemos que las derivadas parciales definidas anteriormente no son mas que las derivadas direccio-

nales segun los vectores de la base canonica∂f

∂xi(a) = f ′(a, ei).

Una funcion puede tener todas sus derivadas direcionales bien definidas en un punto y sin embargo noser continua en este punto y por tanto tampoco son una buena generalizacion del concepto de derivada.

Ejemplo 3.3

Sea f : R2 → R definida por f(x, y) =

xy2

x2 + y4si x �= 0

0 si x = 0

Sea v = (v1, v2) como

f ′(0,v) = lımt→0

f(tv1, tv2) − f(0, 0)t

= lımt→0

v1v22

v21 + t2v4

2

=

v22

v1si v1 �= 0

0 si v1 = 0

la funcion tiene derivadas direcionales en (0, 0), sin embargo el lımite de la funcion siguiendo la curvax = y2 vale

lımy→0

f(y2 , y) =y4

y4 + y4=

12

�= f(0, 0) = 0

y por tanto la funcion no es continua en (0, 0).

21

En el caso de una funcion de dos variables el valor de la derivada direccional D(v1, v2)f(a, b) es lapendiente de la recta tangente en (a, b, f(a, b)) a la curva obtenida al intersectar graf f con el planox− a

v1=y − b

v2.

3.3. Derivada o Diferencial de una funcion

Dado que la generalizacion de derivada, mediante lımite del cociente incremental, no es una buenadefinicion para funciones de varias variables, veamos si la interpretacion geometrica de la derivada comola aplicacion lineal, expresada en 3.1, que mejor aproxima la funcion, es decir que cumpla

lımh→0

f(a + h) − f(a) − Ta(h)h

= 0

admite una mejor generalizacion para funciones de varias variables.

3.3.1. Concepto de Diferencial. Propiedades

Vamos a generalizar la idea de derivada de una funcion como la aplicacion lineal que mejor aproxima lafuncion.

Definicion 3.4 Sea f :A ⊆ Rn → Rm, donde A es un abierto, y a ∈ A. Se dice que f es diferenciable oderivable en a si existe una aplicacion lineal Ta: Rn → Rm que cumpla la condicion de tangencia que puedeexpresarse de cualquiera de las formas siguientes:

1. f (a+ h) = f (a) + Ta(h) + Ra(h) donde Ra(h) = o(‖h‖) cuando h→ 0.

2. lımh→0

f (a+ h) − f (a) − Ta(h)‖h‖ = 0.

3. f (x) = f (a) + Ta(x− a) + o(‖x− a‖) cuando x→ a, donde se ha hecho x = a+ h.

En tal caso se denomina diferencial o derivada de f en a a la aplicacion lineal Ta que representaremos porf ′(a) o Df(a).

Trataremos ahora de obtener esta aplicacion lineal o diferencial y determinar su matriz asociada.

Proposicion 3.2 Sea f :A ⊆ Rn → R

m, donde A es un abierto. Si f es diferenciable en a ∈ A entonces:

1. Existen todas las derivadas parciales de f en a. Ademas la matriz asociada a la diferencial en las basescanonicas respectivas es la matriz jacobiana Jf (a).

2. Existen todas las derivadas direccionales de f en a y f ′(a,v) = Df (a)(v) = Jf (a)v.

( Dem. )

1.

Por ser f diferenciable en a, teniendo en cuenta la definicion (3.4), existe Df (a): Rn → Rm que tendra comomatriz asociada

T (a) =

t11 . . . t1n

......

tm1 . . . tmn

al ser diferenciable se ha de cumplir la condicion de tangencia es decir

lımh→0

f (a+ h) − f (a)− Df (a)(h)‖h‖ = 0 ⇒ lım

h→0

f (a+ h) − f (a)− T (a)(h)‖h‖ = 0

22

lo que implica

lımh→0

∥∥∥∥∥∥∥ f1(a + h)

...fm(a+ h)

−

f1(a)

...fm(a)

−

t11 . . . t1n

......

tm1 . . . tmn

h1

...hn

∥∥∥∥∥∥∥

‖h‖ = 0

que ha de ser para todo h, en particular si hacemos h = kei donde ei es el vector correspondiente de la basecanonica de Rn se tiene

lımk→0

∥∥∥∥∥∥∥ f1(a+ kei)

...fm(a + kei)

−

f1(a)

...fm(a)

−

kt1i

...ktmi

∥∥∥∥∥∥∥

‖kei‖ = 0

y para cada j, con 1 ≤ j ≤ m se tiene

lımk→0

∣∣∣∣ fj(a+ kei) − fj(a) − ktjik

∣∣∣∣ = 0

es decir

lımk→0

∣∣∣∣ fj(a + kei) − fj(a)k

− tji

∣∣∣∣ = 0 ⇒ tji = lımk→0

fj(a+ kei) − fj(a)k

=∂fj∂xi

(a) ⇒ T (a) = Jf (a)

Queda demostrado que si una funcion es diferenciable su matriz asociada es la matriz Jacobiana.

Comentarios :

Es obvio que tomando otras derivadas direccionales en a que no fueran segun los vectores de la basecanonica de Rn se obtendrıa otra matriz asociada a la aplicacion lineal Df (a). La matriz jacobianaJf (a) es pues la matriz asociada a la diferencial referida a la base canonica.

Observese que los coeficientes de la matriz jacobiana son numeros cuyo valor, en general, cambia alcambiar de punto. Esto pone de manifiesto que la aplicacion diferencial depende del punto en cuestion.

Notese que esta proposicion asegura la unicidad de la diferencial, ya que queda determinada por lasderivadas parciales.

2.

Igualmente aplicando la condicion de tangencia con h = kv y si tenemos en cuenta que Df (a) es linealse tiene

lımk→0

f (a+ kv) − f (a) − Df (a)(kv)‖kv‖ = lım

k→0

f (a+ kv) − f (a) − kDf (a)(v)‖kv‖ = 0

lo que implica

lımk→0

‖f (a+ kv) − f (a) − kDf (a)(v)‖‖kv‖ =

1‖v‖ lım

k→0

∥∥∥∥ f (a+ kv) − f (a)− kDf (a)(v)k

∥∥∥∥ = 0

y por tanto

Df (a)(v) = lımk→0

f (a+ kv) − f (a)k

Queda demostrado que si una funcion es diferenciable existen sus derivadas direcionales y se pueden calcularaplicando la Df (a) a la direccion v.

En ambos casos los reciprocos no tienen por que ser ciertos.

23

Ejemplo 3.4

1. Veamos una funcion que tiene sus derivadas parciales definadas en un punto y sin embargo no esdiferenciable en dicho punto. Sean f(x, y) = x1/3y1/3 y a = (0, 0). Las derivadas parciales de f en ason (vease el ejemplo del apartado 3.1):

∂f

∂x(0, 0) = lım

t→0

f(t, 0) − f(0, 0)t

= lımt→0

0t

= 0,∂f

∂y(0, 0) = lım

t→0

f(0, t) − f(0, 0)t

= lımt→0

0t

= 0

pero no es diferenciable por no cumplirse la condicion de tangencia, ya que

lımh→0

f(h) − f(0, 0) − ( 0 0)( h1

h2

)‖h‖ = lım

(h1,h2)→(0,0)

h1/31 h

1/32√

h21 + h2

2

que no vale 0 dado que los lımites direccionales valen

lımh1→0

f(h1, mh1) =h

1/31 (mh1)1/3√h2

1 + (mh1)2= ±∞

2. Una funcion que tiene sus derivadas direccionales definidas en un punto que no es diferenciable endicho punto.

Sean la funcion f(x, y) =

x3

x2 + y2si(x, y) �= (0, 0)

0 si(x, y) = (0, 0), y v = (v1, v2). Las derivadas direcionales de

f en el punto (0, 0) segun v son

f ′(0,v) = lımt→0

f(tv) − f(0, 0)t

= lımt→0

t3v31

t2v21 + t2v2

2

− 0

t=

v31

v21 + v2

2

y por tanto∂f

∂x(0, 0) = f ′(0, e1) = 1 y

∂f

∂y(0, 0) = f ′(0, e2) = 0.

Veamos ahora si, f es diferenciable en el punto (0, 0). Aplicando la condicion de tangencia se tiene

lımh→0

f(h) − f(0, 0) − ( 1 0)( h1

h2

)‖h‖ = lım

(h1,h2)→(0,0)

h31

h21 + h2

2

− h1√h2

1 + h22

y como si hacemos (h1, h2) = (h,mh) se tiene

lımh→0

f(h,mh) = lımh→0

−hm2

|h|(1 +m2)√

1 +m2= ± m2

(1 +m2)√

(1 +m2)

vemos que no existe el lımite y por tanto la funcion no es diferenciable.

Definicion 3.5 f se dice diferenciable si lo es en todo punto de su dominio.

Proposicion 3.3

1. Si f :A ⊂ Rn → Rm es diferenciable en a ∈ A, entonces f es continua en a.

2. f :A ⊆ Rn → Rm es diferenciable en a ∈ A si y solo si lo son cada una de sus componentes fj con1 ≤ j ≤ m.

24

( Dem. )

1.

Por ser f diferenciable en a existe la aplicacion lineal Df (a): Rn → Rm que cumple

lımh→0

f (a+ h) − f (a)− Df (a)(h)‖h‖ = 0 =⇒ lım

h→0(f (a+ h) − f (a) − Df (a)(h)) = 0

y como la diferencial es una aplicion lineal lımh→0

Df (a)(h) = 0, ası pues lımh→0

f (a+ h) = f (a), y por tanto f escontinua en a.

2.

Es consecuencia inmediata de la condicion de tangencia y las propiedades de lımite.

3.3.2. Aproximacion lineal, hiper-plano tangente

Teniendo en cuenta el apartado 1. de la definicion 3.4, de funcion diferenciable, se tiene

f (a+ h) = f (a) + Df (a)(h) + o(‖h‖),Si en esta ecuacion hacemos x = a+ h se tiene

f (x) = f (a) + Df (a)(x− a) + o(‖x− a‖) ⇒ f (x) − f (a) − Df (a)(x− a) = o(‖x− a‖). (3.5)

Esto sugiere que f (a) + Df (a)(x − a) es una buena aproximacion de f (x) tenemos ası el concepto deaproximacion lineal.

Proposicion 3.4 Sea f diferenciable en a. Se denomina aproximacion lineal de f en a, a la aplicacion afın

x �−→ f (a) + Df (a)(x− a)

Sea f : R2 → R diferenciable en a = (a1, a2). La ecuacion 3.5 sugiere que el plano:

z = f(a) + Df(a)(x − a) = f(a) +∂f

∂x(a)(x − a1) +

∂f

∂y(a)(y − a2) (3.6)

es tangente a la grafica de f en el punto de coordenadas (a, f(a)). Una generalizacion de esto es

Corolario 3.1 Sea f un campo escalar diferenciable en a la ecuacion del hiper-plano tangente a la graficade f en el punto de coordenadas (a, f(a)) es

xn+1 = f(a) + Df(a)(x − a) = f(a) +n∑i=1

∂f

∂xi(a)(xi − ai) (3.7)

o, en forma vectorial,

x = (a, f(a)) + λ1(1, 0, . . . ,∂f

∂x1(a)) + . . .+ λn(0, . . . , 1,

∂f

∂xn(a))

3.3.3. Condiciones suficientes de diferenciabilidad

Ya se ha visto, que la existencia de las derivadas parciales de una funcion, en un punto, no implica la dife-renciabilidad de la funcion en dicho punto, ni incluso que sea continua. No obstante imponiedo determinadascondiciones podremos asegura la diferenciabilidad.

25

Teorema 3.1 Sean f :A ⊆ Rn → R

m y a un punto de A, si existen todas las derivadas parciales∂fj∂xi

,con

1 ≤ i ≤ n y 1 ≤ j ≤ m, en un entorno de a, y son continuas en a, entonces f es diferenciable en a

( Dem. )

Gracias a la proposicion 3.3.2 basta con demostrarlo para funciones escalares.

Sean la bola de centro a y radio ε, Bε(a), en la que como sabemos existen las derivadas parciales de f , yh ∈ R

n tal que a+ h ∈ Bε(a), se tiene

f(a + h) − f(a) = [f(a + h1e1) − f(a)]++ [f(a + h1e1 + h2e2) − f(a + h1e1)]++ [f(a + h1e1 + h2e2 + h3e3) − f(a + h1e1 + h2e2)]++ − −− −− −− −− −− −− −− −− −− −−+ [f(a + h1e1 + ... + hnen) − f(a + h1e1 + ... + hn−1en−1)] =

=∂f

∂x1(c1)h1 + ... +

∂f

∂xn(cn)hn

dondec1 = a + λ1e1 con 0 < λ1 < h1

c2 = a + h1e1 + λ2e2 con 0 < λ2 < h2

...cn = a + h1e1 + ...+ λnen con 0 < λn < hn

y ası

f(a + h) − f(a) =n∑i=1

∂f

∂xi(a)hi +

n∑i=1

(∂f

∂xi(ci) − ∂f

∂xi(a))hi

y como las derivadas parciales son continuas en a, se tiene que

lımh→0

∣∣∣∣∣f(a + h) − f(a) −n∑i=1

∂f

∂xi(a)hi

∣∣∣∣∣‖h‖ = lım

h→0

∣∣∣∣∣(

n∑i=1

∂f

∂xi(ci) − ∂f

∂xi(a)

)hi

∣∣∣∣∣‖h‖ ≤

lımh→0

n∑i=1

∣∣∣∣ ∂f∂xi (ci) − ∂f

∂xi(a)∣∣∣∣ = 0

luego f es diferenciable en a.

Definicion 3.6 Sea f :A ⊆ Rn → Rm y U ⊂ A. Se dice que f es una funcion de clase C1 o tambiendiferenciable con continuidad en U si f tiene todas sus derivadas parciales definidas y son funciones continuasen U

Comentarios

1. Como consecuencia del teorema anterior la funcion es diferenciable en U .

2. Una funcion diferenciable puede no ser de clase C1.

3.4. Propiedades de las funciones diferenciables

Las propiedades elementales de la diferenciabilidad son las siguientes:

Proposicion 3.5 Sean f , g:A⊆ Rn → R

m funciones diferenciables en a ∈ A y λ ∈ R. Se tiene

26

1. f + g es diferenciable en a y D(f + g)(a) = Df (a) + Dg(a).

2. λf es diferenciable en a y D(λf )(a) = λDf (a).

3. En el caso m = 1 (funciones escalares) fg es diferenciable en a y D(fg)(a) = g(a)Df(a) + f(a)Dg(a).

4. En el caso m = 1 y si f(a) �= 0, entonces 1/f es diferenciable en a y D(1f

)(a) =−1f(a)2

Df(a).

5. 〈f , g〉 es diferenciable en a y D〈f , g〉(a) =m∑j=1

(gj(a)Dfj(a) + fj(a)Dgj(a)).

6. Existe algun entorno de a (excluido el punto a) dondef(x) − f(a)‖x− a‖ esta acotado.

( Dem. ) Ejercicio.

3.4.1. Regla de la cadena. Aplicaciones

Una de las propiedades de las funciones diferenciables es la generalizacion de la regla de la cadena al casode varias variables; esto es, la diferenciacion de funciones compuestas.

Teorema 3.2 Sean f :A ⊆ Rn → R

m y g:B ⊆ Rm → R

p de forma que f (A) ⊆ B, con A y B abiertos.Supongamos que f es diferenciable en a ∈ A y g es diferenciable en b = f (a) ∈ B. Entonces g ◦ f esdiferenciable en a y se tiene

D(g ◦ f )(a) = Dg(b) ◦ Df (a) (3.8)

( Dem.) Que f sea diferenciable en a significa que

f (a+ h) = f (a) + Df (a)(h) +R1(h) con R1(h) = o(‖h‖).Que g lo sea en b = f(a) significa que

g(b+ k) = g(b) + Dg(b)k+ T1(k) con T1(k) = o(‖k‖).Tomando k = f (a+ h) − f (a) = f (a+ h) − b se tiene

g(f (a+ h)) = g(f (a)) + Dg(b)(f (a+ h) − f (a)) + T1(k)= (g ◦ f )(a) + Dg(f (a)) ◦ Df (a)(h) + Dg(f (a))(R1(h)) + T1(k)≡ (g ◦ f )(a) + Dg(f (a)) ◦ Df (a)(h) + R1(h)

pero Dg(f (a))(R1(h)) = o(‖h‖) y, como h→ 0 ⇒ k → 0, se tiene que T1(k) = o(‖h‖), luego R1(h) = o(‖h‖),lo cual completa la demostracion.

Comentarios

Si f y g son Ck entonces f ◦ g tambien lo es.

Dado que el segundo miembro de la expresion 3.8 es una composicion de funciones lineales, en terminosde sus matrices se tiene

J(g ◦ f )(a) = Jg(f (a))Jf (a)

Ası, si hacemos h = g ◦ f y desarrollamos esta expresion se tiene∂h1

∂x1(a) . . .

∂h1

∂xn(a)

......

∂hp∂x1

(a) . . .∂hp∂xn

(a)

=

∂g1∂y1

(b) . . .∂g1∂ym

(b)

......

∂gp∂y1

(b) . . .∂gp∂ym

(b)

∂f1∂x1

(a) . . .∂f1∂xn

(a)

......

∂fm∂x1

(a) . . .∂fm∂xn

(a)

27

esto es,∂hk∂xi

(a) =m∑j=1

∂gk∂yj

(f (a))∂fj∂xi

(a) (∀i = 1, . . . , n) (∀k = 1, . . . , p) (3.9)

Una aplicacion particular de la regla de la cadena es cambio de variables en ecuaciones diferenciales(veanse ejercicios).

La composicion de dos funciones no diferenciables puede ser diferenciable. En tal caso su diferencialha de calcularse a partir de la expresion de la funcion compuesta, ya que no es aplicable la regla de lacadena.

Ejemplo 3.5

Sean las funciones

f(x) ={

x si x ≤ 0x2 si x ≥ 0

g(x) ={x2 si x ≤ 0x si x ≥ 0

ninguna de ellas es diferenciable en el origen, pero su composicion (g ◦ f)(x) = x2 sı lo es.

La mera existencia de las derivadas parciales no garantiza la validez la ecuacion 3.9, puesto que elhecho de que dos funciones tengan derivadas parciales en un punto no asegura que su composiciontambien las tenga (a menos que la funcion sea diferenciable).

Ejemplo 3.6

Sean las funciones g(x, y) ≡ x1/3y1/3 y f (x) ≡ (x, x) y su composicion (g ◦ f )(x) ≡ x2/3. Ambas, f yg tienen derivadas parciales en el origen:

∂g

∂x(0, 0) = 0 ,

∂g

∂y(0, 0) = 0

∂f1∂x

(0) = 1 ,∂f2∂x

(0) = 1

pero su composicion no es derivable en el 0.

3.5. Derivadas parciales de orden superior

Sea f :A ⊆ Rn → R

m con A abierto. Supongamos que existen las derivadas parciales ∀x ∈ A. Podemosdefinir las funciones derivada parcial

Di: A ⊂ Rn −→ Rm

a �−→ ∂f∂xi

(a)

que asocian a cada punto a el valor de la respectiva derivada parcial en ese punto∂f∂xi

(a). Si recordamos la

ecuacion 3.3 se tiene∂f∂xi

(a) =(∂f1∂xi

(a), . . . ,∂fm∂xi

(a)).

Si existen∂fj∂xi

(a), 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤m y son continuas en A, decimos que f es de clase C1 en A.

Sea f :A ⊆ Rn → R con A abierto, podemos ahora estudiar la existencia de las derivadas parciales y la

diferenciabilidad de las funciones∂f

∂xi:A ⊂ R

n −→ R

Esto sugiere la siguiente definicion

28

Definicion 3.7 Sean f :A ⊆ Rn → R, con A abierto, y a ∈ A. Se denomina derivada parcial de segundoorden de f en a respecto a las variables xi y xj a la derivada parcial respecto a xj de la derivada respecto axi de f en a es decir

Dj(Dif)(a) =∂2f

∂xj∂xi(a) = lım

t→0

∂f

∂xi(a1, ..., aj + t, ..., an) − ∂f

∂xi(a)

t

Si la anterior derivada parcial de segundo orden de f existe ∀x ∈ A, se denomina funcion derivada parcialde segundo orden de f respecto a las variables xi y xj a la funcion

∂2f

∂xj∂xi: A ⊂ Rn −→ R

a �−→ ∂2f

∂xj∂xi(a)

Definicion 3.8 Sea f :A ⊆ Rn → R y a ∈ A, tal que existen todas la derivadas parciales de segundo ordende f en a. Se denomina matriz hessiana de f en a a la matriz n× n que tiene por componentes los valoresde estas derivadas parciales:

Hf(a) =(∂2f(a)∂xj∂xi

)1≤i≤n1≤j≤n

=

∂2f

∂x21

(a) . . .∂2f

∂xn∂x1(a)

......

∂2f

∂x1∂xn(a) . . .

∂2f

∂x2n

(a)

Hf(a) es una matriz cuadrada y su determinante se denomina hessiano.

La definicion de derivada parcial se puede iterar sucesivamente, obteniendose ası todas las denominadasderivadas parciales de orden k de f . Esto es

Di1 ... Dikf(a) =∂kf

∂xi1 . . . ∂xik(a)

.

Entonces, atendiendo a la continuidad de estas funciones se define:

Definicion 3.9 Sean f :A ⊆ Rn → R y A abierto. f es una funcion de clase Ck, k ∈ N en A si existen

todas las derivadas parciales de orden ≤ k de f y son funciones continuas en A

Se dice que f es una funcion de clase C∞ en A si f es una funcion de clase Ck en A, ∀k ∈ N.

Proposicion 3.6 Si una funcion es de clase Ck en A las derivadas parciales de orden k − 1 son funcionesdiferenciables en A.

( Dem. ) Basta considerar el teorema 3.1

En particular, se denominan derivadas cruzadas a las derivadas parciales de orden superior obtenidasderivando respecto a las mismas variables pero en orden diferente.

Comentario :

El orden en que se deriva para obtener las derivadas parciales de orden superior es relevante, ya queno siempre se cumple que las derivadas cruzadas sean iguales.

29

Ejemplo 3.7

La funcion f(x, y) =

xyx2 − y2

x2 + y2si (x, y) �= (0, 0)

0 si (x, y) = (0, 0)

tiene derivadas parciales primeras en todo su dominio y valen:

∂f

∂x=

x4y + 4x2y3 − y5

(x2 + y2)2si (x, y) �= (0, 0)

lımt→0

f(t, 0) − f(0, 0)t

= 0 si (x, y) = (0, 0)

∂f

∂y=

x5 − 4x3y2 − xy4

(x2 + y2)2si (x, y) �= (0, 0)

lımt→0

f(0, t) − f(0, 0)t

= 0 si (x, y) = (0, 0)

las derivadas parciales cruzadas de segundo orden son

∂2f

∂x∂y=

x6 − y6 + 9x4y2 − 7x2y4

(x2 + y2)3si (x, y) �= (0, 0)

lımt→0

∂f

∂y(t, 0) − ∂f

∂y(0, 0)

t= 1 si (x, y) = (0, 0)

∂2f

∂y∂x=

x6 − y6 + 9x4y2 − 7x2y4

(x2 + y2)3si (x, y) �= (0, 0)

lımt→0

∂f

∂x(0, t) − ∂f

∂x(0, 0)

t= −1 si (x, y) = (0, 0)

Es decir que∂2f

∂y∂x(0, 0) �= ∂2f

∂x∂y(0, 0)

3.5.1. Teorema de Schwarz

Vamos a estudiar a continuacion bajo que condiciones se puede garantizar la igualdad de las derivadascruzadas o, lo que es lo mismo, cuando la matriz hessiana es simetrica. La respuesta a esta cuestion la da elsiguiente teorema:

Teorema 3.3 (de Schwarz): Sean f :A ⊆ Rn → R, con A abierto, y a ∈ A. Supongamos que f es C1 , y que

las derivadas parciales Dif, Djf :A → R son diferenciables en a entonces las derivadas parciales cruzadasson iguales

∂2f

∂xi∂xj(a) =

∂2f

∂xj∂xi(a) o DjDif(a) = DiDjf(a) (∀i, j)

( Dem. ) Por simplicidad haremos la demostracion para una funcion f :A ⊂ R2 → R y consideraremos el

origen de coordenadas, a = (0, 0).

Sea F : R → R definida por F (h) = f(h, h) − f(h, 0) − f(0, h) + f(0, 0) hemos de ver que lımh→0

F (h)h2

es

tanto∂2f

∂x∂y(0, 0) como

∂2f

∂y∂x(0, 0) y por tanto las derivadas cruzadas coinciden en (0, 0).

30

Sea G: R → R definida por G(x) = f(x, h) − f(x, 0), entonces F (h) = G(h) −G(0) y como f es de claseC1, G es derivable, con derivada continua, y por el teorema del valor medio, existe un c tal que 0 < |c| < |h|que satisface

F (h) = hG′(c) = h

(∂f

∂x(c, h) − ∂f

∂x(c, 0)

)⇒ F (h)

h2=

∂f

∂x(c, h) − ∂f

∂x(c, 0)

h=

=

∂f

∂x(c, h)− ∂f

∂x(0, 0)− c

∂2f

∂x2(0, 0)− h

∂2f

∂y∂x(0, 0)

h−∂f

∂x(c, 0) − ∂f

∂x(0, 0) − c

∂2f

∂x2(0, 0)

h+

∂2f

∂y∂x(0, 0)

Por ser∂f

∂xdiferenciable en (0, 0) puede deducirse que lım

h→0

F (h)h2

=∂2f

∂y∂x(0, 0)

Siguiendo un razonamiento analogo a partir de una funcionH : R → R definida porH(x) = f(h, y)−f(0, y)

llegamos a lımh→0

F (h)h2

=∂2f

∂x∂y(0, 0).

Un corolario inmediato de este teorema es:

Corolario 3.2 Sean f :A ⊆ Rn → R,con A abierto y a ∈ A. Si f es una funcion de clase Ck en A, entonceslas derivadas cruzadas de orden l ≤ k se pueden calcular derivando en cualquier orden. Esto es

∂lf

∂xi1 . . . ∂xil(a) =

∂lf

∂xiπ(1) . . . ∂xiπ(l)

(a)

para cualquier permutacion π de {1, ...l}.

( Dem. ) Inmediata si se tiene en cuenta la proposicion 3.6.

3.6. Teorema de la funcion inversa

Este resultado es la generalizacion del teorema del mismo nombre en el caso de una variable.

Teorema 3.4 Sean f :A ⊂ Rn → Rn, A abierto y a ∈ A, tal que:

1. f es de clase C1 en A.

2. det Jf (a) �= 0, es decir con jacobiano no nulo en a.

Entonces existen unos abiertos V y W , que contienen a a y a f (a) respectivamente, tales que

f : V →W es biyectiva.

La inversa f−1:W → V es de clase C1, o de clase Ck si f lo es. Ademas para todo y ∈W se tiene

Df−1(y) =[Df (f−1(y))

]−1

( Dem. ) Vease Calculo en variedades de M. Spivak.

31

Comentarios :

Observese que este es un teorema de existencia local pues, en general, no puede asegurarse que lafuncion inversa exista globalmente (p. ej., la funcion y = sinx solo tiene inversas locales).

El teorema da condiciones para que exista (localmente) la inversa de una funcion, asegura su diferen-ciabilidad y permite calcular su diferencial sin necesidad de conocer explıcitamente la expresion de lafuncion inversa.

La condicion de det Jf (a) �= 0 no es necesaria para la existencia de funcion inversa, pero sı lo es paraque f−1 sea diferenciable.

Definicion 3.10 Un difeomorfismo o cambio de variables es una aplicacion biyectiva ϕ:U → V entre dosabiertos de Rn, tal que ϕ y ϕ−1 son de clase C1.

El teorema de la funcion inversa afirma que si f es de clase Ck, k ≥ 0, con jacobiano no nulo entonces f eslocalmente un difeomorfismo.

Ejemplo 3.8

1. Coordenadas polares. La aplicacion:

ϕ: (0,+∞)× (0, 2π) −→ R2 − {(x, 0), x ≥ 0}

(r, φ) �−→ (r cos φ, r sinφ) = (x, y)

donde

Dϕ(r, φ) =∂(x, y)∂(r, φ)

=(

cosφ −r sinφsinφ r cos φ

)con jacobiano J(r, φ) = r

.

2. Coordenadas cilındricas. La aplicacion:

ϕ: (0,+∞)× (0, 2π) × R −→ R3 − {(x, 0, z), x ≥ 0}

(r, φ, z) �−→ (r cos φ, r sinφ, z) = (x, y, z)

donde

Dϕ(r, φ, z) =∂(x, y, z)∂(r, φ, z)

=

cosφ −r sinφ 0

sinφ r cos φ 00 0 1

con jacobiano J(r, φ, z) = r

.

3. Coordenadas esfericas. La aplicacion:

ϕ: (0,+∞)× (0, π) × (0, 2π) −→ R3 − {(x, 0, z), x ≥ 0}

(r, θ, φ) �−→ (r sin θ cosφ, r sin θ sinφ, r cos θ) = (x, y, z)

donde

Dϕ(r, θ, φ) =∂(x, y, z)∂(r, θ, φ)

=

sin θ cosφ r cos θ cos φ −r sin θ sinφ

sin θ sinφ r cos θ sinφ r sin θ cosφcos θ −r sin θ 0

con jacobiano J(r, θ, φ) = r2 sin θ

.

Se ha utilizado la notacion

∂(f1 , . . . , fn)∂(x1, . . . , xn)

=

∂f1∂x1

. . .∂f1∂xn

......

∂fn∂x1

. . .∂fn∂xn

32

3.7. Teorema de la funcion implıcita

Es frecuente dar la ecuacion de una curva en R2 mediante una expresion del tipo F (x, y) = 0, o la deuna superficie en R3 mediante F (x, y, z) = 0 y si generalizamos en Rn una hipersuperficie por medio de unaexpresion del tipo F (x1, . . . , xn) = 0, denominada expresion implıcita de la hipersuperficie. Un problemaque se plantea es si es posible describir la hiper-superficie por medio de una expresion explıcita del tipoxn = f(x1, . . . xn−1). Esto no siempre es posible como se pone de manifiesto con algunos ejemplos sencillos:

Ejemplo 3.9

Sea la funcion F : R2 → R definida por F (x, y) = x2 + y2 − 1 y considerese los puntos de R2 quesatifacen F (x, y) = 0, es decir la curva de nivel 0 de F . Se trata como es sabido de la circunferencia decentro (0, 0) y radio 1 cuya ecuacion es x2 + y2 − 1 = 0. Si en dicha ecuacion despejamos la variable ycomo funcion de x se obtienen las dos funciones que definen las semicircunferencias en forma explicita

y = f1(x) e y = f2(x), con f1, f2: R → R donde f1(x) =√

1 − x2 y f2(x) = −√

1 − x2

Se dice que estas dos funciones estan definidas implicitamente por la ecuacion F (x, y) = 0, ademasa cada punto de la circunferencia le corresponde una de las dos funciones y ambas funciones sondiferenciables, en algun abierto que contenga el punto, excepto en los puntos (±1, 0) como se puedecomprobar graficamente.

Otro ejemplo distinto al planteado anteriormente lo constituye un sistema lineal de m ecuaciones conn+m variables

0 = Ax + By +C (3.10)

donde x ≡ (x1, . . . , xn) ∈ Rn, y ≡ (y1, . . . , ym) ∈ Rm, A y B son matrices reales de ordenes m × ny m×m respectivamente y C es una matriz columna de m componentes. El problema es si se puedeexpresar el vector y como funcion de x. Para ello la c.n.s. es que detB �= 0, en cuyo caso

y = −B−1(Ax +C).

que se puede expresar como y = f (x). Se dice que f es la funcion implıcita definida por la ecuacion3.10.

Observese que si hacemos F(x,y) = Ax + By + C entonces B =(∂F∂y

).

Un planteamiento general del problema es:

Si tenemos la funcion F: Rn × Rm → Rm definida por F(x, y) = 0, con x ∈ Rn e y ∈ Rm es decir elsistema de m ecuaciones

F1(x1, ..., xn, y1, ..., ym) = 0

· · ·Fm(x1, ..., xn, y1, ..., ym) = 0

bajo que condiciones se puede asegurar que podemos expresar las variables y en funcion de las x o lo que eslo mismo cuando el sistema anterior define la funcion implıcita y = f (x).

El siguiente teorema da condiciones suficientes para poder asegurar la existencia (local) de este tipo defunciones, analizando, ademas, su diferenciabilidad.

Teorema 3.5 SeanF:W ⊆ Rn × Rm −→ Rm

(x, y) −→ (F1(x, y), . . . , Fm(x, y))

donde W es un abierto, F una funcion de clase C1 y (a, b) ∈ W tal que F(a, b) = 0. Supongamos que ladiferencial de F(x, y) respecto de las variables y ∈ R

m, D2F(x, y), es inversible en el punto (a, b), es decirdet (D2F(x, y)) �= 0.

33

Entonces existen abiertos A ⊂ Rn, a ∈ A, y B ⊂ Rm, b ∈ B con A × B ⊂ W y una unica funcionf :A→ B de clase C1 tales que si (x, y) ∈ A×B, F(x, y) = 0 si y solo si y = f (x). Ademas para todo x ∈ Ase tiene

Df (x) = − [D2F(x, f (x))]−1 D1F(x, f (x)) (3.11)

donde

DF =

∂F1

∂x1. . .

∂F1

∂xn

∂F1

∂y1. . .

∂F1

∂ym...

......

...∂Fm∂x1

. . .∂Fm∂xn

∂Fm∂y1

. . .∂Fm∂ym

= (D1F D2F )

con

D1F(x) =(∂Fj∂xi

(x))

1≤j≤m1≤i≤n

y D2F(x) =(∂Fj∂yi

(x))

1≤j≤m1≤i≤m

La funcion f se denomina funcion implıcitamente definida por F.

( Dem. ) Para la demostracion total vease M. Spivak, Calculo en variedades. Vamos a demostrarsolamente la ecuacion 3.11

Supongamos que la funcion F:W ⊆ Rn ×Rm → Rm satisface las hipotesis del teorema y que F(a, b) = 0y existen A ⊂ Rn, a ∈ A y B ⊂ Rm, b ∈ B y una funcion implıcita f :A → B tal que ∀x ∈ A se tieneF(x, f (x)) = 0. Vamos a calcular Df (x).

Consideremos la siguiente composicion de funciones

AG−→ A× B

F−→ Rm

x �→ (x, f (x)) �→ F(x, f (x))

Observemos que la funcion compuesta F ◦ G es la funcion nula en A, F ◦ G = 0. Luego D(F ◦ G) sera lamatriz nula de orden m× n, y por la regla de la cadena tendremos

0m×n = D(F ◦ G)(x) = DF(G(x)) ◦ DG(x)

Escribiendo las matrices jacobianas correspondientes se tiene

0m×n =

∂F1

∂x1(G(x)) . . .

∂F1

∂xn(G(x))

∂F1

∂y1(G(x)) . . .

∂F1

∂ym(G(x))

......

......

∂Fm∂x1

(G(x)) . . .∂Fm∂xn

(G(x))∂Fm∂y1

(G(x)) . . .∂Fm∂ym

(G(x))

1 . . . 0...

...0 . . . 1

∂f1∂x1

(x) . . .∂f1∂xn

(x)

......

∂fm∂x1

(x) . . .∂fm∂xn

(x)

que se puede expresar

0m×n = ( D1F D2F )(I

Df

)donde I es la matriz unidad de orden n× n, ecuacion que desarrollada queda

0 = D1F I + D2F Df (3.12)

y si multiplicamos por [D2F]−1 y despejamos Df se tiene

Df = −[D2F]−1D1F

34

Comentarios

La existencia de la funcion implıcita es unicamente local, el teorema da condiciones suficientes paraasegurar su diferenciabilidad y permite calcular su diferencial sin necesidad de conocer explıcitamentedicha funcion

Corolario 3.3 Las derivadas de la funcion implıcita se calculan aplicando la regla de la cadena a la ecuacionF(x, f (x)) = 0 y son las soluciones del sistema lineal de m× n ecuaciones:

0 =∂Fk∂xi

∣∣∣∣(x,f (x))

+m∑j=1

∂Fk∂yj

∣∣∣∣∣∣(x,f (x))

∂fj∂xi

∣∣∣∣x

(k = 1, . . . , m ; i = 1, . . . , n)

que es otra forma de expresar la ecuacion 3.12

Capıtulo 4

Aplicaciones geometricas de laderivacion.

4.1. Gradiente de un campo escalar.

Salvo mencion en contra consideraremos los dominios de las funciones abiertos.

4.1.1. Definicion y propiedades.

Definicion 4.1 Sea f :A ⊆ Rn → R una funcion diferenciable y a ∈ A. Se denomina gradiente de f en aal vector de Rn cuyas componentes son los valores de las derivadas parciales de f en a

grad f(a) ≡(∂f

∂x1(a), . . . ,

∂f

∂xn(a))

Se denomina gradiente de f a la funcion vectorial que asigna a cada punto el gradiente de la funcion endicho punto:

gradf : A ⊆ Rn −→ Rn

a �→ grad f(a)

Comentarios

Se denota con el operador nabla ∇ el gradiente, es decir gradf = ∇f donde

∇ =(

∂

∂x1, . . . ,

∂

∂xn

)

Para definir el gradiente bastarıa en principo con la existencia de las derivadas parciales pero en lamayoria de las aplicaciones es necesario que la funcion sea diferenciable.

Proposicion 4.1 Sean f y g:A ⊂ Rn → R funciones escalares diferenciables en A. Se cumple:

∇(f + g) = ∇f + ∇g.∇(λf) = λ∇f, ∀λ ∈ R.

∇(fg) = f∇g + g∇f.

( Dem. ) Se obtienen de la definicion

35

36

4.1.2. Interpretacion geometrica del gradiente

Si recordamos que una funcion diferenciable en el punto a tiene sus derivadas direccionales definidas,segun cualquier vector v, en dicho punto y valen

f ′(a,v) = J(a)v

es facil comprobar que se cumple

Dvf(a) = f ′(a,v) = J(a)v = 〈∇f(a),v〉 = ‖∇f(a)‖‖v‖ cos(∇f(a),v) (4.1)

lo que permite establecer la siguiente proposicion

Proposicion 4.2 Sean f :A ⊆ Rn → R, a ∈ A y f una funcion diferenciable en a tal que ∇f(a) �= 0 yv ∈ Rn un vector unitario. Entonces:

1. grad f(a) indica la direccion de maximo crecimiento de la funcion y este vale ‖grad f(a)‖, conse-cuentemente −∇f(a) es la direccion de mınimo crecimiento y vale −‖grad f(a)‖

2. La derivada direccional de f en a es nula si, y solo si, dicha direccion es perpendicular a grad f(a)

( Dem. ) 1. Si observamos la ecuacion 4.1 vemos que f ′(a,v) presenta un maximo si cos(∇f(a),v) = 1lo que ocurre si ∇f(a) y v tienen la misma direccion y sentido.

2. El mismo razonamiento.

Una consecuencia del segundo apartado de la proposicion anterior es el siguiente cororlario.

Corolario 4.1 Sea f :A ⊆ Rn → R una funcion diferenciable en a ∈ A y tal que grad f(a) �= 0. Entonces

grad f(a) es perpendicular al conjunto de nivel (curva, superficie, ...) de la funcion, que pasa por a.

( Dem. ) Es un resultado que se obtiene a partir del segundo apartado de la proposicion anterior. En efecto,basta considerar que la funcion es constante sobre el conjunto de nivel y, por tanto, si a es un punto de lasuperficie de nivel, Dvf(a) = 0 para cualquier vector v tangente al conjunto de nivel en el punto a.

Como consecuencia si f es un campo escalar en Rn dado que ∇f(a) es un vector ortogonal al conjuntode nivel que pasa por a, la ecuacion de la tangente (recta, plano, ...) a dicho conjunto de nivel es

〈x− a,∇f(a)〉 = 0, con x = (x1, ..., xn) (4.2)

Ejemplo 4.1

Sea la funcion f : R2 → R definida por f(x, y) = 2x2 + y2. El gradiente de f en el punto (1,√

3) es elvector (4, 2

√3), por tanto el vector (2,

√3) es ortogonal a la curva 2x2 + y2 = k que pase por (1,

√3),

es decir a la elipse 2x2 + y2 = 5 y la ecuacion de la recta tangente a dicha elipse en (1,√

3) es

〈(x− 1, y−√

3), (2,√

3)〉 = 0 ⇒ 2x+√

3y − 5 = 0

y la recta normal es:

(x, y) = (1,√

3) + λ(2,√

3) ⇒ x− 12

=y −√

3√3

Para determinar el plano tangente al hiperboloide x2+y2−z2 = 4 en el punto P = (2, 1, 1) consideramosla funcion f(x, y, z) = x2 + y2 − z2 − 4 cuya superficie de nivel, que pasa por P , es dicho hiperboloidey por tanto el vector ∇f(2, 1, 1) = (4, 2,−2) es ortogonal a esta superficie y ası su plano tangente es

〈(x− 2, y− 1, z − 1), (2, 1,−1)〉 = 0 ⇒ 2x+ y − z − 4 = 0

y su recta normal es

(x, y, z) = (2, 1, 1) + λ(2, 1− 1) ⇒ x− 22

=y − 1

1=z − 1−1

37

4.2. Curvas parametrizadas en Rn

Aunque en general estudiaremos unicamente curvas en R2 y R3 el concepto de curva parametrica esfacilmente generalizable en Rn.

Definicion 4.2 Se denomina curva parametrizada en Rn a una funcion

c: I ⊆ R → Rn

t �→ c(t) = (x1(t), . . . , xn(t))

donde I es un intervalo de R.

Comentarios:

A veces se denomina curva a la imagen de esta aplicacion, esto es, a su representacion grafica, yparametrizacion a la propia funcion c.

Para una curva dada no existe una unica parametrizacion.

En algunos casos no es posible dar una parametrizacion de toda la curva a la vez y hay que hacerlopor trozos.

Ejemplo 4.2

c(t) = (t, f(t)), t ∈ [a, b] es un parametrizacion de la grafica de la funcion f(x) con x comprendidoentre a y b.

Una parametrizacion de una circunferencia de radio a es c(t) = (a cos t, a sin t), t ∈ [0, 2π).

c(t) = (2, 1, 3) + t(1, 3, 1) = (2 + t, 1 + 3t, 3 + t), t ∈ (−∞,∞) es una parametrizacion de la recta quepasa por el punto (2, 1, 3) y tiene la direccion del vector (1, 3, 1).

c(t) = (cos t, sin t, cos t + sin t), t ∈ [0, 2π) parametriza la curva interseccion del cilindro x2 + y2 = 1con el plano z = x+ y.

Atendiendo a las caracterısticas geometricas de las curvas se puede establecer la siguiente terminologıa:

Definicion 4.3

1. Una curva es plana si su representacion grafica esta en R2. En caso de no ser ası, la curva se denominaalabeada.

2. Una curva es simple si su representacion grafica no tiene autointersecciones. Respecto de laparametrizacion, esto equivale a que c sea inyectiva.

3. Una curva es conexa si su representacion grafica tiene una sola rama. Su parametrizacion, es unafuncion continua.

4. Una curva es cerrada si es conexa, I = [a, b] es un intervalo cerrado y c(a) = c(b).

5. Una curva es de Jordan si es cerrada y simple en I = (a, b).

6. Una curva parametrizada es diferenciable si lo es la funcion c que la define. La curva es diferenciablea trozos si I se puede descomponer en un numero finito de subintervalos en el interior de cada uno delos cuales la curva es diferenciable.

7. Una curva es parametricamente regular si c es de clase C1 en IntI = (a, b) y c′(t) �= 0, ∀t ∈ (a, b).Analogamente se puede definir parametricamente regular a trozos.

38

Comentarios

Una curva puede ser parametricamente regular (resp. diferenciable) en una parametrizacion y no serloen otra.

4.2.1. Vector tangente a una curva. Orientacion

Definicion 4.4 Sea c: I ⊆ R → Rn una curva parametrizada regular en t0 ∈ I con I abierto.

1. Se denomina vector tangente a la curva en el punto c(t0) al vector

c′(t0) = (c′1(t0), . . . , c′n(t0))

2. Se denomina recta tangente a la curva en el punto c(t0) a la recta que pasa por dicho punto y tienecomo vector director el vector tangente c′(t0). Su ecuacion vectorial es

x = c(t0) + λc′(t0) ⇒ (x1, . . . , xn) = (c1(t0), . . . , cn(t0)) + λ (c′1(t0), . . . , c′n(t0)) (λ ∈ R) (4.3)

si todas las componentes del vector tangente son no nulas, otra forma de la recta tangente es

x1 − c1(t0)c′1(t0)

= . . . =xn − cn(t0)c′n(t0)

3. Si I ⊂ R2 se denomina recta normal a la curva en el punto c(t0) a la recta que pasa por dicho puntoy es perpendicular al vector tangente c′(t0). Su ecuacion vectorial es, por consiguiente,

〈x− c(t0), c′(t0)〉 = 0 ↔ (x− c1(t0))c′1(t0) + (y − c2(t0))c′2(t0) = 0 (4.4)

4. Si I ⊂ R3 se denomina plano normal a la curva en el punto c(t0) al plano que pasa por dicho punto yes perpendicular al vector tangente c′(t0). Su ecuacion vectorial es, por consiguiente,

〈x− c(t0), c′(t0)〉 = 0 ↔ (x− c1(t0))c′1(t0) + (y − c2(t0))c′2(t0) + (z − c3(t0))c′3(t0) = 0 (4.5)

5. Si c1(t) es otra curva regular en I y tal que c(t0) = c1(t1), es decir se cortan en un punto. Se llamaangulo de dos curvas al formado por sus vectores tangentes en el punto de corte

α = arc cos〈c′(t0), c′1(t1)〉

‖c′(t0)‖ ‖c′1(t1)‖

Comentarios

Observese que el vector c′(t0) es efectivamente tangente a la curva en el punto c(t0) ya que, por ser lacurva diferenciable en el, se verifica la condicion de tangencia que es justamente

lımλ→0

c(t0 + λ) − c(t0) − c′(t0)λλ

= 0

Sea c: I → Rn una parametrizacion de una curva. El intervalo I puede ser interpretado como un

intervalo de tiempo y el vector c(t) como la posicion de una particula en el instante t. De esta formapuede hablarse de orientacion o sentido de recorrido de la curva como su recorrido a lo largo del tiempo.Otra parametrizacion de la curva puede dar lugar a la orientacion contraria.

Dos aplicaciones de la regla de la cadena relacionadas con este tema son las siguientes

39

Proposicion 4.3 Sean c: I ⊆ R → Rn una curva parametrizada en Rn diferenciable en t0 y f : Rn → Rm

una funcion diferenciable en c(t0), es decir se tiene el esquema

f ◦ c : I ⊆ Rc−→ Rn

f−→ Rm

t �→ (c1(t), . . . , cn(t)) �→ (f ◦ c)(t)

Entonces

1. Se denomina transformada de la curva c por la funcion f a la curva α = f ◦ c, y su vector tangenteen el punto t0 es:

α′(t0) = J(f ◦ c)(t0) = Jf (c(to))Jc(t0) =

∂f1∂x1

(c(t0)) . . .∂f1∂xn

(c(t0))

......

∂fm∂x1

(c(t0)) . . .∂fm∂xn

(c(t0))

c′1(t0)

...c′n(t0)

=

α′

1(t0)...

α′m(t0)

es decir, el vector tangente a la curva α es el transformado del vector tangente a c por la aplicacionDfc(t0).

2. Si m = 1 la variacion del campo escalar f a lo largo de la curva c en el punto c(to) es

(f ◦ c)′(to) = Df(c(to)) ◦Dc(to) =(∂f1∂x1

(c(t0)) . . .∂f1∂xn

(c(t0))) c′1(t0)

...c′n(t0)

= 〈∇f(c(t0)), c′(t0)〉

que no es otra cosa que la derivada direccional de la funcion f en la direccion del vector tangente a lacurva en el punto c(t0).

Definicion 4.5 Sean α: I1 → Rn y β: I2 → R

n dos curvas parametrizadas de Rn. Se dice que ambas curvas

son regularmente equivalentes, es decir tienen la misma grafica, si existe un difeomorfismo f : I1 → I2 talque α = β ◦ f. Ademas si f ′(t) > 0, en I1, entonces ambas parametrizaciones recorren la curva en el mismosentido, es decir dan la misma orientacion.

I1 �αRn

��

��

f �β

I2

4.3. Curvas regulares

En esta seccion daremos otras maneras de describir curvas en R2 o R

3. Definiremos tambien el conceptode curva regular y lo estudiaremos para las distintas formas de describir una curva.

Definicion 4.6 Un subconjunto C ⊂ Rn, n = 2 o 3 se dice que es una curva regular si para cada punto

a ∈ C existe un abierto U de Rn, n = 2 o 3, con a ∈ U , y un difeomorfismo ϕ:U → V tal que

ϕ(U ∩ C) = V ∩ (R × {0}) si C ⊂ R2 o ϕ(U ∩ C) = V ∩ (R × {0} × {0}) si C ∈ R

3

La curva es por tanto regular si localmente, en cada punto, existe un cambio de variables que la transformeen un trozo de recta.

40

4.3.1. Curvas en R2

Definicion 4.7 Una curva en R2 viene dada por

La grafica de una funcion escalar f :A ⊆ R → R; esto es

C = graf f = {(x, y) ∈ R2 | x ∈ A, y = f(x)}

Se dice, en este caso, que la curva esta dada en forma explıcita.

Un conjunto de nivel de una funcion escalar F :B ⊆ R2 → R; esto es

C = {(x, y) ∈ B | F (x, y) = k}, con k ∈ R

Se dice, en este caso, que la curva esta dada en forma implıcita.

Para el caso en que una curva venga expresada en forma explıcita es decir y = f(x), la regularidad vienedada por la siguiente proposicion

Proposicion 4.4 La grafica de una funcion f : I ⊆ R → R, donde I es un abierto, es una curva regular sif es de clase C1.

( Dem. ) Basta considerar el cambio de variable

ϕ : U ⊆ R2 −→ V

(x, y) �→ (x, y − f(x))

donde U y V son el abierto I × R, y ϕ(U ∩ C) = I × {0} es decir C se transforma en segmentos de recta.

La expresion de las rectas tangente y normal, a la curva y = f(x), se puede obtener de cualquiera de lassiguientes dos formas:

Una parametrizacion de dicha curva es α(t) = (t, f(t)) y un vector tangente a la curva, en el puntoα(t0) = (x0, y0), es α′(t0) = (1, f ′(t0)) y las rectas tangente y normal se determinan como en lasescuaciones 4.3 y 4.4 respectivamente.

Teniendo en cuenta la ecuacion 3.7

Si tenemos una curva definida por la ecuacion F (x, y) = 0, una condicion suficiente para que sea regularnos la proporciona el teorema de la funcion ımplicita.

Proposicion 4.5 Sea F de clase C1 y tal que ∇F (x, y) �= (0, 0), ∀(x, y) tal que F (x, y) = 0. Entonces lacurva definida en forma ımplicita por la ecuacion F (x, y) = 0 es una curva regular.

( Dem. ) Por el teorema de la funcion ımplicita si ∇F (x, y) �= (0, 0) entonces se tiene y = g(x) ox = h(y), segun sea Fy �= 0 o Fx �= 0 con g y h funciones de clase C1, y por tanto la curva es regular por laproposicion anterior.

Para determinar la ecuacion de las rectas tangente y normal podemos considerar

El vector tangente es (1, g′(t)) o bien (h′(t), 1)).

En cada punto, ∇F (p) es perpendicular a la curva, de acuerdo con el corolario 4.1, y obtenemos laexpresion de la recta tangente mediante la ecuacion 4.2.

41

4.3.2. Curvas en R3

Procederemos de manera analoga a lo expuesto para curvas en R2.

Definicion 4.8 Una curva en R3 viene dada por

La grafica de un campo vectorial f : I ⊆ R → R2; esto es

C = graf f = {(x, y, z) ∈ R3 | x ∈ I, y = f1(x), z = f2(x)}

La interseccion de dos superficies de nivel de funciones continuas F,G:A ⊂ R3 → R

C = {(x, y, z) ∈ A | F (x, y, z) = 0, y G(x, y, z) = 0}

Proposicion 4.6 La grafica de un campo vectorial f : I ⊆ R → R2 es una curva regular en los puntos donde

f sea de clase C1

( Dem. ) Basta considerar el cambio de variable

ϕ : I × R2 −→ I × R2

(x, y, z) �→ (x, y− f1(x), z − f2(x))

que transforma la curva en segmentos de recta.

Si tenemos en cuenta que una parametrizacion de la grafica de f es α(t) = (t, f1(t), f2(t)), el vec-tor (1, f ′1(t), f ′2(t)) es tangente a la curva y la ecuacion de la recta tangente a dicha curva en el punto(t0, f1(t0), f2(t0)) es

(x, y, z) = (t0, f1(t0), f2(t0)) + λ(1, f ′1(t0), f′2(t0))

y el plano normal tiene de ecuacion

〈x− α(t0),α′(t0)〉 = 0 o x− t0 + f ′1(t0)(y − f1(t0)) + f ′2(t0)(z − f2(t0)) = 0

Si tenemos una curva definida por la interseccion de dos superficies, F (x, y, z) = 0 y G(x, y, z) = 0, el teoremade la funcion implıcita nos proporciona una condicion suficiente para que sea regular.

Proposicion 4.7 La curva C = {(x, y, z) ∈ A | F (x, y, z) = 0, G(x, y, z) = 0} es regular si, la funcionvectorial H:A ⊂ R3 → R2 definida por H = (F,G) es de clase C1 y su matriz jacobiana tiene rango maximopara cada (x, y, z) ∈ A.

( Dem. ) Si el rango de JH es maximo, o sea 2, quiere decir que dos de las variables se pueden expresarcomo funcion de la tercera y por tanto los puntos de C se pueden expresar mediante (x, h1(x), h2(x)) o bien(h3(y), y, h4(y)) o (h5(z), h6(z), z) y por tanto en cualquiera de los tres casos tendrıamos una curva regularpor la proposicion anterior.

Un vector tangente se puede obtener de cualquiera de las dos formas

Como aplicacion del teorema de le funcion ımplicita. Supongamos que se tiene∣∣∣∣∣∣Fy(x0, y0, z0) Fz(x0, y0, z0)

Gy(x0, y0, z0) Gz(x0, y0, z0)

∣∣∣∣∣∣ �= 0

entonces

(h′1(xo) h′2(x0)

)= −

Fy(x0, y0, z0) Fz(x0, y0, z0)

Gy(x0, y0, z0) Gz(x0, y0, z0)

−1 Fx(x0, y0, z0)

Gx(x0, y0, z0)

y el vector (1, h′1(xo), h′2(x0) es tangente a la curva,

42

Haciendo el producto vectorial ∇F (x0, y0, z0) ∧ ∇G(x0, y0, z0) se tiene un vector tangente. (razoneseporque)

A partir del vector tangente definimos la recta tangente y el plano normal.

4.4. Superficies parametrizadas

Definicion 4.9 Una superficie parametrizada en R3 es una funcion vectorial

σ: D ⊆ R2 −→ R

3

(u, v) �→ σ(u, v) = (x1(u, v), x2(u, v), x3(u, v))

Comentarios

Es habitual denominar superficie a la imagen de esta aplicacion, esto es, a su representacion grafica,S = Im σ, y parametrizacion a la propia funcion σ.

En algunos casos no es posible dar una parametrizacion de toda la superficie a la vez y hay que hacerlopor trozos.

Para una superficie existen infinitas parametrizaciones.

Ejemplo 4.3

Plano: σ(u, v) = (u, v,−u − v) con D = {(u, v) | u2 + v2 ≤ 1}. Representa la porcion de planox+ y + z = 0 interior al cilindro x2 + y2 ≤ 1.

Esfera: σ(u, v) = (R sinu cos v, R sinu sin v, R cos u) con D = (u, v) ∈ [0, π)]× [0, 2π). Representa unaesfera de centrada en el origen y radio R.

Cono: σ(u, v) = (u sinα cos v, u sinα sin v, u cosα) donde D = (u, v) ∈ [0, a] × [0, 2π). Representa uncono con vertice en el origen, abertura α y generatriz de longitud a.

Toro: σ(u, v) =([

a+ b

2+a− b

2cos u

]cos v,

[a+ b

2+a− b

2cos u

]sin v,

a− b

2sinu

)donde D =

(u, v) ∈ [0, 2π)× [0, 2π).

De manera analoga a como se hizo con las curvas, se puede establecer la siguiente terminologıa:

Definicion 4.10 Una superificie parametrizada es

1. Simple si S no tiene autointersecciones esto es equivalente a que σ sea inyectiva.

2. Diferenciable si lo es σ.

3. De clase Ck si lo es σ.

Puede demostrarse que:

Proposicion 4.8 Si σ:D ⊆ R2 → R3 es una superficie parametrizada simple entonces toda curva cerradasimple en D tiene como imagen por σ una curva cerrada simple en S = σ(D).

43

Vamos a establecer las siguientes definiciones para superficies parametrizadas:

Definicion 4.11 Dada una superficie parametrizada diferenciable σ:D ⊆ R2 → R

3, con D abierto, sedefinen las funciones vectoriales

Tu(u, v) =∂σ

∂u=(∂x

∂u,∂y

∂u,∂z

∂u

), Tv(u, v) =

∂σ

∂v=(∂x

∂v,∂y

∂v,∂z

∂v

)

Sea (u0, v0) ∈ D:

1. Se denomina producto vectorial fundamental en (u0, v0) respecto a la parametrizacion dada σ a

Tu(u0, v0) ∧ Tv(u0, v0) =(∣∣∣∂(y, z)∂(u, v)

(u0, v0)∣∣∣, ∣∣∣∂(z, x)∂(u, v)

(u0, v0)∣∣∣, ∣∣∣∂(x, y)∂(u, v)

(u0, v0)∣∣∣) (4.6)

donde∣∣∣∂(y, z)∂(u, v)

∣∣∣ = ∣∣∣∣ yu yvzu zv

∣∣∣∣2. σ(u0, v0) es un punto regular de la parametrizacion considerada si

a) Las funciones∂σ

∂uy∂σ

∂vson continuas en (u0, v0), es decir, σ es de clase C1 en (u0, v0) y

b) Tu(u0, v0) ∧ Tv(u0, v0) �= 0, lo que implica Tu(u0, v0) y Tv(u0, v0) linealmente independientes otembien rang Dσ = 2.

En caso contrario, se dice que es un punto singular.

3. La superficie parametrica es regular si todos sus puntos son regulares

4. La superficie parametrica es regular a trozos si su representacion grafica es la union de un numerofinito de imagenes de superficies parametrizadas regulares.

Comentarios

Tal como ha sido definido punto regular un punto puede ser regular para una parametrizacion y singularpara otra.

Definicion 4.12 Sean σ:D1 ⊆ R2 → R3 y γ:D2 ⊆ R2 → R3 dos parametrizaciones. Se dice que σ y γ sonregularmente equivalentes si existe un difeomorfismo g:D1 → D2 tal que σ(D1) = (γ ◦ g)(D1).

Esto implica que ambas parametrizaciones representan la misma superficie, es decir S = σ(D1) = γ(D2).

D1 �σR3

��

��

g �γ

D2

4.4.1. Vector ortogonal a una superficie. Orientacion

La interpretacion geometrica de los vectores Tu(u0, v0) y Tv(u0, v0) y del producto vectorial fundamentales la siguiente: si en D ⊆ R2 se consideran las rectas u = u0 y v = v0, sus imagenes por σ, σ(u0, v) y σ(u, v0),son curvas en R3 que estan contenidas en S = Imσ. Entonces, Tv(u0, v0) y Tu(u0, v0) son respectivamentelos vectores tangentes a dichas curvas en el punto σ(u0, v0) (vease figura) como sugiere su propia definiciony veremos a continuacion.

44

Tu

Tv

PVF

Proposicion 4.9 Sean σ:D ⊂ R2 → R3 una superficie parametrica simple, regular y S = σ(D). Cualquiercurva regular contenida en S se puede considerar localmente como una curva parametrizada en R

3 de laforma

σ ◦ γ: I ⊂ R → R3

donde γ es una curva parametrizada en R2

γ : I ⊆ R → R2

t �→ γ(t) = (x(t), y(t))

tal que γ(I) ⊂ D. Un vector tangente a la curva σ ◦ γ en el punto t0 es

(σ ◦ γ)′(t0) = Dσ(γ(t0)) ◦ Dγ(t0) =(

Tu Tv

) x′(t0)

y′(t0)

= x′(t0)Tu + y′(t0)Tv

Como vemos el vector tangente se encuentra en el plano definido por los vectores Tu y Tv esto nos proporcionalas siguientes definiciones

Definicion 4.13 Sea S ⊂ R3 una superficie parametrica regular.

1. Se denomina plano tangente a la superficie en un punto al plano que pasa por dicho punto y tienecomo vector caracterıstico el producto vectorial fundamental en el punto.

2. Se denomina recta normal a la recta ortogonal al plano tangente.

La ecuacion del plano tangente a S en el punto σ(a) es:

0 = 〈(x, y, z)−σ(a),Tu(a)∧Tv(a)〉 = (x−σ1)∣∣∣∂(y, z)∂(u, v)

(a)∣∣∣+(y−σ2)

∣∣∣∂(z, x)∂(u, v)

(a)∣∣∣+(z−σ3)

∣∣∣∂(x, y)∂(u, v)

(a)∣∣∣ (4.7)

o, equivalentemente(x, y, z) = σ(a) + λTu(a) + µTv(a)

Una ecuacion vectorial de la recta normal es, por tanto,

(x, y, z) = σ(a) + λTu(a) ∧ Tv(a)

Definicion 4.14 Sea una superficie parametrica regular S ⊂ R3. Una orientacion de la superficie es una

funcion continua que asigna a cada punto de S un vector normal unitario n.

Una superficie dotada con una orientacion se dice que esta orientada.

45

Comentarios

Dada una superficie parametrizada regular, se llama orientacion positiva a la que se obtiene tomando

como vector unitario normal en cada punto n =Tu ∧ Tv

‖Tu ∧ Tv‖ y orientacion negativa a la contraria.

Esta claro, por tanto, que la orientacion dependera de la parametrizacion.

Observese que al dar un vector normal en cada punto de una superficie se estan distinguiendo dossentidos: el del vector y su opuesto, cada uno de los cuales corresponde a una de las orientaciones dela superficie. Por tanto, una superficie tiene, en un entorno de cada punto, solo dos orientaciones, estoes, dos lados.

La orientacion es, en general, una propiedad local. Hay superficies localmente orientables pero no ensu totalidad. Por ejemplo, puede ocurrir que partiendo de un punto donde el vector normal es n, ysiguiendo un camino cerrado sobre la superficie cuando se vuelve al punto de partida dicho vector hacambiado su sentido y es ahora −n. Esto ocurre en la banda de Mobius.

Las superficies que, consideradas en su totalidad, tienen dos lados reciben el nombre de superficiesorientables, en contraposicion a las que solo tienen un lado que son las superficies no orientables

4.5. Superficies regulares en R3

Analogamente a como hicimos para las curvas regulares, en esta seccion daremos otras maneras dedescribir superficies en R

3. Definiremos tambien el concepto de superficie regular y lo estudiaremos para lasdistintas formas de describir una superficie.

Definicion 4.15 Un subconjunto S ⊂ R3 se dice que es una superficie regular si para cada punto a ∈ Sexiste un abierto U de R3, con a ∈ U , y un difeomorfismo ϕ:U → V tal que

ϕ(U ∩ S) = V ∩ (R2 × {0})

Una superficie es por tanto regular si localmente, en cada punto, existe un cambio de variable que la trans-forme en un trozo de plano.

Definicion 4.16 Una superficie en R3 viene dada por

La grafica de toda funcion escalar continua f :A ⊆ R2 → R; esto es

S := graf f = {(x, y, z) ∈ R3 | (x, y) ∈ A, z = f(x, y)}

Se dice, en este caso, que la superficie esta dada en forma explıcita y se expresa mediante la ecuacionz = f(x, y).

Un conjunto nivel de una funcion escalar continua F :B ⊆ R3 → R; esto es

S := {(x, y, z) ∈ R3 | F (x, y, z) = k, k ∈ R}

Se dice, en este caso, que la superficie esta dada en forma implıcita y se expresa mediante la ecuacionF (x, y, z) = k.

Veamos ahora condiciones suficientes para que una superficie explicita o ımplicita sea regular.

Proposicion 4.10 (Condiciones suficientes de regularidad)

46

1. Sea f :A ⊂ R2 → R, con A un abierto de R2 y f de clase C1 entonces la superficie z = f(x, y) esregular en A.

2. Sea F :A ⊂ R3 → R, con A un abierto de R

3 y F de clase C1 y tal que rang JF = 2, entonces lasuperficie F (x, y, z) = 0 es regular.

( Dem. )

1. Basta considerar el cambio de variable

ϕ : A × R −→ A × R

(x, y, z) �→ (x, y, z − f(x, y))

por tanto, ϕ((A× R) ∩ S) = A × {0} y ϕ transforma S en una porcion de plano.

2. Por el teorema de la funcion implıcita, si F es de clase C1 y rang JF = 2 en los puntos de la superficieF (x, y, z) = 0, entonces se tiene alguna de las siguientes opciones z = h1(x, y), y = h2(x, z) o x = h3(y, z)con h1, h2 o h3 de clase C1, por lo que se deduce que, segun lo anterior, se trata de una superficie regular.

Vamos ahora a calcular las ecuaciones del plano tangente y la recta normal a una superficie regular enun punto. Distinguiremos dos casos segun la superficie este dada en forma explıcita o implıcita.

Forma explıcita : S = graf f con z = f(x, y), a ∈ Dom f .

Segun vimos en la ecuacion 3.7 del corolario 3.1 la ecuacion del plano tangente a la superficie S = graf fen el punto de coordenadas (a, f(a)) es

z − f(a) = (x− a1)∂f

∂x(a) + (y − a2)

∂f

∂y(a)

Tambien se puede obtener parametrizando S mediante σ: Domf → R3 con σ(x, y) = (x, y, f(x, y))

que tiene como producto vectorial fundamental

Tx(x, y) ∧ Ty(x, y) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

i j k

1 0∂f

∂x

0 1∂f

∂y

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=(−∂f∂x

,−∂f∂y, 1)

y si recordamos la ecuacion 4.7 se obtiene como ecuacion del plano tangente

−∂f∂x

(a) (x− a1) − ∂f

∂y(a) (y − a2) + (z − f(a)) = 0

y la ecuacion vectorial de la recta normal es

(x, y, z) = (a1, a2, f(a)) + λ(∇f(a),−1)

Forma implıcita : S = {(x, y, z) ∈ R3 | F (x, y, z) = 0}, con a ∈ S.

De acuerdo con la ecuacion 4.2 de el corolario 4.1, la ecuacion del plano tangente a S en a es:

0 = 〈(x, y, z) − (a1, a2, a3),∇F (a)〉 = (x− a1)∂F

∂x(a) + (y − a2)

∂F

∂y(a) + (z − a3)

∂F

∂z(a)

Tambien puede obtenerse como consecuencia del teorema de la funcion ımplicita y siguiendo los pasosindicados en el apartado anterior.

Una ecuacion vectorial de la recta normal es, por tanto,

(x, y, z) = (a1, a2, a3) + λ∇F (a)

Capıtulo 5

Estudio local de funciones en Rn

En este capıtulo se va a estudiar primero el problema de la aproximacion local de funciones por mediodel polinomio de Taylor. Despues trateremos de identificar y clasificar los extremos, locales y absolutos, defunciones de varias variables, tanto de forma libre como con condiciones.

5.1. Formula de Taylor. Expresion del resto.

Vamos a generalizar el desarrollo de Taylor para funciones de varias variables. Dada una funcion f :A ⊆Rn → R y a ∈ A, se trata de encontrar el polinomio de n variables que mejor aproxime la funcion f en un

entorno de a.

Recordemos en primer lugar como es un polinomio Pm(x) con x ∈ Rn y por tanto x = (x1, . . . , xn).

Pm(x) = a0 + a1x1 + . . .+ anxn︸ ︷︷ ︸n terminos

+ a11x1x1 + . . .+ a1nx1xn + . . .+ an1xnx1 . . .+ annxnxn︸ ︷︷ ︸n2 terminos

+ . . . =

= a0 +n∑i=1

aixi +n∑

i1=1

n∑i2=1

ai1i2xi1xi2 + . . .+n∑

i1=1

. . .

n∑im=1

ai1...imxi1 . . . xim

es decir es un polinomio de las variables x1, . . . , xn. Llamaremos grado o orden de un termino a la suma delos exponentes de sus variables y el mayor de los grados sera el grado del polinomio.

Proposicion 5.1 Todo polinomio expresado en potencias de x1, . . . , xn tambien se puede expresar en po-tencias de (x1 − a1) , . . . , (xn − an). Es decir Pm(x) = Qm(x− a) para algun polinomio Qm y cualquiera quesea a ∈ Rn

Se propone como ejercicio comprobarlo para el polinomio P2(x, y) = 6 + x+ 2x2 − 3y2 + 5xy expresandoloen potencias de x− 1 y de y − 1.

Definimos ahora que se entiende por orden de contacto entre dos funciones en un punto.

Definicion 5.1 Sean f, g:A ⊆ Rn → R y a un punto del abierto A. Se dice que estas dos funciones tienenen a un contacto de orden superior a m si

lımx→a

f(x) − g(x)‖x− a‖m = 0, lo que tambien se expresa en la forma f(x) − g(x) = o ( ‖x− a‖m ) cuando x→ a.

47

48

Ejemplo 5.1

Si f es diferenciable en a el polinomio

P1(x) = f(a) +∂f

∂x1(a)(x1 − a1) + . . .+

∂f

∂xn(a)(xn − an)

tiene en a un contacto con f de orden superior a 1 ya que

lımx→a

f(x) − P1(x)‖x− a‖ = 0, (condicion de tangencia)

Vamos a tratar de establecer condiciones para que, dada una funcion f , exista un polinomio de grado mque tenga con f un contacto de orden superior a m en a. Primeramente veamos que si existe este polinomioes unico.

Teorema 5.1 (de unicidad): Sea f :A ⊆ Rn → R, A abierto y a ∈ A. Si existe un polinomio Pm(x) de grado

menor o igual a m tal que f(x) − Pm(x) = o ( ‖x− a‖m ) cuando x→ a este polinomio es unico.

( Dem. )

Supongamos que Pm(x) y Qm(x) son dos polinomios de grado m que satisfacen las condiciones delenunciado, si denotamos con Rm(x) el polinomio diferencia, se tiene

Rm(x) = Pm(x) −Qm(x) = o ( ‖x− a‖m ) cuando x→ a,

es decir,

lımx→a

Rm(x)‖x− a‖m = 0 (5.1)

Por la proposicion 5.1 se tiene

Rm(x) = Bm(x− a) = b0 +n∑i=1

bi (xi − ai) + . . .+n∑

i1=1

. . .

n∑im=1

bi1...im (xi1 − ai1) . . . (xim − aim)

polinomio que en x = a+ th, con t ∈ R y h un vector unitario cualquiera, vale

Rm(a+ th) = b0 +n∑i=1

bihit+n∑

i1=1

n∑i2=1

bi1i2hi1hi2t2 + . . .+

n∑i1=1

. . .

n∑im=1

bi1...imhi1 . . . him tm

con lo que la ecuacion 5.1 queda

lımt→0

b0 +n∑i=1

bihit+n∑

i1=1

n∑i2=1

bi1i2hi1hi2t2 + . . .+

n∑i1=1

. . .

n∑im=1

bi1...imhi1 . . . him tm

|t|m = 0

o lo que es lo mismo

lımt→0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣b0 +

n∑i=1

bihit+n∑

i1=1

n∑i2=1

bi1i2hi1hi2t2 + . . .+

n∑i1=1

. . .

n∑im=1

bi1...imhi1 . . . him tm

tm

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= 0

y por tanto

lımt→0

b0 +n∑i=1

bihit+n∑

i1=1

n∑i2=1

bi1i2hi1hi2t2 + . . .+

n∑i1=1

. . .n∑

im=1

bi1...imhi1 . . . him tm

tm= 0

49

lo que implica b0 = 0. Entonces queda

lımt→0

n∑i=1

bihi +n∑

i1=1

n∑i2=1

bi1i2hi1hi2t + . . .+n∑

i1=1

. . .

n∑im=1

bi1...imhi1 . . . himtm−1

tm−1= 0

y tambien es nulo el coeficiente de t, es decirn∑i=1

bihi = 0.

Ası sucesivamente, deducimos que son nulos todos los coeficientes, obteniendose el sistema.

b0 = 0

n∑i=1

bihi = 0

. . .

n∑i1=1

. . .n∑

im=1

bi1...imhi1 . . . him = 0

como esto ocurre cualquiera que sea el vector h = (h1, . . . , hn), se deduce que b0 = b1 = . . . = bm, luegoRm(x) es el polinomio nulo.

Proposicion 5.2 Sean f :U ⊆ Rn → R de clase Ck, con U abierto a ∈ U y h ∈ R

n. Si l ≤ k se define comoderivada direccional de orden l de f en a segun el vector h

f(l)(a,h) =dl

dtlf(a + th)

∣∣∣∣t=0

(5.2)

y por tanto

f ′(a,h) = Df(a) · h =n∑

i1=1

∂f(a)∂xi1

hi1

f ′′(a,h) =n∑

i1=1

n∑i2=1

∂2f(a)∂xi1∂xi2

hi1hi2

. . .

f(k)(a,h) =n∑

i1=1

. . .

n∑ik=1

∂kf(a)∂xi1 . . . ∂xik

hi1 . . . hik

( Dem. )

Consideremos la siguiente composicion de funciones

I ⊂ Rc−→ U ⊂ R

n f−→ R

t �→ a+ th �→ f(a + th)(5.3)

donde suponemos que a+ th ∈ U, ∀t ∈ I.

Si aplicamos la regla de la cadena en t = 0 se tiene

(f ◦ c)′(0) = Df(c(0)) ◦ Dc(0) =(

∂f(a)∂x1

. . .∂f(a)∂xn

) h1

...hn

=

n∑i1=1

∂f(a)∂xi1

hi1 = f ′(a,h)

50

Como f es de clase Ck reiterando lo anterior para cada una de las funciones∂f

∂xi1se obtiene

(f ◦ c)′′(0) =n∑

i1=1

(∂f

∂xi1

)′(a,h)hi1 =

n∑i1=1

n∑i2=1

∂2f(a)∂xi1∂xi2

hi1hi2 = f ′′(a,h)

si operamos recursivamente y hasta orden k se tiene

(f ◦ c)(k)(0) =n∑

i1=1

. . .

n∑ik=1

∂kf(a)∂xi1 . . . ∂xik

hi1 . . . hik = f(k)(a,h)

Con las mismas hipotesis que en la proposicion 5.2, llamamos polinomio de Taylor de f en a de grado≤ k respecto de las componentes de h = (h1, . . . , hn) a

Pk(f, a,h) = f(a) + f ′(a,h) + . . .+f(k)(a,h)

k!

Teorema 5.2 (de Taylor): Sea f :U → R con U ⊂ Rn abierto, tal que el segmento [a, a + th] ⊂ U , para

0 ≤ t ≤ 1. Si f es una funcion de clase Ck+1 en U entonces

f(a + h) = Pk(f, a,h) +Rk(f, a,h), formula de Taylor

donde el termino complementario o resto de Lagrange Rk(f, a,h) verifica que

Rk(f, a,h) =1

(k + 1)!f(k+1)(a,h).

para un cierto punto a perteneciente al segmento [a, a+ h], por consiguiente:

Rk(f, a,h) = O( ‖h‖k+1

)cuando h → 0.

( Dem. )

Si consideramos la composicion 5.3 la funcion f ◦ c es una funcion real de clase Ck+1 y cuyas derivadasconocemos por la proposicion 5.2 y a la que podemos aplicar el desarrollo de Taylor para funciones reales devariable real en t = 0

(f ◦ c)(t) = (f ◦ c)(0) + (f ◦ c)′(0)t+12!

(f ◦ c)′′(0)t2 + . . .+1k!

(f ◦ c)(k)(0)tk +1

(k + 1)!(f ◦ c)(k+1)(λ)tk.

para algun λ que cumpla 0 < λ < t. En particular si calculamos el valor de esta expresion en t = 1, yutilizamos la expresion 5.2, se tiene

(f ◦ c)(1) = f(a + h) = f(a) + f ′(a,h) + . . .+f(k)(a,h)

k!+f(k+1)(a,h)

(k + 1)!(5.4)

donde a es algun punto del segmento [a, a+ h].

Comentarios

Observese que la formula de Taylor queda por tanto

f(a + h) = f(a) +n∑

i1=1

∂f(a)∂xi1

hi1 +12!

n∑i1=1

n∑i2=1

∂2f(a)∂xi1∂xi2

hi1hi2 + . . .+

1(k + 1)!

n∑i1=1

. . .

n∑ik+1=1

∂k+1f(a)∂xi1 . . . ∂xik+1

hi1 . . . hik+1

51

o tambien si hacemos a + h = x

f(x) = f(a) +n∑

i1=1

∂f(a)∂xi1

(xi1 − ai1) +12!

n∑i1=1

n∑i2=1

∂2f(a)∂xi1∂xi2

(xi1 − ai1) (xi2 − ai2) + . . .+

1(k + 1)!

n∑i1=1

. . .n∑

ik+1=1

∂k+1f(a)∂xi1 . . . ∂xik+1

(xi1 − ai1) . . . (xik+1 − aik+1 )

Los coeficientes de los terminos de primer grado del polinomio de Taylor son los elementos de la matrizjacobiana de f en a. Asımismo los coeficientes de los terminos de orden dos, salvo el factor 1/2, son loselementos de la matriz Hessiana de f en a. El desarrolo Taylor se puede expresar mediante

f(a+h) = f(a)+(∂f(a)∂x1

. . .∂f(a)∂x1

) h1...hn

+

12

(h1 . . . hn )

∂2f(a)∂x2

1

. . .∂2f(a)∂x1∂xn

......

∂2f(a)∂xn∂x1

. . .∂2f(a)∂x2

n

h1

...hn

+. . .

Corolario 5.1 Con las mismas hipotesis que el teorema de Taylor si f es de clase Ck se verifica

f(a + h) = Pk(f, a,h) + Rk(f, a,h), donde Rk(f, a,h) = o( ‖h‖k ) , cuando h → 0

( Dem. ) Si aplicamos el teorema de Taylor se tiene

f(a + h) = Pk−1(f, a,h) + Rk−1(f, a,h), donde Rk−1(f, a,h) =1k!f(k)(a,h). (5.5)

por otro lado

lımh→0

f(k)(a,h) − f(k)(a,h)‖h‖k =

n∑i1=1

. . .

n∑ik=1

(∂kf(a)

∂xi1 . . . ∂xik− ∂kf(a)∂xi1 . . . ∂xik

)hi1‖h‖ . . .

hik‖h‖ = 0

se ha tenido en cuenta que como f es de clase Ck sus derivadas de orden k son continuas en a y quehi‖h‖

estan acotadas.

Por tanto

f(k)(a,h)− f(k)(a,h) = o( ‖h‖k ) =⇒ f(k)(a,h) = f(k)(a,h) + o

( ‖h‖k ) cuando h→ 0

que llevado a la expresion 5.5 completa la demostracion.

Teorema 5.3 (del valor medio): Sea f :U ⊂ Rn → R, de clase C1, con U abierto, tal que el segmento queune a con x este contenido en U , esto es a+ λx ⊂ U , para 0 ≤ λ ≤ 1. Entonces existe un punto ζ, en dichosegmento tal que

f(x) − f(a) = ∇f(ζ) · (x− a)

( Dem. ) Basta considerar el polinomio de Taylor de grado 0 y su correspondiente resto.

5.2. Extremos locales

5.2.1. Formas cuadraticas

Antes de comenzar el estudio de los extremos de funciones de varias variables vamos a recordar algunaspropiedades de las formas cuadraticas.

52

Definicion 5.2 Sean E un espacio vectorial real con producto escalar (por ejemplo Rn), {e1, . . . , en} unabase de E y A ∈ Mn×n una matriz real de orden n simetrica. Se denomina forma cuadratica asociada a lamatriz A respecto de la base {e1, . . . , en}, a la aplicacion

A : E → R

x =n∑i=1

xiei �→ A(x) =n∑i=1

n∑j=1

aijxixj

es decir,

A(x) = (x1 . . . xn )

a11 . . . a1n

......

an1 . . . ann

x1

...xn

Definicion 5.3 Sea A:E → R una forma cuadratica, se dice que es

1. A es definida positiva si A(x) > 0, ∀x ∈ E, tal que x �= 0 .

2. A es definida negativa si A(x) < 0, ∀x ∈ E, tal que x �= 0 .

3. A es indefinida si A(x) > 0, para algun x ∈ E y A(y) < 0, para algun y ∈ E .

Puede ser tambien semidefinida positiva si ∀x, A(x) ≥ 0. Igualmente se define semidefinida negativa.

Veamos ahora diferentes criterios para determinar si se trata de una forma cuadratica definida positivao negativa.

Proposicion 5.3 Sea A una forma cuadratica.

1. A es definida positiva ⇐⇒ ∃λ > 0 tal que A(x) > λ‖x‖2 ∀x �= 0 .

2. A es definida negativa ⇐⇒ ∃λ < 0 tal que A(x) < λ‖x‖2 ∀x �= 0 .

( Dem. )

1. A:E → R es un polinomio de grado 2 en n variables y por tanto es una funcion continua en E. Elconjunto {x ∈ E | ‖x‖ = 1} es un compacto, luego A tiene sobre este conjunto un mınimo, sea λ es mınimo.Entonces, si suponemos que A es definida positiva este valor λ = A(x0), donde ‖x0‖ = 1 ha de ser positivoy

∀x ∈ E x �= 0 A(x) = A(

x

‖x‖‖x‖)

= ‖x‖2A(

x

‖x‖)

≥ λ‖x‖2

el recıproco es inmediato.

2. Se demuestra analogamente.

Proposicion 5.4 (Criterio de Silvester:) Sea A una forma cuadratica simetrica asociada a la matriz

A =

a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

...an1 an2 . . . ann

y sean ∆i sus menores diagonales principales

∆1 = a11, ∆2 =∣∣∣∣a11 a12

a21 a22

∣∣∣∣ , ∆3 =

∣∣∣∣∣∣a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣ , . . . ∆n = detA =

∣∣∣∣∣∣∣∣a11 a12 . . . a1n

a21 a22 . . . a2n...

...an1 an2 . . . ann

∣∣∣∣∣∣∣∣Entonces

53

1. A es definida positiva ⇐⇒ ∆i > 0 ∀i, i = 1, 2 · · · , n2. A es definida negativa ⇐⇒ (−1)i∆i > 0 ∀i, i = 1, 2 · · · , n

Un criterio equivalente y algo mas preciso es el siguiente:

Proposicion 5.5 (Criterio de los valores propios:) Sea A:E → R una forma cuadratica simetrica asociadaa la matriz A. Por ser A simetrica sus valores propios son todos reales. Entonces

1. A es definida positiva ⇐⇒ los valores propios de A son estrictamente positivos.

2. A es definida negativa ⇐⇒ los valores propios de A son estrictamente negativos.

3. A es indefinida ⇐⇒ A tiene valores propios positivos y negativos.

4. A es semidefinida positiva ⇐⇒ los valores propios de A son ≥ 0.

5. A es semidefinida negativa ⇐⇒ los valores propios de A son ≤ 0.

5.2.2. Extremos locales de funciones. Puntos crıticos.

Como en el caso de funciones de una variable, se define:

Definicion 5.4 Sea f :A ⊆ Rn → R, con A abierto y a ∈ A. Se dice que f tiene en a un

1. mınimo local si existe Br(a) ⊂ A tal que f(x) ≥ f(a), ∀x ∈ Br(a).

2. maximo local si existe Br(a) ⊂ A tal que f(x) ≤ f(a), ∀x ∈ Br(a).

En ambos casos se dice que f tiene en a un extremo local. Si las desigualdades son estrictas, se denominaextremo local estricto.

Una primera caracterizacion de los extremos locales viene dada por la siguiente proposicion:

Proposicion 5.6 Sea f :A ⊆ Rn → R, A abierto y a ∈ A, tal que f es diferenciable en a. Si f presenta unextremo local en a entonces Df(a) = 0

( Dem. ) El segmento c(t) = a + tv, t ∈ (−δ, δ) esta contenido en el abierto A para algun valor de δ ycualquiera que sea v, como f presenta un extremo local en a entonces la funcion f ◦ c tiene en t = 0 unextremo, luego

0 = (f ◦ c)′(0) = Df(c(0)) · c′(0) = Df(c(0)) · v (∀v)

es decir, todas las derivadas direccionales en a son nulas, luego tambien lo son las derivadas parciales y, portanto, Df(a) = 0.

Definicion 5.5 Sea f :A ⊆ Rn → R, A abierto y a ∈ A, tal que f es diferenciable en a. Se dice que a es unpunto crıtico si Df(a) = 0

Por consiguiente, vemos que si f es diferencible todos los extremos locales son puntos crıticos, pero noal reves. Entonces:

Definicion 5.6 Sea f :A ⊆ Rn → R, A abierto y a ∈ A, tal que f es diferenciable en a. Si a es un puntocrıtico de f pero no es un extremo se dice que es un punto de silla.

Ası pues, si a es un punto de silla de f , en cualquier entorno de a hay puntos donde la funcion tomavalores mayores que f(a) y puntos donde la funcion toma valores menores que f(a).

54

5.2.3. Condicion suficiente de extremo

Vamos a estudiar diferentes criterios para determinar si un punto crıtico de una funcion es un maximo omınimo locales o un punto de silla.

Sea f :A ⊆ Rn → R A abierto, a ∈ A y f de clase C2. Denotaremos por Hf(a) la forma cuadraticaasociada a la matriz hessiana Hf(a) que con las restricciones impuestas a f es simetrica

Hf(a) =

∂2f(a)∂x2

1

. . .∂2f(a)∂x1∂xn

......

∂2f(a)∂xn∂x1

. . .∂2f(a)∂x2

n

Estudiaremos ahora cuando esta forma es definida, positiva o negativa, semidefinida o indefinida y larelacion que puede tener con el comportamiento de la funcion en a. Enunciamos la siguiente proposicion

Proposicion 5.7 Sea f :A ⊆ Rn → R de clase C2, A abierto y a ∈ A un punto crıtico de f, entonces:

1. Si Hf(a) es una forma cuadratica definida positiva entonces f presenta un mınimo local estricto en a.

2. Si Hf(a) es una forma cuadratica definida negativa entonces f presenta un maximo local estricto ena.

3. Si Hf(a) es una forma cuadratica indefinida entonces f presenta un punto de silla en a.

4. En los demas casos, esto es si Si Hf(a) es una forma cuadratica semidefinida entonces no podemosdecidir sobre el caracter de f en el punto crıtico. Sera preciso recurrir a otros procedimientos.

( dem. )

1. Como f es de clase C2, por el corolario 5.1 sabemos que

f(x) = f(a) + ∇f(a) · (x− a) +12Hf(a)(x − a) + o

( ‖x− a‖2), cuando x → a

donde Hf(a) es la forma cuadratica asociada con la matriz hessiana de f en a, y como a es puntocrıtico la igualdad anterior podemos ponerla en la forma

f(x) − f(a) =12Hf(a)(x − a) + o

( ‖x− a‖2), cuando x→ a

expresion en la que si consideramos que Hf(a) es una forma cuadratica definida positiva, y por tantode acuerdo con la proposicion 5.3, existe λ > 0 tal que Hf(a)(x − a) > λ‖x− a‖2, se tiene:

f(x) − f(a) >12λ‖x− a‖2 + o

( ‖x− a‖2)

=⇒ lımx→a

f(x) − f(a)‖x− a‖2

>12λ + lım

x→a

o( ‖x− a‖2

)‖x− a‖2

como lımx→a

o( ‖x− a‖2

)‖x− a‖2

= 0, existe un entorno de a en el que f(x) − f(a) > 0, esto es f tiene en a un

mınimo local estricto.

Analogamente los demas casos.

Si tenemos en cuenta la proposicion anterior y el criterio de Silvester se tiene el siguiente resultado

Proposicion 5.8 Sea f :A ⊆ Rn → R de clase C2, A abierto y a ∈ A un punto crıtico de f. Sean ∆i los

menores diagonales principales de la matriz hessiana de f en a, entonces:

55

1. Si ∆i > 0 para i = 1, . . . , n, entonces f presenta en a un mınimo local estricto.

2. Si (−1)i∆i > 0 para i = 1, . . . , n, entonces f presenta en a un maximo local estricto.

3. Si no se cumplen ninguno de los casos anteriores, pero ∆n �= 0, entonces f presenta en a un punto desilla.

4. En los demas casos no se puede decidir mediante este criterio sobre el caracter del punto crıtico a.

( dem. )

1. Si ∆i > 0 para i = 1, . . . , n, la forma cuadratica Hf(a) es definida positiva.

2. En este caso se tiene una forma cuadratica definida negativa.

3. Si no se cumplen ninguno de los casos anteriores, la forma cuadratica es indefinida, ya que al ser ∆n �= 0no tiene el valor propio 0, y por tanto se tiene un punto de silla.

Si en vez de utilizar el criterio de Silvester nos basamos en el criterio de los valores propios se tiene elsiguiente resultado

Proposicion 5.9 Sea f :A ⊆ Rn → R de clase C2, A abierto y a ∈ A un punto crıtico, entonces:

1. Si todos los valores propios de la matriz hessiana de f en a son estrictamente positivos entonces fpresenta un mınimo local estricto en a.

2. Si todos los valores propios de la matriz hessiana de f en a son estrictamente negativos entonces fpresenta un maximo local estricto en a.

3. Si la matriz hessiana de f en a tiene valores propios positivos y negativos, f tiene en a un punto desilla.

4. En los demas casos no se puede decidir mediante este criterio sobre el caracter del punto crıtico a.

5.3. Extremos condicionados locales. Multiplicadores de Lagrange

Hemos estudiado el problema de determinar los extremos locales de una funcion en todo su dominio,ahora se trata de hallar los extremos de la funcion sobre un conjunto de puntos del dominio, que estarangeneralmente especificados por medio de una o varias expresiones.

Definicion 5.7 Sean f :A ⊆ Rn → R, a ∈ A, G:A ⊆ Rn → Rm definida por G(x) = (g1(x), . . . , gm(x)), con

m < n, y S el conjunto de puntos de Rn que satisface el sistema de ecuaciones

g1(x) = 0. . .gm(x) = 0

.

Supongamos que G(a) = 0. Entonces

1. Se dice que f presenta en a un mınimo condicionado a G(x) = 0, si ∃Br(a) ⊂ A tal que, ∀x ∈ Br(a)∩S,se tiene que f(x) ≥ f(a).

2. Se dice que f presenta en a un maximo condicionado a G(x) = 0, si ∃Br(a) ⊂ A tal que, ∀x ∈ Br(a)∩S,se tiene que f(x) ≤ f(a).

En cualquier caso se dice que f |S presenta un extremo condicionado en a.

Las relaciones g1(x) = . . . = gm(x) = 0 se denominan condiciones o ligaduras.

56

Comentarios :

Observese que las ligaduras seleccionan puntos en el dominio A de f , los pertenecientes a los conjuntosde nivel cero de las funciones g1, . . . , gm que, en los casos que nos interesaran, seran, generalmentecurvas o superficies.

Los extremos libres de una funcion no son necesariamente extremos condicionados, ni recıprocamente.

Para determinar los extremos locales de una funcion restringida a un subconjunto es util es siguienteteorema.

Teorema 5.4 Sean f :A ⊂ Rn → R, A abierto y S ⊂ A, la funcion g: T ⊂ Rm → Rn, con T abierto,continua y tal que g(T ) = S. Entonces, si x0 ∈ S es un extremo local de f |S y g(t0) = x0, t0 es un extremolocal libre de f ◦ g.

( Dem. ) Lo haremos para el caso de un mınimo si fuera un maximo el proceso es analogo. Si x0 ∈ S esun mınimo local de f |S existe la bola Bε(x0) en Rn tal que f(x) ≥ f(x0), ∀x ∈ Bε(x0) ∩ S.

Al ser g continua en T y g(T ) ⊂ S, existe Bδ(t0) en Rm tal que g(Bδ(t0)) ⊂ Bε(x0)∩S, luego ∀t ∈ Bδ(t0)se tiene (f ◦ g)(t) ≥ (f ◦ g)(t0), lo que prueba que t0 es mınimo local de f ◦ g.

Veamos, como consecuencia, una manera de determinar los extremos de una funcion restringida a lospunto de una curva en R2 o una superficie en R3.

Corolario 5.2

1. Sean f :A ⊂ R2 → R y α: (a, b) → R

2 una parametrizacion de un camino Γ en A. Si f |Γ tiene enα(t0) ∈ Γ un extremo local, entonces f ◦ α: (a, b) → R tiene un extremo local en t0.

En particular para f y α funciones diferenciables se tiene (f ◦ α)′(t0) = 0.

2. Sean f :A ⊂ R3 → R y σ:D ⊂ R2 → R3 una parametrizacion de una superficie S en A. Si f |S tieneen σ(u0) ∈ S un extremo local, entonces f ◦ σ:D→ R tiene un extremo local en u0.

En particular para f y σ funciones diferenciables se tiene ∇(f ◦ α)(u0) = 0.

5.3.1. Metodo de los multiplicadores de Lagrange

Otra forma alternativa para la determinacion de extremos condicionados nos la proporciona el metodode los multiplicadores de Lagrange que se basa en el siguiente teorema

Teorema 5.5 (de Lagrange) Sean f :A ⊆ Rn → R, A abierto, a ∈ A, y G:A ⊆ Rn → Rm definida porG(x) = (g1(x), . . . , gm(x)), con m < n, tales que f y G sean de clase C1 y el rango de JG es maximo.

Entonces, si f tiene en a un extremo local restringido al conjunto S = {x ∈ A| G(x) = 0}, existenλ1, . . . , λm ∈ R tales que

∇f(a) = λ1∇g1(a) + . . .+ λm∇gm(a)

Los coeficientes λ1, . . . , λm se denominan multiplicadores de Lagrange.

( Dem. ) Haremos la demostracion para el caso de una sola ligadura g:A ⊂ R3 → R.

Sea a un extremo local de f restringido al conjunto S = {x ∈ A| g(x) = 0}, entonces g(a) = 0 y ademas,como sabemos ∇g(a) es un vector ortogonal a la superficie S en el punto a.

Sean Γ una curva cualquiera en S que pase por a y α: I → R3 una parametrizacion. Como a es unextremo local de f restringido a S entonces, si α(t0) = a, como consecuencia del apartado 1. del corolario5.2 se tiene

0 = (f ◦ α)′(t0) = Df(a)(α′(t0)) = ∇f(a) ·α′(t0)

57

Luego el vector ∇f(a) es ortogonal al vector tangente a la curva Γ en a, para cualquier curva. Por tanto si∇f(a) es perpendicular a todas las curvas de S que pasan por a, es ortogonal a S en a, ası pues

∇f(a) = λ∇g(a).

El metodo de los multiplicadores de Lagrange consiste en hallar los puntos x = (x1, . . . , xn) que seansolucion del sistema de n+m ecuaciones e incognitas: las n coordenadas xi y los m multiplicadores λj

g1(x) = 0. . .gm(x) = 0

m ecuaciones.

∇f(x) = λ1∇g1(x) + . . .+ λm∇gm(x) n ecuaciones.

Si las funciones verifican las hipotesis del teorema y f tiene extremos locales restringidos al cojnjuntoS = {x ∈ A| G(x) = 0}, seran algunas de las soluciones del sistema anterior.

Observaciones:

1. En el caso que haya extremos locales f |S en puntos donde JG no tenga rango maximo puede ser queestos puntos no aparezcan por este metodo.

2. El sistema puede ser incompatible si:

No son compatibles las ligaduras. En cuyo caso S = Ø (el problema esta mal planteado).

Ejemplo 5.2 : g1(x, y, z) ≡ x2 + y2 − z = 0; g2(x, y, z) ≡ 1 + z = 0.

No tiene la funcion extremos condicionados a las ligaduras dadas.

Ejemplo 5.3 : f(x, y) = x2y; g(x, y) ≡ 1 − xy = 0.Observemos que si parametrizamos la ligadura por:

α: (−∞, 0) → R2 y β: (0,+∞) → R2

t �→(t,

1t

)t �→

(t,

1t

)dado que f ◦ α = t es creciente y f ◦ β = t tambien es creciente, f no tiene extremo local eng(x, y) = 0.

3. El sistema puede ser indeterminado. Por ejemplo en el caso en que la ligadura es una superficie denivel de la funcion a extremar. En este caso ∇f(x) = ∇g(x) en todo punto de la condicion y por tantotodos los puntos de la ligadura son solucion.

Ejemplo 5.4 : f(x, y) = x2 − y2; g(x, y) ≡ x+ y = 0.

Se tiene que ∇f(x, y) = (2x,−2y) y ∇g(x, y) = (1, 1). Para cualquier punto de la condicion g(x, y) = 0existe λ tal que ∇f(x, y) = λ∇g(x, y).

4. En el caso de que se obtenga λ1 = . . . = λm = 0, entonces ∇f(a) = 0, lo cual significa que la funciontiene un punto crıtico en a independientemente de las condiciones.

Ejemplo 5.5 : f(x, y) = x2 + y2 + 1; g(x, y) ≡ y = 0.

El sistema da como solucion λ = 0 y (x, y) = (0, 0), que es un mınimo local de f sin la restriccion,como se puede comprobar.

58

5.4. Extremos absolutos

Definicion 5.8 Sea f :A ⊂ Rn → R, A un subconjunto cualquiera. Se dice que f tiene en x0 un maximoabsoluto si f(x0) ≥ f(x), ∀x ∈ A.

Analogamente se define mınimo absoluto.

Sabemos que si f :A ⊂ Rn → R es una funcion continua y A es un compacto (cerrado y acotado), f

tiene extremos absolutos en A. Es decir, existen puntos en A en los que la funcion alcanza un maximo ypuntos en los que alcanza un mınimo. Nos proponemos dar un procedimiento para encontrar dichos puntos,limitandonos a los casos en A ⊂ R2 o A ⊂ R3, en ambos supondremos que f es diferenciable en A.

Si A ⊂ R2 y si suponemos que la frontera de A la constituyen un numero finito de curvas regulares Γi,

procederemos de la siguiente forma

1. Determinamos los puntos crıticos de f en IntA.

2. Determinar los extremos condicionados de f |Γi bien parametrizando la curva o bien mediante losmultiplicadores de Lagrange.

3. Determinar los valores que toma f en cada uno de los puntos obtenidos y en los puntos de cortede las curvas Γi

Los puntos en que f tiene el mınimo valor son los puntos de mınimo absoluto, analogamente para lospuntos de maximo.

Si A ⊂ R3 y si suponemos que la frontera de A la constituyen un numero finito de superficies regulares

Si, el procedimiento es

1. Determinamos los puntos crıticos de f en IntA.

2. Determinar los extremos condicionados de f |Si bien parametrizando la superficie o bien mediantelos multiplicadores de Lagrange.

3. Determinar los extremos condicionados a las curvas interseccion de las superficies que pertenezcana la frontera de A, es decir extremos de f |Si∩Sj .

4. Determinar los valores que toma f en cada uno de los puntos obtenidos y en los puntos de cortede las curvas interseccion de las superficies.

Los puntos en que f tiene el mınimo valor son los puntos de mınimo absoluto, analogamente para lospuntos de maximo.

Capıtulo 6

Integracion de campos escalares en Rn

6.1. Introduccion

En la asignatura de Calculo se estudio el concepto de la integral∫ b

a

f(x) dx para funciones f : R → R. En

este capıtulo comenzaremos estudiando el concepto de integral, para funciones f : R2 → R, sobre un conjuntoQ ⊂ R2 llamado region de integracion. Posteriormente extenderemos la idea de integracion para funcionesf : Rn → R sobre regiones Q ⊂ Rn.

Primeramente consideraremos regiones Q rectangulares y luego trataremos sobre la integracion extendidaa regiones mas generales. En el caso de funciones f : R2 → R la integral que resulta se denomina integraldoble y se representa por ∫ ∫

Q

f o∫ ∫

Q

f(x, y)dxdy

6.2. Integral doble

6.2.1. Particion de rectangulos. Funciones escalonadas

Sea Q el rectangulo

Q = [a, b]× [c, d] = {(x, y) ∈ R2 | x ∈ [a, b] e y ∈ [c, d]}

Consideremos dos particiones P1 = {x0, x1, . . . , xn} y P2 = {y0, y1, . . . , ym} de [a, b] y [c, d] respectivamente(vease figura 6.1).

El producto cartesiano P1 × P2 es una particion de Q. La particion P1 × P2 descompone Q en n ×msubrectangulos. Una particion P ′ de Q se dice que es mas fina que P si P ⊆ P ′, esto es si todo punto de Pesta en P ′.

Definicion 6.1 Una funcion f :Q ⊂ R2 → R, donde Q es un rectangulo, se llama escalonada si existe unaparticion P de Q tal que, en cada uno de los subrectangulos abiertos de P f tiene un valor constante.

Los valores que pueda tomar la funcion en la frontera de cada uno de los subrectangulos, no tienen impor-tancia en la teorıa de integracion, como veremos posteriormente.

Proposicion 6.1 Si f y g son dos funciones escalonadas sobre el rectangulo Q entonces αf + βg tambienes una funcion escalonada en Q para todo α y β reales.

59

60

Figura 6.1: Particion de Q en subrectangulos.

( Dem. ) Sean P y P ′ dos particiones de Q tales que f y g son constantes en cada uno de lossubrectangulos abiertos de P y P ′ respectivamente. Entonces αf + βg es constante en los subrectangulosabiertos de una particion que contenga a P y P ′, en particular P ∪ P ′.

Corolario 6.1 El conjunto de las funciones escalonadas en Q es un espacio vectorial.

6.2.2. Integral doble de una funcion escalonada

Definicion 6.2 Sea f :Q ⊂ R2 → R una funcion escalonada en Q que toma el valor constante cij en cada

subrectngulo abierto (xi−1, xi) × (yj−1, yj) de una particion P de Q (vease figura 6.2). Definimos comointegral de f en Q a ∫ ∫

Q

f =n∑i=1

m∑j=1

cij (xi − xi−1) (yj − yj−1)

Observemos que el valor de la integral no cambia si se sustituye la particion P por otra mas fina P ′.

Proposicion 6.2 Sea f :Q ⊂ R2 → R una funcion escalonada en el rectangulo Q = [a, b]× [c, d], entonces

∫ ∫Q

f(x, y) dxdy =∫ d

c

[ ∫ b

a

f(x, y) dx

]dy =

∫ b

a

[ ∫ d

c

f(x, y) dx

]dx

( Dem. ) En efecto, sea P = {x0, x1, . . . , xn}×{y0, y1, . . . , ym} una particion de Q tal que f(x, y) = cij

para todo (x, y) ∈ (xi−1, xi) × (yj−1, yj). Consideremos la funcion A(y) =∫ b

a

f(x, y) dx, que viene definidapor

A(y) =

c11(x1 − a) + c21(x2 − x1) + . . .+ cn1(b − xn−1) si c < y < y1c12(x1 − a) + c22(x2 − x1) + . . .+ cn2(b − xn−1) si y1 < y < y2

. . .c1m(x1 − a) + c2m(x2 − x1) + . . .+ cnm(b− xn−1) si ym−1 < y < d

entonces

61

Figura 6.2: Grafo de una funcion escalonada en Q.

∫ b

a

A(y) dy = [c11(x1 − a) + c21(x2 − x1) + . . .+ cn1(b− xn−1)] (y1 − c)+

[c12(x1 − a) + c22(x2 − x1) + . . .+ cn2(b− xn−1)] (y2 − y1)+. . .[c1m(x1 − a) + c2m(x2 − x1) + . . .+ cnm(b − xn−1)] (d− ym−1) =n∑i=1

m∑j=1

cij (xi − xi−1) (yj − yj−1)

Las siguientes propiedades de la integral doble se siguen de la proposicion anterior y de las correspondi-entes propiedades en integrales unidimensionales.

Proposicion 6.3 Sean f, g:Q ⊂ R2 → R funciones escalonadas en el rectangulo Q se cumple:

1. Linealidad ∫ ∫Q

(αf(x, y) + βg(x, y)) dxdy = α

∫ ∫Q

f(x, y) dxdy + β

∫ ∫Q

g(x, y) dxdy

2. Aditividad Si Q esta subdividido en dos rectangulos Q1 y Q2 se tiene∫ ∫Q

f(x, y) dxdy =∫ ∫

Q1

f(x, y) dxdy +∫ ∫

Q2

f(x, y) dxdy

3. Si f(x, y) ≤ g(x, y), ∀(x, y) ∈ Q, entonces∫ ∫Q

f(x, y) dxdy ≤∫ ∫

Q

g(x, y) dxdy

y en particular, si f(x, y) ≥ 0, ∀(x, y) ∈ Q se tiene∫ ∫Q

f(x, y) dxdy ≥ 0

62

6.2.3. Integral doble de funciones acotadas

.

Sea f :Q ⊂ R2 → R una funcion acotada en el rectangulo Q. Si s, t:Q ⊂ R2 → R son dos funcionesescalonadas en el rectangulo Q tales que s(x, y) ≤ f(x, y) ≤ t(x, y), ∀(x, y) ∈ Q, decimos que s esta pordebajo de f en Q y que t esta por encima de f en Q, y se denota por s ≤ f ≤ t.

Sean S ={∫ ∫

Q

s, tal que s es escalonada en Q con s ≤ f

}y

T ={∫ ∫

Q

t, tal que t es escalonada en Q con f ≤ t

}

Observemos que S y T no son vacios. En efecto, existen siempre funciones escalonadas en Q por encimay por debajo de f . Por ser f acotada en Q, existe M > 0 tal que |f(x, y)| ≤M, ∀(x, y) ∈ Q, y por tanto setiene −M ≤ f ≤M .

Por otra parte para cualesquiera funciones escalonadas s y t tales que s ≤ f ≤ t se tiene∫ ∫Q

s ≤∫ ∫

Q

t

Por tanto, S es un subconjunto de R acotado superiormente por cualquier elemento de T . Y analogamenteT es un subconjunto de R acotado inferiormente por cualquier elemento de S. Ası pues, S tiene extremosuperior y T tiene extremo inferior y se cumple∫ ∫

Q

s ≤ sup S ≤ inf T ≤∫ ∫

Q

t

para toda s y t, funciones escalonadas, que cumplan s ≤ f ≤ t.

Definicion 6.3

1. Se denomina integral inferior de f en Q al sup S, lo denotaremos por∫ ∫

Q

f

2. Se denomina integral superior de f en Q al inf T , lo denotaremos por∫ ∫

Q

f

3. Se dice que f es integrable en Q si sup S = inf T y entonces∫ ∫

Q

f =∫ ∫

Q

f =∫ ∫

Q

f

Se puede observar que si f es una funcion acotada en Q, existen siempre las integrales inferior y superiorde f en Q. Las propiedades de la proposicion anterior se cumplen tambien para integrales dobles de funcionesacotadas sobre un rectangulo Q.

Es interesante saber cuando una integral doble puede calcularse mediante integraciones unidimensionalesreiteradas. De esta forma las tecnicas de integracion en una variable estudiadas en Calculo se pueden aplicaren el calculo de integrales dobles.

Teorema 6.1 (de Fubini para funciones acotadas en Q).

Sea Q = [a, b]× [c, d] y f :Q ⊂ R2 → R una funcion definida y acotada en Q. Supongamos que exista la

integral de f en Q. Entonces

63

1. Si ∀y ∈ [c, d] existe la integral∫ b

a

f(x, y) dx, se cumple que

∫ ∫Q

f(x, y) dxdy =∫ d

c

[∫ b

a

f(x, y) dx

]dy

2. Si ∀x ∈ [a, b] existe la integral∫ d

c

f(x, y) dy, se cumple que

∫ ∫Q

f(x, y) dxdy =∫ b

a

[∫ d

c

f(x, y) dy

]dx

Comentarios: El teorema afirma que si f es integrable en Q y si existe la funcion A(y) =∫ b

a

f(x, y) dx, ∀y ∈ [c, d], entonces esta funcion es integrable en el intervalo [c, d] y se cumple

∫ d

c

A(y) dy =∫ ∫

Q

f(x, y) dxdy

Lo mismo para el otro caso.

Nos interesa conocer ahora que funciones son integrables en un rectangulo.

Teorema 6.2 Sea Q = [a, b]× [c, d] y f :Q ⊂ R2 → R una funcion continua. Entonces f es integrable sobreQ y se cumple ∫ ∫

Q

f(x, y) dxdy =∫ d

c

[∫ b

a

f(x, y) dx

]dy =

∫ b

a

[∫ d

c

f(x, y) dy

]dx

( Dem. ) Por ser f continua en el compacto Q, esta acotada y por tanto existen∫ ∫

Q

f y∫ ∫

Q

f .

Tenemos que ver que son iguales.

Como Q es un compacto y f es continua en Q entonces es uniformemente continua, luego para cada ε > 0existe una particion en un numero finito de subrectangulos I1, . . . , In tales que la variacion de f en cadauno de ellos es menor que ε. Sean Mi(f) y mi(f) el maximo y mınimo absolutos de f en cada rectanguloIi, 1 ≤ i ≤ n de la particion, que existen por ser una funcion continua en un compacto (Vease figura 6.3).

Se tiene Mi(f) −mi(f) < ε, para i = 1, . . . , n.

Sean s y t dos funciones escalonadas tales que s ≤ f ≤ t, ∀(x, y) ∈ Q definidas por s(x, y) = mi(f) yt(x, y) = Mi(f), ∀(x, y) ∈ Int Ii. Entonces∫ ∫

Q

s =n∑i=1

mi(f)a(Ii) y∫ ∫

Q

t =n∑i=1

Mi(f)a(Ii)

donde a(Ii) es el area del rectangulo Ii.∫ ∫Q

s−∫ ∫

Q

t =n∑i=1

(Mi(f) −mi(f)) a(Ii) < ε

n∑i=1

a(Ii) = ε a(Q), a(Q) = area de Q

Como ∫ ∫Q

s ≤∫ ∫

Q

f ≤∫ ∫

Q

f

∫ ∫Q

t

se tiene

0 ≤∫ ∫

Q

f −∫ ∫

Q

f ≤ ε a(Q) ∀ε > 0

64

Figura 6.3: Infimo y supremo de f en Ii.

luego∫ ∫

Q

f =∫ ∫

Q

f y por tanto existe∫ ∫

Q

f .

La segunda afirmacion del teorema se deduce del teorema de Fubini, pues si f es continua en Q, la funcion

Φy(x) = f(x, y) es continua en [a, b] para cada y ∈ [c, d]. Luego ∀ y ∈ [c, d] existe∫ b

a

f(x, y) dx.

6.2.4. Interpretacion geometrica de la integral doble.

Sea Q = [a, b]× [c, d] y f :Q ⊂ R2 → R una funcion continua no negativa. Entonces∫ ∫

Q

f(x, y) dxdy es

el volumen de la region V = {(x, y, z) ∈ R3 | (x, y) ∈ Q y 0 ≤ z ≤ f(x, y)} (Vease figura 6.4).

Figura 6.4: Volumen de V .

65

En efecto, sabemos que∫ ∫

Q

f(x, y) dxdy =∫ d

c

[∫ b

a

f(x, y) dx

]dy.

Para cada y ∈ [c, d], A(y) =∫ b

a

f(x, y) dx es el area de la seccion de V producida por un plano paralelo

al plano XZ. Por tanto, vol(V ) =∫ d

c

A(y) dx

6.2.5. Conjuntos de medida cero. Integracion de funciones discontinuas

Sea Q = [a, b] × [c, d] y f :Q ⊂ R2 → R. Se ha visto que existe

∫ ∫Q

f(x, y) dxdy si f es continua en

Q. Vamos ahora a demostrar que tambien existe la integral doble de f en Q, siempre que el conjunto dediscontinuidades de f tengan una medida suficientemente pequena. Para medir el tamano de los conjuntosintroduciremos el siguiente concepto.

Definicion 6.4 Sea T ⊂ R2, se dice que tiene medida cero, si para cada ε > 0 es posible recubrir T por unacoleccion numerable de rectangulos la suma de cuyas areas sea menor que ε. Es decir existe una coleccion

{Qk : k ∈ N} de rectangulos tales que T ⊂n⋃k=1

Qk yn∑k=1

µ(Qk) < ε siendo µ(Qk) el area del rectangulo Qk.

Ejemplo 6.1 : Teniendo en cuenta lo anterior, se comprueba facilmente que:

Todo conjunto con un numero finito de puntos tiene medida cero.

La reunion de una coleccion numerable de conjunto de medida cero es de medida cero. Como casosparticulares, en R, el conjunto de los numeros racionales Q tiene medida cero y, por consiguiente,tambien el de los enteros Z y los naturales N.

Todo subconjunto de un conjunto de medida cero tiene medida cero.

Todo segmento de recta tiene medida cero.

Mas general: Si f : [a, b] → R es una funcion continua, la grafica de f tiene medida cero.

( Dem. ) En efecto, por ser f continua en un compacto, es uniformemente continua, luego existeuna particion P de [a, b] de manera que la oscilacion de f en cada subintervalo es menor que

ε

b− a,

luego en cada subintervalo la grafica de f esta contenida en un rectangulo de alturaε

b− a, la suma de

cuyas areas es ε, por tanto, graf f es un conjunto de medida cero (vease figura 6.5).

Teorema 6.3 Sea Q = [a, b]× [c, d] y f :Q ⊂ R2 → R definida y acotada en Q. Entonces f es integrable enQ si y solo si el conjunto de discontinuidades de f en Q tiene medida cero.

6.2.6. Integrales dobles en regiones mas generales

Hasta ahora la integral doble solo la hemos definido para regiones de integracion rectangulares. Podemosextender el concepto de integracion a conjuntos mas generales.

Definicion 6.5 Sea S un subconjunto acotado de R2. Decimos que S es un conjunto medible Jordan si y

solo si Fr S es un conjunto de medida cero.

66

Figura 6.5: Grafica de contenido nulo.

Sea S un conjunto medible Jordan de R2 y sea f :S ⊂ R2 → R una funcion definida y acotada en S.

Sea Q = [a, b]× [c, d] un rectangulo tal que S ⊂ Q. Definimos la funcion f :Q ⊂ R2 → R por

f(x, y) ={f(x, y) si (x, y) ∈ S

0 si (x, y) ∈ Q− S

Si f es integrable en Q decimos que f es integrable en S y, por definicion∫ ∫S

f(x, y) dxdy =∫ ∫

Q

f(x, y) dxdy

Teorema 6.4 Sea S ⊂ R2 un conjunto medible Jordan y sea f :S ⊂ R2 → R definida y acotada en S.entonces f es integrable en S si y solo si el conjunto de discontinuidades de f en S tiene medida cero.

( Dem. ) Sea Q un rectangulo tal que S ⊂ Q y sea f :Q ⊂ R2 → R definida como se ha indicadoanteriormente, las discontinuidades de f son las de f en S y ademas puede ser discontinua en puntos de lafrontera de S. Como S es medible Jordan su frontera tiene medida cero, luego el teorema se obtiene comoconsecuencia del teorema 6.3.

6.2.7. Propiedad aditiva de la integracion

Teorema 6.5 Supongamos que f es integrable sobre un conjunto S ⊂ R2, medible Jordan, supongamostambien que S = A ∪ B donde A y B son conjuntos medibles Jordan sin puntos interiores en comun.Entonces f es integrable en A y en B y se cumple∫ ∫

S

f(x, y) dxdy =∫ ∫

A

f(x, y) dxdy +∫ ∫

B

f(x, y) dxdy

Vamos ahora a considerar un tipo de conjuntos de R2, medibles Jordan, para los cuales el calculo de laintegral doble puede hacerse mediante integracion reiterada. Son los que llamaremos conjuntos de Tipo I yde Tipo II. La mayor parte de las regiones de integracion que trataremos seran de algunos de estos tipos osi no, se pueden descomponer en un numero finito de subregiones, cada una de las cuales es de alguno deesos tipos.

67

Definicion 6.6

Sea ϕ1, ϕ2: [a, b] → R funciones continuas tales que ϕ1(x) ≤ ϕ2(x), ∀x ∈ [a, b]. Llamaremos region detipo I a las de la forma

S = {(x, y) ∈ R2 | a ≤ x ≤ b, ϕ1(x) ≤ y ≤ ϕ2(x)}

Sea ψ1, ψ2: [c, d] → R funciones continuas tales que ψ1(y) ≤ ψ2(y), ∀y ∈ [c, d]. Llamaremos region detipo II a las de la forma

T = {(x, y) ∈ R2 | c ≤ y ≤ d, ψ1(y) ≤ x ≤ ψ2(y)}

Figura 6.6: Regiones de tipo I y tipo II.

6.2.8. Teorema de Fubini (para regiones tipo I y tipo II)

Teorema 6.6 Sea f :A ⊂ R2 → R una funcion acotada e integrable en A

Si A es un conjunto tipo I y existe∫ ϕ2(x)

ϕ1(x)

f(x, y) dy para cada x ∈ [a, b], entonces f es integrable en

A y se tiene ∫ ∫A

f(x, y) dxdy =∫ b

a

[∫ ϕ2(x)

ϕ1(x)

f(x, y) dy

]dx

En caso de que A sea un conjunto tipo II y exista∫ ψ2(y)

ψ1(y)

f(x, y) dx para cada y ∈ [c, d], entonces f

es integrable en A y se tiene∫ ∫A

f(x, y) dxdy =∫ d

c

[∫ ψ2(y)

ψ1(y)

f(x, y) dx

]dy

Corolario 6.2 Sea S una region tipo I y f :S ⊂ R2 → R una funcion definida y acotada en S y continuaen Int S. Entonces f es integrable en S y∫ ∫

S

f(x, y) dxdy =∫ b

a

[∫ ϕ2(x)

ϕ1(x)

f(x, y) dy

]dx

68

Analogamente para region tipo II.

( Dem. ) Sean Q = [a, b]× [c, d] un rectangulo tal que S ⊂ Q y f :Q ⊂ R2 → R definida por

f(x, y) ={f(x, y) si (x, y) ∈ S

0 si (x, y) ∈ Q− S

f es continua en Q salvo, como maximo, en un conjunto de medida cero, luego existe∫ ∫

Q

f(x, y) dxdy =∫ ∫S

f(x, y) dxdy.

Por otra parte, como f es continua en Int S, para cada x ∈ [a, b] existe∫ ϕ2(x)

ϕ1(x)

f(x, y) dy y por el teorema

de Fubini deducimos el resto.

6.2.9. Aplicacion al calculo de areas y volumenes.

Sea S una region del tipo I

S = {(x, y) ∈ R2 | a ≤ x ≤ b y ϕ1(x) ≤ y ≤ ϕ2(x)}Si aplicamos el teorema anterior a la funcion f(x, y) = 1, ∀ (x, y) ∈ S se obtiene∫ ∫

S

dxdy =∫ b

a

[ϕ2(x) − ϕ1(x)] dx

El segundo miembro es el area de la region S (vease figura 6.6), luego una aplicacion de integrales doblespuede ser el calculo de areas.

Supongamos ahora una funcion f :S ⊂ R2 → R continua, y tal que f(x, y) ≥ 0, ∀ (x, y) ∈ S. Sabemos

que ∫ ∫S

f(x, y) dydx =∫ b

a

[∫ ϕ2(x)

ϕ1(x)

f(x, y) dy

]dx

Sea V = {(x, y, z) ∈ R3 | (x, y) ∈ S, 0 ≤ z ≤ f(x, y)},∫ ϕ2(x)

ϕ1(x)

f(x, y) dx es el area de la seccion producida

en V por un plano parelelo al plano Y Z.

Luego∫ ∫

S

f(x, y) dydx es el volumen de la region V de R3 (ver figura 6.7).

En general, si f, g:S ⊂ R2 → R y f(x, y) ≤ g(x, y) ∀ (x, y) ∈ S ,∫ ∫

S

(f(x, y) − g(x, y)) dxdy representa

el volumen de la region de R3 comprendida entre las graficas de f y de g y tal que su proyeccion ortogonalen el plano XY es S.

Analogamente para regiones de tipo II.

6.2.10. Cambio de variable en integral doble

En Calculo se vio que si f : R → R es una funcion continua y g: [a, b] → R es diferenciable con continuidad,entonces ∫ g(b)

g(a)

f(x) dx =∫ b

a

f(g(t)) g′(t) dt

donde Si g es inyectiva la expresion anterior tambien se puede poner de la forma∫g((a,b))

f(x) dx =∫ b

a

f(g(t)) |g′(t)| dt

69

Figura 6.7: Volumen de la region V .

donde g((a, b)) es el intervalo imagen por g de (a, b).

Estas formulas nos permiten simplificar el calculo de integrales en R.

Para funciones f : R2 → R tenemos un teorema analogo que enunciamos a continuacon

Teorema 6.7 Sea T ⊂ R2 un conjunto abierto y g: T → R2 una aplicacion inyectiva de clase C1 y tal quedet(J g(u, v)) �= 0, ∀ (u, v) ∈ T , es decir, el determinante de la matriz de jacobiana de g no nulo.

Si S = g(T ) y la funcion f :S ⊂ R2 → R es integrable en S, se tiene∫ ∫S

f(x, y) dxdy =∫ ∫

T

f(g(u, v)) | det(J g(u, v))| dudv

Teorema de dificil demostracion y que omitiremos, unicamente vamos a ver un razonamiento geometrico quejustifica su validez.

Sean g: T ⊂ R2 → R2 definida por g(u, v) = (X(u, v), Y (u, v)) y T una region del plano UV tal queg(T ) = S, como en la figura 6.8.

Figura 6.8: Cambio de variable g(u, v) = (X(u, v), Y (u, v)).

70

Consideremos las funciones vectoriales

V1(u, v) =∂g∂u

=(∂X

∂u(u, v),

∂Y

∂u(u, v)

)V2(u, v) =

∂g∂v

=(∂X

∂v(u, v),

∂Y

∂v(u, v)

)

Estos vectores V1(u, v) y V2(u, v) pueden interpretarse geometricamente de la siguiente forma:

Consideremos un segmento rectilineo horizontal en el plano UV , por ejemplo v = cte, como en la figura6.9, la imagen de este segmento por g es una curva en el plano XY cuyo vector tangente es precisamenteV1(u, v) y si consideramos un segmento u = cte su imagen por g es una curva con vector tangente V2(u, v).

Figura 6.9: Curva u y su vector tangente.

Un rectangulo de lados ∆u y ∆v en el planoUV tiene como imagen por g en el planoXY un paralelogramocurvo, como se expresa en la figura 6.10 cuya longitud de lados es aproximadamente ∆uV1 y ∆vV2 y para∆u y ∆v pequenos su area es aproximadamente la del paralelogramo determinado por los vectores ∆uV1 y∆vV2, esto es la norma del producto vectorial

‖∆uV1 × ∆vV2‖ = ‖V1 ×V2‖ ∆u∆v

Figura 6.10: Rectangulo de lados ∆u y ∆v y su imagen por g.

71

calculamos ahora V1 ×V2 de la siguiente forma

V1 × V2 =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

i j k

∂X

∂u

∂Y

∂u0

∂X

∂v

∂Y

∂v0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∂X

∂u

∂Y

∂u

∂X

∂v

∂Y

∂v

∣∣∣∣∣∣∣∣∣k = det(Jg(u, v)) k

luego el area vale | det(Jg(u, v))| ∆u∆v. Por tanto puede interpretarse el jacobiano como un factor deproporcionalidad de areas.

Consideremos una particion P de un rectangulo Q que contenga a T , tal que los subrectangulos de P dedimension ∆u y ∆v sean suficientemente pequenos. Podemos considerar que det(Jg(u, v)) es practicamenteconstante en cada subrectangulo parcial de P , es decir que es una funcion escalonada sobre Q. Consideramosque vale cero fuera de T . Entonces∫ ∫

Q

| det(J g(u, v))| dudv =∫ ∫

T

| det(J g(u, v))| dudv =∑

| det(J g(u, v))| ∆u∆v

y por las consideraciones anteriores esta suma es aproximadamente igual al area de S que sabemos que vale∫ ∫S

dxdy y por tanto ∫ ∫S

dxdy =∫ ∫

Q

| det(J g(u, v))| dudv

Ejemplo 6.2

Coordenadas polares: El cambio de variables g: T = (0,+∞)× (0, 2π) → R2 −{(x, 0), x ≥ 0} definido

por g(r, ϕ) = (r cosϕ, r sinϕ) es un difeomorfismo entre cualquier subconjunto abierto de T y su ima-gen, con jacobiano

det(J g(r, ϕ)) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂X

∂r

∂Y

∂r

∂X

∂ϕ

∂Y

∂ϕ

∣∣∣∣∣∣∣∣∣=∣∣∣∣ cosϕ sinϕ−r sinϕ r cosϕ

∣∣∣∣ = r �= 0

y por tanto ∫ ∫S

f(x, y) dxdy =∫ ∫

T

f(r cosϕ, r sinϕ) rdrdϕ

Transformaciones lineales: Son de la forma g(u, v) = (Au+ Bv, Cu+Dv) y su jacobiano vale

det(J g(u, v)) =∣∣∣∣ A CB D

∣∣∣∣ = AD −BC

y si AD −BC �= 0 entre cualesquiera abiertos de R2, T y S hay difeomorfismo y se tiene∫ ∫S

f(x, y) dxdy = |AD− BC|∫ ∫

T

f(Au + Bv, Cu+Dv) dudv

6.3. Integrales triples. Integrales multiple.

El concepto de integral bidimensional puede extenderse de R2 a Rn, n ≥ 3. Como el desarrollo es analogoal caso n = 2 solo expresaremos los principales resultados.

Sea f :S ⊂ Rn → R una funcion definida y acotada en su dominio. La integral de f en S se representapor ∫

. . .

∫S

f(x1, . . . , xn) dx1 . . .dxn o∫. . .

∫S

f(x) dx

72

Definiremos primero la integral n-multiple para una funcion definida en un intervalo n-dimensional, es decirI = [a1, b1] × . . .× [an, bn] o tambien I = [a, b] donde a = (a1, . . . , an) y b = (b1, . . . , bn).

Definicion 6.7 Llamaremos medida de I a µ(I) = (b1 − a1) . . . (bn − an)

Sea P1, . . . , Pn particiones de [a1, b1], . . . , [an, bn] respectivamente. El producto cartesiano P = P1 × . . .×Pn es una particion de [a, b].

Una funcion f : [a, b] ⊂ Rn → R se dice escalonada si en cada uno de los subintervalos abiertos determi-nados por una cierta particion P , f es constante. La integral de esa funcion escalonada sobre el recinto [a, b]es ∫

. . .

∫[a,b]

f(x) dx =∑i

ciµ(Ii)

donde ci es el valor de f en i-esimo subintervalo abierto Ii de la particion P . La suma esta extendida a todoslos subintervalos de P .

A partir de la integral n-multiple para funciones escalonadas, definimos la integral de funciones acotadassobre intervalos.

Sean f una funcion acotada en [a, b], s y t funciones escalonadas en [a, b] tales que s ≤ f ≤ t. Si existeun numero I y solo uno tal que ∫

. . .

∫[a,b]

s ≤ I ≤∫. . .

∫[a,b]

t

para culesquiera funciones escalonadas que cumplan s ≤ f ≤ t entonces se dice que f es integrable en [a, b] y∫. . .

∫[a,b]

f(x) dx = I

Si f es continua en [a, b] entonces f es integrable sobre [a, b]. Tambien se cumple el teorema 6.3, esdecir si f es acotada en [a, b] es integrable sobre [a, b] si el conjunto de discontinuidades tiene medida cero.Un conjunto acotado S tiene medida cero si para cada ε > 0 existe una coleccion numerable de intervalosn-dimensionales cuya union cubre S y tal que la suma de sus volumenes es menor que ε.

Sea S ⊂ Rn un conjunto medible Jordan. Para definir la integral de una funcion acotada f sobre S,consideremos una funcion f :Q ⊂ R

n → R definida sobre el intervalo Q que contiene a S y que coincide conf en S y es nula fuera de S. Entonces ∫

. . .

∫S

f =∫. . .

∫Q

f

caso de que exista esta ultima integral.

Algunas integrales multiples pueden calcularse mediante integrales reiteradas de dimension inferior. Porejemplo, sea S ⊂ R

3 definida por

S = {(x, y, z) ∈ R3 | (x, y) ∈ Q, ϕ1(x, y) ≤ z ≤ ϕ2(x, y)}

donde Q ⊂ R2 es un conjunto acotado y ϕ1 y ϕ2 son funciones continuas en Q y tales que ϕ1(x, y) ≤ϕ2(x, y), ∀ (x, y) ∈ Q tal como indica la figura 6.11.

Entonces si f es continua en Int S se cumple que f es integrable sobre S y vale

∫ ∫ ∫S

f(x, y, z) dxdydz =∫ ∫

Q

[∫ ϕ2(x,y)

ϕ1(x,y)

f(x, y, z) dz

]dxdy

Esta region S corresponde a lo que podemos denominar region de tipo I en R3. Igualmente podriamosintegrar primero en y, en ciertas regiones, o en x.

73

Figura 6.11: Integracion en R3 sobre una region tipo I.

6.3.1. Cambio de variable en integrales n-multiples

El teorema 6.7 que enunciamos para el caso de dos variables se satisface tambien en Rn. En el caso den = 3 se tiene ∫ ∫ ∫

S

f(x, y, z) dxdydz =∫ ∫ ∫

T

f(g(u, v, w)) |J g(u, v, w)| dudvdw

donde g(u, v, w) = (X(u, v, w), Y (u, v, w), Z(u, v, w)) y ademas

J g(u, v, w) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

∂X

∂u

∂X

∂v

∂X

∂w

∂Y

∂u

∂Y

∂v

∂Y

∂w

∂Z

∂u

∂Z

∂v

∂Z

∂w

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣Observese que J g(u, v, w) puede interpretarse como un factor de proporcionalidad de volumenes, esdecir un paralelepipedo de volumen ∇u∇v∇w se transforma en un paralelepido curvo de volumen|J g(u, v, w)|∇u∇v∇w. En efecto si consideramos las funciones vectoriales

V1(u, v, w) =∂g∂u

=(∂X

∂u(u, v, w),

∂Y

∂u(u, v, w),

∂Z

∂u(u, v, w)

)

V2(u, v, w) =∂g∂v

=(∂X

∂v(u, v, w),

∂Y

∂v(u, v, w),

∂Z

∂v(u, v, w)

)

V3(u, v, w) =∂g∂w

=(∂X

∂w(u, v, w),

∂Y

∂w(u, v, w),

∂Z

∂w(u, v, w)

)Un razonamiento similar al que vimos en el caso bidimensional conduce a que el solido imagen del par-alelepipedo de lados ∇u, ∇v y ∇w esta limitado por superficies en xyz que se obtienen al hacer respec-tivamente u = cte, v = cte o w = cte y forman aproximadamente un paralelepipedo determinado por losvectores ∇u V1, ∇v V2 y ∇w V3. Si tenemos en cuenta que el volumen de un paralelepipedo es igual alvalor absoluto del producto mixto de los tres vectores que lo determinan, en nuestro caso se tiene

|(∇u V1) · (∇v V2 ×∇w V3)| = |V1 · (V2 × V3)|∇u∇v∇w = |J g(u, v, w)|∇u∇v∇w

Ejemplo 6.3

74

Coordenadas cilındricas

g : (0,+∞)× (0, 2π)× R −→ R3 − {(x, 0, z) | x ≥ 0, z ∈ R}

(r, θ, z) �→ (x, y, z) = (r cos θ, r sin θ, z)

ya sabemos que g es un cambio de variables, luego si T ⊂ (0,+∞)×(0, 2π)×R es un abierto y acotadoy g(T ) = S, como

J g(r, θ, z) =

∣∣∣∣∣∣cos θ −r sin θ 0sin θ r cos θ 0

0 0 1

∣∣∣∣∣∣ = r

se tiene ∫ ∫ ∫S

f(x, y, z) dxdydz =∫ ∫ ∫

T

f(r cos θ, r sin θ, z) r drdθdz

Coordenadas esfericas

g : (0,+∞)× (0, π) × (0, 2π) −→ R3 − {(x, 0, z) | x ≥ 0, z ∈ R}

(r, θ, φ) �→ (x, y, z) = (r sin θ cosφ, r sin θ sinφ, r cos θ)

g es un cambio de variables y si T ⊂ (0,+∞)× (0, 2π)× R es un abierto y acotado y g(T ) = S

J g(r, θ, φ) =

∣∣∣∣∣∣sin θ cos φ r cos θ cosφ −r sin θ sinφsin θ sinφ r cos θ sinφ r sin θ cosφ

cos θ −r sin θ 0

∣∣∣∣∣∣ = r2 sin θ

y como sin θ ≥ 0 se tiene∫ ∫ ∫S

f(x, y, z) dxdydz =∫ ∫ ∫

T

f(r sin θ cosφ, r sin θ sinφ, r cos θ) r2 sin θ drdθdφ

Analogamente a como vimos que el area de una region S ⊂ R2 viene dada por∫ ∫

S

dxdy, el volumen de

un solido V ⊂ R3 viene dado por∫ ∫ ∫

V

dxdydz y en general el volumen de un solido V de Rn se calcula

por∫· · ·∫V

dx1 · · ·dxn

Ejemplo 6.4 El volumen de una esfera de radio 1, x2 + y2 + z2 ≤ 1, vale

Vol (V ) =∫ ∫ ∫

x2+y2+z2≤1

dxdydz =∫ ∫

x2+y2≤1

[∫ √1−x2−y2

−√

1−x2−y2dz

]dxdy =

∫ ∫x2+y2≤1

2√

1 − x2 − y2 dxdy

y si hacemos el cambio a coordenadas polares se tiene

Vol (V ) =∫ 2π

0

dθ∫ 1

0

2r√

1 − r2 dr = 2π[−(1 − r2)3/2

3/2

]10

=43π

6.3.2. Propiedades de la integral multiple

Igual que en el caso de dos variables, la integracion de funciones de varias variables tiene las siguientespropiedades

Proposicion 6.4

1. (Linealidad). Si f y g son funciones integrables en A y µ, λ ∈ R, entonces µf ± λg es integrable en Ay ∫

A

µf ± λg = µ

∫A

f ± λ

∫A

g

75

2. (Monotonıa). Si f y g son funciones integrables en A y f ≤ g en A entonces∫A

f ≤∫A

g

3. (Aditividad). Si f es integrable en A1 y A2, entonces f es integrable en A1 ∪A2 y∫A1∪A2

f =∫A1

f +∫A2

f −∫A1∩A2

f

4. (del valor medio). Sea A ⊂ Rn y f :A→ R una funcion continua en A. Entonces ∃x0 ∈ A tal que∫A

f = f(x0)v(A)

6.4. Funciones definidas por integrales. Teorema de Leibnitz(derivacion bajo el signo integral)

Sea f : [a, b] × [c, d] ⊂ R2 → R supongamos que para cada y ∈ [c, d] exista la integral∫ b

a

f(x, y) dx

podemos entonces definir la funcion F : [c, d] → R por F (y) =∫ b

a

f(x, y) dx. Vamos a estudiar propiedades

de la funcion F , como continuidad y derivabilidad segun sea la funcion f .

Teorema 6.8 (Para el lımite bajo el signo integral)

Sea f : [a, b]× [c, d]⊂ R2 → R una funcion continua y sea F : [c, d]→ R definida por F (y) =∫ b

a

f(x, y) dx.

Entonces F es continua, esto es, si c ≤ y0 ≤ d

lımy→y0

∫ b

a

f(x, y) dx =∫ b

a

lımy→y0

f(x, y) dx =∫ b

a

f(x, y0) dx

( Dem. ) Como f es continua en el compacto [a, b]× [c, d] es uniformemente continua, esto es

∀ε > 0 ∃δ > 0 tal que si ‖(x, y) − (x1, y1)‖ < δ entonces |f(x, y) − f(x1, y1)| < ε

En particular si |y − y0| < δ entonces |f(x, y) − f(x, y0)| < ε para todo x ∈ [a, b]. Por tanto

|F (y) − F (y0)| = |∫ b

a

f(x, y) dx−∫ b

a

f(x, y0) dx| ≤∫ b

a

|f(x, y) − f(x, y0)| dx < ε(b − a)

Esto es, F es continua en y0.

Teorema 6.9 Sea f : [a, b] × [c, d] ⊂ R2 → R tal que para cada y ∈ [c, d] existe la integral∫ b

a

f(x, y) dx y

sea F (y) =∫ b

a

f(x, y) dx.

Supongamos que existe y es continua∂f

∂y(x, y), ∀(x, y) ∈ [a, b]× [c, d]. Entonces F es derivable y

F ′(y) =∫ b

a

∂f

∂y(x, y) dx

76

( Dem. ) Sea c ≤ y0 ≤ d, entonces

F (y) − F (y0)y − y0

=∫ b

a

f(x, y) − f(x, y0)y − y0

dx =∫ b

a

∂f

∂y(x, z) dx

donde z es un punto intermedio entre y e y0 distinto para cada x. Como∂f

∂y(x, y) es continua en [a, b]× [c, d]

es uniformemente continua, luego igual que en la demostracion del teorema anterior obtenemos

∀ε > 0 ∃δ > 0 tal que si |y−y0| < δ entonces∣∣∣∣∂f∂y (x, y) − ∂f

∂y(x, y0)

∣∣∣∣ < ε, ∀x ∈ [a, b].

y tambien se cumplira que∣∣∣∣∂f∂y (x, z) − ∂f

∂y(x, y0)

∣∣∣∣ < ε pues |z − y0| < δ. Ası

∣∣∣∣∣F (y) − F (y0)y − y0

−∫ b

a

∂f

∂y(x, y0) dx

∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∫ b

a

∂f

∂y(x, z) dx−

∫ b

a

∂f

∂y(x, y0) dx

∣∣∣∣∣ ≤∫ b

a

∣∣∣∣∂f∂y (x, z) − ∂f

∂y(x, y0)

∣∣∣∣ dx < ε (b− a)

luego existe F ′(y0) y F ′(y0) =∫ b

a

∂f

∂y(x, y0) dx

Puede ocurrir que los lımites de integracion dependan tambien de y, entonces tenemos el siguiente teorema

Teorema 6.10 (de Leibnittz)

Sea f : [a, b] × [c, d] ⊂ R2 → R una funcion continua y sean α, β: [c, d] → R funciones derivables tales

que a ≤ α(y) ≤ β(y) ≤ b para cada y ∈ [c, d]. Supongamos que∂f

∂yexiste y es continua en el conjunto

T = {(x, y) ∈ R2 | α(y) ≤ x ≤ β(y), c ≤ y ≤ d}.

Entonces la funcion F (y) =∫ β(y)

α(y)

f(x, y) dx existe y es derivable ∀y ∈ [c, d] y se cumple

F ′(y) =∫ β(y)

α(y)

∂f

∂y(x, y) dx+ f(β(y), y)β′(y) + f(α(y), y)α′(y)

( Dem. ) Sea y0 ∈ [c, d]. Escribimos la funcion F (y) por

F (y) =∫ α(y0)

α(y)

f(x, y) dx+∫ β(y0)

α(y0)

f(x, y) dx+∫ β(y)

β(y0)

f(x, y) dx

F (y) − F (y0)y − y0

=1

y − y0

∫ α(y0)

α(y)

f(x, y) dx+∫ β(y0)

α(y0)

f(x, y) − f(x, y0)y − y0

dx+1

y − y0

∫ β(y)

β(y0)

f(x, y) dx

como f es una funcion continua, podemos poner

1y − y0

∫ α(y0)

α(y)

f(x, y) dx =α(y0) − α(y)

y − y0f(x, y)

donde x es un valor intermedio entre α(y) y α(y0), luego

77

lımy→y0

1y − y0

∫ α(y0)

α(y)

f(x, y) dx = lımy→y0

α(y0) − α(y)y − y0

f(x, y) = −α′(y0)f(α(y0), y0)

Analogamente

lımy→y0

1y − y0

∫ β(y0)

β(y)

f(x, y) dx = β′(y0)f(β(y0), y0)

y sabemos por el teorema anterior que

lımy→y0

∫ β(y0)

α(y0)

f(x, y) − f(x, y0)y − y0

dx =∫ β(y0)

α(y0)

∂f

∂y(x, y0) dx

de donde se sigue el teorema.

Este teorema puede generalizarse a funciones de mas variables. Ası, si consideramos las funciones

f : Rm → R y α, β: Rn → R con 0 < m ≤ n+ 1

podemos definir la funcion F (x1, . . . , xn) =∫ β(x1,...,xn)

α(x1,...,xn)

f(x1, . . . , xm) dxm, siempre que exista esta integral.

Entonces se tiene

Teorema 6.11 Si se cumplen las condiciones

1. f es de clase C1

2. α(x1, . . . , xn) y β(x1 , . . . , xn) son funciones continuas cuyas derivadas parciales∂α

∂xiy∂β

∂xiexisten

para todo i, 1 ≤ i ≤ n

Entonces tambien existen las derivadas parciales∂F

∂xi1 ≤ i ≤ n y se cumple

∂F

∂xi=∫ β(x1,...,xn)

α(x1,...,xn)

∂f

∂xi(x1, . . . , xm) dxm + f(x1 , . . . , β(x1, . . . , xn))

∂β

∂xi− f(x1, . . . , α(x1, . . . , xn))

∂α

∂xi

6.5. Integrales impropias

Son integrales∫A

f donde el dominio de integracion A no es un conjunto medible Jordan o la funcion f

no es integrable. Por ejemplo cuando A no es un conjunto acotado o la funcion f no es acotada en algun

conjunto de medida cero. Aun ası podemos calcular∫A

f aproximando por integrales bien definidas.

6.5.1. Integrales impropias de primera especie

Definicion 6.8 Sea A ⊂ Rn un conjunto no acotado y f :A→ R una funcion tal que satisface

1. f tiene signo constante en A

2. f es integrable en Br(p) ∩A, para algun punto p ∈ A y ∀r > 0.

Entonces decimos que ∫A

f = lımr→∞

∫A∩Br(p)

f

Si existe este lımite decimos que su valor es la integral impropia de primera especie de f en A.

78

6.5.2. Integrales impropias de segunda especie

Definicion 6.9 Sean A ⊂ Rn un conjunto acotado, A∗ = A− {p} con p ∈ A y f :A∗ → R una funcion quesatisface

1. f es de signo constante en A∗

2. f es acotada en A− Br(p), ∀r > 0

3. f es integrable en A −Br(p), ∀r > 0

entonces ∫A

f = lımr→0

∫A−Br(p)

f

Si existe este lımite decimos que su valor es la integral impropia de segunda especie de f en A.

Capıtulo 7

Integrales de lınea y de superficie

7.1. Longitud de una curva

Teorema 7.1 Sea C el camino α: [a, b] ⊆ R → A ⊆ Rn con derivada α′ continua en [a, b], entonces la

longitud L de la curva α([a, b]) viene dada por:

L =∫C

dl =∫ b

a

‖α′(t)‖ dt

(Dem.) Supongamos que dividimos el intervalo [a, b] en m intervalos de la misma longitud h =b− a

m,

sea P = {t0, t1, . . . , tm} los puntos de esa particion, esto es t0 = a, tm = b y ti+1− ti = h para 0 ≤ i ≤ m−1.

Consideremos la poligonal en Rn que une los puntos α(t0), . . . ,α(tm). La longitud de dicha poligonal es

m−1∑i=0

‖α(ti+1) − α(ti)‖ =m−1∑i=0

√[x1(ti+1) − x1(ti)]

2 + . . .+ [xn(ti+1) − xn(ti)]2 =

m−1∑i=0

√[x1(ti + h) − x1(ti)]

2 + . . .+ [xn(ti + h) − xn(ti)]2

observese que lımh→0

m−1∑i=0

‖α(ti + h) − α(ti)‖ = L

Por el teorema del valor medio para cada componente xj, 1 ≤ j ≤ n, existen ζi ∈ (ti, ti+h) 0 ≤ i ≤ m−1tales que xj(ti + h) − xj(ti) = x′j(ζi)h, 0 ≤ i ≤ m− 1 y cuando h → 0, ζi → ti.

Por la continuidad de α′ se deduce que

L = lımh→0

m−1∑i=0

‖α(ti + h) − α(ti)‖ = lımh→0

m−1∑i=0

√x′12(ti) + . . .+ x′n2(ti) =

∫ b

a

‖α′(t)‖ dt

Comentarios:

Puede demostrarse que este resultado es independiente de la parametrizacion elegida, como se vera enla proposicion 7.1.

En particular, supongamos que queremos calcular la longitud de la grafica de una funcion f : [a, b] → R

de clase C1. Dicha grafica puede considerarse como el camino definido por

79

80

α: [a, b] → R2

t �→ (t, f(t))

y α′(t) = (1, f ′(t)). Por el teorema anterior

L =∫ b

a

‖α′(t)‖ dt =∫ b

a

√1 + f ′2(t) dt

.

En general, dado un camino α: [a, b] → R con derivada α′ continua, podemos definir la funcion longituddel camino por

L: [a, b] → R donde L(t) =∫ t

a

‖α′(s)‖ ds

y, por tanto, L′(t) = ‖α′(t)‖.

7.2. Integral de lınea de una funcion escalar

Definicion 7.1 Sean α: [a, b] → Rn un camino con derivada continua en (a, b), α([a, b]) = C y ϕ: C ⊂ R

n →R un campo escalar definido y acotado en C, entonces se denomina integral de lınea del campo escalar ϕ alo largo de la curva C, caso de que exista, a la siguiente integral∫

Cϕ dl =

∫ b

a

(ϕ ◦α)(t) L′(t) dt =∫ b

a

(ϕ ◦ α)(t) ‖α′(t)‖ dt (7.1)

Si ϕ es continua en C dicha integral existe.

Proposicion 7.1 La integral de lınea de un campo escalar ϕ a lo largo de una curva C no depende de laparametrizacion.

(Dem.) Si α: [a, b] → Rn y β: [c, d] → R

n son dos parametrizaciones regularmente equivalentes de lacurva C recordando la definicion 4.5 se tiene el siguiente esquema

[a, b] �αRn

��

��

f �β

[c, d]

donde f : [a, b] → [c, d] es un difeomorfismo y α(t) = β(f(t)) y por tanto α′(t) = β′(f(t))f ′(t).

Supongamos que la integral de lınea del campo escalar ϕ a lo largo de C exista respecto de laparametrizacion β, entonces se tiene∫

Cϕ dl =

∫ d

c

(ϕ ◦ β)(s) ‖β′(s)‖ ds

en la integral anterior hacemos el cambio de variable s = f(t), y por tanto ds = f ′(t)dt. En el caso queambas parametrizaciones tiene la misma orientacion, es decir f ′(t) > 0 y por tanto f(a) = c y f(b) = d, setiene

∫Cϕ dl =

∫ b

a

(ϕ◦β)(f(t)) ‖β′(f(t))‖ f ′(t) dt =∫ b

a

(ϕ◦β)(f(t)) ‖β′(f(t))f ′(t)‖ dt =∫ b

a

(ϕ◦α)(t) ‖α′(t)‖ dt

81

Si f ′(t) < 0 se tiene f(a) = d y f(b) = c y por tanto∫Cϕ dl = −

∫ b

a

(ϕ◦β)(f(t)) ‖β′(f(t))‖ f ′(t) dt =∫ b

a

(ϕ◦β)(f(t)) ‖β′(f(t))f ′(t)‖ dt =∫ b

a

(ϕ◦α)(t) ‖α′(t)‖ dt

Comentarios:

Como se ha visto el resultado de una integral de lınea no depende de la parametrizacion de la curvani de su sentido de recorrido se dice que son integrales que no tienen orientacion.

Como el calculo de una integral de lınea de un campo escalar se reduce al calculo de una integral deuna funcion de una variable sobre un intervalo, esta tiene las propiedades de las integrales de funcionesde una variable (linealidad, monotonıa, aditividad del intervalo,. . .).

Como caso particular, tomando la funcion ϕ = 1 en la integral, se obtiene la expresion para calcularla longitud del arco de curva C.

7.3. Integral de lınea de un campo vectorial

Definicion 7.2 Sean α: [a, b] → Rn un camino con derivada continua en (a, b), α([a, b]) = C y f : C ⊂ Rn →Rn un campo vectorial definido y acotado en C, entonces se denomina integral de lınea o circulacion del

campo vectorial f a lo largo de la curva C, caso de que exista, a la siguiente integral

∫Cf · dl =

∫ b

a

(f ◦ α)(t) ·α′(t) dt =n∑i=1

∫ b

a

[ fi(α)(t) α′i(t) ] dt (7.2)

Si f es continua en C dicha integral existe.

La integral de lınea de una funcion vectorial se puede representar de las siguientes formas

1. ∫Cf · dl =

∫Cf1dx1 + . . .+ fndxn

en R2 se expresa por∫Cf · dl =

∫Cf1dx+ f2dy y en R3

∫Cf · dl =

∫Cf1dx+ f2dy + f3dz

2. Si α(a) = A y α(a) = B puede ponerse ∫Cf · dl =

∫ B

A

f · dl

3. Para caminos cerrados, es decir α(a) = α(b)∫Cf · dl =

∮Cf · dl

Proposicion 7.2 El valor absoluto de la integral de lınea de un campo vectorial f a lo largo de una curvaC no depende de la parametrizacion. El signo depende de la orientacion de la misma.

(Dem.) La demostracion es semejante a la de la proposicion 7.1.

Si α: [a, b] → Rn y β: [c, d] → R

n son dos parametrizaciones regularmente equivalentes de la curva Crecordando la definicion 4.5 se tiene el siguiente esquema

82

[a, b] �αRn

��

��

h �β

[c, d]

Donde h: t ∈ [a, b] → [c, d] es un difeomorfismo y α(t) = β(h(t)) y por tanto α′(t) = β′(h(t))h′(t).

Calculamos la integral de lınea del campo vectorial f a lo largo de C mediante la parametrizacion β segunla ecuacion 7.2 ∫

Cf · dl =

∫ d

c

(f ◦ β)(s) · β′(s) ds

en la integral anterior hacemos el cambio de variable s = h(t), y por tanto ds = h′(t)dt, en el caso queambas parametrizaciones tengan la misma orientacion, es decir h′(t) > 0 se tiene h(a) = c y h(b) = d por elcontrario si h′(t) < 0 se tienen orientaciones opuestas y entonces h(a) = d y h(b) = c

∫Cf · dl = ±

∫ b

a

(f ◦ β)(h(t)) · β′(h(t)) h′(t) dt = ±∫ b

a

(f ◦ α)(t) ·α′(t) dt

mas para el caso en que las parametrizaciones α y β orienten la curva C en el mismo sentido y menos si laorientan en sentido contrario.

Comentarios:

Como en el caso de campos escalares el calculo de una integral de lınea de un campo vectorial se reduceal calculo de una integral de una funcion de una variable sobre un intervalo. Como consecuencia tienelas propiedades de linealidad, monotonıa, aditividad del intervalo,. . ..

Sea α(t) una parametrizacion de la curva C entonces∫Cf ·dl =

∫ b

a

(f ◦α)(t)·α′(t) dt =∫ b

a

(f ◦α)(t)· α′(t)‖α′(t)‖ ‖α′(t)‖ dt =

∫C(f ◦α)(t)· α′(t)

‖α′(t)‖ dl =∫CfT dl

donde fT es la componente tangencial del vector f sobre la curva C, expresion que relaciona la integralde un campo vectorial con la de un campo escalar. Es decir la circulacion de un vector f a lo largo deuna curva C es la integral de su componente tangencial respecto de la longitud de arco.

La integral de lınea de una funcion vectorial tiene orientacion es decir su valor depende del sentido derecorrido de la curva como pone de manifiesto la proposicion 7.2

7.4. Campo conservativo. Potencial escalar

Recordemos que el segundo teorema fundamental de Calculo nos dice que si f : [a, b] → R es una funcionde clase C1 entonces ∫ b

a

f ′(x) dx = f(b) − f(a)

Veamos ahora un teorema analogo para funciones escalares ϕ de varias variables.

Teorema 7.2 Sean ϕ:S ⊂ Rn → R de clase C1 en el abierto arco-conexo S (vease la definicion 2.8), A y

B dos puntos de S y α un camino en S regular o regular a trozos que une esos puntos. Entonces∫ B

A

∇ϕ · dl = ϕ(B) − ϕ(A)

83

(Dem.) Supongamos que el camino α es regular, entonces∫ B

A

∇ϕ · dl =∫ t1

t0

∇ϕ(α(t)) · α′(t) dt con α(t0) = A y α(t1) = B (7.3)

Se tiene la siguiente composicion de funciones

[t0, t1]α−→ S ⊆ Rn

ϕ−→ R

t �→ α(t) �→ ϕ(α(t)) = g(t)

como g = ϕ ◦ α es de clase C1, por la regla de la cadena su derivada es g′(t) = ∇ϕ(α(t)) · α′(t) y ası laecuacion 7.3 queda∫ B

A

∇ϕ · dl =∫ t1

t0

∇ϕ(α(t)) · α′(t) dt =∫ t1

t0

g′(t) dt = g(t1) − g(t0) = ϕ(B) − ϕ(A)

igualmente si la curva fuese regular a trozos.

Vemos pues que la integral de lınea de un gradiente continuo no depende del camino sino unicamente delos puntos extremos.

Corolario 7.1 Con las mismas hipotesis que el teorema 7.2 si el camino es cerrado simple y regular se tiene∮C

∇ϕ dl = 0. (7.4)

El proximo teorema nos mostrara que los gradientes continuos son los unicos campos vectoriales con estapropiedad.

Recordemos el primer teorema fundamental del Calculo:

Sea f : [a, b] → R una funcion integrable en [a, x] para cada x ∈ [a, b]. Se define la funcion ϕ: [a, b] → R

comoϕ(x) =

∫ x

a

f(t) dt, a ≤ x ≤ b

Entonces existe ϕ′(x) para cada x ∈ (a, b) donde f es continua y se cumple

ϕ′(x) = f(x)

Vamos a dar un teorema analogo para funciones f : Rn → Rn

Teorema 7.3 Sea f :S ⊂ Rn → Rn un campo vectorial continuo en el abierto y arco-conexo S. Supongamosque la integral de lınea de f es independiente del camino en S. Por tanto podemos definir un campo escalarϕ por

ϕ(x) =∫ x

A

f · dl donde A ∈ S (7.5)

entonces se cumple que∇ϕ(x) = f (x) ∀x ∈ S

(Dem.) Basta con demostrar que ∀x ∈ S y ∀k, 1 ≤ k ≤ n se cumple∂ϕ

∂xk(x) = fk(x) donde fk es la

componente k-esima de f .

En efecto sean Br(x) una n-bola de centro x y radio r tal que Br(x) ⊂ S, que existe por ser S abierto, yv un vector unitario en Rn. Como x+ hv ∈ S siempre que 0 < |h| < r se tiene

ϕ(x + hv) − ϕ(x) =∫ x+hv

x

f · dl

84

a lo largo de cualquier camino regular o regular a trozos que une x con x+hv. En particular para el segmentode recta

α: [0, 1] �→ St �→ x+ thv

observemos que α′(t) = hv, de donde

ϕ(x+ hv) − ϕ(x)h

=

∫ x+hv

x

f · dlh

=

∫ 1

0

hf (x+ thv) · v dt

h=∫ 1

0

f (x+ thv) · v dt

si consideramos v = ek el k-esimo vector coordenado, se tiene

ϕ(x+ hek) − ϕ(x)h

=∫ 1

0

f (x+ thek) · ek dt =∫ 1

0

fk(x+ thek) dt =

∫ h

0

fk(x+ uek) du

h

donde hemos hecho el cambio de variable th = u.

Por ser f un campo vectorial continuo podemos definir la funcion g: (−r, r) → R por

g(t) =∫ t

0

fk(x+ uek) du

y por el primer teorema fundamental del Calculo se cumple

g′(t) = fk(x+ tek) y en particular g′(0) = fk(x)

Ası pues∂ϕ

∂xk(x) = lım

h→0

ϕ(x+ hek) − ϕ(x)h

= lımh→0

g(h) − g(0)h

= g′(0) = fk(x)

Teorema 7.4 Sea f :S ⊆ Rn → R

n un campo vectorial continuo en el abierto arco-conexo S. Entonces, sonequivalentes:

1. f es el gradiente de algun campo escalar ϕ en S, es decir f (x) = ∇ϕ(x)

2. La integral de lınea de f entre dos puntos cualesquiera de S es independiente del camino.

3. La integral de lınea de f a lo largo de cualquier curva cerrada regular o regular a trozos contenida enS es nula.

(Dem.)

Probaremos que (1) ⇒ (3), (3) ⇒ (2) y por ultimo que (2) ⇒ (1).

(1) ⇒ (3) es consecuencia directa del corolario 7.1.

(3) ⇒ (2)

Sean A y B dos puntos de S y sean C1 y C2 dos caminos cualesquiera en S que unen A con B.

Supongamos que sus respectivas parametrizaciones vienen dadas por

C1 por α: [a, b] → Rn y C2 por β: [c, d] → R

n

Como tienen los mismos extremos suponemos que A = α(a) = β(c) y B = α(b) = β(d).

Sea γ: [a, b+ d− c] → Rn el camino cerrado en S definido por

γ(t) ={

α(t) si t ∈ [a, b]β(b+ d− t) si t ∈ [b, b+ d− c]

85

Entonces0 =

∮C

f · dl =∫C1

f · dl −∫C2

f · dl =⇒∫C1

f · dl =∫C2

f · dl

(2) ⇒ (1) es consecuencia del teorema 7.3.

Definicion 7.3 Sea f :U ⊂ Rn → Rn un campo vectorial continuo en el abierto U de Rn. Se dice que f esconservativo si existe un campo escalar ϕ:U ⊂ Rn → R, de clase C1, tal que ∇ϕ(x) = f (x) ∀x ∈ U . Se diceque ϕ es el potencial escalar de f .

Vemos pues que los campos conservativos son aquellos para los que la integral de linea que une dos puntosno depende del camino.

Vamos a dar ahora una condicion necesaria para determinar si un campo vectorial es conservativo.

Proposicion 7.3 Sea f :U ⊂ Rn → Rn un campo vectorial de clase C1 en el abierto U de Rn. Si f es ungradiente en U , entonces se cumple

∂fi∂xj

(x) =∂fj∂xi

(x)1 ≤ i ≤ n1 ≤ j ≤ n

y ∀x ∈ U

(Dem.) Supongamos que f = ∇ϕ en U donde ϕ:⊂ Rn → R es una funcion de clase C2. Luego por el

teorema de Schwartz se cumple

∂2ϕ

∂xi∂xj=

∂2ϕ

∂xj∂xi=⇒ ∂fj

∂xi=∂fi∂xj

con1 ≤ i ≤ n1 ≤ j ≤ n

El recıproco de la proposicion anterior no es cierto. Veamos un contraejemplo.

Sea la funcion f :U ⊂ R2 → R

2, donde U = {(x, y) ∈ R2 : (x, y) �= (0, 0)}, definida por

f (x, y) =( −yx2 + y2

,x

x2 + y2

)

Se puede comprobar que∂f1∂y

=∂f2∂x

∀(x, y) ∈ U , es decir cumple la condicion necesaria de campo consevativo,

sin embargo f no es un gradiente en U , pues podemos encontrar un camino cerrado dentro de U tal que lacirculacion de f no es nula.

En efecto, sea α: [0, 2π] −→ R2

t �→ (R cos t, R sin t)

C = α([0, 2π]) es la circunferencia de centro (0, 0) y radio R

∮C

f · dl =∫ 2π

0

f (α(t)) · α′(t) dt =∫ 2π

0

(cos2 t+ sin2 t) dt = 2π �= 0

En el capıtulo siguiente veremos que la condicion de la proposicion 7.4 es tambien suficiente para alguntipo de conjuntos U ⊆ R

n.

7.5. Area de una superficie.

Proposicion 7.4

Sea σ: T ⊂ R2 −→ R3

(u, v) �→ (x(u, v), y(u, v), z(u, v))

86

una superficie parametrizada simple y regular, entonces el area de S = σ(T ) viene dada por

area de S =∫S

dS =∫ ∫

T

‖Tu ×Tv‖ dudv

(Dem.) Veamos una justificacion intuitiva.

Sea el rectangulo N ⊂ T con vertices en los puntos (u, v), (u+ �u, v), (u, v + �v) y (u+ �u, v + �v),cuya area es �u�v. Se trata de calcular el area del elemento de superficie σ(N), que denotaremos �S (verfigura 7.1).

Figura 7.1: Interpretacion geometrica de los vectores Tu = ∂σ∂u , Tv = ∂σ

∂v y Tu ×Tv.

Una aproximacion al valor de dicha area se obtiene de la siguiente forma:

Consideremos el segmento de extremos (u, v) y (u + �u, v). Su imagen por σ es una curva sobre lasuperficie S cuya longitud, para valores �u pequenos, es aproximadamente

‖σ(u+ �u, v) − σ(u, v)‖ = ‖�u σ(u+ �u, v) − σ(u, v)�u ‖ ≈ ‖�uTu(u, v)‖

Igualmente el segmento de extremos (u, v) y (u, v+�v) su imagen por σ es una curva sobre la superficie Scuya longitud, para valores �v pequenos, viene dada por

‖σ(u, v + �v) − σ(u, v)‖ = ‖�v σ(u, v + �v) − σ(u, v)�v ‖ ≈ ‖�vTv(u, v)‖

Ası pues la imagen por σ del rectangulo N es un paralelogramo curvo sobre S cuya area sera aprox-imadamente el area del paralelogramo determinado por los vectores �uTu(u, v) y �vTv(u, v) cuyo valores

‖�uTu(u, v) ×�vTv(u, v)‖ = ‖Tu(u, v) ×Tv(u, v)‖�u�vDe esta manera podemos considerar la norma del producto vectorial fundamental ‖Tu(u, v) × Tv(u, v)‖como un factor de proporcionalidad de areas, y como area de T =

∫ ∫T

dudv, tiene sentido la expresion

area de S =∫S

dS =∫ ∫

T

‖Tu(u, v) ×Tv(u, v)‖ dudv.

Comentarios:

Aunque el calculo del area de una superficie se realiza a partir de una parametrizacion de esta, comoveremos en la proposicion 7.5, dicho calculo es independiente de la parametrizacion.

87

Sean f : T ⊆ R2 → R una funcion de clase C1 y S = graf f = {(x, y, z) ∈ R3 | (x, y) ∈ T, z = f(x, y)},es decir una superficie en forma explıcita. Para calcular el area de S, podemos parametrizar la superficie,tal como se expresa en la figura 7.2, en la forma

σ:A ⊂ R2 �→ R

3

(x, y) �→ (x, y, f(x, y))

Figura 7.2: Superficie en forma explıcita, z = f(x, y).

Entonces,∂σ

∂x=(

1, 0,∂f

∂x

),∂σ

∂y=(

0, 1,∂f

∂y

)y

∂σ

∂x× ∂σ

∂y=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

i j k

1 0∂f

∂x

0 1∂f

∂y

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=(−∂f∂x,−∂f

∂y, 1)

y por tanto ∥∥∥∥∂σ∂x × ∂σ

∂y

∥∥∥∥ =

√1 +(∂f

∂x

)2

+(∂f

∂y

)2

de esta forma obtenemos

area de S =∫ ∫

T

√1 +(∂f

∂x

)2

+(∂f

∂y

)2

dxdy

Supongamos ahora que S = graf f esta sobre un plano cualquiera. Consideremos la parametrizacion deS dada en el punto anterior. Sabemos que el producto vectorial fundamental es un vector perpendicularal plano. Consideremos el vector unitario en el eje Z es decir k = (0, 0, 1). Entonces,

(∂σ

∂x× ∂σ

∂y

)· k =

(−∂f∂x

,−∂f∂y, 1)· (0, 0, 1) = 1

luego

1 = ‖∂σ∂x

× ∂σ

∂y‖ ‖k‖ cos γ =⇒ ‖∂σ

∂x× ∂σ

∂y‖ =

1cos γ

∀(x, y) ∈ T

Por tanto,

area de S =∫ ∫

T

1cos γ

dxdy =area de T

cos γo bien cos γ =

area de Tarea de S

88

donde T es la proyeccion de S sobre el plano XY en direccion Z y γ es el angulo formado por el vectorortogonal al plano y k o tambien el formado por el plano y el plano XY , formula analoga a la que entrigonometrıa se conoce como regla del coseno (vease figura 7.3).

Figura 7.3: Regla del coseno para un rectangulo.

Observemos que si f es constante, es decir, S esta en un plano paralelo al plano coordenado XY ,

entonces∂f

∂x= 0 y

∂f

∂y= 0 y ademas γ = 0 y segun lo anterior se tiene

area de S =∫ ∫

A

dxdy

que es la formula ya conocida para el calculo de areas en R2.

7.6. Integral de superficie de una funcion escalar

Definicion 7.4 Sean σ:D ⊂ R2 → R3, con D abierto, una superficie parametrizada simple y regular,σ(D) = S y f :S ⊂ R3 → R un campo escalar definido y acotado en S.

Se denomina integral de superficie de f y se denota por∫S

fdS a la integral, caso de que exista

∫S

fdS =∫ ∫

D

f(σ(u, v)) ‖Tu ∧ Tv‖ dudv

Proposicion 7.5 La integral de superficie de un campo escalar f sobre una superficie regular S no dependede la parametrizacion de S.

(Dem.) Sean σ:D1 ⊂ R2 → R3 y γ:D2 ⊂ R2 → R3 dos parametrizaciones regularmente equivalentesde S, si recordamos la definicion 4.12 se tiene el siguiente esquema

D1 �σR3

��

��

g �γ

D2

donde g:D1 → D2 es un difeomorfismo y ademas σ(D1) = γ ◦ g(D1) y por tanto se tiene

89

Dσ(u, v) =

∂x

∂u

∂x

∂v

∂y

∂u

∂y

∂v

∂z

∂u

∂z

∂v

= Dγ(g(u, v)) Dg(u, v) = Dγ(s, t) Dg(u, v) =

∂x

∂s

∂x

∂t

∂y

∂s

∂y

∂t

∂z

∂s

∂z

∂t

∂s

∂u

∂s

∂v

∂t

∂u

∂t

∂v

=

∂x

∂s

∂s

∂u+∂x

∂t

∂t

∂u

∂x

∂s

∂s

∂v+∂x

∂t

∂t

∂v

∂y

∂s

∂s

∂u+∂y

∂t

∂t

∂u

∂y

∂s

∂s

∂v+∂y

∂t

∂t

∂v

∂z

∂s

∂s

∂u+∂z

∂t

∂t

∂u

∂z

∂s

∂s

∂v+∂z

∂t

∂t

∂v

=(∂γ

∂s

∂s

∂u+∂γ

∂t

∂t

∂u,∂γ

∂s

∂s

∂v+∂γ

∂t

∂t

∂v

)

De donde

∂σ

∂u× ∂σ

∂v=(∂γ

∂s

∂s

∂u+∂γ

∂t

∂t

∂u

)×(∂γ

∂s

∂s

∂v+∂γ

∂t

∂t

∂v

)=(∂γ

∂s× ∂γ

∂t

)(∂s

∂u

∂t

∂v− ∂s

∂v

∂t

∂u

)=(∂γ

∂s× ∂γ

∂t

)Jg(u, v)

Si calculamos la integral de f en S utilizando la parametrizacion γ y posteriormente hacemos el cambio devariable (s, t) = g(u, v) se tiene∫∫

D2

f(γ(s, t))∥∥∥∥∂γ∂s × ∂γ

∂t

∥∥∥∥dsdt=∫∫

D1

f(γ(g(u, v)))∥∥∥∥∂γ∂u × ∂γ

∂v

∥∥∥∥ |Jg(u, v)|dsdt=∫∫

D1

f(σ(u, v))∥∥∥∥∂σ∂u × ∂σ

∂v

∥∥∥∥dudv

que corresponde con el calculo de la integral de f en S utilizando la parametrizacion σ

Comentarios:

Observese que como consecuencia de la anterior proposicion la definicion 7.4 de integral de superficiea partir de una parametrizacion es correcta.

Como caso particular, tomando la funcion f = 1 en la integral, se obtiene la expresion para calcular elarea de la superficie.

El resultado de una integral de superficie no depende de la orientacion de la superficie.

7.7. Integral de superficie de un campo vectorial en R3

Tambien se denominan integral de flujo o flujo de f a traves de S

Definicion 7.5 Sean σ:D ⊂ R2 → R

3, con D abierto, una superficie parametrizada simple regular, σ(D) =S y f :S ⊂ R

3 → R3 un campo vectorial definido y acotado en S.

Se denomina integral de superficie de f y se denota por∫S

f ·dS a la integral, caso de que exista, siguiente

∫S

f · dS =∫ ∫

D

f (σ(u, v)) · (Tu ×Tv) (u, v) dudv

Si consideramos el vector normal unitario n =Tu ×Tv

‖Tu ×Tv‖ que sabemos que es normal a la superficie S

en cada punto, obtenemos∫S

f · dS =∫ ∫

D

f (σ(u, v)) · (Tu × Tv) dudv =∫ ∫

D

f (σ(u, v)) · n‖Tu ×Tv‖ dudv =∫S

f · n dS =∫S

fN dS

90

Ası el flujo de f a traves de S es tambien la integral de la componente normal de f , es decir fN , en S.

Veamos ahora que el valor absoluto de la integral de un campo vectorial sobre S tampoco depende decomo se parametrice la superficie.

Proposicion 7.6 El valor absoluto de la integral de superficie de un campo vectorial f sobre una superficieregular S no depende de la parametrizacion de S. El signo depende de la orientacion de esta. Es decir siσ:D1 ⊂ R2 → R3 y γ:D2 ⊂ R2 → R3 son dos parametrizaciones regularmente equivalentes de S se tiene∫ ∫

D1

f (σ(u, v)) · (Tu ×Tv) dudv = ±∫ ∫

D2

f (γ(s, t)) · (Ts × Tt) dsdt

(Dem.)

Si calculamos la integral de f en S utilizando la parametrizacion γ y posteriormente hacemos el cambiode variable (s, t) = g(u, v) se tiene∫∫

D2

f (γ(s, t))·(∂γ

∂s× ∂γ

∂t

)dsdt=

∫∫D1

f (σ(u, v))·(∂γ

∂u× ∂γ

∂v

)|Jg(u, v)|dsdt= ±

∫∫D1

f (σ(u, v))·(∂σ

∂u× ∂σ

∂v

)dudv

que corresponde con el calculo de la integral de f en S utilizando la parametrizacion σ.

Observemos que el signo es + o − segun sea el signo del jacobiano de g o lo que es lo mismo si las dosparametrizaciones orientan S de la misma forma. Recordemos que en un difeomorfismo Jg(u, v) �= 0 y portanto el jacobiano es siempre ∀(u, v) o positivo o negativo.

Capıtulo 8

Teoremas integrales del AnalisisVectorial

En el capıtulo anterior se ha tratado sobre la integracion de funciones escalares y vectoriales a lo largode curvas y superficies. En el presente capıtulo vamos a estudiar primeramente los operadores diferencialesy posteriormente los teoremas del Analisis vectorial, que relacionan las integrales vistas anteriormente.

8.1. Operadores diferenciales.

8.1.1. Gradiente.

En el Tema IV ya estudiamos el gradiente de una funcion escalar y sus propiedades geometricas. Recorde-mos brevemente su definicion y algunas propiedades.

Definicion 8.1 Sea f :A ⊂ Rn → R, con A abierto, un campo escalar de clase C1. Definimos como gradientede f en A el campo vectorial

grad f = ∇f :A ⊂ Rn → R

n dado por ∇f(x) =(∂f

∂x 1(x), . . . ,

∂f

∂xn(x))

El operador gradiente u operador nabla suele representarse simbolicamente por ∇ =(

∂

∂x1, . . . ,

∂

∂xn

)

Proposicion 8.1 Sean f, g:A ⊂ Rn → R, con A abierto, campos escalares de clase C1. Se cumple

1. ∇(f + g) = ∇f + ∇g.2. ∇(λf) = λ∇f ∀λ ∈ R.

3. ∇(fg) = f∇g + g∇f.

(Dem.) Basta comprobar las igualdades.

8.1.2. Divergencia

Definicion 8.2 Sea f :A ⊂ Rn → R

n, con A abierto, un campo vectorial de clase C1. Definimos comodivergencia de f en A el campo escalar

91

92

div f = ∇ · f :A ⊂ Rn → R dado por div f (x) = ∇ · f (x) =∂f1∂x1

(x) + . . .+∂fn∂xn

(x)

Se utiliza la notacion simbolica

∇ · f =(

∂

∂x1, . . . ,

∂

∂xn

)· (f1, . . . , fn) =

∂f1∂x1

+ . . .+∂fn∂xn

En el caso particular de que el campo vectorial f sea el campo de velocidad de un fluido

v = (v1, v2, v3) :A ⊂ R3 → R3 con divv =∂v1∂x

+∂v2∂y

+∂v3∂z

entonces una interpretacion de la divergencia es la tasa de variacion (expansion o compresion, segun el signo)de masa de fluido por unidad de volumen.

Proposicion 8.2 Sean f , g :A ⊂ Rn → Rn, con A abierto, campos vectoriales de clase C1 y sea h:A ⊂Rn → R un campo escalar de clase C1. Entonces

1. div(f + g) = div f + divg.

2. div(λf ) = λdiv f ∀λ ∈ R.

3. div(hf ) = h div f + ∇h · f .

(Dem.) Basta comprobar las igualdades.

8.1.3. Rotacional

Se define para campos vectoriales en R3

Definicion 8.3 Sea f :A ⊂ R3 → R3, con A abierto, un campo vectorial de clase C1. Definimos comorotacional de f en A el campo vectorial

rot f = ∇× f :A ⊂ R3 → R

3

dado por

rot f = (∇× f ) =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

i j k

∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z

f1 f2 f3

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=(∂f3∂y

− ∂f2∂z

,∂f1∂z

− ∂f3∂x

,∂f2∂x

− ∂f1∂y

)

Vamos a considerar el significado fısico de rot f para un determinado campo vectorial.

Sea un solido rıgido que gira alrededor del eje Z con velocidad angular constante ω. Consideremos elcampo vectorial v : R3 → R3 que asocia a cada punto del solido su velocidad. Si ω = (0, 0, ω) veamos que

v = ω × r

En efecto, el vector velocidad v es perpendicular al plano determinado por los vectores ω y r. Por otraparte si α es el angulo girado en un tiempo t y S es el espacio recorrido en ese mismo tiempo, se tiene

S = α d

93

donde d es la distancia del punto al eje de giro.

Ahora bien, d = ‖r‖ sin θ siendo θ el angulo que forman el vector posicion r con el vector ω. Por tanto

‖v‖ =S

t=α d

t= ‖ω‖ ‖r‖ sin θ =⇒ v = ω × r

Por tanto,

v = ω × r =

∣∣∣∣∣∣i j k0 0 ωx y z

∣∣∣∣∣∣ = (−ωy, ωx, 0)

y

rot v =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

i j k

∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z

−ωy ωx 0

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣= (0, 0, 2ω) = 2ω

Vemos pues que en la rotacion de un cuerpo rıgido alrededor de un eje, el rotacional del campo de velocidadeses un campo vectorial constante. Ademas dicho rotacional es un vector que tiene direccion paralela al eje derotacion y su norma es el doble de la velocidad angular.

Definicion 8.4 Sea f :A ⊂ R3 → R3, con A abierto, un campo vectorial de clase C1. Se dice que f esirrotacional en A si rot f = 0.

Proposicion 8.3 Sean f , g :A ⊂ R3 → R3, con A abierto, campos vectoriales de clase C1 y sea h:A ⊂R3 → R un campo escalar de clase C1. Entonces

1. rot(f + g) = rot f + rotg.

2. rot(λf ) = λ rot f ∀λ ∈ R.

3. rot(hf ) = h rot f + ∇h× f .

(Dem.) Basta comprobar las igualdades.

Proposicion 8.4

1. Sea f :A ⊂ R3 → R, con A abierto, un campo escalar de clase C2, entonces

rot (grad f) = 0

ası pues grad f es irrotacional.

2. Sea f :A ⊂ R3 → R3, con A abierto, un campo vectorial de clase C2, entonces

div (rot f ) = 0

esto es, rot f es un campo vectorial con divergencia nula.

(Dem.)

1.

rot(grad f)=∇× (∇ f)=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

i j k

∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z

∂f

∂x

∂f

∂y

∂f

∂z

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=(∂2f

∂y∂z− ∂2f

∂z∂y,∂2f

∂z∂x− ∂2f

∂x∂z,∂2f

∂x∂y− ∂2f

∂y∂x

)=0

ya que f es de clase C2 sus derivadas cruzadas son iguales.

94

2. Se demuestra analogamente al anterior.

8.1.4. Laplaciana

Definicion 8.5

1. Sea f :A ⊂ Rn → R, con A abierto, un campo escalar de clase C2. Definimos el operador laplacianade f en A como el campo escalar

�f : Rn → R dado por �f(x) = ∇2f(x) = (∇ · ∇)f(x) =∂2f

∂x21

(x) + . . .+∂2f

∂x2n

(x)

2. Sea f :A ⊂ Rn → Rn, con A abierto, un campo vectorial de clase C2. Definimos el operador laplacianade f en A como el campo vectorial

�f : Rn → Rn dado por �f (x) = ∇2f (x) = (�f1(x), . . . ,�fn(x))

esto es, el campo vectorial cuyas componentes son las laplacianas de las componentes de f .

Definicion 8.6 Sea f :A ⊂ Rn → R, con A abierto, un campo escalar de clase C2. Se dice que f es unafuncion armonica si �f = 0.

Analogamente se dice si f es un campo vectorial.

8.1.5. Propiedades de los operadores diferenciales

Recordemos algunas de las propiedades de los operadores diferenciales

Proposicion 8.5 (Con las adecuadas hipotesis sobre la diferenciabilidad con continuidad de las funcionesque intervienen):

1. (Linealidad del gradiente):∇(αϕ± βψ) = α∇ϕ± β∇ψ

2. (Gradiente del producto):∇(ϕψ) = ψ∇ϕ + ϕ∇ψ

3. (Rotacional de un gradiente):∇× (∇ϕ) = 0

4. (Divergencia de un gradiente, la laplaciana):

div (gradϕ) = ∇2ϕ = �ϕ

5. (Linealidad del rotacional):∇× (αf ± βg)α∇× f ± β∇ × g

6. (Rotacional del producto):∇× (ϕf ) = ϕ∇× f + ∇ϕ× f

7. (Rotacional del rotacional):∇× (∇× f ) = ∇(∇ · f ) − ∆f

95

8. (Divergencia del rotacional):∇ · (∇× f ) = 0

9. (Linealidad de la divergencia):

∇ · (αf ± βg) = α∇ · f ± β∇ · g

10. (Divergencia del producto):∇ · (ϕf ) = ϕ∇ · f + ∇ϕ · f

11. (Divergencia del producto vectorial):

∇ · (f × g) = g · (∇× f ) − f · (∇× g)

12. (Linealidad de la laplaciana):� (αf ± βg) = α�f ± β�g

8.2. Teoremas integrales

8.2.1. Teorema de Green

El segundo teorema fundamental del calculo para las integrales de lınea de un gradiente ∇ϕ a lo largo deun camino que une dos puntos A y B vale ϕ(B)−ϕ(A), es decir es una funcion de los extremos del camino.Existe un teorema analogo en R2 que expresa una integral doble extendida a una region R como una integralde lınea a lo largo de la curva cerrada que constituye la frontera geometrica o borde de R. Este teorema sedenomina teorema de Green que enunciamos de la siguiente manera

Teorema 8.1 (de Green) Sea f :S ⊂ R2 → R

2, con S abierto, un campo vectorial de clase C1, f (x, y) =(P (x, y), Q(x, y). Sea C una curva de Jordan regular a trozos y representemos por R la union de C y suinterior. Supongamos que R esta contenida en S, entonces se cumple∫ ∫

R

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)dxdy =

∮C

P dx+Q dy (8.1)

donde la integral de lınea se toma recorriendo C en sentido contrario al de las agujas del reloj.

Comentarios

El teorema de Green es valido para curvas C de Jordan rectificables, esto es, curvas cerradas simplescon longitud finita, La demostracion en este caso es compleja. Como hemos definido la integral de lıneaa lo largo curvas regulares a trozos enunciamos el teorema para este tipo de curvas.

Sabemos que una curva de Jordan es una curva cerrada y simple. Toda curva de Jordan divide el planoen dos conjuntos abiertos, arco-conexos y disjuntos que tienen la curva C como frontera comun. Unade esas regiones es acotada y se llama interior a C. La otra es no acotada y se llama exterior a C.

Para ciertas curvas de Jordan como circunferencias elipses o polıgonos elementales es evidente laexistencia de una region interior, que es acotada, y otra exterior no acotada, pero demostrar que estoes cierto cualquiera que sea la cuva de Jordan no es facil.

Otra dificultad asociada a la formulacion del teorema de Green es que la curva C debe ser recorrida ensentido contrario al de las agujas del reloj. Intuitivamente esto significa que la curva C se recorra deforma que la region R quede a la izquierda. Tambien para las curvas de Jordan anteriormente citadas elconcepto de “contrario al de las agujas del reloj” es evidente, sin embargo para otras curvas se deberıadefinir de forma mas rigurosa, posteriormente comentaremos una posible definicion.

96

Recordemos la notacion

∮(P,Q) dα =

∫ t1

t0

(P ◦α(t), Q◦α(t))·α′(t) dt =∫ t1

t0

P ◦α(t)x′(t) dt+∫ t1

t0

Q◦α(t)y′(t) dt =∮C

P dx+∮C

Q dy

Vamos ahora a comprobar el teorema de Green para unas ciertas regiones especiales. Observemos enprimer lugar que un enunciado equivalente del teorema se obtiene sustituyendo la ecuacion 8.1 por lasecuaciones ∫ ∫

R

∂Q

∂xdxdy =

∮C

Q dy y −∫ ∫

R

∂P

∂ydxdy =

∮C

P dx (8.2)

(Dem.) En efecto, si las igualdades 8.2 son validas, sumando se deduce la ecuacion 8.1.

Reciprocamente, si el campo vectorial (P (x, y), Q(x, y)) cumple las condiciones del teorema de Greeny, por tanto, se satisface la igualdad 8.1, entonces los campos vectoriales (P, 0) y (0, Q) tambien cumplenaquellas condiciones y, por tanto, se satisfacen las igualdades 8.2.

Sea ahora R una region del tipo I (vease figura 8.1), esto es,

R = {(x, y) | a ≤ x ≤ b, f(x) ≤ y ≤ g(x)}en donde f y g son continuas en [a, b] y f ≤ g, ∀x ∈ [a, b].

Figura 8.1: Region tipo I.

La frontera C de R consta de cuatro de cuatro curvas: C1 que es la grafica de f , C2 la grafica de g, C3

el segmento x = a, y C4 el segmento x = b, cuyas parametrizaciones y sentidos correspondientes, si tenemosen cuenta que C se ha de recorrer en sentido contrario al de las agujas del reloj, son:

C1 : α1(t) = (t, f(t)) a ≤ t ≤ b en el sentido de t crecientes y α′1(t) = (1, f ′(t))

C2 : α2(t) = (t, g(t)) a ≤ t ≤ b en el sentido de t decrecientes y α′2(t) = (1, g′(t))

C3 : α3(t) = (a, t) f(a) ≤ t ≤ g(a) en el sentido de t decrecientes y α′3(t) = (0, 1)

C4 : α4(t) = (b, t) f(b) ≤ t ≤ g(b) en el sentido de t crecientes y α′4(t) = (0, 1)

Vamos a comprobar que la segunda de las igualdades de la ecuacion 8.2 se cumple en una region del tipoI. En efecto,

−∫ ∫

R

∂P

∂ydxdy = −

∫ b

a

[∫ g(x)

f(x)

∂P

∂ydy

]dx =

∫ b

a

P (x, f(x)) dx−∫ b

a

P (x, g(x)) dx

Por otra parte, ∮C

P dx =∫C1

P dx+∫C2

P dx+∫C3

P dx+∫C4

P dx

Veamos primeramente que las integrales a lo largo de los segmentos verticales son nulas.∫C3

P (x, y) dx = −∫ g(a)

f(a)

P ◦ α3(t)x′(t) dt = 0

97

ya que x′(t) = 0 en C3 y lo mismo ocurre sobre la curva C4. Por tanto,∮C

P dx =∫C1

P dx+∫C2

P dx =∫ b

a

P ◦α1(t)x′(t) dt−∫ b

a

P ◦α2(t)x′(t) dt =∫ b

a

P (t, f(t)) dt−∫ b

a

P (t, g(t)) dt

ası se tiene−∫ ∫

R

∂P

∂ydxdy =

∮C

P dx

Un razonamiento parecido puede emplearse para demostrar que en regiones R del tipo II se cumple∫ ∫R

∂Q

∂xdxdy =

∮C

Q dy

Se obtiene de este modo una demostracion del teorema de Green para regiones que son a un tiempo de tipoI y de tipo II.

Puede ahora demostrarse el teorema para regiones R que puedan descomponerse en un numero finito deregiones que son de ambos tipos (vease figura 8.2).

Figura 8.2: Region cualquiera.

Se introducen las secciones o cortes necesarias para conseguir subregiones de ambos tipos, se aplica elteorema a cada subregion y se suman los resultados. Las integrales a lo largo de los cortes se anulan, y lasuma de las integrales a lo largo de las fronteras de las subregiones es igual a la integral de lınea a lo largode la frontera de R.

Comentario Calculo de areas mediante integrales de lınea:

Sea R la region encerrada por una curva de Jordan C regular a trozos. Supongamos que f = (P,Q) con

P y Q funciones R2 → R de clase C1 y tales que∂Q

∂x− ∂P

∂y= 1 en R. Entonces, se tiene

area de R =∫ ∫

R

dxdy =∫ ∫

R

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)dxdy =

∮C

P dx+Q dy

Por ejemplo, P y Q pueden ser P (x, y) = −12 y y Q(x, y) = 1

2 x.

Campos conservativos en el plano.

Sea f (x, y) = (P (x, y), Q(x, y) un campo vectorial de clase C1 en el abierto S del plano. Una condicionnecesaria para que f sea el gradiente de un campo escalar ϕ (su potencial escalar) es que

∂P

∂y=∂Q

∂xen S

98

sin embargo esta condicion no es suficiente. Por ejemplo el campo vectorial

f (x, y) =( −yx2 + y2

,x

x2 + y2

)

satisface la condicion necesaria en el abierto S = R2 − {(0, 0)} pero no es un gradiente en S, porejemplo las circulaciones a lo largo de circunferencias C centradas en el origen no son nulas. En efecto, unaparametrizacion de C es

C : α(t) = (R cos t, R sin t), t ∈ (0, 2π)

por lo que la circulacion de f a lo largo de C vale

∮C

f (x, y) · dα =∫ 2π

0

(f ◦ α)(t) · α′(t) dt =∫ 2π

0

(−R sin tR2

,R cos tR2

)· (−R sin t, R cos t) dt =

∫ 2π

0

dt = 2π

Sin embargo la condicion necesaria es tambien suficiente si se impone que S sea un simplemente conexo

Definicion 8.7 Sea S un conjunto abierto arco-conexo del plano se dice que que S es simplemente conexosi para toda curva de Jordan C en S, la region interior a C es tambien un subconjunto de S.

Dicho de forma intuitiva, un conjunto abierto simplemente conexo es un abierto conexo sin “agujeros”.

Teorema 8.2 Sea f (x, y) = (P (x, y), Q(x, y)) un campo vectorial de clase C1 en un abierto simplementeconexo S del plano. Entonces, f es un gradiente en S si y solo si

∂P

∂y=∂Q

∂xen S

(Dem.) Sabemos que es condicion necesaria y para demostrar que es tambien condicion sufuciente nosbasamos en teorema de Green.

El teorema de Green puede generalizarse y ser aplicado a ciertas regiones multiplemente conexas.

Teorema 8.3 (de Green en regiones multiplemente conexas).

Sean C1, . . . , Cn, n curvas de Jordan regulares a trozos que tengan las propiedades siguientes:

1. Dos cualesquiera de esas curvas no se cortan.

2. Todas las curvas C2, . . . , Cn estan situadas en el interior de C1.

3. La curva Ci esta en el exterior de la curva Cj para cada i �= j, i > 1, j > 1.

Designemos por R la region que consite en la union de C1 y su interior pero no interior a C2, . . . , Cn.Sea P y Q campos escalares derivables con continuidad en un abierto S que contenga a R. Entonces se tiene

∫ ∫R

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)dxdy =

∮C1

P dx+Q dy −n∑k=2

∮Ck

P dx+Q dy (8.3)

99

Figura 8.3: Region multiplemente conexa.

<>

<>

>

<

>

<

C’

C

R’’

R’

EDBA

Figura 8.4: Region doblemente conexa.

El teorema puede demostrarse introduciendo cortes que transforme R en una reunion de un numerofinito de regiones simplemente conexas bordeadas por curvas de Jordan. El teorema de Green se aplicaseparadamente a cada una de las partes y se suman los resultados.

Comentaremos el caso para n = 2. Por induccion se demuestra para un numero cualquiera n de curvas.

La idea de la demostracion cuando n = 2 se ilustra en la siguiente figura

donde C es la circunferencia exterior y C ′ es la circunferencia interior. Sea R′ la region cuya fronteraorientada Γ1 es el camino que une los puntos A → B siguiendo una recta, B → D siguiendo el semicirculosuperior C ′, de D → E recta y E → A por el semicirculo superior C. Considerese igualmente la fronteraorientada Γ2 de la region R′′. Si ahora plicamos el teorema de Green a cada una de estas dos regiones setiene

∫ ∫R

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)dxdy =

∫ ∫R′

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)dxdy +

∫ ∫R′′

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)dxdy =

∮Γ1

P dx+Q dy +∮

Γ2

P dx+Q dy =∮C

P dx+Q dy −∮C′P dx+Q dy

El signo menos aparece debido a la direccion en que se recorre C ′. Esta es la ecuacion 8.3 en el cason = 2.

Ya hemos visto que para una region simplemente conexa S la condicion∂Q

∂x=∂P

∂yimplica que la integral

de linea∮P dx + Q dy es independiente del camino en S. Si S no es simplemente conexo no se deduce

que la integral de lınea sea independiente del camino, pero como consecuencia del teorema anterior podemosdeducir otra condicion de independencia.

100

Teorema 8.4 (De deformacion de caminos)

Sea f = (P,Q): R2 → R de clase C1 en un abierto arco-conexo S. Supongamos que∂Q

∂x=∂P

∂yen S, sean

C1 y C2 dos curvas de Jordan regulares a trozos situadas en S y que satisfacen las siguientes condiciones

C2 esta en el interior de C1

Los puntos interiores a C1 que son exteriores a C2 pertenecen a S

Entonces se cumple

∮C1

P dx+Q dy =∮C2

P dx+Q dy

recorriendose ambas curvas en el mismo sentido (vease figura 8.5).

Figura 8.5: Deformacion de caminos.

(Dem.) Es consecuencia directa del teorema de Green en regiones doblemente conexas vease figura 8.4.

El teorema tambien puede expresarse diciendo que bajo las condiciones del teorema(∂P

∂y=∂Q

∂x

)el

valor de la integral de lınea a lo largo de una curva cerrada simple en S no varıa si el camino se cambia pordeformacion en otra curva cerrada simple cualquiera de S, de modo que todas las curvas intermedias que sevan obteniendo en la deformacion estan dentro de S. Se supone que S es un abierto y conexo, no es precisoque sea simplemente conexo.

Comentario: El numero de giros

Ya se sabe que el valor de una integral de lınea depende en general de la curva a lo largo de la cual seintegra y del sentido en que dicha curva se recorre. Por ejemplo, la igualdad del teorema de Green, es decirla ecuacion 8.1, exige que la integral se tome en el sentido contrario al de las agujas del reloj. En un sentidoriguroso del teorema de Green serıa necesario describir analıticamente lo que significa recorrer una curvacerrada en el sentido contrario al de las agujas de un reloj, y esto no siempre es sencillo.

Para curvas regulares a trozos puede hacerse introduciendo el concepto de numero de giros, una formaprecisa para contar el numero de veces que vector posicion α de una curva gira alrededor de un punto dadocuando va describiendo una curva cerrada dada. Damos una breve sugerencia de en que consiste este metodo.

Recordemos que si f (x, y) =(− y

x2 + y2,

x

x2 + y2

)y C es la circuferencia de centro (0, 0) y radio 1

parametrizada mediante α(t) = (cos t, sin t), entonces

12π

∮C

f · dα = 1, si C se recorre n veces entonces12π

∮C

f · dα = n.

101

Analogamente puede demostrarse que si C es una curva cerrada del plano, regular a trozos y P = (x0, y0)un punto no situado en la curva C, se tiene

12π

∮C

−(y − y0) dx+ (x− x0) dy(x− x0)2 + (y − y0)2

es siempre un entero positivo, negativo o nulo. Y en particular, si C es una curva de Jordan ese enteroes 0 si P es exterior a C y vale 1 o −1 si P es interior a C.

Esto nos permite definir las orientacion positiva o negativa para C del siguiente modo. Si la integralanterior vale 1 para todo punto P interior a C decimos que α describe C en sentido positivo o contrario alde las agujas del reloj. Si la integral vale −1 decimos que α describe C en sentido negativo o de las agujasdel reloj.

Para probar que la integral da siempre 1 o −1 para una curva C de Jordan alrededor de un punto (x0, y0)basta considerar el abierto y conexo S = R

2 − {(x0, y0)}.

Es facil ver que en la integral∫C

P dx+Q dy se cumple∂P

∂y=∂Q

∂x. Luego por el teorema 8.4 si (x0, y0)

es un punto interior a C podemos reemplazar la curva C por una circuferencia de centro (x0, y0) y el valorde la integral es el mismo.

Si parametrizamos la circunferencia por α(t) = (x0 + a cos t, y0 + a sin t) obtenemos

12π

∮C

f · dα =12π

∮ 2π

0

1 dt = ±1

+1 si la circunferencia se recorre positivamente y −1 si se recorre negativamente.

Ecuaciones diferenciales exactas

Definicion 8.8 Dada una ecuacion diferencial en la forma P (x, y) + Q(x, y) y′ = 0 o en su forma mascomun

P (x, y) dx +Q(x, y) dy = 0 (8.4)

se dice que es una ecuacion diferencial exacta si existe un campo escalar

ϕ: R2 → R que cumple ϕx(x, y) = P (x, y) y ϕy(x, y) = Q(x, y)

y tal que la ecuacion ϕ(x, y) = C define y como funcion ımplicita de x, es decir y = y(x).

Obsevemos que en tal caso se tiene ϕ(x, y(x)) = C ecuacion que derivada respecto de x queda

ϕx(x, y)+ϕy(x, y) y′(x) = 0 =⇒ P (x, y) + Q(x, y) y′ = 0 =⇒ P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0

Como consecuencia ϕ(x, y) = C, con C ∈ R, representa la solucion en forma implıcita de la ecuacion 8.4.

Nos interesa saber cuando una ecuacion diferencial es exacta.

Teorema 8.5 Sean P,Q: S ⊂ R2 → R funciones escalares de clase C1 en el abierto simplemente conexo S.La ecuacion P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 es diferencial exacta si y solo si Py(x, y) = Qx(x, y) ∀(x, y) ∈ S.

(Dem.) Se deduce del teorema de Green ya que en las hipotesis del teorema la condicion Py = Qx es necesariay suficiente para que el campo vectorial f = (P,Q) sea conservativo, esto es f (x, y) = ∇ϕ(x, y).

102

Factor integrante

Sucede a veces que la ecuacion P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0 no es diferencial exacta, pero puede haberuna funcion µ(x, y) de manera que la ecuacion

µ(x, y) P (x, y) dx + µ(x, y) Q(x, y) dy = 0

sı que sea diferencial exacta. La funcion µ(x, y) se denomina factor integrante.

De acuerdo con el teorema anterior para que esta ultima ecuacion sea diferencial exacta se ha de cumplir

(µP )y = (µQ)x esto es, P µy − Q µx + (Py −Qx) µ = 0

Determinar una funcion µ(x, y) que satisfaga la ecuacion anterior no es en general facil, se suelen buscarfactores integrantes que sean funcion solamente de x, de y, de xy, . . ..

La solucion de µ(x, y) P (x, y) dx + µ(x, y) Q(x, y) dy = 0 es tambien solucion de la ecuacion dadaP (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0.

8.2.2. Teorema de Stokes

El teorema de Green expresa una relacion entre una integral doble extendida a una region plana y unaintegral de linea extendida a su frontera orientada. El teorema de Stokes que vamos a enunciar a continuacionse puede considerar como una generalizacion del teorema de Green y establece una relacion entre el flujo deun cierto campo vectorial a traves de una superficie S y la circulacion de cierto campo vectorial a lo largodel borde de S.

Teorema 8.6 (de Stokes).

Sea S una superficie parametrizada simple regular definida por

σ : T ⊂ R2 → R

3 tal que S = σ(T )

con T una region del plano limitada por una curva de Jordan Γ regular a trozos. Supongamos que σ es declase C2 en un abierto que contenga T ∪ Γ.

Designemos por C = σ(Γ) = ∂(S), esto es, C es el borde de S. Sea f = (P,Q,R) : S ⊂ R3 → R3, uncampo vectorial de clase C1. Entonces se cumple

∫S

rot f · dS =∫C=∂(S)

f · dγ

La curva Γ se recorre en sentido positivo (contrario al de las agujas de un reloj) y la curva C en el sentidoresultante de aplicar a Γ la funcion σ (ver figura 8.6).

El producto vectorial Tu × Tv define una orientacion sobre S y C se recorre en el sentido inducido poresa orientacion.

(Dem.)

rot f =

∣∣∣∣∣∣∣i j k∂

∂x

∂

∂y

∂

∂zP Q R

∣∣∣∣∣∣∣ =(∂R

∂y− ∂Q

∂z,∂P

∂z− ∂R

∂x,∂Q

∂x− ∂P

∂y

)

Sea σ(u, v) = (x(u, v), y(u, v), z(u, v)) una parametrizacion de la superficie S. Entonces su productovectorial fundamental es

103

Figura 8.6: Teorema de Stokes.

Tu × Tv =

∣∣∣∣∣∣i j kxu yu zuxv yv zv

∣∣∣∣∣∣ = (yuzv − yvzu, xvzu − xuzv, xuyv − xvyu)

∫S

rot f · dS =∫ ∫

T

rot f (σ(u, v)) · (Tu × Tv)(u, v) dudv =

=∫ ∫

T

{(∂R

∂y− ∂Q

∂z

)(yuzv − yvzu) +

(∂P

∂z− ∂R

∂x

)(xvzu − xuzv) +

(∂Q

∂x− ∂P

∂y

)(xuyv − xvyu)

}dudv =

=∫ ∫

T

{−∂P∂y

(xuyv − xvyu) +∂P

∂z(xvzu − xuzv)

}dudv +

+∫ ∫

T

{−∂Q∂z

(yuzv − yvzu) +∂Q

∂x(xuyv − xvyu)

}dudv +

+∫ ∫

T

{−∂R∂x

(xvzu − xuzv) +∂R

∂y(yuzv − yvzu)

}dudv

Ahora bien

∂

∂u(P xv) − ∂

∂v(P xu) = (Pxxu + Pyyu + Pzzu)xv + Pxuv − (Pxxv + Pyyv + Pzzv) xu − Pxvu =

= −Py(xuyv − xvyu) + Pz(xvzu − xuzv)

Analogamente para los otros integrandos. De manera que queda

∫S

rot f · dS =∫ ∫

T

{∂

∂u(P xv) − ∂

∂v(P xu) +

∂

∂u(Qyv) − ∂

∂v(Qyu) +

∂

∂u(Rzv) − ∂

∂v(Rzu)

}dudv

y si aplicamos el teorema de Green, se obtiene

104

∫S

rot f · dS =∫

Γ

Pxu du+ Pxv dv +∫

Γ

Qyu du+Qyv dv +∫

Γ

Rzu du+ Rzv dv

Por otra parte

∫C

f dα =∫ b

a

f (α(t)) · α′(t) dt

Si suponemos que Γ esta parametrizada por α : [a, b] −→ R2

t �→ (u(t), v(t))

C esta parametrizada por γ = σ ◦ α definidas por

[a, b] α−→ R2 σ−→ R3

t �→ (u(t), v(t)) �→ (x(u(t), v(t)), y(u(t), v(t)), z(u(t), v(t)))

y por tanto

γ′(t) = Dσ(α(t)) ·α′(t) =

xu xv

yu yvzu zv

|α(t)

(u′(t)v′(t)

)=

xuu

′(t) + xvv′(t)

yuu′(t) + yvv

′(t)zuu

′(t) + zvv′(t)

luego

∫C

f dγ =∫ b

a

P (γ(t))(xuu′(t)+xvv′(t)) dt+∫ b

a

Q(γ(t))(yuu′(t)+yvv′(t)) dt+∫ b

a

R(γ(t))(zuu′(t)+zvv′(t)) dt =

=∫

Γ

Pxu du+ Pxv dv +∫

Γ

Qyu du+Qyv dv +∫

Γ

Rzu du+ Rzv dv

Por tanto

∫S

rot f · dS =∫C=∂(S)

f · dγ

Observacion Sabemos que si f :A ⊂ R3 → R

3 es un campo vectorial conservativo de clase C1 en el abiertoA, entonces existe un campo escalar ϕ:A ⊂ R3 → R tal que ∇ϕ(x) = f (x), ∀x ∈ A y por el teorema deSchwarz se cumple que rot f = 0.

En general que un campo vectorial tenga rotacional nulo, es decir sea irrotacional, es condicion necesariapero no suficiente para que sea conservativo, sin embargo en algunos casos sı que lo es. Para definir cuandola condicion de rotacional nulo es ademas suficiente, recordemos la definicion 2.8 de conjunto arco-conexo yveamos la siguiente definicion.

Definicion 8.9 Sean A ⊂ R3 un conjunto arco-conexo y α0, α1 : [0, 1] → A dos caminos en A con el

mismo origen y extremo. Esto es, α0(0) = α1(0) = a y α0(1) = α1(1) = b. Se dice que ambos caminosson homotopicamente equivalentes si existe una aplicacion continua Γ : [0, 1]× [0, 1] → A tal que para cadas ∈ [0, 1], Γs(t) = Γ(s, t) es un camino en A con origen Γs(0) = Γ(s, 0) = a y con extremo Γs(1) = Γ(s, 1) = b.Ademas, Γ0(t) = Γ(0, t) = α0(t) y Γ1(t) = Γ(1, t) = α1(t) ∀t ∈ [0, 1].

Ası pues, dos caminos α0 y α1 son homotopicamente equivalentes si existe una deformacion continua enA que transforma uno en el otro.

105

Definicion 8.10 Sea A ⊂ R3 un conjunto arco-conexo. Se dice que que A es simplemente conexo si todocamino cerrado en A es homotopicamente equivalente a un camino constante. Esto es, si todo camino cerradoen A puede deformarse de forma continua en A y quedar reducido a un punto.

Ejemplo 8.1

Son conjuntos simplemente conexos en R3: R3, una esfera, la region comprendida entre dos esferas,R

3 − {p1, . . . , pn}, R3 − {una semirrecta}, . . ..

No son simplemente conexos en R3: R

3 − {una recta}, R3 − {una curva cerrada}, . . ..

Teorema 8.7 Sea S ⊂ R3 un abierto simplemente conexo. Si f :S ⊂ R3 → R3 es un campo vectorial declase C1 con rot f = 0, entonces tiene potencial escalar en S, esto es, es f es conservativo en S.

(Dem.) Por ser S simplemente conexo, dada una curva cerrada en S siempre la podemos considerar comoel borde de una superficie parametrizada simple y regular en S. Aplicando el teorema de Stokes, deducimos:

∫C

f · dα = 0, para toda curva cerrada C en S.

y sabemos que esto es condicion suficiente para que el campo vectorial f sea conservativo.

Extensiones del teorema de Stokes.

1. El teorema de Stokes puede extenderse a superficies regulares simples mas generales. Por ejemplo:

Sea S una superficie parametrizada simple regular definida por

σ: T ⊂ R2 → R3, σ(T ) = S

donde T es una region de R2 multiplemente conexa (vease fig 8.7).

Figura 8.7: Superficie parametrizada con “agujeros”.

Como σ es inyectiva, S = σ(T ) contendra los mismos “agujeros” que T . Para extender el teoremade Stokes a tales superficies se sigue el mismo razonamiento que en la demostracion del teorema deStokes, solo que se usa el teorema de Green para regiones multiplemente conexas.

De esta forma si T tiene dos agujeros y las curvas frontera Γ, Γ1 y Γ2 son recorridas de forma que laregion quede a la izquierda, el teorema de Stokes se expresa mediante

∫S

rot f · dS =∫C

f · dγ +∫C1

f · dγ1 +∫C2

f · dγ2

106

donde C, C1 y C2 son las imagenes por σ de Γ, Γ1 y Γ2 respectivamente y γ(t) = σ(α(t)), γ1(t) =σ(α1(t)) y γ2(t) = σ(α2(t)). Las funciones α, α1 y α2 describen las curvas Γ, Γ1 y Γ2 en lasdirecciones indicadas.

Las curvas C, C1 y C2 seran recorridas en las direcciones inducidas por la aplicacion σ a partir deΓ, Γ1 y Γ2.El teorema de Stokes tambien puede extenderse a alguna superficies regulares no simples (pero no atodas). Veamos algunos ejemplos

2. Sea el cilindro parametrizado por (vease figura 8.8)

Figura 8.8: Superficie parametrizada no simple.

Se trata en realidad de la reunion de dos superficies parametricas regulares simples S1 y S2, imagenesde dos rectangulos adyacentes T1 y T2 a traves de las aplicaciones σ1 y σ2 restriccion de σ a T1 y T2

respectivamente.

Sea α1 y α2 las funciones que describen las fronteras Γ1 y Γ2 orientadas positivamente. Entonces lasfunciones

γ1(t) = σ(α1(t)) y γ2(t) = σ(α2(t))

describen las imagenes C1 y C2 de Γ1 y Γ2.

Aplicando el teorema de Stokes, obtenemos∫S1

(rot f ) · n1 dS +∫S2

(rot f ) · n2 dS =∫C1

f · dγ1 +∫C2

f · dγ2 (8.5)

donde n1 y n2 son las normales unitarias determinadas por los productos vectoriales fundamentalesde σ1 y σ2.

Como n1 y n2 coinciden en S1 ∩ S2, el primer miembro de la ecuacion 8.5 puede escribirse por∫S1∪S2

(rot f ) · n dS

donde n es el vector unitario determinado por el producto vectorial fundamental de σ.

Es facil ver que σ se ha elegido de manera que γ1 y γ2 determinen direcciones opuestas en cada arcode la interseccion C1 ∩ C2. Por tanto, la ecuacion 8.5 queda∫

S1∪S2

(rot f ) · n dS =∫C′

1

f · dα1 +∫C′

2

f · dα2 (8.6)

donde C ′1 y C ′

2 son las dos circunferencias que forman el borde superior e inferior de S1 ∪ S2. Lasintegrales de linea a traves de estas circuferencias se calculan en las direcciones inducidas, mediante laparametrizacion σ, por las de Γ1 y Γ2. Dado que C ′

1 y C ′2 forman el borde de la superficie S1 ∪ S2,

deducimos que la ecuacion 8.6 expresa que el flujo de rot f a traves de la superficie S1 ∪ S2 se puedecalcular como una integral de linea de f a lo largo de la frontera geometrica orientada de S1 ∪ S2. Seatrata pues de la extension del teorema Stokes al cilindro.

107

3. Sea ahora la superficie de la figura 8.9

Figura 8.9: Banda de Moebius.

Se trata como antes de la reunion de dos superficies parametricas regulares simples S1 y S2 imagenesde dos rectangulos adyacentes T1 y T2. Se llama banda de Moebius.

(Observemos que la circulaciones sobre las rectas verticales en la figura 8.8 se anulan y que no ocurreesto en la figura 8.9).

Definimos α1, α2, C1 y C2 para la banda de Moebius como antes se hizo para el cilindro.

En este caso el borde de S1 ∪ S2 es una curva cerrada simple C ′ y no dos.

Si aplicamos el teorema de Stokes a cada una de las partes S1 y S2 como se hizo en el cilindro obtenemosla ecuacion 8.5. Cuando intentamos sumar las dos integrales de superficie del primer miembro surgeuna dificultad. Las dos normales n1 y n2 no coinciden en sentido en toda la interseccion S1 ∩ S2, noobstante podemos definir n por

n ={

n1 en S1 y en S1 ∩ S2

n2 en el resto

Esto nos da una normal discontinua. Pero el conjunto de de las discontinuidades constituye un conjuntode medida nula en el plano y no afecta a la existencia ni al valor de la integral de superficie

∫S1∪S2

(rot f ) · n dS

La dificultad es mayor con las integrales de lınea del segundo miembro de la ecuacion 8.5. No es posibleque γ1 y γ2 determinen direcciones opuestas en cada uno de los arcos de la interseccion S1∩S2. Siempreuno de los arcos es recorrido dos veces en la misma direccion, y por consiguiente las integrales de lıneasobre el no necesariamente se anularan. Luego la suma de las integrales de lınea no es necesariamenteigual a la integral de lınea sobre el borde de S1 ∪ S2. En consecuencia el teorema de Stokes no puedeextenderse a la banda de Moebius.

El cilindro es un ejemplo de superficie orientable y la bande de Moebius lo es de superficie no orientable.Un modelo en papel de una superficie orientable siempre presenta dos caras que pueden distinguirsepintandolas con colores diferentes. Las superficies no orientables tiene solo una cara. El teorema deStokes puede extenderse a las superficies orientables mediante un procedimiento parecido al seguidopara el cilindro.

4. La esfera es otra superficie orientable (vease figura 8.10)

Se trata de la union de dos superficies parametricas simples S1 y S2 (hemisferios), que pueden consi-derarse como la imagen de aplicaciones σ1 y σ2 definidas sobre un disco circular en el plano.

Damos σ, γ1, γ2, C1 y C2 el mismo significado que en los ejemplos anteriores C1 y C2 correspondenal ecuador. La superficie S1 ∪ S2 se dice cerrada, σ1 y σ2 pueden elegirse de modo que las direccionesdeterminadas por γ1 y γ2 sean opuestas.

Si aplicamos el teorema de Stokes a cada hemisferio y sumamos los resultados, obtenemos la ecuacion8.5 como antes.

108

Figura 8.10: Esfera como superficie orientable.

Las normales n1 y n2 coinciden sobre la interseccion S1 ∩ S2, luego podemos expresar las integralessobre S1 y S2 como una integral sobre toda la esfera y las integrales de lınea de dicha ecuacion 8.5 seanulan. Luego queda

∫S

(rot f ) · n dS = 0

Esto es valido igualmente para toda superficie orientable cerrada.

8.2.3. Teorema de la divergencia (o de Gauss).

El teorema de Stokes expresa una relacion entre una integral de flujo a traves de una superficie y unaintegral de lınea tomada sobre la curva o curvas que constituyen la frontera de tal superficie.

El teorema de de la divergencia expresa una relacion entre una integral triple extendida a un solido yuna integral de superficie sobre la frontera de ese solido.

Teorema 8.8 de Gauss (o de la divergencia).

Sean f :U ⊂ R3 → R

3 un campo vectorial de clase C1 en el abierto U y V un solido de R3 limitado por

una superficie cerrada y orientable S contenida en U , con normal exterior y unitaria n. Entonces, se cumple

∫V

div f dV =∫S=∂(V )

f · n dS

(Dem.) Sean f y n de componentes f = (P,Q,R) y n = (cosα, cosβ, cos γ).

Hemos de demostrar la ecuacion

∫ ∫ ∫V

(∂P

∂x+∂Q

∂y+∂R

∂z

)dxdydz =

∫S=∂(V )

(P cosα+Q cosβ +R cos γ) dS

Basta pues demostrar las siguientes igualdades

∫ ∫ ∫V

∂P

∂xdxdydz =

∫S

P cosα dS (8.7)

∫ ∫ ∫V

∂Q

∂ydxdydz =

∫S

Q cosβ dS (8.8)

109

∫ ∫ ∫V

∂R

∂zdxdydz =

∫S

R cos γ dS (8.9)

Vamos a demostrar unicamente la igualdad 8.9 para un solido V de la forma V = {(x, y, z) ∈ R3 | (x, y) ∈

T, g(x, y) ≤ z ≤ f(x, y)}, donde T es una region conexa del plano xy y f y g son funciones continuas en Ttales que g(x, y) ≤ f(x, y), ∀(x, y) ∈ T (vease figura 8.11).

Figura 8.11: Solido V .

La frontera de V consta en este caso de la superficie S1, que es la grafica de z = f(x, y), la superficieS2 que es la grafica de z = g(x, y) y eventualmente de una superficie S3 que es una superficie cilındricaengendrada por una recta paralela al eje Z que se mueve a lo largo de la frontera de T .

La normal exterior a S tiene componente z no negativa en S1, no positiva en S2 y nula en S3.

Los solidos de este tipo se llaman proyectables-xy. Son ejemplos de estos solidos, una esfera, un elipsoide,un cubo, el toro con eje paralelo al eje Z, etc.

Para este tipo de solidos se cumple

∫ ∫ ∫V

∂R

∂zdxdydz =

∫ ∫T

[∫ f(x,y)

g(x,y)

∂R

∂zdz

]dxdy =

∫ ∫T

[R(x, y, f(x, y)) −R(x, y, g(x, y))] dxdy

Por otra parte, se tiene∫S

R cos γ dS =∫S1

R cos γ dS +∫S2

R cos γ dS +∫S3

R cos γ dS (8.10)

Sobre S3 la normal n tiene tercera componente nula, y por tanto cos γ = 0, luego la tercera integral esnula.

Si parametrizamos S1 y S2 respectivamente por

σ1: T ⊂ R2 −→ R3 σ2: T ⊂ R2 −→ R3

y(x, y) �−→ (x, y, f(x, y)) (x, y) �−→ (x, y, g(x, y))

los productos vectoriales fundamentales son respectivamente

110

∂σ1

∂x× ∂σ1

∂y=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

i j k

1 0∂f

∂x

0 1∂f

∂y

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=(−∂f∂x,−∂f

∂y, 1)

y

∂σ2

∂x× ∂σ2

∂y=

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

i j k

1 0∂g

∂x

0 1∂g

∂y

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣=(−∂g∂x,−∂g

∂y, 1)

Por tanto,

cos γ =1∥∥∥∥∂σ1

∂x× ∂σ1

∂y

∥∥∥∥sobre S1 y cos γ =

−1∥∥∥∥∂σ2

∂x× ∂σ2

∂y

∥∥∥∥sobre S2

valores que llevados a la ecuacion 8.10 nos queda

∫S

R cos γ dS =∫ ∫

T

R(x, y, f(x, y))1∥∥∥∥∂σ1

∂x× ∂σ1

∂y

∥∥∥∥∥∥∥∥∂σ1

∂x× ∂σ1

∂y

∥∥∥∥ dxdy +

+∫ ∫

T

R(x, y, f(x, y))−1∥∥∥∥∂σ2

∂x× ∂σ2

∂y

∥∥∥∥∥∥∥∥∂σ2

∂x× ∂σ2

∂y

∥∥∥∥ dxdy =

=∫ ∫

T

[R(x, y, f(x, y)) −R(x, y, g(x, y))] dxdy

de donde se deduce que

∫ ∫ ∫V

∂R

∂zdxdydz =

∫S

R cos γ dS

Si el solido V fuera proyectable sobre el plano yz un razonamiento analogo demostrarıa la ecuacion 8.7y la ecuacion 8.8 igualmente es valida para un solido proyectable sobre el plano xz.

De esta forma se demuestra que el teorema de la divergencia se cumple en solidos proyectables sobre lostres planos coordenados. Son ejemplos de este tipo de solidos los conjuntos convexos en R

3, esto es, aquellosque dados dos puntos cualesquiera del conjunto el segmento que los une tambien es del conjunto.

El teorema de Gauss tambien se cumple en algunos solidos que no son proyectables sobre los tres planoscoordenados. Por ejemplo en un toro con eje paralelo al eje z. Este toro es proyectable xy pero no lo esxz ni yz. Para comprobar el teorema en este solido cortamos el toro en cuatro partes iguales por mediode los planos coordenados xz y yz. Aplicamos el teorema de Gauss a cada una de las las partes que sı sonproyectables sobre los tres planos coordenados.

La suma de las cuatro integrales triples es la integral triple sobre el toro y al sumar las integrales desuperficie sobre las fronteras de las cuatro regiones vemos que las aportaciones de las caras comunes a las

111

partes adyacentes se anulan unas con otras, puesto que las normales exteriores tienen sentidos opuestos.Luego la suma de las integrales de superficie sobre las cuatro partes es igual a la integral de superficie sobreel toro completo. Este ejemplo permite ver como el teorema de la divergencia puede extenderse a ciertossolidos no convexos.

Campo solenoidal, potencial vector.

Definicion 8.11 Sea f :U ⊂ R3 → R

3 un campo vectorial de clase C1 en el abierto U . Se dice que f es uncampo vectorial solenoidal en U , si existe un campo vectorial g:U ⊂ R3 → R3 tal que rotg = f . En estecaso se dice que g es un potencial vector de f .

Proposicion 8.6 Sea f :U ⊂ R3 → R3 un campo vectorial de clase C1 en el abierto U . Consideremos lassiguientes afirmaciones:

1. f tiene potencial vector en U .

2. Dada una curva orientable C ⊂ U y una superficie orientada S ⊂ U tal que el borde de S sea C,

C = ∂(S), la integral∫S

f dS es independiente de S, depende unicamente de C.

3. Para toda superficie cerrada orientable S ⊂ U , el flujo de f a traves de S es nulo,∫S

f dS = 0.

4. div f = 0.

Se cumplen las siguientes implicaciones

1. =⇒ 2. , 1. =⇒ 3. , 1. =⇒ 4. ,2.⇐⇒ 3. , 2. =⇒ 4. , y 3. =⇒ 4.

(Dem.)

1. =⇒ 2. y 1. =⇒ 3. se deducen del teorema de Stokes.

1. =⇒ 4. ya que la divergencia de un rotacional es nula, vease la propiedad 8. de la proposicion 8.5.

2. =⇒ 4. es consecuencia del teorema de Gauss.

Sin embargo si div f = 0 esto no implica, en general, que f tenga potencial vector, depende de la topologiadel conjunto U donde f es de clase C1. En algunos casos sı puede asegurarse, por ejemplo si U es un conjuntoestrellado.

Definicion 8.12 Un conjunto U ⊂ R3 se dice estrellado si existe un punto p ∈ U tal que para todo x ∈ U

el segmento que une p con x esta contenido en U .

Se conoce el siguiente resultado.

Teorema 8.9 (Lema de Poincare).

Sea f :U ⊂ R3 → R

3 un campo vectorial de clase C1 en el conjunto estrellado U y tal que div f = 0.Entonces, f tiene potencial vector en U .

112

Observaciones

1. Si g es un potencial vector de f , entonces g+grad ϕ tambien es potencial vector de f , es consecuenciade la propiedad 3. de la propsicion 8.5.

2. Para calcular un potencial vector del campo vectorial f se resuelve la ecuacion rot g = f .

Por ejemplo, sea f :U ⊂ R3 → R

3 un campo vectorial de clase C1 en el conjunto estrellado U condiv f = 0. Para calcular un potencial vectorial g = (L,M,N) puede considerarse nula una cualquierade las componentes, por ejemplo N = 0, por lo dicho en apartado anterior, y esto facilita la resolucionde rot g = f .

Aplicaciones del teorema de la divergencia

Dado un campo vectorial f = (P,Q,R) hemos definido

div f =∂P

∂x+∂Q

∂y+∂R

∂zy rot f =

(∂R

∂y− ∂Q

∂z,∂P

∂z− ∂R

∂x,∂Q

∂x− ∂P

∂y

)

Para calcular div f y rot f a partir de estas formulas se necesita conocer las componentes de f encoordenadas cartesianas, por tanto, un cambio en la posicion de los eje coordenados podrıa significar uncambio en las funciones div f y rot f . Sin embargo, como consecuencia de los teorema de Stokes y Gauss,puede demostrarse que div f y rot f representan propiedades intrınsecas del campo vectorial f y no dependende la eleccion de los ejes coordenados que se haga.

Veamoslo en primer lugar para la divergencia.

Teorema 8.10 Sean V (t) una esfera de radio t > 0 y centro en a ∈ R3, S(t) su frontera y f : V (t) ⊂ R

3 → R3

un campo vectorial de clase C1 en V (t). Representamos por |V (t)| el volumen de la esfera V (t) y por n elvector normal unitario y exterior a S(t), entonces se cumple

div f (a) = lımt→0

1|V (t)|

∫S(t)

f · n dS

De esta forma se ve que div f no depende de las coordenadas de f .

(Dem.) Sea ϕ = div f . Dado ε > 0 hemos de encontrar un δ > 0 tal que

∣∣∣∣ϕ(a) − 1|V (t)|

∣∣∣∣∫S(t)

f · n dS < ε siempre que 0 < t < δ (8.11)

Como ϕ es continua en a, ∀ε > 0 ∃Bh(a) tal que |ϕ(x) − ϕ(a)| < ε/2 ∀x ∈ Bh(a).

Luego, si escribimos ϕ(a) = ϕ(x) + (ϕ(a) − ϕ(x)) e integramos ambos miembros de la ecuacion sobre laesfera V (t) de radio t < h, obtenemos

ϕ(a) |V (t)| =∫V (t)

ϕ(x) dV +∫V (t)

(ϕ(a) − ϕ(x)) dV

Si aplicamos el teorema de la divergencia a la primera integral triple de la ecuacion anterior y pasamoseste termino al otro lado de la ecuacion, nos queda

∣∣∣∣∣ϕ(a) |V (t)| −∫S(t)

f · n dS

∣∣∣∣∣ ≤∫V (t)

|ϕ(a) − ϕ(x)| dV ≤ ε

2|V (t)| < ε |V (t)|

113

Si dividimos la desigualdad resultante por |V (t)|, obtenemos que la desigualdad 8.11 se cumple paraδ = h. Esto demuestra el teorema.

En la demostracion anterior no hemos hecho uso especial de que V (t) sea una esfera. El mismo razo-namiento es valido para solidos V (t) en los que el teorema de Gauss sea valido con tal que esos solidoscontengan el punto a y lım

t→0V (t) = a. Por ejemplo, V (t) podrıa ser el cubo inscrito en la esfera de centro a

y radio t.

El teorema 8.10 nos permite tambien una interpretacion fısica de div f . Supongamos que f representa el

vector densidad de flujo de una corriente estacionaria. La integral de superficie∫S(t)

f · n dS mide la masa

total de fluido que pasa a traves de S en la unidad de tiempo en la direccion de n.

El cociente1

|V (t)|∫S(t)

f · n dS representa la masa por unidad de volumen que fluye a traves de S y

en la direccion de n. Cuando t → 0 el lımite de este cociente es la divergencia f en a, que por tanto, puedeinterpretarse como el coeficiente de variacion de masa por unidad de volumen y en la unidad de tiempo ena.

Para ver igualmente que el rot f no depende del sistema de coordenadas, veamos la siguiente igualdad

n · rot f (a) = lımt→0

1|S(t)|

∮c(t)

f · dα (8.12)

En esta formula S(t) es un disco de radio t y centro a, |S(t)| representa su area y c(t) su borde, n es elvector normal a S(t) y unitario, α es una parametrizacion de c(t) tal que orienta la curva de manera quevista desde el extremo de n sea en sentido contrario al de las agujas del reloj y f es un campo vectorial declase C1 en S(t).

La demostracion de la formula 8.12 es semejante a la del teorema 8.10. Una interpretacion fısica cuandof es un campo de velocidades es la siguiente:

La integral de lınea sobre c(t) es la circulacion de f a lo largo de la curva. Entonces

lımt→0

1|S(t)|

∮c(t)

f · dα

representa la circulacion por unidad de area en el punto a.

De este modo, n · rot f (a) puede considerarse como una densidad de circulacion de f en a con respectoa un plano perpendicular a n en a.

Bibliografıa

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