Applicazioni della radioattività: le datazioni archeologiche e geologiche

Criterio di base della radiodatazioneDato un campione di materiale contenente all’istante t = 0 n0 nuclei di una sostanza radioattiva, la legge del decadimento radioattivo permette di stabilire una relazione fra il numero di nuclei residui n(t), oppure la loro attività a(t), ed il tempo trascorso t:

t = −

1λ

ln n( t)n

0

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟=

1λ

lnn

0

n( t)

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟=

1λ

lnλn

0

a( t)

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟=

1λ

lna

0

a( t)

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

La misura di n(t) o di a(t) consente quindi di misurare l’età del campione, intesa come intervallo di tempo che intercorre tra il momento t=0 in cui esso ha inglobato la componente radioattiva n0 e il momento in cui viene eseguita la misura di n(t) o di a(t). Ovviamente, in questo intervallo di tempo il campione deve essere rimasto isolato dall’ambiente esterno. Un materiale radioattivo costituisce quindi un orologio in senso generalizzato e il procedimento per stabilire l’età di un campione per via radioattiva viene detto radiodatazione.Interessanti applicazioni della radiodatazione si hanno, per esempio, in geologia ed in archeologia, con tecniche differenti a seconda che si datino sostanze inorganiche o sostanze organiche, come verrà spiegato nel seguito.

Datazione delle rocceI metodi di datazione delle rocce utilizzano il decadimento di elementi radioattivi contenuti nei minerali. Sappiamo, dallo studio dei decadimenti radioattivi, che un qualsiasi radionuclide (A) si trasforma nel tempo in un nucleo stabile (B). Questa trasformazione può avvenire in modo diretto (A -> B stabile), oppure attraverso una serie di decadimenti intermedi (A -> a -> b -> c -> ... -> B stabile). Nel primo caso, l’andamento nel tempo dei nuclei di tipo A e B è dato da:

n

At( ) = n

A0⋅ e−λAt

(1)

n

Bt( ) = n

A0⋅ 1 − e−λAt( ) = n

B0 (2a)

oppure:

n

Bt( ) = n

At( ) ⋅ e−λAt − 1( ) + n

B0 (2b)

dove con nA(t) e nB(t) indichiamo il numero di nuclei all’istante t e con nA(0) e nB(0) il numero iniziale di nuclei, e con λA la costante di decadimento del nucleo A instabile.

Nel secondo caso (catena radioattiva) nB(t) ha una dipendenza dal tempo più complessa in cui compaiono le costanti di tutti i decadimenti intermedi. La situazione è più semplice per le famiglie radioattive naturali, nelle quali il capostipite ha una vita media estremamente più lunga dei nuclei successivi, e tutti i nuclei della famiglia sono in equilibrio secolare. In queste condizioni le equazioni (1), (2a) e (2b) sono ancora valide.

n

At( ) = n

A0⋅ e−λAt

(1)

n

Bt( ) = n

A0⋅ 1 − e−λAt( ) = n

B0 (2a)

oppure:

n

Bt( ) = n

At( ) ⋅ e−λAt − 1( ) + n

B0 (2b)

Per la determinazione dell’età di una roccia vengono utilizzate equazioni del tipo (1) e (2b) in cui si suppone che λA sia nota e che nA(t) e nB(t) siano misurabili.

L’età si misura a partire dall’istante t=0 a partire dal quale il sistema è rimasto “chiuso” (ossia isolato dall’ambiente esterno), senza perdite né apporti del radionuclide genitore A e del prodotto di decadimento B.

Affinché un radionuclide sia utilizzabile per la datazione devono verificarsi le seguenti condizioni:

1) il valore della vita media non deve essere né troppo grande né troppo piccolo rispetto all’intervallo di tempo da misurare;

2) deve essere possibile appurare quale frazione del nucleo B è radiogenica (cioè prodotta da A) e quale frazione era già presente al momento della formazione (t=0) del minerale;

3) il radionuclide A non deve essere un elemento troppo raro o contenuto solo in minerali poco diffusi.

Tabella 20.1

Nella tabella sono riportati i più noti nuclei a lungo tempo di dimezzamento. Essi fanno parte dei radionuclidi primordiali. Come si può vedere il 40K decade in 40Ca e 40Ar, ma solo quest’ultimo può essere utilizzato per misure di età: infatti il 40Ca è l’isotopo più abbondante del calcio naturale ed è quindi impossibile distinguere tra il 40Ca radiogenico (cioè prodotto dal decadimento del 40K) e quello già presente nel minerale.

I nuclei non utilizzabili per le datazioni sono: 115In, 147Sm (caratterizzati da tempi di dimezzamento troppo lunghi), il 138La e 176Lu (troppo rari). Il 187Re, nonostante sia un elemento raro e scarsamente presente nella maggior parte dei minerali, è stato utilizzato con successo per la misura di età di meteoriti metalliche sulle quali nessuno degli altri metodi poteva essere applicato. Le età valutabili con i vari elementi sono indicate in figura 20.1

limiti di applicabilità dei metodi di datazione

Analizziamo ora alcune situazioni che si possono presentare nello studio di un campione.

1) la roccia contiene un nucleo A (per esempio 238U) che decade in un nucleo B (per esempio 208Pb) con nB(0) = 0.In questo caso tutti i nuclei B sono radiogenici, per cui dall’equazione (2b) si ricava:

t =1λ

A

lnn

Bt( )

nA

t( ) + 1⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟ (2c)

La misura diretta delle quantità attuali di nuclei A e B ci consente di ricavare l’età.2) Nella roccia sono presenti gli isotopi stabili B1 e B2 di un elemento B e il nucleo radioattivo A che decade in B1. Le loro quantità iniziali sono nA(0), nB1(0) e nB2(0). nB1(0) rappresenta la parte non radiogenica di B1. All’istante t (oggi) i nuclei sono presenti nelle quantità:

n

At( ) = n

A0⋅ e−λAt

(3)

n

B1t( ) = n

A0⋅ 1 − e−λAt( ) + n

B10 (4)

n

B2t( ) = n

B20 (5)

dove λA è nota e le quantità nA(t), nB1(t) e nB2(t) sono misurabili. Nel secondo membro della (4) il primo addendo rappresenta la parte radiogenica di B1 e il secondo addendo la parte non radiogenica. Per ottenere l’età della roccia dividiamo la (4) per nB2(0); tenendo conto della (5), si ottiene:

nB1

t( )n

B2t( ) =

nA

t( )n

B2t( ) ⋅ eλAt − 1( ) + n

B10

nB20

, dalla quale ricaviamo:

t =1λ

A

ln

nB1

t( )n

B2t( ) −

nB10

nB20

nA

t( )n

B2t( )

+ 1

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

(6)

Questa relazione consente di ricavare l’età della roccia se è determinabile il rapporto

k =

nB10

nB20

(7)

Il valore di k può essere ottenuto in diversi modi che dipendono essenzialmente dal metodo di datazione utilizzato. Nel seguito vengono presentati alcuni esempi.

i) metodo del piombo-piomboSi applica a rocce contenenti isotopi dell’uranio (o torio) e del piombo. Il piombo in natura esiste in 4 isotopi stabili: 204Pb, 206Pb, 207Pb e 208Pb. Di essi solo il piombo 204 non è prodotto per radiogenesi (vedi tabella 20.1) e, in una data roccia, è presente in quantità costante nel tempo: la sua presenza in un minerale ci avverte che una parte del piombo non è radiogenica. Al momento della formazione della crosta terrestre tutti gli isotopi del piombo sono presenti in una certa proporzione, ma con il passare del tempo i decadimenti di 238U, 235U e 232Th arricchiscono il materiale di isotopi del piombo con A= 206, 207 e 208 con conseguente aumento dei rapporti 206Pb/204Pb, 207Pb/204Pb e 208Pb/204Pb. Per questo motivo la composizione isotopica del piombo è in continua evoluzione e presenta differenti composizioni in ere geologiche diverse. In tabella vengono riportate le abbondanze isotopiche attuali e quelle al tempo di formazione della terra ricavate dallo studio di meteoriti con contenuto di uranio molto piccolo.

204Pb 206Pb 207Pb 208PbOggi 1.4% 24.1% 22.1% 52.4%Oggi 1 17.2 15.8 37.4t = 0 1 4.0 4.4 12.0

Supponiamo, per semplicità, che la roccia R, di cui si vuole definire l’età, contenga solo 238U; allora nelle formule precedenti si ha: A = 238U, B1 = 206Pb e B2 = 204Pb. Per

determinare il rapporto k =

nB10

nB20

si può ricorrere ad una roccia coeva R’ contenente

piombo ma priva di 238U (quindi di diversa composizione chimica).

Si fa la ragionevole ipotesi che, al momento della sua formazione R abbia incorporato del piombo con una composizione isotopica uguale a quella di R’.

Poiché per la roccia R’, a causa dell’assenza di 238U il rapporto fra le abbondanze isotopiche 206Pb/204Pb è rimasto costante nel tempo, ossia per la roccia R’ possiamo scrivere:

n'B1

t( )n'

B2t( ) =

n'B10

n'B20

= k

anche per la roccia R possiamo porre:

nB10

nB20

= k

Noto k, l’età della roccia si calcola tramite la relazione (6):

t =1λ

A

ln

nB1

t( )n

B2t( ) − k

nA

t( )n

B2t( )

+ 1

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

ii) metodo del potassio-argonSi applica a rocce contenenti 40K ed il prodotto del suo decadimento 40Ar.Oltre all’argon di origine radiogenica, in un minerale può essere presente dell’argon di origine atmosferica, rimasto inglobato al momento della sua formazione.

L’argon costituisce l’1% circa dell’atmosfera terrestre ed è composto da tre isotopi stabili in proporzione sostanzialmente costante nel tempo: 40Ar (99.6003%), 38Ar (0.0632%) e 36Ar (0.3365%). L’età del minerale può essere determinata tramite la solita relazione ponendo A=40K, B1=40Ar e B2=36Ar dove il rapporto k

k =

nB10

nB20

è valutato tenendo conto che nella roccia inizialmente è contenuto solo argon atmosferico e pertanto:

k =n 40A, t = 0( )n 40A, t = 0( ) =

99.6%0.336%

= 296

iii) metodo del rubidio-stronzioSi applica a rocce contenenti la coppia padre-figlio costituita da 87Rb e 87Sr.Oltre allo stronzio radiogenico, nella roccia può essere inglobato stronzio comune che è composto da quattro isotopi stabili in proporzione praticamente costante nel tempo: 84Sr (0.56%), 86Sr (9.86%), 87Sr (7.00%) e 88Sr (82.58%). L’età della roccia può essere calcolata tramite la relazione (8) ponendo A=87Rb, B1=87Sr e, per esempio, B2=88Sr (che è il più abbondante). Poiché al momento di formazione della roccia era presente solo stronzio comune:

k =n 87 Sr, t = 0( )n 88Sr, t = 0( ) =

7.0%82.58%

= 0.0847

iv) metodo delle rocce isocronequesto metodo permette di ricavare l’età di una roccia anche se non si ha a disposizione una roccia coeva priva di sostanze radioattive. Supponiamo di avere campioni di differenti rocce coeve prodotte dal raffreddamento dello stesso materiale originario e contenenti isotopi di Rb e Sr. IL rapporto iniziale fra isotopi della stessa specie (87Sr/86Sr) sarà lo stesso per tutti i campioni, mentre il

rapporto fra specie diverse (87Rb/87Sr) potrà essere diverso a causa della diversa composizione chimica.

Poiché hanno la stessa età, i diversi campioni avranno rapporti attuali (87Sr/86Sr)t diversi in conseguenza dei diversi rapporti iniziali (87Rb/87Sr)0.

Ciononostante, essendo i campioni coevi, i rapporti 87Rb/87Sr e 87Sr/86Sr di ciascun campione devono soddisfare, per lo stesso valore di t, alla relazione (6):

t =1λ

A

ln

nB1

t( )n

B2t( ) −

nB10

nB20

nA

t( )n

B2t( )

+ 1

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎫

⎬

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

Pertanto, per differenti campioni coevi, deve risultare uguale il rapporto r:

r =

nB1

t( )n

B2t( ) −

nB10

nB20

nA

t( )n

B2t( )

dove A = 87Rb, B1 = 87Sr e B2 = 86Sr. Quindi:

nB1

t( )n

B2t( ) = r ⋅

nA

t( )n

B2t( ) +

nB10

nB20

Questa relazione mostra che il rapporto

nB1

t( )n

B2t( ) è funzione lineare del rapporto attuale

nA

t( )n

B2t( ) e la retta relativa è detta “isocrona”.

diagramma isocrono di rocce coeve

La figura mostra un diagramma isocrono. Se i campioni sono coevi i dati si distribuiscono su una retta la cui pendenza è proporzionale all’età dei campioni e l’intersezione con l’asse delle ordinate è il rapporto isotopico all’istante di formazione. Il valore di r viene ricavato graficamente dai valori sperimentali dei precedenti rapporti relativi a differenti campioni di roccia ed è dato dalla pendenza della retta. Una volta noto r, l’età si deduce dalla solita relazione:

t =

1λ

A

ln 1 + r( )

Età della terraConsideriamo una roccia in cui sono presenti inizialmente i due nuclei radioattivi 235U e 238U che decadono rispettivamente in 207Pd e 206Pb con costanti di decadimento λ235 e λ238 rispettivamente. Dalla relazione (2a):

n

Bt( ) = n

A01 − e−λAt( ) + n

B0 , ricaviamo:

n 207 Pb, t( ) − n

0207 Pb( ) = n

0235U( ) ⋅ 1 − e−λ235t( )

n 206 Pb, t( ) − n

0206 Pb( ) = n

0238U( ) ⋅ 1 − e−λ238t( )

Dividendo membro a membro le due equazioni otteniamo:

n 207 Pb, t( ) − n0

207 Pb( )n 206 Pb, t( ) − n

0206 Pb( ) =

n0

235U( ) ⋅ 1 − e−λ235t( )n

0238U( ) ⋅ 1 − e−λ238t( ) (9)

In questa relazione compare il rapporto fra le abbondanze degli isotopi dell’uranio al momento della formazione della roccia. Tale rapporto può essere espresso mediante il

rapporto attuale che risulta essere uguale in tutte le rocce. Infatti, applicando la

relazione (1): n

At( ) = n

A0⋅ e−λAt

ad 235U e 238U si ottiene la seguente relazione:

n0

235U( )n

0238U( ) =

n 235U, t( ) ⋅ eλ235t

n 238U, t( ) ⋅ eλ238t=

0.72%99.27%

eλ235t

eλ238t=

1138

eλ235t

eλ238t (10)

Utilizzando la relazione (10) nella (9) si ottiene:

n 207 Pb, t( ) − n0

207 Pb( )n 206 Pb, t( ) − n

0206 Pb( ) =

1138

eλ235t − 1( )eλ238t − 1( ) = η

Dalla relazione precedente si ottiene:

n 207 Pb, t( ) = η ⋅ n 206 Pb, t( ) + n

0207 Pb( ) − η ⋅ n

0206 Pb( )⎡

⎣⎢⎤⎦⎥

e, dividendo per n(204Pb,t) = n0(204Pb):

n 207 Pb, t( )n 204 Pb, t( ) = η ⋅

n 206 Pb, t( )n 204 Pb, t( ) +

n0

207 Pb( )n

0204 Pb( ) − η ⋅

n0

206 Pb( )n

0204 Pb( )

⎡

⎣

⎢⎢⎢

⎤

⎦

⎥⎥⎥ (11)

Per tutte le rocce aventi la stessa età t, il rapporto η ha lo stesso valore. Inoltre, se i rapporti isotopici iniziali del piombo sono uguali nelle varie rocce la quantità entro parentesi quadra è una costante e la relazione (11) mostra che sussiste una relazione lineare fra le abbondanze attuali di 207Pb e 206Pb nei differenti minerali. Tale dipendenza è messa in evidenza dalle misure sulle abbondanze attuali di 207Pb e 206Pb eseguite su rocce terrestri e lunari e su meteoriti, come illustrato in figura 20.3 dove i dati sperimentali sono distribuiti lungo una retta avente pendenza η = 56. risulta quindi:

η =1

138

eλ235t − 1( )eλ238t − 1( ) = 56

Tale equazione si può risolvere numericamente o graficamente e si ricava un’età corrispondente a 4.5÷4.6⋅109 anni per le rocce appartenenti a differenti corpi del sistema solare.

diagramma isocrono per meteoriti, rocce lunari e rocce terrestri

Il fatto che tutti i campioni provenienti da rocce terrestri, lunari e da meteoriti si dispongano approssimativamente lungo la stessa retta suggerisce l’ipotesi che tutti gli oggetti appartenenti al sistema solare si sono formati all’incirca nelle stesso periodo, 4.6 miliardi di anni fa.

Metodo del Calcio 41Come ultimo metodo vediamo quello basato sul 41Ca.Il 41Ca è prodotto per cattura neutronica sul 40Ca:

n + 40Ca → 41Ca + γLe abbondanze isotopiche sono le seguenti:40Ca 0.969641Ca 10-14÷10-15 (*)42Ca 6.4⋅10-3

43Ca 1.45⋅10-3

44Ca 2.07⋅10-3

Il 41Ca decade β+ in 41K con un tempo di dimezzamento T1/2 = 1.04⋅105 yIl calcio si trova in abbondanza nelle ossa degli animali e dell’uomo. Con la sensibilità prevista dagli spettrometri di massa sarebbe possibile datare con precisione fino a qualche decina di milioni di anni fa. Questo rappresenta il sogno degli archeologi ma purtroppo la frazione di 41Ca rispetto al calcio naturale non è determinabile con precisione, come testimonia l’incertezza quotata sopra in (*). Il processo di produzione del 41Ca alla superficie della litosfera ed il successivo trasporto nella biosfera è molto complesso e a tutt’oggi non ancora completamente spiegato.

Datazione mediante accumulazione di tracce

La radioattività presente nel campione o nelle vicinanze dovuta ai raggi cosmici interagisce con il materiale e lascia delle vere e proprie tracce dovute al danneggiamento da radiazione.

Per risalire all’età del campione è necessario conoscere:- l’intensità di radiazione che ha colpito l’oggetto archeologico, ad esempio l’intensità di dose assorbita per anno . A questo scopo si misura l’intensità di dose attuale del sito archeologico e si fa l’ipotesi che essa non sia cambiata in maniera apprezzabile nel passato.- La quantità di “danneggiamento”, ossia il numero delle tracce provocate dalla dose unitaria. Per questo si irradia artificialmente un campione simile con dosi crescenti e si produce una curva di calibrazione dose-danno.

Dalla misura del danno si risale alla dose archeologica AD. Dalla conoscenza di AD e di

D si risale quindi all’età del campione: t =

ADD

In questo modo si data il campione a partire da un “tempo zero” corrispondente ad una assenza di danno nel campione. Per esempio, nel caso di oggetti di vetro o di ceramica, questo tempo zero corrisponde al momento della soffiatura o della cottura; nel caso di eventi successivi ad eruzioni vulcaniche l’evento azzeratore è proprio il calore sviluppato dall’eruzione.

Datazione con tracce di fissione. Nel cristallo, nel vetro e nell’argilla vi sono impurezze di Uranio con una concentrazione di poche parti per milione (ppm). Degli atomi di Uranio il 99.3% è 238U, il quale decade α con un T1/2 = 4.5⋅109 y, e per fissione spontanea con T1/2 = 8⋅1015 y. A seguito della fissione spontanea nuclei con massa A ≈ 90 e A ≈ 140 sono prodotti con uno sviluppo di energia di circa 200 MeV. Tali ioni pesanti, interagendo con il materiale, producono localmente danneggiamenti microscopici di dimensioni dell’ordine di 10 nm. Attaccando con un opportuno acido il campione si può ingrandire l’incisione fino a dimensioni di 10÷20 µm, visibili quindi al microscopio. Il metodo di datazione consiste nel contare le tracce al microscopio. Vi è una limitazione inferiore di circa 100 tracce/cm2 dovuto all’errore statistico, ed una superiore di circa 107 tracce/cm2 in quanto le tracce perdono individualità. Questi due limiti portano evidentemente ad un limite di datazione, che dipende anche dalla quantità di Uranio presente nel campione.

Questo metodo è stato applicato alla datazione dei primi ominidi dell’Africa orientale, ed è risultato in accordo con il metodo del K-Ar.Per misurare il contenuto di Uranio del campione, una frazione di questo viene irradiata con neutroni che inducono fissione. Successivamente si contano le tracce e, nota la sezione d’urto di fissione ed il flusso di neutroni, si risale al contenuto di Uranio.