Análise Espectral

Uma aplicação importante dos métodos de processamento digital de

sinais é na determinação do conteúdo em frequência de um sinal

contínuo

Análise espectral: determinação do espectro de energia ou espectro

de potência do sinal (PSD – Power Spectral Density)

Dado um sinal analógico 𝑥𝑎(𝑡), limitado em frequência, este é

convertido para um sinal digital 𝑥 𝑛 , assumindo-se que o efeito de

aliasing pode ser ignorado e que a precisão do conversor é

suficiente para que efeitos de quantização sejam desprezíveis

A DFT (calculada de forma rápida pela FFT) pode ser usada para a

análise espectral de sinais de comprimento finito

Análise Espectral

Neste caso, obtemos as amplitudes e fases de cada componente

senoidal do sinal 𝑥 𝑛 , ou seja:

𝑥 𝑛 =1

𝑁 𝑋 𝑘 𝑒𝑗

2𝜋𝑁 𝑘𝑛

𝑁−1

𝑘=0

Se 𝑥 𝑛 for real:

𝑥 𝑛 =1

𝑁𝑋 0 +

2

𝑁 𝑋 𝑘 cos

2𝜋

𝑁𝑘𝑛 + ∠𝑋 𝑘

𝑁/2

𝑘=1

Para aumentar a resolução, pode-se fazer uma interpolação

espectral, acrescentando-se zeros no final da sequência e

calculando-se uma DFT de tamanho maior do que o seu

comprimento.

Análise Espectral

Exemplo de interpolação:

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-40

-30

-20

-10

0

10

20

30

40

Frequência digital normalizada

Am

plit

ude (

dB

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-40

-20

0

20

40

Frequência digital normalizada

Am

plit

ude (

dB

)

N=32

N=128

n=[0:31];

x=sin(2*pi*7*n/32)+0.2*sin(2*pi*13*n/32)+

0.01*randn(1,32);

X=fft(x);

Xdb=20*log10(abs(X));

subplot(2,1,1);

plot(n/16,20*log10(abs(X)))

xlabel('Frequência digital normalizada')

ylabel('Amplitude (dB)');

legend('N=32')

axis([0 2 -40 40])

Xi=fft(x,128);

k=[0:127];

Xidb=20*log10(abs(Xi));

subplot(2,1,2);

plot(k/64,20*log10(abs(Xi)),'r')

xlabel('Frequência digital normalizada')

ylabel('Amplitude (dB)');

legend('N=128')

axis([0 2 -40 40])

Análise Espectral

Efeito de “vazamento” (leakage): Quando uma componente senoidal

tem frequência não múltipla de 2𝜋/𝑁, sendo 𝑁 o comprimento da

sequência, devido a não haver um número inteiro de períodos desta

componente

Exemplo:

n=[0:31];

x=sin(2*pi*4*n/32)+sin(2*pi*6*n/32)+0.05*sin(2*pi*13*n/32);

X=fft(x);

subplot(2,1,1); stem(n/16,abs(X))

xlabel('Frequência digital normalizada')

ylabel('Amplitude (dB)');

legend('X')

axis([0 2 -5 20])

x2=sin(2*pi*4.5*n/32)+sin(2*pi*6.5*n/32)+0.02*sin(2*pi*13*n/32);

X2=fft(x2);

subplot(2,1,2); stem(n/16,abs(X2),'r')

xlabel('Frequência digital normalizada')

ylabel('Amplitude (dB)');

legend('X2')

axis([0 2 -5 20])

Análise Espectral

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-5

0

5

10

15

20

Frequência digital normalizada

Am

plit

ude (

dB

)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-5

0

5

10

15

20

Frequência digital normalizada

Am

plit

ude (

dB

)

X

X2

Análise Espectral

Para reduzir o efeito de “vazamento”, multiplica-se o sinal por uma

janela, que decai suavemente no início e no final do intervalo de

observação do sinal

Janelas mais usadas: Hamming, Hanning, Blackmann e Kaiser

Com o emprego de janelas:

Haverá perda de resolução para diferenciar componentes de

frequências próximas, devido ao aumento da largura do lóbulo

principal da janela (em relação à janela retangular); para

aumentar resolução é necessário aumentar o comprimento da

janela (intervalo de observação)

Aumentará a discriminação de componentes mais fracas na

presença de componentes mais fortes, devido à diminuição dos

lóbulos secundários (em relação à janela retangular)

Análise Espectral

Exemplo de vazamento e do uso de janelas:

x=sin(2*pi*4.5*n/32)+sin(2*pi*6.5*n/32)+0.02*sin(2*pi*13*n/32);

xh=x.*hanning(32); xb=x.*blackman(32);

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-80

-70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

10

Frequência digital normalizada

Am

plit

ude (

dB

)

Retangular

Hanning

Blackman

Análise Espectral de Sinais Não Estacionários

Os parâmetros das componentes senoidais (amplitude, fase e/ou

frequência) do sinal são variantes no tempo

Sinais de voz, de radar e de sonar são exemplos de sinais não

estacionários

Exemplo: sinal chirp

𝑥 𝑛 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜔0𝑛2

obtido do sinal contínuo 𝑥(𝑡) = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜔0𝑡2 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 𝜙(𝑡) .

A frequência instantânea de 𝑥(𝑡) é 𝑑𝜙(𝑡)

𝑑𝑡= 2𝜔0𝑡 (linear com o

tempo).

Análise Espectral de Sinais Não Estacionários

Podemos analisar trechos de um sinal não estacionário, multiplicando-o

por uma janela 𝑤(𝑛) e deslocando-o em relação à janela

À cada subsequência resultante, é aplicada uma DFT, gerando uma

transformação denominada STFT

A STFT (Short-Time Fourier Transform) é definida como

𝑋𝑆𝑇𝐹𝑇 𝑘,𝑚 = 𝑥 𝑚𝐿 + 𝑛 𝑤[𝑛]𝑒−𝑗2𝜋𝑘𝑛𝑁

𝑁−1

𝑛=0

, 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑁 − 1

Função de duas variáveis:

𝑘: índice correspondente à frequência 𝜔𝑘 =2𝜋𝑘

𝑁

𝑚: índice correspondente ao deslocamento da janela de

observação de 𝑚𝐿 amostras

Análise Espectral de Sinais Não Estacionários

A STFT é visualizada por um gráfico 3D ou com a intensidade em

cores (espectrograma)

%EXAMPLE: Display the PSD of each segment of a linear chirp.

t=0:0.001:2; % 2 secs @ 1kHz sample rate

y=chirp(t,100,1,200); % Start @ 100Hz, cross 200Hz at t=1sec

spectrogram(y,128,120,128,1E3); % Display the spectrogram

title('Linear Chirp: start at 100Hz and cross 200Hz at t=1sec');

S=spectrogram(y,128,120,128,1E3); % Display the spectrogram

figure,mesh(abs(S))

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

Frequency (Hz)

Linear Chirp: start at 100Hz and cross 200Hz at t=1sec

Tim

e

0

50

100

150

200

250

0

10

20

30

40

50

60

70

0

5

10

15

20

25

30

35

Deslocamento da janela (em amostras)Frequência ( 1000/128)

Magnitude

Análise Espectral de Sinais Não Estacionários

Espectrograma de um sinal de voz

[x,fs]=wavread('female_src_1');

spectrogram(x,512,256,1024,fs);

Análise Espectral de Sinais Aleatórios

A análise espectral de sinais aleatórios pode ser feita utilizando-se o

método do Periodograma ou método de Welch, que estima a

densidade espectral de potência (PSD)

Neste método, calculam-se STFTs de trechos do sinal (geralmente

com sobreposição) e tira-se a média dos seus quadrados, obtendo-se

o periodograma do sinal

𝑃𝑥 𝑘 =1

𝑀 𝑋𝑆𝑇𝐹𝑇 𝑘,𝑚

𝑀−1

𝑚=0

2

, 0 ≤ 𝑘 ≤ 𝑁 − 1

Em geral, usam-se janelas para melhorar a discriminação de

componentes de baixa potência

Funções no Matlab: periodogram, pwelch

Análise Espectral de Sinais Ruidosos

Exemplo: 𝑥 𝑛 = 5𝑠𝑒𝑛 0,4𝜋𝑛 + 𝑣 𝑛

𝑣 𝑛 : ruído branco de variância unitária

(a) Periodogramas de 50

realizações com N=64 e

(b) Periodograma médio

(c) Periodogramas de 50

realizações com N=256 e

(b) Periodograma médio

Análise Espectral de Sinais Ruidosos

Exemplo:

Fs = 1000; t = 0:1/Fs:.3; x = cos(2*pi*t*200)+randn(size(t)); % A cosine of 200Hz plus noise periodogram(x,[],'twosided',512,Fs); % The default window is used

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900-55

-50

-45

-40

-35

-30

-25

-20

-15

-10

Frequency (Hz)

Pow

er/

frequency (

dB

/Hz)

Periodogram Power Spectral Density Estimate

Análise Espectral de Sinais Ruidosos

Exemplo:

Fs = 1000; t = 0:1/Fs:.296; x = cos(2*pi*t*200)+randn(size(t)); % A cosine of 200Hz plus noise pwelch(x,[],[],[],Fs,'twosided'); % Uses default window, overlap & NFFT

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900-38

-36

-34

-32

-30

-28

-26

-24

-22

-20

-18

Frequency (Hz)

Pow

er/

frequency (

dB

/Hz)

Welch Power Spectral Density Estimate

Transformada Cosseno Discreta (DCT)

A DFT de uma sequência real 𝑥[𝑛] é uma sequência complexa 𝑋[𝑘]

com simetria em torno da amostra 𝑘 =𝑁

2

A DCT é uma transformação ortogonal que representa uma sequência

real no domínio do tempo, 𝑥 𝑛 , por uma sequência também real no

domínio da transformada, 𝑋[𝑘]

Outras transformadas reais são a DST (discrete sine transform) e a

Haar

A DCT pode ser implementada de forma eficiente usando FFTs

É utilizada em compressão de sinais, principalmente de imagens

(JPEG), pela sua propriedade de compactação de energia

Transformada Cosseno Discreta (DCT)

Há diferentes tipos de DCT:

DCT-I:

𝑋 𝑘 =1

2𝑥 0 + (−1)𝑘𝑥 𝑁 − 1 + 𝑥 𝑛 𝑐𝑜𝑠

𝜋

𝑁 − 1𝑘𝑛

𝑁−2

𝑛=1

DCT-II:

𝑋 𝑘 = 𝑥 𝑛 𝑐𝑜𝑠𝜋

𝑁𝑛 +

1

2𝑘

𝑁−1

𝑛=0

DCT-III:

𝑋 𝑘 =1

2𝑥 0 + 𝑥 𝑛 𝑐𝑜𝑠

𝜋

𝑁𝑛 𝑘 +

1

2

𝑁−1

𝑛=1

DCT-IV:

𝑋 𝑘 = 𝑥 𝑛 𝑐𝑜𝑠𝜋

𝑁𝑛 +

1

2𝑘 +

1

2

𝑁−1

𝑛=0