Apunte Docente de IO1 Con Ejercicios 09feb15

2015 UABC

Profesoras:

M.C. Teresa Carrillo Gutirrez

M.I. Karina C. Arredondo Soto

Dra. Ma. Marcela Sols Quinteros

M.C. Alma D. Corrales Orozco

Tijuana B. C. 2015

Apunte de Investigacin de Operaciones I

Ingeniera Industrial (Plan 2007-1)

Pgina 2 de 137

FACULTAD DE CIENCIAS QUMICAS E INGENIERA INGENIERA INDUSTRIAL

UNIDAD 1. INTRODUCCIN A LA INVESTIGACIN DE OPERACIONES

Competencia

Conocer los conceptos bsicos de investigacin de operaciones, as como el campo de

aplicacin en el mbito profesional del ingeniero industrial.

1.1 El campo de la investigacin de operaciones

Las races de la IO pueden encontrarse muchas dcadas atrs, cuando se hicieron los

primeros intentos por emplear el mtodo cientfico en la administracin de una empresa. Sin

embargo, el inicio de la actividad llamada investigacin de operaciones es atribuible a ciertos

servicios militares y a las actividades que componan cada operacin de la manera ms eficaz.

Como su nombre lo indica, el objetivo de esta disciplina implica investigar sobre las

operaciones. El trabajo es aplicado a la problemtica relacionada con la conduccin y la

coordinacin de actividades en una organizacin. En esencia, la naturaleza de la organizacin

no es material, por lo cual la IO ha sido aplica de manera extensa en reas tan diversas como

la manufactura, el transporte, la construccin, las telecomunicaciones, la planeacin financiera,

cuidado de la salud, fuerzas armadas y servicios pblicos, por nombrar solo unas cuantas. As,

la gama de aplicaciones es inusualmente amplia.

La IO incluye el trmino investigacin en el nombre porque utiliza un enfoque similar al aplicado

en las reas cientficas establecidas. El mtodo cientfico es usado para explorar ciertos

problemas que deben ser enfrentados en ocasiones se usa el trmino management science o

ciencia de la administracin como sinnimo de la investigacin de operaciones-. El proceso

comienza por la observacin cuidadosa y la formulacin del problema, incluyendo la

recoleccin de los datos pertinentes. El siguiente paso es la construccin de un modelo

cientfico generalmente matemtico- con el cual se intenta abstener la esencia del problema

real. En esta etapa se propone la hiptesis de que el modelo ser una representacin tan

precisa de las caractersticas esenciales de la situacin, que permitir que las conclusiones

soluciones- obtenidas sean vlidas tambin para el problema real. Despus se llevan a cabo

los experimentos adecuados para probar esta hiptesis, para modificarla si es necesario y para

verificar en determinado momento este paso se conoce como validacin del modelo -. En

cierto sentido, la IO involucra la investigacin cientfica creativa de las propiedades

fundamentales de las operaciones. Sin embargo es ms que esto. La IO se ocupa tambin de

la administracin prctica de la organizacin. Por lo tanto, para tener xito tambin debe

proporcionar conclusiones claras que el tomador de decisiones pueda usar cuando ser

necesario.

Pgina 3 de 137


Una caracterstica adicional de la investigacin de operaciones es que intenta encontrar la

mejor solucin llamada solucin ptima- para el problema en cuestin. (Se dice una mejor

solucin y no la mejor solucin porque es posible que existan muchas soluciones que puedan

considerarse como la mejor). [1]

Pgina 4 de 137


reas funcionales

Una muestra de los problemas que la IO ha estudiado y resuelto con xito en negocios e

industria se tiene a continuacin:

Personal: La automatizacin y la disminucin de costos, reclutamiento de personal,

clasificacin y asignacin a tareas de mejor actuacin e incentivos a la produccin.

Mercado y distribucin: El desarrollo e introduccin de producto, envasado, prediccin

de la demanda y actividad competidora, localizacin de bodegas y centros

distribuidores.

Compras y materiales: Las cantidades y fuentes de suministro, costos fijos y variables,

sustitucin de materiales, reemplazo de equipo, comprar o rentar.

Manufactura: La planeacin y control de la produccin, mezclas ptimas de

manufactura, ubicacin y tamao de planta, el trfico de materiales y el control de

calidad.

Finanzas y contabilidad: Los anlisis de flujo de efectivo, capital requerido de largo

plazo, inversiones alternas, muestreo para la seguridad en auditoras y reclamaciones.

Planeacin: Con los mtodos Pert para el control de avance de cualquier proyecto con

mltiples actividades, tanto simultneas como las que deben esperar para ejecutarse.

La lista de reas funcionales de la organizacin que son de posible aplicacin de la IO, es

ilustrativa del potencial que tiene para resolver el problema de la empresa.

Problemas, ejemplo de aplicacin con xito de la IO

En los siguientes problemas el gobierno o empresa, ahorraron millones de dlares en la

aplicacin de la IO:

1. Programacin del horario de las rondas de policas de San Francisco.-En 1989 Taylor y

Huxley disearon un mtodo para programar el horario de las rondas de oficiales de la

Polica de San Francisco, usando un modelo de programacin lineal, la programacin

de metas y la programacin entera. El ahorro sum 11 millones de dlares anuales.

2. Reduccin de gastos de combustible en la industria de la energa elctrica.- En 1989

Chao y Cols ahorraron a 79 empresas de servicio de energa elctrica ms de 125

millones de dlares en costos de compras y de dficit, usando programacin dinmica y

simulacin.

3. Diseo de una instalacin para desmontar lingoteras en Bethlehem Steel.- En 1989

Vasko y Cols ayudaron a esta empresa siderrgica con el diseo del sistema de quitar

lingoteras a los lingotes de acero con un modelo de programacin entera ahorrando 8

millones de dlares anuales.

Pgina 5 de 137


4. Mezcla de gasolinas en Texaco.- Con programacin lineal y no lineal Dewit y Cols

disearon un modelo de mezcla para cuatro tipos de gasolina ahorrando 30 millones de

dlares al ao; aplicando anlisis de sensibilidad calcularon el efecto de cambios al

modelo.

5. Programacin del horario de los camiones para North America Van Lines.-En 1989

Powell y Cols, con modelos de redes y programacin dinmica, formularon la

asignacin de carga a chferes, reduciendo costos en 2.5 millones de dlares, con

mejor servicio.

6. Administracin del inventario a Blue Bell.-En 1985 Edwars, Wagner y Wood con

programacin lineal y modelos probabilsticos de inventario redujeron el nivel medio de

inventario de ropa deportiva y de oficina en un 31%.

7. Determinacin de carteras de bonos.- Varias personas (Chandy y Kharabe, 1986)

utilizaron la programacin lineal para mxima ganancia con restricciones de riesgo y de

la diversificacin de la cartera.

8. Planeacin de produccin en lechera.-En 1985 Sullivan y Secrest, usaron

programacin lineal con utilidad de 48000 dlares, al determinar el proceso: del suero,

la leche cruda, el suero dulce y la crema, para obtener: queso crema, requesn, crema

agria y crema de suero.

9. Reemplazo de equipo en Phillips Petroleum.- Para el reemplazo de equipo usaron

modelos (Waddell, 1983), que se estima ahorraron 90000 dlares por ao. [2]

1.2 Programacin lineal

El desarrollo de la programacin lineal ha sido clasificado como uno de los avances cientficos

ms importantes de mediados del siglo XX, y estamos de acuerdo con esta aseveracin. Su

efecto desde 1950 ha sido extraordinario. En la actualidad es una herramienta de uso normal

que ha ahorrado miles o millones de dlares a muchas compaas o negocios, incluso

empresas medianas, en los distintos pases industrializados del mundo; su aplicacin a otros

sectores de la sociedad se ha ampliado con rapidez. Una proporcin muy grande de los

programas cientficos en computadoras est dedicada al uso de la programacin lineal. Se han

escrito docenas de libros de texto sobre esta materia y se cuentan por cientos los artculos

publicados que describen aplicaciones importantes.

Cul es la naturaleza de esta notable herramienta y qu tipos de problemas puede manejar?

El lector adquirir una nocin de este tema a medida que trabaje en los ejemplos que se

presentarn ms adelante. Sin embargo, un resumen verbal puede permitirle elaborar una idea.

Expresado en forma breve, el tipo ms comn de aplicacin abarca el problema general de

asignar de la mejor manera posible es decir, de forma ptima recursos limitados a

actividades que compiten entre s por ellos. Con ms precisin, este problema consiste en

elegir el nivel de ciertas actividades que compiten por recursos escasos necesarios para

realizarlas. Despus, los niveles de actividad elegidos dictan la cantidad de recursos que

consumir cada una de ellas. La variedad de situaciones a las que se puede aplicar esta

Pgina 6 de 137


descripcin es sin duda muy grande, ya que abarca desde la asignacin de instalaciones de

produccin a los productos hasta la asignacin de los recursos nacionales a las necesidades

de un pas; desde la seleccin de una cartera de inversiones hasta la seleccin de los patrones

de envo; desde la planeacin agrcola hasta el diseo de una terapia de radiacin, etc. No

obstante, el ingrediente comn de todas estas situaciones es la necesidad de asignar recursos

a las actividades mediante la eleccin de los niveles de stas.

La programacin lineal utiliza un modelo matemtico para describir el problema. El adjetivo

lineal significa que todas las funciones matemticas del modelo deben ser funciones lineales.

En este caso, la palabra programacin no se refiere aqu a trminos computacionales, en

esencia es sinnimo de planeacin. Por lo tanto, la programacin lineal involucra la planeacin

de las actividades para obtener un resultado ptimo; esto es, el resultado que mejor alcance la

meta especificada de acuerdo con el modelo matemtico- entre todas las alternativas

factibles.

Aunque la asignacin de recursos a las actividades es la aplicacin ms frecuente, la

programacin lineal tiene muchas otras posibilidades. En realidad, cualquier problema cuyo

modelo matemtico se ajuste al formato general del modelo de programacin lineal, es un

problema de programacin lineal. (Por esta razn, los problemas de programacin lineal y sus

modelos con frecuencia son llamados slo programas lineales.) An ms, se dispone de un

procedimiento de solucin muy eficiente llamado mtodo simplex para resolver estos

problemas lineales, incluso los de gran tamao. stas son algunas razones del tremendo efecto

de la programacin lineal en las dcadas recientes. [1]

1.3 Elementos bsicos de algebra lineal

Considere el siguiente sistema de dos ecuaciones lineales con dos incgnitas y :

11 + 12 = 1

21 + 22 = 2 (1)

Donde 11, 12, 21, 22, 1 y 2 son nmeros dados. Cada una de estas ecuaciones

corresponde a una lnea recta. Una solucin al sistema (1) es un par de nmeros, denotados

por (, ), que satisface (1). Las preguntas que surgen en forma natural son: tiene este

sistema varias soluciones , de ser as, cuntas? Se respondern estas preguntas despus de

ver algunos ejemplos, en los cuales se usarn dos hechos importantes del lgebra elemental:

Hecho A Si = = , entonces + = + .

Hecho B Si = y es cualquier nmero real, entonces = .

El hecho A establece que si se suman dos ecuaciones se obtiene una tercera ecuacin

correcta. El hecho B establece que si se multiplican ambos lados de una ecuacin por una

constante se obtiene una segunda ecuacin vlida. Se debe suponer que 0 ya que aunque

la ecuacin 0 = 0 es correcta, no es muy til.

Pgina 7 de 137


Ejemplo 1

Sistema con una solucin nica

= 7

+ = 5 (2)

Si se suman las dos ecuaciones se tiene, por el hecho A, la siguiente ecuacin:2 =

12 ( , = 6). Entonces, si se despeja de la segunda ecuacin, = 5 , 5 6 =

= 1. As, el par (6, -1) satisface el sistema (2) y la forma en que se encontr la

solucin muestra que es el nico par de nmeros que lo hace. Es decir, el sistema (2) tiene una

solucin nica.

Ejemplo 2

Sistema con un nmero innito de soluciones

Considere el sistema

= 7

2 2 = 14

(3)

Se puede ver que estas dos ecuaciones son equivalentes. Esto es, cuales quiera dos nmeros,

y , que satisfacen la primera ecuacin tambin satisfacen la segunda, y viceversa. Para

comprobar esto se multiplica la primera ecuacin por 2. Esto est permitido por el hecho B.

Entonces = 7 o = 7. As, el par (, 7) es una solucin al sistema (3) para

cualquier nmero real . Es decir, el sistema (3) tiene un nmero infinito de soluciones. Para

este ejemplo, los siguientes pares son soluciones: (7, 0), (0, 27), (8, 1), (1, 26), (3, 24) y (22,

29).

Ejemplo 3

Sistema sin solucin

Considere el sistema

= 7

2 2 = 13

(4)

Pgina 8 de 137


Si se multiplica la primera ecuacin por 2 (que de nuevo est permitido por el hecho B) se

obtiene 2 2 = 14. Esto contradice la segunda ecuacin. Por lo tanto, el sistema (4) no

tiene solucin. [3]

1.3.1 Matrices y sistemas de ecuaciones lineales

La matriz ampliada M de un sistema de m ecuaciones con n incgnitas es la siguiente:

Cada fila de M corresponde a una ecuacin del sistema y cada columna a los coeficientes

de una incgnita, excepto la ltima, que corresponde a las constantes del sistema.

Un sistema de ecuaciones lineales puede resolverse trabajando con su matriz ampliada,

especficamente, reducindola a forma escalonada mediante el proceso de Gauss.

Mtodo de Gauss

Para resolver sistemas de ecuaciones lineales, se aplica el mtodo de Gauss. Este

proceso se ilustra en el siguiente ejemplo.

Ejemplo:

Sea el sistema,

su matriz ampliada asociada es

Ahora resolvemos por el mtodo de Gauss sabiendo que la primera columna corresponde

a los coeficientes de la , la segunda a los de la , la tercera a los de la y la cuarta a los

trminos independientes:

Pgina 9 de 137


De este modo, el sistema tiene la solucin nica

= 2, = 1, = 3

La resolucin de sistemas de ecuaciones lineales por matrices, aplicando el mtodo de

Gauss u otros, es una de las mltiples aplicaciones que tienen stas. [3]

1.3.2 Solucin de sistemas de ecuaciones mediante el mtodo Gauss-Jordn

El Mtodo de Gauss Jordn o tambin llamado eliminacin de Gauss Jordn, es un mtodo

por el cual pueden resolverse sistemas de ecuaciones lineales con nmeros de variables,

encontrar matrices y matrices inversas, en este caso desarrollaremos la primera aplicacin

mencionada.

Para resolver sistemas de ecuaciones lineales aplicando este mtodo, se debe en primer lugar

anotar los coeficientes de las variables del sistema de ecuaciones lineales en su notacin

matricial:

Entonces, anotando como matriz (tambin llamada matriz aumentada):

Pgina 10 de 137


Una vez hecho esto, a continuacin se procede a convertir dicha matriz en una

matriz identidad, es decir una matriz equivalente a la original, la cual es de la forma:

Esto se logra aplicando a las distintas filas y columnas de las matrices simples operaciones de

suma, resta, multiplicacin y divisin; teniendo en cuenta que una operacin se aplicara a todos

los elementos de la fila o de la columna, sea el caso.

Obsrvese que en dicha matriz identidad no aparecen los trminos independientes, esto se

debe a que cuando nuestra matriz original alcance la forma de la matriz identidad, dichos

trminos resultaran ser la solucin del sistema y verificaran la igualdad para cada una de las

variables, correspondindose de la siguiente forma:

1 =

2 =

3 =

Ahora que estn sentadas las bases, podemos explicar paso a paso la resolucin de sistemas

de ecuaciones lineales por medio de este mtodo.

Para ilustrarnos mejor lo analizaremos con un ejemplo concreto:

Sea el sistema de ecuaciones:

Procedemos al primer paso para encontrar su solucin, anotarlo en su forma matricial:

Pgina 11 de 137


Una vez hecho esto podemos empezar a operar con las distintas filas y columnas de la matriz

para transformarla en su matriz identidad, teniendo siempre en cuenta la forma de la misma:

Lo primero que debemos hacer es transformar el 2 de la 1 fila de la matriz original en el 1 de la

1 fila de la matriz identidad; para hacer esto debemos multiplicar toda la 1 fila por el inverso

de 2, es decir .

Luego debemos obtener los dos ceros de la primera columna de la matriz identidad, para lograr

esto, buscamos el opuesto de los nmeros que se ubicaron por debajo del 1 de la primera

columna, en este caso el opuesto de 3 que ser -3 y el opuesto de 5 que ser -5.

Una vez hecho esto, se proceder a multiplicar los opuestos de estos nmeros por cada uno de

los elemento de la 1 fila y estos se sumaran a los nmeros de su respectiva columna. Por ej.:

en el caso de la 2 fila, se multiplicara a -3 (opuesto de 3) por cada uno de los elementos de la

1 fila y se sumara su resultado con el nmero que le corresponda en columna de la segunda

fila. En el caso de la 3 fila se multiplicara a -5 (opuesto de 5) por cada uno de los elementos de

la 1 fila y se sumara su resultado con el nmero que le corresponda en columna de la tercera

fila.

Nuestro siguiente paso es obtener el 1 de la 2 fila de la matriz identidad, y procedemos de

igual forma que antes, es decir multiplicamos toda la fila por el inverso del nmero que

deseamos transformar en 1, en este caso -13/2, cuyo inverso es -2/13.

Pgina 12 de 137


Adems si observamos la tercera fila, nos damos cuenta que todos los elementos poseen el

mismo denominador, entonces podemos eliminarlos multiplicando todos los elementos de la 3

fila por 2 (el denominador); si bien este no es un paso necesario para el desarrollo del mtodo,

es til para facilitar clculos posteriores.

Ahora queremos obtener el 0 que se ubica en la 3 fila, 2 columna de la matriz identidad, para

hacer esto buscamos el opuesto del nmero que se ubica en la 3 fila, 2 columna de la matriz

con la cual estamos operando, en este caso -17, cuyo opuesto ser 17; lo que hacemos ahora

es multiplicar este nmero por todos los elementos de la 2 fila y sumar esos resultados con el

nmero que le corresponde en columna de la 3 fila.

A esta altura podemos observar como la matriz con la cual estamos operando empieza a

parecerse a la matriz identidad.

Nuestro siguiente paso es obtener el 1 correspondiente a la 3 fila, 3 columna de la matriz

identidad, ahora bien, aplicamos el mismo procedimiento con el que estbamos trabajando, es

decir que vamos a multiplicar toda la 3 fila por el inverso del nmero que se encuentre en la

posicin de la 3 fila, 3 columna, en este caso 96/13, cuyo inverso ser 13/96.

Luego debemos obtener los dos ceros de la tercera columna de la matriz identidad, para lograr

esto, buscamos el opuesto de los nmeros que se ubicaron por encima del 1 de la 3 columna

Pgina 13 de 137


de la matriz con la cual estamos operando, en este caso 11/13 y cuyos opuestos sern -

11/13 y -, respectivamente.

Una vez hecho esto, se proceder a multiplicar los opuestos de estos nmeros por cada uno de

los elemento de la 3 fila y estos se sumaran a los nmeros de su respectiva columna. Por ej.:

en el caso de la 2 fila, se multiplicara a - 11/13 (opuesto de 11/13) por cada uno de los

elementos de la 3 fila y se sumaran sus resultados con el nmero que le corresponda en

columna de la segunda fila. En el caso de la 1 fila se multiplicara a - (opuesto de ) por cada

uno de los elementos de la 3 fila y se sumaran sus resultados con el nmero que le

corresponda en columna de la primera fila.

El ltimo paso que debemos realizar es obtener el 0 de la 1 columna, 2 fila de la matriz

identidad, para hacer esto buscamos el opuesto del nmero que se ubica en la 1 columna, 2

fila de la matriz con la que estamos operando, en este caso es 3/2, cuyo opuesto ser - 3/2, lo

que hacemos ahora es multiplicar este nmero por todos los elementos de la 2 fila y sumar

esos resultados con el nmero que le corresponde en columna de la 1 fila.

Como podemos observar hemos llegado al modelo de la matriz identidad que buscbamos, y

en la cuarta columna hemos obtenido los valores de las variables, correspondindose de este

modo:

= 1

= 1

= 2

Luego, el sistema de ecuaciones est resuelto y por ltimo lo verificamos.

2 + 3 + = 1 , 3 2 4 = 3, 5 = 4

2(1) + 3(1) + 2 = 1 , 3(1) 2(1) 4(2) = 3, 5(1) (1) 2 = 4

Pgina 14 de 137


2 3 + 2 = 1 , 3 + 2 8 = 3 , 5 + 1 2 = 4

1 = 1 , 3 = 3 , 4 = 4. [4]

1.4 Resolucin de problemas mediante programas de cmputo

Una parte primordial de este libro es la presentacin de los algoritmos procedimientos

iterativos de solucin ms importantes de la IO para resolver cierto tipo de problemas.

Algunos de estos algoritmos son excepcionalmente eficientes y casi siempre son utilizados

para solucionar problemas que incluyen cientos o miles de variables. Adems, se presenta una

introduccin acerca de cmo funcionan y qu los hace tan eficientes. Ms adelante, estos

algoritmos sern utilizados para resolver diversos problemas en una computadora. El CD-ROM

llamado OR Courseware es la herramienta para hacerlo.

Una caracterstica especial del OR Courseware es el programa llamado OR Tutor cuyo objetivo

es ser una gua personal para ayudar en el aprendizaje de los algoritmos. Este programa

contiene muchos ejemplos de demostracin en los que despliegan y explican los algoritmos en

accin.

Adems, el OR Courseware incluye un paquete especial llamado Interactive Operations

Research Tutorial, o IOR Tutorial. Este paquete innovador fue implementado en Java. El IOR

Tutorial incluye muchas rutinas interactivas para ejecutar los algoritmos de manera dinmica y

en un formato conveniente. La computadora realiza todos los clculos de rutina mientras el

estudiante centra su atencin en aprender y ejecutar la lgica del algoritmo. Estas rutinas

interactivas son una manera eficiente e ilustrativa para resolver muchos de los problemas de

tarea. El IOR Tutorial tambin incluye otras herramientas tiles, como algunos procedimientos

automticos para ejecutar algoritmos y varios otros que ofrecen un despliegue grfico de la

forma en que la solucin proporcionada por un algoritmo vara a medida que cambian los datos

del problema.

En la prctica, los algoritmos son ejecutados en paquetes de software comercial; por ello, es

importante familiarizar al estudiante con la naturaleza de los programas que utilizar en la vida

profesional. El OR Courseware incluye una gran cantidad de material para introducir los tres

paquetes de mayor uso. Juntos, estos paquetes permiten resolver con gran eficiencia casi

todos los modelos de IO. Adems, se agregan ciertas rutinas automticas propias del OR

Courseware slo para algunos casos en los que estos paquetes no son aplicables.

En la actualidad, es comn el uso del paquete de hojas de clculo lder, Microsoft Excel, para

elaborar pequeos modelos de IO en este formato. Despus, se utiliza el Excel Solver para

resolver los modelos en ocasiones, en una versin mejorada, como el Premium Solver for

Education incluido en el OR Courseware. El OR Courseware incluye un archivo de Excel

autnomo para casi cada captulo del libro. Cada vez que se presenta un ejemplo que pueda

ser resuelto con Excel, se proporciona la formulacin completa en una hoja de clculo y se da

la solucin en el archivo de Excel de este captulo. En el caso de muchos modelos que

aparecen en el libro, se dispone de una plantilla de Excel que incluye las ecuaciones

necesarias para resolver el modelo.

Pgina 15 de 137


Despus de muchos aos, LINDO y su lenguaje de modelado LINGO an es uno de los

programas de software ms populares para resolver modelos de investigacin de operaciones.

Actualmente, es posible bajar gratis de Internet las versiones para estudiante, pero tambin fue

incluido en el OR Courseware. En cuanto a Excel, cada vez que un ejemplo pueda ser resuelto

con este paquete, se darn todos los detalles en un archivo de LINGO/LINDO para ese captulo

en el OR Courseware.

CPLEX es un software muy usado para resolver problemas grandes que son un reto en

investigacin de operaciones. Cuando se enfrentan tales problemas, tambin es comn usar

un sistema de modelado para elaborar el modelo matemtico de manera eficiente e introducirlo

en la computadora. MPL es un sistema de modelado amigable que utiliza CPLEX para resolver

los modelos. Tambin existen versiones de estos paquetes para estudiantes que pueden

obtenerse de manera gratuita en Internet. [1]

Ejercicios: Unidad 1

Tema: Antecedentes de la Investigacin de Operaciones

Ejercicio 1. Investigar y elaborar una lnea del tiempo con las fechas y acontecimientos ms

importantes de la Investigacin de Operaciones. Para saber cmo elaborar una lnea del tiempo

realiza la siguiente lectura en http://www.historiap9.unam.mx/documentos/4.pdf

Tambin se pueden consultar los siguientes videos:

Video 1: Lnea de tiempo con PowerPoint Duracin: 9 min.

http://www.youtube.com/watch?v=mSJZMSXmbtQ

Videos 2 y 3: Creacin de Lnea de tiempo en Time Rime

http://www.youtube.com/watch?v=lKQ6w7vXtts Duracin: 5 min.

http://www.youtube.com/watch?v=trNR1WWs6LQ Duracin: 9:30 min.

Ejemplo de lnea del tiempo.

Pgina 16 de 137


Tema: Fundamentos de la Investigacin de Operaciones

Ejercicio 2. Elaborar una tabla con la terminologa bsica del rea de investigacin de

operaciones.

a) Investigar las siguientes definiciones:

Investigacin

Operaciones

Investigacin de Operaciones

Linealidad

Solucin

Solucin ptima

Solucin no factible

Solucin factible

Regin factible

Valor ms favorable

Soluciones ptimas mltiples

Solucin factible en un vrtice (FEV)

Solucin aumentada

Optimizacin

Modelo

Modelo matemtico

Programacin Lineal

b) Proporcione tres ejemplos de situaciones en las cuales se presente el concepto de

linealidad.

Pgina 17 de 137


Ejercicio 3. Elaborar un mapa mental o un mapa conceptual del tema: Naturaleza de la

Investigacin de Operaciones.

Lecturas recomendadas:

Blog http://opris-masbeg.blogspot.mx/2008/06/nature-of-operations-research.html

Fuller J., Mansour A. (2003) Operations management and operations research: a historical

and relational perspective. Journal of Management History.

http://www.emeraldinsight.com/journals.htm?articleid=865411&show=abstract

Para saber cmo elaborar un mapa mental o mapa conceptual realiza la siguiente lectura

http://gamorenorod.files.wordpress.com/2012/05/mapas_conceptuales.pdf

o revisa los siguientes videos:

Video 4: Como elaborar un mapa mental (Arte y Creatividad) LDCFD Duracin: 10:22 min.

http://www.youtube.com/watch?v=-qCMqfLwTVA

Video 5: Mapas Conceptuales CmapTools Duracin: 11:29 min.

http://www.youtube.com/watch?v=ZaTUtL_gmrY

Video 6: Software gratuito para crear Mapas Mentales y Conceptuales

http://www.smartdraw.com/specials/mapas-mentales.htm

Video 7: Tutorial SmartDraw 2010 Duracin: 11 min.

http://www.youtube.com/watch?v=2jzo-EKmvEM

Video 8: Smart Draw Floor plan part 1 of 2 Duracin: 9:45 min.

http://www.youtube.com/watch?v=0_V9l3tOH-0

Tema: Fases del Estudio de Investigacin de Operaciones

Ejercicio 4. Explicar las fases de estudio de IO. Use un ejemplo.

Tema: Principales Aplicaciones de la Investigacin de Operaciones

Ejercicio 5. Elaborar un resumen de 2 cuartillas.

Lecturas recomendadas:

Gazmuri Schleyer P. (2001). Hacia un uso efectivo de la Investigacin de Operaciones

en Chile: diagnstico y proposiciones.

http://www.dii.uchile.cl/ris/articulos/art_gazmuri.pdf

Keefer D., Kirkwood C., Corner J. (2002). Summary of Decision Analysis Applications in

the Operations Research Literature, 1990- 2001

http://www.datanubes.com/mediac/ORSynopsis.pdf

Board, J., Sutcliffe y W. T. Ziemba. (1999). Applying Operations Research Techniques

to Financial Markets, en Interfaces, 33(2): 12-24, marzo-abril, 2003.

http://edoc.hu-berlin.de/series/speps/1999-6/PDF/6.pdf

Pgina 18 de 137


Kumar A., Chawla J., Goyal N. (2012). Role of operations research applications in

financial markets. A literature review. Proceedings of the National Conference on Trends

and Advances in Mechanical Engineering, YMCA University of Science & Technology,

Faridabad, Haryana, Oct 19-20, 2012.

http://ymcaust.ac.in/tame2012/cd/industrial/IE-41.pdf

1.1 Formulacin Problemas Lineales

Ejercicio 6. Elaborar en su cuaderno de trabajo el Modelo de programacin lineal en la forma

estndar.

Ejercicio 7. Explicar los siguientes trminos utilizados en la estructura del modelo bsico de

PL.

Variables de decisin

Funcin objetivo

Restricciones

Ejercicio 8. Explicar cada uno de los supuestos de programacin lineal. Usar grficas para

fortalecer la explicacin.

Ejercicio 9. Identifique las restricciones y la funcin objetivo de:

a) El metabolismo humano.

b) El sistema elctrico de una casa habitacin.

c) Un cine con diez salas de exhibicin.

d) El sistema de transporte urbano de una ciudad.

Pgina 19 de 137


UNIDAD 2. FORMULACIN DE PROBLEMAS DE PROGRAMACIN

LINEAL

Competencia

Conocer, comprender y aplicar la metodologa de programacin lineal en la construccin de

modelos matemticos para resolver problemas de aplicacin en el campo del ingeniero

industrial.

2.1 Funcin objetivo y restricciones

La funcin objetivo es la ecuacin que ser optimizada dadas las limitaciones o restricciones

determinadas y con variables que necesitan ser minimizadas o maximizadas usando tcnicas

de programacin lineal o no lineal. Una funcin objetivo puede ser el resultado de un intento de

expresar un objetivo de negocio en trminos matemticos para su uso en el anlisis de toma de

decisiones, operaciones, estudios de investigacin o de optimizacin.

La funcin objetivo puede ser:

! =

=

o

! =

=

Dnde:

= .

Las restricciones pueden ser de la forma:

1: = ,

=

2: ,

=

3: ,

=

Pgina 20 de 137


Dnde:

= ;

= ;

= ;

= , 1 ( );

, = ;

= , 1 ;

= , 1 .

En general no hay restricciones en cuanto a los valores de N y M. Puede ser N = M; N > M;

, N < M.

Sin embargo si las restricciones del Tipo 1 son N, el problema puede ser determinado, y puede

no tener sentido una optimizacin.

Los tres tipos de restricciones pueden darse simultneamente en el mismo problema. [5]

2.2 Planteamiento de problemas de dos variables

Ejemplo:

La empresa WYNDOR GLASS CO. produce artculos de vidrio de alta calidad, entre ellos

ventanas y puertas de vidrio. Tienen 3 plantas. Los marcos y molduras de aluminio se hacen en

la planta 1, los de madera en la 2; la 3 produce el vidrio y ensambla los productos.

Debido a una reduccin de las ganancias, la alta administracin ha decidido reorganizar la lnea

de produccin de la compaa. Se descontinuaran varios productos no rentables y se dejar

libre una parte de la capacidad de produccin para emprender la fabricacin de dos productos

nuevos que tienen ventas potenciales grandes:

Producto 1: una puerta de vidrio de 8 pies con marco de aluminio.

Producto 2: una ventana corrediza con marco de madera de 4 pies por 6.

El producto 1 requiere parte de la capacidad de produccin de plantas 1 y 3 y nada de la planta

2. El producto 2 solo necesita trabajo en las plantas 2 y 3. La divisin de comercializacin ha

concluido que la compaa puede vender todos los productos que se puedan fabricar en las

plantas. Sin embargo, como ambos productos competiran por la misma capacidad de

produccin en la planta 3, no est claro que mezcla de productos ser la ms rentable. Por lo

tanto, se ha formado un equipo de IO para estudiar este problema.

Pgina 21 de 137


El grupo comenz por realizar juntas con la alta administracin para identificar los objetivos del

estudio y desarrollaron la siguiente definicin del problema:

Determinar qu tasas de produccin deben tener los dos productos con el fin de maximizar las

utilidades totales, sujetas a las restricciones impuestas por las capacidades de produccin

limitadas disponibles en las tres plantas. (Cada producto se fabricara en lotes de 20 unidades,

de manera que la tasa de produccin est definida como el nmero de lotes que se producen a

la semana). Se permite cualquier combinacin de tasas de produccin que satisfaga estas

restricciones, incluso no fabricar uno de los productos y elaborar todo lo que sea posible del

otro.

El equipo de IO tambin identific los datos que necesitaba reunir:

1. Nmero de horas de produccin disponibles por semana en cada planta para estos

nuevos productos. (Casi todo el tiempo de estas plantas estn comprometido con

los productos actuales, lo que limita la capacidad para manufacturar nuevos

productos).

2. Nmero de horas de fabricacin que emplea cada lote producido de cada artculo

nuevo en cada una de las plantas.

3. La ganancia por lote de cada producto nuevo. (Se escogi la ganancia por lote

producido como una medida adecuada una vez que el equipo lleg a la conclusin

de que la ganancia incremental de cada lote adicional producido sera, en esencia,

constante, sin importar el nmero total de lotes producidos. Debido a que no se

incurre en costos sustanciales para iniciar la produccin y la comercializacin de

estos nuevos productos, la ganancia total de cada uno es aproximadamente la

ganancia por lote producido multiplicada por el nmero de lotes.)

La obtencin de estimaciones razonables de estas cantidades requiri del personal clave en

varias unidades de la compaa. El personal de la divisin de manufactura proporcion los

datos de la primera categora mencionada. El desarrollo de estimaciones para la segunda

categora requiri un anlisis de ingenieros de manufactura involucrados en el diseo de los

procesos de produccin para los nuevos artculos. Al analizar los datos de costos obtenidos por

estos ingenieros, junto con la decisin sobre los precios de la divisin de mercadotecnia, el

departamento de contabilidad calculo las estimaciones para la tercera categora.

La tabla 2.1 resume los datos obtenidos.

De inmediato, el equipo de IO reconoci que se trataba de un problema de programacin lineal

del tipo clsico de mezcla de productos y procedi a la formulacin del modelo matemtico

correspondiente.

Pgina 22 de 137


Formulacin como un problema de programacin lineal.

Para formular el modelo matemtico de programacin lineal para este problema, se define:

1 = 1

2 = 2

= ( )

Tabla 2.1. Datos del problema de la Wyndor Glass Co.

Planta

Tiempo de produccin por lote, horas

Tiempo de produccin disponible a la semana,

horas

Producto 1 2

1 1 0 4 2 0 2 12 3 3 2 18

Ganancia por lote $ 3,000 $ 5,000

Por lo tanto, 1 y 2 son las variables de decisin del modelo. Si se usa el ltimo rengln de la

tabla, se obtiene:

= 31 + 52

El objetivo es elegir los valores de 1 y 2 que maximicen = 31 + 52, sujeta a las

restricciones impuestas sobre sus valores por las capacidades de produccin limitadas

disponibles en las tres plantas. La tabla 2.1 indica que cada lote del producto 1 que se produce

por semana emplea 1 hora de produccin en la planta 1, y slo se dispone de 4 horas

semanales. Matemticamente, esta restriccin se expresa mediante la desigualdad 1 4. De

igual manera, la planta 2 impone la restriccin 22 12. El nmero de horas de produccin

usadas en la semana en la planta 3 que se consume al elegir 1 y 2 como las tasas de

elaboracin de los nuevos productos sera 31 + 22. Entonces la expresin matemtica de la

planta 3 es 31 + 22 18. Por ltimo, como las tasas de produccin no pueden ser

negativas, es necesario restringir las variables de decisin a valores no negativos: 1 0 y

2 0.

Pgina 23 de 137


Para resumir, en el lenguaje matemtico de programacin lineal, el problema consiste en

seleccionar valores de 1 y 2 para

: 31 + 22,

sujeto a las restricciones

1 4

22 12

31 + 22 18

y

1 0, 2 0.

(Obsrvese como la informacin de la tabla 2.1 en esencia se duplica en la distribucin de los

coeficientes de 1 y 2 en el modelo de programacin lineal).

2.2.1 Solucin grafica

Este pequeo problema solo tiene dos variables de decisin, esto es, solo dos dimensiones, as

que se puede usar un procedimiento grafico para resolverlo. Este procedimiento incluye la

construccin de una grfica de dos dimensiones 1 y 2 en los ejes. El primer paso es

identificar los valores (1, 2) permitidos por las restricciones. Este objetivo se logra dibujando

cada una de las rectas que limitan los valores permitidos por una restriccin. Para comenzar,

ntese que las restricciones de no negatividad 1 0 y 2 0 exigen que el punto (1, 2)

se encuentre en el lado positivo de los ejes (incluso sobre cualquiera de los dos ejes), es decir,

en el primer cuadrante. Despus, debe observarse que la restriccin 1 4 significa que

(1, 2) no puede estar a la derecha de la recta 1 = 4. Estos resultados se muestran en la

figura 2.1, en la que el rea sombreada contiene los nicos valores de (1, 2) permitidos.

Figura 2.1. El rea sombrada muestra los valores de (1, 2), permitidos por 1 0 , 2 0 , 1 4

Pgina 24 de 137


De manera parecida, la restriccin 22 12 (o de modo equivalente, 2 6) implica que la

recta 22 = 12 debe agregarse a la frontera de la regin permisible. La ltima restriccin,

31 + 22 18 ,se encuentra al graficar los puntos (1, 2) tales que 31 + 22 = 18 (otra

recta) para completar la frontera. (Obsrvese que los puntos que cumplen 31 + 22 18

son aquellos que estn sobre o por debajo de la recta 31 + 22 = 18, por lo que sta es la

recta que limita, y ms all de ella, la desigualdad no se satisface.) En la figura 2.2 se muestra

la regin de valores permisibles de (1, 2), llamada regin factible.

Figura 2.2 El rea sombreada muestra los valores permitidos

de (1, 2), llamada la regin factible.

El paso final es seleccionar, dentro de esta regin factible, el punto que maximiza el valor de

= 31 + 52. Para descubrir cmo realizar este paso de manera eficiente se pueden

intentar algunos valores por prueba y error. Por ejemplo, probar, = 10 = 31 + 52 para

ver si existe algn valor de (1, 2) dentro de la regin permisible que d un valor de 10 para Z.

Si se dibuja la recta 31 + 52 = 10 se puede ver que existen muchos puntos sobre esta recta

que estn dentro de la regin (vase la figura 2.3). Como al intentar este valor arbitrario de

= 10, se tiene una mejor perspectiva, debe intentarse ahora un valor arbitrario ms grande,

por ejemplo = 20 = 31 + 52. De nuevo, la figura 2.3 revela que un segmento de la recta

31 + 52 = 20 se encuentra dentro de la regin, de manera que el mximo valor permisible

de Z debe ser, por lo menos, 20. [1]

Figura 2.3. El valor de (1, 2), que maximiza

31 + 52 es (2,6).

Pgina 25 de 137


2.2.2 Regin factible, puntos extremos y solucin ptima

Puede ser que el lector est acostumbrado a que el trmino solucin signifique la respuesta

final a un problema, pero en programacin lineal (y sus extensiones) la convencin es bastante

distinta. Ahora, cualquier conjunto de valores especficos de las variables de decisin

1, 2, , ) se llama una solucin, aunque sea slo una posibilidad deseable o ni siquiera

permitida. Despus se identifican los tipos de soluciones mediante el empleo de un adjetivo

apropiado.

Una solucin factible es aquella para la que todas las restricciones se satisfacen.

Una solucin no factible es una solucin para la que al menos una restriccin se viola.

En el ejemplo, los puntos (2, 3) y (4, 1) de la figura 2 son soluciones factibles, mientras que (1,

3) y (4, 4) son soluciones no factibles.

La regin factible es la reunin de todas las soluciones factibles.

En el ejemplo, la regin factible es toda el rea sombreada de la figura 2.

Es posible que un problema no tenga soluciones factibles. Esto habra ocurrido si se hubiera

requerido que los nuevos productos tuvieran un rendimiento neto de 50 mil dlares semanales

por lo menos, para justificar la interrupcin de la fabricacin de la lnea actual. La restriccin

correspondiente, 31 + 52 50, hubiera eliminado por completo la regin factible, con lo que

ninguna mezcla de nuevos productos sera superior a la situacin actual. Este caso se ilustra

en la figura 2.4.

Figura 2.4. El problema de la

Wyndor Glass Co. no tendra

soluciones ptimas si se le

agregara la restriccin 31 +

52 50

Pgina 26 de 137


Dado que existen soluciones factibles, la meta de la programacin lineal es encontrar una

solucin factible que sea la mejor, medida por el valor de la funcin objetivo en el modelo.

Una solucin ptima es una solucin factible que proporciona el valor ms favorable de la

funcin objetivo.

El valor ms favorable significa el valor ms grande si la funcin objetivo debe maximizarse, o

el valor ms pequeo si la funcin objetivo debe minimizarse. La mayor parte de los problemas

tendr nada ms una solucin ptima. Sin embargo, tambin es posible tener ms de una. Esto

ocurrira en el ejemplo si la ganancia por lote producido del producto 2 se cambiara a 2 mil

dlares. Este hecho cambiara la funcin objetivo a = 31 + 22 de manera que todos los

puntos sobre el segmento de recta que va de (2, 6) a (4, 3) seran soluciones ptimas, situacin

que se ilustra en la figura 2.5. Igual que en este caso, cualquier problema que tenga soluciones

ptimas mltiples tendr un nmero infinito de ellas, todas con el mismo valor de la funcin

objetivo.

Figura 2.5. El problema de

la Wyndor Glass Co.

tendra soluciones ptimas

si la funcin objetivo se

cambiara a = 31 +

22

Otra posibilidad es que el problema no tenga soluciones ptimas, lo cual ocurre slo si: 1) no

tiene soluciones factibles, o 2) las restricciones no impiden que el valor de la funcin objetivo

() mejore indefinidamente en la direccin favorable (positiva o negativa). Este caso se conoce

como un problema con no acotada u objetivo no acotado. El ltimo caso sera cierto si, por

error, en el ejemplo se omitieran las ltimas dos restricciones funcionales del modelo, lo cual se

ilustra en la figura 2.6.

Pgina 27 de 137


Figura 2.6. El problema de la

Wyndor Glass Co. no tendra

soluciones ptimas si la nica

restriccin funcional fuera 1 4,

puesto que 2 podra aumentar de

modo indefinido en la regin factible

sin llegar a un valor mximo.

Ahora se introducir un tipo especial de soluciones factibles que tiene un papel importante

cuando el mtodo simplex trata de encontrar una solucin ptima.

Una solucin factible en un vrtice (FEV) o puntos extremos es una solucin que se

encuentra en una esquina de la regin factible.

La figura 2.7 pone de relieve cinco soluciones factibles en los vrtices del ejemplo.

Figura 2.7. Los puntos indican las cinco soluciones FEV

para el problema de la Wyndor Glass Co.

Relacin entre las soluciones ptimas y las soluciones FEV: Considrese cualquier

problema de programacin lineal con soluciones factibles y una regin factible acotada. El

problema debe poseer soluciones FEV y al menos una solucin ptima. Adems, la mejor

Pgina 28 de 137


solucin FEV debe ser una solucin ptima. Entonces, si un problema tiene exactamente una

solucin ptima, sta debe ser una solucin FEV. Si el problema tiene mltiples soluciones

ptimas, al menos dos deben ser soluciones FEV.

El ejemplo tiene exactamente una solucin ptima,(1, 2) = (2, 6), que es FEV. (Considrese

la forma como el mtodo grfico que conduce a la solucin ptima que es FEV.) Cuando se

modifica el ejemplo para que tenga soluciones ptimas mltiples, como se muestra en la figura

7, dos de estas soluciones ptimas (2, 6) y (4, 3) son soluciones factibles en los

vrtices. [1]

2.3 Formulacin de problemas relacionados con la prctica de la Ingeniera

Industrial

El ingeniero industrial en su quehacer cientfico y empresarial utiliza mtodos cientficos y

modelos matemticos de investigacin de operaciones para tomar decisiones gerenciales con

el fin de hacer un uso eficiente de los recursos y con ello mejorar no slo los indicadores de

rentabilidad sino tambin la utilidad de los productos y servicios y el bienestar social. Estas

podran ser algunas aplicaciones de la Investigacin de operaciones en el campo de

competencias del ingeniero industrial: programacin de la produccin y de los requerimientos

de materiales, balance de lneas, programacin de transporte, localizacin de facilidades,

programacin de horarios y seleccin y programacin de proyectos. Cabe destacar la vigencia

de la optimizacin en programacin lineal y entera para la resolucin de problemas de las

reas antes mencionadas.

El profesional de la ingeniera industrial dispone de tcnicas de investigacin de operaciones

relacionadas con el diseo, mejora, eficiencia y optimizacin de todos los recursos de la

organizacin. Muchas de las tcnicas utilizan modelos matemticos que representan la parte

del proceso productivo o de negocios que se desean mejorar (Ley, 2000).

La investigacin tiene por objetivo mostrar el uso de la investigacin de operaciones en

Ingeniera Industrial, y especficamente en el desarrollo de modelos de optimizacin.

La optimizacin consiste en la seleccin de una alternativa mejor en relacin con las dems

alternativas posibles y permite tomar decisiones adecuadas para el problema

planteado (Castillo et al., 2002).

La programacin lineal (PL) forma parte de la programacin matemtica y es una tcnica de

optimizacin para tratar problemas de asignacin de recursos escasos entre actividades que

compiten, y trata exclusivamente con funciones objetivos y restricciones lineales. Sin

embargo, no todos los problemas de asignacin de recursos limitados se pueden formular de

esta manera. Cuando no se cumplen algunas de las suposiciones de programacin lineal, en

algunos casos se puede aplicar otro tipo de modelos matemticos como la programacin

entera (pura o mixta) o la programacin no lineal (Hillier y Lieberman, 2002).

La prctica profesional de los ingenieros industriales se centra en el diseo y administracin de

procesos productivos: el rea operativa como soporte de la produccin, la solucin de

problemas en lnea, el control de la calidad, as como la optimizacin de sistemas y procesos

Pgina 29 de 137


en cuanto a costos, recursos, equipos y materiales, la estandarizacin de procedimientos, la

creacin de grupos y clulas de trabajo, entre otros aspectos.

Cabe destacar que, estos ingenieros y otros profesionales en las organizaciones muchas veces

necesitan tomar decisiones gerenciales en conjunto, no slo acerca de la planificacin y

programacin de la produccin de bienes y el balance de lneas, sino tambin de las

cantidades de los recursos a utilizar (materiales, insumos, personal, capital, otros), el

transporte de los materiales y productos, la localizacin de facilidades, el

almacenamiento, la distribucin, entre otros; con el fin de minimizar el costo total de la cadena

de suministro y con ello el costo de los productos, para lo cual los modelos de optimizacin se

presentan como herramientas adecuadas para tal fin. [7]

2.3.1 Ejemplos de aplicaciones de IO en la ingeniera industrial

1. Planificacin integrada de produccin y Distribucin para un conglomerado

industrial

Este artculo presenta la modelacin matemtica de la cadena de abastecimiento de un

conglomerado, entendido como la asociacin de empresas que toman una estructura comn,

para la industria siderrgica semiintegrada en Colombia, con el objeto de brindar una

herramienta de soporte a la decisin buscando la minimizacin de costos logsticos de

produccin y distribucin de productos intermedios y finales de esta industria, el modelo

matemtico contempla: proveedores de materia prima, plantas manufactureras, centros de

distribucin, ventas locales e importaciones. Los costos relacionados, son los de materia prima,

transporte e inventarios, distribucin y administrativos. Las restricciones que se consideran en

el modelo son: capacidad de proveedores y plantas manufactureras, satisfaccin de la

demanda, ecuaciones de balance y restricciones de configuracin del sistema. El modelo se

valid en una empresa colombiana presentando resultados satisfactorios. La bsqueda de la

estrategia ptima se estableci con el apoyo del software General Algebraic Modeling System-

GAMS por medio del solver CPLEX.

Modelo de optimizacin

El modelo matemtico elaborado es un modelo determinstico de programacin lineal que

aborda la problemtica de la distribucin fsica de los diferentes productos intermedios y finales

en la industria siderrgica semi-integrada en Colombia. El modelo busca apoyar los procesos

encaminados a la minimizacin de costos logsticos de transporte y produccin, brindando

directrices que soporten la toma de decisiones a travs de la cadena de abastecimiento a

mediano plazo. [8]

2. Optimizacin del proceso logstico en una empresa de colombiana de alimento

congelado y refrigerado

La empresa en mencin fabrica aproximadamente doscientas referencias entre productos

refrigerados (bebidas lcteas y jugos) y congelados (helados en diversas presentaciones)

agrupados en trece productos principales. Los productos son enviados desde dos plantas hacia

once centros de distribucin, donde a su vez se distribuyen a los minoristas. Cada centro de

distribucin debe satisfacer la demanda mensual de los trece productos. La demanda mensual

fue calculada como el promedio de los datos histricos de ventas y no se consider ninguna

Pgina 30 de 137


tendencia o estacionalidad. El medio de transporte para la distribucin de los productos son

camiones tipo tractomula y doble troque con refrigeracin.

En la actualidad la empresa cuenta con su propia flota de camiones pero est considerando

dejar esta operacin a terceros.

La empresa debe enviar sus productos usando dos tipos de embalajes: cajas de cartn y

canastas. Las cajas de cartn preservan mejor el producto y son ms fciles de manipular y

empacar; las canastas son reutilizables pero es necesario transportarlas de vuelta, rastrearlas y

desinfectarlas. Los anlisis de costos tradicionales hechos por la empresa favorecen el uso de

las canastas, pero el Departamento de Logstica de la empresa sospecha que los costos de

administrar las canastas pueden superar los costos de las cajas de cartn.

El problema desarrollado consiste en minimizar los costos logsticos de transporte y distribucin

sujeto a restricciones de capacidad, tipos de empaque y satisfaccin de demanda. Para ello se

requiere una herramienta que brinde informacin detallada sobre cada uno de los costos y que

a su vez provea la combinacin (mezcla) ptima de embalajes para cada producto y tipo de

transporte. El modelo propuesto incorpora, entre otros, la capacidad de produccin de las

plantas, los tiempos de envo y retorno de los medios de transporte entre plantas y los centros

de distribucin, la disponibilidad de canastas y la capacidad de los camiones. Adems de

encontrar la solucin ptima, con este modelo se pueden analizar fcilmente escenarios tales

como incrementos o disminucin en los costos de transporte y de los embalajes. [9]

2.3.2 Formulacin de un modelo matemtico

Una vez que el tomador de decisiones define el problema, la siguiente etapa consiste en

reformularlo de manera conveniente para su anlisis. La forma convencional en que la IO logra

este objetivo es mediante la construccin de un modelo matemtico que representa la esencia

del problema. Antes de analizar cmo se elaboran los modelos de este tipo se explorara su

naturaleza general y, en particular, la de los modelos matemticos.

Los modelos matemticos tambin son representaciones idealizadas, pero estn expresados

en trminos de smbolos y expresiones matemticas. Las leyes de la fsica = y = 2,

son ejemplos familiares. En forma parecida, el modelo matemtico de un problema industrial

est conformado por un sistema de ecuaciones y expresiones matemticas relacionadas que

describen la esencia del problema. De esta forma, si deben tomarse decisiones cuantificables

relacionadas entres si, se representan como variables de decisin (1, 2, , ) para las que

se deben determinar los valores respectivos. En consecuencia la medida de desempeo

adecuada (por ejemplo, la ganancia) se expresa como una funcin matemtica de estas

variables de decisin (por ejemplo, = 31 + 22 + + 5 ). Esta funcin se llama funcin

objetivo. Tambin se expresan en trminos matemticos todas las limitaciones que se puedan

imponer sobre los valores de la variables de decisin, casi siempre en forma de ecuaciones o

desigualdades (como 1 + 312 + 22 10). Con frecuencia, tales expresiones matemticas

de las limitaciones reciben el nombre de restricciones. Las constantes (los coeficientes o el lado

derecho de las expresiones) de las restricciones y de la funcin objetivo se llaman parmetros

del modelo. El modelo matemtico puede decir entonces que el problema es elegir los valores

Pgina 31 de 137


de las variables de decisin de manera que se maximice la funcin objetivo, sujeta a las

restricciones dadas. [10]

2.3.4 Modelo de programacin lineal

Modelo en el que las funciones matemticas que aparecen tanto en la funcin objetivo como en

las restricciones son funciones lineales. La palabra programacin no se refiere aqu a trminos

computacionales; en esencia es sinnimo de planeacin; por lo tanto, la programacin lineal

involucra la planeacin de actividades para obtener un resultado ptimo.

El tipo ms usual de aplicacin de programacin lineal involucra la asignacin de recursos a

ciertas actividades. La cantidad disponible de cada recurso es limitada, de forma que debe

asignarse con todo cuidado. La determinacin de esta asignacin implica elegir los niveles de

las actividades que lograrn el mejor valor posible de la medida global de desempeo.

Ciertos smbolos se usan de manera convencional para denotar los diversos componentes de

un modelo de programacin lineal. Estos smbolos se enumeran a continuacin, junto con su

interpretacin para el problema general de asignacin de recursos a actividades.

= valor de la medida global de desempeo.

= nivel de la actividad j (para j =1, 2,. . ., n).

= incremento en Z que se obtiene al aumentar una unidad en el nivel de la actividad j.

=cantidad de recurso i disponible para asignarse a las actividades (para i = 1, 2,. . ., m).

= cantidad del recurso i consumido por cada unidad de la actividad j.

El modelo plantea el problema en trminos de tomar decisiones sobre los niveles de las

actividades, por lo que 1, 2, , se llaman variables de decisin, los valores de , y

(para = 1,2, , = 1,2, , ) son las constantes de entrada al modelo. Las , y

tambin se conocen como parmetros del modelo

Una forma estndar del modelo

Este modelo consiste en elegir valores de 1, 2, para

Maximizar = 11 + 22 + ,

Sujeta a las restricciones

111 + 122 + 1 1

211 + 222 + 2 2

.

.

.

11 + 22 + ,

Y

1 0, 2 0, , 0.

sta es llamada nuestra forma estndar del problema de programacin lineal. Cualquier

situacin cuya formulacin matemtica se ajuste a este modelo es un problema de

programacin lineal. [10]

Pgina 32 de 137


2.3.5 Supuestos de PL

Supuesto de proporcionalidad: La contribucin de cada actividad al valor de la funcin

objetivo Z es proporcional al nivel de la actividad , como lo representa el trmino en la

funcin objetivo. De manera similar, la contribucin de cada actividad al lado izquierdo de cada

restriccin funcional es proporcional al nivel de la actividad , como lo representa en la

restriccin el trmino . En consecuencia, este supuesto elimina cualquier exponente

diferente de 1 para las variables en cualquier trmino de las funciones ya sea la funcin

objetivo o la funcin en el lado izquierdo de las restricciones funcionales en un modelo de

programacin lineal.

Tabla 2.2: ejemplos de proporcionalidad satisfecha o violada.

Figura 2.8:

Figura: 2.9

Pgina 33 de 137


Figura 2.10.

Supuesto de aditividad: Cada funcin de un modelo de programacin lineal (ya sea la funcin

objetivo o el lado izquierdo de las restricciones funcionales) es la suma de las contribuciones

individuales de las actividades respectivas.

Tabla 2.3: Ejemplos que satisfacen o violan la aditividad de la funcin objetivo.

Supuesto de divisibilidad: En un modelo de programacin lineal, las variables de decisin

pueden tomar cualquier valor, incluso valores no enteros, que satisfagan las restricciones

funcionales y de no negatividad. En consecuencia, estas variables no estn restringidas a slo

valores enteros. Como cada variable de decisin representa el nivel de alguna actividad, se

supondr que las actividades se pueden realizar a niveles fraccionales.

Supuesto de certidumbre: Se supone que los valores asignados a cada parmetro de un

modelo de programacin lineal son constantes conocidas. [1]

Pgina 34 de 137


Ejercicios Unidad 2.

Tema: Formulacin Problemas Lineales

Ejercicio 1. Elaborar en su cuaderno de trabajo el Modelo de programacin lineal en la forma

estndar.

Ejercicio 2. Explicar los siguientes trminos utilizados en la estructura del modelo bsico de

PL.

Variables de decisin

Funcin objetivo

Restricciones

Ejercicio 3. Explicar cada uno de los supuestos de programacin lineal. Usar grficas para

fortalecer la explicacin.

Ejercicio 4. Identifique las restricciones y la funcin objetivo de:

e) El metabolismo humano.

f) El sistema elctrico de una casa habitacin.

g) Un cine con diez salas de exhibicin.

h) El sistema de transporte urbano de una ciudad.

Ejercicio 5. Solucin Grfica a Problemas Lineales

Video del Mtodo Grfico

http://inveoperaciones.wordpress.com/metodo-grafico-2/

Solucione mediante el mtodo grfico

= 50 1 + 60 2

Sujeto a:

2 1 + 3 2 180

3 1 + 22 150

1, 2 0

Ejercicios (Maximizacin)

Ejercicio 6.

La WYNDOR GLASS CO, produce artculos de vidrio de alta calidad, entre ellos ventanas y

puertas de vidrio. Tiene tres plantas. Los marcos y molduras de aluminio se hacen en la planta

1, los de madera en la planta 2; la 3 produce el vidrio y ensambla los productos.

Debido a una reduccin de las ganancias, la alta administracin ha decidido reorganizar la lnea

de produccin de la compaa. Se discontinuarn varios productos no rentables y se dejar

libre una parte de la capacidad de produccin para emprender la fabricacin de dos productos

nuevos cuyas ventas potenciales son muy prometedoras:

Pgina 35 de 137


Producto1: una puerta de vidrio de 8 pies con marco de aluminio

Producto 2: una ventana corrediza con marco de madera de 4 por 6 pies

El producto 1 requiere parte de la capacidad de produccin en las plantas 1 y 2 y nada en la

planta 2. El producto 2 solo necesita trabajo en las plantas 2 y 3. La divisin de

comercializacin ha concluido que la compaa puede vender todos los productos que se

puedan fabricar en las plantas. Sin embargo, como ambos productos competiran por la misma

capacidad de produccin en la planta 3, no est claro cul mezcla de productos sera la ms

rentable. Por lo tanto, se ha formado un equipo de IO para estudiar este problema.

El grupo comenz por realizar juntas con la alta administracin para identificar los objetivos del

estudio. Como consecuencia de ellas se desarroll la siguiente definicin del problema:

Determinar cules tasas de produccin deben tener los dos productos con el fin de maximizar

las utilidades totales, sujetas a las restricciones impuestas por las capacidades de produccin

limitadas disponibles en las tres plantas. Cada producto se fabricara en lotes de 20 unidades,

de manera que la tasa de produccin est definida como el nmero de lotes que se producen a

la semana. Se permite cualquier combinacin de tasas de produccin que satisfaga estas

restricciones, incluso no fabricar uno de los productos y elaborar todo lo que sea posible del

otro.

El equipo de IO tambin identific los datos que necesitaba reunir:

1. Nmero de horas de produccin disponibles por semana en cada planta para fabricar

estos nuevos productos.

2. Nmero de horas de fabricacin que se emplea para producir cada lote de cada artculo

nuevo en cada una de las plantas

3. La ganancia total de cada producto nuevo.

La tabla siguiente resume los datos reunidos:

Planta

Tiempo de

produccin por lote,

hora

Tiempo de

produccin

disponible a la

semana, horas

Producto

1 2

1 1 0 4

2 0 2 12

3 3 2 18

Ganancia por lote $ 3000 $ 5000

Ejercicio 7. Se dispone de 120 refrescos de cola con cafena y de 180 refrescos de cola sin

cafena. Los refrescos se venden en paquetes de dos tipos. Los paquetes de tipo A contienen

tres refrescos con cafena y tres sin cafena, y los de tipo B contienen dos con cafena y cuatro

sin cafena. El vendedor gana 6 euros por cada paquete que venda de tipo A y 5 euros por cada

uno que vende de tipo B. Calcular de forma razonada cuntos paquetes de cada tipo debe

vender para maximizar los beneficios y calcular ste.

Pgina 36 de 137


Ejercicio 8. Wilson es una empresa fabricante de equipo deportivo y entre sus productos tiene

dos guantes de bisbol: para jugador de cuadro y para receptor. El proceso consiste de tres

operaciones bsicas: corte y costura, detallado y empaque. Se dispone de 850, 325 y 150

horas, respectivamente. Ambos productos pasan por todo el proceso. Los requerimientos y la

ganancia por producto se muestran a continuacin:

Se desea maximizar la utilidad total.

Ejercicio 9. RMC es una pequea empresa que fabrica una variedad de productos basados en

sustancias qumicas. En un proceso de produccin particular, se emplean tres materias primas

para producir dos productos: un aditivo para combustible y una base para solvente. El aditivo

para combustible se vende a compaas petroleras y se usa en la produccin de gasolina y

combustibles relacionados. La base para solvente se vende a una variedad de empresas

qumicas y se emplea en productos para limpieza en el hogar e industriales. Las tres materias

primas se mezclan para fabricar el aditivo para combustible y la base para el solvente, tal como

se muestra a continuacin:

Producto

Compactos Aditivo para combustible Base para solvente

Material 1 0.4 0.5

Material 2 0.2

Material 3 0.6 0.3

sta nos muestra que una tonelada de aditivo para combustible es una mezcla de 0.4

toneladas del material 1 y 0.6 toneladas del material 3. Una tonelada de la base para solvente

es una mezcla de 0.5 toneladas del material 1, 0.2 toneladas del material 2 y 0.3 toneladas del

material La produccin de RMC est restringida por una disponibilidad limitada de las tres

materias primas. Para el periodo de produccin actual, RMC tiene disponibles las siguientes

cantidades de materia prima:

Modelo Tiempo de produccin(h)

Corte y costura Detallado Empaque Ganancia

Jugador

de cuadro 1.2 0.6 0.15 15

Receptor 1.45 0.4 0.25 18

Material Cantidad disponible para la produccin

1 20 toneladas

2 5 toneladas

3 21 toneladas

Pgina 37 de 137


Debido a los desechos y a la naturaleza del proceso de produccin, los materiales que no se

lleguen a usar en una corrida de produccin no se pueden almacenar para las subsiguientes,

son intiles y deben desecharse. El departamento de contabilidad analiz las cifras de

produccin, asign todos los costos relevantes y lleg a precios que, para ambos productos,

produciran una contribucin a la utilidad de $ 40 por cada tonelada de aditivo para combustible

producida y $ 30 para cada tonelada producida de base para solvente.

Ejercicio 10. Qumicos M & D produce dos productos que se venden como materias primas a

compaas que fabrican jabones para bao y detergentes para ropa. Basado en un anlisis de

los niveles de inventario actuales y la demanda potencial para el mes siguiente, la gerencia de

M & D ha especificado que la produccin combinada para los productos A y B debe ser en total

al menos 350 galones. Por separado, tambin debe satisfacerse un pedido de un cliente

importante de 125 galones del producto A. El producto A requiere dos horas de procesamiento

por galn, mientras el producto B requiere una hora de procesamiento por galn, y para el

siguiente mes se dispone de 600 horas de tiempo de procesamiento. El objetivo de M & D es

satisfacer estos requerimientos con un costo total de produccin mnimo. Los costos de

produccin son $2 por galn para el producto A y $3 por galn para el producto B. Para

encontrar el calendario de produccin de costo mnimo, formularemos el problema de Qumicos

M & D como un programa lineal.

Ejercicio 11. Un fabricante de muebles tiene 6 unidades de maderas y 28 horas disponibles,

durante las cuales fabricar biombos decorativos. Con anterioridad, se han vendido bien 2

modelos, de manera que se limitar a producir estos 2 tipos. Estima que el modelo uno

requiere 2 unidades de madera y 7 horas de tiempo disponible, mientras que el modelo 2

requiere una unidad de madera y 8 horas. Los precios de los modelos son 120dls. y 80dls.,

respectivamente. Cuntos biombos de cada modelo debe fabricar si desea maximizar su

ingreso en la venta? Hacer el modelo de programacin lineal.

Ejercicio 12. Una firma de contadores pblicos especializados en preparar liquidaciones y

pago de impuestos y tambin auditoras en empresas pequeas. El inters es saber cuntas

auditoras y liquidaciones pueden realizar mensualmente, de tal manera que obtengan los

mximos ingresos. Se dispone de 800 horas para trabajo directo y direccin y 320 horas para

revisin. Una auditora en promedio requiere de 40 horas de trabajo directo y direccin y 10

horas de revisin, adems aporta un ingreso de 300 dlares. Una liquidacin de impuestos

requiere de 8 horas de trabajo directo y direccin y 5 horas de revisin y produce un ingreso de

100 dlares. Se pueden realizar tantas auditoras como se desee, pero el mximo de

liquidaciones mensuales disponibles es de 60. Formule un modelo de PL para este caso.

Pgina 38 de 137


Ejercicio 13. Problema de Carmac Company, fabrica carros compactos y sub-compactos. La

produccin de cada carro requiere una cierta cantidad de materia prima y mano de obra, como

se especfica en la siguiente tabla:

Tipos de Carros Materia Prima

(libras)

Mano de Obra

(horas)

Compactos 200 18

Sub-compactos 150 20

Costo Unitario 10 70

Total disponible 80000 9000

La divisin de comercializacin ha estimado que a lo ms 1500 compactos pueden venderse a

$10,000 cada uno y que a lo ms 200 sub-compactos pueden venderse a $8,000 cada uno.

Como Vicepresidente de programacin, formule un modelo de PL para determinar la cantidad a

fabricar de cada tipo de carro para maximizar la ganancia total.

Ejercicio 14. Computer Corporation manufactura dos modelos de minicomputadoras, la Alpha y

la Beta. La empresa emplea cinco tcnicos, que trabajan 160 horas por mes cada uno, en su

lnea de ensamble. Se requieren 20 horas laborables para ensamblar cada computadora Alpha,

y 25 horas laborales para ensamblar cada modelo Beta. La empresa desea tener por lo menos

10 unidades de Alpha, y 15 unidades Beta producidas durante el periodo de produccin. Las

Alpha generan una utilidad de 1200 por unidad, y las Beta generan 1800 cada una.

Determine el nmero de cada modelo de minicomputadoras con mayor utilidad para producir el

siguiente mes.

Ejercicio 15. Andys Bicycle tiene los nuevos productos ms novedosos en el mercado de

juguetes. Debido al mercado del vendedor de juguetes para la nueva generacin de nios,

Andys puede vender todas las bicicletas que fabrica en los siguientes precios: bicicleta para

nio, 220 dlares, bicicleta para nia, 175 dlares.

El contador de la empresa ha determinado que los costos de mano de obra directa sern el

45% del precio que Andys reciba por el modelo para nio, y 40% del precio recibido por el

modelo para nia. Los costos de produccin diferentes a mano de obra, pero excluyendo la

pintura y el empaque, son de 44 dlares por bicicleta para nio y 30 dlares por bicicleta para

nia. La pintura y el empaque son 20 dlares por bicicleta, sin tomar en cuenta el modelo.

La capacidad total de produccin de la empresa es de 390 bicicletas por da. Cada bicicleta

para nio requiere de 2.5 horas de mano de obra, mientras que cada modelo para nia toma

2.4 horas para completar. Andys emplea actualmente a 120 trabajadores, que laboran das de 8

horas cada uno.

Determine la mejor mezcla de productos para maximizar la utilidad.

Pgina 39 de 137


Ejercicio 16 Una fbrica vende dos tipos de productos diferentes A y B. La informacin sobre el

precio de venta y el costo por unidad es el siguiente:

Los dos productos se fabrican dentro de un proceso comn y se venden en dos mercados

diferentes. El proceso de produccin tiene una capacidad de 30 mil horas de mano de obra, se

requiere de 3 horas para elaborar una unidad de A y 1 hora para producir una unidad de B.

El mercado ya fue estudiado, por lo que los funcionarios de la empresa consideran que lo ms

que pueden venderse de A son 8 mil unidades y de B 12 mil unidades. De acuerdo con esas

limitaciones los productos pueden venderse en cualquier combinacin.

Ejercicio 17. Una empresa manufacturera est considerando dedicar su capacidad a fabricar

3 productos; llammoslos productos 1, 2 y 3. La capacidad disponible de las mquinas que

podra limitar la produccin se resume en la siguiente tabla:

Tipo de Mquina Tiempo Disponible

(horas mquina)

Fresadora 500

Torno 350

Rectificadora 150

El nmero de horas requeridas por cada unidad de los productos respectivos es:

Tipo de Mquina Producto 1 Producto 2 Producto 3

Fresadora 9 3 5

Torno 5 4 0

Rectificadora 3 0 2

El departamento de ventas indica que el potencial de ventas para los productos 1 y 2 es mayor

que la tasa de produccin mxima y que el potencial de ventas para el producto 3 es de 20

unidades por semana. La utilidad unitaria sera de 30, 12 y 15 dls., respectivamente, para los

productos 1, 2 y 3.

Formlese el modelo de programacin lineal para determinar cunto debe producir la empresa

de cada producto para maximizar la utilidad.

Producto A Producto B

Precio de venta 60 40

Costo 30 10

Pgina 40 de 137


Ejercicio 18. Un banco estima que para el ao prximo tendr $10 millones disponibles para

prstamos. Hace varios tipos de prstamos a diferentes tasas de inters:

Tipo de prstamo

Inters anual %

Tipo de prstamo

Inters anual

Personal tipo A 8 Mejoras a casa-

habitacin

10

Personal Tipo B 12 Pequea empresa 12

Automvil 10 Otros 9

Hipoteca 8

Las restricciones legales y las polticas del banco colocan los siguientes lmites sobre los

prstamos: a) El total de prstamos personales no puede exceder el 15% de la cantidad total

de prstamos, b) Los prstamos para mejoras a casa- habitacin ms los prstamos a casas

mvil no pueden exceder el 20% de la cantidad total de prstamos, c) Los prstamos a

pequeas empresas no debe exceder el 30% de la cantidad total de prstamos, d) Cada

prstamo personal tipo A, hipoteca y a pequeas empresas debe sumar, por lo menos 10% del

total de los prstamos. Naturalmente, el banco quiere maximizar el inters que recibe sobre los

prstamos. Formlese ste como un problema de PL.

Ejercicio 19. Un taller fabrica tres tipos diferentes de mesas: A, B y C. Con cada mesa se

requiere determinado tiempo para cortar las partes que la constituyen, ensamblarlas y pintar la

pieza terminada. La empresa podr vender todas las mesas que consiga fabricar. Adems el

modelo C puede venderse sin pintar. El tiempo disponible para realizar cada una de las

actividades es variable. A partir de los datos siguientes, formule un problema de programacin

lineal que ayude a la empresa a determinar la mezcla de productos que le permitir maximizar

sus ganancias.

Ejercicio 20. Roberto Saucedo es presidente de una microempresa de inversiones que se dedica a administrar carteras de acciones de varios clientes. Un nuevo cliente ha solicitado que

la compaa se haga cargo de administrar para l una cartera de $ 100, 000. A ese cliente le

agradara restringir la cartera a una mezcla de tres tipos de acciones nicamente, como

podemos apreciar en la siguiente tabla. Formule un PL para mostrar cuantas acciones de cada

Modelo Corte (hrs) Montaje (hrs) Pintura (hrs) Ganancia

por mesa( $)

A 3 4 5 25

B 1 2 5 20

C 4 2 4 50

C sin pintar 4 5 0 30

Capacidad 150 200 300

Pgina 41 de 137


tipo tendra que comprar Roberto Saucedo con el fin de maximizar el rendimiento anual total

estimado de esa cartera.

Acciones

Precio por accin ($)

Rendimiento anual

estimado por accin

($)

Inversin

mxima

posible ($)

A 60 7 60 000

B 25 3 25 000

C 20 3 30 000

Ejercicio 21. Una empresa produce cuatro artculos: A, B, C y D. Cada unidad del producto A

requiere de dos horas de maquinado, una hora de montaje y $10 dls. de inventario en proceso.

Cada unidad del producto B requiere de una hora de maquinado, tres horas de montaje y $5

dls. de inventario en proceso. Cada unidad del producto C requiere 2.5 horas de maquinado,

2.5 horas de montaje y $2 dls. de inventario en proceso. Finalmente, cada unidad del producto

D requiere de cinco horas de maquinado, ninguna en montaje y $12 dls. de inventario en

proceso.

La fbrica dispone de 120 000 horas de tiempo de maquinado y 160 000 horas de tiempo de

montaje. Adems, no puede tener ms de un milln de dlares de inventario en proceso.

Cada unidad del producto A genera una utilidad de $40 dls., cada unidad del producto B genera

una utilidad de $24 dls., cada unidad del producto C genera una utilidad de $36 dls. y cada

unidad del producto D genera una utilidad de $23 dls. No pueden venderse ms de 20 000

unidades del producto A, 16 000 unidades del producto C, sin embargo deben producir y

vender por lo menos 10 000 unidades del producto D y 5000 del producto B para cumplir con

los requerimientos de un contrato.

Sobre estas condiciones formular un problema de PL. El objetivo de la fbrica es maximizar la

utilidad resultante de los cuatro productos.

Ejercicio 22. Una empresa de productos electrnicos fabrica telfonos celulares. Su ltimo

producto tiene un dispositivo que evita ser interceptado mientras se est conservando. Existen

tres elementos del mercado que adquirir preferentemente este tipo de aparato. Debido al

canal de distribucin y costos de promocin, la ganancia por el producto vara segn la regin.

Adems la empresa estima que el costo por publicidad y tiempo de venta por unidad variar

tambin segn la regin. La tabla siguiente presenta las ganancias, los costos de publicidad y

el tiempo de venta por unidad y regin.

Regin Ganancia Costo de publicidad Tiempo de venta

A 90 10 2.5 B 70 18 3 C 84 8 1.5

La empresa ha determinado que no gastar ms de $5 000 en publicidad y estableci un mximo de 1200 horas de venta. Adems, la capacidad mxima de produccin es de 600

Pgina 42 de 137


unidades. El objetivo es determinar cuntas unidades del producto se debe vender por sector para maximizar la utilidad total (diferencia entre ganancia total y costo total) de la empresa.

Ejercicio 23. Usted est tratando de hacer un presupuesto para optimizar el uso de una parte

de su ingreso disponible. Tiene un mximo de 1500 dls por mes para destinar a comida,

vivienda y diversin. Los montos gastados en alimento y vivienda juntos no pueden exceder de

1000 dls. al mes El monto asignado a vivienda no debe exceder de 700 dls. El de diversin no

debe exceder de 300 dls al mes. Cada dlar gastado en comida tiene un valor de satisfaccin

de 2, cada dlar gastado en vivienda tiene un valor de satisfaccin de 3 y cada dlar gastado

en diversin tiene un valor de satisfaccin de 5.

Formule por P.L. para maximizar el grado de satisfaccin.

Ejercicio 24. Un fabricante de camisas est tratando de decidir cuntas camisas debe producir

durante el mes prximo. Pueden hacerse siete estilos. Los estilos varan en las horas de mano

de obra que requieren, en la contribucin en la ganancia y en las ventas potenciales que el

departamento de comercializacin estima. Los datos se dan enseguida:

Estilo Horas-hombre Ventas mximas Contribucin

1 0.5 3 000 1.00

2 1.0 1 000 2.00

3 0.25 5 000 1.00

4 1.5 2 000 1.50

5 0.7 1 500 1.25

6 0.9 1 500 1.10

7 1.2 1 600 1.20

Se dispone de un total de 7500 horas de mano de obra. El objetivo de este problema es

maximizar la contribucin total.

Ejercicio 25. Considrese un presupuesto de publicidad de $30 000 para un nuevo producto

ligeramente caro. Por lo menos deben usarse 10 anuncios de la televisin, y por lo menos

deben localizarse 50 000 compradores potenciales durante la campaa. Tambin un mximo

de $18 000 pueden gastarse en anuncios en T.V. Dado los datos de la tabla anexa, determine

el plan de medios de comunicacin de publicidad ptimo que aumentar las expectativas de

compra.

Tipo de medio Familias

encuestadas

Costo por

aviso

Mximo

disponible

Expectativa

de compra

T.V. de da (1 min.) 1000 $1 500 15 65

TV. tarde (30 seg.) 2000 $3 000 10 90

Pgina 43 de 137


Peridico semanal 1500 $400 25 40

Peridico doming

Documents

Apunte Docente de IO1 Con Ejercicios 09feb15