Apresentação do PowerPointttome/cursos/dinamicaestocastica/de_aula13.pdf · Transição com mudança de um único sítio O sítio i foi escolhido e sua variável pode mudar para

Dinâmica Estocástica

Instituto de Física, outubro de 2016

2

Dinâmicas estocásticas com mudança de um sítio

Tânia Tomé - Din Estoc - 2016

Dinâmica de Metropolis e dinâmica de Glauber para o modelo de Ising

3

Dinâmicas estocásticas para o modelo de Ising


Sistema definido em um reticulado em um espaço de d dimensões

i variável estocástica associada ao sítio i -> assume 2 valores

Exemplo: rede quadrada (d=2) em que cada sítio pode estar em 2 estados

Rede tem N sítios

i

Cada sítio pode estar em um número de 2 de estados

Valor assumido por fornece o estado do sítio i

Estado do sistema )...,,...,,,( 21 Ni

i=1, 2, ..., N

1i

i

1

1

4

Equação Mestra


),(),'(),'()',(),()('

tPWtPWtPdt

d

)',( W taxa de transição do estado para o estado'

)...,,...,,,( 21 Ni )'...,,'...,,','(' 21 Ni

Dinâmicas estocásticas em reticulado

5

1i

Reticulado em um espaço de d dimensões

as variáveis estocásticas i

Dinâmicas estocásticas com mudança de um único sítio

1( ,...., ,...., )i N


Vamos considerar em primeiro lugar o caso especial em que

)...,,...,,,(' 21 Ni

' Transição com mudança de um único sítio

O sítio i foi escolhido e sua variável pode mudar paraii

O sítio i muda do estado para o estado

Todos os outros sítios permanecem no mesmo estado

E o sistema pode ir para estado tal que: '

ii

assumem os valores . Isso é o que ocorre no modelo de Ising, por exemplo.

6

1i


1( ,...., ,...., )i N


)...,,...,,,(' 21 Ni

' Transição com mudança de um único sítio e

O sítio i mudou do estado para o estado ii

Todos os outros sítios permaneceram no mesmo estado

7

1ivariáveis estocásticas assumem os valores i


taxa de inversão de sinal da variável


'

Taxa de transição para dinâmicas com mudança de um sítio

)( ii

)',( 11 = delta de Kronecker: '1)',( 1111 '0)',( 1111

)(iw i

Caso em que as

)(),'(...),'(...),'(),'( 11

1

iNNii

N

i

wW

taxa de transição por sítio

),(),'(),'()',(),()('

tPWtPWtPdt

d


)(),'(...),'(...),'(),'( 11

1

iNNii

N

i

wW

Equação mestra para dinâmicas com mudança de um único sítio

para o caso em que 1i

em que é a taxa de transição do estado para o estado : ),'( W '

dinâmica de um sítio

(*)

(*)

Equação Mestra para dinâmicas com mudança de um único sítio

)...,,...,,( 1 Ni

)...,,...,,( 1 Ni

i

)()()()(),(1

PwPwtPdt

di

ii

i

N

i


1ipara o caso:

)(iw taxa de transição por sítio

Vamos deduzir a seguir

Obtenção da equação mestra para dinâmicas com mudança de um único sítio

),'()'()',(...)',(...)',( 11

1)('

tPwiNNii

N

i

),(),'(),'()',(),()(')('

tPWtPWtPdt

d

),'()',()('

tPW

I II

I


10

),'()'()',(...)',(...)',( 11

)('1

tPwiNNii

N

i


),(),'(),'()',(),()(')('

tPWtPWtPdt

d

),'()',()('

tPW

),..,,...,,(),...,,...( 1,1

1

tPw NiNii

N

i

I

I

Tânia Tomé -Din Estoc -2016

11

),'()'()',(...)',(...)',( 11

)('1

tPwiNNii

N

i

),'()',()('

tPW

I

)()',(...)',(...)',(),( 11

)('1

iNNii

N

i

wtP

),..,,...,,(),...,,...( 1,1

1

tPw NiNii

N

i

II

II

),(),'()('

tPW

),(),'()('

tPW

),'(...),'(...),'()(),( 11

)('1

NNiii

N

i

wtP


12

)(),(1

i

N

i

wtP

)..,,...,,( 1 Ni


),(),'(),'()',(),()(')('

tPWtPWtPdt

d

),..,,...,,(),...,,...( 1,1

1

tPw NiNii

N

i

I II

II

),..,,...,,(),...,,...( 1,1

1

tPw NiNii

N

i

I



Equação Mestra para dinâmicas com mudança de um único sítio

)...,,...,,()...,,...,,()...,,...,,()...,,...,,(),( 1111

1

NiNiiNiNii

N

i

PwPwtPdt

d

)...,,...,,( 1 Ni )...,,...,,( 1 Ni

i

)()()()(),(1

PwPwtPdt

di

ii

i

N

i

Tânia Tomé - Din Estoc - 2016 14

1i

fim da demonstração

Estado estacionário

16

Dinâmicas com mudança de um único sítio & Estado estacionário


),()(),()(),(1

tPwtPwtPdt

di

ii

i

N

i

0)()()()(1

PwPw i

ii

i

N

i

Regime estacionário

0),( tPdt

d

)(P distribuição de probabilidades estacionária

0/),( dttdP

Equação mestra

17

Dinâmicas com mudança de um único sítio & Balanceamento detalhado


0)()()()(1

PwPw i

ii

i

N

i


)(Pem que é a distribuição de probabilidades estacionária.

0)()()()( PwPw i

ii

ipara qualquer par ),( i

Condição de balanceamento detalhado

)(P é a probabilidade de equilíbrio associada ao estado

(BD)

Se BDé obedecida

(BD)

)( iP é a probabilidade de equilíbrio associada ao estado i

18

Dinâmicas com mudança de um único sítio & Balanceamento detalhado



)(

)(

)(

)(i

i

i

i

P

P

w

w

para qualquer par ),( i

Condição de balanceamento detalhado

)(P é a probabilidade de equilíbrio associada ao estado

(BD)

(BD)

)( iP é a probabilidade de equilíbrio associada ao estado

i

)...,,...,,( 1 Ni )...,,...,,( 1 Ni

i

19

Taxa de transição por sítio - Dinâmica de Metropolis

Dinâmica de Metropolis para o modelo de Ising


)exp(,1min)( Ewi

)(

)(ij

jiJE

)()( EEE i

)...,,...,,( 1 Ni )...,,...,,( 1 Ni

i

.constTkB/1

i

(campo nulo)

)(iw

Energia

20

Taxa de transição por sítio - Dinâmica de Metropolis



)exp(,1min)( Ewi )()( EEE i

)...,,...,,( 1 Ni )...,,...,,( 1 Ni

i

)(iw

)exp( E

0E

0E

se

se

i

21



)exp(,1min)( Ewi

)(

)(ij

jiJE

)()( EEE i )...,,...,,( 1 Ni )...,,...,,( 1 Ni

i

iiii JJ )()(

(...)

soma sobre os primeiros vizinhos do sítio i

Modelo de Ising / energia do estado (campo nulo)

)()( EEE i

Portanto, na transição a variação de energia é i

22



kiii JJE )()(

iiJE 2

ou

(...)


i

Variação de energia i

23

Dinâmicas de Metropolis e de Glauber para o modelo de Ising


que é a soma sobre os estados dos sítios que são primeiros vizinhos do sítio i escolhido

1 d

i 11 ii

Taxa de transição para Metropolis (e taxa de Glauber) envolve

i

sítio escolhido i

Modelo definido em uma rede unidimensional

sítio que é primeiro vizinhodo sítio escolhido i

1i1i i

1i i 1i

24

Dinâmicas de Metropolis e de Glauber para o modelo de Ising


que é a soma sobre os estados dos estados dos primeiros vizinhos do sítio i escolhido

2 dimensões – Por exemplo, modelo definido em uma rede quadrada

i

2i

1i3i

4i

i 4321 iiii

Taxas de transição para Metropolis e para Glauber envolvem

i

sítio escolhido i sítio que é primeiro vizinho do sítio escolhido i

25



iii Jw 2exp(,1min)(

iiJE 2 (...)


TkB/1

i

Taxa de transição por sítio / Metropolis

Dinâmica de Glauber para o modelo de Ising

Modelo de Glauber-Ising

27

Dinâmica de Glauber


iii Jw tanh12

)(

)(

)(ij

jiJE

Dinâmica de Glauber para o modelo de Ising – Modelo de Glauber-Ising

Roy J. Glauber, Time dependent statistics of the Ising model, J. Math. Phys. 4, 294 (1963)

(...)


Artigo muito

relevante!

Modelo de Glauber-Ising

.const TkB/1

28

Estado estacionário: possui balanceamento detalhado para as duas dinâmicas

em que é a probabilidade estacionária associada ao modelo de Ising:

( ) ( )

( ) ( )

i

i

i

i

w P

w P

Dinâmica de MetropolisDinâmica de Glauber

Dinâmicas com mudança de um único sítio para o modelo de Ising


)()()()( ii

ii PwPw

Z

eP

ji

ji

J

),(

)(

)(P

iii Jw tanh12

)(

iii Jw 2exp(,1min)(

MOSTRAR!vamos verificardepois

29

Dinâmica de MetropolisDinâmica de Glauber – Modelo de Glauber-Ising

Dinâmicas com mudança de um único sítio para o modelo de Ising


i

B

iiTk

Jw tanh1

2)(

)

2exp(,1min)(

ii

B

iTk

Jw

)()( ii ww

Essas duas dinâmicas possuem simetria “up-down” ou também chamada de simetria de inversão:

)(tanh)(1

2)(

i

B

iiTk

Jw

i

B

iTk

Jtanh1

2)(iw

Verificação para a dinâmica de Glauber para o modelo de Ising a campo nulo

Modelo de Ising a campo nulo

)...,,...,,,( 21 Ni

)...,,...,,,( 21 Ni

FIM

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