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Amostragem de um sinal contínuo:
Amostragem
Qual é a relação entre a Transformada de Fourier (CTFT) de xC(t) e a DTFT de x[n] ?
Modelo simples: amostragem impulsiva:
Amostragem
D(t) pode ser expresso pela série de Fourier
cujos coeficientes são:
Amostragem
Portanto:
Podemos então escrever:
Amostragem
cuja Transformada de Fourier (CTFT) é:
WT = 2p/T é a frequência de amostragem.
Amostragem
WT < 2WM
aliasing
WT > 2WM
Amostragem
Taxa de Nyquist: WT = 2WM (amostragem crítica)
Oversampling: WT > 2WM
Undersampling: WT < 2WM
Algumas definições:
Amostragem
Relação entre :
Aplicando a CTFT:
Amostragem
CTFT de xS(t):
DTFT de x[n]:
Portanto:
Como
então, finalmente:
Amostragem
Amostragem
xC(t) = cos ((3WT/8)t)
x[n] = cos ((3p/4)n)
Amostragem
xC(t) = cos ((5WT/8)t)
x[n] = cos ((3p/4)n)
No domínio do tempo:
xC(t) = cos ((5WT/8)t)
xC(t) = cos ((3WT/8)t)
Amostragem
Teorema da Amostragem:
Um sinal contínuo 𝑥𝐶(𝑡) limitado em frequência, com 𝑋𝐶 𝑗Ω = 0
para Ω > Ω𝑀, é unicamente determinado por suas amostras
𝑥𝐶 𝑛𝑇 se
Ω𝑇 ≥ 2Ω𝑀
onde Ω𝑇 = 2𝜋 𝑇 .
Geralmente o sinal de interesse possui energia espúria (ruído) em
frequências elevadas é necessário um filtro analógico para evitar
aliasing.
Filtragem Anti-aliasing
Recuperação do Sinal Analógico
Se a condição de Nyquist for satisfeita, o sinal contínuo 𝑥𝐶(𝑡) pode ser recuperado, passando-se o trem de impulsos 𝑥𝑆(𝑡) por
um filtro passa-baixas analógico 𝐻𝑟(𝑗Ω) com frequência de corte
Ω𝐶 tal que
Ω𝑀 < Ω𝐶 < (Ω𝑇 − Ω𝑀)
ou seja:
𝐻𝑟 𝑗Ω = 𝑇, Ω ≤ Ω𝐶
0, Ω > Ω𝐶
A resposta ao impulso de 𝐻𝑟(𝑗Ω) é:
ℎ𝑟 𝑡 =𝑇
2𝜋 𝑒𝑗Ω𝑡𝑑Ω =
𝑠𝑒𝑛(Ω𝐶𝑡)
Ω𝑇𝑡/2
Ω𝐶
−Ω𝐶
Recuperação do Sinal Analógico
O trem de impulsos 𝑥𝑆(𝑡) é dado por
𝑥𝑆 𝑡 = 𝑥(𝑛)𝛿(𝑡 − 𝑛𝑇)
∞
𝑛=−∞
Portanto, a saída do filtro 𝐻𝑟(𝑗𝛺) com entrada 𝑥𝑆(𝑡), assumindo
Ω𝐶 = Ω𝑇 2 = 𝜋/𝑇 , é:
𝑥 𝐶 𝑡 = 𝑥(𝑛)ℎ𝑟 𝑡 − 𝑛𝑇
∞
𝑛=−∞
= 𝑥(𝑛)𝑠𝑒𝑛 𝜋 𝑡 − 𝑛𝑇 /𝑇
𝜋 𝑡 − 𝑛𝑇 /𝑇
∞
𝑛=−∞
Recuperação do Sinal Analógico
Amostragem de um Sinal Passa-Faixa
Quando o sinal a ser amostrado é limitado em uma faixa de
frequências mais altas Ω𝐿 ≤ Ω ≤ Ω𝐻, em geral não será
necessário utilizar uma frequência de amostragem Ω𝑇 ≥ 2Ω𝐻
para prevenir aliasing.
Definindo a largura da banda ΔΩ = Ω𝐻 − Ω𝐿, e considerando
Ω𝐻 = MΔΩ com M inteiro, podemos escolher
Ω𝑇 = 2ΔΩ
Neste caso:
𝑋𝑆 𝑗Ω =1
𝑇 𝑋𝐶(𝑗(Ω − 2𝑛
∞
𝑛=−∞
ΔΩ))
𝑋𝐶(𝑗Ω) 𝑋𝑆(𝑗Ω)
Amostragem de um Sinal Passa-Faixa
Se Ω𝐻 ≠ MΔΩ, podemos estender artificialmente a banda,
considerando ΔΩ′ = Ω𝐻 − Ω0, com Ω0 ≤ Ω𝐿 e Ω𝐻 = MΔΩ′,
e escolher
Ω𝑇 = 2ΔΩ′
A reconstrução do sinal analógico pode ser feita por um filtro
passa-faixa com resposta em frequência:
𝐻𝑟 𝑗Ω = 𝑇, Ω𝐿≤ Ω ≤ Ω𝐻
0, 𝑜𝑢𝑡𝑟𝑜 Ω