Proceedings of the International Multiconference on ISSN 1896­7094 Computer Science and Information Technology, pp. 565 – 578   © 2007 PIPS 

Application of stochastic processes in Internet survey

Elżbieta  Getka­Wilczyńska

Warsaw School of Economics, Institute of Econometrics, Division of Mathematical Statistics, 

al. Niepodleglosci 164, 02­554 Warsaw, Poland, Elzbieta.Getka-Wilczynska@sgh.waw.pl 

Abstract.  In this paper Poisson processes and basic methods of the reliability theory are proposed to interpretation, definition and analysis some stochastic properties   of   process   of   Internet   data   collection.   At   first,   the   notion   of uncontrolled sample is introduced and random size of it is defined as a counting process. At the second, the process of Internet data collection is considered as a life test of the population surveyed. The events which appear in Internet survey are interpreted as a lifetime, arrival, death of the element of the population and the basic characteristics of reliability of the length of the population lifetime are described, calculated and estimated by using the notions and methods of the reliability theory. 

Keywords: Internet survey, uncontrolled sample, population, coherent system, estimation, reliability function

 1 Introduction 

Recently   statistical   research   as   for   as   sampling   selection   can   be   divided   into representative surveys based on the probability sample and surveys based on the non­probability sample, e.g. an Internet surveys. After choosing the kind of the sample selection next stage of the survey is data gathering. In all surveys, the data is collected using an immediate interview, a telephone interview or a post and in recent years an interview over the Internet.  Difference between  these researches rely on following aspects.   In   representative   surveys   based   on   the   probability   sample   the   frame   of sampling   is   known,   respondents   are   drawn   to   the   sample   by   a   statistician   in accordance with sampling design (sampling scheme), the methods of theory sampling are applied to data analysis and in these surveys an electronic questionnaire is only one of modes of data collection. The Internet surveys have several advantages, such as low   costs   of   collecting   information,   the   speed   of   the   data   transmission   and   a 

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possibility to monitor it. The usage of the electronic questionnaire in Internet survey makes   the   interview  more   efficient,   lowers   the  workload   of   the   respondents   and controls   the   responds’  quality.  But   in   the   Internet   surveys   the   frame of   sampling usually does not exist and the populations surveyed are sets of unidentifiable elements (sometimes generally described), drawing the sample is not possible and respondents are not randomly selected to the sample,  but  they participate in the survey with a subjective decision. Moreover,  in  the Internet surveys data sets are collected in an uncontrolled   way   and   the   respondents   who   took   part   in   the   survey   form     ­   we introduce here a notion ­ an uncontrolled sample. The methods of the sampling theory can not be used for the data from such the samples because the probability inclusions are not known and statistics are calculated on the basis Internet data refer only to the population surveyed.

However (besides these drawbacks of Internet data), when the certain assumptions are   made   about   the   population   it   is   possible   to   define   the   random   size   of   the uncontrolled   sample   [2]   and   process   of   Internet   data   collection   as   a   random experiment (or a life testing experiment) by using methods of stochastic processes [4] and the reliability theory [1, 5].

We generally assume, that Internet survey begins at the moment  t=0 , when the electronic questionnaire is put on the website and the survey is conducted for the time 

0>T . A set   {u1 , u2 ,. ..}  denotes the population of potential respondents. For each   1≥n ,   the population of   n   units  is surveyed and the respondent sent the questionnaires independently. By  τ j , j=1,2 , .. . , n , n≥1 , we denote a moment of  questionnaire   record on   the   server   after   an   initial  moment   0=t ,   from each respondent   u k , k=1,2 ,. . . , n ,   1≥n , belonging to the population of the size 

1≥n , who took part in the survey as j ­ th.  The moment of  the questionnaire record is an event  that  can be interpreted as the moment of arrival or birth of the respondent, who took part in the survey as j ­th, when the size of the uncontrolled sample is defined, as the moment of failure or renew of j ­th  element  of   the  population,  when  the  population   is   treated  as  a  coherent system, as the waiting time for the  j ­th questionnaire record after the initial moment 

0=t equal   the   length  of   lifetime  of   j ­th  element  of   the  population  until   the moment  0≥t or the moment of death of the  j ­th element of the population, when the length of the population lifetime is considered.  Theoretically, four cases which describe the relation between the time of the survey conducting, 0>T , and the size of the uncontrolled sample can be considered. In the first case, the registering the questionnaires ends at the moment  0>T  specified in advance,   independently   of   the   questionnaires’   number   recorded.   The   size   of   the uncontrolled sample is then a random value in the interval  ],0[ T  and depends on 

 Application of stochastic processes in Internet survey    567 

the length of time of the survey and on a selection procedure applied in the survey (if it is used in the survey). An extreme situation occurs when no data was collected (an arrival set is empty or the questionnaire, which arrived were rejected by the selection procedure used  in   the survey).   In  the  second case  the  sample size   is  specified  in advance and the survey ends when the assumed number of responses has arrived, independently of the length of time of the survey. An extreme situation occurs when the length of time of the survey is infinite. In the third case, both the length of time of the survey and the sample size are specified in advance and the survey ends in earlier of the assumed moments. In the fourth case, the final moment of the survey is not specified in advance. The process of registering questionnaires lasts at the moment when the collected data set meets the demands of the survey organizers.  

2  The first conception ­random size of an uncontrolled sample

If   the  process of  Internet  data collection  is  considered as  a  process  of  registering questionnaires on the server in a fixed interval of the time  0>T   (the time of the survey conducting) then the size of the uncontrolled sample at the moment   0≥t  equals the total number arrivals until the moment  0≥t  and is defined as a counting process ­ Bernoulli, Poisson or composed Poisson process [4].  

Case 1 ­ the size of the uncontrolled sample as Bernoulli process 

Definition 2.1. For fixed   1≥n   the size of uncontrolled sample until the moment 0≥t  is given by 

N t =card {1≤k≤n : τ k∈[0, t }  

and is equal to a sum 

N t =N 1 t .. .N n t , 

where   N k t ={0 if τ k≥t

1 if τ kt,   τ k , k=1,2 , .. . , n ,   n≥1 ,  are independent 

random variables with uniform distribution over  ],0[ T ,   0>T ,  τ k−1≤τ k  for 1≥j ,   τ 0=0  and at the initial moment  0=t  no arrivals occur. 

The   value   of   the   random   variable   ( ) 0, ≥ttN   equals   the   total   number   of arrivals until the moment  0≥t  and the process  ( ){ }0, ≥ttN  can be described 

568   Elżbieta Getka­Wilczyńska 

in a following way. Each of   n   respondents, independently of  others send only one questionnaire with the probability 1 in the interval  ],0[ T  for  0>T  (the time of the survey conducted). The probability of sending the questionnaire by the certain 

respondent in the interval of the length  [ ]T,0⊂∆   is equal to ratio T

∆. In this 

way, each respondent generates a stream consisted of only one arrival. A summary stream obtained by summing these streams is called a bound Bernoulli stream, that is, it  consists  of   finite  number of  events.  To complete  the definition  of   the counting process it remains to compute the distribution of  ( )tN  and the joint distribution of N t1 , N t2 ,. .. , N tn  for any non­negative  t0 , t1 ,. . . , tn .  

1) Let  Pk t =P {N t =k } ,  nk ,...,1= , be the probability of event, that at the   moment   0≥t the   total   number   of   arrivals   )(tN   equals   k .   Since   the probability of arrival of the given respondent in the interval  [ ] [ ]Tt ,0,0 ⊂  is equal 

to ratio T

t and the arrivals came independently, hence the total number of arrivals 

)(tN  at the moment  0≥t  is random variable with Bernoulli distribution 

( )knk

kT

t

T

t

k

ntP

−

−

= 1 .

2)   If   the   intervals   Δ1 , .. . , Δn   are   disjoint   pairs   and   the   interval [0,T ]=Δ1∪.. .∪Δn   is   a   sum   of   Δ1 ,. .. , Δn ,   then   for   any   non­negative 

integers  k 1 ,. .. , k n  such that   k 1. . .k n=n  holds 

P {N Δ1=k 1 ,. . . , N Δn =k n}=n !

k1 ! .. .k n !p1k 1. .. pn

kn,

where   ( )iN ∆   is   the   number   of   arrivals   which   occur   in   the   interval   i∆ , 

pi=∣Δi∣

T  for   ni ,...,1= ,   and   ∣Δi∣   is   the   length   of   the   interval 

Δi=t i−ti−1 , i=1, .. . , n . 

Case 2 ­ size of the uncontrolled sample as Poisson process

Definition 2.2. For fixed  1≥n   the size of uncontrolled sample until the moment 0≥t  is given by

 Application of stochastic processes in Internet survey    569 

N ' t =card {1≤k≤n: τk∈[ 0, t }=max {n≥0 : S nt } , 

where   τ1 , τ2 , .. . ,   denote   as   before   the   successive   moments   of   questionnaires 

record,  τ k−1≤τ k  for  1≥k  and  τ 0=0 ,   zk k=1∞

 is a sequence of independent 

and   identically   distributed   random   variables   z k=τ k−τ k−1   with   exponential distribution   G t =1−e−λt , t≥0 ,   λ0   and   z k=τ k−τ k−1   for   1≥k  

denotes  k− th spacing between  k− th and  k−1− th arrivals,   S n=∑k=1

n

z k  

is a random variable with Erlang distribution given by 

P S nt =1−∑i=0

n−1 λt i

i !e−λt  for  0≥t and  0>λ , 

Then 

P {N ' t =k }=P {N ' t n1 }−P {N ' t n }=P {S n1≥t }−P {Sn≥t }= λt n

n!e−λt ,

0),(' ≥ttN , the total number of arrivals until the moment  0≥t , is a random variable with Poisson distribution with the parameter  0>λ and  { }0:)(' ≥ttN  is Poisson process. 

Moreover, if in the Poisson process (stream) in the interval  ],0[ T ,  0>T ,  n  arrivals occur, then process (stream) of arrivals in this interval is the Bernoulli process (stream), [5]. This fact is shown below. If   Tt ≤≤0  and  nk ≤≤0 , then 

P {N ' t =k∣N ' T =n }=P {N ' t =k , N ' T −N ' t =n−k }

P {N ' t =n }

=P {N ' t =k }P {N ' T−t =n−k }

P {N ' T =n }=  

λt k

k !e−λt

λ T−t n−k

n−k !e−λ T− t

λT n

n !e−λT

. 

Hence  ( ) ( ){ } === nTNktNP ''knk

T

t

T

t

k

n −

−

1 .

If the intervals  Δ1 ,. .. , Δn  are disjoint pairs and  [0,T ]=Δ1∪.. .∪Δn , then for any nonnegative integers  k1 ,. .. , k n  such that  k 1. . .kn=n  holds

570   Elżbieta Getka­Wilczyńska 

P {N ' Δ1=k1 , ... , N ' Δn=k n∣N ' T =n }=

=Pk {N ' Δ1=k1 ,.. . ,N ' Δn =k n }

P {N ' T =n }=

∏i=1

n

P {N ' Δi =k i }

P {N ' T =n }=

∏i=1

n

λ∣Δi∣k i e

−λ∣Δi∣

λT n

n !e−λT

. 

Therefore  P {N ' Δ1=k1 , ... , N ' Δn=k n∣N ' T =n }=n !

k1! .. .k

n!p1k 1... p

nk n

. 

Case 3­ size of the uncontrolled sample with a selection procedure as composed Poisson process 

In the Internet surveys the electronic questionnaire is available to all Internet users. and a part of the registered arrivals came from respondents who do not necessarily belong to the surveyed population. In this case only the arrivals of these respondents whose questionnaires qualified for the data set based on the selection procedure are included in the sample. By this assumption and the assumptions made in case 2 the size of the uncontrolled sample is defined as a composed Poisson process. Definition 2.3. For fixed  1≥n   the size of uncontrolled sample until the moment 

0≥t  is given by Y t =S N ' t , where 

N ' t =card {1≤k≤n: τk∈[ 0, t }=max {n≥0 : S nt } , 

( )( )

∑==

tN

jjtN US

'

1' , 

a sequence  U n n=1∞

of independent and identically distributed random variables and 

the   Poisson     process   ( ){ }0:' ≥ttN   are   independent.   The   arrivals τ n , n=1,2. .. , are selected for the uncontrolled sample in the following way (the 

sequence of arrivals   τ n , n=1,2. .. is   thinned):   the arrival   τ n , n=1,2. .. .,   is omitted  with   the  probability  p,   ]1,0[∈p (independently   of   the   process   taking place),   if   the   respondent   does   not   belong   to   the   population   and   the   arrival τ n , n=1,2. .. .,  is   left   with   the   probability   p−1 ,   otherwise.   The   random 

variable   U i   is equal to 1, if the arrival   τ i   remains, and 0, if the arrival   τ i   is 

 Application of stochastic processes in Internet survey    571 

omitted. The probability p,  ]1,0[∈p is defined by the procedure of selection used in   the   survey   and   consequently,   process   ( ){ }0, ≥ttY   is   composed   Poisson process with  expected number of the arrivals  ( )p−1λ .

3 The second conception ­ length of the population lifetime 

     In the remaining part of this paper we assume that the population of  n  units for 1≥n ,   is   treated as  a finite  coherent system of   n components and the Internet 

survey begins at time   0=t and it is conducted for the time   0, >TT . In this case the process of Internet data collection can be considered as a random experiment or   a   life   testing   experiment   in   which   the   basic   characteristics   of   length   of   the population lifetime are analysed  by using the methods of reliability theory [1], [5]. A   non­negative   random   variables   τ k , k=1,2. .. , n , n≥1   with   distribution function  

F k t =P τ kt ,  for  0≥t ,  nk ,...,2,1= ,  1≥n ,

and probability density function 

( ) ( )tFtf ´=́       and      ( ) ( )∫=x

dxxftF0

 

are  interpreted as  length of  lifetime of   k ­th element of  the population until   the moment  0≥t or the moment of death of  k ­th element of the population until the moment  0≥t .  The probability  

F k t =1−F k t  for  0≥t ,  nk ,...,2,1= ,  1≥n

is called the probability of the lifetime length of  k ­th element at least  0≥t or the probability of event  that  k­th respondent  is  in the state of life at  least   0≥t or the reliability function of the length of  k­th element lifetime at the moment   0≥t , (the reliability of the k­th element in short).

The conditional probability density function 

( ) ( )( )tFtf

tk =λ  for  0≥t ,  nk ,...,2,1= ,  1≥n .

is called rate of changes of  k­th element of the population.

572   Elżbieta Getka­Wilczyńska 

The elements of the population are not renewed ­ each record of questionnaires decreases  the size  of   the population  in  one  and  the element  which arrived  is  not replaced by a new one.  This way of  selection  is  called random sampling without replacement. Additionally,  we assume that  the length of  the population lifetime of population of the size  n   for  1≥n  at the initial moment    0=t   is equal to the sum of the length of the particular elements lifetimes. We define the length of the population lifetime by using the structure function of the population as follows. 

States of elements of the population 

The state of  i  ­th elements of the population (as the system) is defined by the values of the binary function 

ei t ={0 if i -th element is in the state of life or i -th element did not arrive

until the moment t

1 if i -th element is in the state of death or i -th element arrive

until the moment t

 

Then the state of all elements of the population of size n , for  1≥n , is determined by n­dimension vector  e t =[ e1 t , e2 t , .. . , en t ]  and we assume that at the initial moment  0=t  all elements of the population of size n , for  1≥n , are in the   states of   life.  This  assumption means   that  at   the  moment   0=t   no  arrivals occurred.  

States of the population

The state of the population of size n , for  1≥n , at the moment  0≥t  is defined by the values of the binary function 

ϕ0 t ={0 if the population is in state of life the survey test is conducted

in the moment t

1 if the popualtion is in the state of death the survey test ended

until the moment t

 

and at each moment   0≥t   it  depends on the states of  the elements  through the values of the function  ϕ0 t =ϕ [ e1 t ,. .. , en t ]=ϕ e t .

In the process of Internet data collection treated as a life test of the population of size n , for  1≥n , the population can be found at the moment  0≥t  in the state of life during the conducting of the survey in following cases. In the first case, at the 

 Application of stochastic processes in Internet survey    573 

moment   Tt ≤≤0 ,  where  T   is the time of the survey conducting specified in advance and the number of death (arrivals) in interval of the length  0≥t is random but   it   is   less   than   the   size   of   the   population.   Otherwise,   until   the   moment  T  specified  in  advance.   In  the second case,  until   the moment   0≥t ,   in  which  the number of death (arrivals) is equal to the size of the sample specified in advance (it is less than the size of the population) and the time of the survey conducting, T , is not specified  in advance.  In the  third case,  until   the earlier  of  the time of   the survey conducting,T ,  and  the moment   0≥t ,  when  the  number of  death (arrivals)   is equal to the sample size, where both the length of time of the survey,T , and the sample size are specified in advance. In the fourth case, until the moment   0≥t , when the collected data set (it can be a subset of the population or the population surveyed) meets the demands of the survey organizers and the final moment of the survey is not specified in advance.

Properties of the structure function 

The  structure   function   ( )eϕ   is   increasing,   if   for  any   two vectors   e   i   e'   is satisfied the condition: 

if  ee'  , then  ϕ e ≤ϕ e'  , 

where  ee'  , if for all  i=1,. .. , n  ,  ei≤ei'  . 

This property of  the structure function introduce a partial  order  in a set  of   the binary vectors and means that additional death of the element can not change the state of the population from the state of death to the state of life.  

The function  ( )eϕ  defines a division of a set  { }eE =  of all n ­dimension and binary   vectors   which   describe   the   state   of   the   population   to   two   sets: E= {e :ϕ e =0 } , a set of states of population life and  E−= {e :ϕ e =1 } , a 

set  of   states  of  population  death.   If   the   structure   function   is   increasing,   then   the division of the set  E  to two sets  E  and  E−  is called a monotonic structure. 

Length of the population lifetime

Let   us   denote   by  τ   the   length   of   the   population   lifetime   and τ=inf {t :ϕ [e t ]=1}   . Then  ( ) ( )tPtF <= τ   is the probability of ending of 

the survey (test)  until   the moment   0≥t   or  the probability of  the event that the population is in the state of death until the moment  0≥t  and  ( ) ( )tPtF ≥= τ  is 

574   Elżbieta Getka­Wilczyńska 

the probability of the conducting survey (test) at least  0≥t  , the probability of the event   that   the  population   is   in   the   state  of   life   at   least   0≥t   or   the   reliability function   of   the   length   of   the   population   lifetime   at   the   moment   0≥t   ,   (the reliability of the population in short). 

4 Calculation and estimate of  the reliability of  the  length of   the population lifetime

The formula which expresses the relation between the reliability of the length of the population lifetime and reliabilities of elements at the moment  0≥t  is given by 

F t = ∑e∈E

p e  , 

where   p e =∏k=1

n

F k1−e k t F k

ek t   ,   (we  adopt   the   convention   00=1   )   is   a 

probability of event that the population is in the state  e  . If   τ k , k=1,2. .. , n , n≥1 ,  are  non­negative   independent   random variables, 

the   elements   are   not   renewed   and   the   function   ϕ e   is   increasing,   then   the reliability   function   of   the   length   of   the   population   lifetime   ( )tF   is   increasing respectively to each coordinate of the reliability function of the length  of the element lifetime  F k t .

Thus an upper or a lower bound on the reliability of the length of the population lifetime may be obtained from the upper or lower bounds on the reliabilities of the elements. When the number of the states is large (the number of all states is equal to 2n  ) and the function  ϕ e  is very complicated, then a formulae given above is not 

efficient and the other methods of calculation are applied e.g. the method of path and cut, the recurrence method of Markov chain or generally, the Markov methods.

Length of the population lifetime for the series structure 

The population (as a system)) of    n  ­ elements is called a series structure, when the population is in the state of life if and only if each element is in the state of life. In this case, the change of the state of any element causes the change of the population state. The length of the population lifetime in this case is equal to the waiting time of the first death and the size of the uncontrolled sample equals zero for the first death. Then the basic characteristics of  the reliability function of  the series structure are 

 Application of stochastic processes in Internet survey    575 

given as follows. The probability of the length of the population lifetime (duration of 

the survey) at least  0≥t  is equal to  ( ) ( )tFtFn

ii∏=

=1 . From inequality [3] 

1−∑i=1

n

F i≤∏i=1

n

1−F i ≤1−∑i=1

n

F i∑i j

F i F j≤1−∑i=1

n

F i12 ∑i=1

n

F i 2

 

it follows that  ∣F t −∑i=1

n

F i∣≤   12 ∑i=1

n

F i 2

 . 

The change rate of the population equals the sum of the change rate of the elements 

 The expected time of the length of the population lifetime is equal to 

( ) ( )dttFET ∫==∞

0τ . 

Length of the population lifetime for the parallel structure

The population (as a system) of  n  ­ elements is called a parallel structure, when the population is in the state of death if and only if all elements are in the state of death. In this case, the change of the state of the population  (death of the population) takes places   only   if   changes   of   all   population   elements   occur   ­   all   elements   of   the population died and the size of the uncontrolled sample is equal to the size of the population (all elements of the populations arrived). Then the probability of the length of   the   population   lifetime   (duration   of   the   survey)   at   least   0≥t   is   equal   to 

( ) ( )tFtFn

ii∏=

=1  or   ( ) ( )tFtF n

0=   and the expected time of the length of 

the   population   lifetime   is   equal   to   ( ) ( )[ ]dttFET ∫ −==∞

01τ   or 

( )[ ]dttFT n∫ −=∞

001 , when  F i t =F 0 t , i=1,2 , .. . , n . 

576   Elżbieta Getka­Wilczyńska 

Length of the population lifetime for the partial structure

The population (as a system) of    n   ­ elements is called a partial structure if all elements of the population are identical and the population is in the state of life if at least  m  elements of the population are in the state of life (that is, at most  mn −  death   occur)   and   the   size   of   the   uncontrolled   sample   equals   n−m .   Then   the reliability   function   of   the   length   of   the   population   lifetime   is   equal   to 

( ) FFk

ntF knk

n

mk

−=∑

= 00 . 

The method of path and cut 

In   this  method we define  notions  of  minimal  path   and minimal   cut   that  used   to estimate the reliability function of the length of the population lifetime, [1]. Definition 4.1. The set of elements   A={i1 , .. . ,in}  of the population is called a minimal path if all the elements of this set are in the state of life (the population is in the state of life, the survey is being conducted) and no subset of the set  A  has this property. 

From the monotonic property of the structure function, the set   A={i1 , .. . ,i k }  

is a minimal path if and only if  e∈E  , where  e  is a vector in which coordinates i1 , .. . , i k   take on the value zero and the remaining coordinates take on the value 

one, with any state greater than   e   belonging to   E−   . Therefore, every minimal path determines a bordering state of the life of the population in which the occur of death of any element causes a change of the state of the population into the state of death one (ending of the survey (test)). In term of the size of the uncontrolled sample, it  means,   that   the  number  of   arrivals   is   equal   to   the  number  of   elements  of   the minimal path is smaller per one than the size of the sample assumed in the survey.   Let     {A1 , A2 , .. . , Am }   be  a  sets  of  all  minimal  paths  with   the  corresponding 

bordering states    e 1 , e 2 ,. .. , e m .  A s  is an event in which all elements of the 

minimal path   A s   are in the state of life. Since   E= Us=1

m

As , [5], the reliability 

function of the length of the population lifetime is calculated from the formula 

F t =P Us=1mA s=∑

i=1

m

P Ai ∑i , jP Ai A j ∑

i jkP Ai A j Ak  

. . .−1 m1 P A1 A2. .. Am  

 Application of stochastic processes in Internet survey    577 

The number of the elements of the sum on the right is equal to   2m−1   and the 

probability   of   any   event   which   is   given   by   Ai1Ai 2. .. Aik ,   where 

i1i2 ,. ..i k  is equal to 

P Ai 1Ai2 .. .Aik =Fs1

t Fs2

t . .. . Fs l

t  , 

where  s1 ,  s2 ,.  sl  are different indices of elements of the minimal paths (that is, in the   case   of   the   elements   belonging   to   overlapping   parts   of   different   paths,   each element is calculated only once). In the order to lower the number of calculation we introduce the following notions. The two minimal paths are called crossing, when they have at least one common element. The two minimal paths are called relevant, if there exists  a  chain of crossing paths which connects  them. The relevant relation is   the equivalent relation which divides a set of all minimal paths into classes of relevant 

minimal paths.  Let  {A1.. . Ak1} , {Ak11. . .Ak 2}. . ..  be the successive classes 

of   the   relevant   minimal   paths.   Because   F t =1−F t =P ∩i=1m

Ai   and   the 

events   belonging   to   different   classes   are   independent,   then 

F t =P ∩i=1k 1

AiP ∩i=1k 2

Ak 11.. .. . . 

A dual notion of the minimal path is a minimal cut (a critical set). Definition 4.2. A set of elements  B= j1 , j2 , .. . , jl   is called a minimal cut, if all elements of this set are in the state of death (the population is in the state of death, the survey (test) ended) and no subset of the set  B  has this property. 

In this case we are interesting in those cut set in which the number of elements is equal   to   the   size   of   the   uncontrolled   sample   specified   in   advance   (all   elements belonging to the set  B  arrived). 

If   we   denote   by   {B1 , B2 , . .. , B s}   a   set   of   all   the   minimal   cuts,   then   the probability of an event that the survey (test) ends until the moment   0≥t  is equal to 

F t =P Ui=1

s

Bi=∑i=1

s

P Bi ∑i jP Bi B j ∑

i jkP Bi B j Bk .. . . 

−1 m1 P B1B2. ..Bm=S1−S 2S3. ..−1 s1 S s , 

From this formula we can obtain the estimation of the length of the population lifetime   (during   the   survey)   as   the   estimation   of   the   reliability   function   of   the population.  In this  case the number of elements  in the successive minimal cuts  is interpreted  as   the  possible   sample   sizes  which  can be  collected   in   the   survey  on 

578   Elżbieta Getka­Wilczyńska 

condition that  the survey ends after collection of  the sample of   the assumed size. 

From   proof   of   this   formula   for   the   non­crossing   minimal   cuts   holds   S 2≤S12

2, 

S 3≤S13

6,  and so on, and in the case of the crossing minimal cuts the partial sums 

maintain an order  S k=O S 12 . 

Moreover, for any  k ,  S 1−S 2. ..−S 2k≤F t ≤S1−S 2. ..−S 2kS 2k1 . Thus  there exists   the possibility  of  the estimation of   the  length of   the population lifetime with assumed precision because partial sums on the right of the last formula are the interchangeable upper and the lower bounds of the reliability function.

Conlusions  

The process of Internet data collection is interpreted and analysed as a life test of population surveyed by using the notions and methods of  the reliability theory.  A random   set   of   respondents   who   participate   in   Internet   survey   is   called   the uncontrolled sample and defined as the counting process by using Poisson processes. The proposed approach allows to study some stochastic properties of the process of the   Internet   data   collection,   the   calculation   and   the   estimate   of   the   basic characteristics by the assumed assumptions.   

References 

1. Barlow R. E., Proschan F.: Mathematical theory of reliability, Wiley and Sons, Inc. New York, London, Sydney (1965). 2.   Getka­Wilczyńska   E.:  Random   properties   non­controlled   sample,  Annals   of Collegium of Economics Analysis, 13, p. 59­69, Warsaw School of Economics, (in Polish), Warsaw (2004).3. Hardy G. H., Littlewood J. E., Polya G.: Inequalities, Cambridge University Press, Cambridge (1934) 4.  Kingman J.  F. C.:  Poissons’ processes,  Polish Scientific Publishers,  (in Polish), Warsaw (2001).5.  Sołowiew  A.  D.:  Analytic  methods   in   reliability   theory,  Technical   ­   Scientific Publishers, (in Polish), Warsaw (1983).