MODELO DERAMSEY-CASS-KOOPMANSDE HORIZONTE TEMPORAL INFINITO E GERAES SUPERPOSTAS. MODELO DE RAMSEY-CASS-KOOPMANS FRANK PLUMPTON RAMSEY (1903-1930) - Incentivado por John Maynard Keynes; - Considerado, por alguns, o pai da teoria do crescimento econmico moderno; Quanto da renda de uma nao se deve ao nvel de poupana? - Teve seu trabalho esquecido durante quase quarenta anos devido ao seu mtodo matemtico de obteno de timos dinmicos. As bases analticas do Modelo de Ramsey-Cass-Koopmans foram construdas por Ramsey em 1928 e se refinaram, dcadas depois, comCass (1965) e Koopmans (1965). MODELO DE RAMSEY-CASS-KOOPMANS DAVID CASS (1937-2008)TJALLING CHARLES KOOPMANS (1910-1985) Prmio Nobel de Economia em 1975 O Modelo de Ramsey-Cass-Koopmans o primeiro modelo de crescimento econmico em que a poupana e, por conseguinte, o consumo no so dados a priori, mas so endgenos e respondem s preferncias e restries impostas s famlias consumidoras ao longo do tempo. uma verso sofisticada e melhor microfundamentada do modelo neoclssico de crescimento de Robert Solow. MODELO DE RAMSEY-CASS-KOOPMANS 1. ASPECTOS GERAIS - Temcomoobjetivodeterminaratrajetriatimadoconsumoedo investimento; -Institucionalmente,omodelopodeserapresentadocomoumesquema Robinson Cruso ou como um problema de alocao tima de recursos de um planificador social; - um modelo de equilbrio; - um modelo dinmico; - Considera exgenas as taxas de crescimento do trabalho e da tecnologia; - Aevoluodoestoquedecapitaldependedainteraoentreo comportamentomaximizadordasfamliasedasempresasemummercado competitivo,demodoqueataxadepoupananoexgenanemdeveser constante. MODELO DE RAMSEY-CASS-KOOPMANS EMPRESAS Alugam capital e contratam trabalho. Vendem seus produtos. FAMLIAS Vivem infinitamente. Ofertam trabalho Possuem capital, consomem e poupam. MERCADO 2. ESQUEMA SIMPLIFICADO MODELO DE RAMSEY-CASS-KOOPMANS 3. PRESSUPOSTOS DO MODELO EMPRESAS Previso perfeita No h depreciao do capital Atomicidade na produo com Tomam decises sobre a demandade trabalho e capital, obtidos em ambiente competitivo Todos os preos so flexveis Ausncia de custos de ajuste do emprego e do capital instalado Maximizadores de benefcios sujeitas a uma restrio tecnolgica MODELO DE RAMSEY-CASS-KOOPMANS 3. PRESSUPOSTOS DO MODELO FAMLIAS Previso perfeita Tomam decises de consumo e poupana em um contexto intertemporal Cada membro da famlia oferta uma unidade de trabalho no tempo t. Horizontes infinitos: famlias dinsticas Por simplicidade, no so introduzidos os impostos Maximizadores da utilidade sujeitos a uma restrio intertemporal MODELO DE RAMSEY-CASS-KOOPMANS 3. PRESSUPOSTOS DO MODELO FAMLIAS Em cada perodo: C Y S AFunodeUtilidadeAgregadadasfamliasdaeconomia,definidada seguinte maneira: dtHt Lt C u e Utt) ()) ( (0}==dt t C u e Utt)) ( (0'}==n 'MODELO DE RAMSEY-CASS-KOOPMANS 3. PRESSUPOSTOS DO MODELO FAMLIAS FUNO DE UTILIDADE INSTANTNEA:qual a utilidade de cada membro no perodo t. TAXA DE IMPACINCIA : varia inversamente com o consumo futuro. MODELO DE RAMSEY-CASS-KOOPMANS 3. PRESSUPOSTOS DO MODELO FAMLIAS FUNO DE UTILIDADE INSTANTNEA:uu =11) ()) ( (t Ct C u0 ) 1 ( , 0 > > g n u uCoeficiente de averso ao risco Utilidade com averso relativa ao risco constante = para economia convergir ao estado estacionrio. Num contexto de racionalidade Ilimitada: a funo de utilidade instantnea irrelevante,masquantomenorovalordocoeficientedeaversoaorisco,mais lentamente diminui a UMg medida que o consumo aumenta, de forma a tornar as famlias mais dispostas a variaes intertemporais do consumo. 0 uA funo utilidade ser quase funo linear de C = as famlias aceitam grandes flutuaes do consumo. MODELO DE RAMSEY-CASS-KOOPMANS 3. PRESSUPOSTOS DO MODELO FAMLIAS FUNO DE UTILIDADE INSTANTNEA:Elasticidade de substituio intertemporal do consumo: 21uc =sDESTAQUE: 1)C(t) decrescente quando >1 e, vice-versa. A diviso por 1- , assegura que a utilidade marginal do consumo seja positiva, independente do valor de . 2), a funo de utilidade instantnea adota a forma lnC. 3)assegura que a utilidade ao longo da vida no diverge. Caso nosejasatisfeita,afamliapoderatingiruma utilidadeinfinitaaolongo davida,eassimoproblemademaximizaonoteriaumasoluobem definida. 0 ) 1 ( , 0 > > g n u u 0 ) 1 ( , 0 > > g n u u0 ) 1 ( , 0 > > g n u u1 u0 ) 1 ( , 0 > > g n u uMODELO DE RAMSEY-CASS-KOOPMANS 4. O COMPORTAMENTO DAS EMPRESAS Em cada perodo: PRODUO KL $ = PMgK f(k) $ = PMgL PRODUTO Rendimentos constantes de Escala Economia competitiva Benefcios Nulos Como no existe depreciao, a taxa real de rendimento do capital igual a sua remunerao por unidade de tempo. r(t) = f(k(t)) E o salrio remunerado pela produtividade da quantidade de trabalho per capita: w(t) = f(k(t)) k(t)f(k(t)) MODELO DE RAMSEY-CASS-KOOPMANS 5. RESTRIO DAS FAMLIAS O valor presente do consumo das famlias ao longo do ciclo de vida no pode exceder sua riqueza inicial mais o valor presente de sua renda do trabalho ao longo do ciclo de vida. } }=+ s=0) () () () 0 (0) () () (tdtHt Lt Wt ReHKdttHt Lt Ct Re}==td r t R0) ( ) (tt tJ que a taxa de juros varia. | | 00) () ( ) () () 0 (lim >(((

=+ }tdtHt Lt C t Wt ReHKsMODELO DE RAMSEY-CASS-KOOPMANS 5. RESTRIO DAS FAMLIAS Os ativos de capital da famlia no perodo s so: 0) (lim) (> Hs Kes RsSubstituindo na equao anterior: CONDIO PROIBITIVA DOS JOGOS DE PONZI MODELO DE RAMSEY-CASS-KOOPMANS 5. O PROBLEMA DA MAXIMIZAO DAS FAMLIAS FUNO OBJETIVO Maximizar a utilidade ao longo do ciclo de vida sujeita a uma restrio. Parafacilitarotrabalho,expressa-seafunoobjetivoearestriopor unidade de trabalho efetivo. | |u u u uuu uu uuu=== 1) () 0 (1) ( ] ) 0 ( [1) ( ) (1) (1) 1 ( 11 111t ce At c e A t c t A t CgtgtdtHt Ltt Cte U) (011) (}= =uudtHe L t Ce A e Unttgt t) 0 (1) () 0 (01) 1 ( 1}= ((

=uuu u MODELO DE RAMSEY-CASS-KOOPMANS 5. O PROBLEMA DA MAXIMIZAO DAS FAMLIAS FUNO OBJETIVO dtHt Ltt Cte U) (011) (}= =uudtt CntegtetteHLA Uuuu u = =}11) () 1 (0) 0 (1) 0 (HLA B) 0 (1) 0 (u g n ) 1 ( u | MODELO DE RAMSEY-CASS-KOOPMANS 5. O PROBLEMA DA MAXIMIZAO DAS FAMLIAS FUNO RESTRIO } }=+ s=0) () () () 0 (0) () () (tdtHt Lt Wt ReHKdttHt Lt Ct Re((

=Ht Lt A t cHt Lt C) () ( ) () () (((

=Ht Lt A t wHt Lt W) () ( ) () () (dttHt Lt A t wt ReHL AK dttHt Lt A t ct Re} }=((

+ s=((

0) () ( ) () () 0 ( ) 0 () 0 (0) () ( ) () (MODELO DE RAMSEY-CASS-KOOPMANS 5. O PROBLEMA DA MAXIMIZAO DAS FAMLIAS Como a utilidade marginal do consumo sempre positiva, as famlias satisfazem sua restrio pressuposta com uma igualdade. (((

==+ + + +==} } }0 0) () ( ) () () ( ) () 0 (011) (t tdt t ct g net Re dt t wt g net Re k dttt cte B L uu|Condio de primeira ordem: t g net Re t ctBe) ( ) () (+ = u |Quais so as implicaes para o consumo ao longo do tempo? Pararespondertalpergunta,deve-sedeixaraequaonaformalineare depois derivar em relao ao tempo. 5. O PROBLEMA DA MAXIMIZAO DAS FAMLIAS MODELO DE RAMSEY-CASS-KOOPMANS }=+ + = + + = tt g n d r t c t Bt g n t R t c t B0) ( ) ( ln ) ( ln ln) ( ) ( ln ) ( ln lntt t u | u |) ( ) () () (g n t rt ct c+ + = u |u| =g n t rt ct c ) () () (Com: g n ) 1 ( u | EQUAO DE EULER DINMICA DO CONSUMO uu g t k ft ct c =)) ( ( ') () (6. DINMICA DA ECONOMIA Adinmicadoconsumoparatodasasfamliasnaeconomiasegueatrajetria abaixo, onde supe-se que r(t)=f(k(t)). MODELO DE RAMSEY-CASS-KOOPMANS DINMICA DO ESTOQUE DE CAPITAL7. DINMICA DA ECONOMIA ) ( ) ( ) ( )) ( ( ) ( t k g n t c t k f t k + =MODELO DE RAMSEY-CASS-KOOPMANS AssimcomonomodelodeSolow,equalizaoinvestimentoatualmenoso pontodeequilbriodoinvestimento.Comoassume-sequenohdepreciao,o pontodeequilbriodoinvestimento(n+g)k.Portanto,oinvestimentoatualo produto menos o consumo, f(k)-c. Assim: ) (t k22 MODELO DE RAMSEY-CASS-KOOPMANS 7. DINMICA DA ECONOMIA DIAGRAMA DE FASESMODELO DE RAMSEY-CASS-KOOPMANS 7. DINMICA DA ECONOMIA TRAJETRIA DE SELA24 MODELO DE RAMSEY-CASS-KOOPMANS 8. A TRAJETRIA DE CRESCIMENTO BALANCEADA -Propriedades; - Opontodeequilbriodogrficoanteriorgarantecapital,produtoeconsumo porunidadedetrabalhoconstantes,crescendoaumataxan+g.Ataxade poupana, , tambm constante. - Apoupana,porsuavez,dependedautilidadedasfamlias,funodeseu consumo, no havendo externalidades. ( )yc y MODELO DE RAMSEY-CASS-KOOPMANS 8. A TRAJETRIA DE CRESCIMENTO BALANCEADA E O NVEL DA REGRA DE OURO -O modelo no permite crescimento balanceado com estoque de capital acima da Regra de Ouro, contrastando com o Modelo de Solow; - O consumo no pode permanecerelevadoemaltastaxasemtodos osperodos pois haveria reduo da poupana em detrimento da utilidade proporcionada pelo consumo; - Seg=0,entonohavercrescimentofuturodoconsumoeprodutopor trabalhador, pela falta de tecnologia. - Definindo k* a partir de e (estoque de capital da regra de ouro) pore realizando a suposio de que isso resulta em. ( ) =*'k fROk( ) n k fRO = ' ( ) 0 1 > g n u n > 8. A TRAJETRIA DE CRESCIMENTO BALANCEADA E O NVEL DA REGRA DE OURO MODELO DE RAMSEY-CASS-KOOPMANS -Por conseguinte, como k* < , ento um aumento da poupana iniciado em k = k* causaria uma elevao do consumo por trabalhador acima do seu nvel anterior; - Porm,comooconsumoatualpossuimaiorrelevnciadoqueofuturo,o benefcio de um aumento permanente do consumo seria limitado. - Se k excede k*, ento a perda de consumo no curto prazo para a posteridade serdesfavorvelaoindivduo,poisreduzsuautilidadeaolongodavida. Assim,k*conhecidocomonveltimodeconvergnciadaeconomiaou Regra de Ouro modificada do estoque de capital ROk27 MODELO DE RAMSEY-CASS-KOOPMANS 9. EFEITOS DA QUEDA DA TAXA DE DESCONTO - Supondo uma queda em , a taxa de desconto que influencia a preferncia das famlias entre consumo corrente e futuro e considerando que tal mudana pode ser esperada ou inesperada. SE FOR ESPERADA: As famlias alteram suas expectativas antes que a mudana ocorra. SE NO FOR ESPERADA: Asfamliasacreditamqueodescontonoirmudar.Assim,quando percebemamudana,ajustamodescontodesuautilidadefuturaaumataxa menor do que antes. 0 =-c( )( )( ) ( ) | |uu g t k ft ct c =-'( ) g k f u + =*'( ) 0 ' ' < - fMODELO DE RAMSEY-CASS-KOOPMANS 9. EFEITOS QUALITATIVOS DA QUEDA DA TAXA DE DESCONTO - Como k afetado somente pela tecnologia, ento apenas a equaodinmica do consumo,, ser afetada. A equao de consumo para o modelo : - Quando a funo for nula: - Desde que , ento quando a taxa de desconto se reduz, k* aumenta com o deslocamento da funo para a direita. MODELO DE RAMSEY-CASS-KOOPMANS 9. EFEITOS QUALITATIVOS DA QUEDA DA TAXA DE DESCONTO A evoluo de k no pode ser descontnua, pois ele dado pela histria da economia e no afetado diretamente. Porm, quando k = k*, a trajetria do consumo d um salto e a economia possui uma nova trajetria de crescimento balanceado (E). Os novos valores de k e c sero maiores do que os anteriores. MODELO DE RAMSEY-CASS-KOOPMANS 9. EFEITOS DA QUEDA DA TAXA DE DESCONTO A TAXA DE AJUSTAMENTO E A INCLINAO DO PONTO DE SELA As equaes diferenciais abaixo representam o estoque de capital e o consumo. ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) t k g n t c t k f t k + =-( )( )( ) ( )uu g t k ft ct c =-'Um modo de se avaliar a nova trajetria da economia realizar a expanso de Taylor de 1 ordem em torno do novo ponto k = k* e c = c*. | | | |* *c ccck kkcc cc+ cc=- --| | | |* *c cckk kkkk cc+ cc=- --MODELO DE RAMSEY-CASS-KOOPMANS EFEITOS DA QUEDA DA TAXA DE DESCONTO A TAXA DE AJUSTAMENTO E A INCLINAO DO PONTO DE SELA Dado que e e k* e c* so ambas constantes, ento: | | k k k~*= | | c c c~ *= --= k k~- -= c c~Podendo-se reescrever as equaes: cckkkkk~~ ~cc+cc=- --ccckkcc~~~cc+cc=- --MODELO DE RAMSEY-CASS-KOOPMANS 9. EFEITOS DA QUEDA DA TAXA DE DESCONTO A TAXA DE AJUSTAMENTO E A INCLINAO DO PONTO DE SELA A expanso de Taylor para as funes consumo e estoque de capital proporcionam as seguintes trajetrias: ( )uk c k fc~' '~* *=-c k k~~ ~ =|) ( g n g + + = u | Divide porc~ Divide pork~( )ck c k fcc~~' '~~* *u=-kckk~~~~ =-|Assim a taxa de crescimento do consumo e do capital so dependentes somente dee . c~k~MODELO DE RAMSEY-CASS-KOOPMANS 9. EFEITOS DA QUEDA DA TAXA DE DESCONTO A TAXA DE AJUSTAMENTO E A INCLINAO DO PONTO DE SELA -Supondo-se que os valores de k e c esto caindo mesma taxa, ento as duas taxas acima so iguais. - Denotando-se , isso implica que: - Desdequeasduastaxasnomudamsuaproporodecrescimentorelativo, tem-se: cc~~-= ( ) u1 ' '~~* *c k fkc=( )0' '* *2= + u| c k fMODELO DE RAMSEY-CASS-KOOPMANS 9. EFEITOS DA QUEDA DA TAXA DE DESCONTO A TAXA DE AJUSTAMENTO E A INCLINAO DO PONTO DE SELA A soluo geral : ( )2' '42 / 1* *2((

=u|| c k f- Casoaraizsejapositiva,entooconsumoeoestoquedecapitalesto crescendo, e se afastando de seu ponto de equilbrio balanceado. - Para que haja convergncia, a raiz deve ser negativa. Contudo, apenas uma das razes negativa. Substituindo essa raiz na equao: possvel explicar como o consumo deve estar relacionado com o capital. ( ) u1 ' '~~* *c k fkc=MODELO DE RAMSEY-CASS-KOOPMANS 9. EFEITOS DA QUEDA DA TAXA DE DESCONTO A TAXA DE AJUSTAMENTO E A INCLINAO DO PONTO DE SELA Assim, a trajetria AA mostra que a economia converge suavemente para seu equilbrio em k* e c*. J a BB seria a de movimento para fora de E. A derivada segunda f(k) negativa, ento a relao entre c e k tem sinal oposto ao da raiz. As equaes linearizadas produzem a seguinte dinmica da economia: ( ) ( ) | |* *01c c e c t ct + =( ) ( ) | |* *01k k e k t kt + =MODELO DE RAMSEY-CASS-KOOPMANS 9. EFEITOS DA QUEDA DA TAXA DE DESCONTO A VELOCIDADE DO AJUSTAMENTO Definindo uma funo Cobb-Douglas para o capital, tal que,sua derivada segunda expressa por: Desde que o consumo na trajetria de crescimento balanceado se iguala ao produtomenosoinvestimentotimo,ouseja,oconsumoporunidadede trabalho efetivo,ento: ok k f = ) (( ) ( )( ) 2 * *1 ' ' =oo o k k f( )* * *k g n k c + =oMODELO DE RAMSEY-CASS-KOOPMANS 9. EFEITOS DA QUEDA DA TAXA DE DESCONTO A VELOCIDADE DO AJUSTAMENTO Substituindo as definies anteriores na equao de :

Que pode ser reescrita como:

Com: e 1( ) ( ) ( ))`((

+ =2 / 1* * 2 * 211421k g n k ko oo ou| | ( ) ( ) ( ))`((

+ + +|.|

\| =2 / 1211 421g n g g o u u oou| | ( ) g k f u + = '11*|.|

\|+=oou gkMODELO DE RAMSEY-CASS-KOOPMANS 10. OS EFEITOS DOS GASTOS PBLICOS -Adecisodeinserirosetorpbliconomodelodecorredequeatualmenteas economias tambm destinam seus recursos a usos pblicos; - OEstadocomprabensaumataxaG(t)porunidadedetrabalhoefetivoepor unidade de tempo; - O gasto do governo: No afeta a utilidade que se deriva do consumo privado; No tem repercusso sobre a produo futura; Financia-sepormeiodeimpostosdecotafixa,demodoamantero oramento equilibrado. MODELO DE RAMSEY-CASS-KOOPMANS 10. OS EFEITOS DOS GASTOS PBLICOS Equao que descreve a trajetria de k(t): ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) t k g n t G t c t k f k + =- - Uma elevao de G(t) proporciona reduo de c(t) na medida em quepossa manter-se constante. -Pela hiptese de que as preferncias das famlias no se alteram, a equao de Eulerse mantm a mesma do incio do modelo, uma vez que esta se deriva das preferncias. - Noentanto,astaxasdefinanciamentodogovernoafetamarestrio oramentria das famlias. Sendo assim temos que: -k( ) ( ) ( )( )( )( ) ( ) | | ( ) dt e t G t w e k dt e t c ett g n t R t g ntt R} }=+ += + s0 00MODELO DE RAMSEY-CASS-KOOPMANS 10. OS EFEITOS DA VARIAO DOS GASTOS PBLICOS Suponhamosinicialmentequeaeconomiaestejasobreumatrajetriade crescimento sustentado, com G(t) constante. 1 caso: Incremento imprevisto e permanente em G. Supe-se um aumento inesperado e permanente em G(t) para GH, com nvel anterior estacionado em GL. A curva se deslocar para baixo de acordo com a magnitude do incremento em G. O consumo reduzido para a nova trajetria de sela da economia. MODELO DE RAMSEY-CASS-KOOPMANS 10. OS EFEITOS DA VARIAO DOS GASTOS PBLICOS No painel (a), a trajetria da economia volta ao seu antigo ponto de equilbrio, por uma mudana no descontnua em c, mostrando uma trajetria relativamente duradoura em G(t). Porsimplificao,admite-sequeadatadetrminodesseefeitoseja conhecida. Ento, o consumo no se altera na mesma proporo de GH GL. Como oretornoaGLconhecido,entoadescontinuidadedautilidademarginal tambm seria antecipada, e isso no se configura um timo para as famlias. 2 caso: Incremento imprevisto e temporrio em G. MODELO DE RAMSEY-CASS-KOOPMANS 10. OS EFEITOS DA VARIAO DOS GASTOS PBLICOS 2 caso: Incremento imprevisto e temporrio em G. O painel (b) contm a trajetria de f(k). Quando G(t) se eleva, r aumenta gradualmente e depois retorna ao seu nvel inicial, em t1. O painel (c) representa um aumento passageiro em G(t), as famlias mudam pouco seu nvel de consumo, escolhendo pagar mais caro por taxas temporrias mais altas a expensas de suas poupanas. Assim, os efeitos no estoque de capital e na taxa de juros real so pequenos. MODELO DE RAMSEY-CASS-KOOPMANS 10. OS EFEITOS DOS GASTOS PBLICOS APLICAO EMPRICA: GUERRA E TAXAS DE JUROS REAIS - Este tpico analisar aumentos temporrios nos gastos do governo. - Esta anlise sugere que um aumento temporrio nos gastos do governo eleva a taxa de juros reais, enquanto um aumento de natureza permanente, no. - A anlise prev que durante a guerra da taxa real de juros deve ser elevada. O que analisando pelo estudo de Barro (1987). MODELO DE RAMSEY-CASS-KOOPMANS 10. OS EFEITOS DOS GASTOS PBLICOS APLICAO EMPRICA: GUERRA E TAXAS DE JUROS REAIS -SoanalisadosgastosmilitaresetaxasdejurosdoReinoUnidonoperodode 1729 a 1914. - A figura confirma a suposio de que as taxas de juros somaiores em perodos de guerra.