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MATEMÁTICA
MÓDULO 14DIEDROS, TRIEDROS E POLIEDROS
Professor Matheus Secco
1. DIEDROS ou ou é a reunião de dois semi-planos e de mesma origem não contidos num mesmo plano e édenotado por .
A reta r chama-se aresta do diedro e os semiplanos e , faces.
ou de um diedro é uma seção cujo plano éperpendicular à aresta do diedro.
Na figura r e o ângulo a ^ b é a seção reta do diedro.
A medida de um diedro é a medida de sua seção reta (a medida de umdiedro é igual ao ângulo entre as faces)
Diedro reto é aquele cuja seção normal é um ângulo reto.
2. TRIEDROSSejam três semi-retas de mesma origem e não coplanares. Três planospodem ser formados, um a partir de cada par de retas. Cada planodetermina um semi-espaço que contém a terceira semi-reta. Assim, otriedro V (a,b,c) ou V (A,B,C) formado pelas três semi-retas é a interseçãodesses três semi-espaços.
A origem comum V é chamada dotriedro e cada uma das semi-retas a, b ec, .Um triângulo que possui um vértice emcada aresta do triedro é uma dotriedro, como por exemplo o triânguloABC.
Triedro tri-retângulo: faces são ângulos retos e os diedros são diedrosretos.
1. A medida de cada face está compreendida entre 0° e 180°.
2. Em todo triedro, qualquer face é menor que a soma das outras duas.
3. A soma das medidas das faces de um triedro qualquer é menor que 360.
3. ÂNGULOS POLIÉDRICOS CONVEXOSO conceito de ângulos poliédricos convexos é uma extensão do conceitode triedros. Dado um número finito n 3 de semirretas Va1, Va2,...Van, demesma origem V, tais que o plano de duas consecutivas deixa as demaisnum mesmo semiespaço, consideremos n semiespaços E1,E2,...,En, cadaum deles com origem no plano de duas semirretas consecutivas econtendo as restantes. Então o ângulo poliédrico convexo determinadopor Va1, Va2,...Van é a interseção dos semiespaços E1,E2,...,En.
1. A medida de cada face está compreendida entre 0° e 180°.
2. Em todo ângulo poliédrico convexo, qualquer face é menor que a somadas demais
3. A soma das medidas das faces de um ângulo poliédrico convexoqualquer é menor que 360.
4. POLIEDROS CONVEXOS E RELAÇÃO DE EULER
Poliedro convexo é uma reunião de um número finito de polígonos planosconvexos chamados faces onde:
1º) dois polígonos não estão no mesmo plano;
2º) cada lado de polígono é comum a dois e somente dois polígonos; e
3º) o plano de cada polígono deixa os demais polígonos no mesmo semi-espaço.
Os vértices das faces são também os vértices do poliedro e os lados dasfaces são chamadas arestas do poliedro.
Cada vértice do poliedro corresponde a um ângulo poliédrico, no qual estácontido todo o poliedro.
é qualquer segmento com extremidades em doisvértices do poliedro e não contido em uma face.
No poliedro acima, por exemplo, BH é uma diagonal.
Os poliedros são classificados de acordo com o seu número de faces.
O poliedro com menor número de faces é o tetraedro e possui 4 faces.
Seja um poliedro convexo com V vértices, A arestas e F faces, então
Os poliedros que satisfazem a relação de Euler são chamados poliedroseulerianos.
Todo poliedro convexo é euleriano, mas nem todo poliedro euleriano éconvexo.
A soma dos ângulos de todas as faces de um poliedro convexo de Vvértices é
S = 360° . (V – 2)
Seja fn o número de faces de gênero n, então:
3f3 + 4f4 + ... = 2A
Seja vp o número de vértices onde concorrem p arestas, então:
3v3 + 4v4 + ... = 2A
Seja df o total de diagonais das faces, então o número de diagonais dopoliedro D é:
V(V 1)D A df
2
Um poliedro é chamado poliedro de Platão se, e somente se,
1º) todas as faces têm o mesmo número de arestas;
2º) todos os ângulos poliédricos têm o mesmo número de arestas; e
3º) vale a relação de Euler (V A + F = 2).
Existem exatamente cinco poliedros de Platão.
Seja n o mesmo número de arestas de cada face e m o número de arestasdos ângulos poliédricos, temos:
3 3 6 4 4 tetraedro
3 4 12 8 6 hexaedro
4 3 12 6 8 octaedro
3 5 30 20 12 dodecaedro
5 3 30 12 20 icosaedro
tetraedro hexaedro octaedro
dodecaedro icosaedro