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Apostila ANTAQ - Raciocínio Lógico

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Apostila de raciocinio lógico para concurso da ANTAQ

Text of Apostila ANTAQ - Raciocínio Lógico

  • Raciocnio Lgico

  • 1Raciocnio Lgico

    Professor Wagner Bertolini com grande satisfao que apresento a vocs este curso de RACIOCNIO LGICO, projetado especialmente para aten-

    der s necessidades daqueles que se preparam para o concurso da AGNCIA NACIONAL DE TRANSPORTES AQUAVIRIOS.Permitam-me fazer uma breve apresentao de minha trajetria acadmica e profissional:-graduado pela Faculdade de Cincias Farmacuticas pela USP-RP, em 1990;- Mestre em sntese de complexos bioinorgnicos de rutnio, com liberao de xido ntrico, pela Faculdade de Cincias Farma-

    cuticas, USP-RP;-Doutor em farmacotcnica, estudando o efeito de promotores de absoro cutnea visando terapia fotodinmica para o cncer

    de pele, Faculdade de Cincias Farmacuticas pela USP-RP;-Especialista em espectrometria de massas, pela Faculdade de Qumica, USP-RP;-professor de Qumica em ensino Mdio e pr-vestibular (Anglo, Objetivo, COC) desde 1992.-professor de Qumica (Orgnica, Geral, Analtica, Fsico-Qumica e Inorgnica) em cursos de graduao;-Professor de Qumica Farmacutica, em curso de graduao em Farmcia;- Professor de raciocnio lgico;-ProfessordePs-Graduao em Biotecnologia (controle de produtos e processos biotecnolgicos);-Analista Qumico em indstria farmacutica, AKZO do Brasil, em SoPaulo-SP.-Consultor de pesquisa entre empresa-Universidade, em RibeiroPreto, onde resido atualmente.

    Espero poder contribuir com a sua capacitao para este concurso.Seguem abaixo comentrios acerca do contedo e da metodologia do nosso curso.

    ApresentaodocursoContedo do edital:1 Estruturas lgicas. 2 Lgica de argumentao: analogias, inferncias, dedues e concluses. 3 Lgica sentencial (ou propo-

    sicional). 3.1. Proposies simples e compostas. 3.2. Tabelas-verdade. 3.3. Equivalncias. 3.4. Leis de De Morgan. 3.5. Diagramas lgicos. 4. Lgica de primeira ordem. 5 Princpios de contagem e probabilidade. 6 Operaes com conjuntos. 7 Raciocnio lgico envolvendo problemas aritmticos, geomtricos e matriciais.

    Na NOVA ns seguimos a sequencia do edital. No creio que a sequencia do edital esteja boa na parte inicial, pois isola estruturas lgicas de tabela-verdade. Depois, coloca argumentao antes de tabela verdade.

    Caso queira minha orientao para melhorar seu entendimento, creio que voc deveria seguir a seguinte sequencia: 1, 3, 2, 4, 5, 6 e 7.Faremos uma anlise global dos tpicos, atravs de explicaes bem detalhadas, com dicas e orientaes de como proceder para

    resolver as questes e em menor tempo. Teremos vrios exerccios das principais bancas de concursos pblicos do pas.A proposta do curso facilitar o seu trabalho e reunir toda a teoria e inmeros exerccios, no que tange aos assuntos do edital, em

    um s material. Nosso curso ser completo (teoria detalhada e muitas questes por aula). Ao mesmo tempo, no exigir muitos conhecimentos prvios, na maioria do curso. Portanto, se voc est iniciando seus estudos no assunto, fique tranquilo, pois, nosso curso atender aos seus anseios perfeitamente. Se voc j estudou os temas e apenas quer revis-los, o curso tambm ser bastante til, pela quantidade de exerccios que teremos e pelo rigor no tratamento da matria, o que lhe permitir uma excelente reviso do contedo.

    Por isto sua preparao com afinco e dedicao pode ser seu diferencial. E aqui estou, junto a voc, nesta batalha. Eu e o pessoal da NOVA procuraremos a sua melhor preparao.

    Lembre-se que, como concursando, muitas vezes voc se sente sozinho, desacreditado e sem muita confiana. Mas saiba que o trabalho do estudo duro, solitrio, cansativo e requer muita vontade e dedicao. Quando vier sua aprovao, sua vitria voc ver que o seu sucesso pertence a todos (inclusive queles que nunca te apoiaram... mas assim a vida). Fora e pense sempre em voc, nos seus familiares, naqueles por quem voc tem amor.

    Desejo um excelente estudo e timos resultados nesta jornada. Muito boa sorte, dedicao e boa prova!!!!

  • 2Raciocnio Lgico

    1 ESTRUTURAS LGICAS.

    Breve introduo

    No h um consenso quanto definio da lgica, mas alguns autores a definem como o estudo dos processos vlidos e gerais pelos quais atingimos a verdade, inclusive pelo estudo dos princpios da inferncia vlida. a Cincia que expe as leis, modos e formas do conhecimento cientfico. uma cincia formal que se dedica ao estudo das formas vlidas de inferncia. Trata-se, portanto, do estudo dos mtodos e dos princpios utilizados para distinguir o raciocnio correto do incorreto.

    A lgica foi criada por Aristteles, no sculo IV a.C., como uma cincia autnoma que se dedica ao estudo dos atos do pensamento (Conceito, Juzo, Raciocnio, Demonstrao) do ponto de vista da sua estrutura ou forma lgica, sem ter em conta qualquer contedo material. por esta razo que esta lgica aristotlica se designa tambm por lgica formal.

    Segundo os registros foi Aristteles quem sugeriu o silogismo como sendo o argumento vlido. Aristteles considerado o pai da lgica formal.

    Conceito de proposio

    Vamos a um conceito bsico, em funo de ter encontrado diversos conceitos:Chama-se proposio toda orao declarativa que admite um dos dois valores lgicos: Falso (F) ou Verdadeiro (V), mas no as

    duas valoraes.Em funo de ser uma orao esperado que apresentasse, portanto, sujeito e predicado. A expresso: As belas ruas de paralelep-

    pedo de Ribeiro Preto NO se constitui uma proposio devido ausncia de predicado.Como anteriormente mencionado a orao declarativa. Portanto, teremos alguns tipos de expresses que NO sero proposi-

    es, por serem do tipo imperativo, interjeies, exclamativa, interrogativas, indefinidas (abertas).Desta forma, no so proposies expresses do tipo:a) Que bela manh! (exclamativa).b) Quer uma xcara de caf? (interrogativa).c) Pare!!! (imperativa indica ordem).d) Feliz Natal!. (optativa exprime desejo).e) Ele foi o melhor jogador do campeonato. (sentena aberta; no se sabe quem ele e, assim, no podemos valorar tal expresso).

    Veja algumas frases que so proposies (aquelas que podemos valorar em verdadeira ou falsa)a) A lua o nico satlite do planeta Terra (V)b) A cidade do Recife a capital do estado do Maranho. (F)c) O nmero 612 mpar (F)d) A raiz quadrada de dois um nmero irracional (V)Mas, uma proposio pode ser qualquer outro tipo de expresso, tais como as matemticas, conjunto de smbolos que possuam

    um significado, e que pode ser valorada em verdadeiro ou falso. Exemplo:4 > 7 Estamos afirmando que o nmero quatro maior que o nmero sete. Temos, neste caso, smbolos numricos, o que ainda assim

    nos permite dizer que isto uma proposio. No caso, uma proposio falsa.Veja o exemplo abaixo:x-8 = 0 No podemos valorar esta expresso em verdadeiro ou falso, simplesmente porque no se conhece o valor de x. Se x valer oito,

    teremos x 8 = 0. Porm, para qualquer outro valor de x que no seja oito, a igualdade acima est errada.Sendo x uma varivel, pode assumir inmeros valores. Quando a expresso apresentar uma varivel, ns dizemos que ela

    uma sentena aberta. Isto nos impede de julg-la em verdadeira ou falsa. Logo, no proposio.Em algumas situaes teremos expresses que sero denominadas paradoxos. E estas no podem ser valoradas em falsa ou ver-

    dadeira porque teramos uma situao de contradio. Veja a seguinte frase:Um meliante declara polcia: Eu sou mentiroso.Isto no pode ser uma proposio lgica, pois, se consideramos que o meliante disse a verdade, ento verdade que ele um

    mentiroso e, portanto, sendo um mentiroso ele no pode declarar uma verdade. Contradio!

  • 3Raciocnio LgicoResumindo:

    No so proposies: frases exclamativas, interrogativas, opinativas, as expresses de desejo, as expresses de sentimentos, as interjeies, oraes imperativas, e aquelas que contenham variveis (sentenas abertas).

    A partir da, podemos encontrar alguns princpios que devem sempre ser observados:

    1) Princpio da Identidade: Uma proposio verdadeira sempre verdadeira. Uma proposio falsa sempre falsa. 2) Princpio da no-contradio: Uma proposio no pode ser verdadeira e falsa simultaneamente.

    3) Princpio do Terceiro Excludo: Uma proposio s pode ter dois valores lgicos, isto , verdadeira (V) ou falsa (F), no podendo ter outro valor. No h meio termo.

    Exerccios resolvidos

    Exemplo: MRE 2008 [CESPE] (MODIFICADO)Proposies so sentenas que podem ser julgadas como verdadeiras V , ou falsas F , mas no cabem a elas ambos

    os julgamentos.Julgue os itens abaixo:1. Considere a seguinte lista de sentenas:I - Qual o nome pelo qual conhecido o Ministrio das Relaes Exteriores?II - O Palcio Itamaraty em Braslia uma bela construo do sculo XIX.III - As quantidades de embaixadas e consulados gerais que o Itamaraty possui so, respectivamente, x e y.IV - O baro do Rio Branco foi um diplomata notvel.Nessa situao, correto afirmar que, entre as sentenas acima, apenas uma delas no uma proposio.

    Resoluo. A sentena I uma pergunta. No podem ser julgado em verdadeiro ou falso, no sendo classificada como proposio. Na sentena II temos uma expresso de opinio sobre o Palcio do Itamaraty. Algum est dizendo expressando sua opinio de

    que o Palcio belo. No proposio.Na sentena III, temos duas variveis (x e y). Quando temos variveis, trata-se de uma sentena aberta, que no pode ser julgada

    em verdadeira ou falsa. Logo, no uma proposio.Na sentena IV, temos outra expresso de opinio. Tambm no proposio.Gabarito: errado.

    Exemplo: (BB1/2007/Cespe) Na lgica sentencial, denomina-se proposio uma frase que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas no como ambas. Assim, frases como Como est o tempo hoje? e Esta frase falsa no so proposies porque a primeira pergunta e a segunda no pode ser nem V nem F. As proposies so representadas simbolicamente por letras do alfabeto A, B, C, etc.

    Uma proposio da forma A ou B F se A e B forem F, caso contrrio V; e uma proposio da forma Se A ento B F se A for V e B for F, caso contrrio V.

    Considerando as informaes contidas no texto acima, julgue o item subsequente.

    01. Na lista de frases apresentadas a seguir, h exatamente trs proposies.A frase dentro destas aspas uma mentira.A expresso X + Y positiva.O valor de 7= 3 +4.Pel marcou dez gols para a seleo brasileira.O que isto?Resoluo- A frase dentro destas aspas uma mentira. uma orao declarativa, mas no pode ser classificada em verdadeiro ou falso. Se tentarmos classific-la como verdadeira,

    teremos uma contradio. Se classificarmos como falsa, temos uma nova contradio, pois falso dizer que a frase dentro daquelas aspas mentira, e, portanto, ela seria verdadeira. Logo, a frase A frase dentro destas aspas uma mentira no uma proposio

  • 4Raciocnio Lgicolgica. um paradoxo.

    - A expresso X + Y positiva. uma sentena aberta e no pode ser valorada em V ou F, pois no conhecemos os valores de X e Y. - A frase p: O valor de 7 = 3 + 4 proposio, pois se constitui em orao declarativa e que assume apenas um dos dois valores

    lgicos V ou F.- Pel marcou dez gols para a seleo brasileira proposio, pois se constitui em orao declarativa e que assume apenas um

    dos dois valores lgicos V ou F.- O que isto? uma frase interrogativa e, portanto, no uma proposio. O item est errado porque h exatamente duas proposies.

    Questes propostas

    Questo 1) (ICMS-SP/2006/FCC) Das cinco frases abaixo, quatro delas tm uma mesma caracterstica lgica em comum, en-quanto uma delas no tem essa caracterstica.

    I. Que belo dia! II. Um excelente livro de raciocnio lgico. III. O jogo terminou empatado?IV. Existe vida em outros planetas do universo.V. Escreva uma poesia.A frase que no possui essa caracterstica comum aa) I.b) II.c) III.d) IV.e) V.

    Questo 2) As frases Transforme seus boletos de papel em boletos eletrnicos e O carro que voc estaciona sem usar as mos so, ambas, proposies abertas.

    Questo 3) (TRT 17 Regio 2009/CESPE-UnB) Proposies so frases que podem ser julgadas como verdadeiras V ou falsas F , mas no como V e F simultaneamente.

    A partir das informaes do texto, julgue o item a seguir. A sequncia de frases a seguir contm exatamente duas proposies.- A sede do TRT/ES localiza-se no municpio de Cariacica.- Por que existem juzes substitutos?- Ele um advogado talentoso.

    Questo 4) (TCE-PB/2006/FCC)Sabe-se que sentenas so oraes com sujeito (o termo a respeito do qual se declara algo) e predicado (o que se declara sobre o sujeito). Na relao seguinte h expresses e sentenas:

    1.Trs mais nove igual a doze.2. Pel brasileiro.3. O jogador de futebol.4. A idade de Maria.5. A metade de um nmero.6. O triplo de 15 maior do que 10. correto afirmar que, na relao dada, so sentenas apenas os itens de nmeros. a) 1,2 e 6.b) 2,3 e 4.c) 3,4 e 5.d) 1, 2, 5 e 6.e) 2, 3,4 e 5.

  • 5Raciocnio LgicoQuesto 5) SEFAZ SP 2006 [FCC]Considere as seguintes frases:I. Ele foi o melhor jogador do mundo em 2005.II. (x+ y)/5 um nmero inteiro.III. Joo da Silva foi o Secretrio da Fazenda do Estado de So Paulo em 2000. verdade que APENASa) I e II so sentenas abertas.b) I e III so sentenas abertas.c) II e III so sentenas abertas.d) I uma sentena aberta.e) II uma sentena aberta.

    Questo 6)FINEP2009[CESPE] Acerca de proposies,considere as seguintesfrases:IOs Fundos Setoriais de Cincia e Tecnologia so instrumentos de financiamento de projetos.II O que o CT-Amaznia?III Preste ateno ao edital!IV Se o projeto for de cooperao universidade-empresa, ento podem ser pleiteados recursos do fundo setorial verde-amarelo.So proposies apenas as frases correspondentes aos itens:a)I e IV.b)II eIII.c)III eIV.d)I,II eIII.e)I, II eIV.

    Questo 7) TRT 17 2009 [CESPE] Julgue o item a seguir:Na sequncia de frases abaixo, h trs proposies.- Quantos tribunais regionais do trabalho h na regio Sudeste do Brasil?- O TRT/ES lanou edital para preenchimento de 200 vagas.- Se o candidato estudar muito, ento ele ser aprovado no concurso do TRT/ES.- Indivduo com 50 anos de idade ou mais no poder se inscrever no concurso do TRT/ES.

    Questo 8) (BB2/2007/Cespe) Uma proposio uma afirmao que pode ser julgada como verdadeira (V) ou falsa (F), mas no como ambas. As proposies so usualmente simbolizadas por letras maisculas do alfabeto, como, por exemplo, P, Q, R, etc. Se a conexo de duas proposies feita pela preposio e, simbolizada usualmente por , ento se obtm a forma PQ, lida como P e Q e avaliada como V se P e Q forem V, caso contrrio, F. Se a conexo for feita pela preposio ou, simbolizada usualmente por , ento se obtm a forma PQ, lida como P ou Q e avaliada como F se P e Q forem F, caso contrrio, V. A negao de uma proposio simbolizada por P, e avaliada como V, se P for F, e como F, se P for V. A partir desses conceitos, julgue o prximo item.

    H duas proposies no seguinte conjunto de sentenas:(I) O BB foi criado em 1980.(II) Faa seu trabalho corretamente.(III) Manuela tem mais de 40 anos de idade.

    Questo 9) (PM-BA 2009/FCC) Define-se sentena como qualquer orao que tem sujeito (o termo a respeito do qual se declara alguma coisa) e predicado (o que se declara sobre o sujeito). Na relao que segue h expresses e sentenas:

    1. Tomara que chova! 2. Que horas so? 3. Trs vezes dois so cinco.4. Quarenta e dois detentos.5. Policiais so confiveis. 6. Exerccios fsicos so saudveis.

  • 6Raciocnio LgicoDe acordo com a definio dada, correto afirmar que, dos itens da relao acima, so sentenas APENAS os de nmeros.(A) 1 3 e 5.(B) 2, 3 e 5.(C) 3, 5 e 6.(D) 4 e 6.(E) 5 e 6.

    Resoluo das questes propostas

    Questo 1) Resoluo A frase I exclamativa. A frase II no possui predicado, no sendo assim uma orao.A frase III interrogativa e a frase V imperativa.Portanto a caracterstica comum entre as frases I, II, III e V que elas no so proposies. A nica proposio a frase IV, pois

    uma orao declarativa, que podemos classificar em V ou F, apesar de no sabermos o seu valor lgico.

    Questo 2) Resoluo Para que uma frase seja uma sentena aberta, o sujeito deve ser uma varivel. A primeira frase imperativa. Portanto no proposio.A segunda frase no tem sentido completo. No se trata de uma proposio lgica, pois estas devem possuir sentido completo. O item est errado.

    Questo 3) ResoluoA primeira frase uma orao declarativa e que, mesmo que no saibamos, pode ser classificada em V ou F.A segunda frase interrogativa. No proposio.A terceira frase uma sentena aberta. Ele um termo que varia. Esta frase no pode ser classificada em V ou F. No proposio. O item est errado.Questo 4) Resoluo As frases 1, 2 e 6 tm sujeito e predicado. So, portanto, sentenas. As frases 3,4 e 5 no possuem sentido completo. No so sentenas.

    Questo 5) ResoluoI. A expresso utiliza a palavra ele para dar o teor de indefinio. A cada possvel pessoa designada por ele, temos um valor

    lgico diferente. Trata-se de uma sentena aberta, que no proposio. II. Temos variveis (x e y). Novamente no uma proposio, e sim uma sentena aberta.III. Temos uma proposio, pois pode ser julgada em verdadeiro ou falso. Ou verdade que Joo foi o secretrio, ou falso.

    No h uma terceira opo. Se possvel julgar em V ou F, proposio. Concluindo: I e II so sentenas abertas; III proposio.Gabarito: A

    Questo 6) Resoluo.A frase II uma pergunta, no podendo ser julgada em V ou F. A frase III uma ordem, que tambm no proposio. Logo,

    so proposies as frases I e IV.Gabarito: A

    Questo 7) Resoluo.Observem que a primeira sentena uma pergunta, que no pode ser julgada em verdadeiro ou falso. Logo, no proposio.As demais sentenas so proposies, pelo que o item verdadeiro.Gabarito: certo

    Questo 8) ResoluoAs frases (I) e (III)so proposies, pois so oraes declarativas. A frase (II) imperativa e, portanto, no uma proposio. O

    item est certo.

  • 7Raciocnio LgicoQuesto 9) Resoluo:1. Tomara que chova! (exclamativa)2. Que horas so? (interrogativa)3. Trs vezes dois so cinco (proposio).4. Quarenta e dois detentos.(sem predicado)5. Policiais so confiveis. (proposio)6. Exerccios fsicos so saudveis. .(proposio)De acordo com a definio dada, correto afirmar que, dos itens da relao acima, so sentenas APENAS os de nmeros(A) 1, 3 e 5.(B) 2, 3 e 5.(C) 3, 5 e 6.(D) 4 e 6.(E) 5 e 6.Resoluo: A resoluo est dada em vermelho aps cada expresso. Letra C

    2 LGICA DE ARGUMENTAO: ANALOGIAS, INFERNCIAS, DEDUES E CONCLUSES.

    ARGUMENTAO LGICA

    Chama-se argumento uma sequncia finita de proposies P (P1, P2, P3,...Pn) que inferem uma proposio Q (ou C), ou seja, um grupo de proposies iniciais denominadas premissas, que findam em uma proposio final, denominada de concluso do argumento, que ser consequncia das premissas iniciais.

    H um caso de argumento, em que temos duas premissas e uma concluso. Tal argumento recebe o nome de silogismo categrico (Aristteles).

    As premissas tambm podem ser denominadas de hipteses e a concluso de tese.Vejamos alguns exemplos de argumentos:

    Exemplo 1)p1: Todos os homens so mortaisP2: Scrates homemC: Logo, Scrates mortal.Vamos interpretar estas premissas?Acima, temos duas premissas (Todos os homens so mortais; Scrates homem). Estamos dizendo que essas duas premissas

    acarretam na nossa concluso (Scrates mortal). Eis nosso exemplo de argumento.

    Exemplo 2) Primeira premissa: Todos os homens so analfabetosSegunda premissa: Raquel de Queiroz homemConcluso: Logo, Raquel de Queiroz analfabeta.Acima, temos duas premissas (Todos os homens so analfabetos; Raquel de Queiroz homem). Estamos dizendo que essas duas

    premissas acarretam na nossa concluso (Raquel de Queiroz analfabeta). Eis nosso exemplo de argumento.

    IMPORTANTE:- O tipo de argumento ilustrado nos exemplos acima chamado silogismo. Ou seja, silogismo o argumento formado por duas

    premissas e a concluso.- Em um argumento lgico, sempre consideraremos as premissas como sendo verdadeiras. - O argumento lgico afirma que o conjunto de premissas tem como consequncia uma determinada concluso.

  • 8Raciocnio LgicoMas fica uma questo: todos os argumentos lgicos so vlidos?

    Faamos, ento, um estudo dos argumentos lgicos, para verificar se eles so vlidos ou invlidos. isso o que interessa. Ento, passemos a seguir a tentar entender o que significa um argumento vlido e um argumento invlido.

    Validade de um argumentoDizemos que um argumento vlido, quando a sua concluso uma consequncia obrigatria do seu conjunto de premissas, ou

    seja, as premissas verdadeiras garantem que a concluso tambm ser verdadeira.

    DICA: VLIDO, TODOS VERDADEIROS (premissas e concluso).Existem casos em que o argumento INVLIDO. Veremos em algumas situaes que as premissas e a prpria concluso po-

    dero ser visivelmente falsas (e at absurdas), e o argumento, ainda assim, poder ser considerado vlido. Isto pode ocorrer porque, na Lgica, o estudo dos argumentos no leva em conta a verdade ou a falsidade das premissas que compem o argumento, mas to somente a validade deste.

    Quando o argumento no vlido, diz-se que um sofisma.

    OBS: A grande dificuldade para o concursando que ele pensa na lgica do cotidiano e, muitas vezes atribui valor falso para premissas

    ou concluses por consider-las absurdas para o mundo real. Na lgica argumentativa pouco importa se, no mundo real, as premissas so de fato verdadeiras ou no. No nos cabe avaliar se uma premissa realmente verdadeira. Isto cabe a outros ramos das diversas cincias (fsica, qumica, biologia, Astronomia, Energia Nuclear, Medicina, etc).

    Na lgica argumentativa estamos interessados na forma do argumento. O que ns analisaremos se o argumento est bem cons-trudo, bem formulado, isto , se as premissas, de fato, suportam a concluso, resultando num argumento vlido, muito embora a veracidade das premissas e da concluso sejam totalmente questionveis.

    Aqui vale a teoria do pedreiro: o que vale a construo e no o seu contedo (kkkk, no existe esta teoria, mas a frase totalmente vlida).

    Com uma construo adequada o argumento vlido, independentemente do contedo das premissas ou da concluso.

    RECAPITULANDO:Considerando SEMPRE que as premissas so verdadeiras, a concluso necessariamente tambm seja verdadeira, ento o ar-

    gumento vlido. Caso contrrio, se existir um caso em que todas as premissas so verdadeiras e a concluso seja falsa, ento o argumento invlido.

    O que devemos fazer para determinar se um argumento mesmo vlido? Vermos muitos mtodos que podero ser teis e que sero usados com frequncia em questes que pedem a verificao da validade de um argumento qualquer. Porm, dentre estes mto-dos podemos ter um cuidado inicial em selecionar, eleger, qual o que nos daria a resposta com maior rapidez. Porm, um mtodo ser visto com mais ateno, pois, nos d toda a base terica que NUNCA podemos desprezar: a tabela-verdade. Este mtodo, dependendo do caso, no o recomendado devido ao tamanho (nmero de linhas) da tabela.

    Existem vrias tcnicas desenvolvidas por estudiosos e professores. O nmero de tcnicas chega facilmente a, pelo menos, SEIS. Porm, para cada caso devemos eleger o que seria mais conveniente.

    TCNICAS DE ANLISE DA VALIDADE DO ARGUMENTO

    A) Atravs da tabela-verdadePara analisar um argumento por meio da tabela-verdade, devemos seguir alguns passos bsicos:- montar uma tabela-verdade contendo todas as premissas e a concluso. identificar as linhas em que todas as premissas so verdadeiras. verificar se, nas linhas indicadas no item anterior a concluso tambm verdadeira.

    - FINALIZANDO: nas linhas avaliadas se as premissas e a concluso forem verdadeiras o argumento vlido. Em caso negativo, o argumento invlido.

    Veja a situao abaixo:Como analisar uma questo sem frases, apenas empregando a linguagem lgica para as premissas e concluso?Vamos seguir os passos e resolver? Mos obra!!!Devemos saber que o que est acima da linha so as premissas, enquanto que abaixo dela encontra-se a concluso. Neste caso,

    temos duas premissas e a concluso (um silogismo).

  • 9Raciocnio LgicoCasos deste tipo podem ser frases que j foram traduzidas para linguagem simblica.Depois de construir a tabela-verdade, devemos verificar quais so as suas linhas em que os valores lgicos das premissas tm

    valor V. Depois devemos analisar as linhas das premissas com valores V (com premissas verdadeiras) com os valores lgicos das colunas da concluso forem tambm Verdadeiros. Nestes casos o argumento vlido. Porm, se ao menos uma daquelas linhas (que contm premissas verdadeiras) houver na coluna da concluso um valor F, ento o argumento invlido.

    Este mtodo tem a desvantagem de ser mais trabalhoso, principalmente quando envolve vrias proposies simples.

    EXEMPLO:(p q) r~r____________~p ~q

    1 passo) Construir as tabelas-verdade para as duas premissas e para a concluso. Teramos, portanto, trs tabelas a construir (uma tabela para cada premissa e uma tabela para a concluso). Para economizarmos espao, ganharmos tempo e facilitarmos a exe-cuo do deste passo, faremos somente uma tabela-verdade, em que as premissas e a concluso correspondero a distintas colunas nesta tabela, conforme se observa abaixo.

    Observe que as premissas e a concluso so obtidas pelos seguintes procedimentos:- A 1 premissa (4 coluna da tabela) obtida pela condicional entre a 3 e a 2 colunas.- A 2 premissa (5 coluna) obtida pela negao da 2 coluna.- A concluso (8 coluna) obtida pela disjuno entre a 6 e a 7 colunas.

    1 2 3 4 5 6 7 8

    Linha q r (pq) 1Prem(p q) r2 Prem

    ~r ~p ~qConcluso

    ~p ~q1 V V V V F F F F2 V F V F V F F F3 F V F V F F V V4 F F F V V F V V5 V V F V F V F V6 V F F V V V F V7 F V F V F V V V8 F F F V V V V V

    2 passo) Agora, vamos verificar quais so as linhas da tabela em que os valores lgicos das premissas so todos V. Da, obser-vamos que a 4, 6 e 8 linhas apresentam todas as duas premissas com valor lgico V.

    3 passo) Finalizando, temos que verificar qual o valor lgico da concluso para estas mesmas 4, 6 e 8 linhas. Em todas elas a concluso tambm V. Portanto, o argumento vlido.

    PREMISSAS VERDADEIRAS E CONCLUSES VERDADEIRAS = ARGUMENTO VLIDO.EXEMPLO: Classifique o argumento abaixo em vlido ou invlidoPremissas:1 Se Manuel vai ao mercado, ento Cludia vai ao cinema.2 Cludia vai ao cinema ou Pedro vai ao porto.3 Beatriz vai ao boliche e Suelen vai ao shopping.4 Suelen no vai ao shopping ou Pedro no vai ao porto.Concluso: Manuel no vai ao mercado.Resoluo:Vamos dar nomes s proposies simples.m: Manuel vai ao mercado.

  • 10

    Raciocnio Lgicoc: Cludia vai ao cinema.p: Pedro vai ao porto.b: Beatriz vai ao boliches: Suelen vai ao shoppingLembra quantas linhas teremos? X = 25 = 32 linhas. Olha s que tabela grande:

    Prem 1 Prem2 Premissa 3 Premissa 4 Conclusom c

    c V p b ^ s ~ s V ~p ~m

    -E a? Vai encarar esta tabela? S se for para treinar, porque na prova voc no dever dispender tanto tempo assim. S se tiver tempo de sobra e ainda no consegui responder por outra tcnica.

    UMA POSSIBILIDADE INTERESSANTE, QUANDO se usa a tabela-verdade a possibilidade de eliminar as linhas que po-

  • 11

    Raciocnio Lgicodem originar premissas falsas (j que elas devem ser sempre verdadeiras para o argumento poder ser vlido e partimos sempre desta considerao). Mas dependendo do nmero de premissas, ainda assim seria trabalhosa.

    EXEMPLOClassifique o argumento abaixo em vlido ou invlido Premissas:1 Se Manuel vai ao mercado, ento Cludia vai ao cinema.2 Cludia vai ao cinema ou Pedro vai ao porto.3 Beatriz vai ao boliche e Suelen vai ao shopping.4 Suelen no vai ao shopping ou Pedro no vai ao porto. Concluso: Manuel no vai ao mercado.J vimos a montagem da tabela-verdade vamos us-la novamente o exemplo anterior. Portanto:

    Prem 1 Prem2 Premissa 3 Premissa 4 Conclusom c c p b s ~ s ~p ~m

  • 12

    Raciocnio LgicoVamos analisar a primeira premissa: trata-se de uma condicional. E s temos um caso em que ela ser falsa. Isto no nos ajuda

    muito. Portanto, no perderemos tempo com ela. Analisaremos a terceira premissa, pois esta uma conjuno:

    - Beatriz vai ao boliche e Suelen vai ao shopping. Acima temos um conectivo e. H um nico caso em que a proposio composta com a conjuno verdadeira: quando as duas

    parcelas so verdadeiras.Logo, o nico caso em que a proposio acima verdadeira quando Beatriz vai ao boliche e Suelen vai ao shopping. Portanto, para

    que a terceira premissa seja verdadeira, devemos ter, obrigatoriamente as seguintes condies:Beatriz vai ao boliche e Suelen vai ao shopping (b e s devem ser verdadeiros).

    Tal fato nos ajudar muito, pois, as linhas em que isto no ocorrer podem ser omitidas da tabela-verdade. Vejam, na tabela acima que marquei em vermelho onde b e s so falsos. Com isto o nmero de linhas j diminuiria muito e restariam as linhas abaixo.

    Prem 1 Prem2 Premissa 3 Premissa 4

    Concluso

    m c

    c p b s ~ s ~p

    ~m

    Vamos para a quarta premissa. Por que esta premissa agora? Porque temos informao sobre Suelen. Em nenhuma outra premissa temos informao sobre Beatriz. Portanto, o que nos resta de caminho.

    4 Suelen no vai ao shopping ou Pedro no vai ao porto. uma premissa. Como qualquer premissa, deve ser verdadeira. Temos uma disjuno. Para que seja verdadeiro, pelo menos uma das parcelas deve ser verdadeira. A primeira parcela, esta ns j sabemos algu-ma coisa sobre ela. Vimos que Suelen vai ao shopping (s verdadeiro). Mas na premissa Suelen no vai ao shopping torna esta parcela falsa. Analisaremos a segunda parte da proposio molecular da premissa 4.

    Nesta disjuno temos a ocorrncia da negao de s ( ~s, que teria valor falso). Portanto, para que esta disjuno seja verdadeira, a segunda proposio obrigatoriamente dever ser verdadeira. Mas veja: a segunda proposio sendo verdadeira corresponder negao de p sendo verdadeiro. Portanto p falso (linhas a serem eliminadas). Com isto, descartaremos as linhas em que p falso. Na tabela acima marcarei em vermelho as linhas em que p falso. Nossa tabela-verdade ficar assim:

    Prem 1 Prem2 Premissa 3

    Premissa 4

    Concluso

    m c

    c p b s ~ s ~p

    ~m

    Como temos tambm uma disjuno na segunda premissa, faremos a mesma anlise, levando em considerao que em2 Cludia vai ao cinema ou Pedro vai ao porto.

  • 13

    Raciocnio LgicoSabemos que Pedro ir ao porto falso obrigatrio que Claudia vai ao cinema seja verdadeiro.(c: deve ser verdadeiro.). Elimi-

    naremos assim as linhas em que c tenha valor lgico Falso.Na tabela acima marcarei em vermelho as linhas em que c falso. Nossa tabela-verdade fica reduzida a:

    Prem 1

    Prem2

    Premissa 3

    Premissa 4

    Concluso

    m c

    c p b s ~ s ~p ~m

    Para finalizar, analisaremos a primeira premissa:

    1 Se Manuel vai ao mercado, ento Cludia vai ao cinema.A segunda parcela deste condicional verdadeira (Cludia vai ao cinema). Com isso, automaticamente, o condicional ser ver-

    dadeiro, independente do valor lgico da primeira parcela. Assim, no interessa o valor lgico de m. Qualquer que seja, a primeira premissa ser verdadeira.

    Deste modo, no conseguimos excluir mais linhas da nossa tabela-verdade. Ela ficar da forma como vimos acima.

    Prem 1

    Prem2

    Premissa 3

    Premissa 4

    Concluso

    m c

    c p b s ~ s ~p

    ~m

    Nos resta completar o que sobrou da tabela-verdade inicial.

    Ora, ns fomos retirando todos os casos que tornavam as premissas falsas. Logo, nos casos restantes, todas as premissas so verdadeiras.Prem

    1Prem

    2Premissa

    3Premissa

    4Concluso

    m c

    c p b s ~ s ~p

    ~m

    V V V VV V V V

    Assim, s montamos as linhas que interessam: s aquelas em que todas as premissas so verdadeiras. Nestas linhas, vamos analisar a concluso.

    Prem 1

    Prem2 Premissa 3

    Premissa 4

    Concluso

    m c

    c p b s ~ s ~p ~m

    V V V V FV V V V V

  • 14

    Raciocnio LgicoAgora buscaremos as linhas em que a concluso tambm seja verdadeira. Caso tenhamos linha com premissas verdadeiras e a

    concluso seja falsa o argumento no valido. Vejam que existe um caso de premissas verdadeiras e concluso falsa.Resposta: argumento invlido.Outra tcnica possvel, e eu arriscaria dizer que a mais rpida e mais empregada para se resolver as questes, a que eu, pes-

    soalmente, denomino de:

    2) TCNICA DA PREMISSA FCIL

    Considerando as premissas verdadeiras e concluso verdadeira.Devemos garimpar entre as premissas dadas uma que seja fcil (geralmente proposio simples e a conjuno) e analisar os

    conectivos aps atribuir um valor lgico devido dica da premissa fcil Este mtodo, fcil e eficiente serve para resolver a maioria das questes cobradas pela ESAF (neste assunto) e tambm outras

    bancas.Vou demonstrar a validade de um argumento empregando esta tcnica fazendo DOIS exemplos. Vale lembrar que SEMPRE

    considerarei as premissas como verdadeiras. Da, por meio das operaes lgicas com os conectivos e com o valor lgico da PRE-MISSA FCIL, descobriremos o valor lgico da concluso, que dever resultar tambm em verdade, para que o argumento seja considerado vlido.

    Exemplo 01):

    p q~p ________q

    1 passo) Consideraremos as premissas como proposies verdadeiras, isto :1 premissa o valor lgico de p q verdade2 premissa o valor lgico de ~p verdade.Buscaremos, agora, determinar o valor lgico das proposies simples p e q, com a finalidade de, aps isso, obter o valor lgico

    da concluso.Observando a 2 premissa, verificamos que esta uma proposio simples (e, portanto verdadeira, segundo a tcnica).

    Concluso:2 premissa: ~p verdadeComo ~p verdade, logo p falso.

    Usaremos esta informao para obter o valor lgico da proposio simples p, na proposio composta da premissa 1).

    Observao:Avaliando a 1 premissa antes da segunda premissa no teramos como obter de imediato o valor lgico de p, e nem de q, mesmo

    considerando a premissa como verdadeira

    2 passo)Anlise da 1 premissa:p q verdade

    Sabendo que p falso, e que p q verdade, ento o valor lgico de q, de acordo com a tabela-verdade do ou (uma das pre-missas deve ser verdadeira), necessariamente verdade.

    Portanto, at o momento conclumos que:p falsoq verdade

    3 passo) Agora vamos utilizar os valores lgicos obtidos para p e q a fim de encontrar o valor lgico da Concluso. Como esta formada apenas pela proposio simples q, ento a concluso tem o mesmo valor lgico de q, ou seja, verdade. Desta forma, o argumento vlido.

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    Raciocnio LgicoEXEMPLO 2:Classifique o argumento abaixo em vlido ou invlidoPremissas:1 Se Manuel vai ao mercado, ento Cludia vai ao cinema.2 Cludia vai ao cinema ou Pedro vai ao porto.3 Beatriz vai ao boliche e Suelen vai ao shopping.4 Suelen no vai ao shopping ou Pedro no vai ao porto.

    Concluso: Manuel no vai ao mercado.

    Vamos considerar todas as premissas como verdadeiras e usar a informao da premissa fcil e com a anlise dos conectivos, para ver se a concluso dada verdadeira e definirmos a validade do argumento.

    Observa-se que ao final do texto existe uma informao dada por uma premissa simples, que a concluso (que pode ser V ou F). A premissa 3 que a dica, pois, a nica maneira da conjuno ser verdadeira que ambas as parcelas sejam verdadeiras. Portanto, a premissa 3 nos permite concluir que:

    3- Beatriz vai ao boliche (V) e Suelen vai ao Shopping (V).Observe que a premissa que novamente traz Beatriz (no tem mais premissa) ou Suelen a premissa 4, que est na forma de

    disjuno. Ora, a tabela-verdade da disjuno requer que uma das parcelas seja verdadeira e a outra seja falsa. Como sabemos que Suelen no vai ao shopping falso, a outra parcela deve ser verdadeira. Portanto, conclumos que Pedro no vai ao porto verdade. Portanto, Pedro vai ao porto falso.

    4 Suelen no vai ao shopping (F) ou Pedro no vai ao porto. (V)Observe que a premissa que novamente traz Pedro a premissa 2, que est na forma de disjuno. Ora, a tabela-verdade da

    disjuno requer que uma das parcelas seja verdadeira e a outra seja falsa. Como sabemos que Pedro vai ao porto falso, a outra parcela deve ser verdadeira. Portanto, conclumos que Cludia vai ao cinema verdade. Portanto,

    (F) Cludia vai ao cinema (V) ou Pedro vai ao porto (F).

    Resta agora analisar a premissa 1:1 Se Manuel vai ao mercado, ento Cludia vai ao cinema (V).Como sabemos que Cludia vai ao cinema verdade. Portanto, para a condicional ser verdadeira com a segunda parcela

    sendo verdade necessrio que a primeira parcela tambm seja verdade. Portanto, conclumos que Cludia vai ao cinema verdade. Portanto, Manuel vai ao mercado deve ser verdadeiro, para que a premissa 1 (e todas as premissas sejam, no caso, verdadeiras).

    Se Manuel vai ao mercado (V), ento Cludia vai ao cinema (V).Agora, comparemos com a concluso que nos foi dada no enunciado:Concluso: Manuel no vai ao mercado.Anlise das premissas: Manuel vai ao mercado.Premissas verdadeiras e a concluso para a mesma premissa oposta (portanto, falsa). RESULTADO: argumento INVLIDO.

    Veja que esta mesma questo fora anteriormente resolvida pela confeco da tabela-verdade (claro, obtendo-se mesmo resultado), porm, com muito mais trabalho para resolver.

    3) Tcnica da concluso FALSAEste mtodo parecido com o mtodo anteriormente descrito, com a seguinte diferena: considerando a concluso falsa

    e fazer a verificao se conseguimos ter todas as premissas verdadeiras. Se a se concluirmos que possvel a existncia dessa situao o argumento ser invlido.

    Ou seja, um argumento vlido se no ocorrer a situao em que as premissas so verdades e a concluso falsa. Este mtodo consiste em fazer uma avaliao s avessas, pois, faremos a anlise das premissas e verificar se conseguiremos

    ter todas as premissas sendo verdadeiras e a concluso falsa. Caso isto se verifique o argumento ser invlido.Professor, se a tcnica muito parecida com a anterior por que temos duas tcnicas para usar? Caro aluno, s vezes temos

    casos em que a proposio em estudo pode admitir duas ou mais possibilidades, o que torna a anlise mais complicada se conside-

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    Raciocnio Lgicoramos a concluso verdadeira. Mas, com a concluso sendo falsa a tabela-verdade pode permitir uma nica valorao, facilitando a anlise.

    PRESTE BEM A ATENO:Nesta tcnica comeamos a anlise pela concluso.Por que? Quando devemos usar esta tcnica?Esta tcnica indicada quando a concluso s apresenta um caso de falso. Isso ocorre quando a concluso :- uma proposio simples ou uma disjuno ou uma condicional

    Vamos a um exemplo. Exemplo 01)Premissa 1: Se fizer sol ento vou nadar ou jogar futebolPremissa 2: Se eu nadar ento no fez sol.Premissa 3: Se chover ento no vou jogar futebolConcluso: Se fizer sol ento no chove.

    Veja, que se considerarmos a concluso como verdade teramos trs possibilidades para que isto acontea. Porm, ao consider-la falsa teremos uma nica situao:

    Antecedente Verdade e consequente falso.Portanto, concluiramos que: Fez sol verdade No Choveu falso (logo, choveu verdade).

    Agora o que faremos?Vamos trabalhar com estas duas concluses das proposies da concluso e verificar se teremos todas as premissas verdadeiras.

    Caso isto ocorra, teremos um argumento INVLIDO. Para que o argumento seja vlido deveremos ter uma incompatibilidade, uma incongruncia nas premissas.

    Ento, vamos anlise:Inicialmente esquematizaremos as premissas e a concluso com os valores lgicos atribudos a eles:Verdade para a Premissa 1: Se fizer sol ento vou nadar ou jogar futebol Verdade para a Premissa 2: Se eu nadar ento no fez sol.Verdade para a Premissa 3: Se chover ento no vou jogar futebol Concluso: Se fizer sol ento no chove. (F) (a condicional falsa e no as duas premissas simples)

    Depois devemos procurar nas premissas onde teramos as proposies Chover e fez sol e substituir pelos valores lgicos atri-budos na concluso

    Veja que temos nas premissas 1 e 2 a condicional com a parcela referente ao sol e na premissa e 3 a parcela referente a chuva (chover).Vamos, ento, adicionar os valores lgicos e depois concluirmos o que for possvel:

    Premissa 1: Se fizer sol (V)ento vou nadar ou jogar futebolPremissa 2: Se eu nadar ento no fez sol.(F).Premissa 3: Se chover(V). ento no vou jogar futebol

    Vamos anlise das premissas individualmente, no que for possvel:Premissa 1: a parcela vou nadar ou jogar futebol deve ser verdade, pois corresponde segunda parte da condicional. E isto ocorre

    quando uma das parcelas da disjuno seja verdadeira. Portanto, no podemos ainda concluir mais nada sobre esta parcelaPremissa 2: Se eu nadar ento no fez sol (F).Podemos concluir que nadar falso, pois, se fosse verdade a condicional toda seria falsa (e a premissa tambm).Portanto: nadar falso

    Premissa 3: Se chover(V). ento no vou jogar futebol Como a primeira parcela da condicional verdade, a segunda parcela dever ser verdade para que a condicional (e a premissa)

    seja verdade.Concluso: no vou jogar futebol verdade. Logo, jogar futebol falso.

  • 17

    Raciocnio LgicoAgora j sabemos que jogar futebol falso e que nadar falso podermos substituir na premissa 1, que ficaria assim:Premissa 1: Se fizer sol (V)ento vou nadar (F) ou jogar futebol (F).Tivemos aqui um problema: No conseguimos chegar a todas as premissas como sendo verdadeiras. Veja:Premissa 1: Se fizer sol (V)ento vou nadar (F) ou jogar futebol (F). RESULTADO: PREMISSA FALSA!!!!!

    Usando a tabela-verdade da disjuno a proposio ficaria falsa. Transformando a premissa 1 em linguagem simblica teramos: V F V F, e isto resulta em um valor lgico Falso, tanto

    para a disjuno (segunda parcela da condicional) como para a premissa.. A premissa A (B C) deveria ser verdade!!!

    Esta contradio nos valores lgicos ocorreu porque no foi possvel, chegar a todas as premissas verdadeiras, chegarmos a uma concluso falsa. Da, conclumos que nosso argumento vlido.

    Em outras: para que o argumento fosse dito invlido, teramos que conseguir chegar a todas as premissas verdadeiras. Porem, a primeira premissa foi avaliada como falsa. Conclumos que o argumento vlido!

    EM RESUMO: se conseguirmos obter todas as premissas como verdadeiras, partir de valor lgico falso para a concluso tera-mos argumento invlido (pois argumento vlido deve ter premissas e concluso verdadeiras).

    Veja o segundo exemplo da tcnica anterior. Constatamos que o argumento era invlido. Tente, como treino, aplicar esta tcnica e voc ver que ser possvel tornar todas as premissas verdadeiras, partindo da concluso tomada como falsa.

    QUESTO COMENTADA(Tcnico MPU/2004-2/Esaf) Se Pedro pintor ou Carlos cantor, Mrio no mdico e Slvio no socilogo. Dessa pre-

    missa pode-se corretamente concluir que:a) se Pedro pintor e Carlos no cantor, Mrio mdico ou Slvio socilogo.b) se Pedro pintor e Carlos no cantor, Mrio mdico ou Slvio no socilogo.c) Se Pedro pintor e Carlos cantor, Mrio mdico e Slvio no socilogo.d) se Pedro pintor e Carlos cantor, Mrio mdico ou Slvio socilogo.e) se Pedro no pintor ou Carlos cantor, Mrio no mdico e Slvio socilogo.Poxa professor, como fazer um trem destes. O enunciado enorme, cheio de premissas e nomes... fiquei confuso!!!!!Calma!!!! Relaxe. A ESAF gosta de colocar frases mltiplas, com muitos nomes, com nomes parecidos, s pra confundir o can-

    didato. Mas, muitas vezes ela te d a premissa fcil

    OBSERVAO: Geralmente a premissa fcil dada ao final do enunciado.Iniciaremos definindo as seguintes proposies simples (use as iniciais dos nomes pra facilitar, caso no tenha repeties dos

    nomes):P = Pedro pintorC = Carlos cantorM = Mrio mdicoS = Slvio socilogo.(Percebeu que a inicial do nome a inicial da profisso?)

    O enunciado pode ser convertido para a linguagem simblica e teramos (P ou C) (~M e ~S).Observe agora que todas as alternativas esto na forma de condicional. Isto facilita se usarmos o mtodo da concluso falsa.

    Porque teramos j 2 valores lgicos (para a concluso falsa) e deveramos testar as premissas.Temos, no caso, um argumento com uma premissa e queremos encontrar uma concluso vlida para este argumento. E a resposta

    estar entre as alternativas apresentadas. Portanto, devemos converter para a linguagem simblica cada uma das opes de resposta. Ficaria assim:

    a) (P e ~C) (M ou S) b) (P e ~C) (M ou ~S) c) (P e C) (M e ~S) d) (P e C) (M ou S) e) (~P ou C) (~M e S)OBS: Namore um pouco as alternativas e perceba que temos a parcela inicial e a final se repetindo dois a dois em quase todas

    as alternativas.

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    Raciocnio LgicoConsideraremos a premissa verdade e a concluso falsa, e verificaremos se essa situao possvel de ocorrer. Se possvel,

    ento o argumento invlido, ou seja, a concluso no consequncia obrigatria das premissas. Se no possvel a ocorrncia daquela situao, ento o argumento vlido.

    Vamos analisar as alternativas:Anlise da alternativa a: (P e ~C) (M ou S)Vamos considerar que a proposio trazida nesta alternativa a concluso do argumento. Pelo mtodo, devemos designar o valor

    lgico falso para a proposio da concluso. Da: (P e ~C) (M ou S) falsoPara que esta condicional tenha valor lgico falso necessrio que 1 parte, (P e ~C), tenha valor V e a 2 parte, (M ou S), tenha

    valor F. - Para que (P e ~C) seja V, necessrio que: P V e ~C V. (Consequentemente C F).- Para que (M ou S) seja F, necessrio que: M F e S F .Resumindo:P V , C F, M F e S FVamos agora testar estes valores lgicos na premissa (P ou C) (~M e ~S) e ver se ela pode ser verdade com esses valores lgicos.Vamos substituir os valores lgicos:(V ou F) (~F e ~F) , que o mesmo que: (V ou F) (V e V) .Resolvendo esta ltima proposio, obtemos V V, que resulta no valor lgico V. Portanto, acabamos de verificar que possvel

    existir a situaoRESULTADO: concluso falsa e premissa verdade. Logo, esta concluso no consequncia obrigatria da premissa, e por isso

    esta alternativa no a correta.

    Anlise da alternativa b: (P e ~C) (M ou ~S)Vamos considerar que a alternativa a concluso do argumento. Pelo mtodo, devemos designar o valor lgico falso para a propo-

    sio da concluso. Portanto: (P e ~C) (M ou ~S) falsoPara que esta condicional tenha valor lgico falso necessrio que 1 parte, (P e ~C), tenha valor V e a 2 parte, (M ou ~S), tenha

    valor F.Disto resulta:- Para que (P e ~C) seja V, necessrio que: P V e ~C V (e claro C F) (Viu? Namorou a alternativa? Esta parte nem teria que

    ser refeita).- Para que (M ou ~S) seja F, necessrio que: M F e ~S F (e claro S V).Resumindo:P V , C F, M F e S VVamos agora testar estes valores lgicos na premissa (P ou C) (~M e ~S) pode ser verdade com esses valores lgicos. Vamos substituir os valores lgicos: (V ou F) (~F e ~V) , que o mesmo que: (V ou F) (V e F) .Resolvendo esta ltima proposio, obtemos V F, que resulta no valor lgico F.Verificamos que no possvel existir a situao: concluso falsa e premissa verdade. Logo, esta concluso consequncia obri-

    gatria da premissa, e por isso esta alternativa a resposta da questo.

    RESUMO DAS TCNICAS E QUANDO US-LAS

    Deve ser usado quando... O argumento vlido quando...Mtodo da Construo da Tabela- Verdade do argumento

    em qualquer caso, mas preferencialmente quando o argumento tiver no mximo duas proposies simples(SILOGISMO).

    nas linhas da tabela em que os valores lgicos das premissas tm valor V, os valores lgicos relativos a coluna da concluso forem tambm V.

    Mtodo da Premissa FcilConsiderar as premissas verdadeiras e o valor lgico da concluso verdadeiro

    Mtodo a acima no puder ser empregado, e houver uma premissa fcil (que seja uma proposio simples; ou que esteja na forma de uma conjuno)

    o valor encontrado para a concluso obrigatoriamente verdadeiro.

    Mtodo da concluso falsaConsiderar a Concluso como Falsa e verificar se as premissas podem ser verdadeiras

    for invivel a aplicao dos mtodos anteriores. Tambm recomendvel que a concluso seja uma proposio simples ou uma disjuno ou uma condicional.

    no for possvel a existncia simultnea de concluso falsa e premissas verdadeiras.

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    Raciocnio LgicoH, ainda, a possibilidade da Tcnica do ChuteQuando no tivermos uma proposio simples para utilizar como ponto de partida na anlise do argumento, podemos fazer o se-

    guinte. Damos um chute. Escolhemos uma das premissas e chutamos alguma coisa. Em seguida, verificamos se este chute nos leva a algum absurdo ou no.

    Cuidado: importante saber que essa tcnica pode levar a erros. Caso o argumento lgico apresente mais de uma linha da tabela--verdade em que todas as premissas so verdadeiras, a tcnica do chute pode nos levar a uma resposta errada.

    Existem outras tcnicas que no abordarei aqui. Para os que desejam uma boa ideia de como responder a maioria das questes estas tcnicas seriam o suficiente. No vejo porque complicar mais o assunto, que, a meu ver, o mais penoso para o candidato.

    QUESTES PROPOSTAS

    Questo 1: Se Iara no fala italiano, ento Ana fala alemo. Se Iara fala italiano, ento ou Ching fala chins ou Dbora fala dina-marqus. Se Dbora fala dinamarqus, Elton fala espanhol. Mas Elton fala espanhol se e somente se no for verdade que Francisco no fala francs. Ora, Francisco no fala francs e Ching no fala chins. Logo,

    a) Iara no fala italiano e Dbora no fala dinamarqus.b) Ching no fala chins e Dbora fala dinamarqus. c) Francisco no fala francs e Elton fala espanhol.d) Ana no fala alemo ou Iara fala italiano.e) Ana fala alemo e Dbora fala dinamarqus.

    Questo 2: Sabe-se que todo o nmero inteiro n maior do que 1 admite pelo menos um divisor (ou fator) primo. Se n primo, ento tem somente dois divisores, a saber, 1 e n. Se n uma potncia de um primo p, ou seja, da forma ps, ento 1, p, p2, ..., ps so os divisores positivos de n. Segue-se da que a soma dos nmeros inteiros positivos menores do que 100, que tm exatamente trs divisores positivos, igual a:

    a) 25b) 87c) 112d) 121e) 169

    Questo 3: Ou Lgica fcil, ou Artur no gosta de Lgica. Por outro lado, se Geografia no difcil, ento Lgica difcil. Da segue-se que, se Artur gosta de Lgica, ento:

    a) Se Geografia difcil, ento Lgica difcil.b) Lgica fcil e Geografia difcil.c) Lgica fcil e Geografia fcil.d) Lgica difcil e Geografia difcil. e) Lgica difcil ou Geografia fcil.

    Questo 4: Trs suspeitos de haver roubado o colar da rainha foram levados presena de um velho e sbio professor de Lgica. Um dos suspeitos estava de camisa azul, outro de camisa branca e o outro de camisa preta. Sabe-se que um e apenas um dos suspeitos culpado e que o culpado s vezes fala a verdade e s vezes mente. Sabe-se, tambm, que dos outros dois (isto , dos suspeitos que so inocentes), um sempre diz a verdade e o outro sempre mente. O velho e sbio professor perguntou, a cada um dos suspeitos, qual entre eles era o culpado. Disse o de camisa azul: Eu sou o culpado. Disse o de camisa branca, apontando para o de camisa azul: Sim, ele o culpado. Disse, por fim, o de camisa preta: Eu roubei o colar da rainha; o culpado sou eu. O velho e sbio professor de Lgica, ento, sorriu e concluiu corretamente que:

    a) O culpado o de camisa azul e o de camisa preta sempre mente.b) O culpado o de camisa branca e o de camisa preta sempre mente. c) O culpado o de camisa preta e o de camisa azul sempre mente.d) O culpado o de camisa preta e o de camisa azul sempre diz a verdade. e) O culpado o de camisa azul e o de camisa azul sempre diz a verdade.

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    Raciocnio LgicoQuesto 5: O rei ir caa condio necessria para o duque sair do castelo, e condio suficiente para a duquesa ir ao jardim.

    Por outro lado, o conde encontrar a princesa condio necessria e suficiente para o baro sorrir e condio necessria para a duquesa ir ao jardim. O baro no sorriu. Logo:

    a) A duquesa foi ao jardim ou o conde encontrou a princesa.b) Se o duque no saiu do castelo, ento o conde encontrou a princesa.c) O rei no foi caa e o conde no encontrou a princesa.d) O rei foi caa e a duquesa no foi ao jardim.e) O duque saiu do castelo e o rei no foi caa.

    Questo 6: (ESAF - 2012 - Auditor Fiscal da Receita Federal). Caso ou compro uma bicicleta. Viajo ou no caso. Vou morar em Passrgada ou no compro uma bicicleta. Ora, no vou morar em Passrgada. Assim,

    (A) no viajo e caso.(B) viajo e caso.(C) no vou morar em Passrgada e no viajo.(D) compro uma bicicleta e no viajo.(E) compro uma bicicleta e viajo.

    Questo 7: (Chesf - Analista de Sistemas - CESGRANRIO 2012. Se hoje for uma segunda ou uma quarta-feira, Pedro ter aula de futebol ou natao. Quando Pedro tem aula de futebol ou natao, Jane o leva at a escolinha esportiva. Ao levar Pedro at a escolinha, Jane deixa de fazer o almoo e, se Jane no faz o almoo, Carlos no almoa em casa. Considerando-se a sequncia de implicaes lgicas acima apresentadas textualmente, se Carlos almoou em casa hoje, ento hoje

    (A) tera, ou quinta ou sexta-feira, ou Jane no fez o almoo.(B) Pedro no teve aula de natao e no segunda-feira.(C) Carlos levou Pedro at a escolinha para Jane fazer o almoo. (D) no segunda, nem quarta, mas Pedro teve aula de apenas uma das modalidades esportivas.(E) no segunda, Pedro no teve aulas, e Jane no fez o almoo.

    Questo 8: (VUNESP - 2011 - TJM-SP). Se afino as cordas, ento o instrumento soa bem. Se o instrumento soa bem, ento toco muito bem. Ou no toco muito bem ou sonho acordado. Afirmo ser verdadeira a frase: no sonho acordado. Dessa forma, conclui-se que

    (A) sonho dormindo. (B) o instrumento afinado no soa bem. (C) as cordas no foram afinadas. (D) mesmo afinado o instrumento no soa bem. (E) toco bem acordado e dormindo.RESOLUES:

    Questo 1:(P1) Se Iara no fala italiano, ento Ana fala alemo.(P2) Se Iara fala italiano, ento ou Ching fala chins ou Dbora fala dinamarqus. (P3) Se Dbora fala dinamarqus, Elton fala espanhol.(P4) Mas Elton fala espanhol se e somente se no for verdade que Francisco no fala francs. (P5) Ora, Francisco no fala francs e Ching no fala chins.

    Ao todo so cinco premissas, formadas pelos mais diversos conectivos (Se ento, Ou, Se e somente se, E). Mas o que importa para resolver este tipo de argumento lgico que ele s ser vlido quando todas as premissas forem verdadeiras, a concluso tam-bm for verdadeira. Uma boa dica sempre comear pela premissa formada com o conectivo e.

    Na premissa 5 tem-se: Francisco no fala francs e Ching no fala chins. Logo para esta proposio composta pelo conectivo e ser verdadeira as premissas simples que a compe devero ser verdadeiras, ou seja, sabemos que:

    Francisco no fala francsChing no fala chinsNa premissa 4 temos: Elton fala espanhol se e somente se no for verdade que Francisco no fala francs. Temos uma proposio

    composta formada pelo se e somente se, neste caso, esta premissa ser verdadeira se as proposies que a formarem forem de mesmo valor lgico, ou ambas verdadeiras ou ambas falsas, ou seja, como se deseja que no seja verdade que Francisco no fala francs e ele fala, isto j falso e o antecedente do se e somente se tambm ter que ser falso, ou seja: Elton no fala espanhol.

  • 21

    Raciocnio LgicoDa premissa 3 tem-se: Se Dbora fala dinamarqus, Elton fala espanhol. Uma premissa composta formada por outras duas simples

    conectadas pelo se ento (veja que a vrgula subentende que existe o ento), pois , a regra do se ento que ele s vai ser falso se o seu antecedente for verdadeiro e o seu consequente for falso, da premissa 4 sabemos que Elton no fala espanhol, logo, para que a premissa seja verdadeira s poderemos aceitar um valor lgico possvel para o antecedente, ou seja, ele dever ser falso, pois F F = V, logo: Dbora no fala dinamarqus.

    Da premissa 2 temos: Se Iara fala italiano, ento ou Ching fala chins ou Dbora fala dinamarqus. Vamos analisar o consequente do se ento, observe: ou Ching fala chins ou Dbora fala dinamarqus. (temos um ou exclusivo, cuja regra , o ou exclusivo, s vai ser falso se ambas forem verdadeiras, ou ambas falsas), no caso como Ching no fala chins e Dbora no fala dinamarqus, temos: F ou exclusivo F = F. Se o consequente deu falso, ento o antecedente tambm dever ser falso para que a premissa seja verdadeira, logo: Iara no fala italiano.

    Da premissa 1 tem-se: Se Iara no fala italiano, ento Ana fala alemo. Ora ocorreu o antecedente, vamos reparar no consequente... S ser verdadeiro quando V V = V pois se o primeiro ocorrer e o segundo no teremos o Falso na premissa que indesejado, desse modo: Ana fala alemo.

    Observe que ao analisar todas as premissas, e tornarmos todas verdadeiras obtivemos as seguintes afirmaes:Francisco no fala francs Ching no fala chins Elton no fala espanholDbora no fala dinamarqusIara no fala italianoAna fala alemo.

    A nica concluso verdadeira quando todas as premissas foram verdadeiras a da alternativa (A), resposta do problema.

    Questo 2:Resposta B.O nmero que no primo denominado nmero composto. O nmero 4 um nmero composto. Todo nmero composto pode ser

    escrito como uma combinao de nmeros primos, veja: 70 um nmero composto formado pela combinao: 2 x 5 x 7, onde 2, 5 e 7 so nmeros primos. O problema informou que um nmero primo tem com certeza 3 divisores quando puder ser escrito da forma: 1 p p2, onde p um nmero primo.

    Observe os seguintes nmeros:1 2 22 (4)1 3 3 (9)1 5 5 (25)1 7 7 (49)1 11 11 (121)Veja que 4 tm apenas trs divisores (1, 2 e ele mesmo) e o mesmo ocorre com os demais nmeros 9, 25, 49 e 121 (mas este

    ltimo j maior que 100) portanto a soma dos nmeros inteiros positivos menores do que 100, que tm exatamente trs divisores positivos dada por: 4 + 9 + 25 + 49 = 87.

    Questo 3:Resposta B.O Argumento uma sequncia finita de proposies lgicas iniciais (Premissas) e uma proposio final (concluso). A validade

    de um argumento independe se a premissa verdadeira ou falsa, observe a seguir:Todo cavalo tem 4 patas (P1)Todo animal de 4 patas tem asas (P2)Logo: Todo cavalo tem asas (C)Observe que se tem um argumento com duas premissas, P1 (verdadeira) e P2 (falsa) e uma concluso C. Veja que este argumento

    vlido, pois se as premissas se verificarem a concluso tambm se verifica: (P1) Todo cavalo tem 4 patas. Indica que se cavalo ento tem 4 patas, ou seja, posso afirmar que o conjunto dos cavalos um subconjunto do conjunto de animais de 4 patas.

  • 22

    Raciocnio Lgico

    (P2) Todo animal de 4 patas tem asas. Indica que se tem 4 patas ento o animal tem asas, ou seja, posso afirmar que o conjunto dos animais de 4 patas um subconjunto do conjunto de animais que tem asas.

    (C) Todo cavalo tem asas. Indica que se cavalo ento tem asas, ou seja, posso afirmar que o conjunto de cavalos um subcon-junto do conjunto de animais que tem asas.

    Observe que ao unir as premissas, a concluso sempre se verifica. Toda vez que fizermos as premissas serem verdadeiras, a con-cluso tambm for verdadeira, estaremos diante de um argumento vlido. Observe:

    Desse modo, o conjunto de cavalos subconjunto do conjunto dos animais de 4 patas e este por sua vez subconjunto dos animais que tem asas. Dessa forma, a concluso se verifica, ou seja, todo cavalo tem asas. Agora na questo temos duas premissas e a concluso uma das alternativas, logo temos um argumento. O que se pergunta qual das concluses possveis sempre ser verdadeira dadas as premissas sendo verdadeiras, ou seja, qual a concluso que torna o argumento vlido. Vejamos:

    Ou Lgica fcil, ou Artur no gosta de Lgica (P1)Se Geografia no difcil, ento Lgica difcil. (P2)Artur gosta de Lgica (P3)Observe que deveremos fazer as trs premissas serem verdadeiras, inicie sua anlise pela premissa mais fcil, ou seja, aquela

    que j vai lhe informar algo que deseja, observe a premissa trs, veja que para ela ser verdadeira, Artur gosta de Lgica. Com esta informao vamos at a premissa um, onde temos a presena do ou exclusivo um ou especial que no aceita ao mesmo tempo que as duas premissas sejam verdadeiras ou falsas. Observe a tabela verdade do ou exclusivo abaixo:

    p q p V qV V FV F VF V VF F F

    Sendo as proposies:p: Lgica fcilq: Artur no gosta de Lgicap v q = Ou Lgica fcil, ou Artur no gosta de Lgica (P1)

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    Raciocnio LgicoObserve que s nos interessa os resultados que possam tornar a premissa verdadeira, ou seja, as linhas 2 e 3 da tabela verda-

    de. Mas j sabemos que Artur gosta de Lgica, ou seja, a premissa q falsa, s nos restando a linha 2, quer dizer que para P1 ser verdadeira, p tambm ser verdadeira, ou seja, Lgica fcil. Sabendo que Lgica fcil, vamos para a P2, temos um se ento.

    Se Geografia no difcil, ento Lgica difcil. Do se ento j sabemos que: Geografia no difcil - o antecedente do se ento.Lgica difcil - o consequente do se ento.Chamando:r: Geografia difcil~r: Geografia no difcil (ou Geografia fcil)p: Lgica fcil(no p) ~p: Lgica difcil~r ~p (l-se se no r ento no p) sempre que se verificar o se ento tem-se tambm que a negao do consequente gera a

    negao do antecedente, ou seja: ~(~p) ~(~r), ou seja, p r ou Se Lgica fcil ento Geografia difcil.De todo o encadeamento lgico (dada as premissas verdadeiras) sabemos que:Artur gosta de LgicaLgica fcilGeografia difcilVamos agora analisar as alternativas, em qual delas a concluso verdadeira:a) Se Geografia difcil, ento Lgica difcil. (V F = F) a regra do se ento s ser falso se o antecedente for verdadeiro

    e o consequente for falso, nas demais possibilidades ele ser sempre verdadeiro.b) Lgica fcil e Geografia difcil. (V ^ V = V) a regra do e que s ser verdadeiro se as proposies que o formarem

    forem verdadeiras.c) Lgica fcil e Geografia fcil. (V ^ F = F)d) Lgica difcil e Geografia difcil. (F ^ V = F)e) Lgica difcil ou Geografia fcil. (F v F = F) a regra do ou que s falso quando as proposies que o formarem forem falsas.

    Questo 4:Alternativa A.Com os dados fazemos a tabela:

    Camisa azul Camisa Branca Camisa Preta

    eu sou cul-pado

    sim, ele (de camisa azul) o

    culpado

    Eu roubei o colar da rainha; o culpado sou

    eu

    Sabe-se que um e apenas um dos suspeitos culpado e que o culpado s vezes fala a verdade e s vezes mente. Sabe-se, tambm, que dos outros dois (isto , dos suspeitos que so inocentes), um sempre diz a verdade e o outro sempre mente.

    I) Primeira hiptese: Se o inocente que fala verdade o de camisa azul, no teramos resposta, pois o de azul fala que culpado e ento estaria mentindo.

    II) Segunda hiptese: Se o inocente que fala a verdade o de camisa preta, tambm no teramos resposta, observem: Se ele fala a verdade e declara que roubou ele o culpado e no inocente.

    III) Terceira hiptese: Se o inocente que fala a verdade o de camisa branca achamos a resposta, observem: Ele inocente e afirma que o de camisa branca culpado, ele o inocente que sempre fala a verdade. O de camisa branca o culpado que ora fala a verdade e ora mente (no problema ele est dizendo a verdade). O de camisa preta inocente e afirma que roubou, logo ele o inocente que est sempre mentindo.

    O resultado obtido pelo sbio aluno dever ser: O culpado o de camisa azul e o de camisa preta sempre mente (Alternativa A).

    Questo 5:Resposta C.Uma questo de lgica argumentativa, que trata do uso do conectivo se ento tambm representado por . Vamos a um exemplo:Se o duque sair do castelo ento o rei foi caa. Aqui estamos tratando de uma proposio composta (Se o duque sair do castelo

    ento o rei foi caa) formada por duas proposies simples (duque sair do castelo) (rei ir caa), ligadas pela presena do conectivo () se ento. O conectivo se ento liga duas proposies simples da seguinte forma: Se p ento q, ou seja:

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    Raciocnio Lgico- p ser uma proposio simples que por estar antes do ento tambm conhecida como antecedente.- q ser uma proposio simples que por estar depois do ento tambm conhecida como consequente.- Se p ento q tambm pode ser lido como p implica em q.- p conhecida como condio suficiente para que q ocorra, ou seja, basta que p ocorra para q ocorrer.- q conhecida como condio necessria para que p ocorra, ou seja, se q no ocorrer ento p tambm no ir ocorrer.Vamos s informaes do problema:1) O rei ir caa condio necessria para o duque sair do castelo. Chamando A (proposio rei ir caa) e B (proposio

    duque sair do castelo) podemos escrever que se B ento A ou B A. Lembre-se de que ser condio necessria ser consequente no se ento.

    2) O rei ir caa condio suficiente para a duquesa ir ao jardim. Chamando A (proposio rei ir caa) e C (proposio duque-sa ir ao jardim) podemos escrever que se A ento C ou A C. Lembre-se de que ser condio suficiente ser antecedente no se ento.

    3) O conde encontrar a princesa condio necessria e suficiente para o baro sorrir. Chamando D (proposio conde encontrar a princesa) e E (proposio baro sorrir) podemos escrever que D se e somente se E ou D E (conhecemos este conectivo como um bicondicional, um conectivo onde tanto o antecedente quanto o consequente so condio necessria e suficiente ao mesmo tempo), onde poderamos tambm escrever E se e somente se D ou E D.

    4) O conde encontrar a princesa condio necessria para a duquesa ir ao jardim. Chamando D (proposio conde encontrar a princesa) e C (proposio duquesa ir ao jardim) podemos escrever que se C ento D ou C D. Lembre-se de que ser condio necessria ser consequente no se ento.

    A nica informao claramente dada que o baro no sorriu, ora chamamos de E (proposio baro sorriu). Logo baro no sorriu = ~E (l-se no E).

    Dado que ~E se verifica e D E, ao negar a condio necessria nego a condio suficiente: esse modo ~E ~D (ento o conde no encontrou a princesa).

    Se ~D se verifica e C D, ao negar a condio necessria nego a condio suficiente: ~D ~C (a duquesa no foi ao jardim).Se ~C se verifica e A C, ao negar a condio necessria nego a condio suficiente: ~C ~A (ento o rei no foi caa).Se ~A se verifica e B A, ao negar a condio necessria nego a condio suficiente: ~A~B (ento o duque no saiu do castelo).

    Observe entre as alternativas, que a nica que afirma uma proposio logicamente correta a alternativa C, pois realmente deduziu-se que o rei no foi caa e o conde no encontrou a princesa.

    Questo 6:Resposta B.1: separar a informao que a questo forneceu: no vou morar em Pasrgada.2: lembrando-se que a regra do ou diz que: para ser verdadeiro tem de haver pelo menos uma proposio verdadeira.3: destacando-se as informaes seguintes:- caso ou compro uma bicicleta.- viajo ou no caso.- vou morar em Pasrgada ou no compro uma bicicleta.Logo:- vou morar em Pasrgada (F)- no compro uma bicicleta (V)- caso (V)- compro uma bicicleta (F)- viajo (V)- no caso (F)Concluso: viajo, caso, no compro uma bicicleta.Outra forma:c = casarb = comprar bicicletav = viajarp = morar em PasrgadaTemos as verdades:c ou bv ou ~c

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    Raciocnio Lgicop ou ~bTransformando em implicaes:~c b = ~b c~v ~c = c v~p ~bAssim:~p ~b~b cc v

    Por transitividade:~p c~p vNo morar em Pasrgada implica casar. No morar em Pasrgada implica viajar.

    Questo 7:Resposta B.Sendo: Segunda = S e Quarta = Q, Pedro tem aula de Natao = PN e Pedro tem aula de Futebol = PF.V = conectivo ou e = conectivo Se, ... ento, temos:S V Q PF V PNSendo Je = Jane leva Pedro para a escolinha e ~Je = a negao, ou seja Jane no leva Pedro a escolinha. Ainda temos que ~Ja =

    Jane deixa de fazer o almoo e C = Carlos almoa em Casa e ~C = Carlos no almoa em casa, temos: PF V PN JeJe ~Ja~Ja ~CEm questes de raciocnio lgico devemos admitir que todas as proposies compostas so verdadeiras. Ora, o enunciado diz que

    Carlos almoou em casa, logo a proposio ~C Falsa. ~Ja ~CPara a proposio composta ~Ja ~C ser verdadeira, ento ~Ja tambm falsa. ~Ja ~CNa proposio acima desta temos que Je ~Ja, contudo j sabemos que ~Ja falsa. Pela mesma regra do conectivo Se, ... ento,

    temos que admitir que Je tambm falsa para que a proposio composta seja verdadeira. Na proposio acima temos que PF V PN Je, tratando PF V PN como uma proposio individual e sabendo que Je falsa, para

    esta proposio composta ser verdadeira PF V PN tem que ser falsa.Ora, na primeira proposio composta da questo, temos que S V Q PF V PN e pela mesma regra j citada, para esta ser verda-

    deira S V Q tem que ser falsa. Bem, agora analisando individualmente S V Q como falsa, esta s pode ser falsa se as duas premissas simples forem falsas. E da mesma maneira tratamos PF V PN.

    Representao lgica de todas as proposies:S V Q PF V PN(f) (f) (f) (f) F F

    PF V PN Je F FJe ~Ja F F

    ~Ja ~C F FConcluso: Carlos almoou em casa hoje, Jane fez o almoo e no levou Pedro escolinha esportiva, Pedro no teve aula de

    futebol nem de natao e tambm no segunda nem quarta. Agora s marcar a questo cuja alternativa se encaixa nesse esquema.

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    Raciocnio LgicoQuesto 8:Resposta C.D nome:A = AFINO as cordas;I = INSTRUMENTO soa bem;T = TOCO bem;S = SONHO acordado.Montando as proposies:1 - A I2 - I T3 - ~T V S (ou exclusivo)Como S = FALSO; ~T = VERDADEIRO, pois um dos termos deve ser verdadeiro (equivale ao nosso ou isso ou aquilo, escolha

    UM).~T = VT = FI T(F)Em muitos casos, um macete que funciona nos exerccios lotados de condicionais, sendo assim o F passa para trs. Assim: I = FNovamente: A I(F)O FALSO passa para trs. Com isso, A = FALSO. ~A = Verdadeiro = As cordas no foram afinadas. Outra forma: partimos da premissa afirmativa ou de concluso; ltima frase: No sonho acordado ser VERDADEAdmita todas as frases como VERDADEFicando assim de baixo para cimaOu no toco muito bem (V) ou sonho acordado (F) = VSe o instrumento soa bem (F) ento toco muito bem (F) = VSe afino as cordas (F), ento o instrumento soa bem (F) = VA dica trabalhar com as excees: na condicional: s d falso quando a primeira parcela V e a segunda parcela F. Na disjun-

    o exclusiva (ou... ou) as divergentes se atraem, o que d verdade. Extraindo as concluses temos que:No toco muito bem, no sonho acordado como verdade.Se afino as corda deu falso, ento no afino as cordas.Se o instrumento soa bem deu falso, ento o instrumento no soa bem.Joga nas alternativas:(A) sonho dormindo (voc no tem garantia de que sonha dormindo, s temos como verdade que no sonho acordado, pode ser

    que voc nem sonhe).(B) o instrumento afinado no soa bem deu que: No afino as cordas.(C) Verdadeira: as cordas no foram afinadas.(D) mesmo afinado (Falso, deu que no afino as cordas) o instrumento no soa bem.(E) toco bem acordado e dormindo, absurdo. Deu no toco muito bem e no sonho acordado.

    3 LGICA SENTENCIAL (OU PROPOSICIONAL): 3.1 PROPOSIES SIMPLES E COMPOSTAS; 3.2. TABELAS-VERDADE; 3.3. EQUIVALNCIAS; 3.4. LEIS DE DE

    MORGAN; 3.5. DIAGRAMAS LGICOS.

    Estudo das proposies simples e compostas

    Os lgicos procuraram combater as limitaes da lgica clssica e encontrar uma linguagem artificial, simblica e altamente abstrata, na qual se define rigorosamente o significado de cada smbolo e o conjunto das regras que permitem relacion-los de um modo to rigoroso como aquele que caracterstico do clculo matemtico. Foi assim que se foi constituindo a lgica moderna ou logstica que dispe de:

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    Raciocnio Lgico- um conjunto de smbolos formais, constantes e variveis;- regras de combinao desses smbolos entre si;- regras de transformao dessas combinaes elementares de smbolos.Seguindo, analisando as proposies, percebemos que estas podem ser classificadas como simples ou atmicas; compostas ou moleculares.As proposies simples no contm nenhuma outra proposio fazendo parte integrante de si mesmas, ou seja: elas no podem ser

    divididas em outras proposies menores.Veja o exemplo abaixo:p: Marcela auditoraq: Paulo bancrior: Wagner professor

    As proposies compostas so formadas por duas ou mais proposies ligadas por meio de determinadas palavras ou expresses a que chamamos operadores ou conectivos lgicos.

    As proposies simples combinam-se com outras, ou so modificadas por alguns operadores (conectivos), gerando novas sentenas chamadas de moleculares.

    Quando juntamos duas ou mais proposies simples, formamos outra proposio, maior, chamada de proposio composta. Geralmente simbolizamos as proposies simples por letras minsculas e as proposies compostas por letras maisculas do alfabeto.

    O que so os Conectivos?Definimos os conectivos como expresses lgicas que permitem ligar entre si vrias proposies simples, obtendo proposies

    complexas cuja verdade ou falsidade estaro dependentes da verdade ou falsidade das proposies iniciais e da natureza dos conec-tivos envolvidos.

    Toda a proposio interligada por conectivos tambm ter um valor lgico (V/F).Os conectivos sero representados nas proposies compostas das seguintes formas:- Conjunes: a b (l-se: a e b)- Disjunes inclusivas: a b (l-se: a ou b)- Disjunes exclusivas: a V b (l-se ou a ou b (uma coisa ou outra)- Condicionais: a b (l-se: se a ento b)- Bicondicionais: a b (l-se: a se somente se b)Alm disso, importante saber que existe a negao, que pode ser simbolizada por ~ (til) ou por (cantoneira), alm da

    equivalncia entre proposies, representadas pelo smbolo ou .

    Algumas formas de se representar as proposiesSuponha que tenhamos duas proposies,1. A = Maria tem 23 anos2. B = Maria menor.Pela legislao corrente de Argentina, uma pessoa considerada menor de idade caso tenha menos de 18 anos, o que faz com que

    a proposio q seja F, na interpretao da proposio p ser V.Vejamos algumas situaes e respectivas formas de interpretar as proposies compostas derivadas de A e B.Maria no tem 23 anos (no A)Maria no menor(no(B))Maria tem 23 anos e Maria menor (A e B)Maria tem 23 anos ou Maria menor (A ou B)Maria no tem 23 anos e Maria menor (no(A) e B)Maria no tem 23 anos ou Maria menor (no(A) ou B)Maria tem 23 anos ou Maria no menor (A ou no(B))Maria tem 23 anos e Maria no menor (A e no(B))Se Maria tem 23 anos ento Maria menor (A => B)Se Maria no tem 23 anos ento Maria menor (no(A) => B)Maria no tem 23 anos e Maria menor (no(A) e B)

    Cuidado:Vrias questes de prova pedem que se converta uma frase escrita para a simbologia lgica, ou vice versa. Por isto, importan-

    te que, inicialmente, voc se familiarize com estas formas de representao. Muitas bancas (principalmente CESPE) utilizam apenas esta forma de linguagem em algumas questes. Vejamos alguns exemplos:

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    Raciocnio LgicoConsidere as seguintes proposies lgicas representadas pelas letras P, Q, R e S:P: Nesse pas o direito respeitado.Q: O pas prspero.R: O cidado se sente seguro.S: Todos os trabalhadores tm emprego.Considere tambm que os smbolos , , e representem os conectivos lgicos ou, e, se, ento e

    no, respectivamente.Com base nessas informaes, julgue os itens seguintes.1. A proposio Nesse pas o direito respeitado, mas o cidado no se sente seguro pode ser representada simbolicamente

    por P (R) .2. A proposio Se o pas prspero, ento todos os trabalhadores tm emprego pode ser representada simbolicamente por

    QS.3. A proposio O pas ser prspero e todos os trabalhadores terem emprego uma consequncia de, nesse pas, o direito

    ser respeitado pode ser representada simbolicamente por (Q R)P.

    Resoluo. Primeiro item. Temos:Nesse pas o direito respeitado, mas o cidado no se sente seguro Vamos colocar parntesis para delimitar as proposies simples:(Nesse pas o direito respeitado), mas (o cidado no se sente seguro)As duas parcelas so unidas pela palavrinha mas, que acrescenta uma informao. Ela tem um papel anlogo ao do e.

    como se afirmssemos que o direito respeitado e o cidado no se sente seguro.Alm disso, vemos que a segunda parcela apresenta uma negao. Portanto, a proposio mencionada pode ser representada

    por: P (R)Item certoSegundo item. A sentena :Se (o pas prspero), ento (todos os trabalhadores tm emprego).Em smbolos: Q SItem certoTerceiro item.A proposio : O pas ser prspero e todos os trabalhadores terem emprego uma consequncia de, nesse pas, o direito

    ser respeitado.Vamos usar parntesis para delimitar as proposies simples:(O pas ser prspero) e (todos os trabalhadores terem emprego)) uma consequncia de, (nesse pas, o direito ser respeitado).A expresso uma consequncia, remete ao condicional (se, ento). Podemos reescrever a frase assim:Se (nesse pas, o direito respeitado), ento (o pas prspero) e todos os trabalhadores tm emprego).Em smbolos, ficamos com: P (Q S )No foi essa a simbologia indicada pelo enunciado. Item errado.Gabarito: certo, certo, erradoExemplo: Julgue os itens a seguir:1. A proposio Tanto Joo no norte-americano como Lucas no brasileiro, se Alberto francs poderia ser representada por

    uma expresso do tipo P [(Q) (R)].Resoluo:Nesta proposio temos um condicional escrito em ordem inversa. Colocando na ordem normal, temos:Se (Alberto francs), ento (Joo no norte-americano) e (Lucas no brasileiro).Vamos dar nomes s proposies simples:P: Alberto francsQ: Joo norte-americanoR: Lucas brasileiroA simbologia para a proposio composta ficaria: P [(Q) (R)]Que exatamente o que afirmou o item.Gabarito: Certo

    Tabela-verdade das proposies compostasA tabela-verdade uma tabela em que combinamos todas as possibilidades das proposies simples para ver quais so os resultados

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    Raciocnio Lgicodas proposies compostas. A tabela-verdade, como se sabe, um instrumento eficiente para a especificao de uma composio de proposies. A seguir trabalharemos com a tabela-verdade dos conectivos aqui tratados, explicando suas possibilidades.

    Antes de iniciarmos interessante se conhecer quantas linhas iro compor a tabela-verdade de qualquer tipo de conectivo. Para isto, devemos usar uma expresso matemtica, onde x o nmero de linhas da tabela-verdade e n o nmero de proposies simples:

    X = 2nOu seja: se tivermos uma proposio simples teremos duas possibilidades; V ou F. Mas se tivermos duas proposies termos 4 pos-

    sibilidades, conforme esquema abaixo:X = 22 = 4

    p qV VV FF VF F

    Estas opes so decorrentes das possveis combinaes ente as proposies. Uma dica para montar a tabela-verdade sempre colocar para p (no caso de 2 proposies) VV, FF e depois colocar alternados V e F para a proposio q.

    Veja: Se tivermos 3 proposies teremos X = 23 = 8. Ou seja: 8 linhas na tabela-verdade. E como mont-la? Simples! Divida o total

    ao meio (8 dividido por 2 = igual a 4) e este valor ser o nmero de repeties dos valores lgicos V e depois, F, para a primeira proposio. Depois, diminua sucessivamente ao meio este valor obtido para as demais proposies, alternando-as. Veja: 4, 2, 1 (uma progresso).

    P q RV V VV V FV F VV F FF V VF V FF F VF F F

  • 30

    Raciocnio LgicoObservou? p 4 em 4, q 2 em 2 e r alternados.

    Veja as possibilidades:

    Caso a tabela-verdade tenha 4 proposies teramos X = 24 = 16 linhas. Divida o total ao meio (16 dividido por 2 = igual a 8) e este valor ser o nmero de repeties dos valores lgicos V e, tambm, a quantidade de valores correspondentesa falsos (F) para a primeira proposio. Depois, diminua sucessivamente ao meio este valor obtido para as demais proposies, alternando-as. Veja: 4, 2, 1.

    Vamos montar a tabela-verdade?

    p q R SV V V VV V V FV V FV V FV FV FV FV FFFFFFFFF

    Observe que eu intencionalmente, desta vez, no completei a tabela. Deu pra perceber que existe uma alternncia nos valores V e F, em proporo?

    Vale ressaltar que muito raro aparecerem 4 proposies nas questes dos concursos pblicos. Geralmente aparecem duas e, menos frequente, trs proposies.

  • 31

    Raciocnio LgicoPorm, importante que voc saiba como montar a tabela. Voc ver que, com a prtica, esta tabela NO precisar ser montada,

    principalmente para no se perder tempo na resoluo das questes. Porm, preciso saber como mont-la, para analisar as possibi-lidades das interpretaes.

    Tabela-verdade das conjunes e seus significados

    Proposies compostas em que est presente o conectivo e so ditas conjunes. Simbolicamente, esse conectivo pode ser representado por ^.

    Se tivermos a sentena: Paulo advogado e Maria professora

    Poderemos represent-la apenas por: p uma das proposies e q a outra, onde:p = Paulo advogado q = Maria professora.Como se revela o valor lgico de uma conjuno? Da seguinte forma: uma conjuno s ser verdadeira, se ambas as proposi-

    es simples componentes forem tambm verdadeiras (veja o nome: Conjuno ou proposio conjuntiva e as respostas Conjunta-mente verdadeiras).

    Ento, diante da sentena Paulo advogado e Maria professora, s poderemos concluir que esta proposio composta ver-dadeira se for verdade, ao mesmo tempo, que Paulo advogado e que Maria professora.

    Pensando pelo caminho inverso, teremos que basta que uma das proposies componentes seja falsa, e a conjuno ser, toda ela, falsa. Obviamente que o resultado falso tambm ocorrer quando ambas as proposies componentes forem falsas. Essas concluses todas as quais acabamos de chegar podem ser resumidas em uma tabela-verdade, de fcil construo e de fcil entendimento.

    Veja as nossas premissas:p = Paulo advogado q = Maria professora.Se tivermos que ambas so verdadeiras, a conjuno formada por elas (Paulo advogado e Maria professora) ser tambm

    verdadeira. Teremos:

    Paulo advogado

    Maria professora

    Paulo advogado E Maria professora

    P Q P(p e q)V V VV F FF V FF F F

    Exemplo 14) O professor Wagner quer fazer uma caipirinha e no tem limo nem cachaa. Como fazer a bebida sem estes com-ponentes? Impossvel. Ento, ele pede sua dedicada esposa que compre os tais ingredientes: limo e cachaa.

    Consideremos como proposies:p: ela comprou limoq: ela comprou cachaa

    Porm, a esposa de Wagner teve, para ilustrar o caso em questo, as possveis distintas condutas:a) comprou apenas limob) comprou apenas cachaac) no comprou nem limo nem cachaad) comprou limo e cachaaDe acordo com estas situaes vamos analisar o que podemos concluir:

  • 32

    Raciocnio LgicoComprou

    limo Comprou cachaaD pra fazer a

    caipirinha?

    P Q P (p e q)V F NOF V NOF F NOV V SIM

    Deu pra perceber? Ah!!!! Com caipirinha todo mundo entendeu, n? Kkkk. Mesmo fora da ordem convencional (o que no faz uma caipirinha .)

    Se as proposies p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a conjuno p e q corresponder interseco do conjunto p com o conjunto q. Teremos:

    Na rea de interseco tivemos a situao em que se comprou o limo e a cachaa:

    p q Veja p q (observe o sentido das concavidades (boca pra baixo)Tabela-verdade da disjuno

    Vamos abusar do professor Wagner neste exemplo. Agora, neste caso a esposa de Wagner quer fazer o almoo e percebe que est sem a famosa mistura. Ento, ela pede ao seu dedicado marido que compre carne de frango ou carne bovina para fazer a mistura do almoo, pois, ela ir fazer uma das duas misturas.

    Consideremos como proposies:p: ele comprou carne de frango.q: ele comprou carne bovina

    Porm, Wagner, depois da caipirinha (ehehehe) teve, para ilustrar o caso em questo, as distintas condutas:a) comprou apenas carne de frangob) comprou apenas carne bovinac) no comprou nem carne de frango nem carne bovinad) comprou carne de frango e carne bovina.

    De acordo com estas situaes vamos analisar o que podemos concluir:

    Comprou carne de frango

    Comprou carne bovina

    A esposa dele fez a mistura?

    P Q P(p V q)

    V F SIM

    F V SIM

    F F NO

    V V SIM

    Veja que neste caso, basta que apenas uma das proposies seja verdadeira (disjuntamente, separadamente, verdadeiras) para que o conjunto seja verdadeiro. Ou seja: obedeceu ao que se pediu.

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    Raciocnio LgicoPortanto uma disjuno s ser FALSA, se ambas as proposies componentes forem tambm FALSAS (e o professor vai apa-

    nhar em casa quando chegar sem nenhuma das misturas, eheheh). Ou seja: s falsa se as duas partes forem descumpridas! (veja o nome: DISjuno ou proposio DISjuntiva).

    As proposies p V q podem ser representadas por conjuntos:

    O conectivo ou ser caracterizado pela unio dos conjuntos p e q.Tabela-verdade da disjuno exclusiva

    H um outro tipo de proposio do tipo disjuno, bem parecido com a disjuno que acabamos de analisar acima. Porm, esta apresenta uma discreta diferena. Vamos comparar duas sentenas abaixo, referente a presente de Natal. Voc diz ao seu filho duas frases muito parecidas, tais como:

    Te darei uma raquete ou te darei um tablet ou te darei uma raquete ou te darei um tabletA diferena singela, todavia, importante. Repare que na primeira sentena v-se facilmente que se a primeira parte for verdade

    (te darei uma raquete), isso no impedir que a segunda parte (darei um tablet) tambm o seja. J na segunda proposio, se for ver-dade que te darei uma raquete, ento teremos que no ser dado o tablet. E vice-versa, ou seja, se for verdade que darei um tablet, ento teremos que no ser dada a raquete.

    Ou seja: a segunda estrutura apresenta duas situaes mutuamente excludentes, de sorte que apenas uma delas pode ser verda-deira, e a restante ser necessariamente falsa. Ambas nunca podero ser, ao mesmo tempo, verdadeiras; ambas nunca podero ser, ao mesmo tempo, falsas.

    Na segunda sentena acima, este tipo de construo uma disjuno exclusiva, pela presena dos dois conectivos ou, que determina que uma sentena necessariamente verdadeira, e a outra, necessariamente falsa. Da, o nome completo desta proposio composta disjuno exclusiva.

    Veja a diferena destas disjunes nas suas respectivas tabelas-verdade. Uma disjuno exclusiva s ser verdadeira se obedecer mtua excluso das sentenas. Ou seja: s ser verdadeira se houver uma das sentenas verdadeira e a outra falsa. Nos demais casos, a disjuno exclusiva ser falsa.

    Ganhar a raquete

    Ganhar o tablet

    Ou ganhar a raquete ou ganhar o tablet

    p Q P(p V q)V V FALSOV F VERDADEF V VERDADEF F FALSO

    Tabela-verdade da condicionalVimos que a estrutura condicional refere-se a Se p ento q.Estamos agora falando de proposies como as que se seguem:Se Augusto advogado, ento Silvia farmacutica.Se amanhecer chovendo, ento no irei praia.

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    Raciocnio LgicoVamos analisar a seguinte sentena:Se nasci em Recife, ento sou pernambucano.Agora observe que a nica maneira de essa proposio estar incorreta se a primeira parte for verdadeira, e a segunda for falsa.

    Ou seja, se verdade que eu nasci em Recife, ento necessariamente verdade que eu sou pernambucano. Se algum disser que verdadeiro que eu nasci em Recife, e que falso que eu sou pernambucano, ento este conjunto estar

    todo falso. Percebam que o fato de eu ter nascido em Recife condio suficiente (basta isso!) para que se torne um resultado ne-cessrio que eu seja pernambucano.

    Portanto: p suficiente e q necessrio.Ou seja: suficiente que eu tenha nascido em Recife para ser pernambucano. E necessrio que eu seja pernambucano para

    poder ter nascido em Recife Regra: O que est esquerda da seta sempre condio suficiente e o que est direita sempre condio necessria (p q).Para no confundir quem necessrio e quem suficiente, uma dica. Observe a proposio. S p, ento q.A palavra Se comea com S. E suficiente tambm comea com s.A palavra ento possui a letra n. E necessria tambm possui n.

    Proposies associadas a uma condicionalA partir da condicional p q podemos obter as condicionais (1) q p, denominada proposio recproca de p q;(2) ~p ~q, denominada proposio contrria de p q;(3) ~q ~p, denominada proposio contrapositiva de p q.

    Confeco da Tabela-verdade da estrutura condicional.

    Condicional: p q (Se, ento)

    P q P(p q)V V VV F FF V VF F V

    Observe que a condicional s ser falsa se a antecedente (lado esquerdo da seta) for verdadeiro e a consequente (lado direito) da seta for falso.

    Lembre-se: Vagner Falou t Falado!!!!!A condicional exige que, se o antecedente for verdadeiro, ento o consequente dever ser verdadeiro, para resultar em verdadeiro. As seguintes expresses podem ser empregadas como equivalentes de Se p, ento q:Se A, B. A condio suficiente para B.B, se A. B condio necessria para A.Se as proposies p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um diagrama, a proposio condicional Se p ento

    q corresponder incluso do conjunto p no conjunto q (p est contido em q):

    Tabela-verdade da bicondicionalA estrutura dita bicondicional apresenta o conectivo se e somente se, separando as duas sentenas. Pode ser entendida como

    uma Bi-implicao.A bi-implicao (SE, SOMENTE SE), entre duas frmulas verdadeira quando ambas so verdadeiras ou ambas so falsas.

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    Raciocnio LgicoInterpretao: P Q pode ser interpretada como P se e somente se Q, P equivalente a Q, P e Q possuem o mesmo

    valor de verdade.Assim, se P