TeoriadeigraAnnoAccademico2007-2008Marco BurzioDipartimentodi Matematica-Universit` adi TorinoViaCarloAlberto10-10123Torino-ITALYE-mail address:marco.burzio@unito.itIndiceCapitolo 1. Gra e sottogra 11. Gra 1Esercizi 62. Sottogra 7Esercizi 83. Gra speciali 8Esercizi 94. Operazioni sui gra 10Esercizi 115. Successione dei gradi 11Esercizi 14Capitolo 2. Gra connessi e tracciabilit`a 171. Cammini e cicli 17Esercizi 232. Complemento di un grafo e gra autocomplementari 23Esercizi 263. Vertici separanti e ponti 274. Blocchi di un grafo 295. Gra euleriani 32Esercizi 376. Gra hamiltoniani 38Esercizi 40iiiiv Indice7. Il problema del cammino minimo 41Capitolo 3. Matrici ed alberi 451. Gra e matrici 45Esercizi 482. Alberi 483. Il numero degli alberi non identici 51Esercizi 534. Alberi ricoprenti 53Esercizi 59Capitolo 4. Gra planari 611. La formula di Eulero 612. Condizioni algebriche e planarit`a 633. Gra planari e poliedri 66Esercizi 694. Omeomorsmo 69Esercizi 715. Caratterizzazione dei gra planari 72Esercizi 78Capitolo 5. Colorazioni sui gra 811. Il numero cromatico 812. Lalgoritmok-colorabile 83Esercizi 853. Il teorema dei quattro colori 864. Il polinomio cromatico 89Esercizi 925. Colorazioni sui lati 93Esercizi 95Capitolo 6. Digra, networks e ussi 971. Digra e tornei 972. Networks e cammini critici 99Esercizi 1033. Flussi e tagli 103Esercizi 109Indice analitico 111QuaderniDidatticidelDipartimentodiMatematicaCapitolo1Graesottogra1. GraUn grafoG consiste di un insieme nito e non vuotoVi cui elementi sonodetti vertici e di un insieme E, eventualmente vuoto, di sottoinsiemi binaridi elementi distinti di V . Gli elementi dellinsiemeEsonodetti lati. Ingenerale se si vogliono evidenziare i vertici e i lati del grafo, G si denota conG(V, E), linsieme dei vertici conV (G) e quello dei lati conE(G).Datiduevertici u, v, see= u, v `eunlatodi G, cio`ee E, illatoe= u, v`edettocongiungerei vertici uev, mentreuevsonodettivertici adiacenti, eu ede sono detti incidenti cos` come v ede. Inoltre see1ede2sonolatidistintidi Gincidentiunverticecomune, e1ede2sonodetti lati adiacenti. E convenientedenotarenel seguitounlatoconuvoppurevu invece di u, v.Spessoconvienerappresentareungrafoconundiagramma, doveognivertice `e rappresentato da un punto nel piano e ciascun lato da un segmento,eventualmentecurvilineo, congiungenteduepunti distinti. Convienefarriferimentoaquestodiagrammadi GcomeaGstessoessendofacilmenteindividuabili gli insiemiVedE.Nelladenizionedi grafoduevertici distinti sonocongiunti daunoonessun lato. Se si ammette che due vertici possano essere congiunti da dueo pi` u lati (ma in numero nito), il grafo ottenuto `e detto un multigrafo. Sedue o pi` u lati in un multigrafo congiungono due vertici, questi lati sono dettilati multipli . Per descrivere un multigrafo, `e quindi necessario specicarenonsololinsiemedeiverticiequellodeilati,maancheilnumerodeilaticongiungenti due vertici.12 1. GraesottograUn grafo pesato G(V, E) `e un grafo con una funzione peso w : E R(oppure N) essendo R (risp. N) linsieme dei numeri reali (risp. naturali).Per ognie E, w(e) `e detto il peso del latoe. Il pesodelgrafow(G) `ela somma dei pesi di tutti i lati diG.Nel Capitolo 6 tratteremo anche i gra diretti o digra. Un digrafoDconsiste di un insieme nito e non vuoto Vi cui elementi sono detti verticiedi uninsiemeA, eventualmentevuoto, di coppie(ordinate)di elementidistinti diV . Gli elementi dellinsiemeA sono detti archi .Esempio1.1. La signora Rossi e suo marito danno una festa a cui parte-cipano altre quattro coppie sposate. Durante la festa alcune persone fannoconoscenza e si stringono la mano, ma ovviamente nessun marito stringe lamano alla propria moglie. Alla ne della festa il signor Rossi chiede a cias-cuno a quante persone ha stretto la mano e riceve nove risposte dierenti.Quante persone hanno stretto la mano alla signora Rossi?Soluzione. Costruiamoungrafoi cui vertici sonoi partecipanti allafestaei cui lati rappresentanolecoppiedi personechesi sonostrettelamano. Poiche ci sono nove persone oltre al sig. Rossi e il massimo numerodi strette di mano che una persona pu`o avere dato `e otto, in quanto non hastretto la mano al coniuge e a se stesso, segue che le nove dierenti rispostericevute dal sig. Rossi devono essere 0, 1, 2, 3, . . . , 8. Denotiamo i vertici conquestinumeri. Ilvertice8 `eadiacenteatuttiiverticimenouno, che `eilconiugedi8. Questoconiugenonpu`ocheessere0(chenon `ecertamenteadiacente ad 8 non essendo adiacente ad alcuno). Quindi 8 e 0 formano unacoppia e 8 `e adiacente a 1, 2, . . . , 7. In particolare 1 `e adiacente soltanto a 8,quindi il vertice 7 non `e adiacente soltanto a 0 e 1; segue che 1 e 7 formanola seconda coppia. Continuando in questo modo vediamo che 6 e 2 formanola terza e 5 e 3 la quarta coppia. Segue che 4 rappresenta la signora Rossiche ha quindi stretto la mano a quattro persone.Esempio1.2. Si hannoadisposizionetrerecipienti A, B, Cdi capacit`arispettivamente8, 5, 3litri. A `epienodi vino. Si devedividereil vinoindue parti uguali versandolo da un recipiente allaltro, cio`e senza usare altristrumenti di misura diversi dai tre recipienti.Soluzione. Ogni distribuzione di vino nei tre recipienti pu`o essere de-scritta da una coppia (b, c) che rappresenta la quantit`a b di vino contenuta inB e la quantit`a c contenuta in C. La quantit`a a = 8(b+c) `e deducibile da be c e, quindi, non `e necessario evidenzarla. Inizialmente si ha (b, c) = (0, 0).La distribuzione da raggiungere `e (4, 0) in quanto si vuole dividere il vino inQuaderniDidatticidelDipartimentodiMatematica1. Gra 3due parti uguali, una inA e laltra inB (inCnon ci possono stare quattrolitri). Ilproblemaconsisteneldeterminaretuttelecoppie(b, c)legatetraloro nel senso che si pu`o passare da una allaltra versando il vino secondo lecondizioni stabilite. Quindi da (0, 0) si passa a (0, 3) e a (5, 0) con operazioniammissibili. Continuando in questo modo si determinano tutte le coppie ot-tenibili che si posizionano nei punti a coordinate intere di un rettangolo 64nel primo quadrante.La soluzione si ottiene compiendo le seguenti operazioni:(0, 0) (5, 0) (2, 3) (2, 0) (0, 2) (5, 2) (4, 3) (4, 0).Si noti che tra le coppie legate che danno la soluzione del problema esistonoentrambi gli archi, adesempio(0, 2) (5, 2)e(5, 2) (0, 2), inquantosono ammissibili entrambe le operazioni corrispondenti. Ma questo non valeingenerale. Adesempio `e ammissibileloperazione(2, 0) (5, 0)manon(5, 0) (2, 0).Questa `elaragioneperlaqualetralecoppiesiutilizzanoarchi e non lati.Spesso due gra hanno la stessa struttura e dieriscono solo dal modoin cui i vertici e i lati sono numerati oppure solo da come sono rappresentatigeometricamente. Per questo si introduce la nozione di isomorsmo.Due graG1eG2sono detti isomor se esiste una biezionefdallin-sieme dei vertici di G1 allinsieme dei vertici di G2 che conserva le adiacenze,cio`e tale che:uv E(G1) se e solo se f(u)f(v) E(G2).La biezionef:V (G1) V (G2) `e detta un isomorsmo e in questo casosi scriveG1 = G2.Efacilevederechelarelazioneisomorfoa `edi equivalenzasui gra;questa relazione divide la famiglia dei gra in classi di equivalenza, due graessendo non isomor se stanno in classi diverse.DatoungrafoG, econsideratelecardinalit`adi V edE, se [V [=pe[E[ = q,G `e detto un (p, q) grafo; il numerop `e detto lordine diG eqlataglia diG.PerdenizioneV,= equindi p 1,mentreEpu`oesserevuotoealmassimo per ogni due vertici scelti esiste il lato che li congiunge, quindi0 q

p2

=p(p 1)2.C`e un solo (1,0) grafo,a meno di isomorsmi, detto il grafo banale. Ungrafo non banale ha quindip 2.Universit`adiTorino4 1. GraesottograDuegraG1eG2sonoidentici,denotaticonG1=G2, seV (G1)=V (G2) edE(G1) =E(G2). Chiaramente due gra possono essere isomorma non identici.Esercizio1.3. Disegnare due gra isomor e due non isomor.Soluzione. Consideriamo i graG1, G2eG3come in Figura 1. Si haG1 = G2, mentreG1 ,= G3in quanto inG3esistono triangoli mentre inG2non ne esistono.G2: G1:G3:Figura1. GraisomorenonisomorTeorema1.4. Il numerototaledei granonidentici di ordinepconlostesso insieme di verticiV`e 2p(p1)2.Dimostrazione. Questo `eovvioperp=1.Sep 2eG `eungrafoconinsiemedi vertici V, alloraperogni coppiadi vertici distinti u, v, ci sonodue possibilit`a a seconda che uv sia o no un lato di G. Poiche ci sonop(p1)2coppiedistintedivertici, cisono2p(p1)2granonidentici Gconlostessoinsieme di verticiV. Esercizio1.5. Disegnare i 20 gra non identici di ordine 4 e taglia 3 coninsieme di vertici 1, 2, 3, 4 e calcolare le classi di isomorsmo.Soluzione. Supponendodi manteneressalaposizionedei quattrovertici si ottengono i gra della Figura 2.Si hanno di conseguenza tre classi di isomorsmo rappresentate dai gradella Figura 3.QuaderniDidatticidelDipartimentodiMatematica1. Gra 5Figura2. Igranonidenticidiordine4etaglia3Figura3. Leclassidiisomorsmodei(4,3)graCon leccezione dellordine e della taglia, i numeri che si incontrano pi` ufrequentemente nello studio dei gra sono i gradi dei vertici.Il grado di un verticevinG `e il numero dei lati diG incidenti conv.Il grado di un verticev `e denotato con deg v. Un vertice di gradon `e anchedetto unn-vertice.Un vertice `e detto dispari o pari a seconda che il suo grado sia dispario pari.Un vertice di grado 0 `e detto un vertice isolato e un vertice di grado 1un vertice nale.Con (G)(risp. (G))sidenotailminimo(risp. massimo)deigradidei vertici diG.Teorema1.6. SiaG un (p, q) grafo conV (G) = v1, v2, . . . , vp. Allorap

i=1deg vi = 2q.Dimostrazione. Ogni lato `e incidente a due vertici, quindi quando si som-mano i gradi dei vertici ogni lato `e contato due volte. Corollario1.7. In ogni grafo c`e un numero pari di vertici dispari.Universit`adiTorino6 1. GraesottograDimostrazione. SiaG un grafo di tagliaq. Sia poiWlinsieme dei verticidispari diG edUlinsieme dei vertici pari diG. Per il Teorema 1.6

vV (G)deg v =

vWdeg v +

vUdeg v = 2q.Certamente vU deg v`epari, quindi vW deg v`eanchessapari. Maessendo dispari ogni addendo di

vW deg v , questo implica [W[ pari. Il Corollario1.7`eanchenotocomeil Lemmadellestrettedi mano,nel sensoche, datounqualsiasi insiemedi persone, il numerodi personeche stringono la mano ad un numero dispari di altre persone dellinsieme dipartenza `e sempre pari.Esercizi(1)Sia G = (V, E) un grafo di ordine p. La taglia massima che G pu`o avere`e

p2

. Determinare la taglia massima di un digrafo di ordinep.(2)Quale`e il numerodei granonidentici GconV (G) =1, 2, 3, 4.Determinare tutti i (4,4) graG non identici conV (G) = 1, 2, 3, 4.(3)Determinare tutti i gra non isomor di ordine 4.(4)Determinare tutti i gra non isomor di ordine 5.(5)Vero o falso: SiaV (G) = v1, v2, . . . , vp. Il numero dei (p, q) gra nonidentici con insieme di vertici V`e uguale al numero dei (p,

p2

q) granon identici con insieme di verticiV.(6)Sianopuninteropositivoedmedndueinteri nonnegativi tali chem+n = p edn pari. Mostrare che esiste un grafoG di ordinep che ham vertici pari edn vertici dispari.(7)Supponiamo cheG1eG2siano gra isomor. Per ognik 0 siani(k)il numero dei vertici diGi di gradok, (i = 1, 2).Mostrare chen1(k) = n2(k).(8)Mostrare che se G `e un grafo con almeno due vertici allora G ha almenodue vertici con lo stesso grado.(9)Determinareunafunzionetrai vertici di duegradellostessoordineche sia una biezione ma non conservi le adiacenze, ed una che conservile adiacenze ma non sia una biezione.QuaderniDidatticidelDipartimentodiMatematica2. Sottogra 72. SottograUn grafo H = (V (H), E(H)) `e un sottografo di un grafo G = (V (G), E(G))seV (H) V (G)edE(H) E(G); inquestocasoG`eanchedettounsopragrafo diH.Il pi` u semplice tipo di sottografo di un grafo G`e quello ottenuto togliendoun vertice o un lato.Sev V (G) e [V (G)[ 2, alloraGv denota il sottografo con insiemedi verticiV (G) v e i cui lati sono tutti quelli diG non incidenti conv.See E(G)ed [E(G)[ 2, G edenotailsottografoconinsiemediverticiV (G) e insieme di latiE(G) e.Leliminazione di un insieme di vertici o un insieme di lati `e denita inmodo analogo.Esercizio 2.1. Scelto un grafo Ge ssato un vertice v ed un lato e, disegnareGv eGe.Seuevsonovertici nonadiacenti di ungrafoG, alloraG + f, dovef= uv, denota il grafo con insieme di vertici V (G) e insieme di lati E(G)f.ChiaramenteG `e un sottografo diG+f.Dalledenizioni seguechei graG + f, Ge G ehannolostessoinsiemedi vertici. QuandounsottografoHdi ungrafoGhalostessoordinedi G, cio`eHeGhannolostessoinsiemedi vertici, H`edettounsottografo ricoprente diG.Oltre ai sottogra ricoprenti, i pi` u importanti sottogra che incontrere-mo sono i sottogra indotti. SeU`e un sottoinsieme non vuoto dellinsiemedeivertici V (G)diungrafoG, ilsottografo U)di GindottodaU`eilgrafo con insieme di vertici Ue il cui insieme di lati `e formato da tutti i latidi G incidenti due elementi di UUn sottografo H di G `e detto indotto pervertici o indotto, e denotato conH _ G, se U) per qualche sottoinsiemeUdiV.Similmente, se F`e un sottoinsieme non vuoto di E(G), il sottografo F)indotto daF`e il grafo il cui insieme di vertici consiste di quei vertici di Gincidenti con almeno un lato diFe il cui insieme di lati `eF. Un sottografoHdi G `e detto indotto per lati se H = F) per qualche sottoinsieme FdiE(G).E una semplice conseguenza delle denizioni che ogni sottografo indottodi ungrafoGpu`oessereottenutotogliendodei vertici daGmentreognisottografo diG pu`o essere ottenuto con leliminazione di vertici e lati.Universit`adiTorino8 1. GraesottograEsercizi(1)Determinare tutti i sottogra non isomor del grafo della Figura 4. Qualitra questi sono indotti per vertici?Quali sono indotti per lati?Determinare tutti i sottografi non isomorfi del grafo G:1243Figura43. GraspecialiCi sonograparticolari cheintervengonocos` spessocherichiedonounaspeciale considerazione e in qualche caso notazioni speciali. I pi` u interessantisono descritti in questa sezione.Un grafo G `e regolare di grado r se per ogni vertice v V (G), deg v =r; questi gra sono anche chiamati r-regolari. I gra 3-regolari sono anchedetti gra cubici.Ungrafo `ecompletoseognidueverticidelgrafosonoadiacenti. Un(p, q) grafo completo `e quindi un grafo regolare di grado p1 con q =p(p1)2;questo grafo si denota conKp.Un sottografo completo di un grafoG `e anche detto una cricca diG.Esercizio3.1. Disegnare i gra completiK1,K2,K3,K4,K5.Esercizio3.2. Disegnare i grar-regolari di ordine 4 conr = 0, 1, 2, 3.Provare a disegnare i grar-regolari di ordine 5 conr = 0, 1, 2, 3, 4.Il complemento G di un grafo G `e il grafo con insieme di vertici V (G)e tale che due vertici sono adiacenti in G se e solo se questi vertici non sonoadiacenti inG.Quindi seG `e un (p, q) grafo,G `e un (p, q), doveq +q =

p2

.QuaderniDidatticidelDipartimentodiMatematicaEsercizi 9Il complemento di Kp ha p vertici e nessun lato ed `e detto il grafo vuoto diordinep.Un grafo `e autocomplementare se `e isomorfo al suo complemento. Igra autocomplementari saranno studiati pi` u in dettaglio in seguito.Esercizio3.3. Disegnareungrafoedil suocomplemento. Disegnareungrafo autocomplementare.Un grafoG = (V, E) `en-partito,n 1, se esiste una partizione di Vinnsottoinsiemi V1, V2, . . . , Vntali cheogni elementodi Econgiungeunvertice diVi ad un vertice diVj, coni ,= j.Il grafo 1-partito di ordinep `e isomorfo al grafo vuoto di ordinep.Pern = 2, questi gra sono detti gra bipartiti; questa classe di gra`e particolarmente importante e si incontrer`a spesso.Esercizio3.4. Disegnare un grafo bipartito.Un grafon-partitocompleto `e un grafon-partito con insiemi di par-tizioneV1, V2, . . . , Vncon lulteriore propriet`a che seu Viev Vj,i ,= j,allorauv E(G).Se [Vi[ = pi, questo grafo `e denotato con K(p1, p2, . . . , pn). (Lordine dei nu-meri p1, p2, . . . , pn non `e importante). Si noti che un grafo n-partito completo`e completo se e solo sepi = 1 per tutti glii.Se pi = t per tutti gli i, allora il grafo n-partito completo `e regolare di grado(n 1)t ed `e anche denotato conKn(t). In particolare si ha: Kn(1) = Kn.Un grafo bipartito completo con insiemi di partizione V1 e V2, dove [V1[ = me [V2[ = n, `e denotato con K(m, n). Il grafo K(1, n) `e detto un grafo stella.Esercizi(1)DisegnareK3(2) eK(1, 5).(2)Determinare la taglia diK(p1, p2, . . . , pn).(3)Sia G un (p, q) grafo cubico, dove q = 2p3. Che cosa si pu`o dire su G?(4)Vero o falso:SeH `e un sottografo diG segue anche cheH `e un sottografo diG?Se H `e un sottografo ricoprente G segue anche che H `e un sottograforicoprenteG?Universit`adiTorino10 1. Graesottogra(5)Vero o falso:Se H `e un sottografo di Gsegue anche che H `e un sottografoindotto per vertici diG?(6)Disegnare tutti i gra autocomplementari di ordinep 5.(7)DisegnareK(3, 3) eK3(3).4. OperazionisuigraC`e una variet`a di modi di combinare gra per produrne dei nuovi.Se non stabilito diversamente in questa sezione assumiamo cheG1 eG2siano due gra con insiemi di vertici disgiunti.LunioneG = G1 G2 haV (G) = V (G1) V (G2) edE(G) = E(G1) E(G2).Se un grafo G `e lunione di n(n 2) copie disgiunte di un grafo H scriviamoG = nH.La giunzioneG = G1 +G2 haV (G) = V (G1) V (G2) edE(G) = E(G1) E(G2) uv tali che u V (G1) e v V (G2).Usando loperazione di giunzione possiamo vedere che K(m, n) = Km+Kn.IlgrafoWp=Cp1 + K1, `edettoungraforuota, doveCp1`eilciclodilunghezzap 1, vedi Cap. 2, 1.Il prodotto cartesiano G = G1G2 ha V (G) = V (G1) V (G2) e duevertici (u1, u2) e (v1, v2) diG sono adiacenti se e solo seou1 = v1e u2v2 E(G2)oppureu2 = v2e u1v1 E(G1).Una importante classe di gra, quella dei cubi, `e denita usando i prodot-ti cartesiani. Ln-cuboQn `e il grafoK2sen = 1, mentre pern > 1,Qn `edenito comeQn1 K2.Il cuboQnpu`o anche essere considerato come il grafo i cui vertici sononumerati con len-ple binarie (a1, a2, . . . , an) (cio`eai `e 0 o 1 per 1 i n)etalecheduevertici sonoadiacenti seesoloselecorrispondenti n-pledierisconoinunaedunasolaposizione. E facileosservarecheQn`eungrafon-regolare di ordine 2ne taglian(2n1).Nelleoperazioni introdottesi `erichiestochelinsiemedei vertici deigracomponentisianodisgiunti. Nellultimaoperazionecheintroduciamole condizioni sono diverse.QuaderniDidatticidelDipartimentodiMatematica5. Successionedeigradi 11SianoG1eG2duegraconV (G1)=V (G2)edE(G1) E(G2)= .Lasommaper lati `eil grafoGdenotatoconG=G1 G2talecheV (G) = V (G1) = V (G2) edE(G) = E(G1) E(G2).Esercizi(1)Disegnare il grafo 2K1 3K2 K(1, 3).(2)Descrivere la giunzioneP2 +P3, essendoP2eP3i cammini di ordine 2e 3 (vedi Cap. 2, 1).(3)Descrivere il prodotto cartesianoP2 K(1, 3).(4)Disegnare gli n-cubi per n = 1, 2, 3 e numerare i vertici con n-ple binarie.(5)Illustrare su un esempio la somma per lati.(6)Siaq(risp. q

) latagliadiungrafoG (risp. G

). Quale `e latagliadiG G

,G+G

,GG

?(7)Determinare il grafoG soddisfacente alla seguente equazione:G+G = K2 K2.Perche non esisteG tale cheG+G+G = K2 K2 K2?(8)Disegnare le ruoteW5 eW6.5. SuccessionedeigradiStudiamo pi` u dettagliatamente il concetto di grado.Dare una etichettatura sui vertici (risp. sui lati) di un grafo G signicaconsiderareunafunzioneiniettivatraV (G)(risp. E(G))euninsiemedinumeri o di simboli. Un modo standard per etichettare i vertici ed i lati diun (p, q) grafo G `e quello di denotare V (G) con v1, v2, . . . , vp ed E(G) cone1, e2, . . . , eq.Dato un grafoG di ordinep, una successioned1, d2, . . . , dp di interi nonnegativi `e detta una successione dei gradi di G se esiste una etichettaturav1, v2, . . . , vp dei vertici diG in modo tale che deg vi = di, i = 1, 2, . . . p.Dato un grafoG con etichettatura sui vertici, `e facilmente determinatala successione dei gradi diG.Viceversa, seunasuccessiones: d1, d2, . . . , dpdi interi nonnegativi`eassegnata, sotto quali condizioni s `e una successione dei gradi di un qualchegrafo?Se un tale grafo esiste, s `e detta una successionegraca.Universit`adiTorino12 1. GraesottograCertamente, perches sia graca, sono necessarie le condizioni:di p 1, i = 1, 2, . . . , p ep

i=1dinumero pari,ma queste non sono sucienti.Adesempiolasuccessione3, 3, 3, 1soddisfaleduecondizioni precedentima non `e graca.Teorema5.1(Havel-Hakimi). Unasuccessiones: d1, d2, . . . , dpdiinterinonnegativicond1 d2 dp, p 2, d1 1, `egracaseesolose `e graca la successiones1 : d2 1, d3 1, . . . , dd1+1 1, dd1+2, . . . , dp.Dimostrazione. Supponiamo ches1sia graca. Allora esiste un grafoG1conV (G1) = v

2, v

3, . . . , v

p tale chedeg v

i =

di 1, i, 2 i d1 + 1dii, d1 + 2 i p.Possiamo allora costruire un nuovo grafo G aggiungendo un nuovo vertice v1e i d1 lati v1v

i, per i = 2, 3, . . . , d1+1. Rietichettiamo i vertici v

i, 2 i p,comeviinG. Si ha allora deg vi =diper 1 i p. Quindi la successiones : d1, d2, . . . , dp `e graca.Viceversa, sias: d1, d2, . . . , dpgraca. Esistequindi ungrafoGconV (G) = v1, v2, . . . , vp tale che deg vi = di per 1 i p.Possiamo distinguere due casi:(1)Supponiamo che G contenga un vertice u di grado d1 tale che u siaadiacente ai vertici aventi grado d2, d3, . . . , dd1+1. Poiche ci possonoessere pi` u vertici di grado massimo, u pu`o coincidere con v1 oppureconunodei vertici di gradod1. Inquestocasoil grafoG uhasuccessione dei gradi s1e quindi s1`e graca. E questo il caso incui esiste un vertice u di grado massimo tale che la somma dei gradidei vertici adiacenti adu sia massima.(2)Supponiamo che non esista nessun vertice come nel caso (1). Poichev1ha grado massimo, non `e adiacente a tutti i vertici aventi gradid2, d3, . . . , dd1+1, altrimenti la somma dei gradi dei vertici adiacentiav1sarebbemassima. Quindi esistonoduevertici vje vkcondj> dk tali che v1 `e adiacente a vk ma non a vj. Poiche il grado divj`e maggiore di quello di vk,esiste un verticevnche `e adiacenteavjmanonavk. Togliendoi lati v1vkevjvneaggiungendoilati v1vjevkvnsi ottiene un grafoG

che ha la stessa successionedei gradi di G. OvviamenteinG

lasommadei gradi dei verticiadiacenti av1 `e maggiore di quella inG.QuaderniDidatticidelDipartimentodiMatematica5. Successionedeigradi 13RipetiamoorasuG

lesamefattoperG. SeG

rientranelcaso(1)ilteorema `e provato, altrimenti si procede come nel caso (2) no ad arrivareadungrafoconlastessasuccessionedei gradi di Gechericadenel caso(1). Esercizio 5.2. Come applicazione del teoremavediamose `e gracalasuccessione:5, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 0, 0.Poiche 0 pu`o corrispondere solo a vertici isolati, la precedente successione`e graca se e solo se `e graca la successione:s : 5, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 1, 1, 1Applicando ilTeorema 5.1s `e gracasee solo `e gracala successiones

1 :s

1 : 2, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 1, 1, 1.Riordinando la successiones

1, otteniamo:s1 : 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1.Nonriuscendoavederese s1`egraca, riapplichiamoil Teorema5.1ottenendo :s

2 : 1, 1, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1che riordinata d`a la successiones

2 :s2 : 2, 2, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 1.Riapplichicando il Teorema 5.1 otteniamo :s

3 = s3 : 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1.Si vede ora facilmente che la successione s3 `e graca dal momento che `ela successione di gradi del grafoG3 = 4K2.Per il Teorema 5.1 ciascuna delle successioni s2, s1eds `e graca. Percostruire un grafo con successione dei gradi s2, procediamo a ritroso da s3 ads2, osservando che a G3 si deve aggiungere un vertice che sia adiacente a duevertici di grado 1. In questo modo otteniamo un grafoG2con successionedei gradi s2 (o s

2 ). Procedendo da s

2 ad s1, aggiungiamo ancora un verticecongiungendoloaduevertici di grado1inG2. Questod`aungrafoG1con successionedeigradi s1(os

1). Finalmente otteniamo ungrafoG consuccessione dei gradis considerandos

1 , cio`e un nuovo vertice `e aggiunto aG1, congiungendoloaverticidigradi2, 2, 2, 2, 1. IlgrafoGsicompletainserendo due vertici isolati.Universit`adiTorino14 1. GraesottograSi deve notare che essendoci pi` u modi di scegliere le adiacenze quando siaggiunge un vertice, seguendo la costruzione precedente si possono otteneregraGconsuccessioni dei gradi 5, 3, 3, 3, 3, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 0, 0tralorononisomor. Provaredirettamenteadeterminaregracamenteduedi questigra non isomor tra loro.Si deve poi anche notare che ci sono gra che non possono essere prodotticon il metodo usato per costruireG. Per esempio il grafoHdella Figura 5.Infatti 2,2,1,1,1,1 `e la successione dei gradi diH, quindi 1,0,1,1,1 `e graca,infatti il grafoH1della Figura 5 `e un grafo con tale successione dei gradi,ma se si segue la costruzione della dimostrazione del Teorema 5.1 si aggiungeunverticevcollegandoloconunverticedigrado1edunodigrado0esicostruisce il grafoH2 della Figura 5 che ha 2,2,1,1,1,1 come successione deigradi ma non `e isomorfo adH.H H1 H2vFigura 5. Esempio di ungrafo nonricostruibile conil metodo delTeorema5.1Esercizi(1)Datoil grafoK(3, 2) 2K2 K1, determinarelasuasuccessionedeigradi.(2)Dare un esempio di un grafo in cui esiste un vertice u di grado massimotale che la somma dei gradi dei vertici adiacenti adu sia massima.Dareunesempiodi ungrafoincui non`esoddisfattalacondizioneprecedente.(3)Determinareseleseguenti successioni sonograche. Incasopositivodisegnare un grafo che ha tale successione come successione dei gradi:(a)4,4,3,2,1,0(b)3,3,2,2,2,2,1,1,0(c)7,4,3,3,2,2,2,1,1,1,0.(4)Provare che nessuna successione non banale a termini tutti distinti traloro `e graca.QuaderniDidatticidelDipartimentodiMatematicaEsercizi 15(5)Costruireil maggiornumerodi granonisomorconsuccessionedeigradis : 4, 3, 3, 2, 2, 1, 1.(6)Determinare tutte le successioni graches : d1, d2, d3, d4, cond1 d2 d3 d4.Quante sono le successioni grache s : d1, d2, d3, d4, d5 con d1 = 4 d2 d3 d4 d5?Ecomesi possonodeterminareutilizzandoil Teorema5.1?(7)Vero o falso:a)Due gra isomor hanno la stessa successione dei gradi.b)Due gra con la stessa successione dei gradi sono isomor.Dimostrare le asserzioni o provarne la falsit`a con un controesempio.(8)Vero o falso:Se due gra hanno la stessa successione dei gradi ma non sono isomorla stessa propriet`a vale per i loro complementi.(9)Il numeroan dei gra semplici conn vertici non isomor tra loro `e:a1 = 1, a2 = 2, a3 = 4, a4 = 11, a5 = 34, a6 = 156, a7 = 1044, ...mentre il numero a

n delle successioni grache per gra semplici di ordinen `e:a

1 = 1, a

2 = 2, a

3 = 4, a

4 = 11, a

5 = 31, a

6 = 102, a

7 = 342, ...Confronta (http://www.research.att.com/%7enjas/sequences/Seis.html)le successioni A000088 e A004251 sulla on-Line Encyclopedia of IntegerSequences.Utilizzando le classi di isomorsmo di gra di ordine 5 e lesercizio(8) determinare le tre coppie di gra di ordine 5 che non sono isomorma hanno a due a due la stessa successione graca e che giusticano ladierenzaa5 a

5 = 3.Universit`adiTorinoCapitolo2Graconnessietracciabilit`a1. CamminiecicliSianou0eunduevertici nonnecessariamentedistinti di ungrafoG. Unu0-uncamminodi G `eunasuccessionenitadivertici u0, u1, . . . , untaliche ui ed ui+1 sono adiacenti, per ogni i = 0, ..., n1. I lati uiui+1, per ognii = 0, ..., n 1, sono detti i lati del cammino.Uncamminobanalenoncontienelati. Si noti cheinuncamminocipu`o essere una ripetizione di vertici e lati.Dueu-vcammini, u =u0, u1, . . . , un =vedu =v0, v1, ..., vm =vsonouguali sen = m eui = vi per 0 i n; altrimenti sono distinti.Unu-v cammino `e chiuso o aperto a seconda cheu = v oppureu ,= v.Unu0, u1, . . . , uncamminoalati distintiocamminosemplice `eunu0-un cammino in cui nessun lato uiui+1, per ogni i = 0, ..., n1, `e ripetuto.Unu-vcamminoavertici distintiocamminoelementare `eunu-vcammino in cui nessun vertice `e ripetuto. Ogni cammino elementare `e ancheun cammino semplice.Se non specicato diversamente, dora in poi per cammino si intender`aun cammino elementare.IlsottografodiungrafoGindottodailatidiuncammino `edettouncamminodi G. Osserviamochedueu-vcamminidistintipossonoancheindurre lo stesso sottografo diG.Il numero dei lati in un cammino `e detto la sua lunghezza.1718 2. Graconnessietracciabilit`aUn grafo di ordine n che sia un cammino elementare `e denotato con Pn.QuindiPn ha lunghezzan 1.Uncamminochiusononbanale(nonnecessariamenteavertici olatidistinti) diG `e detto un circuito. E evidente che se un verticev di grado2giacesuuncircuitoCdi G,alloraCcontieneancheiduelatiincidenticonv.InungrafoG, uncircuitoelementareC: v1, v2, . . . , vn, v1, n 3,`edetto un ciclo diG.Un grafo aciclico non ha cicli.Il sottografo di G indotto dai lati di un circuito o ciclo `e anche detto uncircuitodiG o ciclodiG.Un ciclo `e pari se la sua lunghezza `e pari. Altrimenti `e dispari.Unciclodi lunghezzan`eunn-ciclo. Un3-ciclo`eanchedettountriangolo.Un grafo di ordinen, (n 3) che sia un ciclo `e denotato conCn.Esercizio1.1. Disegnare in un grafo un ciclo ed un circuito che non `e unciclo.Esempio 1.2 (Il problema del contadino, del lupo, della capra e del cavolo).Uncontadinodeveportareunlupo, unacapraeduncavoloal mercatoeperfarci`odeveattraversareunumeconunabarcacheoltreasestessopu`o contenere uno solo dei tre (`e un grande cavolo!). Ma, se il lupo rimanesolo con la capra, se la mangia, e, se la capra rimane sola con il cavolo, se lomangia. Il lupo pu`o essere lasciato solo con il cavolo, `e noto che i lupi nonmangiano cavoli. Come pu`o il contadino traghettare i tre intatti?Soluzione. Il problema pu`o essere risolto abbastanza velocemente pertentativi, ma cerchiamone un approccio sistematico (cio`e algoritmico).Denotiamo conW: lupo,G: capra,C: cavolo,F: contadino. Seguendole regole stabilite sono ammesse su entrambe le sponde del ume le seguentisituazioni:WCGF,WCF,WGF,CGF,WC,GF,W,C,G, ,dove rappresenta la situazione in cui nessuno `e sulla sponda in questione.Notiamo cheWFeCFnon sono in elenco perche anche se ammissibili diperse, WFsuunaspondaimplicaGCsullaltrachenon `eammissibile,eCFimplicaWG anchessa inammissibile.In Figura 1 `e schematizzata la soluzione del problema. Sono indicate ledieci situazioni ammissibili suciascunaspondadel ume, dovei segmentiQuaderniDidatticidelDipartimentodiMatematica1. Camminiecicli 19WCGFWCWCFWWGFGGF

CCGF

GFGWGFWCGFCWCFWCWCGFfig aGWGCCGWGFigura1WCGF()G(WCF) WGF(C) W(CGF) GF(WC)WC(GF) WCF(G)C(WGF) CGF(W)(WCGF)

GCGWWGCGFigura2che le congiungono rappresentano un trasbordo del contadino con, eventual-mente, un passeggero. In ogni caso il trasbordo pu`o avvenire in entrambe ledirezioni. Per esempio il segmento da WCFsu una sponda a CGFsullaltrarappresenta il trasbordo del cavolo in entrambe le direzioni.NellaFigura2si hannolestesseinformazioni senzamostrarediretta-menteilume. Ciascunverticerappresentaunadellediecisituazioniam-missibili suunasponda, quelladacui si parte. Inparentesi`eindicatalasituazione che si ha in contemporanea sullaltra sponda. Ciascun lato rap-presentauntrasbordodel contadinodaunaspondaallaltra, conosenzapasseggeri. Letichetta sul lato rappresenta chi `e sulla barca insieme al con-tadino. Poiche partiamo con WCGFsu una sponda e vogliamo nire con sulla stessa sponda, lo scopo `e trovare un cammino nel grafo daWCGFa che rappresenter`a una soluzione del problema.Si hanno due possibili soluzioni:WCGF WC WCF W WGF G GF ,WCGF WC WCF C CGF G GF .Universit`adiTorino20 2. Graconnessietracciabilit`aTeorema1.3. In un grafoG ogniu-vcamminoWcontiene unu-vsotto-cammino elementare.Dimostrazione. Se W`e chiuso, il risultato `e ovvio in quanto Wcontiene ilsottocammino banale. Sia allora W: u = u1, u2, . . . , un = v un u-v camminodi G. Se nessun vertice di G compare in W pi` u di una volta, W `e un camminoelementare. Altrimenti ci sono vertici diG che compaiono inWdue o pi` uvolte. Siano allora i, j, i < j, due pedici tali che ui = uj. Se si eliminano daWi vertici ui, ui+1, . . . , uj1 si ottiene un u-v cammino W1 con meno verticidiW. SeW1non ha vertici ripetuti ,W1 `e lu-vsottocammino elementaredi Wcercato. Altrimenti si continua con il procedimento precedente no adottenere unu-v sottocammino elementare. Un vertice u `e detto essere connesso ad un vertice v in un grafo G seesiste unu-v cammino inG.Un grafoG `e connesso se ogni coppia di vertici sono connessi.Un grafo non connesso `e sconnesso.La relazione essere connesso a `e una relazione di equivalenza sullinsiemedeiverticidiungrafoG. Ognisottografoindottodaiverticiappartenentiad una classe di equivalenza `e chiamato una componenteconnessa diGo semplicemente una componente diG.Equivalentemente una componente di un grafoG `e un sottografo connessodi G che `e massimale rispetto alla propriet`a di essere connesso,cio`e non `econtenuto propriamente in un altro sottografo connesso diG.Il numero delle componenti diG `e denotato conk(G).Ovviamentek(G) = 1 se e solo seG `e connesso.Per un grafo connesso G deniamo la distanza d(u, v) tra due vertici uev come il minimo delle lunghezze degliu-v cammini. Con questa funzionedi distanza linsiemeV (G) `e uno spazio metrico.Leccentricit`a e(v) di un vertice v di un grafo connesso G `e la massimadistanza trav e ogni altro vertice diG.Il raggio di G, denotato con radG, `e la minima eccentricit`a dei vertici diG, mentre il diametro di G, denotato con diamG, `e la massima eccentricit`adei vertici diG. Segue che diamG = maxu,vV (G)d(v, u).Unverticev`eunverticecentralesee(v) = rad Geilcentrodi G `eformato dai suoi vertici centrali.Esercizio 1.4. Determinare e(x), e(u), radG, diamGe centro di G, essendoG il grafo della Figura 3.QuaderniDidatticidelDipartimentodiMatematica1. Camminiecicli 21Esercizio: Determinare e(x), e(u), radG, diamG, e centro di G, essendo: xvuwy G :Figura3Soluzione. Si hae(x) = 5,e(u) = 3, diamG = 5, radG = 3 e centro diG = u, v, w.Teorema1.5. Per ogni grafo connessoG si ha:rad G diamG 2 rad G.Dimostrazione. LadiseguaglianzaradGdiamG`eunadirettacon-seguenza delle denizioni.Per vericare la seconda disuguaglianza, scegliamo due vertici u e v tali ched(u, v)=diamG. Inoltresiawunverticecentraledi G. Poiched`eunametrica suV (G) si ha:d(u, v) d(u, w) +d(w, v) 2 rad G.

Teorema1.6. Un (p, q) grafoG ha almenop qcomponenti.Dimostrazione. Si noti chese q >plassertodicecheil numerodellecomponenti `e maggiore di un numero negativo, che `e ovvio anche se non `eun gran risultato.Proviamo il teorema per induzione suq.Per q=0, lasserto`everoinquantoil grafovuotodi ordinephapcomponenti banali.Supponiamo vero lasserto per ogni (p, q 1) grafo e proviamolo vero per un(p, q) grafoG. Siae =uvun latodi G. G e `e un (p, q 1) grafoe,perlipotesi induttiva, ha almenop q + 1 componenti.Consideriamo i seguenti due casi:(1)Se i due vertici u, v incidenti e appartengono alla stessa componentediGe,G ha ancora almenop q + 1 componenti.(2)Seinveceu, vappartengonoaduecomponenti diversedi G e,inGleduecomponenti diventanounasolaequindi il numerodellecomponenti di Gsi riducedi uno, cio`eGhaalmenop qcomponenti.Universit`adiTorino22 2. Graconnessietracciabilit`aQuindi in entrambi i casi il numero delle componenti diG `e almenop q,cio`e lasserto `e vero anche per i (p, q) gra. Segue la tesi. Corollario1.7. Seun(p, q) grafoG`etaleche q q q + 1 = 1, essendo q< p 1.Dal Teorema 1.6 segue cheG ha almeno due componenti, cio`e `e sconnesso.

Esistelaseguenteinteressantecaratterizzazionedei grabipartiti ot-tenuta utilizzando la lunghezza dei cicli contenuti.Teorema1.8. Ungrafononbanale`ebipartitoseesolosenoncontienecicli dispari.Dimostrazione. SiaGungrafobipartitoconinsiemi di partizioneV1eV2. Supponiamo cheC : v1, v2, . . . , vk, v1 sia un ciclo diG. Senza perdita digeneralit`a possiamo assumerev1 V1. Quindiv2 V2, v3 V1, v4 V2, ecos` via. Questo implica che i vertici con pedici pari stanno inV2. Essendopoivkadiacente av1ev1 V1si havk V2, da cuik `e pari. QuindiChalunghezza pari.Per il viceversa `e suciente provare che ogni grafo connesso non banaleGsenzacicli dispari`ebipartito, dal momentocheungrafononbanale`ebipartito se e solo se ciascuna delle sue componenti non banali `e bipartita.Siav V (G) e consideriamo:V1 = u V (G) / d(v, u) `e pari, V2 = V (G) V1.SihaV1 ,= ,inquantov V1.AncheV2 ,= ,inquantoG `econnessoenonbanale. Proviamochelapartizione V1, V2di V (G)halepropriet`anecessarie per mostrare che G `e bipartito.Siano u e w elementi di V1 e supponiamo che uw E(G). Allora, neces-sariamente, n`eun`ewcoincidonoconv.Sianov=u1, u2, . . . , u2n+1=u,n 1, ev=w1, w2, . . . , w2m+1=w, m 1, i pi` ucorti v-ucamminoe,rispettivamente, v-wcamminodi G.Consideriamoilverticew

comuneaidue cammini tale che il w

-u sottocammino e il w

-w sottocammino abbianoincomunesolow

. Notiamochew

potrebbecoincidereconv. Iduev-w

sottocammini cos` determinati sono v-w

sottocammini di lunghezza minima,quindi esiste uni tale chew

= ui = wi.QuaderniDidatticidelDipartimentodiMatematica2. Complementodiungrafoegraautocomplementari 23Segue cheui, ui+1, . . . , u2n+1, w2m+1, w2m, . . . , wi=ui`e un ciclo dispari diG in quanto di lunghezza 2m+1 i +1 +2n +1 i = 2(m+n i +1) +1che `e una contraddizione allipotesi.Quindi due vertici diV1 non sono mai adiacenti.Analogamente si prova che due vertici diV2 non sono adiacenti. Esercizi(1)Il problema dei mariti gelosi. Due coppie sposate arrivano ad un ume,da attraversare su una barca che pu`o contenere o una o due persone (nonpu`oesserevuotaperchemancail barcaiolo). Gli uomini sonomoltogelosi: nonvoglionochelapropriamogliestiainpresenzadellaltrouomoselorononsonopresenti (siasullespondedel umechesullabarca e sia che sia presente o meno la moglie dellaltro uomo).Rappresentandoungrafo, i cui vertici sonolediversesituazioni am-missibilisullespondedelumeeicuilatisonoicollegamentitraduesituazioni ammissibili date da un trasbordo, determinare se le due cop-pie possono attraversare il ume. In caso positivo dire quale `e il minimonumero di trasbordi.(2)Determinare il numero dei 5-cicli distinti (cio`e non contenenti gli stessivertici nello stesso ordine) diK5.2. ComplementodiungrafoegraautocomplementariConsideriamo pi` u in dettaglio il concetto di complemento di un grafo.Teorema2.1. SeG `e un grafo sconnesso, alloraG `e connesso.Dimostrazione. Sianou ev due vertici diG (e quindi anche diG).Se u e v appartengono a due diverse componenti di G, allora uv E(G).Se ue vappartengonoallastessacomponente G1di G, allora, con-siderandounverticewappartenenteadunaltracomponentedi G, segueuw E(G), vw E(G).Quindi in entrambi i casiu `e connesso av inG, cio`eG `e connesso. Universit`adiTorino24 2. Graconnessietracciabilit`aIl Teorema 2.1 stabilisce che un grafo ed il suo complementare non pos-sono essere entrambi sconnessi. Non `e dicile, invece, dare esempi di graconnessi concomplementari anchessi connessi. Unacaratterizzazionediquesti gra `e data dal seguente teorema.Teorema2.2. UngrafoGdi ordinep, p 2, eil suocomplementoGsonoentrambiconnessiseesolosen`eGn`eGcontengonoK(m, n)comesottografo ricoprente, dovem edn sono interi positivi tali chem+n = p.Dimostrazione. Si lascia per esercizio. Vediamo ora alcuni risultati sui gra autocomplementari.Notiamo inizialmente che dal Teorema 2.1 segue che un grafo autocomple-mentare `e sempre connesso.Teorema2.3. SiaG un grafo non banale autocomplementare. Allora:2 diamG 3 e rad G = 2.Dimostrazione. NotiamoinizialmentecheGnon `eungrafocompletoinquantoG = G; segue diamG 2.SupponiamoperassurdochediamG 4. AlloraGhaunverticewtalechee(w) =k 4.ProviamochediamG 2,ottenendolacontraddizioneG ,= G.Consideriamo:Ai(w) = v V (G)[ dG(v, w) = i, i = 0, 1, . . . , k.avendo indicato condG(v, w) la distanza trav ew nel grafoG.Sianou, v V (G) =V (G). Allorau Ai(w) ev Aj(w) per qualchei, j = 0, 1, . . . , k.(1)Se [i j[ 2, allorauvnonpu`oessereunlatodi GaltrimentidG(u, w) = dG(v, w) 1. Quindiuv E(G) cio`edG(u, v) = 1.(2)Se [i j[ 1 e 0 mini, j 1, allora, perx Ak(w), si haux E(G),xv E(G). Da cuidG(u, v) 2.(3)Se [i j[ 1e mini, j 2, allorauw E(G),wv E(G). DacuidG(u, v) 2.InognicasodG(u, v) 2cheimplicadiamG 2,che `eunacontrad-dizione con diamG 4 eG = G.Proviamo ora che radG = 2.PoicheG non `e il grafo banale e radG diamG, segue 1 rad G 3.QuaderniDidatticidelDipartimentodiMatematica2. Complementodiungrafoegraautocomplementari 25(1)SefosseradG=1, esisterebbev V (G)talechee(v)=1, cio`evsarebbeadiacenteatuttiglialtriverticiinGequindisarebbeisolato inG , che `e assurdo.(2)Se fosse radG = 3, tutti i vertici avrebbero eccentricit`a maggiore ouguale a 3 ed esisterebbe un verticew V (G) tale chee(w) = 3.DeniamoAi(w),i = 0, 1, 2, 3, come sopra.a)Sex Ai(w),i = 2, 3, xw E(G) cio`edG(x, w) = 1.b)Sex A1(w), pery A3(w) si hawy E(G), xy E(G) equindidG(x, w) 2.Segue cheeG(w) 2 e quindi rad (G) 2 mentre radG = 3.Assurdo, in quantoG = G.

Studiamooraper quali interi pesistonograautocomplementari diordinep.OvviamenteK1`eautocomplementareedancheP4lo`e. Nonesistonoinvece gra autocomplementari di ordine 2 e 3, mentre, come si pu`o diret-tamente vericare, gli unici gra autocomplementari di ordine 5 sono C5, didiametro 2 ed il grafoG della Figura 4, di diametro 3.Figura4. IlgrafoGautocomplementarediordine5ediametro3Queste osservazioni si generalizzano nel seguente teorema.Teorema2.4. Esiste un grafo autocomplementare di ordinep se e solo sep 0 (mod 4) oppurep 1 (mod 4), cio`ep = 1, 4, 5, 8, 9, 12, 13, . . . .Inoltreperogni p 5, soddisfacenteallacondizioneprecedente, esisteun grafo autocomplementare di ordine p con diametro 2 ed uno con diametro3.Dimostrazione. SeG`eungrafoautocomplementaredi ordinep, alloraG = G ed ha tagliap(p1)4.Universit`adiTorino26 2. Graconnessietracciabilit`aPoiche uno ed uno solo trap ep 1 `e pari o 4 dividep oppure 4 dividep 1. Da cuip 0(mod4) oppurep 1 (mod4).Proviamo il viceversa per induzione sun,conn tale chep = 4n oppurep = 4n + 1.Per n = 1, abbiamo visto che esistono gra autocomplementari di ordine 4 e5. Inoltre per p = 5 esistono due gra autocomplementari , uno di diametro2 e laltro di diametro 3.Supponiamo che per n1 valga il risultato, cio`e che esista un grafo autocom-plementareHdi ordinep = 4n 4 oppurep = 4n 3 e deniamo un grafoG1 che consiste di una copia diH, una copia diP4 e di tutti i lati incidentii vertici di grado 1 diP4 con tutti i vertici diH.Il complemento G1 consiste allora di una copia di H(H = H), una copia diP4 (P4 = P4) e di tutti i lati incidenti i vertici di grado 2 inP4 con i verticidi H, cio`e di tutti i lati incidenti i vertici di grado 1 in P4 con i vertici di H.QuindiG1 = G1. Inoltre diamG1 = 2.Se invece deniamo un grafoG2 che consiste diH, di una copia diP4 edi tutti i lati incidenti i vertici di grado 2 diP4con tutti i vertici diH,G2risulta autocomplementare e diamG2 = 3. Si noti che la costruzione utilizzata nel Teorema 2.4 per determinare graautocomplementari nonforniscetutti i possibili graautocomplementari(vedi Esercizio (5) seguente).Esercizi(1)Determinareamenodiisomorsmituttiigra4-regolaridiordine7.(Suggerimento: considerare i complementi di tali gra).(2)Determinare due gra autocomplementari non isomor di ordine 9 condiametro3edueautocomplementari nonisomordi ordine9condi-ametro 2.(3)Provare il Teorema 2.2.(4)Vericare su un controesempio che non vale il viceversa del Teorema 2.1.(5)SiaG il grafo autocomplementare di ordine 8 ottenuto utilizzando duecopiedel camminoP4econgiungendoogni verticedi unacopiaconivertici nali dellaltra copia. Provare cheG

di ordine 16 ottenuto con-siderando due copie diG e congiungendo ogni vertice di una copia conQuaderniDidatticidelDipartimentodiMatematica3. Verticiseparantieponti 27ogniverticedellasecondacopiadigradomaggioredi3 `eautocomple-mentare e non `e ottenibile con la costruzione utilizzata nel Teorema 2.4.Confronta (http://www.research.att.com/%7enjas/sequences/Seis.html)la successione A000171 sulla on-Line Encyclopedia of Integer Sequencesche d`a il numero dei gra autocomplementari in funzione dellordine.3. VerticiseparantiepontiCi sono gra che possono essere sconnessi togliendo un solo vertice o un sololato. In questa sezione trattiamo questi vertici e questi lati che giocano unruolo speciale nella teoria dei gra.Un verticev di un grafoG `e detto un vertice separante diG sek(G v) >k(G), cio`e se lasuaeliminazione aumentail numerodellecomponenti del grafo di partenza.Inparticolareseguecheunverticedi ungrafoconnesso`eunverticeseparante se la sua eliminazione rende sconnesso il grafo.Si ha la seguente caratterizzazione dei vertici separanti.Teorema3.1. Un verticevdi un grafo connessoG `e un vertice separantediG se e solo se esistono due verticiu ew distinti dav tali chev `e su ogniu-wcammino diG.Dimostrazione. Siavun vertice separante diG; segue cheG v `e scon-nesso. Se scegliamo due verticiu ew in componenti distinte diGv, nonci sonou-wcammini inG v; mentre, essendoGconnesso, esistonou-wcammini inG. Quindi ogniu-w cammino diG contienev.Viceversa, supponiamo che esistano due vertici u,w V (G) tali che ilvertice v giaccia su ogni u-w cammino di G. Allora non ci sono u-w camminiinGv, cio`eGv `e sconnesso e quindiv `e un vertice separante diG. Occupiamoci ora del numero m dei vertici separanti presenti in un grafodi ordinep.Igracompleti nonhannovertici separanti mentreuncamminononbanale di ordine p contiene p2 vertici separanti (tutti i vertici del camminoesclusoi duenali). Inoltreaggiungendolati al camminodi ordinepsipossono ottenere gra con m vertici separanti , per ogni m tale che 0 m p 2.Per vedere che la disuguaglianzam p 2 non pu`o essere migliorata,proviamo il seguente teorema.Universit`adiTorino28 2. Graconnessietracciabilit`aTeorema 3.2. Ogni grafo nonbanale contiene almeno due vertici nonseparanti.Dimostrazione. Dimostriamo il teorema per assurdo. Sia allora G un grafonon banale contenente al pi` u un vertice non separante, cio`e ogni vertice di G,escluso al pi` u uno, `e separante. Possiamo supporreG connesso, altrimentilavoriamo su una componente diG.Sianouevduevertici di Gtali chediam(G)=d(u, v). Almenounotrau ev `e un vertice separante, diciamov, per lpotesi fatta. Sia allorawunverticeappartenenteallacomponentedi G vnoncontenenteu. Poicheogniu-w cammino inG contienev, segued(u, w) > d(u, v) = diamG, che `eimpossibile. Segue il teorema. Analogo al concetto di vertice separante `e il concetto di ponte.Un ponte di un grafoG `e un latoe tale chek(Ge) > k(G).See `e un ponte diG segue immediatamente chek(Ge) = k(G) + 1.Inoltre, see=uv`eunponte, u`eunverticeseparantedi Gseesolosedeg u > 1.Il grafo completoK2 `e il solo grafo connesso contenente un ponte e nessunvertice separante.I ponti sono caratterizzati in modo simile ai vertici separanti.Teorema3.3. Un latoe di un grafo connesso `e un ponte diG se e solo seesistono verticiu ewtali chee `e su ogniu-wcammino diG.Dimostrazione. Si lascia per esercizio. Per i ponti esiste unaltra utile caratterizzazione.Teorema 3.4.Un lato di un grafo `e un ponte se e solo se non sta su nessunciclo del grafo.Dimostrazione. Proviamochese e`eunponte enonstasunessunci-clo. PossiamosupporrecheGsiaconnesso, altrimenti lavoriamosuunacomponente diG.Procediamoperassurdosupponendochee=uvsiaunpontedi Gechegiacciasuunciclodi G.Perognicoppiadiverticidistinti w1ew2diG, consideriamo unw1-w2camminoPdiG. See non sta suP, alloraP`eanche unw1-w2cammino diG e. Se invecee giace suP, rimpiazzandoecon lu-v cammino (o ilv-u cammino) suCnon contenentee, si ottiene unQuaderniDidatticidelDipartimentodiMatematica4. Blocchidiungrafo 29w1-w2cammino inG e. Quindi G e `e connesso. Segue chee non `e unponte.Viceversa, supponiamo che e = uv sia un lato di G che non stia su nessunciclo di G, e assumiamo chee non sia un ponte. Quindi G e `e connesso,ed esiste allora unu-v camminoPinGe. Segue cheP +e forma un cicloinG contenentee, che `e una contraddizione. 4. BlocchidiungrafoStudiamo ora i gra che non possiedono vertici separanti.Un grafo connesso non banale senza vertici separanti `e detto un blocco.Gra che non sono blocchi possono avere sottogra che lo sono.Un blocco di un grafo G`e un sottografo di Gche `e esso stesso un bloccoed `e massimale rispetto a questa propriet`a. Necessariamente un blocco di ungrafo `e un sottografo indotto per vertici e i blocchi formano una partizionedellinsieme dei lati.G :v vvvvvv vvv1 2356 789104B :1vvv1238B:2vv35B:4vvvv675B:3v v4 5vvv8910B5:Figura5. UngrafoGcon5blocchiIn Figura 5 `e dato un esempio di un grafo con cinque blocchi.Duequalsiasi blocchi di Ghannoal pi` uunverticeincomune, che`eun vertice separante inG. Se infatti due blocchi B1eB2di G avessero incomune due o pi` u vertici,B1 B2sarebbe anchesso un blocco diG controla massimalit`a diB1 eB2.Universit`adiTorino30 2. Graconnessietracciabilit`aVediamo ora un utile criterio per stabilire se un grafo `e un blocco.Teorema4.1. Un grafoG di ordinep,p 3, `e un blocco se e solo se ognidue vertici diG stanno su uno stesso ciclo diG.Dimostrazione. SiaGungrafotalecheogni duesuoi vertici stannosuunostessociclo. SeguecheG `econnesso. SupponiamocheGnonsiaunblocco,quindiesisteunverticeseparantev V (G).SeG1eG2sonoduecomponenti diGv, sceltiu V (G1) ew V (G2), non esiste nessun ciclocontenenteu ew : assurdo.Viceversa, sia G un blocco con p vertici, p 3. Sia u un qualsiasi verticedi GedenotiamoconUlinsiemedituttiiverticichestannosuunciclocontenenteu.Supponiamo per assurdo che esista un vertice v V (G) U. PoicheG `e unblocco, non contiene vertici separanti, inoltre, poiche p 3,G non contieneponti. PerilTeorema3.4ognilatodi Gstasuunciclodi G,quindiognivertice adiacente adu `e un elemento diU.PoicheG `e connessoesisteunu-vcamminoW:u =u0, u1, . . . , un=vinG. Siai, 2 i n, il pi` u piccolo intero tale cheui1 Ueui ,U. SiaCun ciclo contenenteu edui1. Poicheui1non `e un vertice separante diGesiste unui-u camminoP:ui=v0, v1, . . . , vm=u che non contieneui1.Se il solo vertice comune a Ped a C `e u, esiste un ciclo contenente u ed ui equesto produce una contraddizione. Quindi Pe Channo almeno un verticeincomuneoltreadu. Siaj, 1 j