Apostila Curso Estatistica Goes

7/28/2019 Apostila Curso Estatistica Goes

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www.ResumosConcursos.hpg.com.brApostila: Curso de Estatstica Bsica por Prof Joo Ges

Apostila de Estatstica

Assunto:

CURSO DE

ESTATSTICA BSICA

Autor:

PROF JOO GES

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CURSO DE ESTATSTICA BSICA

CONCEITOSFUNDAMENTAIS____________________________________________________________1

1.1. INTRODUO

A Estatstica pode ser encarada como uma cincia ou como um mtodo de estudo.Duas concepo para a palavra ESTATSTICA:a) no plural (estatstica), indica qualquer coleo consistente de dados numricos, reunidos

com a finalidade de fornecer informaes acerca de uma atividade qualquer. Pr exemplo,as estatstica demogrficas referem-se as dados numricos sobre nascimentos,falecimentos, matrimnios, desquites, etc.

b) no singular, indica um corpo de tcnicas, ou ainda uma metodologia tcnica desenvolvidapara a coleta, a classificao, a apresentao, a anlise e a interpretao de dadosquantitativos e a utilizao desses dados para a tomada de decises.

Qualquer cincia experimental no pode prescindir das tcnicas proporcionadas pelaEstatstica, como pr exemplo, a Fsica, a Biologia, a Administrao, a Economia, etc. Todos

esses ramos de atividade profissional tem necessidade de um instrumental que se preocupacom o tratamento quantitativo dos fenmenos de massa ou coletivos, cuja mensurao eanlise requerem um conjunto de observaes de fenmeno ou particulares.

1.2. ESTATSTICACONCEITO: a cincia que se preocupa com a coleta, a organizao, descrio (apresentao),anlise e interpretao de dados experimentais e tem como objetivo fundamental o estudo de umapopulao.

Este estudo pode ser feito de duas maneiras: Investigando todos os elementos da populao ou Por amostragem, ou seja, selecionando alguns elementos da populao

DIVISO DA ESTATSTICA- Estatstica Descritiva: aquela que se preocupa com a coleta, organizao,classificao,apresentao, interpretao e analise de dados referentes ao fenmeno atravs degrficos e tabelas alm de calcular medidas que permita descrever o fenmeno.

- Estatstica Indutiva (Amostral ou Inferncial): a aquela que partindo de uma amostra,estabelece hipteses, tira concluses sobre a populao de origem e que formula previsesfundamentando-se na teoria das probabilidades. A estatstica indutiva cuida da anlise einterpretao dos dados.

O processo de generalizao do mtodo indutivo est associado a uma margem deincerteza. Isto se deve ao fato de que a concluso que se pretende obter para o conjunto de todos osindivduos analisados quanto a determinadas caractersticas comuns baseia-se em uma parcela do

total de observaes.

1.3.POPULAOCONCEITO: o conjunto, finito ou infinito, de indivduos ou objetos que apresentam em comumdeterminadas caractersticas definidas, cujo comportamento interessa analisar.

A populao estudada em termos de observaes de caractersticas nos indivduos(animados ou inanimados) que sejam relevantes para o estudo, e no em termos de pessoas ouobjetos em si. O objetivo tirar concluses sobre o fenmeno em estudo, a partir dos dadosobservados.

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Como em qualquer estudo estatstico temos em mente estudar uma ou maiscaractersticas dos elementos de uma populao, importante definir bem essas caractersticas deinteresse para que seja delimitado os elementos que pertencem populao e quais os que nopertencem.Exemplos:

1. Estudar os filhos tidos, tipo de moradia, condies de trabalho, tipo de sanitrio. Nmeros dequartos para dormir, estado civil, uso da terra, tempo de trabalho, local de nascimento, tipo de cultivo,etc., dos agricultores do Estado do Par.Populao: Todos os agricultores (proprietrios de terra ou no) plantadores das culturas existentesno Estado do Par.

2. Estudar a precipitao pluviomtrica anual (em mm) na cidade de Belm.Populao: Conjunto das informaes coletadas pela Estao Pluviomtrica, durante o ano.4. As alturas dos cidados do Par constituem uma populao ou a populao dos pesos dessescidados.

Diviso da populao- Populao Finita: apresenta um nmero limitado de elementos. possvel enumerar todos oselementos componentes.

Exemplos:1. Idade dos universitrios do Estado do Par.Populao: Todos os universitrios do Estado do Par.

-Populao Infinita: apresenta um nmero ilimitado de elementos. No possvel enumerar todosos elementos componentes.Entretanto, tal definio existe apenas no campo terico, uma vez que, na prtica, nuncaencontraremos populaes com infinitos elementos, mas sim, populaes com grande nmero de

componentes; e nessas circunstncias, tais populaes so tratadas como se fossem infinitas.

Exemplos:1. Tipos de bactrias no corpo humanoPopulao: Todas as bactrias existentes no corpo humano.

2. Comportamento das formigas de certa reaPopulao: Todas as formigas da rea em estudo.

1.4. AMOSTRAGEM a coleta das informaes de parte da populao, chamada amostra (representada por

pela letra n), mediante mtodos adequados de seleo destas unidades.

1.5. AMOSTRA uma parte (um subconjunto finito) representativa de uma populao selecionada

segundo mtodos adequados.O objetivo fazer inferncias, tirar concluses sobre populaes com base nos

resultados da amostra, para isso necessrio garantir que amostra seja representativa, ou seja, aamostra deve conter as mesmas caractersticas bsicas da populao, no que diz respeito aofenmeno que desejamos pesquisar.

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O termo induo um processo de raciocnio em que, partindo-se do conhecimento deuma parte, procura-se tirar concluses sobre a realidade no todo.

Ao induzir estamos sujeitos a erros. Entretanto, a Estatstica Indutiva, que obtmresultados sobre populaes a partir das amostras, diz qual a preciso dos resultados e com queprobabilidade se pode confiar nas concluses obtidas.

1.6. CENSO o exame completo de toda populao.Quanto maior a amostra mais precisas e confiveis devero ser as indues feitas sobre

a populao. Logo, os resultados mais perfeitos so obtidos pelo Censo. Na prtica, esta conclusomuitas vezes no acontece, pois, o emprego de amostras, com certo rigor tcnico, pode levar aresultados mais confiveis ou at mesmo melhores do que os que seriam obtidos atravs de umCenso.

As razes de se recorrer a amostras so: menor custo e tempo para levantar dados;melhor investigao dos elementos observados.

1.7. PARMETRO: valor (usualmente desconhecido) que caracteriza uma populao (por exemplo, a

mdia populacional e o desvio-padro populacional so parmetros).

Populao Dvidasx x x x x x x x Parmetros: Amostra Quantas unidades?x x x x x x x x Mdia aritmtica x x x x x Quais as unidades?x x x x x x x xx x x x x x x x

MedianaModa

x x x x xx x x x x

Estimadores ouEstatsticas:

x x x x x x x x Varincia absoluta Mdia aritmticax x x x x x x x Desvio Padro Mediana

Varincia relativa ModaCoeficiente de Variao

ProporoVarincia absoluta

Desvio Padro

Total Varincia relativaCoeficiente de

VariaoProporo

Total

1.8. FENMENOS ESTATSTICOSRefere-se a qualquer evento que se pretende analisar cujo estudo seja possvel de

aplicao de tcnicas da estatstica.A Estatstica dedica-se ao estudo dos fenmenos de massa, que so resultantes do

concurso de um grande nmero de causas, total ou parcialmente desconhecidas.

TIPOS DE FENMENOS:Fenmenos Coletivos ou de Massa

No podem ser definidos pr uma simples observao.Exemplos: a natalidade, a mortalidade, a nupcialidade, a idade mdia dos agricultores do Estado doPar, o sexo dos agricultores.

Fenmenos Individuais

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Compem os fenmenos coletivos.Exemplos: cada nascimento, cada pessoa que morre, cada agricultor investigado.1.9.CARACTERSTICAS

preciso definir qual(is) a(s) caracterstica(s) de interesse que ser(o) analisada(s).

A caracterstica de interesse pode ser de natureza qualitativa ou quantitativa.

. ATRIBUTOS: so todas as caractersticas de uma populao que no podem ser medidas.Os indivduos ou objetos so colocados em categorias ou tipos e conta-se a freqncia

com que ocorrem.

Exemplos: Sexo (masculino e feminino); estado civil (solteiro, casado, vivo, etc.); tipo de moradia(madeira, tijolo), situao do aluno (aprovado, reprovado), religio.CLASSIFICAO DOS ATRIBUTOS

1. Dicotomia: quando a classe em que o atributo considerado admite apenas duas categorias.

Exemplos: Sexo (masc. e fem.); Existncia ou ausncia de certo produto agrcola (existncia,ausncia), resposta a uma pergunta: (concorda, no concorda), (sim, no).

2. Classificao policotmica ou policotomia: quando a classe em que o atributo consideradoadmite mais de duas categorias.Exemplos: Estado civil (solteiro, casado, vivo), classe social (alta, mdia ou baixa).

. VARIVEL: o conjunto de resultados possveis de um fenmeno (ou observao, oucaracterstica).

Para os fenmenos:- sexo - dois resultados possveis: masculino e feminino; (no pode ser medida: um atributo)

- nmero de filhos tidos de um grupo de casais - resultados possveis: 0, 1, 2, 3, 4, 5, ..., n;- peso de pessoas adultas - resultados possveis: 60 kg, 59,3 kg, 75,3 kg, 65,3 kg, ...; pode tomarum infinito nmero de valores num certo intervalo.

TIPOS DE VARIVEIS

1. Varivel Qualitativa: quando seus valores so expressos pr atributos ou qualidade.

Exemplos:. Populao: Estudantes universitrios do Estado do Par.Variveis: sexo, profisso, escolaridade, religio, meio onde vivem (rural, urbano).

. Populao: Populao dos bairros perifricos do municpio de BelmVariveis: tipo de casa, existncia de gua encanada (sim, no), bairro de origem.

Variveis qualitativas que no so ordenveis recebem o nome de nominais.Exemplo: religio, sexo, raa, cor.

Raa do Paraense - 2001Raa Frequncia

Branca

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NegraPardaOutraTotal

Fonte: Fictcia

Variveis qualitativas que so ordenveis recebem o nome de ordinais.Exemplo: nvel de instruo, classe social.

Classe social do Paraense - 2001Classe social Frequncia

Classe AClasse BClasse CClasse D

TotalFonte: Fictcia

2. Varivel Quantitativa: quando seus valores so expressos pr nmeros. Esses nmeros podemser obtidos pr um processo de contagem ou medio.Exemplos:. Populao: Todos os agricultores do Estado do Par.Variveis: nmero de filhos tidos, extenso da rea plantada, altura, idade.

. Populao: Populao dos bairros perifricos do municpio de BelmVariveis: nmero de quartos, rea da casa em m2, nmero de moradores da casa.

A VARIVEL QUANTITATIVA DIVIDI-SE EM:

a. Varivel Discreta: so aquelas que podem assumir apenas valores inteiros em pontos da reta real. possvel enumerar todos os possveis valores da varivel.Exemplos:

. Populao: Universitrios do Estado do Par.Variveis: nmero de filhos, nmero de quartos da casa, nmero de moradores, nmero de irmos.

b. Varivel Contnua: so aquelas que podem assumir qualquer valor num certo intervalo (contnuo)da reta real. No possvel enumerar todos os possveis valores. Essa variveis, geralmente, provmde medies.

. Populao: Todos os agricultores do Estado do Par.

Variveis: idade, renda familiar; extenso da rea plantada (em m2 ) , peso e altura das crianasagricultoras.

1.10. EXPERIMENTO ALEATRIOSo aqueles que, repetidos em idnticas condies, produzem resultados diferentes.

Embora no se saiba qual o resultado que ir ocorrer num experimento, em geral, consegue-sedescrever o conjunto de todos os resultados possveis que podem ocorrer. As variaes deresultados, de experimento para experimento, so devidas a uma multiplicidade de causas que nopodemos controlar, as quais denominamos acaso.

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Exemplos de Experimentos Aleatriosa) Lanar uma moeda e observar a face de cima.b) Lanar um dado e observar o nmero da face de cima.c) Lanar duas moedas e observar as seqncias de caras e coroas obtidas.

d) Lanar duas moedas e observar o nmero de caras obtidase) De um lote de 80 peas boas e 20 defeituosas, selecionar 10 peas e observar o nmero de

peas defeituosas.f) De um baralho de 52 cartas, selecionar uma carta, e observar seu naipe.g) Numa cidade onde10% dos habitantes possuem determinada molstia, selecionar 20 pessoas

e observar o nmero de portadores da molstia.h) Observar o tempo que um aluno gasta para ir de nibus, de sua casa at a escola.i) Injetar uma dose de insulina em uma pessoa e observar a qunatidade de acar que diminuiu.

j) Sujeitar uma barra metlica a trao e observar sua resistncia.

FASES DO TRABALHO ESTATSTICO_____________________________________________________2

2.1. DEFINIO DO PROBLEMAA primeira fase do trabalho estatstico consiste em uma definio ou formulao correta

do problema a ser estudado e a seguir escolher a natureza dos dados. Alm de considerardetidamente o problema objeto de estudo o analista dever examinar outros levantamentosrealizados no mesmo campo e anlogos, uma vez que parte da informao de que necessita pode,muitas vezes, ser encontrada nesses ltimos. Saber exatamente aquilo que pretende pesquisar omesmo que definir de maneira correta o problema.

Por exemplo:- os preos dos produtos agrculas produzidos no Estado do Par so menores do que

queles originados de outros Estados?- qual a natureza e o grau de relao que existe entre a distribuio da pluviosidade e a

colheita do produto x?- estudar uma populao por sexo: dividi-se os dois grupos em masculino e feminino;- estudar a idade dos universitrios, por grupos de idade: distribui-se o total de casos

conhecidos pelos diversos grupos etrios pr-estabelecidos;

2.2. DEFINIO DOS OBJETIVOS (GERAL E ESPECFICO) definir com exatido o que ser pesquisado. recomendvel ter em vista um objetivo para o estudo, em lugar de coletar o material e

defin-lo no decorrer do trabalho ou s no fim deste.

OBJETIVOS MAIS COMUNS EM UMA PESQUISA:. Dados pessoais: grau de instruo, religio, nacionalidade, dados profissionais, familiares,

econmicos, etc.. Dados sobre comportamento: como se comportam segundo certas circunstncias. Ex: possvelremanejamento da rea habitada.. Opinies, expectativas, nveis de informao, angstias, esperanas, aspiraes sobre certosassuntos.. Dados sobre as condies habitacionais e de saneamento que avalie as condies em que vivem ea qualidade de vida de certo grupo.

2.3. PLANEJAMENTO

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O problema est definido. Como resolv-lo? Se atravs de amostra, esta deve sersignificativa para que represente a populao.

O planejamento consiste em se determinar o procedimento necessrio para resolver oproblema e, em especial, como levantar informaes sobre o assunto objeto de estudo. Que dadosdevero ser coletados? Como se deve obt-los? preciso planejar o trabalho a ser realizado tendo

em vista o objetivo que se pretende atingir. nesta fase que ser escolhido o tipo de levantamento a ser utilizado, que podem ser:

a) levantamento censitrio, quando a contagem for completa, abrangendo todo o universo;b) levantamento pr amostragem, quando a contagem for parcial.

Outros elementos importantes que devem ser tratados nessa fase so o cronograma dasatividades, atravs do qual so fixados os prazos para as vrias fases, os custos envolvidos, o examedas informaes disponveis, o delineamento da amostra, a forma como sero coletados os dados, ossetores ou reas de investigao, o grau de preciso exigido e outros.

2.4. COLETA DOS DADOSRefere-se a obteno, reunio e registro sistemtico de dados, com o objetivo

determinado.

A escolha da fonte de obteno dos dados est diretamente relacionada ao tipo doproblema, objetivos do trabalho, escala de atuao e disponibilidade de tempo e recursos.a) Fontes primrias: o levantamento direto no campo atravs de mensuraes diretas ou deentrevistas ou questionrios aplicados a sujeitos de interesse para a pesquisa.Vantagens: grau de detalhamento com respeito ao interesse dos quesitos levantados; maior precisodas informaes obtidas.b) Fontes secundrias: quando so publicados ou registrados pr outra organizao.

A coleta de dados secundrios se realiza atravs de documentos cartogrficos (mapas,cartas, imagens e fotografias obtidas por sesoriamento remoto ou por fotogrametria e imagens deradar). Estas fontes de informao so de extrema importncia.

Das fotografias areas em escalas reduzidas ou mais detalhadas, das imagens de radasou satlite e de cartas obtm-se informaes quanto ao uso do solo, drenagem, estruturas virias e

urbanas, povoamento rural, recursos florsticos, minerais e pedolgicos, estrutura fundiria e deservios, dados altimtricos, etc.

Vantagens: inclui um processo de reduo e agregao de informaes.A coleta dos dados pode ser feita de forma direta ou indireta.

COLETA DIRETAA coleta dita direta, quando so obtidos diretamente da fonte primria, como os

levantamentos de campo atravs de questionrios.H trs tipos de coleta direta:

a) a coleta contnua quando os dados so obtidos ininterruptamente, automaticamente e navigncia de um determinado perodo: um ano, por exemplo. o caso dos registros de casamentos,bitos e nascimentos, escrita comercial, as construes civis.

b) a coleta dos dados peridica quando feita em intervalos constantes de tempo, como orecenseamento demogrfico a cada dez anos e o censo industrial, anualmente.c) a coleta dos dados ocasional quando os dados forem colhidos esporadicamente, atendendo auma conjuntura qualquer ou a uma emergncia, como por exemplo, um surto epidmico.

COLETA INDIRETAA coleta dita indireta quando inferida a partir dos elementos conseguidos pela coleta

direta, ou atravs do conhecimento de outros fenmenos que, de algum modo, estejam relacionadoscom o fenmeno em questo.

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Um instrumento por meio do qual se faz a coleta das unidades estatsticas oquestionrio. Deve ficar bem claro no questionrio, que ele organizado de acordo com dispositivoslegais, que h sanses e que o sigilo sobre as informaes individuais ser absoluto.

aconselhvel que um pequeno percentual dos exemplares do questionrio seja tirado eaplicado a uma parcela de informantes, afim de testar a aceitao do mesmo, constituindo tal

iniciativa, a pesquisa piloto. A boa aceitao dos questionrios determinar a tiragem completa dosexemplares ou a sua alterao.

2.5. CRTICA DOS DADOSA crtica dos dados deve ser feita com cuidado atravs de um trabalho de reviso e

correo, ao qual chamamos de crtica (consistncia), a fim de no de incorrer em erros que possamafetar de maneira sensvel os resultados.

As perguntas dos questionrios uniformemente mal compreendidas, os enganosevidentes, tais como somas erradas, omisses, trocas de respostas e etc, so fceis de corrigir. necessrio, entretanto, que o crtico no faa a correo pr simples suposio sua, mas sim quetenha chegado a concluso absoluta do engano.

Quelet dividiu a crtica em: externa e interna.

A crtica externa refere-se as imperfeies porventura existentes na coleta dos dados, prdeficincia do observador, pr imperfeio do instrumento de trabalho, pr erro de registro nas fichas,impreciso nas respostas aos quesitos propostos e outros fatores de erro que justificam umverificao minuciosa dos dados coletados antes de iniciar a elaborao do trabalho de anlise.

A crtica interna diz respeito a verificao da exatido das informaes obtidas. misterexaminar as respostas dadas, sanando imperfeies e omisses, de forma que os dados respondamcom preciso aos quesitos formulados.

As informaes relativas a profisso no devem ser vagas como, pr exemplo: operrio,mas sim, oleiro, pedreiro, carpinteiro, etc., conforme o caso.

O estado civil ser declarado: solteiro, casado, vivo ou desquitado.Em resumo, os dados devem sofrer uma crtica criteriosa com o objetivo de afastar os

erros to comuns nessa natureza de trabalho. As informaes inexatas ou omissas devem ser

corrigidas. Os questionrios devem voltar a fonte de origem sempre que se fizerem necessrio suacorreo ou complementao.

2.6. APURAO (ARMAZENAMENTO) DOS DADOS um processo de apurao ou sumarizap que consiste em resumir os dados atravs

de sua contagem ou agrupamento. um trabalho de condensao e de tabulao dos dados, quechegam ao analista de forma desorganizada.

Atravs da apurao, tm-se a oportunidade de condensar os dados, de modo a obter umconjunto compacto de nmeros, o qual possibilita distinguir melhor o comportamento do fenmeno nasua totalidade.

Os dados de fenmenos geogrficos podem ser organizados em mapas, tabelas,matrizes, disquetes ou fitas.

2.7. EXPOSIO OU APRESENTAO DOS DADOSH duas formas de apresentao que no se excluem mutuamente:

Apresentao Tabular uma apresentao numrica dos dados. Consiste em dispor os dados em linhas e

colunas distribudos de modo ordenado, segundo algumas regras prticas adotadas pelo ConselhoNacional de Estatstica. As tabelas tm a vantagem de conseguir expor, sistematicamente em um s

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local, os resultados sobre determinado assunto, de modo a se obter um viso global mais rpidadaquilo que se pretende analisar.

Apresentao GrficaConstitui uma apresentao geomtrica dos dados. Permite ao analista obter uma viso

to rpida, fcil e clara do fenmeno e sua variao.

2.8. ANLISE E INTERPRETAO DOS DADOSNessa etapa, o interesse maior consiste em tirar concluses que auxiliem o pesquisador a

resolver seu problema. A anlise dos dados estatsticos est ligada essencialmente ao clculo demedidas, cuja finalidade principal descrever o fenmeno. Assim, o conjunto de dados a seranalisado pode ser expresso pr nmero-resumo, as estatsticas, que evidenciam caractersticasparticulares desse conjunto.

2.9. REGRAS DE ARREDONDAMENTODe acordo com as Normas de Apresentao Tabular - 3 edio/1993 - da Fundao

IBGE, o arredondamento feito da seguinte maneira:1. Se o nmero que vai ser arredondado for seguido de 0, 1, 2, 3 ou 4 ele deve ficar inalterado.

Nmero a arredondar Arredondamento para Nmero arredondado6,197 Inteiro

12,489 Inteiro20,733 Dcimos35,992 Centsimos

2. Se o nmero que vai ser arredondado for seguido de 5, 6, 7, 8 ou 9 ele deve ser acrescido de umaunidade.

Nmero a arredondar Arredondamento para Nmero arredondado15,504 Inteiro21,671 Inteiro16,571 Dcimos17,578 Centsimos215,500 Inteiros216,500 inteiros216,750 dcimos

216,705 centsimos

OBS: No faa arredondamento sucessivosEx.: 17,3452 passa a 17,3 e no para 17,35 , para 17,4.Se houver necessidade de um novo arredondamento, voltar aos dados originais.

NORMAS PARA APRESENTAO TABULAR DOSDADOS______________________________________3

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3.1. INTRODUOA apresentao tabular uma apresentao numrica dos dados. Consiste em dispor os

dados em linhas e colunas distribudos de modo ordenado, segundo algumas regras prticas ditadaspelo Conselho /nacional de Estatstica e pelo IBGE. Tais regras acham-se publicadas e dispem

sobre os elementos essenciais e complementares da tabela, a especificao dos dados e dos sinaisconvencionais, o procedimento correto a ser desenvolvido no preenchimento da tabela e outrosdispositivos importantes.

As tabelas tem a vantagem de conseguir expor, sinteticamente e em um s local, osresultados sobre determinado assunto, de modo a se obter uma viso global mais rpida daquilo quese pretende analisar.

Reunindo, pois os valores em tabelas compactas, consegue-se apresent-los edescrever-lhes a variao mais eficientemente. Essa condensao de valores permite ainda autilizao de representao grfica, que normalmente representa uma forma mais til elegante deapresentao da caracterstica analisada.

3.2. SRIES ESTATSTICAS

Um dos objetivos da Estatstica sintetizar os valores que uma ou mais variveis podemassumir, para que se tenha uma viso global dessa ou dessas variveis. Isto possvel apresentandoesses valores em tabelas e grficos, que iro fornecer rpidas e seguras informaes a respeito dasvariveis em estudo, permitindo determinaes mais coerentes.

TABELA um quadro que resume um conjunto de observaes.

Como construir uma tabela que fornea informaes de forma precisa e correta:1 passo: Comear pelo ttulo, que explica o contedo da tabela.2 passo: Fazer o corpo da tabela, composto pelos nmeros e informaes que ela

contm. formado por linhas e colunas.Para compor o corpo da tabela, necessrio:

I) O cabealho, que indica o que a coluna contm. Deve estar entre traoshorizontais, para melhor vizualizao.

II) A coluna indicadora, que diz o que a linha contm3 passo: Escrever o total (as tabelas podem apresentar um total ou no). Aparece entre

traos horizontais.4 passo: Coloque a fonte. Deve entrar no rodap, sendo obrigatria.

Uma tabela compem-se de:Tabela 3.1

Produo de CafBrasil - 1978-1983

AnosQuantidade

(1000 ton)1978 (1) 25351979 26661980 21221981 37601982 20071983 2500

Fonte: FictciaNota: Produo destinada para o consumo interno.

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(1) Parte exportada para a Argentina.

Rodap: fonte, chamadas e notasNotas: usada para conceituao ou esclarecimento em geral.Chamadas: usada para esclarecer certas mincias em relao a casas, linhas e colunas.

De acordo com a Resoluo 886 da Fundao IBGE, nas casas ou clulas, devemoscolocar:

- um trao horizontal (___) quando o valor zero, no s quanto a natureza das coisas,como quanto ao resultado do inqurito;

- trs pontos (...) quando no temos os dados;- um ponto de interrogao ( ? ) quando temos dvida quanto a exatido de determinado

valor;- zero ( 0 ) quando o valor muito pequeno para ser expresso pela unidade utilizada. Se

os valores so expressos em numerais decimais, precisamos acrescentar a parte decimal um nmerocorrespondente de zeros (0,0; 0,00; 0,00; ...).

Denomina-se SRIE ESTATSTICA toda tabela que apresenta a distribuio de umconjunto de dados estatsticos em funo da POCA, do LOCAL, ou da ESPCIE (fenmeno).

Numa srie estatstica observa-se a existncia de trs elementos ou fatores: o TEMPO, oESPAO e a ESPCIE.

Conforme varie um desses elementos, a srie estatstica classifica-se em TEMPORAL,GEOGRFICA e ESPECFICA.

3.3. SRIE TEMPORAL, HISTRICA OU CRONOLGICA a srie cujos dados esto em correspondncia com o tempo, ou seja, variam com o

tempo.Tabela 3.2

Produo Brasileira de Trigo1988-1993

Anos

Quantidade

(1000 ton)1988 (1) 23451989 24511990 25011991 22041992 23061993 2560

Fonte: IBGENota: Produo voltada para o consumo interno.(1) Parte da produo exportada.

. Elemento varivel: tempo (fator cronolgico)

. Elemento fixo: local (fator geogrfico) e o fenmeno (espcie)

3.4. SRIE GEOGRFICA, TERRITORIAL OU DE LOCALIDADE a srie cujos dados esto em correspondncia com a regio geogrfica, ou seja, o

elemento varivel o fator geogrfico (a regio).Tabela 3.3

Produo Brasileira de Trigo, por Unidade da Federao - 1994

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Unidades da FederaoQuantidade(1000 ton)

So Paulo 670Santa Catarina 451Paran 550Gois 420Rio de Janeiro 306Rio Grande do Sul 560

Fonte: Fictcia. Elemento varivel: localidade (fator geogrfico). Elemento fixo: tempo e o fenmeno

3.5. SRIE ESPECFICA OU CATEGRICA a srie cujos dados esto em correspondncia com a espcie, ou seja, variam com o

fenmeno.Tabela 3.4

Rebanhos Brasileiros

EspcieQuantidade

(1000 cabeas)Bovinos 140 000Sunos 1 181Bubalinos 5 491Coelhos 11 200

Fonte: IBGE

. Elemento varivel: fenmeno (espcie)

. Elemento fixo: local e o tempo

3.6. SRIES MISTASAs combinaes entre as sries anteriores constituem novas sries que so denominadas

sries compostas ou mistas e so apresentadas em tabelas de dupla entrada.Tabela 3.5

Exportao Brasileira de alguns produtos agrcolas - 1990 - 1992

ProdutoQuantidade(1000 ton)

1990 1991 1992Feijo 5600 6200 7300Arroz 8600 9600 10210Soja 4000 5000 6000

Fonte: Ministrio da AgriculturaNota: Produtos mais exportados no perodo.

Este exemplo se constitui numa Srie Temporal-Especfica. Elemento varivel: tempo e a espcie. Elemento fixo: localObs: uma tabela nem sempre representa uma srie estatstica, pode ser um aglomerado deinformaes teis sobre certo assunto.

Tabela 3.6

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Situao dos espetculos cinematogrficos no Brasil - 1967Especificao QuantidadeNmero de cinemas 2.488Lotao dos cinemas 1.722.348Sesses pr dia 3.933Filme de longa metragem 131.330.488Meia entrada 89.581.234

Fonte: Anurio Estatstico do Brasil - IBGE

OBSERVAO:

SRIE HOMGRADAA Srie homgrada aquela em que a varivel descrita apresenta variao discreta ou

descontnua. So sries homgradas a srie temporal, a geogrfica e a especfica.

SRIE HETERGRADA

A srie hetergrada aquela na qual o fenmeno ou fato apresenta gradaes ousubdivises. Embora fixo, o fenmeno varia em intensidade. A distribuio de freqncias ou seriao uma srie hetergrada.

REPRESENTAOGRFICA_____________________________________________________________4

1. INTRODUO

A Estatstica Descritiva pode descrever os dados atravs de grficos.

A apresentao grfica um complemento importante da apresentao tabular. Avantagem de um grfico sobre a tabela est em possibilitar uma rpida impresso visual dadistribuio dos valores ou das freqncias observadas. Os grficos propiciam uma idia inicial maissatisfatria da concentrao e disperso dos valores, uma vez que atravs deles os dadosestatsticos se apresentam em termos de grandezas visualmente interpretveis.

2. REQUISITOS FUNDAMENTAIS EM UM GRFICO:

a. Simplicidade: possibilitar a anlise rpida do fenmeno observado. Deve conter apenas oessencial.b. Clareza: possibilitar a leitura e interpretaes correta dos valores do fenmeno.c. Veracidade: deve expressar a verdade sobre o fenmeno observado.

3. TIPOS DE GRFICOS QUANTO A FORMA:

a. Diagramas: grficos geomtricos dispostos em duas dimenses. So mais usados narepresentao de sries estatsticas.b. Cartogramas: a representao sobre uma carta geogrfica, sendo muito usado na Geografia,Histria e Demografia.c. Estereogramas: representam volumes e so apresentados em trs dimenses.

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15/47


d. Pictogramas: a representao grfica consta de figuras representativas do fenmeno. Despertalogo a ateno do pblico.

4. CLASSIFICAO DOS GRFICOS QUANTO AO OBJETIVO

a. Grficos de informao

O objetivo proporcionar uma visualizao rpida e clara da intensidade das categoriasou dos valores relativos ao fenmeno. So grficos tipicamente expositivos, devendo ser o maiscompleto possvel, dispensando comentrios explicativos.

CARACTERSTICAS:

- deve conter ttulo em letra de forma;- as legendas podem ser omitidas, desde que as informaes presentes possibilite a interpretao dogrfico.

b. Grficos de anlise

Estes grficos fornecem informaes importantes na fase de anlise dos dados, sendotambm informativos.

Os grficos de anlise, geralmente, vm acompanhado de uma tabela e um texto onde sedestaca os pontos principais revelados pelo grfico ou pela tabela.

5. PRINCIPAIS TIPOS DE GRFICOS

5.1. GRFICOS EM CURVAS OU EM LINHAS

So usados para representar sries temporais, principalmente quando a srie cobrir um

grande nmero de perodos de tempo.

Considere a srie temporal:Tabela 4.1

Produo de Arroz do Municpio X - 1984-1994

AnosQuantidade(1000 ton)

1984 8161985 9041986 1.2031987 1.1471988 1.239

1989 1.5651990 1.6201991 1.8331992 1.9101993 1.8901994 1.903

Fonte: Fictcia

15


16/47


Grfico 4.1. Produo de Arroz do Municpio X - 1984-1994

0

500

1000

1500

2000

2500

84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94

(1000 ton)

7. GRFICOS EM COLUNAS a representao de uma srie estatstica atravs de retngulos, dispostos em

colunas (na vertical) ou em retngulos (na horizontal). Este tipo de grfico representapraticamente qualquer srie estatstica.

As regras para a construo so as mesmas do grfico em curvas.As bases das colunas so iguais e as alturas so proporcionais aos respectivos dados.

Exemplo: Tabela 4.2Produo de Soja do Municpio X - 1991-1995

AnosQuantidade

(ton.)1991 117.5791992 148.5501993 175.3841994 220.2721995 265.626

Fonte: Secretaria Municipal de AgriculturaPara cada ano construdo uma coluna, variando a altura (proporcional a cada quantidade). As

colunas so separadas uma das outras.Observao: O espao entre as colunas pode variar de 1/3 a 2/3 do tamanho da base da coluna.

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17/47


0

50000

100000

150000

200000

250000

300000

To

neladas

1991 1992 1993 1994 1995

Grfico 4.2. Produo de Soja do Municpio X - 1991-1995

Uso do grfico em colunas para representar outras sries estatsticas

Tabela 4.3reas (Km2) das Regies Fisiogrficas - Brasil - 1966Regies Fisiogrficas rea

(Km2)Norte 3.581.180Nordeste 965.652Sudeste 1.260.057Sul 825.621Centro-oeste 1.879.965

Brasil 8.511.965Fonte: IBGE.

0

500.000

1.000.000

1.500.000

2.000.000

2.500.000

3.000.000

3.500.000

4.000.000Km2

Norte Nordeste Sudeste Sul Centro-Oeste

Grafico 4.3. reas (Km2) das Regies Fisiogrficas - Brasil - 1966.

Obs: Na tabela as regies so apresentadas em ordem geogrficas. No grfico as colunas soordenadas pela altura, da maior para a menor, da esquerda para a direita.

8. GRFICOS EM BARRASAs alturas dos retngulos so iguais e arbitrrias e os comprimentos so proporcionais

aos respectivos dados.

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18/47


As barras devem ser separadas uma das outras pelo mesmo espao de forma que asinscries identifiquem as diferentes barras. O espao entre as barras pode ser a metade () ou doisteros(2/3) de suas larguras.

As barras devem ser colocadas em ordem de grandeza de forma decrescente parafacilitar a comparao dos valores. A categoria outros (quando existir) so representadas na barra

inferior, mesmo que o seu comprimento exceda o de alguma outra.Outra representao grfica da Tabela 4.3:

0

500.00

0

.000

.000

.500

.000

.000

.000

.500

.000

.000

.000

.500

.000

.000

.000

Km2

Norte

Centro-Oeste

Sudeste

Nordeste

Sul

Grafico 4.4. reas (Km2) das Regies Fisiogrficas - Brasil - 1966.

Tabela 4.4Matrcula efetiva no Ensino Superior, segundo os ramos de ensino -Brasil - 1995

Ramos de ensino MatrculasFilosofia, Cincias e Letras 44.802Direito 36.363Engenharia 26.603

Administrao e Economia 24.027Medicina 17.152Odontologia 6.794

Agricultura 4.852Servio Social 3.121

Arquitetura e Urbanismo 2.774Farmcia 2.619Demais ramos 11.002Total 180.109Fonte: Fictcia

18


19/47


050

0010

000

1500

020

000

2500

030

000

3500

04000

04500

0

Matrculas

Filosofia, Cincias e Letras

Direito

Engenharia

Administrao e Econmia

Medicina

Odontologia

Agricultura

Servio Social

Arquitetura e Urbanismo

Farmcia

Demais ramos

Grafico 4.5. Matrcula efetiva no Ensino Superior, segundo os ramos de ensino - Brasil - 1999.

OBS: Quando a varivel em estudo for qualitativa e os nomes das categorias for extenso ou assries forem geogrficas ou especficas prefervel o grfico em barras, devido a dificuldadeem se escrever a legenda em baixo da coluna.

9. GRFICO EM COLUNAS MLTIPLAS (AGRUPADAS)

um tipo de grfico til para estabelecer comparaes entre as grandezas de cadacategoria dos fenmenos estudados.

A modalidade de apresentao das colunas chamado de Grfico de ColunasRemontadas. Ele proporciona economia de espaos sendo mais indicado quando a srie apresentaum nmero significativo de categorias.

Exemplo: Tabela 4.5Entrada de migrantes em trs Estados do Brasil - 1992-1994

Nmero de migrantes

AnosTotal

Estados

Amap So Paulo Paran1992 4.526 2.291 1.626 6091993 4.633 2.456 1.585 5921994 4.450 2.353 1.389 708

Fonte: Fictcia

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0

500

1000

1500

2000

2500

Quantidade

1992 1993 1994

Grfico 4.6. Entrada de m igrantes em trs Estados do Brasil

1992-1994.

Am ap So Paulo Paran

10. GRFICO EM BARRAS MLTIPLAS (AGRUPADAS)til quando a varivel for qualitativa ou os dizeres das categorias a serem escritos so

extensos.Exemplo:

Tabela 4.6Importao Brasileira de vinho e champanhe proveniente de vrias origens - 1994

Pases Importao (1.000 dlares)Vinho Champanhe

Portugal 220 15Itlia 175 25Frana 230 90

Argentina 50 5Chile 75 20Espanha 110 16

Fonte: Fictcia

0 50 100 150 200 250

1000 dlares

Frana

Portugal

Itlia

Espanha

Chile

Argentina

Grfico 4.7. Importao Brasileira de vinho e champanhe proveniente de vriasorigens - 1994.

Vinho Champanhe

11. GRFICO EM SETORES

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a representao grfica de uma srie estatstica em um crculo de raio qualquer, prmeio de setores com ngulos centrais proporcionais s ocorrncias.

utilizado quando se pretende comparar cada valor da srie com o total.O total da srie corresponde a 360 (total de graus de um arco de circunferncia).O grfico em setores representam valores absolutos ou porcentagens complementares.

As sries geogrficas, especficas e as categorias em nvel nominal so maisrepresentadas em grficos de setores, desde que no apresentem muitas parcelas (no mximo sete).

Cada parcela componente do total ser expressa em graus, calculada atravs de umaregra de trs:

Total - 360Parte - x

Exemplo:Tabela 4.7

Produo Agrcola do Estado A - 1995Produtos Quantidade (t)

Caf 400.000

Acar 200.000Milho 100.000Feijo 20.000Total 720.000

Fonte: Fictcia

Grfico 4.8. Produo Agrcola do Estado A - 1995.

Caf55%Aucar

28%

Milho14%

Feijo3%

Outras maneiras de representar graficamente a Tabela 4.7:

21


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050.000

100.000150.000200.000250.000300.000

350.000400.000

Quantidade (t)

Caf Aucar Milho Feijo


0

50.000

100.00

0

150.00

0

00.000

50.000

00.000

50.000

400.00

0Quantidade (t)

Caf

Aucar

Milho

Feijo


DISTRIBUIO DEFREQNCIAS__________________________________________________________5

1. INTRODUOAs tabelas estatsticas, geralmente, condensam informaes de fenmenos que

necessitam da coleta de grande quantidade de dados numricos. No caso das distribuies defreqncias que um tipo de srie estatstica, os dados referentes ao fenmeno objeto de estudo serepetem na maioria das vezes sugerindo a apresentao em tabela onde apaream valores distintoum dos outros.

2. DISTRIBUIO DE FREQNCIA PARA DADOS AGRUPADOS a srie estatstica que condensa um conjunto de dados conforme as freqncias ou

repeties de seus valores. Os dados encontram-se dispostos em classes ou categorias junto com asfreqncias correspondentes. Os elementos poca, local e fenmeno so fixos. O fenmenoapresenta-se atravs de gradaes, ou seja, os dados esto agrupados de acordo com a intensidadeou variao quantitativa gradual do fenmeno.

3. REPRESENTAO DOS DADOS (AMOSTRAIS OU POPULACIONAIS)

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23/47


a. Dados brutos: so aqueles que no foram numericamente organizados, ou seja, esto na formacom que foram coletados.

Tabela 5.1 - Nmero de filhos de um grupo de 50 casais

2 3 0 2 1 1 1 3 2 56 1 1 4 0 1 5 6 0 21 4 1 3 1 7 6 2 0 13 1 3 5 7 1 3 1 1 03 0 4 1 2 2 1 2 3 2

b. Rol: a organizao dos dados brutos em ordem de grandeza crescente ou decrescente.

Tabela 5.2 - Nmero de filhos de um grupo de 50 casais0 0 0 0 0 0 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 2 2 2 2 2 2 2 22 3 3 3 3 3 3 3 3 44 4 5 5 5 6 6 6 7 7

c. Distribuio de freqncias: a disposio dos valores com as respectivas freqncias. Onmero de observaes ou repeties de um valor ou de uma modalidade, em um levantamentoqualquer, chamado freqncia desse valor ou dessa modalidade. Uma tabela de freqncias umatabela onde se procura fazer corresponder os valores observados da varivel em estudo e asrespectivas freqncias.

c.1. Distribuio de freqncias para varivel discretaOs dados no so agrupados em classes.

Tabela 5.3 - Nmero de filhos de um grupo de 50 casaisNmero de filhos

( x i )Contagem ou

tabulaoNmero de casais

( fi )

Total ()

Tabela 5.4 - Nmero de filhos de um grupo de 50 casaisNmero de filhos( x i )

Numero de casais( fi )

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24/47


Total ()

Obs: 1. X: representa a varivel Nmero de filhos.2. xi: representa os valores que a varivel assume.3. fi: o nmero de vezes que cada valor aparece no conjunto de dados (freqncia simplesabsoluta).4. fi = 505. n: tamanho da amostra (ou n de elementos observados).6. N: tamanho da populao (ou n de elementos observados).

c.2. Distribuio de freqncias para varivel contnua

Os dados da varivel so agrupados em classe (grupo de valores).

1. Dados brutos

Tabela 5.5 - Taxas municipais de urbanizao (em percentual) no Estado de Alagoas - 19708 24 46 13 38 54 44 20 17 1418 15 30 24 20 8 24 18 9 1038 79 15 62 23 13 62 18 8 2211 17 9 35 23 22 37 36 8 1310 6 92 16 15 23 37 36 8 1344 17 9 30 26 18 37 43 14 928 41 42 35 35 42 71 50 52 1719 7 28 23 29 29 58 77 72 3412 40 25 7 32 34 22 7 44 159 16 31 30

2. Rol

Tabela 5.6 - Rol das taxas municipais de urbanizao, no Estado de Alagoas (em %) - 1970.6 6 7 7 7 8 8 8 8 99 9 9 9 10 10 11 12 13 1313 13 14 14 14 15 15 15 15 1616 17 17 17 17 18 18 18 18 1920 20 22 22 22 23 23 23 23 2424 24 25 26 28 28 29 29 30 3030 31 32 34 34 34 35 35 35 3637 37 38 38 40 41 42 42 43 4444 44 46 50 52 54 58 62 62 7172 77 79 92

3. Distribuio de freqncias para dados agrupados em classes

Tabela 5.7 - Taxas municipais de urbanizao, no Estado de Alagoas (em %) - 1970.Nmero de

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Taxas (em %)municpios( fi )

6 --- 16 2916 --- 26 2426 --- 36 1636 --- 46 1346 --- 56 456 --- 66 366 --- 76 276 --- 86 286 --- 96 1Total () 94

Obs: 1. fi : freqncia simples absoluta.2. fi = n = 94.

Obs 2: quando a varivel objeto de estudo for contnua, recomenda-se agrupar os valores observadosem classes. Se a varivel for discreta e o nmero de valores observados for muito granderecomenda-se agrupar os dados em classes, evitando-se, com isso, grande extenso da tabela e ano interpretao dos valores de fenmeno.4. ELEMENTOS DE UMA DISTRIBUIO DE FREQNCIAa. Amplitude total (AT): a diferena entre o maior e o menor valor observado.No exemplo, tabela 17 - AT = 92 - 6 = 86

b. Freqncia simples absoluta (fi ): o nmero de vezes que o elemento aparece na amostra, ouo nmero de elementos pertencentes a uma classe ( grupo de valores).Ex: f13 = 4 , f1 classe = 29

c. Classe: cada um dos grupos de valores do conjunto de valores observados, ou seja, so osintervalos de variao da varivel.Identifica-se uma classe plos seus extremos ou pela ordem em que se encontra na

tabela.6 --- 16 (1 classe) ; 86 --- 96 (7 classe)

DETERMINAO DO NMERO DE CLASSES (K) importante que a distribuio conte com um nmero adequado de classes. Se o nmero

de classes for excessivamente pequeno acarretar perda de detalhe e pouca informao se poderextrair da tabela. Pr outro lado, se forem utilizadas um nmero excessivo de classes, haver algumaclasse com freqncia nula ou muito pequena, no atingindo o objetivo de classificao que tornaro conjunto de dados supervisionveis.

No h uma frmula exata para determinar o nmero de classes. Trs solues soapresentadas abaixo:1. Para n 25 K = 5, 2. Para n > 25 K 94Obs: o arredondamento arbitrrio.

2. Frmula de Sturges: K 1 + 3,3 . log nNo Exemplo: n = 94, log 94 = 1,97313 K 1 + 3,3 . log 94 K 1 + 3,3 . 1,97313 K 7,51 K 8

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A frmula de Sturges revela um inconveniente: propem um nmero demasiado declasses para um nmero pequeno de observaes e relativamente poucas classes, quando o total deobservaes for muito grande.

d. Intervalo de classe ou amplitude do intervalo de classe ( i ): o comprimento da classe.i A T

KObs: convm arredondar o nmero correspondente amplitude do intervalo de classe para facilitar osclculos (arredondamento arbitrrio).Obs 2: Intervalo de classe: i = l s - l i

e. Limites de classes (limite inferior e limite superior): so os valores extremos de cada classes.Seja a classe 616 - limite inferior ( l i ) = 6 e limite superior ( l s ) = 16.

Os valores 6 e 96, que representam, respectivamente, o limite inferior da 1 e o superiorda ltima classe, so denominados tambm limite inferior e limite superior da distribuio defreqncia.

recomendvel que os limites de classes sejam representados pr nmeros inteiros.Deve-se ter o cuidado para evitar interpretaes ambguas.

Pr exemplo: 30 _____4040 _____5050 _____60

O correto : : 30 _____3940 _____4950 _____59

caso os valores estiveram arredondados para inteiro. Entretanto, se os valores originaisestiverem com preciso at centavos:

30,00 _____39,9940,00 _____49,99

50,00 _____59,99

Em virtude de ordem esttica, recomenda-se:30 _____4040 _____5050 _____60

Limites reais

Dizemos que os limites indicados em cada linha de uma tabela de distribuio defreqncias so os limites reais quando o limite superior de cada classe coincide com o limite inferiorda classe seguinte.

Veja o exemplo da Tabela 5.7, os limites so reais, cada limite superior de uma classecoincide com o limite inferior da classe seguinte.

Vale observar que o uso do smbolo ---- s possvel com os limites reais de classe.

Formas de expressar os limites das classes1. 20 _____23: compreende todos os valores entre 20 e 23, inclusive os extremos.2. 20 _____23: compreende todos os valores entre 20 e 23, excluindo o 23.3. 20 _____23: compreende todos os valores entre 20 e 23, excluindo o 20.4. 20 _____23: compreende todos os valores entre 20 e 23, excluindo os extremos.

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f. Montagem da distribuio de freqncias para dados agrupados em classes

Tabela 5.8 - Taxas municipais de urbanizao, no Estado de Alagoas (em %) - 1970.

Taxas (em %) Nmero demunicpios( fi )

Total ()

g. Ponto mdio das classes ( x i ): o valor representativo da classe para efeito de clculo de certasmedidas. Para qualquer representao tabular, basta acrescentar ao seu limite inferior a metade daamplitude do intervalo de classe.

x i = i / 2 + l iExemplo: 616, i = 10 metade de i = 10/2 = 5 x i = 5 + 6 = 11

Quando o limite superior de uma classe for igual ao inferior da seguinte, o intervalo declasse poder ser calculado atravs da mdia aritmtica dos limites do intervalo.

Exemplo: 616 : x i= 6 + 16 = 112Para obter os pontos mdios das classes seguintes, basta acrescentar ao ponto mdio da

classe precedente a amplitude do intervalo de classe (se for constante).

5. TIPOS DE FREQNCIASa. Freqncia simples absoluta ( fi ): o nmero de repeties de um valor individual ou de umaclasse de valores da varivel.

fi = nb. Freqncia simples relativa ( f r ): representa a proporo de observaes de um valor individualou de uma classe em relao ao nmero total de observaes. Para calcular a freqncia relativabasta dividir a freqncia absoluta da classe ou do valor individual pelo nmero total de observaes.

um valor importante para comparaes.fr = fi / n = fi / f i

Para expressar o resultado em termos percentuais, multiplica-se o quociente obtido pr100.

f r = ( f i / n ). 100

A freqncia relativa o resultado de uma regra de trs simples:

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n ------- 100% Exemplo: 94 ------ 100%fi ------- x% 29 ------ x% x = 30,9 %

Obs 1: a soma das freqncias simples relativa de uma tabela de freqncia sempre igual a 1,00 : f r = 1,00.

Obs 2: a soma das freqncias relativas percentuais de uma tabela de freqncia sempre igual a100%: f r = 100%.

6. DISTRIBUIES CUMULATIVAS

6.1. Freqncia absoluta acumulada abaixo de ( Fi )

A freqncia absoluta acumulada abaixo de uma classe ou de um valor individual asoma das freqncias simples absoluta da classe ou de um valor com as freqncias simplesabsoluta das classes ou dos valores anteriores. A expresso abaixo de refere-se ao fato de que asfreqncias a serem acumuladas correspondem aos valores menores ou anteriores ao valor ou classe cuja freqncia acumulada se quer obter, incluindo no clculo a freqncia do valor ou daclasse. Quando se quer saber quantas observaes existem at uma determinada classe ou valorindividual, recorre-se freqncia acumulada abaixo.

6.2. Freqncia relativa acumulada abaixo de ( F r )

A freqncia relativa acumulada da classe ou do valor individual i igual a soma dafreqncia simples relativa da classe ou do valor individual com as freqncias simples relativas dasclasses ou dos valores anteriores. As freqncias relativas acumuladas podem ser obtidas de duasformas:1. Acumulando as freqncias simples relativas de acordo com a definio de freqnciasacumuladas.2. Calculando as freqncias relativas diretamente a partir das freqncias absolutas de acordo com

a definio de freqncias relativas:

F r = F i / n

6.3. Freqncia Acumulada Acima de

b.1. Freqncia absoluta acumulada acima de ( Fj )

A freqncia absoluta acumulada acima de uma classe ou de um valor individualrepresenta o nmero de observaes existentes alm do valor ou da classe, incluindo no clculo asobservaes correspondentes a esse valor ou a essa classe. Para obter a freqncia absolutaacumulada acima de, soma-se freqncia simples absoluta da classe ou do valor individual as

freqncias simples absolutas das classes ou dos valores individuais posteriores.

b.2. Freqncia relativa acumulada acima de ( FR )

A freqncia relativa acumulada acima de uma classe ou do valor individual j igual soma da freqncia simples relativa da classe ou do valor individual com as freqncias simplesrelativas das classes ou dos valores posteriores. Pode-se obter as freqncias relativas acumuladasacima de a partir da:1. definio de freqncias acumuladas;

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2. definio de freqncias relativas.Vamos trabalhar, agora, com as seguintes variveis:

1) Considere a varivel nmero de filhos do sexo masculino de 34 famlias com 4 filhos cada uma.0234

0234

1234

123

123

123

123

123

233

233

Distribuio de freqncia sem classes por se tratar de uma Varivel Discreta.

Tabela 1- Nmero de filhos do sexo masculino de 34 famlias com 4 filhos cada uma.Nmeromeninos

( x i )

Nmerode famlia

( fi )fr% Fi Fr% Fj FR% Xi2 Xi2.fi

01234

Total ()

2) Considere a estatura (em cm) de 40 alunos do Colgio B.150156161164

151156161165

152157161166

153158161167

154158162168

155160162168

155160163169

155160163170

155160164172

156160164173

Distribuio de freqncias com classes por se tratar de uma Varivel Continua.

Tabela 2- Estatura (em cm) de 40 alunos do Colgio B.Estatura(em cm)

Nmerode

alunos(f i)

xi fr% Fi Fr% Fj FR% xi2 Xi2.fi

29


30/47


150 --154

154 158158 162

162 166166 170170 --174

49118

53

Total () 40

HISTOGRAMA E POLGONO DEFREQUNCIAS_______________________________________________6

6.1. HISTOGRAMAS

So grficos de superfcies utlizados para representar distribuies de frequncias comdados agrupados em classes.

O histograma composto por retngulos (denominados clulas), cada um delesrepresentando um conjunto de valores prximos (as classes).

A largura da base de cada clula deve ser proporcional amplitude do intervalo daclasse que ela representa e a rea de cada clula deve ser proporcional frequncia da mesmaclasse.

Se todas as classes tiverem igual amplitude, ento as alturas dos retngulos seroproporcionais s frequncias das classes que eles representam.

Considere o histograma obtido a partir da Tabela 2:Tabela 2 - Taxas municipais de urbanizao, no Estado de Alagoas (em %) - 1970.

Taxas (em %) Nmero demunicpios( fi ) Percentual

6 --- 16 29 30,916 --- 26 24 25,526 --- 36 16 17,036 --- 46 13 13,846 --- 56 4 4,356 --- 66 3 3,266 --- 76 2 2,176 --- 86 2 2,186 --- 96 1 1,1Total () 94 100,0

30


31/47


6.2. POLGONO DE FREQUNCIAS

O polgono de freqncias o grfico que obtemos unindo pontos dos lados superioresdos retngulos superiores dos retngulos de um histograma por meio de segmentos de retaconsecutivos.

Na Tabela 5.7, temos:

Tabela 5.7 - Taxas municipais de urbanizao, no Estado de Alagoas (em %) - 1970.

Taxas (em %)Nmero de

municpios( fi )Percentual

6 --- 16 29 30,916 --- 26 24 25,5

26 --- 36 16 17,036 --- 46 13 13,846 --- 56 4 4,356 --- 66 3 3,266 --- 76 2 2,176 --- 86 2 2,186 --- 96 1 1,1Total () 94 100,0

MEDIDAS DE POSIAO (MEDIDAS DE TENDNCIACENTRAL)__________________________________7

As distribuies de frequncias para variveis discretas e contnuas descrevem osgrupos que uma varivel pode assumir. possvel visualizar a concentrao de valores de uma

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distribuio de frequncias. Se se localizam no incio, no meio ou no final, ou se distribuem de formaigual.

As medidas de posio so nmeros que resumem e representam caractersticasimportantes da distribuio de frequncias e podem apresentar-se de vrias formas, dependendodaquilo que se pretende conhecer a respeito dos dados.

As medidas de posio so chamadas de medidas de tendncia central, devido tendncia de os dados observados se concentrarem em torno desses valores centrais que selocalizam em torno do meio ou centro de uma distribuio.

As medidas (nmero-resumo) mais usadas para representar um conjunto de dados soa mdia, a moda e a mediana.

1. Mdia aritmtica

1.1. Mdia aritmtica para dados no-agrupados (ou dados simples)

Seja X uma varivel que assume os valores x1, x2, x3 ,..., xn. A mdia aritmtica simplesde X, representada por x, definida por:

x1 + x2 + x3 + ... + xn xix = ------------------------------- ou x = -------

n n

xi : so os valores que a varivel X assumen: nmero de elementos da amostra observada

Exemplo: A produo leiteira diria da vaca B, durante uma semana, foi de 10, 15, 14, 13, 16, 19, e18 litros. Determinar a produo mdia da semana (a mdia aritmtica).

xi 10 + 15 + 14 + 13 + 16 + 19 + 18x = --------- x = ---------------------------------------------- = 15 litros

n 7

1.2. Mdia aritmtica para dados agrupados

Se os valores da varivel forem agrupados em uma distribuio de freqncias serusada a mdia aritmtica dos valores x1, x2, x3 ,..., xn ponderadas pelas respectivas frequnciasabsolutas: f1, f2, f3 ,..., fn. xi . ix = ------------ , onde:

nxi : valores observados da varivel ou ponto mdio das classesi: freqncia simples absolutai = n : nmero de elementos da amostra observada

A frmula acima ser usada para as distribuies de freqncias sem classes e comclasses.1.2.1. Mdia aritmtica para dados agrupados sem classes (Mdia aritmtica ponderada)

(Dados sem classes): Determinar a mdia aritmtica da Tabela 5.4

Tabela 5.4 - Nmero de filhos de um grupo de 50 casais

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Nmero de filhos( xi )

Numerode casais

( fi )xi . i

xi . i 117x = ----------- = ------ = 2,34

n 50

x = 2,3 filhos

0 61 162 93 84 35 36 37 2

Total () 50

Os 50 casais possuem, em mdia 2,3 filhos.

1.2.2. Mdia aritmtica para dados agrupados com classes intervalares

(Dados com classes): Determinar a mdia aritmtica da Tabela 5.7

Tabela 5.7 - Taxas municipais de urbanizao, no Estado de Alagoas(em %) 1970.

Taxas (em %)Nmero deMunicpios

( fi )xi xi . i

6 --- 16 2916 --- 26 2426 --- 36 1636 --- 46 13

46 --- 56 456 --- 66 366 --- 76 276 --- 86 286 --- 96 1Total () 94

xi . ix = ------------ = ---------- x =

n

1.3. Propriedades da mdia aritmtica

1 propriedadeA soma algbrica dos desvios em relao mdia zero (nula).

di = (xi - x ) = 0

onde:di so as distncias ou afastamentos da mdia.

33


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Em uma distribuio simtrica ser igual a zero e tender a zero se a distribuio for assimtrica.

Idades ( xi ) di = xi - x2 d1 = 2 6 = -44 d2 = 4 6 = -2

6 d3 = 6 6 = 08 d4 = 8 6 = +2

10 d5 = 10 6 = +4 0

2 + 4 + 6 + 8 + 10x = ------------------------------- = 6

5

2 propriedadeSomando-se ou subtraindo-se uma constante (c) a todos os valores de uma varivel, a

mdia do conjunto fica aumentada ou diminuda dessa constante.

Somar o valor 2 aos dados da tabela e calcular a nova mdia

Idades ( xi ) xi + 22 2 + 2 = 44 4 + 2 = 66 6 + 2 = 88 8 + 2 = 1010 10 + 2 = 12

40

A nova mdia ser: 40x = ------ = 8. No caso, a mdia aritmtica anterior ficou aumentada de2.

5

3 propriedadeMultiplicando-se ou dividindo-se todos os valores de uma varivel por uma constante

(c), a mdia do conjunto fica multiplicada ou dividida por essa constante:

Multiplicar o valor 2 aos dados da tabela e calcular a nova mdia

Idades ( xi ) xi x 2

2 2 x 2 = 44 4 x 2 = 86 6 x 2 = 128 8 x 2 = 1610 10 x 2 = 20

60

A nova mdia ser: 60

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x = ------ = 12. No caso, a mdia aritmtica anterior ficou multiplicada por2.

5

4 propriedade

A mdia das mdias a mdia global de 2 ou mais grupos.

x1 = 10 n1 = 15x2 = 18 n2 = 23

Ento: (x1 . n1 ) + (x2 . n2 ) + ... + (xk . nk )xG = ---------------------------------------------------

n1 + n2 + .... + nk

(10 . 15) + (18. 23)xG = -------------------------------- = 14,84

15 + 235 propriedade

A soma dos quadrados dos afastamentos contados a partir da mdia aritmtica ummnimo.

Idades ( xi ) di = (xi x) di2 = (xi x)2

2 d1 = 2 6 = -4 ( 4)2 = 164 d2 = 4 6 = -2 ( 2)2 = 46 d3 = 6 6 = 0 ( 0)2 = 08 d4 = 8 6 = +2 ( +2)2 = 4

10 d5 = 10 6 = +4 ( +4)2 = 16

0 40

De modo que: (xi x)2 = 40 sendo este valor o menor possvel. Isso significa que, se tomssemosoutro valor que no a mdia (x), o resultado dessa operao seria maior que o obtido.

6 propriedadeA mdia aritmtica atrada pelos valores extremos.

Considere os valores originais:xi : 2, 4, 6, 8, 10 x = 6

Se o primeiro valor xi for alterado para 0:xi : 0, 4, 6, 8, 10 x = 5,6

Se o ltimo valor xi for alterado para 12:xi : 2, 4, 6, 8, 12 x = 6,4

3. Moda (Mo)

Tambm chamada de norma, valor dominante ou valor tpico.

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Defini-se a moda como o valor que ocorre com maior frequncia em conjunto dedados.Exemplo: Se o salrio modal dos empregados de uma empresa igual a mil reais, este o salriorecebido pela maioria dos empregados dessa empresa.

A moda utilizada frequentemente quando os dados esto registrados na escalanominal.Exemplo: Sexo dos alunos Turma A Escola Z

Sexo FreqnciaMasculino 40Feminino 60Total 100

A moda sexofeminino porque tem maior freqncia.

3.1. Moda para dados no agrupados

Primeiramente os dados devem ser ordenados para , em seguida, observar o valor quetem maior freqncia.

Exemplo: Calcular a moda dos seguintes conjuntos de dados:

1. X = (4, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8) Mo = 6 (0 valor mais freqente)Esse conjunto unimodal, pois apresenta apenas uma moda.

2. Y = (1, 2, 2, 2, 3, 4, 4, 4, 5, 5, 6) Mo = 2 e Mo = 4 (valores mais freqentes)Esse conjunto bimodal, pois apresenta duas modas.

3. Z = (1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 5) Mo = 2, Mo = 3 e Mo = 4 (valores mais freqentes)Esse conjunto plurimodal, pois apresenta mais de duas modas.

4. W = (1, 2, 3, 4, 5, 6) Esse conjunto amodal porque no apresenta um valor predominante.

3.2. Moda para dados agrupados sem classes

Basta observar, na tabela, o valor que apresenta maior freqncia.

1) Clculo da moda pelo ROL

Na Tabela 5.2, o resultado 1 aparece mais vezes Mo =1.

Tabela 5.2 - Nmero de filhos de um grupo de 50 casais0 0 0 0 0 0 1 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 2 2 2 2 2 2 2 22 3 3 3 3 3 3 3 3 44 4 5 5 5 6 6 6 7 7

2) Clculo da moda pela distribuio de freqncias sem classes

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Tabela 5.4 - Nmero de filhos de um grupo de 50 casaisNmero de filhos

( xi )Numero

de casais( fi )

O valor 1 apresenta amaior freqncia.

Mo = 1

Esse resultado indica quecasais com um filho foi oresultado mais observado.

0 61 162 93 84 35 36 37 2

Total () 50

3.3. Moda para dados agrupados com classes

Tabela 5.7 Taxas municipais deurbanizao (em %) Alagoas,1970.

1) Identifica-se a classe (a de maior freqncia):Na Tabela a 1 classe: 6 --- 16

2 passo: Aplica-se a frmula:

li + ls1 processo: Moda bruta: Mo = --------

2sendo,li: limite inferior da classe modal = 6ls: limite superior da classe modal = 16

6 + 16Mo = ----------- = 11%

2


( fi )6 --- 16 29

241613

43221

16 --- 2626 --- 3636 --- 46

46 --- 5656 --- 6666 --- 7676 --- 8686 --- 96Total () 94

D12 processo: Frmula de Czuber: Mo = LMo + -------------- x h(mtodo mais elaborado) D1 + D2sendo:LMo : limite inferior da classe

h: intervalo da classe modalD1 : freqncia simples da classe modal freqncia simples anterior da classe modalD2 : freqncia simples da classe modal freqncia simples posterior da classe modal

Na Tabela 5.7, temos: 29LMo = 6 Mo = 6 + ------------- x 10 = 14,5%h = 10 29 + 5D1 = 29 0 = 29

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D2 = 29 24 = 5 A taxa de urbanizao mais freqente ficou em torno de14,5%.

4. Mediana (Md)

uma medida de posio cujo nmero divide um conjunto de dados em duas partesiguais. Por esse motivo, a mediana considerada uma medida separatriz. Portanto, a mediana selocaliza no centro de um conjunto de nmeros ordenados segundo uma ordem de grandeza.

4.1. Mediana - para dados no agrupados

a) O nmero de valores observados impar

Exemplo: Considere o conjunto de dados:

X = (5, 2, 7, 10, 3, 4, 1)

1) Colocar os valores em ordem crescente oudecrescente:

X = (1, 2, 3, 4, 5, 7, 10)

2) Determinar a ordem ou posio (P) da Medianapor

n + 1P = ------- , quando n (n de elementos) for mpar

2

7 + 1P = ------- = 4 posio. O nmero que se encontra na

2 4 posio o nmero 4.

Md = 4

b) O nmero de valores observados par

Exemplo: Considere o conjunto de dados:

X = (4, 3, 9, 8, 7, 2, 10, 6)

1) Colocar os valores em ordem crescente decrescente:

X = (2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 10)

2) Determinar a ordem ou posio (P) da Mediapor

n nP = ---- e P = ---- + 1 , quando n (n de elemento

2 2 for par

8 8

P = ---- = 4 posio e P = ---- + 1 = 5 posio2 2

Os nmeros so 6 (4 posio) e 7 (5 posio). Tse a mdia aritmtica entre os dois nmeros.

6 + 7Md = ----------- = 6,5 2

4.2. Mediana para dados agrupados sem classes

Tabela 5.4 - Nmero de filhos de umgrupo de 50 casais

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Nmero defilhos( xi )

Numerode casais

( fi )Fi

1) Determinar a posio da mediana por:n n

P = ---- e P = ---- + 1 , pois n par2 2

50 50P = ----- = 25 posio e P = ----- + 1 = 26 posio

2 22) Pela Fi (freq. abs. Acum. abaixo de) verifica-seque o 31 contm o 25 e 26 elemento 2 +2

25 corresponde ao n 2 Md = -------- = 226 corresponde ao n 2 2

0 6 61 16 222 9 313 8 394 3 425 3 456 3 487 2 50

Total () 50

O n 2 deixa 50% dos valores, ou seja o elemento central

4.3. Mediana para dados agrupados com classes

Tabela 5.7 - Taxas municipais deurbanizao (em %) Alagoas, 1970. n 941) Calcular a posio: P = ---- = ---- = 47 posio2 2

(no importa de n for mpar ou par)

2) Pela Fiidentifica-se a classe que contm a Md:O n 47 est dentro de 53. Portanto, a classe da Md a 2: 16 --- 26.

3) Aplica-se a frmula: n/2 Fa

Md = LMd + ------------- x h

fMd

onde,


( fi )Fi

6 --- 16 29 2916 --- 26 24 5326 --- 36 16 6936 --- 46 13 8246 --- 56 4 8656 --- 66 3 8966 --- 76 2 91

76 --- 86 2 9386 --- 96 1 94Total () 94

* LMd = limite inferior da classe da Md = 16* n = tamanho da amostra ou n de elementos n/2 = 94/2 = 47* Fa = frequncia acumulada anterior classe daMd = 29* h = intervalo da classe da Md = 10* fMd = frequncia simples da classe da Md = 24

47 29Md = 16 + ------------- x 10 = 23,5%

24

50% das taxas de urbanizao esto antestaxa 23,5%.

5. Quartis (medidas separatrizes)

Dividem um conjunto de dados em quatro partes iguais.

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Q1 = 1 quartil, deixa 25% dos elementos

n1) Calcular a posio: P = ---- (seja n mpar ou par)

42) Pela Fiidentifica-se a classe que contm o Q1

3) Aplica-se a frmula: n/4 Fa

Q1 = LQ1 + -------------- x hfQ1

sendo* LQ1 = limite inferior da classe do Q1* n = tamanho da amostra ou n de elementos* Fa = frequncia acum. anterior classe do Q1* h = intervalo da classe do Q1* fQ1 = frequncia simples da classe do Q1

Q3 = 3 quartil, deixa 75% dos elementos

3 n1) Calcular a posio: P = ----- (seja n mpar ou pa

42) Pela Fiidentifica-se a classe que contm do Q3

3) Aplica-se a frmula:3n/4 Fa

Q3 = LQ3 + -------------- x hfQ3

sendo* LQ3 = limite inferior da classe do Q3* n = tamanho da amostra ou n de elementos

* Fa = frequncia acum. anterior classe do Q3* h = intervalo da classe do Q3* fQ3 = frequncia simples da classe do Q3

Q2 = 2 quartil, igual a mediana, deixa 50% dos elementos

6. Decis: dividem a srie em 10 partes iguais

in1) Calcular a posio: P = ---- (seja n mpar ou par),

10em que i = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9

2) Pela Fiidentifica-se a classe que contm o Di

3) Aplica-se a frmula:in/10 Fa

Di = L Di + ---------------- x hfDi

sendo* LDi = limite inferior da classe Di , i = 1, 2, 3, ..., 9* n = tamanho da amostra ou n de elementos* Fa = frequncia acum. anterior classe do Di* h = intervalo da classe do Di* fDi = frequncia simples da classe do Di

7. Percentis: dividem a srie em 100 partes iguai

in1) Calcular a posio: P = ----- (seja n mpar ou par

100em que i = 1, 2, 3, ..., 98, 99

2) Pela Fiidentifica-se a classe que contm o P i

3) Aplica-se a frmula:in/100 Fa

Pi = L Pi + ----------------- x hfPi

sendo* LPi = limite inferior da classe Pi , i = 1, 2, 3, ..., 99* n = tamanho da amostra ou n de elementos* Fa = frequncia acum. anterior classe do Pi* h = intervalo da classe do Pi* fPi = frequncia simples da classe do Pi

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15. Medidas de disperso (Medidas de variabilidade)

So medidas utilizadas para medir o grau de variabilidade, ou disperso dos valoresobservados em torno da mdia aritmtica. Servem para medir a representatividade da mdia eproporcionam conhecer o nvel de homogeneidade ou heterogeneidade dentro de cada grupoanalisado.

Considere a seguinte situao:Um empresrio deseja comparar a performance de dois empregados, com base na

produo diria de determinada pea, durante cinco dias:

Empregado A : 70, 71, 69, 70, 70 x = 70Empregado B : 60, 80, 70, 62, 83 x = 71

A performance mdia do empregado A de 70 peas produzidas diariamente,enquanto que a do empregado B de 71 peas. Com base na mdia aritmtica, verifica-se que aperformance de B melhor do que a de A. Porm, observando bem os dados, percebe-se que aproduo de A varia apenas de 69 a 71 peas, ao passo que a de B varia de 60 a 83 peas, o querevela que a performance de A bem mais uniforme do que de B.

Qual o melhor empregado?

Tipos de medidas de disperso

1. Medidas de disperso absoluta

1.1. Amplitude total (AT): a diferena entre o maior e o menor valor observado.

AT = xmax xmin Empregado A = 71 69 = 2Empregado B = 83 60 = 23

1.2. Desvio mdio (DM)

Analisa todos os desvios ou distncias em relao a mdia aritmtica.

O clculo dos desvios feito por:di = (xi x) onde, di = desvio ou distncia

xi = valores observadosx = mdia aritmtica

A soma de todos os desvios em relao a mdiaaritmtica igual a zero:

di = (xi x) = 0

Clculo dos di: Para eliminar a soma zero, coloca-se os desvios em mduloEmpregado A Empregado B Empregado A Empregado B

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d1 = 70 70 = 0d2 = 71 70 = +1d3 = 69 70 = 1d4 = 70 70 = 0d5 = 70 70 = 0 di = 0

d1 = 60 71 = 11d2 = 80 71 = +9d3 = 70 71 = 1d4 = 62 71 = 9

d5 = 83 71 = +12 di = 0

d1 = | 0 | = 0d2 = | +1| = 1d3 = |1| = 1d4 = | 0 | = 0

d5 = | 0 | = 0| di | = 2

d1 = | 11| = 11d2 = | +9 | = 9d3 = | 1 | = 1d4 = | 9 | = 9

d5 = | +12 | = 12| di | = 42

Dessa forma, possvel calcular a mdia dos desvios por:

| di | | xi x | DM = ----------- = ----------------

n n

Empregado A| di | 2

DM = ----------- = ----- = 0,4n 5

Empregado B| di | 42

DM = ----------- = ----- = 8,4n 5

1.3. Varincia

Considera-se o quadrado de cada desvio, (xi x)2 , evitando que di = 0.

Para eliminar a soma zero, eleva-se osdesvios ao quadrado:

Varincia populacional (2): quando oestudo feito em toda populao.

Empregado Ad1 = (0)2 = 0d2 = (+1)2 = 1d3 = (1)2 = 1d4 = (0)2 = 0d5 = (0)2 = 0

( di )2

= 2

Empregado Bd1 = (11)2 = 121d2 = (+9)2 = 81d3 = (1)2 = 1d4 = (9)2 = 81d5 = (+12)2 = 144

( di )2

= 428

( di )2 (xi x)2

2 = ------------ = ---------------n n

Empregado A

2 = ----- = 0,45

Empregado B

428 = ------ = 85,65

Usando a frmula prtica para o clculo da varincia populacional:

(xi x)2 xi2 (xi)2 / N 2 = ---------------- = -----------------------

N N

Empreg. A (xi) xi2 Empreg. B (xi) xi2

70 4900 6071 5041 8069 4761 7070 4900 6270 4900 83

350 24502

42


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Empregado A

xi = 350, xi2 = 24502

xi2 (xi)2 / N 24502 (350)2 / 52 = ------------------------- = -------------------------- = 0,4

N 5

Empregado B

xi = , xi2 =

xi2 (xi)2 / N2 = ------------------------- = -------------------------

N

Varincia amostral (s2)

usada quando o estudo feito por amostragem.

(xi x)2

s2

= ----------------n 1

Frmula prtica: xi2 (xi)2 / n

s2

= -----------------------n 1

Varincia para dados agrupados sem e com classes

Varincia populacional:

(xi x)2 . fi2 = ---------------------

N

Frmula prtica:

xi2. fi (xi . fi)2 / N2 = --------------------------------

NVarincia amostral:

(xi x)2 . fis2 = ---------------------

n 1

Frmula prtica:

xi2. fi (xi . fi)2 / ns2 = --------------------------------

n 1

OBS: quando os dados forem uma amostra, usa-se o denominador n 1 na frmula da varincia,pois se obtm uma estimativa melhor do parmetro da populao. Quando a amostra for grande (n >30) no h diferena entre usar n 1 ou n.1.4 Desvio-padro

a raiz quadrada da varincia.Na frmula original para o clculo da varincia, observa-se que uma soma de

quadrados. Por exemplo, se a unidade original for metro (m) o resultado ser metro ao quadrado (m 2).Para retornar a uidade de medida original, extrai-se a raiz quadrada da varincia, passando achamar-se de desvio-padro.

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Desvio-padro populacional

= 2

Desvio-padro amostral

s = s2

Clculo da varincia e do desvio-padro para a Tabela 5.4 (sem classes)

Tabela 5.4 - Nmero de filhos de um grupo de 50 casaisNmero de

filhos( xi )

Numerode casais

( fi )xi . i xi2 xi2. fi

Varincia amostral:

xi2. fi (xi . fi)2 / ns2 = --------------------------------

n 1

Desvio-padro:s = s2 =

0 61 162 93 84 3

5 36 37 2

Total () 50 117

Clculo da varincia e do desvio-padro para a Tabela 5.7 (com classes)

Tabela 5.7 - Taxas municipais de urbanizao - Alagoas (em %) 1970.

Taxas (em%)

Nmero deMunicpios

( fi )

xi xi . i xi2 xi2. fi Varincia amostral:

xi2. fi (xi . fi)2 / ns2 = --------------------------------

n 1

Desvio-padro:s = s2 =

6 --- 16 29 1116 --- 26 24 2126 --- 36 16 31

36 --- 46 13 4146 --- 56 4 5156 --- 66 3 6166 --- 76 2 7176 --- 86 2 8186 --- 96 1 91Total () 94

44


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1. Medidas de disperso relativa

2.1. Coeficiente de variao (CV)

uma medida relativa de disperso til para a comparao em termos relativos dograu de concentrao em torno da mdia de sries distintas.

Populao

CV = ------ x 100x

ouAmostra

sCV = ------ x 100

X

O coeficiente de variao expresso em porcentagem.

Duas maneiras de analisar o CV :

Pequena disperso: CV 10%Mdia disperso: 10% < CV < 20%Grande disperso: CV 20%

Baixa disperso: CV 15%Mdia disperso: 15% < CV < 30%Grande disperso: CV 30%

16. Medidas de assimetria

Assimetria o grau de afastamento de uma distribuio da unidade de simetria.

Coeficiente de assimetria

1 Coeficiente de Pearson 2 Coeficiente de PearsonPopulao

x Mo

AS = ------------

Amostra

x MoAS = ------------

s

Q1 + Q3 2.MdAS = -----------------------------

Q3 Q1

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Se: AS = 0 a distribuio simtricaAS > 0 a distribuio assimtrica positiva ( direita)AS < 0 a distribuio assimtrica negativa ( esquerda)

Graficamente:

Distribuio simtrica Distribuio assimtrica positiva Distribuio assimtrica negativa

Clculo do coeficiente de assimetria para as Tabelas 5.4 e 5.7

17. Medidas de curtose

Denomina-se curtose o grau de achatamento da distribuio.

Para medir o grau de curtose utiliza-se o coeficiente:

46


47/47


Q3 Q1

K = ----------------------2 ( P90 P10 )

Em que:Q3 = 3 quartilQ1 = 1 quartilP90 = 90 percentilP10 = 10 percentil

Se K = 0,263 a distribuio mesocrticaSe K > 0,263 a distribuio platicrticaSe K < 0,263 a distribuio leptocrtica

Graficamente:

Distribuio mesocrtica Distribuio platicrtica Distribuio leptocrtica

Clculo do coeficiente de curtose para as Tabelas 5.4 e 5.7

======================= F I M =========================

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Apostila Curso Estatistica Goes