GLOML1RIA DLSCRI1IVA LS1UDO DL SUPLRICILS labio Gonales 1eixeira Rgio Pierre da Sila Superfcies Retilneas DesenvolvveisNCA Ncleo de Computao Grfica Aplicada1Superfcies Retilneas DesenvolvveisFbio Gonalves Teixeira1Superfciesretilneasdesenvolvveissosuperfciesgeradaspelodeslocamento de retas (retilneas) e que podem ser planificveis (desenvolv-veis).Pertencemaestegrupodesuperfciescones,cilindros,pirmideseprismas. Este tipo de superfcie ocorre corriqueiramente em objetos dos maisvariados tipos em Engenharia, Arquitetura e at na natureza.Componentesdemotoresemquinas,taiscomo:engrenagens,eixosepis-tessoexemplosdeobjetoscujassuperfciessoretilneasedesenvolv-veis. Elementos estruturais e arquitetnicos como vigas e pilares, paredes, al-guns tipos de coberturas e at os volumes dos edifcios podem ter superfciesretilneas desenvolvveis.GERAOAgeraodassuperfciesretilneasdesenvolvveisfundamentadanosse-guintes elementos geradores:Diretriz Linha curva ou poligonal, aberta ou fechada, plana ou espacial.Vrtice Ponto prprio ou imprprio.Geratriz Reta.Lei de Gerao A geratriz desloca-se apoiada simultaneamente sobre a di-retriz e o vrtice, sendo que as sucessivas posies da geratriz definem umasuperfcieretilneadesenvolvvel.Asuperfcieolugargeomtricodassu-cessivas posies da reta geratriz. 1 Professor Assistente do Departamento de Expresso Grfica da UFRGSSuperfcies Retilneas DesenvolvveisNCA Ncleo de Computao Grfica Aplicada2O tipo de diretriz e a posio do vrtice determinam como as superfcies retil-neas desenvolvveis podem ser classificadas:SuperfciesCnicasGera-daspelodeslocamentodaretageratrizapoiadaeemdiretrizcurva (aberta ou fechada) e emvrtice prprio (a uma distnciafinita da diretriz).SuperfciesPiramidaisGera-daspelodeslocamentodaretageratriz apoiada e em diretriz po-ligonal(abertaoufechada)eemvrticeprprio(aumadistnciafinita da diretriz).VrticeGeratrizDiretrizSuperfcie CnicaSuperfcie PiramidalSuperfcies Retilneas DesenvolvveisNCA Ncleo de Computao Grfica Aplicada3SuperfciesCilndricasGera-daspelodeslocamentodaretageratriz apoiada e em diretriz cur-va(abertaoufechada)eemvr-ticeimprprio(aumadistnciainfinitadadiretriz).Nestetipodesuperfcie,todasasposiesdegeratriz so paralelas.SuperfciesPrismticasGera-das pelo deslocamento da reta ge-ratriz apoiada e em diretriz poligo-nal(abertaoufechada)eemvr-tice imprprio (a uma distncia in-finitadadiretriz).Nestetipodesuperfcie,todasasposiesdegeratriz so paralelas.Superfcie CilndricaVVSuperfciePrismticaSuperfcies Retilneas DesenvolvveisNCA Ncleo de Computao Grfica Aplicada4CARACTERSTICAS GERAISAssuperfciesretilneasdesenvolvveisapresentamumsriedecaractersti-cas importantes:Assuperfciesretilneasdesenvolvveissoplanificveis(desenvolvveis)deformaexata,poissocompostaspeloconjuntodesucessivasposiesco-planares de retas geratrizes (concorrentes ou paralelas).Superfciesdediretrizespoligonaisapresentamarestasvisveisefacespla-nas.Asarestassoasgeratrizeslimitesdefacesadjacentes.Jassuperf-cies de diretrizes curvas no apresentam arestas visveis.As superfcies so teoricamente infinitas, pois so formadas por retas (geratri-zes), objetos infinitos. Desta forma, superfcies de vrtice prprio apresentamduasfolhas,umadecadaladodovrtice.Porm,noprticorepresentarsuperfciesinfinitas.Normalmente,assuperfciesretilneasdesenvolvveisso representadas limitadas entre a diretriz e o vrtice, para as Cnicas e asPiramidais,eemumcomprimentoespecfico,paraassuperfciesdevrticeimprprio.Superfcies Retilneas DesenvolvveisNCA Ncleo de Computao Grfica Aplicada5REPRESENTAO EM PURAArepresentaoempuradassuperfciesretilneasdesenvolvveislevaemcontaqueestassoopacas,portantohlinhasvisveiseinvisveis.Outroponto importante que a superfcie retilnea em estudo composta somentepelas posies onde h geratrizes. Isto quer dizer que no sero levadas emconsideraoqualquertipodetampaouplanodebase.Arepresentaofeitaatravsdasgeratrizeslimitesdevisibilidadenasvistas(ouprojees)correspondentes. Para cada posio de observador existem sempre duas ge-Superfcies Retilneas DesenvolvveisNCA Ncleo de Computao Grfica Aplicada6ratrizes limites correspondentes. Para superfcies de diretrizes curvas, as ge-ratrizeslimitesosempretangentesdiretriz.Parasuperfciesdediretrizespoligonais, as geratrizes limite correspondem sempre a arestas da superfcie.As arestas de uma superfcie so todas as posies de geratriz que passampelos vrtices da sua diretriz.Sexisteumaregraparaadeterminaodavisibilidade:soinvisveis,emuma vista ou projeo, aquelas linhas que se encontram em posies onde asuperfcie est entra as linhas e o observador. Para conferir se a visibilidadeest correta, possvel observar alguns aspectos:contorno aparente sempre visvel.No cruzamento de duas linhas, certamente uma visvel e a outra linha invisvel.No encontro de linhas fora do contorno aparente, as linhas devem possuira mesma visibilidade: visvel com visvel e invisvel com invisvel.PERTINNCIAA pertinncia de ponto a uma superfcie est relacionada com o tipo de gera-odasuperfcie.Emsuperfciesretilneas,qualquerpontoquepertenaasuperfcie deve pertencer a uma geratriz, uma vez que a superfcie o lugargeomtricodassucessivasposiesdaretageratriz.Istodeterminatambmavisibilidadedoponto,queservisvel,seageratrizforvisvel,einvisvel,seageratriz for invisvel.A pertinncia de retas s superfcies re-cai no caso do ponto. Se um reta possuidoispontosnocoincidentesqueper-tenam superfcie ento a reta perten-ce superfcie.Q1Q1Q2 Q2P1P2Superfcies Retilneas DesenvolvveisNCA Ncleo de Computao Grfica Aplicada7INTERSEES COM SUPERFCIES RETILNEAS DESENVOLVVEISOestudodeinterseesentresuperfcieeplanoeentresuperfcieeretapermiteentendermelhoroprocessodegeraodasuperfcie,bemcomoaaplicao prtica das superfcies.Interseo a poro comum a dois ou mais objetos. No caso de plano e su-perfcie, a interseo sempre um linha plana curva ou poligonal, conforme otipo de superfcie. Entre reta e superfcie a interseo poder ser um ou maispontos e at mesmo a prpria reta, quando esta pertence superfcie.INTERSEES ENTRE SUPERFCIES E PLANOSAdeterminaodainterseoentreumasuperfcieeumplanoempuraimediata quando o plano est acumulado em uma das projees. Quando istoocorre, basta determinar a interseo de um conjunto significativo de posiesde geratriz com o plano, o que feito de maneira direta na vista onde o plano acumulado. Depois basta unir os pontos para se obter a linha interseo. Nocaso de superfcies de diretrizes poligonais, basta determinar a interseo doplanocomasposiesdegeratrizquecontenhamosvrticesdapoligonal.Emsuperfciesdediretrizescurvas,deve-seutilizarumconjuntoapropriadode posies de geratriz para que seja possvel o traado da curva interseocom alguma preciso.AinterseodeplanoscomsuperfciescnicasproduzcomoresultadoasSuperfcies Retilneas DesenvolvveisNCA Ncleo de Computao Grfica Aplicada8chamadas curvas cnicas: elipse, parbola e hiprbole. O fator que determinao tipo de curva interseo a inclinao relativa do plano secante em relaos geratrizes do cone. Quando o ngulo do plano em relao ao eixo do conemaiorqueongulodasgeratrizesmedidoemrelaoaoeixo,oplanocorta todas as geratrizes do cone, a curva interseo uma elipse. Quando ongulodoplanoigualaongulodasgeratrizes,acurvaresultanteumaparbola.Seongulodoplanomenorqueongulodasgeratrizes,estecortaasgeratrizesnasduasfolhasdocone,gerandoumacurvadedoisra-mos, a hiprbole.Oprocedimentoparadeterminarainterseoomesmoemqualquerdostrs casos. H ainda alguns casos particulares que devem ser mencionados.Quandooplanosecantecontmovrticeainterseopodeserumponto,uma reta ou duas retas conforme o ngulo do plano em relao ao eixo:Quando o ngulo maior que o ngulo das geratrizes, a interseo umponto.Quandoonguloigualaongulodasgeratrizes,estetangnciaasu-perfcie nas duas folhas e a interseo uma reta.Caso o ngulo do plano seja menor do que o ngulo das geratrizes, a in-terseo resulta em duas retas, geratrizes da superfcie.Parbola Elipse HiprboleSuperfcies Retilneas DesenvolvveisNCA Ncleo de Computao Grfica Aplicada9Outro caso particular, ocorre quando a superfcie cnica possui diretriz circu-lar, eixo normal ao plano da diretriz e o plano secante faz um ngulo reto emrelao ao eixo. Nestas condies a interseo uma circunferncia.Superfcies Retilneas DesenvolvveisNCA Ncleo de Computao Grfica Aplicada10INTERSEO ENTRE SUPERFCIES E RETASInterseo entre reta e superfcie re-sultaemumoumaispontosdepen-dendodaformadasuperfcieedaposiorelativaentrearetaeasu-perfcie.Omtodoparadeterminarospontosdeinterseoutilizapla-nosauxiliares.Estemtodotemomesmoprincpiodomtododepla-nosauxiliaresparadeterminaodeinterseo entre reta e plano. O pla-no auxiliar deve conter a reta e a in-terseodesteplanocomasuperf-ciegeraumalinhacoplanarreta.Searetaapre-senta um ou mais pontos em comum com esta linha, possvel afirmar que estes pontos so a interseo dareta com a superfcie, uma vez que a linha pertence superfcie.Qualquerplanoquecontenhaaretapodeserutilizado,pormnaprticautilizam-seplanosacumuladosdevidofacilidadenadeterminaodaintersees entre planos acumulados e superfcies.Oproblemaficaentoreduzidodeterminaodainterseoplano-superfcie.Istopodesertrabalhosoquandoasuperfciecilndricaoucnica.Alternati-vamentepode-seutilizarplanosnoacumuladosque,seforemapropriada-mente escolhidos, podem facilitar o processo e reduzir o trabalho necessrio.UsodePlanosAuxiliaresNoAcumuladosnaDeterminaodeInterse-es Entre Retas e Superfcies de Vrtice PrprioNaverdade,paraumconjuntoreta-superfcie,existesomenteumplanoquecontm a reta e o vrtice da superfcie.Como a interseo entre a superfcie eum plano que contm o seu vrtice s pode ser um ponto (o que no se apli-ca), uma reta (quando o plano tangente superfcie) e duas retas (quando oSuperfcies Retilneas DesenvolvveisNCA Ncleo de Computao Grfica Aplicada11r1s2s1r2t2t1V2V1AAB1B2IJ1J2I1v1v2u2u1planocortaasuperfcie),adeterminaodainterseoentreretaesuperfcieficamuitosimples.Aseguirsodescritososprocedimentosparaadeterminaodainter-seoentreretaesuperfciede vrtice prprio:1.Sejaumasuperfciedevrticeprprioeumaretarcujainterseocomasuperfciepretende-sedeterminar.2.Seja um plano a definido por duas retas concorrentes, uma a prpria retar e a outra uma reta s, que contm o vrtice e concorrente primeira.3.A interseo deacomoplanoquecontmadiretrizdasuperfcieareta t. Se r possui interseo com a superfcie a reta t possui um ou maispontos em comum(A e B) com a diretriz da superfcie.4.Unindo-seestespontosaovrtice,obtm-seasretasuev.Estasretasso coplanares a r, pois todas pertencem a a.5.Portanto I e J, intersees entre r e u e entre r e v, respectivamente, soos pontos de interseo entre r e a superfcie, uma vez que estes pontospertencem r e superfcie, pois u e v so geratrizes. Deste modo a inter-seoentreoplanoeasuperfciesempreserumaoumaisretas,istofacilitaoprocessoeaumentaapre-cisocomumnmeroreduzidodepassos.VrusAtvJBISuperfcies Retilneas DesenvolvveisNCA Ncleo de Computao Grfica Aplicada12UsodePlanosAuxiliaresNoAcumuladosnaDeterminaodeInterse-es Entre Retas e Superfcies de Vrtice ImprprioAutilizaodeumplanoauxiliarque contm o vrtice pode tambmserutilizadaparadeterminarinter-seesentreretasesuperfciesdevrticeimprprio.Istopossvelporqueumplanopodeconteropontoimprpriodeumaretaseoplano paralelo reta. Portanto, seoplanoauxiliarparalelosgera-trizespossvelafirmarqueopla-nocontmovrticeimprpriodasuperfcie.1.Seja uma superfcie de vrticeimprprioeumaretarcujainterseocomasuperfciepretende-se determinar.2.Sejaumplanoadefinidoporduasretasconcorrentes,umaaprpriaretareaoutraumaretas,paralelasgeratrizesdasuperfcieeconcorrente primeira.3.A interseo de a com o plano que contm a diretriz da superfcie a retat. Esta reta possui um ou mais pontos em comum com a diretriz de super-fcie (A e B) se r possui interseo com a superfcie.4.Traando-se por estes pontos as geratrizes correspondentes, obtm-se asretas u e v. Estas retas so coplanares a r, pois todas pertencem a a.5.Portanto I e J, intersees entre r e u e entre r e v, respectivamente, soos pontos de interseo entre r e a superfcie, uma vez que estes pontospertencem r e superfcie, pois u e v so geratrizes.VrusAtvJBIr2usAv2JIBt2r1usAv1IBt1JSuperfcies Retilneas DesenvolvveisNCA Ncleo de Computao Grfica Aplicada13EXERCCIOS1Representarapuradasuperfcieretilneacujadiretrizumacircunfe-rnciaderaioiguala30mm,contidanumplanofrontaldeafastamento50mm e centro O(80,_,40). O vrtice prprio V(00,10,10). Analisar a visibilida-de do ponto P(30,_,20) pertencente superfcie.2Representarapuradasuperfcieretilneacujadiretrizumacircunfe-rncia de centro O(30,_,40) contida num plano frontal distando 15 mm de2;umaposiodegeratrizosegmentohorizontalABquefaz60com2nosentidoanti-horrio.A(30,_,10);B(80,_,_);opontoApertencediretriz;ovrticeimprprio.AnalisaravisibilidadedopontoP(50,_60)contidonasu-perfcie.1221V2V1P21221V2V1P2P1'P11222 21 11P21222 21 = 11P2P1Superfcies Retilneas DesenvolvveisNCA Ncleo de Computao Grfica Aplicada143 Desenhar em pura a superfcie cilndrica cuja diretriz uma circunfern-cia de centro em A(40,10,100), R=30 mm e contida em um plano frontal. Ge-ratrizes so retas de perfil, comprimento 80 mm e inclinadas de 45horrios 1. Determinar projeo de B(20,40,_) e estudar a visibilidade.4Representarasuperfcieprismticacujadiretrizumquadradoinscritoem circunferncia R=40 mm, centro A(60,50,50) em um plano horizontal. Umadas diagonais do quadrado uma reta de topo. Geratrizes so retas frontaiscom 60anti-horrios e comprimento 60 mm. A superfcie se projeta acima dadiretriz dada. Achar projees de B(40,40,_) e estudar a visibilidade.12B1B1A1A2 A012B1B1B2B2B0B012A2A1B11212126060Planificao de Superfcies NCA Ncleo de Computao Grfica Aplicada 15PLANIFICAO DE SUPERFCIES Fbio Gonalves Teixeira Deli O. Barreto Planificao o processo atravs do qual desdobra-se uma superfcie sobreumplano,evitando-se,aomximo,deformaeserupturas.A planificaotambmrecebeonomededesenvolvimentooutransformao da superfcie. Algumassuperfcies so passveis de serem planificadas com exatido,ouseja,aolongodoprocessonosofremnenhumadeformao, soassuperfciesquepossuemgeratrizesouarestasparalelas(vrtice imprprio)ouconcorrentes(vrticeprprio).Assuperfciereversascomo conide,cilindrides,etc.spodemserplanificadasporaproximao,uma vezquesuasgeratrizessoreversasentresi(nocoplanares).Omesmo acontece com as superfcies de revoluo. A planificao objetiva encontrarmodelo ou molde da superfcie para que a mesma possa ser construda.Obtido o modelo, corta-se o material que pode ser qualquer superfcie plana, e depois monta-se a superfcie. Umasuperfcieplanificadaapresentadaemumanicaprojeoeem verdadeiragrandeza.Assuperfciesdediretrizespoligonaispiramidaise prismticassoapresentadascomsuasfacesdispostasladoalado. Quandoasuperfciefechada,aplanificaodependedarupturada superfcieemumadasarestas.Estaaresta,tambmchamadadearestade fechamento(poisrepresentaaposioondedeveserfeitaacosturana montagem da superfcie), se apresenta duplicada na superfcie planificada. a1 b1 c1 d1 a2d2 b2c2 da b c c Arestade fechamento Planificao de Superfcies NCA Ncleo de Computao Grfica Aplicada 16Superfciesdediretrizescurvascnicasecilndricassoplanificadas atravs de aproximaes. Estas superfcies so tratadas como superfcies de diretriz poligonal com um grande nmero de lados, resultando em um grande nmero de faces. Quanto maior o nmero faces, mais precisa a aproximao. Qualquerquesejaotipodesuperfciedesenvolvvel,oproblemade planificaoficareduzidodeterminaodasverdadeirasgrandezasdas facesquecompemasuperfcie.Asvriastcnicasutilizadaspara planificaodesuperfciesdizemrespeito,principalmente,obtenodas VGs das faces da superfcie e do transporte das respectivas geometrias para aposiodeplanificao.Portanto,antesdeseiniciaraplanificao, necessrio conhecer as tcnicas de construo e transporte de polgonos. Planificao de Superfcies NCA Ncleo de Computao Grfica Aplicada 17TCNICAS DE CONSTRUO E TRANSPORTE DE POLGONOS Astcnicasdeconstruoetransportedepolgonosresolvemqualquer problema de Verdadeira Grandeza de face poligonal. A idia fundamental a obtenodasVGsdospolgonosqueconstituemasfacesplanasdeuma superfciecomomnimodeoperaesdescritivas,valendo-sedeconceitos fundamentais de geometria plana. TRINGULOS Paraseconstruirumtringulo,basta conhecerasmedidasdeseuslados. Isto pode ser escrito da seguinte forma: Sepossvelconstruirumtringuloa partirdetrssegmentosdereta,a soluonicaemtermosdeforma, nolevando-seemcontaaposiodo tringulo.Aconstruodeumtringuloapartirdetrssegmentospodeser resumida nos seguintes passos: 1.Sejam trs segmentos de reta a, b e c.2.Transportarumdossegmentos,porexemplo:c,paraaposioondeo tringulodeveserconstrudo.Istodeterminadoisdostrsvrticesdo tringulo. 3.Traarumacircunfernciaderaioacomocentroemumadas extremidades do segmento c.4.Traar uma circunferncia de raio b com o centro na outra extremidade do segmento c. 5.Sehouverinterseesentreasduascircunferncias,asoluoexiste.O terceirovrticedefinidopelainterseodasduascircunferncias. Aparentementeexistemduassolues,poishduasintersees.Porm, levando-seemcontasomenteaformadotringulo,existeapenasuma soluo,umavezqueasduassoluesobtidasdiferemapenasna posio, j que so simtricas em relao ao segmento base c. a b cabcPlanificao de Superfcies NCA Ncleo de Computao Grfica Aplicada 18TRANSPORTE DE POLGONOS COM N LADOSPolgonoscomquatroladosoumaisnoadmitem umanicaconfiguraotopolgicaconhecendo-se apenas os comprimentos de seus lados. Neste caso existeminfinitasconfiguraespossveis.No entanto,qualquerpolgonocommaisdetrslados podeserdecompostoemtringulos,reduzindoo problemadeconstruodepolgonosconstruo dostringulosqueoscompem.Conformeo nmerodeladosdeumpolgono,podemexistir vriasconfiguraespossveisparaostringulos queosubdividem.Porm,qualquerconfigurao devepermitiraconstruodopolgonoapartirdos tringulos resultantes. Quandoumpolgonodecompostoemtringulos,cadaumdosladosdo polgonocoincidecomumladodealgumtringulo,bemcomoalgumasde suasdiagonais.Emsendoassim,paraseconstruirumpolgonoapartirde tringulosnecessrioconhecertodososseusladose,conformea configuraoescolhida,asdiagonaisquesotambmladosdostringulos. Umquadrilteropodeserconstrudoconhecendo-seseusladoseuma diagonal. Para entender melhor este processo de construo ser apresentado um exemplo de transporte de um polgono: 1.Seja um polgono ABCDEF conhecido. 2.Subdividiropolgonoemtringulos.Aquifoi escolhidaaseguinteconfigurao:ABC,ACF, FCD e FDE (existem outras possveis).3.Transportar o segmento A, para a posio desejada. 4.Traar uma circunferncia com centro em A e raio AC e outra com centro em B e raio BC. No encontro destas circunferncias, marcar o ponto C. rABCDEFABCDEFABCDEFPlanificao de Superfcies NCA Ncleo de Computao Grfica Aplicada 195.Repetir os passos 3 e 4 para os tringulos restantes, levando-se em conta que o prximo tringulo deve ser adjacente ao tringulo anterior. Planificao de Superfcies NCA Ncleo de Computao Grfica Aplicada 20PLANIFICAO DE SUPERFCIES DE VRTICE PRPRIO Assuperfciesdevrticeprpriocnicasepiramidaispossuemfaces triangulares(assuperfciescnicassoaproximadasporsuperfcies piramidais),quandoovrticefazpartedaporoemestudo,equadrilteros quandoaporoemestudonocontmovrtice.Mesmoquandoovrtice no pertence poro em estudo, possvel tratar a superfcie considerando-se o vrtice (faces triangulares), se o mesmo acessvel. VRTICE ACESSVEL Quando o vrtice da superfcie est prximo, possvel determinar as VGs de todas as arestas utilizando-se o mtodo da rotao, atravs de um nico eixo quecontenhaovrticedasuperfcie.Almdasarestas,necessrio determinar as verdadeiras grandezas dos lados da diretriz. Para isto, pode ser utilizadoqualquermtododescritivo,porm,omtododarotao (rebatimento) em geral menos trabalhoso e mais preciso.Oprocedimentoparaaplanificaodeumasuperfciecomvrticeprprioe acessvel pode ser sistematizado da seguinte forma: 1.Seja uma superfcie retilnea desenvolvvel de diretriz ABCD e vrtice V. 2.Verificar, para cada face, se existem lados que no se apresentam em VG, discriminando se pertencem diretriz ou se so geratrizes. 3.Paraasgeratrizes,correspondentessarestasdasuperfcie,queno esto em VG, utilizar o processo de rotao com um eixo que contenha o vrtice da superfcie. Com isso, as verdadeiras grandezas das arestas so determinadas rapidamente. ABCDAVA1A1B1B1C1C1D1D1A2B2 C2D2A2 B2C2D2e1V1e2V2Planificao de Superfcies NCA Ncleo de Computao Grfica Aplicada 214.AsVGsdosladospertencentesgeratrizpodemserdeterminadaspelo rebatimento do plano da diretriz, caso esta seja plana. Em caso contrrio, necessriodeterminaraVGdecadasegmentodadiretriz individualmente. 5.Escolheraarestadefechamento.Amontagemdasuperfcieplanificada comea e acaba pela aresta de fechamento. 6.Montar a superfcie planificada atravs da construo sucessiva das faces (tringulos) adjacentes. Superfciestruncadas(troncodeconeetroncodepirmide),pormcom vrtices acessveis, so tratadas como superfcies no truncadas para efeitos deplanificao.Nestecasooprocessorealizadoemduasetapas.A primeiraetapacorrespondeplanificaodasuperfciecomoseestano fosse truncada. Na segunda etapa a poro truncada na superfcie original subtradadasuperfcieplanificada.Esteprocessomuitosimples,bastando descontar de cada aresta a poro cortada de cada aresta individualmente. Assuperfciescnicassoaproximadasporsuperfciespiramidais,para efeitosdeplanificao.Porm,estaaproximaodeveserfeitarespeitando alguns critrios mnimos: Adiretrizpoligonaldeveterseusladosiguais.Istomelhoraaprecisoe facilita a montagem da planificao. Quantomaioronmerodefacesdasuperfcieauxiliar,maisprecisaa aproximao. Se a superfcie possui algum plano de simetria, isto deve ser aproveitado para reduzir o trabalho de determinao das VGs das arestas. A1A1B1B1C1C1D1D1A2B2 C2D2A2B2 C2D2e1V1e2V2E1F1G1H1E2F2G2H2E1F1G1H1ABCDAVEFGHEPlanificao de Superfcies NCA Ncleo de Computao Grfica Aplicada 2212 divises16 divises 6s5s4s3s2s5 7 6 4 3 2 17654321711654326 7 4 3 2 51'2'3'4'5'6'7'1234567Planificao de Superfcies NCA Ncleo de Computao Grfica Aplicada 23VRTICE INACESSVEL Quandoumasuperfciepossuivrticeprprio,porminacessvel(ex:tronco de cone e tronco de pirmide), a maneira mais simples de planificar atravs datriangularizaodassuasfaces.Nestecasonecessrioencontraras verdadeirasgrandezasdasdiagonais,almdosladosdasfaces.Este procedimentotambmpodeserutilizadoparaaplanificaodesuperfcies com vrtice imprprio. A seguir o processo de planificao de superfcies de vrtice inacessvel ser apresentado atravs da planificao de um tronco de pirmide.1.Sejaumasuperfciecujabaseinferior(diretriz)opolgonoABCDesua base superior o polgono EFGH. 2.Identificar as faces e os seus lados, para determinar quais lados esto em VG e quais a verdadeira grandeza deve ser determinada. (No exemplo os lados que so tambm geratrizes no se apresentam em VG AE, BF, CG B1A1C1D1F1E1G1H1B2 A2C2D2F2E2G2 H2B1A1C1D1F1E1G1H1B2 A2C2D2F2E2G2 H2B1A1C1D1F1E1G1H1B2A2C2D2F2E2G2 H2H1H1 H1G1F1E1E1G1Planificao de Superfcies NCA Ncleo de Computao Grfica Aplicada 24e DH mas os que fazem parte das bases AB, BC, CD, DA, EF, FG, GH e HE esto em planos horizontais, portanto em VG). 3.Escolherumadiagonaldecadafaceparadecomporcadaumaemdois tringulos.SeasdiagonaisescolhidasnoestoemVG,necessrio utilizaralgumprocessodescritivoparaasuadeterminao.(Noexemplo nenhumadasdiagonaisdasquatrofacesseapresentamemVG,sendo que as diagonais escolhidas foram: AH, BE, BG e CH). 4.DeterminaraVGdetodosossegmentosidentificados.(Noexemplofoi utilizadooprocessoderotaoeasVGscorrespondemsprojees: A1E1, B1F1, C1G1, D1H1, A1,H1, B1E1, B1G1 e C1H1). 5.Montarasuperfcieplanificada atravsdaconstruosucessiva dostringulosadjacentesque compemasfaces.(Noexemplo iniciou-seaconstruopelaface ABFE.Ostringulosforam montadosnaseguinteordem: ABE,BEF,BFG,BGC,CGH, CHD, DHA e AHE). BACDFEGHAE1 ABE 5 CGH2 BEF 6 CHD3 BFG 7 DHA4 BGC 8 AHEPlanificao de Superfcies NCA Ncleo de Computao Grfica Aplicada 25SUPERFCIES DE VRTICE IMPRPRIO Assuperfciesdevrticeimprpriocilndricaseprismticaspossuem faces quadrilteras (as superfcies cilndricas so aproximadas por superfcies prismticas).Existemdoisenfoquesparaplanificarsuperfciesdevrtice imprprio:triangularizaodasfaces(procedimentoidnticoaoutilizadonas superfciesdevrticeinacessvel)eprocessosimplificado(baseadona distncia entre as geratrizes) TRIANGULARIZAO DAS FACES O processo de planificao de uma superfcie de vrtice imprprio atravs da triangularizaodesuasfacesidnticoqueleutilizadoparaaplanificao de superfcies de vrtice prprio inacessvel: 1.Seja uma superfcie de retilnea desenvolvvel de vrtice imprprio. 2.Identificar as faces e os seus lados, para determinar quais lados esto em VGequaisdeveteraverdadeiragrandezadeterminada(assuperfcies cilndricas so aproximadas por superfcies prismticas).3.Escolherumadiagonaldecadafaceparadecomporcadaumaemdois tringulos.SeasdiagonaisescolhidasnoestoemVG,necessrio utilizar algum processo descritivo para a sua determinao.4.Determinar a VG de todos os segmentos identificados.5.Escolheraarestadefechamento.Amontagemdasuperfcieplanificada comea e acaba pela aresta de fechamento. 6.Montarasuperfcieplanificadaatravsdaconstruosucessivados tringulos adjacentes que compem as faces.B1A1C1D1F1E1G1H1B2A2C2D2F2E2G2H2B1A1C1D1F1E1G1H1B2A2C2D2F2E2G2H2Planificao de Superfcies NCA Ncleo de Computao Grfica Aplicada 26SIMPLIFICAO PARA SUPERFCIES COM VRTICE IMPRPRIOAssuperfciesdevrticeimprpriopossuemgeratrizesparalelas,isto simplificamuitooprocessodeplanificao,poisconhecendo-seadistncia entreasarestas,ougeratrizes,ficamaisfcilamontagemdasfacesna planificaosemanecessidadedoconhecimentodasdiagonais.As distncias entre as arestas so determinadas obtendo-se a VG de uma seo transversal (perpendicular as arestas ou geratrizes) da superfcie. Quando se conheceaseotransversaldasuperfcie,oproblemadeplanificaofica praticamente resolvido, porm a etapa mais complexa justamente o traado e a determinao da verdadeira grandeza da seo transversal. O traado de uma seo transversal feito atravs da interseo de um plano perpendicularsarestasdasuperfciecomamesma.Paratraarumplano B1A1C1D1F1E1G1H1B2A2C2D2F2E2G2H2BACDFEGHAEPlanificao de Superfcies NCA Ncleo de Computao Grfica Aplicada 27perpendicular a uma reta, de uma maneira prtica e segura, necessrio que aretaestejaemVG,oplanoacumuladoeasprojees(VGdaretae acumulaodoplano)perpendicularesentresi.Istoimplicaemfazeruma operaodescritivacomtodaasuperfcieparadeterminaraVGdas geratrizesdasuperfcie,casoasmesmasnoestejaminicialmenteem verdadeiragrandeza.Averdadeiragrandezadaseotransversal determinadaatravsdealgummtododescritivo(mudanadeplanoou rebatimento). Amontagemdaplanificao,nestecaso,nodependedasVGsdas diagonaisdasfaces,poisnoutilizadooprocessodetriangularizao,o quereduzefacilitaoprocessodeplanificao.Aseguirsodescritosos passos para a planificao utilizando-se o mtodo simplificado: 1.Seja uma superfcie retilnea desenvolvvel de vrtice imprprio. 2.Verificarseemalgumaprojeoasuperfcieapresentaasgeratrizesem VG. Em caso contrrio, realizar processo descritivo sobre a superfcie para obterprojeoondeasarestas(geratrizes)seencontrememverdadeira grandeza. 3.NaprojeoondehVGdasgeratrizestraarplanoacumulado perpendicular s mesmas. Por pertinncia, encontrar as demais projees da seo do plano na superfcie. 4.Determinar a verdadeira grandeza da seo transversal. B1A1C1D1F1E1G1H1B2A2C2D2F2E2G2H2123412341234BACDFEGH1 2 3 4 1AEPlanificao de Superfcies NCA Ncleo de Computao Grfica Aplicada 285.Escolher a aresta de fechamento. 6.No local da planificao, traar uma linha reta com o comprimento igual ao permetrodaseotransversal,correspondendoplanificaodaseo transversal, tomando o cuidado de marcar todos os vrtices. O primeiro, e tambmoltimovrtice,deveseraquelequepertencearestade fechamento. 7.Transportarcadaumadasarestas,posicionando-assobreovrtice correspondente,perpendicularlinhadaseotransversalmantendoa mesma posio relativa entre as arestas e a seo transversal.Utilizando-seestatcnica,nohnecessidadededeterminarasVGsdos lados das faces correspondentes s bases, justamente porque a posio das arestasdeterminadapeladistnciaentreasmesmaseasuaposioem relao seo transversal. Este mtodo simplificado se presta muito bem para planificao de superfcies cilndricas,poisestassoaproximadasporsuperfciesprismticascomum grandenmerodefaces,oquetornaoprocessodetriangularizaomuito trabalhoso.NomtodosimplificadonecessrioacharVGsomentedas geratrizesedaseotransversal.E,paraisto,sonecessriasnomximo duasoperaesdescritivaspoisasgeratrizessoparalelaseaseo transversal,porsernormalsgeratrizes,estsempreacumuladaquando estas esto em VG. Planificao de Superfcies NCA Ncleo de Computao Grfica Aplicada 29PLANIFICAO DAS SUPERFCIES DE CONCORDNCIA CONSTRUO Superfciesdeconcordnciaoudetransio,como oprprionomediz,sosuperfciesquerealizama transioentreduassuperfciesdesees diferentes.Estetipodesituaocomumem sistemasdear-condicionadoeemfbricasondeh dutosdecirculaodearegasesemgeral provenientes de algum processo industrial. Quandoumadassuperfcies,aseremconectadas, tem seocurva e a outra tem seo poligonal a superfcie de transio pode sercompostade conidesouuma superfciecompostade facestriangularese pores cnicas. Superfciescompostas deconidesnopodem serplanificadasde formaexata,pois conidessosuperfciesreversas.Istotornamaiscomplexoecaroo processo de fabricao deste tipo de superfcie. Planificao de Superfcies NCA Ncleo de Computao Grfica Aplicada 30Superfciescompostasdefacestriangulareseporescnicasso planificveisdeformaexata.Eafabricaopodeserfeitaapartirda dobraduradeumanicachapa.Aconstruodasuperfciedependeda escolhadosvrticesdasfacestriangularessobreacurva.Paraquea superfcietenhaumaspectoequilibradoaconselhvel(noobrigatrio) seguir os seguintes passos para a determinao dos vrtices: Sejamduassees:umacircunfernciaeoutrapoligonalfechada. Construir uma superfcie de transio entre as sees. UtilizandoumaprojeoondeasseesseapresentamemVG,traar retas(tantasquantoonmerodeladosdapoligonal)quecontenhamo centro da circunferncia e perpendiculares a cada um dos lados da seo poligonal. Ospontosondeasretasencontrama circunferncia correspondem aos vrtices das faces triangulares. Osvrticesdaseopoligonal correspondemaosvrticesdaspores cnicas. Asuperfcieficacompostadepores cnicasefacestriangularesalternadas. Cadaporocnicatemcomodiretrizoarcolimitadopordoisvrtices consecutivos de duas faces triangulares situados sobre a seo circular.Planificao de Superfcies NCA Ncleo de Computao Grfica Aplicada 31PLANIFICAO Como as superfcies de transio so compostas por tringulos e superfcies cnicasdevrticeacessvel,suaplanificaoobedecemsmesmasregras daplanificaodassuperfciesretilneasdevrticeprprio.Aspores cnicasdevemseraproximadasporsuperfciespiramidais,comistoa superfcie fica composta por uma srie de faces triangulares.Devido ao grande nmero de faces, necessrio uma grande quantidade de operaesdescritivas(rotaes)paradeterminarasVGsdosladosdos tringulos. AconstruodaplanificaorealizadaatravsdamontagememVGde todostringulosquecompemasuperfcie,mantendoadjacentesos tringulos com lados (geratrizes) comuns. Em geral utiliza-se como aresta ou geratriz de fechamento um dos lados das faces triangulares. Supercies Retilneas No Desenvolvveis NCA Ncleo de Computao grfica Aplicada 31Superfcies Retilneas No Desenvolvveis (ou Reversas) Rgio Pierre da Silva Fbio Gonalves Teixeira Superfciesretilneasnodesenvolvveissosuperfcies,geradaspor retas,quenopodemserplanificadassemdistoro.Daotermo:node-senvolvvel (no planificvel). Ageraodestassuperfciespodeserentendidacomooconjuntodetodas as posies consecutivas de uma reta que se move no espao, sujeita a uma lei de gerao. Portanto, do ponto de vista geomtrico trata-se de uma super-fcie cinemtica. A lei de gerao definida pelo deslocamento de uma reta (Geratriz) apoiada em duas linhas(Diretrizes), que podem ser retas ou curvas, sendo o desloca-mentoparaleloaumplano(PlanoDiretor).Normalmenteasdiretrizesesto em planos diferentes. Asprincipaissuperfciesnodesenvolvveisso:ParabolideHiperblico, Conide e Cilindride. A diferena entre estas superfcies est no tipo de cur-va das diretrizes. Parabolide Hiperblico gerado pelo deslocamento de uma reta (Gera-triz) apoiada em duas retas (Diretrizes). O deslocamento da reta paralelo ao Plano Diretor. Supercies Retilneas No Desenvolvveis NCA Ncleo de Computao grfica Aplicada 32 Conidegeradopelodeslocamentodeumareta(Geratriz)apoiadaem umaretaeumacurva(Diretrizes).Odeslocamentodaretaparaleloao Plano Diretor. Cilindride gerado pelo deslocamento de uma reta (Geratriz) apoiada em duas curvas (Diretrizes). O deslocamento da reta paralelo ao Plano Diretor. Supercies Retilneas No Desenvolvveis NCA Ncleo de Computao grfica Aplicada 33REPRESENTAO EM PURA A representao em pura destas superfcies semelhante a das superfcies retilneas desenvolvveis visto anteriormente. So representadas as linhas vi-sveis e invisveis. A representao feita atravs de todas as geratrizes utili-zadas para construir a superfcie. O nmero de geratrizes utilizadas no deve ser muito pequeno (distribudas uniformemente ao longo das diretrizes), para que a visibilidade nas vistas (projees)no seja deficiente. Outro cuidado a ser tomado diz respeito a disposio das geratrizes quando da representao dasuperfcienasprojees.Asgeratrizesseroparalelasaoplanodiretore devem ser traadas sempre dos pontos de maior afastamento (ou cota) para os pontos de menor afastamento (ou cota), dependendo do tipo do plano dire-tor, para que a visibilidade possa ser facilmente determinada. 121 121 Supercies Retilneas No Desenvolvveis NCA Ncleo de Computao grfica Aplicada 34PERTINNCIA A pertinncia de um ponto superfcie, conforme explicado no captulo ante-rior, est vinculada ao tipo de gerao da superfcie. Em superfcies retilneas, um ponto pertence superfcie se pertencer a uma geratriz da mesma. A so-luodeproblemasdepertinnciadepontosuperfcieempurapodeen-volver duas situaes distintas quando uma das projees de um ponto co-nhecida.CASOISeaprojeo conhecidadopontoest localizada na mesma vista ondeoplanodiretorda superfcieacumulado,o problemasimples,pois fica reduzido pertinncia entrepontoereta.Como o plano diretor acumula-do, a direo da geratriz obvia.Osprocedimentos paradeterminaraproje-odopontosodescri-tos a seguir: 1.Sejaumsuperfcie retilneareversade diretrizesaebe planodiretor,acu-muladoemj,eum pontoPqueperten-ce superfcie, do qual se conhece apenas a projeo Pj (na vista onde acumulado). Deseja-se encontrar Pi. 2.Traar uma geratriz gj, paralela a j, e que contm a projeo Pj. 3.Onde gj encontra aj e bj, determinam-se os pontos Aj e Bj. A partir de Aj e Bj, traar linhas de chamada at encontrar ai e bi, determinando Ai e Bi. 4.O segmento AiBicorrespondeagi. A partir de Pj, traa-se uma linha de chamada at encontrar gi, determinando Pi, que a projeo procurada. P1 P2 g1g2 Supercies Retilneas No Desenvolvveis NCA Ncleo de Computao grfica Aplicada 35CASOIISeaprojeoconhecidadopontoestlocalizadaemumavista ondeoplanodiretordasuperfcienoestacumulado,oproblemadeixade ser um simples caso pertinncia entre ponto e reta. Como o plano diretor no estacumulado,ficaimpossveldeterminarcomprecisoadireoparaa projeodageratrizquecontmaprojeodopontoemumnicopasso.A soluo deste problema resulta em um processo iterativo para a determinao da posio correta de geratriz que contm o ponto. O processo iterativo pode ser resumido nos seguintes passos: 1.Seja um superfcie retilnea reversa de diretrizes a e b e plano diretor , acumuladoemj,eumpontoPquepertencesuperfcie,doqualse conhece apenas a projeo Pi (na vista onde no acumulado). Dese-ja-se encontrar g, a geratriz que contm P, e Pj. 2.Fazern=1.Traarumaretar(n)iquecontmPi,tendoocuidadode seguir uma direo mdia entre as duas geratrizes adjacentes. 3.A(n)i e B(n)i so os pontos de interseo de r(n)i com ai e bi. A partir de B(n)i, traar uma linha de chamada at bj, encontrando a projeo B(n)j. 4.A partir do ponto B(n)j, traar uma reta paralela ao plano diretor at en-contrar aj no ponto A(n)j. Esta reta a projeo r(1)j. 5.A partir do ponto A(n)j, traar uma linha de chamada at ai, encontrando A(n)i. 6.Se A(n)i A(n)i , significa que r(n) g, a geratriz procurada. Ir para 10. 7.SeA(n)i A(n)i,significaquer(n)noageratrizprocurada,poisno pertence superfcie. 8.Fazer n=n+1. Traar r(n)i que contm A(n)i e Pi. 9.Voltar para 3. 10.A partir de Pi, traar linha de chamada at gj, encontrando Pj. O nmero de iteraes depende da aproximao inicial, da preciso requerida e da preciso dos instrumentos utilizados. Utilizando um programa CAD, possvel obter um alto grau de preciso, devido aos tipos de ferramentas embutidas nes-tes aplicativos. J com o uso de instrumentos convencionais, no se pode espe-Supercies Retilneas No Desenvolvveis NCA Ncleo de Computao grfica Aplicada 36rar grande preciso, pois at a espessura do grafite utilizado interfere na preciso do mtodo. No entanto, a preciso que pode ser atingida, em geral, satisfatria. Uma alternativa ao processo iterativo, a utilizao de um plano auxiliar para de-terminar a pertinncia do ponto superfcie. A visibilidade do ponto est diretamente relacionada com a visibilidade da super-fcie. Seo ponto est contido em uma poro visvel da superfcie, ento o ponto tambm visvel. Isto pode facilmente ser verificado atravs da anlise da visibi-lidade da geratriz que contm o ponto. Se a geratriz visvel na poro onde se localiza o ponto, tambm o ponto ser visvel. P1P2r(1)1r(2)1 g1 r(1)2r(2)2 g2Supercies Retilneas No Desenvolvveis NCA Ncleo de Computao grfica Aplicada 37INTERSEES Conforme apresentado no captulo anterior, a interseo a poro comum a dois ou mais objetos. No caso da interseo entre a superfcie retilnea rever-sa e um plano uma linha plana , que pode ser aberta ou fechada conforme o tipodasuperfcie.Ainterseoentreasuperfcieearetapoderserumou mais pontos. SUPERFCIE E PLANO Adeterminaodainterseoentreumasuperfciereversaeumplano,em pura,imediataquandooplanoapresentaumadesuasprojeesacumu-lada. Basta determinar onde o plano intercepta as geratrizese, aps ligar os pontospara determinar a linha interseo. Caso o plano no apresente uma dasprojeesacumulada,deve-sefazerumaoperaogrfica(Mudanade Plano de Projeo, por exemplo) para obter a projeo acumulada.11Supercies Retilneas No Desenvolvveis NCA Ncleo de Computao grfica Aplicada 38SUPERFCIE E RETA Ainterseoentreumasuperfcieretilneareversaeumaretapodeserum oumaispontos,dependendodaformadasuperfciee,tambm,daposio relativa entre a reta e a superfcie. A determinao dos pontos de interseo feita pelo uso de planos auxiliares. A metodologia a mesma utilizada na de-terminao da interseo de reta com plano. O procedimento para a determi-nar a interseo entre reta superfcie pode ser resumido da seguinte maneira: 1.Seja uma superfcie reversa e uma reta r. Deseja-se saber os pontos de interseo entre a r e a superfcie. 2.Traarumplanoauxiliarquecontenhaareta.Nor-malmenteutiliza-seumpla-nodeprojeoacumulada coincidentecomumadas projees da reta. 3.Alinhaiainterseoen-treasuperfcieeoplanoauxiliar,epodeseruma linha aberta ou fechada.4.Comoreipertencema, qualquercoincidnciaou cruzamentodeprojees entrereicaracterizamin-tersees entre os mesmos.5.Se existe um ponto I que interseo entre r e i, este ponto I tambm ainterseoentrereasuperfcie,poisIpertenceaiquepertence superfcie, e I pertence a r, portanto I pertence a r e superfcie.r iII2I1i1 r2 2 i2r1 Supercies Retilneas No Desenvolvveis NCA Ncleo de Computao grfica Aplicada 396.Aps a determinao dos pontos de interseo deve-se realizar o estudo devisibilidadedareta,atravsdaanlisedasprojeesdosobjetose das coordenadas de seus pontos. Superfcies de Revoluo NCA Ncleo de Computao Grfica Aplicada 40 Superfcies de RevoluoFbio Gonalves Teixeira INTRODUO Superfciesderevoluososuperfciesgeradas pelomovimentoderotaodeumalinhaqualquer emtornodeumeixo.Pertencemaestetipodesu-perfcies os cones e cilindros retos, a esfera, o toro, ogivas,emuitasoutras.Estetipodesuperfcietem grandeaplicaoprticaepodeserencontradoem umavariedademuitograndedeobjetos,taiscomo: utensliosdomsticos,embalagens,componentes mecnicos, elementos arquitetnicos, fuselagens de foguetes e msseis. Nestetipodesuperfcieoprocessodefabricao est intimamente relacionado ao processo terico de gerao;umbomexemplodistoafabricaode peastorneadas.Nesteprocessodefabricao,a peaficagirandoaumadeterminadavelocidade enquantoumaferramentadesloca-seesculpindoo contorno da superfcie. Um torno pode ser um equi-pamentoextremamentecomplexo,comferramenta dediamanteecontrolescomputadorizadosparaafabricaode peas onde um alto grau de preciso necessrio. No entanto, um tornotambmpodeserumequipamentomuitosimples,deacio-namento a pedal e onde as mos do operador so utilizadas como ferramenta. Equipamentos deste tipo so utilizados para a fabrica-odepeasdeargilapor artesosempequenasofi-cinas. Torno Mecnico Superfcies de Revoluo NCA Ncleo de Computao Grfica Aplicada 41 GERAO Ageraodassuperfciesderevoluofundamentadanosseguintesele-mentos fundamentais: Geratriz Linha curva, reta ou poligonal, aberta ou fechada, plana ou es-pacial. Eixo Reta. LeideGeraoAlinhageratrizdesloca-serealizandoummovimentode revoluo em torno do eixo. Asuperfcie o lugar geomtrico das sucessivas posies da reta geratriz. De um modo geral o eixo e a geratriz esto situadas no mesmo plano. Porm, isto no obrigatrio. Nageraodestetipodesuperfciecadapontoda geratrizdescreveumacircunferncia,queestnum planoperpendicularaoeixodasuperfcie(planode rotao do ponto). Arevoluodageratrizemtornodoeixono,obrigatoriamente,completa (360o).possvelgerarsuperfciescomngulosderevoluomenoresque 90o, mas ainda assim, estas superfcies so chamadas de superfcies de revo-luo. Eixo Geratriz 360o 270o

Plano de rotao Superfcies de Revoluo NCA Ncleo de Computao Grfica Aplicada 42 CARACTERSTICAS GERAIS Numa superfcie de revoluo algumas linhas caractersticas merecem desta-que, uma vez que podem auxiliar na resoluo de problemas envolvendo tais superfcies. Estas linhas so determinadas pela interseo da superfcie com planos que contm o eixo de rotao, ou so perpendiculares a este. Assim, a linha resultante da interseo da superfciecom um plano que con-tm o eixo de rotao chama-se Meridiano. Quando o plano for paralelo a um dosplanosprincipaisdeprojeo(1ou2),a linhadenominadaMeridiano Principal. No caso do plano de interseo ser perpendicular ao eixo de rotao, a linha deinterseoresultante(geralmenteumacircunferncia)recebeonomege-nrico de Paralelo. O paralelo que contm um ponto onde a tangente gera-triz paralela ao eixo de rotao e pertence a uma regio onde a a superfcie convexa, denominado Equador. Quando o paralelo contm um ponto onde a tangente geratriz paralela ao eixoderotaoepertenceaumaregioondeasuperfciecncava,de-nominadoGola.Podeexistirmaisdeumequadoremumasuperfcie,mas tambm pode no existir nem um. O mesmo pode ser dito da gola. O nmero de equadorese golas depende, exclusivamente, da forma da geratriz. Sealinhageratrizinterceptaroeixo derotao opontodeinterseodeno-mina-se Plo e, portanto o paralelo tem dimetro igual a zero. Namaioriadassuperfciesderevoluoestaslinhas,paralelos(equadore gola)emeridianosprincipais,sooscontornosaparentesemprojeomon-geana. Meridiano Paralelos Superfcies de Revoluo NCA Ncleo de Computao Grfica Aplicada 43 PRINCIPAIS SUPERFCIES DE REVOLUO As principais superfcies de revoluo so:cone de revoluo, cilindrode re-voluo, hiperbolidederevoluo, superfcie esfrica, e elipside derevolu-o. Cone O conede revoluo o resultado da rotao de uma reta emtornodoeixoderotao,aposiodaretaconcor-renteaoeixo,estando,portanto,nomesmoplanodoeixo derotao.Asuperfciecnicaderevoluoidntica umsuperfciecnicageradacomosuperfcieretilneade-senvolvvel com diretriz circular e vrtice contido sobre uma reta que contm o centro do crculo e normal ao plano deste. Cilindro Ocilindroderevoluoobtidopelarotaodeumareta em torno do eixo de rotao, sendo que esta reta paralela aoeixo,novamente,retaeeixoderotaoestonomes-mo plano. Superfcie idntica pode ser gerada como super-fcieretilneadesenvolvvelcomdiretrizcircularegeratriz normal ao plano da diretriz. Hiperbolide Ohiperbolidederevoluopodesergeradopelarevolu-o de uma hiprbole em torno de um eixo (geratriz e eixo no mesmo plano). Neste caso a forma do hiperbolide est relacionada forma da hiprbolee posio destaem re-lao ao eixo.O hiperbolide de revoluo tambm pode ser gerado pela revoluo de uma reta em torno do eixo de rotao, sendo que esta reta deve ser reversa ao eixo, portanto com gera-triz e eixo em planos diferentes. Neste caso, a forma do hi-perbolide relacionada somente posio relativa entre a reta geratriz e o eixo. As superfcies geradas pelas duas maneiras so exatamente iguais, pormo uso de geratrizes retas sempre facilita o processo de gerao. Superfcies de Revoluo NCA Ncleo de Computao Grfica Aplicada 44 Esfera Asuperfcieesfricapodeserobtidapelarotaodeuma semicircunferncia(arcode180o)emtornodeumeixo.O eixodeverestarcolocadosobreumdeseusdimetros principais.Podemocorrervariaesdasuperfcieesfrica seageratrizforumarcomenordoque180, nestecasoa superfcie gerada um trecho de esfera. Toro OToroouSuperfcieToroidalobtidopelarota-odeumacircunfernciaemtornodoeixode rotao.Oformatodotorovaidependerdadis-tncia entre a circunferncia e o eixo, e do raio da circunferncia que est gerando a superfcie. Elipside OElipsidegeradopela rotaodeumaelipse em torno do eixo de rotao. Normalmente o eixo de rotao situa-se sobre um doseixos da elipse (eixo maior ou eixo menor), dependendo da posi-o do eixo de rotao vai alterar o formato do elipside. Superfcies de Revoluo NCA Ncleo de Computao Grfica Aplicada 45 REPRESENTAO EM PURA A representao em pura das superfcies de revoluo est diretamente associada ao processo de gerao destas super-fcies.Emgeral,tem-seumlinhageratrizeoeixoemsuas projees.Asprojeesdasuperfcieconstrudasdetermi-nando-se a trajetria dos pontos da geratriz em torno do eixo nas projees onde a superfcie deve ser representada. A se-guirserodescritosospassosparaarepresentaodeuma superfcie de revoluo genrica. 1.Sejam a linha geratriz g e o eixo e. Para efeitos de simplifi-cao, considerar o eixo e normal a um dos planos de pro-jeo e, conseqentemente, paralelo a outro. 2.Tomar os seguintes pontos da geratriz:Extremidades de g; Pontoscujastangentessoparalelasaoeixo(golase equadores); 3.Para cada ponto, traar uma circunferncia com centro na acumulaodoeixoeraioigualadistnciadopontoao eixo. 4.NaprojeoondeoeixoestemVG,traaraprojeo acumuladadocrculo.Estaprojeoumsegmentode comprimentoigualaodimetrodocrculoenormalaoei-xo.Comoocrculoatrajetriadoponto,todasassuas projeesdevemconterasprojeesdoponto.Portanto, a projeo acumulada do crculo deve cortar a geratriz no ponto em estudo. 5.Escolherumnmerodepontosintermediriosapropriado preciso desejada e repetir os passos 3 e 4. 6.Depois de realizar os passos 3 e 4 para todos os pontos escolhidos, traar o meridiano principal e completar, se necessrio, o contorno aparente nas projeesdasuperfcie.Nestaetapadeve-secuidaravisibilidade,princi-palmente das linhas reais. Superfcies de Revoluo NCA Ncleo de Computao Grfica Aplicada 46 Onmerodepontoscujastrajetrias devem ser representadas, depende do graudeprecisoexigidonarepresen-tao. Arepresentaoempuradassuper-fcies de revoluo composta, princi-palmente,pelaslinhasprincipaisdas mesmas(equador,gola,meridianos principais),quegeralmentelimitamas suasprojees,determinandooseu contornoaparente.Sorepresentadaslinhasvisveiseinvisveis.Aslinhas reais (que realmente aparecem na superfcie real, ex.: equador, gola e meridi-ano principal em VG) devem ter maior espessura que as linhas de construo (paralelosintermediriosemVGeparalelosacumuladosquenopertenam ao contorno da projeo). Se o eixoda superfcie for paralelo aum dos planos de projeo, o contorno aparente da superfcie, neste plano de projeo, contm, necessariamente, o meridiano principal. Se o eixo for perpendicular a um dos pla-nosdeprojeo,ocontornoaparenteda projeonesteplanoobrigatoriamente compostoporcircunferncias(paralelos emVG)quepoderosergolas,equado-rese/ouparalelosdeextremidades,se houver. LINHAS REAIS Meridiano principal Linhas de extremidades Gola Equador Superfcies de Revoluo NCA Ncleo de Computao Grfica Aplicada 47 PERTINNCIA Apertinnciadeumpontoaumasuperfciederevoluoestrelacionada comaformadegeraodamesma.Devidoaocartercinemticoutilizado paraageraodasuperfcie,todopontoquepertenceageratrizdescreve uma circunferncia. Em qualquer momento, um ponto da superfcie deve estar sobre uma circunferncia. Oprocedimentoparaadeterminaoda(s)projeo(es)possveisdeum ponto pode ser resumido da seguinte maneira: 1.Seja uma superfcie de revoluo e uma projeo de um ponto P. Deseja-sedeterminartodasasprojeespossveispara que P pertena a superfcie. 2.ApartiraprojeodePfornecidadopontotraar umacircunfernciaquecontenhaestaprojeo.A circunfernciapodeserrepresentadaemverdadei-ragrandeza(V.G.)ouacumulada,conformeopla-no de projeo que est sendo utilizado. 3.Ondeacircunfernciainterceptaraprojeodo meridiano principal marcar o ponto R. Por pertinn-cia,encontraraoutraprojeodeRnoplanode projeoadjacente.ApartirdestaprojeodeR traar a outra projeo da circunferncia. 4.Novamenteporpertinncia,encontraraspossveis projeesdePsobreacircunfernciaencontrada noitem3.Dependendodaformadasuperfciepo-dem existir uma ou mais projees possveis. P2 P2 P1 R2 R2 R1 Superfcies de Revoluo NCA Ncleo de Computao Grfica Aplicada 48 INTERSEES INTERSEO COM PLANO A interseo entre uma superfcie de revoluo e um plano uma, ou mais li-nhasplanas, que podem ser abertasou fechadasdependendo da forma da superfcie e a posio do plano secante em relao a superfcie. A interseo de uma superfcie de revoluo com um plano secante deve ser executadaquandoestepl0anoapresentaumaprojeoacumulada.Casoo planonoapresenteprojeoacumuladafaz-seumaMudanadePlanode Projeo acumulando uma projeo do mesmo. Apartirda,naprojeoacumuladadoplanosecante,determina-seondeo planointerceptaaslinhasprincipaisdasuperfcie(gola,equador,meridiano principal).Dependendodasuperfcie,normalmente,pode-seobter4pontos resultantesda linhadeinterseoresul-tante.Osdemaispontosnecessriosa caracterizaodalinhadeinterseo sero obtidos com o emprego de planos auxiliares (horizontais ou frontais). Ainterseodosplanosauxiliarescom as superfcies geram circunferncias em verdadeiragrandezanaprojeoadja-cente. A interseo destes planos auxili-arescomoplanosecantegeramretas. Ondearetainterceptaracircunferncia resultantesdo mesmoplanoauxiliarob-tm-se pontos que vo dar a forma final dalinhadeinterseo.Ainterseore-Superfcies de Revoluo NCA Ncleo de Computao Grfica Aplicada 49 ta/circunferncia pode gerarum nmero varivel de pontos resultantes. Esta variaovaidependerdaformadasuperfciederevoluoedaposiodo plano secante. Aps determinar a forma da linha de interseo resultante deve-se analisar a visibilidade da mesma. INTERSEO COM RETA Ainterseoentreumasuperfciederevoluoeumaretapodeserumou mais pontos, dependendo da forma da superfcie e da posio da reta em re-lao a superfcie. Esta interseo somente pode ser determinada com a utili-zaodeplanosauxiliaresquecontenhamaretasecante.Comonocasos das demais superfcies j apresentadas, este plano auxiliar de preferncia de-ve possuir uma projeo acumulada. O procedimento para determinar a interseo entre a superfcie e a reta pode ser resumido da seguinte maneira: 1.Seja uma superfcie de revoluo e uma reta r. Pretende-se obter os pon-tos de interseo entre a superfcie e a reta. 2.Traarumplanoauxiliar quecontenhaaretar.Normalmenteutiliza-se umplanocomprojeoacumulada,coincidentecomumadasprojees da reta. 3.Determinar a interseo i entre a superfcie e o plano auxiliar . Esta inter-seo pode ser uma, ou mais linhas abertas ou fechadas. 4.Sabendoquearetarealinhaipertencemaoplanoauxiliar ,qualquer coincidnciaou cruzamento deprojees entre r e i caracterizam interse-es entre os mesmos. 5.Existindo um ponto l que interseo entre r e i, este ponto l , tambm, interseo entre a superfcie e a reta r, pois l pertence a i que pertence a superfcie, e l pertence a r , portanto l pertence superfcie e reta r. 6.Aps a determinao dos pontos de interseo entre a superfcie e a reta, deve-serealizaroestudodevisibilidadedareta,atravsdaanlisedas projees dos objetos e das coordenadas de seus pontos.

Superfcies Helicoidais NCA Ncleo de Computao Grfica Aplicada 50 Helicides Fbio Gonalves Teixeira Marta Regina Tocchetto Lemes I IN NT TR RO OD DU U O O Helicides so superfciesgeradaspelo movimento de retas (retilneas) cujos pontos descrevem trajetrias he-licoidais.Oresultadoumtipodesuperfciecomin-merasaplicaesprticas.Helicidessoabasede componentestaiscomo:parafusos(cujasaplicaes dispensamcomentrios),fusos(componentesmec-nicosfundamentaisemmquinasebombas),brocas (de uso industrial ou domstico), rampas de acesso he-licoidais(utilizadasparapedestresouveculos),esca-dashelicoidais(nososuperfcieshelicoidais,mas fazem uso destas para a sua construo e concepo). Paraumperfeitoentendimentodoshelicides,necessrio estudar as hlices, pois todos os pontos de um helicide des-crevem como trajetria estas curvas espaciais. H H L LI IC CE ES S De uma maneira em geral, hlice uma curva traada na superfcie de um ci-lindro e quefaz ngulos iguais com as geratrizes desse cilindro. Ahlicecilndricaconhecidasimplesmenteporhliceedefine-secomoa trajetria descrita por um ponto, quandoapoiado na superfcie deum cilindro (denominadocilindrosuporte),subordinadoadoismo-vimentos uniformes e simultneos: Rotao em torno do eixo do cilindro; Translao paralela ao eixo do cilindro. Se a seo reta do cilindro (seo perpendicular s ge-ratrizes) uma circunferncia, o cilindro de revoluo e a hlice chamada de hlice cilndrica normal. P R Superfcies Helicoidais NCA Ncleo de Computao Grfica Aplicada 51 G GE ER RA A O O E E C CA AR RA AC CT TE ER R S ST TI IC CA AS S G GE ER RA AI IS S D DA AS S H H L LI IC CE ES S Para iniciar o estudo das hlices, necessrio apresentar alguns elementos e propriedades que definem as suas principais caractersticas: PontogeradorPontoque,deslocando-se,descreveuma hlice como trajetria.EixodahliceRetaemtornodaqualdesloca-seoponto gerador. Passodahlice(P)Distnciaentredoispontosdahlice medidasobreumamesmageratrizdocilindrosuporte.Tam-bm pode-se dizer que o passo a distncia axial necessria para uma volta completa em torno do eixo. Espira Poro da hlice correspondente a um passo. Raio da hlice Corresponde ao raio do cilindro suporte e distncia do ponto gerador ao eixo. Sentido de Rotao Sentido da rotao do ponto em torno do eixo. LeideGeraoO pontogerador desloca-seemmovimentocomposto(ro-tao + translao) ao redor do eixo, sendo que medida que o ponto deslo-ca-se na direo axial (paralelamente ao eixo), tambm gira ao redor do eixo, a projeode seu movimentoem um planonormal aoeixopercorre uma cir-cunferncia cujo raio igual ao raio do cilindro suporte. Quando o ponto des-loca-sedeumadistnciaigualaopasso,nadireoaxial,aomesmotempo completa um giro de 360. O deslocamento axial proporcional ao deslocamento angular, isto quer dizer que a um giro de da circunferncia corresponde um deslocamento axial do ponto de do passo; a um giro de da circunferncia corresponde um des-locamento axial de metade do passo, e assim sucessivamente. A orientao do movimento do ponto gerador, que a combinao do sentido de translao e o sentido de rotao, determina o tipo de hlice: DextrorsumQuandoopontogeradordesloca-sesegundoaregrada modireita,considerandoqueopolegardefineomovimentonadireo axial e o restante dos dedos indica o sentido de rotao. Superfcies Helicoidais NCA Ncleo de Computao Grfica Aplicada 52 Sinistrorsum Quandoo ponto gerador desloca-sesegundoaregradamoes-querda, considerando que o polegar defi-ne o movimento na direo axial e o res-tante dos dedos indica o sentido de rota-o. Quando uma hlice dextrorsum ou positiva, um observador colocado dentro do cilindro suporte, na posio de seu eixo, v o ponto se deslocar da direita para a esquerda e de baixo para cima. No caso de apenas um destes deslo-camentos mudar de sentido, a hlice sinistrorsum ou negativa. Considerandoumanicaespiradeumahlice(oquecorrespondenteaum passo P e um raio R), se a superfcie do cilindro suporte planificada, ela se transforma em um retngulo onde a base 2R e a altura P, e a hlice plani-ficadaadiagonaldesseretngulo.Comahliceeoseucilindrosuporte planificados, possvel definir outras propriedades caractersticas das hlices: ngulo ( ) da hlice ngulo de inclinao da diagonal do retngulo. DeclivedahliceTangentedongulo,queobtidopelarelaono tringulo: tg = P/2R . Uma hlice uma curva teoricamente infinita, porm na prtica as hlices so representadaslimitadas.Arepresentaodeumahlicepodeconterumn-mero de espiras que no , necessariamente, inteiro. Desta forma, possvelrepresentar 0.75 espira, 1 espira ou 2.27 espiras de qualquer hlice. A poro representada depende do objetivo de tal representaoe da aplicao prti-ca ou terica que se pretende dar hlice. Dextrorsum Sinistrorsum 2R P Superfcies Helicoidais NCA Ncleo de Computao Grfica Aplicada 53 C CO ON NS ST TR RU U O O E E R RE EP PR RE ES SE EN NT TA A O O E EM M P PU UR RA A A construo e representao em pura de uma hlice obedece lei de gera-o das hlices. O processo consiste em representar a trajetria do ponto ge-rador, simultaneamente, nas projees mongeanas envolvidas.Aseguirseroapresentadosospassosparaaconstruodasprojeesde uma hlice sendo conhecidos o ponto gerador (Pi, Pj), o eixo (e), o passo e a orientao da hlice. Para efeitos de simplificao, ser considerado um eixo de projeo acumulada (ei) e, portanto, outra projeo em verdadeira grande-za (ej).1.Noplanodeprojeoi,ondeoeixotem projeoacumulada,traarumacircunfe-rncia com centro ei e raio igual a eiPi . Es-ta circunfernciaa projeoda hliceno plano i. 2.Noplanodeprojeoj,ondeoeixotem projeoemverdadeiragrandeza,traar umsegmentoderetaapartirdaprojeo Pj paralelo a ej e com comprimento igual ao passo. 3.Dividiracircunfernciaemumnmerode partessuficientesparaconstruirahlice comalgumapreciso.Seacircunferncia divididaemnpartes,ahlicetemn+1 pontosdeterminadoscompreciso.So necessrios,pelomenos,oitodivisespa-ra desenhar a hlice mo livre. No obrigatrio, porm conveniente4.Numerar cada ponto da diviso segundo o sentido de rotao do ponto ge-rador. 5.Dividiropassonomesmonmerodeparteseproporcionaissdivises dacircunferncia.Nocasodeseremutilizadosmaisdeumpasso,todos os passos devem ser divididos em segmentos iguais ao do primeiro passo. 1 5 4 3 2 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Superfcies Helicoidais NCA Ncleo de Computao Grfica Aplicada 54 6.Numerarospontosdeterminadossobreopassosegundoosentidode translao do ponto gerador. 7.Traar linhas perpendiculares ej contendocada umdospontos das divi-ses sobre o passo. 8.Traar uma linha de chamada a partir do ponto 1 do plano i at linha 1 do planoj.Destaforma,determina-seasduasprojeesdoprimeiroponto da hlice. Repete-se este processo para cada um dos pontos sobre as di-vises determinados em ambas as projees. 9.Traar a projeo da hlice no plano j unindo os pontos determinados em 8, interpolando-os. A projeo em j uma senide, pois seu processo de construo em pura coincidente com a definio da funo Seno. importante observar que a projeo da hlice no plano de projeo j, onde oeixotemprojeoemverdadeiragrandeza,temsemprecomolimiteslate-rais as linhas de chamada dos limites laterais da circunferncia em i. Na pr-tica, estes limites so o contorno aparente do cilindro suporte. A forma da pro-jeo em j depende muito da posio inicial do ponto gerador.

Superfcies Helicoidais NCA Ncleo de Computao Grfica Aplicada 55 S SU UP PE ER RF F C CI IE ES S H HE EL LI IC CO OI ID DA AI IS S O OU U H HE EL LI IC C I ID DE ES S Helicidessosuperfciesgeradasporretasquedescrevemtrajetriasheli-coidais. A gerao de um helicide depende dos seguintes elementos: Geratriz Segmento de reta. Eixo Reta concorrente ou reversa geratriz. Passo Passo do movimento helicoidal. Orientao Orientao (positiva ou negativa) do movimento helicoidal. Lei de Gerao Aretageratriz desloca-se em trajetriahelicoidal em torno doeixodetalformaquetodosospontosdescrevemhlicessimultneasde mesmo passo, mesmo eixo, mesmo sentidode rotao e de cilindros suporte diferentes (pontos com raio de rotao diferentes possui cilindros suporte dife-rentes).Assim como nas hlices, os helicides podem ter qualquer comprimento, des-de que a trajetria seja helicoidal. Portanto, possvel construir helicides que percorrem apenas fraes de um passo, no completando nem uma espira da trajetria helicoidal. Por outro lado, tambm possvel criar helicides que so desenvolvidosemmaisdeumpasso,pormnonecessariamenteemmlti-plos inteiros de um passo. Se a geratriz e o eixo so ou no coplanares, os helicides podem ser classifi-cados de duas formas: HelicidesaxiaisQuandoasgeratrizeseoseixossoconcorrentes. Neste caso, as geratriz posicionam-se de forma radial em vista axial. Desta forma, o processo de diviso das circunferncias, correspondentes s hli-ces dos pontos das extremidades, pode ser feito em uma nica etapa, pois as divises so alinhadas.Helicides de ncleo Quando a geratriz reversa ao eixo. Nos helici-desdencleo,ospontosdasextremidadesdageratriznoficamposicio-nadosnadireoradial(noplanodeprojeoondeoeixoestacumula-do),portantoasdivisesnoficamalinhadascomocentrodascircunfe-rncias. Sendo assim, cada circunferncia deve ser dividida separadamen-te, o que aumenta o custo do processo. Superfcies Helicoidais NCA Ncleo de Computao Grfica Aplicada 56 Estasduasformasdehelicidessonaturalmenteexcludentes,ouseja,ou um helicide axial ou de ncleo. Alem disso, possvel classificar os heli-cides segundo o ngulo formado entre a geratriz e o eixo: Helicides de plano diretor Se a geratriz ortogonal ao eixo, durante o processo de gerao a geratriz matem-se paralela a um plano perpendicu-laraoeixo.Nestecaso,diz-sequeohelicidegeradoumhelicidede plano diretor. HelicidesdeconediretorSeageratriznoortogonalaoeixo, possvel afirmar que a geratriz matem-se, durante o processo de gerao, sempreparalelaaumconederevoluo cujonguloentreageratrizeo eixo igual ao ngulo entre a geratriz do helicide e seu eixo. O helicide assim gerado chamado de helicide de cone diretor. Estasduasformastambmsoexcludentes,ouseja,ouumhelicidede planodiretoroudeconediretor.Porm,todosostiposdehelicidesexis-tentes so uma combinao das duas formas de classificao, resultando em quatro possibilidades, que so os quatro tipos fundamentais de helicides: Helicides axiais de plano diretor; Helicides axiais de cone diretor; Helicides de ncleo de plano diretor; Helicides de ncleo de cone diretor. R RE EP PR RE ES SE EN NT TA A O O E EM M P PU UR RA A O processo de construo em pura de um helicide se assemelha em muito com o processo de construo das hlices. Na verdade, a construo de hli-ces parte do processo de construo de um helicide. A seguir sero descri-tos os principais passos para a construo de um helicide sendo dados a ge-ratriz AB, eixo e, passo, sentido e nmero de espiras: 1.Construir a hlice correspondente ao ponto A; 2.Construir a hlice correspondente ao ponto B; 3.Unir as posies de mesma numerao de A e B; 4.Verificar a existncia de problemas de visibilidade. Superfcies Helicoidais NCA Ncleo de Computao Grfica Aplicada 57 H HE EL LI IC C I ID DE ES S A AX XI IA AI IS S D DE E P PL LA AN NO O D DI IR RE ET TO OR R Os helicides axiais de plano dire-torsoaquelescujasgeratrizes soperpendicularesaoseixos. Estes helicides so utilizados em rampasecomobaseparaesca-dashelicoidais,almdisso,po-demserutilizadosemfusosde mquinaseequipamentosindus-triais. Representao em pura Os helicides axiais de plano dire-tor so os mais fceis de serem construdos em pura. Oprocessode cons-truo consiste basicamente em construir as hlices das extremidades da ge-ratriz. Alm disso, nessas superfcies no h problemas de visibilidade do tipo onde parte da superfcie fica invisvel, o que simplifica o processo de constru-o.Porm,existeum problemasutildevisibi-lidade,queconsisteem determinaraspartes superioreinferiordo helicide. Quandoa ge-ratrizparalelaaopla-nodeprojeoondeo eixo est acumulado, os helicidesaxiaisdepla-no diretor sinistrorsum e HELICIDE AXIAL DE PLANO DIRETOR Neste exemplo, so apresenta-dos dois helicides com proje-es idnticas, porm o pri-meiro sinistrorsum e o se-gundo dextrorsum. A repre-sentao da visibilidade nas duas superfcies, determinada pela presena de uma figura humana correndo sobre a rampa, mostra as pores do helicide onde aparecem as partes superiores e inferiores. Superfcies Helicoidais NCA Ncleo de Computao Grfica Aplicada 58 dextrorsum(demesmopasso,eixoegeratriz)apresentamprojeesidnti-cas,atmesmo,aparentemente,navisibilidade.Naverdade,humainver-so de visibilidade nos dois helicides: o que a poro superior em helicide sinistrorsum,correspondeporoinferiordohelicidedextrorsumaxialde plano diretor de mesmo passo e eixo. Neste caso, necessrio diferenciar, de algumaforma,asporesinferioresdassuperioresdafolhadohelicide. Quando no se encontra paralela ao plano de projeo onde o eixo se projeta em VG, helicides axiais sinistrorsum e dextrorsum (de mesmo passo, eixo e geratriz) apresentam projees diferentes na forma e visibilidade. O processo de construo das hlices facilitado, pois sendo de plano diretor ospontosdeextremidadesdescrevempassosalinhados,pertencendosem-preaomesmoplanonormalaoeixo.Nestecaso,oprocessodedivisodo passo para os dois pontos feito em umanica etapa. H HE EL LI IC C I ID DE ES S A AX XI IA AI IS S D DE E C CO ON NE E D DI IR RE ET TO OR R Oshelicidesaxiaisdeconedire-torsoaquelesgeradosporgera-trizes concorrentes aos eixos e, ao mesmotempo,oblquasaos mesmos.Esteshelicidesso amplamenteutilizadosemfusos, parafusos,roscasemgeraleem transportadoresindustriais.Muitas vezessoutilizadascombinaes dedoisoumaishelicidespara formarasuperfciedeumcompo-nente.Umexemplodistosoas roscas, onde so utilizados, pelo menos, dois helicides para formar um filete. Representao em pura Os helicides de cone diretor apresentam um complicador na diviso do pas-soparaospontosdasextremidades.Estespontosestodefasadosnadire-oaxial,portantosonecessriasduasetapasparaadiviso.Outropro-blema deste tipo de superfcie est na visibilidade. Sempre h pores invis-veis em helicide de cone diretor.HELICIDE AXIAL DE CONE DIRETOR Superfcies Helicoidais NCA Ncleo de Computao Grfica Aplicada 59 Quando a geratriz paralela ao plano de projeo onde o eixo est acumula-do,oshelicidesaxiaissinistrorsumedextrorsum(demesmopasso,eixoe geratriz) apresentam projees muito semelhentes, diferindo apenas na visibi-lidade. Porm, quando esta situao no ocorre, helicides axiais sinistrorsum edextrorsum(demesmopas-so, eixo e geratriz) apresentam projeesdiferentesnaforma e visibilidade. Neste exemplo, so apresentados dois helicides com projees idnticas, porm a visibilidade mostra as diferenas entre o dextrorsum e o sinis-trorsum. Nestes casos, a diferena entre os dois s aparece no aspecto visibilidade porque a gera-triz parte de uma posio muito particular: para-lela ao plano de projeo onde o eixo est em VG. Em caso contrrio, as diferenas ficam evi-dentes na forma das projees. Neste exemplo, os dois helicides sinistrorsum e dextrorsum no so diferenciados somente pela visibilidade. As projees so diferentes tambm na forma. Isto ocorre porque a posio inicial das geratrizes em ambos no est paralela ao plano de projeo onde o eixo se projeta em VG. Desta forma, fica evidente o sentido de rotao, o que facilita tambm o processo de determinao da visibilidade. Superfcies Helicoidais NCA Ncleo de Computao Grfica Aplicada 60 H HE EL LI IC C I ID DE ES S D DE E N N C CL LE EO O D DE E P PL LA AN NO O D DI IR RE ET TO OR R E E D DE E C CO ON NE E D DI IR RE ET TO OR R Helicide de ncleo de plano diretor so gerados por geratrizes reversas aos eixos, porm ortogonais a estes. Helicides de ncleo de cone diretor so gerados por geratrizes reversas aos eixos, porm no ortogonais aos mesmos. Oncleoumcilindrocomraioi-gualdistnciadaretasuporteda geratrizaoeixo.Portanto,oncleo tangenciaaretasuporte dageratriz e,dependendodocomprimentodo segmento geratriz, o ncleo tangen-cia o prprio helicide.Representao em pura Nos helicides de ncleo, os pontos das extremidades da geratriz no fi-camposicionadosnadireoradial (noplanodeprojeoondeoeixo estacumulado),portantoasdivi-sesnoficamalinhadascomo centrodascircunferncias.Sendo assim, cada circunferncia deve ser divididaseparadamente,oqueau-menta o custo do processo. Helicidessinistrorsumedextror-sum dencleo com mesma geratriz passoeeixonuncaapresentam projeesidnticas,comopodea-contecer com helicides axiais.Nestetipodesuperfcieusuala representaodo ncleo,o quege-raproblemasdevisibilidadeadicio-nais e que devem ser resolvidos. HELICIDEDENCLEO DE PLANO DIRETOR HELICIDE DE NCLEO DE CONE DIRETOR Superfcies Helicoidais NCA Ncleo de Computao Grfica Aplicada 61 Em um helicide de ncleo cuja geratriz tangencia o ncleo, necessrio tra-ar, alm das hlices das extremidades, a hlice de tangncia do helicide ao ncleo. Esta hlice tem como ponto gerador o ponto da geratriz de menor dis-tncia da geratriz em relao ao eixo.