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SUMÁRIO
1 MATEMÁTICA FINANCEIRA..............................................................................
1.1 Capital (C)......................................................................................................1.2 Juros (j)..........................................................................................................1.3 Taxa de juros (i).............................................................................................1.4 Tempo (n)......................................................................................................1.5 Montante (M)..................................................................................................1.6 Juro Ordinário................................................................................................1.7 Juro Exato......................................................................................................1.8 Regulamentação das operações de Aplicações e Empréstimos...................1.9 Regimes de Capitalização.............................................................................1.10 Diagrama de Fluxo de Caixa........................................................................
2 JUROS SIMPLES................................................................................................
2.1 Fórmulas Derivadas.......................................................................................2.2 Montante (M).................................................................................................2.3 Juros Simples pela HP-12C: INT...................................................................
3 JUROS COMPOSTOS.........................................................................................
3.1 Montante (M)..................................................................................................3.2 Capital (C)......................................................................................................3.3 Juros Compostos (jc)......................................................................................3.4 Taxa de Juros Compostos (i).........................................................................3.5 Tempo (n).......................................................................................................3.6 Juros Compostos pela HP-12C......................................................................
4 DESCONTO.........................................................................................................
4.1 Desconto Simples........................................................................................... 4.1.1 Desconto Racional Simples ou Desconto por Dentro (Dd)................... 4.1.2 Desconto Comercial Simples ou Desconto por Fora (Df)...................... 4.1.3 Relação entre taxa de desconto (d) e taxa de juros (i).......................... 4.2 Desconto Composto....................................................................................... 4.2.1 Valor do Desconto Composto (DC)....................................................... 4.2.2 Taxa de Desconto Composto (d)........................................................... 4.2.3 Tempo (n).............................................................................................. 4.2.4 Taxas Equivalentes...............................................................................
0404040405050505050607
09101022
23
232424242426
35
353536374849494950
2
5 TAXAS DE JUROS
5.1 Taxa Efetiva.................................................................................................... 5.2 Taxas Proporcionais....................................................................................... 5.3 Taxas Equivalentes........................................................................................ 5.4 Taxa Nominal................................................................................................. 5.5 Taxa Over....................................................................................................... 5.6 Taxa Bruta e Taxa Líquida............................................................................. 5.6 Taxa Aparente e Taxa Real............................................................................
6 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS A JUROS COMPOSTOS..................................
6.1Equivalência de dois Capitais........................................................................... 6.2 Valor Presente ou Valor Atual de um Conjunto de Capitais............................ 6.3 Conjunto de Capitais Equivalentes..................................................................
7 RENDAS (ANUIDADES).......................................................................................
7.1 Séries Uniformes de Pagamentos e de Recebimentos................................... 7.1.1 Classificação das Séries Uniformes....................................................... 7.2 Séries Uniformes Imediatas Postecipadas..................................................... 7.2.1 Cálculo do Valor Presente – PV (Postecipado)...................................... 7.2.2 Cálculo de Valor Futuro - FV (Postecipado)........................................... 7.3 Séries Uniformes Imediatas Antecipadas........................................................ 7.3.1 Cálculo do Valor Presente – PV (Antecipado)........................................ 7.3.2 Cálculo de Valor Futuro - FV (Antecipado)............................................. 7.4 Séries Uniformes com Parcelas Adicionais.....................................................
8 AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS..................................................................
8.1 Sistema de Amortizações Constantes – SAC................................................. 8.2 Sistema de Amortização Francês ou Sistema PRICE..................................... 8.2.1 Cálculo do Saldo Devedor no Sistema PRICE....................................... 8.2.2 Sistema PRICE pela HP-12C................................................................. 8.3 Sistema de Amortização Americano – SAA....................................................
9 ANÁLISE DE INVESTIMENTO.............................................................................
9.1 Análise do Fluxo de Caixa............................................................................... 9.2 Valor Presente Líquido (NPV)......................................................................... 9.3 Taxa Interna de Retorno (IRR)........................................................................ 9.4 Equivalência de Fluxos de Caixa....................................................................
57
57575861626263
69
697071
78
787879798080808084
91
9194959698
107
107109114119
3
1. MATEMÁTICA FINANCEIRA
A Matemática Financeira é uma ferramenta útil na análise de algumas alternativas
de investimentos ou financiamentos de bens de consumo. Consiste em empregar
procedimentos matemáticos para simplificar a operação financeira a um Fluxo de Caixa.
1.1 Capital (C)
O Capital é o valor aplicado através de alguma operação financeira, durante um
certo tempo. Também conhecido como: Principal, Valor Atual, Valor Presente ou Valor
Aplicado.
1.2 Juros (j)
Tendo em vista que o aplicador se abstém de usar o valor emprestado, e ainda, em
função da perda de poder aquisitivo do dinheiro pela inflação e do risco de não
pagamento, surge o conceito de juro, que pode ser definido como o custo do empréstimo
para o tomador ou a remuneração pelo uso do capital para o emprestador. De uma
forma simplificada, podemos dizer que juro é o aluguel pago pelo uso de um dinheiro.
1.3 Taxa de juros (i)
A taxa de juros indica qual a remuneração que será paga ao dinheiro emprestado,
para um determinado período. Ela vem normalmente expressa na forma percentual, em
seguida da especificação do período de tempo a que se refere.
A taxa de juros pode ser expressa de duas maneiras diferentes:
Taxa percentual:
Exemplos: 8 % a.a. (ao ano);
10 % a.t. (ao trimestre).
Taxa Unitária é a taxa percentual dividida por 100, sem o símbolo %:
Exemplos: 0,15 a.m. (ao mês);
4
0,10 a.q. (ao quadrimestre).
Obs.: Sempre que usarmos as teclas financeiras da calculadora HP–12 C as taxas devem
ser introduzidas sob a forma percentual, caso contrário, ou seja, na utilização de fórmulas
matemáticas, devemos expressar as taxas na forma unitária.
1.4 Tempo (n)
Representa o período de tempo durante o qual o capital ficou rendendo juros. Deve
sempre ser expresso em alguma unidade de tempo (dia, mês, trimestre, semestre, ano,
etc...).
1.5 Montante (M)
É a soma dos juros produzidos por um capital ao próprio capital.
M = j + C
1.6 Juro ordinário
É o juro calculado, tomando-se por base o tempo comercial (mês de 30 dias, ano
de 360 dias, etc...).
1.7 Juro Exato
É o juro calculado, tomando-se por base o tempo exato (fevereiro 28 ou 29 dias,
março 31 dias, setembro 30 dias, etc...).
1.8 Regulamentação das operações de Aplicação e Empréstimos
As operações de aplicação e empréstimos são geralmente realizadas por meio da
intermediação de uma instituição financeira, que capta recursos de um lado e os
empresta de outro.
A capitalização é feita a uma taxa menor que a de empréstimo e a diferença é a
remuneração da instituição. São várias as opções de aplicações (também chamadas de
instrumentos) que um investidor tem a sua disposição, por exemplo, a Caderneta de
Poupança, o CDB (Certificado de Depósito Bancário) e outros. Cada opção tem sua taxa
5
em função do prazo da aplicação e dos riscos envolvidos. Da mesma forma, os
tomadores de empréstimos têm as várias opções de financiamento (instrumentos) cujas
taxas variam em função dos prazos de pagamento e das garantias oferecidas.
Na determinação das taxas de juros, o Governo tem uma grande influência, quer
seja regulamentando o funcionamento das instituições financeiras, comprando ou
vendendo títulos públicos, cobrando impostos, etc... .
Os fundos de investimentos e os fundos de pensão e previdência também têm um
importante papel na intermediação financeira. O dinheiro dos investidores captado pelos
fundos de investimentos é utilizado para a compra de títulos públicos e privados e ações.
Por meio dos ganhos oferecidos por estes papéis, o investidor é remunerado (quando um
investidor aplica num fundo de investimentos ele adquire um certo número de cotas deste
fundo, e a valorização da cota é decorrente da rentabilidade de seus papéis). Da mesma
forma ocorre com os fundos de previdência e pensão, no qual o aplicador visa o
recebimento de uma renda por ocasião de sua aposentadoria.
1.9 Regimes de Capitalização
Quando um capital é aplicado por vários períodos, a uma certa taxa por período, o
montante poderá crescer de acordo com duas convenções, chamadas regimes de
capitalização. Temos o regime de capitalização simples ou juros simples e o regime
de capitalização composta ou juros compostos.
a) Regime de Capitalização Simples ou Juros Simples
Neste regime o juro gerado em cada período é constante e igual ao produto do
capital pela taxa. Nesta modalidade os juros são pagos somente no final da operação.
Exemplo: Um capital de R$ 1.000,00 foi aplicado durante 3 anos à taxa de 10 %
a.a. , em regime de juros simples.
Portanto, somente o capital aplicado é que rende juros, e o montante após 3 anos
foi de R$ 1.300,00.
6
100 100 100
1000 1300
0 1 2 3 (anos)
b) Regime de Capitalização Composta ou Juros Compostos
Neste caso, o juro do 1º período se agrega ao capital dando o montante M1. O juro
do 2º período se agrega a M1 dando o montante M2. O juro do 3º período se agrega a M2
dando o montante M3.
Exemplo: Um capital de R$ 1.000,00 foi aplicado durante 3 anos à taxa de 10 %
a.a. , em regime de juros compostos.
Portanto, o juro que é gerado em cada período se agrega ao montante do início do
período e esta soma passa a render juro no período seguinte e o montante após 3 anos
foi de R$ 1.331,00.
1.10 Diagrama de Fluxo de Caixa
Um diagrama de fluxo de caixa é, simplesmente, a representação gráfica de uma
situação financeira. Neste gráfico é representado o conjunto de todas as entradas e
saídas de dinheiro ao longo de um determinado tempo, seja de uma empresa, de uma
pessoa, de um investimento, de um empréstimo, etc... .
Um diagrama de fluxo de caixa, na maioria das vezes, é representado da seguinte
forma:
Uma reta horizontal onde são colocados, em escala, os períodos de tempo onde
houve ou haverá movimentação financeira.
Flechas verticais, apontadas para baixo e com sinal negativo, representando as
saídas de dinheiro ou pagamentos.
Flechas verticais, apontadas para cima e com sinal positivo, representando as
entradas de dinheiro ou recebimentos.
7
100 110 121
1000 1331
0 1 2 3 (anos)
Exemplo: Um produto custa R$ 300,00 à vista ou, se financiado, três prestações mensais
de R$ 150,00 sem entrada.
Observações.:
a) A diferença entre a soma das prestações e o valor à vista do produto
correspondem aos juros cobrados ou pagos pelo financiamento.
b) Como podemos ver, é indiferente representarmos o fluxo de caixa sob o ponto de
vista do comprador ou do vendedor pois os resultados obtidos em qualquer tipo de
cálculo serão sempre os mesmos.
8
- 300
-150 - 150 -150
150 150 150VENDEDOR COMPRADOR
300
2. JUROS SIMPLES
Juros simples ou regime de capitalização simples é o regime no qual, ao final de
cada período de capitalização, os juros são calculados sempre sobre o capital
inicialmente empregado.
Sabemos que:
Juro (j) é diretamente proporcional ao capital (C);
Juro (j) é diretamente proporcional a taxa (i);
Juro (j) é diretamente proporcional ao tempo (n).
Então:
OBSERVAÇÕES IMPORTANTES:
1) Na utilização da expressão acima devemos tomar o cuidado de:
Utilizar sempre a taxa unitária.
Utilizar sempre a mesma unidade de tempo a qual está associada à taxa.
2) Embora no regime de capitalização simples a taxa seja diretamente proporcional ao
tempo, ou seja, 1% ao dia corresponde a 30% ao mês, da mesma forma 120% ao ano
corresponde a 10% ao mês, convém não nos valermos desta proporcionalidade uma vez
que no regime de capitalização composta ela não existe. Para deixarmos o tempo e a
taxa expressos na mesma unidade é aconselhável transformar o tempo.
15 dias correspondem a:
20 dias correspondem a:
j = C . i . n
9
8 meses correspondem a:
3 meses e 20 dias correspondem a:
2.1 Fórmulas derivadas da expressão
2.2 Montante (M)
O Montante representando a soma dos juros produzidos por um capital ao próprio
capital pode ser expresso por:
M = C + j
como j = Cin , temos que M = C + Cin, ou seja,
Obs.: A calculadora HP-12C, através de suas teclas financeiras, calcula somente juros
simples se a taxa for anual e o prazo fornecido em dias. É portanto, mais fácil, nos
utilizarmos somente das fórmulas matemáticas.
j = C . i . n
10
Exemplos:
a) Determine o juro produzido por um capital de R$ 900,00 aplicado a uma taxa de 20%
ao trimestre, durante 1 ano, 4 meses e 17 dias.
Solução:
j = ?
C = R$ 900,00
i = 20% a.t i = 0,2 a.t
n = 1 ano, 4 meses e 17 dias n = 497 dias n = trimestres
j = Cin j = 900 . 0,2 . j = R$ 994,00
b) Determine o capital que aplicado a uma taxa de 30% ao trimestre rendeu após 6 meses
um juro de R$ 600,00.
Solução:
C = ?
i = 30% a.t i = 0,3 a.t
n = 6 meses n = 2 trimestres
j = R$ 600,00
j = Cin 600 = C . 0,3 . 2 600 = 0,6 C C = R$ 1.000,00
c) Determine o capital que aplicado a uma taxa de juros simples de 20% ao semestre
produziu um montante de R$ 1.500,00, após 8 meses.
Solução:
C = ?
i = 20% a.s i = 0,2 a.s
M = R$ 1.500,00
n = 8 meses n = semestres
1500 = C C = C = R$ 1.184,21
11
Exercícios:
1) Um capital de R$ 7.000,00 é aplicado a juros simples, durante 1 ano e meio, à taxa de
8% a.s. Determine:
a) os juros;
b) o montante.
.
2) Qual o capital que rende juros simples de R$ 3.000,00 no prazo de 5 meses, se a taxa
for de 2% a.m?
3) Uma aplicação financeira tem prazo de 5 meses, rende juros simples à taxa de 22% a.a
e paga imposto de renda igual a 20% do juro. Sabendo-se que o imposto pago é no
resgate, pergunta-se:
a) Qual o montante líquido de uma aplicação de R$ 8.000,00?
b) Qual o capital que deve ser aplicado para dar um montante líquido de R$
9.500,00?
12
Exercícios Complementares:
1) Qual o montante de uma aplicação de $16.000,00 a juros simples, durante 5 meses, à taxa de 80% a.a.? Resposta: $21.333,33
2) Um capital de $1.000,00 foi aplicado por 2 meses, a juros simples e à taxa de 42% a.a.. Qual o montante? Resposta: $1.070,00
3) Bruno aplicou $30.000,00 a juros simples, pelo prazo de 6 meses, e recebeu $9.000,00 de juros. Qual a taxa mensal da aplicação? Resposta: 5% a.m.
13
4) Numa aplicação de $3.000,00 a juros simples e à taxa de 10% a.a., o montante recebido foi de $4.800,00. Determine o prazo da aplicação. Resposta: 6 anos
5) Paula aplicou uma certa quantia a juros simples à taxa de 1,8% a.m., pelo prazo de 4 meses. Obtenha o juro auferido nessa aplicação sabendo-se que o montante recebido foi de $5.360,00. Resposta: $360,00
6) Mara aplicou $800,00 a juros simples e à taxa de 12% a.a.. Se ela recebeu $384,00 de juros, obtenha o prazo da aplicação. Resposta: 4 anos
14
7) Uma geladeira é vendida à vista por $1.500,00 ou então à prazo com $450,00 de entrada mais uma parcela de $1.200,00 após 4 meses. Qual a taxa mensal de juros simples do financiamento? Resposta: 3,57% a.m.
8) Um vestido de noiva é vendido à vista por $2.400,00 ou então à prazo com 20% de entrada mais uma parcela de $2.150,00 dois meses após a compra. Qual a taxa mensal de juros simples do financiamento? Resposta: 5,99% a.m.
15
9) Durante quanto tempo um capital deve ser aplicado a juros simples e à taxa de 8% a.a. para que duplique? Resposta: 12,5 anos
10) Um capital aplicado à taxa de juros simples de 8% a.m. triplica em que prazo? Resposta: 25 meses
11) Um determinado capital, aplicado a juros simples durante 16 meses, rendeu determinado juro. Em que prazo deveríamos aplicar o quádruplo deste capital, para dar o mesmo juro, sabendo-se que a taxa é a mesma? Resposta: 4 meses
16
12) Dois capitais, um de $200.000,00 e outro de $222.857,00, foram aplicados numa mesma data, a juros simples, sendo o primeiro à taxa de 168% a.a. e o segundo à de 120% a.a.. Qual o prazo para que os montantes se igualem? Resposta: 4 meses
13) Dois capitais, o primeiro igual a $1.100,00 e o segundo igual a $500,00, estiveram aplicados a juros simples durante 3 meses. Qual a taxa de aplicação do primeiro se o segundo, aplicado à taxa de 10% a.m., rendeu $246,00 menos que o primeiro? Resposta: 12% a.m.
17
14) Cleide aplicou metade de seu capital a juros simples e à taxa de 30% a.a., durante um ano; o restante foi dividido em duas partes iguais, aplicadas por um ano, sendo a primeira à taxa de 28% a.a. e a segunda à 32% a.a.. Determinar a taxa anual de juros simples a que todo o capital de Cleide deveria ser aplicado por um ano para que o juro obtido seja igual à soma dos juros das três aplicações mencionadas. Resposta: 30% a.a.
15) Um fazendeiro possui um estoque de 1.000 sacas de café e, na expectativa de alta de preço do produto, recusa a oferta de compra desse estoque à razão de $3.000,00 por saca. Três meses mais tarde, forçado pelas circunstâncias, vende o estoque por $2.400,00 a saca. Sabendo-se que a taxa de juros de mercado é de 5% a.m., calcule o prejuízo real do fazendeiro na data de venda da mercadoria, utilizando o regime de capitalização simples. Resposta: $1.050.000,00
18
16) Um produtor de milho, possuidor de um estoque de 30.000 sacas, na expectativa de alta do preço do produto, recusa a oferta de compra desse estoque à razão de $5,00 por saca. Seis meses mais tarde, vende o estoque por $12,00 a saca. Sabendo-se que a taxa de juros simples de mercado é de 12% a.m., calcule o lucro (ou prejuízo) real do produtor, utilizando o regime de juros simples. Resposta: Lucro de $102.000,00
17) Um capital ficou depositado durante 10 meses à taxa de 8% a.m. no regime de juros simples. Findo esse prazo, o montante auferido foi aplicado durante 15 meses a juros simples à taxa de 10% a.m.. Calcule o valor do capital inicial aplicado, sabendo-se que o montante final recebido foi de $1.125.000,00. Resposta: $250.000,00
19
18) Uma aplicação financeira tem prazo de 3 meses, rende juros simples à taxa de 1,8% a.m., porém o investidor deve pagar no ato do resgate um imposto de renda igual a 20% do valor do juro auferido.
a) Qual o montante líquido (montante após o pagamento do imposto de renda) de uma aplicação de $4.000,00? Resposta: $4.172,80
b) Qual o capital que deve ser aplicado para dar um montante líquido de $3.600,00? Resposta: $3.450,92
19)Uma aplicação financeira tem prazo de 4 meses, rende juros simples à taxa de 22% a.a., porém o investidor deve pagar no ato do resgate um imposto de renda igual a 20% do valor do juro auferido.
a) Qual o montante líquido (montante após o pagamento do imposto de renda) de uma aplicação de $12.000,00? Resposta: $12.704,00
b) Qual o capital que deve ser aplicado para dar um montante líquido de $11.500,00? Resposta: $10.862,72
20
20)Dividir $1.200,00 em duas partes, de forma que a primeira, aplicada a juros simples à taxa 8% a.m. durante dois meses, renda o mesmo juro que a segunda, aplicada a 10% a.m. durante 3 meses. Resposta: $782,61 e $417,39
21) Bruno, dispondo de $3.000,00, resolveu aplicá-los em dois bancos. No primeiro, aplicou uma parte a juros simples à taxa de 8% a.m. por 6 meses e, no segundo, aplicou o restante também a juros simples por 8 meses à taxa de 10% a.m.. Determine o quanto foi aplicado em cada banco sabendo-se que o total dos juros auferidos foi de $1.824,00. Resposta: $1.800,00 e $1.200,00
21
2.3 Juros Simples pela HP-12C: (INT)
Tem uma utilização extremamente limitada. Resolve problemas de juros e
montantes, em regime de capitalização simples, quando são informados o valor do
capital, a taxa anual de juros (ano de 360 dias) e o prazo em dias.
Exemplo:
Calcular o valor dos juros e do montante de um capital de R$ 200.000,00 aplicado
a uma taxa de 150% ao ano, por 218 dias.
TECLAS VISOR SIGNIFICADO
200000 (CHS) (PV) -200.000,00 Introduz o valor do capital
150 (i) 150,00 Introduz a taxa anual
218 (n) 218,00 Introduz o prazo
(f) (i) 181.666,67 Calcula os juros
(+) 381.666,67 Calcula o montante
22
3. JUROS COMPOSTOS
Juros compostos ou regime de capitalização composta ocorre quando os juros
gerados em cada período se agregam ao montante do início do período, passando este
novo montante a produzir juros no período seguinte.
3.1 Montante (M)
Consideremos um capital C, uma taxa de juros i e calculemos o montante obtido a
juros compostos, após n períodos de tempo (expresso na unidade de tempo da taxa)
Montante após o 1º período:
M1 = C + j1 j1 = C . i . 1 M1 = C + Ci M1 = C(1 + i) (1)
Montante após o 2º período:
M2 = M1 + j2 j2 = M1 . i . 1 M2 = M1 + M1 i M2 = M1(1 + i) (2)
Substituindo o valor de M1 de (1) em (2) temos que:
M2 = C(1 + i) . (1 +i)
É fácil perceber, por generalização, que após “n” períodos, o montante será dado
por:
ou simplesmente:
23
MONTANTES
C M1 M2 ......................................................Mn
0 1 2......................................................... n
PERÍODOS DE CAPITALIZAÇÃO
3.2 Capital (C)
3.3 Juro Composto (jc)
3.4 Taxa de Juro Composto (i)
3.5 Tempo (n)
Exemplos:
a) Qual o capital que, aplicado a juros compostos, à taxa de 2,5% a.m produz um
montante de R$ 3.500,00, após um ano?
Solução:
C = ?
i = 0,025 a.m
M = R$ 3.500,00
24
n = 1 ano n = 12 meses
C = R$ 2.602,45
b) Um capital de R$ 5.520,00, aplicado a juros compostos, após 4 meses, gerou um
montante de R$ 6.000,00. Calcule a taxa mensal de juros da operação.
Solução:
i = ?
C = R$ 5.520,00
M = R$ 6.000,00
n = 4 meses
i = 0,0211 i = 2,11% a.m
Exercícios:
1) Um capital de R$ 6.000,00 foi aplicado a juros compostos durante 3 meses, à taxa de
2% a.m. Pergunta-se:
a) Qual o montante?
b) Qual o total dos juros auferidos?
2) Durante quanto tempo um capital de R$ 1.000,00 deve ser aplicado a juros compostos,
à taxa de 10% a.a para dar um montante de R$ 1.610,51?
3.6 Juros Compostos pela HP-12C:
25
Na HP-12C, os problemas de juros compostos envolvem as teclas financeiras (n),
(i), (PV) e (FV).
A unidade de tempo utilizada para o período deve ser a mesma da taxa de juros.
Exemplo:
Um capital de R$ 500.000,00 foi aplicado a uma taxa de 15% a.m. Determine os
juros e o montante no final de 6 meses.
TECLAS VISOR SIGNIFICADO
500000 (CHS) (PV) -500.000,00 Introduz o valor do capital
15 (i) 15,00 Introduz a taxa
6 (n) 6,00 Introduz o prazo
(FV) 1.156.530,38 Calcula o montante
Para apurar o valor dos juros compostos basta operar FV – PV, aproveitando os
dados já armazenados na calculadora.
TECLAS VISOR SIGNIFICADO
(RCL) (FV) 1.156.530,38 Chama o FV
(RCL) (PV) -500.000,00 Chama o PV
(+) 656.530,38 Calcula os juros
Observações:
1) Na solução de problemas de juros compostos através da HP-12C, devemos
introduzir o valor de (PV) negativo a fim de alcançarmos um resultado (FV) positivo.
A calculadora está programada para realizar cálculos financeiros baseado no fluxo
de caixa, ou seja, com (PV) e (FV) de sinais contrários.
2) A calculadora HP-12C trabalha também com período “n” fracionário, simplificando a
solução de muitos problemas no mercado financeiro. Para isso, você deverá
adequar a máquina pressionando a seqüência de teclas a seguir:
26
(STO) (EEX). Note que aparecerá no visor a letra “C”, anunciando que a máquina
está pronta para efetuar cálculos de juros compostos com períodos inteiros e
fracionários. É aconselhável que você conserve a sua calculadora com a indicação
“C” no visor.
Exemplo:
A empresa J. Alves Ltda. formalizou uma operação de capital de giro de R$
800.000,00, pelo prazo de 75 dias, a uma taxa de 26% a.m. Determine o montante a
pagar no vencimento, considerando que os juros são capitalizados no final de cada mês.
A fim de compatibilizar as unidades de “n” e “i”, vamos transformar 75 dias em
meses.
TECLAS VISOR SIGNIFICADO
800000 (CHS) (PV) -800.000,00 Introduz o valor do capital
26 (i) 26,00 Introduz a taxa
2,5 (n) 2,50 Introduz o prazo
(FV) 1.425.661,26 Calcula o montante
Se a letra “C” não estivesse no visor, a HP calcularia, no período fracionário
(15dias), juros simples e, no período inteiro, juros compostos, resultando em R$
1.435.190,40, o que não é verdadeiro.
Considerando o exemplo anterior, com os mesmos dados do problema, vamos
calcular o prazo “n” na HP-12C:
TECLAS VISOR SIGNIFICADO
800000 (CHS) (PV) -800.000,00 Introduz o valor do capital
26 (i) 26,00 Introduz a taxa
1425661,26 (FV) 1.425.661,26 Introduz o montante
(n) 3,00 Calcula o prazo
27
O resultado acima revela uma limitação da HP-12C: o cálculo do prazo por
intermédio da tecla (n) é sempre um número inteiro.
A resposta correta é n = 2,5, porém a calculadora arredonda-o para o inteiro
imediatamente superior (3,00). Contudo, se necessitar, use a fórmula:
n = 2,5 meses
Exercícios Complementares:
1) Qual o montante de uma aplicação de $50.000,00 a juros compostos, pelo prazo
de 6 meses, à taxa de 2% a.m.? Resposta: $56.308,12
2) Obtenha o montante das aplicações abaixo, considerando o regime de juros
compostos:
Capital Taxa Prazo
a) $80.000,00 36% a.a. 2 anos
b) $65.000,00 3% a.m. 1 ano
c) $35.000,00 7% a.t. 1 ano e meio
Resposta: a)$147.968,00 b)$92.674,46 c)$52.525,56
28
3) Um capital de $7.000,00 foi aplicado a juros compostos, durante um ano e meio, à
taxa de 2,5% a.m.. Calcule os juros auferidos no período. Resposta: $3.917,61
4) Uma pessoa aplica hoje $4.000,00 e aplicará $12.000,00 daqui a 3 meses num
fundo que rende juros compostos à taxa de 2,6% a.m.. Qual seu montante daqui a
6 meses? Resposta: $17.626,54
5) Qual capital que, aplicado a juros compostos, durante 9 anos, à taxa de 10% a.a.
produz um montante de $175.000,00? Resposta: $74.217,08
29
6) Um capital de $3.000,00 foi aplicado a juros compostos, durante 10 meses,
gerando um montante de $3.500,00. Qual a taxa mensal? Resposta: 1,55% a.m.
7) Um capital foi aplicado a juros compostos, durante 10 meses, rendendo um juro
igual ao capital aplicado. Qual a taxa mensal desta aplicação? Resposta: 7,18%
a.m.
8) Um capital foi aplicado a juros compostos, durante 9 meses, rendendo um
montante igual ao triplo do capital aplicado. Qual a taxa trimestral da aplicação?
Resposta: 44,22% a.t.
30
9) Um fogão é vendido à vista por $600,00, ou então à prazo, sendo 20% do preço à
vista como entrada, mais uma parcela de $550,00 dois meses após a compra. Qual
a taxa mensal de juros compostos do financiamento? Resposta: 7,04% a.m.
10)Durante quanto tempo um capital de $5.000,00 deve ser aplicado a juros
compostos, à taxa de 1,8% a.m., para gerar um montante de $5.767,00?
Resposta: 8 meses
31
11)Durante quanto tempo um capital deve ser aplicado a juros compostos, à taxa de
2,2% a.m. para que duplique? Resposta: 31,85 meses
12) Alberto aplicou $6.000,00 a juros compostos, durante um ano, à taxa de 24% a.a..
a) Qual o montante? Resposta: $7.440,00
b) Qual a taxa mensal de juros da aplicação? Resposta: 1,81% a.m.
c) Qual a taxa semestral de juros da aplicação? Resposta: 11,36% a.s.
32
13)Gisele aplicou $6.000,00 a juros compostos, sendo uma parte no banco A, à taxa
de 2% a.m., e outra no banco B, à taxa de 1,5% a.m.. O prazo das duas aplicações
foi de 6 meses Calcule quanto foi aplicado em cada banco, sabendo-se que os
montantes resultantes foram iguais. Resposta: $2.955,78 e $3.044,22
14)Aplique hoje $55.000,00 e receba após 6 meses $60.000,00. Qual a taxa mensal
de rendimento desta aplicação, considerando o regime de juros compostos?
Resposta:1,46% a.m.
33
15)Milena adquiriu um aparelho de som há 6 meses por $800,00. Estando o aparelho
em ótimo estado de conservação e desejando vendê-lo com um retorno de 2%
a.m. sobre o capital aplicado na compra, calcule o preço de venda considerando o
regime de juros compostos. Resposta: $900,93
16)Uma empresa vende um componente eletrônico por $200,00 a unidade, sendo o
pagamento feito 2 meses após a compra. Para pagamento à vista, o preço é
$192,00. Qual a taxa mensal de juros compostos do financiamento? Resposta:
2,06% a.m.
17)Uma pessoa colocou 2/5 do seu capital a 2% ao mês e o restante, a 3% ao mês.
Ao final de 18 meses retirou o montante de $31.855,17. Qual foi o capital aplicado?
Resposta: $20.000,00
34
4. DESCONTO
Quando uma empresa vende um produto a prazo emite uma duplicata que lhe dará
o direito de receber do comprador, na data futura, o valor combinado. Caso o vendedor
necessite de dinheiro, poderá ir a um banco e efetuar um desconto da duplicata.
Resumidamente, ocorre o seguinte: a empresa cede ao banco o direito do recebimento da
duplicata em troca de dinheiro recebido antecipadamente. Por exemplo, consideremos
que, numa certa venda, uma empresa emitiu uma duplicata de R$ 5.000,00 para
vencimento dentro de 2 meses. Necessitando de dinheiro, a empresa levou a duplicata a
um banco, que lhe propôs um adiantamento de R$ 4.800,00 em troca da duplicata.
Dizemos neste caso que o banco propôs um desconto de R$ 200,00.
4.1 Desconto Simples
Valor Futuro (FV) ou Valor Nominal (VN) é o valor de uma dívida na data de seu
vencimento.
Valor Presente (PV) ou Valor Atual (VA) é o valor aplicado a juros simples numa
data anterior até a data de vencimento e que proporcione um montante igual ao
valor nominal.
FV = PV + PV . i . n FV = PV(1 + i.n)
4.1.1 Desconto racional simples ou Desconto por dentro (Dd)
Nesta modalidade, o valor do desconto é a diferença entre o Valor Futuro e o Valor
Presente calculado a juros simples, sendo “n” o prazo de vencimento do título e “d” a taxa
de desconto utilizada na operação.
35
Exemplo: Qual o desconto por dentro de um título de R$ 1.500,00, descontado 40 dias
antes do seu vencimento, à taxa de 3% ao mês?
Dd=?
FV=1500
n=40 dias
d=0,03 a.m.
4.1.2 Desconto comercial simples ou Desconto por fora (Df)
Nesta modalidade, o valor do desconto é obtido multiplicando-se o valor futuro (FV)
pela taxa de desconto fornecida pelo banco e pelo prazo a decorrer até o vencimento do
título. O desconto comercial ou desconto por fora é chamado também de Desconto
Bancário.
Valor Futuro (FV): valor escrito no título;
Valor Presente (PV): valor líquido do título antes do vencimento. FV > PV;
Tempo (n);
Taxa de desconto (d)
Exemplo: Uma duplicata de R$ 18.000,00 foi descontada num banco 2 meses antes do
vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 2,5% a.m.. Calcule:
a) O valor do desconto;
b) O valor líquido recebido pela empresa.
36
.
4.1.3 Relação entre taxa de desconto (d) e taxa de juros simples (i)
Supondo que a taxa de desconto d e a taxa de juros simples i estejam na mesma
unidade de tempo e seja n o prazo de vencimento do título (expresso na mesma unidade
de tempo de d e i), temos então:
n = 0
i – d - din = 0
37
Exemplo: Um banco deseja ganhar 30% a.a. de juros simples no desconto de títulos. Que
taxa de descontos deverá praticar para 2 meses de antecipação?
Exercícios:
1) Sabendo-se que para uma operação de desconto comercial 25 dias antes do
vencimento, a taxa praticada foi de 3% ao mês, qual a taxa mensal de juros para o
tomador?
2) Uma duplicata de R$ 180.000,00 é descontada 4 meses antes do seu vencimento.
Considerando uma taxa simples de 60% ao semestre, calcular o valor do desconto nas
modalidades de desconto racional e desconto comercial.
3) Calcular o valor liberado de um título com valor nominal de R$ 120.000,00 e com
vencimento para 180 dias descontado comercialmente a uma taxa simples de desconto
de 40% ao ano.
38
Exercícios Complementares:
1) Uma promissória de $20.000,00 foi descontada num banco três meses antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 1,8% a.m.
a) Qual o desconto comercial? Resposta: $1.080,00b) Qual o valor atual comercial do título? Resposta: $18.920,00c) Qual a taxa efetiva mensal de juros simples da operação? Resposta: 1,9%
a.m.
2) Uma empresa descontou num banco um título de valor nominal igual a $90.000,00, 40 dias antes do vencimento, a uma taxa de desconto bancário de 30% a.a..
a) Qual o desconto bancário? Resposta: $3.000,00
39
b) Qual o valor líquido recebido pela empresa, sabendo-se que o banco cobrou uma taxa de serviço igual a 1% do valor nominal do título? Resposta: $86.100,00
3) Um título governamental com valor de face de $100.000,00 foi adquirido 70 dias antes do vencimento com desconto comercial simples, sendo a taxa igual a 25% a.a..
a) Qual o preço da aquisição? Resposta: $95.138,89b) Qual a taxa efetiva de juros anual proporcionada pela aplicação? Resposta:
26,27% a.a.
4) Descontado racionalmente três meses antes de seu vencimento a uma taxa simples de 20% a.a., um título sofreu um desconto de $15.000,00. Caso o título fosse descontado comercialmente, calcular o valor do desconto. Resposta: $15.750,00
40
5) Um banco deseja ganhar 30% ao ano de juros simples no desconto de títulos. Que taxa de desconto deverá praticar para 2 meses de antecipação? Resposta: 28,57% a.a.
6) Uma empresa descontou uma duplicata de $12.000,00, 45 dias antes do vencimento. Sabendo-se que ela recebeu um valor líquido de $11.720,00, calcule a taxa mensal de desconto comercial da operação. Resposta: 1,56% a.m.
7) Uma duplicata de $8.000,00 foi descontada em um banco, proporcionando um valor descontado (valor líquido) de $7.500,00. Sabendo-se que a taxa de desconto comercial utilizada foi de 2,2% a.m., obtenha o prazo de vencimento deste título. Resposta: 85 dias
41
8) Uma duplicata, cujo prazo até o vencimento era de 90 dias, foi descontado num banco à taxa de desconto comercial de 1,8% a.m.. Calcule o valor de face do título, sabendo-se que a empresa recebeu um valor líquido de $3.500,00 e que o banco cobrou uma taxa de serviço igual a 1% do valor nominal do título. Resposta: $3.739,32
9) Uma empresa descontou num banco uma duplicata de $15.000,00, 67 dias antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto comercial de 3,5% a.m.. Obtenha o valor líquido recebido pela empresa, considerando que esta pagou um imposto na data de operação (imposto sobre operações financeiras) igual a 0,0041% ao dia, aplicado sobre o valor nominal do título. Resposta: $13.786,30
10) Uma duplicata de $55.900 descontada racionalmente 60 dias antes do vencimento teve um desconto de $989. Qual seria o valor do desconto se a duplicata fosse descontada comercialmente? Resposta: $1.006,20
42
11) Sabendo-se que para uma operação de desconto comercial, a 25 dias do vencimento, a taxa praticada foi de 3% ao mês, qual o custo mensal real para o tomador? Resposta: 3,08% a.m.
12) Para pagar uma dívida de $1.055.500,00 uma empresa juntou um cheque de $266.500,00 à importância líquida proveniente do desconto comercial de uma duplicata de $980.000,00, três meses antes do vencimento. Determine a taxa mensal de desconto comercial utilizada. Resposta: 6,5% a.m.
13) Um banco oferece empréstimos pessoais mediante o preenchimento de uma promissória pelo cliente com prazo de vencimento igual ao prazo pedido para pagamento. Em seguida, o banco desconta a promissória a uma taxa de desconto comercial de 4% a.m. e entrega ao cliente o valor líquido. Se uma pessoa precisar hoje de $7.000,00, para pagamento daqui a 3 meses, qual o valor da promissória que ele deverá assinar? Resposta: $7.954,55
43
14) Um banco realiza operações de desconto de duplicatas utilizando uma taxa de desconto comercial de 3% a.m.. Qual a taxa efetiva de juros simples mensal, se os prazos de vencimento forem:
a) um mês; Resposta: 3,09% a.m.b) dois meses: Resposta: 3,19% a.m.c) cinco meses. Resposta: 3,53% a.m.
15) Uma Nota Promissória com valor nominal de $2.500,00, paga em 25 dias antes do seu vencimento, teve uma redução comercial de $50,00. Qual a taxa de desconto empregada? Resposta: 28,8% a.a.
16) Qual o prazo de antecipação do resgate tal que o desconto racional seja igual a três quartos do desconto comercial, considerando-se uma taxa de 40% ao ano em ambos os descontos? Resposta: 10 meses
44
17) Uma empresa, necessitando de capital de giro, decide descontar uma duplicata 2 meses antes do vencimento. Tal operação pode ser feita num banco A ou num banco B. O banco A utiliza uma taxa de desconto comercial de 2,5% a.m. mais uma taxa de serviço igual a 0,8% do valor do título; o banco B utiliza uma taxa de desconto comercial de 3,1% a.m. sem taxa de serviço. Qual banco a empresa deverá escolher? Resposta: Banco A
18) Se um banco deseja ganhar a taxa efetiva mensal de juros simples de 3% a.m. em
operações de desconto de duplicatas, que taxa mensal de desconto comercial deverá
cobrar, se os prazos de vencimento forem:
a)um mês; Resposta: 2,91% a.m.
45
b)três meses. Resposta: 2,75% a.m.
19) A diferença entre o valor atual racional e o valor atual comercial é de $89,17,
sendo o prazo de antecipação de 90 dias e a taxa de 36% ao ano. Qual o valor
nominal do título? Resposta: $12.000,00
20) Para promissórias com prazo de vencimento de 2 meses, qual a taxa mensal de
desconto comercial que proporciona uma taxa efetiva de juros de 6% no período?
Resposta: 2,83% a.m.
21) Se um banco deseja ganhar uma taxa efetiva mensal de juros simples igual a 3%
a.m. em operações de desconto de duplicatas, indique a taxa mensal de desconto
comercial que deverá ser utilizada, se os prazos de vencimento forem:
a)1 mês; Resposta: 2,91% a.m.
46
b)3 meses; Resposta: 2,75% a.m.
c)25 dias. Resposta: 2,93% a.m.
22) Uma determinada loja efetua suas vendas dando ao cliente três meses de prazo
para pagamento. Se o cliente optar pelo pagamento à vista, receberá um desconto de
10% sobre o valor nominal da compra. Qual taxa efetiva de juros no período está
sendo cobrada pela loja? (Nesse tipo de situação, isto é, desconto para pagamento à
vista, a taxa de desconto utilizada é a taxa do período, neste caso, nos três meses).
Resposta: 11,11% a.p.
23) Um desconto de 20% para pagamento à vista, de um produto cujo preço é dado
para pagamento em 4 meses, corresponde a que taxa efetiva de juros no período?
Resposta: 25% a.p.
4.2 Desconto Composto
A idéia de desconto composto guarda analogia com a de desconto simples.
Existem duas modalidades de desconto composto, o racional e o comercial.
47
Contrariamente ao que ocorre no caso do desconto simples aqui o desconto racional é
muito mais usado que o comercial. Por esta razão, vamos nos restringir ao desconto
racional.
Desconto racional ou desconto por dentro é a diferença entre o valor futuro e o
valor presente de um documento financeiro.
Valor Futuro (FV) ou Valor Nominal (VN)
É o valor de face do documento. Para calcularmos o Valor Futuro usaremos a
fórmula do Montante Composto.
onde M = Valor Futuro
C = Valor Presente
i = d (taxa de desconto)
n = período de antecipação
Logo:
Valor Presente (PV) ou Valor Atual (VA)
É o valor do resgate, valor líquido, valor presente de um título resgatado ou
descontado antes do seu vencimento.
4.2.1 Valor do Desconto Composto: DC
É a diferença entre o Valor Futuro e o Valor Presente, cujo compromisso foi
saldado antes do vencimento.
48
4.2.2 Taxa de Desconto Composto (d)
4.2.3 Tempo (n)
4.2.4 Taxas Equivalentes
Dizemos que duas taxas são equivalentes a juros compostos quando, aplicadas
num mesmo capital e durante o mesmo prazo, produzem montantes iguais.
49
Assim, se e forem as taxas e
e o referido prazo expresso na mesma unidade
das respectivas taxas, então deveremos ter:
e, portanto,
Exemplificando: Em juros compostos, qual a taxa anual equivalente a 2% a.m.?
Resolução: Chamamos a taxa procurada e a taxa
conhecida e adotando um prazo padrão de 1 ano teremos então:
Exemplo:
Qual o valor de resgate de um título de R$ 16.504,40 vencível daqui a 9 meses, à taxa
efetiva de desconto racional composto de 46,41% a.a. capitalizável trimestralmente?
Resolução:
50
Exercícios:
1) Em juros compostos, qual a taxa trimestral equivalente a 15% a.a.?
2) Um título de valor nominal de R$ 35.000,00 foi descontado dois meses antes do
vencimento a taxa de desconto composto de 15% a.m. Qual o valor do desconto?
3) O desconto racional composto de um título de R$ 85.000,00 foi de R$ 7.903,00. Sendo
a taxa de desconto de 5% a.m., qual o prazo de antecipação?
51
Exercícios Complementares:
1) Um título de valor nominal de $50.000,00 foi descontado três meses antes do
vencimento à taxa de 5% a.m.. Qual o valor líquido do título pelo desconto racional
composto? Resposta: $43.191,88
2) Na venda de uma Letra de Câmbio (LC), 25 dias antes do resgate, o comprador,
desejando um ganho de 105,30% a.a., oferece $540.000,00 ao credor da letra . Qual o
valor dessa LC? Resposta: $567.658,88
52
3) Na venda de uma Letra de Câmbio, 36 dias antes do resgate, o comprador, desejando
um ganho de 43,30% a.a., ofereceu $30.500,00 ao credor da letra . Qual o valor dessa LC
na data do resgate? Resposta: $31.617,28
4) O valor do desconto racional composto de uma nota promissória que vence em três
anos é de $10.500,00. A taxa de desconto utilizada na operação é de 20% a.a. com
capitalização trimestral. Qual o valor nominal da nota promissória? Resposta: $24.923,08
5) O desconto racional composto de um título cujo valor nominal é de $250.000,00 foi de
$44.518,22. Sendo de 4% a.m. a taxa de desconto cobrada, qual o prazo de antecipação
do resgate? Resposta: 5 meses
53
6) O desconto racional composto de um título de $50.000,00 foi de $12.698,22. Sendo a
taxa de desconto mensal cobrada de 5%, calcule o prazo de antecipação. Resposta: 6
meses
7) O valor nominal de um compromisso é de cinco vezes o desconto racional, caso a
antecipação seja de dez meses. O valor de resgate desse título é de $125.000,00. Qual o
seu valor nominal? Resposta: $156.250,00
54
8) O valor nominal de um compromisso é de seis vezes o desconto racional, caso a
antecipação seja de oito anos. Sendo o valor de resgate do título de $500.000,00,
determine:
a) A taxa de desconto anual. Resposta: 2,31% a.a.
b) O valor nominal. Resposta: $600.000,00
9) Marcelo propõe a um amigo a venda de um título por $120.563,28. Esse amigo diz que
só se interessará pela compra se puder ganhar 20% a.m.. Sendo o valor do título
$250.000,00, qual deve ser o prazo de antecipação? Resposta: 4 meses
55
10) Um banco de investimento deseja realizar um empréstimo para uma determinada
empresa, que deverá liquidá-lo no final do sétimo mês por $1.500.000,00. Qual o valor
que deve ser abatido no ato da contratação se a empresa deseja limitar esse pagamento
final em $1.350.000,00? O banco opera em regime de desconto composto à taxa de 4%
a.m.. Resposta: $113.987,67
11) Uma empresa contraiu um empréstimo no regime de juros compostos, à taxa de 2%
a. m. para ser liquidado em dois pagamentos. A primeira parcela será de $250.000,00 e
deverá ser paga no final do quarto mês. A segunda parcela será de 300.000,00 e deverá
ser paga no final do oitavo mês. Esse empréstimo poderia ser liquidado com um único
pagamento de $593.660,60. Em que prazo deve ser efetuado tal pagamento para que a
taxa de 2% a.m. não se altere? Resposta: 10 meses
56
5 TAXAS DE JUROS
Uma parte bastante complexa dentro da Matemática Financeira refere-se ao
estudo das taxas de juros. Isso porque é muito comum a ocorrência de contratos escritos
onde são usadas apenas taxas “referenciais” em que a capitalização não ocorre na
periodicidade indicada pela taxa.
Vamos, então, conceituar cada tipo de taxa utilizada no dia a dia das operações
financeiras.
5.1 Taxa Efetiva
Uma taxa de juros é efetiva quando coincide com o período de capitalização do
investimento.
Por exemplo: 10% ao mês com capitalização mensal;
1,5% ao dia com capitalização diária.
Tendo em vista a coincidência nas unidades de medida dos tempos das taxas de
juros e dos períodos de capitalização, costuma-se dizer simplesmente: 10% ao mês e
1,5% ao dia.
5.2 Taxas Proporcionais
Duas ou mais taxas são ditas proporcionais quando, ao serem aplicadas sobre o
mesmo capital durante o mesmo período, produzem o mesmo montante no regime de
juros simples. Ao falar nisto, devemos lembrar que uma das características é a linearidade
e, conseqüentemente, a validade da regra de três simples.
Exemplos:
36% ao ano e 3% ao mês;
36% ao ano e 9% ao trimestre;
36% ao ano e 12% ao quadrimestre;
36% ao ano e 18% ao semestre.
As taxas proporcionais podem ser assim relacionadas:
5.3 Taxas Equivalentes
57
Duas ou mais taxas são equivalentes se, quando aplicadas sobre o mesmo capital
durante o mesmo período, produzem o mesmo montante no regime de juros compostos
Assim, se e forem as taxas e
e o referido prazo expresso na mesma unidade
das respectivas taxas, então deveremos ter:
e, portanto,
Exemplificando: Em juros compostos, qual a taxa anual equivalente a 2% a.m.?
Resolução: Chamamos a taxa procurada e a taxa
conhecida e adotando um prazo padrão de 1 ano teremos então:
Podemos calcular a taxa equivalente também através da seguinte expressão:
onde:
é a taxa equivalente;
“i” é a taxa fornecida;
“p” é o período desejado em dias que se refere a taxa procurada (equivalente);
“q” é o período fornecido em dias que se refere a taxa fornecida.
58
Exemplos:
a) Calcule a taxa mensal equivalente a 413% a.a..
No programa da HP-12C, só usaremos as teclas:
(i) Taxa conhecida;
(PV) Período desconhecido;
(FV) Período conhecido.
Então teremos:
i = 413% a.a.
PV = 1 mês
FV = 1 ano = 12 meses
TECLAS VISOR SIGNIFICADO
413 (i) 413,00 Insere a taxa conhecida em i.
12 (FV) 12,00 Insere o período da taxa conhecida em FV.
1 (PV) 1,00 Insere o período da taxa desconhecida em PV.
(R/S) Running Roda o programa.
14,60 Calcula a taxa equivalente ao mês.
b) Determine a taxa diária equivalente a 25% a.t..
i = 25% a.t.
PV = 1 dia
FV = 1 trimestre = 90 dias
TECLAS VISOR SIGNIFICADO
25 (i) 25,00 Insere a taxa conhecida em i.
90 (FV) 90,00 Insere o período da taxa conhecida em FV.
1 (PV) 1,00 Insere o período da taxa desconhecida em PV.
(R/S) Running Roda o programa.
60
0,25 Calcula a taxa equivalente ao dia.
c) Aplicando a fórmula, determine em juros compostos, qual a taxa anual equivalente a
2% a.m.?
ieq = ?
i = 0,02 am
p = 360 dias
q = 30 dias
Obs.: È aconselhável trabalharmos com os períodos em dias, pois é comum , no mercado financeiro, períodos em dias.
5.4 Taxa Nominal
É a taxa de juros em que a unidade referencial de seu tempo não coincide com a
unidade de tempo dos períodos de capitalização. A taxa nominal é sempre fornecida em
termos anuais e os períodos de capitalização podem ser semestrais, quadrimestrais,
trimestrais, bimestrais, mensais ou diários,
Exemplos:
20% ao ano, capitalizados mensalmente;
36% ao ano, capitalizados semestralmente.
A taxa nominal, antes de ser utilizada em qualquer tipo de cálculo, deve ser
“efetivada”, isto é, deve ser calculada sempre a taxa efetiva equivalente à taxa nominal
em questão, através da expressão:
onde:
“iN” é a taxa nominal;
“n” é o número de períodos de capitalização.
61
Exemplo: Qual a taxa efetiva anual , com capitalização mensal, cuja taxa nominal é de 6%
ao ano?
i = ?
iN = 6% a.a. iN = 0,06 a.a.
n = 12 períodos
5.5 Taxa Over
A taxa over é uma taxa nominal expressa ao mês com capitalização diária, porém
válida somente para dias úteis, ou seja, sua capitalização ocorre unicamente em dia de
funcionamento do mercado financeiro.
Exemplo: 3% ao mês, por dia útil
A taxa efetiva correspondente é expressa por:
onde:
“io” é a taxa over;
“n” é o número de dias úteis do mês.
5.6 Taxa Bruta e Taxa Líquida
A taxa bruta de uma aplicação financeira é a taxa de juros obtida considerando o
valor da aplicação e o valor do resgate bruto, sem levar em conta o desconto do imposto
de renda sobre os juros que é retido pela instituição financeira.
62
A taxa líquida de uma aplicação financeira é a taxa de juros obtida considerando o
valor da aplicação e o valor do resgate líquido, levando em conta o desconto do imposto
de renda sobre os juros que é retido pela instituição financeira.
5.7 Taxa aparente e taxa real
A taxa aparente (chamada nominal nas transações financeiras e comerciais) é
aquela que vigora nas operações correntes. A taxa real é aquela calculada depois de
serem expurgados os efeitos inflacionários
As taxas aparente e real relacionam-se da seguinte forma:
onde:
“i” é a taxa aparente;
“ir” é a taxa real;
“I” é a taxa de inflação.
Por exemplo, a taxa real de um empréstimo a uma taxa aparente de 20% a.m.,
considerando uma inflação para o mesmo período de 15%, é:
ir = 0,043478 ir = 4,3478% a.m.
Exercícios Complementares:
1) Calcular os montantes acumulados, no final de 3 anos, a partir de um principal de $ 1.500, no regime de juros simples, com as seguintes taxas de juros: 12% a.a., 6% a.s. e 1% a.m. Resp.: $ 2.040, $ 2.040 e $ 2.040.
63
2) Determinar as taxas semestral, mensal e diária, proporcionais à taxa de 36% a.a.Resp.: 18% a.s., 3% a.m. e 0,10% a.d.
3) Qual a taxa mensal equivalente a 10% a.a.?Resp.: 0,7974% a.m.
4) Um capital foi aplicado a 3% a.m. Qual a taxa semestral que produziria o mesmo efeito?Resp.: 19,4052% a.s.
64
5) Se a taxa de juros é de 2,5% para 28 dias, qual a taxa equivalente para 42 dias?Resp.: 3,7733% a.p.
6) Uma instituição cobra juros de 24% a.a., capitalizados mensalmente. Qual a taxa efetiva implícita? Qual a taxa efetiva anual equivalente?Resp.: 2% a.m., 26,8242% a.a.
7) Qual a taxa mensal equivalente à taxa de 24% a.a., capitalizada trimestralmente?Resp.: 1,9613% a.m.
65
8) Qual a taxa anual, com capitalização trimestral, cuja taxa efetiva é de 20% a.a.?Resp.: 18,65% a.a., capitalizada trimestralmente
9) Uma aplicação de $ 10.000 proporcionou um montante líquido de $ 10.273,26 ao final de três meses. Sabendo-se que a alíquota de IR é de 25% para este tipo de aplicação, qual a taxa bruta mensal que remunerou o investimento? Resp.: 1,20% a.m.
10) Um investidor aplicou $ 25.000 por um período de 180 dias à taxa de 12% a.a. Se o IR incidente é de 20% para este tipo de aplicação, qual a taxa líquida mensal auferida pelo investidor?Resp.: 0,7627% a.m.
66
11) Se a taxa aparente é de 2% a.m. e a inflação no período de 0,85%, qual a taxa real?Resp.: 1,1403% a.m.
12) Se a taxa de inflação é de 0,78% a.m. e no mesmo período a taxa real é de 0,5%, qual a taxa aparente resultante?Resp.: 1,2839% a.m.
13) A taxa aparente é de 1,2% a.m. Se a taxa real embutida é de 0,5% a.m., qual a taxa de inflação?Resp.: 0,6965% a.m.
67
14) Que taxa mensal remunerará um capital que tenha sido aplicado à taxa over de 1,2% a.m., sendo de 21 o número de dias úteis deste?Resp.: 0,8434% a.m.
15) Se a taxa efetiva foi de 0,8098% a.m. para um mês com 22 dias úteis, qual a taxa over considerada?Resp.: 1,1% a.m.
68
6 EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS A JUROS COMPOSTOS
O conceito de equivalência permite transformar formas de pagamentos ou
recebimentos em outras equivalentes e, conseqüentemente, efetuar comparações entre
elas.
Consideremos o seguinte exemplo: um prédio é vendido por R$ 5.000.000,00 à
vista ou então à prazo, em 3 parcelas mensais de R$ 1.700.000,00 cada uma, sem
entrada. Qual a melhor alternativa para o comprador se ele pode aplicar seu dinheiro a
juros compostos à taxa de 2% ao mês e tem fundos suficientes para pagar à vista?
Uma forma de resolver essa questão é a seguinte: se ele pagar a prazo, após um
mês de aplicação ele terá R$ 5.100.000,00. Pagando R$ 1.700.000,00 de prestação,
sobram-lhe R$ 3.400.000,00. Aplicando R$ 3.400.000,00 por mais um mês, ele terá no
final R$ 3.468.000,00; pagando a 2ª prestação, sobram-lhe R$ 1.768.000,00. Aplicando
finalmente R$ 1.768.000,00 por mais um mês, ele terá ao final R$ 1.803.360,00, o que dá
para pagar a última prestação e ainda lhe sobram R$ 103.360,00. Vê-se que é melhor
pagar a prazo.
Problemas dessa natureza podem ser resolvidos desta forma. Contudo, situações
em que o número de prestações seja 36, 48 ou mais, seria muito trabalhoso.
Veremos a seguir formas mais simples de resolver questões desse tipo.
6.1 Equivalência de dois capitais
Consideremos dois capitais, x e y, separados por n períodos de tempo, por
exemplo, o primeiro na data 0 e o segundo na data n. Dizemos que x e y são
equivalentes a uma taxa de juros compostos i, se:
Exemplo: A uma taxa de juros compostos de 2% ao mês, R$ 1.500.000,00, daqui a 3
meses equivalem quanto hoje?
69 0 3
1.500.000 y
Sendo x o capital hoje, temos:
6.2 Valor Presente ou Valor Atual de um Conjunto de Capitais
Considerando os capitais nas datas 0, 1, 2, 3,......,n,
respectivamente. Chamamos Valor Presente (PV) ou valor atual (VA) na data 0 desse
conjunto, a uma taxa de juros i, à soma dos valores equivalentes desses capitais na data
0.
Chamando de PV, o valor presente, teremos:
70
0 3
x
0 1 2.........................................n
...........................................
Exemplo: Uma empresa prevê o pagamento de R$ 200.000,00 daqui a um mês e R$
500.000,00 daqui a três meses. Quanto deverá aplicar hoje, a juros compostos, á taxa de
1,5% ao mês para fazer frente a essas despesas?
RESOLUÇÃO PELA CALCULADORA HP-12C
TECLAS VISOR SIGNIFICADO
0 (g) (CF0) 0,00 Introduz o pagamento no instante 0
200000 (g) (CFj) 200.000,00 Introduz o pagamento no instante 1
0 (g) (CFj) 0,00 Introduz o pagamento no instante 2
500000 (g) (CFj) 500.000,00 Introduz o pagamento no instante 3
1,5 (i) 1,50 Introduz a taxa
(f) (NPV) 675.202,83 Calcula o Valor Presente
6.3 Conjunto de Capitais Equivalentes
Consideremos os conjuntos de capitais:
y0, y1, y2,..........,yn, nas datas 0, 1, 2, 3,.........,n, respectivamente.
71
0 1 2 3
200.000 500.000
y3
y’0, y’1, y’2,..........,y’m, nas datas 0, 1, 2, 3,........,m, respectivamente.
Dizemos que esses conjuntos são equivalentes a uma taxa de juros compostos i,
se seus valores atuais forem iguais.
Assim chamando de PV1 e PV2 os valores atuais desses dois conjuntos, devemos
ter:
PV1 = PV2
Exemplo: Uma loja vende uma geladeira nas seguintes condições: entrada de R$
1.000,00 mais uma parcela de R$ 1.200,00 após um mês. Um cliente propõe pagar uma
entrada de R$ 600,00, mais duas prestações mensais iguais, vencendo a primeira um
mês após a compra. Se a loja opera a uma taxa de juros de 3% a.m. , qual o valor de
cada parcela, de modo que as duas formas de pagamentos sejam equivalentes?
1ª Forma:
2ª Forma:
72
0 1 2.........................................n
...........................................
0 1 2.........................................m
...........................................
0 1
0 1 2
y y
como PV1=PV2;
=
1565,0485=1,91346y
Exercícios Complementares:
1) Uma Nota Promissória, cujo valor nominal é $50.000,00, vence daqui a um mês. O devedor propõe a troca por outra Nota Promissória, a vencer daqui a três meses. Qual deve ser o valor nominal da nova Nota Promissória para que os capitais sejam equivalentes, à taxa de 2% a.m.? Resposta: $52.020,00
2) Uma pessoa tem uma dívida de $60.000,00 para daqui a dois meses e outra de $80.000,00 para daqui a três meses. Quanto deverá aplicar hoje à taxa de juros de 2% a.m. para fazer frente a essas dívidas? Resposta: $133.055,91
3) Resolva o problema anterior, considerando as taxas:a)2,2% a.m. Resposta: $132.388,71b) 1,8% a.m. Resposta: $133.727,93
73
4) Uma empresa prevê pagamentos de $250.000,00 daqui a um, dois e três meses. Quanto deverá aplicar hoje, a taxa de 1,6% a.m., para fazer frente a esses pagamentos? Resposta: $726.624,98
5) Um aparelho de TV é vendido por $1.500,00 ou por 20% de entrada, mais duas parcelas mensais e iguais. Sabendo-se que a taxa de juros vale 6% a.m., qual o valor de cada parcela de modo que as duas formas de pagamento sejam equivalentes? Resposta: $654,52
6) Resolva o problema anterior, supondo que haja três pagamentos mensais, além da entrada. Resposta: $448,93
7) Um aparelho de som é vendido por $3.000,00 à vista ou, então, com uma entrada e mais três parcelas mensais de $800,00 cada uma. Se a loja trabalha com uma taxa de juros compostos de 3,5% a.m., qual o valor da entrada? Resposta: $758,69
74
8) Um terno é vendido em uma loja por $800,00 de entrada mais uma parcela de $400,00, após um mês. Um comprador propõe dar $200,00 de entrada. Nessas condições, qual o valor da parcela mensal, sabendo que a loja opera a uma taxa de juros compostos de 4% a.m.? Resposta: $1.024,00
9) Um aparelho de som é vendido à vista por $3.000,00, podendo também se financiado da seguinte forma:
a) entrada: 30%;b) duas parcelas mensais, sendo a 2ª igual ao dobro da 1ª e vencendo a 1ª dois
meses após a compra.Qual o valor de cada prestação se a loja opera a uma taxa de juros de 4% a.m.?
Resposta: $777,04 e $1.554,09
10) Um conjunto de sofás é vendido à vista por $1.500,00, ou a prazo por três prestações mensais sem entrada, sendo a segunda igual ao dobro da primeira e a terceira o triplo da primeira. Obtenha o valor da segunda prestação, sabendo-se que a loja opera a uma taxa de juros compostos de 5% a.m. Resposta: $559,92
75
11) Carlos pretende vender o seu terreno por $50.000,00 à vista. Entretanto, em face das dificuldades de venda à vista, está disposto a fazer o seguinte plano de pagamento:
a) entrada de $10.000,00;b) $10.000,00 no fim de três meses; c) duas parcelas, sendo a segunda 50% superior à primeira, vencíveis em seis meses e um ano, respectivamente.
Admitindo-se que a taxa de juros do financiamento é de 4% a.m. (juros compostos),
calcule o valor da última parcela. Resposta: $27.017,59
12) Uma determinada loja vende um conjunto de som em três parcelas, sendo $1.500,00 de entrada, $2.000,00 depois de três meses e $3.500,00 depois de seis meses. Considerando-se que a taxa de juros mensal cobrada é de 5% e o regime de capitalização composta e, ainda, que o comprador precisou adiar a terceira parcela por mais dois meses, a entrada deverá ser alterada para que valor? Resposta: $1.742,82
13) Bruno pretende vender seu imóvel por $600.000,00 à vista. Entretanto, em face das dificuldades de venda à vista, está disposto a fazer o seguinte plano de pagamento:
a) entrada de $120.000,00;b) $250.000,00 no fim de seis meses; c) duas parcelas, sendo a segunda 50% superior à primeira, vencíveis em um ano e 15 meses, respectivamente.Admitindo-se que a taxa de juros de mercado é de 6% a.m. (juros compostos), calcule
o valor da última parcela. Resposta: $405.782,03
76
14) Em uma butique do Shopping Praia de Belas, uma senhora é atendida por um vendedor, que afirma: “O preço desse vestido é de $2.100,00, mas a senhora poderá comprá-lo em três parcelas mensais iguais sem acréscimo, sendo a primeira dada como entrada”. Se a taxa de juros cobrada pela butique, nas vendas a prazo, é de 4% a.m., que porcentagem do preço dado pode a loja dar de desconto para pagamento à vista? Resposta: 3,8%
15) Uma empresa deve pagar três títulos. O primeiro de $250.000,00 exigível em três meses; o segundo de $300.000,00 exigível em seis meses e o terceiro de $450.000,00 exigível em nove meses. A empresa pretende substituir esses três títulos por um único de $1.542.683,00. Admitindo-se o regime de juros compostos e uma taxa mensal de 8%, determine o prazo do novo título. Resposta: 12 meses
77
7 RENDAS (ANUIDADES)
Renda é uma série de pagamentos vencíveis ou de capitais disponíveis
(recebimentos) em datas diferentes.
Cada um dos pagamentos ou recebimentos da série se chama termo, prestação
ou simplesmente pagamento ou desembolso da renda.
Os intervalos de tempo entre os vencimentos de dois pagamentos ou recebimentos
consecutivos são chamados períodos da renda.
7.1 Séries Uniformes de Pagamentos e de Recebimentos
Diz-se que uma série é uniforme quando todos os seus termos (pagamentos ou
recebimentos) são iguais e é feito em períodos homogêneos, ou seja, os pagamentos e
recebimentos têm vencimentos, valores e número pré-estabelecidos e a taxa de juros
fixada.
Chama-se Valor Presente ou Valor Atual de uma série uniforme a soma dos
valores presentes de cada um dos pagamentos ou recebimentos, calculados numa data
anterior às datas de disponibilidade dos mesmos com uma taxa de juros fixada.
Chama-se Valor Futuro, Valor Nominal ou Montante de uma série uniforme a
soma dos valores futuros de cada um dos pagamentos ou recebimentos, calculados numa
data posterior às datas de disponibilidade dos mesmos com uma taxa de juros também
fixada.
7.1.1 Classificação das Séries Uniformes
a) Quanto ao prazo:
Temporárias: o prazo de pagamentos ou recebimentos é finito.
Perpétuas: o prazo é infinito.
78
b) Quanto aos valores dos termos:
Uniforme: termos iguais.
Variável: termos distintos.
c) Quanto à periodicidade:
Periódica: períodos iguais.
Não periódica: períodos distintos.
d) Quanto à ocorrência do primeiro termo:
Imediata: Ocorre no primeiro período de pagamento ou recebimento.
Diferida: Ocorre após o primeiro período de pagamento ou
recebimento.
Obs.: As séries imediatas e diferidas classificam-se ainda em postecipadas e
antecipadas:
POSTECIPADAS: Os termos da série ocorrem nos finais dos períodos de
pagamentos ou recebimentos.
ANTECIPADAS: Os termos da série ocorrem nos inícios dos períodos de
pagamentos ou recebimentos.
7.2 Séries Uniformes Imediatas Postecipadas
O Valor Presente (PV) é avaliado um período antes do primeiro pagamento ou
recebimento e o Valor Futuro (FV) é avaliado juntamente com o último pagamento ou
recebimento.
7.2.1 Cálculo do Valor Presente – PV (Postecipado)
79
PV
FV
0 1 2 3 4 5
PV = Valor PresenteFV = Valor FuturoPMT = Valor do pagamento ou recebimentoi = taxa de juros n = número de pagamentos, depósitos ou recebimentos
7.2.2 Cálculo do Valor Futuro – FV (Postecipado)
7.3 Séries Uniformes Imediatas Antecipadas
O Valor Presente (PV) é avaliado juntamente com o primeiro pagamento ou
recebimento e o Valor Futuro (FV) é avaliado um período após o último pagamento ou
recebimento.
7.3.1 Cálculo do Valor Presente – PV (Antecipado)
7.3.2 Cálculo do Valor Futuro – FV (Antecipado)
80
PV
FV
0 1 2 3 4 5
É importante relacionar as fórmulas utilizadas para os cálculos dos Valores
Presentes e dos Valores Futuros das séries imediatas antecipadas e postecipadas com os
momentos em que estas variáveis são avaliadas, o que podemos observar nos diagramas
sobrepostos abaixo.
Exemplos:
a) Uma Concessionária de Automóveis vende um carro em quatro prestações iguais de
de R$ 10.250,00, sendo a primeira dada com entrada. Sabendo que os juros do mercado
são aproximadamente 3% ao mês, qual é o preço do carro à vista?
RESOLUÇÃO PELA CALCULADORA HP-12C
TECLAS VISOR SIGNIFICADO
(g) (7) BEGIN (Início) Informa que se trata de série Antecipada
(f) (REG) 0,00 Limpa todos os dados registrados
(f) (2) 0,00 Introduz 2 casas decimais
81
PV2
FV2
0 1 2 3 4 5
Série Imediata Antecipada
Série Imediata Postecipada
PMT = 10.250,00
Série Antecipada (Entrada)
PV
0 1 2 3
10250 (CHS) (PMT) -10.250,00 Introduz a prestação
3 (i) 3,00 Introduz a taxa
4 (n) 4,00 Introduz o número de prestações
(PV) 39.243,27 Calcula o Valor Presente
Observação importante: Utilizando os dados já armazenados na calculadora é possível
calcular o Valor Presente do carro, utilizando uma operação financeira com prestações
postecipadas, ou seja, sem entrada, da seguinte forma:
TECLAS VISOR SIGNIFICADO
(g) (8) 39.243,27 Informa que se trata de série Postecipada
(PV) 38.100,26 Calcula o Valor Presente
b) Qual é o valor das prestações a serem pagas, sem entrada, na compra de um televisor
de R$ 900,00 (à vista), em cinco parcelas mensais, iguais, sabendo-se que a taxa de
mercado é 2,5% ao mês?
RESOLUÇÃO PELA CALCULADORA HP-12C
TECLAS VISOR SIGNIFICADO
(g) (8) 0,00 Informa que se trata de série Postecipada
(f) (REG) 0,00 Limpa todos os dados registrados
(f) (2) 0,00 Introduz 2 casas decimais
82
0 1 2 3 4 5
Série Postecipada (sem entrada)
PV = 900,00
PMT = ?
900 (CHS) (PV) -900,00 Introduz o Valor Presente
2,5 (i) 2,50 Introduz a taxa
5 (n) 5,00 Introduz o número de prestações
(PMT) 193,72 Calcula o valor das Prestações
Observação importante: Utilizando os dados já armazenados na calculadora é possível
calcular o valor das Prestações, utilizando uma operação financeira com prestações
antecipadas, ou seja, com entrada, da seguinte forma:
TECLAS VISOR SIGNIFICADO
(g) (7) BEGIN (Início) Informa que se trata de série Antecipada
(PMT) 189,00 Calcula o valor das Prestações
c) Calcule o Montante (Valor Futuro) que uma pessoa acumulará se desembolsar 4
parcelas de R$ 4.000,00, mensalmente, sendo a primeira no ato da operação, à taxa de
2,2% ao mês.
RESOLUÇÃO PELA CALCULADORA HP-12C
TECLAS VISOR SIGNIFICADO
(g) (7) BEGIN (início) Informa que se trata de série Antecipada
(f) (REG) 0,00 Limpa todos os dados registrados
(f) (2) 0,00 Introduz 2 casas decimais
4000 (CHS) (PMT) -4.000,00 Introduz o valor dos depósitos
2,2 (i) 2,20 Introduz a taxa
4 (n) 4,00 Introduz o número de depósitos
83
Série Antecipada (com entrada)
FV
0 1 2 3
PMT = R$ 4.000,00
(FV) 16.899,57 Calcula o Valor Futuro (Antecipado)
(g) (8) 16.889,57 Informa que se trata de série Postecipada
(FV) 16.535,79 Calcula o Valor Futuro (Postecipado)
7.4 Séries Uniformes com Parcelas Adicionais
Muitas vezes ocorrem situações de financiamento em que, além da série uniforme
de prestações, existem prestações extras (ou reforços). Nesse caso, o Valor Presente do
conjunto é a soma do Valor Presente da seqüência uniforme com o Valor Presente das
prestações de reforço.
Exemplo:
Um terreno é vendido a prazo em 12 prestações mensais de 5.000 UR cada uma,
postecipadas, mais duas prestações de reforço vencíveis em 6 e 12 meses após a
compra, cada uma de 20.000 UR. Qual o preço à vista, se a taxa de juros do
financiamento for de 3,2% a.m.?
PV = 49.181,02 + 16.555,86 + 13.704,83 PV = 79.441,71 UR
RESOLUÇÃO PELA CALCULADORA HP-12C
TECLAS VISOR SIGNIFICADO
84
5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5
20 20
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
(f) (2) 0,00 Introduz 2 casas decimais
(f) (REG) 0,00 Limpa todos os dados registrados
(g) (8) 0,00 Informa que se trata de série Postecipada
12 (n) 12,00 Introduz o número de prestações
3,2 (i) 3,20 Introduz a taxa
5000 (CHS) (PMT) -5.000,00 Introduz o valor das prestações
(PV) 49.181,02 Calcula o Valor Presente das prestações
(STO) (1) 49.181,02 Armazena na memória 1 o PV das prestações
(f) (FIN) 49.181,02 Limpa todos os registros financeiros
6 (n) 6,00 Introduz o período do primeiro Reforço
3,2 (i) 3,20 Introduz a taxa
20000 (CHS) (FV) -20.000,00 Introduz o valor do primeiro Reforço
(PV) 16.555,86 Calcula o Valor Presente do primeiro Reforço
(STO) (2) 16.555,86 Armazena na memória 2 o PV do 1º Reforço
(f) (FIN) 16.555,86 Limpa todos os registros financeiros
12 (n) 12,00 Introduz o período do segundo Reforço
3,2 (i) 3,20 Introduz a taxa
20000 (CHS) (FV) -20.000,00 Introduz o valor do segundo Reforço
(PV) 13.704,83 Calcula o Valor Presente do segundo Reforço
(RCL) (1) (+) 62885,85 Soma o PV do 2º Reforço com PV das prestações
(RCL) (2) (+) 79.441,71 Calcula o valor Presente de toda operação
Exercícios Complementares:
1) Um bem cujo preço à vista é de $5.000,00 será pago em 10 prestações mensais iguais, consecutivas, postecipadas. Considerando que a taxa de juros a ser cobrada é de 2,5% a.m, calcular o valor das prestações. Resp.: $571,29
85
2) Um automóvel é vendido por $10.000,00 à vista, mas pode ser financiado a prazo em 6 prestações bimestrais iguais e postecipadas. Qual o valor das prestações, se a taxa de juros anunciada é de 3% a.m.? Resp.: $2.039,38
3) Quanto se deve aplicar hoje de forma que se possa receber $2.000,00 no final de cada
um dos próximos 12 meses, considerando uma taxa de juros de 14,4% a.a., capitalizada
mensalmente? Resp.: $22.326,36
4) Depositando-se hoje a quantia de $5.000,00 à taxa de 22% a.a. tem-se recebimentos
anuais e postecipados de $1.320,56. Qual o número de recebimentos? Resp.: 9
recebimentos
5) Uma empresa financia as suas vendas a prazo aplicando juros de 3% a.m. Calcular o
valor da prestação para uma venda de $6.000,00, considerando 2 pagamentos, aos 45 e
aos 90 dias. Resp.: $3.205,52
86
6) A compra de um veículo pode ser feita, a prazo, através de 6 prestações mensais
iguais, consecutivas, antecipadas. O valor das 3 primeiras é de $7.500,00 e das 3
restantes, de $10.000,00. Considerada uma taxa de juros de 2,3% a.m., qual o valor à
vista do veículo? Resp.: $49.394,33
7) Uma pessoa deseja comprar um microcomputador e dispõe de 3 alternativas de
pagamento:
a) à vista, $2.300,00;b) 8 prestações mensais postecipadas de $321,00;c) 6 prestações mensais antecipadas de $412,00.Se a taxa de juros é de 2% a.m, qual o esquema de pagamentos mais favorável para
o comprador? Resp.: à vista
8) Um financiamento de $10.000,00 será pago em 5 prestações mensais postecipadas.
Se as últimas três são de $2.800,00 cada e a taxa de juros aplicada de 3% a.m,
determinar o valor de cada uma das duas primeiras prestações. Resp.: $1.324,58
87
9) Um bem cujo preço à vista é de $5.000,00 pode ser pago, na condição a prazo, em três
prestações mensais, iguais e consecutivas, a primeira a 90 dias da data da compra. Se a
taxa de juros praticada for de 2,5% a.m, qual o valor das prestações? Resp.: $1.839,31
10) Um imóvel pode ser adquirido à vista por $40.000,00. A prazo, através de entrada de
20% do valor à vista, 12 prestações mensais iguais e consecutivas à compra de
$2.000,00 cada e dois reforços, ao final do 6º mês e do 12º mês, respectivamente. Se a
taxa de juros adotada na transação for de 3% a.m, qual o valor de cada reforço? Resp.:
$7.857,28
11) Quanto uma pessoa acumularia ao final de 12 meses, numa conta que remunera
0,9% a.m., se nela efetuasse 6 depósitos mensais imediatos antecipados iguais de
$1.000,00 ? Resp.: $6.533,84
88
12) Uma poupança que paga juros de 1% a.m. foi aberta com um depósito inicial de
$10.000,00. O poupador, nos meses em seguida, efetuou 12 depósitos mensais iguais de
$500,00. Qual o montante à sua disposição imediatamente após a realização do último
depósito? Resp.: $17.609,50
13) Um fundo de renda fixa paga juros nominais de 14,4% a.a., capitalizados
mensalmente. Um investidor fez um depósito inicial de $20.000,00 mais 24 depósitos
mensais iguais e consecutivos, o primeiro 30 dias após o depósito de abertura. Sendo de
$68.063,56 o montante ao final do período, qual o valor dos depósitos mensais? Resp.:
$1.529,64
89
14) Um automóvel cujo valor à vista é de $35.000,00 será pago mediante uma entrada de
10%, 24 prestações mensais de $1.200,00 e 4 parcelas semestrais iguais. Considerando-
se uma taxa de juros de 2% a.m., qual o valor das parcelas semestrais? Resp.: $2.936,05
15) Um empréstimo contratado à taxa de 2,5% a.m. foi liquidado através de 12 prestações
mensais postecipadas de $600,00 cada. Quanto totalizaram os juros pagos no período?
Resp.: $1.045,34
16) Desejando dispor de $10.000,00 dentro de 12 meses, uma pessoa começa hoje a
depositar mensalmente em uma conta que rende 2% a.m. Calcular o valor de cada
depósito antecipado de modo que disponha da quantia ao término do 12º mês? Resp.:
$730,98
90
8 AMORTIZAÇÃO DE EMPRÉSTIMOS
Freqüentemente, nas operações de médio e longo prazo, por razões
metodológicas ou contábeis, as operações de empréstimos são analisadas período por
período, no que diz respeito ao pagamento dos juros e à devolução propriamente dita do
principal ou valor do empréstimo (S0).
Consideremos os instantes de tempo 0, 1, 2, 3,........., n, na unidade expressa pela
taxa de juros (em tudo que segue admitiremos o regime de capitalização composta).
Se os juros produzidos em cada período são pagos no final do mesmo e se
chamarmos de amortização no instante t (indicado por At) à diferença entre Pt e jt,
teremos:
O saldo devedor no instante t é igual ao saldo devedor no instante anterior (t -1),
acrescido dos juros produzidos por ele, menos o pagamento feito no instante t.
Notação:
Assim, existem inúmeras seqüências de amortizações que têm por soma o
principal.
8.1 Sistema de Amortizações Constantes – SAC
Entre as inúmeras maneiras que existem para amortizar o principal, o Sistema de
Amortizações Constante (SAC) é bastante utilizado na prática. Tal sistema consiste em se
fazer com que todas as parcelas de amortização sejam iguais.
91
Prestação
O valor da prestação é dado por:
Percebe-se, assim, que as prestações do SAC constituem uma progressão
aritmética decrescente, cujo primeiro termo a1 é A + S0.i e cuja razão r é – A.i.
Observação:
Para progressão aritmética (Pa) temos:
O gráfico da prestação em função do tempo tem o seguinte aspecto:
Exemplos:
a) Um empréstimo de 800.000 dólares deve ser devolvido em 5 prestações semestrais
pelo SAC à taxa de 4% ao semestre. Construa a planilha de amortização.
n = 5 prestações
92
A A A A
0 1 2 3....................................n Tempo
j j
21
i = 0,04 a. s.
PeríodoSemestral
Saldo devedorSt
AmortizaçãoAt
JurosJt
PrestaçãoPt
0 800.000 0 0 0
1 640.000 160.000 32.000 192.000
2 480.000 160.000 25.600 185.600
3 320.000 160.000 19.200 179.200
4 160.000 160.000 12.800 172.800
5 0 160.000 6.400 166.400
6
7
TOTAL 800.000 96.000 896.000
b) Um empréstimo de 800000 dólares deve ser devolvido pelo SAC em 5 parcelas semestrais de amortização, com 2 semestres de carência, ou seja, a primeira parcela só é devida no 3º semestre. Sabendo-se que não há carência para os juros e que a taxa é de 5% a.s., obtenha a planilha.
n = 5 parcelas
i = 0,05 a. s.
PeríodoSemestral
Saldo devedorSt
AmortizaçãoAt
JurosJt
PrestaçãoPt
0 800.000 0 0 0
1 800.000 0 40.000 40.000
2 800.000 0 40.000 40.000
3 640.000 160.000 40.000 200.000
4 480.000 160.000 32.000 192.000
5 320.000 160.000 24.000 184.000
6 160.000 160.000 16.000 176.000
7 0 160.000 8.000 168.000
8
93
TOTAL 800.000 200.000 1.000.000
8.2 Sistema de Amortização Francês ou Sistema PRICE
No sistema de amortização Francês ou Tabela Price as prestações são iguais e
consecutivas (a partir do instante em que começam a serem pagas as amortizações).
Lembrando que o fator é chamado de fator de Valor Presente (PV) e
que . Como PV = , teremos então que .
Logo:
Por outro lado, se os juros j1, j2, j3,......,jn formam uma seqüência decrescente
(pois o saldo devedor vai diminuindo) as amortizações A1, A2, A3,........,An formam uma
seqüência crescente. Assim o gráfico das prestações em funçã do tempo tem o seguinte
aspecto.
94
Exemplo:
Um empréstimo de 800000 dólares deve ser amortizado pelo sistema Francês em 5
prestações semestrais à taxa de 4% a.s.. Obtenha a planilha de amortização.
PeríodoSemestral
Saldo devedorSt
AmortizaçãoAt
JurosJt
PrestaçãoPt
0 800.000,00 0 0 0
1 652.298,31 147.701,69 32.000,00 179.701,69
2 498.688,55 153.609,76 26.091,93 179.701,69
3 338.934,40 159.754,15 19.947,54 179.701,69
4 172.790,09 166.144,31 13.557,38 179.701,69
5 0 172.790,09 6.911,60 179.701,69
TOTAL 800.000,00 98.508,45 898.508,45
95
J3
J2
J1
A3
Jn
An
A1
A2
Prestação
Tempo 0 1 2 3 n
S0 = U$ 800.000,00
n = 5 prestações
i = 0,04 a.s.
8.2.1 Cálculo do Saldo Devedor no Sistema PRICE
Quando desejamos calcular o saldo devedor num determinado instante, no sistema
Price, o procedimento consiste no seguinte: calculamos o valor atual das prestações a
vencer; com isso eliminamos o valor dos juros contidos nas prestações. Assim esse valor
atual corresponde ao saldo a ser amortizado, ou seja, é o saldo devedor.
Exemplo: Num empréstimo de R$ 100.000.000,00 a ser pago pelo sistema francês, em 40
meses e à taxa de 3 % a.m., qual o saldo devedor no 25º mês?(supor paga a prestação
desse mês).
O saldo devedor no 25º mês é o valor presente da seqüência uniforme das
prestações a vencer (15 prestações).
8.2.2 Sistema Price pela HP-12C:
Vamos resolver utilizando, inicialmente, a já conhecida Série Uniforme de
Pagamentos, calculando o (PMT) postecipado (prestação).
96
25 26 27 28..................................40
15 prestações
S0 = 100.000.000
n = 40 prestações
i = 003 a.m.
Prestações a vencer:
Utilizaremos, ainda, a função (f) (AMORT), que aciona um programa interno da
máquina para apuração dos valores referentes aos juros, amortização do capital e saldo
devedor. Voltemos à planilha do exemplo anterior
PeríodoSemestral
Saldo devedorSt
AmortizaçãoAt
JurosJt
PrestaçãoPt
0 800.000,00 0 0 0
1 652.298,31 147.701,69 32.000,00 179.701,69
2 498.688,55 153.609,76 26.091,93 179.701,69
3 338.934,40 159.754,15 19.947,54 179.701,69
4 172.790,09 166.144,31 13.557,38 179.701,69
5 0 172.790,09 6.911,60 179.701,69
TOTAL 800.000,00 98.508,45 898.508,45
RESOLUÇÃO PELA CALCULADORA HP-12C
TECLAS VISOR SIGNIFICADO
(f) (FIN) (REG) 0,00 Limpa os registros financeiros e o visor.
(g) (8) 0,00 Pagamento postecipado.
800.000 (CHS) (PV) -800.000,00 Valor Presente (saldo devedor no período zero).
4 (i) 4,00 Taxa de juros.
5 (n) 5,00 Número de prestações.
(PMT) 179.701,69 Valor das prestações.
1 (n) (f) (AMORT) 32.000,00 Valor dos juros no primeiro período.
(x><y) 147.701,69 Valor da amortização do capital no primeiro período.
(RCL) (PV) -652..298,31 Saldo devedor no primeiro período.
1 (n) (f) (AMORT) 26.091,93 Valor dos juros no segundo período.
(x><y) 153.609,76 Valor da amortização do capital no segundo período.
(RCL) (PV) -498.688,55 Saldo devedor no segundo período.
1 (n) (f) (AMORT) 19.947,54 Valor dos juros no terceiro período.
97
(x><y) 159.754,15 Valor da amortização do capital no terceiro período.
(RCL) (PV) -338.934,40 Saldo devedor no terceiro período.
1 (n) (f) (AMORT) 13.557,38 Valor dos juros no quarto período.
(x><y) 166.144,31 Valor da amortização do capital no quarto período.
(RCL) (PV) 172.790,09 Saldo devedor no quarto período.
1 (n) (f) (AMORT) 6.911.60 Valor dos juros no quinto período.
(x><y) 172.790,09 Valor da amortização do capital no quinto período.
(RCL) (PV) 0,00 Saldo devedor no quinto período.
Observação: Quando pressionamos 1 (f) (AMORT), a calculadora busca o valor dos
juros do próximo período. No entanto, se pressionarmos 2 (f) (AMORT), o resultado será
o valor dos juros acumulados nos dois próximos períodos. Se em seguida, pressionarmos
a tecla (x><y), obteremos o valor amortizado nos dois períodos, enquanto que as teclas
(RCL) (PV) nos fornecem o saldo devedor no final do período considerado. Esse
procedimento pode ser feito para qualquer número de prestações. Desta forma fica mais
fácil trabalhar com prazos alongados.
Exemplo:
Em um financiamento de R$ 38.000,00 a ser pago em 60 meses, com taxa de 3% a.m.,
apurar o saldo devedor após o pagamento da 30ª parcela.
TECLAS VISOR SIGNIFICADO
(f) (FIN) (REG) 0,00 Limpa os registros financeiros e o visor.
(g) (8) 0,00 Pagamento postecipado.
38.000 (CHS) (PV) -38.000,00 Valor Presente (saldo devedor no período zero).
3 (i) 3,00 Taxa de juros.
60 (n) 60,00 Número de prestações.
(PMT) 1.373,05 Valor das prestações.
30 (n) (f) (AMORT) 30.104,08 Valor dos juros acumulados nas prestações de 1 a 30.
(x><y) 11.087,42 Valor da amortização pelas 30 primeiras parcelas.
98
(RCL) (PV) -26.912,58 Saldo devedor após o pagamento da 30ª parcela.
8.3 Sistema de Amortização Americano - SAA
Através desse sistema, o pagamento do principal é feito de uma só vez, no final do
período do empréstimo. Em geral, os juros são pagos periodicamente; entretanto, podem
eventualmente ser capitalizados e pagos de uma só vez, junto com o principal (tudo
depende do acordo entre as partes interessadas).
Exemplo: Por um empréstimo de 800.000 dólares, um cliente se propõe a devolver o
principal daqui a dois anos, pagando semestralmente somente os juros à taxa de 4% a.s..
Obtenha a planilha.
PeríodoSemestral
Saldo devedorSt
AmortizaçãoAt
JurosJt
PrestaçãoPt
0 800.000,00 0 0 0
1 800.000,00 0 32.000,00 32.000,00
2 800.000,00 0 32.000,00 32.000,00
3 800.000,00 0 32.000,00 32.000,00
4 0 800.000,00 32.000,00 832.000,00
TOTAL 800.000,00 128.000,00 928.000,00
Exercícios Complementares:
1) Um banco libera para uma empresa um crédito de 120.000 UR para ser devolvido pelo
SAC em 6 parcelas trimestrais. Sendo a taxa de juros de 5% a.t., obtenha a planilha.
Período.........................
Saldo devedorSt
AmortizaçãoAt
JurosJt
PrestaçãoPt
99
0123456
TOTAL
2) Resolva o problema anterior, supondo que haja 2 trimestres de carência somente para
as amortizações.
Período......................
Saldo devedorSt
AmortizaçãoAt
JurosJt
PrestaçãoPt
012345678
TOTAL
3) Um banco libera um crédito para uma empresa no valor de $50.000.000,00. Esse
empréstimo deve ser devolvido pelo SAC em 40 parcelas mensais, só que os valores têm
de ser convertidos numa unidade de referência tal que seu valor na data de liberação do
crédito seja $2.500,00. Obtenha os 4 primeiros meses da planilha (em UR), considerando
uma taxa de 1% a.m..
Período.......................
Saldo devedorSt
AmortizaçãoAt
JurosJt
PrestaçãoPt
012
100
34
4) Um empréstimo de 250.000 dólares deve ser devolvido pelo SAC em 50 prestações
mensais, sendo 2% a.m. a taxa de juros cobrada. Pede-se:
a) o valor da primeira prestação; Resposta: U$10.000
b) o valor da segunda prestação; Resposta: U$9.900
c) o valor da 37ª prestação. Resposta: U$6.400
5) Um empréstimo de 40.000 UR deve ser devolvido pelo SAC com 40 prestações
mensais. Sabendo-se que a taxa de juros é de 2% a.m., obtenha a amortização, juros,
prestação e saldo devedor correspondentes ao 21º mês.
Resposta: a) A21 = 1.000 UR
b) j21 = 400 UR
c) P21 = 1.400 UR
d) S21 = 19.000 UR
6) Resolva o problema anterior no 35º mês.
Resposta: a) A35 = 1.000 UR
b) j35 = 120 UR
c) P35 = 1.120 UR
d) S35 = 5.000 UR
101
7) Um imóvel é vendido por 43.700 UR, sendo 20% de entrada e o restante financiado
pelo SAC em 100 meses com 1,5% a.m. de taxa de juros. Calcule o valor da primeira e
última parcela. Resposta: 874 UR e 354,84 UR
8) Um empréstimo no valor de $2.000.000,00 é concedido à taxa de juros compostos de
10% a.a. para ser reembolsado em 5 anos por meio de prestações anuais, sendo a
primeira vencível ao final do primeiro ano, pelo sistema SAC. A respeito, pede-se indicar o
valor da amortização contido na prestação paga ao final do 3° ano. Resposta: $400.000
9) Um banco libera um crédito de 60.000 UR para uma empresa, para pagamento pelo
Sistema Price em 20 trimestres, sendo a taxa de 6% a.t.. Obtenha a planilha até o 3°
trimestre.
Período........................
Saldo devedorSt
AmortizaçãoAt
JurosJt
PrestaçãoPt
0123
102
10) Se no problema anterior houvesse, somente para as amortizações, uma carência de 2
trimestres, como seria a planilha até o 5° trimestre?
PeríodoTrimestral
Saldo devedorSt
AmortizaçãoAt
JurosJt
PrestaçãoPt
11) Pedro Henrique adquiriu uma fazenda de $3.000.000,00 dando 30% de entrada e
financiando o restante em 180 meses pelo sistema francês (Price), à taxa de 1% a.m.. Na
ocasião da compra, uma UR correspondia a $1.050,00. Obtenha a planilha em UR até o
4° mês.
Período.........................
Saldo devedorSt
AmortizaçãoAt
JurosJt
PrestaçãoPt
01234
12) No problema anterior, se Pedro Henrique quisesse quitar a dívida após ter pago a 51ª
prestação, qual o valor adicional a ser desembolsado? Resposta: 1.735,59 UR
13) Ana Paula recebeu um financiamento a 5.000 UR para compra de uma casa, sendo
adotado o Sistema Price à taxa de 1,5% a.m. para pagamento em 180 meses. Qual o
estado da dívida no 64° mês?
Respostas: a) A64 =14,11 UR b) j64 =66,41 UR c) P64 =80,52 UR d) S64 =4.413,55 UR
103
14) Um consultório médico foi financiado pelo “Plano Piloto” do Governo do Estado do RS,
em 18 prestações mensais, pela Tabela Price, a juros de 3% a.m., sendo de $200.000,00
seu preço à vista.
a) calcule o valor da prestação mensal;
b) calcule o valor da parcela de juros referente à 1ª prestação;
c) calcule o valor da parcela de amortização referente à 1ª prestação;
d) calcule o valor da parcela de juros e amortização referentes à 2ª prestação;
e) calcule o saldo devedor existente no final do 8° mês;
f) calcule o valor da parcela de juros correspondente à 10ª prestação;
g) calcule o valor da parcela de amortização correspondente à 14ª prestação.
a) $14.541,74 e) $ 124.043,99
b) $6.000,00 f) $3.396,71
c) 8.541,74 g) $12.543,83
d) $5.743,75 e $8.797,99
104
Respostas:
15) Um banco financia a importância de $400.000,00 entregue no ato do financiamento,
com um prazo de carência de 2 anos. Sabendo-se que o banco utiliza o sistema francês,
que a taxa de juros é 10% a.a., que a devolução deve ser feita em 4 prestações anuais e
que durante o prazo de carência os juros serão capitalizados e incorporados ao capital,
construa a planilha ou plano de amortização. A partir da planilha, resolva a questão: se o
devedor resolvesse liquidar a dívida imediatamente após o pagamento de 2 prestações,
deveria pagar quanto? Resposta: $264.995,47
Período......................
Saldo devedorSt
AmortizaçãoAt
JurosJt
PrestaçãoPt
0123456
TOTAL
16) Carlos comprou um carro, financiando 600 UR, com amortização pelo Sistema Price,
para o pagamento em 24 prestações iguais a um juro de 3% a.m.. Após pagar 12
prestações resolveu liquidar a dívida. Pergunta-se:
a) Quanto Carlos pagou na 12ª prestação? Resposta: $35,43 UR
b) Qual foi a parcela de juros pagos na 12ª prestação? Resposta: $11,30 UR
c) Qual a parcela de amortização paga na 12ª prestação? Resposta: $24,13 UR
d) Quanto Carlos pagou para liquidar a dívida? Resposta: $352,67 UR
105
17) Um valor de U$ 1.500.000,00 é financiado à taxa de 10% a.a., para ser amortizado
pelo sistema americano, com 3 anos de carência. Sabendo-se que os juros são pagos
anualmente, construir a planilha.
Período......................
Saldo devedorSt
AmortizaçãoAt
JurosJt
PrestaçãoPt
01234567
TOTAL
18) Um Banco financia R$ 100.000,00 que deverão ser amortizados pelo SAA
através de uma única parcela ao final do 3º ano. Os juros são pagos
semestralmente à taxa de 14,0175%. Elaborar a planilha.
Período......................
Saldo devedorSt
AmortizaçãoAt
JurosJt
PrestaçãoPt
0123456
TOTAL
106
9 ANÁLISE DE INVESTIMENTO
O valor de um investimento é baseado em sua capacidade de gerar fluxos de caixa
futuros, ou seja, na capacidade de gerar renda econômica. Assim sendo, as alternativas
de investimentos podem ser comparadas somente se as conseqüências monetárias forem
medidas em um ponto comum no tempo e, como as operações de investimento ou
financiamento têm como característica um espaçamento dos fluxos de caixa ao longo do
tempo, os critérios de avaliação econômica devem considerar a atualização ou desconto
dos fluxos. Entre os métodos que descontam fluxos de caixa, dois são os mais
conhecidos e utilizados: o do Valor Presente Líquido (NPV) e o da taxa Interna de Retorno
(IRR).
9.1 Análise do Fluxo de Caixa
O fluxo de caixa de um investimento, empréstimo ou financiamento, ou mesmo de
uma empresa, é o nome dado ao conjunto das entradas e saídas de dinheiro ao longo do
tempo.
A Matemática Financeira, portanto, nos permite comparar fluxos de caixa distintos
para identificarmos a melhor alternativa de empréstimo, investimento ou financiamento.
Ao fazermos uma pesquisa de preços, por exemplo, para aquisição de um produto,
encontramos diversas alternativas de pagamento nos vários estabelecimentos
pesquisados:
somente à vista;
sem entrada + 2, + 3, + 4, + 5, + 6;
com entrada + 1, + 2, + 3, + 4, + 5;
com entrada para daqui a 60 dias e restante em + 4 prestações e assim por diante.
107
Qual a melhor opção?
Somente poderemos afirmar a opção mais adequada de compra, se analisarmos
cada fluxo de caixa, transformando as propostas em seu valor equivalente à vista.
Passaremos a trabalhar com fluxo de caixa contendo diversas entradas e saídas de
dinheiro. Para isso, basta que saibamos capitalizar e descapitalizar. Relembrando:
Capitalizar: A partir do Valor Presente (PV) obter o Valor Futuro (FV).
Descapitalizar: A partir do Valor Futuro (FV) obter o Valor Presente (PV).
Exemplo:
Considere que você tomou um empréstimo de R$ 1.000,00, no dia 10 de janeiro
para pagar após 6 meses, ou seja, no dia 10 de julho, de uma só vez, à taxa de 5% a.m.
(capitalizados mensalmente):
a) Encontre o valor a ser pago no vencimento (10/07);
b) Caso você deseja liquidar antecipadamente a dívida, em 10 de abril, que valor
deverá ser pago?
Resolução:
108
n)i1(
FVPV
PV (conhecido)
0 1 2...................n Períodos
FV (desconhecido)
FV (conhecido)
0 1 2...................n Períodos
PV (desconhecido)n)i1(PVFV
FV = ?
0 1 2 3 4 5 6 Períodos 10/01 10/02 10/03 10/04 10/05 10/06 10/07
PV = 1.000,00
i = 5% a.m.
a)
Note que se trata de capitalização.
b) Há duas formas de se encontrar o valor FV’ da dívida em 10 de abril:
capitalizando PV por 3 meses, isto é, de janeiro a abril ou;
descapitalizando o FV encontrado no item (a) por 3 meses, isto é, voltando de julho
para abril.
1º) Capitalizando:
2º) Descapitalizando:
9.2 Valor Presente Líquido (NPV)
O Valor Presente Líquido é a soma das entradas e saídas, descapitalizadas, uma a
uma, até o momento zero. Na HP-12C vem indicada pela sigla NPV.
Sejam:
109
0 1 2 3 4 5 6 Períodos
FV = 1.340,10
PV = 1.000,00 i = 5% a.m.
FV’ = ? PV’=?
PV = investimento inicial (momento “zero”)
PMTj = fluxos subseqüentes ao momento “zero” (j = 1, 2, 3,..........,n)
Fluxos:
a) Fluxo com uma saída (PV) e várias entradas ( ,
b) Fluxo com várias saídas (PV, PMT2 ,......., ) e várias entradas (PMT1,......,
Exemplos:
110
2PMT PV
1PMT
nPMT
i = taxa de desconto
0 1 2............................. n-1....................n Períodos
1nPMT
0 1 2..................................n Períodos
1PMT
2PMT
nPMT
PV
i = taxa de desconto
a) Francisco emprestou hoje R$ 100.000,00 a um amigo que lhe prometeu pagar R$
60.000,00 daqui a um mês e R$ 75.000,00 daqui a dois meses. Sabendo que a taxa de
descapitalização/desconto é de 20% a.m., calcule o valor presente líquido.
Para o emprestador (Francisco), trata-se de um fluxo de caixa constituído de uma
saída (100.000,00) e de duas entradas (60.000,00 e 75.000,00) para a data 0 (zero), a
uma taxa de 20% a.m..
Lembre-se que:
No gráfico temos:
111
0
- 100.000,00
1PMT2PMT
+75.0000
+60.000
0 1 2
i = 20% a.m.
PV
-100.000
+ 52.083,33
+ 50.000,00
O somatório dos valores presentes nos dá o valor presente líquido, ou seja:
O fluxo de caixa final apresenta-se:
Façamos o mesmo exemplo a calculadora HP-12C:
Verifique a existência das teclas azuis (CF0) e (CFj). (CF0) representa o valor do
fluxo de caixa no período zero (-100.000,00), (CFj) representa o fluxo de caixa num
período diferente de zero, quando o j assume os valores de 1 a 20.
TECLAS VISOR SIGNIFICADO
(f) (REG) 0,00 Limpa todos os registros
100000 (CHS) (g) (CF0) -100.000,00 Introduz a saída do período 0 (CF0)
60000 (g) (CFj) 60.000,00 Introduz a entrada do período 1 (CF1)
112
NPV
+ 2.083,33
0
-100.000
0 1 2
+75.0000
+60.000
i = 20% a.m.
75000 (g) (CFj) 75.000,00 Introduz a entrada do período 2 (CF2)
20 (i) 20,00 Introduz a taxa de desconto
(f) (NPV) 2.083,33 Calcula o Valor Presente Líquido (NPV)
b) Calcule, utilizando a HP-12C, o Valor Presente Líquido (NPV) do diagrama abaixo,
considerando i = 10% a.m..
TECLAS VISOR SIGNIFICADO
(f) (REG) 0,00 Limpa todos os registros
30 (CHS) (g) (CF0) -30,00 Introduz a saída do período 0 (CF0)
10 (g) (CFj) 10,00 Introduz a entrada do período 1 (CF1)
15 (g) (CFj) 15,00 Introduz a entrada do período 2 (CF2)
10 (CHS) (g) (CFj) -10,00 Introduz a saída do período 3 (CF3)
15 (g) (CFj) 15,00 Introduz a entrada do período 4 (CF4)
10 (i) 10,00 Introduz a taxa de desconto
(f) (NPV) -5,78 Calcula o Valor Presente Líquido (NPV)
c) Calcular o Valor Presente Líquido (NPV) do fluxo de caixa a seguir, para uma taxa de
juros de 3% a.m..
113
0 1 2 3 4
15 15
10
- 10
- 30
- 2000
1000 1000 1000
3000
0 1 2 3 4 mês
Observe que no diagrama acima aparecem três entradas iguais e consecutivas
(CF1, CF2 e CF3). Neste caso, já que o valor de CFj ocorre mais de uma vez, digita-se (g)
(Nj) para informar o número de vezes que ele ocorreu. A capacidade máxima da HP-12C
é de 99 linhas de programação, ou seja, podemos utilizar, no máximo 99 vezes a
repetição de CFj, digitando-se 99 (g) (Nj)
TECLAS VISOR SIGNIFICADO
(f) (REG) 0,00 Limpa todos os registros
2000 (CHS) (g) (CF0) -2.000,00 Introduz a saída do período 0 (CF0)
1000 (g) (CFj) 1.000,00 Introduz a entrada do período 1 (CF1)
3 (g) (Nj) 3,00 Número de vezes que a entrada de 1.000,00
se repete, isto é, para os períodos 1, 2, e 3
3000 (g) (CFj) 3.000,00 Introduz a entrada do período 4 (CF4)
3 (i) 3,00 Introduz a taxa de desconto
(f) (NPV) 3.494,07 Calcula o Valor Presente Líquido (NPV)
9.3 Taxa Interna de Retorno (IRR)
Taxa Interna de Retorno (IRR) é a taxa que torna nulo o Valor Presente Líquido
(NPV) de um fluxo de caixa.
Exemplos:
1) Suponhamos o seguinte fluxo de caixa:
114
Calcule os NPVs para as seguintes taxas de juros:
a) i = 10% a.a.
TECLAS VISOR SIGNIFICADO
(f) (REG) 0,00 Limpa todos os registros
4500 (CHS) (g) (CF0) -4.500,00 Insere a saída do período 0 (CF0)
1000 (g) (CFj) 1.000,00 Insere a entrada do período 1 (CF1)
2000 (g) (CFj) 2.000,00 Insere a entrada do período 2 (CF2)
3000 (g) (CFj) 3.000,00 Insere a entrada do período 3 (CF3)
10 (i) 10,00 Insere a taxa de juros
(f) (NPV) 315,93 Calcula o Valor Presente Líquido (NPV)
b) i = 15% a.a.
TECLAS VISOR SIGNIFICADO
15 (i) 15,00 Insere a taxa de juros
(f) (NPV) -145,60 Calcula o Valor Presente Líquido (NPV)
115
0 1 2 3 anos
3000
2000
1000
- 4500
Será que existe uma taxa entre 10% e 15% que torne o Valor Presente Líquido
(NPV) igual a zero?
Sim. Basta que você pressione as teclas (f) (IRR) e aparecerá no visor o número
13,34. Este número é a taxa que torna o NPV igual a zero, ou seja, é a Taxa Interna de
Retorno (IRR).
Observações:
a) A Taxa Interna de Retorno (IRR) é também chamada de Taxa Efetiva de
Rentabilidade e vem indicada pela sigla IRR (Internal Rate of Return).
b) Devemos lembrar sempre que o dinheiro tem seu valor no tempo. Veja os fluxos
abaixo:
116
- 850 - 850
0 1 2 3 4 anos 0 1 2 3 4 anos
400 400
300 300
200
100
200
100
Empresa A Empresa B
NPV = -145,60
0 1 2 3 anos 0 1 2 3 anos
NPV = 315,93
i = 10% a.a. i = 15% a.a.
Observando os fluxos de caixa acima, qual seria a empresa mais rentável? Esta informação
podemos obter, calculando a Taxa Interna de Retorno (IRR) de cada uma delas.
Empresa A Empresa B
(f) (REG) (f) (REG)
850 (CHS) (g) (CF0) 850 (CHS) (g) (CF0)
100 (g) (CFj) 400 (g) (CFj)
200 (g) (CFj) 300 (g) (CFj)
300 (g) (CFj) 200 (g) (CFj)
400 (g) (CFj) 100 (g) (CFj)
(f) (IRR) 5,62% a.a. (f) (IRR) 8,65% a.a.
Analisando a Tabela percebemos que a Empresa B apresentou maior
rentabilidade. A diferença do fluxo da Empresa A para o fluxo da Empresa B está na
ordem dos recebimentos. Como a Empresa B recebe valores maiores primeiro, sua
rentabilidade é maior, comprovando que o dinheiro tem seu valor no tempo.
2) Paulo aplicou R$ 50.000,00 para resgatar duas parcelas: R$ 30.000,00 em um mês e
R$ 40.000,00 em três meses. Determine a taxa efetiva de rentabilidade deste
investimento.
117
0 1 2 3 meses
- 50000
30000
40000
Devemos observar que no segundo mês o fluxo de caixa tem valor 0 (zero).
TECLAS VISOR SIGNIFICADO
(f) (REG) 0,00 Limpa todos os registros
50000 (CHS) (g) (CF0) -50.000,00 Insere a saída do período 0 (CF0)
30000 (g) (CFj) 30.000,00 Insere a entrada do período 1 (CF1)
0 (g) (CFj) 0,00 Insere a entrada do período 2 (CF2)
40000 (g) (CFj) 40.000,00 Insere a entrada do período 3 (CF3)
(f) (IRR) 17,72 Calcula a Taxa Interna de Retorno (IRR) – Taxa
de rentabilidade mensal
A Taxa Interna de Retorno (IRR) está armazenada em i. Se pressionarmos (f)
(NPV) aparecerá no visor um número aproximadamente igual a zero. Isto era de se
esperar, pois IRR é a taxa que torna NPV igual a zero.
3) Bruno fez um investimento com quatro meses de duração, conforme o fluxo de caixa
abaixo:
a) Calcule o Valor Presente Líquido para uma taxa de 15% a.m.;
118
1200
0 1 2 3 4 meses
- 2000
1080
720
TECLAS VISOR SIGNIFICADO
(f) (REG) 0,00 Limpa todos os registros
2000 (CHS) (g) (CF0) -2.000,00 Insere a saída do período 0 (CF0)
720 (g) (CFj) 720,00 Insere a entrada do período 1 (CF1)
1080 (g) (CFj) 1.080,00 Insere a entrada do período 2 (CF2)
0 (g) (CFj) 0,00 Insere a entrada do período 3 (CF3)
1200 (g) (CFj) 1.200,00 Insere a entrada do período 4 (CF4)
15 (i) 15,00 Insere a taxa de juros
(f) (NPV) 128,83 Calcula o Valor Presente Líquido (NPV)
b) Calcule a Taxa Interna de Retorno.
TECLAS VISOR SIGNIFICADO
(f) (IRR) 18,12 Calcula a Taxa Interna de Retorno (IRR)
Conclusão Importante:
Um negócio ou investimento torna-se viável, do ponto de vista financeiro, quando
sua Taxa Interna de Retorno (IRR) for maior que a Taxa Média de Atratividade (TMA). A
Taxa Média de Atratividade é a média das taxas de retorno de um conjunto de
investimentos alternativos que está sendo analisado. As aplicações financeiras existentes
no mercado, como: Poupança, RDB/CDB e Fundos de Renda Fixa podem fazer parte de
tal conjunto.
9.4 Equivalência de Fluxos de Caixa
Dois ou mais fluxos de caixa são equivalentes, se existir uma taxa única (IRR) tal
que torne seus Valores Presentes Líquidos iguais.
Exemplo:
Considere os fluxos abaixo, ambos sujeitos à taxa de 2% a.m.:
119
Façamos o cálculo do Valor Presente Líquido para cada fluxo:
Fluxo I Fluxo II
(f) (REG) (f) (REG)0 (g) (CF0) 0 (g) (CF0)0 (g) (CFj) 262,62 (g) (CFj)5 (g) (Nj) 4 (g) (Nj)1126,16 (g) (CFj) 2 (i) 2 (i)
(f) (NPV) 1.000,00 (f) (NPV) 1.000,00
Observação: É importante destacar que a equivalência de fluxos de caixa depende
da taxa de juros. Assim, se dois fluxos são equivalentes a uma certa taxa, essa
equivalência deixará de existir se a taxa for alterada.
Conclusão: Os dois fluxos de caixa são equivalentes, à taxa de juros de 2% a.m.,
tendo em vista que os seus valores líquidos são iguais.
Exercícios Complementares:
1) Um empréstimo de R$ 1.500,00 será liquidado em 3 prestações mensais e sucessivas
de R$ 300,00, R$ 700,00 e R$ 900,00. Considerando-se a taxa de juros de 7% a.m.,
calcular o Valor Presente Líquido (NPV) da operação. Resposta: 126,45
120
262,62
0 1 2 3 4 5 6
i = 2%
0 1 2 3 4 5 6
1.126,16
i = 2%
2) Calcule o Valor Presente Líquido (NPV) do fluxo de caixa abaixo, considerando-se a
taxa de juros de 4,5% a.m. Resposta: 8.496,12
3) Um automóvel é financiado em 15 prestações mensais, iguais e sucessivas de R$
1080,00, sendo a primeira após 30 dias. A cada 5 meses a partir da efetivação do
negócio, é pago um reforço de R$ 220,00, R$ 320,00 e R$ 420,00, respectivamente.
Calcular o valor financiado (NPV), sabendo-se que a taxa cobrada pela financeira é de
12% a.m.. Resposta: 7.660,33
121
2000 1000 1000 1000 1000 1000
0 1 2 3 4 5 6 meses
3000
4) O estudo de viabilidade econômica de um projeto apresentou os seguintes fluxos de caixa (R$
mil):
ANO RECEBIMENTOS ANUAIS PAGAMENTOS ANUAIS0 0,00 2.000,001 500,00 200,002 900,00 500,003 1.300,00 350,004 2.500,00 700,005 3.700,00 1.900,00
TOTAL 8.900,00 5.650,00
Qual a rentabilidade (Taxa Interna de Retorno – IRR) anual desse projeto? Resposta:
30,28% a.a.
5) Verifique se os fluxos de caixa A e B, da tabela a seguir, são equivalentes para a taxa
de 5% a.m., no regime de juros compostos: Resposta: Sim
MÊS FLUXO A FLUXO B0 2.177,26 0,001 0,00 0,002 175,00 391,763 175,00 0,004 175,00 431,925 175,00 0,006 175,00 0,007 175,00 3.253,96
TOTAL 3.227,26 4.077,64
122
6) Determine as Taxas Internas de Retorno (IRR) dos fluxos de caixa indicados na tabela
a seguir: Respostas: IRR(A)=19,42% a.m. – IRR(B)=5,92% a.m. – IRR(C)=19,71% a.m.
MÊS FLUXO A FLUXO B FLUXO C0 -700,00 -3.050,00 -20.000,001 0,00 100,00 5.000,002 0,00 300,00 6.000,003 0,00 495,00 7.000,004 0,00 495,00 8.000,005 1.700,00 2.505,00 9.000,00
TOTAL 1.000,00 845,00 15.000,00
7) Uma pessoa aplicou R$ 500.000,00 e recebeu R$ 200.000,00 após 1 mês, R$
250.000,00 após 2 meses e 300.000,00 após 3 meses. Qual a Taxa Interna de Retorno
desse investimento? Resposta: 21,65% a.m.
8) Aplicando R$ 120.000,00 uma pessoa recebe R$ 40.000,00 após 3 meses, R$
60.000,00 após 5 meses e R$ 90.000,00 após 7 meses.
a) Qual a Taxa Interna de Retorno desse investimento? Resposta: 8,85% a.m.
123
b) Supondo que a Taxa Média de Atratividade do investidor seja 6% a.m., verifique
se ele deve ser feito. Resposta: Sim
9) Considere o projeto abaixo, em que os dados estão em milhares de dólares:
a) Qual a Taxa Interna de Retorno do projeto? Resposta: 6,97% a.a.
b) Verificar se ele deve se aceito, considerando uma Taxa Média de Atratividade de 6% a.a.. Resposta: Sim
c) Verificar se ele deve se aceito, considerando uma Taxa Média de Atratividade de 10% a.a.. Resposta: Não
124
0 1 2 3 4 5 anos
100 150 200 100 50
- 500
10) Considere o projeto abaixo em que os dados estão em milhares de dólares:
a) Qual a Taxa Interna de Retorno do projeto? Resposta: 10% a.a.
b) Verifique se ele deve ser aceito, se a Taxa Média de Atratividade for de 6% a.a.
Resposta: Sim
11) Qual a Taxa Interna de Retorno do investimento abaixo? Resposta: 0,35% a.d.
125
0 1 2 3 4 anos
50 50 50 550
- 500
0 45 70 87 195 dias
3000 5.000 2.000 8000
- 12.000