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Approximation lagrangienne d’écoulements de fluides parfaits selon VNR

Approximation lagrangienne d’écoulements defluides parfaits selon VNR

Bertin Matthias, Posson Marjolaine

Département de MathématiquesLicence - ENS Cachan

Tuteurs : Jean-Michel Ghidaglia, Daniel Chauveheid et Saad Benjelloun

Soutenance de stage24 juin 2010


Sommaire

1 Introduction2 Etude de la méthode VNR

présentation de la méthodeL’expression de q

3 Equations aux différences finiesEquations aux différences finiesStabilité

4 Etude numérique de la méthodeTube à choc de SodEtude du codemodification du code

5 RechercheAutre point de vue : viscosité et condition deRankine-Hugoniot


Introduction

Introduction

But : résoudre les équations des mouvements fluides parune méthode lagrangienne d’approximation numérique.


Introduction

Equations des mouvements fluides

Conservation de la quantité de mouvement

ρ0dUdt = − ∂

∂x (p + q)

Conservation de l’énergiedEdt + (p + q)dV

dt = 0

Conservation de la masse

ρ0dVdt = −∂U

∂x

Equation d’état (dans le cas d’un gaz parfait)

E = pVγ−1 , γ > 1


Introduction

Introduction

Les chocs : surfaces sur lesquelles la densité, la vitesse dufluide, la température... présentent des discontinuités.Les conditions de saut sont compliquées : mouvementinconnu des surfaces de discontinuités par rapport aumaillage.Non linéarité du problème⇒ Le traitement des chocs nécessite de très longs calculs(pour une méthode de suivi de chocs).


Etude de la méthode VNR

présentation de la méthode

Idée de base :

Etude d’un article : A method for the numerical calculation ofhydrodynamic shocks - J. VonNeumann et R.D. Richtmyer -1949.

Utiliser les effets bien connus des mécanismes dissipatifs(viscosité...) sur les chocsDonne au choc une épaisseur au moins comparable àl’espacement des points du réseauLes valeurs obtenues pour la température, pression... sontproches des valeurs réelles



présentation de la méthode

Idée de base :

Introduire des termes dissipatifs artificiels dans leséquationsMéthode qui traite de manière automatique les chocs(méthode de capture de chocs)Utilisée pour des écoulements 1D.



L’expression de q

q

q est un terme de pression additionnel positif (∂U∂x < 0

compression)q est négligeable sauf dans la zone de choc.

q

q = − (ρ0c∆x)2

VdVdt |

dVdt | = −

(c∆x)2

V∂U∂x |

∂U∂x |


Equations aux différences finies


Schéma

Conservation de la quantité de mouvement

ρ0U

n+ 12

`−U

n− 12

`∆t = −

pn`+ 1

2+q

n− 12

`+ 12−pn

`− 12−q

n− 12

`− 12

∆x .

Conservation de la masse

ρ0

V n+1`+ 1

2−V n

`+ 12

∆t =U

n+ 12

`+1 −Un+ 1

2`

∆x .




Pseudo-viscosité

qn+ 1

2`+ 1

2= − 2(c∆x)2

V n+1`+ 1

2+V n

`+ 12

(Un+ 1

2`+1 −U

n+ 12

`)|U

n+ 12

`+1 −Un+ 1

2`|

(∆x)2 .

Évolution de l’énergie"γ

pn+1`+ 1

2+pn

`+ 12

2 + (γ − 1)qn+ 1

2`+ 1

2

#V n+1

`+ 12−V n

`+ 12

∆t +V n+1

`+ 12

+V n`+ 1

22

pn+1`+ 1

2−pn

`+ 12

∆t = 0.



Stabilité

On considère l’ajout d’une petite perturbation δU, δV ... à la solutionhomogène dans les équations précédentes.

δU = δU0eikx+αt

Dans les régions normales, la condition de stabilité s’écrit :

∆t 6 (∆x)2

2σ

où σ = 2(c∆x)2

Vρ0| ∂U∂x |

Dans les régions de choc, elle devient :

s0 f ∆t∆x 6 γ

12

2c

où c est une constante et s0f est la vitesse du son.


Etude numérique de la méthode

Tube à choc de Sod

Tube à choc de Sod

Code scilab de 80 lignesTest du code dans le cas du tube à choc de Sod0@ ρg

pg

ug

1A =

0@ 1.01.00.0

1A et

0@ ρd

pd

ud

1A =

0@ 0.1250.10.0

1A

(a) densité théorique (b) densité obtenue avec le code

FIG.: t = 0,2s



Tube à choc de Sod

(a) vitesse théorique (b) vitesse obtenue avec le code

(c) pression théorique (d) pression obtenue avec le code

FIG.: t = 0,2s



Etude du code

Etude de la méthode

Mise en évidence expérimentalement de l’instabilité du schéma enl’absence de la pseudo-viscosité.

(a) 100ème itération avec pseudo (b) 100ème itération sans pseudo



Etude du code

(c) 200ème iération avec pseudo (d) 200ème itération sans pseudo



modification du code

Modification du code

Modification du code de manière à le rendre utilisable pour n’importequelle équation d’état.

Soit P(ρ, e, p) l’équation d’état du fluide, on cherche à résoudre par laméthode de Newton f (pn+1

j ) = 0 où :

f (pn+1j ) = P

„1

V n+1j

, enj −

„pn

j +pn+1j

2 + qnj

«(V n+1

j − V nj ), pn+1

j

«

résultats cohérents lors du test sur l’équation des gaz parfaits




Equation de Van der Waals

Equation d’état

E − 32

`p + a

τ2

´(τ − b) + a

τ= 0

Prise en compte de l’intéraction (a : pression de cohésion)

Prise en compte de la taille des particules (b : covolume)




Calcul de la vitesse du son

Identités de la thermodynamique :

TdS = dE + pdτdp = c2

s dρ+ βdS

Vitesse du son

cs =

r2

3(τ−b)

“a + 3ab

τ+ 5τ2p

2

”




Résultats pour l’équation de Van der Waals

(e) a = 0 et b = 0 (f) a = 0, 1 et b = 0




Résultats pour l’équation de Van der Waals

(g) a = 1 et b = 0 (h) a = 1 et b = 0, 1




Stiffened gas equation

Equation d’état

E = (p+π)τN−1

Vitesse du son

cs =q

Np+πρ

Calcul de π

π = ρ0cs20 − Np0




Résultats : Stiffened gas equation π � p

(i) π = 2 (j) π = 20




Résultats : Stiffened gas equation π � p

(k) π = 200




Résultats : équation des gaz parfaits modifiée :π ∼ p

FIG.: Cas π = 0, on retrouve bien le résultat de l’équation des gazparfaits.




Résultats : équation des gaz parfaits modifiée :π ∼ p

(a) π = 0, 294 (b) π = −0, 266


Recherche

Autre point de vue : viscosité et condition de Rankine-Hugoniot

Solution des équations présentant un choc avec deux états constantsséparés par une discontinuité se déplaçant à la vitesse D ≡ dm

dt .

FIG.: Définition de pg et pd

Relations de Rankine-Hugoniot : relations de compatibilité nécessairesà l’existence d’une telle solution


Recherche


On pose ∆u = ud − ug

8<:D∆V −∆u = 0D∆u + ∆p = 0D∆E + ∆(pu) = 0

où E = E + 12 |u|

2.

d’où :

∆V ∆p + (∆u)2 = 0

∆E = −(pd ∆V − 12 ∆p∆V )

∆E = ∆(pV )γ−1

Equation quadratique en ∆p

−γpd (∆u)2 + 12 (γ + 1)(∆u)2∆p + Vd (∆p)2 = 0


Recherche


Racine négative

pg = pd + 1Vd|∆u|

14 (γ + 1)|∆u|+

r“γ+1

4 |∆u|”2

+ cs2d

!

Choc faible : ∆u → 0

Viscosité linéaire

pg = pd + 1Vd

csd |∆u|

Choc fort : csd → 0

Viscosité quadratique

pg = pd + 1Vd

γ+12 |∆u|2


Annexe

Conclusion

Conclusion

Commencement de recherche d’une solution stable... pas de résultatpour le moment.


Annexe

Référence

Références I

R. Courant, E. Isaacson, and M. Reeves.

On the solution of nonlinear hyperbolic differential equations by finite differences.Communication on pure and applied mathematics, 5(3) :243–255, 1952.

S.K. Godunov.

a finite difference method for the numerical computation of discontinuous solutions of the equations of fluiddynamics.math sbornik, 47 :271–306, 1959.

B. Van Leer.

Towards the ultimate conservative difference schemes iv. a new approach to numerical convection.Journal of computational physics, 23 :276–299, 1977.

P.L. Roe.

Approximate riemann solvers, parameter vectors and difference schemes.Journal of computational physics, 43 :357–372, 1981.

T.J. Barth and D.C. Jespersen.

The design and application of upwind schemes on unstructured meshes.AIAA paper 89-0366, Jan. 1989.


Annexe

Référence

Références II

J. VonNeumann and R.D. Richtmyer.

a method for the numerical calculation of hydrodynamic shocks.journal of applied physics, pages 232–237, Sep. 1949.

P.D. Lax.

Hyperbolic systems of conservation laws, ii.Communication on pure and applied mathematics, 10, 1957.

A. Harten and G. Zwas.

self adjusting hybrid schemes for shock computations.Journal of computational physics, 9(3) :368–583, 1972.

R.D. Richtmyer and K.W. Morton.

Difference methods for initial-value problems - seconde edition.Interscience, 1967.

D.L. Hicks.

Stability analysis of wondy (a hydrocode based pn the artificial viscosity method of von neumann andrichtmyer) for a special case of maxwell’s law.Mathematics of computation, 32, 1978.


Annexe

Référence

Références III

Edwige Godlewski and Pierre-Arnaud Raviart.

Hyperbolic systems of conservation laws.

ellipse - edition marketing, 1991.

Edwige Godlewski and Pierre-Arnaud Raviart.

Numerical Approximation of Hyperbolic systems of conservation laws.

Springer, 1996.


Annexe

Référence

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