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� Les mathématiques fournissent des outils pouragir, choisir et décider dans la vie quotidienne
� La pratique des mathématiques développe legoût de la recherche et du raisonnement,goût de la recherche et du raisonnement,l’imagination et les capacités d’abstraction, larigueur et la précision. (socle commun)
Roland Charnay - 2010 2
Il est nécessaire de créer aussi tôt que possible à� Il est nécessaire de créer aussi tôt que possible àl'école primaire des automatismes en calcul.
� Il faut aussi comprendre des concepts et destechniques (calcul, algorithme) et les mémoriserafin d'être en mesure de les utiliser.techniques (calcul, algorithme) et les mémoriserafin d'être en mesure de les utiliser. (socle commun)
� L’acquisition des mécanismes en mathématiquesest toujours associée à une intelligence de leursignification. (programme)
Roland Charnay - 2010 3
� La maîtrise des principaux éléments demathématiques s'acquiert et s'exerce essentiellement parla résolution de problèmes, notamment à partir desituations proches de la réalité. (socle commun, 2006)
La résolution de problèmes joue un rôle essentiel� La résolution de problèmes joue un rôle essentieldans l’activité mathématique. Elle est présente dans tousles domaines et s’exerce à tous les stades desapprentissages. (programmes, 2008)
Roland Charnay - 2010 4
� Fractions : addition (même dénominateur)
� CM2 � pas évoqué en 6e / exigible en 5e
� Décimaux : valeur approchée
� CM2 � 6e (mais hors socle)
� Calcul posé� Calcul posé
� Commentaire 6e : Les nombres doivent rester de taille raisonnable, aucune virtuosité technique n’est recherchée
� Division décimale d’un décimal par un entier
� CM2 � 6e avec ce commentaire : Le dividende comporte au maximum 2 chiffres après la virgule
Roland Charnay - 2010 5
� Règle de trois
� CM1 et CM2 � 6e sous la forme : Passage par l’unité (ou « règle de trois »)
� Pourcentage
� CM2 � 6e et 5e avec ce commentaire en 6e : Les élèves � CM2 � 6e et 5e avec ce commentaire en 6e : Les élèves doivent connaître le sens de l’expression « … % de » et savoir l’utiliser dans des cas simples où aucune technique n’est nécessaire
� Echelles
� CM2 � 5e (mais hors socle) et rien en 6e
Roland Charnay - 2010 6
� Un document officiel affirme que 91 % des élèvesmaîtrisent les compétences de base
� Près d'1 élève sur 5 a des difficultés avec les"compétences nécessaires pour profiter pleinementdes situations pédagogiques de sixième" (pour plusde 2/3 des items considérés des évaluations 6e).de 2/3 des items considérés des évaluations 6e).
� Deux domaines particuliers de difficultés� le calcul mental :
� 72 % de réussite aux questions "de base"� Exemples : le quart de 100 (68 %)
36 divisé par 4 (56 %)
� la résolution de problèmes
Roland Charnay - 2010 8
� Elèves français dans la moyenne
� Taux élevé d'élèves à résultats faibles
� Taux faible d'élèves à résultats élevés
Des élèves plus angoissés que les autres face � Des élèves plus angoissés que les autres face aux mathématiques
� Un taux élevé de "non réponse"
� Une faiblesse particulière lorsqu'il faut "prendre des initiatives, expérimenter (faire des essais, critiquer, recommencer…)"
Roland Charnay - 2010 9
Un menuisier dispose de 32 m de planches et souhaite s'en servir pour faire la bordure d'une plate-bande dans un jardin. Il envisage d'utiliser un des tracés suivants pour cette bordure :
Roland Charnay - 2010 10
Indiquez pour chacun des tracés s'il peut être réalisé avec les 32 m de planches.
Evaluation 6Evaluation 6ee
Xavier range les 50 photos de ses dernières Xavier range les 50 photos de ses dernières vacances dans un classeur.vacances dans un classeur.
Chaque page contient 6 photos.Chaque page contient 6 photos.
a) Combien y aa) Combien y a--tt--il de pages complètes ?il de pages complètes ?
Roland Charnay - 2010 12
a) Combien y aa) Combien y a--tt--il de pages complètes ?il de pages complètes ?
b) Combien y ab) Combien y a--tt--il de photos sur la page il de photos sur la page incomplète ?incomplète ?
Il y a ……… pages complètes. Il y a ……… pages complètes. 54 %54 %
Il y a ……… photos sur la page incomplète. Il y a ……… photos sur la page incomplète. 57 %57 %
� Division de 50 par 6� Division (stabilisée au CM1)
� Utilisation des multiples de 6� Table de multiplication (CE2)� Table de multiplication (CE2)
� Addition ou soustraction de 6 en 6� Addition (CE1/CE2)
� Schématisation des pages et des photos� Dénombrement (CP)
Roland Charnay - 2010 13
Pourquoi des élèves qui disposent de connaissances permettant de résoudre ce problème…
Un nombre élevé de calculs "sans signification"
Peu de démarches "originales"
problème…
- ne pensent pas…
- n’osent pas…
- ne se croient pas autorisés…
… (à) les utiliser pour répondre à la question ?
Roland Charnay - 2010 14
Connaissances et compétences Connaissances
Roland Charnay - 2010 16
compétences
en lecture (ordre des informations, place de
la question)
sur le contexte
sur les concepts mathématiques
(sens)
relatives au raisonnement
en calcul
Connaissances
sur ce qui est attendu
sur ce qui est permis
sur ce qui marche souvent
sur "l'accueil"
des erreurs
Ecris, dans le bon ordre, chaque nombre à la place qui convient.
367 582 309
Roland Charnay - 2010 17
300300 400400 500500 600600
300300 309309309309309309309309 400400 367367367367367367367367 500500 582582582582582582582582 600600
Deux exemples…
� 150 personnes lèvent leurs deux mains. Combien y a-t-il de mains levées ?Combien y a-t-il de mains levées ?
� 150 personnes se serrent la main. Combien de poignées de mains sont échangées ?
Roland Charnay - 2010 19
Un mot à double sens
� Chercher parmi les solutions expertes déjà éprouvéeséprouvées
� Chercher, bricoler une solution nouvelle, originale, personnelle, comme le chercheur
Roland Charnay - 2010 20
� Une situation initiale avec un but à atteindre... demandant au sujet d'élaborer une suite d'actions ou d'opérations pour atteindre ce but
� Il n'y a problème que dans un rapport � Il n'y a problème que dans un rapport sujet/situation, où la solution n'est pas disponible d'emblée, mais possible à construire.
� C'est dire qu'un problème pour un sujet donné peut ne pas être un problème pour un autre sujet.
Jean Brun, Math Ecole n° 441, 1999Roland Charnay - 2010 21
� Ne pas confondre lecture d'énoncé et résolution de problème
� Plusieurs supports de présentation
Situation réelle� Situation réelle
� Situation représentée : dessin, schéma, document
� Situation communiquée oralement
� Situation communiquée par un énoncé écrit
Roland Charnay - 2010 23
� Ne pas lier systématiquement les problèmes aux apprentissages en problèmes aux apprentissages en cours
� Eviter les aides « de surface »
Roland Charnay - 2010 24
� Favoriser la diversité
� Exploiter la diversité� Exploiter la diversité
� Aider à progresser vers les résolutions expertes
Roland Charnay - 2010 25
Largeur de la bibliothèque : 1 m (ou 100 cm)
établie dans la question 3
CE2 – Cap Maths
Roland Charnay - 2010 26
établie dans la question 3
Deux stratégies de résolution
� Déterminer le nombre total d'encyclopédies qui peuvent être placées, puis le nombre de celles qui peuvent être ajoutées
Roland Charnay - 2010 27
peuvent être ajoutées
� Déterminer d'abord la "place" déjà occupée, puis la "place" restante, puis le nombre d'encyclopédies qui peuvent être mises sur cette "place".
Plusieurs procédures pour la 2 e stratégie
� Un schéma , support de calculs (résolution "pratique")
66 1212 1818 2424 3030 3636 4242 4848 5454 6060 6666 7272 7878 8484 9090 9696
Roland Charnay - 2010 28
48 + 6 = 54 + 6 = 60 + 6 = 66 + 6 = 72 + 6
� Addition
6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 + 6 = 48
48 + 6 = 54 + 6 = 60 + 6 = 66 + 6 = 72 + 6 = 78 + 6 = 84 + 6 = 90 + 6 = 96
� Multiplication et addition
6 x 8 = 48 4 8 6 + 6 + 6 + 6 = 24+ 5 2 24 + 24 = 4810 0
�Multiplication et soustraction
Roland Charnay - 2010 29
6 x 8 = 48 10 0 6 x 8 = 48- 4 8 6 x 9 = 54
5 2
� Multiplication et proportionnalité6 x 8 = 48 48 x 2 = 96 8 x 2 = 16
Correction
� Aboutir au corrigé, à LA solution
� Conséquence :
Mise en commun
� Inventorier les « résolutions »
� Débattre de leur � Conséquence : « résolution » unique dont il faut s’approcher le plus possible
� Débattre de leur validité
� Les comparer
� Conséquence : la diversité est possible
Roland Charnay - 2010 30
� Pas de trace écrite cette fois-ci
Un montage de différentes � Un montage de différentes « résolutions » correctes
� Une « résolution » correcte, au choix de chaque élève
Roland Charnay - 2010 31
Aider à progresser…Aider à progresser…� Prise de conscience au cours de la mise
en commun
� Mise en lien, établissement de ponts entre des « résolutions » en apparence
Roland Charnay - 2010 32
des « résolutions » en apparence différentes
� Choix des variablesExemples :
60 images, 5 par page250 images, 6 par page
MATERIEL DE L'ENSEIGNANT
���� une feuille de
Roland Charnay - 2010 34
���� une feuille de points
(nombre de points connu des élèves)
���� une feuille cache
Carte avec 20 points- 5 visibles
- 16 visiblesComplément ou soustraction
Complément
Roland Charnay - 2010 36
Carte avec 34 points
- 4 visibles- 20 visibles- 15 visibles
Complément ou soustractionComplément ou soustractionComplément
Question : Compléter de
11 à 34
Roland Charnay - 2010 37
Vérification de la réponse : Soustraire 11 de 34
Le rôle des situations expérimentales REEL / ANTICIPATION
RéelFavorise
l’ appropriation de la
Anticipation
Incite à l'expérience mentale
Roland Charnay - 2010 39
situation et du problème
mentale
Permet la validation de la réponse ou d'une
procédure
Oblige à élaborer des procédures