Applications des Maths - rpn.ch · Applications des mathématiques Perspective, ombres 3) Un corps est formé d'un parallélépipède rectangle posé sur le sol et de deux prismes

Rappels

Construction de la perspective A' d'un point A

par la méthode du rabattement

Construction de la perspective d'une horizontale d

Construction de la perspective d'une droite p per-

pendiculaire à l'écran.

Construction de la perspective d'un point A à

l'aide d'une droite p perpendiculaire à l'écran

Intersection d – écran

l

Cote de A A1

A'

(A')

(A)

(S)

S1

A'1

Cote de S

l

Cote de A A1 A'

S1

Cote de S

F p

Cote de A

Cote de S

p'

p1

l

Cote de d

Fd

S1

d1

Cote de S

h

Cote de d

Cote de S

d'

l

Cote de p

p1

S1

Cote de S

F p

Cote de p

Cote de S

p'

h

A1'

Applications des mathématiques Perspective, ombres

1) Construire la perspective d' de la droite d ainsi que la perspective d1' de d1.

d est une horizontale de cote .

S est le centre de la projection (ou point de vue)

l est la trace de l'écran dans le sol (ou ligne de terre).

h est la ligne d'horizon; la cote de S est l'écart entre h et l.

2) Construire la perspective p' d'une horizontale p passant par A perpendiculairement à l'écran et la

perspective p1' de sa projection p1 dans le sol.

Construire la perspective A' du point A, ainsi que la perspective A1' de A1.

S1

l

h

d1

A1

S1

l

h

Cote de A


3) Un corps est formé d'un parallélépipède rectangle posé sur le sol et de deux prismes droits à base

triangulaire posés sur le parallélépipède. Le parallélépipède et les prismes ont la même hauteur .

Construire la perspective de ce corps après avoir déplacé l en l*.

Le corps est donné par sa projection dans le sol et la hauteur .

S1

l

l*

Cote de S


4) On considère des rayons lumineux parallèles dont la di-

rection est donnée par le schéma ci-contre.

Construire l'ombre A du point A sur le sol. Dans ce but,

rabattre le triangle de sommets A, A1 et A .

Construire ensuite la perspective A de A .

Construire encore la perspective A' de A et la perspective

A1' de A1.

Construire le point de fuite Fr des rayons lumineux et le

point de fuite Fr1 de la projection dans le sol des rayons

lumineux.

Remarque

La droite 'A A' passe par Fr et la droite 'A A1' passe par Fr1.

A1

S1 Cote de A

h

l

= 30o = 45o

l


5) On considère des rayons lumineux parallèles dont la

direction est donnée par le schéma ci-contre.

Construire la perspective A de l'ombre A de A dans

le sol.

Marche à suivre :

1) Construire Fr, le point de fuite de la direction des rayons lumineux ainsi que Fr1, le point de fuite

des projections dans le sol des rayons lumineux.

2) Construire A', la perspective de A.

3) Construire A1', la perspective de A1.

4) Construire la perspective r' du rayon lumineux passant par A.

5) Construire la perspective r1' de la projection sur le sol du rayon lumineux passant par A.

6) A est l'intersection de r' et r1'.

A1

S1

Cote de A

h

l

= 30o = 45o

l


6) Un rectangle A1 A B1 B, posé sur le sol, est donné pas sa perspective A1' A' B1' B'.

Ce rectangle est éclairé pas des rayons lumineux parallèles dont on donne le point de fuite Fr

ainsi que le point de fuite Fr1 de la projection dans le sol de ces rayons.

Construire la perspective de l'ombre du rectangle sur le sol.

FAB h

l

Fr1

Fr

A1'

A'

B'

B1'


7) On considère des rayons issus d'une source lumineuse ponctuelle ("flambeau") placée en L.

Construire la perspective A de l'ombre du point A sur le sol.

Indication

A est l'intersection du rayon passant par L et A et de la projection de ce rayon dans le sol.

Pour trouver 'A , il suffit de faire l'intersection des perspectives de ces droites.

A1

S1

Cote de A

h

l

L1

Cote de L


8) On considère un prisme droit de hauteur , dont la

base ABCD est un quadrilatère situé dans le sol.

Ce prisme est éclairé par le soleil dont la direction des

rayons est donnée par le schéma ci-contre. (Attention,

Fr est situé au-dessous de Fr1)

Construire la perspective de l'ombre du prisme sur le

sol. (Déplacer l en l* )

= 30o = 30o

A1

S1

Cote de S

l*

l

B1 C1

D1


9) Construire la perspective du cube ABCDEFGH posé sur le sol. (Déplacer l en l* ).

Ce cube est éclairé par une source lumineuse ponctuelle placée en L.

Construire la perspective de l'ombre du cube sur le sol.

A1

S1

Cote de S

l*

l

B1

C1

D1

Cote de L

L1


10) a) Construire la perspective du parallélépipède rectangle ABCDEFGH posé sur le sol et de hau-

teur , ainsi que la perspective de la droite verticale v qui passe par V, un point du sol. (Dé-

placer l en l* ).

b) Construire la perspective de l'ombre du parallélépipède ainsi que la perspective

de l'ombre de v sur le sol et sur le parallélépipède.

La direction des rayons lumineux est donnée par le point de fuite Fr.

Fr*

A1

S1 Cote de S

l*

l

B1

C1

D1

V


11) Un solide est formé de deux parallélépipèdes rectangles. Le premier, ABCDEFGH, de hauteur 1,

est posé sur le sol. Le second, IFGJKLMN, de hauteur 2, est posé sur le premier.

a) Construire la perspective de ce solide sur l'écran de base l, à partir

du point S.

b) Ce solide est éclairé par des rayons lumineux parallèles dont on

donne le point de fuite Fr. Construire la perspective de l'ombre du

solide sur le sol et sur lui-même.

Fr

l A1=E1

I1=K1

N1=J1

H1=D1

C1=G1=M1

B1=F1=L1

S1

Cote de S 1 2


12) Construire la perspective d'un escalier à deux marches donné ci-dessous par sa projection dans le

sol. La cote de la première marche (placée contre l'écran vertical de trace l) est de 1 cm, celle de

la deuxième marche de 2 cm (Déplacer l en l* ).

Construire la perspective de l'ombre de cet escalier, sur le sol et sur lui-même, lorsqu'il est

éclairé par une lampe L de cote 6 cm et de projection dans le sol L1.

h

L1

l*

l

Cote de S

S1


13) L'ombre, par des rayons lumineux parallèles, d'un segment vertical A1A, donné par sa perspective

de centre S sur un écran donné par l, est un point A donné par sa perspective A '.

Construire la perspective de l'ombre du segment vertical B1B, donné par B1 et de même hauteur

que A1A.

A'

A1'

B1

S1

l

h


14) On donne la perspective d'un toblerone ABCDEF, posé sur le sol, ainsi qu'un point G de l'écran,

de cote 4 cm.

a) Construire la perspective d' de la droite d qui passe par G et qui est parallèle à AB.

b) Construire la perspective de l'ombre de d sur le sol et sur le toblerone, la direction des

rayons lumineux étant donnée par le point de fuite Fr.

A'

Fr

h

l

B'

E'

D'

C'

F'

G'1


15) Une perspective est donnée par l, h, S1.

Construire la perspective du cube posé sur le sol, derrière l’écran et donné par la perspective A’

et B’ des sommets A et B dans le sol.

Ce cube est éclairé par une source lumineuse ponctuelle L donnée par L' et L1'.

Construire la perspective de l'ombre du cube sur le sol.

Dessiner les perspectives de l'image du cube et de son ombre dans le miroir vertical μ parallèle à

une face du cube et donné par la perspective μ1' de sa trace dans le sol.

S1

L1'

L'

B’

A’

μ 1'

l

h


16) On donne la perspective de deux « toblerones » posés sur le sol, d’une source lumineuse L et d’un mat

vertical d’extrémité V.

Dessiner en vert la perspective de l’ombre sur le sol des toblerones, puis en rouge les parties éclairées des

toblerones, puis l’ombre du mat sur le sol et sur les toblerones.

𝑙 ℎ 𝐿1′

𝐿′

𝑆 1

𝐹 𝑃′

𝑉′ 𝑉 1′


17) (BAC 2001) Le plan d'une usine avec sa cheminée est donné ci-dessous ; ce solide est formé d'un

prisme et d'un parallélépipède rectangle accolés.

a) Construire la perspective de ce solide sur l'écran vertical de base l, à partir du point S.

Pour détacher l’image de la donnée, on la décale vers le haut de sorte que l devienne l*

b) Construire la perspective de l'ombre de l'usine et de sa cheminée s'ils sont éclairés par des

rayons lumineux parallèles dont on donne le point de fuite Fr.

Fr*

S1

l*

l

A=B1

C=D1

K=L1

Cote de S = 6 cm

Cote de B = 4 cm

Cote de D = 7 cm

Cote de L = 10 cm


18) La perspective de la chambre données ci-dessous a été construite dans un exercice précédent.

Cette chambre est éclairée par une lampe accrochée au plafond et donnée par sa perspective L'.

Construire la perspective des ombres.

L'

Applications des mathématiques Perspective, ombres, rappels

' ' ' *' *'A L A L A

1) Ombre sur un plan horizontal d'un segment verticale V1 V.

Si les rayons lumineux sont issus d'une source ponctuelle L, le prolongement de l'ombre

passe par L*, point de la droite L1L situé à même hauteur que le plan horizontal.

Dans le cas de rayons parallèles, la perspective de ce prolongement de l'ombre passe par Fr1.

2) Ombre sur un plan horizontal d'un segment horizontal AB.

Une horizontale et son ombre sur un plan horizontal sont parallèles, leurs perspectives ont

ainsi même point de fuite. Il faut toutefois disposer de l'ombre d'un point sur le plan horizon-

tal. Plusieurs constructions sont possibles, par exemple:

● À partir du point 'I , construire le point 'I (voir dessin)

● Construire 'A , perspective de l'ombre de A sur le plan horizontal (prolongé). (

.

3) Ombre sur un plan vertical d'un segment horizontal AB.

1re méthode, construction vue au point 2.

2me méthode, prolonger le plan vertical (rem, cette méthode peut être utilisée pour le point 2)

h

l

Fr

V'

V1'

Fr1

L'

L1'

Plan vertical (prolongé)

A1'

A'

B'

B1'

h

l

'A

'B

h

l

L'

L*'

L1'

V'

V1'

V'

h

l

L'

L1'

A'

A1'

B1'

B'

L*' A*'

'A

'B

'I 'I 'A

Documents

Applications des Maths - rpn.ch · Applications des mathématiques Perspective, ombres 3) Un corps est formé d'un parallélépipède rectangle posé sur le sol et de deux prismes