Aproksimacija i Interpolacija(1)

Aproksimacija i interpolacija

Mr. sc. Tatjana Stanivuk Pomorski fakultet u Splitu

Opći problem aproksimacije

Ako su poznate neke informacije o funkciji f, definiranoj na nekom skupu , na osnovu tih informacija želimo f zamijeniti nekom drugom funkcijom na skupu X, tako da su f i bliske u nekom smislu. Skup X je najčešće interval oblika

(može i neograničen), ili diskretni skup točaka.

Problem aproksimacije javlja se u dvije bitno različite formulacije:

X R

,a b


a) Poznata je funkcija f (npr. analitički), ali je njena forma prekomplicirana za računanje. U tom slučaju odabiremo neke informacije o f (koje ćemo koristiti) i po nekom kriteriju odredimo aproksimacijsku funkciju

. Jednako tako, možemo ocijeniti grešku dobivene aproksimacije, obzirom na pravu vrijednost funkcije f.


b) Funkcija f nije poznata, ali su poznate samo neke informacije o njoj, npr. vrijednosti na nekom skupu točaka. Zamjenska funkcija određuje se iz raspoloživih informacija, koje, osim samih podataka, uključuju i očekivani oblik ponašanja podataka, tj. funkcije . U ovom se slučaju ne može napraviti ocjena pogreške bez dodatnih informacija o nepoznatoj funkciji f .

Varijanta (b) je puno češća u praksi. Najčešće se javlja kod mjerenja raznih veličina, jer, osim izmjerenih podataka, pokušavamo aproksimirati i podatke koji se nalaze “između” izmjerenih točaka.

Opći problem aproksimacijePrimijetimo da se kod mjerenja javljaju i pogreške

mjerenja, pa postoje posebne tehnike za ublažavanje tako nastalih grešaka.

Funkcija bira se prema prirodi modela, ali tako da bude relativno jednostavna za računanje. Ona obično ovisi o parametrima , koje treba odrediti po nekom kriteriju,

tzv. opći oblik aproksimacijske funkcije.

, 0,...,ka k m

0 1; , ,..., mx x a a a


Oblike aproksimacije funkcije možemo (grubo) podijeliti na:

a) linearne aproksimacije funkcije ,

b) nelinearne aproksimacije funkcije.

Linearne aproksimacije funkcije

Opći oblik je

,

gdje su poznate funkcije koje znamo računati. Primijetimo da se linearnost ne odnosi na oblik funkcije , već na njenu ovisnost o parametrima koje treba odrediti. Prednost ovog oblika aproksimacijske funkcije je da određivanje parametara obično vodi na sustave linearnih jednadžbi.

0 0 1 1 ... m mx a x a x a x

0 ,..., m

ka

ka


Najčešće korišteni oblici linearnih aproksimacijskih funkcija:

1. Algebarski polinomi, tj.

.

Funkciju nije nužno zapisati u standardnoj bazi običnih potencija . Često je neka druga baza pogodnija, npr. tzv. ortogonalnih polinoma ili baza ,

gdje su zadane točke.

, 0,...,kk x x k m

x 1, ,..., mx x

0 1 ... mmx a a x a x

0 0 11, , ,...x x x x x x

0 1, ,...x x


2. Trigonometrijski polinomi, pogodni za aproksimaciju periodičkih funkcija, npr. u modeliranju signala. Za funkciju uzima se m+1 funkcija iz skupa

3. Po dijelovima polinomi, tzv. splajn funkcije. Ako su zadane točke , onda se splajn funkcija na svakom podintervalu svodi na polinom određenog fiksnog (niskog) stupnja, tj.

a su polinomi najčešće stupnjeva 1, 2, 3 ili 5.

k 1,cos ,sin ,cos 2 ,sin 2 ,...x x x x

0 ,..., nx x

1,, 1, 2,...,

k kkx x p k n

kp

Nelinearne aproksimacije funkcije Najčešće korišteni oblici nelinearnih aproksimacijskih

funkcija:

1. Eksponencijalne aproksimacije,

, koje imaju n=2r+2 nezavisna parametra, a opisuju npr. procese rasta i odumiranja u raznim populacijama s primjenom u biologiji, ekonomiji i medicini.

2. Racionalne aproksimacije

koje imaju mnogo bolja svojstva aproksimacije nego polinomi, a pripadna teorija je relativno nova.

0 10 1 ... rb x b x b x

rx c e c e c e

0 1

0 1

...

...

rrs

s

b b x b xx

c c x c x

Kriteriji aproksimacije

Aproksimacije funkcije biraju se tako da “najbolje” zadovolje uvjete koji se postavljaju na njih. Najčešći su zahtjevi da graf aproksimacije funkcije prolazi određenim točkama tj. da interpolira funkciju u tim točkama ili da je odstupanje aproksimacijske od polazne funkcije u nekom smislu minimalno, tj. tada se minimizira pogreška.

Kriteriji aproksimacije

INTERPOLACIJA

je zahtjev da se vrijednosti funkcija f i podudaraju na nekom konačnom skupu argumenata ili kraće točaka, koje obično nazivamo čvorovima interpolacije. Ovom zahtjevu se može, ali i ne mora dodati zahtjev da se u čvorovima, osim funkcijskih vrijednosti, poklapaju i vrijednosti nekih derivacija.

Kriteriji aproksimacije Drugim riječima, u najjednostavnijem obliku interpolacije, kad tražimo samo podudaranje funkcijskih vrijednosti, od podataka o funkciji f koristi se samo informacija o njenoj vrijednosti na skupu od (n+1) točaka, tj.podaci oblika , gdje je

za k = 0, ... ,n.

Parametri (kojih mora biti točno onoliko koliko i podataka!) određuju se iz uvjeta

što je nelinearni sustav jednadžbi. Ako je aproksimacijska funkcija linearna, onda za parametre dobivamo sustav od, točno, n+1 linearnih jednadžbi i n+1 nepoznanica.

,k kx f k kf f x

0 ,..., na a

0 1; , ,..., , 0,..., ,k n kx a a a f k n

ka

Kriteriji aproksimacije Matrica tog sustava je kvadratna, što bitno olakšava analizu egzistencije i jedinstvenosti rješenja za parametre interpolacije.

MINIMIZACIJA POGREŠKE

Funkcija bira se tako da se minimizira neka odabrana norma pogreške

u nekom odabranom vektorskom prostoru funkcija definiranih na nekoj domeni X. Ove aproksimacije, često zvane i najbolje aproksimacije po normi,dijele se na diskretne i kontinuirane, ovisno o tome minimizira li se norma pogreške e na diskretnom ili kontinuiranom skupu podataka X.

e x f x x

Kriteriji aproksimacije Standardno se kao norme pogreške koriste 2-norma i

-norma.

Za 2-normu pripadna se aproksimacija zove srednjekvadratna, a metoda za njeno nalaženje zove se metoda najmanjih kvadrata. Funkcija , tj. njeni parametri, traže se tako da bude minimalna na X.

Za -normu pripadna se aproksimacija zove minimaks, a parametri se biraju tako da bude minimalna.

2e

e

Kriteriji aproksimacije Osnovni matematički problemi u teoriji aproksimacije

koje treba riješiti:

a) egzistencija i jedinstvenost rješenja problema aproksimacije, što ovisi o tome koje funkcije f aproksimiramo kojim funkcijama i kako mjerimo grešku.

b) analiza kvalitete dobivene aproksimacije – vrijednost “najmanje” pogreške i ponašanje funkcije greške e,

c) konstrukcija algoritama za računanje najbolje aproksimacije

d) dokaz efikasnosti i točnosti algoritma, a ako je proces beskonačan njegovu globalnu i asimptotsku konvergenciju.

Pojam interpolacije Sam pojam INTERPOLACIJE znači da se iz dvije

zadane vrijednosti funkcije odnosno dva argumenta koja se nalaze na osi apcisa nađe vrijednost funkcije koja je međuvrijednost ova dva argumenta. Ako tražimo vrijednost funkcije za nivo argumenta izvan zadanih vrijednosti varijabli onda govorimo o EXSTRAPOLACIJI. Problem interpolacije se sastoji u tome da se odredi funkcija koja što preciznije aproksimira zadanu funkciju prema tabličnim vrijednostima, no moramo obratiti pažnju da nova funkcija također treba prolaziti točkama kojima prolazi i zadana funkcija prema tabličnim podacima.

Pojam interpolacije Neka je orginalna funkcija f(x) te neka je

aproksimira funkcija . Ta se aproksimacija formulira dvjema nejednadžbama:

, gdje je prozvoljno mali

pozitivan broj

x

x f x x

Interpolacija Na intervalu odredimo n+1 točku

, koje se zovu čvorne točke ili čvorovi interpolacije, u

kojima je Tražimo funkciju (funkcija interpolacije) koja

poprima iste vrijednosti u čvornim točkama tj.

Ako je neki polinom, zadatak je jednoznačno rješiv.

Dakle, kad su zadane funkcijske vrijednosti u različitim točkama možemo iskazati teorem koji u potpunosti rješava prvo ključno pitanje egzistencije i jedinstvenosti rješenja problema polinomske interpolacije u njegovom najjednostavnijem obliku.

,a b 0 1 2, , ,..., nx x x x

0 0 1 1, ,..., .n ny f x y f x y f x x

0 0 1 1, ,..., .n nx y x y x y

x

Egzistencija i jedinstvenost interpolacijskog polinoma

Teorem:Neka je Za zadane točke

gdje je za postoji jedinstveni (interpolacijski) polinom stupnja najviše n

za koji vrijedi

U praksi je zabranjeno koristiti interpolacijske polinome stupnja većeg od 3, jer mogu imati vrlo velike greške. U tim slučajevima koristimo se splajnovima ili metodom najmanjih kvadrata.

0 1: ... nn nx p x a a x a x

0.n N , , 0,..., ,k kx y k n

i jx x ,i j

, 0,..., .n k kp x f k n

InterpolacijaKonkretizirajmo: Pretpostavimo da smo uzeli samo 2 točke One jednoznačno

određuju polinom 1. stupnja tj. pravac. Njegova jednadžba glasi

Tu jednadžbu možemo lako prikazati u obliku koji slijedi i u kojem je y zamijenjen sa :

0 0 0 1 1 1, , .T x y i T x y

1p x

1 00 0

1 0.

y yy y x x

x x

1p x

011 0 1

0 1 1 0.

x xx xy p x y y

x x x x

Interpolacija Uzimajući za x od do umijesto vrijednosti

funkcije vrijednosti toga polinoma , tj. vrijednosti linearne funkcije odnosno ordinate pravca, vršimo linearnu interpolaciju, koja nam je dobro poznata iz računanja s logaritamskim tablicama.

Ako su nam poznate 3 točke i uzimamo u međutočkama ordinate

parabole tj. vrijednosti polinoma 2.stupnja, koji glasi:

1x 2x 1p x

0 0 0 1 1 1, , ,T x y T x y

2 2 2, ,T x y

0 21 22 0 1

0 1 0 2 1 0 1 2

0 12

2 0 2 1.

x x x xx x x xy p x y y

x x x x x x x x

x x x xy

x x x x

Interpolacija

Taj polinom prolazi trima zadanim točkama jer uvrštavanjem daje

To je parabolična interpolacija koja se uvijek primjenjuje kada druge tablične razlike nisu jednake, npr. pri računanju s logaritamskim tablicama od 10 decimala.

0 1 2,x x x x i x x 0 1 2, .y y i y

Interpolacija Općenito, kada je dan niz točaka , vršimo interpolaciju pomoću

polinoma koji glasi:

0 0 0 1 1 1, , , ,...T x y T x y

..., ,n n nT x y

np x

1 20

0 1 0 2 0

0 21

1 0 1 2 1

0 1 1

0 1 1

...

...

......

...

...... .

...

nn

n

n

n

nn

n n n n

x x x x x xy p x y

x x x x x x

x x x x x xyx x x x x x

x x x x x xy

x x x x x x

To je Lagrangeovog interpolacijskog polinoma koji možemo zapisati i ovako:

(PAZI: u brojnik svakog člana formule ne smije doći x s indeksom koji ima y toga člana, već svi ostali x-evi, dok je prvi član svakog faktora u nazivniku uvijek onaj x koji nismo smjeli pisati u brojniku, a ostali se x-evi jednostavno prepisuju prema brojniku)

Lagrangeov interpolacijski polinom

Primjećujemo da čvorovi interpolacije ne moraju biti ekvidistantni kod Ako funkcija f koju interpoliramo ima (n+1)-u neprekidnu derivaciju onda smo interpolacijom napravili grešku

pri čemu je

Ova ocjena greške vrijedi i za Newtonov oblik interpolacijskog polinoma.

.nL x

Lagrangeov interpolacijski polinom

Zadatak 1.Naći Lagrangeov interpolacijski polinom za tablično zadane podatke .Rj.Primijetite da grešku ne možete ocjenjivati, jer nije zadana funkcija iz koje su uzeti ti podaci.Kako u tablici imamo 3 čvora, a n+1=3, imamo interpolacijski polinom 2. stupnja.

Zadatak 2.

a) Naći interpolacijski polinom koji funkciju interpolira u točkama s x-koordinatama: b) Ocijeniti grešku tako dobivene iterpolacije;c) Izračunati vrijednost dobivenog

interpolacijskog polinoma u točki d) Ocijeniti grešku iterpolacije u toj točki;e) Naći pravu grešku.

0 1 21 1

0, ;6 2

x x i x

0.4;x

sin ;f x x

Zadatak 2. Rj.a) Uvrštavajući u funkciju

dobijamo redom

Kako imamo 3 podatka, možemo naći interpolacijski polinom koji ima stupanj manji ili jednak 2.

Računajući dobivamo Lagrangeov interpolacijski polinom 2. stupnja koji glasi:

b) Za ocjenu greške treba nam

22

73 .

2p x x x

x

0 1 21

0, , 1.2

y y y

2p x

3 20 1 2

2 1...

3 12x x x x x x x x x x

sinf x x0 1 2

1 10,

6 2x x i x

Zadatak 2. i treća derivacija funkcije f:

Tada imamo

jer je

`

3`` 2 3

f x sin f x cos

f x sin f x cos .

x x

x x

3 33

1 10, 0,2 2

max max cosx x

M f x x

3 3

10,2

max cos ,x

x

10 0, cos0 1.

2i

Zadatak 2. Prema tome, ocjena greške za proizvoljnu

točku iz intervala glasi

c) Interpolacija u zadanoj točki:

d) Ocjena greške (budući da je ):

3

3 22

2 1.

3! 3 12f x p x x x x

10,2

227

0.4 3 0.4 0.4 0.92.2

p 1

0.4 0,2

3

3 22

2 10.4 0.4 0.4 0.4 0.4

3! 3 12

0.04823198604.

f p

Zadatak 2. e) Prava greška je

I ona je, naravno, po apsolutnoj vrijednosti manja ili jednaka ocjeni greške.

20.4 0.4 sin 0.4 0.92 0.0310565164,f p

Zadatak 3.

Da se odredi dozvoljeno opterećenje željeznih lanaca, kojima su karike kružnog presjeka promjera d , bilo je pokusnim putem određeno dozvoljeno opterećenje P. Za lance sljedećih promjera , dobiveno je Treba sastaviti tablicu dozvoljenih opterećenja za lance kojima je promjer d karika

1 2 38 , 16 20d mm d mm i d mm

1 2 3400 , 1600 2500 .P kg P kg i P kg

6 ,11 ,13 ,18 , 25 30 .mm mm mm mm mm i mm

Zadatak 3.

Rj.

d 6 8 11 13 16 18 20 25 30

P 225 400 756 1056

1600

2025

2500

3906

5625

Interpolacija

Lagrangeov oblik interpolacijskog polinoma nije pogodan kad želimo povećati stupanj interpolacijskog polinoma da bismo, eventualno, poboljšali aproksimaciju i smanjili grešku, zbog toga što interpolacijski polinom moramo računati od početka. Zato se on uglavnom koristi u teorijske svrhe (za dokaze), dok se u praksi koristi nešto bolji Newtonov oblik interpolacijskog polinoma .

Newtonovi interpolacijski polinomi Naime, iz teorema o egzistenciji i jedinstvenosti

interpolacijskog polinoma, imamo interpolacijski polinom stupnja n koji glasi:

Za određivanje koeficijenata možemo se poslužiti sistemom n+1 linearnih jednadžbi

No, takav put izračunavanja koeficijenata ima 2 nedostatka:

1. Dug je.2. Ne omogućuje ocjenjivanje greške i zaustavljanje

rada samo na potrebnom broju točaka, pri približnom izračunavanju.

0 1: ... nn nx p x a a x a x

0 1, ,..., na a a

20 1 2 ... 0,1,2,...,n

j j j n jy a a x a x a x j n

Newtonovi interpolacijski polinomiPostoji drugi način interpolacije, zasnovan na

obrascima izraženim ne pomoću samih funkcija već pomoću tzv. razlika.

RAČUN PODIJELJENIH (KONAČNIH) RAZLIKA

Ako je zadana funkcija y = f(x) i , prirast nezavisne varijable kojeg zovemo korak, onda za prvu razliku ili razliku prvog reda imamo

x h

y

.h y f x h f x

Newtonovi interpolacijski polinomiAko je za razliku imamo Ako sad obrazujemo razliku između naredni vrijednosti funkcije, možemo staviti

Razlika, između dviju uzastopnih prvih razlika čini drugu razliku ili razliku drugog reda, i označava se Dakle,

Ako u ovu jednadžbu uvrstimo vrijednosti prvih razlika, dobijemo

2 1,y y

0 1, ,f x y f x h y

1 0 0 1 0 0.y y y y y y

2 1 1.y y y

1 0y y

20.y 2

0 1 0.y y y

20 2 1 1 0 2 1 02 .y y y y y y y y

Newtonovi interpolacijski polinomiAko zatim uvedemo treću razliku ili razliku trećeg reda, ona se pomoću ordinata izražava:

Nastavljajući postupak, dobili bi četvrtu razliku, ... .Vidimo da svaka razlika može biti izražena pomoću

osnovnih ordinata i da su koeficijenti jednaki koeficijentima Newtonova binomnog obrasca.

Za izračunavanje podijeljenih razlika koriste se tablice podijeljenih razlika: horizontalna i dijagonalna. One sadrže identične podatke, samo je njihov način prikazivanja različit. Pri tome vrijedi da je:

3 2 20 1 0 ,y y y

30 3 2 1 2 1 0 3 2 1 02 2 3 3 .y y y y y y y y y y y

1 11 ; , 1 0,1,..., .h h h

j j jy y y h j n

Tablica 1. Horizontalna tablica razlika

Newtonovi interpolacijski polinomi

Tablica 2. Dijagonalna tablica razlika


Direktno nalazimo ...

tj.

I dobijemo Newtonov interpolacijski polinom stupnja najviše n koji interpolira podatke


20 0

0 0 0 12

00 1 1

...2

... ... .!

n

nn

y yy x x y x x x x x x

h h

yx x x x x x

n h

1 0 00 0 1

1 0, ,

y y ya y a

x x h

2

2 1 0 02 2

2 0 2 1

2,

2!

y y y ya

x x x x h

0 , 0,1,...,!

j

j j

ya j n

j h

, , 0,1,..., :j jx y j n

To je prvi Newtonov interpolacijskog polinoma koji možemo zapisati i ovako:

Napisani Newtonov interpolacijski polinom ponekad se izražava i u drugom obliku.

Prvi Newtonov interpolacijski polinom

21 0 0

0 0 0 12

00 1 1

...2

... ... .!

n

n

nn

y yN x y x x x x x x

h h

yx x x x x x

n h

Naime, zbog pojednostavljenja, umjesto vrijednosti x uvedemo broj q, . Budući da nam treba izraz oblika , izražen u funkciji od q, bit će:

Sa ovim vrijednostima za razlike, prvi Newtonov interpolacijski polinom postaje


0x xq

h

jx x

h

Načinom formiranja, , predodređen je za procjenjivanje vrijednosti funkcije u okolini . Prvi Newtonov interpolacijski polinom može se upotrebljavati i u okolini samo što će onda greška biti veća. Greška interpolacije kod prvog Newtonovog interpolacijskog polinoma:

gdje je , a znamo da je


x x 0x

nx

1nN

Drugi Newtonov interpolacijski polinomPotražimo sada interpolacijski polinom od čvora u obliku

Nepoznate koeficijente određujemo iz interpolacijskog svojstva

Zamjenom u gornju formulu dobivamo

tj. .

nx

jb

2nN x

U ovom slučaju ješto nam daje zaključak o vrijednosti

Uvrštavajući sve vrijednosti zajedno sa gore izračunatim transformiranim prirastima u dobivamo drugi Newtonov interpolacijski polinom:

Drugi Newtonov interpolacijski polinom

jb 2

nN x

Zbog načina formiranja , jasno je da ovaj polinom koristimo za procjenivanje vrijednosti sa kraja interpolacijskog intervala tj. za procjenu vrijednosti funkcije u okolini .

Greška interpolacije kod drugog Newtonovog interpolacijskog polinoma:

gdje je ,

a znamo da je .

Drugi Newtonov interpolacijski polinom

nx

2nN

Gaussovi interpolacijski polinomiU Newtonovim formulama koriste se samo vrijednosti koje se nalaze na jednoj strani izabrane početne vrijednosti. Sada, neka je zadano 2n+1 ekvidistantnih čvorova gdje je

i

Gaussovi interpolacijski polinomi koriste se za sredinu tablice razlika, i to:

Prvi Gaussov interpolacijski polinom Ako je

koristimo prvi Gaussov polinom koji glasi

0 0x x

qh

Drugi Gaussov interpolacijski polinom Ako je

koristimo drugi Gaussov polinom koji glasi

0 0x x

qh

Greška kod oba polinoma je

gdje je , a onaj argument u kojem

procjenjujemo nepoznatu vrijednost funkcije.

Inače kod Gaussovih interpolacijskih polinoma možemo imati i paran broj ulaznih čvorova u zadanom skupu. Ako nije određeno gdje se nalazi središnji čvor , sami određujemo središnju vrijednost, tako da uvijek možemo koristiti ili prvi ili drugi Gaussov interpolacijski polinom.

Gaussovi interpolacijski polinomi

0x xq

h

x

0x

Zadatak 4. Izračunati brojeve log 1.7, log 2.5, log 3.1 i

log 4.6,

Napomena: vrijednosti logaritama zaokružiti na 3 decimale

Rj. log1 = 0,000log2 = 0,301log3 = 0,477log4 = 0,602log5 = 0,699

logf x x

Formirajmo tablicu podijeljenih razlika:

Zadatak 4.

Kako se x = 1.7 nalazi na početku tablice podijeljenih razlika, za računanje koristimo prvi Newtonov interpolacijski polinom, pa za

, on glasi

Zadatak 4.

0 1.7 10.7

2 1

x xq

h

14

0.7 0.7 11.7 0 0.7 0.301 0.125

20.7 0.7 1 0.7 2

0.0746

0.7 0.7 1 0.7 2 0.7 30.051 0.228

24

N

Za x = 4.6 sa kraja tablice koristimo drugi Newtonov interpolacijski polinom. Sada je a polinom je oblika

Zadatak 4.4.6 5

0.4 ,1

q

Za x = 2.5 , x = 3.1 koji su nalaze na sredini tablice podijeljenih razlika, koristi ćemo Gaussove interpolacijske polinome. Koji ćemo od njih koristiti ovisit će o q. Za x = 2.5 ,

Tablica razlika izgleda ovako:

Zadatak 4.

2.5 30.5 0

1q

pa koristimo 2. Gaussov interpolacijski polinom koji glasi:

Zadatak 4.

Za x = 3.1 , pa koristimo 1. Gaussov interpolacijski polinom koji glasi:

Zadatak 4.3.1 3

0.1 01

q

14G

Funkcija zadana je tablično na 3 decimale

Naći vrijednost i ocijeniti grešku. Naći i pravu grešku.

Zadatak 5.

3 x

31.15

1.0 1.1 1.3 1.5 1.6

1.000

1.032

1.091

1.145

1.170

kx

kf

Rj. Formirajmo tablicu podijeljenih razlika

Zadatak 5.

Budući da imamo 5 podataka, interpolacijski je polinom 4. stupnja i glasi

Njegova vrijednost za x = 1.15 je

Za ocjenu greške treba nam 5-ta derivacija:

Zadatak 5.

4 1.047295313 1.047p x

Nadalje,

Nađimo još i :

= (broj je najveći ako mu je nazivnik najmanji, a to je 1) =

Zadatak 5.

5M

4

1.15 1.15 1.0 1.15 1.1 1.15 1.3 1.15 1.5 1.15 1.6

... 1.771875 10

5 14 / 3

5 5 5 3 141,1.6 1,1.6 1,1.6

880 880 1max max max

3 3x x xM f x x

x

5880

.3

Ocjena greške u 1.15 je

Izračunajmo još pravu grešku

Primjetimo:Pošto smo pošli od podataka zaokruženih na 3 decimale, dobili smo da je prava greška veća od ocjene. Dakle, prava greška bi bila manja od ocjene greške da smo radili s više o 6 znamenaka, jer je ocjena greške reda veličine

Zadatak 5.

4

4 5 5

6

1.15 1.771875 10 8801.15 1.15

5! 120 3

5.347222213 10 .

f p M

341.15 1.15 1.15 1.047689553 0.000394240.f p

610 .

Documents

Aproksimacija i Interpolacija(1)