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7/23/2019 Apostila Probabilidades.pdf

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Prof. Jorge Matos Teoria das Probabilidades IFRS-Cmpus Farroupilha

Maro de 2014

INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAO,CINCIA E TECNOLOGIA DO RIO GRANDE DO SUL

CMPUS FARROUPILHA


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Curso: Engenharia

Disciplina: Probabilidade e Estatstica

Prof. Jorge Matos Teoria das Probabilidades IFRS-Cmpus Farroupilha 2

TEORIA DAS PROBABILIDADES

Sumrio1 Anlise Combinatria ................................................................................................................... 3

1.1 Fatorial de um Nmero ......................................................................................................... 3

1.2 Princpio Fundamental da Contagem .................................................................................... 31.3 Arranjos ................................................................................................................................. 3

1.3.1 Arranjos Simples ............................................................................................................ 31.3.2 Arranjos com Repetio ................................................................................................. 3

1.4 Permutaes .......................................................................................................................... 41.4.1 Permutaes Simples...................................................................................................... 4

1.4.2 Permutaes com Repetio........................................................................................... 41.5 Combinaes ......................................................................................................................... 4

2 Probabilidade ................................................................................................................................ 52.1 Objetivo ................................................................................................................................. 5

2.2 Introduo .............................................................................................................................. 52.3 Modelos ................................................................................................................................. 5

2.3.1 Modelo Determinstico ................................................................................................... 5

2.3.2 Modelo No-determinstico ou Probabilstico ............................................................... 52.4 Definies .............................................................................................................................. 5

2.4.1 Fenmeno aleatrio ou experimento aleatrio ............................................................... 52.4.2 Espao Amostral ............................................................................................................ 62.4.3 Evento............................................................................................................................. 62.4.3.1 Combinao de Eventos .............................................................................................. 62.4.3.2 Eventos Complementares ............................................................................................ 72.4.3.3 Eventos mutuamente exclusivos ou mutuamente excludentes .................................... 8

2.5 Conceitos de Probabilidade ................................................................................................... 9

2.5.1 Teoria Clssica ou Teoria de Laplace ............................................................................ 92.5.2 Teoria Frequencista ........................................................................................................ 92.5.3 Definio Axiomtica de Probabilidade ...................................................................... 10

2.6 Probabilidade Condicional .................................................................................................. 112.7 Teorema do Produto ............................................................................................................ 112.8 Independncia Estatstica .................................................................................................... 122.9 Teorema da Probabilidade Total ......................................................................................... 122.10 Teorema de Bayes ............................................................................................................. 132.11 Varivel Aleatria ............................................................................................................. 14

2.12 Distribuies de Probabilidades ........................................................................................ 152.12.1 Distribuio de Bernoulli ........................................................................................... 15

2.12.2 Distribuio Binomial ................................................................................................ 162.12.3 Distribuio Hipergeomtrica .................................................................................... 172.12.4 Distribuio Geomtrica ............................................................................................ 182.12.5 Distribuio de Poisson .............................................................................................. 192.12.6 Distribuio Uniforme ................................................................................................ 20

2.12.7 Distribuio Exponencial ........................................................................................... 202.12.8 Distribuio Normal ................................................................................................... 22

Exerccios .................................................................................................................................. 24BIBLIOGRAFIA ........................................................................................................................... 26


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1 Anlise CombinatriaA Anlise Combinatria um conjunto de procedimentos que possibilita a construo,

sob certas circunstncias, de grupos diferentes formados por um nmero finito de elementos deum conjunto.

Na maior parte das vezes, tomaremos conjuntosZcom nelementos e os grupos formados

com elementos deZtero kelementos, isto , kser a taxa do agrupamento, com k 2. Se n forigual a zero ou um, define-se: 0! = 1 e 1! = 1Exemplo: 7! = 7 6 5 4 3 2 1 = 5040

1.2 Princpio Fundamental da ContagemSe determinado acontecimento ocorre em netapas diferentes, e se a primeira etapa pode

ocorrer de k1maneiras diferentes, a segunda de k2maneiras diferentes, e assim sucessivamente,ento o nmero total Tde maneiras de ocorrer o acontecimento dado por:

T = k1.k2.k3. ... .kn

1.3 ArranjosSo agrupamentos formados com k elementos, de forma que os k elementos sejam

distintos entre si pela ordemou pela espcie. Os arranjos podem ser simples ou com repetio.

1.3.1 Arranjos SimplesNo arranjo simples no ocorre repetio de qualquer elemento em cada grupo de k

elementos. Considerando um conjunto com nelementos, chama-se arranjo simples de taxa ktodo agrupamento de kelementos distintos dispostos numa certa ordem. Dois arranjos diferementre si, pela ordem de colocao dos elementos. Veja um exemplo abaixo:

Conjunto Z Z = {A, B, C} n = 3N de elementos dos Grupos k = 2 Taxa de 2 elementosGrupos de Arranjo Simples {AB, AC, BA, BC, CA, CB} An, k

Frmula de Clculo An, k=n!/(n-k)! A3,2= 3!/(3-2)! = 6

Exemplo:

Quantas chapas para Presidente da Repblica (Presidente e Vice-Presidente) podemos obter com os candidatos Lula,Jobim, Rigoto e FHC.Soluo:

A4,2 = 4!/(4-2)!=(4.3.2.1)/2 =12 chapas distintas com os trs candidatos.

1.3.2 Arranjos com RepetioNo arranjo com repetiotodos os elementos podem aparecer repetidos em cada grupo

de kelementos. Veja o exemplo abaixo:Conjunto Z Z = {A, B, C} n = 3

N de elementos dos Grupos k = 2 Taxa de 2 elementosArranjos com Repetio {AA, AB, AC, BA, BB, BC, CA, CB, CC} An

(k)

Frmula de Clculo An = n A3 = 3 = 9

Exemplo:

Quantas placas de trs letras e quatro algarismos podemos obter utilizando 26 letras e 10 algarismos.nmero total de placas =A26(3).A10(4) = 263.104= 175760000 placas
http://www.numaboa.com.br/criptologia/matematica/combinatoria.php#contagem#contagemhttp://www.numaboa.com.br/criptologia/matematica/combinatoria.php#permuta#permutahttp://www.numaboa.com.br/criptologia/matematica/combinatoria.php#arranja#arranjahttp://www.numaboa.com.br/criptologia/matematica/combinatoria.php#combina#combinahttp://www.numaboa.com.br/criptologia/matematica/combinatoria.php#combina#combinahttp://www.numaboa.com.br/criptologia/matematica/combinatoria.php#arranja#arranjahttp://www.numaboa.com.br/criptologia/matematica/combinatoria.php#permuta#permutahttp://www.numaboa.com.br/criptologia/matematica/combinatoria.php#contagem#contagem


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1.4 PermutaesSo agrupamentos com nelementos, de forma que os nelementos sejam distintos entre

si pela ordem. As permutaes podem ser simples, com repetio ou circulares.

1.4.1 Permutaes SimplesPermutao simples de nelementos distintos so os agrupamentos formados com todos

os nelementos e que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos. Veja o exemplo aseguir:

Conjunto Z Z = {A, B, C} n = 3Grupos de Permutao

Simples{ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA} Pn

Frmula de Clculo Pn= n! P3= 3! = 6

Exemplo:

Calcular o nmero de anagramas da palavra tranco.Soluo: Anagrama qualquer palavra, com significado ou no, que pode ser formada com as letras da palavra dada. Para esse clculo, basta determinarmos o total de permutaes das 6 letras, t, r, a, n, c, o.P6 = 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720 arranjos distintos da palavra tranco

1.4.2 Permutaes com RepetioSe entre os n elementos de um conjunto existem a elementos repetidos, b elementos

repetidos, celementos repetidos e assim sucessivamente, o nmero total de permutaes quepodemos formar dado por:

Conjunto Z Z = {B, A, B, A} n = 4Repetio de elementos B = 2, A = 2 a = 2, b = 2

Permutao com Repetio {BABA, BAAB, BBAA, AABB, ABAB, ABBA} Pn(a,b,c,...)

Frmula de Clculo Pna, ,c,... = n! / (a!b!c!...) P4

, = 4! / (2!.2!) = 6

Exemplo:Quantos so os anagramas da palavra estatstica?Soluo: J sabemos que um anagrama corresponde a uma permutao das letras da palavra.estatstica- 11 letras 2s, 2a, 2i, 3tP4

(2, 2, 2, 3)= 11! / (2!.2!2!.3!) = 831600 arranjos distintos da palavra estatstica.

1.5 CombinaesSo agrupamentos de kelementos, de forma que os kelementos sejam distintos entre si

apenas pela espcie. A posio dos elementos no importa e no os distingue.Combinaes simples de nelementos distintos tomados ka kso subconjuntos formados

por k elementos distintos escolhidos entre os n elementos dados. Duas combinaes sodiferentes quando possuem elementos distintos, no importando a ordem em que os elementosso colocados.

Conjunto Z Z = {A, B, C} n = 3

N de elementos dos Grupos k = 2 Taxa de 2 elementosGrupos de Combinao Simples {AB, AC, BC} Cn,kFrmula de Clculo Cn, k= n! / [k!(n-k)!] C3,2= 3! / 2!(3-2)! = 3

O nmero acima tambm conhecido como nmero binomial. O nmero binomial indicado por:

)!!.(

!nk

knk

n

Exemplo:

Quantas comisses de 3 elementos podemos formar com um grupo de 8 pessoas?Soluo:Temos 8 pessoas e devemos escolher 3 pessoas, onde importa apenas a natureza , pois se mudarmos aordem das pessoas dentro de uma comisso, esta comisso continua a mesma. Assim a quantidade de comisses dada por:C8,3 = 8!/[3!.(8-3)!] = 56 comisses com trs elementos distintos.


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2 Probabilidade

2.1 ObjetivoDefinir um modelo matemtico probabilstico que seja conveniente descrio e

interpretao de fenmenos aleatrios.

2.2 IntroduoAo jogarmos uma moeda para o ar, de um modo geral, no podemos afirmar se vai saircara ou coroa, da mesma forma, quando lanamos um dado no sabemos quais das faces 1, 2, 3,4, 5, ou 6 ficar voltada para cima. H vrios exemplos de tais situaes nos campos daengenharia, da computao, da administrao e dos negcios em geral. A previso da aceitaode um produto novo, o clculo dos custos de produo, a opinio pblica sobre determinadoassunto, a contratao de um novo empregado, o desempenho de um candidato a umdeterminado cargo eletivotudo isso contm algum elemento do acaso, ou de incerteza, quanto ocorrncia ou no de um evento futuro. Em muitos casos, pode ser impossvel afirmar comantecipao o que ocorrer; mas possvel dizer o que pode ocorrer. O ponto central em todasessas situaes a possibilidade de se quantificar o quo provvel a ocorrncia de

determinado evento.2.3 Modelos

Conforme Jerzi Neymann (18941981), matemtico e estatstico russo, toda a vez que seemprega a matemtica com a finalidade de se estudar algum fenmeno deve-se comear pelaconstruo de um modelo matemtico. Este modelo pode ser: determinstico ou ento

probabilstico.

2.3.1 Modelo DeterminsticoNeste modelo as condies sob as quais o experimento executado, determinam o

resultado do experimento. Analisando-se, por exemplo, a lei de Ohm V=R.I, se R e I foremconhecidos, ento Vestar determinado.

2.3.2 Modelo No-determinstico ou Probabilstico um modelo em que de antemo no possvel explicitar ou definir um resultado

particular. Este modelo especificado atravs de uma distribuio de probabilidades. utilizadoquando se tem um grande nmero de variveis influenciando o resultado e estas variveis no

podem ser controladas. Tomemos, por exemplo, o lanamento de um dado onde se tenta prever onmero da face que ir sair; a retirada de uma carta de um baralho onde se deseja prever o naipeque sair, etc. O modelo estocstico caracterizado como um modelo probabilstico que dependeou varia com o tempo.

2.4 Definies

2.4.1 Fenmeno aleatrio ou experimento aleatrio

aquele fenmeno onde o processo de experimentao est sujeito a influncias defatores casuais e conduz a resultados incertos. o fenmeno que mesmo repetido vrias vezessob condies semelhantes, apresenta resultados imprevisveis. O resultado final do experimentodepende do acaso.

Exemplos:

E1: Joga-se uma moeda cinco vezes e observa-se o nmero de coroas obtidas;E2: Lana-se um dado e observa-se o nmero mostrado na face superior;E3: Retira-se uma carta de um baralho e observa-se seu naipe.E4: Uma lmpada nova ligada e observa-se o tempo decorrido at queimar.

Caractersticas dos experimentos aleatriosa) Cada experimento poder ser repetido um grande nmero de vezes sob as mesmas

condies;b) No podemos afirmar que resultado particular ocorrer, porm, podemos descrever o

conjunto de todos os possveis resultados do experimento, ou seja, as possibilidades de resultado;


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c) Quando o experimento repetido um grande nmero de vezes, surgir umaregularidade nos resultados. Esta regularidade, chamada de regularidade estatstica, que torna

possvel construir um modelo matemtico preciso com o qual se analisar o experimento.

2.4.2 Espao Amostral o conjunto de todos os possveis resultados de um experimento aleatrio. Assim, o

espao amostral representa o universo de todos os possveis eventos.Exemplos:Definir os espaos amostrais com base nos seguintes experimentos:a- Lanar uma moeda e observar a face voltada para cima.Os dois resultados possveis so: cara e coroa: S = {Cara, Coroa}.

b-Jogar um dado e observar o nmero da face superior.Os seis resultados possveis so: 1, 2, 3, 4, 5 e 6: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

c- Jogar duas moedas e observar as faces voltadas para cima.Os quatro resultados possveis so: cara e cara, cara e coroa, coroa e cara, coroa e coroa

S = {kk, kc, ck , cc}.

d- Altura de homens adultos.De uma forma genrica poderamos definir indivduo adulto como tendo mais de 1,40m de

altura:

S = {Altura > 1,40m}

e- Observar o nmero de meninos em famlias de 5 filhos.Cada famlia pode ter no mnimo 0 e no mximo 5 meninos: S = {0, 1, 2, 3, 4, 5}

f) Uma moeda e um dado so lanados. D o espao amostral correspondente.S = {.............................................................. }

2.4.3 EventoDado um espao amostral S, associado a um experimento Equalquer, definimos como

evento, qualquer subconjunto desse espao amostral.Exemplo:Considerando o experimento:

E:lanamento de um dado.alguns possveis eventos associados a esse experimento seriam os seguintes:

A:Sair o nmero 3;B: Sair um nmero menor ou igual a 6;C: Sair um nmero mpar;D: Sair um nmero maior do que 4;E: Sair um nmero maior do que 6.

2.4.3.1 Combinao de EventosSeja o Experimento Aleatrio: lanamento de um dado no viciado e observao da facevoltada para cima: o seu espao amostral ser S= {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Definindo trs eventos: A={1, 2, 4, 6},B={3, 4, 5, 6} e C={1, 3} sero apresentadas as combinaes de eventos:

- Evento unio ou reunio deAcomB ouA somaBou (AB): evento que ocorre seAouBou ambos ocorrem. Composto por todos os resultados que pertencem a um ou ao outro, ou aambos.

AB= {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Figura 1:Diagrama de Venn para o evento unio.

BBAA


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- Evento interseo de Acom B ou Aproduto Bou (AB): evento que ocorre se Ae Bocorrem simultaneamente. Composto por todos os resultados que pertencem a ambos.

AB= {4, 6}

Figura 2:Diagrama de Venn para o evento interseo.

- Evento diferena de AeB ouA menosB ou (A-B): a diferena entre o eventoAe B.Composto pelos resultados que pertencem aA e no pertencem aB.

A-B= {1, 2}

Figura 3:Diagrama de Venn para o evento diferena.

2.4.3.2 Eventos ComplementaresSabemos que um evento pode ocorrer ou no ocorrer. Sendo S o espao amostral, o

complementar deArepresentado porAc o evento que ocorrer, se e somente seAno ocorrer,ou seja, o conjunto dos resultados que no esto em A. De um modo geral, se p a

probabilidade de ocorrncia de um evento A, ento 1-p a probabilidade de no-ocorrnciadaquele evento.

Ac= {3, 5} P(Ac)=1-P(A)

Figura 4:Diagrama de Venn para o evento complementar.

Obs.: Numa distribuio de probabilidades o somatrio das probabilidades atribudas a cada evento elementar igual a 1, onde:p1+ p2+ p3+ ... + pn= 1.

Exemplos:

1- Sabemos que a probabilidade de sair n 4 no lanamento de um dado p = 1/6. logo, aprobabilidade de no tirar o n 4 no lanamento de um dado: q = 1 - p ou q = 1 - 1/6 = 5/6.

2- Calcular a probabilidade de um piloto de automveis vencer uma dada corrida, onde as suas"chances", segundo os especialistas, so de "3 para 2". Calcule tambm a probabilidade dele

perder:Obs.: O termo "3 para 2" significa que: de cada 5 corridas ele ganha 3 e perde 2. Ento p= 3/5 (ganhar) e q= 2/5(perder).

4- Seja S= {a, b, c, d} . Consideremos a seguinte distribuio de probabilidades: P(a)= 1/8 ;P(b)= 1/8 ;P(c)= 1/4 eP(d)= x . Calcule o valor de x . Resp.: x=1/2

5- As chances de um time de futebol Gganhar o campeonato que est disputando so de "5 para2". Determinar a probabilidade de Gganhar e a probabilidade de Gperder.

6- Trs cavalos C1, C2e C3disputam um preo, onde s se premiar o vencedor. Um conhecedordos 3 cavalos afirma que as "chances" de C1vencer so o dobro das de C2, e que C2tem o triplodas "chances" de C3. Calcule as probabilidades de cada cavalo vencer o preo. Resp.: C1=3/5,C2=3/10 e C3=1/10

BBAA

AA BB

AA AAcc


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7- Quando lanamos dois dados, o resultado obtido em um deles independe do resultado obtidono outro. Ento qual seria a probabilidade de obtermos, simultaneamente, o n 4 no primeirodado e o n 3 no segundo dado?Soluo:

SendoP1a probabilidade de ocorrncia do primeiro evento eP2 a probabilidade de ocorrncia do segundo

evento, a probabilidade de que tais eventos se realizem simultaneamente dada pela frmula:)2().1()21()21( PPePP P1 = P(4 dado1) = 1/6 P2= P(3 dado2) = 1/6P total=P(4 dado1) xP(3 dado2) = 1/6 x 1/6 = 1/36

2.4.3.3 Eventos mutuamente exclusivos ou mutuamente excludentesDois ou mais eventos so mutuamente exclusivos ou excludentes quando a realizao de

um exclui a realizao do(s) outro(s).Assim, no lanamento de uma moeda, o evento "tirar cara" e o evento "tirar coroa" so

eventos mutuamente exclusivos ou excludentes, j que, ao se realizar um deles, o outro no serealiza, isto AB=0.

Figura 5:Diagrama de Venn para eventos mutuamente excludentes.

Se dois eventos so mutuamente exclusivos, a probabilidade de que um ou outro serealize igual soma das probabilidades de que cada um deles se realize:

)2()1()2ou1()21( PPPP

Exemplo1:

No lanamento de um dado qual a probabilidade de se tirar o n 3 ou o n 4 ?

Como os dois eventos so mutuamente exclusivos ento: P= 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3Obs.: Na probabilidade da unio de dois eventos A e B, quando h elementos comuns, devemos excluir as

probabilidades dos elementos comuns aAeB(elementos de BA ) para no serem computadas duas vezes.

Assim:P( BA ) =P(A)+P(B)-P( BA )

Exemplo2:

Retirando-se uma carta de um baralho de 52 cartas, qual a probabilidade da carta retiradaser umASou uma carta de COPAS?

P(ASCopas) =P(AS) +P(Copas) -P(ASCopas)= 4/52 + 13/52 - 1/52 = 16/52

Exemplo3:

Dois dados so lanados. Define-se os eventos: A = soma dos pontos obtidos igual a 9, eB = o ponto do primeiro dado maior ou igual a 4. Determine os eventos A e B e ainda oseventos:AB,ABe A

AA BB


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2.5 Conceitos de ProbabilidadeA maior ou menor possibilidade de ocorrncia de um evento medida por um nmero

que est compreendido entre zero e um ( 10 P ), ou entre zero e cem por cento( %100%0 P ), chamado probabilidade.

2.5.1 Teoria Clssica ou Teoria de LaplaceSe o espao de resultados S constitudo por um nmero finito de n elementos

resultando, assim em n acontecimentos elementares, todos eles igualmente possveis ouprovveis, define-se Probabilidade de um acontecimentoAe representa-se porP(A) como sendoa razo entre o nmero de resultados favorveis a Ae o nmero de resultados possveis.

Chamamos de probabilidade de um evento A (sendo que A est contido no espaoamostral S) o nmero realP(A), tal que:

possveiscasosdenmero

favorveiscasosdenmeroAP

)(

Crtica definio clssica

(i)A definio clssica dbia, j que a ide ia de igualmente provvel a mesma de comprobabilidade igual, isto , a definio circular, porque est definindo essencialmente a

probabilidade com seus prprios termos.(ii)A definio no pode ser aplicada quando o espao amostral infinito.

2.5.2 Teoria FrequencistaSuponha que um experimento repetido nvezes, e sejaAeBdois eventos associados ao

experimento. Sejam nA e nB o nmero de vezes que o evento A e o evento Bocorram nas nrepeties. A frequncia relativa do eventoA, representada por frA, definida como:

repetiesdetotalnmero

Adesocorrnciadenmero

n

nAfrA

Propriedades:(i) 10 Afr

(ii) 1Afr , se, e somente se,Aocorrer em todas as nrepeties;

(iii) 0Afr , se, e somente se,Anunca ocorrer nas nrepeties;

(iv) SeAeBforem eventos mutuamente excludentes, e seBAfr for a freqncia relativa

associada ao evento A B ento:

BABA frfrfr

Definio

SejaEum experimento e Aum evento de um espao amostral associado S. SuponhamosqueE repetido n vezes e sejafrAa frequncia relativa do evento. Ento a probabilidade de A definida como sendo o limite defrAquando n tende ao infinito. Ou seja:

Afr

nAPlim)(

doE repetivezes quenmero de

A ocorrevezes quenmero de

n

nAAP )(

Deve-se notar que a frequncia relativa do evento A uma aproximao da probabilidadedeA. As duas se igualam apenas no limite. Em geral, para um valor de n, razoavelmente grandeafrA uma boa aproximao deP(A).Obs.: Para construir ou utilizar modelos probabilsticos necessrio que haja um grande nmero de realizaes do

fenmeno (experimento) para que uma regularidade possa ser verificada: a Lei dos Grandes Nmeros. No incio

do sculo XX o estatstico ingls Karl Pearson lanou uma moeda no viciada 24000 vezes (!) para verificar avalidade dessa lei: obteve 12 012 faces, dando uma proporo de 0,5005 (praticamente o valor esperado de 12000,

50%).


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Crtica Teoria Frequencista

Esta definio, embora til na prtica, apresenta dificuldades matemticas, pois o limitepode no existir. Em virtude dos problemas apresentados pela definio clssica e pela definiofrequencista, foi desenvolvida uma teoria moderna.

2.5.3 Definio Axiomtica de ProbabilidadeA matemtica toda passou por um processo de axiomatizao a partir da segunda metade

do sculo XIX e a definio de Kolmogoroff faz parte deste processo. Kolmogoroff afirmou quea teoria das probabilidades poderia ser desenvolvida a partir de axiomas, da mesma forma que ageometria e a lgebra. Nestes axiomas ficam estabelecidos os entes matemticos a seremestudados e as relaes entre eles. Toda a teoria construda a partir destes axiomas,independentemente de qualquer interpretao dos mesmos ou de suas consequncias.

Kolmogoroff colocou como axiomas as propriedades comuns das noes deprobabilidade clssica e frequentista, que desta forma viraram casos particulares da definioaxiomtica. bvio que podero existir outras interpretaes da definio axiomtica semrelao com as ideias ou os problemas que a originaram.

Dado um espao amostralS

, a probabilidade de um eventoA

ocorrer, representado porP(A), uma funo definida em que, associa a cada evento um nmero real, satisfazendo osseguintes axiomas:

(i) para todo eventoApertencente ao espao amostral S vale que 0 ( ) 1P A ;(ii) ( ) 1P S ;(iii) SeApertence a S,Bpertence a SeAeB forem mutuamente exclusivos ( 0A B ),

ento ( ) ( ) ( )P A B P A P B .Obs.: A probabilidade de um eventoA, denotada porP(A), indica a chance de ocorrncia do evento A. Quanto mais

prxima de 1P(A), maior a chance de ocorrncia do evento A, e quanto mais prxima de zero, menor a chancede ocorrncia do eventoA.

Principais Teoremas

a) Se denota o conjunto vazio, ento: ( ) 0P ;b) SeAc o evento complementar deA, ento:P(Ac) = 1 P(A) ;c)P(B - A) = P(B) P(BA);d) SeA eBso dois eventos quaisquer, ento: ( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B .Obs.: Quando todos os elementos do espao amostral tem a mesma chance de acontecer, o espao amostral chamado de conjunto equiprovvel.

Exemplos:

1- No lanamento de uma moeda qual a probabilidade de obter cara em um eventoA?S = {k, c} = 2 A= {k} = 1 P(A)= 1/2 = 0,5 = 50%

2- No lanamento de um dado qual a probabilidade de se obter um nmero par em um eventoA?

S= {1, 2, 3, 4, 5, 6} A= {2, 4, 6} P(A)= 3/6 = 0,5 = 50%3- No lanamento de um dado qual a probabilidade de obter um nmero menor ou igual a 6 emum eventoA?S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = 6 A= {1, 2, 3, 4, 5, 6} = 6 P(A)= 6/6 = 1,0 = 100%Obs.: a probabilidade do evento certo = 1,00 ou 100%

4- No lanamento de um dado qual a probabilidade de se obter um nmero maior que 6 em umeventoA?S= {1, 2, 3, 4, 5, 6} A= { } P(A)= 0/6 = 0,00 = 0%Obs.: probabilidade do evento impossvel = 0,00 ou 0%.

Exerccios:

1- Qual a probabilidade de sair um nmero maior do que 5 quando jogamos um dado?


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2- Qual a probabilidade de sair uma cara e uma coroa quando jogamos duas moedas?

3- Qual a probabilidade de sair o AS de ouros quando retiramos 1 carta de um baralho de 52cartas?

4- Qual a probabilidade de sair o umREIquando retiramos 1 carta de um baralho de 52 cartas ?

5- Qual a probabilidade de sair uma cara quando jogamos duas moedas?

2.6 Probabilidade CondicionalSuponha que se queira extrair duas peas ao acaso de um lote que contm 100 peas das

quais 80 peas so boas e 20 defeituosas, de acordo com os critrios (a) com reposio e (b) semreposio. Definem-se os seguintes eventos:

A={A primeira pea defeituosa} eB={A segunda pea defeituosa}.Ento, se a extrao for comreposio P(A)= P(B) = 20 / 100 = 1 / 5 = 20%, porque

existem 20 peas defeituosas num total de 100.Agora, se a extrao for semreposio tem-se ainda que P(A) = 20 / 100= 20%, mas o

mesmo no verdadeiro para P(B). Neste caso, necessrio conhecer a composio do lote nomomento da extrao da segunda pea, isto , preciso saber se a primeira pea retirada foidefeituosa ou no. Ento, precisamos saber se A ocorreu, o que mostra a necessidade deconhecermos o conceito de probabilidade condicional.

Se A e Bso dois eventos: a probabilidade de Aocorrer, depois de Bter acontecido definida por: P(A/B), ou seja, chamada probabilidade condicional de A depois de B terocorrido. Neste caso os eventos so dependentese definidos pela frmula:

)(

)()/(

BP

BAPBAP

, para 0)( BP

)(

)()/(

AP

BAPABP

, para 0)( AP

Obs. Se a ocorrncia ou no deBno afetar a probabilidade da ocorrncia deA, entoP(A/B)=P(A). Neste caso,AeB so independentes.

Exemplo:

Duas cartas so retiradas de um baralho sem haver reposio. Qual a probabilidade deambas serem COPAS?

52/13)1( CopasP a

51/12)2( CopasP a 51/351/1252/13)1/2()1()2e1( a xCopasCopasxPCopasPCopasCopasP aaaa =0,0588

Obs.: No exemplo anterior se a 1 carta retirada voltasse ao baralho o experimento seria do tipo com reposio eseria um evento independente. O resultado seria:

625,052/1352/13)2()1( xCopasxPCopasP aa

Espao amostral do baralho de 52 cartas:

S = { A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K ()

A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K ()

A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K ()

A 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K () }


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2.7 Teorema do ProdutoDas expresses da probabilidade condicional mostradas acima resulta a regra do produto,

que se refere ao clculo da probabilidade do evento interseo.A probabilidade da ocorrncia simultnea de dois eventos, A e B, do mesmo espao

amostral igual ao produto da probabilidade de um deles pela probabilidade condicional do

outro, dado o primeiro.

)(

)()/(

BP

BAPBAP

)/().()( BAPBPBAP

)(

)()/(

AP

BAPABP

)/().()( ABPAPBAP

2.8 Independncia EstatsticaUm eventoA considerado independente de um outro evento Bse a probabilidade de A

ocorrer igual probabilidade condicional deAdado queB tenha ocorrido.)/()( BAPAP

evidente que, seA independente deB,B independente deA, assim:

)/()( ABPBP Considerando o teorema do produto, pode-se afirmar que: se A e B so independentes,

ento:)().()( BPAPBAP

Exemplo:Em um lote de 12 peas, 4 so defeituosas, 2 peas so retiradas uma aps a outra com

reposio. Qual a probabilidade de que ambas sejam boas?A={a 1 pea boa}B={a 2 pea boa}Observem que A e B so independentes, pois )/()( ABPBP , logo:

9/412/812/8)().()( xBPAPBAP Exemplo:

Trs componentes C1, C2, e C3, de um mecanismo so postos em srie (em linha reta). Suponha que essescomponentes sejam dispostos em ordem aleatria. Seja Ao evento {C2est direita de C1}, e sejaBo evento {C3est direita de C1}. Os eventosAeBso independentes? Por qu?

Soluo:

Para queAeBsejam independentes deve-se ter:P(AB) = P(A).P(B).

O espao amostral para este caso :S= {C1C2C3, C1C3C2, C2C1C3, C2C3C1, C3C1C2, C3C2C1}

As sequncias em que C2 est direita de C1 so:A= {C1C2C3, C1C3C2, C3C1C2}. Logo: P(A) = 3/6 = 50%

As sequncias em que C3 est direita de C1 so:B= {C1C2C3, C1C3C2, C2C1C3}.Logo: P(B) = 3/6 = 50%As sequncias em que C2 est direita de C1 e C3 est tambm direita de C1 so:

AB= {C1C2C3, C1C3C2}. Logo,P(AB) = 2/6 = 1/3 = 33,33% P(A).P(B) = 0,5.0,5 = 0,25 = 25%

Portanto os eventosAeBno so independentes.

2.9 Teorema da Probabilidade TotalA partio de um conjunto uma coleo de eventos tal que a sua unio igual ao

conjunto original, e que a interseo de quaisquer dois deles nula. Ao se particionar um evento possvel calcular a sua probabilidade somando-se a probabilidade dos eventos da partio.Atravs do particionamento de conjuntos, possvel no apenas se calcular a probabilidade de

eventos a partir de outras probabilidades j conhecidas como tambm deduzir diversaspropriedades e implicaes do prprio conceito de probabilidade.


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Figura 6:Partio de um conjunto SemB1,B2, ...,Br.

Seja B1, B2, B3...Brum conjunto de eventos mutuamente exclusivos cuja unio forma oespao amostral S. Seja A outro evento no mesmo espao amostral, tal que P(A) > 0. Ento:

)(...)()()()( 321 rBAPBAPBAPBAPAP

Pela Probabilidade condicional temos que:)(

)()/(

BP

BAPBAP

)/().()( BAPBPBAP , logo:

)/().(...)/().()/().()( 2211 rr BAPBPBAPBPBAPBPAP

Ento podemos escrever a frmula do Teorema da Probabilidade Total como: )]/().([)( rr BAPBPAP

Exemplo:Segundo especialistas esportivos, a probabilidade de que o Flamengo vena o prximojogo estimada em 0,70 se no chover, e s de 0,50 se chover. Se os registros meteorolgicosanunciam uma probabilidade de 0,40 de chover na data do jogo, qual ser ento a probabilidadedesse time ganhar o prximo jogo?

)/().()( rr BAPBPAP P(ganhar) =P(ganharchuva) +P(ganharnochuva)P(ganhar) =P(chuva) .P(ganhar/chuva) +P(no chuva).P(ganhar/no chuva)P(ganhar) = (0,40.0,50) + (0,60.0,70) = 0,20 + 0,42 = 0,62 ou 62%

2.10 Teorema de BayesO Teorema de Bayes obtido diretamente da aplicao da regra do produtona lgebra da

teoria de probabilidades, sendo descrito como apresentado abaixo:Sabemos que:

)(

)()/(

AP

BAPABP rr

, )/().()( rrr BAPBPBAP e )]/().([)( rr BAPBPAP ento,

substituindo teremos:

)/().(

)/().()/(

rr

rrr

BAPBP

BAPBPABP , que a frmula do Teorema deBayes.

Exemplos:

1- Certo professor de Farroupilha 4/5 das vezes vai trabalhar usando um fusca e usando um carroimportado nas demais vezes. Quando ele usa o fusca, 75 % das vezes ele chega em casa antesdas 21 horas e quando usa o carro importado s chega em casa antes das 21 horas em 60% dasvezes. Ontem o professor chegou em casa aps s 21 horas. Qual a probabilidade de que ele, nodia de ontem, tenha usado o fusca ?

Soluo:B1= usar o fusca B2= usar carro importado A= chegar em casa aps 19 horasP(B1) = 4/5 = 0,80 P(B2) = 1/5 = 0,20P(A/B1) = 1 - 0,75 = 0,25 P(A/B2) = 1 - 0,60 = 0,40P(B1/A) =P(B1).P(A/B1)/[P(B1).P(A/B1) +P(B2).P(A/B2)]P(B1/A) = 0,80 x 0,25/[(0,80 x 0,25) + (0,20 x 0,40)]P(B1/A) = 0,20 /(0,20 + 0,08) = 0,7143 ou 71,43 %

2- Suponha que a populao de uma certa cidade constituda por 40% de homens e 60% demulheres. Suponha ainda que 50% dos homens e 30% das mulheres so fumantes. Determine a

probabilidade de que fumante escolhido ao acaso seja homem.


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Soluo:Sejam os eventos:H: a pessoa selecionada homem. P(H) = 0,40M: a pessoa selecionada mulher. P(M) = 0,60F: a pessoa selecionada fumante. P(F/H) = 0,50

N: a pessoa selecionada no fumante. P(F/M) = 0,30

Queremos saber P(H/N). Sabemos que HM = S e HM = . Logo, {H, M} uma partio do conjunto daspessoas. Temos, S = (FM) (FH)P(F) = P(FM) + P(FH)P(F) = P(M).P(F/M) + P(H).P(F/H) = 0,60.0,30 + 0,40.0,50 = 0,18 + 0,20 = 0,38

Logo, P(H/F) = 0,20/0,38 = 0,5263=52,36

3- Trs mquinas A, B e C apresentam respectivamente 10%, 20% e 30% de peas defeituosasna sua produo. A mquina A produz o equivalente a 40% da produo diria; a mquina B,25%; e a mquina C, 35%. Ao final de um dia, as peas so todas misturadas. Selecionando-seuma destas peas ao acaso e verificando-se que era defeituosa, qual a probabilidade dela tervindo da mquina A?Soluo:Sejam os eventos:

A: a pea selecionada da mquina A. P(A) = 0,40 P(D/A) = 0,10

B: a pea selecionada da mquina B. P(B) = 0,25 P(D/B) = 0,20

C: a pea selecionada da mquina C. P(C) = 0,35 P(D/C) = 0,30

D: a pea selecionada defeituosa.

Queremos saber P(A/D)

P(D) = P(A).P(D/A) + P(B).P(D/B) + P(C).P(D/C) P(D) = 0,40.0,10 + 0,25.0,20 + 0,35.0,30 = 0,195

Logo,P(A/D)= 0,040/0,195 = 0,205 P(C/D)= 0,050/0,195 = 0,256 P(B/D)= 0,105/0,195 = 0,538

2.11 Varivel AleatriaSuponhamos um espao amostral Se que a cada ponto amostral seja atribudo um nmero

real representado por X. Fica, ento, definida uma funo X(S), chamada varivel aleatria.Variveis aleatrias so funes matemticas que associam nmeros reais aos eventos de umespao amostral. Cada varivel aleatria tem associada a si uma distribuio de probabilidadecujo conhecimento necessrio para a perfeita caracterizao do seu comportamento. Se oespao amostral for finito ou infinito enumervel a varivel aleatria dita discreta. Se o espaoamostral for infinito a varivel aleatria dita contnua.

Assim, se o espao amostral relativo ao "lanamento simultneo de duas moedas" S={(k, k), (k, c), (c, k), (c, c)} e seXrepresenta o "nmero de caras" que aparecem, a cada pontoamostral podemos associar um nmero paraX, de acordo com a tabela abaixo:

Ponto amostral X

(k, k) 2(k, c) 1(c, k) 1(c, c) 0

Exemplo prtico de uma distribuio de probabilidade:Consideremos a distribuio de frequncias relativa ao nmero de acidentes dirios na Rodovia do SOL

durante o ms de nov/2008:

Node acidentes freq. absoluta freq. relativa

0 22 0,731 5 0,172 2 0,073 1 0,03

latoT 3 033

Logo, podemos escreverNmero de caras (X) Probabilidade P(X)

2 1/41 1/20 1/4

Total 4/4 = 1


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Construmos acima uma tabela onde aparecem os valores de uma varivel aleatriaXe asprobabilidades deXocorrer que a tabela de distribuio de probabilidades.Funes de probabilidades:f(X) =P(X= xi)

Ao definir a distribuio de probabilidade, estabelecemos uma correspondncia unvocaentre os valores da varivel aleatria X e os valores da varivel P (probabilidade). Esta

correspondncia define uma funo onde os valoresxiformam o domnio da funo e os valorespio seu conjunto imagem. Assim, ao lanarmos um dado, a varivel aleatria X, definida por"pontos de um dado", pode tomar os valores 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Ento resulta a seguinte distribuiode probabilidade:

X P(X)

1 1/62 1/63 1/64 1/65 1/66 1/6

T o t a l 6/6 = 1

2.12 Distribuies de ProbabilidadesExistem muitas relaes, tais como a exponencial, a quadrtica, a linear, a parablica, que

so usadas para descrever a funcionalidade entre as variveis determinsticas. No caso dasvariveis aleatrias, certas distribuies de probabilidade so usadas com mais frequncia paradescrever a grande maioria dos fenmenos fsicos.

Distribuio de probabilidade um modelo matemtico que relaciona certo valor davarivel em estudo com a sua probabilidade de ocorrncia. De acordo com a natureza dasvariveis envolvidas, h dois tipos de distribuio de probabilidade.

1- Distribuies para variveis discretas: quando a varivel que est sendo medida s

pode assumir certos valores inteiros. As distribuies de probabilidade, para variveis aleatriasdiscretas, mais comumente usadas em engenharia e que desenvolvem um papel importante nametodologia estatstica so: Bernoulli, Binomial, Hipergeomtrica, Poisson e Geomtrica.

)()( 00 xPxXP

2- Distribuies para variveis contnuas: quando a varivel que est sendo medida expressa em uma escala contnua.

b

a

dXXfbXaP )(}{

2.12.1 Distribuio de BernoulliEste processo anlogo quele de jogar uma moeda. As seguintes suposies se aplicam:a) Cada experimento dito ser uma tentativa. Existe uma srie de tentativas, cada uma

tendo dois resultados: sucesso ou falha;b) A probabilidade de sucesso igual a algum valor constante para todas as tentativas;c) Os resultados sucessivos so estatisticamente independentes. A probabilidade de

sucesso na prxima tentativa no pode variar, no importando quantos sucessos ou falhas tenhamsido obtidos.

O processo de Bernoulli comumente utilizado em aplicaes de engenharia envolvendocontrole de qualidade. Cada novo item criado no processo de produo pode ser consideradocomo uma tentativa resultando em uma unidade com ou sem defeito. Este processo no se limita

a objetos; podendo ser usado em pesquisas eleitorais e de preferncias dos consumidores pordeterminados produtos.


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A varivel aleatria X com funo de probabilidade:

qp

pxP

)1()(

0

1

X

X chamada

uma varivel do tipo Bernoulli. Cada observao dessa varivel chamada uma observao deBernoulli. Uma sequncia de observaes chamada um processo de Bernoulli.

Seja uma amostra de n observaes, X1, X2, ..., Xn, extrada de um processo deBernoulli, com probabilidade de sucesso constante igual a p e de falha 1-p. ento, a soma dasobservaes seguir o modelo binomial com parmetros nep. Alm disso, cadaXipode ser 0ou1, a mdia:

n

i

iXn

X1

1

2.12.2 Distribuio BinomialA distribuio binomial est relacionada ao nmero de sucessos encontrados em um

nmero especfico de tentativas de um processo de Bernoulli. Ela caracterizada por doisparmetros: a probabilidade de sucessop, e o nmero de tentativas n(nmero positivo).

Vamos imaginar fenmenos cujos resultados s podem ser de dois tipos, um dos quais considerado como sucesso e o outro insucesso ou falha. Este fenmeno pode ser repetido tantasvezes quanto se queira (n vezes), nas mesmas condies. As provas repetidas devem serindependentes, isto , o resultado de uma no deve afetar os resultados das sucessivas provas. Nodecorrer do experimento, a probabilidadepdo sucesso e a probabilidade de q(q = 1 - p) da falhamanter-se-o constantes. Nessas condies X uma varivel aleatria discreta que segue umadistribuio binomial.

Condies de aplicao do modelo binomial:a) so feitas n repeties do experimento, onde n uma constante;

b) h apenas dois resultados possveis em cada repetio, denominados sucesso e falha;c) a probabilidadepde um sucesso e (1-p) de falha permanece constante em todas as repeties;

d) as repeties so independentes, ou seja, o resultado de uma repetio no influenciado poroutros resultados.

)!!.(

!,..)( )(

xnx

nCondeqpCxXP nx

xnxn

x

0,000

0,020

0,040

0,060

0,080

0,100

0,120

0,140

0,160

0,180

0,200

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

f(X

)

X

Distribuio Binomial

Figura 7:Grfico da distribuio Binomial com n=50 e p=0,1 - B(50; 0,1)

Os parmetros da distribuio binomial so ne p. A mdia e a varincia so calculadascomo:

pn.

qpn ..2

qpn ..


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P(X) = a probabilidade de que o evento se realizex vezes em nprovas do experimento.p = a probabilidade de que o evento se realize no decurso do experimento = sucesso.q= a probabilidade de que o evento no se realize no decurso do experimento = insucesso oufalha.Obs.: O nome binomial devido frmula, pois representa o termo geral do desenvolvimento do binmio de

Newton.Exemplos:

1- Uma moeda lanada 5 vezes seguidas e independentes. Calcule a probabilidade de seremobtidas 3 caras nesses 5 experimentos.n = 5 X= 3 p = 1/2 q = 1 - (1/2) = 1/2 P(X=3) = 5/16

2- Determine a probabilidade de obtermos exatamente 3 caras em 6 lances de uma moeda.

3- Dois times de futebol,AeB, jogam entre si 6 vezes. Encontre a probabilidade de o timeA:

a- ganhar dois jogos;

b- ganhar dois ou trs jogos;c- ganhar pelo menos um jogo;

4- Jogando-se um dado trs vezes, determine a probabilidade de se obter um mltiplo de 3 duasvezes.

5- A probabilidade de um atirador acertar o alvo 2/3. Se ele atirar 5 vezes, qual a probabilidadede acertar exatamente 2 tiros ?

6- Seis parafusos so escolhidos ao acaso da produo de certa mquina, que apresenta 10% depeas defeituosas. Qual a probabilidade de serem defeituosos dois deles ?

2.12.3 Distribuio HipergeomtricaA distribuio hipergeomtrica uma das mais importantes distribuies de

probabilidade para variveis discretas usadas em amostragem estatstica. Ela forneceprobabilidades para o nmero de observaes amostrais de uma categoria particular que pode serobtida. A diferena bsica entre esta distribuio hipergeomtrica e a binomial que esta ltimarequer independncia entre as tentativas, o que torna impraticvel sua utilizao na avaliao deinvestigaes amostrais de populaes pequenas, a menos que a amostragem seja feita comreposio. Por exemplo, em controle de qualidade de equipamentos eletrnicos, testes so feitoscom a destruio da amostra, no podendo, pois haver reposio. A distribuio hipergeomtrica

pode ser melhor entendida atravs do seguinte exemplo:

Exemplo:Considere um carregamento de 25 transformadores, dos quais uma amostra de 4 delesser testada do ponto de vista ambiental. Cada transformador do carregamento ser consideradosatisfatrio (S) ou defeituoso (D). Supondo que 20% dos transformadores so defeituosos (o querepresenta 5 transformadores do total). Naturalmente, este fato desconhecido do setor de testes,que deve aceitar ou rejeitar o carregamento com base no nmero de itens defeituososencontrados na amostra.

A distribuio hipergeomtrica indicada quando consideramos extraes casuais feitas

sem reposio de uma populao dividida segundo dois atributos. Considere Nobjetos, r dosquais tem o atributo Ae N-rtem o atributo B. Um grupo de nelementos escolhido ao acaso,


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sem reposio. Estamos interessados em calcular a probabilidade de que esse grupo contenha xelementos com o atributoA.

),(min0:onde,)( nrx

n

N

xn

rN

x

r

xXP

pn.

1...

2

N

nNqpn onde:

N

rp

Exemplos:

1)Uma caixa contm 12 lmpadas das quais 5 esto queimadas. So escolhidas 6 lmpadas aoacaso. Qual a probabilidade de que:

a) exatamente 2 lmpadas estejam queimadas?b) pelo menos uma lmpada esteja boa?

2) Pequenos motores so guardados em caixas com 50 unidades. Um inspetor de qualidade

examina cada caixa, antes da posterior remessa, testando 10 motores. Se nenhum motor fordefeituoso, a caixa aceita. Se pelo menos um for defeituoso, todos os 50 motores so testados.Supe-se que h 5 motores defeituosos numa caixa. Qual a probabilidade de que seja necessrioexaminar todos os motores dessa caixa?

0,000

0,040

0,080

0,120

0,160

0,200

0,240

0,280

0,320

0,360

0,400

0,440

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

f(X)

X

Distribuio Hipergeomtrica

Figura 8:Grfico da distribuio Hipergeomtrica com r=5, n=10eN=50- H(5; 10; 50).

2.12.4 Distribuio GeomtricaA distribuio geomtrica a menos usada dentre as distribuies. Ela est relacionada

ao nmero de tentativas de um processo de Bernoulli, antes do primeiro sucesso ser obtido. Em

problemas de confiabilidade, este fato passa a ser algo importante, que deve ser considerado. Porexemplo: a clula de potncia de um satlite pode durar indefinidamente at que haja umacoliso com um micro meteoro. Cada dia considerado como uma tentativa no processo deBernoulli.

A expresso matemtica para esta distribuio dada abaixo:1)1.()( xppxXP , para x=1,2,3,..., sendo X o nmero de tentativas no processo de

Bernoulli at que o primeiro sucesso seja atingido epa probabilidade de sucesso.Exemplo1:uma moeda viciada apresenta "cara" em 75% das vezes em que jogada. Ento, aprobabilidade de que ocorraXjogadas antes da primeira cara P(x)= 0,75.0,25x.

Exemplo 2: Cada dia h uma probabilidade de p = 0,01 de que um satlite seja danificado em

uma coliso. A probabilidade de sobrevivncia diria consequentemente igual a 1-p = 0,99.


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Calcule a probabilidade de que o satlite seja danificado exatamente no vigsimo e centsimodias de operao.Soluo: 0083,0)99,0.(01,0)20()20( 19 PXP

0037,0)99,0.(01,0)100()100( 99 PXP A funo de distribuio de probabilidade geomtrica expressa a probabilidade

cumulativa de que o primeiro sucesso ocorra em, ou antes, da n-sima tentativa.x

x

x

pXPxXPXF )1(1)()()(1

Distribuio Geomtrica

0,000

0,010

0,020

0,030

0,040

0,050

0,060

0,070

0,080

0,090

0,100

0,110

0,120

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

X

f(X)

Figura 9:Grfico da distribuio Geomtrica com p=0,1- G(0,1)

2.12.5 Distribuio de PoissonA distribuio de Poisson adequada para descrever situaes onde existe uma

probabilidade de ocorrncia em um campo ou intervalo contnuo, geralmente tempo ou rea. Porexemplo, o nmero de acidentes por ms, o nmero de defeitos por metro quadrado, nmero declientes atendidos por hora, etc.

Nota-se que a varivel aleatria discreta (nmero de ocorrncias), no entanto, a unidadede medida contnua (tempo, rea). Alm disso, as falhas no so contveis, pois no possvelcontar o nmero de acidentes que no ocorreram, nem tampouco o nmero de defeitos que noocorreram.

A distribuio de Poisson fica completamente caracterizada por um nico parmetro,denominado, que representa a taxa mdia de ocorrncias por unidade de medida.

Condies para a aplicao do modelo de Poisson:a) nmero de ocorrncias durante qualquer intervalo depende somente da extenso do intervalo;

b) as ocorrncias ocorrem independentemente, ou seja, um excesso ou falta de ocorrncias em

algum intervalo no exerce efeito sobre o nmero de ocorrncias em outro intervalo;c) a possibilidade de duas ou mais ocorrncias acontecerem em um pequeno intervalo muitopequena quando comparada de uma nica ocorrncia. A equao para calcular a probabilidadedex ocorrncias dada por:

n...,3,2,1, xpara,!

)(

x

exXP

x

A mdia e a varincia da distribuio de Poisson so: 2eUma aplicao tpica da distribuio de Poisson no controle da qualidade, utilizada

como um modelo para a determinao do nmero de defeitos (no conformidades) que ocorrempor unidade de produto (por m2, por volume ou por tempo, etc.). Como exemplo, suponha que o

nmero de defeitos de pintura siga uma distribuio de Poisson com peadefeitos /2 .Ento, a probabilidade de que uma pea apresente mais de 4 defeitos de pintura vir dada por:


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4

0

2

!

2.1)4(1)4(

x

x

x

ePXP

%5,5055,0090,0180,0270,0270,0135,01)4( XP

Distribuio de Poisson

0,000

0,020

0,040

0,060

0,080

0,100

0,120

0,140

0,160

0,180

0,200

0,220

0,240

0,260

0,280

0,300

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

X

f(X)

Figura 10:Grfico da distribuio de Poisson com =2,0- P(2)

2.12.6 Distribuio Uniforme utilizada como primeira aproximao para representar uma varivel aleatria continua

que pode assumir valores entre ae be cujas caractersticas pouco se conhece.

casosoutrosnos,0

se,1

adeProbabiliddeDensidadebXa

abf(X):

b, se X

bX, se aab

aX

a, se X

F(X)

1

0

:acumuladaadeProbabilid

2:Mdia

baX

12

)(:Varincia

22 ab

Distribuio Uniforme

0,000

0,030

0,060

0,090

0,1200,150

0,180

0,210

0,240

0,270

0,300

a b

X

f(X)

Figura 11:Grfico da distribuio Uniforme.

2.12.7 Distribuio ExponencialNa distribuio de Poisson, a varivel aleatria definida como o nmero de ocorrncias

em determinado perodo, sendo a mdia das ocorrncias no perodo definida como . Na

Distribuio Exponencial a varivel aleatria definida como o tempo entre duas ocorrncias,sendo a mdia de tempo entre ocorrncias de /1 . Por exemplo, se a mdia de atendimentos no


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caixa bancrio de 6 atendimentos por minuto, ento o tempo mdio entre atendimentos /1 = 1/6 de minuto ou 10 segundos.

Condio de aplicao do modelo exponencial:O nmero de ocorrncias deve seguir uma distribuio de Poisson. Se considerarmos a

distribuio de Poisson como o modelo para o nmero de ocorrncias de um evento no intervalo

de t,0 teremos:

!

).()(

.

x

texXP

xt

E nesse caso pode ser demonstrado que a distribuio dos intervalos entre ocorrncias irseguir o modelo Exponencial com parmetro . O modelo da distribuio Exponencial oseguinte:

0para,.)(. tetf t ,

Onde: 0 uma constante.A mdia e o desvio-padro da distribuio Exponencial so calculados usando:

1

1

A distribuio Exponencial acumulada vem dada por:

0para,1.)()( .

0

. tedtetTPtF t

t

t

Distribuio Exponencial

0,0000,0200,0400,0600,0800,1000,1200,1400,1600,1800,2000,2200,2400,260

0,2800,3000,3200,3400,360

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

3,5

4,0

4,5

5,0

5,5

6,0

6,5

7,0

7,5

8,0

8,5

9,0

9,5

10,0

t

f(t)

Figura 12:Grfico da distribuio Exponencial com =0,35- E(0,35).

A distribuio Exponencial amplamente utilizada no campo da confiabilidade, comoum modelo para a distribuio dos tempos at a falha de componentes eletrnicos. Nessasaplicaes o parmetrorepresenta a taxa de falha para o componente, e /1 o tempo mdioat a falha. Por exemplo, suponha que uma mquina falhe em mdia uma vez a cada dois anos

5,02/1 . Calcule a probabilidade de a mquina falhar durante o prximo ano.

3935,0607,011)1()( 1.5,0 eTPtF

A probabilidade de falhar no prximo ano de 0,393 e de no falhar no prximo ano de1-0,393=0,607. Ou seja, se forem vendidos 100 mquinas 39,3% iro falhar no perodo de umano.

Conhecendo-se os tempos at a falha de um produto possvel definir os perodos degarantia.


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2.12.8 Distribuio NormalA distribuio de probabilidade contnua mais importante e mais utilizada a distribuio

normal, geralmente citada como curva normal ou curva de Gauss. Sua importncia em anlise dedados resulta do fato de que muitas tcnicas estatsticas aplicadas nas cincias e engenharias,como anlise de varincia, de regresso, inferncias e alguns testes de hiptese, assumem e

exigem a normalidade dos dados. Alm disso, a ampla aplicao dessa distribuio vem em partedevido ao teorema do limite central. Este teorema declara que para dados provenientes dequalquer distribuio, na medida em que o tamanho da amostra aumenta, a distribuio amostraldas mdias amostrais tende para uma distribuio normal.

Muitas das variveis analisadas nas pesquisas cientficas correspondem distribuionormal ou dela se aproximam.

Uma varivel aleatria contnua X tem uma distribuio normal (ou Gaussiana) se suafuno densidade de probabilidade for do tipo:

XXf

X

-para,e2

1)(

2

2

2

)-(

Distribuio Normal

0,020

0,040

0,060

0,080

0,100

0,120

0,140

0,160

0,180

0,200

0,220

9,0 10,2 11,4 12,6 13,8 15,0 16,2 17,4 18,6 19,8 21,0 22,2 23,4 24,6 25,8

X

f(x)

Figura 13:Grfico da distribuio Normal com mdia =17,48e=2,00N(17,48; 2,00).

Propriedades da distribuio normal:1 - A varivel aleatriaXpode assumir qualquer valor do conjunto dos nmeros reais.2 - A representao grfica da distribuio normal uma curva em forma de sino,

simtrica em torno da mdia, que recebe o nome de curva normal ou curva de Gauss.

3 - A rea total limitada pela curva e pelo eixo das abscissas igual a 1, j que essa reacorresponde probabilidade de a varivel aleatriaXassumir qualquer valor real.

4 - A curva normal assinttica em relao ao eixo das abscissas, isto , aproxima-seindefinidamente do eixo das abscissas sem, contudo, alcan-lo.

5 - Como a curva simtrica em torno da mdia, a probabilidade de ocorrer valor maiorque a mdia igual probabilidade de ocorrer valor menor do que a mdia, isto , ambas as

probabilidades so iguais a 0,5 ou 50%. Cada metade da curva representa 50% de probabilidade.6Quando 0 e 1 tem-se uma distribuio normal padro ou normal reduzida. A

varivel normal padro ser anotada por Z. Ento Z: N(0,1). A funo densidade deprobabilidade da varivel aleatria Z ser representada por:

zzfz

-para,e2

1)(

2-

2

(distribuio normal padro)


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dzzF

z

2-

2

e2

1)(

(distribuio normal padro acumulada)

Distribuio Normal Padro

0,0000,0200,0400,0600,0800,1000,1200,1400,1600,1800,2000,2200,2400,2600,2800,3000,3200,3400,3600,3800,4000,420

-4,2 -3,6 -3,0 -2,4 -1,8 -1,2 -0,6 0,0 0,6 1,2 1,8 2,4 3,0 3,6 4,2

Z

f(Z)

Figura 14:Grfico da distribuio Normal padro com mdia =0e=1N(0; 1).

Quando temos em mos uma varivel aleatria com distribuio normal, nosso principalinteresse obter a probabilidade de essa varivel aleatria assumir um valor em um determinadointervalo. Vejamos com proceder, por meio de um exemplo concreto.

Exemplo:

SejaXa varivel aleatria que representa os dimetros dos parafusos produzidos por certamquina. Vamos supor que essa varivel tenha distribuio normal com mdia cmX 00,2 e

desvio-padro cm04,0 . Qual a probabilidade de um parafuso ter o dimetro com valor entre1,95 cm e 2,05 cm ?P(1,95< X < 2,05) = ?

Com o auxlio de uma distribuio normal reduzida, isto , uma distribuio normal demdia = 0 e desvio-padro = 1 resolveremos o problema atravs da transformao da varivel X

na varivel reduzidaz, ondeS

XXZ

.

Utilizaremos tambm uma tabela normal reduzida, que nos d a probabilidade de zassumir qualquer valor entre e um dado valor dez, isto : )( zZP .

Temos, ento, que se X uma varivel aleatria com distribuio normal de mdia X e

desvio-padro S, podemos escrever: )()( sisi zZzPxXxP .No nosso problema queremos calcular a probabilidade P(1,95


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8944,0)25,1( ZP ou 89,44 %, assim a probabilidade de um certo parafuso apresentarum dimetro menor do que 1,25 89,44 %. Mas precisamos saber a probabilidade do dimetroestar entre 1,95 e 2,05, para tanto teremos que determinar a probabilidade do valor de zentre1,25 e 1,25 que calculada como segue:

)25,1()25,1()25,125,1()05,295,1( ZPZPZPXP

consultando a tabela: %88,787888,01056,08944,0)25,1()25,1( ZPZP

Tabela da distribuio Normal padronizada

P(Z


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50 lmpadas foi testada e o tempo mdio de vida encontrado foi de 60 dias, com um desvio-padro de 20 dias. Quantas lmpadas, na populao total de lmpadas fabricadas por ele, pode seesperar que ainda estejam funcionando aps 100 dias de vida?

5- Os salrios dos bancrios so distribudos normalmente, em torno da mdia R$ 1.000,00, comdesvio-padro de R$ 80,00. Calcule a probabilidade de um bancrio ter o salrio situado entre R$780,00 e R$ 1.140,00.

6- Um teste padronizado de escolaridade tem distribuio normal com mdia = 100 e desvio-padro = 10,0. Determine a probabilidade de um aluno submetido ao teste ter nota:

a) maior que 120b) maior que 80c) entre 85 e 115

7- Num lote que tem 2,0% de defeituosos, foram retiradas 100 peas.

a) Qual a probabilidade de no encontrar pea defeituosa?

b) Qual a probabilidade de encontrar 1 pea defeituosa?

c) Qual a probabilidade de encontrar mais do que uma pea defeituosa?8- Um processo industrial opera com mdia de 1,00% de defeituosos. Baseado em amostras de50 unidades, calcule as probabilidades de uma amostra apresentar 0, 1, 2, 3 e 4 defeituosos.

9- Os registros de uma pequena companhia indicam que 40,0% das faturas por ela emitidas sopagas aps o vencimento. De 14 faturas expedidas, determine a probabilidade de:

a) no mximo 1 ser paga com atraso.b) pelo menos 2 serem pagas com atraso.c) 3 serem pagas com atraso.

10- Em uma indstria automotiva, defeitos superficiais de pintura ocorrem a uma taxa de 0,15

defeitos/unidade.a) Encontre a probabilidade que uma unidade escolhida ao acaso apresente 1 ou mais

defeitos superficiais.b) Encontre a probabilidade que uma unidade escolhida ao acaso apresente at dois

defeitos superficiais

11- O setor financeiro de uma loja de departamentos est tentando controlar o nmero de erroscometidos na emisso das notas fiscais. Suponha que esses erros sigam o modelo de Poisson commdia lambda = 0,03 erros/nota

a) Qual a probabilidade de que uma nota selecionada ao acaso no contenha erros?b) Qual a probabilidade de que uma nota selecionada ao acaso contenha at dois erros?

12- Em um jogo com um baralho de 52 cartas cada jogador recebe 9 cartas. Qual a probabilidadede que um jogador receba umASde ouros?

13- Numa central telefnica chegam, em mdia, 300 telefonemas por hora. Qual a probabilidadede que:

a) num minuto no haja nenhum chamado;b) em 2,0 minutos haja 2 chamados;

14- Os tempos at a falha de um dispositivo eletrnico seguem o modelo Exponencial, com umataxa de falha lambda = 0,012 falhas/hora. Indique qual a probabilidade de um dispositivoescolhido ao acaso sobreviver mais do que 50 horas? E a 100 horas?

15- O tempo at a venda de certo modelo de eletrodomstico, que regularmente abastecido emum supermercado, segue uma distribuio Exponencial, com parmetros lambda = 0,40


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aparelhos/dia. Indique a probabilidade de um aparelho indicado ao acaso ser vendido logo noprimeiro dia.

16- Determine as probabilidades:

a) P(-0,50 0,60) =

d) P(Z>-1,50) =

17- A resistncia trao do papel usado em supermercados uma caracterstica de qualidadeimportante. Sabe-se que essa resistncia segue um modelo normal com mdia 40,0 psi e desvio-

padro de 2,00 psi. Se a especificao estabelece que a resistncia deve ser maior ou igual a 35,0psi, qual a probabilidade que uma sacola produzida com este material satisfaa a especificao?

18- A resistncia trao de isoladores cermicos apresenta distribuio Normal com mdia 95,0kg e desvio-padro 4,00 kg. Se forem produzidas 10.000 unidades desses isoladores, quantosapresentaro resistncia inferior a 85,0 kg? E quantos apresentaro resistncia superior a 90,0

kg?19- O consumo de gasolina por km rodado para certo tipo de carro, tem distribuio normal commdia de 100 ml com desvio padro de 5 ml.

a) calcular a probabilidade de um carro consumir entre 90 e 110 ml.b) sabe-se que 99,50% dos carros consumem menos que certa quantidade de gasolina

qual essa quantidade?c) calcular a probabilidade de um carro consumir mais que 107 ml?

20- Em uma indstria trabalham 1260 pessoas, cujos salrios seguem uma curva normal commdia de R$920,00 e desvio-padro R$ 58,00. Calcule o nmero provvel de funcionrios comsalrios inferiores R$ 950,00.

BIBLIOGRAFIABARBETA, P. A.; REIS, M. M; BORNIA, A. C. Estatstica Para Cursos de Engenharia eInformtica. 2. ed. So Paulo: Atlas, 2009.

COSTA NETO, P. L. O.; CYMBALISTA, M. Probabilidades. So Paulo: Edgard Blcher, 2001.

COSTA NETO, P. L. O. Estatstica. 2. ed. So Paulo: Edgard Blcher, 2002.

DOWING, D.; CLARK, J. Estatstica aplicada. 2. ed. So Paulo: Saraiva, 2003.FONSECA, J. S.; MARTINS, G. A. Curso de Estatstica. 6. ed. So Paulo: Atlas, 1996.

FREUND, J. E. Estatstica aplicada: economia, administrao e contabilidade. 9. ed. PortoAlegre: Bookman, 2000.

MONTGOMERY D. C., RUNGER, G. C., HUBELE, N.F., Estatstica Aplicada Engenharia .Rio de Janeiro: LTC, 2004.

MORETIN, P. A.; BUSSAB, W. O. Estatstica Bsica, 5. ed. So Paulo: Saraiva, 2005.

TRIOLA, M. F. Introduo Estatstica. 7. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1999.

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