Apunte_Micro I-Krell, Rojas, Torres-Martínez

Teorıa del ConsumidorApuntes de Clases de Microeconomıa I1

Rodrigo Krell2 Eugenio Rojas3 Juan Pablo Torres-Martinez 4

Facultad de Economıa y Negocios

Universidad de Chile

Borrador al 22 de junio de 2009

1Estos apuntes solo pretenden ser una guıa para las catedras y un complemento para elestudio. En ningun caso constituyen un sustituto a los apuntes que el alumno pueda tomar ensus clases. Estos apuntes se encuentran en estado de permanente correccion y evolucion.

2Universidad de Chile. e-mail: [email protected] de Chile. e-mail: [email protected] de Chile. e-mail: [email protected].

mailto:[email protected]




Universidad de Chile Microeconomıa I

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Indice general

1. Principios Matematicos 31.1. Concavidad y convexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1. Concavidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.2. Convexidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.3. Cuasiconcavidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.1.4. Conjunto Convexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2. Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.1. Reglas Basicas de Derivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.2. Derivadas de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.3. Derivadas Parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3. Derivada total . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4. Funciones homogeneas y Teorema de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5. Funcion implıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.6. Optimizacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.6.1. Maximizacion sin restricciones utilizando derivadas . . . . . . . . 91.6.2. Maximizacion con restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.6.3. Teorema de la envolvente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2. Teorıa del Comportamiento del Consumidor 132.1. Las Preferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.1.1. Relaciones de preferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.1.2. La funcion de Utilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.1.3. La Utilidad Marginal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.1.4. Tasa Marginal de Sustitucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.1.5. La elasticidad de sustitucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.1.6. Funciones de Utilidad homogeneas y homoteticas . . . . . . . . . 242.1.7. Funciones de utilidad tıpicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2.2. La eleccion del consumidor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.2.1. La restriccion presupuestaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.2.2. La maximizacion de la utilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.2.3. Bienes normales e inferiores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322.2.4. Soluciones de Esquina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.2.5. La Funcion de Utilidad Indirecta . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

iii



2.3. El Problema Dual: la minimizacion del gasto . . . . . . . . . . . . . . . . 362.3.1. La Funcion de Gasto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2.4. Relaciones entre el problema primal y el dual . . . . . . . . . . . . . . . 402.4.1. Relaciones entre v(p, y) y e(p, u) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402.4.2. Dualidad entre la demanda marshalliana y la hicksiana . . . . . . 422.4.3. Comparacion entre el Problema Primal y el Dual . . . . . . . . . 42

2.5. Estatica Comparativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.5.1. Efecto sobre la demanda del cambio en un precio . . . . . . . . . 422.5.2. Curva de Engel o Senda de Expansion . . . . . . . . . . . . . . . 45

2.6. Propiedades empıricas y relaciones de demanda entre los bienes . . . . . 472.6.1. Homogeneidad de la demanda en terminos de elasticidades . . . . 482.6.2. Agregacion de Engel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 482.6.3. Agregacion de Cournot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492.6.4. Relaciones de demanda entre los bienes . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.7. Analisis de bienestar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 502.7.1. (Cambio en el) Excedente del consumidor . . . . . . . . . . . . . 502.7.2. Variacion Equivalente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 512.7.3. Variacion Compensatoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

2.8. La demanda de mercado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.9. Las preferencias reveladas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 522.10. Numeros ındice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.10.1. Indices de Cantidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 542.10.2. Indices de Precios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3. Aplicaciones de la teorıa del consumidor 573.1. Modelo de oferta laboral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.1.1. El modelo basico de ocio-consumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 573.1.2. Ecuacion de Slutsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 623.1.3. Estatica comparativa en el modelo basico . . . . . . . . . . . . . . 643.1.4. Extensiones del modelo basico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.2. Consumo Intertemporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.2.1. La funcion de utilidad intertemporal . . . . . . . . . . . . . . . . 703.2.2. Consumo Intertemporal Con Mercados Financieros . . . . . . . . 713.2.3. Consumo Intertemporal Con Posibilidades de Inversion . . . . . . 753.2.4. Consumo Intertemporal Con Mercados Financieros y Posibilidades de Inversion 79

4. Incertidumbre 834.1. Preferencias: La funcion de utilidad esperada . . . . . . . . . . . . . . . . 844.2. Aversion al riesgo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

4.2.1. Medicion de la aversion al riesgo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 864.3. Mecanismos de reduccion de incertidumbre . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

4.3.1. Seguros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 874.3.2. Diversificacion del riesgo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 884.3.3. Difusion o agrupacion del riesgo (risk sharing) . . . . . . . . . . . 89

iv



5. Equilibrio General 915.1. La nocion de equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.2. Analisis grafico de equilibrio: la caja de Edgeworth . . . . . . . . . . . . 955.3. Eficiencia de Pareto y curva de contrato . . . . . . . . . . . . . . . . . . 985.4. Equilibrio Walrasiano y Pareto eficiencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

A. Ejercicios 103A.1. Ejercicios del capıtulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103A.2. Ejercicios del capıtulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107A.3. Ejercicios del capıtulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

B. Respuestas a ejercicios seleccionados 113B.1. Soluciones a ejercicios del capıtulo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113B.2. Soluciones a ejercicios del capıtulo 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118B.3. Soluciones a ejercicios del capıtulo 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

v



vi

Indice de figuras

1.1. Conjunto convexo y conjunto no convexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.1. Continuidad de las preferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.2. No-saciacion local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3. Monotonicidad de las preferencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.4. Preferencias convexas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.5. Elasticidad de sustitucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.6. Funcion de utilidad homotetica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.7. Funcion CES con ρ = −5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.8. Funcion CES con ρ → 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.9. Funcion CES con ρ = 0,5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.10. Funcion CES con ρ = 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.11. funcion CES con ρ = 1,5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.12. Maximizacion de la utilidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.13. Curva de demanda marshalliana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.14. Solucion Esquina en la Eleccion del Consumidor . . . . . . . . . . . . . . 332.15. Problema Dual: Minimizacion del Gasto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.16. Curva de demanda hicksiana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.17. Efectos de un aumento de p1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 432.18. Curva de Engel para un bien normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 462.19. Curva de Engel para un bien inferior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472.20. Medidas de cambio en bienestar para un bien normal . . . . . . . . . . . 52

3.1. Restriccion ocio-consumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.2. Oferta laboral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 593.3. Salario de reserva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 603.4. Curva de Oferta Laboral Ocio Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.5. Curva de Oferta Laboral Ocio Normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643.6. Efecto de un aumento del salario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 653.7. Subsidio de Cesantıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 663.8. Costos de Transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.9. Costos de Transporte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 683.10. Consumo Intertemporal con Mercados Financieros . . . . . . . . . . . . . 723.11. Ahorro o Desahorro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

vii



3.12. Robinson Crusoe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.13. Posibilidades de Inv. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.14. Inversion optima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 783.15. Inversion, Consumo y Ahorro optimos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 803.16. Inversion, Consumo y Ahorro optimos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

4.1. Utilidad Esperada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.1. Caja de Edgeworth y curvas de indiferencia . . . . . . . . . . . . . . . . 965.2. Caja de Edgeworth y recta presupuestaria . . . . . . . . . . . . . . . . . 975.3. Equilibrio en la caja de edgeworth . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

B.1. Preferencias lexicograficas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

viii

Introduccion

Como toda ciencia social, la economıa trata del estudio del comportamiento humano.En particular, la teorıa microeconomica intenta modelar los fenomenos economicos comola interaccion de agentes economicos individuales que actuan de acuerdo a sus propiosintereses. En este curso estudiaremos la base de esta teorıa, y para ello, nuestro objetode estudio sera el consumidor. Haremos supuestos, los cuales dentro de un determinadomarco analıtico nos permitiran obtener conclusiones.

La importancia de los supuestos

Dado que la economıa intenta estudiar parte del comportamiento humano, trata sobrefenomenos que son intrınsecamente muy complejos. El enfoque que la ciencia economi-ca utiliza para abordar esta complejidad consiste en la imposicion de supuestos, quepermiten al economista concentrarse en los aspectos centrales de cada problema.

Los supuestos son, por naturaleza, irreales. Una teorıa economica no se juzga deacuerdo a cuan realistas son los supuestos que utiliza. Por ejemplo, el supuesto basicode la economıa es la racionalidad de los individuos. Sin embargo, nadie se hara famosopor demostrar que las personas no actuan racionalmente: cada economista sabe perfec-tamente que en el mundo real las personas no son racionales.

Ninguna teorıa cientıfica es absolutamente correcta. Los cientıficos deben contentarsecon utilizar la mejor teorıa disponible. A raız de lo dicho anteriormente, no se debecometer el error de subestimar las conclusiones que se provienen de la formulacion desupuestos irreales.

Tambien debe evitarse caer en otro tipo de error: sobreestimar las conclusiones dela teorıa economica. Dada la irrealidad de los supuestos que utilizamos, estos seranrazonables solo dentro de cierto ambito, y por lo tanto, nuestra teorıa tambien lo sera.

1



2

Capıtulo 1

Principios Matematicos

Introduccion

El uso de las matematicas en este curso no es un capricho, ası como no lo es lautilizacion del lenguaje matematico en la teorıa economica moderna. Las matematicasson, hoy en dıa, el lenguaje de la economıa: permiten formular las hipotesis y supuestosde una forma clara, sin ambiguedades.

Este capıtulo pretende recordar a los alumnos algunos conceptos matematicos queutilizaremos a lo largo de este curso. Las materias que trataremos en este repaso son partede los cursos de calculo, pero la experiencia nos muestra que los alumnos no poseen undominio adecuado de ellas.

3



1.1. Concavidad y convexidad

Definicion 1.1.1. Sean x1,x2 ∈ Rn. Diremos que z es una combinacion convexa de x1

y x2 si y solo si existe t ∈ [0, 1] tal que z = tx1 + (1 − t)x2.

1.1.1. Concavidad

Definicion 1.1.2. Sea f : U ⊆ Rn → R una funcion. Decimos que f es concava si

para dos elementos cualesquiera u,v ∈ U ,

f(tu + (1 − t)v) ≥ tf(u) + (1 − t)f(v), ∀t ∈ [0, 1]. (1.1)

Definicion 1.1.3. Sea f : U ⊆ Rn → R una funcion. Decimos que f es estrictamente

concava si para dos elementos cualesquiera u,v ∈ U ,

f(tu + (1 − t)v) > tf(u) + (1 − t)f(v), ∀t ∈]0, 1[. (1.2)

1.1.2. Convexidad

Definicion 1.1.4. Sea f : U ⊆ Rn → R una funcion. Decimos que f es convexa si


f(t u + (1 − t)v) ≤ tf(u) + (1 − t)f(v), ∀t ∈ [0, 1]. (1.3)

Definicion 1.1.5. Sea f : U ⊆ Rn → R una funcion. Decimos que f es estrictamente

convexa si para dos elementos cualesquiera u,v ∈ U ,

f(t u + (1 − t)v) < tf(u) + (1 − t)f(v), ∀t ∈]0, 1[. (1.4)

Tarea: Demostrar f(x1, x2) = x21 + x2

2 es una funcion estrictamente convexa.

1.1.3. Cuasiconcavidad

Definicion 1.1.6. Una funcion f : U ⊆ Rn → R es cuasiconcava si para dos elemen-

tos cualesquiera u,v ∈ U ,

f(tu + (1 − t)v) ≥ mın{f(u), f(v)}, ∀t ∈ [0, 1]. (1.5)

Definicion 1.1.7. Una funcion f : U ⊆ Rn → R es estrictamente cuasiconcava si


f(tu + (1 − t)v) > mın{f(u), f(v)}, ∀t ∈]0, 1[. (1.6)

Tarea: Demuestre que si f : U ⊆ Rn → R una funcion (estrictamente) concava,

entonces, f es (estrictamente) cuasiconcava.

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1.1.4. Conjunto Convexo

Un conjunto es convexo si dados dos elementos cualesquiera del conjunto toda com-binacion convexa de ellos esta contenida en el conjunto.

Definicion 1.1.8. Un conjunto S ⊆ Rn es convexo si para todo x1,x2 ∈ S, se tiene que

tx1 + (1 − t)x2 ∈ S, ∀ t ∈ [0, 1].

x

x

yy

Figura 1.1: Ejemplo de conjunto convexo y conjunto no convexo.

1.2. Derivadas

La derivada de una funcion de una variable corresponde a la tasa de cambio ins-tantanea en los valores de la funcion con respecto a la variable independiente. Esta tasade cambio nos indica con que “velocidad” crece o decrece una funcion a lo largo de uneje, y es calculada obteniendo la pendiente de una recta tangente a la funcion en unpunto.

Definicion 1.2.1. Para una funcion f : U ⊆ R → R, la derivada de f en el puntox0 ∈ U se define como:

f ′(x0) = lımh→0

f(x0 + h) − f(x0)

h(1.7)

Indistintamente, denotaremos tambien la derivada de f en el punto x0 comodf

dx(x0).

1.2.1. Reglas Basicas de Derivacion

(a) Sea f(x) = c ⇒ f ′(x) = 0

(b) Sea f(x) = axb ⇒ f ′(x) = b · a · xb−1

(c) Sea f(x) = ex ⇒ f ′(x) = ex

(d) Sea f(x) = ln(x) ⇒ f ′(x) = 1x

5



(e) Sea f(x) = ax ⇒ f ′(x) = ax ln a

(f) Sean f y g dos funciones, entonces:

d[f ± g]

dx(x0) =

df

dx(x0) ±

dg

dx(x0)

d[f · g]

dx(x0) = f ′(x0)g(x0) + f(x0)g

′(x0)

d[

fg

]

dx(x0) =

f ′(x0)g(x0) − f(x0)g′(x0)

g2(x0), con g(x0) 6= 0.

(g) Regla de la cadena:

d[g ◦ f ]

dx(x0) = g′(f(x0)) · f ′(x0).

1.2.2. Derivadas de orden superior

Si una funcion f : U ⊆ Rn → R es derivable, podrıamos preguntarnos si su derivada,

f ′ : U ⊆ Rn → R es a su vez derivable en el punto x0. De ser ası, podemos denominar a

la derivada de f ′ en x0 como la segunda derivada de f en dicho punto, y la denotamospor

f ′′(x0) od2f

dx2(x0) :=

d

dx

(df

dx

)

(x0).

De la misma forma, podrıamos preguntarnos si f ′′ : U ⊆ Rn → R es derivable en x0.

En ese caso, podemos denominar la derivada de f ′′ en x0 como la tercera derivada def en x0, y la denotamos por

f ′′′(x0) o f [3](x0) od3f

dx3(x0) :=

d

dx

(d2f

dx2

)

(x0),

y ası sucesivamente. En general, f [n] denotara la derivada de orden n de f .

Definicion 1.2.2. Sea f : U ⊆ Rn → R una funcion tal que f [k] existe y esta bien

definida en U . Si f [k] es una funcion continua, entonces decimos que f es k vecescontinuamente diferenciable, o de clase Ck.

Nota: Todo polinomio es de clase C∞, es decir, es infinıtamente diferenciable.

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1.2.3. Derivadas Parciales

Sea f : U ⊆ Rn → R una funcion que depende de n variables, (x1 . . . xn). La derivada

parcial de f con respecto a xi en el punto x0 ∈ U se denota como fi(x0) o∂f

∂xi(x0) y es

definida por:∂f

∂xi(x0) = lım

h→0

f(x0 + hei) − f(x0)

h, (1.8)

donde el vector ei denota el i-esimo elemento de la base canonica de Rn.

Obviamente se pueden calcular derivadas parciales de segundo orden. De hecho, dadaf : U ⊆ R

n → R, la derivada de segundo orden de f respecto a las variables xi y xj es

definida como la derivada de la funcion∂f

∂xirespecto a la variable xj . En notacion,

∂2f

∂xi∂xj(x0) o fij(x0) =

∂(

∂f∂xi

)

∂xj(x0). (1.9)

Para i 6= j, fij recibe el nombre de derivada parcial cruzada.

Teorema de Young

A priori,∂2f

∂xi∂xjy

∂2f

∂xj∂xison funciones diferentes, pues son distintas derivadas de

distintas funciones. Resulta que estas dos funciones son iguales bajo ciertas circunstan-cias:

Teorema 1.2.1 (Young). Si f : U ⊆ Rn → R es dos veces contınuamente diferenciable

o de clase C2, entonces

∂2f

∂xixj(x1, . . . , xn) =

∂2f

∂xjxi(x1, . . . , xn).

1.3. Derivada total

Sea f : U ⊆ Rn → R una funcion. Dada una variable independiente t, hace sentido

preguntarse por la derivada de f en relacion a t en el punto x0 ∈ U . Caso esta derivadaexista, y la regla de la cadena pueda ser aplicada, sigue que

df

dt(x0) =

n∑

i=1

∂f

∂xi

(x0)dxi

dt(x0), (1.10)

donde dxi

dtdenota la derivada de la variable xi en relacion a la nueva variable t.

Como la ecuacion anterior es valida para cualquier variable independiente t, es usualutilizar la siguiente notacion:

df =

n∑

i=1

∂f

∂xidxi.

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Intuitivamente, una variacion infinitesimal en f (producida por un cambio en una variableindependiente cualquiera) puede ser descompuesta en una suma ponderada de efectosparciales. Esto es, la suma de los efectos sobre cada una de las variables originales(x1 . . . xn) ponderados por los efectos que estas variables tienen sobre la funcion f (loscuales son dados por las derivadas parciales).

Es usual referirse a df como la derivada total de la funcion f .

1.4. Funciones homogeneas y Teorema de Euler

Definicion 1.4.1. Una funcion f : Rn+ → R es (positivamente) homogenea de

grado r ≥ 0 si

f(tx1, tx2, . . . , txn) = trf(x1, x2, . . . , xn), ∀t > 0.

Teorema 1.4.1 (Euler). : Si una funcion f : Rn+ → R es homogenea de grado r ≥ 0,

entoncesn∑

i=1

∂f

∂xi(x)xi = rf(x), ∀x = (x1, . . . xn) ∈ R

n+.

Teorema 1.4.2. Si una funcion f : Rn+ → R es homogenea de grado r ≥ 1, entonces

sus derivadas parciales son funciones homogeneas de grado r − 1.

1.5. Funcion implıcita

Muchas veces existe una relacion funcional entre dos variables, la cual es dada poruna ecuacion del tipo F (x1, x2) = 0. Sin embargo, puede ser imposible “despejar” unavariable en funcion de la otra.

Ejemplo 1.5.1. Suponga que

ex1x2 − cos(x1x2) = 0

describe la relacion existente entre x1 y x2. Es evidente que no es posible escribir explıci-tamente x2 como funcion de x1.

A pesar de este problema, se puede conocer el efecto que una variable tiene sobrela otra, sin necesidad de tener una forma analıtica para dicha funcion. De hecho, paraconocer el efecto que x1 tiene sobre x2, podemos derivar la funcion F en relacion a x1.Por la regla de la cadena, y siempre que F2(x1, x2) 6= 0, es posible obtener

dx2

dx1

(x0) = −F1(x0)

F2(x0)(1.11)

Tarea: Demostrar.

8



1.6. Optimizacion

Definicion 1.6.1. Sea f : U ⊆ Rn → R una funcion. Decimos que x∗ es un maximo de

f en U si y solo si f(x∗) ≥ f(x) para todo x ∈ U .

Si un problema de optimizacion consiste en encontrar el (o los) valor(es) de x ∈ U enque f alcanza su maximo valor, decimos que dicho maximo es la solucion del problema.

Definicion 1.6.2. Una funcion valor de un problema de optimizacion es la funcionobjetivo evaluada en la solucion.

Por ejemplo, consideremos una funcion que depende de x y de un vector de parametrosa. Obviamente, la solucion de este problema dependera de a. Entonces, si el valor de xque maximiza f(x, a) es x∗(a), entonces la funcion valor es M(a) = f(x∗(a), a).

1.6.1. Maximizacion sin restricciones utilizando derivadas

Funcion de una variable

Para encontrar el maximo de una funcion f : U ⊆ R → R dos veces derivable, existendos criterios importantes.

Cuando un punto x∗ ∈ U cumple con la siguiente condicion de primer orden (CPO),

la cual es necesaria, decimos que es un candidato a maximo:df

dx(x∗) = 0.

Para que el candidato x∗ sea el correspondiente al maximo valor de la funcion obje-tivo, es suficiente que la funcion sea estrictamente concava en U . Esta corresponde a lacondicion suficuente de segundo orden (CSO). Caso solo nos interese un maximo local,

es suficiente pedir qued2f

dx2(x∗) < 0.

Funcion de varias variables

Cuando existe mas de una variable de eleccion, las condiciones de optimizacion sonanalogas al caso visto anteriormente.

Sea f : U ⊆ Rn → R una funcion dos veces derivable. En este caso, las condiciones

de primer orden (CPO) vienen dadas por

fi(x∗) = 0 ∀i = 1, . . . , n. (1.12)

Si la funcion es estrictamente concava en U , existira una sola solucion al sistema deecuaciones dado por la condicion de primer orden. Caso contrario, hay que encontrarun criterio para discriminar entre los posibles candidatos a maximo local. Para esto, essuficiente que la matriz Hessiana

H(x∗) :=

f11(x∗) . . . f1n(x∗)

.... . .

...fn1(x

∗) . . . fnn(x∗)

n×n

9



sea definida negativa en el punto x∗. Esto es, htH(x∗)h < 0 para todo vector h ∈ Rn.

Una regla de oro para probar que la matriz H(x∗) es definida negativa consiste enencontrar los menores principales (evaluados en x∗)

|H1| = f11

|H2| =

∣∣∣∣

f11 f12

f21 f22

∣∣∣∣

...

|Hn| =

∣∣∣∣∣∣∣

f11 . . . f1n...

. . ....

fn1 . . . fnn

∣∣∣∣∣∣∣

y verificar que: |H1| < 0; |H2| > 0; |H3| < 0, . . . , (−1)n|Hn| > 0.

1.6.2. Maximizacion con restricciones

Dadas f, gi, hj : U ⊆ Rn → R, donde i ∈ {1, . . . k}, j ∈ {1, . . . , m}, considere el

siguiente problema

maxx∈U

f(x) (1.13)

sujeto a gi(x) ≥ 0, ∀i ∈ {1, . . . k} (1.14)

hj(x) = 0, ∀j ∈ {1, . . .m} (1.15)

Es decir, se desea encontrar el maximo valor de f sujeto a k restricciones de desigualdady m restricciones de igualdad.

Nuestro objetivo es reducir el problema anterior a encontrar la solucion de un pro-blema sin restricciones. Para esto, necesitaremos de algunas definiciones previas.

Definicion 1.6.3. Un vector x ∈ U es factible si satisface las restricciones del problemaanterior. Esto es, x ∈ U es factible si

gi(x) ≥ 0, ∀i ∈ {1, . . . k}hj(x) = 0, ∀j ∈ {1, . . .m}

Definicion 1.6.4. Un vector (λ, µ) ∈ Rk ×R

m es una familia de multiplicadores deKuhn-Tucker asociados con x∗ ∈ U si

λi ≥ 0, ∀i ∈ {1, . . . , k};λigi(x

∗) = 0, ∀i ∈ {1, . . . , k};L(x∗, λ, µ) ≥ L(x, λ, µ), ∀x ∈ U ;

donde

L(x, λ, µ) = f(x) +k∑

i=1

λigi(x) +m∑

j=1

µjhj(x).

10



Observacion: La funcion L : U ×Rk ×R

m → R introducida en la definicion previa esusualmente denominada Lagrangiano del problema.

Teorema 1.6.1. Sea (λ, µ) ∈ Rk × R

j una familia de multiplicadores de Kuhn-Tuckerasociados a un vector factible x∗. Entonces, x∗ es una solucion del problema original.

Ası, lo mas importante para solucionar el problema original es encontrar un maximopara el Lagrangiano. Este maximo se puede encontrar utilizando cualquier tecnica paraproblemas de optimizacion sin restricciones. En particular, las condiciones de primer ysegundo orden enunciadas en la seccion previa pueden ser utiles.

Ahora, el siguiente resultado dara condiciones suficientes para encontrar una soluciondel problema original en terminos de las derivadas del Lagrangiano. Recordamos que unafuncion h : U ⊆ Rn → R es afın si existe una matriz A ∈ Mn×n(R) y b ∈ R tales queh(x) = Ax + b.

Teorema 1.6.2. Suponga que las funciones f, gi, hj : U ⊆ Rn → R, donde i ∈ {1, . . . k},

j ∈ {1, . . . , m}, son derivables. Ademas las funciones (f, gi)i∈{1...,k} son concavas y lasfunciones (hj)j∈{1,...,m} son afines.

Una condicion suficiente para que x∗ ∈ U sea una solucion del problema original esque existan vectores (λ, µ) ∈ R

k+ ×R

m tales que, para cada ℓ ∈ {1, . . . , n},

∂L∂xℓ

(x∗, λ, µ) :=∂f

∂xℓ(x∗) +

k∑

i=1

λi∂gi

∂xℓ(x∗) +

m∑

j=1

µj∂hj

∂xℓ(x∗) = 0;

λigi(x∗) = 0, ∀i ∈ {1, . . . , k};

gi(x∗) ≥ 0, ∀i ∈ {1, . . . , k};

hj(x∗) = 0, ∀j ∈ {1, . . . , m}.

Observacion: Los resultados anteriores son validos incluso cuando solo hay restriccionesde un tipo (ya sea de desigualdad, o de igualdad).

Tarea: Traduzca los resultados anteriores al caso de un problema de una restriccion deigualdad o desigualdad.

1.6.3. Teorema de la envolvente

Dadas f, h : U×V ⊆ Rn×R

m → R considere, para cada a ∈ V, el siguiente problemade optimizacion con una restriccion de igualdad,

maxx∈U

f(x, a) sujeto a h(x, a) = 0, (1.16)

Teorema 1.6.3. Sea x∗(a) una solucion del problema 1.16 y M(a) = f (x∗(a), a) lafuncion valor asociada. Entonces:

∂M

∂ai

(a) =∂L∂ai

(x∗(a), λ(a), a) (1.17)

donde L(x, λ, a) = f(x, a) − λh(x, a).

11



Demostracion. Como

L(x∗(a), λ(a), a) = f(x∗(a), a) − λ(a)h(x∗(a), a),

derivando parcialmente con respecto a ai, tenemos que,

∂L∂ai

(x∗(a), λ(a), a) =∂f

∂ai(x∗(a), a) − λ(a)

∂h

∂ai(x∗(a), a) (1.18)

Por su parte, la derivada de la funcion valor con respecto al parametro ai es:

∂M

∂ai

(a) =df

dai

(x∗(a), a) =n∑

i=1

∂f

∂xi

(x∗(a), a)∂xi

∂ai

(a) +∂f

∂ai

(x∗(a), a) .

De las condiciones de primer orden, tenemos que∂f

∂xi(x∗(a), a) = λ(a)

∂h

∂xi(x∗(a), a),

por lo que la ecuacion anterior se puede expresar de la siguiente forma:

df

dai

(x∗(a), a) = λ(a)n∑

i=1

∂h

∂xi

(x∗(a), a)∂xi

∂ai

(a) +∂f

∂ai

(x∗(a), a) . (1.19)

Ahora, debemos notar que h(x∗(a), a) = 0. Derivando con respecto a ai,

n∑

i=1

∂h

∂xi(x∗(a), a)

∂xi

∂ai(a) +

∂h

∂ai(x∗(a), a) = 0, (1.20)

por lo quen∑

i=1

∂h

∂xi

(x∗(a), a)∂xi

∂ai

(a) = − ∂h

∂ai

(x∗(a), a). Reemplazando esta expresion en

(1.19), tenemos que

df

dai(x∗(a), a) = −λ(a)

∂h

∂ai(x∗(a), a) +

∂f

∂ai(x∗(a), a) (1.21)

=∂L∂ai

(x∗(a), λ(a), a) (1.22)

12

Capıtulo 2

Teorıa del Comportamiento delConsumidor

2.1. Las Preferencias

2.1.1. Relaciones de preferencia

El supuesto basico que utilizamos para estudiar el comportamiento economico de laspersonas es que estas son racionales. A lo largo de este curso, supondremos que las situa-ciones que se presentan a los agentes economicos pueden ser descritas mediante vectoresreales positivos, es decir, elementos x ∈ R

n+, que llamaremos canastas de consumo, o

simplemente canastas.Supondremos que los individuos realizan elecciones entre las diversas canastas de

consumo a las que pueden acceder, pues tienen preferencias de acuerdo a las cualesdeterminan cual es la mejor canasta disponible.

La manera mas amplia para describir las preferencias de los individuos, es medianteuna relacion de preferencias.

Consideremos la relacion binaria denotada por el signo “�”, que se lee “al menos tanpreferido como”.

De esta forma, si x1 y x2 son dos canastas de consumo pertenecientes a Rn+, la

expresion“x1 � x2”

se lee: “la canasta x1 es al menos tan preferida como x2”.Como dijimos anteriormente, el supuesto clave en economıa es el de racionalidad.

A continuacion seremos mas especıficos respecto de que entendemos exactamente porracionalidad.

Definicion 2.1.1. Decimos que � es una relacion de preferencias, o representapreferencias racionales si posee las 2 siguientes propiedades :

Axioma 1: � es una relacion completa:

(x1 � x2 ∨ x2 � x1), ∀ x1,x2 ∈ Rn+

13



Axioma 2: � es una relacion transitiva:

(x1 � x2 ∧ x2 � x3) ⇒ x1 � x3, ∀ x1,x2,x3 ∈ Rn+

Intuitivamente, al asumir que las preferencias son completas, estamos suponiendo quelos agentes economicos pueden ordenar de acuerdo a una relacion de preferencias “�”las distintas alternativas que se les presentan. Es decir, las personas pueden determinarsi la opcion A es mejor, peor o equivalente a la opcion B. Al asumir que las preferenciasson racionales, estamos descartando necesariamente la indecision. Es decir, para doscanastas que cumplan con la condicion anterior, el individuo puede comparar cualquierpar de canastas.

Por su parte, la transitividad asegura cierta consistencia en las preferencias y portanto, en el comportamiento de los agentes que estudiaremos.

El supuesto de racionalidad puede ser mas fuerte de lo que parece a simple vista. Porejemplo, la completitud requiere que el consumidor pueda ordenar canastas que nuncaha experimentado y que por lo tanto, pueden ser muy difıciles de evaluar en la realidad.

Solo si las preferencias son racionales es posible describirlas mediante una funcionde utilidad, que es la forma mas usual de representar las preferencias de los individuos,y la que utilizaremos a lo largo del curso.

A partir de la relacion �, definimos las siguientes relaciones:

Definicion 2.1.2. La relacion binaria ≻ se define de la siguiente forma:

x1 ≻ x2 ⇔ x1 � x2 ∧ x2 � x1.

La relacion ≻ es llamada la relacion de preferencia estricta. x1 ≻ x2 se lee “x1 esestrictamente preferido a x2”.

Definicion 2.1.3. La relacion binaria ∼ se define como:

x1 ∼ x2 ⇔ x1 � x2 ∧ x2 � x1.

La relacion ∼ es llamada la relacion de indiferencia. x1 ∼ x2 se lee “x1 es indiferentea x2”.

Conjuntos definidos a partir de �Definicion 2.1.4. A partir de la relacion de preferencias, se definen los siguientes con-juntos, lo cuales nos seran utiles para definir las propiedades de las preferencias bajociertos supuestos:

1. El conjunto de las canastas “al menos tan preferidas como” x0 se define como

� (x0) ≡ {x|x � x0}

14



2. El conjunto de las canastas “no mejores que” x0 se define como

� (x0) ≡ {x|x0 � x}

3. El conjunto de las canastas “peores que” x0 se define como

≺ (x0) ≡ {x|x0 ≻ x}

4. El conjunto de las canastas “preferidas a” x0 se define como

≻ (x0) ≡ {x|x ≻ x0}

5. El conjunto de las canastas “indiferentes a” x0 se define como

∼ (x0) ≡ {x|x ∼ x0}

Axiomas adicionales

La mayor parte del tiempo impondremos supuestos adicionales sobre � con la fina-lidad de describir el comportamiento de los agentes mediante matematicas mas “amiga-bles” y para enfocarnos en situaciones habituales.

Axioma 3: Continuidad. Los conjuntos � (x0) y � (x0) son cerrados para todo x0 ∈R

n+.

Este axioma simplemente asegura que no exista un cambio repentino en las prefe-rencias. Es decir, una pequena alteracion en la canasta no puede implicar un grancambio en el bienestar que esta canasta otorga al consumidor.

Si la canasta consiste en 2 bienes, el supuesto de continuidad implica que si unconsumidor sufre de una disminucion muy pequena (infinitesimal) en la cantidadde un bien, siempre existira un aumento infinitesimal del otro que lo dejara indife-rente. Por lo tanto, bajo la hipotesis de continuidad, la grafica del conjunto de losindiferentes a cualquier canasta debe ser continua.

x1x1

x0 x0

∼ (x0) ∼ (x0)

x2x2

Figura 2.1: Las preferencias a la izquierda no cumplen con el axioma 3, mientras que las de la derecha sı.

15



Axioma 4 No-saciacion local. Para todo x0 ∈ Rn+ existe alguna canasta x1 en su

vecindad tal que x1 ≻ x0.

Este supuesto implica que no hay “zonas de indiferencia”, es decir, el grafico delconjunto de los indiferentes necesariamente debe ser una curva. Esto porque paracualquier canasta, debe existir alguna que sea estrictamente preferida, no impor-tando cuan “cerca” miremos.

x1x1

x0x0

∼ (x0)

∼ (x0)

x2x2

Figura 2.2: El grafico de la izquierda muestra preferencias que cumplen con los axiomas 1, 2 y 3, pero nocon el axioma 4. A la izquierda, preferencias que cumplen con los axiomas 1, 2, 3 y 4.

Axioma 5 Monotonicidad Si x0 ≫ x11, entonces x0 ≻ x1.

Axioma 5’ Monotonicidad estricta. Si x0 > x12, entonces x0 ≻ x1.

Los axiomas 5, 5’ son formas diferentes de afirmar que mas es preferido a menos.Si la relacion de preferencias es monotona, se puede afirmar que si una canastatiene mas de cada uno de los bienes que otra, entonces el consumidor debe preferirestrictamente la primera a la segunda.

El axioma de monotonicidad estricta asegura que una canasta que tenga una mayorcantidad de al menos uno de los bienes que otra (y ninguna componente menor),debe ser estrictamente preferida.

Este punto esta ilustrado en la figura 2.3, que muestra preferencias que violan lostres axiomas de monotonicidad. En el grafico izquierdo de la figura 2.3 podemosver que hay segmentos en dicho conjunto en que se tiene mas del bien 1 como delbien 2 que en otras partes del conjunto, lo que es claramente contradictorio puesto

1Dados x,y ∈ Rn, decimos que x ≫ y ⇔ xi > yi ∀i ∈ {1, . . . n}. Es decir, la canasta x tiene una

mayor cantidad de cada uno de los bienes que la canasta y.2Dados x,y ∈ R

n, decimos que x > y ⇔ xi ≥ yi ∀i ∈ {1, . . . n}, x 6= y. Es decir, la canasta x tieneuna cantidad mayor o igual de cada uno de los bienes que la canasta y, siendo esta desigualdad estrictapara al menos una coordenada.

16



que como sabemos mas es preferido a menos, por lo que mas no puede ser tanpreferido como menos.

x1x1

x0x0

≻ (x0)≻ (x0)

≺ (x0)≺ (x0)

∼ (x0)

∼ (x0)

x2x2

Figura 2.3: A la izquierda, preferencias que cumplen con los axiomas 1, 2, 3, 4, pero no los axiomas 5, 5’. Ala derecha, preferencias que cumplen con los axiomas 1, 2, 3, 4, 5 y 5’.

Tarea:

1. Demuestre que la monotonicidad estricta implica monotonicidad.

2. Demuestre que si una relacion de preferencias es estrictamente monotonica,entonces tambien es localmente no saciada.

3. Grafique un conjunto de indiferencia que asociado a preferencias debilmentepero no estrictamente monotonicas.

Axioma 6 Convexidad. Las preferencias son convexas si para todo x0,x1 ∈ Rn+:

x1 � x0 ⇒ tx1 + (1 − t)x0 � x0 ∀ t ∈ [0, 1].

Axioma 6’ Convexidad estricta. Las preferencias son estrictamente convexas sipara todo x0,x1 ∈ R

n+ tal que x1 6= x0 :

x1 � x0 ⇒ tx1 + (1 − t)x0 ≻ x0 ∀ t ∈]0, 1[.

La convexidad estricta de las preferencias significa que el consumidor siempre pre-ferira estrictamente una canasta que es combinacion intermedia de otras dos a almenos una de ellas.

17



x1x1

x0x0

≻ (x0)≻ (x0)

≺ (x0)≺ (x0) ∼ (x0)∼ (x0)

x2x2

Figura 2.4: El grafico a la izquierda muestra preferencias racionales que cumplen ademas con los axiomas3, 4, 5, 5’ y 5” , pero no 6 ni 6’. A la derecha, preferencias racionales que cumplen con todos los axiomas,incluida la convexidad estricta.

2.1.2. La funcion de Utilidad

La caracterizacion de las preferencias mediante la relacion � es la mas general posible.Sin embargo, en la inmensa mayorıa de las aplicaciones de la teorıa economica se utilizaun concepto mucho mas simple, conocido como “funcion de utilidad”.

La funcion de utilidad no es mas que una herramienta extremadamente util paraexpresar y resumir la informacion contenida en la relacion de preferencias de un individuo.

Definicion 2.1.5. Una funcion u : Rn+ → R es una funcion de utilidad que representa

la relacion de preferencias �, si para todo x0,x1 ∈ Rn+, se cumple:

u(x0) ≥ u(x1) ⇔ x0 � x1.

Por lo tanto, la funcion de utilidad no hace mas que ordenar las canastas de bienesde acuerdo a las preferencias. Mientras mas preferida sea una canasta, mayor sera elnumero que la funcion le asignara.

Ahora bien, el numero que u asigne a x no tiene ningun valor conceptual. Lo relevantees que la funcion de utilidad ordena las canastas asociando a ellas numeros reales, loscuales solo tienen sentido al ser comparados entre sı. Entonces, diremos que la funcionde utilidad es de caracter ordinal.

Proposicion 2.1.1. Propiedades de la funcion de utilidad.Si � es representada por u : Rn

+ → R, entonces:

1. u es creciente si y solo si � es estrictamente monotonica.

2. u es (estrictamente) cuasiconcava si y solo si � es (estrictamente) convexa.

Tarea 2.1.1. Demostrar el punto 1 de la proposicion 2.1.1

18



Transformaciones Monotonicas de u

La funcion de utilidad toma un valor para cada canasta de consumo, pero como diji-mos anteriormente, este numero no tiene ningun significado en sı mismo, puesto que solosirve para comparar las distintas canastas en terminos de las preferencias del consumidor.

Por ejemplo, tomemos una funcion de utilidad cuaquiera u(x). Recordando la defi-nicion de funcion de utilidad, si la funcion u representa las preferencias �, entonces setiene que

x1 � x2 ⇔ u(x1) ≥ u(x2). (2.1)

Ahora bien, tomemos cualquier funcion estrictamente creciente, g : R → R y com-pongamosla con u(x), formando la funcion compuesta v : Rn

+ → R = g ◦ u.Al ser una composicion entre la funcion de utilidad y una funcion estrictamente

creciente, decimos que la funcion v es una transformacion monotonica creciente dela funcion u.

Notar que

u(x1) ≥ u(x2) ⇔ g(u(x1)) ≥ g(u(x2))

⇔ v(x1) ≥ v(x2) (2.2)

ya que g es estrictamente creciente. Juntando las condiciones (2.1) y (2.2), tenemos que

x1 � x2 ⇔ v(x1) ≥ v(x2). (2.3)

Este resultado es muy importante, pues significa que la funcion v, al igual que u, repre-senta exactamente la relacion de preferencias �.

Entonces, podemos hacer transformaciones monotonicas crecientes a la funcion deutilidad y la funcion resultante tambien sera una funcion de utilidad valida que repre-sentara las mismas preferencias.

Ejemplo 2.1.1. Ejemplos de transformaciones monotonicas crecientes:

f(x) = αx, con α > 0.

f(x) = xβ, con β > 0.

f(x) = ln(x).

f(x) = ex.

2.1.3. La Utilidad Marginal

Definicion 2.1.6. Si la funcion de utilidad es derivable, la utilidad marginal del bieni se define como

UMgi =∂u(x)

∂xi= ui

19



Es decir, la utilidad marginal del bien i-esimo es en cuanto contribuye a la utilidad eladicionar una unidad mas de este bien al consumo del individuo. A partir de la definicionanterior, diremos que un bien xi es

Un bien si ui ≥ 0.

Un mal si ui < 0.

Bajo el supuesto de monotonicidad de las preferencias, todos los componentes de x sonbienes, puesto que en ese caso la utilidad marginal de cada bien debe ser mayor o iguala cero.

Definicion 2.1.7. En un mundo de dos bienes, una curva de indiferencia es unacurva de nivel de u(x1, x2), es decir, una funcion en el plano (x1, x2) descrita por x2 =f(x1) tal que u(x1, f(x1)) = constante.

En otras palabras, una curva de indiferencia esta conformada por todas las combina-ciones de x1 y x2 que permiten alcanzar un mismo nivel de utilidad.

Proposicion 2.1.2. Propiedades de las curvas de indiferencia:

1. No se pueden cortar (debido al supuesto de transitividad de �).

2. Si � es estrictamente monotonica, tienen pendiente menor o igual a cero. Porejemplo, si tuvieramos una curva de indiferencia con pendiente positiva entoncesestarıamos violando el axioma de monotonicidad estricta porque dentro de la mis-ma curva de indiferencia habrıan canastas con mas de todos los bienes, lo queimplicarıa que mas es tan preferido como menos.

3. Por cada punto del plano (x1, x2) pasa una curva de indiferencia.

4. Son (estrictamente) convexas si y solo si u es (estrictamente) cuasiconcava.

Tarea 2.1.2. Demostrar la proposicion 2.1.2.

2.1.4. Tasa Marginal de Sustitucion

Definicion 2.1.8. La tasa marginal de sustitucion entre xi y xj muestra el numerode unidades del bien j que un consumidor estarıa dispuesto a entregar por una unidaddel bien i, manteniendo el mismo nivel de utilidad.

De la definicion anterior, se desprende que la TMS entre dos bienes es la valoracionmarginal relativa entre ellos.

Tomemos una funcion de utilidad cualquiera. Si la diferenciamos totalmente, tenemosque

du =∂u(x)

∂x1dx1 +

∂u(x)

∂x2dx2 + · · ·+ ∂u(x)

∂xndxn.

20



Para obtener la tasa marginal de sustitucion entre los bienes x1 y x2, dejaremos constantetanto el nivel de utilidad (du = 0), como las cantidades de los otros bienes (dx3 = dx4 =· · · = dxn = 0) y obtenemos

∂u(x)

∂x1dx1 +

∂u(x)

∂x2dx2 = 0.

Reordenando terminos, tenemos una expresion para la tasa marginal de sustitucion:

TMS1,2 ≡dx2

dx1

∣∣∣u=u

= −∂u(x)∂x1

∂u(x)∂x2

= −UMg1(x)

UMg2(x)

Curvas de indiferencia convexas

La tasa marginal de sustitucion representa la valoracion marginal relativa entre losbienes y geometricamente es la pendiente de la curva de indiferencia. Bajo el su-puesto de convexidad estricta de las preferencias (es decir, cuasiconcavidad estricta deu(x)), el valor absoluto de la TMS es decreciente. Por lo tanto, el supuesto de convexi-dad estricta de � implica que la pendiente de la curva de indiferencia es estrictamentecreciente, lo que a su vez equivale a decir que la curva de indiferencia es estrictamenteconvexa.

En seguida veremos bajo que condiciones la funcion de utilidad es estrictamentecuasiconcava.

Recordemos que una curva de indiferencia es x2 en funcion de x1 y un nivel de utilidadarbitrario u: x2 = x2(x1, u) (obviaremos u porque la utilidad permanecera constante).Entonces, la tasa marginal de sustitucion viene dada por:

TMS1,2(x1) = −u1(x1, x2(x1))

u2(x1, x2(x1)).

Si las preferencias son convexas, entonces el valor absoluto de la TMS es decreciente.Entonces, si derivamos el modulo de la TMS con respecto a x1, debemos obtener unaexpresion negativa.

|TMS1,2(x1)| =u1(x1, x2(x1))

u2(x1, x2(x1))

d|TMS1,2|dx1

=

(

u11 + u12∂x2

∂x1

)

u2 −(

u21 + u22∂x2

∂x1

)

u1

(u2)2

Pero ∂x2

∂x1

= −u1

u2

y u12 = u21. Por lo tanto,

d|TMS1,2|dx1

=u11u2 − u12

u1

��u2��u2 − u12u1 + u22u1

u2

u1

(u2)2(2.4)

=u11u2 − 2u12u1 + u22

u2

1

u2

(u2)2(2.5)

21



El denominador es siempre positivo, por lo que el signo de la expresion anterior depen-dera de si el numerador es mayor o menor que cero. Por lo tanto, la TMS sera decrecienteen valor absoluto cuando

u11u2 − 2u12u1 + u22u2

1

u2

< 0 (2.6)

La expresion 2.6 es enormemente ilustrativa por una serie de razones. En particular,nos ayuda a solucionar una confusion sorprendentemente frecuente: muchas veces se creeque la convexidad de las preferencias significa que la utilidad marginal de cada bien esdecreciente.

La falsedad de esta afirmacion es evidente a la luz de (2.6). En primer lugar, observa-mos que si la utilidad marginal de ambos bienes es efectivamente decreciente (u11, u22 <0), no se tiene asegurada la convexidad de las curvas de indiferencia, puesto que existeun efecto cruzado, correspondiente a −2u12u1. Si u12 es negativo (la utilidad margi-nal de x1 es decreciente en x2) y el efecto cruzado es de una magnitud suficiente, no secumplira la desigualdad (2.6).

Segundo, que las utilidades marginales sean decrecientes tampoco constituye unacondicion necesaria para la convexidad de las preferencias: bien podrıa tenerse que lautilidad marginal de alguno de los bienes (o de ambos) fuera creciente pero con u1,2 > 0(la utilidad marginal de un bien crece cuando aumenta la cantidad consumida del otrobien), y si el efecto cruzado es suficientemente importante, igualmente las curvas deindiferencia seran estrictamente convexas.

Intuitivamente, la convexidad de las curvas de indiferencia requiere que la valoracionmarginal relativa del bien xi vis a vis el bien xj sea decreciente: a medida que aumenta lacantidad consumida de xi y disminuye la de xj de tal forma que la utilidad permanececonstante.

Sin embargo, la razon mas profunda por la cual la utilidad marginal decreciente esun concepto completamente irrelevante proviene del caracter ordinal de la funcion deutilidad. Tomemos dos funciones de utilidad u(x) y µ(x), tales que u y µ representanexactamente las mismas preferencias (es decir, una es una transformacion monotonicacreciente de la otra y viceversa). Es perfectamente posible que uii sea menor que cero yque µii sea positivo, tal como veremos en el siguiente ejemplo.

Ejemplo 2.1.2. Consideremos la funcion de utilidad

u(x1, x2) = x0,51 · x0,5

2 ⇒ u11 = −0,25 · x−1,51 · x0,5

2 < 0,

es decir la utilidad marginal de x1 es decreciente. Ahora, tomando

µ(x1, x2) = (u(x1, x2))4 = x2

1 · x22,

tenemos que µ11 = 2 · x22 > 0, es decir, la utilidad marginal de x1 es creciente. Este

ejemplo recalca la irrelevancia de la utilidad marginal decreciente.

22



2.1.5. La elasticidad de sustitucion

La elasticidad de sustitucion es un concepto que intenta medir la facilidad con que unconsumidor puede sustituir un bien por otro. Las preferencias por bienes que son facil-mente sustituibles (el caso extremo son los bienes sustitutos perfectos) debieran tener unaelasticidad de sustitucion elevada, mientras que los bienes mas complementarios (cuyocaso extremo son los bienes complementarios perfectos), debieran tener una elasticidadde sustitucion baja.

Graficamente, la facilidad de sustitucion entre dos bienes se ve reflejada en la cur-vatura de las curvas de indiferencia y eso es exactamente lo que mide la elasticidadde sustitucion.

Definicion 2.1.9. Sea u(x) la funcion de utilidad de un consumidor y TMSi,j la tasamarginal de sustitucion entre los bienes i y j. La elasticidad de sustitucion entre losbienes xi y xj se define como

σi,j(x) =∆ %(xj/xi)

∆ %|TMSi,j |(2.7)

y para cambios pequenos, la podemos expresar como

σi,j(x) =∂(xj/xi)

∂|TMSi,j|· |TMSi,j|

(xj/xi)(2.8)

=d ln(xj/xi)

d ln |TMSi,j|(2.9)

x1x1

x2x2

uu

Figura 2.5: La elasticidad de sustitucion es mayor mientras mas “planas” son las curvas de indiferencia. Enla figura de la izquierda, la razon x2/x1 requiere de un cambio de menor magnitud que en la derecha paragenerar una alteracion equivalente en la TMS.

23



Proposicion 2.1.3. Si las preferencias son estrictamente convexas, la elasticidad desustitucion es mayor que cero.


2.1.6. Funciones de Utilidad homogeneas y homoteticas

Recordemos de la seccion 1.4 que una funcion u : Rn+ → R es homogenea de grado

r si y solo si u(tx1, tx2, . . . , txn) = tru(x1, x2, . . . , xn)

Definicion 2.1.10. Una funcion v : Rn+ → R es homotetica si y solo si es una trans-

formacion monotonica creciente de una funcion homogenea de grado 1, es decir, si

v(x) = g(u(x)),

donde u es homogenea y g es una transformacion monotonica creciente.

Tarea 2.1.4. 1. ¿Son todas las funciones homoteticas, homogeneas?

2. Demuestre que toda funcion homogenea es homotetica.

Las funciones homoteticas destacan porque poseen la siguiente propiedad:

Proposicion 2.1.4. Si la funcion de utilidad u es homotetica, entonces la tasa marginalde sustitucion entre xi y xj es una funcion de (xi/xj).

Esta propiedad quiere decir que la TMSi,j no cambia a lo largo de las curvas deindiferencia, mientras la proporcion de consumo entre xi y xj no varıe.

Graficamente, esto se observa en la figura 2.6.

x1

TMS1

TMS1

TMS2

TMS2

x2

Figura 2.6: Curvas de indiferencia de una funcion de utilidad homotetica


24



2.1.7. Funciones de utilidad tıpicas

Funciones de utilidad CES

Las funciones de utilidad CES (del ingles: constant elasticity of substitution) cons-tituyen una amplia familia de funciones de utilidad. La CES es una forma funcionalrelativamente flexible, puesto que mediante ella es posible representar preferencias muydistintas. Esta funcion es la siguiente:

u(x) = A

(n∑

i=1

αixρi

) 1

ρ

, (2.10)

con αi > 0 ∀i = 1, . . . , n

Para el caso de un mundo de dos bienes:

u(x1, x2) = A (α1xρ1 + α2x

ρ2)

1

ρ (2.11)

Calculemos la elasticidad de sustitucion para la funcion CES de dos bienes. Primero,necesitamos obtener la TMS para utilizar su valor absoluto:

|TMS| =u1

u2

= ((((((((((((([

A1ρ(α1x

ρ1 + α2x

ρ2)

1

ρ−1

ρ]

α1xρ−11

((((((((((((([

A1ρ(α1x

ρ1 + α2x

ρ2)

1

ρ−1 ρ

]

α2xρ−12

=α1

α2

(x1

x2

)ρ−1

. (2.12)

Ahora aplicando la definicion de elasticidad de sustitucion σ(x) = (d ln(x2/x1))/(d ln |TMS|),tenemos que el denominador de esta expresion es:

d ln |TMS| = ��d ln(α1/α2) + (ρ − 1)d ln(x1/x2)

= (ρ − 1)(d lnx1 − d ln x2),

mientras que el numerador es:

d ln(x2/x1) = (d lnx2 − d ln x1)

Juntando numerador y multiplicador, tenemos que

σ(x) = σ =(d lnx2 − d lnx1)

(ρ − 1)(d lnx1 − d ln x2)=

1

1 − ρ, (2.13)

que es una constante, es decir, no depende de x.

Las figuras (2.7)-(2.11) muestran la funcion de utilidad y el mapa de curvas de indi-ferencia para la funcion CES con α1 = α2 = 1, para distintos valores de ρ.

25



0 5 10 15 20 25 30 350

5

10

15

20

25

30

35

010

2030

40

0

10

20

30

400

10

20

30

40

x1

x2

Figura 2.7: Funcion de utilidad y curvas de indiferencia de la funcion CES con ρ = −5

0 5 10 15 20 25 30 350

5

10

15

20

25

30

35

010

2030

40

0

10

20

30

400

1

2

3

4

5

x 10302

x1

x2

U

Figura 2.8: Funcion de utilidad y curvas de indiferencia de la funcion CES con ρ → 0

0 5 10 15 20 25 30 350

5

10

15

20

25

30

35

010

2030

40

0

10

20

30

400

50

100

150

200

x1

x2

C

Figura 2.9: Funcion de utilidad y curvas de indiferencia de la funcion CES con ρ = 0,5

26



0 5 10 15 20 25 30 350

5

10

15

20

25

30

35

010

2030

40

0

10

20

30

400

20

40

60

80

x1

x2

Figura 2.10: Funcion de utilidad y curvas de indiferencia de la funcion CES con ρ = 1

0 5 10 15 20 25 30 350

5

10

15

20

25

30

35

010

2030

40

0

10

20

30

400

20

40

60

80

x1

x2

U(u

Figura 2.11: Funcion de utilidad y curvas de indiferencia de la funcion CES con ρ = 1,5

Volvamos a mirar la ecuacion (2.12). Notar que la TMS es funcion de (x1/x2). Estoocurre porque la funcion CES es homotetica. La homoteticidad de la funcion CES severifica facilmente, puesto que es homogenea de grado 1.

Funcion de utilidad Cobb-Douglas

Esta forma funcional es utilizada con mucha frecuencia en economıa:

u(x) = A

n∏

i=1

xαi

i , (2.14)

con A > 0, αi > 0 ∀ i = 1, . . . , n. En un mundo de dos bienes, la funcion Cobb-Douglases

u(x1, x2) = Axα1

1 xα2

2 , (2.15)

Tarea 2.1.6. Demostrar que la funcion Cobb-Douglas es homotetica, pertenece a la fa-milia CES y tiene una elasticidad de sustitucion igual a 1.

27



Funcion de utilidad de bienes sustitutos perfectos

Cuando los bienes son perfectamente sustituibles entre sı (no necesariamente en unarelacion 1 a 1), las preferencias se pueden representar mediante la siguiente funcion deutilidad:

u(x) =

n∑

i=1

αixi, (2.16)

con αi > 0 ∀ i = 1, . . . , n. En un mundo de dos bienes, la funcion de utilidad es:

u(x1, x2) = α1x1 + α2x2 (2.17)

Notar que esta funcion tambien pertenece a la familia CES, puesto que basta tomarρ = 1 para obtener esta forma funcional (ver ecuaciones (2.10) y (2.11)). Esto tambiense puede ver en la figura (2.7). Ası, podemos ver que la elasticidad de sustitucion paraestas preferencias es σ = ∞

Funcion de utilidad de bienes complementarios perfectos

Este tipo de preferencias son representadas mediante la funcion de utilidad

u(x) = mın {α1x1, α2x2, . . . , αnxn} = mın {αixi}ni=1 (2.18)

En un mundo de dos bienes, la funcion de utilidad es:

u(x) = mın {α1x1, α2x2} (2.19)

Esta funcion de utilidad es el caso lımite de la funcion CES, cuando ρ → −∞.

2.2. La eleccion del consumidor

2.2.1. La restriccion presupuestaria

Supondremos que el consumidor tiene un ingreso fijo y que debe asignar entre losn bienes que existen en la economıa y adquirir su canasta favorita. Los precios de losn bienes seran representados mediante el vector p = (p1, p2, . . . , pn) ≫ 0, es decir,supondremos que los precios de los bienes son estrictamente mayores que cero.

El consumidor tiene acceso a todas las canastas x tales que p · x ≤ y. Estas canastasconstituyen el conjunto presupuestario. El conjunto de las canastas que agotan elingreso del consumidor, es decir, x tales que p · x = y es llamado recta presupuestaria.

2.2.2. La maximizacion de la utilidad

El objetivo del consumidor es encontrar la mejor de las canastas a las que puedeacceder, es decir, x∗ tal que x∗ � x ∀ x|p · x ≤ y.

28



En adelante supondremos que las preferencias son estrictamente monotonicas, por loque de acuerdo a la proposicion anterior y suponiendo que los bienes son perfectamentedivisibles, el consumidor gastara todo su ingreso. Ademas supondremos que las preferen-cias pueden ser representadas mediante una funcion de utilidad, y salvo que se indiquelo contrario, esta funcion sera derivable y estrictamente cuasiconcava.

x1

x2

xm1

xm2

u1

umax

−p1

p2

yp2

yp1

Figura 2.12: Maximizacion de la utilidad.

Adicionalmente a la restriccion presupuestaria, la solucion x∗ debe cumplir con queninguno de sus elementos sea negativo. Esto significa que los bienes de consumo estanrepresentados por valores positivos y no tiene sentido que alguno de ellos tome un valormenor a cero.

Formalmente, el problema consiste en:

max{x}

u(x)

sujeto a p · x ≤ y (2.20)

xi ≥ 0, i = 1, . . . , n

Si las preferencias son estrictamente monotonicas y los bienes perfectamente divisi-bles, nos podemos olvidar de la desigualdad en (2.20). Si ademas la funcion de utilidades derivable, podemos encontrar la canasta x∗ mediante el metodo del Lagrangiano, vistoen la seccion 1.6.2. En este caso, el problema consiste en

max{x,λ}

L(x, λ) = u(x) − λ(p · x − y) (2.21)

29



Asumiendo que la solucion al problema es interior, las condiciones de primer orden son:

∂L∂xi

=∂u(x)

∂xi

− λpi = 0, i = 1, . . . , n (2.22)

∂L∂λ

= (y − p · x) = 0 (2.23)

Como dijimos en la seccion 1.6.2, las condiciones de segundo orden pueden ser obvia-das si la funcion de utilidad es estrictamente cuasiconcava. De lo contrario, es necesarioverificar dichas condiciones para asegurar que efectivamente se esta en presencia de unmaximo.

Las n primeras condiciones de primer orden, descritas por la ecuacion (2.22), nosdicen que las derivadas parciales del lagrangiano con respecto a cada uno de los bienesen la canasta de consumo, deben ser iguales a cero. Tomando esta condicion para dosbienes xj , xk cualesquiera, tenemos que

uj = λpj (2.24)

uk = λpk (2.25)

Dividiendo (2.24) por (2.25), tenemos que

pj

pk=

uj

uk= |TMS|, (2.26)

es decir, en el optimo, la tasa marginal de sustitucion (en valor absoluto), debe ser iguala la razon de precios de los bienes.

Reordenando la ecuacion 2.26, llegamos a

uj

pj=

uk

pk, (2.27)

Esto indica que, en el optimo, la utilidad marginal por peso gastado del bien j debeser igual a la utilidad marginal por peso gastado del bien k. Esta ultima condicion ilustrala intuicion de la optimizacion del consumidor, ya que nos muestra que en ese punto yano hay incentivos a sustituir bien j por k o viceversa.

De las n + 1 ecuaciones que describen la solucion del problema, es posible obtenerla canasta x∗ que maximiza la utilidad del consumidor sujeto a la restriccion presupues-taria. Esta canasta dependera de los parametros del problema, es decir, de p e y. Si lasolucion a este problema es unica (lo cual esta garantizado cuando u es estrictamen-te cuasiconcava), entonces x∗ sera una funcion de p e y, que llamaremos funcion dedemanda marshalliana.

Definicion 2.2.1. La demanda marshalliana es la solucion al problema (2.20) y la de-notamos por

x(p, y) =

x1(p, y)x2(p, y)

...xn(p, y)

(2.28)

30



Derivacion grafica de la curva de demanda marshalliana

x1

x1

x01

x01

x2

x11

x11

x21

x21

x02

x12

x22

u0

u1u2−p0

1

p2−p1

1

p2

−p2

1

p2

p01

p11

p21

p1

Figura 2.13: Derivacion grafica de la curva de demanda marshalliana.

Propiedades de la demanda marshalliana

Proposicion 2.2.1. Si los bienes son perfectamente divisibles y las preferencias sonracionales, continuas y estrictamente monotonicas, entonces las demandas marshallianasposeen las siguientes propiedades:

31



1. x(p, y) es homogenea de grado cero en (p, y), es decir,

x(αp, αy) = x(p, y).

2. El consumidor gasta todo su ingreso (ley de Walras): p·x(p, y) = y.

3. Unicidad: Si u es estrictamente cuasiconcava, x(p, y) es unica.

Ejemplo 2.2.1. La funcion de utilidad Cobb-DouglasConsideremos la maximizacion de la funcion de utilidad Cobb-Douglas en un mundo

de dos bienes: u(x1, x2) = xα1

1 xα2

2 . El lagrangiano que nos permite resolver el problemaes el siguiente:

L = xα1

1 xα2

2 − λ(p1x1 + p2x2 − y).

Las condiciones de primer orden son:

∂L∂x1

= α1xα1−11 xα2

2 − λp1 = 0 (2.29)

∂L∂x2

= α2xα1

1 xα2−12 − λp2 = 0 (2.30)

∂L∂λ

= y − p1x1 − p2x2 = 0 (2.31)

De (2.29) y (2.30), tenemos que x2 = α2p1x1

α1p2

. Reemplazando esta expresion en (2.31) ydespejando para x1, tenemos que

x1(p1, p2, y) =

(α1

α1 + α2

)y

p1, (2.32)

que es la demanda marshalliana de x1. De igual forma, encontramos la demanda mar-shalliana por x2:

x2(p1, p2, y) =

(α2

α1 + α2

)y

p2, (2.33)

2.2.3. Bienes normales e inferiores

Los bienes normales son aquellos cuya demanda es creciente en y, es decir, unaumento del ingreso conlleva a una mayor cantidad demandada. Por su parte, los bienesinferiores son aquellos cuya demanda es decreciente en y.

Evidentemente, un bien puede ser inferior solo para un cierto nivel de ingreso. Paracualquier bien que estemos analizando, siempre existira ingreso suficientemente bajo talque dicho bien sera normal.

Proposicion 2.2.2. Si la funcion de utilidad es homotetica, ningun bien puede ser in-ferior.


32



2.2.4. Soluciones de Esquina

Las soluciones de esquina son aquellas situaciones en que las restricciones de no-negatividad de las cantidades de consumo descritas en (2.21) son activas. En este caso,de no existir tales restricciones, el problema de maximizacion de la utilidad tendrıa unasolucion en que las demandas de uno o mas bienes serıan negativas.

Como muestra la figura 2.14, cuando las restricciones de no-negatividad son activaspara ciertos bienes, el individuo consume cero unidades dichas componentes de x. Estasituacion lleva a que |TMS1,2| > p1

p2

en el optimo del consumidor, por lo que las condicionesde primer orden no se cumplen. Usando el caso anterior podemos ver que tendremos unasolucion esquina debido a que:

Umg1

p1

>Umg2

p2

(2.34)

Es decir, la utilidad marginal por peso gastado (si es que el ingreso puede ser medidoen pesos) del bien 1 es mayor a la utilidad marginal por peso gastado del bien 2, por loque existe un incentivo a consumir solo del bien 1.

Las soluciones de esquina representan la especializacion en el consumo de un bien,situacion que no es exclusiva de los bienes perfectos sustitutos. Basta con que la relacionde preferencias (TMS) sea mayor o menor en valor absoluto que la relacion de precioscuando la cantidad consumida de un bien es cero para que haya solucion esquina. Intui-tivamente debe haber una relacion fuerte de sustituibilidad, pero no necesariamente deperfectos sustitutos (ver grafico 2.14).

x1

x2

u0

−p1

p2

yp2

yp1

Figura 2.14: Solucion Esquina en la Eleccion del Consumidor

Queda propuesto para el lector graficar la situacion en que |TMS1,2| < p1

p2

.

33



Tarea 2.2.2. Tarea: Encontrar las funciones de demanda marshallianas para las siguien-tes funciones de utilidad:

1. u(x1, x2) = (α1xρ1 + α2x

ρ2)

1

ρ , α1, α2 > 0.

2. u(x) =∏n

i=1 xαi

i , αi > 0 i = 1, . . . , n.

3. u(x) =∑n

i=1 αi lnxi, αi > 0 i = 1, . . . , n.

4. u(x1, x2) = mın{α1x1, α2x2}, α1, α2 > 0.

5. u(x) = mın{αixi}ni=1, αi > 0 i = 1, . . . , n.

6. u(x1, x2) = mın{α1x1, α2√

x2}, α1, α2 > 0.

7. u(x1, x2) = α1x1 + α2x2, α1, α2 > 0.

8. u(x) =∑n

i=1 αixi, αi > 0 i = 1, . . . , n.

9. u(x1, x2) = x1 +√

x2.

10. u(x1, x2) = (x1 − α1)β(x2 − α2)

1−β, α1, α2 ≥ 0. β ∈]0, 1[.n

2.2.5. La Funcion de Utilidad Indirecta

La funcion de utilidad indirecta indica cual es el maximo nivel de utilidad (bienestar)que se puede alcanzar dados los precios y el ingreso.

La funcion de utilidad indirecta se define como la funcion de utilidad directa u(x1, . . . , xn)evaluada en los valores optimos de cada uno de los bienes xi dados los precios y el ingreso,es decir, evaluada en las demandas ordinarias o marshallianas:

v(p, y) = u(x∗) = u(x∗1(p, y), . . . , x∗

2(p, y)). (2.35)

Propiedades de la Funcion de Utilidad Indirecta

Proposicion 2.2.3. Las propiedades de la funcion de utilidad indirecta son:

1. v(p, y) es continua en precios e ingresos ∀p > 0, y > 0.

2. v(p, y) es decreciente en p y estrictamente creciente en y.

3. v(p, y) es homogenea de grado cero en p e y.

Notese que, dada la monotonicidad estricta de las preferencias, ∂v∂y

= UMgy > 0.

Es decir, al aumentar el ingreso aumenta el nivel de utilidad del individuo (dado queaumenta el consumo de bienes).

34



Proposicion 2.2.4. Si la funcion de utilidad indirecta v(p, y) es diferenciable en elpunto (p, y) y ∂v(p, y)/∂y 6= 0, entonces se cumple la identidad de Roy:

xi(p, y) = −∂v(p, y)/∂pi

∂v(p, y)/∂y(2.36)

Demostracion. Usando el teorema de la envolvente tenemos que

∂v(p, y)

∂pi

∂v(p, y)

∂y

=

∂L (x(p, y), λ(p, y),p, y)

∂pi

∂L (x(p, y), λ(p, y),p, y)

∂y

.

Sabemos ademas que

L (x(p, y), λ(p, y),p, y) = u(x(p, y)) − λ(p, y) · (p · x(p, y) − y) .

Tomando la derivada parcial con respecto a pi e y, tenemos que

∂L (x(p, y), λ(p, y),p, y)

∂pi

∂L (x(p, y), λ(p, y),p, y)

∂y

=−��λ(p, y) · xi(p, y)

��λ(p, y)= −xi(p, y).

Tarea 2.2.3. Demuestre usando la proposicion 2.2.4 que

∂xi(p, y)

∂y= −1

λ

(∂λ

∂pi+ xi(p, y)

∂λ

∂y

)

.

35



2.3. El Problema Dual: la minimizacion del gasto

El Problema Dual corresponde a minimizar el gasto para alcanzar un nivel de utilidaddeterminado. Esto es equivalente a maximizar la utilidad para un nivel de ingreso dado(problema primal). La solucion del problema dual x∗ es la misma que para el problemaprimal porque las condiciones para el equilibrio del consumidor son exactamente lasmismas.

x1

x2

xh1

xh2

u

−p1

p2

Figura 2.15: Problema Dual: Minimizacion del Gasto.

Formalmente, el problema del consumidor corresponde a:

mın{x}

p · x

sujeto a u(x) = u. (2.37)

Si la funcion de utilidad es derivable, podemos encontrar la canasta x∗ mediante elmetodo del Lagrangiano, visto en la seccion 1.6.2. En este caso, el problema consiste en:

mın{x,λ}

L(x, λ) = p · x + λ(u(x) − u) (2.38)

Asumiendo que la solucion al problema es interior, las condiciones de primer orden son:

∂L∂xi

= pi + λ∂u(x)

∂xi= 0, i = 1, . . . , n (2.39)

∂L∂λ

= (u(x) − u) = 0 (2.40)

36



Como dijimos en la seccion 1.6.2, las condiciones de segundo orden pueden ser obvia-das si la funcion de utilidad es estrictamente cuasiconcava. De lo contrario, es necesarioverificar dichas condiciones para asegurar que efectivamente se esta en presencia de unmaximo.

Las n primeras condiciones de primer orden, descritas por la ecuacion (2.39), nosindican que las derivadas parciales del lagrangiano con respecto a cada uno de los bienesen la canasta de consumo, deben ser iguales a cero. Tomando esta condicion para dosbienes xj , xk cualesquiera, tenemos que

pj = −λuj (2.41)

pk = −λuk (2.42)

Dividiendo (2.41) por (2.42), tenemos que

pj

pk=

uj

uk= |TMS|, (2.43)

es decir, en el optimo, la tasa marginal de sustitucion (en valor absoluto), debe ser iguala la razon de precios de los bienes. Notese que esta es exactamente la misma condicionque la encontrada en 2.2.2.

De forma similar al problema primal, de las n+1 ecuaciones que describen la soluciondel problema, es posible obtener la canasta x∗ que maximiza la utilidad del consumidorsujeto a la restriccion de utilidad. Esta canasta dependera de los parametros del proble-ma, es decir, de p y u. Del mismo modo, si la solucion a este problema es unica (lo cualesta garantizado cuando u es estrictamente cuasiconcava), entonces x∗ sera una funcionde p y u, que llamaremos funcion de demanda hicksiana o compensada.

Definicion 2.3.1. La demanda hicksiana o compensada es la solucion al problema(2.37), y la denotamos por

xh(p, u) =

xh1(p, u)

xh2(p, u)

...xh

n(p, u)

(2.44)

37



Derivacion grafica de la curva de demanda hicksiana

x1

x1

x01

x01

x2

x11

x11

x21

x21

x02

x12

x22

u

−p0

1

p2

−p1

1

p2

−p2

1

p2

p01

p11

p21

p1

Figura 2.16: Curva de demanda hicksiana de x1 para cada nivel de p1, dejando p2 y el nivel de utilidadconstantes.

Tarea 2.3.1. Encontrar las demandas compensadas para una funcion cobb-douglas

u(x1, x2) = xα1

1 xα2

2 .

38



2.3.1. La Funcion de Gasto

La funcion de gasto indica cual es el mınimo nivel de gasto que se requiere paraalcanzar un cierto nivel de utilidad, dados los precios.

La funcion de gasto se define como la funcion de gasto total p · x evaluada en losvalores optimos de cada uno de los bienes xh

i dados los precios y el nivel de utilidad u,es decir, evaluada en las demandas hicksianas o compensadas:

e(p, u) = p · xh =

n∑

i=1

pixhi (p, u). (2.45)

Propiedades de la Funcion de Gasto y las demandas hicksianas

Proposicion 2.3.1. Las propiedades de la funcion de gasto son:

1. e(p, u) = 0, siendo u el mınimo valor de la utilidad.

2. e(p, u) es continua en precios y utilidad ∀p > 0.

3. e(p, u) es creciente en p y estrictamente creciente en u.

4. e(p, u) es homogenea de grado uno en p.

5. e(p, u) es concava en p.

Proposicion 2.3.2. Si las preferencias son estrictamente convexas, entonces se cumpleel lema de Shephard: e(p, u) es diferenciable en p y

∂e(p, u)

∂pi= xh

i (p, u) (2.46)

Demostracion. Usando el teorema de la envolvente tenemos que

∂e(p, u)

∂pi=

∂L(xh(p, u), λ(p, u),p, u

)

∂pi.

El lagrangiano evaluado en el optimo es

L(xh(p, u), λ(p, u),p, u

)= p · xh(p, u) − λ(p, u) ·

[u(xh(p, u)

)− u].

Tomando la derivada parcial con respecto a pi

∂L(xh(p, u), λ(p, u),p, u

)

∂pi= xh

i (p, u).

Proposicion 2.3.3. La demanda hicksiana cumple con las siguientes propiedades:

39



1. xh(p, u) es homogenea de grado cero en p.

2. xhi (p, u) es decreciente en pi.

Demostracion. La propiedad 4 de la funcion de gasto nos dice que esta es homogeneade grado 1 en p. Sabemos que si una funcion es homogenea de grado k, sus derivadasparciales son homogeneas de grado k − 1, por lo que las derivadas parciales de e(p, u)son homogeneas de grado cero. Por otra parte, por el lema de Sheppard, la derivada dela funcion de gasto con respecto a pi es igual a la demanda hicksiana de xi, con lo quedemostramos la propiedad 1. La propiedad 5 de la funcion de gasto indica que

∂2e(p, u)

∂p2i

≤ 0 (2.47)

∂e(p, u)

∂pi= xh

i (p, u) ⇒ ∂2e(p, u)

∂p2i

=∂xh

i (p, u)

∂pi≤ 0 (2.48)

Por lo tanto, la demanda hicksiana de un bien es decreciente en su propio precio.

Por lo tanto, la curva de demanda hicksiana no puede tener pendiente po-sitiva. Ademas, al aumentar los precios el gasto aumenta cada vez menos porque elconsumidor sustituira el consumo del bien cuyo precio aumenta buscando la canasta queminimice el gasto.

2.4. Relaciones entre el problema primal y el dual

2.4.1. Relaciones entre v(p, y) y e(p, u)

Tomemos un vector de precios e ingreso fijo (p0, y0) y evaluemos la funcion de utilidadindirecta, tal que u0 = v(p0, y0). A los precios p0, u0 es el maximo nivel de utilidad queel consumidor puede alcanzar cuando su ingreso es y0. Por lo tanto, si a los precios p0 elconsumidor quisiera alcanzar el nivel de utilidad u0, el ingreso y0 se lo permite.

Recordemos que e(p0, u0) es el mınimo gasto necesario para alcanzar el nivel deutilidad u0. Por lo tanto, debe ocurrir que e(p0, u0) = y0. Este hecho lo sintetizamos enla siguiente proposicion:

Proposicion 2.4.1.e(p, v(p, y)) = y (2.49)

Ahora fijemos (p0, u0) y consideremos el nivel de ingreso y0 = e(p0, u0). Por la defini-cion de la funcion de gasto, y0 es el mınimo ingreso que le permite al consumidor alcanzarel nivel de utilidad u0. Como v(p0, y0) es el maximo nivel de utilidad que se puede al-canzar con el ingreso y0 cuando los precios son p0, esto implica que v(p0, y0) = u0. Porlo tanto, tenemos una nueva proposicion:

Proposicion 2.4.2.v(p, e(p, u)) = u (2.50)

40



Las ecuaciones (2.49) y (2.50) son muy importantes ya que implican lo siguiente:

Proposicion 2.4.3. Recordemos que la funcion de utilidad indirecta es continua y es-trictamente creciente en y, por lo que es una funcion invertible. Entonces, si

v(p, e(p, u)) = u,

podemos aplicar la funcion inversa a ambos lados de la ecuacion anterior y obtenemos

e(p, u) = v−1(p : u) (2.51)

Por el mismo argumento anterior, tendremos tambien que

v(p, y) = e−1(p : y) (2.52)

Ejemplo 2.4.1. De la tarea 2.2.2, sabemos que las demandas marshallianas para lafuncion CES de dos bienes con α1 = α2 = 1 vienen dadas por

x1(p, y) =pr−1

1 y

pr1 + pr

2

(2.53)

x2(p, y) =pr−1

2 y

pr1 + pr

2

, (2.54)

con r = ρ/(ρ − 1). La funcion de utilidad indirecta es entonces

v(p, y) =

[(pr−1

1 y

pr1 + pr

2

)ρ

+

(pr−1

2 y

pr1 + pr

2

)ρ] 1

ρ

= y

[pr

1 + pr2

(pr1 + pr

2)ρ

] 1

ρ

(2.55)

= y(pr1 + pr

2)− 1

r (2.56)

Aplicando la proposicion 2.4.3, podemos obtener inmediatamente la funcion de gasto sinnecesidad de calcular las demandas hicksianas:

v(p, e(p, u)) = e(p, u)(pr1 + pr

2)− 1

r

Ahora, utilizando la ecuacion (2.50), tenemos que

e(p, u)(pr1 + pr

2)− 1

r = u,

por lo que finalmente tenemos que

e(p, u) = u(pr1 + pr

2)1

r .

Tarea 2.4.1. Consideremos la funcion de utilidad CES u(x1, x2) = (xρ1+xρ

2)1

ρ . Por mediode la minimizacion del gasto sujeto a un nivel de utilidad, hallar las demandas hicksianasy encontrar la funcion de gasto, verificando lo encontrado en el ejemplo anterior. Ademas,aplique la proposicion 2.4.3 para hallar la funcion de utilidad indirecta.

41



2.4.2. Dualidad entre la demanda marshalliana y la hicksiana

La demanda marshalliana a los precios p e ingreso y es igual a la demanda hicksianaa los precios p cuando el nivel de utilidad es el maximo que se puede alcanzar a losprecios p e ingreso y. Asimismo, la demanda hicksiana a los precios p y nivel de utilidadu es igual a la demanda marshalliana a los mismos precios cuando el ingreso es igual almınimo gasto necesario para alcanzar el nivel de utilidad u.

Proposicion 2.4.4.

xi(p, y) = xhi (p, v(p, y)) (2.57)

xhi (p, u) = xi(p, e(p, u)) (2.58)

2.4.3. Comparacion entre el Problema Primal y el Dual

El Problema Primal entrega como resultado las funciones de demanda ordinariaso marshallianas.

Reemplazando las funciones de demanda ordinarias en la funcion de utilidad directase obtiene la funcion de utilidad indirecta.

El Problema Dual entrega como resultado las demandas compensadas o hicksianas.

Reemplazando las funciones de demanda compensadas en la funcion de gasto totalse obtiene la funcion de gasto del consumidor.

Las cantidades consumidas que se obtienen de las demandas ordinarias y compen-sadas son iguales para:

x(p, y|y=e(p,u)) = xh(p, u|u=v(p,y)). (2.59)

2.5. Estatica Comparativa

2.5.1. Efecto sobre la demanda del cambio en un precio

La alteracion de la demanda de un bien producto del cambio (ceteris paribus) dealgun precio se puede descomponer en dos efectos:

1. Efecto sustitucion: Se produce un cambio de precios relativos, por lo que algunosbienes se han hecho relativamente mas costosos que otros, y por lo tanto, el consu-midor tendera a demandar una menor cantidad de dichos bienes y a incrementarla demanda de los bienes que se han hecho relativamente mas baratos.

2. Efecto ingreso: Al cambiar un precio, el poder adquisitivo del consumidor cambia.Si el precio de un bien ha caıdo (aumentado), el consumidor es mas rico (pobre).

42



La ecuacion de Slutsky

Recordemos que xhi (p, u∗) = xi(p, e(p, u∗)). Diferenciando a ambos lados con respecto

a pj , tenemos que

∂xhi (p, u∗)

∂pj=

∂xi(p, e(p, u∗))

∂pj+

∂xi(p, e(p, u∗))

∂y

∂e(p, u∗)

∂pj(2.60)

Analizando la expresion (2.60), vemos que aparece el termino e(p, u∗) = e(p, v(p, y)) = y.Ademas, al ultimo termino de la ecuacion es posible aplicar el lema de Shephard, con loque la expresion (2.60) se puede expresar como

∂xhi (p, u∗)

∂pj=

∂xi(p, y)

∂pj+

∂xi(p, y)

∂yxj(p, y).

Finalmente, reordenando terminos, llegamos a la ecuacion de Slutsky:

∂xi(p, y)

∂pj︸︷︷︸

Efecto total

=∂xh

i (p, u∗)

∂pj︸︷︷︸

Efecto sustitucion

− ∂xi(p, y)

∂yxj(p, y)

︸︷︷︸

Efecto ingreso

(2.61)

x1x01

x2

x11 x′

1

x02

x12

x′2

u0

u1

Figura 2.17: Efectos de un aumento de p1

43



En la figura (2.17), podemos observar los efectos descritos en la ecuacion de Slutsky.El efecto sustitucion para x1 es x′

1 − x01, mientras que el efecto ingreso viene dado por

x11 − x′

1. El efecto total de este cambio en p1 sobre la demanda de x1 es x11 − x0

1.

El efecto sustitucion cruzado (el cambio en x2 producto de un aumento de p1 mante-niendo la utilidad constante) es x′

2−x02, mientras que el efecto ingreso cruzado es x1

2−x′2.

El efecto cruzado total es x12 − x0

2.

Miremos de cerca la ecuacion de Slutsky para analizar que ocurre con la demanda deun bien cuando cambia su propio precio. Sabemos que para el caso de los bienes inferiores,el efecto ingreso va en sentido contrario del (siempre negativo) efecto sustitucion. Ningunode los axiomas respecto de las preferencias que hemos utilizado impide que el efectoingreso sea contrario y de mayor magnitud que el efecto sustitucion. En ese caso, lademanda marshalliana xi(p, y) no serıa decreciente en pi. Cuando un bien es inferior yel efecto ingreso es de mayor magnitud que el efecto sustitucion, decimos que dicho bienes un bien Giffen.

Como vimos en las secciones 2.2.2 y 2.3, las curvas de demanda tanto marshallianau ordinaria como hicksiana o compensada se pueden derivar graficamente a partir deseparar los efectos sustitucion del efecto ingreso en el grafico de curvas de indiferencia.El efecto sustitucion corresponde a un movimiento a lo largo de la misma curva deindiferencia de manera de mantener el nivel de bienestar o utilidad constante (demandacompensada). El efecto ingreso corresponda a un movimiento de una curva de indiferenciaa otra producto solo de un cambio en el ingreso real.

La demanda compensada considera solo el efecto sustitucion, mientras que la deman-da ordinaria considera tanto el efecto sustitucion como el efecto ingreso. El efecto totalsera entonces la suma del efecto sustitucion y del efecto ingreso, que es el dado por lademanda ordinaria.

Debido a la concavidad de la funcionde gasto, sabemos que el efecto sustitucionsiempre sera menor o igual a cero, y que la direccion del efecto ingreso dependera deltipo de bien. Ası, para un bien normal el efecto ingreso reforzara al efecto sustitucion;para un bien neutro el efecto total es igual al efecto sustitucion; y para un bien inferiorel efecto ingreso es contrario al efecto sustitucion.

En terminos de elasticidades, se tendra que:

Para un bien superior: la demanda compensada es mas inelastica que la demandaordinaria.

Para un bien neutro: la demanda compensada es igual a la demanda ordinaria.

Para un bien inferior: la demanda compensada es mas elastica que la demandaordinaria.

44



2.5.2. Curva de Engel o Senda de Expansion

La curva de Engel o Senda de Expansion resume la relacion grafica entre cantidadconsumida e ingreso. Formalmente, la curva de Engel es la relacion entre la cantidadconsumida de un bien medida a traves de la demanda marshalliana y distintos nivelesde ingreso. La pendiente de la curva de Engel esta dada por la derivada ∂xi(p,y)

∂y, que a

su vez determina si el bien es inferior, neutro o superior.

45



x1

x1

x01

x01

x2

x11

x11

x21

x21

u0

u1

u2

y

y0

y1

y2

Figura 2.18: Curva de Engel para un bien normal.

46



x1

x1x01

x01

x2

x11

x11

x21

x21

u0

u1

u2

y

y0

y1

y2

Figura 2.19: Curva de Engel para un bien inferior.

2.6. Propiedades empıricas y relaciones de demanda en-

tre los bienes

Primero, recordemos las definiciones de elasticidades:

47



Elasticidad precio de la demanda

ξxi,pi= ηxi,pi

=∂xi

∂pi

· pi

xi

. (2.62)

Elasticidad ingreso

ξxi,y =∂xi

∂y· y

xi

. (2.63)

Elasticidad precio cruzada

ξxi,pj=

∂xi

∂pj· pj

xi. (2.64)

2.6.1. Homogeneidad de la demanda en terminos de elasticidades

Recordemos que el teorema 1.4.1 (Euler) nos dice que si una funcion f(x) es ho-mogenea de grado k, entonces:

k · f(x) =n∑

j=1

∂f(x)

∂xj

· xj . (2.65)

Aplicando el Teorema de Euler a la funcion de demanda ordinaria (homogenea de grado0 en precios e ingreso), se obtiene:

0 · xi(p, y) =∂xi

∂p1p1 +

∂xi

∂p2p2 + · · · + ∂xi

∂pnpn +

∂xi

∂yy

⇔ 0 =∂xi

∂p1

p1

xi

+∂xi

∂p2

p2

xi

+ · · ·+ ∂xi

∂pn

pn

xi

+∂xi

∂y

y

xi

⇔(

n∑

j=1

ξxi,pj

)

+ ξxi,y = 0. (2.66)

2.6.2. Agregacion de Engel

Bajo monotonicidad estricta y perfecta divisibilidad de los bienes, de modo que elconsumidor gasta todo su ingreso, se tiene que:

n∑

i=1

pixi = y/∂(·)

∂y

⇒n∑

i=1

pi∂xi

∂y= 1

⇔n∑

i=1

pixi

y︸︷︷︸

αi

· ∂xi

∂y

y

xi

= 1

⇔n∑

i=1

αi · ξxi,y = 1. (2.67)

48



Donde αi es la participacion del gasto en el bien i sobre el gasto total.

Esta agregacion es la version diferencial del hecho que un aumento en el ingresogenera un aumento de igual proporcion en el gasto agregado. Esta propiedad implicaademas que no todos los bienes pueden ser inferiores simultaneamente.

2.6.3. Agregacion de Cournot

n∑

i=1

pixi = y/∂(·)

∂pk

⇒ p1∂x1

∂pk+ p2

∂x2

∂pk+ · · ·+ ∂(pkxk)

∂pk+ · · ·+ pn

∂xn

∂pk= 0

⇔ p1∂x1

∂pk+ p2

∂x2

∂pk+ · · ·+ xk + pk

∂xk

∂pk+ · · ·+ pn

∂xn

∂pk= 0

⇔n∑

i=1

pi∂xi

∂pk= −xk

/pk

y

⇔n∑

i=1

pi∂xi

∂pk· pk

y= −xk ·

pk

y

⇔n∑

i=1

αi · ξxi,pk= −αk. (2.68)

Esta agregacion es la version diferencial del hecho que ningun cambio en precios puedeimplicar un cambio en el gasto agregado.

2.6.4. Relaciones de demanda entre los bienes

Recordemos la ecuacion de Slutsky para un cambio de pj sobre xi

∂xi(p, y)

∂pj︸︷︷︸

Efecto total

=∂xh

i (p, u)

∂pj︸︷︷︸

Efecto sustitucion

− ∂xi(p, y)

∂yxj(p, y)

︸︷︷︸

Efecto ingreso

(2.69)

Definicion 2.6.1. Diremos que dos bienes xi, xj son

(a) Complementos Brutos ⇔ ∂xi(p, y)

∂pj< 0.

(b) Sustitutos Brutos ⇔ ∂xi(p, y)

∂pj> 0.

49



(c) Complementos Netos ⇔ ∂xhi (p, u)

∂pj< 0.

(d) Sustitutos Netos ⇔ ∂xhi (p, u)

∂pj

> 0

De las definiciones anteriores, debemos notar que existe una ambiguedad de efectosbrutos: ∂xi

∂pj6= ∂xj

∂pi. Sin embargo, los efectos cruzados netos son simetricos:

∂xhi

∂pj=

∂xhj

∂pi,

lo cual se deriva del Teorema de Young aplicado a la funcion de gasto.

2.7. Analisis de bienestar

Cuando cambian los precios se producen cambios en los niveles de bienestar quepueden alcanzar los consumidores. Las medidas de bienestar que veremos a continuacionintroducen una medida monetaria del cambio en los niveles de bienestar. No existeuna medida unica de cambio en bienestar por cuanto el bienestar propiamente tal no sepuede medir. Por lo tanto, se usan medidas de bienestar que se derivan de las funcionesde demanda y de gasto del consumidor.

Estas medidas tienen una enorme utilidad en el campo de la evaluacion social deproyectos, puesto que al momento de decidir si un determinado proyecto se lleva o no acabo, es fundamental contar con alguna medida cuantitativa de los beneficios y costosque se derivaran de este. Por ejemplo, si se esta evaluando un proyecto que beneficiara aun grupo de individuos, el proyecto sera socialmente rentable si las personas obtienenbeneficios que, sumados, son mayores que los costos asociados a dicho proyecto. Enesta seccion nos ocuparemos de obtener una medida adecuada para estos beneficios. Enparticular, es necesario que esta medida sea monetaria, pues solo de esa forma serancomparables costos con beneficios.

Por ahora nos centraremos en obtener una medida para el cambio en el bienestarproducto del cambio en el vector de precios que enfrenta el consumidor.

2.7.1. (Cambio en el) Excedente del consumidor

La medida de cambio en el Excedente del Consumidor corresponde a la diferenciaentre lo maximo que el consumidor esta dispuesto a pagar por un bien y lo que efectiva-mente paga, sin importar el nivel de utilidad previo o posterior al cambio de precios.

Por lo tanto,

∆EC =

∫ p1

i

p0

i

xi(p, y)dpi. (2.70)

50



Sin embargo, a partir de la funcion de gasto del consumidor se puede obtener unamedida monetaria indirecta de cambio en bienestar. Se definen primero dos vectores deprecios: el vector de precios inicial p0 y el vector de precios final p1. Sea u0 = v(p0, y) yu1 = v(p1, y), y observese que e(p0, u0) = e(p1, u1) = y.

2.7.2. Variacion Equivalente

La variacion equivalente se pregunta que cambio en ingreso del individuo es equiva-lente a la variacion de precios en terminos de impacto en bienestar. Es decir, la variacionequivalente nos dice que aumento en el ingreso serıa equivalente a un cambio hipoteticoen el vector de precios (sin que dicho cambio de precios ocurra en realidad).

V E(p0,p1, y) = e(p0, u1) − e(p1, u1) = e(p0, u1) − y. (2.71)

Si queremos medir el impacto sobre el bienestar de un cambio en el precio de un bien,todo lo demas constante, la variacion equivalente se puede escribir de la siguiente forma:

V E =

∫ p0

i

p1

i

xhi (p, u1)dpi. (2.72)

2.7.3. Variacion Compensatoria

La variacion compensatoria se pregunta en que monto debiera variar el gasto paracompensar al consumidor (dejarlo en el mismo nivel de bienestar inicial) despues que losprecios efectivamente cambiaron:

V C(p0,p1, y) = e(p1, u0) − e(p0, u0) = e(p1, u0) − y. (2.73)

Al igual que con la variacion equivalente, cuando se trata de un cambio en un precio,todo lo demas constante, la variacion compensatoria se puede expresar como:

V C =

∫ p1

i

p0

i

xhi (p, u0)dpi. (2.74)

Relaciones entre las medidas de cambio en bienestar

Cuando baja el precio de un solo bien, la representacion grafica en el caso de unbien normal es como en la Figura 2.20, donde se puede observar que:

∆EC = p0i ADp1

i

V C = −p0i ACp1

i

V E = p0i BDp1

i

51



xi

pi

xi(p, y)

p1i

p0i

xhi (p, u0) xh

i (p, u1)

D

A B

C

Figura 2.20: Medidas de cambio en bienestar para un bien normal.

Tarea 2.7.1. Mostrar que el orden de las magnitudes de las medidas de bienestar esinverso al tratarse de bienes inferiores.

Tarea 2.7.2. Mostrar que el orden de las magnitudes de las medidas de bienestar esinverso al tratarse de un aumento en el precio.

2.8. La demanda de mercado

La demanda de mercado de un bien xi cuando el vector de precios es p es

xmi =

K∑

j=1

xji (p, yj),

donde los K consumidores estan indizados por j.Entonces, la curva de demanda de mercado de un bien es la suma horizontal de las

curvas de demanda individuales.

2.9. Las preferencias reveladas

Hasta ahora hemos estudiado la demanda asumiendo que las preferencias del consumi-dor satisfacıan ciertas propiedades (completitud, transitividad y monotonicidad estricta,etc.). Por lo tanto, hemos comenzado por asumir ciertas cosas que no podemos observar,para luego poder hacer predicciones sobre variables que podemos observar (la demanda).

52



El economista Paul Samuelson, primer economista Estadounidense en recibir el pre-mio Nobel, sugirio un enfoque alternativo: Casi todas las predicciones de la teorıa de lademanda tradicional tambien pueden ser derivadas de unos cuantos supuestos simplesrespecto de las elecciones observables del consumidor.

Como principio general, la teorıa de las preferencias reveladas sostiene que las prefe-rencias y motivaciones de un individuo pueden ser inferidas mediante la observacion desu comportamiento.

La idea basica es que si el consumidor escoge una canasta en vez de otra que tambienera asequible, entonces el consumidor ha revelado que prefiere la primera canasta a lasegunda, entregando informacion respecto de sus gustos. Entonces, en vez de imponersupuestos sobre las preferencias, asumiremos axiomas respecto de la consistencia de laselecciones del consumidor.

Hay que resaltar que el supuesto fundamental de esta teorıa es la constancia de laspreferencias, por lo que las conclusiones que obtengamos seran mas razonables cuantomenor sea el tiempo transcurrido entre las situaciones que comparemos.

Sean xi y xj las canastas escogidas por un consumidor cuando el vector de precios espi y pj respectivamente.

Definicion 2.9.1. Diremos que xj es directamente revelado como preferido a xi

si y solo si

pj · xj ≥ pj · xi.

Es decir, si cuando los precios eran p = pj el consumidor podrıa haber comprado lacanasta xi (porque era al menos tan barata como xj), pero no lo hizo, el consumidor harevelado mediante su comportamiento que prefiere xj a xi.

Definicion 2.9.2. Axioma Debil de Preferencias Reveladas (ADPR)

Las preferencias de un consumidor satisfacen en ADPR si para cualquier par decanastas distintas x0,x1 con x0 escogida cuando p = p0 y x1 escogida cuando p = p1,

p0 · x1 ≤ p0 · x0 ⇒ p1 · x0 > p1 · x1.

En otras palabras, el Axioma Debil se cumple si siempre que x0 es directamente reveladocomo preferido a x1, x1 no es revelado como preferido a x0.

Denotemos por x(p, y) a la eleccion del consumidor cuando los precios son p y elingreso es y. Esta no es una funcion de demanda, pues no hemos hablado de maximizacionde la utilidad.

Definicion 2.9.3. El Axioma Fuerte de Preferencias Reveladas (AFPR) sesatisface si para cualquier conjunto de canastas x0,x1, . . . ,xk, donde x0 es directamenterevelado como preferido a x1, x1 es directamente revelado como preferido a x2, . . . , yxk−1 es directamente revelado preferido a xk, entonces xk no es directamente reveladocomo preferido a x0.

53



El AFPR asegura que no exista una contradiccion en la revelacion indirecta depreferencias, es decir, si x1 es directamente revelado como preferido a x0, y x2 es a suvez directamente revelado como preferido a x1, entonces el consumidor esta revelandoindirectamente que prefiere x2 a x0. Si dicha revelacion indirecta de las preferenciases contradicha por la revelacion directa de la preferencia de x0 a x2, se viola el AFPR.

Un hecho muy importante, es que si el comportamiento de un consumidor satisface elAFPR, entonces existe una funcion de utilidad que racionaliza dicho comportamiento.

Nota: En un mundo de 2 bienes, basta que se cumpla el ADPR para que automaticamente

se satisfaga el AFPR.

2.10. Numeros ındice

2.10.1. Indices de Cantidades

Supongamos que queremos saber como ha cambiado el consumo de un individuo entreel periodo base b y el periodo t, medido en un numero ındice que resuma la informacioncontenida en los vectores de canastas de consumo. Si en el periodo b, el consumidorescogıa la canasta xb = (xb

1, xb2, . . . , x

bn) y en el periodo t consume xt = (xt

1, xt2, . . . , x

tn).

Un ındice de cantidades se expresa de la siguiente forma:

Iq =

∑ni=1 ωix

ti

∑ni=1 ωix

bi

=ω · xt

ω · xb,

donde ω es un vector de ponderadores. Lo mas natural es que ω sea el vector de precios,pues de esa forma se pondera cada bien segun su importancia en el gasto. Si se utilizanlos precios del periodo base (ω = pb), entonces Iq es un ındice de Laspeyres. Si seutilizan los precios del periodo t (ω = pt), entonces Iq es un ındice de Paasche.

Entonces, el ındice de Paasche es

Pq =pt

1xt1 + pt

2xt2 + · · ·+ pt

nxtn

pt1x

b1 + pt

2xb2 + · · ·+ pt

nxbn

,

mientras que el ındice de Laspeyres viene dado por

Lq =pb

1xt1 + pb

2xt2 + · · · + pb

nxtn

pb1x

b1 + pb

2xb2 + · · · + pb

nxbn

,

Bajo el ADPR, si el ındice de Paasche es mayor que 1, tenemos que el bienestar delconsumidor debe haber aumentado, mientras que si el ındice de Laspeyres es menor que1, el bienestar del consumidor ha disminuido.

2.10.2. Indices de Precios

Un ındice de precios se expresara de la siguiente forma:

Ip =

∑ni=1 ωip

ti

∑ni=1 ωipb

i

=ω · pt

ω · pb.

54



Analogamente al caso de los ındices de cantidades, ahora lo mas natural es que losponderadores ω correspondan a la canasta de bienes, puesto que de dicha forma, cadaprecio pesara en el ındice de acuerdo a su importancia en el consumo.

El ındice de precios de Paasche sera

Pp =pt

1xt1 + pt

2xt2 + · · · + pt

nxtn

pb1x

t1 + pb

2xt2 + · · · + pb

nxtn

,

Mientras que el ındice de precios de Laspeyres se expresa como

Lp =pt

1xb1 + pt

2xb2 + · · ·+ pt

nxbn

pb1x

b1 + pb

2xb2 + · · ·+ pb

nxbn

Al contrario del analisis de ındices de cantidades, los ındices de precios de Paasche yLaspeyres no nos entregan informacion directa respecto del bienestar del consumidor.

Para saber si el consumidor esta mejor o peor que antes, es necesario comparar estosındices de precios con el siguiente ındice de variacion de gasto:

M =pt · xt

pb · xb.

Si Pp es mayor que M , entonces sabemos que el bienestar ha caıdo. Por su parte, siLp < M , entonces el consumidor se encuentra mejor en el periodo t que en b.

55



56

Capıtulo 3

Aplicaciones de la teorıa delconsumidor

3.1. Modelo de oferta laboral

En esta seccion analizaremos la decision de oferta de trabajo de los consumidores enel contexto de la teorıa vista en el capıtulo anterior.

3.1.1. El modelo basico de ocio-consumo

Los supuestos de este modelo son:

El consumidor obtiene utilidad tanto del consumo de bienes como del tiempodedicado a divertirse (ocio): u = u(C,O). C representara la canasta de bienes deconsumo, la cual tiene un ındice de precios p.

El trabajo es remunerado mediante un salario por unidad de tiempo w. Ademassupondremos que posee un ingreso no laboral YNL

El consumidor elige cuanto tiempo dedicara al ocio (O) o a trabajar (L), de untotal T de tiempo disponible. De esta forma, el ingreso pasara a ser una variableendogena, puesto que dependera de las horas trabajadas: y = wL + Y NL.

Supondremos que las preferencias por C y O son racionales, continuas, monotonicasy estrictamente convexas.

Entonces el problema del consumidor consiste en

max{C,O}

u(C,O)

sujeto a: wL + YNL = pC

L + O = T

57



Donde la primera restriccion nos dice que el consumo es igual a los ingresos del individuoy la segunda restriccion nos dice que la suma de el total de horas asignadas al ocio yal trabajo debe ser igual a el total de horas disponibles. De esta forma, al igual comoen la seccion 2.2.2, obtendremos demandas marshallianas por O y C. Estas demandasdependeran de las variables exogenas y parametros del modelo: (w, YNL, p, T ). Una vezque obtenemos una demanda por ocio O(w, YNL, p, T ), de la restriccion temporal delindividuo tendremos una oferta laboral:

L(w, YNL, p, T ) = T −O(w, YNL, p, T ).

Notar que podemos tomar las dos restricciones (la presupuestaria y la temporal) yjuntarlas en una sola:

pC + wO = wT + YNL (3.1)

La ecuacion 3.1 muestra que podemos ver este problema desde el siguiente punto de vista:el individuo debe escoger una canasta que posee dos “bienes” (C,O) cuyos “precios” son(p, w) y posee un “ingreso” fijo igual a wT +YNL. Entonces, w es el precio de cada unidadde tiempo dedicada al ocio, y la razon es que cada minuto de ocio tiene un costo deoportunidad, equivalente al dinero que se podrıa obtener si se trabajase ese minuto. Elindividuo posee una dotacion total equivalente a wT + YNL, la cual puede decidir gastarentre consumo u ocio. Graficamente, la restriccion 3.1 se puede visualizar en el plano(C,O):

C

O

YNL+wTp

YNL

p

T

−wp

Figura 3.1: Restriccion para el consumidor entre ocio y consumo.

Introduciendo las restricciones del problema en la funcion objetivo, el problema sereduce a:

max{L}

u

(wL + YNL

p, T − L

)

(3.2)

58



Derivando con respecto a L e igualando a cero, tenemos la condicion de primer orden:

uOuC

=w

p, (3.3)

la cual nos indica que, si la solucion es interior, el valor absoluto de la tasa marginalde sustitucion de ocio por consumo debe ser igual a la razon de precios de estos bienes.Graficamente, la solucion interior se ve de la siguiente forma:

C

O

YNL+wTp

YNL

p

C∗

O∗ T︸︷︷︸

L∗

u

Figura 3.2: Solucion interior para C, O y L.

De las condiciones de primer orden podemos obtener el nivel de consumo y ociooptimos para el individuo. Con el nivel optimo de ocio es posible calcular la ofertalaboral del individuo, la cual consiste en el nivel de horas que el individuo destinara atrabajar en funcion de una serie de variables como el salario, el nivel de horas disponiblesen el dıa, el ingreso no laboral, entre otras.

Definicion 3.1.1. Diremos que un individuo participa en el mercado laboral si es quesu oferta de trabajo es mayor que cero.

Definicion 3.1.2. El salario de reserva de un individuo corresponde al salario quelo deja indiferente entre trabajar y no trabajar.

Dicho de otra forma, el salario de reserva corresponde al mas alto salario para el cualel individuo dedica la totalidad de su tiempo al ocio.

59



C

O

YNL

p

u

−wR

p

Figura 3.3: Graficamente, el salario de reserva en el modelo simple corresponde al que hace que la rectapresupuestaria sea tangente a la curva de indiferencia justo en el punto que muestra la figura.

El concepto de salario de reserva es muy util debido a que nos ayuda a comprender demejor forma las decisiones de los individuos en cuanto a participar o no en el mercadolaboral.

Ejemplo 3.1.1. Ahora con un ejemplo pondremos en practica todos los conceptos queanteriormente han sido enunciados. Supongamos la siguiente funcion de utilidad:

U(C,O) = Cα · Oβ

Con 0 < α, β < 1.Debemos entonces maximizar la utilidad del individuo sujeto a la restriccion:

pC + wO = YNL + wT

Supongamos, para simplificar un poco el algebra, que p = 1. Debemos entonces plan-tear el lagrangiano que nos permita maximizar la utilidad del individuo sujeto a la res-triccion ya descrita:

L = Cα · Oβ + λ(YNL + wT − C − wO)

60



Las condiciones de primer orden son;

∂L∂C

= αCα−1 · Oβ − λ = 0

∂L∂O = βCα · Oβ−1 − λw = 0

Dividiendo ambas expresiones obtenemos:

αOβC

=1

w

Despejando O y reemplazandolo en la restriccion:

C + w

(βC

αw

)

= YNL + wT

C

(α + β

α

)

= YNL + wT

C∗ =α(YNL + wT )

α + β

Lo que corresponde al nivel optimo de consumo. Analogamente para O obtendremos que:

O∗ =β(YNL + wT )

w(α + β)

Con el nivel optimo de ocio podemos ver cuantas horas dedicara el individuo al ocio y atrabajar. Para obtener cual es la oferta laboral del individuo debemos reemplazar el niveloptimo de ocio en la restriccion de tiempo, vale decir, en donde la suma de las horasdedicadas al ocio y trabajo son iguales a las horas disponibles del individuo:

L + O∗ = T (3.4)

T −O∗ = L∗ (3.5)

Reemplazando el nivel optimo de ocio en la ecuacion (3.5)obtenemos:

T − β(YNL + wT )

w(α + β)= L∗

wT (α + β) − β(YNL + wT )

w(α + β)= L∗

α · wT − βYNL

w(α + β)= L∗

L∗ corresponde a la oferta laboral del individuo. Detengamonos un poco en esta ultimaecuacion. Vemos que la oferta laboral es creciente en w1, decreciente en YNL y en β.Queda propuesto para el lector interpretar estas dos ultimas relaciones.

1¿Que pasarıa con la oferta laboral si es que w → ∞?

61



Ahora, para obtener el salario de reserva, igualamos a 0 la oferta laboral y despejamosel salario:

α · wT − βYNL

w(α + β)= 0

α · wT = βYNL

wR =βYNL

αT

Vemos que, en este caso particular, el salario de reserva depende positivamente de elingreso no laboral y negativamente del tiempo disponible del individuo. Ademas, vemosque el salario de reserva cae a medida que aumenta la importancia del consumo en lafuncion de utilidad (vale decir, sube α) y que el salario de reserva aumenta si es que laimportancia del ocio sube (o sea, el valor de β crece). Podemos ver entonces que cambiosen variables como las anteriormente mencionadas afectaran el salario de reserva y porende, el salario por el cual los individuos estaran indiferentes entre trabajar o no.

3.1.2. Ecuacion de Slutsky

En el optimo la demanda marshalliana por ocio es igual a la demanda hicksiana porocio:

Om(w, YNL) = Oh(w, U)

Sin embargo, sabemos que el ingreso no laboral guarda relacion con el salario a travesde la siguiente restriccion:

pC = wL + YNL =⇒ YNL = pC − wL (3.6)

Derivando la demanda hicksiana con respecto al salario tenemos entonces:

∂Oh(w, U)

∂w=

∂Om(w, YNL)

∂w+

∂Om(w, YNL)

∂YNL· ∂YNL

∂w(3.7)

De la ecuacion (3.6) podemos reemplazar la derivada parcial en la ecuacion (3.7):

∂Oh(w, U)

∂w=

∂Om(w, YNL)

∂w+

∂Om(w, YNL)

∂YNL· −L

Reemplazando L por T −O (usando la restriccion de tiempo) en la ecuacion anterior:

∂Oh(w, U)

∂w=

∂Om(w, YNL)

∂w+

∂Om(w, YNL)

∂YNL· −(T −O)

62



Despejando:

∂Om(w, YNL)

∂w︸︷︷︸

Efecto total

=∂Oh(w, U)

∂w︸︷︷︸

Efecto Sustitucion

+ (T −O) · ∂Om(w, YNL)

∂YNL︸︷︷︸

Efecto Ingreso

(3.8)

Efecto Ingreso y Efecto Sustitucion

La interpretacion de los efectos dependen de si el ocio es considerado un bien normalo inferior.

i) El ocio como un bien normal: El efecto sustitucion siempre sera negativo, valedecir, ante aumentos del salario la cantidad demandada de ocio disminuye, puestoque el costo de oportunidad de dedicarle tiempo al ocio es ahora mayor. El efec-to ingreso sin embargo va en el sentido contrario: Si es que aumenta el salario elindividuo es ahora mas rico por lo que dedicara mas tiempo al ocio, ya que gozade un salario mas alto. Otra interpretacion un poco mas matematica esta basada einterpretar la ecuacion (3.8), como el ocio es un bien normal depende positivamentedel ingreso no laboral, por lo que el signo del efecto ingreso sera positivo, al con-trario del signo del efecto sustitucion. El efecto total sera ambiguo, dependera dela magnitud de los efectos. Cuando el efecto sustitucion sea mayor al efecto ingresotendremos que un aumento del salario provoca una disminucion en la cantidad de-mandada de ocio. Si es que el efecto ingreso es mayor al efecto sustitucion entoncesante un alza de salario la cantidad demandada de ocio aumentara.

ii) El ocio como un bien inferior: La interpretacion del efecto sustitucion es lamisma que para el caso anterior, siempre lleva el mismo signo. El analisis cambiapara el efecto ingreso: El ocio, a medida que se tiene mayor ingreso, ya no es muyvalorado por lo que la cantidad demandada, a medida que el salario sube, es cadavez menor. Un enfoque mas matematico nos dice que al ser un bien inferior elocio tendra una relacion inversa con respecto al ingreso no laboral haciendo queel signo del efecto ingreso sea negativo. Esto hace que el efecto ingreso refuerce alefecto sustitucion ya que van en la misma direccion. Por lo tanto, si el ocio es unbien inferior, la cantidad demandada de este caera cuando aumente el salario. Lamagnitud de los efectos para este caso no importan demasiado ya que van en lamisma direccion.

Curva de Oferta Laboral

La forma de la Curva de Oferta Laboral dependera de si el ocio es un bien normalo inferior. Si es que el ocio es un bien normal, la oferta de trabajo podrıa even-tualmente tener pendiente negativa. Esto ocurrirıa si el efecto ingreso llega a serde mayor magnitud que el efecto sustitucion:

63



L

w

wR |ES| > |EI|

|ES| < |EI|

Figura 3.4: Curva de Oferta Laboral cuando el ocio es un bien normal.

Por el contrario, si es que el ocio es un bien inferior tendremos que el grafico sera elsiguiente:

L

w

Figura 3.5: Curva de Oferta Laboral cuando el ocio es un bien inferior.

3.1.3. Estatica comparativa en el modelo basico

Un aumento de w

Un aumento de w expande el conjunto presupuestario que enfrenta el individuo, loque tendra dos efectos sobre las “demandas” de consumo y ocio (y por lo tanto, sobre

64



la oferta laboral). En primer lugar, un mayor salario implica un encarecimiento relativodel ocio, es decir, existe un efecto sustitucion. Ademas, el aumento de w implica unefecto ingreso, puesto que el conjunto presupuestario se expande. La suma de estos dosefectos.

La figura 3.6 nos muestra el efecto total del aumento en w.

CC

OO

YNL

pYNL

p

u0u0

u1

u1

C0C0

C1

C1

O0O0 O1O1

+

Figura 3.6: Efecto de un aumento del salario.

Vemos que un aumento de w puede aumentar o disminuir la demanda de ocio, porlo que la oferta de trabajo puede caer o aumentar. Por lo tanto, la curva de oferta detrabajo no necesariamente tiene pendiente positiva.

Si el ocio es un bien inferior, el efecto ingreso refuerza al efecto sustitucion, por loque en ese caso, un aumento de w necesariamente implicara una mayor oferta laboral(curva de oferta con pendiente positiva). Si el ocio es un bien normal el efecto ingresova en sentido opuesto al efecto sustitucion, por lo que en ese caso, la oferta de trabajopodrıa ser decreciente en w (curva de oferta de trabajo con pendiente negativa). La ofertade trabajo tendra pendiente negativa cuando el efecto ingreso sea contrario y de mayormagnitud que el efecto sustitucion.

3.1.4. Extensiones del modelo basico

Efecto de un Subsidio de Cesantıa

A continuacion veremos como el modelo de ocio-consumo puede ayudarnos a explicarel efecto de la entrega de un subsidio de cesantıa. El subsidio de cesantıa puede ser visto

65



como un aumento del ingreso no laboral, pero solamente se le dara a aquellos que notrabajen (o sea, dedican todo su tiempo al ocio). Lo que pasara con este subsidio decesantıa es que el individuo se ubicara en una curva de indiferencia con mayor utilidad,haciendo que el salir a trabajar se haga mas difıcil. En este nuevo punto el individuo noesta dispuesto a trabajar pocas horas, ya que de hacerlo perderıa el subsidio y ganarıamuy poco. Es por esto que una vez que se le de el subsidio de cesantıa al individuo estesolo trabajara, si es que trabaja, muchas horas y a un salario mas alto que el inicial yaque de esa manera estarıa compensando la perdida el subsidio de cesantıa. Graficamentetenemos:

O

u0

u1

C0

C1

A

B

C

C

O0 = O1O′1

C ′1

Figura 3.7: Efectos de un subsidio a la cesantıa.

Se puede apreciar en la figura 3.7 los efectos del subsidio de cesantıa. La situacioninicial es aquella en donde el individuo dedica todo su tiempo al ocio y consume suingreso no laboral (punto A). Luego, una vez que le dan el subsidio de cesantıa (enotras palabras, un aumento del ingreso no laboral) pasa al punto B, alcanzando unacurva de indiferencia con mayor utilidad. En este punto (O1, C1) se seguira destinandotodo el tiempo disponible al ocio con la diferencia que el consumo sera mayor, ya quees igual al nuevo ingreso no laboral. Si es que el individuo desea trabajar entonces lohara pero muchas horas y a un salario mas alto que el ofrecido en la situacion inicial,de manera de poder compensar la perdida del subsidio a la cesantıa, representado por

66



el punto C(O′1, C

′1). Vemos que tanto el punto B como el C nos dicen que el individuo

esta indiferente entre ellos, puesto que se encuentran en la misma curva de indiferencia.

Como conclusion es posible ver que un subsidio a la cesantıa tendra como efectouna disminucion de la cantidad de personas que desean trabajar y una disminucion delas personas que trabajan pocas horas, por los resultados obtenidos anteriormente. Lamisma explicacion pero en otras palabras serıa que la dedicacion de la totalidad deltiempo disponble al ocio tiene un peso relativo muy importante: Si es que trabaja unacantidad infinitesimal de tiempo automaticamente se pierde el subsidio por lo que launica instancia en que trabajara sera en aquel caso en que exista un alza de salario y ladisponibilidad de las horas que el individuo desea trabajar. Ademas tambien es posibleapreciar el hecho de que un subsidio de cesantıa lleva a un equilibrio con mayor bienestarpara el individuo (ya que llega a una curva de indiferencia con mayor utilidad) pero noes necesariamente un equilibrio mas “eficiente”para la sociedad en su conjunto2.

Costos de Transporte

Una forma de ver el problema de los costos de transporte, y es aquella con la quese tratara a continuacion, es desde el punto de vista de la disminucion del tiempodisponible de los individuos. Si el transporte se hace menos eficiente por ejemplo, ve-remos que los individuos se demoraran mas cada vez que viajen en el. Esta demora esequivalente a decir que ahora el individuo tiene que dejar de hacer actividades o consumirbienes puesto que lo hacıa en el tiempo disponible que acaba de perder por culpa deltransporte.

Es necesario distinguir si el ocio es considerado como un bien normal o inferior. Parael caso de que el ocio sea un bien normal el analisis es el que sigue. Si es que el tiempodisponible del individuo disminuye por causa del aumentos de los costos de transporteentonces el individuo tendra que disminuir tanto su consumo como su ocio, dado que elocio es un bien normal.

2Esto sera analizado en cursos mas avanzados.

67



O

YNL

p

u0u1

C0

C1

O0O1

C

Figura 3.8: Aumento de los costos de transporte cuando el ocio es un bien normal.

En la figura 3.8 vemos como habıa sido mencionado antes que tanto el ocio como elconsumo disminuyen, llegando a un equilibrio compuesto por una canasta con menos delos dos bienes, en comparacion a la situacion inicial. Hay que prestar atencion al hechode que se llega a una curva de indiferencia con una utilidad menor en relacion a la inicialpor lo que el bienestar del individuo ha disminuıdo despues del aumento de los costos detransporte.

Para el caso de que el ocio sea un bien inferior tenemos que ante un aumento de loscostos de transporte nos lleva a un equilibrio final con un menor consumo pero con unmayor nivel de ocio.

O

YNL

p

u0

u1

C0

C1

O0 O1

C

Figura 3.9: Aumento de los costos de transporte cuando el ocio es un bien inferior.

68



Vemos en la figura 3.9 que cuando disminuya el tiempo disponible producto de elaumento de los costos de transporte disminuira el consumo pero aumentara el ocio, debidoa que este es un bien inferior en este caso. Nuevamente si comparamos el equilibrio inicialcon el final veremos que tambien, al igual que para cuando el ocio es un bien normal,existe un empeoramiento del bienestar del individuo.

69



3.2. Consumo Intertemporal

Esta seccion esta destinada a explicar como los individuos, que ahora viven mas deun perıodo, pueden ajustar su nivel de consumo a lo largo de de estos perıodos al moverrecursos en el tiempo con el objetivo de poder suavizar su consumo y por lo tanto obtenertrayectorias de consumo que le permitan maximizar su utilidad.

Las formas que existen para poder movilizar los recursos a traves del tiempo esmediante el mercado financiero e inversion. Dentro del mercado financiero tenemos laposibilidad de ahorrar (llevar recursos al futuro desde el presente) y endeudarse (traerrecursos del futuro al presente). Podemos ver que el hecho de que el individuo tenga laalternativa de poder endeudarse, ahorrar o invertir nos dice que existe una mejora en suutilidad, puesto que ahora puede suavizar su consumo, lo que mejora su bienestar a lolargo de los perıodos (recordar lo mencionado antes, el individuo no desea tener grandescontrastes en terminos de consumo a lo largo de su vida)3.

Supongamos un individuo que vive dos perıodos, el ingreso del primer perıodo esigual a Y0, el del segundo Y1, el consumo del primer perıodo es C0 y el del segundo C1. Elmodelo de consumo intertemporal sin que exista el mercado financiero ni la posibilidadde invertir es aquel en donde el individuo esta obligado a consumir solo lo equivalente alingreso que tenga en ese perıodo:

C∗0 ≤ Y0

C∗1 ≤ Y1

3.2.1. La funcion de utilidad intertemporal

Extenderemos nuestra nocion de canasta de consumo, suponiendo que el individuoposee preferencias racionales por cada una de las distintas posibilidades de consumoen cada perıodo. Expresaremos estas preferencias mediante la funcion de utilidadintertemporal:

U(C0, C1).

Cuando esta funcion sea estrictamente cuasiconcava, el individuo tendera a suavizarel consumo, lo cual significa que el individuo preferira combinaciones intermedias delos “bienes” C0 y C1.

Funcion de Utilidad Separable en el Tiempo

La funcion de utilidad intertemporal puede tomar diversas formas. Una de ellas, muyutil en la practica, es la funcion de utilidad intertemporal aditivamente separable enel tiempo, vale decir, una funcion que se puede expresar como la suma de una funcionde utilidad intratemporal (o sea, utilidad en cada perıodo) de los consumos. Matemati-camente:

3Mas adelante veremos graficamente esto.

70



U(C0, C1, . . . , Cn) = α0 · u(C0) + α1 · u(C1) (3.9)

Notemos que al escribir la funcion de utilidad intertemporal de esta forma, no existeun efecto cruzado de un bien sobre la utilidad marginal del otro ((∂2U)/(∂C0∂C1) =0). Entonces, en este caso, la convexidad estricta de las preferencias intertemporalessera equivalente a la concavidad estricta de la funcion de utilidad intratemporal (u′′(c) <0).

Podemos ver que en la ecuacion (3.9) que en la funcion de utilidad intertemporal seincluyen las funciones de utilidad intertemporales de manera aditiva. Cabe destacar quela funcion de utilidad separable es una funcion mas, tal como lo es una Cobb-Douglas,una CES, complementos perfectos, Stone-Geary, etc.

3.2.2. Consumo Intertemporal Con Mercados Financieros

Supongamos un individuo que vive dos perıodos, el ingreso del primer perıodo esigual a Y0. Este ingreso puede ser repartido en en consumo (C0)y ahorro o deuda (S), enotras palabras:

Y0 = C0 + S (3.10)

Si es que el individuo desea consumir toda su riqueza antes de que acabe su vidaentonces debe cumplirse tambien que:

C1 = Y1 + (1 + r) · S (3.11)

En la ecuacion (3.11) vemos que el consumo del proximo perıodo debe ser igual alingreso de ese perıodo mas los retornos que presente el ahorro. Estos retornos vienenrepresentados por r, que corresponde a la tasa de interes que establece el mercado fi-nanciero. Cabe destacar que la variable S puede ser positiva o negativa, es decir, puedecorresponder a ahorro o deuda. Despejando S de la ecuacion (3.10) y reemplazandolo enla ecuacion (3.11) obtenemos la restriccion presupuestaria intertemporal del individuo:

C0 +C1

1 + r= Y0 +

Y1

1 + r(3.12)

Usando el supuesto visto anteriormente de que la funcion de utilidad es separable enel tiempo:

U(C0, C1) = u(C0) + u(C1) (3.13)

71



Si despejamos el consumo en cada perıodo (nos basamos en las ecuaciones (3.10) y(3.11) obtendremos:

C0 = Y0 − S

C1 = Y1 + (1 + r)S

Luego, reemplazamos las ecuaciones anteriores en la ecuacion (3.13):

U(C0, C1) = u (Y0 − S) + u(Y1 + (1 + r)S) (3.14)

Ahora es posible derivar la funcion de utilidad con respecto al ahorro, de manera deobtener las condiciones de primer orden:

∂U(C0, C1)

∂S= u′(C0) · −1 + u′(C1) · (1 + r) = 0

Despejando obtenemos:

u′(C0)

u′(C1)= 1 + r

Es decir, la razon entre las utilidades marginales debe ser igual a 1 + r. De esto sedesprende que 1 + r es el precio relativo para el individuo, a fin de poder determinarel nivel optimo de consumo de ambos perıodos. Podemos ver, como era mencionadoen la introduccion, que la existencia de un mercado financiero mejora el bienestar delindividuo. Graficando lo obtenido anteriormente:

C0

C1

C∗1

C∗0

−(1 + r)

u

u′

Y1

Y0

Figura 3.10: Posibilidades de consumo con mercados financieros.

72



Podemos apreciar en la figura 3.10 dos situaciones: En la primera no existen mercadosfinancieros por lo que el consumo para ambos perıodos viene determinado por el punto(Y0, Y1), alcanzando una curva de indiferencia caracterizada por la utilidad u. Si intro-ducimos la existencia de mercados financieros (ahorro o deuda) entonces el consumo esdistinto al ingreso en cada perıodo, ahora es representado por el punto (C∗

0 , C∗1), alcan-

zando una curva de indiferencia caracterizada por la utilidad u′. Vemos que claramenteque el nivel de utilidad alcanzado con la posibilidad de ahorro o deuda es mayor quesin esta, con lo que es posible concluir que el bienestar del individuo aumenta cuandotiene acceso a estos mercados. Cabe destacar en la figura que la diferencia entre C∗

0 yY0, que en este caso serıa un endeudamiento. Luego, como el individuo debe pagar sudeuda antes de que termine su vida (Aquı tenemos otro supuesto mas, el individuo nopuede terminar su vida con deuda), en el segundo perıodo tendra un ingreso mayor asu consumo optimo, lo que implica que usara la diferencia entre Y1 y C∗

1 para pagar ladeuda que contrajo en el primer perıodo. Puede darse el caso inverso tambien, en el pri-mer perıodo se tiene un ingreso mayor al consumo (ahorro) y en el segundo se tendra uningreso menor al consumo (desahorro). Graficamente:

C0C0

C1C1

C∗1

C∗1

C∗0

C∗0

u

u

Y1

Y1

Y0Y0

Figura 3.11: Aquı vemos los casos en que el individuo ahorra (desahorra) en el primer perıodo para luegogastar su ahorro (pagar su deuda) en el segundo.

A pesar de todo esto, la funcion de utilidad esta aun incompleta: No siempre elconsumo del presente es tan valorado como el del futuro, a muchas personas les interesamas el presente que el futuro (por ejemplo, personas con ingresos muy bajos) por lo que esnecesario incluir algun parametro que refleje esto en la funcion de utilidad. El parametroque incluiremos a continuacion se denomina factor de descuento intertemporal (ρ),y refleja lo anteriormente mencionado al mostrar que existe una valoracion menor por elconsumo futuro o bien, impaciencia en el individuo. Nuestra funcion queda de la siguientemanera:

73



U(C0, C1) = u(C0) + u(C1) ·1

1 + ρ(3.15)

Para un ρ mayor a cero tendremos que la utilidad futura es menos valorada que lapresente o que el individuo es impaciente y no esta muy preocupado del consumo futuro.

Llamaremos β (0 < β < 1) a la fraccion que muestra el descuento intertemporal(

β = 11+ρ

)

. Si es que β tiende a cero (ρ → ∞), entonces esto significara que el individuo

valora relativamente poco el consumo futuro mientras que si β tiende a 1 (ρ → 0),el individuo valorara mucho el consumo futuro. Nuestra funcion de utilidad toma lasiguiente forma:

U(C0, C1) = u(C0) + βu(C1) (3.16)

Vemos que en la ecuacion (3.16) esta incluıdo el factor de descuento intertemporal.Con esta nueva forma de la funcion de utilidad intertemporal condiciones de primer ordenun tanto distintas. Para verlo basta hacer lo mismo que en la ecuacion (3.14), usando larestriccion presupuestaria encontrada en(3.12):

U(C0, C1) = u (Y0 − S) + βu(Y1 + (1 + r)S) (3.17)

Obteniendo las condiciones de primer orden:

∂U(C0, C1)

∂S= u′(C0) · −1 + u′(C1) · β · (1 + r) = 0

Despejando:

u′(C0)

u′(C1)= β · (1 + r)

Si reemplazamos la definicion de β:

u′(C0)

u′(C1)=

1 + r

1 + ρ(3.18)

Se puede apreciar que en la ecuacion (3.18) la razon entre las utilidades marginalesdependen del factor de descuento intertemporal y de la tasa de interes. Tenemos lossiguientes casos:

74



Si es que la tasa de interes es igual al factor de descuento (ρ = r) tendremos queel consumo del primer es igual al del segundo perıodo puesto que la utilidadesmarginales se igualan. Matematicamente:

u′(C0)

u′(C1)= 1 ⇒ u′(C0) = u′(C1) ⇒ C0 = C1

Si es que el factor de descuento es menor a la tasa de interes (ρ < r) tendremosque el individuo prefiere trasladar consumo al futuro (ya que la utilidad marginaldel primer perıodo es mayor a la del segundo y para que eso se cumpla, el consumofuturo debe ser mayor al presente). Matematicamente:

u′(C0)

u′(C1)> 1 ⇒ u′(C0) > u′(C1) ⇒ C0 < C1

Si es que el factor de descuento es mayor a la tasa de interes (ρ > r) entonces elindividuo preferira el consumo presente al futuro (ya que tendremos que la utilidadmarginal del segundo perıodo es mayor a la del primero y para que esto se cumpla,el consumo futuro debe ser mayor al presente). Matematicamente:

u′(C0)

u′(C1)< 1 ⇒ u′(C0) < u′(C1) ⇒ C0 > C1

3.2.3. Consumo Intertemporal Con Posibilidades de Inversion

En este caso, y como lo dice el tıtulo, el individuo solo tiene acceso a la inversion y noal mercado financiero (ahorrar o desahorrar). Veremos que la restriccion presupuestariapara el primer perıodo viene dada por:

Y0 = C0 + I (3.19)

Es importante mencionar a partir de la ecuacion (3.19) que no puede darse el casoen que C0 > Y0, ya que la inversion (I), de realizarse, representa una disminucion enel ingreso disponible del individuo por lo que siempre se dara que C0 ≤ Y0. Al igualque el ahorro la inversion tiene retornos. Estos retornos vienen dados por una funcionde inversion, la cual tiene retornos marginales decrecientes (De esta manera se aseguraque los proyectos rentables vayan desapareciendo y al final queden los menos rentables).Incluyendo lo ultimo tenemos que la restriccion presupuestaria del segundo perıodo es:

C1 = Y1 + f(I) (3.20)

75



Vemos que en la ecuacion (3.20) esta presente la funcion de retornos de a inversion.Despejando el consumo para ambos perıodos y reemplazandolo en la ecuacion (3.16)tenemos:

U(C0, C1) = u (Y0 − I) + βu(Y1 + f(I)) (3.21)

Derivando la ecuacion (3.21) con respecto a la inversion, de manera de obtener lainversion optima para el individuo, podemos apreciar que:

∂U(C0, C1)

∂I= u′(C0) · −1 + β · u′(C1) · f ′(I) = 0

Despejando:

u′(C0)

u′(C1)=

f ′(I)

1 + ρ(3.22)

Vemos que la condicion de optimalidad para la inversion esta en la ecuacion (3.22).Se invertira hasta que los retornos marginales de la inversion, divididos por uno mas elfactor de descuento intertemporal, sean igual a la razon entre utilidades marginales delos consumos de ambos perıodos. Si analizamos un poco mas esta ultima ecuacion pode-mos ver las distintas relaciones que se dan entre consumo de ambos perıodos, retornosmarginales de la inversion y factor de descuento intertemporal:

En el caso de que los retornos marginales de la inversion aumenten tenemos quela razon entre utilidades marginales sera mayor. Esto significa que o la utilidadmarginal del primer perıodo aumento o que la utilidad marginal del segundo perıododisminuyo. No importa si fue una o la otra, ambas ideas nos llevan a lo mismo:El consumo futuro aumento. Este aumento se debio a que los proyectos en que elindividuo puede invertir se hicieron mas rentables por lo que el esta dispuesto asacrificar una mayor parte de su consumo en el primer perıodo con el objeto depoder consumir mas en el segundo perıodo.

Si es que el factor de descuento llegara a aumentar tendremos que la razon entreutilidades marginales sera menor. Si asociamos esto con la condicion de optimalidadde cuando solo habıan mercados financieros podemos ver que el hecho de el factorde descuento aumente nos indica que se preferira mas el consumo presente al futurodebido a que la utilidad marginal del consumo del primer perıodo cae, lo que implicaque el consumo es mayor en este perıodo. Por lo tanto, si el consumo presenteaumenta el monto a invertir disminuye.

Si el factor de descuento intertemporal llegara a disminuir el razonamiento serıaopuesto al punto anterior: El consumo presente disminuye puesto que la utilidad

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marginal del consumo de este perıodo disminuye. Si es que el consumo presentedisminuye significa que el individuo destinara una mayor parte de sus recursos ala inversion por lo que esta aumentara. Si la inversion aumenta, el consumo futuropresente tambien lo hace.

Si suponemos dotaciones iniciales para el individuo (Y ⋄0 , Y ⋄

1 ) y tenemos un problemadel tipo “Robinson Crusoe” (un solo individuo en una economıa en donde no hay mer-cados financieros pero sı posibilidades de inversion) veremos que el individuo puede irsacrificando consumo presente para invertir y obtener retornos a futuro. Graficando esto:

C0

C1

Y ⋄0

Y ⋄1

C ′0

C ′1

C ′′0

C ′′1

Figura 3.12: Combinaciones entre cantidad invertida, consumo presente y consumo futuro.

Vemos en la figura 3.12 las distintas combinaciones que se dan dependiendo de lacantidad invertida. Las diferencias entre Y ⋄

0 y el nivel de consumo del primer perıodorepresentan las cantidades invertidas y las diferencias entre el consumo del segundoperıodo y Y ⋄

1 representan los retornos de la inversion realizada en el primer perıodo(Notar que estos retornos deberıan ser mayores a la cantidad de consumo que se sacrfico).Si es que se unen todos los puntos posibles se obtiene:

77



C0

C1

Y ⋄0

Y ⋄1

Figura 3.13: Todas las posibles oportunidades de inversion.

Es posible apreciar en la figura 3.13 la union de todos los puntos expuestos anterior-mente. La forma concava viene determinada por los retornos marginales decrecientes dela funcion de inversion (como habıa sido mencionado anteriormente).

Sabemos que en el optimo la TMS es igual a un cierto nivel de retorno marginal dela inversion. En otras palabras, la curva de indiferencia del individuo es tangente a lafrontera de inversion. En este punto se determina el nivel optimo de inversion.

u0

C0

C1

C∗1

C∗0 Y ⋄

0

Y ⋄1

Figura 3.14: Nivel optimo de inversion.

78



3.2.4. Consumo Intertemporal Con Mercados Financieros y Posibi-lidades de Inversion

Ahora analizaremos el caso en que existan mercados financieros y ademas la posibi-lidad de invertir, es decir, puede darse la situacion en que el individuo se endeude parainvertir, que invierta y ahorre conjuntamente, entre otras posibilidades. En este casotendremos que la restriccion presupuestaria del primer perıodo es:

Y0 = C0 + S + I (3.23)

Luego, para el segundo perıodo tendremos:

C1 = Y1 + (1 + r)S + f(I) (3.24)

Donde f(I) corresponde a la funcion de retornos que tendra la inversion que serealizo el primer perıodo (generalmente es una funcion con rendimientos marginalesdecrecientes ya que lo contrario serıa poco consistente con la realidad). Nuevamentedespejamos el consumo del perıodo 1 y 2 de las ecuaciones (3.23) y (3.24) para luegoreemplazarlo en la funcion de utilidad (3.16):

U(C0, C1) = u (Y0 − S − I) + βu(Y1 + (1 + r)S + f(I))

Derivando con respecto al ahorro e inversion tenemos:

∂U(C0, C1)

∂S= u′(C0) · −1 + u′(C1) · β(1 + r) = 0 =⇒ u′(C0)

u′(C1)=

1 + r

1 + ρ(3.25)

∂U(C0, C1)

∂I= u′(C0) · −1 + u′(C1) · βf ′(I) = 0 =⇒ u′(C0)

u′(C1)=

f ′(I)

1 + ρ(3.26)

Igualando las ecuaciones (3.25) y (3.26) tenemos:

f ′(I) = 1 + r (3.27)

De la ecuacion (3.27) es posible concluir que el nivel optimo de inversion solo dependede la tasa de interes y no del consumo o de la funcion de utilidad del individuo, como lopodrıan esperar muchas personas. A este resultado se le llama Teorema de Separacionde Fisher-Hirshleifer. Este teorema dice, como ya fue mencionado, que las decisionesde inversion no dependen de las preferencias del individuo. Cabe destacar que esta con-dicion se dara si es que existen mercados financieros y la posibilidad de invertir (o sea, es

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posible ahorrar e invertir al mismo tiempo) ya que en el caso de que no existiera mercadofinanciero veremos que la condicion de optimalidad serıa la de la ecuacion (3.26), dondees posible apreciar que el nivel optimo de inversion vendra determinado por la razonentre utilidades marginales.

Volviendo a la ecuacion (3.27) vemos que el se invertira hasta que los retornos mar-ginales de la inversion sean iguales a la uno mas la tasa de interes. Esto parece bastantelogico una vez que uno lo analiza detalladamente, el individuo invertira hasta que losretornos que tenga por la inversion sean iguales a los retornos de ahorrar su dinero,cuando llegue a este punto estara indiferente entre ahorrar o invertir. Para casos en quef ′(I) > 1 + r el individuo preferira invertir mientras que para f ′(I) < 1 + r el individuopreferira ahorrar.

Es importante mencionar el hecho de que teniendo posibilidades de inversion y ac-ceso a los mercados financieros un individuo puede pedir un prestamo para financiar suproyecto y ademas su consumo. Luego, en el proximo perıodo, paga su deuda usando losrecursos obtenidos por los retornos de la inversion realizada y el ingreso de ese perıodo.En el caso de que el individuo tenga dotaciones iniciales (Y ⋄

0 , Y ⋄1 ) la explicacion grafica

es la siguiente:

u0

C0

C1

C∗1

C∗0

A

B C

Y ⋄0

Y ⋄1

Y d0

Y d1

Figura 3.15: Nivel optimo de inversion y consumo cuando existen posibilidades de inversion y acceso a losmercados financieros.

De la figura 3.15 se desprende lo siguiente: La diferencia entre el punto C y B (C−B)corresponde al endeudamiento (D) del individuo puesto es que la diferencia entre elconsumo del primer perıodo (C∗

0 ) y el ingreso disponible del primer perıodo (Y d0 ), despues

de haber hecho la inversion optima. En el segundo perıodo tenemos que la diferencia entreel punto A y B corresponde al pago de la deuda ((1 + r)D), el cual incluye los intereses.Esta diferencia denominada pago de la deuda corresponde a la diferencia del ingresodisponible del segundo perıodo (Y d

1 ), proveniente de los retornos de la inversion mas la

80



dotacion inicial, y el nivel optimo de consumo del segundo perıodo (C∗1).

Otro caso que puede llegar a darse es aquel en el que el individuo no tiene dotacionesiniciales para ninguno de los dos perıodos pero tiene una idea que puede transformaren inversion. Si es que tiene acceso al mercado financiero puede entonces pedir prestadopara financiar su proyecto y consumir en ambos perıodos. Graficamente:

u0

C0

C1

C∗1

C∗0

A

B C

I∗

f(I∗)

Figura 3.16: Nivel optimo de inversion y consumo cuando no se tienen dotaciones iniciales.

Vemos en la figura 3.16 que, al no tenerse dotaciones iniciales, el individuo nece-sariamente debe endeudarse para llevar a cabo el proyecto que tenıa. Viendo la figuracon un poco mas de detalle vemos que la diferencia entre el punto C y B es la deu-da (D) que el individuo ha contraıdo el primer perıodo, de manera de poder financiarel proyecto y ademas consumir C∗

0 . Para el segundo perıodo tenemos que la inversionrealizada tuvo retornos (f(I∗)) los cuales se usaron en parte para pagar la deuda conintereses ((1 + r)D), correspondiente a la diferencia entre el punto A y B, o bien, entrelos retornos de la inversion y el nivel optimo de consumo del perıodo 1 (C∗

1 ). Con esto,el individuo alcanzo un consumo equivalente a (C∗

0 , C∗1), al endeudarse y tener ingresos

por esa inversion que realizo. Si se hubiese dado el caso en que el individuo no tengadotaciones iniciales y tampoco un proyecto entonces no podrıa haber pedido el prestamopara consumir debido a que nunca habrıa generado ingresos suficientes como para pagarel prestamo y sus intereses. He ahı la importancia de la inversion.

81



82

Capıtulo 4

Incertidumbre

Hasta ahora, hemos supuesto que el agente economico conoce con certeza no soloel valor de las variables relevantes en el presente y pasado, sino que tambien las quetienen relacion con el futuro. Muchas veces sera de nuestro interes investigar el efectode la existencia de variables aleatorias relevantes para el consumidor. Por ejemplo, enla seccion 3.2, el consumidor debıa elegir su consumo en cada perıodo suponiendo queconoce cual sera el valor exacto de su ingreso, la tasa de interes, la rentabilidad desus inversiones, etc. en el futuro. En la realidad, esas variables son desconocidas. Eneste capıtulo nos abocaremos a la tarea de incorporar la aleatoriedad de las variableseconomicas a la decision del consumidor. Veremos que si bien el consumidor no puedeconocer el valor exacto que las variables aleatorias tendran en el futuro, bastara conque conozca la distribucion de probabilidad que tiene dicha variable, para que elconsumidor pueda tomar una decision que maximice su funcion de utilidad esperada,concepto que definiremos mas adelante.

En nuestro analisis, hablaremos de las situaciones inciertas que enfrenta el consumidorcomo loterıas. Las loterıas, tambien llamadas comunmente juegos, se componen deun conjunto de n posibles resultados x = (x1, . . . , xn) y sus respectivas probabilidades(π1, . . . , πn).

Denotaremos la esperanza matematica de una variable estocastica x mediante laexpresion E[x], o simplemente Ex.

Definicion 4.0.1. El valor esperado de un juego o loterıa x cuyos premios sonx1, . . . , xn con probabilidades π1, . . . , πn para cada uno de los estados posibles es:

E[x] =

n∑

i=1

πixi.

Supongamos que un individuo A y un individuo B lanzan una moneda al aire y si elresultado es “cara” A le paga 100 a B, y si sale “sello” B le paga 100 a A.

83



El valor esperado de la loterıa es:

A ⇒ 1

2(−100) +

1

2100 = 0

B ⇒ 1

2100 +

1

2(−100) = 0.

Por lo tanto, si se lleva a cabo el juego muchas veces lo mas probable es que ambosqueden igual. Esto es lo que se llama un juego justo.

Definicion 4.0.2. Un juego justo es aquel cuyo valor esperado es cero.

Si el juego es: A le paga 100 a B si sale “cara” y B le paga 50 a A si sale “sello”:

A ⇒ 1

2(−100) +

1

250 = −25

B ⇒ 1

2100 +

1

2(−50) = 25.

Por lo tanto, si se juega muchas veces, B estarıa dispuesto a pagar hasta 25 por jugarel juego (del mismo modo que A estarıa dispuesto a pagar hasta a 25 por no jugar). Enefecto, si B paga 25 se tendra un juego justo.

Observaciones de la realidad (paradojas):

Las personas no estan dispuestas a apostar mucho en juegos justos.

Las personas aceptan juegos justos injustos, pero apostando poco dinero.

4.1. Preferencias: La funcion de utilidad esperada

Definicion 4.1.1. La funcion de utilidad esperada (Von Neumann-Morgensten) seplantea como una funcion aditiva que depende de los niveles de consumo en los n estadosposibles y de las probabilidades de los estados posibles:

U(c1, . . . , cn, π1, . . . , πn) = E(u(c1, . . . , cn)) =

n∑

i=1

πiu(ci), (4.1)

donde, ci son los niveles de consumo en cada uno de los estados posibles i, u(ci) es lautilidad que el individuo obtiene si se realiza el estado i, y los πi son las correspondientesprobabilidades de ocurrencia. La forma aditiva es particularmente util porque “ocurreuno, o lo otro”.

La funcion de utilidad esperada es muy util, pues el individuo se comportara maxi-mizando el valor esperado de su utilidad.

84



4.2. Aversion al riesgo

¿Que se prefiere?:

Lanzar una moneda al aire con pagos de 100.

Lanzar una moneda al aire con pagos de 100.000.

Ambos son juegos justos, pero generalmente se prefiere lanzar la moneda por 100.

Definicion 4.2.1. Riesgo: Variabilidad de los resultados de actividades inciertas.

La intuicion de este concepto tiene relacion con la utilidad marginal del ingreso de-creciente. Si se lanza la moneda por 100, se puede ganar o perder solo 100, por lo queprobablemente la utilidad total no cambie mucho. Sin embargo, si se lanza la monedapor 100.000, el bienestar que se puede perder podrıa superar al bienestar que se puedeganar.

u(w)

w∗

u(w∗)

E(u)

w∗ + aw∗ − a E.C.

Figura 4.1: La figura muestra la utilidad esperada de una loterıa en que el jugador puede ganar o perder $acon probabilidad 1/2.

Dada la utilidad marginal del ingreso decreciente, el individuo prefiere la riquezacierta a la riqueza esperada. En el mejor de los casos, el individuo estara dispuesto aaceptar un juego o loterıa en que “se arriesgue poco”.

85



Esto lleva a que se este dispuesto a pagar “por no jugar”, o lo que es lo mismo, quese este dispuestos a pagar por evitar resultados inciertos. Esto explica por que la genteesta dispuesta a pagar por los seguros.

En el ejemplo grafico, el individuo estarıa dispuesto a pagar hasta w∗ − E.C. porevitar jugar por a pesos.

Definicion 4.2.2. El equivalente cierto es el monto de riqueza segura que entrega lamisma utilidad que una determinada loterıa.

Definicion 4.2.3. Aversion al Riesgo: Si un individuo siempre rechaza “juegos jus-tos” se dice que es “averso” o “renuente” al riesgo.

Si la riqueza genera una utilidad marginal decreciente, entonces el individuo sera aver-so al riesgo.

4.2.1. Medicion de la aversion al riesgo

Definicion 4.2.4. Aversion absoluta al riesgo: El ındice de Arrow-Pratt de aversionabsoluta al riesgo se define como:

a(w) =−u′′(w)

u′(w)> 0, (4.2)

donde u(w) es la funcion de utilidad sobre la riqueza.

¿Cambia la aversion al riesgo si cambia el nivel de riqueza? La intuicion dice que amayor riqueza menor es el dano que se produce si se pierde (utilidad marginal decrecien-te). Pero a mayor utilidad tambien se tiene menos utilidad adicional en caso de un buenresultado en la loterıa. Por lo tanto, depende de la funcion de utilidad.

Definicion 4.2.5. Aversion relativa al riesgo: El ındice de Arrow-Pratt de aversionrelativa al riesgo se define como:

r(w) =−w · u′′(w)

u′(w)= w · a(w) > 0. (4.3)

Ejemplos:

Funcion de utilidad cuadratica: u(w) = a + bw + cw2, b > 0, c < 0

a(w) =−2c

b + 2cw⇒ a mayor w mayor aversion absoluta

r(w) =−2cw

b + 2cw⇒ a mayor w menor aversion relativa

Funcion de utilidad exponencial (negativa): u(w) = −e−aw, a > 0

a(w) = a ⇒ a mayor w aversion absoluta constante (CARA)

r(w) = aw ⇒ a mayor w mayor aversion relativa

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Funcion de utilidad logarıtmica: u(w) = ln(w), w > 0

a(w) =1

w⇒ a mayor w menor aversion absoluta

r(w) = 1 ⇒ a mayor w aversion relativa constante (CRRA)

Funcion de utilidad isoelastica: u(w) = w1−ρ

1−ρ, ρ > 0

a(w) = w−ρ ⇒ a mayor w menor aversion absoluta

r(w) = ρ ⇒ a mayor w aversion relativa constante (CRRA)

4.3. Mecanismos de reduccion de incertidumbre

4.3.1. Seguros

Suponga que existen dos posibles estados de la naturaleza. En el estado 1, el individuotiene un ingreso y, mientras que en el estado 2 su ingreso es y−L (por ejemplo, tiene unaccidente). Ademas, supongamos que el individuo no puede influir ni en la probabilidaddel accidente π ni en el monto de la perdida L. Una companıa de seguros ofrece pagarun monto $q en caso de accidente, a cambio de una prima p · q (la cual obviamente sepaga antes de conocer el estado de la naturaleza).

Si contrata el seguro, la renta del individuo en cada estado sera respectivamente:

y1 = y − p · qy2 = y − L − p · q + q = y − L + (1 − p) · q

La utilidad esperada del individuo es

Eu = (1 − π) · u(y − pq) + π · u(y − L + (1 − p)q).

La condicion de primer orden para q es:

− p(1 − π) · u′(y − pq) + (1 − p)π · u′(y − L − (1 − p)q) = 0. (4.4)

Proposicion 4.3.1. Si el seguro es actuarialmente justo (p = π), un individuo aversoal riesgo se cubre totalmente.

Demostracion.

Eu = (1 − π) · u(y − πq) + π · u(y − L + (1 − π)q).

Derivando con respecto a q e igualando a cero, encontramos la condicion para la cantidadoptima de cobertura que el individuo demandara:

−��π(1 − π) · u′(y − πq) +��

(1 − π)π · u′(y − L − (1 − π)q) = 0,

lo que implica que y − πq = y − L − (1 − π)q ⇒ q = L. Es decir, si el seguro esactuarialmente justo (la prima es igual a la probabilidad de accidente), un individuoaverso al riesgo tomara una cobertura completa.

87



Obviamente, en la practica los seguros no pueden ser actuarialmente justos, pues lacompanıa de seguros debe cubrir sus costos, por lo que la prima p debe ser mayor que π.

Proposicion 4.3.2. Si p > π, un individuo averso al riesgo se cubrira en forma incom-pleta

Demostracion. De la condicion de primer orden 4.4, tenemos que

u′(y − pq)

u′(y − L + (1 − p)q)=

π(1 − p)

p(1 − π).

Ahora, si p > π, la expresion del lado derecho es menor que 1, por lo que u′(y − pq) <u′(y − L + (1 − p)q). Como u es estrictamente concava, se tiene que u′(x1) < u′(x2) ⇒x1 > x2. Por lo tanto, concluimos que y − pq > y − L + (1 − p)q ⇒ q < L.

4.3.2. Diversificacion del riesgo

Definicion 4.3.1. Se puede llevar a cabo una diversificacion del riesgo cuando setoman riesgos cuyos resultados positivos (y negativos) estan inversamente correlaciona-dos.

Por ejemplo: se tienen 1000 para invertir en una empresa de paraguas o en unaempresa de lentes de sol. Si el verano es lluvioso se obtiene el doble de lo que se invirtio enparaguas y la mitad de lo que se invirtio en lentes de sol. Lo contrario ocurre si el veranoes soleado. Las probabilidades de que el verano sea lluvioso o soleado son 50 y 50.

UP = 2000 × 0,5 + 500 × 0,5 = 1250.

UL = 500 × 0, 5 + 2000 × 0, 5 = 1250.

Si se diversifica el riesgo invirtiendo la mitad en cada empresa:

UD = 1000 × 0, 5 + 500 × 0, 5︸︷︷︸

P

+ 500 × 0, 5 + 1000 × 0, 5︸︷︷︸

L

= 1250.

Si el verano es lluvioso las ganancias son G = 1000 + 250 = 1250.

Si el verano es soleado las ganancias son G = 250 + 1,000 = 1250.

Es decir, en este ejemplo se puede diversificar totalmente el riesgo, logrando unaganancia cierta. Un averso al riesgo preferira diversificar el riesgo entre estos dos negocios.

Este ejemplo es sencillo porque los estados posibles son opuestos. ¿Es posible en-contrar posibilidades de inversion de este tipo? En general no, los hechos suelen sersimultaneos: cuando suben ciertas acciones tambien suben otras, y cuando bajan suelenhacerlo todas juntas.

88



4.3.3. Difusion o agrupacion del riesgo (risk sharing)

Definicion 4.3.2. Se puede llevar a cabo una difusion o agrupacion del riesgocuando se comparte riesgo a otros agentes a cambio de tomar riesgo ajeno, siempre ycuando no esten correlacionados.

Por ejemplo: 1000 personas viven en un pueblo donde la probabilidad de que seincendie una casa es 1% al ano (en promedio se queman 10 casas en el ano). Si aalguien se le quema la casa tiene una perdida de $1.000.000. Por lo tanto, se requierenen promedio $10.000.000 para paliar los danos del pueblo.

¿Que le conviene a la comunidad? ¿Que ocurre si se ponen de acuerdo para compartirel riesgo y hacen un fondo de reserva y ası se comprometen a pagar entre todos los danosque ocurran?

Cada familia tendrıa que pagar $10.000 al ano a este fondo comun. Luego, su ingresocierto serıa w−10.000. Si no hay acuerdo, el ingreso esperado serıa:

w × 0,99+ (-1.000.000)×0,01 = w × 0,99−10.000,pero con una variabilidad mucho mas alta.Los “seguros colectivos” son mecanismos de difusion de riesgo. Otro ejemplo es la

bolsa de valores, que permite difundir el riesgo desde los duenos de la empresa hacia losnuevos accionistas. Dado que se logra aumentar la utilidad esperada de todos, hay unageneracion de bienestar al difundir el riesgo.

89



90

Capıtulo 5

Equilibrio General

5.1. La nocion de equilibrio

Hemos estudiado las decisiones de consumo de individuos racionales que considerancomo dados los precios de las mercancıas. Ası, por definicion, las demandas Marshallianasno afectan el costo de las canastas. Sin embargo, los precios de las mercancıas suelenvariar con la demanda agregada del mercado, por lo que es interesante endogenizarlos enel modelo basico de decision individual. Al hacer esto, los unicos elementos exogenos denuestro modelo seran las caracterısticas de los consumidores y las reglas de negociacionen los mercados. Dicho en otros terminos, extenderemos nuestro analisis de equilibrioparcial (precios exogenos) para los llamados modelos de equilibrio general .

Como la demanda agregada por cada mercancıa debe ser compatible con la ofertaexistente, hay una forma natural de endogenizar el costo unitario de cada mercancıa. Essuficiente buscar precios que permitan que las decisiones individuales sean centralizables,esto es, compatibles con los recursos existentes en el mercado.

Formalmente, considere una economıa con m individuos y n mercancıas. Los indi-viduos tienen preferencias racionales, contınuas y convexas (es decir, representables porfunciones de utilidad contınuas y cuasiconcavas). Las mercancıas son perfectamente di-visibles. Asuma que las decisiones de cada individuo por separado no afectan los precios,los cuales se toman como dados al momento de escojer las canastas de consumo. Ası, cadaconsumidor va a escojer la mejor canasta de mercancıas entre aquellas compatibles consu renta monetaria—la cual viene dada por el valor de mercado de sus asignaciones ini-ciales. Por lo tanto, a precios unitarios p = (p1, . . . , pn) ∈ Rn

+, el individuo i ∈ {1, . . . , m}va a demandar una canasta xi(p, p · wi) ∈ Rn

+ tal que

ui(xi(p, p · wi)) ≥ ui(x), para cada x ∈ Rn+ : p · x ≤ p · wi,

p · xi(p, p · wi) ≤ p · wi,

donde ui : Rn+ → R es su funcion de utilidad y wi ∈ Rn

+ su asignacion inicial de mer-cancıas.

91



Definicion 5.1.1. Diremos que p ∈ Rn+ es un precio de equilibrio si p 6= 0 y

m∑

i=1

(xi(p, p · wi) − wi

)≤ 0.

Un equilibrio Walrasiano, o equilibrio competitivo, es dado por un vector de preciosde equilibrio p ∈ Rn

+ junto con asignaciones de consumo optimas xi(p, p · wi) para cadaindividuo i ∈ {i, . . . , m}.

Note que es el vector de precios de equilibrio que tiene que ser diferente de cero yno necesariamente todas sus coordenadas. Por definicion, para encontrar los equilibriosWalrasianos de una economıa de intercambio es necesario: (1) calcular las demandasmarshallianas de cada consumidor; y (2) encontrar precios que hagan que la demandaagregada de la economıa sea menor o igual a las asignaciones iniciales agregadas (ofertade mercado).

Como los ingresos de cada consumidor son dados en terminos reales, las demandaspor consumo son homogeneas de grado cero en precios. Ası, no hay perdida de genera-lidad en normalizar los precios de las mercancıas de tal forma que, para alguna canastav = (v1, . . . , vn) ∈ Rn

+ \ {0},∑n

i=1 pivi = 1. Esto es, en equilibrio, solo se determinanprecios relativos. Las normalizaciones nos ayudaran a simplificar los calculos cuando bus-quemos una asignacion de equilibrio. Por ejemplo, podriamos suponer que p1 = 1 (estoes, fijar v = (1, 0, . . . , 0)), o bien que

∑ni=1 pi = 1, fijando el vector v = (1, . . . , 1).

Ejemplo 5.1.1. Suponga que (m, n) = (2, 2) y que los dos individuos tienen preferenciasidenticas y representables por una funcion de utilidad Coob-Douglas, u(x1, x2) = x1x2.Si las asignaciones individuales son w1 = (1, 0) y w2 = (0, 1), entonces las demandasmarshallianas a precios p = (p1, p2) ≫ 0, donde p1 + p2 = 1, son:

x1(p, p · w1) =

(

0, 5; 0, 5p1

p2

)

; x2(p, p · w2) =

(

0, 5p2

p1; 0, 5

)

.

Ası, p = (p1, p2) ≫ 0 es un vector de precios de equilibrio si y solo si p1 = p2 = 0,5.Entonces, en equilibrio, las asignaciones optimas son x1(p, p · w1) = x2(p, p · w2) =(0, 5; 0, 5). �

Ejemplo 5.1.2. Suponga que (m, n) = (2, 2) y que los individuos tienen preferencias re-presentables por las funciones de utilidad u1(x1, x2) = xα

1 x1−α2 y u2(x1, x2) = mın{x1; x2},

donde α ∈ (0, 1). Si las asignaciones inicıales de mercancıas son dadas por w1 = (0, 1)y w2 = (1, 0) entonces las demandas individuales a precios p = (p1, p2) ≫ 0 son:

x1(p, p · w1) =

(

αp · w1

p1; (1 − α)

p · w1

p2

)

, x2(p, p · w2) =

(p · w2

p1 + p2,

p · w2

p1 + p2

)

.

92



Luego, normalizando la suma de los precios igual a uno, (p1, p2) ≫ 0 sera un equilibriosi y solamente si α − (1 + α)p1 + p2

1 = 0. Ası, p = (p1, p2) = (α, 1 − α). Las asig-naciones de equilibrio (demandas marshallianas) son x1(p, p · w1) = (1 − α, 1 − α) yx2(p, p · w2) = (α, α). �

En los ejemplos anteriores existıa un unico equilibrio Walrasiano, lo cual no siempre esverdad como mostraremos en el Ejemplo 5.1.3. Ademas, hasta ahora siempre restringimosnuestra busca a precios de equilibrio estrictamente positivos. De hecho, si algun preciode equilibrio fuera cero, no existirıan consumos optimos para los individuos que tienenpreferencias estrictamente monotonas. En el Ejemplo 5.1.4 mostramos que los preciosde equilibrio pueden ser cero si los consumidores solo tienen preferencias localmenteno-saciables.

Ejemplo 5.1.3. Suponga que (m, n) = (2, 2) y que los individuos tienen preferenciasidenticas y representables por una funcion de utilidad Leontief, u(x1, x2) = mın{x1; x2}.Si las asignaciones individuales son w1 = (1, 0) y w2 = (0, 1), entonces las demandasmarshallianas a precios p = (p1, p2) ≫ 0, con p1 + p2 = 1, son dadas por x1(p, p · w1) =(p1, p1) y x2(p, p · w2) = (p2, p2).

Ası, por construccion, cualquier vector p = (p1, p2) ≫ 0 tal que p1 + p2 = 1 es unprecio de equilibrio. Por lo tanto, existen infinitos precios e infinitas asignaciones deequilibrio. �

Hemos dado ejemplos donde la oferta se iguala a la demanda en equilibrio. Sin em-bargo, esta propiedad no siempre se cumple.

Ejemplo 5.1.4. Considere una economıa con dos consumidores y dos mercancıas. Losdos individuos tienen las mismas preferencias, representadas por la funcion de utilidadLeontief u(x1, x2) = mın{x1; x2}. Las asignaciones iniciales son w1 = (0, 1) y w2 = (4, 2).

En este caso, salvo normalizacion, existe un unico precio de equilibrio: p = (0, 1). Dehecho, si los precios de equilibrio fueran estrictamente positivos, entonces los individuosdemandarian la misma cantidad de cada mercancıa. Al agregar las demandas, existirıaexceso de oferta en el mercado de la primera mercancıa–el mercado con mayor ofertaagregada. Como las preferencias son localmente no-saciables, concluiriamos que el preciode la primera mercancıa es cero (vea los comentarios despues del Ejemplo 5.1.5). Unacontradiccion. Ası, quedan dos posibles candidatos a precios de equilibrio (salvo norma-lizacion) p = (0, 1) y p = (1, 0). Es facil verificar que solamente p es precio de equilibrio.

Asociado al unico precio de equilibrio existiran infinitos equilibrios Walrasianos. Dehecho, junto con p, las asignaciones (x1; x2) = ((γ, 1); (δ, 2)) constituyen un equilibrioWalrasiano si γ ≥ 1, δ ≥ 2 y γ + δ ≤ 4. Cuando γ + δ < 4, en equilibrio existe exceso deoferta de la primera mercancıa. Note que la multiplicidad de equilibrios no tiene efectosreales sobre los consumidores: independiente del equilibrio escojido, el nivel de utilidadde cada consumidor es el mismo. �

Ejemplo 5.1.5. Diferente a lo que ocurre en los ejemplos anteriores, puede no existirun equilibrio Walrasiano. Como ejemplo, considere una economıa con dos consumidores

93



y dos mercancıas. Las funciones de utilidad son u1(x1, x2) =√

x1 +x2 y u2(x1, x2) = x1.Las asignaciones iniciales son w1 = (0, 1) y w2 = (1, 0).

Note que el individuo i = 2 solo se interesa por el consumo del primer bien, del cualel tiene como asignacion inicial toda la oferta que hay en la economıa. Por lo tanto,en caso que exista un equilibrio, i = 2 siempre va a consumir la canasta (1, 0). Porotro lado, como el individuo i = 1 tiene preferencias estrictamente monotonas, soloprecios estrictamente positivos para ambas mercancıas son compatibles con equilibrio (enotro caso, no existirıa un optimo individual). Luego, el primer individuo tendrıa, enequilibrio, una renta estrictamente positiva, la cual el siempre utilizaria para demandaruna cantidad estrictamente positiva de la primera mercancıa. Por lo tanto, en equilibrioexistirıa exceso de demanda por la mercancıa l = 1. Una contradiccion. �

Como ya hemos visto, dependiendo de las preferencias individuales y de las asigna-ciones iniciales de mercancıas, puede existir o no equilibrio Walrasiano. Ademas, cuandoexiste un equilibrio este no necesariamente es unico. Tampoco podemos garantizar quelos precios de equilibrio sean estrıctamente positivos, ni que la oferta de mercancıas seiguale a la demanda agregada en todos los mercados.

En relacion a este ultimo punto, si los individuos tienen preferencias localmente nosaciables, en equilibrio podra aparecer exceso de oferta solo para aquellas mercancıas conprecio cero. De hecho, independiente del vector de precios, cada consumidor va a gastartoda su renta. Asi, para cada p ∈ Rn

+ \{0} tendremos que p ·∑m

i=1 (xi(p, p · wi) − wi) = 0(Ley de Walras). Como consequencia de la Ley de Walras, en un equilibrio existira excesode oferta por la mercancıa l ∈ {1, . . . , n} solo si su precio es cero (como en el Ejem-plo 5.1.4). En sımbolos, cuando los consumidores son localmente no-saciables, si p =(p1, . . . , pn) denota un precio de equilibrio, entonces para cada mercancıa l ∈ {1, . . . , n}tenemos que, (

m∑

i=1

(xi

l(p, p · wi) − wil

)< 0

)

=⇒ (pl = 0) .

Ahora, si existe al menos un individuo que tiene preferencias estrictamente monotonaspor el consumo de la mercancıa l, entonces en cualquier equilibrio Walrasiano el precio deesta mercancıa es estrictamente positivo. Por lo tanto, si para cada l ∈ {1, . . . , m} existeun individuo con preferencias estrıctamente monotonas en el consumo de la mercancıal, en equilibrio la oferta y la demanda se igualan en todos los mercados.1 Monotonıaestricta es solo una condicion suficiente para eliminar exceso de oferta, de hecho en elEjemplo 5.1.3 los agentes solo tenian preferencias localmente no-saciables.

Otra propiedad interesante, la cual nos permite reducir los pasos para encontrar unequilibrio, es la siguiente: Si los individuos tienen preferencias localmente no-saciables ypara un vector de precios p ∈ Rn

++ la oferta iguala a la demanda en m−1 de los m mer-cados existentes, entonces p es un precio de equilibrio.2 Luego, si todas las preferencias

1Es suficiente tener un individuo con preferencias estrictamente monotonas (vea los Ejemplos 5.1.1y 5.1.2).

2Tarea: Pruebe esta propiedad utilizando la Ley de Walras.

94



son localmente no-saciables y hay solo dos mercancıas en la economıa, para encontrar unequilibrio es suficiente equilibrar la oferta y la demanda en un mercado (vea los Ejemplos5.1.1, 5.1.2 y 5.1.3).

Condiciones generales sobre las caracteristicas de la economıa para garantizar la exis-tencia de equilibrio son dadas por el siguiente resultado:

Teorema 5.1.1 (Existencia de Equilibrio Walrasiano). Considere una economıa de in-tercambio con m consumidores y n mercancıas. Suponga que las mercancıas son perfec-tamente divisibles y que las preferencias de cada individuo son localmente no-saciablesy representables for una funcion de utilidad ui : Rn

+ → R contınua y fuertemente cua-siconcava. Ademas, asuma que

∑mi=1 wi ≫ 0, donde wi ∈ Rn

+ es la asignacion inicial derecursos del individuo i ∈ {1, . . . , m}. Si alguna de las siguientes condiciones es satisfe-cha,

(a) Las asignaciones iniciales wi ≫ 0, para todo i ∈ {1, . . . , n}.

(b) Cada individuo tiene preferencias estrictamente monotonas.

entonces existe un equilibrio Walrasiano.

Note que las condiciones (a) y (b) son requerimientos suficientes para la existenciade equilibrio. Esto es, cuando la economıa no satisface ninguna de las dos condiciones,puede o no existir un equilibrio Walrasiano (revise los Ejemplos 5.1.4 y 5.1.5).

5.2. Analisis grafico de equilibrio: la caja de Edgeworth

Cuando existen solo dos individuos y dos mercancıas, el analisis de equilibrio generalpuede ser hecho de forma grafica, utilizando la Caja de Edgeworth. Esta “caja.es unrectangulo cuyo largo es igual a la oferta agregada del primer bien y cuya altura esigual a la oferta agregada del segundo bien. Esto es, si las asignaciones iniciales de cadaindividuo son w1 = (w1

1, w12) y w2 = (w2

1, w22) entonces la caja de Edgeworth es un

rectangulo de W1 := (w11 + w2

1) por W2 := (w12 + w2

2).Ahora, todo punto de la caja de Edgeworth va a representar un par de canastas de

consumo, una para cada consumidor. Esto es, el punto (x1, x2), donde x1 ∈ [0, w11 +w2

1] yx2 ∈ [0, w1

2 + w22] representa el par de canastas (x1, x2) y (W1 − x1, W2 − x2). La primera

se la asignaremos al individuo i = 1 y la otra al consumidor i = 2. Dicho de otra forma,dado cualquier punto en la caja de Edgeworth, el individuo i = 1 mide su asignacion demercancıas desde la esquina inferior izquierda hacia el interior de la caja, mientras que elindividuo i = 2 lo hace desde la esquina superior derecha hacia el interior de la caja. Porlo tanto, cada punto en la caja de Edgeworth es una posible distribucion de los recursosde la economıa entre los dos individuos. En particular, las asignaciones iniciales de losindividuos determinan un punto en la caja.

95



Si los individuos tienen utilidades estrictamente monotonas entonces, mientras masalejado este un punto en la caja de Edgeworth de la esquina inferior izquierda, mayorva a ser la utilidad del consumidor i = 1. El consumidor i = 2 tendra mayor utilidad enaquellos puntos que estan mas cerca de la esquina inferior izquierda.

A continuacion, graficamos la caja de Edgeworth para la economıa del Ejemplo 5.1.2con α = 0, 7. Note la direccıon en la que aumentan las curvas de indiferencia de cadaindividuo.

Figura 5.1: Las curvas de indiferencia en la caja de Edgeworth.

Por construccion, si fijamos un vector de precios para las mercancıas p = (p1, p2), lasrectas presupuestarias de los individuos ocupan el mismo lugar geometrico dentro de lacaja de Edgeworth. Por ejemplo, en la Figura 2 se disenan las rectas presupuestarias, ylos optimos individuales, para la economıa del Ejemplo 2 con α = 0, 4 y p = (1, 2).

96



Figura 5.2: La recta presupuestaria en la caja de Edgeworth.

Vamos a tener un equilibrio a precios (p1, p2) si y solo si la asignacion optima delindividuo i = 1 esta en la region sombreada de la Figura 2. En el caso particular que almenos una preferencia es estrictamente monotona, tendremos un equilibrio solo cuandolas asignaciones individuales optimas puedan ser representadas por el mismo punto enla caja de Edgeworth. Ası, como ya lo sabiamos, para la economıa del Ejemplo 5.1.2,p = (1, 2) no es un equilibrio cuando α = 0, 4.

La proxima figura muestra la caja de Edgeworth y la asignacion de equlibrio para laeconomıa descrita en el Ejemplo 5.1.2 con α = 0, 4.

Figura 5.3: Equilibrio del ejemplo 5.1.2.

Tarea. Analize los ejemplos 5.1.1, 5.1.3 ,5.1.4 y 5.1.5 utilizando la caja de Edgeworth.

97



5.3. Eficiencia de Pareto y curva de contrato

Considere una economıa con m consumidores y n mercancıas. Al igual que en lassecciones previas, las mercancıas son perfectamente divisibles y los individuos tienenpreferencias representables por funciones de utilidad contınuas y cuasiconcavas, (ui :Rn

+ → R)i∈{1,...,m}. La oferta agregada de recursos en la economıa es dada por un vectorW ∈ Rn

++.En este contexto, llamaremos distribucion de recursos a cualquier familia de asigna-

ciones individuales (xi)i∈{1,...,m}, donde el consumidor i recibe xi ∈ Rn+.

Definicion 5.3.1. Asignaciones factibles y eficientes:

1. Una distribucion de recursos (xi)i∈{1,...,m} es factible si∑m

i=1 xi ≤ W , esto es, silas canastas que los individuos reciben son compatibles con la oferta del mercado.

2. Una distribucion de recursos (o asignacion) (xi)i∈{1,...,m} es Pareto eficiente sies factible y no existe otra distribucion de recursos factible, (yi)i∈{1,...,m} tal queui(yi) ≥ ui(xi) para cada individuo i con desigualdad estricta para al menos unode ellos.

Dicho de otra forma, una distribucion de recursos es Pareto eficiente si es compatiblecon la oferta del mercado y nadie puede mejorar su situacion, atraves de una redistribu-cion de las mercancıas, sin perjudicar a otro individuo.

Pareto eficiencia es un criterio de eficiencia distributiva que no depende de las asig-naciones iniciales de recursos de cada individuo y que nada tiene que ver con justiciao equidad . De hecho, asignarle todos los recursos de la economıa a un unico individuoes siempre Pareto eficiente, a pesar de injusto (segun muchas perspectivas) y altamentepoco equitativo. Sin embargo, es lo mınimo que deberiamos pedirle a un planificadorcentral que, teniendo informacion completa sobre las caracterısticas de los diferentesconsumidores, busca distribuirles los recursos existentes de una forma centralizada y“justa”.

Note que una asignacion (xi)i∈{1,...,m} es Pareto eficiente si y solo si, para cada indi-viduo i ∈ {1, . . . , m}, la asignacion xi es una solucion del problema

max ui(yi)(yj)j∈{1,...,m} ∈ (Rn

+)m uj(yj) ≥ uj(xj), ∀j 6= i∑

j yj ≤ W

Como consecuencia, si la asignacion Pareto eficiente es interior y las utilidades de losindividuos son diferenciables entonces las tasas marginales de sustitucion de los indivi-duos entre cualquier par de mercancıas deben coincidir. Esto es,

∂ui

∂xk(xi)

∂ui

∂xl(xi)

=∂uj

∂xk(xj)

∂uj

∂xl(xj)

, ∀i, j, k, l.

98



En el caso (m, n) = (2, 2), utilizando la caja de Edgeworth podemos ver que estaultima condicion tambien es suficiente para Pareto eficiencia.

Asi, cuando los individuos tengan preferencias estrictamente monotonas y (m, n) =(2, 2), podremos encontrar todas las asignaciones Pareto eficientes interiores, (x1, x2), alresolver la ecuacion:

∂u1

∂x1

(x1)∂u1

∂x2

(x1)=

∂u2

∂x1

(W − x1)∂u2

∂x2

(W − x1).

El conjunto de todas las asignaciones Pareto eficientes en una economıa con (m, n) =(2, 2) es llamado de curva de contrato.

Ejemplo 5.3.1. En la economıa del Ejemplo 5.1.1, las asignaciones ((1, 1); (0, 0)) y((0, 0); (1, 1)) son Pareto eficientes. Como los dos individuos tienen las mismas prefe-rencias, para encontrar las distribuciones de recursos Pareto eficientes e interiores essuficiente resolver:

∂u∂x1

(x11, x

12)

∂u∂x2

(x1, x12)

=∂u∂x1

((1, 1) − (x11, x

12))

∂u∂x2

((1, 1) − (x11, x

12))

,

donde u(x1, x2) = x1x2. Esto es, queremos encontrar los puntos (x11, x

12) tal que,

x12

x11

=1 − x1

2

1 − x11

.

Concluimos que la curva de contrato va a ser, en la caja de Edgeworth, el lugar geometricode las asignaciones ((α, α); (1− α, 1 − α)), donde α ∈ [0, 1]. �

Note que las asignaciones individuales de equilibrio de la economıa del Ejemplo 5.1.1contituyen una distribucion de recursos Pareto eficiente.

5.4. Equilibrio Walrasiano y Pareto eficiencia

El mecanismo distributivo descentralizado de una economıa Walrasiana de intercam-bio nos va a llevar a asignaciones que van a ser siempre Pareto eficientes.3 Esto es, elmecanismo de mercado Walrasiano satisface condiciones mınimas de eficiencia distribu-tiva.

Teorema 5.4.1 (Primer Teorema del Bienestar Social). Considere una economıa deintercambio con m consumidores y n mercancıas. Suponga que las mercancıas son per-fectamente divisibles y que las preferencias de cada individuo son racionales, contınuas,convexas y localmente no-saciables. Ademas, asuma que

∑mi=1 wi ≫ 0, donde wi ∈ Rn

+

es la asignacion inicial de recursos del individuo i ∈ {1, . . . , m}. Entonces,[(p; (xi)i∈{1,...,m}) equilibrio Walrasiano

]=⇒

[(xi)i∈{1,...,m} Pareto eficiente

]

3Recuerde que estamos asumiendo que no existe ningun tipo de imperfeccion de mercado. Por ejemplo,el equilibrio Walrasiano puede dejar de ser Pareto eficiente en economıas donde los individuos tienencostos de transaccion o no tienen acceso a todos los mercados de intercambio.

99



Ejemplo 5.4.1. Considere la economıa de los Ejemplos 5.1.1 y 5.3.1, pero asuma quelos individuos tienen asignaciones iniciales w1 = (0, 7; 0, 4) y w2 = (0, 3; 0, 6). Entonces,sigue del Primer Teorema del Bienestar Social que, si existe un equilibrio Walrasianolas asignaciones individuales tienen que ser Pareto eficientes. Esto es, en caso de existirun equilibrio, las asignaciones tienen la forma ((α, α); (1 − α, 1 − α)), donde α ∈ [0, 1].Normalize la suma de los precios igual a uno. Entonces, monotonıa estricta de las prefe-rencias junto con factibilidad presupuestaria de la asignacion del individuo i = 1 implicaque α = 0, 4 + 0, 3p1. Ademas, las tasas marginales de sustitucion tiene que ser igualesa la tasas de sustitucion de mercado. Esto es, 1 = p1

p2

. Concluimos que los precios de

equilibrio son p = (0, 5; 0, 5) y las asignaciones optimas ((0, 55; 0, 55); (0, 45, ; 0, 45)). �

Finalmente, es natural preguntarse si las distribuciones de recursos Pareto eficientespueden implementarse con un mecanismo descentralizado de mercado, por ejemplo, conel mecanismo Walrasiano. Fije una economıa con m agentes y n bienes, donde cadaindividuo i tiene una asignacion inicial de recursos wi. Nos interesa saber si, dada unaasignacion Pareto eficiente existen precios que hacen de ella un equilibrio Walrasiano.La respuesta es inmediata: No. Como ejemplo, considere la economıa del Ejemplo 5.1.1.La asignacion ((0, 3; 0, 3); (0, 7; 0, 7)) es Pareto eficiente, enquanto la unica asignacion deequilibrio Walrasiano es ((0, 5; 0, 5); (0, 5; 0, 5)). El punto fundamental es que la preguntano esta bien planteada, pues existen en general infinitas asignaciones Pareto eficientes,incluso en modelos donde el equilibrio Walrasiano es unico.

Por lo tanto, serıa mas prudente preguntarnos si existe algun mecanismo que per-mite modificar la economıa para garantizar que el equilibrio Walrasiano coincide conla asignacion Pareto eficiente pre-fijada. En este caso, la respuesta es afirmativa, y elmecanismo que permite modificar la economıa hasta implementar la asignacion Paretoeficiente como un equilibrio es la trasferencia de renta entre los individuos.

Definicion 5.4.1. Considere una economıa de intercambio con m consumidores y nmercancıas. Suponga que las mercancıas son perfectamente divisibles y que los individuostienen preferencias racionales, contınuas y convexas. Ademas, asuma que

∑mi=1 wi ≫ 0,

donde wi ∈ Rn+ es la asignacion inicial de recursos del individuo i ∈ {1, . . . , m}.

Un equilibrio Walrasiano con transferencias es dado por un vector de preciosp ∈ Rn

+ junto con asignaciones individuales (xi)i∈{1,...,m} tales que,

(i) (Factiblidad de mercado)

m∑

i=1

xi ≤m∑

i=1

wi.

(ii) (Optimalidad despues de recibir las tranferencias)

Existe (t1, . . . , tm) ∈ Rm con∑m

i=1 ti ≤ 0 tal que, para cada individuo i ∈ {1, . . . , m},xi = xi(p, p · wi + ti) (demanda Marshaliana).

100



Teorema 5.4.2 (Segundo Teorema del Bienestar Social). Considere una economıa deintercambio con m consumidores y n mercancıas. Suponga que las mercancıas son per-fectamente divisibles y que las preferencias de cada individuo son racionales, contınuas,convexas y estrictamente monotonas. Entonces,

Si[(xi)i∈{1,...,m} ≫ 0 es PE

]=⇒ ∃ p ∈ Rn

+ :[(p; (xi)i∈{1,...,m}) es un EW con transferencias

]

Note que, bajo las condiciones del teorema, para implementar una asignacion Paretoeficiente un planficador central necesitara conocer las transferencias de renta que debehacer entre los individuos. Por ejemplo, para obtener a travez del mecanismo Walrasianola distribucion de recursos Pareto eficiente (xi)i∈{1,...,m} podria trasferirle (quitarle) alindividuo i una cantidad ti = p · (xi − wi). De hecho, la suma de las transferenciaası definidas es menor o igual a cero (el planificador no le agrega recursos a la economıa)y cada individuo i queda con una renta igual al valor de mercado de la asignacionxi. Como (xi)i∈{1,...,m} es Pareto eficiente y las preferencias son estrictamente convexas,independiente de los precios (por ejemplo, cuando p = p) cada individuo i va a demandarla asignacion xi.4 El problema es que para conocer (ti)i∈{1,...,m} se puede requerir adelantarlos precios de equilibrio y conocer las asignaciones individuales.

Alternativamente, se podrıa pensar que el planificador le embarga la asignacion iniciala cada individuo i entregandole a cambio la asignacion xi. En este caso, no es necesarioconocer los precios p, ya que la Pareto eficiencia y el Primer Teorema del BienestarSocial garantizan que los individuos van a consumir su “nueva.asignacion de mercancıas.No obstante, para embargar las asignaciones iniciales el planificador debe conocerlas,caso contrario, los individuos tendrian incentivos para esconder la riqueza.

En cualquier caso, la implementacion del Segundo Teorema del Bienestar requierehipotesis muy restrictivas sobre el grado de conocimiento que el planificador tiene de lascaracteristicas de los consumidores.

4Pruebe esta ultima afirmacion.

101



102

Apendice A

Ejercicios

A.1. Ejercicios del capıtulo 2

Ejercicio 1. El Bien y el MalImagine que hay 2 tipos de alimentos que usted detesta: berenjenas y flan. Desde su

perspectiva, las berenjenas y flan son “males”.

a. Si las berenjenas (B) y el flan (F ) son males, ¿Que pendiente tendran las curvas deindiferencia en el plano (B, F )? Grafique un par de ellas y muestre en que sentidocrece la utilidad del individuo.

b. Esta vez imagine que su disgusto por B y F puede ser caracterizado por la funcionde utilidad u(B, F ) = −max{B, 3F}. Grafique algunas curvas de indiferencia einterprete las preferencias que de ellas se derivan.

c. Ahora asuma que a usted ya no le preocupa tener que comer flan (no le disgusta,pero tampoco le gusta). Grafique algunas curvas de indiferencia asociadas con estaspreferencias.

d. Por ultimo imagine que, con el tiempo, el flan comienza a ser de su completo gusto,pero sigue detestando las berenjenas. Grafique algunas curvas de indiferencia quecaractericen estas preferencias.

e. Evalue si se cumplen los axiomas de continuidad, transitividad, completitud, mo-notonicidad estricta y convexidad (estricta) en cada uno de los casos anteriores.

Ejercicio 2. Cuasiconcavidad de uConsidere la siguiente funcion de utilidad u(x1, x2) =

√x1 + x2. Verifique la cuasi-

concavidad de u y concluya sobre las preferencias del individuo.

Ejercicio 3. Preferencias LexicograficasDe la siguiente descripcion de preferencias, concluya si estas cumplen con los axiomas

de completitud, transitividad, continuidad, monotonicidad estricta y convexidad(estricta):

103



A Pini-ron le encantan las ron-colas, y posee preferencias lexicograficas 1 por ellas.Entre 2 ron-cola con la misma cantidad de ron, el se preocupa por supuesto de la cantidadde hielo: mientras mas, mejor. Pero el prefiere ron-cola con mas ron sobre cualquier otraron-cola con menos ron independientemente de la cantidad de hielo.

Ejercicio 4. Mas sobre los axiomas de preferenciasConsidere relacion de preferencias � definida de la siguiente manera:

x � y ⇔ x ≥ y.

Evalue el cumplimento de cada uno de los axiomas de preferencias.

Ejercicio 5. Comente la veracidad de las siguientes afirmaciones. Control 1,primavera 2007

a. “Preferencias monotonicas deben representarse mediante funciones de utilidad enque la utilidad marginal de cada uno de los bienes es mayor o igual a cero.”

b. “Un alumno/a prefiere estrictamente consumir seis lomitos y cuatro cervezas a con-sumir seis cervezas y 4 lomitos. Pero por otro lado prefiere estrictamente consumirseis cervezas y 4 lomitos a consumir cinco unidades de cada producto. Entoncessus preferencias no son convexas.”

c. “Si las curvas de indiferencia de un consumidor tienen pendiente negativa, necesa-riamente sus preferencias son monotonicas.”

Ejercicio 6. Los axiomas de comportamiento y la funcion de utilidadLas preferencias de un consumidor pueden ser representadas por la siguiente funcion

de utilidad:

u(x1, x2) = x1 · x2.

En terminos de los axiomas de comportamiento, ¿que propiedades tienen las preferenciasde dicho consumidor?

Ejercicio 7. Complementos perfectosLas preferencias de un individuo se representan mediante la funcion de utilidad

u(x1, x2) = mın{αx1, x2}. Determine si estas preferencias cumplen con los axiomas 5,5’, 6 y 6’.

Ejercicio 8. Transformaciones monotonicas crecientesAplique la transformacion monotonica creciente g(x) = ln x a la funcion de utili-

dad Cobb-Douglas u = xα1 x1−α

2 y vea que ocurre con la tasa marginal de sustitucion.Interprete su resultado.

1Un consumidor tiene preferencias lexicograficas sobre x ∈ R2+ si la relacion � satisface que

(y1, y2) � (z1, z2) si y solo si y1 > z1, o y1 = z1 e y2 ≥ z2.

104



Ejercicio 9. La funcion de utilidad cuasilineal. Parecido a control 2, primavera2007

Suponga que las preferencias de un individuo pueden representarse mediante la fun-cion de utilidad

u(x1, x2) = x1 +xβ

2

β,

donde β ∈]0, 1[.

a. Calcule la Tasa Marginal de Sustitucion entre x1 y x2.

b. Muestre que lımx2→0

|TMS1,2| = 0, pero que lımx1→0

|TMS1,2| 6= ∞, y a partir de ello,

grafique cuidadosamente las curvas de indiferencia.

c. Explique por que este ultimo hecho implica que el problema de maximizacion dela utilidad podrıa tener una solucion de esquina.

d. Suponiendo que los precios de los bienes son (p1, p2) y que el consumidor posee uningreso m, encuentre las demandas marshallianas de ambos bienes para el caso dela solucion interior (x∗

1 > 0, x∗2 > 0). Muestre que se tiene una solucion interior

solo si m >(

p1/pβ2

) 1

1−β

.

e. Obtenga ahora las demandas marshallianas para el caso en que se tiene una solu-cion de esquina (la demanda de uno de los bienes es igual a cero). Muestre que

este es el caso cuando m ≤(

p1/pβ2

) 1

1−β

.

f. A partir de sus respuestas anteriores, muestre que la funcion de utilidad indirectaes

v(p1, p2, m) =

mp1

+ 1−ββ

(p1

p2

) β1−β

si m >(

p1/pβ2

) 1

1−β

1β

(mp2

)β

si m ≤(

p1/pβ2

) 1

1−β

g. A partir de la funcion de utilidad indirecta, encuentre la funcion de gasto y a partirde esta ultima, halle las demandas hicksianas.

h. ¿Es x2 un bien normal o inferior?

i. ¿Cual es la relacion entre la demanda marshalliana y la hicksiana de x2? ¿Porque ocurre ese fenomeno?

j. Desarrolle la ecuacion de Slutsky para la demanda de cada bien.

Ejercicio 10. Ejemplo simple de agregacion de demandas

105



Considere un mercado en que existen n consumidores, cuyas demandas inversas porel bien son, respectivamente:

pi(qi) = Ai − b · qi, i = 1, . . . , n

donde A1 > A2 > . . . > An

a. Muestre que si el mercado consiste en n = 2 consumidores, la demanda de mercadoes

Q(p) =

A1 − p

bsi p ∈ [A1, A2[

A1 + A2 − 2 · pb

si p ∈ [A2, 0]

b. Muestre que si hay n = C consumidores y definimos AC+1 = 0, entonces la demandade mercado es

Q(p) =

k∑

i=1

Ai − K · p

b, si p ∈ [Ak, Ak+1[,

para k = 1, . . . , C.

Ejercicio 11. Agregacion de demandas discretas. Similar a control 3, prima-vera 2007

Considere el mercado de alarmas contra robo para casas. Este es un bien indivisible,ya que cada consumidor demanda una unidad o ninguna, dependiendo de si el precio demercado es mayor o menor que su precio de reserva. Formalmente,

qi =

{1 si p ∈ [0, ri]0 si p > ri

,

donde qi denota la cantidad demandada por el consumidor i, p es el precio de mercadodel bien y ri es el precio de reserva del consumidor i.Suponga que existe un numero muy grande de potenciales consumidores tales y que ri

se distribuye uniformemente entre ellos:

r ∼ U(0, r),

es decir, el individuo que mas valora la alarma tiene un precio de reserva igual a 1,mientras que en el otro extremo, hay quien no valora en absoluto las alarmas.

Calcule la demanda de mercado, asumiendo que el tamano de la poblacion es igual a 1(por ejemplo, en cientos de millones de personas).

106




Ejercicio 1. Ocio-consumo. Control 4, primavera 2007Alvaro tiene una funcion de utilidad del tipo u(C,O) = α · O1/2 + C, donde C es el

consumo diario de un bien compuesto y O es el tiempo dedicado al ocio. El salario porhora en el mercado laboral es w, el precio del bien compuesto es 1, el individuo tieneingresos no laborales YNL > 0 y su tiempo diario disponible es T .

a. Obtenga la funcion de oferta de trabajo.

b. Determine el efecto de un aumento de los ingresos no laborales en la oferta detrabajo. Explique su resultado.

c. Determine el rango de salarios en el que Alvaro no trabaja.

d. Si w = 2, YNL = 4, T = 20, α = 12, calcule las horas de trabajo ofrecidas.

El bienestar de Alvaro es muy bajo, por lo que el gobierno considera dos polıticasalternativas. La primera es entregar un subsidio fijo de $14 y la otra es dar un subsidiode $1 por hora trabajada.

e. ¿Cuanto aumenta la utilidad con el subsidio fijo?

f. ¿Cual es la oferta de trabajo con el subsidio al trabajo? ¿Cual es la utilidad con elsubsidio al trabajo?

g. ¿Cual subsidio tiene un costo mayor para el gobierno? Explique.

Ejercicio 2. Consumo intertemporal e inversion. Control 4, primavera 2007Un inversionista enfrenta una serie de posibilidades de inversion que le entregara flujos

de caja en el siguiente periodo. Una inversion I realizada en el primer perıodo (t = 0)produce 210 · I1/2 en el segundo perıodo (t = 1). La tasa de interes relevante es un 5%(r = 0, 05). La funcion de utilidad del individuo es: u(c0, c1) = c15

0 · c1. Su flujo exogenode ingresos es: y0 = 4000; y1 = 2100. Considere perfecta certidumbre en un modelo dedos periodos y mercado de capitales perfecto.

a. Determine la inversion optima.

b. Calcule el VAN de la inversion.

c. Determine el ingreso intertemporal del individuo (en valor presente o futuro).

d. Calcule el consumo de ambos perıodos.

e. Calcule y explique como financia el individuo sus decisiones de consumo e inversion.

f. ¿Como afectarıa al consumidor un aumento marginal en la tasa de interes? Expli-que.

107



g. Suponga otro individuo cuyas preferencias son representadas por u(c0, c1) = c0 ·c151 .

Sin realizar calculos adicionales, ¿como se modifica la inversion respecto del casoanterior? ¿Como cambia el consumo?

108




Ejercicio 1. PeajesUd. va en auto en la carretera y tiene que pagar un peaje de $2.000. Si no paga el

peaje, existe un 50% de probabilidad de que lo sorprendan, en cuyo caso debera pagarel peaje adeudado mas una multa de $3.000.

Si su ingreso actual es de $10.000 y su funcion de utilidad es u(w) = ln(w), ¿pagara ud.el peaje?

Ejercicio 2. Seguro contra robosUd. tiene $10.000 y esta expuesto a que le roben $7.500 con 50% de probabilidad.

Su funcion de utilidad es u(w) = 100 + 0,1w + w1/2, ¿cuanto serıa lo maximo que estarıadispuesto a pagar por un seguro contra robos?

Ejercicio 3. Juegos justos, segurosDrackie tiene un nivel actual de riqueza de I = 100 y se ve obligado a hacer la

siguiente apuesta, ya que es un jugador empedernido: se lanza una moneda equilibrada,si sale cara, obtiene 15, y si sale sello, obtiene 13. Su funcion de utilidad es:

u(I) =√

I

a. Determine el valor esperado del juego y la utilidad esperada del mismo. ¿Es unjuego justo?.

b. ¿Cambia su respuesta si ahora en el caso que salga sello, se incurra en una perdidade 15? ¿Es un juego justo?.

c. Ahora, con lo flojo que es Drackie, decide quedarse tranquilo en su casa, sin em-bargo, existe una posibilidad de que su casa se incendie, con probabilidad de un5 por ciento. Si hay incendio, pierde 60, si no, se queda con los 100. Si le ofrecenun seguro cuya prima asciende a 7, ¿Acepta el seguro? ¿Cuanto es el maximo queestarıa dispuesto a pagar por el seguro?

Ejercicio 4. Inversiones riesgosas y estafasImagine un individuo (llamelo Willy si desea) con una funcion de utilidad u(w) =

ln(w). Normalizaremos la riqueza inicial de Willy a w0 = 1,¿Que proporcion de su riqueza esta dispuesto a pagar para evitar un juego justo (tirar

una moneda por ejemplo) que involucra el 10 por ciento de w0?.

Ejercicio 5. Raymond Ayala gana $1300 por periodo, suponga que la tasa de intereses de 30% y hay solo dos periodos. El Sr. Ayala esta considerando estafar a su amigo(llamado William Omar Landron), si lo logra y no lo descubren gana $2700, si no lologra y no lo descubren mantendra intacta su riqueza, pero si lo descubren obtiene unamulta de $1600. Estos eventos tienen una probabilidad de ocurrencia de 40%, 20% y40% respectivamente. La funcion de utilidad del Sr. Ayala es u(w) = w2 + 4w + 4. Conesta informacion determine:

109



a. ¿Estafara Ayala a su amigo?

b. ¿Como convencemos a Ayala para que no estafe a su amigo?

c. ¿Que pasa con los puntos anteriores si es que la funcion de utilidad de Ayala pasaa ser u(w) = ln(w)?

Ejercicio 6. Un ayudante, a pesar de ser muy competente, es hincha de un equipochico, que denotaremos arbitrariamente por la letra U. Este individuo, que tiene unariqueza de $1.000.000 y una funcion de utilidad logarıtmica, decide apostar $200,000 aque la U golea al equipo grande (denotado por la letra C, de campeon) ¿Cual debe serla probabilidad mınima de que gane la U que este ayudante esta suponiendo al realizarla apuesta?

Ejercicio 7. Huachimingo, cuya funcion de utilidad es logarıtmica, ha decidido salir unavez mas de viaje. El cuenta con una riqueza de $100 para este viaje. En el aeropuertose encuentra con unos amigotes que le dicen que el lugar donde el ira es muy peligrosoy que con un 30% de certeza le robaran $30. Luego, un amigo le dice que esta dispuestoa venderle un seguro a $7 el cual cubre las eventuales perdidas de Huachimingo.

a. ¿Estarıa usted dispuesto a ofrecer dicho seguro por $7?

b. ¿Cual es la utilidad esperada del viaje de Huachimingo?

c. ¿Le comprara Huachimingo el seguro a su amigo?

d. ¿Cual es la disposicion maxima a pagar que Huachimingo tiene por el seguro?,¿Para que valores del seguro Huachimingo siempre lo contratara?

e. ¿Contratara el seguro Huachimingo si es que su funcion de utilidad pasa a ser dela forma U(w) = w2 + 6 · w + 9?

f. Encuentre la disposicion maxima a pagar por un seguro de acuerdo a la parted. Determine ademas los rangos para los cuales el individuo contratara el seguro.¿Que nota diferente?

Ejercicio 8. Comente las siguientes afirmaciones. Control 5, primavera 2007

a. En un tipo de seguros donde existe una total “dispersion” de riesgos y todos losasegurados tienen la misma probabilidad de tener un siniestro, entonces la primaporcentual es igual a la probabilidad de que ocurra el siniestro (Nota: la respuestadependera del contexto que considere, por lo tanto sea claro en los supuestos quehaga).

b. Una persona neutra al riesgo que puede incurrir en una cierta perdida solo seasegura si la prima porcentual es mayor que la probabilidad que ocurra dichaperdida.

110



c. Una funcion de utilidad que cumple la regla de la utilidad esperada es unica salvotransformaciones afines.

Ejercicio 9. Evasion de impuestos. Control 5, primavera 2007 (60 puntos)Considere un contribuyente que tiene una riqueza inicial igual a cero y durante el

ano recibe un ingreso Y . A fin de ano debe pagar un impuesto proporcional al ingresode tasa t ∈ [0, 1]. El individuo puede no declarar parte de su ingreso (digamos, unaproporcion s ∈ [0, 1] de este), pero si es descubierto paga una multa m > t por cadapeso no declarado, la que reemplaza el pago del impuesto (paga m por cada peso nodeclarado y t por cada peso declarado). La probabilidad π que un evasor sea descubiertoes independiente del monto no declarado.

a. Suponiendo que el contribuyente no declara una fraccion s de su ingreso. ¿Cual esla riqueza a final de ano? Recuerde que la riqueza es una variable aleatoria.

b. Plantee el problema de maximizacion la utilidad esperada del contribuyente (su-ponga que evadir impuestos no le plantea un problema etico).

c. Suponiendo que la utilidad de la riqueza esta dada por la funcion v(w) = ln(w),muestre que la fraccion del ingreso no declarada es:

s∗ =(1 − t) · (t − π · m)

t · (m − t)

d. ¿Bajo que condiciones el contribuyente declara todo su ingreso? ¿Cual es la intui-cion de este resultado?

e. ¿Como cambia s∗ con un aumento en π? ¿Y un aumento en m? ¿Le parecen resul-tados razonables? Explique.

f. Explique intuitivamente por que la fraccion no declarada del ingreso es indepen-diente de su monto. Pista: calcule el ındice de aversion relativa al riesgo.

111



112

Apendice B

Respuestas a ejercicios seleccionados

B.1. Soluciones a ejercicios del capıtulo 2

Solucion al ejercicio 2Si la funcion de utilidad consta de 2 bienes y es posible encontrar una expresion para

las curvas de indiferencia, entonces podemos verificar directamente la convexidad estrictade ellas, lo cual es equivalente a demostrar que la funcion de utilidad es estrictamentecuasiconcava.

Para esto hay dos alternativas:

Si la curva de indiferencia es dos veces derivable, podemos tomar su segunda de-rivada y constatar si es mayor que cero. De no ser ası, la funcion de utilidad nosera estrictamente cuasiconcava, lo que equivale a decir que las preferencias repre-sentadas no seran estrictamente convexas.

Siempre se puede verificar la convexidad estricta de las curvas de indiferencia me-diante la definicion general de convexidad estricta:

f(x) es estrictamente convexa ⇔ f(tx+(1− t)x′) < tf(x)+ (1− t)f(x′) para todox, x′ ∈ R+ y para cualquier t ∈]0, 1[.

Para verificar la cuasiconcavidad de la funcion vamos a utilizar los 2 metodos ante-riormente descritos

a. Primero, demostramos que la segunda derivada de las curvas de indiferencia esmayor a 0. Las curvas de indiferencia vienen dadas por

x2(x1) = u − x1/21 .

Tomando las derivadas:

∂x2

∂x1= −1

2x− 3

2

1 < 0,

∂2x2

∂x21

=3

4x− 5

2

1 > 0,⇒ Las curvas de indiferencia son convexas.

113



b. O bien, podemos utilizar la definicion general de convexidad. Las curvas de indife-

rencia vienen dadas por x2(x1) = u−x1

2

1 . Debemos verificar que x2(ta+(1− t)b) <tx2(a) + (1 − t)x2(b) ∀a, b ∈ R+

x2(ta + (1 − t)b) < tx2(a) + (1 − t)x2(b)

u − (ta + (1 − t)b)1

2 < t(u − a1

2 ) + (1 − t)(u − b1

2 )

−(ta + (1 − t)b)1

2 < −ta1

2 + −(1 − t)b1

2

(ta + (1 − t)b)1

2 > ta1

2 + (1 − t)b1

2

ta + (1 − t)b > t2a + 2t(1 − t)√

ab + (1 − t)2b

ta + b − tb > t2a2t√

ab − 2t2√

ab + −2tb + t2b

0 > 2t√

ab − 2t2√

ab − tb + t2b − ta + t2a

0 > −t(a − 2√

ab + b) + t2(a − 2√

ab + b)

0 > −t(1 − t)︸︷︷︸

<0

(a1

2 − b1

2 )2

︸︷︷︸

>0

∀(a, b) ∈ R+

Luego, las curvas de indiferencia son estrictamente convexas. Esto indica que laspreferencias representadas son estrictamente convexas.

Solucion al ejercicio 3

Las preferencias son completas. Pini-ron es capaz de decidir entre 2 ron cola cualquie-ra. Si las dos tienen la misma cantidad de ron, el prefiere la ron cola con mas hielo. De otraforma, el prefiere la ron cola con mas ron. Si las ron cola son identicas, el esta indiferente.

Las preferencias son transitivas. Considere 3 ron cola: A, B y C, donde A es preferidaa B y B es preferida a C. Si A es preferida a B es porque A tiene mas ron que B o Atiene la misma cantidad de ron que B, pero mas hielo. Asumamos primero que A tienemas ron que B. Entonces como A es preferida a C, sabemos que B tiene igual o mas ronque C. Pero A tiene mas ron que C y por lo tanto A es preferida. Ahora considere elcaso en que A y B tienen la misma cantidad de ron, pero A tiene mas hielo. Como B espreferida a C, sabemos que C debe tener menos ron que B( en cuyo caso A es preferidaa C), o la misma cantidad de hielo que A y B, pero menos hielo (por ende menos hieloque A, en cuyo caso A es preferida a C).

114



x1

x0

≻ (x0)

≺ (x0)

ron

hielo

Figura B.1: Preferencias lexicograficas por ron y hielo.

No es posible graficar curvas de indiferencia, puesto que para ninguna canasta en R2+

existe otra indiferente.Las preferencias son monotonicas porque cualquier canasta siempre sera estrictamen-

te preferida a otra con menos ron y menos hielo que otra. Ademas, ninguna ron colasera preferida si tiene menos hielo e igual cantidad de ron, o menos ron e igual cantidadde hielo que otra.

La figura B.1 muestra que las preferencias son convexas porque cualquier ron colaque sea una combinacion convexa de otras dos debe necesariamente estar a la derecha oarriba de la peor de las ron colas extremas, por lo que sera estrictamente preferida.


a. Verdadero. Bajo el axioma de monotonicidad, al aumentar la cantidad consumidade un bien, la nueva canasta debe ser al menos tan preferida, lo que debe traducirseen un nivel de utilidad tan alto o mayor. Es decir, bajo monotonicidad la funcionde utilidad es creciente.

b. Verdadero. Si las preferencias fueran convexas, debiera preferirse la canasta inter-media (5 lomitos y 5 cervezas) a la peor de las opciones extremas (6 cervezas y 4lomitos).

c. Falso. Si bien preferencias monotonicas implican curvas de indiferencia con pen-diente negativa, no existe doble implicancia, ya que por ejemplo en el caso de quela canasta este compuesta por males (que contradice el axioma de monotonicidad),la curva de indiferencia tendra pendiente negativa.


Completitud Para cualquier par de canastas de bienes x1 y x2, se tiene que u(x1) ≥u(x2) o u(x1) ≤ u(x2) o ambas cosas. De esta forma, dada la funcion de utilidad,

115



el individuo puede expresar una preferencia o indiferencia entre cualquier par decestas de bienes por muy semejantes o diferentes que puedan ser.

Transitividad El cumplimiento de transitividad en inherente a la representacion depreferencias mediante una funcion de utilidad. Esto se comprueba de la siguienteforma:

Si x1 � x2 y x2 � x3 ⇔ u(x1) > u(x2) y u(x2) > u(x3)

Pero las canastas evaluadas en la funcion de utilidad no son mas que numerosreales, y la recta R es por naturaleza transitiva. Luego, de lo anterior podemosdeducir que u(x1) > u(x3) ⇒ x1 � x3

Continuidad La funcion de utilidad es continua, por lo que tambien lo son las curvas deindiferencia. Por ende, las preferencias representadas por u(x1, x2) son continuas.

Monotonicidad Son preferencias monotonas, ya que al aumentar la cantidad consu-mida de un bien. la nueva canasta es al menos tan preferida, esto es posible deobservar debido a que la utilidad marginal de ambos bienes es mayor o igual acero:

∂u

∂x1

= x2 ≥ 0,

∂u

∂x2

= x1 ≥ 0.

Convexidad (estricta) : Una forma sencilla de demostrar convexidad es comprobar

que ∂|TMS|∂x1

< 0

∂U(x1, x2)

∂x1= x2

∂U(x1, x2)

∂x2

= x1

Dividimos ambas expresiones para encontrar la TMS :

|TMS| =x2

x1

Si derivamos la TMS con respecto a x1 obtenemos:

∂|TMS|∂x1

= −x2

x21

< 0


116



La TMS de la funcion de utilidad Cobb-Douglas es:

TMS1,2 = −u1

u2

= − αxα−11 x1−α

2

(1 − α)x1−α1 xα−1

2

= − αx2

(1 − α)x1

Si aplicamos logaritmo natural (una transformacion monotonica creciente) a la Cobb-Douglas veremos que

ln(u(x1, x2)) = α ln(x1) + (1 − α)ln(x2)

La tasa marginal de sustitucion de esta nueva funcion es

TMS1,2 = −u1

u2

= −αx1

1−αx2

con lo que podemos ver que la TMS no cambia y por ende el orden de las preferenciasy las curvas de indiferencia, tampoco. Sin embargo cabe destacar que despues de latransformacion monotonica, las utilidades marginales sı cambiaron.

117





a. Reemplazando las restricciones del problema en la funcion objetivo de maneraconveniente, el problema consiste en:

maxL

α · (T − L)1/2 + w · L + YNL.

La condicion de primer orden es

−1

2· α(T − L)−1/2 + w = 0,

Por lo que la oferta laboral es

L∗ = T −( α

2w

)2

.

b. La oferta de trabajo no depende del ingreso no laboral. Esto se debe a que lafuncion de utilidad es cuasilineal, por lo que el efecto ingreso es cero.

c. La oferta de trabajo sera igual a cero siempre que

T −( α

2w

)2

≤ 0.

Despejando para w, la condicion para que el individuo no trabaje es

w ≤ α

2√

T.

Por lo tanto, el rango de salarios para el cual la oferta de trabajo es cero es

w ∈[

0,α

2√

T

]

.

d. Reemplazando estos valores en la funcion de oferta laboral, tenemos que el indivi-

duo ofrece 20 −(

12

2 · 2

)2

= 11 horas.

e. De la oferta de trabajo obtenida anteriormente, tenemos que la funcion de utilidadindirecta es

v(T, w, YNL) =α2

4w+ w · T + YNL.

La utilidad antes de cualquier tipo de subsidio es

u0 =122

2 × 4+ 2 × 20 + 4 = 62,

mientras que la utilidad sumando el subsidio fijo es

usf =122

2 × 4+ 2 × 20 + 4 + 14 = 76.

118



f. Al aumentar el salario a $3 por hora, la oferta laboral es

L′ = 20 −(

12

2 × 3

)2

= 16,

mientras que la utilidad asciende a

usw =12�2

��4 × 3+ 3 × 20 + 4 = 76.

g. Ambos subsidios logran el mismo efecto en bienestar, pero el subsidio al salarioes mas caro, pues significa para el estado un desembolso de $16, frente a los $14que cuesta el subsidio fijo. Esto ocurre porque al dar un subsidio al precio de unbien (en este caso, el ocio), no se da al individuo la opcion de escoger librementeen que gastar ese dinero. Esto implica que para alcanzar el mismo bienestar queotorga un subsidio en dinero, se debe gastar mas subsidiando el salario.


a. La inversion optima es aquella que maximiza el VAN del proyecto:

maxI

−I +210 ·

√I

1, 05.

La condicion de primer orden es

−1 +210

2√

I · 1, 05= 0 ⇒ I∗ = 10,000

b. El VAN de la inversion es −10,000 + 210×√10,000

1,05= $10,000

c. El ingreso intertemporal exogeno del individuo en valor presente es y0 + y1

1+r=

4000 + 2100/1, 05 = $6,000. Por lo tanto, su riqueza total asciende a $16.000 envalor presente, y a $16,000 × 1, 05 en valor futuro.

d. Para calcular el consumo en ambos perıodos, debemos maximizar la utilidad sujetoa la restriccion presupuestaria intertemporal:

max{c0,c1}

L = c150 · c1 − λ

(

c0 +c1

1 + r− 16,000

)

.

Las condiciones de primer orden son

∂L∂c0

= 15 · c140 · c1 − λ = 0

∂L∂c1

= c150 − λ

1 + r= 0

∂L∂λ

= 16,000 − c0 −c1

1 + r= 0

119



De las dos primeras condiciones tenemos que c0 = 15c1/(1+r). Reemplazando estaecuacion en la tercera condicion de primer orden,

15c1

1 + r+

c1

1 + r= 16,000 ⇒ c∗1 = 1000 · (1 + r) = 1050.

Por lo tanto,

c∗0 = 16,000 − 1000 · (1 + r)

1 + r= 15,000

e. El consumidor gasta en total $25.000 en el primer perıodo ($10.000 en inversionmas $15.000 en consumo), siendo que tiene un ingreso de $4.000 en dicho perıodo.Por lo tanto, debe pedir un prestamo de $21.000 en el mercado de capitales. Enel segundo perıodo, cuenta con un ingreso total de $23.100, de los cuales destina$1.050 a consumir y $22.050 a pagar el prestamo que pidio en el primer perıodo.

f. Si sube la tasa de interes, la inversion disminuira. Existira un efecto ingreso nega-tivo, pues el individuo inicialmente tiene una gran deuda en el primer perıodo.

g. Con esas preferencias, aumentara el consumo futuro y disminuira el consumo pre-sente. La inversion no se ve afectada, pues depende solo de factores objetivos.

120




Solucion al ejercicio 1Se debe comparar la utilidad de pagar (utilidad cierta) vs. la de no pagar (utilidad

esperada).

U(Pagar) vs. U(No Pagar)

u(10000− 2000) vs. 0,5 × u(10000) + 0,5 × u(10000 − 5000)

u(8000) vs. 0,5 × 9,21 + 0,5 × 8,51

8,99 vs. 8,86.

Por lo tanto sı se pagara el peaje.


U = 0,5 × u(10000) + 0,5 × u(2500)

= 0,5 × 1200 + 0,5 × 400

= 0,5 × 600 + 0,5 × 200 = 800.

Por lo tanto lo maximo que estarıa dispuesto a pagar sera p tal que U = u(10000 − p) = 800.Se debe resolver entonces la ecuacion y se obtiene que p = 3788.


a. Para ver si es un juego justo obtenemos el valor esperado del juego se debe cumplirque el valor esperado del juego sea 0. Veremos si se cumple:

E(I) = 0,5 · 15 + 0,5 · 13

= 14 > 0.

Por lo tanto, es posible decir que no es un juego justo.

b. Veamos si se cumple la condicion:

E(I) = 0,5 · −15 + 0,5 · 15

= 0

Por lo tanto, este nuevo juego es justo.

c. De acuerdo con el enunciado con probabilidad del 5 por ciento Drackie perdera 60mientras que con probabilidad del 95 por ciento no pierde nada. Para saber siacepta el seguro obtendremos el valor esperado de Drackie si es que contrata elseguro:

121



U = E(u) = 1 ·√

100 − 7 ≈ 9,64.

Ahora, el valor esperado sin seguro:

U = 0,95 ·√

100 + 0,05 ·√

100 − 60 ≈ 9,81.

Drackie preferira no contratar el seguro, ya que su utilidad esperada es mayor sino lo contrata. Ahora encontraremos cuanto esta dispuesto a pagar Drackie por unseguro:

√100 − x = 9,81

⇒ 100 − x = (9,81)2

⇒ x ≈ 3,76

Por lo tanto, Drackie estarıa dispuesto a pagar 3,76 por un seguro y no 7.

Solucion al ejercicio 4Para calcular la proporcion x que el individuo sacrificarıa debemos igualar la utilidad

que obtiene en caso de jugar con la que obtendrıa en caso de renunciar a x · w0 y nojugar.

u(w0 − x · w0) = U(jugar)

ln(w0 − x · w0) = 0,5 · ln(w0 + 0,1w0) + 0,5 · ln(w0 − 0,1w0)

= 0,5 · ln(1,1w0) + 0,5 · ln(0,9w0)

ln(1 − x) = 0,5 · ln(1,1) + 0,5 · ln(0,9)

ln(1 − x) = ln((1,1 · 0,9)0,5)

ln(1 − x) ≈ −5,02 · 10−03

(1 − x) = e−5,02·10−03

⇒ x = 0, 005

En otras palabras, el individuo esta dispuesto a sacrificar el 0,5% de su riqueza contal de evitar este juego.


a. Primero veremos cual es la utilidad de Ayala si es que no estafa a su amigo:

w = 1300 +1300

1,3= 2300

122



Esto corresponde a la riqueza de Ayala si es que decide no estafar. Ahora reempla-zamos esta riqueza en su funcion de utilidad

u(w) = ((2300)2 + 4 · 2300 + 2) = 5,299,202.

Esta corresponde a la utilidad esperada de Ayala si es que decide no estafar.

Ahora veremos cual es la utilidad esperada de Ayala si es que decide estafar aLandron. Antes de eso debemos obtener la riqueza proveniente de cada accion:

Si estafa y no lo descubren gana $2700 por lo que su riqueza serıa de $5000.(Es la suma de lo que obtiene por estafar y los ingresos en valor presente deAyala, o sea, 2300+2700=5000).

Si trata de estafar, no puede, y no lo descubren, su riqueza queda intacta. Osea, su riqueza es de $2300.

Si trata de estafar, no puede, y lo descubren, debera pagar una multa de $1600con lo que si riqueza se verıa disminuida a $700.

Ahora debemos reemplazar las riquezas provenientes de cada suceso en la funcionde utilidad de Ayala y ponderarlas por sus correspondientes probabilidades:

U = 0,4 · ((5000)2 + 4 · 5000 + 2) + 0,2 · ((2300)2 +

4 · 2300 + 2) + 0,4 · ((700)2 + 4 · 700 + 2)

= 11,264,964

Claramente podemos ver que la utilidad esperada de estafar es mayor... Es por esoque Ayala decidira estafar a Landron1.

b. Para que Ayala no estafe a su amigo debemos pagarle lo necesario para que le seaindiferente estafar:

((2300 + x)2 + 4 · (2300 + x) + 2

)= (2302 + x)2 = 11,264,964

2302 + x ≈ 3356,33

⇒ x ≈ 1054,33

Donde x corresponde a lo que deberıamos pagarle a Ayala para que no estafe a suamigo.

c. La forma de la funcion de utilidad paso a ser la de un individuo averso al riesgo(lo que nos indica que posiblemente no decida estafar). Aun ası es necesario hacerlos calculos para ver si Ayala decide estafar a su amigo:

1Antes de hacer todo el calculo era posible saber si Ayala estafarıa: Su funcion de utilidad es la deun amante al riesgo.

123



Calculamos la utilidad de Ayala si decide no estafar:

E(U(w)) = ln(2300) ≈ 7,74

Ahora calcularemos la utilidad esperada de Ayala si decide estafar:

U = 0,4 · ln(5000) + 0,2 · ln(2300) + 0,4 · ln(700) ≈ 7,575

La utilidad esperada de estafar es menor a la de no estafar por lo que Ayaladecidira no estafar a Landron si es que su funcion de utilidad es logarıtmica.

Solucion al ejercicio 6En primer lugar, debemos obtener la utilidad para el caso en que el ayudante no

apuesta:

u(w) = ln(1000000) ≈ 13,82

Para encontrar la probabilidad mınima que incentiva al ayudante a apostar, debemosencontrar una probabilidad p tal que la utilidad de no apostar sea igual a la utilidadesperada de apostar:

pm · ln(1200000) + (1 − pm) · ln(800000) = ln(1000000)

pm · ln(1200000) + ln(800000)− pm · ln(800000) = ln(1000000)

pm(ln(1200000)− ln(800000)) = ln(1000000)− ln(800000)

pm(ln(1200000

800000)) = ln(

1000000

800000)

⇒ pm =ln(1,25)

ln(1,5)= 0,55

Por lo tanto, la probabilidad de que la U golee a C debe ser, a los ojos del ayudante,mayor al 55%.2


a. Habrıa que ser amante al riesgo para ofrecer este seguro, pues el valor esperado es

−$30 · 0, 3 + $0 · 0, 7 = −9,

por lo que el precio del seguro que le ofrecen a Huachimingo ($7) es muy bajo.

b. La utilidad esperada viene dada por

U = E(u) = 0,70 · ln(100) + 0,3 · ln(70) ≈ 4,5

2Es decir, el ayudante padece de un claro ejemplo de “wishful thinking”.

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c. Para saber si le comprara el seguro debemos calcular la utilidad incluyendo elseguro:

u = ln(100 − 7) = ln(93) ≈ 4,53

Con esto es posible decir que Huachimingo efectivamente contratara el seguro, yaque la utilidad en ese caso es mayor a la de no tener el seguro.

d. Aquı debemos igualar la riqueza menos el valor maximo del seguro en su funcionde utilidad con respecto al valor que lo harıa indiferente entre contratar el seguroo no: En otras palabras, la utilidad esperada de no tomar el seguro (la calculamosen la parte a):

ln(100 − x) = 4,5

100 − x = e4,5

⇒ x ≈ 10

La disposicion maxima a pagar por un seguro es de $10. O sea, pagando esto esta in-diferente entre ambas opciones, por lo que para valores menores a $10 Huachimingosiempre preferira contratar el seguro.

e. Para contestar la pregunta es necesario calcular la utilidad esperada que Huachi-mingo tendra si es que decide no contratar el seguro. Para simplificar un poco elalgebra factorizaremos el cuadrado de binomio que compone la funcion de utilidadde Huachimingo:

U = 0,7 · (w + 3)2 + 0,3 · (w + 3 − 30)2

= 0,7 · (103)2 + 0,3 · (73)2

= 9025

Ahora calculamos la utilidad con el seguro:

E(u(w)) = (w + 3 − 7)2 = (w − 4)2 = 962 = 9216

A pesar de tener una funcion de utilidad de un amante al riesgo. Huachimingocontratara de todas maneras el seguro.

f. El calculo es identico que para otros ejemplos que hemos visto. Debemos igualarla utilidad esperada incluyendo el seguro a la utilidad de no contratar el seguro.

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(w + 3 − x)2 = 9025

(103 − x) ≈ 95,14

x ≈ 7,86

Vemos que la disposicion maxima a pagar de Huachimingo es $7.86. Para cualquiervalor del seguro menor a $7.86 Huachimingo decidira comprarlo. Comparando esteresultado con el que obtuvimos en la parte c vemos que es mucho mas sensible alprecio del seguro, debido a que su funcion de utilidad es la de un amante al riego,por lo que esta dispuesto a correr mas riesgo que un individuo averso al riesgo.


a. Si la industria de seguros es competitiva y las firmas no tienen costos operativos,entonces la prima porcentual de equilibrio debe ser igual a la probabilidad de queocurra el siniestro, ya que si fuera mayor, las firmas estarıan obteniendo beneficios;mientras que si fuese menor, las firmas tendrıan perdidas.

En la practica, las firmas aseguradoras tienen costos operacionales, lo que explicaque la prima porcentual debe ser mayor que la probabilidad de ocurrencia delsiniestro.

b. Falso. Una persona neutral al riesgo solo se asegura si la prima porcentual es menoro igual que la probabilidad de accidente. De lo contrario, su utilidad esperadasera menor con seguro que sin el.

c. Una funcion de utilidad solo puede ser transformada en forma lineal. Es decir, siu(w) es la funcion de utilidad de un individuo para cada estado de la naturaleza,entonces v(w) = α · u(w) + β (con α > 0) tambien lo es.


a. Si el individuo no es sorprendido evadiendo impuestos (lo que ocurre con probabi-lidad 1 − π), su riqueza sera

R1 = Y − t · (1 − s·) · Y = Y · [1 − (1 − s) · t]

Si es sorprendido, debera pagar una multa, por lo que su riqueza sera

R2 = Y − t · (1 − s) · Y − s · m · Y = Y · [1 − (1 − s) · t − s · m].

b. El problema del individuo es

maxs

π · u [Y · (1 − (1 − s) · t − s · m)] + (1 − π) · u [Y · (1 − (1 − s) · t)] .

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c. Derivando la expresion anterior con respecto a s e igualando a cero, tenemos que

∂(·)∂s

=π · Y · (t − m)

Y · (1 − (1 − s) · t − s · m)+

(1 − π) · t · YY · (1 − (1 − s) · t) = 0

Despejando para s, llegamos a la expresion indicada.

d. El contribuyente declara todo su ingreso si s∗ = 0, es decir, si

(1 − t) · (t − π · m)

t · (m − t)= 0.

Esto ocurrira si t, m y π son tales que m = tπ. La intuicion es que dada una multa

suficientemente grande, no sera conveniente para el contribuyente arriesgarse atener que pagarla.

e. Si π aumenta, s∗ disminuye. Esto es razonable, pues al aumentar la probabilidadde ser sorprendido evadiendo, disminuyen los incentivos para hacerlo. Lo mismoocurre con m.

f. Esto ocurre por las caracterısticas de la funcion de utilidad. Al ser la aversionrelativa al riesgo constante (es igual a 1), el comportamiento del contribuyente esel mismo independiente de su nivel de riqueza.

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Apunte_Micro I-Krell, Rojas, Torres-Martínez