MATEMATICA FINANCEIRA ADM- FACMIL PROF. ITALO DE PAULA MACHADO Apostila Matemtica Financeira Prof. talo de Paula MachadoPgina 2 2 1. MATEMATICA FINANCEIRA matemticafinanceiraamatriadocursodeAdministraoquelhefornecer recursosemtodosparaanalisedocapitalnotempo.Estasferramentasaliadas contabilidade, ao marketing, estatstica e outras mais faro com que voc tenha uma viso da empresacomo umtodo emum dadomomento, facilitando assimumatomadade deciso.Serquepossocresceragora?Ouserquerenovominhafrotadaquiseismeses?Devo comprar aquela maquina que tanto queria para minha produo ou apenas reforma a velha? Atomadadedecisodentrodeumaempresanopodeserfeitabaseadanasorteou apenasnaintuio,massimfundamentadaemdadosconcretos,principalmenteasque envolvam recursos financeiros. Para o estudo da matemtica financeira devemos ter alguns conceitos bem definidos: DEFINIES apital (PV) Valor com o qual fazemos operaes financeiras, em alguns livros mais antigos utilizam esta nomenclatura de capital, porem hoje em dia se usa mais o Valor Presente (VP). O capital pode ser definido tambm como principal. ValorPresente,emlnguainglesaPresentValue,indicadonascalculadoras financeiraspelateclaPV,ounoExcelnafunofinanceira,portantoutilizaremos esta definio. Lembrando que valor presente se referiu ao capital inicial, ou seja na data zero, caso se faa um fluxo de caixa veremos o PV deve estar no inicio do mesmo.

01 234 56 PV Valor Futuro o PV acrescido de juros, ou simplesmente montante, no fluxo de caixa este s pode ser colocado no final. No estudo de descontos, as promissrias, cheques pr-datados, ttulos etc, sempre sero tomados como FV. FV

01 2 34 56 PV Prestao, parcela, anuidade, mensalidade ou ainda termo, funo com a qual calculamos asmesmas.Noexcelestafunoestadefinidacomo pagamento (Pgto). Taxa percentual razo pela qual o PV ou capitalser remunerado ou descontado. Quando se usa uma frmula para calcular juros ou desconto a taxa deve ser usada na forma unitria. Toda taxa refere-se a uma unidade de tempo. Ex.i = 5% = 0,05 (taxa unitria). A C PV FV PMT i Apostila Matemtica Financeira Prof. talo de Paula MachadoPgina 3 3 Significaotempoqueserusadonaoperaofinanceira,ms,ano,bimestre, trimestre, etc. Quando resolvemos um problema financeiro devemos observar o tempoaqueserefereataxaeotempodaoperao,osdoisdevemestarna mesmaunidade,casoistonoestejaacontecendodevemostransformarotempooua taxa, ambos para mesma unidade de tempo. Descontos Simples e Desconto Composto. Este conjunto de teclas acima so principais teclas financeiras. CRITERIOS DE CAPITALIZAO DE JUROS Oscritrios(regimes)decapitalizaodemonstramcomoosjurossoformadose sucessivamente incorporados ao capital no decorrer do tempo. Oregimedecapitalizaosimplescomporta-secomosefosseumaprogresso aritmtica(PA),crescendoosjurosdeformalinearaolongodotempo.Nestecritrio,os juros somente incidem sobre o capital inicial da operao. ANO SALDO NO INICO DE CADA ANO JUROS APURADOS PARA CADA ANO SALDOAO FINAL DE ANO CRESCIMENTO ANUAL DO SALDO11000,00100,001100.00- 21100.00100.001200.00100.00 31200.00100.001300.00100.00 41300.00100.001400.00100.00 51400.00100.001500.00100.00 Oregimedecapitalizaocompostacomporta-secomouma(PG),crescendoos jurosdeformaexponencialaolongodotempo.Nestecritrioosjurosseincorporamao capital(ValorPresente)aofinaldecadaperododecapitalizao,assimsendoemtodo inicio de cada perodo voc sempre ter um novo capital. ANO SALDO NO INICO DE CADA ANO SALDOAO FINAL DE ANO JUROS APURADOS A CADA ANO 11.000,001.100,00100,00 21.100,001.210,00110,00 31.210,001.331,00121,00 41.331,001.464,10133,10 51.464,101.610,51146,41 n Apostila Matemtica Financeira Prof. talo de Paula MachadoPgina 4 4 TABELA PARA CONTAGEM DE DIAS ENTRE DUAS DATAS DIA DO MES JANFEVMARABRMAIJUNJULAGOSETOUTNOVDEZ 11326091121152182213244274305335 22336192122153183214245275306336 33346293123154184215246276307337 44356394124155185216247277308338 55366495125156186217248278309339 66376596126157187218249279310340 77386697127158188219250280311341 88396798128159189220251281312342 99406899129160190221252282313343 10104169100130161191222253283314344 11114270101131162192223254284315345 12124371102132163193224255285316346 13134472103133164194225256286317347 14144573104134165195226257287318348 15154674105135166196227258288319349 16164775106136167197228259289320350 17174876107137168198229260290321351 18184977108138169199230261291322352 19195078109139170200231262292323353 20205179110140171201232263293324354 21215280111141172202233264294325355 22225381112142173203234265295326356 23235482113143174204235266296327357 24245583114144175205236267297328358 25255684115145176206237268298329359 26265785116146177207238269299330360 27275886117147178208239270300331361 28285987118148179209240271301332362 2929 88119149180210241272302333363 3030 89120150181211242273303334364 3131 90 151 212243 304 365 Apostila Matemtica Financeira Prof. talo de Paula MachadoPgina 5 5 EQUIVALENCIA DE TEMPO Para efeito de clculos o ms comercial tem 30 dias e o ano 360 dias, porm devemos saber fazer as converses usuais: 1 ms= 30 dias 1 bimestre =2 meses= 60 dias 1 trimestre=3 meses=90 dias 1 quadrimestre= 4 meses =120 dias 1 semestre= 6 meses=180 dias 1 ano=12 meses=360 dias 1 semestre = 2 trimestres = 3 bimestres, dentre outras possveis. USO BSICO DA CALCULADORA FINANCEIRA HP-12C AcalculadoraHP-12Cpossivelmenteamquinafinanceiramaispopularno;mundodas finanas.Elapossuiattrsfunesportecla:brancas,laranjaseazuis.Asfunes brancas automticas, ou seja apertando-se a tecla esta funo ser ativada e as amarelas e azuisaparecemacimaeabaixodasteclasparaativa-las necessrio quesepressione antes a tecla (f) para ativar as funes laranjas e (g) para as funes azuis. Algumas operaes bsicas na HP-12C: -Ligar e desligar a calculadora: on -Apagar o que tem no visor: Clx -Apagar o contedo de todos os registros: (f) REG -Apagar o contedo das memrias financeiras: (f) FIN -Introduzir um nmero: nmero + ENTER -Operaes bsicas: (nmero)ENTER (nmero) operao ex:12 ENTER 43 + = 55-Potenciao:(nmero)ENTER (potncia) (yx) ex: 5 elevado a 3,5 ENTER 3yx 125 -Raiz, qualquer raiz pode se transformada em uma potncia de ndice fracionrio: (nmero)ENTER (nmero) (1/x) (yx) ex: raiz stima de 2.187 > 2187 ENTER 7 (1/X) (YX) 3. -Armazenarumnmeronamemria:(nmero)ENTER(nmerodamemria onde quer armazenar de 0 a 9 ou ainda de .0 a .9). -Buscarumnmeronamemria:(RCL)(nmerodamemriaondefoi armazenado). -Fixarquantidadedecasasdecimais:(f)(nmerodecasasdecimais desejados). Apostila Matemtica Financeira Prof. talo de Paula MachadoPgina 6 6 Limpa o visor, quando acionado aps a tecla f, apaga toda a memria da calculadora A tecla f aciona as funes em laranja e a tecla g as funes em azul. Tecla usada para entrada de dados Entrada do tempo Valor Presente, capital inicial Esta tecla usada para calcular ou informar o valor de prestaes, parcelas, etc. Valor Futuro ou montante Entrada da taxa Esta tecla usada para se inverter o valor de um nmero.Com esta tecla se calculao percentual de um determinado valor. Apostila Matemtica Financeira Prof. talo de Paula MachadoPgina 7 7 2. TAXAS: PERCENTUAL E UNITRIA A razo cujo denominador 100 recebe o nome de razo centesimal. So exemplos de razes centesimais: 10030, 1004, 100135e 1009 , 27 O smbolo%significa que o valor est dividido por 100. Assim, existem duas formas bsicas de notao de valores: Taxa percentual: exibe o nmero que deve ser dividido por 100. No permite operao algbrica imediata. Por exemplo: 10030= 30%; 1004= 4%; 100135= 135%e 1009 , 27= 27,9% As expresses 30%, 4%, 135% e 27,9% so chamadas taxas centesimais ou taxas percentuais. Taxa unitria: exibe o nmero puro, permitindo operaes algbricas. Por exemplo: 10030= 0,3; 1004= 0,04; 100135= 1,35e 1009 , 27= 0,279 Porcentagem: o valor obtido ao aplicarmos uma taxa percentual a um determinado valor. Exemplos 1.Converta para a forma percentual: a) 0,57 = 57% b) 2,08 = 208%c) 0,02 = 2% 2.Converta para a forma unitria: a) 163% = 1,63b) 2.107% = 21,07%c) 12% = 0,12 3.Num lote de 50 lmpadas, 13 apresentam defeito; a razo entre o nmero de lmpadas defeituosas e o total de lmpadas dada por: % 26100265013= = 4. Um CD vendido por R$ 25,00. Se seu preo fosse aumentado em 15%. Quanto passaria a custar? Se fosse anunciado um desconto de 15% sobre o preo original, quanto o CD passaria a custar? - Aumento:Preo = 25 + 0,15 x 25 = 25 . (1 + 0,15) = 25 . 1,15 = R$ 28,75 - Desconto:Preo = 25 0,15 x 25 = 25 . (1 0,15) = 25 . 0,85 = R$ 21,25 Apostila Matemtica Financeira Prof. talo de Paula MachadoPgina 8 8 FATOR DE MULTIPLICAO: a)No caso de haver um acrscimo, o fator de multiplicao ser: Fator de Multiplicao=1+taxa de acrscimo (na forma decimal) Veja a tabela abaixo: Acrscimo ou LucroFator de Multiplicao 10%1,10 15%1,15 47%1,47 67%1,67 Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 1,10 = R$ 11,00 No caso de haver um decrscimo, o fator de multiplicao ser: Fator de Multiplicao=1 taxa de desconto (na forma decimal) Veja a tabela abaixo: DescontoFator de Multiplicao 10%0,90 25%0,75 34%0,66 90%0,10 Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 0,90 = R$ 9,00 EXERCCIOS 1. Calcular os valores de: a) 10% de 29 + 4,2% de 17b) 5,3% de 18,45 3,4% de 2,7 c) 0,4% de 125 + 1,6% de 234,25d) 4% de 1.439,25 + 3,6% de 17.432 2. De uma classe com 40 alunos, 35% so rapazes. Quantos rapazes e quantas moas h na classe? 3. O preo de venda de um CD de R$ 22,00. Quanto passar a custar o CD se a loja anunciar: a) Um desconto de 12%?b) Um acrscimo de 5%? 4. De um exame para habilitao de motoristas participaram 380 candidatos; sabe-se que a taxa de reprovao foi de 15%. Quantos candidatos foram aprovados? 5. Em uma liquidao, uma camisa que custava R$ 24,00 foi vendida com 25% de desconto. De quanto foi o desconto? 6. Um automvel foi adquirido por R$ 5.000,00 e vendido com um lucro de R$ 400,00. Qual a porcentagem de lucro? Apostila Matemtica Financeira Prof. talo de Paula MachadoPgina 9 9 7. Um corretor recebe R$ 2.800,00 pela venda de duas casas, tendo sido de 5% a taxa de comisso. Qual o valor da venda das propriedades? 8. Meio representa quantos por cento de cinco oitavos? 9. Uma nota promissria, cujo valor era de R$ 5.000,00 foi paga com um desconto de R$ 250,00. Qual a taxa de desconto 10. Expresse, sob a forma de taxa percentual, cada uma das seguintes razes: a) 52b) 201c) 413d) 8037e) 0,125 11. Escreva as taxas percentuais abaixo como razes, sob a forma mais simples possvel: a) 80%b) 25,2%c) 0,48% d)%32e) 2 %41 importantelembrarqueemtodasasformulasfinanceirassedeveusar sempre a taxa unitria. FATOR DE MULTIPLICAO: a)No caso de haver um acrscimo, o fator de multiplicao ser: Fator de Multiplicao=1+taxa de acrscimo (na forma decimal) Veja a tabela abaixo: Acrscimo ou LucroFator de Multiplicao 10%1,10 15%1,15 47%1,47 67%1,67 Exemplo: Aumentando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 1,10 = R$ 11,00 No caso de haver um decrscimo, o fator de multiplicao ser: Fator de Multiplicao=1 taxa de desconto (na forma decimal) Veja a tabela abaixo: DescontoFator de Multiplicao 10%0,90 25%0,75 34%0,66 90%0,10 Exemplo: Descontando 10% no valor de R$10,00 temos: 10 * 0,90 = R$ 9,00 Apostila Matemtica Financeira Prof. talo de Paula MachadoPgina 10 10 2.2.TAXAS PROPORCIONAIS Duas taxas so proporcionais quando seus valores formam uma proporo com os tempos a elas referidos, reduzidos mesma unidade. ' 'nnii= Exemplo Calcule a taxa mensal proporcional a 24%aa. R.24/12 = 2 %am Exerccios 1)Calcule a taxa mensal proporcional a: a)9%at b)24 % as c)0,04 ad 2)Calcule a taxa anual proporcional a: a)1,5 %am b)8%at c)21%as d)0,05%ad OBS:NARESOLUODEQUALQUERPROBLEMAFINANCEIRODEVEMOSOBSERVARAS UNIDADESDETEMPODATAXAEDOPROPRIOTEMPO,POISAMBASDEVEMSEREFERIR MESMA UNIDADE DE TEMPO. Abreviaturas empregadas na notao das taxas AbreviaturaSignificado a.d.ao dia a.m.ao ms a.b.ao bimestre a.t.ao trimestre a.q.ao quadrimestre a.s.ao semestre a.a.ao ano Apostila Matemtica Financeira Prof. talo de Paula MachadoPgina 11 11 FLUXO DE CAIXA O diagrama de fluxo de caixa (DFC) representa graficamente a movimentao de recursos ao longo do tempo (entradas e sadas de caixa). Os principais aspectos do diagrama de fluxo de caixa so: -a escala horizontal representa o tempo o tempo (dias, semanas, meses, anos etc); -oponto0representa,normalmente,adatainicial.Opontonrepresentaonmerode perodos passados; -asentradasdedinheirocorrespondemaosrecebimentos.Tmsinalpositivoeso representadas por setas apontadas para cima. -as sadas de dinheiro correspondem aos pagamentos. Tm sempre sinal negativo e so representadas por setas apontadas para baixo. Operao de EmprstimoOperao de Aplicao 0 0 n n Valor Presente (C) Valor Presente (C) Valor Futuro (M) Valor Presente + juros Valor Futuro (M) Valor Presente + juros Perodo de capitalizao Perodo de capitalizao Exemplo: O diagrama de fluxo de caixa de um emprstimo contrado por algum no valor de $ 300,00 que ser quitado mediante o pagamento de $ 340,00, daqui a seis meses, pode ser visto a seguir. 0 n = 6 meses Valor Presente (C) Valor Futuro (M) M = - $ 340,00 C = + $ 300,00 Exerccios 1. Represente o diagrama de fluxo de caixa de uma aplicao no valor de $ 500,00 que ser resgatado em 3 parcelas iguais, mensais, no valor de $ 200,00. 2. Uma empresa pensa em abrir uma nova instalao industrial com investimento inicial igual a $ 300,00. Os gastosanuaisassociadosaoscincoanos de vida donegcio soestimados em$ 80,00 e as receitas em$ 200,00. Represente o diagrama de fluxo de caixa dessa operao. Apostila Matemtica Financeira Prof. talo de Paula MachadoPgina 12 12 3. Construa o diagrama para os fluxos de caixa dados a seguir: AnoFluxo de caixa 0 700,00 1500,00 2400,00 3300,00 4200,00 5 300,00 3. JUROS Do Aurlio: 1.Econ.Importnciacobrada,porunidadedetempo,peloemprstimodedinheiro, geralmente expressa como porcentagem da soma emprestada: 2. Ant.Econ.Rendimento de capital investido; interesse. [M. us. no pl.] 3. Fam.Recompensa (2). 3.1. ANALISE DOS JUROS NO TEMPO Em relao ao tempo ns poderemos ser credores ou devedores dos juros. 3.1.1 CREDOR Seremos credores dos juros, quando investimos nosso capital, para futuramente desfrutamos desse rendimento. Por exemplo: Quero fazer uma viajem no final do ano e para tanto guardamos parte do meu salrio em uma renda fixa. No final terei o credito dos juros e poderei gozar de minha to sonhada viajem. 3.1.2. DEVEDOR Seremos devedores dos juros, quandotemos a necessidade de algo, ou queremos muito gozar de algum bem, como por exemplo um carro, um som novo, etc. Por exemplo: Vou sair de frias do meu emprego e quero muito viajar para uma praia no nordeste, porm no tenho o dinheiro suficiente, para que eu possa faz-la, financio-a em 10 pagamentos. A partir do momento que comprei algo financiado, passei a ser devedor. Agora voc j tem condies de tomar a deciso de ser credor ou devedor dos juros. Apostila Matemtica Financeira Prof. talo de Paula MachadoPgina 13 13 3.2 JUROS SIMPLES ojurosqueincideapenasnoprincipaloucapitalinicialouaindanovalorpresente,ou sejamesmodecorridosvriosperodosdecapitalizaes,semprecalcularemosojuros tomando como base o valor presente. Frmula J = PV.i.n Exemplos 1) Se eu aplicar R$ 1.540,00 durante 6 meses a uma taxa de 2%a.m., quanto terei de juros simples? Nasresoluesdosproblemasfinanceirosprocureprimeiroidentificartodosos dados do problema, para depois equaciona-lo. PV = 1.540 n = 6 m i = 2 % = 0,02 2)Durantequantotempo devodeixaraplicado meudinheiroqueR$3.490,00,sabendo que meu gerente me ofereceu uma taxa de 1,2%am, para que eu tenha R$ 5.000,00. 3)PauloaplicouR$3.560,00em02/01/06eresgatouem06/04/2006ovalordeR$ 5.430,00, o queproporcionoua Paulocomprarumamoto,calculeataxadejurossupondo que o sistema de capitalizao seja simples. 4) Calcule o juros de um capital que ficou aplicado durante 2,25 anos, sabendo que a taxa de 7,2%a.s. e que o valor aplicado foi de R$ 1.560,00. 3.3VALOR PRESENTEe VALOR FUTURO: Um determinado capital, quando aplicado a uma taxa peridica de juro por determinado tempo, produz um valor acumulado denominado de montante (M) ou valor futuro (VF). Assim, o montante constitudo do capital mais o valor acumulado dos juros, isto : FV = PV + J No entanto, sabe-se que: J = PV . i . n Assim, FV= PV + PV . i . n FV = PV(1 + i . n) O valor de C pode ser obtido por: Apostila Matemtica Financeira Prof. talo de Paula MachadoPgina 14 14 ( ) n iFVPV +=1 O valor de i pode ser obtido por: nPCFVi|.|

\|=1 O valor de n pode ser obtido por: iPVFVn|.|

\|=1 EXERCCIOS 1. Um capital de $ 80.000,00 aplicado taxa de 2,5% ao ms no RCS, durante um trimestre. Pede-se determinar o valor dos juros acumulados neste perodo.R:J = 6.000,00 2. Um negociante tomou um emprstimo pagando uma taxa de juros simples de 6% ao ms durante nove meses. Ao final deste perodo, calculou em $ 270.000,00 o total dos juros incorridos na operao. Determinar o valor do emprstimo.R:C =500.000,00 3. Um capital de $ 40.000,00 foi aplicado num fundo de poupana por 11 meses, produzindo um rendimento financeiro de $ 9.680,00. Pede-se apurar a taxa de juros simples oferecida por esta operao.R:i = 2,2% 4. Uma aplicao de $ 250.000,00 rendendo uma taxa de juros simples de 1,8% ao ms produz, ao final de determinado perodo, juros no valor de $ 27.000,00. Calcular o prazo da aplicao.R:n = 6 meses 5. Uma empresa tomou $ 3.000,00 emprestados para pagar dentro de 5 meses, a uma taxa de juros simples igual a 6% a.m. Calcule o valor futuro dessa operao.R:M = $3.900,00 6. Uma aplicao feita no regime de juros simples rendeu um montante igual a $ 750,00 aps 5 meses, a uma taxa de 10% a.m. Qual o capital inicial da operao?R:C =00 , 500 $ 7. O valor de $ 200,00 foi aplicado por cinco meses, permitindo a obteno de $ 400,00. Sabendo que o regime de capitalizao era simples, calcule a taxa de juros mensal praticada durante a operao.R:i =0,20 = 20% 8. A quantia de $ 134,00 foi obtida como montante de uma aplicao de $ 68,00 feita a taxa de 2% a.m. regime de capitalizao simples. Qual a durao da operao?R:i = 48,53 Apostila Matemtica Financeira Prof. talo de Paula MachadoPgina 15 15 4. DESCONTO Desconto a denominao dada a um abatimento que se faz quando um ttulo de crdito resgatado (pago) antes do vencimento. uma operao habitual no mercado financeiro e no setor comercial, em que o portador de um ttulo de crdito, tais como letras de cambio, notas promissrias, cheques-predatados, etc., pode levantar fundos em um banco descontando o ttulo antes da data de vencimento. O banco, a factoring ou financeira, naturalmente, liberam uma quantia menor do que o valor nominal (FV) do ttulo. Naoperaodedescontodevemosterbemdefinidoo ValorFuturo(FV), que o valor do ttulonadatadeseuvencimento.Todottulo,cheque-pre,notapromissria,letrade cambio,etc,sempreserodefinidoscomoFV(valorfuturo),quandodescontados,pagos ou liquidados, ai sim estes valores passaro a ter PV (Valor Presente). Pelasistemticadacapitalizaosimples,odescontopodeserclassificadoemduas modalidades: desconto racional simples (desconto por dentro) e desconto comercial simples (desconto por fora). FV (ttulo no seu vencimento) 0 PV (ttulo quando resgatado) 4.1DESCONTO COMERCIAL (POR FORA) ovalorequivalenteaojurossimplesproduzidosobreovalornominalouFVquandose aplica sobre ele as mesmas condies, ou seja aplicando-se o FV mesma taxa e mesmo tempo. Formula d = FV.i.n.PV = FV(1 in) Ex. 1)Quero descontar um ttulo de R$ 3.400,00 que vencer em 90 dias, o banco me cobra uma taxa de 3,8% am. Qual o valor do desconto? 2)Tenho um lote de cheques-pre no valor de R$ 5.000,00 para 60 dias. A que taxadevo negoci-los para que eu receba no mnimo R$ 4.770,00 ? Apostila Matemtica Financeira Prof. talo de Paula MachadoPgina 16 16 4.2DESCONTO RACIONAL (POR DENTRO) equivalente aos juros produzido pelo PV- valor presente ( valor liquido),no mesmo tempo e taxa do desconto. dr = n in i FV. 1. .+ oudr = FV PVPVr = n iFV. 1+ Em comparao com o desconto comercial o desconto racional ligeiramente menor. Ex: 1)Calcular odescontoracionalde umttulodeR$ 1.500,00queserresgatado 60dias antes do vencimento, sabendo que a taxa de 2,3%. 2)Qual o valor liquido que receberei se descontar um cheque-pre para 45 dias se a taxa cobrada de 1,9%am., se o desconto for racional? 3)Quantos dias antes do vencimento eu devo descontar um ttulo de R$ 59.870,00, taxa de 3,2%am., para que eu receba R$ 58.990,00 ? 4.3 TAXA DE JURO EFETIVA Ataxadejurosque no perodontornaocapitalPVigual aomontanteFV ataxa que realmente est sendo cobrada na operao de desconto. Essa taxa denominadataxa de juro efetiva. Estas frmulas s devero ser usadas para desconto comercial. n PVdif.= oun iiif. 1.=

Exemplo 1)Se eu tenho um titulo no valor deR$ 9.000,00, e pretendo descont-lo 75 dias antes de seu vencimento a uma taxa de 1,8%am, qual o valor que devo receber? 2)Emumaoperaodedescontocomercialdeumttulocomprazode75diasobanco cobra uma taxa de 2,9%am. Qual a taxa efetiva nesta operao? 3)UmttulodeR$12.000,00teveumdescontodeR$498,00,seataxanegociadafoi 2,3%am, calcule oprazo da operao e a taxa efetiva de juros. 4)Calcule as taxas efetivas para as taxas e prazos abaixo: a)i = 2,3%am. ; 5 meses b)i = 2,3% am ; 3 meses Apostila Matemtica Financeira Prof. talo de Paula MachadoPgina 17 17 c)i = 1,8%ab. ; 10 meses d)i = 4,5%am; 2 meses 5)Umttulofoidescontadotaxade2%a.m.Sabendo-sequeovalornominaleraR$ 7.144,40 e o valor descontado racional R$ 6.740,00, qual o prazo de antecipao? 6)Calculeovalornominaldeumaduplicataque,descontadapordentro,taxade 78%a.a., 60 dias antes do vencimento, resultou num lquido de R$ 253.982,00. 7)Umaduplicatadevalor nominal de$9000,00 descontadaem um bancodoismeses antes de seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de desconto de 5%a.m., pese-se: a)o desconto comercial b)o valor liquido recebido c)a taxa efetiva de juros 8)Sr. Paulo teve creditado na conta de sua empresa o valor de R$ 18.560,00 referente ao descontodeumlotededuplicatascomvalordeR$20.000,00quevenceriamem75 dias. Qual foi a taxa negociada? 9)Qual o valor atual de uma duplicata de valor nominal equivalente a R$ 120,75, a taxa de 6%aa, 4 meses antes do vencimento? Apostila Matemtica Financeira Prof. talo de Paula MachadoPgina 18 18 TRABALHO MATEMATICA FINANCEIRA PROF. TALO 1)Um valor aplicado a juros simples durante 4 meses,formou o montante de $450,00.Sabendo que,quandoestiveraplicadodurante11meses,osaldoserde$611,00,qualseresse valor? 2)Umapessoaaplicouumvalorajurossimplestaxade1,8%a.m.,durante4mesese11 dias,recebendo de juros $84,97.Calcule o valor aplicado. 3)Uma pessoa aplicou certo valor a jurossimples durante 3 anos,5meses e 18 dias, taxa de 12%a.a,rendendo de juros $3.467,50.Calcule o valor aplicado. 4)Uma pessoa aplicou o valor de $830,00 a juros simples durante 4 meses e 11 dias, taxa de 1,8% a.m.Calcule o montante em juros exatos. 5)Ovalorde$4.320,00,aplicadoajurossimplesexatosdurante10mesese8dias,rendeude juros $873,56.Calcule a taxa 6)Ovalorde$4.230,00foiaplicadoajurossimplesdurante8mesese10dias,taxade 8%a.s.Calcule o valor dos juros. 7)O valorde$380,00 foiaplicadoajurossimples, taxade4%a.m.,formandoo montantede $505,15.Quanto tempo ficou aplicado? 8)O valor de $380,00 foi aplicado a juros simples exatos taxa de 4% a.m.,rendendo de juros $749,59.Quanto tempo ficou aplicado? 9)O valor de $540,00 foi aplicado a juros simples durante 4 anos,8 meses e 26 dias,rendendo de juros $650,00.Calcule a taxa de juros. 10) Ovalorde$540,00foiaplicadoajurossimplesdurante8mesese26dias,formandoo montante de $650,00.Calcule a taxa de juros. 11) Umvalor,aplicadoajurossimplesdurante8meses,taxade2%a.m.,rendeudejuros $1.043,84.Calcule esse valor. 12) O valorde$1043,00foiaplicadodurante8 meses,rendendodejuros191,14.Calculeataxa de juros. 13) O valor de $840,00 foi aplicado a juros simples durante 1 ano,3 meses e 21 dias, taxa de 3% a.m.Calcule o montante. 14) Um ttulo com valor de $500.000,00 e vencimento daqui a 4 anos deve ser resgatado daqui a um ano a uma taxa de juros compostos de 10% ao ano.Considerando desconto racional,qual o valor do resgate?375.657,40 15) Repetir o exerccio anterior,considerando o desconto comercial.364.500,00 16) Joo tem um compromisso representado por duas promissrias:uma de $200.000,00 e outra de$150.000,00,vencveisem4e6meses,respectivamente.Prevendoquenodispor desses valores nas datas estipuladas,solicita ao banco credor a substituio dos dois ttulos por um nico a vencer em 10 meses.Sabendo que o banco adota juros compostos de 5% ao ms,o valor da nova nota promissria de (desprezar os centavos no resultado final): a)$420.829,00 b)$430.750,00 c)$445.723,00 d)$450.345,00 e)$456.703,00 Apostila Matemtica Financeira Prof. talo de Paula MachadoPgina 19 19 17) O valor do desconto comercial composto de uma nota promissria,que vence em 3 anos, de $10.482.Admitindoqueataxanominaldedescontoutilizadanaoperaode24%ao ano,comcapitalizaotrimestral,qualovalornominaldottulo?(Desprezeoscentavos.)$20.000 18) Determinaro montanteacumuladono finaldequatro semestreseojurosrecebidosapartir da aplicao de um principal de R$ 10.000,00, com uma taxa de juros de 1%am. 19) Determinar ocapital que deve ser aplicado a juros simples, com uma taxa de 10 %aa, para produzir um montante de R$ 10.000,00, a juros simples. 20) Calcular o tempo necessrio para que um capital triplique a juros simples se a taxa for: a) 6% amb) 9% a.t. c) 10% a.a.d) 8 % a.b. 21) PauloaplicouR$5.650,00taxade2%ameresgatouummontantedeR$7.234,00. Durante quanto tempo Paulo deixou seu dinheiro aplicado? 22) SenhoraMariarecebeudejurosR$1.245,00,depoisdeterdeixadoseudinheiroaplicado durante 9 meses taxa de 1,8% am. Quanto dona Maria aplicou? 23) Quero comprar um computador que custa R$ 1.560,00 a vista, porm s tenho R$ 1.300,00, meu gerente me ofereceu uma aplicao que paga 2% am, quanto tempo devo aplicar o meu dinheiro para que possa comprar o computador? 24) A que taxa devo aplicar R$ 1200,00 para que em 12 meses tenha R4 1.800,00? 25) Um titulo com vencimento em 3 meses no valor de R$ 1.500,00 vai ser descontado taxa de 3 %am. Quanto o portador receber e qual a taxa efetiva? 26) Um ttulo com 119 dias a decorrer at o vencimento est sendo negociado, a juros simples, taxade15%aa.Qualdevesero valordottuloparaqueoportadordomesmorecebaR$ 1.000,00? 27) Calcule a taxa efetiva nos seguintes casos: a)Taxa: 4%amPrazo: 5 meses b)Taxa: 3,5% am Prazo: 2 meses c)Taxa: 5% Prazo: 6 meses; 4 meses; 2 meses Apostila Matemtica Financeira Prof. talo de Paula MachadoPgina 20 20 5. JUROS COMPOSTOS Juro composto aquele que no final de cada perodo financeiro,o juro se incorpora ao principal, calcula-se o juro sobre o montante relativo ao perodo anterior. FV = PV.(1 + i)n Ofator(1+i)ndenominadofatordecapitalizaooufatordeacumulaode capital. Exemplo 1)CalculeomontanteproduzidoporR$2.000,00,aplicadoemregimedejuro composto a 5%a.m, durante 3 meses. 2)Durante quantotempodevemos aplicarumcapitalparaomesmodobre, aplicadoa 3%a.m. a juros compostos? 3)EstouquerendocomprarumNotebook LatitudeTM 120L quecustaR$2.099,00.O vendedordalojamegarantiuqueestepreonosofreraumentonosprximos4 meses.Meugerentedobancomeofereceuumaaplicaocomtaxade1,7%a.m., quanto devo aplicar para que possa comprar o notebook? FORMULA DOS JUROS COMPOSTO J = PV.[(1 + i)n- 1] Exerccios 1)Um capital de R$ 6.000 foi aplicado a juros compostos durante trs meses, taxa de 2 %a. a)Qualo montante? b)Qual os juros auferidos? 2)Sabendoqueumcapitalinicial,emregimedejurocomposto,taxade2,5%a.m., durante 4 meses, rendeu um montante de R$ 79.475,00, calcule o capital inicial. 3)Umalojafinanciaumbemdeconsumodurvel,novalordeR$3.200,00,sem entrada, para pagamento em uma nica prestao de R$ 4.049 no final de 6 meses. Qual a taxa mensal cobrada pela loja? 4)O capital de $ 8.700,00, colocado a juros compostos taxa de 3,5%a.m., elevou-se no fim de certo tempo a $ 11.456. Calcule este tempo. 5)Calcule o tempo que deve deixar aplicado um capital de R$ 2.980,00 para que possa resgatarR$3.198,38,sabendoqueataxapelaqualocapitalserremunerado 1,5%am. Apostila Matemtica Financeira Prof. talo de Paula MachadoPgina 21 21 6)Calculeomontanteparaasaplicaesabaixo,supondooregimedecapitalizao composta: CapitalTaxaPrazo A80.00018%aa2 anos B65.0003%am.1 ano C35.00021%at1ano e meio TAXAS EQUIVALENTES Peloconceitodetaxasequivalentes,podemosafirmarqueomontanteproduzido pelo capital P , taxa i, durante 1 ano, tem que ser igual ao montante produzido pelo capital P, durante 12 meses, as taxa mensal. Ou seja P(1 + ia)1 = P(1 + im)12 Para outras fraes de ano, temos: (1 + ia)1 = (1 + is)2= (1 + it)4 = (1 + ib)6 = (1 + im)12

ik = (1 + i)k 1 ou ik =ki + 1 - 1 ou ainda pode optar pela frmula: 1 ) 1 ( + =Tkki i Exemplo 1)Qual a taxa trimestral equivalente 30%aa? 2)Calcule a taxa anual equivalente a 2%am. 3)Determine a taxa bimestral equivalente a 18%as. Exerccios 1)OBancodaPraameofereceumataxade1,2%ameoBancodoBotecome ofereceumataxade15,66%aa.Qualtaxamelhorparamim?Resolvausandoa equivalncia de taxas. 2)Em juros compostos, qual a taxa anual equivalente s seguintes taxas: a) 1,8%amb) 2,5%abc) 4,5%atd) 13%aqe) 18% a.s. 3)Em juros compostos, qual a taxa mensal equivalente s seguintes taxas: a) 75% a.a.b) 6,5 %abc) 0,12%add) 21%at 4)Dada a taxa de juros de 9,2727% at, determinar a taxa equivalente mensal. Apostila Matemtica Financeira Prof. talo de Paula MachadoPgina 22 22 TAXA NOMINAL E TAXA EFETIVA Temosumataxanominaldejurosquandooprazodecapitalizaodecapitalizaono coincide com aquelea que se refere a taxa. Neste caso, comum adotar-se a conveno de que a taxa por perodo de capitalizao seja proporcional taxa nominal. Quandocalculamosataxaefetivadeumaoperaonoutilizamosotempoda operao, e sim o prazo de um ano sempre. 1 ) 1 ( + =kfkiiExemplo 1)Umbancofazemprstimostaxade5%aa,capitalizadossemestralmente.Qual seriaojuropagoporumemprstimode$10.000,00porumano?Qualataxa efetiva? 2)Umcapitalde$1000,00foiaplicadopor3anos,taxade10%aa,capitalizado semestralmente. Calcular o montante e a taxa efetiva. 3)Qualataxaefetivadapoupanaseamesmapaga6%aa,capitalizados mensalmente? Exerccios 1)Qual a taxa efetiva anual das taxas nominais abaixo: TAXA NOMINALCAPITALIZAO a) 24%aamensal b) 28%aatrimestral c) 21%asbimestral d) 18%aabimestral 2) Seumbancodesejaganhar30%aacomotaxaefetiva,quetaxanominalanual dever pedir em cada hiptese de capitalizao abaixo: a)mensal b)trimestral c)quadrimestral d)semestral 3) UmaempresatomaumemprstimodeR$100.000,00ataxade28%aa capitalizadostrimestralmente.Qualomontanteaserpagoseoprazodaoperao so 2 anos e qual a taxa efetiva paga? 4)Sr. Paulo contratou um emprstimo no valor de R$ 56.000,00, que dever ser pago em uma nica parcela dentro de 18 meses. Calcule o valor do pagamento sabendo que a taxa do contrato 20%aa capitalizados bimestralmente. Apostila Matemtica Financeira Prof. talo de Paula MachadoPgina 23 23 DESCONTO COMPOSTO Oconceitodedescontonoregimedecapitalizaocompostaomesmodo descontosimples:oabatimentoqueobtemosaosaldarumcompromissoantesdeseu vencimento. Empregamosodescontocompostoparaoperaesalongoprazo,jquea aplicaododescontosimplescomercial,nessescasos,podelevar-nosaresultadossem nexo. Analogamenteaocasododescontosimples,temosdoistiposdedesconto composto: o racional e o comercial. Odescontocomercialpraticamentenoempregadoentrens;assim,ficaremos restritos ao estudo do desconto composto racional. DESCONTO COMPOSTO POR DENTRO O desconto por dentro representa o juro incidente sobre o valor lquido. Comparando, pois, o clculo do desconto racional com o dos juros, podemos observar que o valor nominal representaomontante;odescontocorrespondenteaosjuroseolquido,sobreoqual calculado o desconto, corresponde ao capital. Calculo do desconto a partir do valor nominal: D = FV[ 1 (1 + i )-n] Calculo do desconto a partir do valor atual: D = PV[ (1 + i)n 1] Calculo do valor atual (lquido ou descontado) n -n) i 1 FV( PV ou ) i (1FV+ =+= PV Exemplo 1)CalcularodescontocompostodeumttulodeR$4.600,00doismesesantesdo vencimento, taxa de 2%am. 2)Calcularodescontocompostodeumttuloquefoiresgatadopor$4.975,00, faltando quatro meses para o vencimento, taxa de 3%am. 3)Qualodescontodeumttulode$5.000,00,submetidoadescontocomposto,com capitalizao bimestral. R 801,90 Exerccios 1)Determine o valor atual de um ttulo de R$ 3.000,00 resgatado trs meses e 15 dias antes de seuvencimento, taxa do desconto composto de 2,5%am. R = 2751,62 2)QualodescontodeumttulodeR$5.000,submetidoadescontocomposto,com capitalizao bimestral taxa de 18%as, seis meses antes do vencimento? Apostila Matemtica Financeira Prof. talo de Paula MachadoPgina 24 24 3)Umttulode$4.000,00resgatadopor$3.553,95,faltandooitomesesparaseu vencimento. Calcular a taxa nominal (anual) da operao, considerada capitalizao bimestral para o desconto composto. R = 18% 4)Calcular o valor nominal de um ttulo que recebeu um desconto de $ 513,82, ao ser descontado um trimestre antes do vencimento, taxa de 3,5%am. R = 5.240 5)Depoisdeconcedidodescontode2%am,certadvidafoipagapelovalordeR$ 2.350,00. Calcular o desconto concedido pelo pagamento antecipado em oito meses e 10 dias.R = 421,63 6)O valor nominal de um ttulo de R$ 200.000,00. Seu portador deseja descont-lo 1 ano e 3 meses antes de seu vencimento. Calcular o valor de resgate sabendo que a taxa de desconto (composto) de 28%aa, capitalizado trimestralmente. 7)Calcule o desconto obtido em um ttulo de valor nominal R$ 3.800,00, descontado 8 meses antes de seu vencimento, sendo a taxa de desconto, em juros composto, em regime composto, de 30%aa, capitalizados bimestralmente. EQUIVALENCIA DE CAPITAIS DATA FOCAL Def: Data focal a data que se considera como base de comparao dos valores referidos a datas diferentes. Diz-sequedoisoumaiscapitais,comdatasdevencimentodeterminadas,so equivalentesquando,levadosparaumamesmadatafocalmesmataxadejuros, tiverem valores iguais. Ou seja: PV = PV1 +PV2 + .......+ PVn Exemplo 1)Consideremos os valores futuros abaixo: CAPITAISDATA DE VENC.(anos)VALOR PRESENTE 1.100,001 1.210,002 1.331,003 1.464,104 1.610,515 Admitindo-se uma taxa de 10%aa, verifique se os capitais acima so equivalentes. 1.100,001.210,001.331,00 1.464,101.610,51

0 1 2 3 45 Apostila Matemtica Financeira Prof. talo de Paula MachadoPgina 25 25 Quandodevemosusaraequivalnciadecapitais?Quandoprecisarmosdeprorrogarou antecipar o pagamento de uma divida. Exerccios 1)Um ttulo de valor nominal de $ 8.500,00, com vencimento para 5 meses, trocado por outro de $ 7.934,84, com vencimento para 3 meses. Sabendo-se que a taxa de juros corrente de 3,5%am, pergunta-se se a substituio foi vantajosa. 2)UmttulodeR$7.000,00,comvencimentoem5meses,trocadoporoutrocom vencimentopara3meses.Sabendoqueataxadejuros3%am,qualovalordo novo titulo? $6.598,17 3)Sr.Paulodevedoisttulos,umdeR$15.000,00comvencimentoparaumanoe outrodeR$25.000,00,paraumanoemeio.PormcomsrPauloestacomuma folgadecaixa,pretendesubstitui-losporumnicottulocomvencimentoem6 meses, sabendo que a taxa de 30%aa, calcule o valor do novo ttulo. 4)UmaempresacontraiuumemprstimodeR$25.000,por5anos,comjurosde 20%aa capitalizados trimestralmente. Passados 3 anos, a empresa decide resgatar a dvida;odescontoconcedidode20%aa,capitalizadossemestralmente.Qualo valor do resgate? 45.305,95 5)Um terreno posto a venda por $ 100.000,00 a vista, ou, caso o comprador pote por financiamento, as condies so: $ 50.000,00 no ato mais duas parcelas semestrais sendoaprimeirade$34.000,00easegundade$35.000,00.Qualamelhor alternativa, sabendo que a taxa 50%aa? 6)Uma pessoa deve hoje $ 2.000,00 hoje e $ 5.000,00 para 1 ano. Prope a seu credor refinanciamentodesuadvida,comprometendo-sealiquid-laem3parcelas semestraisiguais,vencendoaprimeiraem6meses.Dequantoseroasparcelas, se a taxa contratada for de 20%aa? $ 2.459,85 7)Dois ttulos um de R$ 3490,00 para 4 meses e outro de R$ 5.489,00 para seis meses deverosersubstitudosporumnicottulopara9meses.Calculeovalordonovo ttulo sabendo que a taxa 3%am. Apostila Matemtica Financeira Prof. talo de Paula MachadoPgina 26 26 RENDAS Rendassoumconjuntode dois oumais pagamentos ourecebimentos,realizveis em pocas distintas, destinados a constituir um capital ou amortizar uma dvida. ELEMENTOS Ospagamentos,quepodemserprestaesoudepsitos,constituemostermos (PMT)darenda.Denomina-sen onmero determos(pagamentos)eiataxaunitriados juros. Se o objetivo da renda for constituir capital, esse capital ser o montante da renda; se, entretanto, seu objetivo for amortizar uma dvida, o valor dessa dvida ser o valor atual da renda. CLASSIFICAO Perpetuasperidicas NoVariveisDiferidass Antecipadaediatastes ConsPeriodicass Temporariandas ImtanRe RENDA IMEDIATA Umarendaimediata(oupostecipada)quandoospagamentosocorremnofimde cada perodo. Assim, se a renda possui n termos, o vencimento do ltimo termo se d no fim de nperodos. Ex. Uma compra a prazo sem entrada. VALOR PRESENTE DE UMA RENDA IMEDIATA Ovaloratual(ouvalorpresente)deumarendaimediataequivaleaovalordeuma dvida (emprstimo, valor a vista de uma mercadoria) que ser paga com prestaes. O valor atual da renda igual a soma dos valores atuais de seus termos calculados com desconto composto a determinada taxa. ( )( )nnnii 1 . i1 i 1. PMT PV+ += Apostila Matemtica Financeira Prof. talo de Paula MachadoPgina 27 27 Exemplo

1) Devo 15 parcelas de R$ 145,00 de um financiamento, no qual me foi cobrado uma taxa de3%am.Casoeudesejassequitaroreferidofinanciamentoquantodeveriaparahoje?$ 1.731,00 2)Um televisor em cores custa $ 5.000,00 a vista, mas pode ser comprado sem entrada em 10 prestaes mensais taxa de 3%am. Calcular o valor das prestaes. $ 586,15 3)Um aparelho de som est anunciado nas seguintes condies: $ 1.500,00 de entrada e 3 parcelasiguaisde$1.225,48.Sabendo-sequeojurocobradonaslojasdesomde 2,5%am, calcular o valor a vista. Exerccios 1)Uma loja vende um tapete em 12 parcelas mensais de $ 97,49 ou em 24 parcelas de $61,50. Nos dois casos, o cliente no dar entrada. Sabendo-se que a taxa de juros de 2,5%am, qual o melhor sistema para o comprador? 2)Uma loja vendo uma geladeira por R$ 2.000,00 a vista ou financiada em 18 parcelas, ajurosde3,5%am.Qualseraprestaomensal,senofordadaentrada?$ 151,63 3)Em uma garagem o preo de um carro, a vista de $ 50.000,00. Qual o valor da prestao, se o carro for financiado em 24 prestaes mensais sem entrada, e a taxa de juros for 3%am? 4)UmaBizestaavendaporR$4.951,00vistaouem18parcelasde$399,00. Pergunta-se qual melhor opo de compra se a taxa cobrada de 3,5%am? 5)Um equipamento foi vendido com uma entrada de R$ 2.000,00 e mais 8 prestaes de R$ 760,00. Sabendo-se que a taxa cobrada foi de 2,5%am, calcule o preo a vista do equipamento. $7.449,30 6)OvaloravistadeumbemR$6000,00.Aprazopaga-seumaentradanoatoda compra, mais 3 parcelas mensais de R$ 2000,00 cada uma. Se a taxa de juros que foi cobrada 7%am, calcular o valor da entrada. 571,37 7)Estou depositando mensalmente, R$ 250,00 em uma conta que me remunera taxa de1,1%am,duranteosprximos2anos.Quantopodereiretirarmensalmente tambm durante um ano?

Apostila Matemtica Financeira Prof. talo de Paula MachadoPgina 28 28 VALOR FURUTO DE UMA RENDA IMEDIATA Omontante deumarendaimediata equivale soma dosmontantes dosdepsitos unitrios, durante n perodos a uma taxa. Omontantedecadatermo(deposito)darendacalculadopelaformuladosjuros compostos,M=C(1+i)n.Feitastodastransformaesnecessrias,teremosaseguinte formula. ( )i1 i 1. PMT FVn +=i n Obs:SsecalculaoVALORFUTUROdeumarendaquandoestivermosformando capital. Exemplo 1)Quanto uma pessoa deve depositar em um banco, no fim de cada trimestre, a 5%at, para no fim de 2 anos, possuir R$ 10.000,00? 2)Quanto terei no fim de 4 anos, se depositar no fim de todo ms R$ 100,00em meu banco a uma taxa de 1,7%am? 3)Quanto terei acumulado em uma aplicao se me foi oferecida uma taxa de 18%aa capitalizadabimestralmente,paradepsitosbimestraisdeR$500,00durante3 anos? $11.707,22 Exerccios 1)O carro que pretendo comprar esta custando R$ 18.000,00, porm como o mercado esta estvel e nos prximos 12 meses no haver mudana de preo, quanto devo depositarmensalmenteparaquepossacomprarotodesejadocarro,seomeu gerente me oferece uma taxa de 1,4%am? 2)EmdezembroquandoforsairdefriasqueroirparNatal,opacotecomestadiae passagemareoestacustandoR$2.500,00,senohouveraumento,quantodevo depositar mensalmente levando em conta que tenho 8 meses para juntar o dinheiro e que minha conta no banco me remunera a 1,2%am? 3)Calcular o montante que terei ao final de 5 anos se depositar mensalmente R$ 90,00 em uma conta que paga 9%aa capitalizado bimestralmente. 4)Quanto devo depositar trimestralmente, para que tenha R$ 2.438,66 ao final 2 anos e trs meses se o banco me paga uma taxa de 8%aa capitalizados trimestralmente? 5)Qual o valor do financiamento cuja prestao de R$ 250,00 est sendo paga no final de cada ms, durante 18 meses , taxa de 4 %am? 3.164,82 Apostila Matemtica Financeira Prof. talo de Paula MachadoPgina 29 29 RENDA ANTECIPADA Essa a anuidade ou srie de parcelas em quea primeira ser paga no momento em que se realiza a operao. CLCULO DO VALOR ATUAL PV n i =PMT .ii in) 1 ].( ) 1 ( 1 [ + +

Exemplo 1)Calculeovaloravistadeumamercadoriaquepodeseradquiridaemquatro prestaesmensais, deR$ 150,00,com aprimeiradeentrada,sabendo quealoja cobra de 7% am. 2)UmamercadoriacustavistaR$3.012,69,porempodeservendidaem7vezes iguaiscomentrada.Calculeovalordaprestaosabendoqueataxadejuros cobrada 3,5 %am. CLCULO DO VALOR FUTURO (FV-MONTANTE) FV ni=PMT.) i 1 .(i1 ) i 1 (n+ + Exemplo 1)Uma pessoa deposita no inicio de cada ms, durante quatromeses $ 500,00, numa conta que paga juros de 0,75%am. Calcule o montante. 2)Quantodevodepositarnocomeodoms,emumaaplicaoquemeremuneraa taxa de 1,7%am, para que no final de 2 anos tenha R$ 5.000,00? Exerccios 1)Uma empresa anunciou a venda de certa mercadoria que custa $ 944 em 15 (1+14) prestaes mensais, taxa de 7,2%am. Calcule o valor da prestao. 2)Uma pessoa efetuou 7 depsitos no inicio de cada ms de R$ 2.000,00, recebendo juros 2% am. Qual ser o montante? Apostila Matemtica Financeira Prof. talo de Paula MachadoPgina 30 30 3)Umcarro foi financiado, em36 prestaesiguaisemensaiscom a primeirano ato, no valor de R$ 560,00. Sabendo que a taxa contratada foi de 4,5%am, qual o preo a vista do carro? 10.338,17 4)Uma pessoa efetuou depsitos no inicio do ms durante 10 meses numa conta que paga juros de 1,2%am, tendo o saldo de $ 833,38. Quanto ela depositava por ms? 78 5)Uma mercadoria foi vendida em 8 prestaes mensais de $ 34,56, sendo a primeira de entrada. Se a loja cobra juros de 5,8%am, qual o preo dessa mercadoria a vista? 228,87 6)Uma mercadoria foi vendida em 15 prestaes mensais de $ 67,18, sem entrada, taxa nominal de 84%aa. Calcule o preo dessa mercadoria a vista. 611,87 7)Sr.Pauloestatrocandoamobliadesuacasa,quecustariaavista$8.790,00, porem ele preferiu paga-la a prazo, sendo uma entrada de 20% e o restante em 12 parcelasmensaisiguais.Sealojacobraumataxade4%am,qualovalorda prestao? RENDA DIFERIDA Asrendasdiferidasenvolvemapenasclculosrelativosavaloratual,poisomontantede umarendadiferidaigualaomontantedeumarendaimediata,umavezqueduranteo prazo de carncia no h pagamentose capitalizaes. Exemplo 1)Um financiamento de R$ 50.000,00 ser pago em 12 prestaesmensais aplicando-sejurosde8%am.Considerandoquefoiestipuladoumperododecarnciade3 meses, calcular o valor das prestaes imediatas e antecipadas Nocasodeasprestaesseremantecipadas,aprimeiraparcelapaganoinciodo primeiro perodo que se segue ao trmino da carncia.

Duranteacarnciaosjurossocapitalizadoseincorporadosaoprincipal,logoas prestaes devem ser calculadas sobre o principal capitalizado mperodos, onde a carncia. P = 50.000 => M= 50.000.(1,08)3 = 62.985,60 Calculo das prestaes: Imediata: PV 120,08 = 62.985,60 = T . ( )( )nni ii+ +1 .1 1=>T =536078016 , 760 , 62985= 8.357,88 Apostila Matemtica Financeira Prof. talo de Paula MachadoPgina 31 31 Antecipada: PV 120,08 = 62.985,60 = T . ii in) 1 ].( ) 1 ( 1 [ + + => 138964259 , 860 , 62985= 7.738,77 Exerccios 1)Umemprstimode$4.500contratadoem15/8/2000serpagopormeiode36 prestaes mensais a juros de 6%am. Os juros so capitalizados e incorporados ao principaljapartirdadatadecontratao.Considerandoquea primeiraprestao dever ser paga 45 dias depois e as restantes com intervalos de 30 dias, calcular o valor das prestaes.316,88 2)Um financiamento de$ 40.000 ser pago em 8 prestaes mensais de $ 6.413,44. O inciodopagamentodasprestaesserlogoaotrminodeumdeterminado perodo de carncia. Considerando que a taxa de juros 3%am, determine o perodo de carncia. 5 meses 3)Umdeterminadoequipamentoserfinanciadoem48pagamentos,poremobanco concedeuumacarnciade12mesesparaque oindustrialsecapitalizasse. Sendo queaprimeiraprestaodeveraserpaga30diasapsoterminodacarnciaea taxa de juros contratada foi de 18%aa, e valor financiado foi de $ 135.000, calcule o valor das prestaes.$4.384,57 4)Quedivida podeser amortizadacom8prestaesbimestraisde$1.000,sendo de 7%abataxadejuros edevendoserpaga aprimeiraprestao3bimestresdepois de realizado o emprstimo.5215,56 5)Ummagazineoferece,emsuapromoo,umtelevisorpor24prestaesde $300,00,ocorrendooprimeiropagamentoapenasaps4mesesdacompra.Qual seriaopreoavistadestetelevisor,umavezqueataxademercado2,5%am? $5.365,50 Apostila Matemtica Financeira Prof. talo de Paula MachadoPgina 32 32 SISTEMA DE AMORTIZAO FRANCS TABELA PRICE AdenominaoSistemadeAmortizaoFrancsvemdofatodetersidoutilizado primeiramentenaFrana,nosculoXIX.Essesistemacaracteriza-seporpagamentosdo principal em prestaes iguais, peridicas e sucessivas. o mais utilizado pelas instituies financeiras e pelo comrcio em geral. Como os juros incidem sobre o saldo devedor que, por suavez,decrescemedidaqueasprestaessopagas,elessodecrescentese, conseqentemente, as amortizaes do principal so crescentes. Exemplo 1)Um emprstimo de $ 200.000, ser pago pela Tabela Price em 4 prestaes mensais imediatas. A juros de 10%am, construir a planilha de amortizao. MSPRESTAOJUROSAMORTIZAO SALDO DEVEDOR 0 1 2 3 4 TOTAIS Exerccio 1)UmcarrofoifinanciadopelatabelaPriceaumataxade3%am,sendoqueovalor financiado foi de $36.000 e prazo foi de 4 meses, monte a planilha de amortizao e calcule o valor total de juros pago. 2)Umcertoequipamentofoipagoem15prestaesimediatasnovalorde$3.450, maisumaentrada.Seataxacontratadafoide4%am,eovalordoequipamentoa vista R$ 45.000, calcule o valor da entrada. 3)Umbancoemprestou$100.000,00,entreguesnoato.Sabendoqueataxafoide 12%aa capitalizados mensalmente e que o emprstimo ser pago em 8 prestaes, construa a tabela. Apostila Matemtica Financeira Prof. talo de Paula MachadoPgina 33 33 SISTEMA DE AMORTIZAO CONSTANTE (SAC) PeloSistemadeAmortizaoConstante(SAC),oprincipalreembolsadoaem quotasdeamortizaoiguais.Dessamaneira,diferentedaTabelaPrice,emqueas prestaessoiguais,noSistemaSACasprestaessodecrescentes,jqueosjuros diminuem a cada prestao. A amortizao calculada dividindo-se o valor do principal pelo nmerodeperodosdepagamento.EssetipodesistemasvezesusadopeloSistema FinanceirodaHabitao(SFH),pelosbancoscomerciaisemseusfinanciamentos imobilirios e tambm, em certos casos, em emprstimos s empresas privadas atravs de entidades governamentais. Exemplo Elaborar a planilha de amortizao para o seguinte financiamento: -Valor financiado $ 200.000 -Reembolso em quatro meses pelo SAC -Taxa de juros 10%am MsSDAmortizao Juors Prestao 0 200.000,00 ---1 150.000,00 50.000,00

20.000 70.000,002 100.000,0050.000,00

15.000 65.000,003 50.000,0050.000,00

10.000 60.000,004- 50.000,00 5.000 55.000,00 SISTEMA DE AMORTIZAO CRESCENTE (SACRE) OSistemade AmortizaoCrescente(SACRE) foiadotadorecentementepeloSFH naliquidaodefinanciamentosdacasaprpria.SISTEMADEAMORTIZAO CONSTANTE . O Sacre baseado no SAC e no Sistema Price, j que a prestao igual media aritmtica entre as prestaes desses dois sistemas, nas mesmas condies de juros eprazos.Aproximadamenteateametadedoperododefinanciamento,asamortizaes so maiores que as do Sistema Price. Como decorrncia disso, a queda do saldo devedor mais acentuada e so menores as chances de ter resduo ao final do contrato, como pode ocorrernoSistemaPrice.Umadas desvantagensdoSacre quesuasprestaesiniciais so ligeiramente mais altas que as do Price. Contudo, aps a metade do perodo, o muturio Apostila Matemtica Financeira Prof. talo de Paula MachadoPgina 34 34 sentirumaquedasubstancialnocomprometimentodesuarendacomopagamentodas prestaes. SISTEMA DE AMORTIZAO AMERICANO Neste sistema de amortizao o principal restitudo por meio de uma nica parcela aofimdaoperao.Osjurospodemserpagosperiodicamente(maiscomum)ou capitalizados e pagos juntamente com o principal no fim do prazo acertado. Apostila Matemtica Financeira Prof. talo de Paula MachadoPgina 35 35 TRABALHO DE MATEMATICA FINANCEIRA PROF. TALO DE PAULA MACHADO 1)Um bem de capital est venda nas seguintes condies: $ 30.000,00 de entrada mais seis prestaesiguaisde$2.500,00.Sabendoqueataxaqueataxadejurosde5,4%am, determine o preo vista do bem. $42.528,51 2)Uma incorporadora coloca venda um apartamento por $ 50.000,00 vista ou em 60 meses comumaentradade20%.Determineaprestaomensal,dadaumataxade5%am. $2.113,13 3)Calculeomontantede29depsitostrimestraisdevalorde$540,00razode 7%at.$47.167,13 4)Umapessoadepositar$1.500,00semestralmenteparaformarumpeclioduranteos prximosdezanos.Calculequalserovaloracumulado,dadoumataxade9%as.$ 76.740,18 5)Um automvel est venda por $ 5.000,00 de entrada acrescido de 12 prestaes mensais de $ 1.200,00. Outra opo seria atravs de 18 pagamentos mensais de $ 800,00 com uma entradade$6.000,00.Qualamelhoralternativaparaocomprador,considerando-seuma taxa 30%aa capitalizada mensalmente. (o menor ser a melhor) 6)Um compromisso foi quitado atravs de 20 prestaes trimestrais antecipadas de $ 2500,00. Qual o valor do mesmo, dada uma de 44%aa capitalizada trimestralmente? $22.098,24 7)Umapessoadeposita$600,00noinciodecadatrimestre32%aacapitalizados trimestralmente. Qual ser o montante passados 3 anos? $ 12.297,18 8)Umimvel foi vendidoaprazo comprestaesfeitasnoinciodecadaperodode$5.650. Sabendoqueopreovistadoimvelerade$80.000,00equeforam18pagamentos, calcule a taxa financeira do negocio. 3,006441% 9)Qual o montante de uma aplicao que prev depsitos mensais de $ 500,00, antecipados taxa 96 %aa capitalizados mensalmente, passados trs semestres? $ 20.223,13 10) Uma pessoa deposita mensalmente o valor de R$ 180, durante dez meses,numa conta que paga juros de 1%am. Calcule o montante. $1.883,20 11) Uma pessoa quer efetuar oito depsitos mensais numa conta que paga juros de 1%am, para retirar 18 parcelas mensais de R$ 1.500,00, fazendo a primeira retirada um ms aps o ltimo depsito. Quanto dever depositar mensalmente? $2.968,67 12) Uma pessoa efetuou 18 depsitos mensais de R$ 1.500,00, numa conta que paga jurosde1%am, para retirar 18 parcelas mensais,fazendo a primeira retirada um ms aps o ltimo depsito. Quanto poder retirar mensalmente? $ 1.794,22 13) Umamercadoriafoivendidaem36prestaesmensaisde$422,91,comaprimeira pagaummsapsacompra,taxade2,6%am.Calculeopreoavistadessa mercadoria.$9.809,68 14) Umaempresaanunciouavendadecertamercadoriaquecusta$490,em4(1+3) prestaes mensais. Se cobra juros de 7,6%am, qual o valor de cada prestao? $136,27 15) Uma pessoa entra numa loja, v uma mercadoria que custa R$ 393,60. Diz ao vendedor que pretende levar a mercadoria, mas que s pode pagar $ 70,00 por ms, sendo a primeira no ato. Se aloja cobra juros de 8%am, quantas prestaes dever pagar? Apostila Matemtica Financeira Prof. talo de Paula MachadoPgina 36 36 16) Uma pessoa efetuou 10 depsitos mensais de $ 120,00, numa conta que estava sem saldo h 3 meses, recebendo juros de 0,7%am. Qual foi seu saldo no momento do ltimo depsito? 17) Umamercadoriafoivendidaem12prestaesmensaisde$70,00,comaprimeirade entrada. Se a loja cobra juros de 7,6%am, qual o preo dessa mercadoria a vista? $ 579,57 18) Quantosdepsitosmensaisde$73,15umapessoadeverealizarparanomomentodo ltimo depsito ter o saldo de R$ 450,00, se receber juros de 1%am? 5, 94 19) Uma pessoa efetuou depsitos mensais de $ 500,00, recebendo juros de 1,6%am e, um ms apso ltimo depsito, seu saldo era de 11.863,19. Quantos depsitos efetuou? 20,2735 20) Sr. Paulo tem dois ttulos que vencem respectivamente em 3 e 4 meses, um com valor de $ 340,00 e o outro no valor de $1.780, porm ele pretende efetuar o pagamentos dos dois ttulos atravs de um nico pagamento daqui a 6 meses. Qual ser o valor do novo ttulo se a taxa cobrada na operao foi de 4,5%am? 21) Umadvidade$1.000,00 vencedaqui10 meses.Entretanto,odevedorprope-sedividi-la em trs parcelas semestrais iguais. A juros de 5%am , calcular ovalor das parcelas. $357,22 22) Umttulode$240.000,00foidescontado60diasantesdovencimentoataxade4%am. Calcular o valor liquido recebido pelo portador. 23) Umapromissriade$22.000teveumdescontocompostode$1.205,84.Considerandoa taxa nominal de 48 %aa, capitalizada mensalmente, calcule o tempo de antecipao. 24) Duasduplicatas,umade$45.000,00para90diaseoutrade$65.000,00para120dias foramnegociadasportrsoutrasdemesmovalornominalcomvencimentopara5,6e7 meses.Sabendo-sequeataxanegociadafoide3,5%am,calculeovalordasnovas duplicatas. $ 39.824,93 25)Na venda de um barco, a Loja Nutica S.A. oferece duas opes a seus clientes: a)$30.000,00deentradamaisduasparcelassemestrais,sendoaprimeirade $50.000,00 e a segunda de $ 100.000,00. 131.975,43 b)Sementrada,sendoopagamentoefetuadoemquatroparcelassemestrais: $40.000,00 nas duas primeiras, e $ 50.000,00 nas duas ultimas. Qualamelhoralternativaparaocomprador,seconsiderarmosataxademercadode 4%am? 26) QualodescontodeumttulodeR$5.000,submetidoadescontocomposto,com capitalizao bimestral, taxa de 36%aa, seis meses antes do vencimento? $ 801,90 27) Umsitiopostoavendaemumaimobiliriapor$500.000,00avista.Comoalternativa,a imobiliria prope: entrada de $ 100.000,00, uma parcelade $200.000,00 para 1 ano e dois pagamentos iguais, vencendo o primeiro em 6 meses e o segundo em 1 ano e meio. Qual o valor destes pagamentos se a taxa de juros for de 5%am? $248.449,30 28) Calcularovalornominaldeumttuloquerecebeuumdescontode$513,82,aoser descontado um trimestre antes do vencimento, taxa de 3,5%am. 29) Depoisdeconcedidodescontode2%am,certadvidafoipagapelovalordeR$2.350,00. Calcular o desconto concedido pelo pagamento antecipado em oito meses e 10 dias. 30) O sr. Jota tem dois ttulos vencendo dentro de 4 e 5 meses com valores de R$ 3.500,00 e R$ 5.000,00.Napossibilidadedenopoderhonrarseuscompromissos,sr.Jotapropepagar R$1.000,00hojeeorestanteem3ttulosdemesmovalor,comvencimentoem5,7e9 meses. Sabendo que a taxa de 3%am, calcule o valor dos ttulos. $ 2.629,99 Apostila Matemtica Financeira Prof. talo de Paula MachadoPgina 37 37 31) Uma pessoacontraiu um emprstimo de R$ 20.000,00 para ser pago ao longo de cinco anos com prestaes semestrais pela Tabela Price taxa de 18% a.s. Calcule o valor da prestao e monte a planilha financeira. PERODOPRESTAOJUROSAMORT. SALDO DEVEDOR 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 TOTAIS 32) Em relao ao exerccio anterior calcular e montar tabela de amortizao pelo sistema SAC. ( Sistema de Amortizao Constante).