Apprendimento Automatico

Reti NeuraliApprendimento supervisionato

Stefano Cagnoni

Reti Neurali Artificiali

Ad ogni connessione è associato un peso, utilizzato nel sommatore che costituisce il primo stadio del neurone che riceve dati attraverso la connessione.

Il comportamento di una rete neurale è quindi determinato:

• dal numero dei neuroni

• dalla topologia

• dai valori dei pesi associati alle connessioni

Rete Neurale Artificiale: classificazione

•Sulla base del flusso dei segnali

•Reti feedforward: connessioni possibili solo in avanti

•Reti ricorrenti: connessioni possibili anche da strati più vicini alle uscite (all’indietro)

•Sulla base dell’organizzazione delle connessioni

•Reti totalmente connesse : ogni neurone è connesso con ogni altro

•Reti parzialmente connesse : ogni neurone è connesso ad un particolare sottoinsieme di neuroni

•reti singolo strato : le unità di ingresso sono connesse direttamente a quelle di uscita

•reti multistrato : organizzate in gruppi topologicamente equivalenti (strati)

Rete Neurale Artificiale: computabilità

Teorema di Kolmogorov:

Qualsiasi funzione continua y=f(x):Rn->Rm può essere computata da una opportuna rete ricorrente a 3 strati avente n unità nello strato di ingresso, 2n+1 nello strato nascosto ed m nello strato di uscita e totalmente connessa fra gli strati

Problemi :

• Teorema che dimostra la sola esistenza della soluzione

• Le unità considerate nel teorema hanno caratteristiche diverse dai neuroni artificiali utilizzati nelle reti neurali

Altri teoremi di esistenza (sulle reti neurali multistrato):

Una rete neurale con uno strato nascosto avente un numero sufficiente di unità può approssimare qualsiasi funzione continua

Problemi risolubili con diverse topologie

Reti Neurali Artificiali

Proprietà:

• Capacità di apprendere da esempi

• Capacità di generalizzare (risposte simili in corrispondenza di esempi simili a quelli su cui sono state addestrate)

• Capacità di astrarre (risposte corrette in corrispondenza di esempi diversi da quelli su cui sono state addestrate)

• Insensibilità al rumore (capacità di generalizzare anche in presenza di dati alterati o incerti)

• Decadimento graduale delle prestazioni (il comportamento si altera gradualmente se si eliminano connessioni o si alterano i pesi)

Training

L’apprendimento (da esempi) da parte di una rete neurale si configura come un processo iterativo di ottimizzazione:

• i pesi della rete vengono modificati sulla base delle ‘prestazioni’ della rete su un insieme di esempi

• si minimizza una funzione obiettivo che rappresenta di quanto il comportamento della rete si discosta da quello desiderato

L’insieme degli esempi su cui la rete viene addestrata è detto training set

Le prestazioni della rete devono essere verificate su un insieme di dati (test set) che non appartengono al training set

Training

L’apprendimento può essere di 2 tipi:

con supervisione (supervised learning)

senza supervisione (unsupervised learning)

• Con supervisione: esempi divisi in due componenti:

• pattern di ingresso

• teaching input, che specifica l’output che si desidera ottenere in corrispondenza di tale pattern

I pesi sono adattati in modo da minimizzare le differenze fra il comportamento della rete e quello desiderato.

Training

Senza supervisione: esempi costituiti da soli dati di ingresso.

• pesi adattati in modo tale che la rete si auto-organizzi in modo da riflettere alcune caratteristiche e regolarità del training set

• si parla anche di regularity discovery o feature detection

Training

Addestramento con supervisione: Legge di Hebb

• Prima proposta di modello di apprendimento

• Modello di tipo correlazionale nato per giustificare l’apprendimento nelle reti neuronali biologiche

• “se due unità sono attive nello stesso istante il peso della relativa connessione deve essere incrementato”

wij = oioj Learning Rate

• Problemi:

- non sempre conduce a risultati corretti

- continuando a mostrare gli stessi esempi i pesi crescono indefinitamente (non è plausibile biologicamente e porta a fenomeni di saturazione)

Addestramento con supervisione: Legge di Hebb

Se si considera una rete singolo strato con attivazioni lineari e ingressi reali l’apprendimento hebbiano funziona solo se i vettori di ingresso formano un insieme ortogonale.

Quindi, se lo spazio di ingresso ha dimensione N, si possono apprendere al max N associazioni esatte

In ogni caso la legge è importante in quanto:

• troviamo traccia dei suoi principi anche in regole di apprendimento più potenti

• è un utile termine di paragone nello studio delle regole di apprendimento

Addestramento con supervisione: Percettroni

• Prima realizzazione di rete neurale artificiale (Rosenblatt, fine anni ‘50)

• Studiato inizialmente per problemi di riconoscimento forme da stimoli di tipo visivo

• Strato di ingresso (retina) cui sono collegate unità che realizzano una funzione f binaria dell’ingresso (stimolo visivo) collegati poi ad un neurone con attivazione a soglia.

o

f1f2

fn

w1

w2

wn

Addestramento con supervisione: Percettroni

Possono realizzare funzioni estremamente complicate (ad es. distinzione fra figure concave e convesse)

Per il percettrone esiste una legge di apprendimento:

1. si presenta un pattern di ingresso e si calcola l’uscita

2. se il pattern è stato classificato in modo corretto, ripeti 1. con un nuovo pattern

3. se l’uscita è alta e il teaching input è 0, decrementa di uno i pesi delle linee per cui ii=1 e incrementa la soglia di uno

4. se l’uscita è bassa e il teaching input è 1 fa l’inverso (incrementa i pesi e decrementa la soglia)

5. si ripetono i passi precedenti finché i pesi non convergono.

Addestramento con supervisione: Percettroni

Formalmente:

op = 1 se net = i wi ipi >

0 altrimenti

pwi = (tp - op) ipi

p (op - tp)

In base a un teorema (Rosenblatt) converge alla soluzione in un numero finito di passi, se la soluzione esiste

Purtroppo, non sempre esiste (es. XOR, se le uscite della funzione non sono linearmente separabili)

Addestramento con supervisione: discesa lungo il gradiente

• Si inizializzano i pesi

Ad ogni iterazione

Per ogni esempio nel training set:

•si calcola l’uscita prodotta dalla attuale configurazione della rete

•si calcola l’errore

•si modificano i pesi ‘spostandoli’ lungo la direzione del gradiente della funzione errore calcolato rispetto ai pesi

fino al raggiungimento di un limite inferiore prestabilito per l’errore o di un certo numero prestabilito di iterazioni

Addestramento con supervisione: Regola Delta (o di Widrow e Hoff)

Data una rete monostrato con attivazioni lineari, un training set

T = { (xp, tp) : p = 1, …., P} P=n.esempiP=n.esempi

e una funzione ‘errore quadratico’ sul pattern p-mo

Ep j =1,N j =1,N ((tpj -opj))2 2 / 2 / 2

N=n.unità di uscita, oN=n.unità di uscita, opjpj,t,tpjpj= output/teaching input per l’unità j= output/teaching input per l’unità j

e una funzione ‘errore globale’e una funzione ‘errore globale’

E = p = 1,P p = 1,P Ep

E = E(W), W = matrice dei pesi wij associati alle connessioni ij (dall’unità i verso l’unità j)

Se vogliamo minimizzare E possiamo utilizzare una discesa lungo il gradiente, che converge al minimo locale di E più vicino al punto di partenza (inizializzazione dei pesi)

Addestramento con supervisione: Regola Delta

Il gradiente di E ha componenti

E/wij = p p Ep/wij

Per la regola di derivazione delle funzioni composte

Ep/wij = Ep/opj · opj/wij

Dalla definizione di errore

Ep/opj = (tpj - opj) = pj (errore commesso dall’unità j sul pattern p)

Per la linearità delle unità (opj = i i wij opi)

opj/wij = opi da cui Ep/wij = - pj opi (opi=ipi=ipj)

e quindi E/wij = - p p pj opi

Addestramento con supervisione: Regola Delta

Discesa lungo il gradiente:

wij =E/wij = p p Ep/wij = p p pj opi = pp pwij

Quindi, se è sufficientemente piccolo, possiamo modificare i pesi dopo la presentazione di un singolo pattern secondo la regola

pwij = pj opi

NB Sono tutte quantità facilmente calcolabili

Regola delta per reti multistrato (feedforward):regola di derivazione a catena

x/ zi = x/ zi + j>i x/ zj * zj/ zi

Un esempio:

z2 = 4 * z1

z3 = 3 * z1 + 5 * z2

z3/ z1 = 3, ma in realtà z3 dipende da z1 anche tramite

z2

z3/ z1 = 23 che dà la vera dipendenza, propagata attraverso le variabili intermedie, di z3 da z1

Addestramento con supervisione: Regola Delta Generalizzata (Backpropagation)

La regola delta è applicabile solo ad un caso particolare di reti (singolo strato con funzione di attivazione lineare)

E’ possibile generalizzare la regola delta per configurazioni multi-strato della rete e per funzioni di attivazione non lineari.

Le reti devono essere di tipo feedforward (è possibile definire un ordine topologico dei neuroni e quindi temporale nell’attivazione dei neuroni)

Le funzioni di attivazione fj(netj) dei neuroni devono essere continue, derivabili e non decrescenti

netpj= i i wij opi per una rete multistrato (i=neuroni che inviano

l’output in input a j)

Addestramento con supervisione: Regola Delta Generalizzata (Backpropagation)

Anche in questo caso si usa la discesa lungo il gradiente

pwij =Ep/wij

Per la proprietà di derivazione delle funzioni composte

Ep/wij = Ep/netpj · netpj/wij

netpj/wij = /wij (k k wkj opk ) = opi

Definiamo: pj = - Ep/netpj

ottenendo così:

Ep/wij = pj opi (analogo della regola delta)

Resta da calcolare pj

(stessa definizione data per la regola delta. Infatti per le reti lineari opj=netpj )

Addestramento con supervisione: Regola Delta Generalizzata (Backpropagation)

pj = - Ep/netpj = - Ep/opj · opj/netpj

Ma opj = fj(netpj) e

opj/netpj = dopj/dnetpj = f’j(netpj)

Se l’unità j-ma è una unità di uscita

Ep/opj = - (tpj - opj)

Quindi per tali unità pj = - (tpj - opj) f’j(netpj)

Addestramento con supervisione: Regola Delta Generalizzata (Backpropagation)

Se invece l’unità j-ma è una unità nascosta

Ep/opj = k k Ep/netpk · netpk/opj = k>j

= k k Ep/netpk · /opj i i wik opi =

= k k Ep/netpk · wjk = k k pk wjk

Quindi, per le unità nascoste, si avrà

pj = f’j(netpj) · k k pk wjk k>j

Quindi per le unità nascoste l’errore pj è calcolato ricorsivamente a partire dalle unità di uscita (error backpropagation)

Addestramento con supervisione: Regola Delta Generalizzata (Backpropagation)

Riassumendo:

1. Si inizializzano i pesi

2. Si presenta il pattern pmo

• si calcolano le uscite opj corrispondenti

• si calcola l’errore per le unità di uscita da cui si ricava

pj = - (tpj - opj) f’j(netpj) (per le unità di uscita)

• Per le unità nascoste si applica ricorsivamente

pj = f’j(netpj) · k k pk wjk

a partire dallo strato nascosto più vicino all’uscita

3. Si apportano le modifiche ai pesi pwij =pj opj

4. Si ripetono i punti 2. e 3. fino a convergenza

Addestramento con supervisione: Regola Delta Generalizzata (Backpropagation)

Rigorosamente si dovrebbe applicare la variazione dopo avere esaminato tutti i pattern (addestramento batch), ma se è piccolo si ottiene lo stesso risultato modificandoli dopo ogni pattern (addestramento online).

Se si inizializzano i pesi a 0 problemi di convergenza, quindi di solito si usano valori piccoli > 0 (0.05-0.1)

Per scendere davvero lungo il gradiente dovrebbe essere infinitesimo, ma più piccolo è più lenta è la convergenza. Tuttavia, se è troppo grande potremmo ‘sorvolare’ un minimo. Si può usare un learning rate adattativo.

La discesa lungo il gradiente è poco efficiente.