Traiettoria: luogo dei punti occupati successivamente dal punto in movimento e costituisce una curva continua nello spazio.

Grandezze fondamentali in cinematica: spazio, velocità, accelerazione e tempo; quest’ultimo molto spesso è usato come variabile indipendente, in funzione di cui si esprimono le altre grandezze.

Quiete: particolare tipo di moto in cui le coordinate restano costanti e quindi velocità ed accelerazione restano nulle, tuttavia resta necessario specificare sempre il sistema di riferimento rispetto a cui si osserva il moto.

Moto rettilineo

Il moto rettilineo si svolge lungo una retta sulla quale vengono fissati arbitrariamente un’origine ed un verso; il moto del punto è descrivibile tramite una sola coordinata x(t).

Le misure ottenute possono essere rappresentate su un sistema con due assi cartesiani. x

In ogni misura fisica reale, ciascun dato è affetto da errori e pertanto i punti che rappresentano le varie misure non si dispongono esattamente su una retta, una parabola o su altri tipi di curve. L’espressione di x(t) è ottenibile solo tramite opportuni metodi di ottimizzazione analitica.

Velocità nel moto rettilineo

Supponiamo che all’istante t=t1 il punto si trova nella posizione x1 e all’istante t=t2 nella posizione x2. Lo spostamento del punto nell’intervallo di tempo ∆t = t2-t1 è ∆x= x2-x1. La velocità media vm del punto è definita come rapporto tra lo spostamento ∆x e l’intervallo di tempo ∆t:

vm=∆x∆t

=x2−x1t 2−t 1

La velocità media esprime la rapidità con cui avviene lo spostamento.

In ogni caso se ∆x risulta suddiviso in un numero elevatissimo di intervallini dx, ciascun percorso nel tempo dt, si può definire la velocità istantanea, ad un istante t, del punto in movimento come rapporto v=dx/dt calcolato in quel determinato istante.

Il metodo che abbiamo descritto in modo fisico consiste matematicamente nel calcolare il limite per ∆t -> 0 del rapporto incrementale ∆x/∆t. Pertanto la velocità istantanea di un punto nel moto rettilineo è data dalla derivata dello spazio rispetto al tempo.

Il segno della velocità indica il verso del moto sull’asse x: se v>0 la coordinata x cresce (e il punto va da sinistra verso destra), mentre se v<0 il moto avviene nel verso opposto.

Nel caso particolare in cui sia v = costante si parla di moto rettilineo uniforme.

In conclusione, se è nota la funzione x(t) ovvero, se è nota la legge oraria, si può ottenere la velocità istantanea con l’operazione di derivazione (v=dx/dt).Si può ricavare la funzione x(t) se è nota la dipendenza dal tempo della velocità istantanea, v(t). Si nota che lo spostamento infinitesimo dx è uguale al prodotto del tempo dt impiegato a percorrerlo per il valore della velocità al tempo t: dx = v(t) dt qualunque sia la dipendenza della velocità dal tempo.

Lo spostamento complessivo sulla retta su cui si muove il punto, in un intervallo finito di tempo ∆t = t-t0, è dato dalla somma di tutti i successivi valori dx. Per il calcolo utilizziamo l’operazione di integrazione:

∆x=∫x0

x

dx=∫t0

t

v (t )dt .

Il primo integrale è immediato e vale x-x0; pertanto

Questa è la relazione generale che permette il calcolo dello spazio percorso nel moto rettilineo qualunque sia il tipo di moto. Il termine x0 rappresenta la posizione iniziale del punto, occupata nell’istante iniziale t0. Pertanto per calcolare x(t), nota v(t), è necessario conoscere la condizione iniziale del moto. ∆x rappresenta lo spostamento complessivo e non lo spazio percorso, nel senso che: se per esempio il punto avesse eseguito una serie di spostamenti che alla fine l’avessero riportato nella posizione iniziale, ∆x risulterebbe Nullo, anche se il punto nel suo movimenti ha percossi vari spazi; ∆x cioè non è la somma dei moduli degli spostamenti, bensì la somma algebrica (si vede l’importanza del segno della velocità).

Ricordando la definizione di velocità media, vm = (x-x0)/(t-t0) dalla

ricaviamo la relazione tra velocità media e velocità istantanea

Questa coincide con la definizione matematica di valor medio di una funzione in un dato intervallo ; pertanto la velocità media, pari al rapporto tra lo spazio complessivamente percorso ed il tempo impiegato a percorrerlo, è uguale al valore medio della velocità istantanea nell’intervallo di tempo considerato.

La velocità media è utile per valutare globalmente la rapidità di uno spostamento.

Moto rettilineo uniforme

Consideriamo il caso particolare del moto rettilineo uniforme , in cui v=costante

La seconda espressione vale se t0=0.

Le equazioni sopra riportate si chiamano leggi orarie o equazioni del moto rettilineo uniforme ; esse mostrano che in questo moto lo spazio è una funzione lineare del tempo: in tempi eguali sono percorsi spazi eguali.

La velocità istantanea costante, coincide con la velocità media.

Accelerazione nel moto rettilineo

Abbiamo detto che nel caso più generale di moto rettilineo la velocità è funzione del tempo, v(t). Quando la velocità del punto varia nel tempo, il moto si dice accelerato. Se tra gli istanti t1e t2 la velocità varia da v1 a v2, si definisce accelerazione media del punto, il rapporto tra la variazione di velocità ∆v e l’intervallo di tempo ∆t in cui avviene la variazione:

Definiamo l’accelerazione istantanea cioè la rapidità di variazione temporale della velocità, come:

L’accwlerazione istantanea è dunque la derivata della velocità rispetto al tempo, ovvero la derivata seconda dello spazio rispetto al tempo.

Se a=0 la velocità è costante (moto rettilineo uniforme); quando a>0 la velocità cresce nel tempo, mentre per a<0 la velocità decresce. Si faccia attenzione che è il segno della velocità istantanea e non quello dell’accelerazione a fornire il verso del moto.

Nota la dipendenza della velocità dal tempo, abbiamo dunque visto come con l’operazione di derivazione di ottenga la funzione a(t). Se invece conosciamo a(t) possiamo ricavare v(t) tramite l’integrazione della funzione differenziale (img precedente): dal legame tra l’accelerazione e la variazione di velocità nel tempo dt,

Relazione generale che permette il calcolo della velocità se è nota l’accelerazione in funzione del tempo.

Moto rettilineo uniformemente accelerato

Il moto rettilineo più generale è vario, intendendo con questo termine che l’accelerazione non è costante; se invece l’accelerazione è costante durante il moto, questo si dice uniformemente accelerato e la dipendenza della velocità dal tempo è lineare, come si ricava da: