Apuntes Clase 3 Algebra Modulo 2 actualizado

Funciones trigonométricas de ángulos generalesFunciones Circulares

Propiedades de las funciones trigonométricas inversasEcuaciones Trigonométricas

Aplicaciones

Funciones trigonométricas de ángulosgenerales

Fernando Flores Bazá[email protected]

Universidad del Bío BíoFacultad de Ciencias

Fernando Flores Bazán Funciones trigonométricas de ángulos generales



Aplicaciones

Contenido

1 Funciones trigonométricas de ángulos generales

2 Funciones CircularesFunicones trigonométricasFunciones trigonométricas inversas

3 Propiedades de las funciones trigonométricas inversas

4 Ecuaciones Trigonométricas

5 Aplicaciones




Aplicaciones

Consideremos θ ángulo en posición normal ubicados en cadacuadrante(IC, IIC, IIIC, IVC) y elegimos al punto P (x, y) en ellado terminal del ángulo θ

θ θ′

0

r

P (x, y)

•

y

xFernando Flores Bazán Funciones trigonométricas de ángulos generales



Aplicaciones

θ

θ′

0

r

P (x, y)

•

y

x




Aplicaciones

θ

θ′ 0

r

P (x, y)

•

y

x




Aplicaciones

θ

θ′0

r

P (x, y)

•

y

x




Aplicaciones

Definición1 Sea θ un ángulo en posición normal, θ ∈ 0, 2π], y sea

P (x, y) 6= (0, 0) ubicado en el lado terminal de θ, yr =

√

x2 + y2, entonces se define:

sen(θ) =y

rcos(θ) =

x

rtan(θ) =

y

x

cot(θ) =x

ysec(θ) =

r

xtan(θ) =

r

y

2 Se define θ′

ángulo de referencia para θ como el ánguloagudo formado por el lado terminal de θ y el eje x.

Observación

Para encontrar el valor de una función trigonométrica de unángulo θ se procede :

Encuentre el ángulo de referencia θ′

Determine el valor de la función trigonométrica θ′

.Fernando Flores Bazán Funciones trigonométricas de ángulos generales



Aplicaciones

Funicones trigonométricasFunciones trigonométricas inversas

En esta sección estudiaremos a las funciones trigonométricassobre un dominio que es el conjunto de los números reales quea los ángulos, y se realizará en la circunferencia de radio 1.

Definición

Un circunferencia con centro en el origen y radio 1 se llamacircunferencia unitaria .

1

−1

1−1




Aplicaciones


Definición (Función Seno)

La función seno se define por

sen : IR → [−1, 1]x 7→ sen(x)

1

−1

π 3π2

π2

2π

dom(sen) = IR y rec(sen) = [−1, 1]




Aplicaciones


Definición (Función Coseno)

La función Coseno se define por

cos : IR → [−1, 1]x 7→ cos(x)

1

−1

π 3π2

π2

2π

dom(cos) = IR y rec(cos) = [−1, 1]




Aplicaciones


Definición (Función Tangente)

La función Tangente se define por

tan : IR− {nπ2, n ∈ Z} → IR

x 7→ tan(x)

1

−1

ππ2

dom(tan) = IR− {nπ

2, n ∈ Z} y rec(tan) = IR




Aplicaciones


Definición (Función Cotangente)

La función Cotangente se define por

cot : IR− {nπ, n ∈ Z} → IRx 7→ cot(x)

,23truetrue,

dom(cot) = IR− {nπ, n ∈ Z} y rec(cot) = IR




Aplicaciones


Definición (Función Secante)

La función Secante se define por

sec : IR− {π2+ nπ, n ∈ Z} → IRx 7→ sec(x)

,23truetrue,

dom(sec) = IR−{π

2+nπ, n ∈ Z} y rec(sec) =]−∞,−1]∪[1,+∞[




Aplicaciones


Definición (Función Cosecante)

La función Cosecante se define por

cosec : IR− {x : x = nπ, n ∈ Z} → IRx 7→ cosec(x)

,23truetrue,

dom(cosec) = IR−{nπ, n ∈ Z} y rec(cosec) =]−∞,−1]∪[1,+∞[




Aplicaciones


Observación1 Las funciones sen(θ), cos(θ), sec(θ), cosec(θ) tienen

período 2π. Mientras que las funciones tan(θ), cot(θ)tienen π.

2 La función sen(θ) es impar por lo tanto sen(−θ) = −sen(θ).3 La función cos(θ) es par por lo tanto cos(−θ) = cos(θ).




Aplicaciones


Propiedades

cos(π2− x) = sen(x) sen(π

2− x) = cos(x)

cos(x+ π) = − cos(x) sen(x+ π) = −sen(x)

cos(π − x) = − cos(x) sen(π − x) = sen(x)

sen(x± y) = sen(x) cos(y)± sen(y) cos(x)

cos(x+ y) = cos(x) cos(y)− sen(x)sen(y)

cos(x− y) = cos(x) cos(y) + sen(x)sen(y)

tan(x+ y) =tanx+ tan y

1− tanx tan y




Aplicaciones


Propiedades

tan(x− y) =tanx− tan y

1 + tan x tan y

cos(2x) = cos2(x)− sen2(x)

sen(2x) = 2sen(x) cos(x)

cos(2x) = 1− 2sen2(x) = 2 cos2(x)− 1

sen(x) + sen(y) = 2sen(

x+y2

)

cos(

x−y2

)

sen(x)− sen(y) = 2 cos(

x+y2

)

sen(

x−y2

)

cos(x) + cos(y) = 2 cos(

x+y2

)

cos(

x−y2

)

cos(x)− cos(y) = −2sen(

x+y2

)

sen(

x−y2

)




Aplicaciones


Definición (Función Arcoseno)

y = arcsenx ⇐⇒ x = seny, y ∈ [−π/2, π/2]

⇐⇒

{

sen(arcsenx) = x, x ∈ [−1, 1]

arcsen(seny) = y, y ∈ [−π/2, π/2]




Aplicaciones


Definición (Función Arcocoseno)

y = arccosx ⇐⇒ x = cos y, y ∈ [0, π]

⇐⇒

{

cos(arccosx) = x, x ∈ [−1, 1]

arccos(cos y) = y, y ∈ [0, π]




Aplicaciones


Definición (Función Arcotangente)

y = arctanx ⇐⇒ x = tan y, y ∈ ]− π/2, π/2[

⇐⇒

{

tan(arctanx) = x, x ∈ ]−∞,+∞[

arctan(tan y) = y, y ∈ ]− π/2, π/2[




Aplicaciones


Definición (Función Arcocotangente)

y = arc cot x ⇐⇒ x = cot y, y ∈ ]0, π[

⇐⇒

{

cot(arc cot x) = x, x ∈ ]−∞,+∞[

arc cot(cot y) = y, y ∈ ]0, π[




Aplicaciones


Definición (Función Arcosecante)

y = arcsecx ⇐⇒ x = secy, y ∈ [−π,−π/2[∪[0, π/2[

⇐⇒

{

sec(arcsecx) = x, x ∈ ]−∞,−1] ∪ [1,+∞[

arcsec(secy) = y, y ∈ [−π,−π/2[∪[0, π/2[




Aplicaciones


Definición (Función Arcocosecante)

y = arc csc x ⇐⇒ x = csc y, y ∈ [−π,−π/2[∪]0, π/2]

⇐⇒

{

csc(arc csc x) = x, x ∈ ]−∞,−1] ∪ [1,+∞[

arc csc(csc y) = y, y ∈ [−π,−π/2[∪]0, π/2]




Aplicaciones

i) arccosx = π/2− arcsenx, |x| ≤ 1 ii) arcsecx = arccos(1

x), x ≥

iii) arc csc x = arcsen(1

x), x ≥ 1 iv) arc cot x =

π

2− arctanx, x

v) cos(arcsenx) =√

1− x2, |x| ≤ 1 vi) sin(arccosx) =√

1− x2,

vii) cot(arc csc x) =√

x2 − 1, |x| ≥ 1 viii) csc(arc cot x) =√

1 + x2




Aplicaciones

Sean las funciones siguientes

(a) y = k ± asenb(x− h) (b) y = k ± a cos b(x− h)

donde a, b, h y k son reales a 6= 0 y b 6= 0 se define1 A = |a| amplitud de una onda senoidal.2 D = |h| defasamiento de la gráfica.

3 T =2π

|b|período fundamental de la función




Aplicaciones

Considere el triángulo ABC con ángulos α, β, γ cuyos ladosopuestos a esos ángulos tienen longitudes a, b, crespectivamente.

c a

bA

B

Cα

β

γ

Teorema del senoa

sen(α)=

b

sen(β)=

c

sen(γ)

Teorema del Coseno

a2 = b2 + c2 − 2bc cos(α)

b2 = a2 + c2 − 2ac cos(β)

c2 = a2 + b2 − 2ab cos(γ)




Aplicaciones

Definición1 Si la línea de visibilidad y el objeto están por encima de la

línea horizontal, el ángulo se llama ángulo de elevación .2 Si la línea de visibilidad y el objeto están por debajo de la

línea horizontal, el ángulo se llama ángulo de depresión .3 Un orientador marca el ángulo agudo que forma una recta

con la recta norte-sur.


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