Apostila MQAA

Pontifícia Universidade Católica de Minas GeraisInstituto de Ciências Econômicas e Gerenciais

Departamento de Administração

Métodos Quantitativos Aplicados à Administração

Prof. Marcelo Resende


CronogramaMétodos Quantitativos Aplicados à Administração

4º período

NºAula Conteúdo/Atividade prevista1 Apresentação e considerações gerais2 Análise de Investimentos: conceito, objetivos, problemas de estimativas3 Problemas de estimativas de fluxos de caixa4 Estrutura genérica de fluxo de caixa para análise de investimentos5 Metodologias de avaliação de fluxos: payback e payback atualizado6 Valor atual líquido e Taxa Interna de Retorno7 Pontos de convergência e divergências das metodologias e limitações8 Taxa interna de retorno modificada e valor atual líquido anualizado9 Exercícios de avaliação de fluxo de caixa10 Exercícios de análise de investimentos11 Exercícios de análise de investimentos12 Exercícios de análise de investimentos13 Exercícios de análise de investimentos14 1ª prova – 25 pontos15 Análise de regressão: conceito, objetivos, limitações e equação da reta16 Séries cronológicas e Método dos Mínimos Quadrados17 Coeficiente de Determinação e Inferência em Regressão18 Intervalo de confiança a níveis de certeza19 Observações discrepantes e conclusões20 Exercícios sobre análise de regressão21 Exercícios sobre análise de regressão22 Exercícios sobre análise de regressão23 Risco e Incerteza em negócios individuais.24 Risco em portfólios, diversificação e correlação e carteira de títulos25 2ª prova – 25 pontos26 Números Índices: conceitos, relativos, Laspeyres.27 Deflacionamento e inflacionamento de dados, construção de índices28 Mudança de base e inflacionamento a partir de séries de índices29 Exercícios de números índices30 Diagrama de decisão/tomada de decisão: objetivos. Estudo de caso “Dahran”31 Continuação do estudo de caso32 Exercício de diagramas de decisão33 3ª prova – 30 pontos

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ANÁLISE DE INVESTIMENTOS

1. Introdução

2. Estimativa de fluxos de caixa

3. Exemplo de montagem de fluxos de caixa

4. Métodos de análise

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1. INTRODUÇÃO

Quando uma empresa faz um investimento, ela incorre em saídas correntes de caixa, na "expectativa" de ganhos futuros. Portanto, sabemos que devemos analisar uma proposta de acordo com seu retorno esperado e tendo em mente os riscos específicos a tais iniciativas.

Nesse aspecto, pode-se argumentar que se deva impor uma taxa de desconto ajustada ao risco de cada projeto. Para o momento, vamos supor apenas que se estabeleça para a empresa uma taxa de desconto (ver taxa requerida de retorno), não importando os diferentes graus de risco dos projetos. Vale dizer que consideramos constante o complexo do risco ambiente dos negócios da empresa.

Adicionalmente, aprofundaremos comentários sobre inflação em análises de investimentos, em especial, colocando a necessidade premente de compatibilidade entre fluxos de caixa e taxas de descontos. Assim, se os investimentos se ajustam à inflação, estas deverão ser corrigidas igualmente.

Pode-se verificar, então, o desamparo em que se processa a ação executiva, sendo, na verdade, uma quimera a ocorrência de fluxos de caixa certos no tempo – contrariamente ao que costuma ser apontado em textos introdutórios de finanças e de matemática financeira.

Sendo assim, nos preocuparemos basicamente com os seguintes itens:

$ estimativa de fluxos de caixa para as propostas;$ avaliação dos fluxos;$ seleção das propostas.

No que se refere às motivações para a geração de propostas, citamos:

$ novos produtos ou expansão dos atuais;$ reposição de equipamentos;$ pesquisa e desenvolvimento;$ exploração;$ outros.

2. ESTIMATIVA DE FLUXOS DE CAIXA

Um dos mais importantes objetivos dentro da análise de investimento é a estimativa de fluxos de caixa futuros, o que influencia sobremaneira a ação gerencial. Veja-se que caixa, e não lucro, é o ponto central para todas as decisões de uma firma e, por isso, expressamos os benefícios futuros em termos de fluxo de caixa líquido, ou seja, entradas menos saídas a cada período.

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Para cada proposta de investimento, devemos prover informações sobre fluxos de caixa numa base não apenas após o imposto de renda (IR), mas, ainda, em termos incrementais. Vale dizer: se a empresa avalia o lançamento de um produto novo que competirá com sua linha atual de produtos, a consideração desta "canibalização" é vital na análise. Enfatizando, apenas o fluxo de caixa incremental nos interessa.

Outra consideração de grande importância se refere aos custos de oportunidade sobre recursos alocados a projetos. Veja-se, por exemplo, em que a consecução de um projeto envolve a ocupação de terrenos próprios, que poderiam ser vendidos pela empresa. Seu valor de venda deveria ser tratado exatamente como uma saída de caixa, embora não envolva desembolso efetivo.

A seguir, procedemos à elaboração de uma lista, a mais exaustiva possível, dos problemas associados à constituição de fluxos de caixa de projetos.

1. Dimensão temporal do projetoÉ certo que quanto menor o período total considerado tanto menor o valor do projeto. Os valores concernentes a períodos muito afastados no tempo perdem em relevância e precisão.

Ao administrador cabe, portanto, maior atenção e responsabilidade sobre os fluxos iniciais, que são aqueles que mais fortemente impactam o valor atual dos projetos.

2. "Timing" dos fluxos de caixaEste problema é algo sério quando se procede a análises com intervalos de tempo anuais. Nesse caso, considerarmos as saídas de caixa no início ou ao final de um projeto traria diferenças sensíveis, podendo levar à rejeição de bons projetos ou à aceitação de projetos danosos à empresa.

3. Depreciação na análise de investimentoDepreciação é uma despesa que não envolve desembolso de caixa, porém, seu valor "transita" do balanço patrimonial para a Demonstração de Resultados, diminuindo o lucro antes do IR e, portanto, reduzindo o montante de IR a pagar.

Além disso, pois há de se ter em conta que, freqüentemente, o período legal para depreciação não coincide com o período de vida daquele equipamento ou instalação, que consubstancia o projeto. Naturalmente, tais observações hão de estar presentes na constituição dos fluxos de caixa.

4. Movimento de "preços relativos"Este aspecto é de importância capital numa economia inflacionária, em que a par da subida geral dos preços, temos ainda que tais elevações não se dão uniformemente. Se é assim, a demanda pelo produto gerado do projeto deverá

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apresentar "instabilidades" com o passar do tempo e um acurado levantamento dos fluxos de caixa futuros fica dificultado.

5. Constância dos custos de produção ao longo do tempoEste ponto guarda relação com o anterior, na medida em que estamos nos referindo a movimentos não-uniformes de preços relativos. Assim, se todos os preços da economia (ou pelo menos aqueles que afetam a empresa mais diretamente) se movessem com idênticos percentuais, tudo se passaria como numa economia sem inflação. Porém, esse não é um fato da vida econômica e isso deve ser considerado, quando da estimativa dos fluxos de caixa futuros.

6. Consideração dos juros na análise de investimentosAs decisões de financiamento e de investimento são coisas distintos, e não devem ser misturadas. Assim sendo, não se deve incluir juros, que representam o custo de financiamentos, nos fluxos de caixa previstos para o projeto. Ou seja, os projetos devem ser avaliados nos seus próprios termos, no tocante à capacidade que apresentem de acrescer a base geradora de riqueza da empresa.

Naturalmente, porém, se um determinado projeto detiver vantagens fiscais específicas, estas deveriam, então, ser consideradas na análise.

7. Capital de giro Além do investimento em ativos, por vezes é preciso que se considerem as necessidades adicionais de caixa, assim como as decorrentes de políticas de estoques e de contas a receber.

Tal "investimento" em capital de giro há de ser tratado como uma saída de caixa no período inicial do projeto, que retornará ao final do período de vida do mesmo. Sendo assim, em termos de valor presente, sua consideração vai "contra" a aceitação de projetos, pois que valores mais próximos do período inicial impactam mais fortemente o valor atual líquido do que aqueles locados de maneira mais distante no tempo.

Nesse sentido, cada fluxo de caixa no tempo é descontado pelo fator 1/(1+i)t, sendo que "i" representa a taxa requerida de retorno para aceitação de projetos e "t" o período de ocorrência de cada fluxo específico. Naturalmente, quanto maior "t", menor o valor atualizado de um fluxo descontado até o período inicial.

3. EXEMPLO DE MONTAGEM DE FLUXO DE CAIXA

Se o projeto sob análise se refere à reposição de máquinas, sem alterar o padrão de oferta de produtos pela empresa, os cálculos deverão incluir tanto as reduções de custos trazidos por tais equipamentos como, ainda, os valores relativos à depreciação de ambos os itens, substitutos e substituídos. Vejamos o exemplo a seguir.

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Dados:

(-)Preço da nova máquina: $18.500

(-)Custo da instalação: $ 1.000

(-)Custo de desmontagem: $ 500

(+)Venda da máquina antiga: $ 2.000

Investimento Inicial $18.000

Aumento de vendas/ano: $ 8.100

Imposto de renda 40%

Tempo de depreciação:

-Máquina antiga: 10 anos

-Máquina nova : 5 anos

Observação: Tempos de vida útil das máquinas nova e antiga são de, respectivamente, 5 e 10 anos. O valor residual da máquina nova (ao final dos 5 anos) é de $1.000. A máquina antiga já tem 5 anos de vida, tendo sido adquirida por $20.000.

A par desses dados, os fluxos de caixa se determinam como a seguir:

Valores contábeis Fluxo de caixaAumento de vendas $8.100 $8.100(-)Depreciação s/máquina nova 4.000(+)Deprec. s/máquina antiga 2.000Lucro tributável 6.100(-)Imposto de renda (40%) 2.440 2.440Lucro adicional l======> $3.660 Fluxo de Caixa Anual ======> $5.660

Assim é que o fluxo de caixa se determina numa base incremental e após consideração do imposto de renda.

Por agora, temos que análises de investimentos se fariam sobre os fluxos a seguir:

Saída inicial (Ano 0): $18.000Fluxo de caixa (Ano 1 ao 4): $ 5.660Fluxo de caixa (Ano 5)*: $ 6.660

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* FC 1 a 4 + valor residual. Observa-se que tal consideração não é a mais precisa. Contudo, neste momento, é a que utilizaremos para fins de simplificação, a despeito de não estar considerando a tributação ideal do FC5.

4. MÉTODOS DE ANÁLISE

Uma vez determinado o fluxo de caixa esperado para o projeto, partimos para o detalhamento dos métodos de avaliação de rentabilidade dos mesmos. Vamos nos deter sobre as seguintes metodologias:

· Payback· Valor Atual Líquido ou Valor Presente Líquido· Taxa Interna de Retorno· Taxa Interna de Retorno Modificada

Naturalmente, à exceção do primeiro, todos os demais são métodos que se apegam a fluxos de caixa descontados no tempo. Vamos a eles.

4.1 Payback (Tempo de retorno)

Este método nos diz o número de períodos requeridos para se recuperar a saída inicial de caixa, sendo resultado apenas da relação entre x e y, entre o investimento inicial e o fluxo de caixa por período. Por exemplo, no caso acima, teríamos:

Payback = $18.000 = 3,18 anos $ 5.660

Naturalmente, surgiriam problemas de cálculo caso o fluxo de caixa não fosse uniforme. Tal fórmula só contempla fluxos de caixa uniformes. Assim, no exemplo em pauta, não foi considerado o retorno dado pelo valor residual da

máquina nova, ao final do 5o ano.

Mas esse não é um grande problema com o método, se pensarmos, por exemplo, no fato de que não são considerados o fluxo de caixa que aconteceriam após o período do Payback. Deixa-se de considerar um montante de $10.300 de entradas.

Outro aspecto negativo do método tem como base a máxima de que o dinheiro tem valor no tempo, ou seja, é necessário atentar para uma taxa de retorno como expressão do custo de oportunidades, para que se analise a aceitação ou a rejeição de um projeto. E isso não se faz, quando se adota o método Payback.

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Como observações finais, devemos lembrar que, apesar desses problemas metodológicos sérios, o método do Payback recebe relativa importância na análise de investimentos. Talvez isso aconteça porque as administrações entendam tal método como uma aproximação ao risco dos projetos. Vale dizer, entende-se que quanto maior o período de recuperação de investimentos maior o risco inerente a cada projeto.

De qualquer forma, se se deseja utilizar o Payback, que isto seja feito como análise suplementar a outros métodos, buscando, com ele, apenas uma abordagem superficial ao risco do negócio.

4.2 Taxa Interna de Retorno (TIR)

Este método se insere de fato dentre aqueles que lidam com fluxos de caixa descontados, tomando em conta tanto o aspecto do valor do dinheiro no tempo, como a magnitude e o "timing" dos fluxos ao longo de toda a duração do projeto.

Podemos definir a TIR como a taxa de desconto que zera a diferença entre os valores presentes dos fluxos de entradas e de saídas de caixa de projetos sob análise. Enfatizando, ela será a taxa que leva a zero a equação a seguir:

n_ FCt __ = 0

t=0 (1 + i)t

em que,FCt : o fluxo de caixa líquido (entradas menos saídas), relativo a cada período "t"i : a taxa de desconto, a que denominamos TIR;n : número de períodos considerados, ou a dimensão de vida do projeto.

Em outras palavras, também é possível definir a TIR como a taxa de desconto que leva a zero o Valor Atual Líquido de um projeto.

Com o fim de levantarmos a TIR do projeto em pauta, teremos:

-18.000 + 5.660 + 5.660 + 5.660 + 5.660 + 6.660 = 0

(1+i)1 (1+i)2 (1+i)3 (1+i)4 (1+i)5

Perfazendo os cálculos por interpolação (exatamente como o faria uma planilha eletrônica em computador), encontraríamos a taxa de 18,33% a.a. Com isso, se diz que o projeto corresponderia a um investimento que rendesse exatos 18,33% ao ano.

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Como critério de aceitação de propostas com base neste método, sua "regra de ouro" seria verificar se: TIR ≥ Taxa requerida de retorno

Digamos que a empresa em apreço coloque uma taxa de 12% a.a. como o mínimo aceitável para aceitação de projetos. Sendo assim, a aludida troca de equipamentos se processaria sem problemas. Entretanto, se a exigência fosse de 20%, haveria de se rejeitar tal iniciativa.

Adicionalmente, no caso da taxa de corte de 12%, a aceitação do projeto significaria, em linguagem de finanças, que o projeto acresceria a base geradora de riquezas da empresa.

4.3 Valor Presente Líquido ou Valor Atual Líquido

Da mesma forma que o método da TIR, este se constitui em método baseado em fluxos de caixa descontados, sendo que tal desconto se dá pela inserção de uma taxa requerida de retorno. Vejamos: nVAL = FCt em que as variáveis se definem como no item anterior.

t=0 (1 + i)t

Com vista à aceitação de projetos, a pertinente "regra de ouro" fica sendo: VAL≥0

Dessa forma, um VAL maior do que zero implica em dizer que o projeto possibilita um retorno superior ao caso de aplicações no mercado financeiro, p.ex., em que se teria retorno certo de uma taxa "i". Ou, em outros termos, a base geradora de riquezas da empresa se elevaria à par da aceitação do projeto em questão.

Atendo-nos novamente ao nosso exemplo, impondo-se uma taxa mínima de retorno da ordem de 12% a.a., teremos:

VAL = -18.000 + 5.660 + 5.660 + 5.660 + 5.660 + 6.660 = $2.970,

1,121 1,122 1,123 1,124 1,125

o que nos capacita à aceitacão do projeto.

Obviamente, um VAL≤0 representaria um retorno aquém do nível demandado de 12% a.a. e, a aceitação de projetos nestas condições representaria um decréscimo na base geradora de riquezas da empresa.

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4.4 A TIR versus o VAL

Pontos de convergênciaAmbos os métodos proporcionam o mesmo "sinal" de aceitação ou de rejeição, em análises em que se avaliem propostas únicas. Com a Fig.1, podemos visualizar a relação que se estabelece entre ambos:

Fig.1 VAL e TIRVAL($)

$11.300,00

18,33%

0Taxa de juros %

Nesse exemplo hipotético, temos que, a uma taxa de desconto zero, o VAL será tão somente a diferença entre entradas e saídas ao longo da vida do projeto. Por outro lado, à taxa de 18,33% a.a., ainda aceitaríamos o projeto, visto que, nesse ponto, o VAL se iguala a zero. Qualquer outra taxa requerida de retorno que se situasse entre 0 e 18,33% levaria à aceitação da proposta, enquanto taxas superiores não encontrariam fluxo esperado de retornos que a justificassem.

Pontos de divergênciaSituamos tais pontos nos seguintes aspectos:

$ taxa de reinvestimento dos fluxos intermediários;$ escala do investimento;$ taxas múltiplas de retorno.

A divergência na sinalização para aceitação ou rejeição de propostas de investimentos ocorre quando da comparação de projetos mutuamente excludentes, em que somente um será selecionado. Vejamos o exemplo a seguir:

FLUXO DE CAIXA

Ano 0 1 2 3 4Proposta A -$23.616 $10.000 $10.000 $10.000 $10.000Proposta B -$23.616 $0 $ 5.000 $10.000 $32.675

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Procedendo aos cálculos do VAL e da TIR, a uma taxa requerida de retorno de 10%, teremos:

Projeto A Projeto BVAL $8.083 $10.347TIR 25% 22%

Com isto, vemos um evidente conflito gerado da consideração simultânea dos dois métodos, onde, pelo uso da TIR preferimos o Projeto A, enquanto pelo método do VAL, escolhemos o Projeto B.

Qual, então, a decisão mais sensata?

A escolha recai sobre o Projeto B, visto que ele tomou em conta o custo de oportunidade da empresa, representado por aplicações alternativas que poderiam lhe render até 10% a.a.

E quanto à TIR? Qual a razão de seu preterimento? Isso se deve à suposição "heróica" do reinvestimento dos fluxos intermediários (1 e 2) à própria TIR, o que se constitui em equívoco evidente, já que colocamos que o custo de oportunidade da empresa seria de 10% a.a.

Um novo problema que decorre do uso do método da TIR refere-se à escala do investimento inicial. Assim, desde que este método se expressa como uma porcentagem, a escala do investimento pode gerar problemas sérios na seleção de projetos. Vejamos o próximo exemplo:

Fluxos de Caixa

Ano 0 1 TIR VAL(a 10% a.a)Proposta X -$100 $150 50% $36,36 Proposta Y -$500 $625 25% $68,18

Utilizando o método da TIR, recusaríamos um maior ganho ($68,18 no Y) em troca de um menor ($36,36 no X) apenas porque este nos daria maior "porcentagem". Nada mais absurdo.

Outro problema surge quando da ocorrência de taxas de retorno múltiplas.

Consideremos o seguinte projeto de investimento:Investimento Inicial: $ 1.600,00FC 1: $ 10.000,00FC 2: $ -10.000,00

A equação de determinação da TIR se escreve então:

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Equação resultante: -10.000,00/(1+TIR)2 + 10.000,00 / (1+TIR)1 - 1.600,00 = 0

Dividindo por 1.000 e substituindo 1 / (1+TIR) por X, temos:

-10X2 + 10X - 1,6 = 0 => 10X2 - 10X + 1,6 = 0

Raízes: X1 = 0,80 e X2 = 0,20. Substituindo X1 e X2 por 1 / (1+TIR) temos:

TIR 1 = 25% e TIR 2 = 400% VAL (a 10%) = -774,00

Pelo critério do VAL o referido projeto deve ser rejeitado (VAL de -774,00). Entretanto, pelo critério da TIR, deverá ser aceito (TIR de 25% e TIR de 400%). Tal fato demonstra sua inadequação para o referido caso.

É também útil mostrar outra limitação do método, ao possibilitar a ocorrência de taxa de retorno inexistente na análise de propostas.

Pelo exemplo que segue, pode ser demonstrada tal limitação. Observe-se:

Inv. Inicial FC1 FC2-$100,00 $200,00 -$150,00

Dividindo por 100 e substituindo por x, temos:

Isto se deveu à ocorrência de fluxo de caixa negativo. A presença de FC negativo gera a probabilidade de ocorrência de TIR inexistente, mas não determina sua inexistência, necessariamente. Quanto maior o número de inversões e de discrepância dos fluxos maior a probabilidade de aparecimento da TIR inexistente.

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não existem raízes reais


Descrevemos um outro empecilho à aceitação deste método, e que se refere à não aditividade das taxas quando da consideração conjunta de projetos não-excludentes.

Melhor explicando, vejamos os dois projetos abaixo, já apontados anteriormente:

Fluxos de Caixa

Ano 0 1 2 3 4Proposta A -$23.616 $10.000 $10.000 $10.000 $10.000Proposta B -$23.616 $0 $ 5.000 $10.000 $32.675Proposta A+B -$47.232 $10.000 $15.000 $20.000 $42.675

Vimos que as TIR's para os projetos A e B são, respectivamente, 25% e 22%. Porém, com sua consideração conjunta (Projeto A+B) não temos 47% e, sim, 23,19%. Visando melhor esclarecimento, com o uso do método da VAL, teríamos a característica de aditividade, com seu valor alcançando $18.430 (que corresponde à soma dos valores parciais de $8.083 e $10.347).

Mas, enfim, por que a ampla aceitação da TIR no mundo empresarial? Os dados apontados restringem-lhe enormemente a significação econômica. Em especial, a idéia do reinvestimento dos fluxos intermediários à própria TIR se mostra um equívoco grosseiro.

As razões de aceitação da TIR se prendem ao fato de que, sendo uma taxa, ela é mais fácil de ser visualizada e interpretada. Paralelamente, com o método concorrente dado pelo VAL, a decisão se faz sobre um número absoluto, "descontado" para o momento zero, o que traz dificuldades de entendimento para muitos profissionais.

Adicionalmente, sendo a taxa requerida de retorno apenas uma aproximação ao real custo de oportunidade da empresa, o uso do VAL não recebe apoio unânime da comunidade empresarial, deixando campo para a aceitação do método da TIR.

Outrossim, temos o fato real de que as empresas não se defrontam freqüentemente com análises de projetos mutuamente excludentes ou, ainda, de projetos cujos fluxos não apresentem o padrão usual (que poderia trazer taxas múltiplas de retorno). Então, se o que importa na análise de projetos únicos é uma correta sinalização quanto a aceitá-los ou rejeitá-los, e desde que ambos os métodos apontariam sinal idêntico, tem-se a preferência pelo método da TIR.

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4.5 Taxa Interna de Retorno Modificada (TIRM)

Se os problemas aludidos acima se constituem de fato em sérias restrições ao uso do método da TIR, a solução estaria num método que tomasse em conta o custo de oportunidade sobre os recursos da empresa nos cálculos para levantamento de uma taxa de retorno para iniciativas empresariais. Vejamos como, através do nosso primeiro exemplo:

Fig.2 Avaliação de projeto

0 1 2 3 4 5-18.000 5.660 5.660 5.660 5.660 6.660

Taxa de desconto: 12% ao anoTaxa de juros do mercado financeiro: 14% ao ano

Assim, procedendo ao reinvestimento dos fluxos intermediários (1 a 5) à taxa de juros do mercado financeiro (que representa o custo de oportunidade sobre recursos disponíveis da empresa), a equação de cálculo será:

em que falta definir e relembrar que:VF = valor futuro (no último período) dos fluxos de caixa da empresa;n = período de vida considerado para o projeto;II = investimento inicial.

Já a operacionalização dos cálculos da TIRM no problema anterior se daria como abaixo:

Ano 1: 5.660 x 1,144 = 9.559,51

Ano 2: 5.660 x 1,143 = 8.385,54

Ano 3: 5.660 x 1,142 = 7.355,74

Ano 4: 5.660 x 1,141 = 6.452,40

Ano 5: 6.660 x 1,140 = 6.660,00

VF ============> 38.413,19

TIRM = ((38.413,19/18000)1/5 - 1) x 100 = 16,37% aa

Nesse caso, são dois os passos para aferição da viabilidade de projetos de investimentos:

a) TIRM ≥ TRR: se isso ocorrer, o projeto é viável, por superar a taxa requerida de retorno, que é julgada suficiente para os propósitos de crescimento e sustentação da empresa no longo prazo.

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b) TIRM ≥ im: se essa nova restrição é atendida, isso implica em que a

rentabilidade do projeto supera possíveis aplicações de recursos no mercado financeiro. Em outros termos, a empresa terá retornos superiores aplicando na produção em lugar de investir em produtos financeiros.

Outro detalhe diz respeito à fórmula da TIR, que se refere a casos onde ocorra o padrão usual na análise de projetos, com investimentos num período inicial, sendo seguidos, no tempo, por fluxos de caixa líquidos.

Caso houvesse fluxos de caixa negativos, além daquele referente ao investimento inicial, o critério internacionalmente aceito é o de se descontar tais fluxos negativos para o momento zero à taxa requerida de retorno, aumentando o valor de "II" na fórmula dada.

Observa-se que não importa o padrão do fluxo de entradas e de saídas, pois que poderíamos adaptar novas configurações, quando necessário. Planilhas eletrônicas como o Excel, já incorporam soluções nesta direção.

Quanto à regra para aceitação de projetos, o procedimento segue aquele do método da TIR, ou seja:

TIRM ≥ Taxa requerida de retorno

Para nosso exemplo acima, temos que a TIRM se iguala a 16,37%, superando a taxa requerida de retorno de 12%. Nesse sentido, o projeto contribuirá decisivamente para acrescer a base geradora de riquezas da empresa.

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Exercícios de Aprendizagem/Fixação de metodologias de avaliação de fluxos de caixa de projetos de investimentos

Calcule o payback:

Inv.Inicial FC1 FC2 FC3 FC4 FC5-18.000,00 5600,00 4780,00 6620,00 4789,00 -Payback = _______ períodos

Inv.Inicial FC1 FC2 FC3 FC4 FC5-540,00 100,00 100,00 100,00 100,00 100,00

Payback = _______ períodos Comente:________________________________

Inv.Inicial FC1 FC2 FC3 FC4 FC5-99.000,00 15000,00 24500,00 24500,00 34570,00 87900,00Payback = _______ períodos

Inv.Inicial FC1 FC2 FC3 FC4 FC5-8.500,00 9000,00 5600,00 - 10000,00 14500,00 2000,00


Inv.Inicial FC1 FC2 FC3 FC4 FC5-8.500 4500,00 - 5600,00 10000,00 14500,00 2000,00


Inv.Inicial FC1 FC2 FC3 FC4 FC5- 54.600,00 28400,00 8976,00 4550,00 4550,00 16248,00Payback = _______ períodos

________________________________________

Calcule o payback atualizado do 1º e do 3º exercícios acima (i=4,65%):

Inv.Inicial FC1 FC2 FC3 FC4 FC5

Payback atualizado = ________ períodos

Inv.Inicial FC1 FC2 FC3 FC4 FC5

Payback atualizado = ________ períodos

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Calcule o VPL e a TIR:


TRR=15%

VPL= R$____________ TIR= ______ %

Inv.Inicial FC1 FC2 FC3 FC4 FC5-32000,00 9800,00 19000,00 8600,00 17000,00 -5000,00

TRR=17,5%

VPL= R$____________ TIR= ______ %


TRR=20%

VPL= R$____________ TIR= ______ %

Inv.Inicial FC1 FC2 FC3 FC4 FC5-100 70,00 -10,00 170,00 -15,00 200,00

TRR=25%

VPL= R$____________ TIR= ______ %

Um veículo é financiado em 18 prestações mensais iguais e sucessivas de R$325,00 e mais três prestações semestrais de R$775,00, R$875,00 e R$975,00. Calcular o valor financiado, sabendo-se que a taxa cobrada pela financeira foi de 8,7% a.m.

__________________________________________

Calcular a TIR-M:

Inv.Inicial FC1 FC2 FC3 FC4 FC5-100 70,00 -10,00 170,00 -15,00 200,00

TRR=25% im=20%

TIR-M= ______ %

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Exercícios de Análise de Investimentos:

1)A empresa XYZ estuda a reposição de parte de seu parque fabril e, para isso, levantou os seguintes dados:

Equipamentos novos Valor: $800.000 Vida útil: 5 anos Tempo de depreciação.: 2 anos Valor residual: $350.000 Receitas adicionais : $580.000/ano nos 2 primeiros anos : $620.000/ano nos 2 anos seguintes : $440.000 no último ano Custos de produção : 25% das receitas, a cada ano Despesas com manutenção: $50.000 no 2o ano; $80.000 no 3o ano; $90.000 no 4o ano; Instalação do equipamento novo (valor a ser lançado como despesa no fluxo

seguinte): $60.000

Equipamentos antigos Valor residual hoje: $180.000 Vida útil restante: 3 anos Valor original dos equipamentos: $1.150.000 Tempo restante para depreciação: 2 anos Idade atual dos equipamentos: 3 anos

A par destes dados, pergunta-se se vale a pena a troca do parque fabril hoje, dada a taxa requerida de retorno de 20%, uma taxa de juros do mercado financeiro de 22% ao ano e a alíquota do imposto de renda de 40%.

OBS: Os equipamentos antigos devem ser vendidos hoje e o método de análise deve ser o da taxa interna de retorno modificada.

2)Uma empresa vem considerando promover a automação de sua fábrica, num investimento em equipamentos que custaria $1.000.000, valor a ser coberto parcialmente pela venda de maquinaria obsoleta no total de $350.000. Esta última custou $800.000 há 5 anos atrás, tem vida útil restante de 3 anos e deverá ser depreciada por adicionais 2 anos (além da vida útil).

Espera-se um aumento anual de $500.000 nas vendas dos 3 primeiros anos e de $800.000 nos 3 últimos. A cada ano, os custos de produção corresponderão a 40% das vendas.

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Outros dados relacionados ao empreendimento novo são de que ao investimento inicial se acresceria dispêndio de $500.000 por conta de trabalhos de consultoria no campo da informática (dispêndios esses que devem ser lançados contabilmente como despesas no Ano 1), além do período de 5 anos para depreciação dos itens imobilizados e de um valor residual de $100.000 ao final da vida útil de 6 anos.

Sendo de 40% a alíquota do imposto de renda e de 20% a taxa requerida de retorno da empresa, pergunta-se se o projeto de troca de equipamentos é viável.OBS: Proceda a sua análise com base no método do Valor Presente Líquido e da Taxa Interna de Retorno.

3)A Politécnica S/A está considerando um plano de investimento para produção de um novo produto desenvolvido pela área industrial por 06 anos. Para tanto, a empresa deve aplicar imediatamente $300.000 na compra de equipamentos, além de dispender $35.000 por conta de trabalhos de consultores de marketing. Além desses gastos, prevê-se que manutenções periódicas anuais das instalações demandariam $25.000 no 3o ano, $30.000 no 4o ano e $20.000 no 5o ano. As receitas adicionais esperadas do plano são projetadas em $160.000 no 1o ano, crescendo à taxa de 15% até o 4o ano. Para os 2 últimos anos (5o e 6o), projeta-se queda anual das receitas de 20%. O tempo de depreciação dos equipamentos é de 5 anos e seu valor residual de $80.000.

Por outro lado, os custos de produção devem representar 42% das receitas no 1o ano, 35% no 2o e 30% da receita do 3o ano para o terceiro ano e demais anos até o final do projeto. Além disto, o novo produto deve reduzir a receita de produtos atuais num valor equivalente a 15% das vendas anuais do produto novo, assinaladas no parágrafo acima.

Outro aspecto do atual projeto é que a empresa poderá livrar-se de equipamentos atualmente em uso, os quais podem ser vendidos no estado em que se encontram pela soma de $85.000 (mesmo valor de livro). A idade atual desses equipamentos é de 4 anos e seu tempo restante de depreciação é de 2 anos. Caso sejam vendidos ao final destes 2 anos, seu valor de mercado seria de apenas $35.000, além do que seriam necessários $8.000 para reforma-los antes de poderem ser colocados à venda.

As novas instalações ocuparão um terreno avaliado em $1.000.000, o qual não deve sofrer variação significativa de valor nos próximos anos e que encontraria compradores até com uma certa facilidade, o que permitiria sua venda sem maiores problemas.

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O custo de capital da empresa é de 17% ao ano e a taxa de juros do mercado financeiro é de 20% anuais. Além disso, a alíquota do imposto de renda é de 40%. A par destas informações, responda se o projeto é viável de acordo com a metodologia da taxa interna de retorno modificada.

Obs: Despesas no ano zero devem ser lançadas contabilmente no fluxo seguinte.

4)Um analista de empresa industrial foi convocado a avaliar a conveniência da troca da frota de caminhões pesados da empresa. Os dados de que dispõe são os seguintes:Para compra:.Valor de cada unidade : $90.000.Tempo de depreciação : 5 anos.Manutenção por veículo: despesas de $3.000 no 1o ano, crescendo à razão de $1.500 por ano, até o 5o ano..Vida útil na empresa : 5 anos.Valor residual : $30.000 por veículo.Tamanho da frota : 10 unidades

Por outro lado, a frota de 13 veículos que seria substituída poderia ser utilizada por adicionais 5 anos e alcançaria o valor de venda de $22.000 por unidade se vendida hoje no mercado de veículos usados. Vendidos ao final de 5 anos, o preço unitário seria de apenas $6.000. Ademais, esses veículos foram adquiridos três anos antes por $80.000 cada e teriam mais 2 anos para depreciação.

O acréscimo de produtividade que seria alcançado no setor de transporte possibilitaria ganhos adicionais estimados em $350.000 por ano. Assim, sendo de 20% a taxa requerida de retorno para aceitação de projetos e de 40% a alíquota do imposto de renda, pergunta-se se a troca da frota seria vantajosa para a empresa. (Faça sua análise com base no Valor Atual Líquido e no Payback)

5)Uma empresa industrial está analisando a conveniência da troca de equipamentos para modernização de sua linha de montagem. O valor desses equipamentos alcança $320 milhões, com vida útil prevista de 5 anos e valor residual (valor de sucata) de $85 milhões ao final desse prazo. As receitas líquidas previstas são de $180 milhões/ano para os 3 primeiros anos e de $240 milhões/ano para os demais.

Adicionalmente, prevê-se reformar os equipamentos ao final do segundo ano, de forma a adequá-los a recursos modernos de informática, que custarão adicionais $200 milhões. Ademais, esses equipamentos serão depreciados em

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3 anos. Ao final deste período, terão valor de mercado da ordem de $100 milhões.

No que tange às depreciações, essas se fariam exclusivamente em linha reta. Por outro lado, os equipamentos que seriam substituídos na troca custaram $210 milhões, quando de sua instalação 4 anos antes, e seriam depreciados por mais 3 anos. Vendidos no momento, alcançariam o valor de $40 milhões no mercado de máquinas usadas. Vendidos ao final de sua vida útil (em 3 anos), valeriam apenas $10 milhões.

Enfim, sabendo-se que a alíquota do Imposto de Renda é de 40%, que a empresa exige taxa mínima de retorno sobre investimentos da ordem de 20% ao ano e que a taxa de juros do mercado financeiro é de 18% ao ano, analise esta operação e descubra se ela é de fato vantajosa.

6)A destilaria McDaniel está contemplando a reposição de sua máquina engarrafadora por uma nova e mais eficiente. A máquina velha tem valor de livro de $400.000 e restantes 5 anos de vida útil. Seu valor residual seria irrisório quando de seu esgotamento produtivo (ao final dos 5 anos); caso a empresa se decidisse a vendê-la hoje, conseguiria $200.000. Ademais, a depreciação se faz em "linha reta" e tal vantagem tributária se obterá por mais 2 anos.

A nova máquina tem um preço de compra de $800 mil e uma vida útil estimada em 5 anos, com valor residual de $100.000 ao final desse período. Espera-se que economize energia elétrica, trabalho, custos de manutenção e peças de reposição, num montante anual de $200.000. Ademais, a depreciação ocorrerá de forma linear pelos mesmos 5 anos.

Sendo de 40% a alíquota do imposto de renda incidente sobre a empresa e de 18% ao ano a taxa de desconto usada para avaliação de projetos, pergunta-se se valeria a pena a compra da máquina.

7)Uma empresa vem considerando a troca de uma máquina pela qual obteria $20.000 no mercado de máquinas usadas. Ela teria adicionais 3 anos de vida útil (e igual período de depreciação por apropriar), que se dariam sobre o valor de livro (ou valor que falta depreciar) de $33.000. Ademais, não teria valor residual se fosse vendida ao final desses 3 anos.

No tocante à máquina nova, seu preço é de $60.000 (a ser depreciado em 6 anos), e valor residual de $8.000 ao final desse período. Seu uso permitirá ganhos incrementais de $20.000/ano nos 3 primeiros anos e de $25.000/ano nos 3 últimos.

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Sendo de 40% a alíquota do IR, 15% a taxa requerida de retorno e 16% a taxa para aplicações no mercado financeiro, pergunta-se se é viável a troca de equipamentos.

8)A empresa Toninhas vem considerando a reposição de uma máquina com 2 anos de vida e que ainda deverá ser depreciada por mais 3 anos, por uma nova que acrescerá os ganhos de $25.000 para $65.000/ano. A máquina custa $60.000, tem vida útil de 5 anos, período de depreciação de 2 anos e valor residual de $8.000.

Ademais, prevêem-se gastos com consultores externos no 20 ano, no valor de $5.000.

Por outro lado, a máquina antiga havia sido adquirida por $45.000 e, se vendida hoje, alcançaria o valor de $10.000. Vendida ao final de sua útil, não teria qualquer valor.

Sabendo-se que o custo de oportunidade da empresa se expressa por uma taxa de desconto de 20% e que a alíquota do Imposto de Renda é de 40%, pergunta-se: a empresa deve proceder à troca da máquina?

9)Está em questão a aquisição de um reator de planta química, no valor de $500.000, o qual exigiria gastos adicionais de $50.000 no Ano 0 (a serem contabilizados como despesa no ano seguinte) e de $60.000 no Ano 4. O tempo de vida útil previsto do reator é de 6 anos, o tempo de depreciação está determinado em 4 anos e os ganhos anuais derivados de sua incorporação seriam $180.000.

Sendo de $60.000 seu valor residual, 40% a alíquota do imposto de renda e de 18% tanto a taxa requerida de retorno como a taxa de mercado para reaplicações dos fluxos de caixa, pergunta-se se o projeto é totalmente viável para a empresa.

Sua conclusão seria a mesma para uma taxa requerida de retorno de 16%?

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LEITURA COMPLEMENTAR

Quanto vale a sua empresa??!!1

Domingos Xavier Teixeira2

Determinar qual o valor de uma empresa é algo complexo e difícil,

mas não impossível. Quanto vale, por exemplo, a Petrobrás e todo o seu

complexo de empresas controladas e coligadas dos mais variados ramos?

Pergunta simples e direta, porém cuja resposta não é tão simples quanto

parece a primeira vista. Quanto vale uma rede de supermercados, por

exemplo, o Carrefour? Ou quanto vale uma lanchonete da Praça Sete, como o

Café Nice, por exemplo?

Todas essas perguntas levam o leitor a pensar como é possível

calcular o valor de um negócio desses. Teoricamente, cada “negócio” vale, em

princípio, o montante do patrimônio líquido apurado pelo balanço da empresa

ajustado pelos ativos e passivos a valor presente acrescido da mais ou menos

valia dos estoques e do imobilizado, mais ainda o valor do ativo intangível, que

não está contabilizado, que é o fundo de comércio, deduzido das contingências

certas e um percentual das contingências prováveis. Esse seria, então, o valor

teórico da empresa, à vista. A prazo, esse valor seria então acrescido dos juros

de uma aplicação financeira.

Essa é uma forma simplista de calcular o valor de um negócio, mas

é um critério utilizado quanto não se tem história do negócio ou orçamentos

projetados de anos futuros com forte margem de certeza. Mas existe uma outra

forma mais técnica de calcular o valor de uma empresa. Trata-se da

sistemática de fluxo de caixa descontado. Com base nesse critério, a empresa

vale o montante que ela pode gerar de lucros futuros, que seriam descontados

a valor presente. Em outras palavras, o valor da empresa seria determinado

1 Diário do Comércio, 25 a 27 de abril de 1998, pág 16.2 Contador, economista e administrador de empresas. Sócio da Teixeira e Associados, Diretor Técnico da Ibracon-MG e vice-presidente da Câmara de Desenvolvimento Profissional do Conselho de Contabilidade de Minas Gerais.

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com base no fluxo de caixa futuro (a soma das sobras futuras de caixa) que a

empresa irá gerar, descontado o valor presente. Assim sendo, em

conformidade com esse raciocínio, o montante do fluxo de caixa futuro será

igual à diferença entre os ativos e passivos que a empresa tem hoje, que

seriam acrescidos ou ajustados pelo valor presente dos lucros futuros

acrescidos das depreciações e amortizações que não representam desembolso

de caixa, e deduzido das saídas de caixa. Nessa sistemática de avaliação da

empresa com base no fluxo de caixa, o imobilizado e o diferido não seriam

considerados nos saldos iniciais, porque a sua geração seria anualmente

considerada pelo acréscimo ao resultado da amortização do diferido e da

depreciação do imobilizado.

Os fluxos de caixa anuais assim encontrados seriam então trazidos

a valor pressente e ter-se-ia então o valor do negócio à vista. Assim, ao se

projetar o valor dos lucros futuros, estaria então sendo levado em consideração

todo o esforço de vendas e de redução de custos, a política de negócios, de

marketing, a eficiência do pessoal de vendas ou do gerente financeiro para

aplicar recursos disponíveis, ou do engenheiro de produção. O valor do fundo

de comércio seria então levado nessa consideração para gerar lucros. Eis

porque não seria pago nada de adicional por esse fundo, em virtude de o seu

benefício já estar sendo considerado. Todo esse esforço estaria então sendo

considerado como parte dos lucros futuros. Portanto, o valor do goodwill*

representado pela marca, pelo fundo de comércio, pela qualidade da gerência,

ou pela carteira de clientes, tudo isso já estaria sendo considerado como parte

do lucro futuro. Assim, neste critério de avaliação não há que se falar em valor

de mercado do imobilizado, ou em valor da patente. Tudo isto já estará refletido

nos lucros futuros projetados. Nessas condições, qualquer negócio só tem

valor se ele puder gerar resultados. De nada adianta escritório bonito ou fábrica

modelo, se isso tudo não gera lucros. Sob a ótica do investidor, nada vale

como negócio.

Um aspecto importante a se considerar também na avaliação do

fluxo de caixa é o percentual a ser adotado para se estabelecer o desconto a

ser reduzido dos lucros futuros. Para concluirmos sobre esse assunto, vamos

25


pensar do ponto de vista do investidor. Se ele tem uma determinada quantia

para investir e, teoricamente, não quer correr risco, ele então irá aplicá-la em

um fundo que lhe garanta por exemplo um retorno pelo menos igual ao CDI,

hoje em torno de 30%. Nesse tipo de investimento, o investidor teria o único

esforço e risco de dar um telefonema para o gerente de sua conta e lhe solicitar

para fazer a aplicação do seu dinheiro. Agora, se o investidor quer correr algum

risco, ele então precisaria de uma remuneração adicional, além desses 30%. E

de quanto seria, então, esse percentual adicional que ele teria para correr

risco? Nas circunstâncias atuais, poderíamos falar em algo em torno de um

rendimento adicional de 10%. Portanto, o valor do desconto a ser aplicado aos

lucros futuros seria de 40% ao ano. Essa taxa seria aplicada até atingir a

perpetuidade.

Normalmente, o consultor, ao ser contratado para calcular o valor de

um negócio, estabelece inicialmente com seu cliente, que geralmente é o

comprador, o critério de avaliação a ser adotado. Definido esse critério, que

geralmente é o do fluxo de caixa descontado, o consultor e o auditor, que

trabalham em conjunto nessas avaliações, adotam vários procedimentos de

avaliação e de auditoria. Um procedimento, por exemplo, seria a revisão de

como a empresa chegou a cada um dos valores de seu orçamento de caixa

para os próximos dez anos. Ainda para confirmar essa tendência futura, é feita

uma auditoria dos últimos três anos para se ter certeza de que os valores

informados pela contabilidade nesse período estariam corretos. Nesse trabalho

de auditoria do passado, são obtidas inúmeras informações para que o

avaliador possa também confirmar as projeções futuras.

Outros aspectos que o trabalho de auditoria e avaliação levam em

consideração se relacionam com as contingências ativas e passivas,

principalmente essas últimas, que reduzem o preço de partida. Quando se faz

essa auditoria do passado, o auditor procura se certificar também de que os

saldos atuais, que serão os saldos iniciais do fluxo de caixa ao qual será

somado o valor dos fluxos futuros, são corretos. Da mesma forma que o fluxo

de caixa futuro, esses saldos iniciais serão trazidos a valor presente, utilizando-

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se, por exemplo, a sistemática adotada para a contabilidade pela correção

integral.

O consultor procura também se certificar das projeções da empresa

utilizando-se de informações externas, de terceiros. Uma fonte importante é a

tendência da história das empresas concorrentes e como essas empresas

estão vendo o futuro. Outra fonte externa importante é o setor em que a

empresa opera. Ou, também, os órgãos de classe, o governo, ou as empresas

congêneres do exterior. Considerar também a tendência de mercado é algo

muito importante. Por exemplo, avaliar o preço de uma empresa fabricante de

aparelhos de fax de mesa é algo impossível, pois esta empresas já estão

entrando em decadência, já que o fax de mesa está sendo substituído pelo fax

via computador ou pela própria Internet. É a mesma coisa de um fabricante de

aparelhos de telex ou de máquina de escrever: são máquinas recentes que já

viraram peça de museu.

Toda essa pesquisa tem por objetivo permitir ao consultor formar

uma opinião sobre o negócio e sobre as suas perspectivas futuras, cujo único

objetivo é o de confirmar as cifras que foram projetadas no fluxo de caixa.

Aliás, esse fluxo de caixa é que será a base para determinar o valor da

empresa para fins de negócio entre comprador e vendedor.

* Goodwill: expressão em inglês que significa, literalmente “boa vontade”, mas,

aplicada à atividade empresarial denota a reputação que esta e/ou seus produtos gozam junto

aos consumidores. Uma empresa obtém essa condição por meio de qualidade dos seus

produtos e de sua propaganda e publicidade, mas também por meio de atitudes e

procedimentos como financiamento de campanha humanitária, a defesa do meio ambiente, o

apoio a esportistas e artistas, etc., o que, de uma forma direta ou indireta ajuda a criar uma

imagem positiva junto aos consumidores (efetivos ou potenciais) de seus produtos. O goodwill

é considerado um ativo da empresa e, no caso de venda da mesma, ele é avaliado e entra

como parte do seu valor.

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Destruição criativa, essencial para o progresso3

Gary S. Becker4

Ainda que a capacidade de empreender seja um conceito difícil de

definir, os economistas reconhecem sua importância desde a análise brilhante

do desenvolvimento econômico feita pelo grande economista austríaco Joseph

Schumpeter, na virada do século. Indivíduos com visão, dispostos a arriscar

seu próprio dinheiro e o de outros investidores em novos produtos, são o motor

que combina capital humano e físico, estimulando o crescimento econômico e

o progresso.

Um ambiente que favorece empreendimentos de sucesso tem como

característica uma “destruição criativa” permanente, nos termos do próprio

Schumpeter. Novas empresas prosperam e ajudam a economia em parte

destruindo os mercados de concorrentes estabelecidos. Entre os exemplos

podemos citar a concorrência feita aos telefones tradicionais pelo telefone

celular, o corroído mercado dos pequenos varejistas de frutas e verduras, dada

a maior eficiência dos supermercados, e o declínio acentuado do mercado de

computadores da IBM após a introdução dos PCs de rede pela Sun

Microsystems e outras empresas. Países que protegem os mercados e rendas

de empresa já existentes impedem a destruição criativa, tão essencial ao

progresso.

Embora algumas culturas encorajem a capacidade empresarial mais

do que outras, todas as culturas têm reservas de talento que vêm à tona

quando o ambiente é propício para negócios. Chineses prosperam nos

negócios na Indonésia, Malásia e Cingapura, enquanto são impedidos de

utilizar seus talentos na China comunista. O Chile descobriu reservas enormes

de capacidade empresarial após as reformas de livre mercado dos anos 80.

Regulamentação e burocracia são os principais obstáculos à

formação dos novos negócios. Entre os mais onerosos estão as licenças e

outras exigências que atrasam enormemente a aprovação oficial para novos

3 Gazeta Mercantil, 2 de maço de 1998, pág. A-3. Artigo publicado originariamente na Business Week.4 Prêmio Nobel de Economia em 1992. Professor da Universidade de Chicago e membro da Hoover Institution.

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empreendimentos. Alguns países chegam a exigir certificação de que a nova

empresa é “necessária” numa particular localidade ou setor industrial -

aprovação freqüentemente recusada.

Os impostos sobre lucros, ganhos de capital e propriedade são

freqüentemente tão opressivos que também eles desencorajam os que querem

começar. Embora os impostos sobre os lucros das empresas e sobre ganhos

de capital nos Estados Unidos sejam moderadamente pesados, as brechas na

legislação são suficientemente abundantes para permitir que muitos dos novos

ricos amealhassem sua fortuna via novos investimentos. Isso também é

verdade em Hong Kong, Taiwan e Chile.

Os países europeus, infelizmente, erigiram sérias barreiras nesse

caminho para a riqueza. Um bom exemplo é a Suécia, famosa pela eficiência

competitiva de empresas como a L.M. Ericsson, Volvo e ABB - Asea Brown

Boveri. Todavia, com poucas exceções, elas foram fundadas entre 1875 e

1915, auge do crescimento sueco e do livre mercado. Apenas um pequeno

número de empresas suecas importantes, como a Tetra-Pak Processing

Systems, foi criado em anos recentes, em razão dos impostos confiscatórios e

da pressão igualitária nos mercados de trabalho. Frustradas, algumas das mais

bem-sucedidas empresas, como a ABB, mudaram sua sede e fábricas para o

exterior.

Mesmo em países europeus, com um grande número de pequenas

empresas, como a Itália, os executivos se queixam das regulamentações

intrusivas que desencorajam e prejudicam os que desejam iniciar um negócio.

Estão impressionados como é mais rápido obter aprovação para suas fábricas

nos Estados Unidos, embora estejam começando a se preocupar com o

número crescente de litígios e regulamentações ambientais.

Estatísticas da Organização para Cooperação e Desenvolvimento

Econômico confirmam que o capital de risco é mais abundante nos Estados

Unidos do que na Europa, e que a América investe muito mais desse capital

em novos projetos. Além disso, muito desse dinheiro é investido em empresas

de alta tecnologia em Silicon Valley e em outros centros de energia

empresarial.

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Uma conseqüência disso foi o crescimento do emprego. Há

evidência de que empresas menores forneceram cerca da metade dos novos

empregos durante o “boom” do emprego que começou nos anos 80. Em

contraste, a Europa não experimentou, de um modo geral, um crescimento do

emprego no setor privado nas últimas décadas.

Outra vantagem é a renovação da vitalidade das grandes empresas

de capital aberto. Há enormes oportunidades na América para pequenas

empresas crescerem. A listagem do Financial Times das cem maiores

empresas do mundo contém muitas empresas européias, mas quase todas

elas fundadas muitos anos atrás. Em contraste, Microsoft, Intel, Wal-Mart

Stores, Hewlett-Packard, McDonald’s e outras empresas americanas listadas

forma fundadas apenas umas poucas décadas atrás e se tornaram grandes

empresas.

Impressiona-me o número de pessoas que acredita que ganhará

muito dinheiro começando um novo negócio. A grande maioria fracassará ao

tentar levar adiante suas idéias. Ainda assim, esses sonhos conduzem uma

economia para novos apogeus quando encorajados por uma atmosfera

regulatória favorável e baixos impostos sobre lucros, ganhos de capital e

rendimentos.

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ANÁLISE DE REGRESSÃO

1. Introdução

2. A regressão linear

3. Método dos mínimos quadrados

4. Inferência em análise de regressão

5. O coeficiente de determinação (r2) 6. Intervalos de confiança

7. Observações discrepantes

8. Conclusão

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1. INTRODUÇÃO

O objetivo principal da análise de regressão é predizer o valor de uma variável (a variável dependente), desde que seja conhecido o valor de uma variável associada (a variável independente). A equação de regressão é a fórmula algébrica para determinação do valor previsto da variável dependente.

Mais especificamente, a análise de regressão compreende o exame de dados amostrais para saber se e como duas ou mais variáveis estão relacionadas uma com a outra numa população, propiciando, como resultado, uma equação matemática que descreva o relacionamento. Tal equação pode ser usada para estimar ou predizer valores futuros de uma variável quando se conhecem ou se supõem conhecidos os valores da outra variável.

Os dados para a análise de regressão resultam de observações de variáveis emparelhadas. Para um problema de duas variáveis, cada observação origina dois valores, um para cada variável. Por exemplo, um estudo que envolva características do mercado específico (de carros usados) poderia focalizar níveis de quilometragem e preços de carros.

2. REGRESSÃO LINEAR

A regressão linear simples constitui uma tentativa de estabelecer uma equação matemática linear (linha reta) que descreva o relacionamento entre duas variáveis e que seja fácil de lidar e de interpretar.

2.1 Equação Linear

Duas importantes características da equação linear são o coeficiente angular da reta e a cota da reta em determinado ponto. Uma equação linear tem a forma:y = a + bxem que a e b são valores que se determinam com base nos valores amostrais; a é a cota da reta em x=0, e b é o coeficiente angular. A variável y é aquela a ser predita, e x é o valor preditor.

A Fig.1 ilustra a relação entre o gráfico de uma reta e sua equação. A reta, com equação y = a + bx, intercepta o eixo dos y's no ponto y = a. Esse ponto é chamado intercepto-y. O coeficiente angular da reta, b, indica a variação de y por unidade de variação de x.

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Fig.1 A reta de regressão

y = a + bx y Coef. angular = b = y x xy = a

Consideremos a equação linear y = 5 + 3x. A reta intercepta o eixo dos y's no ponto em que y = 5. O coeficiente da reta é 3, o que significa que a cada unidade de variação em x, correspondem 3 unidades de variação de y. Podemos usar a equação para determinar valores de y correspondentes a valores de x, como se vê na tabela abaixo.

Valor de x Valor de y (Calculado de y = 5 + 3 x x) 2,0 5 + 3 x 2,0 = 11,0 3,1 5 + 3 x 3,1 = 14,3 7,2 5 + 3 x 7,2 = 26,6

2.2 Decisão por um Tipo de Relação

Deve-se atentar para o fato de que nem todas as situações são bem aproximadas por uma equação linear. Por isso, em geral é necessário desenvolver um trabalho preliminar para determinar se um modelo linear é adequado. O processo mais simples consiste em grafar os dados e ver se uma relação linear é adequada. Vejamos os gráficos da Fig.2:

Fig.2 situações diversas para regressões lineares

a. b.

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c. d.

e. f.

Quando os dados não podem ser aproximados por um modelo linear, as alternativas são procurar um modelo não-linear conveniente, ou transformar os dados para a forma linear.

2.2.1 Análises de séries cronológicas

Vamos verificar a pertinência de equações lineares, analisando as relações entre variáveis. O que se espera é que os dados históricos expressem relações causais e que, ademais, sejam estáveis no tempo. Com isto, as previsões tornam-se extremamente simples e baratas de serem obtidas.

Infelizmente para o analista, sua ação neste campo não será das mais fáceis. Vemos, na próxima seqüência de figuras, que, em alguns casos, encontramos produtos, marcas e serviços, cuja demanda progride regularmente com o passar do tempo (Fig.3a), enquanto, em outros casos, há comportamentos menos previsíveis.

A Fig.3b, em especial, sugere produtos - bastante influenciados pelo ambiente econômico -, cujas vendas variam na dependência de promoções de preços, campanhas publicitárias, modas passageiras etc. Nesse caso, análises de séries cronológicas e jogos estatísticos não serão de grande valia. O

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desamparo do analista poderá diminuir pela recorrência a métodos de opinião (de compradores, de especialistas ou de força de vendas).

Entre os extremos aludidos acima, temos as situações intermediárias, representadas pela Fig.3c, em que vemos três forças sistemáticas reais em atuação, sendo a primeira a tendência que resulta do processo de crescimento e de desenvolvimento econômicos.

A segunda força é o ciclo, que motiva os movimentos variáveis das vendas e resulta, muitas vezes, das variações das atividades econômicas.

Por fim, temos a força sistemática dada pela estação, que decorre de eventos sazonais como férias e condições climáticas, em especial.

E se tudo isto não bastasse, temos de lidar ainda com fatores erráticos como greves, concorrência inesperada, pacotes governamentais, dentre outros.

Fig. 3a Fig. 3b Fig. 3c

2.3 Determinação da Equação Matemática

Com o objetivo de levantarmos um modelo preditivo, com base na análise de regressão, vamos nos utilizar do exemplo do Quadro 1, para determinar se há alguma relação entre quilometragem e preços dos carros de um determinado modelo. Isto é, queremos saber se e como o preço dos veículos varia com a quilometragem dos mesmos. Em linguagem de regressão, a quilometragem seria a variável independente, ou explicativa, e o preço dos veículos a variável dependente, ou explicada. Ademais, é tradicional usar o símbolo x para representar valores da variável independente e o símbolo y para valores da variável dependente.

Repetindo:Na regressão, os valores "y" são preditos com base em valores dados ou conhecidos de "x". A variável "y" é chamada dependente, e a variável "x", variável independente.

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Suponha-se que tenhamos coligido dados de venda do veículo "GOL", modelo CL, ano 1992, junto a vendedores de veículos em Belo Horizonte (na zona de comércio do Estádio Mineirão). Segue uma possível tabela de apresentação de dados amostrais, originados aleatoriamente.

Quadro 1. Quilometragens e preços dos veículos

Observação Quilometragem(1.000 kms)

Preços Negociados

(R$1.000)1 40 10002 30 15003 30 12004 25 18005 50 8006 60 10007 65 5008 10 30009 15 2500

10 20 200011 55 80012 40 150013 35 200014 30 2000

Os dados da tabela acima são plotados no gráfico da Fig.4 a fim de decidirmos se uma reta descreve adequadamente os dados. Conquanto seja evidente a impossibilidade de achar uma reta que passe por cada um dos pontos do diagrama, parece que uma relação linear é razoavelmente consistente com os dados amostrais.

Fig.4 Expressão gráfica dos dados do Quadro 1

Preço ($)

km

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3. O MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS

O método mais usado para ajustar uma linha reta a um conjunto de pontos é conhecido como método dos mínimos quadrados. A reta resultante do uso desse método, tem duas características importantes: (1)a soma dos desvios verticais dos pontos em relação à reta é zero, e (2)a soma dos quadrados desses desvios é mínima (isto é, nenhuma outra reta daria menor soma de quadrados de tais desvios). Simbolicamente, o valor minimizado será:

(yi - yc)2

sendo,Yi = um valor observado de yYc = o valor de y calculado a partir do método dos mínimos quadrados, com os valores xi correspondentes a yi.

Os valores de a e b para a reta Yc = a + bx que minimiza a soma dos quadrados dos desvios são dados por:

b = n (XY) - X Y nX2 - (X)2

a = Y - b X nPodemos usar o método dos mínimos quadrados para obter uma reta para o exemplo dos preços dos veículos face às quilometragens apresentadas. Das equações acima é evidente que para determinar a equação linear, devemos primeiro calcular X, Y, X2, XY, além de Y2 para uso no cálculo do coeficiente de determinação, conforme veremos adiante.

Note-se que, sendo n (o número de observações amostrais) igual a 14, teremos: b = -38,56 a = 2.934

Vale dizer, a equação de regressão resultante é: yc = 2.934 - 38,56x

A equação pode ser interpretada da seguinte forma: o preço esperado dos veículos é de $2.934 menos $38,56 para cada 1.000 kms rodados. Por exemplo: para um veículo com 20.000 kms rodados, a equação sugere um preço de $2.163.

Outrossim, cabe reconhecermos certos fatos relativos à equação de regressão. Um deles é que se trata de uma relação média e, assim, um carro com determinada quilometragem não custará, necessariamente, o preço previsto ela equação.

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Outro ponto importante é que seria muito arriscado extrapolar essa equação entre preço e quilometragem para fora do âmbito dos dados. Vale dizer que se estamos contentes em verificar uma relação causal de preço e quilometragem em Belo Horizonte, nada nos autoriza a extrapolar conclusões para o Rio de Janeiro, por exemplo, cidade litorânea com enormes problemas derivados da ação da maresia sobre os carros.

4. INFERÊNCIA EM ANÁLISE DE REGRESSÃO

Os dados amostrais usados para calcular uma reta de regressão podem ser encarados como um número relativamente pequeno de observações possíveis, provenientes de uma população infinita de pares de valores. Nesse sentido, a reta de regressão calculada pode ser encarada como uma estimativa da relação real, porém desconhecida, que existe entre as duas variáveis na população. Logo, os coeficientes de regressão a e b servem como estimativas pontuais dos dois parâmetros populacionais correspondentes, A e B, e a equação Yc= a + bx, é uma estimativa da relação populacional y = A + BX + e, onde e representa a dispersão na população (variável estocástica).

A Fig.5 ilustra o conceito de uma população de pares de valores. Note-se que, mesmo nessa população, os valores não se dispõem segundo uma única linha reta, mas tendem a apresentar certo grau de dispersão. De fato, se não houvesse dispersão na população, todas as observações amostrais estariam sobre uma reta, e não haveria necessidade de fazer inferências quanto aos verdadeiros valores populacionais. Infelizmente, na vida real, são poucos os exemplos de população sem dispersão.

Fig.5 Dados populacionais

Uma pergunta que se pode fazer é: "Por que existe dispersão?" A resposta está no fato de não existir um relacionamento perfeito entre duas variáveis na população. Há outros fatores que influenciam os valores da variável dependente, talvez mesmo um número surpreendentemente grande de influências não consideradas na análise de regressão.

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Os níveis de preços de carros, no caso em questão, são influenciados por outros fatores além da quilometragem: condições climáticas, idade e profissão dos vendedores, propaganda etc. Deveriam tais variáveis ser incluídas no estudo? A influência de cada uma delas provavelmente é pequena, e o custo da inclusão de tais fatores na análise supera o benefício que adviria de sua consideração. Além disso, um ou dois fatores geralmente respondem por quase toda a gama da variável dependente, de modo que pouco se ganha procurando explicar completamente como se determina o preço dos veículos, no nosso exemplo. E o que é mais importante, o número de variáveis explanatórias potenciais é tão grande que seria sem dúvida impossível (ou altamente improvável) obter uma descrição perfeita. Uma conseqüência disso é que sempre haverá alguma dispersão. Assim é que há muitas equações de regressão diferentes, que poderiam concebivelmente ser obtidas, conforme sugerido na Fig.6.

Fig.6 Possibilidades de retas de regressão

y = a+bx

A dispersão na população significa que, para qualquer valor de x, haverá muitos valores possíveis de y. Assim, se se vende um lote de veículos com igual quilometragem, os preços variarão conforme ilustra a Fig.7.

Fig.7 Dispersão em torno da reta Fig.8 Dispersão em torno de regressão da médiay

Freq. Relativa (%)

x ym

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A análise de regressão supõe que, para cada valor possível de x, há uma distribuição de y's potenciais que segue a lei normal. Tal é a chamada distribuição condicional (isto é, dado x). A distribuição condicional equivale a uma fatia vertical da população tomada em dado valor de x. A média de cada distribuição condicional é igual ao valor médio de y na população para esse particular x: y = A + BX e estimada por yc = a + bx. Vejamos a Fig.9 que segue.

Fig.9 A restrição de "normalidade" na análise de regressão

Reta de Regressão(Valores de Yc)

0 x1 x2 x3

Admite-se, além disso, que todas as distribuições condicionais tenham o mesmo desvio-padrão e que Y seja uma variável aleatória (isto é, os X's podem ser pré-selecionados, mas não os Y's). Assim, as hipóteses da análise de regressão são as seguintes:

a) Existem dados de mensurações tanto para X como para Y.b) A variável dependente é aleatória.c) Para cada valor de X há uma distribuição condicional de Y's que é normal.d) Os desvios padrões de todas as distribuições condicionais são iguais.

5. O COEFICIENTE DE DETERMINAÇÃO (r2)

Uma medida útil associada à análise de regressão é o grau em que as predições baseadas na equação de regressão superam as predições baseadas num Y médio, Ym. Isto é, se as predições baseadas na reta não são melhores

que as baseadas no valor médio de y, então não adianta dispormos de uma equação de regressão. Nesse caso, o coeficiente de determinação, r2, nos auxilia na aferição da qualidade do modelo para fins de previsão.

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Consideremos a dispersão de pontos na Fig. 10, em torno de um valor Ym, em

oposição à dispersão (vertical) de pontos em torno da reta de regressão, tal como na Fig. 11. Se a dispersão associada à reta é menor que a dispersão associada ao Ym, as predições baseadas na reta serão melhores.

Fig. 10 Fig.11yDispersão de pontos em torno da média do grupo ( y

_

)y Dispersão de pontos em torno da

reta (yc)

yc

y_

y_

x x

A variação de pontos em torno de ym é chamada variação total e se calcula

como uma soma de desvios elevados ao quadrado: variação total = (yi - ym)2

Já os desvios verticais dos yi's em relação à reta de regressão chamam-se

"variação não-explicada", porque não podem ser explicadas somente pelo valor de “x” (isto é, ainda há uma dispersão, mesmo depois de se levar em conta a reta). A variação não-explicada se calcula como a soma de quadrados em relação à reta: variação não-explicada = (yi - yc)2

A quantidade de desvio explicada pela reta de regressão é a diferença entre a variação total e a variação não-explicada, ou:

variação explicada = variação total - variação não-explicada

A percentagem de variação explicada, r2, é a razão da variação explicada para a variação total:

r2 = variação explicada = variação total - variação não-explicada variação total variação total

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Um modo simples de cálculo deste coeficiente nos é dado a seguir:

r2 = a y + b (xy) - ny m2

y2 - nym2

em que ym2 = y médio ao quadrado =

y

n

2

Para nosso exemplo, temos: r2 = 0,81

O valor de r2 pode variar de 0 a 1. Quando a variação não-explicada constitui uma grande percentagem da variação total (isto é, a variação explicada é uma percentagem pequena), r2 será pequeno. Inversamente, quando a dispersão em torno da reta de regressão é pequena face à variação total dos valores de Y em torno de sua média, isso significa que a variação explicada responde por uma grande percentagem da variação total, e r2 estará muito próximo de 1,00.

Logo, o fato de que r2 seja igual a 0,81, em nosso exemplo, indica que aproximadamente 81% da variação nos preços dos veículos estão relacionados com a quilometragem dos mesmos. Em outras palavras, 19% da variação não é explicada pela quilometragem, assim sendo, as predições baseadas na equação de regressão se aproximarão satisfatoriamente dos níveis de preços efetivos.Portanto, o fato de r2 não estar próximo de zero sugere que a equação é melhor que a média Ym como preditor.

6. INTERVALOS DE CONFIANÇA PARA A MÉDIA

O modelo desenvolvido em termos da equação da reta nos é útil para previsões da variável resposta (Y) para níveis desejados da variável controle (X). Além disso, é fundamental que saibamos o intervalo de confiança dentro do qual deva ocorrer o valor da variável dependente, a partir de um valor qualquer da variável independente. Vale dizer que importa saber o intervalo de confiança para o preço, relativamente a possíveis quilometragens.

Para tanto, a fórmula de cálculo nos é dada por:

IC = y ± t(n-2) x Se x

12

2

2

12

n

X X

XX

n

m

em que t(n-2) é a estatística t-Student, para (n-2) graus de liberdade. Por exemplo, como temos 14 observações, resulta haver 12 graus de liberdade (GL). Enfim, desejando-se um grau de certeza para o intervalo de confiança (95%, por exemplo) e tendo-se os GL's (12, no nosso caso), basta recorrer a uma tabela estatística para a determinação do valor de t(n-2).

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Exemplo: Qual a estimativa de preço médio para o grupo de carros de de quilometragem de 45.000 kms, a um grau de certeza de 95%?

Y(45) = 2.934 - 38,56 x 45 = 1.199

e,

IC = 1.199 ± 2,179 x Se x (1/14 + (45 - 36,07)2 / 3.608,9)1/2

Ademais, "Se" nos é dado por:

Se = Y a Y b XY

n

21

2

2

em que n é o número de observações, igual a 14, no exemplo. Assim,

Se = (39.960.000 - 2.934 x 21.600 + 38,56 x 640.000)1/2 = 325,3 14 - 2

E o intervalo de confiança fica dado por:

IC(45) = 1.199 ± 2,179 x 325,3 x (1/14 + (45 - 36,07)2 / 3.608,9)1/2

IC(45) = 1.199 ± 216,75

Outros exemplos já calculados:

IC(36) = 1.546 ± 189,4 IC(50) = 1.006 ± 250,8IC(45) = 1.199 ± 216,8

Interpretação: de acordo aos dados coletados de quilometragem e preços, pode-se esperar que o preço médio dos veículos com quilometragem média de 45.000 kms se situe no intervalo de $1.415,6 e $982,0, dado um grau de certeza de 95%.

7. OBSERVAÇÕES DISCREPANTES

É freqüente, em análise de regressão, o aparecimento de pontos cujo comportamento é bastante diferenciado das demais observações. A existência

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dessas observações discrepantes num conjunto de dados pode trazer problemas sérios no ajuste do modelo e na estimativa dos parâmetros. As dificuldades podem ser melhor entendidas através do exemplo a ser discutido.

Na quadro a seguir aparecem dados sobre o número de telefones (X) e a arrecadação de ICMS - Imposto de Circulação de Mercadorias e de Serviços (Y), em 10(dez) sub-regiões administrativas do Estado de São Paulo.

Também foram adicionadas 3(três) outras sub-regiões: São Sebastião, São José dos Campos e Região Metropolitana de São Paulo. As observações foram padronizadas em relação ao número de habitantes de cada sub-região. Estamos interessados em ajustar o modelo de equação linear ==> Y = a + bx.

Quadro 2. Número de Telefones e Arrecadação de ICMS

Sub-região X YDracena 42 1,95Adamantina 44 2,39Avaré 48 2,50Catanduva 53 3,22Araçatuba 56 3,63Lins 58 3,54Assis 58 3,65Franca 65 4,49São Carlos 68 5,78

Extras

São Sebastião 77 1,14São José dos Campos 86 13,94São Paulo 138 12,66

X = N o de telefones x 100 y = Total de ICMS (em R$1.000) No de habitantes No de habitantes

Para exemplificar a influência de observações discrepantes na modelagem, vamos considerar quatro conjuntos de dados:(i) Caso 1: formado pelas 9 sub-regiões básicas.(ii) Caso 2: formado pelas 9 sub-regiões e São Sebastião.(iii)Caso 3: formado pelas 9 sub-regiões e São José dos Campos(iv) Caso 4: formado pelas 9 sub-regiões e São Paulo.

Para o caso 1, obtemos o modelo ajustado Yc = -3,484 + 0,127x r2 = 0,93

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O modelo estimado para o caso 2 é Yc = 1,468 + 0,031x r2 = 0,07

Em primeiro lugar convém observar a grande diferença entre as estimativas dos dois modelos. A observação introduzida está "arruinando" o modelo, tirando-lhe qualquer força preditiva.

O caso 3 é estimado por Yc = -9,832 + 0,248x r2 = 0,85

e tem comportamento inverso; a nova observação não altera substancialmente a qualidade explicativa do modelo.

Finalmente, no caso 4, embora a nova observação seja diferente das demais, ela não altera muito a estimativa do primeiro modelo, pois está alinhada com os demais valores. O modelo, ajustado neste caso é

Yc = -2,700 + 0,112x r2 = 0,99

Essas diferenças ficam mais realçadas quando comparamos as estatísticas associadas aos modelos conforme apresentado no quadro 3.

Quadro 3. Estatísticas Associadas aos 4 Modelos

Caso A b r2 n1 -3,484 0,127 93% 92 1,468 0,031 7% 103 -9,832 0,248 85% 104 -2,700 0,112 99% 10

Existem várias razões para o aparecimento de pontos discrepantes. Alguns são resultados claros de erro de mensuração, e devem ser corrigidos ou então removidos do conjunto básico de dados. Para outros, após cuidadosa análise das informações, encontra-se uma razão para a inadequação daquela observação, o que justificaria sua eliminação, já que não esperaríamos outros pontos como aquele na população. Por exemplo, no caso 2 sabemos que a sub-região de São Sebastião é uma região litorânea, com muitas residências temporárias, o que justificaria uma alta taxa de telefones, e com poucas sedes de empresa na região, acarretando uma baixa arrecadação do ICMS. Como não esperamos outra sub-região com tais características, é razoável ajustar o modelo sem essa observação.

Outras vezes, o caso é perfeitamente legítimo, com nada de improvável ou excepcional ocorrendo, mas com o par observado formando um ponto discrepante em relação aos demais. Pode ser, inclusive, um daqueles possíveis pontos, pouco prováveis de ocorrer, mas dentro das especificações

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do modelo. Aqui a eliminação da observação pode produzir modelos de pouco interesse para explicar o fenômeno real, e a manutenção do ponto introduz as dificuldades discutidas acima. Tem sido procedimento usual a estimativa sem a observação, mas na análise ressalta-se o fato, chamando a atenção para que a análise seja adequada para aqueles pontos bem comportados, havendo porém a possibilidade de existência de pontos com um particular comportamento atípico. Diríamos que o caso 3 está nesta situação, já que esperamos algumas outras poucas sub-regiões cuja arrecadação do ICMS deva ser alta, mas o nível de telefones nem tanto. Assim, o modelo 1 seria adotado com ressalvas.

Quanto à situação do caso 4, embora o ponto discrepante não altere muito as estimativas do modelo, somos da opinião de que pontos desse tipo devam ser eliminados, pois, nesse caso, ele é praticamente único no Estado de São Paulo, com valor exagerado da variável preditora x.

Assim, a presença de elementos discrepantes é um problema muito sério para construção de modelos de regressão, e envolve três etapas:(i) identificação de possíveis pontos discrepantes; (ii) avaliação dos efeitos sobre os estimadores e previsões; (iii)análise criteriosa para eliminação da observação.

8. CONCLUSÃO

A regressão linear é uma técnica destinada a estimar o relacionamento entre duas variáveis, indo ao ponto de equacionar matematicamente tal relacionamento. A equação gerada por meio do método dos mínimos quadrados pode ser usada para predição de valores de uma variável dependente, face aos movimentos da outra variável, dita independente. Já as relações lineares são relativamente simples, fáceis de interpretar e servem de aproximação para muitas relações da vida real.

Finalmente, realçamos que o coeficiente de determinação, o qual aponta a qualidade do modelo preditivo, demonstra, muitas vezes, a base frágil sobre a qual se assenta a ação empresarial. À luz de nossa experiência, tais coeficientes em torno de 0,65 já representam alento considerável à ação executiva.

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ANÁLISE DE REGRESSÃOEXERCÍCIOS5

1) Suponhamos que uma cadeia de supermercados tenha financiado um estudo dos gastos com mercadorias para famílias de quatro pessoas. A investigação se limitou a famílias com renda líquida entre $8.000 e $20.000. Obteve-se a seguinte equação:

Yc = -200 + 0,10x r2 = 0,71onde,Yc = despesa anual com mercadoriasx = renda líquida anual

Suponha que os dados tenham sido obtidos por amostragem aleatória.

a) À luz do coeficiente r2 acima, qual sua opinião sobre a qualidade da reta para previsão de despesas?

b) Estime a despesa de uma família de quatro pessoas com renda anual de $15.000.

c) Um dos diretores ficou intrigado com o fato de a equação aparentemente sugerir que uma família com $2.000 de renda não gaste nada em mercadorias. Qual é a explicação?

d) Explique suscintamente por que a equação acima não poderia ser usada nos casos seguintes:

1.Estimativa das despesas com mercadorias para famílias com cinco pessoas.

2.Estimativa das despesas com mercadorias para famílias com renda líquida de $21.000 a $35.000.

2) Um grupo de pessoas fez uma avaliação do peso aparente de alguns objetos. Com o peso real e a média dos pesos aparentes, dados pelo grupo, obteve-se a tabela

Peso real 18 30 42 62 73 97 120Peso aparente 10 23 33 60 91 98 159

Calcule o índice de correlação.

5 Extraídos de: CRESPO, Antônio Arnot. Estatística fácil., STEVENSON, Willian. Estatística Aplicada à Administração., DOWNING, Douglas; CLARK, Jeffrey. Estatística Aplicada., WERKEMA, Maria Cristina Catarino, AGUIAR, Sílvio. Análise de Regressão: Como entender o relacionamento entre as variáveis de um processo, e alguns badulaques.

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3) Considere os resultados de dois testes, X e Y, obtidos por um grupo de alunos da escola A:

X 11 14 19 19 22 28 30 31 34 37Y 13 14 18 15 22 17 24 22 24 25

Verifique, graficamente, se existe correlação retilínea entre as variáveis;Em caso afirmativo, calcule o coeficiente de correlação.

4) A tabela abaixo apresenta valores que mostram como o comprimento de uma barra de aço varia conforme a temperatura:

Temperatura (ºC) 10 15 20 25 30Comprimento (mm) 1003 1005 1010 1011 1014

Determine: o coeficiente de correlação; a reta ajustada a essa correlação; o valor estimado do comprimento da barra para a temperatura de 18ºC; o valor estimado do comprimento da barra para a temperatura de 35ºC.

(comente qual a ressalva necessária a esta estimação)

5) Certa empresa, estudando a variação da demanda de seu produto em relação à variação de preço de venda, obteve a tabela:

Preço 38 42 50 56 59 63 70 80 95 110Demanda 350 325 297 270 256 246 238 223 215 208

Determine o coeficiente de correlação;Estabeleça a equação da reta ajustada;Estime Y para x=60 e x=120.

6) Calcule a reta de regressão, sendo M2 a variável independente:M2 = moeda em circulaçãoIPC = Índice de preços ao consumidor

Ano M2 IPC1977 1286,7 60,61978 1389,0 65,21979 1497,1 72,61980 1629,8 82,41981 1793,3 90,91982 1952,9 96,51983 2186,3 99,61984 2374,7 103,9

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1985 2569,7 107,61986 2811,6 109,61987 2910,1 113,61988 3069,9 118,31989 3223,1 124,01990 3327,8 130,71991 3425,4 136,2

7) Com base nos dados abaixo:a - calcule os coeficientes da equação de regressão.b - duplique cada valor de X e recalcule os coeficientes.c - duplique os X’s e os Y’s originais e recalcule os coeficientes.d - use os X’s originais mas some 2 a cada valor Y original e recalcule os coeficientes.

Dados originais: x 1 2 3 4 5 6 7y 2 4 5 6 7 7 9

a - Equação =>

b -xy

Equação =>Comentário:_____________________________________________________

c -xy


d -xy


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8) Pretendendo-se estudar a relação entre as variáveis “consumo de energia elétrica”(xi) e “volume de produção nas empresas industriais”(y i), fez-se uma amostragem que inclui vinte empresas, computando-se os seguintes valores:

xi =11,34 y

i =20,72 xi2 =12,16 yi

2 =84,96 x yi i =22,13

Determine: o cálculo do coeficiente de correlação; a equação de regressão de Y para X; a equação de regressão de X para Y; Responda: há diferença entre o r2 de Y para X e de X para Y?

9) A tabela abaixo apresenta a produção de uma indústria:

Anos 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998

Quantidade 34 36 36 38 41 42 43 44 46

Calcule:a) o coeficiente de correlaçãoSugestão: para simplificar os cálculos, use para o tempo uma variável auxiliar, por exemplo: xi’ = xi - 1994 b) a reta ajustadac) a produção estimada para 1999.Obs: lembre-se que foi usada uma variável auxiliar.

10) A variação no valor do BTN (Bônus do Tesouro Nacional), relativamente a alguns meses de 1990, deu origem à tabela:

Meses abr. mai. jun. jul. ago. set. out. nov.Valor (Cr$) 41,73 41,73 43,98 48,91 53,41 59,06 66,65 75,76

Calcule o grau de correlação;Estabeleça a equação de regressão de Y sobre X;Estime o valor do BTN para o mês de dezembro.

Sugestão: substitua os meses, respectivamente, por 1, 2, ..., 8.

11) Uma companhia com 09 lojas compilou dados sobre a área de vendas (em m2) versus lucro mensal. Determine a equação de regressão, bem como o coeficiente de determinação. Dê sua opinião quanto à pertinência desta reta face aos dados levantados.Comente se, de fato, lucro depende de lojas maiores ou menores.

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Loja Lucro Mensal (em $1.000) M 2 em (10.000) A 45 55B 115 200C 120 180D 75 90E 170 260F 130 200G 75 85H 105 180I 200 300

12) Determine uma equação preditora do montante de seguro (em R$mil) em função da renda anual (em R$milhão), com base nos dados abaixo. Após isto, calcule o coeficiente de determinação e comente se a demanda de seguros depende da renda das pessoas.

Renda Anual 20 25 26 18 16 17 32 13 38 40 42Seguro 10 12 15 10 15 20 30 5 40 50 40

13) A tabela abaixo relata os custos de manutenção por hora, classificados por idade de máquinas em meses. Determinar a reta dos custos sobre a idade e fazer uma previsão de custo para uma máquina de 3 anos e meio. E, claro, levante o coeficiente de determinação, comentando a capacidade preditora da equação obtida.

Idade (meses) 6,0 15,0 24,0 33,0 42,0Custos Médios ($) 9,7 16,5 19,3 19,2 26,9

14) A administração de um banco desejava estabelecer um critério para avaliar a eficiência de seus gerentes. Para isto levantou, para cada um dos sub-distritos onde possuía agência, dados a respeito do depósito médio mensal por agência e o número de estabelecimentos comerciais existentes nesses sub-distritos. São os seguintes os dados:

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Sub-distritos No. de Estabelecimentos Comerciais

Depósito Médio por Agência ($10.000)

Sabará 16 14Casa Verde 30 16Vila Formosa 35 19Mooca 70 30Brooklin 90 31Jardins 120 33Santo Amaro 160 35Lapa 237 43Pinheiros 378 50

a)Levante o coeficiente de determinação e explique o que ele representa neste.b)Quais agências você imagina a mais e a menos eficientes?

15) Quando da realização do orçamento anual, a empresa Americana de Tecidos levantou os seguintes custos de materiais indiretos face às horas de máquinas empregadas na produção ao longo do ano:

Mês Horas de Uso Direto de Máquinas

Custo de Materiais Indiretos ($)

Jan 44.000 $875Fev 41.000 850Mar 45.000 875Abr 43.000 850Mai 36.000 750Jun 22.000 550Jul 23.000 500Ago 15.000 450Set 30.000 600Out 38.000 700Nov 41.000 800Dez 44.000 850

a)Levante o coeficiente de determinação e comente a qualidade do modelo.

b)O que representa o coeficiente linear na equação levantada? E o coeficiente angular?

c)Qual seria o custo variável de materiais indiretos esperado no caso de 28.500 horas de trabalho de máquina?

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16) A Indústria MIMI vende um remédio para combater resfriado. Após 2 anos de operação, foram coletadas as seguintes informações:

Trimestre Vendas (10.000 unids)

Despesas com Propaganda

Temperatura Média no Trim.

1 25 11 22 13 5 133 8 3 164 20 9 75 25 12 46 12 6 107 10 5 138 15 9 4

a)Encontre as duas retas de regressão.b)Qual das duas você acha estatisticamente mais adequada para prever as

vendas? Por que?c)De acordo com a decisão acima, qual a previsão de vendas para um

trimestre em que a despesa de propaganda será 8? E para a temperatura prevista de 10?

17) Tem-se abaixo dados relacionados ao número de semanas de experiência de trabalhadores numa empresa de eletrônicos face ao número de itens rejeitados durante um período de tempo qualquer.

Semanas de experiência 7 9 2 14 8 12 10 4 6 11No de itens rejeitados 26 20 38 16 23 18 24 26 28 22Pede-se:a) Determinar a equação de regressão e o coeficiente de determinação.b) Esclareça o significado dos valores dos coeficientes de determinação e

angular encontrados no item anterior.c) Vejam que o terceiro elemento da tabela acima tem 2 semanas de

experiência. Que comentários você faria a propósito deste elemento quanto a sua influência no conjunto dos dados amostrais levantados?

18) É possível prever o tempo gasto no caixa de um supermercado como função do valor da compra? Para responder a essa pergunta tomou-se uma amostra de fregueses, medindo-se as duas variáveis. Os resultados estão no quadro abaixo. Com base nele, determine a equação da reta e o coeficiente de determinação. OBS: Resolva este exercício sempre com 06 decimais.

Freguês 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10Tempo(min) 3,8 4,2 0,9 5,6 3,1 1,7 4,4 0,2 2,6 1,2Valor($) 40 40 3 55 28 8 52 3 20 8t = 2,306

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a)Qual o tempo gasto para um freguês com despesa de $35?

b)Qual o tempo mínimo gasto por um freguês que dispendesse $35, a 95% de certeza? (O valor t acima incorpora tal nível de certeza).

19) Um analista de uma empresa de transporte toma uma amostra aleatória de 9 carregamentos recentes por caminhão feitos por sua companhia e anota a distância (em kms) e o tempo de entrega (em horas). Os valores levantados são dados abaixo:

Distância 825 215 1070 550 480 920 1350 325 670 Tempo 13,8 3,8 15,6 9,4 8,1 14,6 21,2 5,7 11,6t(correspondente a um grau de certeza de 95%) = 2,365

OBS: Resolva este exercício sempre com 06 decimais.

a)Levante a reta de regressão e o coeficiente de determinação.

b)Explique os significados do coeficiente angular e do coeficiente de determinação para os valores encontrados.

c)Qual o tempo esperado para uma viagem entre o Rio de Janeiro e Recife, na distância de 2.200 kms?

d)A um grau de certeza de 95% (correspondente à estatística t acima), e se você fosse o responsável pelo setor de transporte desta empresa, como avaliaria o comportamento de um motorista que completasse um percurso de 1000 kms no tempo de 12 horas?

e)E para motoristas que fizessem este percurso em 18,5 horas; qual seria sua avaliação?

20) Analise sua capacidade de conceituar:a - regressão linear simples;b - reta de regressão;c - variável dependente;d - variável independente;e - cota da reta em y;f - coeficiente angular;g - método dos mínimos quadrados;h - correlação;i - intervalo de confiança.

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RISCO E INCERTEZA

1. Projetos individuais

2. Portfólio de negócios

3. Carteira de títulos

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1. INTRODUÇÃO

O Dicionário Escolar da Língua Portuguesa do Ministério da Educação e Cultura, na sua 11a edição, define risco como "perigo; probabilidade ou possibilidade de perigo". Por outro lado, incerteza recebe definição de: "hesitação; dúvida; que não é certo, conhecido". Vamos investir nas definições acima, dando-lhes uma dimensão empresarial:

Risco: probabilidade de que retornos futuros fiquem abaixo de valores esperados.

Mais formalmente, o risco existe quando as decisões são tomadas em conjunto com a probabilidades relativas a vários resultados. Vale dizer, isso acontece quando se dispõe de distribuições probabilísticas objetivas sobre de quê resultados possíveis, as quais se baseiam normalmente em dados históricos. Por exemplo, se o objetivo é determinar probabilidades relativas aos retornos possíveis de um dado negócio, poder-se-ia desenvolver uma distribuição probabilística baseada em dados históricos de retornos de outros negócios assemelhados.

Incerteza: situação em que decisões não são amparadas por dados históricos que permitam a formulação de distribuições probabilísticas objetivas.

Como fatores geradores do risco, citamos a situação econômica geral, os fatores técnicos específicos dos projetos, as inovações tecnológicas, as preferências dos consumidores, as condições do mercado de trabalho, dentre outros. Todos esses elementos atuam para dificultar previsões de desempenhos empresariais no tocante às receitas e as custos dos negócios.

Para a mensuração do risco, definido como "probabilidade" de perigo. será adaptada a medida estatística convencional de dispersão em uma distribuição de probabilidade o desvio-padrão. Por quê? Porque quanto menos esparsa a distribuição de probabilidade de retornos esperados, menor o risco de um dado negócio. Ou,em outras palavras, quanto menor a amplitude dos resultados futuros esperados, menor o risco do empreendimento. Para uma exemplificação, observe aFig.1, onde se compara dois ativos com diferentes distribuições probabilísticas sobre seus retornos, mostra o relatado acima.

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Fig.1 Distribuições Probabilísticas de 2 Ativos

Prob. B

A

4.000 Valor Atual Líquido ($)

Verifica-se que se, por um lado, o valor esperado líquido para as duas oportunidades tem a mesma dimensão ($4.000), por outro lado, as dispersões imputadas a cada um são diferentes. Vemos que a proposta A é mais arriscada que a B e, que se a administração da empresa que as analisa for avessa a riscos, preferirá B a A. Entretanto, se essa mesma administração for confiante o bastante na sua capacidade de lidar com desafios, preferirá o projeto A, visto que este oferece oportunidades de ganhos superiores.

Conduziremos a análise de ativos com base em três seções distintas: para negócios (ou ativos) individuais; para portfólios de negócios dentro de uma mesma empresa e para carteiras de títulos (ações de empresas e/ou títulos de débito) possuídos por investidores.

2. NEGÓCIOS INDIVIDUAIS E O RISCO

O enfrentamento do fator risco na avaliação de novos negócios pode ser feita por 2(duas) formas mais destacadas: por meio de imputações probabilísticas (Ver tópico Diagrama de Decisão) e através de ajustes na taxa de desconto utilizada para cálculo de valores atuais líquidos (ou valores presentes).

É importante ter em mente as características de dependência e independência dos fluxos de caixa de projetos no tempo, características estas que afetam sobremaneira a aceitação de projetos de investimentos.

Independência dos fluxos de caixa no tempoEsta hipótese nos diz simplesmente de situações em que resultados alcançados no período t não dependerão do ocorrido em (t-1). Objetivamente, pode se dizer que, para a maioria das propostas de investimentos, esta é uma hipótese de difícil realização, pois, se um negócio não vai bem nos primeiros períodos, quase certamente os demais estarão comprometidos, e vice versa. Apesar disso, esta hipótese encontra-se presente em quase todos os livros-texto de matemática financeira.

Dependência dos fluxos de caixaPara a maioria dos negócios (ou projetos de investimentos), o fluxo de caixa em cada um dos períodos depende dos fluxos precedentes. Assim, se as

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entradas e saídas esperadas para determinado período não corresponderem à expectativa, as dos períodos subseqüentes estarão também afetadas.

Vale dizer, projetos (ou negócios) que tenham fluxos correlacionados positivamente ao longo do tempo, ou seja, projetos em que o ocorrido em t depende do ocorrido em (t-1), serão mais arriscados do que aqueles onde se verifica a independência dos fluxos de caixa no tempo.

2.1 Ajuste na Taxa de Desconto

Uma forma pela qual o risco pode ser levado em conta consiste, simplesmente, em alterar a taxa de desconto proporcionalmente ao risco existente em cada situação. Quanto maior o risco, mais elevada a taxa de desconto usada para cálculo de valores atuais líquidos.

Naturalmente, a dificuldade relacionada a esse enfoque refere-se a um adequado reajustamento na taxa de desconto. Geralmente o ajustamento tende a ser arbitrário e a gerar inconsistências, pois flui dos sentimentos pessoais dos executivos quanto ao risco deste ou daquele projeto.

Esse método de enfrentamento do risco parece, portanto, rudimentar para decisões no campo do orçamento de capital, porém, encontra fortíssimo apoio teórico nos autores Modiglianni e Miller (laureados com o Prêmio Nobel de Economia) que já em 1958, dispunham que:

"Se uma empresa numa determinada faixa de risco 'k' está atuando no melhor interesse de seus acionistas, ela explorará uma oportunidade de investimento

se e somente se a taxa de retorno sobre o investimento, digamos 'p*', superar a taxa 'pk'".

Ademais, a facilidade de sua operacionalização o leva a ser mais amplamente utilizado do que os métodos dos Equivalentes à Certeza (veremos adiante). Com o exemplo abaixo, podemos entender melhor o método.

Dados para um projeto cujo padrão de risco não fuja do nível médio de risco para projetos no interior da empresa:

Inv. Inicial = $10.000Fc = $4.500 para 3 períodos à frenteTaxa de Desconto = 10% por períodoentão, o VAL do projeto será, utilizando nossa Equação

nVPL = FCt = 0

t=0 (1 + i)t

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VPL = -10.000 + 4.500/1,101 + 4.500/1,102 + 4.500/1,103 = $1.191Decisão : como VPL > 0, aceita-se o projeto.

Os executivos da empresa, porém, poderiam ter o sentimento de que esse projeto em análise fugiria do padrão de risco da empresa e, por isto, deveria ser penalizado com uma elevação substancial sobre a taxa de desconto de, digamos, 8%. Assim:

i' = Taxa ajustada de desconto = i + 8% = 18%, e o valor do projeto se alteraria para:

VAL = -10.000 + 4.500/1,18 + 4.500/1,182 + 4.500/1,183 = $-217Decisão: como VPL < 0; rejeita-se o projeto.

Em resumo, o método é de fato simples e esta simplicidade de aplicação o leva a ser mais amplamente aceito e utilizado que os demais. O uso desta ou daquela taxa desconto, à par os riscos dos projetos, fica entregue aos sentimentos pessoais da alta administração.

Por outro lado, esse método oferece "defesas" para os profissionais de administração na medida em que podemos utiliza-lo contra exageros formulados freqüentemente por elementos técnicos de outras áreas quanto às vicissitudes dos projetos, em termos dos benefícios que gerariam. Nesse sentido, a solução menos conflituosa no âmbito da empresa seria apenas a de reajustar mais fortemente a taxa de desconto, reduzindo, conseqüentemente, o valor atual líquido dos projetos cujas qualidades estivessem sendo exageradas.

2.2 Coeficiente à Certeza

VAL =

Em que: iL = Taxa Livre de Riscoft = coeficiente à certeza

A idéia central da análise de risco via coeficiente à certeza é o ajuste do risco vinculado a cada fluxo de caixa. Uma vez que a percepção do risco já foi expressa através do coeficiente à certeza, não há que se pensar em novamente embuti-lo na taxa de desconto. Aí reside a importância de ser utilizada uma taxa livre de risco (iL), para não estar superdimensionando do risco.

2.3 Conclusões para a Análise de Ativos Individuais

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O método de ajuste da taxa de desconto, embora simples e muito exposto aos sentimentos da alta administração quanto aos riscos inerentes aos projetos, é de fácil aplicação e, portanto, de largo uso nas empresas.

Por fim, cabe assinalar que, na análise de propostas com riscos, especial atenção deve ser dada aos primeiros períodos dos fluxos de caixa, buscando-se levantar, da forma a mais precisa, suas entradas e saídas esperadas. Tal procedimento se justifica na medida em que são esses períodos iniciais os mais significativos na composição dos valores atuais líquidos. Por esta razão, ainda, o administrador tem aqui uma outra "defesa" contra os elementos técnicos já citados. Ou seja, ele até aceitaria imposições quanto a fluxos de caixa de períodos distantes no tempo, porém concentraria esforços na consideração de valores reais para os períodos mais próximos.

2. PORTFOLIOS DE NEGÓCIOS

Até aqui, demos atenção apenas à avaliação do risco de um único ativo ou negócio, porém o risco de uma empresa não guarda relação com apenas um negócio, mas com vários. Afinal, dificilmente encontramos empresas que fabricam um único bem e, se o fazem, são mais arriscadas do que empresas diversificadas na produção e/ou vendas de diversos itens.

O administrador tem, assim, a função de aumentar os retornos da empresa, ao mesmo tempo em que busca reduzir seus riscos a um nível menor do que o dos negócios tomados individualmente. Se é esse o caso, a diversificação bem conduzida se torna preocupação expressiva do executivo.Mas no que consiste tal diversificação bem conduzida, que reduziria o risco geral da empresa? A resposta está na escolha de negócios cujos retornos esperados estejam "negativamente correlacionados uns com os outros". Isso equivale dizer que o ideal seria alcançado quando a um negócio que estivesse momentaneamente propiciando apenas baixas entradas de caixa para a empresa, correpondesse(m) outro(s) que estivesse(m) garantindo maiores aportes de recursos, compensando-o.

Sem entrarmos nos méritos estatísticos da questão, nos cabe relatar aqui que a medida estatística dada pelo coeficiente de correlação assume valores dentro de uma faixa de +1, para séries que apresentam correlação positiva perfeita, até -1, para séries com correlação negativa perfeita.

Vamos a exemplos gráficos, começando pela correlação positiva perfeita, que se constitui em caso onde a diversificação não reduzirá absolutamente o risco da empresa.

Correlação de Negócios de Uma Empresa

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Retorno Esperado

N M

Tempo

Note-se que a combinação dos negócios da empresa, assinalada na figura anterior,não a ajuda a reduzir riscos empresariais. A falta de retornos em determinados períodos, relacionados ao negócio N, não é compensada por entradas do negócio M. Pelo contrário, ocorre um reforço da tendência. Ademais, pode-se pensar que, numa tal situação, uma superior demanda de capital de giro se imporia à empresa nos períodos de baixa atividade.

Já na figura seguinte, temos a exemplificação de uma combinação ótima de negócios, em que se reduzem dramaticamente os riscos da empresa.


Retorno Esperado

N M

Tempo

Vê-se, aí, o caso de correlação negativa perfeita, em quea empresa enfrenta situações adversas em um negócio N através do negócio M, que lhe possibilita compensatórias entradas de caixa.

Já o caso intermediário se vê na figura que segue, onde os negócios N e M apresentam alguma correlação positiva.


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Retorno Esperado

N M

Tempo

Assim, se for seguida a regra de bem diversificar, ou seja, se houver combinação de negócios cujos retornos esperados estejam negativamente correlacionados, o risco global da empresa pode se reduzir sobremaneira. Com isso os administradores podem enfrentar de fato uma das dimensões fundamentais na gerência dos negócios, ou seja, o risco.

Para uma visualização do que foi dito, observe-se o quadro a seguir. Veja-se que todos os 3(três) negócios apontam para um mesmo retorno esperado de 12% por período e igual risco, expresso por um mesmo desvio-padrão sobre esses retornos de 3,2%.

Retornos Esperados e Níveis de Riscos para Negócios e PortfóliosPeríodo Negócios Portfolios

X Y Z XY XZ XYZ1 8% 16% 8% 12% 8% 10,7%2 10 14 10 12 10 11,33 12 12 12 12 12 12,04 14 10 14 12 14 12,75 16 8 16 12 16 13,3

EstatísticaValor esperado 12% 12% 12% 12% 12% 12%Desvio padrão 3,2% 3,2% 3,2% 0% 3,2% 1,1%Obs: os portfólios são compostos a partir de aplicações iguais sobre cada um dos negócios.

Resultados do Quadro: Combinando proporções iguais de investimentos nos negócios X e Y (ativos

com correlação negativa perfeita), forma-se um portfólio sem risco. Esse é o ideal máximo em diversificações de negócios.

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Combinando proporções iguais de investimentos nos negócios X e Z (ativos com correlação positiva perfeita), forma-se um portfólio com o mesmo nível de risco dos negócios individuais. Vale dizer, esse é um exemplo de diversificação mal conduzida, que em nada reduz o risco da empresa.

Combinando proporções iguais de investimentos nos negócios X, Y e Z, forma-se um portfólio com risco menor do que os dos negócios individuais. Tal diversificação vai na direção certa, mas o aspecto do risco não recebe ataque definitivo.

Encerrando, embora pudessem ser dadas dar melhores explicações estatísticas acerca dos resultados do quadro anterior, cabe-nos, por agora, lembrar que negócios podem ser combinados no interior das empresas, de modo a reduzir sensivelmente o risco global a níveis inferiores àqueles de quaisquer dos negócios tomados individualmente. Adicionalmente, deve-se lembrar que a "regra de ouro" para a diversificação, e, portanto, para a redução dos riscos, consiste na combinação de negócios cujos retornos esperados estejam negativamente correlacionados uns com os outros.

3. CARTEIRA DE TÍTULOS (AÇÕES)

Ao longo dos últimos anos desenvolveu-se teoria básica sobre comportamento de preços de títulos (ações ou títulos de débitos), a qual possibilita aos investidores avaliar o impacto da aplicação proposta num título específico sobre o risco da carteira como um todo. Apontaremos neste item os aspectos de maior realce desses avanços teóricos.

A suposição básica da teoria é a de que os investidores são racionais, preferindo aplicar recursos em títulos que ofereçam o maior retorno para um dado nível de risco ou o risco mais baixo para um dado nível de retorno. São definidos dois tipos de risco:

-risco sistemático (ou não-diversificável): é o risco atribuído às forças que afetam todas as empresas, tais como a situação econômica do país, inflação, eventos políticos, dentre outros. Esses são riscos sobre os quais as administrações das empresas não têm gerência ou influência. Assim sendo, a ação de diversificação de investimentos por via da constituição de uma carteira de títulos não contribui para sua eliminação.

-risco não-sistemático (ou diversificável): é o risco que resulta da ocorrência de eventos ligados diretamente à empresa, tais como greves, obsolescência tecnológica, má administração, processos judiciais, ações regulatórias, perda de clientes e assim por diante. Representa a parcela do risco que pode ser eliminada pela diversificação.

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Note-se que nos referimos aos riscos que podem ou não ser eliminados pela diversificação, ou seja, pela aplicação de recursos numa carteira de títulos ao invés de em apenas um único. A partir disto, pode-se perguntar: qual o número de títulos (ações) que deveriam constar de uma carteira para se eliminar aquela parte do risco global, denominada risco não-sistemático? E qual a dimensão desta redução no Brasil? Qual a regra para se diversificar satisfatoriamente uma carteira de títulos? Ao final deste item teceremos considerações acerca dos títulos de débito, ou de renda fixa).

A resposta para a primeira questão, no âmbito do mercado da Bolsa de Valores de São Paulo (BOVESPA), aponta para uma carteira de 12 títulos. A partir desse número, a redução do risco seria mínima. A Fig.6 pode auxiliar num melhor entendimento desta ação de diversificação:

Fig.6 Número de Títulos numa Carteira e o Risco Total

Risco da Carteira (%) Risco Total

Risco Sistemático

1 8 12 24 No de Títulos

Vê-se que acréscimos no número de títulos além de 12 não reduzem significativamente o risco global de uma carteira. Portanto, com tal número já se aproxima bastante do nível mínimo de risco que as carteiras bem diversificadas poderiam deter, isto é, o do risco sistemático, não passível de eliminação pela via da diversificação.

Quanto à dimensão da redução do risco, verifica-se na BOVESPA que o risco médio de um único título, expresso pelo desvio-padrão dos retornos levantados ao longo de 40 meses, situa-se em torno de 44,0%. Por outro lado, o risco médio de uma carteira com 12 títulos é de 21,3%, o que nos leva à conclusão de que a diversificação poderia, por si só, reduzir o risco dos títulos em 51,4%, ou seja:

(21,3% / 43,7%) * 100 = 48,6%

que é o percentual do risco que permanece atrelado a cada título dentro de uma carteira.

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Logo, (100% - 48,6%) = 51,4% , que representa a parcela do risco eliminada pela diversificação.

Adicionalmente, optamos por apresentar novos dados para melhor compreensão dos efeitos da diversificação na redução dos riscos sobre títulos das empresas.

Número de Títulos

Risco(desvio padrão dos retornos)%

1 42,1%2 33,23 30,6..8 26,3..

12 24,4..

20 23,1..

40 22,2

Outro exemplo nos é dado por Willian Eid, da PUC de São Paulo, em sua dissertação de mestrado na FGV/SP. O autor relaciona retornos esperados e riscos das carteiras compostas aleatoriamente, de 1 a 5 títulos.

Títulos Selecionados Retorno Esperado Risco1. Mecanica Pesada PP 2,98% 29,5%2. Copas PN 2,67% 37,7%3. Pérsico PN -4,67% 22,4%4. Unibanco PNA 6,95% 36,5%5. Banco Real ON 8,88% 35,4%

Sempre é bom recordar que o risco acima se refere ao desvio-padrão dos retornos anotados em toda a série estudada (dados de 40 observações mensais). Ademais, da combinação desses títulos podemos alcançar alguns resultados interessantes para carteiras:

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Carteiras Retornos Esperados RiscoTítulos 1 e 2 2,83% 28,3%Títulos 1,2 e 3 0,42% 23,6%Títulos 1,2,3 e 4 2,05% 23,7%Títulos 1,2,3,4 e 5 3,42% 23,3%

Nota-se que os riscos são sistematicamente reduzidos abaixo dos riscos individuais, com a única exceção por conta de Pérsico PN, empresa esta que apresenta perfil de baixo desempenho desde longa data.

No que se refere à questão de qual a regra para se diversificar, ficamos com a mesma observação formulada no item 4, de que os títulos devem ser escolhidos de forma a terem seus retornos esperados negativamente correlacionados uns com os outros. Enfatizando, essa deve ser a atitude dos analistas de investimentos nas corretoras e distribuidoras de valores (sendo que estas operam nas Bolsas através das corretoras), quando da seleção de títulos para composição das carteiras de seus clientes.

Com a finalidade de bem ilustrar a questão, é interessante notar que vários estudos conduzidos nos EUA revelaram que a formação aleatória de carteiras (ou seja, escolha de títulos "na sorte", sem maiores critérios técnicos), revelou-se prática melhor do que aquela representada pela ajuda de analistas especializados.Isso estaria sinalizando a inutilidade desses analistas de mercado.

É interessante observar, como diferença marcante entre títulos de renda fixa e de renda variável, que o risco sistemático associado a movimentos gerais da economia (como inflação) é muito elevado para os títulos de renda fixa, o que torna a diversificação, embora necessária, pouco efetiva na redução dos riscos.

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LEITURA COMPLEMENTAR

Críticas aos modelos de análise de risco

Os modelos dos bancos para análise de risco de crédito, são extremamente complexos, embora existam para responder a uma pergunta simples: quanto de um empréstimo pode tornar-se ruim para a instituição financeira credora?

Com a resposta, os bancos podem reservar capital suficiente para assegurar a solvência no caso de uma crise acontecer.

Os modelos de risco de crédito tentam atribuir um valor sobre a quantidade de dinheiro que um banco deve esperar perder.

Isto exige levantar estimativas sobre três variáveis diferentes: 1) a probabilidade de qualquer devedor ficar inadimplente; 2) a quantia que pode ser recuperada se isso acontecer; 3) a probabilidade de o devedor não efetuar o pagamento ao mesmo tempo que outros devedores em situação semelhante.

Este último fator é crucial. É ele que vai definir se algum evento não previsto pode quebrar o banco.

Assim, quanto menor a prossibilidade de muitos empréstimos se tornarem ruins ao mesmo tempo, menor será o risco de se ter um grande prejuízo por causa de empréstimos ruins.

Nada disso é fácil de fazer. Muito dos mais brilhantes criadores de valores mobiliários da indústria bancária desistiram da tarefa.

Modelos de Avaliação

O Credit Suisse Financial Products lançou um “CreditRisk+” com o propósito de fornecer um modelo atuarial da probabilidade de um empréstimo tornar-se ruim.O sistema utilizado nesse produto é muito parecido com a maneira que uma seguradora faz previsões sobre prováveis sinistros.

McKinsey, empresa de consultoria, tem um modelo que reúne as probabilidades de inadimplência com outras varáveis macroeconômicas, como juros e crescimento no PIB.

O “Credit-Metrics” do banco J P Morgan, aplica um modelo teórico que apresenta as situações em que os devedores costumam ficar inadimplentes com seus credores.

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Com a ajuda das variáveis tão complexas como as expansões das séries Taylor, das integrais Gamma, das distribuições binárias negativas e de outros (pouparemos os detalhes), os modelos compreendem desde o cálculo da probabilidade de qualquer devedor ficar inadimplente, até estimar as chances de que a Wal-Mart, digamos, falte com o pagamento ao mesmo tempo que os cartões de crédito da bandeira Mastercard, levando a uma série de probabilidades de prejuízo para todo o “portfolio” de empréstimos do banco, e indicando o prejuízo máximo necessário para se preparar com o capital de reserva.

Os modelos de risco de crédito evoluíram dos modelos de “valor em risco”, que foram desenvolvidos para estimar quanto do “portfolio” de negócios — câmbio, dinheiro, valores mobiliários e derivativos — um banco pode perder num único dia por causa de movimentos adversos nos preços financeiros.

Crítica aos cálculos

Estes modelos foram criticados porque assumiram que as correlações passadas nos preços de diferentes ativos permaneciam no futuro e porque faziam suposições simplistas sobre a variedade de possíveis mudanças de preços.As críticas também se aplicam aos modelos de risco de crédito.

Os modelos de valor em risco têm uma grande vantagem sobre os modelos de risco de crédito, entretanto, porque nesses casos geralmente eles lidam com ativos que são negociados publicamente.

Há, portanto, uma vasta quantidade de dados para os modelos trabalharem e para construírem seus modelos de análise de risco.

É bem mais difícil trazer dados sobre o valor de mercado de empréstimos ou qual volume de empréstimos ruins os bancos podem eventualmente recuperar.Isso deixa dúvidas se os resultados produzidos pelos modelos de risco de crédito são estatisticamente válidos.

Os modelos são inteligentes, é certo. Mas quanto há de realidade neles pode não ficar claro até a próxima recessão.

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NÚMEROS ÍNDICES

1. Introdução

2. Conceitos Preliminares

3. Método da Época-Base ou Índice de Laspéyres

4. Construção de Séries de Números Índices 5. Alguns Índices Especiais

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1. INTRODUÇÃO

Os números-índices são medidas estatísticas freqüentemente usadas por administradores, economistas e engenheiros, dentre outros, para comparar grupos de variáveis relacionadas entre si e obter um quadro simples e resumido das mudanças significativas em áreas relacionadas como preços de matérias-primas, preços de produtos acabados, volumes físicos de produção etc. Mediante o emprego de números-índices é possível estabelecer comparações entre variações ocorridas ao longo do tempo.

Para o administrador é grande a importância dos números-índices quando a moeda sofre uma desvalorização constante e quando o processo de desenvolvimento econômico acarreta mudanças contínuas nos hábitos dos consumidores, provocando, com isso modificações qualitativas e quantitativas na composição da produção nacional e de cada empresa, individualmente.

Assim, em qualquer análise, na qual o fator monetário se encontra presente, ou no âmbito interno de uma empresa ou mesmo fora dela, a utilização de números-índices torna-se indispensável, sob pena de o analista ser conduzido a conclusões totalmente falsas e prejudiciais à empresa. Por exemplo, se uma empresa aumenta seu faturamento de um período a outro, isto não quer dizer necessariamente que suas vendas melhoraram em termos de unidades vendidas. Talvez tenha ocorrido que, sob uma forte tendência inflacionária a empresa tenha sido obrigada a aumentar os preços dos produtos, fazendo gerar um acréscimo no faturamento (em termos ditos "nominais"), sem que tal fato significasse uma melhora na situação de vendas.

Especificamente no campo orçamentário, os números-índices encontram utilidade acentuada, pois que devem ser usados, em especial, nas tarefas de controle, por motivos ligados à necessidade de análises comparativas.

2. CONCEITOS PRELIMINARES

A quantidade total de dinheiro gasto cada ano, em relação a certo ano-base, varia de período a período devido tanto às mudanças no número de unidades compradas (vendidas) dos diferentes artigos como, igualmente, devido às diferenças nos preços unitários de tais artigos.Na Verdade temos, três variáveis em jogo: preço, quantidade e valor, sendo este último o resultado do produto dos dois primeiros.

2.1 Relativo de Preço

Esse é onúmero-índice mais simples e usado. Relacionando-se o preço de um produto numa época "t" (chamada de época-atual) com o de uma época "o" (chamada época-base) teremos um relativo de preço. Fazendo-se "Pt" o preço

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atual e "Po" o preço na época-base, definiremos o relativo de preço pela seguinte expressão:

P(o,t) = Pt x 100 Po

Na formulação acima, o relativo de preço já vem na sua forma habitual, ou seja, na forma percentual.

Exemplo: O preço de determinado produto em 1989 foi de $1,20 e em 1990 subiu para $1,38. Tomando-se como base o ano de 1989, determinar o preço relativo em 1990.P(89,90) = P1990 = 1,38 = 1,15 ou 115% P1989 1,20

2.2 Relativo de Quantidade

Da mesma forma que para preços, podemos determinar relativos de quantidades, como a seguir:

Q(o,t) = Qt * 100 Qo

Exemplo: Uma empresa produziu 45 toneladas de aço em 1989 e 68 toneladas em 1990. Qual será a quantidade relativa, desde que se tome 1989 como base?Q(89,90) = Q1990 = 68 = 1,51 ou 151% Q1989 45

2.3 Relativo de Valor

Se "P" for o preço de determinado artigo em certa época e "Q" a quantidade produzida ou consumida desse artigo na mesma época, então, o produto (P * Q) é denominado valor total de produção ou de consumo. Sendo "Pt" e "Qt", respectivamente, o preço e a quantidade de um artigo na época atual (t) e "Po" e "Qo", o preço e a quantidade do mesmo artigo na época-base, definimos o seguinte como valor total relativo ou simplesmente valor relativo ao quociente:

V(o,t) = Pt x Qt Po x Qo

Exemplo: uma empresa vendeu em 1990, 1.000 unidades de um artigo ao preço unitário de $500. Em 1991 vendeu 2.000 unidades do mesmo artigo ao preço unitário de $600. Qual o valor relativo de venda em 1991?

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V(90,91) = P1991 x Q1991 = 600 x 2.000 = 2,4 ou 240% P1990 x Q1990 500 x 1.000

2.4 Elos em Cadeia

Se desejarmos determinar o preço relativo de 1991 em relação ao ano base de 1988, basta multiplicarmos os índices relativos de cada um dos anos. Vejamos:

Sendo P(88,89) = 1,50 P(89,90) = 1,25 P(90,91) = 1,20

W(88,91) = 1,50 x 1,25 x 1,20 = 2,25 ou 225%;, o que teria significado uma variação de 125% no período total, pois (W(88,89) - 1) x 100 = 125%

2.5 Médias Geométricas

A média geométrica corresponde à raiz n-ésima do produto de índices em cadeia (Ver( ponto) 2.4), e é dada pormg = (W(o,t)1/n -1 ) x 100

Em que W(o,t) indica o produto dos índices em cadeia. Usando o exemplo anterior, teremos

W(88,91) = 2,25 e, assim,

mg = (2,251/3 - 1) x 100 = 31,04%, sendo esta a elevação média anual ao longo do período.

3. MÉDIA PONDERADA - Índice de Laspéyres ou Método da Época-Base

A ponderação feita no índice de Laspéyres- Lo,t se utiliza dos preços e quantidades referidos a uma época básica. Veja-se a fórmula:

Lo,t = Pi,t x Qi,o Pi,o x Qi,o

em quePi,t = preço do bem i no período corrente (t);Pi,o = preço do bem i no período base (o);Qi,o = quantidade do bem i no período base (o).

Sendo assim, pode-se notar que o denominador representa a soma, no período base, dos valores de todos os bens que compõem o índice. Por sua vez, observamos, no numerador, que os valores dos bens estão referenciados à

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época-base, o que equivale dizer que, embora os preços estejam dados para o período t, as quantidades se referem ao período base.

Essa é uma limitação do índice, pois que há de se esperar reduções na demanda de produtos, a partir de variações significativas em preços. Nesse sentido, o índice de Laspéyres fixa as quantidades do período-base e, portanto, desconsidera as conseqüências de movimentos de preços relativos isso constituisério problema, a ser levado em conta pelos analistas.

Exemplo: a tabela seguinte apresenta os preços médios por atacado e as quantidades vendidas de 3(três) produtos. Calcular o índice de preços, para o ano de 1990, tomando-se como base o ano de 1980.

Produtos 1980 1990Preço Quantidade Preço Quantidade

Pão 1,50 20 1,95 20Manteiga 0,80 12 1,30 12Café 0,45 800 0,60 200

Lo,t = Pi,t * Qi,o Pi,o * Qi,o Lo,t = (1,95 x 20 + 1,30 x 12 + 0,60 x 800) = 1,338 ou 133,8% (1,50 x 20 + 0,80 x 12 + 0,45 x 800)

Conclusão: os produtos referidos tiveram 33,8% de aumento.

4. CONSTRUÇÃO DE SÉRIES DE NÚMEROS-ÍNDICES

Muitas vezes temos necessidade de construir séries de números-índices. Contudo, o problema da escolha de um período-base, a partir do qual os números-índices sejam construídos e a possibilidade de sua mudança têm gerado algumas dúvidas.

Para a construção de séries devem ser levados em conta os seguintes aspectos:a) a seleção da base;b) a possibilidade de mudança da base.

Pode-se afirmar que a escolha da base de números-índices deve recair naquele período em que a atividade econômica geral, ou da empresa em particular, não se encontra influenciada por variações conjunturais (ocasionais), tais como greves ou planos governamentais.

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4.1 Mudança de Base

Outro problema que pode surgir ao se fixar o período base é o fato de que, quanto maior for o espaço de tempo transcorrido entre a época de comparação e a época-base, maior será o perigo de que a importância relativa dos itens se tenha alterado e que, portanto, o sistema de ponderação tenha perdido sua validade.

Na prática, a mudança de uma série de números-índices para uma base mais recente é feita dividindo-se cada índice da série original pelo número-índice correspondente à nova época-base. A tabela a seguir apresenta o índice da produção industrial no período de 1977 a 1985, sendo o ano de 1977 considerado como a época-base.

Anos 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985Índice da produção

industrial

(1977 = 100)100 104 97 112 120 124 134 125 139

Na tabela seguinte, temos um novo ano-base, 1981, e, portanto, novos índices. Esses são determinados pela simples divisão de cada um dos índices por 120 (índice específico a 1981).

Anos 1977 1978 1979 1980 1981 1982 1983 1984 1985Índice da Produção Industrial

(1981 = 100)

83 87 81 93 100 103 112 104 116

5. ALGUNS INDICES ESPECIAIS

5.1 Índice de Custo de Vida

O índice de custo de vida é um número-índice que tem por objetivo medir o efeito das variações de preços sobre as despesas normais de uma unidade consumidora padrão. Deverá descrever a variação de receita monetária dessa unidade consumidora para que mantenha seu nível de vida. Vale dizer, tal índice vai medir variações nesse custo para padrões diversos de gêneros de vida de unidades consumidoras, que consomem (ou utilizam) conjuntos Q de serviços e de bens, para sua sobrevivência.

Na prática, para a construção do índice de custo de vida, não se dispõe de dados sobre os mapas de indiferença dos consumidores e, muito menos, de seus pontos de equilíbrio. No entanto, é admissível supor, em termos bastante gerais, que existam grupos sociais de consumidores com um mesmo mapa de indiferença, ou seja, com uma mesma estrutura de necessidades.

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Assim, alguns índices se especializam nos custos de unidades familiares pobres, que ganham de 1 a 3 salários mínimos como o INPC do IBGE. Já o Conselho Regional de Economia de São Paulo calcula um índice de custo de vida da classe média, cujos salários vão de 10 a 30 mínimos.

Uma vez determinada a abrangência pretendida pelos diversos índices de custo de vida, deverá ser feita uma pesquisa de orçamentos familiares para determinar o peso de cada produto de consumo na despesa global das unidades consumidoras. Em geral, os bens incluídos são classificados em grupos de consumo que apresentam certa homogeneidade: alimentação, vestuário, saúde, educação, etc. Nesse sentido, é sempre conveniente que se construa o ICV a partir da agregação de sub-índices ou de índices parciais.

5.2 Índice Geral de Preços

Dentre os vários índices calculados no Brasil, o da Fundação Getúlio Vargas do Rio de Janeiro aparece como o mais confiável, pela constância de critérios que emprega ao longo do tempo. Assim é que os "expurgos" de variações de preços determinados pelos governos nunca foram aceitos.

Na construção desse índice são considerados os preços dos seguintes setores, cada qual com seu peso respectivo: Atacado (0,60); Custo de Vida (0,30); Custo da Construção Civil (0,10).

A maior utilidade desses índices gerais é a de possibilitar o deflacionamento ou o inflacionamento de dados, o que é ilustrado pelo exemplo a seguir.

Exemplo: Uma empresa coligiu dados relativos a seu faturamento no período de 1980 a 1985. Dado o índice geral de preços, iremos determinar o seu faturamento em termos dos seguintes períodos: a) 1980 b) 1985. Seguem-se comentários:

Ano 1980 1981 1982 1983 1984 1985Faturamento ($1.000) 50 80 130 180 220 270Índice de preços 407 559 848 1473 2811 4416

a) Faturamento a preços de 1980


Modo de cálculo (alguns exemplos):Em 1981==> 407 / 559 x 80 = 58

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Em 1985==> 407 / 4416 x 270 = 25

Comentários: Em termos reais, o faturamento da empresa diminuiu, muito embora tenha crescido seu faturamento nominal. Vemos que, enquanto o índice elevou-se 10,85 vezes entre 1980 e 1985 (ou seja, 4416/407), o faturamento alcançou elevação de 5,4 vezes (ou 270/50). Portanto, a empresa não logrou anular o efeito da variação de preços.

b) Faturamento em termos de 1985


Modo de cálculo (alguns exemplos):Em 1980==> 4416 / 407 x 50 = 542Em 1984==> 4416 / 2811 x 220 = 346

Comentários: As mesmas conclusões são válidas aqui, com a diferença de que agora nos situamos no ano de 1985 para a análise. Vemos que o faturamento de 1985 alcançou apenas 49,8% daquele referente a 1980 (ou 270/542). Ademais, constatamos que a empresa obteve resultados crescentes até 1982, quando, então, se inicia sua derrocada.

Outrossim, é necessário ter em mente que o primeiro exemplo se refere a um caso de deflacionamento, enquanto o segundo diz respeito a um inflacionamento dos dados. Para o caso orçamentário, interessa-nos, freqüentemente, o deflacionamento.

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Exercícios de Números-Índices

1 – Dada a tabela abaixo, calcule os índices, tomando 1986 como ano-base.Anos 1984 1985 1986 1987 1988 1989

Índice1984=100

100 152 203 321 415 580

1986=100

2 – O salário médio horário de determinada classe operária, em 1989, foi de $256,00. O índice de preços, nesse mesmo ano, era igual a 1575,7 e o de 1986 era igual a 387,2, referidos ao período-base de 1977. Tomando o ano de 1986 como base, determine o salário real dessa classe operária em 1989.

3 – Dada a tabela, determine o valor do faturamento relativamente ao período de 1985.

Anos Faturamento IP 1980=10083 385.000 23484 474.200 28085 612.500 32986 983.200 38087 1.230.000 49088 1.984.000 62589 3.038.000 894

4 – O INPC, em dado período, aumenta em 15%. Qual deve ser o aumento dos salários dos empregados de uma empresa, para que tenham um aumento real de 5%?

5 - Uma firma de transporte deseja comparar preços, quantidades e valores, tomando 1980 como ano-base. Calcule os relativos de preço, quantidade e valor.

1980 1988Toneladas remetidas 300 360Custo por tonelada $50,00 $70,00

Relativo de preço:__________Relativo de quantidade:__________Relativo de valor:___________

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6 - Utilizando o método da época base (fórmula de Laspeyres), calcule o índice ponderado de um laticínio, tomando 1994 = 100.

1994 1995Produtos Preço Quantidade Preço Quantidade

Leite tipo A R$1,05 1.250 litros R$1,27 945 litrosLeite tipo B R$0,90 850 litros R$1,08 905 litrosLeite tipo C R$0,67 14.500 litros R$0,94 17.850 litros

Índice ponderado = ____________

7 - Mude para 1970 a base dos valores do IPC (Índice de Preços ao Consumidor) constantes da tabela abaixo e calcule o poder aquisitivo do dólar para os anos de 1966 a 1975, tomando 1970 como ano-base.Ano IPC

1967=100Poder aquisitivo

Do US$Nova base do

IPC: 1970=100Poder aquisitivo

do US$1966 97,2 1,031967 100,0 1,001968 104,2 0,961969 109,8 0,911970 116,3 0,86 100,0 1,001971 121,3 0,821972 125,3 0,801973 133,1 0,751974 147,7 0,681975 161,2 0,62

8 – Calcule a rentabilidade real média:

Mês Inflação Retorno da AplicaçãoJan 15,4% 18,9%Fev 18,2% 21,4%Mar 11,8% 15,1%Abr 9,7% 17,8%Mai 10,3% 13,9%

Retorno real médio = _________% a.m.

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DIAGRAMA DE DECISÃO

Caso Dhahran

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1. INTRODUÇÃO

Levantar o valor de ações estratégicas específicas, constitui-se numa das funções dos administradores, a qual, ademais, incorpora dificuldades adicionais pela inserção da dimensão do risco nas análises. Neste sentido, a construção de diagramas (ou árvores) de decisão pode auxiliar sobremaneira a decisão gerencial e, neste caso, nos ateremos aos procedimentos básicos para sua feitura, que se resumem, em especial, na consideração de probabilidades de ocorrência de eventos possíveis.

Antes, porém, devemos alertar que diagramas de decisão se prestam a amparar decisões correntes no âmbito empresarial e, para tal, toma em conta opções de ações futuras face a eventos específicos. Por esta razão, este instrumental constitui-se numa ferramenta para o planejamento e, como coloca Peter Drucker: "Planejamento de longo prazo não lida com decisões futuras. Ele lida com as conseqüências no futuro de decisões correntes."

O valor de análises conduzidas por meio destes diagramas realça-se pela possibilidade de considerar os fatores de riscos envolvidos, identificando opções executivas que poderiam se opor a cursos futuros indesejáveis. Vale dizer, diagramas de decisão nos possibilita uma perspectiva sistêmica para a análise da realidade, na qual as decisões terão considerado todos os fatores de risco e de sucesso mais significativos, suas interações e as conseqüências esperadas.

Uma palavra de alerta seria no tocante ao fato de que diagramas de decisão não fornecem respostas definitivas para a aceitação/rejeição de alternativas de investimento ou de ações estratégicas. Diferentemente disto, este instrumental fornece as bases para a decisão, apontando as dimensões de riscos e de retornos sobre as quais o executivo deverá refletir e basear suas decisões, de acordo a uma maior ou menor aversão ao risco.

Não mais se considera o mundo da certeza, geralmente presente nos livros-texto de matemática financeira, onde os fluxos de caixa ocorrem a intervalos certos ao longo do tempo. Aqui, as probabilidades associadas aos eventos fazem parte da análise, possibilitando associar o valor atual ou a taxa interna de retorno do projeto ao seu risco.

Outra observação a fazermos é a de que conduziremos este ponto com base no Caso "Dhahran Roads", retirado do livro "Corporate Finance - A model-building approach", de autoria de Michel Schlosser, editado pela Prentice Hall.

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CASO "REDE VIÁRIA DE DHAHRAN" : Parte A

Em 15 de janeiro de 1989, o Sr. Malik, diretor financeiro da SADE, uma empresa de construção civil, subsidiária da Mendes Júnior, estava revendo o contrato que sua empresa acabava de ganhar em concorrência pública da municipalidade de Dhahran, na Arábia Saudita, para a construção de uma nova rede viária, ligando o complexo do aeroporto à cidade. As características do contrato estão descritas abaixo.

Antes de tudo, o Sr. Malik planejou avaliar a rentabilidade do contrato e checar se o mesmo renderia mais do que 25%, taxa de rentabilidade usualmente requerida pela Mendes nos seus contratos no Oriente Médio.

Características do Projeto1. Valor total do projeto: 168 milhões de RS2. Adiantamento feito pelo cliente: 15% do contrato3. Estrutura de custos e receitas: (em milhões de RS)

Ano Custos Esperados Receitas1989 7 111990 28 431991 31 481992 25 391993 17 27

Em adição a estes custos, a SADE terá de comprar equipamentos no montante de 38 milhões de RS (a serem pagos em 1989).

O equipamento será depreciado ao longo de 5 anos e a SADE não espera utilizá-los novamente em outros projetos. Além disto, é razoável esperar que a empresa não consiga nem mesmo revendê-los, enterrando-os nas areias do deserto saudita.

Todos os custos serão pagos no mesmo ano em que incorridos.

Contas apresentadas ao cliente deveriam ser pagas no mesmo ano, entretanto, permite-se ao cliente que pague apenas 80% de cada conta, sendo que os outros 20% servem para que ele recupere a entrada (15% ficam por conta disto) e para que retenha (5%) como garantia de execução das obras. Destes 5% de garantia, metade deverá ser reembolsada quando as obras se completarem em 1993 e o restante no ano seguinte. Reforçando, a liberação do fundo de retenção só se daria com a entrega das obras.

4. Organização do projeto: o contrato deverá ser executado pela SADE, possuída a 100% pela Mendes, a qual deseja investir o mínimo e drenar dividendos tão rápido quanto possa, dados os riscos políticos da região.

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5. Riscos: durante os meses anteriores, o departamento de engenharia da SADE inspecionou o terreno, confirmando os dados técnicos passados pela municipalidade de Dhahran. De acordo aos pareceres do Engenheiro-Chefe, o projeto não apresentava problemas fora do normal. Assim, a situação se assemelhava bastante à de outros projetos realizados pela SADE em países da região, não apresentando maiores dificuldades.

O projeto deverá ser tocado por um dos mais experimentados engenheiros da Mendes, o Sr. Jones, reconhecido não apenas por suas qualidades no campo técnico mas, importantíssimo, por ser um autêntico "ditador" no controle de custos.

6. Impostos: não existem impostos na Arábia Saudita, portanto, a SADE/Mendes não pagará impostos sobre os lucros, podendo os enviar para o Brasil sem maiores problemas.

Quadro 1. Resumo do Contrato

1989 1990 1991 1992 1993 1994 Acumul.Adiantamento 25,20Contas a receber 11,00 43,00 48,00 39,00 27,00 168,00Devol. do Adiantamt. 1,65 6,45 7,20 5,85 4,05 25,20Retenção 0,55 2,15 2,40 1,95 1,35 8,40Retorno da Retenção 4,20 4,20 8,40

ENTRADAS/TOTAL 34,00 34,40 38,40 31,20 25,80 4,20 168,00

Equipamentos 38,00 38,00Custos anuais 7,00 28,00 31,00 25,00 17,00 108,00

SAÍDAS/TOTAL 45,00 28,00 31,00 25,00 17,00 146,00

FLUXO DE CAIXA -11,00 6,40 7,40 6,20 8,80 4,20 22,00Obs: a SADE descontaria o FCL a 25% para cálculo do VPL

2.1 Comentários à Parte A

O primeiro passo para se levar a efeito uma análise de risco pode se dar pelo uso de uma planilha eletrônica, a qual, por exemplo, contenha o Quadro Resumo acima. Assim, se poderia avaliar a priori a força relativa de cada variável sobre o fluxo de caixa líquido do projeto. Algumas sugestões poderiam ser:

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.Equipamentos seriam mais ou menos caros; custos anuais poderiam ser maiores ou menores; as retenções poderiam ou não serem devolvidas; e, atrasos poderiam ocorrer.

Então, com apenas algumas experimentações no vídeo do microcomputador, o Sr. Malik já determinaria quais as variáveis de peso e quais as insignificantes. Apenas à guisa de experimentação, vejamos o que ocorreria se os custos anuais se elevassem em 10% a cada ano. Neste caso, as 3(três) últimas linhas do Quadro se alterariam para:

(-) Custos 7,70 30,80 34,10 27,50 18,70

SAÍDAS/TOTAL 45,70 30,80 34,10 27,50 18,70

FLUXO DE CAIXA -11,70 3,60 4,30 3,70 7,10 4,20

Conseqüentemente, o Valor Atual Líquido do projeto se reduziria de 7,01 milhões de RS para apenas 0,11 milhão. Ou seja, uma perda de 98% do VAL, cujo resultado é explicitado abaixo:

VAL = -11,70 + 3,60 + 4,30 + 3,70 + 7,10 + 4,20 . 1,25 1,252 1,253 1,254 1,255

VAL = $ 0,11 milhão de RS, ou queda de 98% ($7,01 p/ $0,11)

Por outro lado, se o Sr. Malik imaginasse que os equipamentos custariam 10% a mais, a simples substituição por $41,8 do valor de $38 presente no Quadro, reduziria o VAL do projeto para $3,21 milhões de RS, ou queda de 54% neste. Para tal conclusão, as quatro últimas linhas do Quadro Resumo original se alterariam para:

(-) Equipamentos 41,80

(-) Custos 7,00 28,00 31,00 25,00 17,00

SAÍDAS/TOTAL 45,00 28,00 31,00 25,00 17,00

FLUXO DE CAIXA -14,80 6,40 7,40 6,20 8,80 4,20

Explicitando o resultado da mesma forma que para a redução de custo, teremos:

VAL = -14,80 + 6,40 + 7,40 + 6,20 + 8,80 + 4,20 = $3,21 de RS 1,25 1,252 1,253 1,254 1,255

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Poderíamos prosseguir ainda muitos passos nesta trilha de testes isolados de valores, no sentido de melhor compreender a economicidade do contrato, ou seja, as razões que o tornam rentável e quais os entraves que poderiam arruinar sua atratividade.

Generalizando, por meio destes procedimentos, obviamente limitados, procede-se a uma análise de sensibilidade sobre os resultados finais a partir de variações em itens específicos, com o quê poderemos refletir sobre a necessidade de se estudar melhor determinados parâmetros.

Isto posto, cabe realçar que tal análise em planilha não se constitui numa verdadeira análise de risco pois, afinal, testar o impacto de uma variação de 10% sobre os custos nos diz apenas da sensitividade do VAL a tal variação, mas nada quanto aos riscos inerentes às possíveis variações nos custos. De modo a refletir sobre tais riscos (variações de custos sobre resultados finais), devemos pensar sobre as chances (ou probabilidades) de ocorrência associadas a estes desvios.

Enfatizando, estimar os desvios possíveis e substituí-los em planilhas eletrônicas não é o bastante. Há que se avaliar as chances de que estes desvios ocorram e internalizá-las na análise, fato este que é possibilitado pelos diagramas de decisão.

A análise de risco não pode ser feita pela aferição de conseqüências sobre o valor do projeto com base em variações em apenas um parâmetro de cada vez, principalmente porque as diversas variáveis se combinam a cada instante de tempo, afetando-se mutuamente. Tanto é assim que quando de dificuldades na execução de um contrato, estas podem se dever não apenas a elevações de custos mas, também, ao atraso de recebimentos. Enfim, para se analisar riscos ocorre a necessidade de se pensar em cenários e em suas probabilidades de ocorrência.

Para este fim, a Parte B do Caso "Dhahran" já nos permite extrapolar a simples utilização de planilhas, úteis, entretanto, para inventariar os fatores de riscos realmente significativos do projeto. Como veremos, o Sr. Malik dispõe dos meios para proceder a uma análise de cenários na qual persista a interação das variáveis e dos fatores de riscos.

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CASO "REDE VIÁRIA DE DHAHRAN": Parte B

Ao mesmo tempo em que estava contente com o contrato obtido, o Sr. Malik reconhecia que um resultado favorável dependeria de que tudo caminhasse sem sobressaltos. Infelizmente, parecia-lhe que seria muita sorte se a necessária combinação de eventos viesse em seu favor. Mesmo que isto fosse desagradável, seu pensamento se voltou para os aspectos do projeto que poderiam dar errado.

Ele pensou, primeiramente, nos aspectos críticos que poderiam atrapalhar o projeto, decidindo-se por fazer uma mudança a cada vez na sua análise, de modo que pudesse ver qual delas teria o maior impacto individual sobre o mesmo.

Å medida em que pensava sobre o risco do projeto, pareceu-lhe que haveria duas áreas-chave, nas quais os projetos anteriores enfrentaram problemas. São eles apresentados a seguir.

Pagamentos Atrasados: Houve momentos no passado em que a SADE teve problemas em fazer os clientes pagarem suas contas e, ademais, não era a única com este tipo de problema na região. De fato, haviam encontros frequentes de construtores nos quais se discutiam tais experiências. Durante estes encontros, um padrão de comportamento parecia surgir: se problemas ocorressem com relação ao cronograma de recebimentos, o atraso se dava historicamente no terceiro ano do contrato e, recentemente, um ano de atraso por esta parcela e todas as outras subseqüentes tinha-se verificado com relativa frequência. Parecia-lhes, aos construtores, que o atraso se dava num ponto do tempo em que o projeto já tinha "caminhado" a um ponto tal que os construtores não o poderiam abandonar, e que, além disto, os atrasos representariam um ganho para os clientes.

Os atrasos pareciam ter ocorrido recentemente em aproximadamente 25% dos projetos e as "queixas" dos clientes se faziam em termos de eventuais desvios no cumprimento dos contratos pelos construtores.

Desvios de Custos: Embora a SADE tivesse orgulho de sua habilidade para controlar custos, ela teria constatado desvios em algumas oportunidades, dentre os quais, alguns realmente sérios. Após uma revisão em seus arquivos, de 10 contratos já completados, pareceu ao Sr. Malik que os projetos poderiam ser agrupados em 4 categorias:

1. Projetos que se comportaram de acordo ao esperado.2. Projetos que experimentaram desvios negativos médios, de amplitude de 5 a

10%.3. Projetos que enfrentaram desvios negativos substanciais, em torno de 15%

a 20% dos custos previstos.

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4. Projetos que se comportaram melhor do que o previsto, com custos de 3 a 5% abaixo do esperado.

Infelizmente, houve apenas um único projeto do tipo 4, enquanto anotou-se um caso sério de desvio (tipo 3) e outros dois com desvios pequenos (tipo 2). Um exame mais apurado dos arquivos revelou que os desvios, distribuiam-se igualmente por todo o período do contrato.

De qualquer forma, vê-se que a SADE alcança ótimo padrão de desempenho, pois não se constatou desvios de custos em 6 projetos.

3.1 Comentários à Parte B

Como já dissemos, para avaliar riscos de um projeto, começa-se por analisar separadamente cada fator de risco de modo a se aferir sua significância no todo. E vemos, quanto a isto, que o Sr. Malik procedeu de fato a tal averiguação, levantando dois pontos que julgava decisivos:

podem haver atrasos nos pagamentos pelo cliente. Tais atrasos aconteceram no passado numa base de 1 para 4 (ou em 25% dos casos).

podem ocorrer variações de custo. De uma análise sobre 10 projetos passados, constatou-se que 6 dentre eles comportaram-se de acordo aos orçamentos; 2 tiveram acréscimos médios de 7,5%; 1 teve elevação média de 17,5% acima do orçado; e 1 teve, mesmo, custos finais por volta de 4% abaixo do orçado.

Vemos, portanto, que se abrem 8(oito) possibilidades reais para a SADE, de acordo a preverem problemas no tocante a atrasos e a variações de custos.

No aspecto específico dos atrasos, o "Caso" nos permite elaborar um novo Quadro Resumo, a partir da informação de que os árabes têm por hábito postergar o 3o pagamento, na esperança de que as construtoras não possam arcar com os custos de uma interrupção, uma vez que já terão realizado parcela importante das tarefas totais. Sendo assim, o novo quadro se apresentaria como:

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Quadro 2. Resumo do Contrato com Atraso

1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995Adiantamento 25,20Contas a receber 11,00 43,00 0,00 48,00 39,00 27,00Devol. Adiantamento 1,65 6,45 0,00 7,20 5,85 4,05Retenção 0,55 2,12 0,00 2,40 1,95 1,35Ret. da Retenção 4,20 4,20

ENTRADAS/TOTAL 34,00 34,40 0,00 38,40 31,20 25,80 4,20

Equipamentos 38,00Custos 7,00 28,00 31,00 25,00 17,00

SAÍDAS/TOTAL 45,00 28,00 31,00 25,00 17,00

FLUXO DE CAIXA -11,00 6,40 -31,00 13,40 14,20 25,80 4,20

Antes de passarmos à elaboração do diagrama de decisão, incorporando todas as informações presentes no Caso, nos cabe assegurar que:

os eventos sejam mutuamente exclusivos, ou que sejam definidos de tal forma a que apenas um ocorra por vez.

os eventos sejam coletivamente exaustivos, ou que sejam definidos de tal forma a que um deles deva obrigatoriamente ocorrer por vez.

Partimos, agora, para a geração dos diagramas de decisão, realçando os valores relativos às variações de custos e os critérios de decisão representados pelo Valor Atual Líquido e a Taxa Interna de Retorno (TIR).

Fig.1 Diagrama de Decisão

Comportamento dos Custos

de Custo (%)

VAL (milhões)

TIR (%)

Redução do custo (0,1) -4,0% 9,77 67Sem atraso Custo esperado (0,6) 0,0% 7,01 54

(0,75) Desvio pequeno (0,2) +7,5% 1,84 32Desvio sério (0,1) +17,5% -5,06 7

Redução do custo (0,1) -4,0% -0,73 24Com atraso Custo esperado (0,6) 0,0% -3,49 19

(0,25) Desvio pequeno (0,2) +7,5% -8,66 11Desvio sério (0,1) +17,5% -15,66 2

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Algumas lembranças devem ser feitas a esta altura do texto, de forma a que os leitores não se confundam. A primeira delas é de que os valores atuais líquidos acima, referentes à hipótese de não haver atraso, se calculam a partir dos valores contidos no Quadro Resumo 1, da Parte A.

Assim é que os dados para o cálculo do valor de $7,01 milhões de RS, para as hipóteses conjuntas de não atraso e de controle perfeito dos custos, foram obtidos do Quadro 1.

Outro valor, o de $-5,06 milhões de RS, representa a situação onde apesar de não se esperar atrasos de pagamento, verificar-se-ia um descontrole de custo da ordem de 17,5%. Neste caso, antes do cálculo do VAL, há de se alterar as 3(três) últimas linhas do Quadro 1, para:

(-) Custos 8,23 32,90 36,43 29,38 19,98SAÍDAS/TOTAL 46,23 32,90 36,43 29,38 19,98FLUXO DE CAIXA -12,23 1,50 1,98 1,83 5,83 4,20

Conseqüentemente, o VAL do projeto seria de $-5,06 milhões de RS, cujo resultado é explicitado abaixo:

VAL = -12,23 + 1,50 + 1,98 + 1,83 + 5,83 + 4,20 = $-5,06 milhões de RS 1,25 1,252 1,253 1,254 1,255

No que se refere aos valores esperados com atraso nos pagamentos, os cálculos devem, naturalmente, serem feitos a partir dos valores do Quadro 2. Como exemplo único, vejamos o cálculo do valor de $-8,66 milhões de RS, o qual incorpora um desvio a mais de 7,5% nos custos. Para tal, alteramos as 3(três) últimas linhas deste quadro, para:

(-) Custos 7,53 30,10 33,33 26,88 18,28SAÍDAS/TOTAL 45,53 30,10 33,33 26,88 18,28

FLUXO DE CAIXA -11,53 4,30 -33,33 11,53 12,93 25,80 4,20

Assim, o VAL do projeto seria de $-8,66 milhões de RS, como comprovamos a seguir:

VAL=-11,53+4,30 - 33,33 +11,53 +12,93 +25,80+ 4,20 = $ -8,66 milhões de RS 1,25 1,252 1,253 1,254 1,255 1,256

Claro, os procedimentos para determinação dos demais valores seguem a mesma sistemática, e os leitores poderiam fixá-la bem, calculando os demais valores atuais líquidos (ou seja: -0,73; -3,49; -15,56).

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3.2 Análise do Risco

Como demonstrado no diagrama de decisão construído acima, existem 5(cinco) possibilidades em 8 (oito) de que o projeto mostre VAL negativo, ou que deva ser abandonado. Mas, pergunta-se: isto é tudo? Claro que não, afinal os resultados correspondentes a VAL's negativos revelam probabilidades pequenas, como vemos abaixo, a partir dos valores presentes no próprio diagrama de decisão.

VAL Positivo = 0,75 x (0,1 + 0,6 + 0,2)

temos que a probabilidade de ocorrência de um VAL positivo, ou por outra, de que a empresa tenha em mãos um projeto que lhe seja rentável, é de 67,5%.

Por outro lado, ocorre um risco dimensionado como de 32,5% de que o projeto redunde em fracasso empresarial, trazendo prejuízo à empresa. Este valor pode ser calculado pela simples diferença de (100% - 67,5%) ou, ainda, como da forma acima, utilizando os valores probabilísticos relativos aos VAL's negativos:

VAL Negativo = 0,75 x 0,1 + 0,25 x (0,1 + 0,6 + 0,2 + 0,1) = 32,5%

3.3 Conclusão

A análise realizada até aqui descreve os diferentes fatores de risco, como se a SADE nada pudesse fazer para defrontá-los. Nada mais irreal, pois as empresas quase sempre podem reagir a eventos negativos, com maior ou menor efetividade. Sendo assim, o risco de aceitação de um projeto prejudicial aos interesses da empresa não alcançaria a dimensão levantada ao final da seção precedente, qual seja, de 32,5%.

Neste sentido, a Parte C do Caso "Dhahran" nos permite abordar e avaliar a tática da reação a tais eventos negativos, em termos da utilização do diagrama de decisão.

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CASO "REDE VIÁRIA DE DHAHRAN" : Parte C

O Sr. Malik estava satisfeito por ter conseguido fazer um diagrama que descrevesse o impacto combinado de possíveis desvios de custos e de atrasos de pagamentos. Mas ele não estava ainda plenamente convencido de que a SADE deveria ir em frente com o contrato. Certamente que a decisão de aceitá-lo corresponderia a poder ganhar um projeto de valor atual líquido de 2,42 milhões de RS, de acordo com uma taxa de desconto, conservadora, de 25%. O problema estava na dispersão (ou risco) dos possíveis resultados e no fato de que alguns destes poderiam (se ocorressem) se tornar extremamente danosos para a empresa. Tal situação seria ainda pior se ocorresse uma combinação infeliz de atrasos nos recebimentos e desvios negativos nos custos.

Analisando o contrato mais detidamente, o Sr. Malik compreendeu que o mesmo poderia ser extremamente atrativo desde que a SADE tivesse a habilidade de reagir contra aqueles eventos negativos apontados.

Ele se decidiu, então, por rever contratos anteriores, nos quais a SADE teria experimentado atrasos de pagamentos. Verificou neles que quando tais problemas ocorreram, a SADE sempre tentou exercer alguma pressão sobre os clientes e, num caso específico, ela se decidiu pelo simples abandono do contrato. Esta firme decisão impressionou de tal forma a contratante que esta, como resultado, reconsiderou sua atitude completamente. O contrato foi novamente honrado e não se verificou mais quaisquer atrasos.

O Sr. Malik inferiu disto que tal estratégia poderia ser empregada na execução do contrato com a municipalidade de Dhahran, desde que ocorressem atrasos sintomáticos de má fé. A partir de pareceres do pessoal técnico e comercial, ele tentou estimar quais seriam as entradas e saídas após um ato de força como este (ver no Apêndice abaixo). Adicionalmente, tentou refletir sobre possíveis atitudes para o caso de desvios de custos mas, infelizmente, nada lhe ocorreu. Neste sentido, pensou o Sr. Malik, seria melhor acreditar nos atributos técnicos do seu "ditador" de obras, que conforme se recorda, tinha fama de controlar custos muito bem.

Apêndice : Impacto de uma reação extrema sobre atrasos

Se atrasos de pagamentos ocorressem no terceiro ano, a SADE tentaria convencer o cliente de que tais procedimentos representavam desrespeito ao estabelecido em contrato e que os mesmos deveriam cessar imediatamente. Se tal abordagem falhasse, a empresa poderia se decidir por interromper a execução das obras e, se o fizesse, as conseqüências mais visíveis poderiam ser:

trazer prejuízos para a SADE, uma vez que lhe seria impossível interromper todo o fluxo de despesas. (Haveria possibilidade de 60% de que os custos

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se comportassem como esperado, 30% com desvio médios negativos e 10% com desvios negativos bastante sérios).

impressionar o cliente suficientemente, de modo a que o contrato fosse honrado e completado sem novos atrasos no pagamento das parcelas faltantes.

Assim, o esquema de entradas e de saídas, correspondente a esta última possibilidade, poderia ser estimado como se segue:

1989 1990 1991 1992 1993Contas a receber 11,00 43,00 0,00(1) 60,00(1) 54,00(1)Custos 7,00 28,00 5,00(2) 39,00 34,00

Obs: (1) Nenhuma entrada se daria em 1991, sendo que todo o restante viria em 1992 e 1993.Detalhando: 48,00 + 39,00 + 27,00 = 114,00 --- 60,00 em 92 e 54,00 em 93. (2) Apesar da interrupção na execução do contrato, algumas despesas não deixariam de serem honradas.Detalhando: 5,00 em 91 são custos fixos que não deixariam de ser pagos

31,00 + 25,00 + 17,00 = 73,00 --- 39,00 em 92 e 34,00 em 93.

O Sr. Malik, ainda não satisfeito, procedeu à elaboração de um novo esquema de recebimento, onde não se verificaria o sucesso expresso no quadro anterior e que ele supunha com uma chance de 80% de ocorrência. Naturalmente, ao esquema abaixo ele atribuía uma expectativa de ocorrência de 20%. Vejamos:

1989 1990 1991 1992 1993 1994Contas a receber 11,00 43,00 0,00 15,00 45,00 54,00Custos 7,00 28,00 5,00 39,00 34,00

4.1 Comentários à Parte C

Enfim, o relato da Parte C sugere que deveríamos revisar nossa análise de forma a tomar em conta não apenas os fatores de risco do contrato mas, também, as reações possíveis da empresa. Neste sentido, poderíamos aferir o risco real subjacente à tomada da decisão de se aceitar o contrato da municipalidade de Dhahran.

Antes de partirmos para a construção do diagrama final, cabe resumir as decisões que se apresentavam ao Sr. Malik: aceitar o projeto ou recusá-lo; se aceitar, deve ou não reagir a atrasos deliberados por parte dos árabes?

Adicionalmente, o cálculo dos valores atuais líquidos exigem a construção de novos quadros resumo, de forma a que incorpore os 2(dois) padrões de

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renegociação que se espera dos contratantes. Assim, para o caso de uma renegociação mais vantajosa, teríamos:

Quadro 3. Resumo de uma Renegociação Mais Vantajosa

1989 1990 1991 1992 1993 1994Adiantamento 25,20Contas a receber 11,00 43,00 0,00 60,00 54,00Devol. Adiantamento 1,65 6,45 0,00 9,00 8,10Retenção 0,55 2,15 0,00 3,00 2,70Ret. Da Retenção 4,20 4,20

ENTRADA/TOTAL 34,00 34,40 0,00 48,00 47,40 4,20


SAÍDA/TOTAL 45,00 28,00 5,00 39,00 34,00

FLUXO DE CAIXA -11,00 6,40 -5,00 9,00 13,40 4,20

Já para o caso dos contratantes puderem impor renegociação prejudicial aos interesses da SADE, o quadro resumo se apresentaria como:

Quadro 4. Resumo de uma Renegociação Menos Vantajosa

1989 1990 1991 1992 1993 1994 1995Adiantamento 25,20Contas a receber 11,00 43,00 0,00 15,00 45,00 54,00Devol. Adiantamento 1,65 6,45 0,00 2,25 6,75 8,10Retenção 0,55 2,15 0,00 0,75 2,25 2,70Ret. Da Retenção 4,20 4,20

ENTRADA/TOTAL 34,00 34,40 0,00 12,00 36,00 47,40 4,20


SAÍDA/TOTAL 45,00 28,00 5,00 39,00 34,00

FLUXO DE CAIXA -11,00 6,40 -5,00 -27,00 2,00 47,40 4,20

Com estes dados temos as condições para construir o diagrama final para suporte à decisão gerencial de aceitação ou de rejeição do contrato. Em

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especial, vê-se que tal diagrama corresponde a uma extensão do diagrama anterior, pela introdução de um novo "tronco" referente à hipótese de reação aos atrasos.

Fig.2 Diagrama de Decisão com Reação


de Custo (%)

VAL (milhões)

TIR (%)



Redução do custo (0,1) -4,0% -0,73 24Com atraso Custo esperado (0,6) 0,0% -3,49 19

(0,25) Desvio pequeno (0,2) +7,5% -8,66 11(Sem reação) Desvio sério (0,1) +17,5% -15,66 2

Com atraso Custo esperado (0,6) 0,0% 2,39 12(0,25) Desvio pequeno (0,3) +7,5% -2,59 6

(Reação mais Desvio sério (0,1) +17,5% -9,24 2efetiva) (0,80)

Com atraso Custo esperado (0,6) 0,0% -5,45 3(0,25) Desvio pequeno (0,3) +7,5% -10,44 2

(Reação menos efetiva

(0,20)

Desvio sério (0,1) +17,5% -17,09 1

Nosso próximo passo será o de eliminar alternativas que representem ações inferiores, no sentido de serem "dominadas" por outras. Assim é que somos colocados face à decisão "excludente" de reagir ou aceitar passivamente os atrasos da contratante. Neste caso, para aferirmos qual a ação mais vantajosa, calculamos o VAL para cada uma delas. Vejamos primeiramente, o caso de não reagir, usando apenas os dados contidos no diagrama acima:

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VAL (hipótese de não reação) = (0,1 x -0,73) + (0,6 x -3,49) + (0,2 x -8,66) + (0,1 x - 15,56)

portanto, na hipótese de não se reagir a atrasos, ter-se-ia:

VAL (não reação) = $-5,46 milhões de RS

No caso oposto, qual seja, de reação a atrasos, o VAL da iniciativa seria de:

VAL (hipótese de reação) = 0,80 x (2,39 x 0,6 - 2,59 x 0,3 - 9,24 x 0,1) + 0,20 x (-5,45 x 0,6 - 10,44 x 0,3 -17,09 x 0,1)

enfim, dentro da hipótese de se reagir a atrasos, teríamos:

VAL (reação) = $-1,85 milhões de RS

Podemos concluir destes resultados que a melhor opção para a SADE seria a de reagir a atrasos deliberados por parte dos árabes, afinal:

VAL (reação) > VAL (não reação)

Sendo assim, devemos eliminar o "tronco" referente à atrasos sem reação e, conseqüentemente, nosso diagrama para a tomada de decisão terá sua feição final alterado para:

Fig.3 Diagrama Final de Decisão


de Custo (%)

VAL (milhões)

TIR (%)



Com atraso Custo esperado (0,6) 0,0% 2,39 12(0,25) Desvio pequeno (0,3) +7,5% -2,59 6

(Reação mais Desvio sério (0,1) +17,5% -9,24 2efetiva) (0,80)

Com atraso Custo esperado (0,6) 0,0% -5,45 3(0,25) Desvio pequeno (0,3) +7,5% -10,44 2

(Reação menos

Desvio sério (0,1) +17,5% -17,09 1

efetiva (0,20)

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4.2 Decisão

O passo final é o de usar o diagrama acima para a tomada da melhor Decisão. Por ele, podemos ver que o VAL geral do empreendimento alcança $3,33 milhões de RS, o que nos leva a concluir, considerando apenas este valor, pela sua aceitação. Outrossim, demonstramos a seguir este valor:

VAL (geral) = 0,75 x (9,77 x 0,1 + 7,01 x 0,6 + 1,84 x 0,2 - 5,06 x 0,1) + 0,25 x 0,80 x (2,39 x 0,6 - 2,59 x 0,3 - 9,24 x 0,1) + 0,25 x 0,20 x (-5,45 x 0,6 - 10,44 x 0,3 - 17,09 x 0,1)portanto ==> VAL (geral) = $3,33 milhões de RS

Como já salientado, não devemos limitar nossa Decisão apenas pelo fator do retorno. Uma Decisão gerencial sensata há de tomar em conta os riscos do empreendimento, o que pode ser feito a partir dos dados presentes no diagrama final. Para isto, precisamos apenas tomar as probabilidades associadas aos eventos que prometam um VAL positivo, ou:

VAL Positivo = 0,75 x (0,1 + 0,6 + 0,2) + 0,25 x 0,80 x 0,6

Com isto, temos que a probabilidade de que o contrato em questão traga benefícios para a SADE situa-se em 79,5%.

Por diferença, vemos que o risco de se aceitar um mal contrato, que traga prejuízo para a SADE, é da ordem de 20,5%. Para verificarmos este valor, basta proceder à diferença de (100% - 79,5%). Caso queiramos nos utilizar dos valores probabilísticos contidos no diagrama da Fig.3, teremos:

VAL (negativo) = 0,75 x 0,1 + 0,25 x 0,80 x (0,3 + 0,1) + 0,25 x 0,20 x (0,6 + 0,3 + 0,1) = 20,5%

Temos, afinal, as bases para a Decisão: a um retorno expresso pelo Valor Atual Líquido de $3,33 milhões de RS, contrapõe-se um risco (uma probabilidade) de 20,5% de que o contrato não seja benéfico para a SADE/Mendes. E será neste ponto onde o executivo deverá se utilizar da intuição ou de seu senso de negócios para se decidir pela aceitação ou rejeição do contrato, uma vez que todas as quantificações possíveis foram já consideradas.

E para você? Qual seria sua Decisão?

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Exercício de Diagrama de Decisão

Discutir e resolver preferencialmente em pequenos grupos

O diretor financeiro de uma empresa estuda a possibilidade de efetivar um contrato com as seguintes características:

2006 2007 2008Receita $2.000,00 $2.500 $2.700,00Custo $700,00 $800,00 $900,00

Equipamentos seriam adquiridos em 2005 por exatos $500,00.

Analisando contratos semelhantes já realizados, o diretor verificou que em 20 deles os custos apresentaram 3 comportamentos distintos: 10 conforme o esperado, 05 entre 10% e 20% acima do esperado e 05 com aumentos significativos de 25%.

As receitas também poderiam atingir níveis fora do esperado. A probabilidade de que obedecessem as estimativas era de 70%. Caso houvesse uma retração nas vendas, as receitas cairiam em 10%.

Caso as vendas venham a apresentar uma retração, a empresa poderia assumir duas linhas de ação: a primeira, de aceitar passivamente tal redução, e a segunda, aparentemente mais aconselhável, de reagir. Reagindo, abririam-se duas possibilidades: a) os custos originais aumentariam 5% em função de despesas com propaganda e as receitas seriam as inicialmente previstas, ou b) os custos aumentariam 10% e as receitas alcançadas superariam em 5% as constantes do quadro inicial. A probabilidade de ocorrências destas duas alternativas de reação é igual. (Obs: a empresa não pode influenciar estas últimas possibilidades de resultados em função de uma reação)

A par destas informações e sabendo que a TRR utilizada é de 30%, monte o diagrama de decisão pertinente e calcule a probabilidade de VAL positivo e também o VAL geral.

Você aceitaria este projeto? Por que?

E se a TRR fosse de 20%. Qual sua decisão?

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“Para quem não tem direçãonão há bom vento.”

“Se os outros desistem da apostatodas as vezes em que você tem uma boa mão,

é sinal de que está mostrando o jogo.”

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