Universidade Metodista de Piracicaba UNIMEP

P O

esquisa a peraciona

II

Hlio Boaretto Jnior - Mtodos Quantitativos

Pesquisa Operacional II

ContedoCONSTRUO DO MODELO ................................................................................................................................1 MTODO GRFICO..........................................................................................................................................6 PASSOS MTODO SIMPLEX..............................................................................................................................24 PROBLEMA DE TRANSPORTE............................................................................................................................41 MODELO FUNDAMENTAL DE TRANSPORTE..........................................................................................................41 1 ETAPA.....................................................................................................................................................42 2 ETAPA: ...................................................................................................................................................47 CASOS ESPECIAIS..........................................................................................................................................48

Pesquisa Operacional IIFORMULAO DE PROBLEMAS

Quando se tem um problema? Formular: Caracterizar o problema, identificando e analisando os seguintes aspectos: Quem tem a deciso Quais os objetivos desejados Que aspectos do meio ambiente afetam a situao

Construo do ModeloModelos: Proporcionar descries e explicaes simplificadas da operao do sistema que ele representa. Dentre os modelos ser utilizado o simblico, que utilizam letras, nmeros e outros tipos de smbolos para representar as variveis e suas relaes. Em PO procura-se utilizar esse tipo de modelo, por ser mais geral, mais fcil de manipular e que sempre produzem resultados mais exatos. Exemplo: Funo Objetivo (Max ou Min) Restries F.O.( Funo Objetivo) - assumem a forma bsicaU = f ( X I , YJ )

Restries:

Equaes ou inequaes onde algumas ou todas as variveis s podem assumir valores dentro de determinado limite.

Exemplo:Por enquanto s estamos armando o exerccio para resolver: mtodo simplex.

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Pesquisa Operacional II1) Um empresa fabricante de mveis analisa o tempo de produo e o lucro relativo a mesa , cadeira e armrio. Os seguintes dados foram obtidos. MOVEIS Mesa Cadeira Armrio Horas Disponveis DEPARTAMENTO I II III 10 7 2 2 3 4 1 2 1 100 63 80 LUCRO/UNIDADE 12 3 1

2

Pesquisa Operacional II2) Um jovem est saindo com 2 namoradas: Maria e Luiza. Sabe-se que por experincia: a) Maria, mais elegante e fina, gosta de lugares sofisticados consequentemente, mais caros, de modo que uma noite de 3 horas custar 10 u.n.. b) Luiza, mais simples, prefere divertimento mais popular, de modo que a noite de igual durao custar 6 u.n.. c) O oramento do jovem de 40 u.n. para diverses de seus afazeres escolares. Devido ao seus estudos lhe sobraram 18 horas e 40 Kcal para atividade sociais. d) Cada noite com Maria consome aproximadamente 5 Kcal, mas com Luiza, mais alegre e extrovertida, ele gasta o dobro. O jovem gosta das suas com mesma intensidade. Planejar a vida social do jovem de modo a obter o nmero mximo de sadas X1 X2 NAMORADAS Maria Luiza Disponibilidade GASTOS 10 6 40 CALORIAS 5 10 40 HORAS 3 3 18

3

Pesquisa Operacional II3) Uma fbrica produz rdios grande e pequenos. Deseja-se saber quantos rdios de cada tipo dever montar por hora para que o lucro seja mximo, sabendo que o rdio grande proporciona um lucro unitrio de 500 u.n. e o pequeno de 200 u.n.. A fbrica tem capacidade para produzir 6 chassis grande por hora, 15 pequenos, 24 vlvulas e 20 condensadores. Cada rdio grande e composto de: 1 chassis grande, 3 vlvulas e 2 condensadores. Cada rdio pequeno composto de 1 chassis pequeno, 1 vlvula e 1 condensador. CHASSI CHASSI VLVULA CONDENS. GRANDE PEQUENO 01 00 03 02 00 01 01 01 06 15 24 20 LUCRO 500 200

RDIOS Grandes Pequenos Horas Disponveis

4

Pesquisa Operacional II4) Determinada Central de Processamento de Dados, atende basicamente 2 clientes externos (A e B). A utilizao dos equipamento e recursos humanos so o seguinte: Cliente A- 1 horas de CPD, 7 horas de impressora, 10 horas de analistas e 22 horas de programadores. Cliente B- Consome 2 horas, 2 horas, 15 horas e 18 horas respectivamente. A Central dispes de 24, 21, 120 e 198 tambm respectivamente. Os lucros unitrios do programa so o seguinte: Cliente A - 120 u.n. e o Cliente B - 150 u.n.. Determinar o nmero de programas de A e B que maximizem os lucros, sabendo-se que o Cliente A poder requerer no mximo 17 programas e o Cliente B, at 20 programas por ms. CPU 01 02 24 IMPRESS ANALISTA PROGRAM. 07 10 22 03 10 18 21 120 198 LUCRO 100 150

A B Horas Disponveis

5

Pesquisa Operacional II Mtodo Grfico um mtodo de soluo utilizado para resolver problemas que envolvam apenas duas variveis. Propriedade Geral: As solues timas devem estar nos limites da regio vivel. Para identificarmos esses limites, usaremos a equao de limite, que obtida substituindo seus sinais. De

ou por 1 sinal de igual (=).

Em geral a forma da equao do limite de uma restrio e

Ai1 X 1 + Ai 2 X 2 + Ai 3 X 3 +...+ Ain X n = biPara a resoluo por esse mtodo devemos representar graficamente todas as equaes de limite, as quais iro formar uma rea denominada regio das solues viveis. O prximo passo atribuir um valor arbitrrio para a equao da funo objetivo, com o intuito de determinar o grau de declividade da reta. Observaes: Passos para o Mtodo Grfico. 1) Achar valore de X e Y em todas as retas 2) Traar no grfico todas as retas 3) Achar FO atravs da funo MAX 4) Traar FO no grfico 5) Achar o PO 6) Ver quais as retas que passam por PO 7) Achar X 1 e X 2 no grfico atravs das retas que passam por PO. 8) Achar o valor e Z * atravs da funo MAX substituindo

X 1 e X 2 j com seus respectivos valores.

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Pesquisa Operacional II

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Pesquisa Operacional IIExerccios1) Uma fbrica produz rdios grande e pequenos. Deseja-se saber quantos rdios de cada tipo dever montar por hora para que o lucro seja mximo, sabendo que o rdio grande proporciona um lucro unitrio de 500 u.n. e o pequeno de 200 u.n.. A fbrica tem capacidade para produzir 6 chassis grande por hora, 15 pequenos, 24 vlvulas e 20 condensadores. Cada rdio grande e composto de: 1 chassis grande, 3 vlvulas e 2 condensadores. Cada rdio pequeno composto de 1 chassis pequeno, 1 vlvula e 1 condensador. CHASSI CHASSI VLVULA CONDENS. GRANDE PEQUENO 01 00 03 02 00 01 01 01 06 15 24 20 LUCRO 500 200

RDIOS Grandes Pequenos Horas Disponveis

MAX ( Z ):500 x1 + 200 x 2x1 6 x 2 15 3x1 + 1x 2 24 2 x1 + 1x 2 20 x1 , x 2 0

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Pesquisa Operacional II2) Determinada Central de Processamento de Dados, atende basicamente 2 clientes externos (A e B). A utilizao dos equipamento e recursos humanos so o seguinte: Cliente A- 1 horas de CPD, 7 horas de impressora, 10 horas de analistas e 22 horas de programadores. Cliente B- Consome 2 horas, 2 horas, 15 horas e 18 horas respectivamente. A Central dispes de 24, 21, 120 e 198 tambm respectivamente. Os lucros unitrios do programa so o seguinte: Cliente A - 120 u.n. e o Cliente B - 150 u.n.. Determinar o nmero de programas de A e B que maximizem os lucros, sabendo-se que o Cliente A poder requerer no mximo 17 programas e o Cliente B, at 20 programas por ms. CPU 01 02 24 IMPRESS ANALISTA PROGRAM. 07 10 22 03 10 18 21 120 198 LUCRO 100 150

A B Horas Disponveis

MAX ( Z ):100 x1 + 150 x 21x1 + 2 x 2 24 7 x1 + 3x 2 21 10 x1 + 15 x 2 120 22 x1 + 18 x 2 198 x1 17 x 2 20

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Pesquisa Operacional II3) Um jovem est saindo com 2 namoradas: Maria e Luiza. Sabe-se que por experincia: a) Maria, mais elegante e fina, gosta de lugares sofisticados consequentemente, mais caros, de modo que uma noite de 3 horas custar 10 u.n.. b) Luiza, mais simples, prefere divertimento mais popular, de modo que a noite de igual durao custar 6 u.n.. c) O oramento do jovem de 40 u.n. para diverses de seus afazeres escolares. Devido ao seus estudos lhe sobraram 18 horas e 40 Kcal para atividade sociais. d) Cada noite com Maria consome aproximadamente 5 Kcal, mas com Luiza, mais alegre e extrovertida, ele gasta o dobro. O jovem gosta das suas com mesma intensidade. Planejar a vida social do jovem de modo a obter o nmero mximo de sadas X1 X2 NAMORADAS Maria Luiza Disponibilidade GASTOS 10 6 40 CALORIAS 5 10 40 HORAS 3 3 18

MAX : x1 + x 210 x1 + 6 x 2 40 5x1 + 10 x 2 40 3 x1 + 3x 2 18

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Pesquisa Operacional II4) MAX ( Z ):3x1 + 2 x 2x1 + 2 x 2 6 2 x1 + x 2 8 x1 + x 2 1 x2 2 x1 , x 2 0

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Pesquisa Operacional II5) Admitamos que existem apenas 3 necessidade nutricionais. A cada dia uma pessoa deve consumir no mnimo 600 unidade de vitaminas, 500 de minerais e 700 de caloria. Os dois alimentos A e B custam 2 e 3 respectivamente por unidade. Os contedos nutricionais por unidade de A e B so os seguintes: no alimento A tem 2 unidades de vitaminas, 1 de mineral e 1 de caloria e no B contm 1,1 e 1 respectivamente. Componha o alimento de mnimo custo que satisfaa as necessidades nutricionais.

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Pesquisa Operacional IIExerccios Extras:1) MAX ( Z ):40 x1 + 60 x 2 sujeito a:2 x1 + x 2 70 x1 + x 2 40 x1 + 3x 2 90

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Pesquisa Operacional II2) MAX ( Z ):40 x1 + 60 x1 sujeito a::2 x1 + x2 70 x1 + x2 40 x1 + 3x2 90

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Pesquisa Operacional IIO Mtodo SimplexConsiderar o problema fundamental de manuteno

MAX Z = C J X Jj =i

n

Sujeito a:

Aj =i

n

ij

x j bi xj 0

Onde:

Ci = Coeficiente das variveis da F.O.= Termos independentes = Variveis de decisoAij = Coeficiente das restries Xj

bi

O que faz o mtodo simplex? Busca encontrar soluo para esse tipo de problema. Para isso parte de uma soluo inicial e de um conjunto de critrios, buscando uma outra soluo que melhore o desempenho da F.O. Com garantida a soluo final? Se o problema puder ser representado nessa forma matricial

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Pesquisa Operacional II

C e o e dt e i r c m i e o n s t + = i t n Me d s d e a e p t r e i nz d e n R i d e 0 es t t n o r t id i do as o d e

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Pesquisa Operacional IIExemplo: MAZ ( Z ):5 X 1 + 2 x2sujeito a:x1 3 x2 4 x1 + 2 x2 9 x1 , x2 0

x1 x3 3 x 2 + + x4 = 4 x1+ 2x2 + x5 9

x 1 x2 x + 2x 1 2

Como encontrar outra soluo? Esse processo consiste da substituio de variveis bsicas por variveis no bsicas de forma a melhorar o valor do F.O.. A casa Interao uma varivel no bsica substitui uma variveis bsica.17

Pesquisa Operacional IIVariveis Bsica: so as variveis que identificam uma soluo (uma vrtice) e um valor zero. So elas que definem o valor de F.O. Variveis no Bsica: so as inativas, com valor igual a zero e que no contribuem para o F.O.

Critrios de SubstituioVariveis que entra: a que mais contribui para a F.O. Variveis que sai: a que mais limita o crescimento da varivel que est entrando na base ou a primeira varivel bsica que se anula quando cresce o valor da varivel que vai entrar. Esse processo se encerra quando no existem mais variveis que aumentem a valor da F.O.. Isso identificado quanto os coeficiente dessas variveis for positivo ou nulo.

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Pesquisa Operacional IIExemplo:MAX = 5x1 + 2 x 2sujeito a:x1 3 x2 4 x1 + 2 x 2 9 x1 , x 2 0

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Pesquisa Operacional IIExerccios1) MAX ( Z ) = 500x1 + 200x 2 Sujeito a:x1 6 x 2 15 3x1 + 1x 2 24 2 x1 + 1x 2 20 x1 , x 2 0

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Pesquisa Operacional II2) MAX ( Z ) = x1 + x2 Sujeito a:10 x1 + 6 x2 40 5x1 + 10 x2 40 3x1 + 3x2 18

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Pesquisa Operacional II3) MAX ( Z ):100 x1 + 150 x2 Sujeito a:1 x1 + 2 x2 24 7 x1 + 3x2 21 10 x1 + 15 x2 120 22 x1 + 18 x2 198 x1 17 x2 20

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Pesquisa Operacional II4) MAX ( Z ):3x1 + 2 x2 Sujeito a:x1 + x 2 6 2 x1 + x 2 8 x1 + x 2 1 x2 2

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Pesquisa Operacional II Passos Mtodo SimplexTendo-se o modelo matemtico de programao linear, ou seja, Funo Objetivo, Restries e a condio de no negatividade, devemos seguir os seguintes passos para a resoluo: 1 Transformar as inequaes do sistema em equaes, para isso adicionaremos as variveis residuais ou de folga ou at mesmo as artificiais. 2 Preparar a funo objetivo incluindo todas as variveis do sistema (com coeficiente zero) e igualando-a a zero. 3 Elaborar a primeira tabela do Simplex (SOLUO BSICA INICIAL). 3.1 Relacionar horizontalmente todas as variveis do sistema e abaixo delas (linha Cj ), seus respectivos coeficientes; 3.2 Relacionar os coeficientes das novas equaes (Passo 1) abaixo das respectivas variveis; 3.3 Em uma coluna direita dos coeficientes relacione as constantes do sistema (termos independentes bi); 3.4 Em uma coluna esquerda dos coeficientes, relacione as variveis correspondentes matriz identidades (VARIVEIS BSICAS). (variveis acrescentadas no passo 1) 4 Teste de timo: verificar se existe algum coeficiente negativo na funo objetivo (linha Cj do passo 3.1), caso exista devemos seguir para a prxima iterao, caso contrrio o problema j est solucionado. 5 Prxima iterao: 5.1 Selecionar a coluna piv, atravs do menor coeficiente negativo na funo objetivo (maior valor absoluto). A varivel dessa coluna entrar na base. 5.2 Selecionar a linha piv atravs do menor quociente positivo obtido atravs das divises dos elementos da coluna bi (passo 3.3), pelos elementos correspondentes da coluna piv (passo 5.5). (RESUMINDO bi/col. Piv). 5.3 Assinalar o elemento piv que est localizado na interseco da coluna com a linha piv. 5.4

1 2 3 4 5

Pegar o menor valor negativo da 1 linha Base Marcar esta coluna Dividir Bi por esta coluna marcada e achar o menor nmero positivo Marcar o piv que ser a interseco da coluna e linha marcada Substituir a varivel da linha marcada (menor nmero positivo) pela coluna do menor nmero negativo, tornando o piv=1 (Se o 1 piv no for 1, s dividir por certo nmero (o inverso dele) que o deixe =1) 6 Zerar a coluna que contm piv=1, multiplicando a linha mestre por um valor que somado a linha correspondente anterior das variveis, torne o nmero da coluna desejada. 7 Continuar a operao at que a linha da Base seja todos positivos (Base/CJ)

Resolva pelo mtodo Simplex

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Pesquisa Operacional II5) MAX ( Z ):3x1 + 2 x2 Sujeito a:x1 + 2 x2 6 2 x1 + x2 8 x1 + x2 1 x2 2 x1 , x2 0

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Pesquisa Operacional II6) MAX ( Z ):12 x1 + 3x 2 + x 3 Sujeito a:10 x1 + 2 x2 + x3 100 7 x1 + 3x2 + 2 x 3 63 2 x1 + 4 x2 + 3x3 80 x1 , x2 , x3 0

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Pesquisa Operacional IICasos Especiais 1) Empate na entradaQuando houver empate na entrada, a escolha ser arbitrria, sem implicao do resultado final. A nica implicao ser percorrer um caminho mais longo ou mais curto para obter a soluo Exemplo:

MAX ( Z ):2 x1 + 2 x2Sujeito a:x1 + 2 x 2 4 3x 2 3

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Pesquisa Operacional II2) Empate na sadaComo no cada anterior a escolha tambm arbitrria, podendo em alguns casos, levar a uma situao de degenerao no dando soluo tima para o problema. Exemplo:

MAX ( Z ):5x1 + 2 x 2Sujeito a:3 x2 4 4 x1 + 3x 2 12 x1 , x 2 0 x1

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Pesquisa Operacional II3) Mltiplas soluesPodemos em alguns casos nos depararmos com problemas de programao que tenham vrias solues timas, isto podemos ter vrios valores para as variveis ativas. No Simplex esta situao identificada quando na soluo final do problema nos deparamos com, pelo menos uma, varivel no bsica assumindo valor zero na linha CJ. Quando isso ocorre, a primeira soluo j foi encontrada e para identificarmos o outro ponto de ptica, faremos entrar novamente na base essa varivel no bsica quando assumiu o valor zero na linha CJ Exemplo:

MAX ( Z ): x1 + 2 x 2Sujeito a:x1 3 x2 4 x1 + 2 x2 9

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Pesquisa Operacional IIOutras formas de Modeloa) Restries do tipo Exemplo:x1 2 x1 x 2 = 2 x 2 = 2

Soluo inicial: x 2 = 2 Nesse caso X 2 no garante a soluo inicial vivel para o Simplex, porque todas as variveis tm que assumir valores positivos. Para obter uma soluo inicial vivel preciso outra varivel, que no de folga de excesso. s uma varivel artificial ( X J ) Ento ficar:x1 x2 + x3 = 2 para x1 = 0 x3 = 2 + x2

b) Restries de Igualdade (=)

x1 = 3Vamos usar uma varivel artificial para ser usada como uma varivel inicial. Exemplo:

x1 + x 3 = 3Quadro Geral Restrie Varivel s + Residual = + Artificial - Residual + Artificial

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Pesquisa Operacional IIMtodo de Soluo 1) Mtodo do M GrandeO coeficiente da varivel artificial na F.O. o M (uma valor to grande quanto queira) penalizando essa varivel, de modo que ela no permanea na base. MAX MIN Exemplo: 1) -M +M

MAX ( Z ):3x1 + 5x2Sujeito a:4 2 x2 12 3x1 + 2 x2 18 x1 , x2 0 x1

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Pesquisa Operacional II2) MAX = 5x1 + 2 x 2 sujeito a:x1 + 2 x2 9 x1 3 - x2 4 x1 , x2 0

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Pesquisa Operacional II3) MAX = 2 x1 + x 2 sujeito a:5x1 + 10 x 2 50 x1 + x 2 1 x2 4 x1 , x 2 0

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Pesquisa Operacional II4) MAX ( Z ):40 x1 60 x 2 sujeito a:2 x1 + x 2 70 x1 + x 2 40 x1 + 3x 2 90 x1 , x 2 0

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Pesquisa Operacional IIMtodo de duas FasesEste processo consiste em inicialmente abandonarmos a funo objetivo original, substituindo-a por outra que denominarmos de Funo W, que ser a soma das variveis artificiais acrescentadas no sistema. 1 Fase: Minimizar a funo W, com o objetivo de tirar as variveis artificiais do processo. Essa fase s ter soluo vivel se todas as variveis artificiais saram da base ou assumirem valor Zero na base. Se existir soluo vivel para 1 fase voltaremos para o F.O. original e tomaremos a base da 1 fase como soluo bsica inicial para essa fase.

2 Fase:

Exemplo: 1) MAX ( Z ) = 5x1 + 2 x2 sujeito a:x1 + 2 x 2 9 x1 3 x2 4 x1 , x 2 0

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Pesquisa Operacional II2) MAX ( Z ):3x1 + 5x2 Sujeito a:x1 4

2 x2 12 3x1 + 2 x2 18 x1 , x2 0

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Pesquisa Operacional II3) MAX = 2 x1 + x 2 sujeito a:5x1 + 10 x 2 50 x1 + x 2 1 x2 4 x1 , x 2 0

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Pesquisa Operacional II4) MAX ( Z ):40 x1 60 x2 sujeito a2 x1 + x 2 70 x1 + x 2 40 x1 + 3x 2 90 x1 , x 2 0

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Pesquisa Operacional IIReviso1) MAX ( Z ):10 x1 + 11x 2 Sujeito a:x1 + 2 x 2 150 3x1 + 4 x 2 200 6 x1 + x 2 175 x1 , x 2 0

39

Pesquisa Operacional IIMAX ( Z ):2 x1 + 3x 2Sujeito a:x1 + 2 x 2 2 6 x1 + 4 x 2 24 x1 , x 2 0

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Pesquisa Operacional II Problema de Transporte Esquema GeralOFERTA FONTES (origem) CENTRO CONSUMIDOR (destino) DEMANDA

a1 a2 ai

C11 X 11 1 C12 X 12 2

1 2

b1 b2bj

i

j

bmCij

m

n

bn

=

custo para transportar uma unidade do centro i para o destino j

X ij

= quantidade transportada do centro i para o destino j = custo total da quantidade transportada de i para j.

CY X Y

Objetivo do Modelo: Minimizar o custo total do transporte para abastecer n centro consumidores a partir de m centros produtores.

Modelo Fundamental de TransporteMIN ( Z ) = Cij X iji =1 j =1 m n

Sujeito a:

Capacidade de cada centro produtor Demanda requerida:

Xj =1

n

ij

= ai

Xi =1

m

ij

= bj

De cada centro consumidor: X ij 0

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Pesquisa Operacional IINota: Notar que no modelo fundamental existe uma restrio implcitam n

ai = bji =1 j =1

OFERTA = DEMANDA

Soluo do Modelo1 Etapa: Obteno de uma SBV (Soluo Bsica Vivel) inicial. 2 Etapa: Obteno de uma soluo tima

1 EtapaVamos colocar o problema em uma forma mais conveniente.DEST FONTE 1

1C11

2C12

nC1n

OFERTA

X112

X21C22 C21

X1nC2n

a1 a2Cmn

X21M DEMANDA

X22Cm2

X2nCm1

Xm1 b1 Xm2 b2 Xmn bn am

a i = b ji =1 j =1

m

n

Para obter uma SBV inicial existem vrias alternativas, dois deles so mais comuns. Ser visto: 1) Mtodo do Canto Noroeste (ou Superior Esquerdo) 2) Mtodo do Menos Custo.

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Pesquisa Operacional IIAlgoritmos

Mtodo do Canto Noroeste1) Comea pela clula superior esquerda. 2) Coloque nessa clula o maior quando possvel, respeitando a oferta e demanda correspondente. 3) Atualize os valores da oferta e da demanda que foram modificados pelos 2 passo. 4) Siga para clula direita se ainda houver oferta disponvel e volte para o 2 passo. Caso contrrio, siga para clula inferior e volte para o 2 passo. O processo estar concludo quando a clula inferior direita for atingida.

Mtodo do Menor Custo1) Localize no quadro o menor custo Cij que no tem oferta ou demanda nula. 2) Coloque na clula correspondente a maior quantidade permitida pela oferta e demanda correspondente. 3) Atualize os valores da oferta e demanda que foram modificados no 2 passo e volte para o 1 passo. O processo continua at que sejam esgotadas os ofertas de todas as origens e cumprida a demanda de todos os destinos.

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Pesquisa Operacional IIExemplo:1) Para se produzir um determinado produto existem 3 fabricantes para atender 4 centro consumidores. A capacidade produzida de cada fbrica so respectivamente iguais a 9, 10 e 8 as demandas so tambm respectivamente iguais a 7, 6, 10, 4. D a soluo bsica vivel inicial pelos 2 mtodos vistos.

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Pesquisa Operacional IIExerccio1) Quatro vendedores de gasolina (A, B, C, D) necessitam de 50.000, 40.000, 60.000, 40.000 litros de gasolina respectivamente. possvel receber o combustvel de 3 localidade (1, 2, 3) que tm, respectivamente, 80.000, 60.000 e 50.000 litros. Os custos de envio de 1.000 litros de gasolina so os seguintes:

C1A 70, C1B , C1C 60, C1D 60, C 2A 50, C 2B 80, C 2C 60, C 2D 70, C 3A 80, C3B 50, C 3C 80, C 3D 60Determinar as quantidade de gasolina que devem ser enviadas de cada localidade para cada vendedor de tal forma que a necessidade todas sejam satisfeitas e o custo total do transporte seja mnimo.

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Pesquisa Operacional II2) Uma companhia distribuidora de aparelho de TV e tem fbricas nas localidade A, B, C, com estoque respectivamente iguais a 100, 25 e 75 e distribui aos cliente X, Y, X com demandas iguais a 80, 30 e 90 respectivamente. Os custos de transportes so os seguintes: AX= 05 BX=03 CX=06 AY=10 BY=07 CY=08 AZ=02 BZ=05 CZ=04 Determinar a distribuio de menos custo de transporte.

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Pesquisa Operacional II 2 Etapa: Obteno da Soluo timaaibj

hii

ai bi

a

a hi

i

VJbj Vjb j

Vj

Z = a i h i + b j V j

Clculo dos elementos da Matriz de Controlea) Identifica-se a linha ou a coluna (t) que contm mais nmero de varivel bsicas no quadro de solues. b) Adota-se ht ou V j partir do sistema de m+n -1 equaes (variveis bsicas)hi + V j = Cij

1.2) Elementos Xij (variveis no bsica) calculados atravs do sistema m.n equaes.X ij = Cij (hi + V j )

para

i= 1, 2, ..., m j= 1, 2, ..., n.

2) Regra de Deciso 2.1) Se todo X ij 0 a soluo correspondente tima. 2.2) Se existir X ij 0 , escolhe-se a mais negativa ( X KL ) A varivel X KL (relativa a X KL ) dever entrar na base.

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Pesquisa Operacional II3) Escolha da varavel que deve sair da Base 3.1) No quadro de solues, adota-se X KL = 3.2) Somar e subtrair o valor dos valores de certas variveis, de tal modo a fechar uma circuito que garanta a soluo vivel. 3.3) Determinar o mximo valor permitido para . 3.4) A varivel que deve sair da base a que pertence ao circuito e que se anula para = max.

Casos Especiais 1) Degenerncia1 Caso: Quando na Soluo Bsica resultar em se reduzir a zero, duas ou mais variveis bsicas simultaneamente. Soluo: Como apenas uma pode se tornar no bsica (de preferncia a que tiver MAIOR custo de transporte). As outras permanecem Bsicas mas com alocao nula. 2 Caso: Quando estamos determinando a soluo bsica inicial (NOROESTE e MENOR CUSTO) pode ocorrer de no encontrarmos m + n = 1 equaes. Soluo: Devemos designar, como bsicas variveis adicionais com alocao nula. A escolha arbitrria, inicialmente, se d preferncia s variveis com os custos de transportes associados mais baixa.

2) Oferta DemandaEmbora o problema fundamental de transporte admita que OFERTA = DEMANDA, na grande maioria dos casos reais existe uma quantidade excedente na oferta ou demanda. Soluo: Cria-se uma fonte ou origem (linha ou coluna) fictcia, tendo uma oferta ou demanda iguais ao excedente entre elas.

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Pesquisa Operacional IIExerccioUma companhia locadora de automveis se defronta com um problema de alocao resultado dos contratos de locao que permitem que os automveis sejam devolvidos em outras localidade diferentes daquelas onde foram originalmente alugados. No presente h duas agncias de locao. Respetivamente: 15 e 13 carros excento e 4 outras agncias necessitando de 9, 6, 7 e 9 carros, respectivamente. Proponha uma locao de mnimo custo usado para soluo bsica inicial do mtodos do Cantos Noroeste. Os unitrios de transportes entre as locadoras so os seguintes origem destino 1 2 3 4 1 45 17 21 30 2 14 18 19 31

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