APROXIMACIÓN NUMÉRICA DE PROPIEDADES …tauja.ujaen.es/bitstream/10953.1/9357/1/TFG Juan Francisco Sierra Canales.pdf · Figura 1.1. Procedimiento para determinar propiedades termodinámicas

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UNIVERSIDAD DE JAÉN Escuela Politécnica Superior de Jaén

Trabajo Fin de Grado

APROXIMACIÓN NUMÉRICA

DE PROPIEDADES

TERMODINÁMICAS A UN

CONJUNTO DE SUSTANCIAS

PURAS

Alumno: Juan Francisco Sierra Canales Tutor: Fernando Antonio Cruz Peragón Dpto: Ingeniería Mecánica y Minera

Junio, 2018

JUAN FRANCISCO SIERRA CANALES APROXIMACIÓN NUMÉRICA DE PROPIEDADES TERMODINÁMICAS A UN CONJUNTO DE SUSTANCIAS PURAS

2 Escuela Politécnica Superior de Jaén

Índice Glosario de términos ............................................................................................................. 4

1. INTRODUCCIÓN ........................................................................................................... 5

1.1. Objetivos ................................................................................................................. 5

1.2. Antecedentes .......................................................................................................... 6

1.3. Breve repaso del intento histórico a la aproximación de propiedades ..................... 9

1.3.1. Gas Ideal .......................................................................................................... 9

1.3.2. Gas Real .........................................................................................................12

1.3.3. Ecuación de estado de Van der Waals ............................................................14

1.3.4. Ecuación de estado de Beattie-Bridgeman ......................................................14

1.3.5. Ecuación de estado virial .................................................................................15

1.3.6. Ecuación de estado de Benedict-Webb-Rubin .................................................15

1.4. Contexto actual. Ecuaciones de estado multiparámetro .........................................16

2. METODOLOGÍA ...........................................................................................................16

2.1. Presentación y forma general de la ecuación .........................................................16

2.2. Relaciones de α para la obtención de propiedades termodinámicas ......................17

2.3. Formulación matemática de la energía reducida de Helmholtz para la parte ideal .19

2.3.1. Derivadas de la parte ideal ..............................................................................22

2.4. Formulación matemática de la energía reducida de Helmholtz para la parte real ...23

2.4.1. Forma optimizada para sustancias no o débilmente polares ...........................24

2.4.2. Forma optimizada para sustancias polares .....................................................25

2.4.3. Derivadas de la parte real ...............................................................................26

2.5. Fundamentos para la aproximación dadas 2 propiedades que no sean ρ y T ........27

2.6. Casuística. Planteamiento para la resolución de cada caso ...................................29

2.6.1. Caso 1. Determinación del equilibrio líquido-vapor dado T ..............................29

2.6.2. Caso 2. Determinación del equilibrio líquido-vapor dada P .............................31

2.6.3. Caso 3. Cálculo del vapor recalentado dado P y h ..........................................32

2.6.4. Caso 4. Cálculo del vapor recalentado dado P y s ..........................................34

2.6.5. Caso 5. Cálculo del vapor recalentado dado T y s ..........................................35

2.6.6. Caso 6. Cálculo del vapor recalentado dado T y h ..........................................35

2.6.7. Caso 7. Cálculo del vapor recalentado dado T y P ..........................................36



2.6.8. Caso 8. Cálculo del vapor recalentado dado T y u ..........................................36

2.6.9. Caso 9. Cálculo del vapor recalentado dado ρ y u ..........................................37

2.6.10. Caso 10. Cálculo del vapor recalentado dado ρ y h ........................................38

2.6.11. Caso 11. Cálculo del vapor recalentado dado h y s .........................................38

2.7. Esquemas generales iterativos para el cálculo de las propiedades ........................39

2.7.1. Diagrama de flujo cuando P y T son dados .....................................................40

2.7.2. Diagrama de flujo para 2 propiedades que no sean ni P ni T ..........................40

2.7.3. Diagrama de flujo dada T y otra variable (que no sea P) .................................41

2.7.4. Diagrama de flujo dada P y otra variable (que no sea T) .................................42

2.7.5. Diagrama de flujo dado T y el título de vapor ..................................................42

2.7.6. Diagrama de flujo dado P y el título de vapor ..................................................42

3. RESULTADOS ..............................................................................................................43

4. CONCLUSIONES..........................................................................................................50

Bibliografía ...........................................................................................................................51

Anexo I: Coeficientes de la parte ideal para las sustancias .................................................52

Anexo II: Coeficientes de la parte real para sustancias no o débilmente polares .................53

Anexo III: Coeficientes de la parte real para sustancias polares ..........................................54

Anexo IV: Ejercicios propuestos resueltos ............................................................................55

Problema 1: Ciclo de refrigeración Rankine con Amoniaco ............................................55

Problema 2: Ciclo de refrigeración Rankine con R-143a ................................................57

Problema 3: Ciclo de refrigeración Rankine con R-152a ................................................62

Problema 4: Ciclo de refrigeración Rankine con R-22 ....................................................67

Problema 5: Ciclo de refrigeración Rankine con R-11 ....................................................71

Anexo V: Diagramas de flujo para el cálculo de propiedadaes ............................................74

Esquema 1: Diagrama de flujo cuando P y T son dados ................................................75

Esquema 2: Diagrama de flujo para 2 propiedades que no sean ni P ni T .....................76

Esquema 3: Diagrama de flujo dada T y otra variable (que no sea P) ............................78

Esquema 4: Diagrama de flujo dada P y otra variable (que no sea T) ............................79

Esquema 5: Diagrama de flujo dado T y el título de vapor .............................................80

Esquema 6: Diagrama de flujo dado P y el título de vapor .............................................81



Glosario de términos

Q = calor

= calor específico a presión constante

= calor específico a volumen constante

f = Energía de Helmholtz

PR = Presión reducida

Pcr = Presión del punto crítico

T = Temperatura

TR = Temperatura reducida

Tcr = Temperatura del punto crítico

vR = volumen específico pseudorreducido

x = título de vapor

α f ( ) H z

β f

= coeficiente adiabático

ρ

ηs = rendimiento isentrópico



1. INTRODUCCIÓN

Hoy en día existe una extensa gama de software comercial que es capaz de

proporcionar información y datos acerca de la naturaleza de muchas sustancias y su

evolución cuando se someten a procesos termodinámicos.

Su enorme potencialidad a la hora de aplicarlo a campos técnicos

(refrigeración, fuentes de energía, lucha contra la contaminación, entre otros) lo hace

muy atractivo, es por ello que sería muy interesante poder desarrollar una

herramienta más accesible, que permitiera el estudio de un amplio abanico de

sustancias (actualmente limitado a sustancias típicas como vapor de agua, gases

ideales) para el ámbito académico.

Por todo esto es objeto del presente proyecto desarrollar un código ejecutable

en Matlab, software utilizado ampliamente en diversas asignaturas de esta

universidad, para su aplicación a la labor docente y de investigación.

Se realiza el presente proyecto como Trabajo Fin de Grado de la titulación de

Grado en Ingeniería Mecánica. En este proyecto se ha tenido en cuenta en todo

momento lo estipulado en el documento de propuesta de fin de grado presentado y

aprobado por la "Comisión de Trabajos Fin de Grado" de la E.P.S de Jaén.

1.1. Objetivos

El objetivo principal del presente proyecto es desarrollar un conjunto de

funciones que sea ejecutables en el software Matlab, muy generalizado su uso en el

ámbito académico, tanto por profesores como por el alumnado de nuestra

universidad. Dicho conjuntos de funciones tendrán la finalidad de aproximar las

propiedades termodinámicas de una gran cantidad de sustancias puras dadas 2

propiedades conocida de ésta.



Pero no andaremos todo el camino en un sólo paso, marcaremos una serie de

pasos en los que iremos relatando desde como surgieron los métodos para obtener

las propiedades de las sustancias y la creación de tablas, pasando por la

formulación interna del algoritmo y su matemática, así hasta su consecución.

La guía para la consecución de nuestros objetivos será la siguiente:

- Revisión del método actual de obtención de propiedades a partir de

coeficientes de gases perfectos, diagramas P-v-T y relaciones termodinámicas

generalizadas. Revisión del método actual de aproximación de coeficientes, en

sustancias de las que tan solo se dispone de datos en tablas.

- Programación y comprobación del ajuste para las sustancias en estudio

consideradas como gases perfectos.

- Desarrollo de la función que aproxima las propiedades para las ecuaciones y

coeficientes conocidos para las sustancias de estudio, dada dos propiedades:

Temperatura y densidad.

-Evaluación de diversas formas de aproximación, dadas dos propiedades no

coincidentes con las anteriores.

1.2. Antecedentes

Partiendo de la existencia del primer y segundo principio de la termodinámica

es posible lograr una relación fundamental entre la temperatura, presión, volumen,

entropía y energía interna.

Una vez obtenida esta relación fundamental surgen algunos procedimientos a

través de los cuales es posible obtener nuevas propiedades termodinámicas

partiendo de propiedades que son medibles. Digamos que la prioridad es llegar a

determinar h, s y u con P, v , T, coeficiente de compresibilidad isotermo, coeficiente

de dilatación cúbica y los calores específicos a presión constante y a volumen

constante.



Pero el primer paso para obtener el conjunto de propiedades de una sustancia

pura es que hay que determinar primero experimentalmente las relaciones que se

dan entre las sustancias que son medibles. Esta relaciones se conocen como

ecuaciones de estado. Sería interesante conseguir que estas ecuaciones se

pudiesen formular a través de condiciones reducidas de propiedades, de ese modo

servirían para cualquier sustancia. En cualquier caso se ha de partir de valores de

referencia conocidos y no hay mejores condiciones descritas que las que se pueden

obtener de las condiciones de gas perfecto, donde se toma los valores de referencia

de presión a 0 bar y temperatura a 0 K (haciendo que h, s y u, tomen valor nulo

también).

Entonces el procedimiento para determinar las propiedades de gases perfectos

sería tal que así:



Figura 1.1. Procedimiento para determinar propiedades termodinámicas de gases perfectos

Ya que tenemos definido el proceso para caracterizar el estado de los gases

perfectos el procedimiento para estudiar el comportamiento de otras zonas que se

alejan de la ideal empezaría por fijar las propiedades de presión, entalpía y entropía

a 0 donde el volumen específico tiende a infinito para una temperatura al límite del

comportamiento de gas ideal. A continuación utilizando las relaciones anteriores se

puede ir determinando las propiedades de gas real mientras bajamos el volumen



específico (tendía a infinito). Este proceso es siempre el mismo si nos encontramos

a temperaturas por encima de la crítica. El asunto se tuerce para temperaturas por

debajo de la crítica. Cuando se llega a condiciones de vapor saturado hay que

recurrir a la relación de Clausius-Clapeyron, de la cual se obtiene un incremento de

entalpía y entropía hasta alcanzar la zona de líquido subenfriado y es entonces

cuando es posible retomar el método anterior.

Con todo esto ya tendríamos el método para determinadas las propiedades de

las sustancias puras, lo que sucede es que a valores de 0 bar la h, s y u son nulas.

Por ello es necesario situar la referencia en 0K, de esta manera sumamos los

valores de comportamiento ideal a los obtenidos para el comportamiento real,

quedando valores con referencia 0 K de temperatura y 0 bar en la presión.

Sólo nos queda por saber que ocurre en la zona de vapor húmedo, para ello el

procedimiento es el mismo pero se referencian al punto triple y se les resta a los

valores anteriores.

Con este procedimiento es de donde salen los datos para conformar las tablas

y trazar diagramas.

Torres, E.

1.3. Breve repaso del intento histórico a la aproximación de

propiedades.

1.3.1. Gas Ideal

En el caso que nuestra sustancia sea un gas ideal, conociendo 2 propiedades

es posible determinar el resto mediante la relación conocida como ley de los gases

ideales o ecuación de estado de los gases ideales.



( )

La entalpía y la energía interna son una propiedades termodinámicas

íntimamente ligadas a la temperatura y que puede ser determinada de la siguiente

manera.

( )

( )

y entre ellas guardan la relación

( )

y el calor específico a presión constante puede ser expresado mediante

( )

Tanto a,b,c y d son coeficientes determinados experimentalmente. Además los

calores específicos guardan entre sí estas relaciones



( )

( )

Que si desarrolláramos llegaríamos a las expresiones

( )

( )

Faltaría examinar la entropía que es una propiedad íntimamente ligada a la

segunda ley de la termodinámica. No es mi propósito ahondar en profundidad en

ella, solamente la enunciaré

( )

Como vemos es posible conocer las propiedades de una sustancia si ésta se

encuentra en estado de gas ideal manejando una pocas relaciones matemáticas. El

problema es que nuestra sustancia no siempre se encuentran en el rango de

condiciones en el que estas ecuaciones son efectivas.



1.3.2. Gas Real

Si aplicáramos la ecuación de estado de gas ideal siempre comprobaríamos

que no vale para todas las situaciones, todo lo contrario, veríamos que sólo serían

efectivas para un cierto rango de presiones y temperaturas. La siguiente imagen nos

ayuda a hacernos una idea.

Figura 1.2. % Error cometido al suponer que el vapor de agua se comporta como gas ideal

La imagen muestra el % de error que cometemos al suponer que el vapor de

agua se comporta como un gas ideal.



La hipótesis de gas ideal funciona bien en regiones muy alejadas de la

saturación y del punto crítico, allá donde la presión tiende a 0.

Para seguir utilizando una ley parecida a la de los gases ideales habría que

aplicarle un factor de corrección, conocido como el factor de compresibilidad Z y la

ecuación de estado de los gases ideales quedaría de la siguiente manera

( )

Observamos que si Z=1 estaríamos en el mismo caso de antes, la sustancia

sería un gas ideal mientras que si Z difiere de la unidad el gas sería un gas real. El

valor de Z viene relacionado por la relación que tiene la T y la P de nuestro gas en

relación a la de su correspondiente punto crítico y esto vale para la mayoría de

gases. Habría que determinar

( )

( )

( )

Y con éstos valores podemos irnos a las cartas de compresibilidad

generalizada para determinar Z.

La ecuación de estado de gas ideal es sencilla y por tanto su ámbito de

aplicación es reducido. Conforme han ido pasando los años han ido apareciendo



nuevas ecuaciones con el propósito de lograr representar el comportamiento P-v-T

con mayor precisión para una región más amplia de los diagramas de estado.

Vamos a reseñar sólo algunas de ellas a modo de ejemplo.

1.3.3. Ecuación de estado de Van der Waals

Esta ecuación fue propuesta en 1873, su forma es bastante parecida a la

ecuación de los gases ideales con la salvedad de que es necesario determinadas

dos constantes.

( ) ( )

Tanto a y b son unas constante que se relacionan con el punto crítico de la

siguiente manera.

( )

( )

Fue de las primeras que se propusieron y a pesar de que su exactitud no es

adecuada posee un peso histórico.

1.3.4. Ecuación de estado de Beatti-Bridgeman

Esta ecuación surgió en 1928 y se basa en 5 constantes determinadas de

forma experimental.



( )

( )

La ecuación es aceptable para valores cercanos a la densidad del punto crítico.

1.3.5. Ecuación de estado virial

La ecuación de estado virial presenta la siguiente forma

( )

Donde a,b,c,d,... son todo coeficientes que son función exclusivamente de la

temperatura y se les conoce como coeficientes viriales y se determinan de forma

experimental o teórica. Observar que a medida que la presión tiende a 0 los

coeficientes viriales desaparecerán y la ecuación quedaría con la forma de la

ecuación de los gases ideales. La precisión de esta ecuación es mayor cuanto más

términos se le añada.

1.3.6. Ecuación de Benedict-Webb-Rubin

Surgió en 1940 como una ampliación de la ecuación de Beattie-Brigdeman

pasando a tener un total de 8 constantes.

( )

Decir que en 1962 Strobridge presentó una nueva versión incluyendo hasta un

total de16 constantes.



Una versión más moderna de esta ecuación es la que yo implementaré, que a

continuación detallaré y me servirá como modelo.

Çengel, A.Y. Boles,M.A.

1.4. Contexto actual. Ecuaciones de estado multiparámetro

En las últimas dos décadas con el desarrollo y optimización de algoritmos han

ido apareciendo nuevas generaciones de ecuaciones capaces de cumplir con la

demanda de precisión que requieren las aplicaciones técnicas y los estándares

científicos.

Éstas nuevas generaciones de ecuaciones han mejorado a las anteriores en

tanto en cuanto que han sido capaces no sólo de mejorar la precisión sino también

capaces de describir las sustancias en regiones cercanas al punto crítico.

Éstas ecuaciones se conocen como ecuaciones BWR (Benedict-Webb-Rubin)

modificadas y están formuladas en la energía de Helmholtz.

2. METODOLOGÍA

2.1. Presentación y forma general de la ecuación.

La nueva generación de ecuaciones de estado están normalmente formuladas

en la energía reducida de Helmholtz. La energía reducida de Helmholtz está dividida

en 2 términos, uno describe el comportamiento hipotético que tendría la sustancia si

ésta se comportara como un gas ideal y el segundo término se encargaría de

describir el comportamiento como gas real, es decir, se encargaría de corregir y

complementar al término ideal. Presenta esta forma.



( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

donde:

a = Energía específica (o molar) del Helmholtz

T = Temperatura

ρ

τ L (Tcr/T)

δ D (ρ/ ρcr)

α Es una expresión, la relación requerida

Los superíndices 0 y r indican ideal (de la parte ideal) o residual (de la parte

real).

Como vemos la ecuación planteada es función de T y ρ (o de τ y δ que están

directamente relacionadas con éstas). Esto se debe a que serán nuestras variables

conocidas de las que partiremos porque todo el resto de propiedades

termodinámicas pueden ser calculadas a través de derivadas de α0 y αr respecto de

τ y δ.

2.2. Relaciones de α para la obtención de propiedades

termodinámicas.

Como hemos ido contando, es posible obtener valores de las propiedades

termodinámicas a través de relaciones matemáticas de las derivadas de la energía



reducida de Helmholtz respecto a T y ρ, tanto de su parte ideal como de su parte

real. Son las siguientes:

Presión:

( ) ( / )

Derivadas de la presión:

( / )

( / )

(

)

(

)

Entropía:

( )

(

)

Energía interna:

( )

(

)

Calor específico a

volumen constante:

( )

(

)

Entalpía:

( )

(

)

Calor específico a presión

constante:

( )

(

)

(

)

(

)

Velocidad del sonido:

( )

(

)

(

)

Coeficiente Joule-

Thompson:

( )

(

)

(

) (

)(

)

Equilibrio fase Líquido-

Vapor:

Solución simultánea de resolver:

(

) ( )



(

( ) (

( )

Tabla 2.1. Relaciones de las propiedades termodinámicas con parte ideal y residual de la energía

reducida de Helmholtz y sus derivadas.

Una vez conocidas estas relaciones sólo nos queda obtener la forma

desarrollada de los términos ideal y real para seguidamente conocer sus derivadas

frente a T y ρ.

Span. R and Wagner.W

2.3. Formulación matemática de la energía reducida de

Helmholtz para la parte ideal.

A continuación vamos a deducir la forma matemática de la energía reducida de

Helmholtz para la parte ideal. Una vez obtenida posteriormente obtendremos su

derivada primera y segunda respecto a T.

Podemos definir respectivamente la entalpía, energía interna y entropía de la

siguiente manera:

( )

( )

( )

A su vez hay que definir un estado de referencia.



( )

Los incrementos de entalpía, energía interna y entropía con respecto al estado de

referencia serían:

( )

( )

( )

donde

( )

(

)

(

)

( )

Finalmente las variables quedaría así expresadas para la parte ideal

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

Ahora para obtener la expresión de la energía específica de Helmholtz partimos

de su expresión termodinámica.

( )



La energía específica de Helmholtz sería (2.13) dividida por RT. Teniendo en

cuenta las expresiones anteriormente obtenidas desarrollamos.

( )

( )

( )

Simplificando:

( )

( )

( )

Simplificando:

( )

( )



( )

Finalmente la expresión de la parte ideal de la energía reducida de Helmholtz

quedaría así:

( )

( )

( )

2.3.1. Derivadas de la parte ideal

Recordad que las derivadas han de estar referenciadas a τ y δ.

( ( ))

( )

El peso de la derivada respecto a δ en la parte ideal es indiferente. Antes de

deducir las derivadas respecto a τ hay que tener en cuenta lo siguiente.

( / )

( )

Ya podemos proceder con las derivadas respecto a τ.



( ( ))

( )

( )

( ( ))

( )

( ( ))

( )

( )

Y la derivada segunda con respecto a τ sería.

( ( ))

( ( ))

(

( ) ( )

De esta manera ya quedan descritas las derivadas parciales de la parte ideal

que intervendrán en el cálculo de los valores de las propiedades.

2.4. Formulación matemática de la energía reducida de

Helmholtz para la parte real.

Span formuló esta ecuación gracias a técnicas de ponderación de datos

seleccionados de experimentos, técnicas de ajuste lineales y no lineales de

multipropiedad y optimización de la forma funcional. Alcanzó una forma flexible que



permitía describir con precisión sustancias de distinta naturaleza como es el caso de

sustancias polares y no o débilmente polares. Para más información de cómo lo

consiguió podéis consultar el Span. R and Wagner.W de la bibliografía. Aquí nos

remitiremos a presentar las distintas formas de las ecuaciones que son necesarias

implementar.

Aquí la forma general de la energía reducida de Helmholtz para la parte real.

( )

( ) ( )

( )

Tabla 2.2. Forma genérica de la parte residual o real de la energía reducida de Helmholtz.

Como vemos se trata de una ecuación polinómica con términos exponenciales.

Los coeficientes serán los encargados de dar la forma para los distintos casos.

2.4.1. Forma optimizada para sustancias no o débilmente polares

Considerando que para el caso de sustancias no o débilmente polares Ipol = 6

e Iexp = 6 la fórmula quedaría de la siguiente manera.



( ) ( ) ( )

( )

Tabla 2.3. Forma de la parte residual de la energía reducida de Helmholtz optimizada para sustancias no

o débilmente polares.

Donde n1,n2....n12 son coeficientes que vienen de los resultados de la

experimentación y son específicos para cada sustancia. Vendrán descritos en el

Anexo II.

2.4.2. Forma optimizada para sustancias polares

Considerando que para el caso de sustancias polares Ipol = 5 e Iexp = 7 la fórmula

quedaría de la siguiente manera.

( ) ( ) ( )

( )

Tabla 2.4. Forma de la parte residual de la energía reducida de Helmholtz optimizada para sustancias

polares.



Donde n1,n2....n12 son coeficientes que vienen de los resultados de la

experimentación y son específicos para cada sustancia. Vendrán descritos en el

Anexo III.

2.4.3. Derivadas de la parte real

Las derivadas de la parte real de la energía reducida de Helmholtz son las

siguientes.

( )

( ) ( )

( )

( ) ((

)( )

) ( )

( )

(

) ( )

( )

(

) ( )

Tabla 2.5. Derivadas para la parte residual de la energía de Helmholtz respecto τ a y δ.



No olvidar que polares Ipol = 6 e Iexp = 6 para sustancias no o débilmente polares

y para sustancias Ipol = 5 e Iexp = 7 polares.

2.5. Fundamentos para la aproximación dadas 2 propiedades

que no sean ρ y T

Cuando se quiere aproximar las propiedades de una sustancia con 2

propiedades cualquiera que no sean ρ y T no disponemos de unas relaciones

directas como las anteriormente descritas, pero convendremos en que si

fuésemos capaces de obtener ρ y T a partir de esas dos propiedades cualquiera

de entrada entonces el problema ya estaría resuelto, porque rápidamente

podríamos volver a utilizar las expresiones en derivadas parciales anteriores.

Entonces la idea es que si nos falta un variable entre ρ y T planteemos una

ecuación en derivadas parciales (no lineal). Para resolverla usaremos el método

de Newton-Rhapson que se puede consultar en Conde, C y Schiavi, E y que nos

llevaría a una ecuación de la forma siguiente.

( ) ( ) ( ) ( )( )

F (x) suele venir de las ecuaciones que relacionan las propiedades

termodinámicas con la parte ideal y real de la Figura 2.1. pero relacionadas a

través de ρ y τ a los valores del punto crítico. F (x0) y F'(x0) son conocidas porque

sí tenemos un estado de referencia que conocemos. Quedaría x que es la

incógnita y x0 que es esa variable que es conocida por ser del estado de

referencia. Por tanto con el método iterativo de resolución de ecuaciones no

lineales Newton-Rhapson comenzaríamos a iterar hasta el momento en que

( ) ( )



( )

( )( )

Como ya todo es conocido obtendríamos el valor de x.

Esta ha sido una forma común de resolución, puede darse el caso de que no

necesitemos plantear esto ya que hoy en día muchos software de programación

ya incluyen funciones específicas que implementan diversos tipos de métodos

numéricos para la resolución de este tipo de ecuaciones, como es el caso de

Matlab y su fsolve.

Ahora bien, habrá casos en los que necesitemos plantear 2 ecuaciones para

conseguir ρ y T ya sea porque ninguna de las 2 es una variable de entrada dada.

Entonces el sistema a plantear sería el siguiente.

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

Se podría expresar de una forma más reducida de la siguiente manera

( )

Y se procedería como antes



( )

( )

Con esto ya tenemos los fundamentos para saber cómo actuar frente a las

parejas de variables de entrada que se irán considerando en los siguientes

apartados.

2.6. Casuística. Planteamiento para la resolución de cada

caso

2.6.1. Caso 1. Determinación del equilibrio líquido-vapor dado T

Hasta ahora nunca habíamos hablado de cómo se trata la zona de vapor húmedo

en la que conviven 2 fases de la sustancia (liquido y gas). Esta zona es muy

sensible dado que dentro de ella no podemos emplear las relaciones en

derivadas parciales anteriormente descritas porque en una misma línea pueden

darse infinitos estados con la misma P y T.

¿Cómo proceder entonces? Hay que proponer un tipo de ecuación que dada T o

P sea capaz de calcularnos los valores extremos de la campana para la

propiedad de la ρ, de esta forma y ahora sí con la ayuda de las relaciones en

derivadas parciales para el cálculo de las propiedades podamos obtener las

propiedades ' y '' (líquido subenfriado y vapor recalentado) que delimitan la zona

de la campana.

A continuación se va a plantear las ecuaciones a seguir para lograr esto

conociendo T.



( )

Cada término sería

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

Si llegamos a la condición que se expuso en la ec (2.30)

( )



Y de esta forma obtenidos los δ y con ello ρ ya tenemos los valores de la

campana de Andrews.

2.6.2. Caso 2. Determinación del equilibrio líquido-vapor dada P

La idea principal para este caso sería determinar la T (que sería la de saturación)

y seguidamente podríamos emplear el algoritmo descrito para el caso anterior.

Sólo sería una incógnita.

( )( )

( )

P0 se deduce del caso anterior a través de la temperatura T0.

(T ) (T )

( )

( )

Entonces

( T )( )

T β ( )



siendo β un factor de relajación.

2.6.3. Caso 3. Cálculo del vapor recalentado dado P y h

Ahora contamos con 2 variables que no son ni ρ ni T por lo que para todos estos

tipos de casos la ecuación F a plantear vendrá dada de restar la propiedad

termodinámica que tenemos con su correspondiente relación de derivadas

parciales, de esta forma sabemos que en algún momento tendrán que ser 0 y

habrá solución para nuestras ρ y T .Lo planteamos a continuación.

(

)

(

)( )

Por lo tanto ( P=0)

(

) ( )

(

)

(

)

( ) ( )

(

) ( )( )

Para F2 considerando ( h=0)

( (

)

) ( )



( (

)

)

(

)

( )

(

)

( ) ( )

(

) ( )( )

Con esto ya podríamos montar el sistema y hallar ρ y T planteando aquello de:

( )

2.6.4. Caso 4. Cálculo del vapor recalentado dado P y s

Para el caso de que nuestras variables de entrada conocidas sean la P y s

volveríamos a tener un sistema de ecuaciones no lineales y procederíamos como

ya se ha descrito en apartados anteriores. La ecuación para la presión ( P=0)

sería:

(

)( )

(

) ( )

( ) ( )

(

) ( ) ( )



Son las mismas relaciones que se obtuvieron para el caso anterior. Mientras que

para la entropía ( s=0).

(

) (

) ( )

(

) (

) ( )

(

) ( ) ( )

(

)

( )( )

Con esto ya podríamos montar el sistema y hallar ρ y T empleando:

( )

2.6.5. Caso 4. Cálculo del vapor recalentado dado T y s

A diferencia de los casos anteriores, como conocemos T sólo hace falta

determinar ρ. La función a plantear sería:

(

) (

) ( )



(

) (

) ( )

( )

Ya simplemente planteando la ecuación cuando F1=0

( )

2.6.6. Caso 6. Cálculo del vapor recalentado dado T y h

En este caso contamos con las variables de entrada T y h. Como T la conocemos

´solo hay que plantear la ecuación h=0 y nos quedaría.

( (

)

) ( )

( (

)

(

)

( )

( )

(

) ( )

Y operando como siempre cuando F1=0 la solución se obtiene de:

( )



2.6.7. Caso 7. Cálculo del vapor recalentado dado T y P

En este caso nuestras variables conocidas de entrada son T y P. Como T es

conocida sólo hay que plantear la ecuación P=0 y nos quedaría.

(

) ( )

(

)

( )

( )


( )

2.6.8. Caso 8. Cálculo del vapor recalentado dado T y u

En esta caso nuestras variables de entrada conocidas son T y u. Como T es

conocida sólo hay que emplear la ecuación en la entropía de la siguiente manera:

(

)( )

(

)

(

) ( )



( )


( )

2.6.9. Caso 9. Cálculo del vapor recalentado dado ρ y u

En esta caso nuestras variables de entrada conocidas son la ρ y la u. Como ρ es

conocida sólo nos hace falta determinar la T. En este caso las relaciones a

emplear son muy parecidas a las del apartado 2.6.8.

(

)( )

(

)

(

) ( )

(

) ( )


( )



2.6.10. Caso 10. Cálculo del vapor recalentado dado ρ y h

En esta caso nuestras variables de entrada conocidas son la ρ y la u. Como ρ es

conocida sólo nos hace falta determinar la T. En este caso las relaciones a

emplear son muy parecidas a las del apartado 2.6.6.

( (

)

) ( )

( (

)

(

)

( )

(

)

( )


( )

2.6.11. Caso 11. Cálculo del vapor recalentado dado h y s

En esta caso nuestras variables de entrada conocidas son la h y la s. Como ni ρ

ni T son conocidas tendremos que recurrir de nuevo a un sistema de ecuaciones

a partir de h y s. Para la h será lo siguiente.

( (

)

) ( )

( (

)

(

)

( )



(

)

( ) ( )

(

) ( ) ( )

Para la s planteamos esto otro.

(

) (

) ( )

(

) (

) ( )

(

) ( )( )

( )( )

Y ya una vez que tenemos todo sólo nos queda resolver el sistema.

( )



2.7. Esquemas generales iterativos para el cálculo de

propiedades

Hasta ahora sólo hemos obtenido soluciones parciales, es decir, las anteriores

ecuaciones funcionan para cualquiera que sea el valor de sus variables y no

saben distinguir si están en la zona de vapor recalentado, vapor húmedo o

líquido subenfriado.

Gracias a los siguientes diagramas de flujo podremos determinar y delimitar

perfectamente donde se encuentran y que sistema es el adecuado para calcular

las propiedades termodinámicas.

Thorade, M. Saadat, A.

Los diagramas están en los Anexo V. Aquí me limitaré a dar una explicación de

cómo es su funcionamiento.

2.7.1. Diagrama de flujo cuando P y T son dados

El diagrama aparece en el Anexo V

Cuando P y T son las variables de entrada lo primero que hay que hacer es

comprobar si la T>Tcr, en ese caso automáticamente sabremos que estamos en

la zona de vapor recalentado. Por contra si T<Tcr ahora lo que necesitamos

conocer es la Presión de saturación (Psat) con el algoritmo de cálculo del caso

2.Una vez determinada comparándola con nuestra P de entrada se pueden dar 3

supuesto: que P = Psat en cuyo caso nos encontramos dentro de la campana de

Andrews y la solución es una línea que va desde los valores de la propiedades'

hasta las propiedades'' de cada extremo. Otro caso que se puede dar es que P>

Psat en cuyo caso estaremos en la zona de líquido subenfriado. Finalmente si P<

Psat será zona de vapor recalentado y se podrá calcular con el algoritmo del caso

7.

2.7.2. Diagrama de flujo para 2 propiedades que no sean ni P ni T

Este diagrama aparece en el Anexo V.



Este es posiblemente el diagrama de flujo más complejo que emplearemos.

En primer lugar hay que pasarle a la función los valores de las dos propiedades

termodinámicas que queramos emplear (A y B en el esquema). Para ellas existirá

ya un algoritmo (casos 9,10 u 11) que pueda calcular la T y el resto de

propiedades lo que sucede es que aun se tiene que comprobar que no estamos

en la zona de vapor húmedo. Luego con esa T se compara con la Tc del gas. Si

es mayor se terminó el cálculo si es menor con la T determinamos los valores de

saturación. Comparándolos con éstos sabremos que estamos fuera de la

campana si los dos valores A y B son ambos menores o mayores que A' B' o A''

Y B'' respectivamente. Si lo son caso resuelto, sino el siguiente paso será

calcular la xA y xB y su diferencia. Hay que obligarles a que ambos estén en el

intervalo 0<x<1 para asegurarnos de que nos encontramos dentro de la campana

de Andrews, para esto si es necesario iremos cambiando la T sumándole un

decremento Y volviendo a recalcular con T. Una vez consigamos que los títulos

de las propiedades que le hemos dado estén entre 0 y 1 el siguiente paso será

conseguir que sean iguales o que al menos entre ellos haya una diferencia

(tolerancia) muy pequeña. En el momento que esto suceda pues ya hemos

resuelto el caso pero si los títulos no coinciden tiene que pasar por el

ALGORITMO que tiene el funcionamiento de hacer algo parecido a lo anterior,

con la diferencia de que recalculamos la T pero en este caso vamos comparando

paso a paso si la diferencia del erro disminuye. Si disminuye seguimos iterando

pero si no lo hace quiere decir que nos hemos pasado, por lo tanto se le da la

orden de que el incremento de temperatura cambia de signo y se reduce a la

mitad, así continuamente hasta que ya sí los títulos sean iguales y la solución ha

convergido y es buena.

2.7.3. Diagrama de flujo dada T y otra variable (que no sea P)


En este caso se evalúa la función para T y esa otra propiedad A (casos 5,6,7,8).

Si T>Tcr pues caso resuelto, si no lo es hay que evaluar (caso 1) y determinar los



calores A' y A''. Comparándola con estos tanto si A<A' como si A>A'' el caso ya

estaría resuelto con los valores calculado, pero si A'<A<A'' habrá que determinar

xA y ya con los valores extremos y ese título podemos calcular las propiedades.

2.7.4. Diagrama de flujo dada P y otra variable (que no sea T)


En primer lugar con P y esa otra variable A podemos determinar ya una serie de

propiedades (caos 3 y 4). P es conocida rápidamente la comparamos con la Pcr,

si resulta mayor estamos en vapor recalentado (supercrítico) y ya conoceríamos

las propiedades. Si por contra es menos habrá que utilizar otra función (caso 2)

para que nos calcule la Tsat y con ella todos los valores A' y A''. Y ya pues compo

antes, si A<A' como si A>A'' el caso ya estaría resuelto con los valores calculado,

pero si A'<A<A'' habrá que determinar xA y ya con los valores extremos y ese

título podemos calcular las propiedades.

2.7.5. Diagrama de flujo dado T y el título de vapor


Simplemente conocida la T evaluamos si T>Tcr. Si es mayor fin porque no existen

puntos a calcular, pero si está por debajo determinamos (caso 1)con dicha T los

valores extremos de la campana ' y ''. Y simplemente con el título ya podemos

calcularlos.

2.7.6. Diagrama de flujo dado P y el título de vapor


Este caso es de un funcionamiento parecido al anterior. Comparamos la P con la

Pcr, si es mayor no existen puntos y si es menor determinamos T (caso 2) y ya de



paso se obtienen los valores ' y '' de la campana de Andrews. Con el título y

éstas propiedades es fácil la labor de obtención.

3. Resultados

Para comprobar que tan buenos son los resultados calcularemos el error que

tienen con respecto al valor que se ofrecen en las referencias con la fórmula:

( )

Problema 1: Ciclo de refrigeración Rankine con Amoniaco

Este ejercicio corresponde al problema 9 del tema de Refrigeración del Palomar,

J. M. Montoro, V. Cruz, F.

El sistema de refrigeración de la figura emplea NH3 como fluido refrigerante. La

presión del evaporador es P = 1.902 bar y la del condensador es P =11.663 bar.

A la presión intermedia P=4.662 bar se ha instalado un depósito con el fin de

obtener vapor saturado (sin enfriar el vapor). El vapor saturado es comprimido

mediante los compresores hasta la presión del condensador. Calcular: 1.-

Portencia total de compresión por tonelada de refrigeración. 2.- Eficiencia

frigorífica.



Figura 3.1. Esquema de la instalación y diagrama del ciclo

(kg/s) (kg/s) (Kw) ɛ

Referencia 3.156e-3 3.7e-4 0.887 4.37

Calculados 3.2145e-3 3.7823e-4 0.9025 4.29

% Error 1.85 % 2.22 % 1.74 % 1.83 %

Tabla 3.1. % Error cálculos ciclo con Amoniaco

Problema 2: Ciclo de refrigeración Rankine con R-143a

Se simula un ciclo de refrigeración Rankine invertido con el software comercial

SOLKANE 8.0.0. El fluido que recorre el ciclo es refrigerante R-143a. El

compresor funciona con un ηs=0.8.

La siguiente imagen muestra el ciclo que consta de:

-De 1-2 hay un compresor

-De 3-4 hay un condensador

-De 4-5 hay una válvula de expansión

-De 5-6 hay un evaporador



Figura 3.2. Esquema de componentes del ciclo Rankine invertido.

(Kw) (Kw) (Kw) ɛ

Referencia 1.00 1.29 0.29 3.47

Calculados 0.9918 1.2798 0.2879 3.445

% Error 0.82 0.79 0.72 0.72

Tabla 3.2. % Error cálculos ciclo con R-143a



SOLKANE 8.0.0. El fluido que recorre el ciclo es refrigerante R-152a. . El









Figura 3.3 Esquema de componentes del ciclo Rankine invertido.

(Kw) (Kw) (Kw) ɛ

Referencia 1 1.26 0.26 3.86

Calculados 1.0004 1.2618 0.2613 3.8285

% Error 0.04 0.14 0.5 0.816

Tabla 3.3. % Error cálculos ciclo con R-152a



Problema 4: Ciclo de refrigeración Rankine con R-22


SOLKANE 8.0.0. El fluido que recorre el ciclo es refrigerante R-22 . El compresor

funciona con un ηs=0.8.






Figura 3.4. Esquema de componentes del ciclo Rankine invertido.

(Kw) (Kw) (Kw) ɛ

Referencia 1.00 1.27 0.27 3.75

Calculados 1.00 1.2669 0.2669 3.7467

% Error 0 0.24 1.15 0.816

Tabla 3.4. % Error cálculos ciclo con R-22












Figura A.4.17. Esquema de componentes del ciclo Rankine invertido.

(Kw) (Kw) (Kw) ɛ

Referencia 1.00 1.24 0.24 4.13

Calculados 0.9965 1.2321 0.2356 4.2296

% Error 0.35 0.64 1.83 2.41

Tabla 3.5. % Error cálculos ciclo con R-11



Ahora paso a enumerar algunas de las dificultades que han surgido durante la

realización del algoritmo.

-La primera dificultad que surgió fue sin duda las unidades. Internet es una fuente

inagotable de información, pero en realidad dar con lo que exactamente andas

buscando es complicado. Hay que ser selectivo y cauto con la información, sobre

todo contrastarla antes de seguir. Procurar seguir un solo criterio de unidades, el

Sistema Internacional te ayudará.

-A la hora de trabajar con esta clase de algoritmos tienes que tener muy claro lo

que estás haciendo o programando en cada momento, de lo contrario si surge un

pequeño problema puede hacerse una bola si no se resuelve a tiempo.

-Trabajar de forma que se vaya resolviendo el problema poco a poco, a veces

uno trata de abarcar un problema grande de una sola vez y se ve superado, es

mejor ir avanzando poquito a poquito pero seguro.

-A veces me ha pasado que me he quedado totalmente atascado. En esos casos

es bueno contar con la mirada u opinión de otra persona, en este caso mi tutor,

que por su experiencia de tantos años en programación con programas de un

corte parecido, sabía a partir de lo que yo le exponía acerca del fallo, desde

donde o que mecanismos poner en marchar para localizar el error y subsanarlo.



4. Conclusiones

-Como vemos los errores suelen estar entre el 1~2% lo que nos dice que los

algoritmos empleados poseen una buena precisión a la hora realizar cálculos

técnicos.

-Algo que es cierto es que tanto las entalpías, entropías no coinciden pero por el

hecho de estar calculadas desde distintos puntos de referencia, y como vemos

hemos operado con ellas y no ha representado ningún problema.

-Una ventaja de nuestro algoritmo es que además nos ofrece el dato de la

energía interna, hecho que suele ser evitado en las referencias empleadas

porque se puede obtener a partir de la entalpía la presión y el volumen

específico, pero no está de más que te la calcule directamente como es nuestro

caso.

-Decir que nuestro programa está pensado para cuando sea menester

introduzcas la densidad, pero te devuelve el volumen específico. Esto parece una

incongruencia pero es útil dado que la mayoría de la bibliografía que he

empleado proporciona el dato del volumen específico y no la densidad.

-No hago referencia a la precisión, en la bibliografía vienen numerosos estudios

que han ido verificando la precisión. En general consideran admisible la ecuación

hasta unos 500K Y 30 Mpa. Pero hay que tener cuidado con la zona de líquido

subenfriado, sobre todo a altas densidades.

-La conclusión final es que aun habiendo empleado distintas referencias para

llevar a cabo nuestros problemas (una de ellas es un programa de cálculo

extensamente en el mundo de las instalaciones de refrigeración) nuestro

algoritmo ha sido capaz de ofrecernos resultados con precisión, lo que nos invita

a pensar que nuestro algoritmo tiene recorrido y también nos puede ayudar a

resolver problemas propios de la industria y también usarlo con un fin educativo.



Bibliografía

Span. R and Wagner.W (2003). Equations of State for Technical Applicationes.

ISimultaneosly Optimized Funcionals Forms for Nonpolar and Polar Fluids. International

Journal of Thermophysics, Vol24. nº1.

Span. R and Wagner.W (2003). Equations of State for Technical Applications.II Results for

Nonpolar Fluids International Journal of Thermophysics, Vol24. nº1.

Span. R and Wagner.W (2003). Equations of State for Technical Applications.III Results for

Polar Fluids International Journal of Thermophysics, Vol24. nº1.

Conde, C y Schiavi, E. Métodos numércos de resolución de ecuaciones no lineales.

Çengel, A.Y. Boles,M.A.(2012). Termodinámica. Mc Graw Hill.

Thorade, M. Saadat, A. (2012). Helmholtz Media-A Fluid Properties Library. Helmholtz

Centre Postdam GFZ Research Centre for Geosciencces.

Palomar, J. M. Montoro, V. Cruz, F. Apuntes.Problemas de Ingeniería Térmica. Universidad

de Jaén.

Guder,C. and Wagner, W (2008). A Reference Equation of State for the Thermodinamic

Properties of Sulfur Hexaflouride (SF6) for Temperatures form Melting Line to 625 K and

Pressures up yo 150 MPa. Rhur-Universitat Bochum

Haynes,W.M. (1994). Thermophysical Properties oh HFC-143a and HFC-152a.

Thermophysics Division. National Institute of Standars and Technology.

C Physical Properties DATA BANK. Elsevier.

Torres, E.(2014) Práctica 4: Relaciones Termodinámicas.Universidad de Jaén.



ANEXO I: Coeficientes de la parte ideal para las sustancias

( )

a b c d Referencia

CFC -11 40.985 16.308e-2 -1.416e-4 41.462e-9 DATA BANK

CFC-22 17.300 16.182e-2 -1.170e-4 30.585e-9 DATA BANK

HFC 143a 5.744 31.409e-4 2 -2.597e- 84.155e-9 Haynes,W.M

HFC 152a 27.1255 9.220968e-2 2.189067e-4 -2.514364e-7 Haynes,W.M

CO2 19.795 73.436e-3 -5.602e-5 17.153e-9 DATA BANK

NH3 27.568 2.563e-2 0.99072e-5 -6.6909e-9 DATA BANK

Metano 19.250906 0.0521257 1.19792e-5 -1.1317e-8 DATA BANK

Etano 5.409 17.811e-2 -6.938e-5 87.127e-10 DATA BANK

Propano -4.04 30.48e-2 -15.72e-5 31.74e-9 DATA BANK

n-Butano 9.487 33.13e-2 -1.108e-4 -2.822e-9 DATA BANK

n-Pentano 6.774 45.43e-2 -22.46e-5 42.29e-9 Çengel, A.Y.

n-Hexano 6.938 55.22e-2 -28.65e-5 57.69e-9 Çengel, A.Y.

Boles,M.A

n-Heptano -5.416 67.61e-2 -3.651e-4 76.577e-9 DATA BANK

n-Octano -6.096 77.121e-2 -4.195e-4 88.551e-9 DATA BANK

Argón 20.804 -3.211e-5 51.665e-9 0 DATA BANK

Oxígeno 28.106 -3.680e-06 17.459e-06 -1.065e-08 DATA BANK

Nitrógeno 28.9 -0.1571e-2 0.8081e-5 -2.873e-9 DATA BANK

Etileno 3.806 15.659e-02 -8.348e-05 17.551e-09 DATA BANK

Isobutano -1.390 38.473e-02 -1.846e-04 28.952e-09 DATA BANK

Ciclohexano -54.541 61.127e-02 -2.523e-04 13.214e-09 DATA BANK

Tabla A.1.Coeficientes de la parte real



ANEXO II: Coeficientes de la parte real para sustancias no o

débilmente polares

La siguientes imágenes están tomada de la referencia Span. R and Wagner II.

i

CFC-11

ni

CFC-12 ni

HCFC-22 ni

nHFC-32 ni

1 0.10656383E1 0.10557228E1 0.96268924 0.92876414

2 -0.32495206E1 -0.33312001E1 -0.25275103E1 -0.24673952E1

3 0.87823894 0.10197244E1 0.31308745 0.40129043

4 0.87611569E-1 0.84155115E-1 0.72432837E-1 0.55101049E-1

5 0.29950049E-3 0.28520742E-3 0.21930233E-3 0.11559754E-3

6 0.42896949 0.39625057 0.33294864 -0.25209758

7 0.70828452 0.63995721 0.63201229 0.42091879

8 -0.17391823E-1 -0.21423411E-1 -0.32787841E-2 0.37071833E-2

9 -0.37626522 -0.36249173 -0.33680834 -0.10308607

10 0.11605284E-1 0.19341990E-2 -0.22749022E-1 -0.11592089

11 -0.89550567E-1 -0.92993833E-1 -0.87867308E-1 0.44350855E-1

12 -0.30063991E-1 -0.24876461E-1 -0.21108145E-1 -0.12788805E-1

i

CFC-113

ni

HCFC-123 ni

HCFC-125 ni

HFC-134a ni

1 0.10519071E1 0.11169730E1 0.11290996E1 0.10663189E1

2 -0.28724742E1 -0.30745930E1 -0.28349269E1 -0.24495970E1

3 0.41983153 0.51063873 0.29968733 0.44645718E-1

4 0.87107788E-1 0.94478812E-1 0.87282204E-1 0.75656884E-1

5 0.24105194E-3 0.29532752E-3 0.26347747E-3 0.20652089E-3

6 0.70738262 0.66974438 0.61056963 0.42006912

7 0.93513411 0.96438575 0.90073581 0.76739111

8 -0.96713512E-2 -0.14865424E-1 -0.68788457 0.17897427

9 -0.52595315 -0.49221959 -0.44211186 -0.36219746

10 0.22691984E-1 -0.22831038E-1 -0.35041493E-1 -0.67809370E-1

11 -0.14556325 -0.14074860 -0.12698630 -0.10616419

12 -0.27419950E-1 -0.25117301E-1 -0.25185874E-1 -0.18185791E-1

i

HFC-143a

ni

HFC-152a ni

Dióxido de Carbono ni

Amociaco ni

1 0.10306886E1 0.95702326 0.89875108 0.73022720

2 -0.29497307E1 -0.23707196E1 -0.21281985E1 -0.11879116E1

3 0.69435230 0.18748463 -0.68190320E-1 -0.68319136

4 0.71552102E-1 0.63800843E-1 0.76355306E-1 0.40028683

5 0.19155982E-3 0.16625977E-3 0.22053253E-3 0.90801215E-4

6 0.79764936E-1 0.82208165E-1 0.41541823 -0.56216175E-1

7 0.56859424 0.57243518 0.71335657 0.44935601

8 -0.90946566E-2 0.39476701E-2 0.30354234E-3 0.29897121E-1

9 -0.2499452 -0.23848654 -0.36643143 -0.18181684

10 -0.70610813E-1 -0.80711618E-1 -0.14407781E-2 -0.98416660E-1

11 -0.75041709E-1 -0.73103558E-1 -0.89166707E-1 -0.55083744E-1

12 -0.16411241E-1 -0.15538724E-1 -0.23699887E-1 -0.88983219E-2

Figura A.2. Coeficientes de las sustancias no o débilmente polares para la parte residual de la energía

reducida de Helmholtz.



ANEXO III: Coeficientes de la parte real para sustancias

polares

La siguientes imágenes están tomada de la referencia Span. R and Wagner III.

i

Metano

ni

Etano ni

Propano ni

n-Butano ni

n-Pentano ni

1 0.89269676 0.97628068 0.10403973E1 0.10626277E1 0.10968643E1

2 -0.25438282E1 -0.26905251E1 -0.28318404E1 -0.28620952E1 -0.29988888E1

3 0.64980978 0.73498222 0.84393810 0.88738233 0.99516887

4 0.20793471E-1 -0.35366206E-1 -0.76559592E-1 -0.12570581 -0.16170709

5 0.70189104E-1 0.84692031E-1 0.94697373E-1 0.10286309 0.11334460

6 0.23700378E-3 0.24154594E-3 0.24796475E-3 0.25358041E-3 0.26760595E-3

7 0.16653334 0.23964954 0.27743760 0.32325200 0.40979882

8 -0.43855669E-1 -0.42780093E-1 -0.43846001E-1 -0.37950761E-1 -0.40876423E-1

9 -0.15726780 -0.22308832 -0.26991065 -0.62534802 -0.38169482

10 -0.35311675E-1 -0.51799954E-1 -0.69313413E-1 -0.79050969E-1 -0.10931957

11 -0.29570024E-1 -0.27178426E-1 -0.29632146E-1 -0.20636721E-1 -0.32073223E-1

12 0.14019842E-1 0.11246305E-1 0.14040127E-1 0.57053809E-2 0.16877016E-1

i

n-Hexano

ni

n-Heptano ni

n-Octano ni

Argón ni

Oxígeno ni

1 0.10553238E1 0.10543748E1 0.10722545E1 0.85095715 0.88878286

2 -0.26120616E1 -0.26500682E1 -0.24632951E1 -0.24003223E1 -0.24879433E1

3 0.76613883 0.81730048 0.65386674 0.54127841 0.59750191

4 -0.29770321 -0.30451391 -0.36324974 0.16919771E-1 0.96501817E-2

5 0.11879908 0.12253869 0.12713270 0.68825965E-1 0.71970429E-1

6 0.27922861E-3 0.27266473E-3 0.30713573E-3 0.21428033E-3 0.22337443E-3

7 0.46347590 0.49865826 0.52656857 0.17429895 0.18558686

8 0.11433197E-1 -0.71432815E-3 0.19362863E-1 -0.33654496E-1 -0.38429368E-1

9 -0.48256969 -0.54236896 -0.58939427 -0.13526800 -0.15352245

10 -0.93750559E-1 -0.13801822 -0.14069964 -0.16387351E-1 -0.26726815E-1

11 -0.67273247E-2 -0.61595287E-2 -0.78966331E-2 -0.24987667E-1 -0.25675299E-1

12 -0.51141584E-2 0.48602510E-2 0.33036598E-2 0.88769205E-2 0.95714302E-2

i

Nitrógeno

ni

Etileno ni

Isobutano ni

Ciclohexano ni

SF6 ni

1 0.92296567 0.90962230 0.10429332E1 0.10232354E1 0.12279403E1

2 -0.25575012E1 -0.24641015E1 -0.28184273E1 -0.29204964E1 -0.33035623E1

3 0.64482463 0.56175311 0.86176232 0.10736630E1 0.12094019E1

4 0.10831020E-1 -0.19688013E-1 -0.10613619 -0.19573985 -0.12316000

5 0.73924197E-1 0.78831145E-1 0.98615749E-1 0.12228111 0.11044657

6 0.23532962E-3 0.21478776E-3 0.23948209E-3 0.28943321E-3 0.32952153E-3

7 0.18024854 0.23151337 0.30330005 0.27231767 0.27017629

8 -0.45660299E-1 -0.37804454E-1 -0.41598156E-1 -0.44833320E-1 -0.62910351E-1

9 -0.15521060 -0.20122739 -0.29991937 -0.38253334 -0.31828890

10 -0.38111490E-1 -0.44960157E-1 -0.80369343E-1 -0.89835333E-1 -0.99557419E-1

11 -0.31962422E-1 -0.28342960E-1 -0.29761373E-1 -0.24874965E-1 -0.36909694E-1

12 0.15513532E-1 0.12652824E-1 0.13059630E-1 0.10836132E-1 0.19136427E-1

Figura A.3. Coeficientes de las sustancias polares para la parte residual de la energía reducida de

Helmholtz



ANEXO IV: Ejercicios propuestos resueltos

Problema 1: Ciclo de refrigeración Rankine con Amoniaco

Este ejercicio corresponde al problema 9 del tema de Refrigeración del Palomar,

J. M. Montoro, V. Cruz, F.

El sistema de refrigeración de la figura emplea NH3 como fluido refrigerante. La

presión del evaporador es P = 1.902 bar y la del condensador es P =11.663 bar.

A la presión intermedia P=4.662 bar se ha instalado un depósito con el fin de

obtener vapor saturado (sin enfriar el vapor). El vapor saturado es comprimido

mediante los compresores hasta la presión del condensador. Calcular: 1.-

Portencia total de compresión por tonelada de refrigeración. 2.- Eficiencia

frigorífica.

Figura A.4.1. Esquema de la instalación y diagrama del ciclo

En primer lugar voy a emplear la función que he implementado para conocer las

propiedades en cada punto.



P (bar) T (K) h (KJ/Kg) s (KJ/Kg K) v (Kg/m3) u (KJ/Kg K) x Función empleada

1 1.902 253 -118.1745 -0.7217 0.6259 -236.46 P-T

1' 4.662 275.22 -90.9842 -1.0321 0.2685 -215.5386 T-P

2 11.663 381.1068 147.6335 -0.7217 0.1516 -29.1636 P-s

2' 11.663 338.1735 36.1822 -1.0322 0.1303 -115.8068 P-s

3 11.663 303 -1211.1 -5.1287 0.0017 -1213 P-T

4 275.3603 275.3603 -1211.1 -5.106 0.0292 -1225.7 0.104 P-X

5 275.22 275.22 -1342.9 -5.581 0.0016 -1343.7 0.0907 P-T

6 253.14 253.14 -1324.9 -5.4881 0.0578 -1350 P-h

Tabla A.4.1. Datos obtenidos con la función implementada para el Amoniaco.

( )

( ) / /

( ) ( )

/

La potencia del compresor, por tonelada de refrigeración será:

( ) ( )

( )

( ( )



La eficiencia frigorífica vendrá dada por:

/



SOLKANE 8.0.0. El fluido que recorre el ciclo es refrigerante R-143a. El










Éstos son los datos que arroja el programa:

Figura A.4.3.Datos aportados por el software para el R-143a.



Los diagramas que presenta el ciclo son:

Figura A.4.4.Ciclo P-h facilitado por el Solkane para el R-143a.



Figura A.4.5.Ciclo T-s facilitado por el Solkane para el R-143a.

Sus principales índices funcionales son:

Figura A.4.6. Parámetros funcionales del ciclo

Los valores que obtengo de mi función son los siguientes:



P (bar) T (K) h (KJ/Kg) s (KJ/Kg

K) v (Kg/m

3)

u (KJ/Kg

K) x

Función

empleada

1 270 4.49 -37.143 -0.2693 0.0528 -60.7365 P-T

2s 321.25 16.2058 -6.1618 -0.2693 0.01476 -30.086 T-ρ

2 326.94 16.2058 1.4408 -0.2454 0.0154 -23.5498 P-T

3 326.94 16.2058 1.4408 -0.2454 0.0154 -23.54 P-T

3' 308 16.23 -25.2309 -0.3294 0.013 -46.3147 P-T

4' 308 16.23 -170.0337 -0.8005 0.0011 -172.163 P-T

4 308 16.23 -170.0337 -0.8005 0.0011 -172.163 P-T

5 263 4.4629 -170.0337 -0.7749 0.0189 -178.784 0.3614 T-h

6'' 263 4.4629 -44.4715 -0.2963 0.0507 -67.0947 P-T

6 270 4.49 -37.143 -0.2693 0.0528 -60.7365 P-T

Tabla A.4.2. Datos obtenidos con la función implementada para el R-143a.

Calculando la potencia para el evaporador, condensador y compresor con la

ayuda del dato del flujo másico que ha estimado el programa obtenemos:

( ) ( ( )

( ) ( ( )

( ) ( ( )

El índice de potencia de enfriamiento del ciclo es:





SOLKANE 8.0.0. El fluido que recorre el ciclo es refrigerante R-152a. . El











Figura A.4.8.Datos aportados por el software para el R-152a.




Figura A.4.9.Ciclo P-h facilitado por el Solkane para el R-152a.



Figura A.4.10.Ciclo T-s facilitado por el Solkane para el R-152a.







K) v (Kg/m

3)

u (KJ/Kg

K) x

Función

empleada

1 1.81 270 -36.0638 -19.44 0.1767 -68.0508 P-T

2s 7.94 330.1023 14.7353 -19.44 0.0458 -21.622 P-s

2 7.94 340.27 27.9694 -0.1549 0.048 -10.1403 P-T

3 7.94 340.27 27.9694 -0.1549 0.048 -10.1403 P-T

4' 7.94 308 -281.1484 -1.1514 0.0011 -282.9824 P-T

4 7.94 308 -281.1484 -1.1514 0.0011 -282.0536 P-T

5 1.81 263.0515 -281.1484 -1.1257 0.0433 -288.9824 0.2489 T-h

6'' 1.81 263 -43.7039 -0.2228 0.1711 -74.6181 P-h

6 1.81 270 -36.0638 -19.44 0.1767 -68.0508 P-T

Tabla A.4.3. Datos obtenidos con la función implementada para el R-152a.



( ) ( ( )

( ) ( ( )

( ) ( ( )

















Figura A.4.13.Datos aportados por el software para el R-22.


Figura A.4.14.Ciclo P-h facilitado por el Solkane para el R-22.



Figura A.4.15.Ciclo T-s facilitado por el Solkane para el R-22.







K) v (Kg/m

3)

u (KJ/Kg

K) x

Función

empleada

1 3.55 270 -24.9416 -0.2026 0.0675 -48.899 P-T

2s 3.55 336.5976 9.7984 -0.2026 0.0204 -17.9043 P-s

2 13.5433 347.07 18.5308 -0.1777 0.0215 -10.5872 T-ρ

3 13.5433 347.07 18.5308 -0.1777 0.0215 -10.5872 P-T

4' 13.55 308 -187.8094 -0.8403 8.928e-4 -188.9824 P-T

4 13.55 308 -187.8094 -0.8403 8.928e-4 -188.9824 P-T

5 3.55 263.16.09 -187.8094 0.0173 0.0173 -193.9562 0.2571 P-h

6'' 3.55 263 -29.9252 0.0655 0.0655 -53.0498 P-T

6 3.55 270 -24.9416 -0.2026 0.0675 -48.899 P-T

Tabla A.4.4. Datos obtenidos con la función implementada para el R-22.



( ) ( ( )

( ) ( ( )

( ) ( ( )

















Figura A.4.18.Datos aportados por el software para el R-11.

En este caso el programa no arroja los diagramas P-h ni T-s.







K) v (Kg/m

3)

u (KJ/Kg

K) x

Función

empleada

1 0.2581 270 -16.3246 0.0258 0.626 -32.4802 T-ρ

2s 1.47 326.91 14.3184 0.0258 0.1296 -4.7355 P-s

2 1.47 337.9 20.9969 0.0459 0.1345 1.2219 P-T

3 1.47 337.9 20.9969 0.0459 0.1345 1.2219 P-T

4' 1.47 308 -174.1869 -0.5856 6.8914e-4 -174.2885 P-T

4 1.47 308 -174.1869 -0.5856 6.8914e-4 -174.2885 P-T

5 0.2728 264.3426 -174.1869 -0.5745 0.1145 -177.3114 0.1969 ρ-h

6'' 0.26 263 -20.198 0.0117 0.6135 -35.9186 P-T

6 0.2581 270 -16.3246 0.0258 0.626 -32.4802 P-T

Tabla A.4.5. Datos obtenidos con la función implementada para el R-22.



( ) ( ( )

( ) ( ( )

( ) ( ( )




ANEXO V: Diagramas de flujo para el cálculo de propiedades



Esquema 1: Diagrama de flujo cuando P y T son dados

Esquema A.5.1. Diagrama para P y T como variables de entrada.



Esquema 2: Diagrama de flujo para 2 propiedades que no sean ni P ni T



Esquema A.5.2. Diagrama 2 variables de entrada cualquiera excepto P, T ni el título.



Esquema 3: Diagrama de flujo dada T y otra variable (que no sea P)

Esquema A.5.3. Diagrama para el caso de conocer T y otra propiedad termodinámica que no sea la P.



Esquema 4: Diagrama de flujo dada P y otra variable (que no sea T)

Esquema A.5.4. Diagrama para el caso de conocer P y otra propiedad termodinámica que no sea la T.



Esquema 5: Diagrama de flujo dado T y el título de vapor

Esquema A.5.5. Diagrama para el caso de conocer T y el título de vapor.



Esquema 6: Diagrama de flujo dado P y el título de vapor

Esquema A.5.6. Diagrama para el caso de conocer P y el título de vapor

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APROXIMACIÓN NUMÉRICA DE PROPIEDADES …tauja.ujaen.es/bitstream/10953.1/9357/1/TFG Juan Francisco Sierra Canales.pdf · Figura 1.1. Procedimiento para determinar propiedades termodinámicas