CAPÍTULO I

CONCEITOS FUNDAMENTAIS DO ACIONAMENTO 1.1) INTRODUÇÃO As máquinas existentes nas instalações industriais, comerciais ou mesmo domésticas são, geralmente, constituídas de um grande número de componentes (peças, mecanismos, dispositivos, etc) cada um deles exercendo uma função definida. Uma máquina entra em operação para realizar um determinado trabalho quando todos os seus componentes ou alguns deles entram em movimento. Para uma máquina realizar o seu trabalho é necessário que ela seja acionada, isto é, receba conju-gado mecânico de uma fonte externa para ser colocada em movimento. Esta fonte externa ou órgão primário recebe o nome genérico de acionador. O conjugado mecânico fornecido pelo acionador é levado à máquina por meio de um sistema de transmissão que une o eixo principal da máquina1 com o eixo do acionador. Este sistema de transmissão pode ser uma simples luva de acoplamento direto ou um complexo redutor ou multiplicador de velocidades de engrenagens, de correias, hi-dráulico, com ou sem embreagens, etc. Nas plantas industriais, onde os processos de fabricação exigem os mais variados tipos de máquinas, estão presentes diversos tipos de acionadores: motores elétricos, motores de combustão interna (diesel ou gasolina), turbinas a vapor ou a gás, etc. Pode-mos dizer que o acionador, o sistema de transmissão e a máquina acionada formam um conjunto. Os motores elétricos são os mais importantes acionadores industriais. Eles apresentam sobre os demais acionadores diversas vantagens tais como: • São fabricados para qualquer potência. • Sua velocidade pode ser controlada dentro de uma ampla faixa.

• Os componentes que fazem este controle são todos padronizados: relés, contactores, cha-ves automáticas, inversores, etc.

• Permitem um elevado grau de automação dos processos industriais. • Os controles podem ser feitos junto ao motor ou à distância. • São de fácil manutenção e reposição. A correta seleção de motores para realizar um acionamento, principalmente nas plantas in-dustriais, constitui um dos mais importantes problemas da eletrotécnica aplicada, pelos aspectos técnicos e econômicos envolvidos. Ao longo de muitos anos, o fato de a energia elétrica ter sido um insumo relativamente barato na composição dos custos dos produtos industriais, criou entre muitos técnicos uma cultura de relativa indiferença quanto a uma correta seleção dos motores elétricos para realizar um determinado acionamento. Desde que o acionador colocasse a máquina em operação na velocidade correta, fornecendo a potência necessária, outros aspectos do problema, tais como su-perdimensionamento do motor, teriam importância secundária. Porém, com o custo da energia elé-trica se tornando cada vez maior, principalmente nas regiões onde ela é gerada a partir de combustí-veis fósseis, a preocupação dos engenheiros eletricistas com um melhor rendimento dos motores elétricos e, conseqüentemente, com uma correta escolha do motor para acionar uma determinada máquina, foi se tornando um ponto relevante no problema do acionamento industrial.

1 Eixo principal de uma máquina é o eixo através do qual ela recebe potência e conjugado do acionador. Ele pode estar acoplado ao eixo do acionador diretamente ou através de um sistema de transmissão.

2

Atualmente, a energia elétrica produzida no Brasil2 é consumida nos seguintes segmentos: 44% é para atender o consumo industrial, 27% é consumo residencial, 14% é consumo comercial e 15% outros setores. Cerca de 49% do consumo industrial é devido aos motores elétricos e também 37% do consumo comercial, o que dá um total de 26,74%. Se levarmos em conta que no consumo residencial há um grande número de motores que acionam aparelhos eletrodomésticos, podemos estimar que o consumo de energia elétrica anual no Brasil pelos motores representa cerca de 30% do total produzido. É, pois, importante que a técnica de escolher motores elétricos seja estudada e aplicada com critérios a fim de se evitar maiores desperdícios de energia.

Uma das maiores dificuldades que se coloca para o engenheiro eletricista ao lidar com o problema do acionamento é a de fazer uma escolha adequada do motor elétrico dentre os comerci-almente disponíveis. Não se trata de calcular um motor elétrico. Este é um problema do fabricante do motor. Trata-se de saber, a partir de informações e dados da máquina, do meio ambiente onde o motor será instalado e dos tipos de motores disponíveis, qual o mais adequado para realizar o acio-namento. Os dados e informações deverão permitir que o tipo de motor a ser escolhido atenda aos seguintes requisitos: • Fonte de alimentação do motor: tensão, freqüência, número de fases, etc. • Características do ambiente: temperatura, altitude, presença de vapores e gases, etc.

• Características da máquina: potência requerida, velocidade, tipo de máquina, regime de operação, etc

O quadro 1.01 mostra a “família” dos motores elétricos a partir da qual um dos tipos deverá ser escolhido. A área de aplicação dos motores elétricos que mais apresenta problemas é a área industrial ou as grandes instalações comerciais de condicionamento de ar e refrigeração. Nestas, predomina a fonte de alimentação em corrente alternada (CA) trifásica. Em algumas situações especiais vamos encontrar acionamentos industriais feitos por motores monofásicos ou, mais raramente, por motores de corrente contínua (CC), estes, principalmente em instalações industriais mais antigas. Os moto-res de CC têm sido utilizados, ao longo do tempo, nas plantas industriais, nas aplicações em que se deseja um controle eficiente de velocidade. Os motores com excitação de campo em derivação são especialmente empregados com esta finalidade. Porém, os progressos obtidos com a eletrônica de potência que permitem sejam hoje fabricados conversores estáticos de alta capacidade e confiabili-dade para fazer o controle de velocidade de motores de indução de rotor em gaiola, serão certamen-te opções mais atraentes do que o uso de motores de CC. Os motores de indução, em especial os de rotor em gaiola, possuem diversas vantagens em comparação com os motores de CC:

• Maior robustez que lhes permite operar em temperaturas mais elevadas e alta velocidade por períodos prolongados sem manutenção.

• Menor custo comparado com o motor de CC de mesma potência e velocidade. • Menor peso do rotor, cerca de metade do peso do rotor de CC de mesma potência e velo-

cidade, conseqüentemente, menor efeito de inércia. • Não apresentam as limitações de corrente e tensão devidas ao processo de comutação me-

cânica presente na operação dos motores de CC.

2 Dados obtidos da publicação “Motor de Alto Rendimento” da ELETROBRÁS/PROCEL & CEPEL, agosto de 1998. O consumo anual de energia elétrica no Brasil é 262,52 TWh.

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MOTORES ELÉTRICOS CORRENTE Motor CORRENTE ALTERNADA Universal CONTÍNUA • Imã permanente • Campo série • Campo derivação • Campo composto

Motores Motores Monofásicos Trifásicos

Indução Síncrono Indução Síncrono • Rotor em • Histerese • Rotor em • Imã per- gaiola • Imã per- gaiola manente • Rotor manente • Rotor • Rotor bobinado • Relutância bobinado bobinado • Relutância

Quadro 1.01 - Família dos motores elétricos

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Os motores de grande potência (acima de 1000 CV) e tensão elevada (acima de 2200 volts) são motores especiais, isto é, eles são fabricados sob encomenda e sua potência não é padronizada.

Os motores de CC são extensamente empregados na tração elétrica. Os trens metropolitanos, os grandes caminhões “fora-de-estrada” e os “trolleybuses” utilizam, como principais acionadores, motores de CC com excitação série por possuírem um elevado conjugado de partida. Os motores síncronos são muito aplicados em acionamentos de máquinas que requerem grande potência ou naquelas aplicações em que a velocidade da máquina deve ser mantida constante em qualquer condição de carga. O fato de poderem funcionar superexcitados e, com isto, fornecer energia reativa para a instalação industrial para fins de melhoria do fator de potência, também re-comenda sua aplicação em algumas situações.

A figura 1.01 mostra um quadro sinóptico da aplicação dos motores de indução e síncronos, em função da potência (CV) e velocidade (RPM), onde se pode notar a supremacia absoluta dos motores de indução de qualquer potência para os motores de alta velocidade (2 e 4 pólos em 60 Hz.)

1000

CV Motores síncronos

800

500 Motores de indução ou Motores síncronos 200 100 Motores de indução 3600 1800 1200 900 720 600 514 450 360 327 300 RPM

Fig. 1.01 - Quadro sinóptico de aplicação de motores de indução e síncronos

Os motores de indução trifásicos são os mais utilizados industrialmente e, dentre eles, o de rotor em gaiola, cujo campo de aplicação se estende, praticamente, a todo tipo de acionamento. A sua robustez, baixo custo, simplicidade operacional e de manutenção, o tornam preferido para acio-nar máquinas de qualquer potência. Sua principal limitação, que residia no fato de ele ser um motor de velocidade praticamente constante, isto é, não proporcionar condições de um eficiente controle de velocidade, está sendo hoje superada pelo uso extensivo de inversores estáticos de freqüência para fazer este tipo de controle. Os motores de rotor bobinado ou de anéis são utilizados em aplica-ções onde se deseja manter um elevado conjugado de aceleração, como por exemplo na operação de pontes rolantes.

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Por todas estas razões, vamos concentrar nosso estudo em acionamentos feitos pelos moto-res de indução. Porém, os conceitos que serão estabelecidos poderão ser aplicados aos demais tipos de motores, adaptando o que for necessário. Quando se vai fazer a escolha de um motor para realizar o acionamento de uma determinada carga, uma das primeiras providências é verificar se a característica conjugadoxvelocidade do mo-tor atende aos requisitos exigidos pela característica da carga acionada. O comportamento do mo-tor durante os períodos transitórios de partida, de frenagem ou de variação da velocidade depende de como os conjugados do motor e da máquina acionada variam com a velocidade. É necessário estudar estas características de modo a se fazer uma seleção correta e econômica do motor. Vamos iniciar nosso estudo pelas características do motor de indução. Em seguida, estuda-remos as características típicas das máquinas acionadas. 1.2) CARACTERÍSTICAS DE CONJUGADOxVELOCIDADE DO MOTOR DE INDUÇÃO 1.2.1 – CIRCUITO EQUIVALENTE DO MOTOR DE INDUÇÃO

O rotor do motor de indução gira a uma velocidade n menor do que a velocidade ns do cam-po magnético girante do estator. A velocidade ns do campo magnético girante do estator está rela-cionada com a freqüência da rede e o número P de pólos do motor através da seguinte equação:

PfnPnf s

s 11

120120

=∴= [1.01]

A diferença entre as duas velocidades é chamada escorregamento. Devido ao escorregamen-to, um campo magnético girante é induzido no enrolamento do rotor e, da interação entre os dois campos magnéticos, resulta o conjugado eletromagnético do motor que o faz girar. O escorrega-mento é tomado sempre em valores percentuais ou em pu da velocidade síncrona, ou seja:

( snnn

nns s

s

s −=∴ )−= 1 [1.02]

Nas equações [1.01] e [1.02] a letra n representa a velocidade do motor em RPM. Em muitas equações que serão apresentadas mais adiante a velocidade será dada em radianos por segundo e representada pela letra grega ω. A relação entre as duas grandezas é dada pela equação [1.03].

602 nπω = [1.03]

A curva característica conjugadoxvelocidade de um motor de indução é a representação gráfica da relação entre o conjugado mecânico interno3 desenvolvido pelo motor e a velocidade correspondente. Em lugar da velocidade, pode-se usar o escorregamento como variável, pois esta grandeza está relacionada com a velocidade, conforme mostra a equação [1.02]. A equação [1.10]

3 A diferença entre o conjugado mecânico interno e o conjugado eletromagnético é que este último inclui um conjugado fictício associado às perdas jóulicas do rotor além do conjugado mecânico interno. Somente este último e o conjugado útil disponível no eixo é que são grandezas mecânicas.

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explicita essa relação em função dos parâmetros do circuito equivalente segundo o modelo baseado no teorema de Thévénin 4.

A figura [1.02] mostra o circuito equivalente completo correspondente a uma fase de um motor de indução a partir do qual a característica de conjugado foi deduzida.

B

X1 R1

Rw Xm V1 E1

I1 I2 A

Io

R2 X2

( )ss

R−12

Figura 1.02 - Circuito equivalente completo de um motor de indução para uma fase.

As letras e símbolos têm os seguintes significados: V1 = tensão por fase aplicada a uma fase do enrolamento do estator. E1 = tensão induzida pelo fluxo girante em uma fase do enrolamento do estator. I1 = corrente do estator. R1 = resistência ôhmica de uma fase do enrolamento do estator. X1 = reatância de dispersão de uma fase do enrolamento do estator. Rw = resistência equivalente às perdas magnéticas do estator, para uma fase. Xm = reatância de magnetização. I0 = corrente a vazio. Iw = corrente que passa por Rw, que produz as perdas magnéticas do estator(não indicada na figura) Im = corrente magnetizante que passa por Xm que produz o campo magnético(não indicada na figura) R2 = resistência de uma fase do enrolamento do rotor, referida ao estator. X2 = reatância de dispersão de uma fase do rotor, referida ao estator. I2 = corrente do rotor, referida ao estator. A resistência Rw do circuito equivalente da figura 1.02 é sempre desprezada na solução dos problemas práticos pois o seu valor é muito grande comparado com a reatância Xm, isto é, a impe-dância entre os pontos A e B é praticamente igual à reatância Xm. Porém, as perdas magnéticas cor-respondentes a ela não são desprezadas. Elas são somadas às perdas mecânicas e a soma resultante constitui as perdas rotacionais a vazio do motor. A figura 1.03 mostra o circuito equivalente sem a resistência Rw.

Basicamente, o que se pretende com o circuito equivalente é determinar as grandezas opera-cionais do motor tais como potência de entrada, potência de saída, conjugado útil, etc. Para isto, é essencial o cálculo da corrente I2 do rotor. Há dois métodos para resolver o circuito equivalente que, resumidamente, são os seguintes:

4 Ver o assunto sobre circuito equivalente no capítulo VII do livro Máquinas Elétricas, de A. E. Fitzgerald; Charles Kingsley Jr; Alexander Kusko; Editora Mc Grawhill do Brasil

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a) Método clássico: substituindo o circuito do rotor da figura 1.03 por uma impedância e-

quivalente composta da reatância Xm em paralelo com a impedância do rotor 22

2 jXs

RZ += . Esta

impedância se soma à impedância do estator dando como resultante a impedância total do motor para o escorregamento estabelecido, percorrida pela corrente I1 do estator.

b) Método de Thévénin: aplicando o teorema de Thévénin ao circuito equivalente, isto é, substituindo o circuito do estator por uma impedância equivalente composta da reatância magneti-zante Xm em paralelo com a impedância do estator 111 jXRZ += . Esta impedância, chamada impe-dância de Thévénin, se soma à impedância do rotor dando como resultante a impedância total do motor para o escorregamento estabelecido, percorrida pela corrente I2 do rotor.

Fig. 1.03 – Circuitos equivalentes do motor de indução sem a resistência Rw

Quando se aplica ao circuito equivalente da figura 1.03 o teorema de Thévénin, obtem-se um

circuito equivalente conforme o da figura 1.04 o qual, simplifica o cálculo da corrente rotórica, sem perder a precisão, e ressalta as relações entre conjugado e potência.

R1 X1 R2 X2

( )ss

R−12

Xm

I2 I1

E1

Im

V1

A

RTh XTh R2 X2

( )ss

R−12

I2 I2

VTh

B

A

B

Fig. 1.04 – Circuito equivalente segundo o modelo Thévénin

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Os pontos A e B na figura 1.03, dividem o circuito equivalente em duas partes: à esquerda, o circuito do estator e à direita, o do rotor. Para se obter a tensão de Thévénin, os pontos A e B são abertos, o que significa fazer I2 = 0 e, em seguida, se calcula a tensão VTh que será dada pela equa-ção [1.04].

( )m

mTh XXjR

jXVV

++=

111 [1.04]

A impedância do estator equivalente de Thévénin, ThThTh jXRZ += , é a impedância entre os

terminais A e B da figura 1.03, com a fonte de tensão V1 curto-circuitada, igual a R1 + jX1 em parale-lo com jXm.

As seguintes premissas são admitidas na solução dos problemas a partir do circuito equiva-lente: • As tensões e correntes presentes na operação do motor são consideradas senoidais.

• A distribuição espacial do campo magnético girante ao longo do entreferro do motor é considerada senoidal. • As perdas magnéticas do rotor são desprezadas. • Todas as resistências e reatâncias são consideradas constantes.

• O conjugado mecânico interno traz embutido o conjugado associado às perdas rotacionais a vazio. Para se ter o conjugado útil disponível no eixo do motor deve-se subtrair do conjugado mecânico interno, dado pelas equações [1.08] ou [1.10], o valor do conjugado associado às perdas rotacionais a vazio. Conforme podemos observar pelo circuito equivalente, a potência que é transferida do esta-tor para o rotor, através do campo magnético do entreferro, chamada potência eletromagnética Pem,, divide-se em duas parcelas: uma, é transformada em calor na resistência R2 do rotor e a outra, na

resistência s

sR −12 , é equivalente à potência mecânica interna, na seguinte proporção5:

2221

2221

22

21 1 Is

sRmIRmIsRmPem

−+== [1.05]

A menor parcela será:

22221 jem PsPRIm ∆== [1.06]

onde chamamos de ∆Pj2 a perda elétrica do rotor. A maior parcela será:

( ) ( ) miem PPsIs

sRm =−=− 11 2

221 [1.07]

onde Pmi representa a potência mecânica interna do motor. A potência mecânica útil disponível no eixo será obtida subtraindo de Pmi as perdas rotacionais a vazio. A potência nominal do motor que vem indicada na sua placa de identificação se refere à potência mecânica útil disponível no eixo.

5 Foi introduzida a letra m1 para designar o número de fases do motor. m1 = 3 para motores trifásicos.

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A expressão do conjugado mecânico interno Cmi será obtida dividindo-se a equação [1.07] pela velocidade do motor, ou seja:

( )

( )22

21

2221

1

1

Is

Rms

Is

sRmPC

ss

mimi ωωω

=−

−

== [1.08]

Na expressão [1.08], se a potência for medida em watts e ωs em radianos por segundo, Cmi será obtido em Nm. A corrente I2 será obtida a partir do circuito equivalente através da seguinte expressão:

( )22

2

XXjs

RR

VI

ThTh

Th

++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

= [1.09]

Substituindo a equação [1.09] na equação [1.08], obteremos a expressão do conjugado me-cânico interno do motor em função dos parâmetros do seu circuito equivalente:

( )22

22

221

XXs

RR

Vs

RmC

ThTh

Th

smi

++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⋅=ω

[1.10]

A representação gráfica desta equação pode apresentar variadas configurações, dependendo principalmente da constante R2. A figura 1.05 mostra uma curva característica típica de um motor de indução trifásico, rotor em gaiola, categoria N6. No eixo das abscissas são tomados, ou os valores do escorregamento, ou os da velocidade do motor, em geral, em porcentagem ou pu da velocidade síncrona. No eixo das ordenadas são tomados os valores do conjugado, em geral, em porcentagem ou em pu do conjugado nominal. Além da característica do conjugado, a figura mostra também a característica mecânica de uma máquina que o motor está acionando. Trata-se, no caso, do ramo de uma parábola, característica típica das bombas centrífugas, como se verá mais adiante. Podemos distinguir na característica os seguintes pontos notáveis:

• Conjugado de partida ou conjugado com rotor bloqueado, Cp: é o conjugado que o motor desenvolve no momento em que ele é ligado a uma rede de tensão e freqüência nominais, com o rotor parado. O seu valor pode ser obtido fazendo-se na equação [1.10] o escorregamento igual a 1. O conjugado de partida pode assumir valores da ordem de 2 a 3 vezes o conjugado nomi-nal para motores de pequena e média potência, diminuindo para valores inferiores a 2 para os moto-res de maior potência e maior número de pólos. • Conjugado mínimo, Cmin: é o menor valor que o conjugado assume durante o período de aceleração, representado pelo ponto mais baixo da característica, entre a velocidade zero e a veloci-dade correspondente ao conjugado máximo, sob tensão e freqüência nominais. É um valor impor- 6Os motores de indução trifásicos de rotor em gaiola são classificados pela NBR-7094 nas categorias N, H e D, de acor-do com os valores de seu escorregamento nominal, conjugado de partida e corrente de partida. Para cada uma destas categorias resulta uma característica típica de conjugado × velocidade, como se verá mais adiante.

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tante de se conhecer, principalmente quando são usadas chaves redutoras de tensão para dar a parti-da no motor (estrela-triângulo, autotransformadora, chaves estáticas, etc).

figura 1.05 - Curva característica típica de um motor de indução de rotor em gaiola de categoria N • Conjugado máximo ou conjugado crítico, Cm: é o máximo valor de conjugado que o motor pode desenvolver durante a sua operação. Ele divide a curva característica em duas regiões distintas: a primeira, chamada região estável, compreendida entre o conjugado máximo e o conju-gado nulo (s = 0); a segunda, chamada região instável, compreendida entre o conjugado máximo e o conjugado de partida. O motor trabalha em suas condições normais na região estável, no ponto de encontro das curvas características do motor e da máquina acionada. Enquanto o motor trabalhar nesta região, seu funcionamento será estável, isto é, a toda variação do conjugado da máquina acio-nada corresponderá uma variação do conjugado motor no mesmo sentido. Porém, se por qualquer razão o conjugado da máquina acionada aumenta seu valor e ultrapassa o valor do conjugado má-ximo do motor, mesmo que momentaneamente, o motor não terá como equilibrar este aumento com um aumento do seu conjugado. À medida que o conjugado da máquina faz aumentar o escorrega-mento, o conjugado do motor diminui e ele entra num processo de desaceleração até parar. Por este motivo, Cm recebe também o nome de conjugado crítico e o escorregamento correspondente é cha-mado de escorregamento crítico. O valor do conjugado crítico determina a capacidade momentânea de sobrecarga mecânica do motor. Quando ele é tomado em pu do conjugado nominal, que é o caso normal, recebe o nome de Fator de Sobrecarga Mecânica e é representado na literatura técnica pela letra grega λ. O valor do conjugado máximo pode ser obtido através da equação [1.12], originada da equação [1.10] quando se faz s igual a sm, sendo sm dado pela equação [1.11]. O conjugado máximo assume valores da ordem de 2 a 3 vezes o conjugado nominal.

( )22

2

2

XXR

Rs

ThTh

m++

= [1.11]

11

( ) ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +++

=2

22

21

2 XXRR

VmC

ThThThs

Tthm

ω [1.12]

• Conjugado nominal ou de plena carga, Cn: é o conjugado que o motor desenvolve na sua condição nominal de operação, isto é, com tensão e freqüência nominais aplicadas aos terminais do motor, ele gira à velocidade nominal, fornecendo a potência nominal no seu eixo. Se na equação [1.10] se fizer s = sn, vamos obter o valor do conjugado nominal mecânico interno, isto é, incluindo o conjugado associado às perdas rotacionais a vazio. Os catálogos dos fabricantes fornecem o con-jugado nominal útil, disponível no eixo, do qual já foi subtraído o conjugado associado às perdas rotacionais a vazio. Da mesma forma, os valores de Cp e Cm, que são dados em porcentagem ou em pu deste valor. Se fosse traçada uma curva característica com estes valores de catálogo, ela seria praticamente a mesma da obtida pela equação [1.10]. Daqui por diante, a menos que seja dito o contrário, ao nos referirmos a conjugados desenvolvidos pelo motor, estaremos considerando sem-pre os conjugados úteis disponíveis no eixo. Por exemplo, os conjugados máximos e de partida são dados em pu ou em porcentagem, tomando-se o conjugado nominal útil disponível no eixo como conjugado base.

1.2.2 – CATEGORIAS DOS MOTORES DE INDUÇÃO DE ROTOR EM GAIOLA A equação [1.10] mostra que o valor do conjugado se altera quando as constantes do circuito equivalente se alteram, em especial a resistência do rotor. Nos motores de rotor bobinado, por e-xemplo, é relativamente fácil aumentar a resistência rotórica introduzindo segmentos de resistências em série com R2 por meio de um reostato. Com isto, a característica do conjugado se desloca na direção do eixo das ordenadas, obtendo-se valores maiores de conjugado de partida. No caso dos motores de rotor em gaiola isto, obviamente, não é possível. Para atender as exigências de conjugado requeridas pela máquina acionada, os motores de rotor em gaiola são fa-bricados com diferentes tipos de gaiola, o que equivale dizer, com diferentes valores de resistência rotórica. Se de um lado, ao se projetar um motor com alta resistência rotórica, o conjugado de parti-da aumenta, de outro lado, as perdas jóulicas do rotor também aumentam durante a operação nor-mal. Há de se buscar, portanto, uma solução de compromisso no projeto do motor de modo a aten-der estas exigências conflitantes. Como exemplo, o motor de dupla gaiola ou de barras profundas resolve, dentro de certos limites, este problema: possui alta resistência na partida devida ao efeito pelicular da corrente do rotor e uma resistência normal durante a operação em regime contínuo quando o efeito pelicular cessa.

A NBR-7094, norma brasileira que fixa os requisitos básicos a serem atendidos pelos moto-res de indução, estabelece o que ela denomina de categoria dos motores de indução trifásicos de rotor em gaiola à qual estão associadas as grandezas conjugado de partida, conjugado mínimo e conjugado máximo que, por sua vez, dependem do valor da resistência rotórica. Estas categorias receberam as designações N, H e D e as características de conjugado típicas correspondentes estão mostradas na figura 1.06. As configurações dependem do valor da resistência rotórica. Assim, por exemplo, um motor de categoria D possui uma resistência rotórica maior do que os de mesma po-tência e número de pólos das demais categorias, sendo o de categoria N o de menor resistência.

Ainda segundo a NBR-7094, para que os motores sejam classificados em cada uma das ca-tegorias acima, eles devem satisfazer a valores mínimos de conjugado de partida, conjugado máxi-mo e conjugado mínimo, conforme tabelas estabelecidas e aceitas em comum acordo por todos os

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fabricantes7. Esta classificação dos motores em categorias é válida para motores de fabricação seri-ada, tensão até 600 V e com limite de potência e número de pólos. Os grandes motores especiais, de tensão e potência superiores aos valores normalizados pela NBR-7094, também podem nela se en-quadrar de acordo com os valores de seus conjugados.

Fig. 1.06 – Características típicas de motores de categorias N,H e D De uma maneira geral, podemos dizer que os motores de categoria N devem ser usados no acionamento de cargas que possuem um baixo conjugado resistente na partida, tais como bombas centrífugas, ventiladores, exaustores, etc. Estes motores possuem um baixo conjugado de partida comparado com as duas outras categorias. Os motores de categoria D são ideais para o acionamento de cargas de grande impacto tais como as prensas ou máquinas de corte que exigem um elevado conjugado durante a sua operação e que operam em regimes intermitentes. Os motores de categoria H são aplicados em situações intermediárias entre a categoria N e D e são muito usados no aciona-mento de ventiladores de grande potência e elevada inércia. Os motores de dupla gaiola ou de bar-ras profundas são exemplos típicos de motores desta categoria. Além das características mecânicas de conjugado em função da velocidade, típicas dos mo-tores de indução, indicadas nas figuras 1.05 e 1.06, há outras características que mostram a variação das grandezas presentes na operação do motor (corrente, rendimento, rotação e fator de potência) em função da carga no eixo (ver figura 1.06a). Como se pode observar, entre aproximadamente 70 e 100% da carga, os valores de rendi-mento η do motor decrescem muito pouco. Porém, a partir de 100% de carga, as perdas jóulicas que representam cerca de 70% da perda total do motor aumentam significativamente fazendo com que o rendimento diminua mais rapidamente. Por outro lado, a curva do fator de potência, cos ϕ, apresen-ta sempre valores crescentes. Estas variações em sentidos opostos do rendimento e do fator de po-tência fazem com que o produto ϕη cos× permaneça praticamente constante, para uma tensão cons-tante, o que nos permite, em termos práticos, considerar a potência do motor diretamente propor-cional à corrente entre aqueles limites de carga.

7 Ver a citada NBR-7094, edição de dezembro1996.

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Por outro lado, a velocidade do motor diminui com o aumento da carga. O conjugado resis-tente correspondente, como vimos anteriormente, não deve ultrapassar o valor do conjugado máxi-mo, pois este valor sendo ultrapassado o motor entra em processo de desaceleração ou será desliga-do pela proteção térmica. Em outras palavras, o motor só pode operar na região estável de sua ca-racterística de conjugado.

Fig. 1.07a - Características típicas dos motores de indução trifásicos de rotor em gaiola 1.2.3 – VALORES MÉDIOS DAS CARACTERÍSTICAS DE CONJUGADO

Muitos problemas de acionamento, tais como o cálculo do tempo de aceleração do motor, podem ser resolvidos com a utilização do valor médio do conjugado desenvolvido pelo motor du-rante o período de partida até ele atingir a sua condição nominal. Ele será designado por Conjugado Motor Médio e representado por Cmm. O seu valor é dado pelas equações [1.13] para os motores das categorias D e [1.14] para os de categoria N e H.

C Cmm p= 0 60, [1.13]

( )C Cmm p m= +0 45, C [1.14] Cp e Cm representam, respectivamente, o conjugado de partida e o conjugado máximo do motor.

A figura 1.07 mostra o significado do conjugado médio motor para uma característica típica de um motor de categoria N. Para que Cmm (na figura, Cm) seja considerado o valor médio dos con-jugados durante o período de aceleração, as áreas formadas devem guardar a seguinte relação:

3. Em outras palavras, durante a partida do motor, pode-se considerar que a curva carac-terística de conjugado do motor formada por valores variáveis pode ser substituída pelo segmento de reta C

A A A1 2+ =

mm de valor constante. As expressões [1.13] e [1.14] são obtidas experimentalmente. Além do conjugado médio motor, a figura mostra também o significado do Conjugado Re-sistente Médio, Crm (na figura, Cl), ou seja, o segmento de reta Crm é o valor médio dos valores que o conjugado resistente de variação parabólica assume entre 0 e n quando a área B1 é igual à área B2. Seu valor será calculado na seção seguinte.

14

Fig. 1.07 – Conjugado médio motor 1.3) CARACTERÍSTICAS MECÂNICAS TÍPICAS DAS MÁQUINAS 1.3.1 – EQUAÇÃO GENÉRICA DOS CONJUGADOS DAS MÁQUINAS Para uma máquina realizar o trabalho para o qual ela foi construída é necessário que ela seja acionada, isto é, receba no seu eixo principal um conjugado mecânico de um órgão acionador. Este conjugado mecânico equilibra o conjugado desenvolvido pela máquina, chamado conjugado resis-tente e que se opõe ao conjugado fornecido pelo órgão acionador. O conjugado resistente da máquina é composto de duas parcelas: a primeira, que chamare-mos de conjugado útil, Cu, isto é, o conjugado que ela desenvolve ao realizar o trabalho para o qual foi construída; a segunda, é o conjugado originário do atrito entre as partes móveis e fixas da má-quina, que se transforma em perdas, chamado de conjugado de atrito Co. Podemos escrever:

uor CCC += [1.15]

Como o conjugado resistente é devido ao movimento que a máquina realiza, podemos afir-mar que existe uma relação entre esse conjugado e a velocidade do eixo principal da máquina. Esta relação recebe o nome genérico de característica mecânica e pode ser representada, graficamente, por retas ou algumas curvas típicas, dependendo de como o conjugado útil varia com a velocidade do eixo principal da máquina. Apesar de existir uma variedade imensa de máquinas, podemos agru-par as suas características mecânicas em uma única equação empírica geral [1.16] que se aplica, com particularidades, a todas elas.

xrur KCCCC ω+=+= 00 [1.16]

Nesta equação,ω representa a velocidade do eixo principal da máquina, x um coeficiente ex-

ponencial que caracteriza a variação do conjugado útil com a velocidade. Kr é uma constante, que depende do tipo de máquina, que poderá ser calculada da seguinte forma: quando a velocidade da máquina for a nominal, ωn, o conjugado resistente que ela desenvolve é o nominal, Crn. Podemos então escrever:

15

xn

rnr

xnrrn

CCKKCCω

ω 00

−=∴+= [1.17]

O campo de variação do coeficiente x vai de -1 a 2, podendo neste intervalo assumir valores

inteiros ou fracionários. Há casos raros de máquinas em que o coeficiente x é maior do que 2. Na realidade, quando atribuímos a x valores inteiros -1, 0, 1 e 2, estamos obtendo configurações típicas da equação [1.16] para as quais as características mecânicas das máquinas reais se aproximam mais ou menos. O conjugado C0, como já foi dito, é devido ao atrito das partes fixas e móveis da máqui-na que, pela sua natureza, é independente da velocidade. Nas seções seguintes, vamos estabelecer as características mecânicas típicas, teóricas, dadas pela equação [1.16], identificando para cada uma as máquinas cujas características mecânicas reais delas mais se aproximam.

1.3.2) CARACTERÍSTICA MECÂNICA CONSTANTE COM A VELOCIDADE Se fizermos na equação [1.16] x = 0, resultará a equação [1.18], ou seja:

rnrr CKCC =+= 0 [1.18]

tambor Cr de aço

d = 2r F Crn

C0 + Kr

G v (m/s)

0 ω (a) (b)

Figura 1.08 Guincho ou talha simples e sua característica mecânica

O conjugado útil que a máquina desenvolve é constante com a velocidade do seu eixo prin-

cipal e igual a Kr. Somado ao conjugado de atrito é igual ao seu conjugado nominal, se a máquina estiver operando na condição nominal. Obviamente, se ela estiver operando em outra condição dife-rente da nominal, o conjugado que ela está desenvolvendo será diferente do nominal, mas sua natu-reza será a mesma, isto é, continuará a ser constante com a velocidade.

Dentre as máquinas cujas características se enquadram na equação [1.18] estão os sistemas de elevação dos guindastes, pontes rolantes, talhas, gruas, guinchos, correias transportadoras e todas as máquinas cujo conjugado útil é devido ao atrito. A figura 1.08a representa, simplificadamente, um sistema de elevação de um guincho ou talha simples constituído por um tambor sobre o qual se enrola um cabo de aço que eleva o peso G. A figura 1.08b mostra a característica mecânica correspondente.

16

O tambor está acoplado ao eixo de um motor através de um redutor não representado na fi-gura. O conjugado útil que o motor “enxerga” é igual a Fr para qualquer velocidade v de elevação do peso G, isto é, para qualquer velocidade ω do motor. As correias transportadoras que carregam um volume constante de material por unidade de comprimento se enquadram nesta característica porque o seu trabalho útil se faz através do atrito da correia com o cilindro acionador acoplado ao motor.

1.3.3) CARACTERÍSTICA MECÂNICA LINEAR CRESCENTE COM A VELOCI-DADE

Se fizermos na equação [1.16] x = 1, resultará a seguinte equação para a característica me-

cânica: ωrr KCC += 0 [1.19]

Esta é a equação de uma reta que passa pelo ponto (Cr = C0; ω = 0), com uma determinada inclinação, conforme mostra a figura 1.09. O conjugado útil varia linearmente com a rotação. Den-tre os tipos de máquinas cujas características se enquadram nesta equação podem ser citadas as ca-landras para conformar chapas de aço, moinhos de rolos, alguns tipos de plainas e outras. O gerador de corrente contínua com excitação separada ou em derivação é um exemplo de máquina elétrica que se enquadra nesta característica.

Cr Cr

C0 C0 0 ω 0 ω Fig.1.09 - Característica linear crescente Fig. 1.10 - Característica parabólica

1.3.4) CARACTERÍSTICA MECÂNICA PARABÓLICA COM A VELOCIDADE.

Para x = 2, a equação [1.16] toma a seguinte forma:

20 ωrr KCC += [1.20]

A equação [1.20] é a de uma parábola que corta o eixo dos conjugados no ponto (Cr = C0;ω

=0). A figura 1.10 mostra apenas o ramo da parábola no primeiro quadrante onde a velocidade do motor é considerada positiva. Vê-se que o conjugado útil varia com o quadrado da velocidade. Uma grande variedade de tipos de máquinas industrial possui características mecânicas que se enquadram nesta equação: bombas centrífugas, compressores centrífugos, todos os tipos de ventiladores (héli-ces, exaustores, sopradores de ar) e outras.

17

1.3.5) CARACTERÍSTICA MECÂNICA HIPERBÓLICA COM A VELOCIDADE Fazendo, agora, x = -1 na equação [1.16] ela tomará a seguinte forma:

ωω r

rrKCKCC +=+= −

01

0 [1.21]

Esta é a equação de uma hipérbole conforme mostra a figura 1.11. O conjugado útil varia in-

versamente com a velocidade do eixo principal da máquina. As bobinadeiras de papel ou de chapas de aço (semelhantes na sua operação às fitas de vídeo ou cassete), constituem o exemplo clássico das máquinas cujas características mecânicas satisfazem à equação [1.21].

Cr

C0

0 ω1 ω2 velocidade

Figura 1.11 - Característica não linear decrescente (hiperbólica)

Outras máquinas que podem ser citadas como exemplos são as máquinas de furar, serras de

fita ou serras de disco para madeiras e outras. Como se pode observar pela equação [1.21], se n = 0, o conjugado seria, teoricamente infinito; se ω = ∞, o conjugado seria C0. Tais condições, obviamen-te, a máquina não atinge. Por isto, para este tipo de máquina, a sua característica mecânica é anali-sada entre dois valores limites ω1 e ω2, conforme mostra a figura 1.11.

1.3.6) VALORES MÉDIOS DAS CARACTERÍSTICAS MECÂNICAS Em muitos problemas de acionamento é necessário conhecer o valor médio equivalente das

características mecânicas das máquinas para resolvê-los. Para acharmos este valor que designare-mos por Conjugado Resistente Médio, Crm, referente a cada uma das características mecânicas típi-cas, vamos calcular a integral da equação [1.16], entre os limites ω1 e ω2, dividindo-a pela diferença correspondente aos limites de integração, como mostra a equação [1.22].

( )12

2

1

ωω

ωωω

ω

−

+=∫ dKC

Cx

ro

rm [1.22]

O resultado da integração é o indicado nas equações [1.23] e [1.24].

18

12

1

0

2

11

ωω

ωω

ω

ω

−

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+

=

+

xK

C

C

xr

rm [1.23]

∴

11

12

11

12

0 +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

+=++

xKCC

xx

rrm ωωωω

[1.24]

Quando a máquina é acelerada a partir do repouso até atingir a velocidade nominal, teremos ω1 = 0 e ω2 = ωn. A equação [1.24] se simplifica tornando-se a [1.25].

10 ++=

xKCC

xn

rrmω

[1.25]

O conjugado médio equivalente a cada uma das características mecânicas será designado por

Conjugado Resistente Médio e representado por Crm. O seu valor será obtido a partir das caracterís-ticas mecânicas de cada tipo de máquina fazendo na equação [1.25] x = 0,1,2 e –1 e substituindo o valor de Kr dado pela equação [1.17]. Teremos, então, para cada tipo de máquina os seguintes valo-res: • x = 0 ⇒ Característica constante: C C K Crm r rn= + =0 [1.26]

• x = 1 ⇒ característica linear crescente: 20

0rn

rrmCC

KCC+

=+= ω [1.27]

•x= 2 ⇒ Característica parabólica: 30

02

0CC

CKCC rnrrm

−+=+= ω [1.28]

• x = -1 ⇒ Característica hiperbólica. Neste caso resultaria um valor infinito para o conju-gado resistente médio o que não faria sentido físico. Conforme afirmado anteriormente, esta carac-terística deve ser analisada entre dois valores n1 e n2. O valor médio será obtido conforme a equação [1.29] abaixo sendo Kr dado pela equação [1.17]:

1

2

1212

ln

2

1

ωω

ωωωω

ωω

ω

ω

−=

−=∫

r

r

rmKdK

C [1.29]

Em todas as equações acima C0 representa o conjugado de atrito e Crn o conjugado resistente nominal.

1.3.7) CARACTERÍSTICA DE POTÊNCIA REQUERIDA PELA MÁQUINA

19

Como sabemos, (ver equação 1.08), a potência e o conjugado desenvolvidos no eixo de um motor ou de uma máquina que gira à velocidade ω radianos por segundo, estão relacionados entre si através da seguinte relação:

ωω PCCP =∴= [1.30]

onde C é o conjugado existente no eixo, em Nm; P a potência mecânica fornecida ou consumida no eixo, em watts; ω é a velocidade mecânica do eixo em rad/s. Outras formas da equação [1.30] em unidades usuais são as seguintes:

[ ] [ ][ ]rpmn

cvPkgfmC 716= [ ] [ ][ ]rpmnkWPkgfmC 973= [ ] [ ]

[ ]rpmnkWPNmC 9550= [1.30a]

Se multiplicarmos as equações das características mecânicas dos diversos tipos de máquinas

pela velocidade n do seu eixo principal, estaremos determinando as equações das potências que elas requerem naquele eixo, de acordo com a equação [1.30]. Serão obtidas as seguintes equações:

Da equação [1.35]: ( )ωrr KCP += 0 ; (curva a da figura 1.12) [1.31.a] Da equação [1.36]: ( )ωωrr KCP += 0 ; (curva b da figura 1.12) [1.31.b] Da equação [1.37]: ( )ωω 2

0 rr KCP += ; (curva c da figura 1.12) [1.31.c]

Da equação [1.38]: ωω

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += r

rKCP 0 ; (curva d da figura 1.12) [1.31d]

Pr d a c b

0 ω Figura 1.12 - Características de potência requeridas pelas máquinas

Vê-se, portanto, que a potência útil requerida pelas máquinas varia, com a velocidade, um

grau acima da característica de conjugado útil correspondente, ou seja, uma máquina cuja caracte-rística de conjugado útil é constante com a velocidade dá origem a uma característica de potência útil requerida que varia linearmente com a velocidade; a característica de conjugado útil com varia-ção linear com a velocidade se transforma em uma característica de potência útil requerida com variação parabólica da velocidade, isto, é, a potência útil requerida varia com o quadrado da veloci-dade; a característica de conjugado útil de variação parabólica com a velocidade torna-se uma ca-racterística de potência útil requerida que varia com o cubo da velocidade; a característica de conju-

20

gado útil com variação hiperbólica com a velocidade origina uma característica de potência útil constante com a velocidade. A parcela correspondente ao conjugado de atrito variará sempre line-armente com a velocidade. As máquinas com característica mecânica parabólica crescente são das mais comumente utilizadas nas plantas industriais como exaustores, sopradores de ar, compressores centrífugos e bombas centrífugas. Estas, por exemplo, são equipamentos dos mais usados nas refinarias de petró-leo para movimentação dos produtos em todas as suas fases de produção. A potência que uma bom-ba centrífuga requer do acionador acoplado ao seu eixo pode ser obtida através da seguinte expres-são:

ηγQHPr = [1.32]

em que Pr é obtida em W, γ é a densidade do líquido bombeado em N/m3, Q a vazão da bomba em m3/s, H é a sua altura manométrica total em m e η o rendimento da bomba. 1.4) CONCEITOS FUNDAMENTAIS DO ACIONAMENTO

1.4.1) EQUAÇÃO FUNDAMENTAL DO ACIONAMENTO Quando o conjunto acionador e máquina se põe em movimento, aparecem dois tipos de con-jugados que podem ser diferenciados pelo seu modo de atuação: o primeiro tipo atua no sentido de propagar e sustentar o movimento e o segundo, atua no sentido de se opor a esta propagação e sus-tentação do movimento. Ao primeiro tipo, que se desenvolve no acionador, denominamos de conju-gado ativo ou conjugado motor; ao segundo, que se desenvolve na máquina acionada, denomina-mos de conjugado reativo ou resistente. O movimento do conjunto pode ser uniforme, se a velocidade n do eixo do motor for cons-tante, ou não uniforme, se ela for variável. O movimento uniforme ocorre, por exemplo, quando a máquina trabalha em regime contínuo na sua condição nominal. O movimento não uniforme ocorre em condições transitórias, isto é, durante a partida e aceleração, frenagem ou uma súbita variação da velocidade. Quando o movimento é não uniforme, o conjugado desenvolvido pelo motor deve equilibrar, além do conjugado resistente desenvolvido pela máquina, o conjugado inercial Ci devido à inércia das massas do conjunto que se põem em movimento. Este conjugado é também um conjugado rea-tivo, pois ele se opõe ao conjugado desenvolvido pelo motor tendendo a retardar o movimento, quando o motor está se acelerando, e a mantê-lo, quando o motor está desacelerando. Sua expressão é dada pela equação [1.34].

dtdJCiω

= [1.34]

onde J é o momento de inércia8 das massas que estão em movimento rotativo e dtdω representa a

aceleração. Qualquer que seja a condição operacional do conjunto, os conjugados presentes duran-te a operação devem estar em equilíbrio, isto é, o conjugado motor é igual à soma de todos os con-jugados resistentes. Este é o conceito fundamental sobre o qual se apóia toda a teoria do aciona-mento. A partir dele podemos estabelecer a equação fundamental do acionamento: 8O conceito de momento de inércia será apresentado na próxima seção e no APÊNDICE A, fim do presente capítulo.

21

dtdJCCCC rirω

+=+= [1.35]

onde C representa o conjugado útil desenvolvido pelo motor, disponível no seu eixo; J o momento de inércia de todas as massas em movimento, inclusive a massa do rotor do motor e Cr o conjugado resistente da máquina acionada dado por uma das equações [1.18] a [1.21].

A equação [1.35] parte do pressuposto de que o motor e a máquina acionada giram à mesma velocidade ω, ou seja, o acoplamento entre o motor e a máquina é um acoplamento direto, confor-me indica a figura 1.13. Na realidade, é muito comum a máquina acionada girar a uma velocidade diferente da do motor. Neste caso, devemos considerar um conjunto equivalente, semelhante ao da figura 1.13, em que o eixo AA é o mesmo para o motor e a máquina. Isto será sempre possível, co-mo se verá mais adiante.

A A . ω

J

ACOPL. C

Cr

MÁQUINA

MOTOR

Figura 1.13 - Conjunto motor máquina com acoplamento direto A equação [1.35] pode ser reescrita conforme a equação [1.36]:

dtdJCC rω

=− [1.36]

Enquanto na equação [1.35] está destacado o conjugado desenvolvido pelo motor, na equa-ção [1.36] o que aparece é a diferença entre os conjugados motor e resistente. Esta diferença poderá ser positiva (C>Cr), negativa (C<Cr) ou nula (C = Cr). No primeiro caso, significa que a derivada

dtdω é positiva, ou seja, a velocidade do motor aumenta no sentido considerado positivo. O motor

está se acelerando. Quando C<Cr, a derivada dtdω é negativa, ou seja, a velocidade do motor está

diminuindo (aumentando no sentido oposto ao considerado positivo). O motor está, então, se desa-celerando. Esta situação ocorre quando o motor é desligado e se aplica ou não algum tipo de frena-gem para fazê-lo parar. Podemos falar, por analogia com o caso anterior, que temos um conjugado

de desaceleração. Finalmente, quando rCC = , a derivada dtdω se anula, o que significa dizer que a

velocidade ω é constante. Neste caso, o motor está funcionando em uma condição de regime está-vel. O primeiro membro da equação é chamado conjugado de aceleração e será, doravante, re-presentado por Ca. Como se pode observar, este conjugado é, numericamente, igual ao conjugado

22

inercial. Porém, enquanto este é um conjugado reativo, o conjugado de aceleração é um conjugado ativo. Desta forma, podemos interpretar a equação [1.35] afirmando que o conjugado desenvolvido pelo motor é composto de duas parcelas: uma, que equilibra o conjugado resistente desenvolvido pela máquina e a outra, o conjugado de aceleração, que equilibra o conjugado inercial enquanto a velocidade do motor estiver variando

1.4.2) MOMENTO DE INÉRCIA Todo corpo que se põe em movimento acumula uma certa quantidade de energia chamada energia cinética. Esta energia acumulada resulta da reação que o corpo oferece à força externa apli-cada para tirá-lo do seu estado de repouso. Esta propriedade dos corpos de acumular energia cinéti-ca está associada à sua massa e é chamada de inércia. Quando se trata de um movimento linear, a energia acumulada é dada através da conhecida expressão [1.37]:

2

2mvEc = [1.37]

onde m é a massa do corpo (kg), v a velocidade de deslocamento (m/s) e Ec a energia cinética acu-mulada (joules). Quando o corpo está animado de um movimento rotativo em torno de um eixo, ocorre o mesmo fenômeno de acumulação de energia. Neste caso, a energia cinética acumulada está associa-da não apenas à massa do corpo, mas à maneira como ela se acha distribuída no corpo em relação ao eixo de rotação.

Quando um corpo gira ao redor de um eixo, sua massa, sob o ponto de vista dinâmico, se comporta como se ela tivesse se deslocado e se concentrado numa coroa circular de espessura infi-nitesimal, a uma determinada distância do eixo de rotação, denominada raio de giração representa-do por R. (Figura 1.14) Coroa com

espessura infinitesimal

m m • O rotação • O R

D = 2R

Figura 1.14 Raio de giração

A velocidade linear ou tangencial da massa m situada a uma distância R do eixo de rotação que gira a uma velocidade ω rad/s é igual a Rv ω= . Substituindo este valor de v na equação [1.37], vamos achar a energia cinética acumulada nesta massa m, agora, girando em torno de um eixo. Te-remos:

23

2602

22

2

222 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

===

nJJmREc

πωω

[1.38]

Aparece na equação [1.38] a grandeza mR2 que fizemos igual a J. Sendo o produto de uma massa pelo quadrado de uma distância, ela recebe o nome de momento de inércia dinâmico. O cál-culo do momento de inércia de um corpo é, às vezes, um problema complicado devido à necessida-de de se conhecer o seu raio de giração. Quando se trata de corpos de formas geométricas regulares tais como cilindros, esferas, cubos e outros, e o eixo de rotação coincide com o eixo de simetria destes corpos, o raio de giração pode ser calculado por meio de fórmulas matemáticas. Porém, quando os corpos possuem formas geométricas não regulares, que é o caso mais comum, o cálculo do raio de giração torna-se muito complexo e o momento de inércia tem de ser obtido através de outros meios tais como ensaios de fábrica. Alguns fabricantes de equipamentos rotativos, em lugar de usar a grandeza momento de i-nércia definida por J = mR2, preferem usar uma outra à qual dão o nome de momento de impulsão, mais conhecida pelo seu símbolo GD2, e que se relaciona com o momento de inércia J como segue:

gGDmRJ4

22 == [1.39]

onde G é o peso do corpo em N; g = 9,81 m/s2, a aceleração da gravidade; D = 2R, o diâmetro de giração em m. Se o peso do corpo for dado em kgf, que numericamente é igual à sua massa, e sendo N = 9,81 kgf, então o momento de inércia J será dado por:

4

2GDJ = [1.40]

As figuras 1.15 mostram as fórmulas para se calcular os diâmetros de giração de alguns vo-lumes conhecidos em função de suas dimensões principais, para um eixo de rotação coincidindo com seus respectivos eixos de simetria. h X d Y

2

22 dD =

Fig.1.15a – Cilindro maciço de diâmetro d e comprimento h

24

h

h

X Y d1 d2

2

22

212 ddD +

=

Fig.1.15b – Cilindro oco de diâmetro interno d1 e externo d2

X

X Y

h

d

d 22 4,0 dD = 22 3,0 dD = (c1) (c2)

Fig. 1.15c1– Esfera maciça de diâmetro d

Fig. 1.15c2 – Cone maciço de diâmetro da base d e altura h

X Y d1 d2

31

32

51

522 4,0

ddddD

−−

=

Fig. 1.15d - Esfera oca de diâmetro interno d1 e diâmetro externo d2

25

h d1 X Y d2

31

32

51

522 3,0

ddddD

−−

=

Fig. 1.15e - Tronco de cone maciço de diâmetros de base d1 e d2 e altura h entre as ba-

ses, com o eixo de rotação passando pelo seu centro.

1.4.3 ) MOMENTO DE INÉRCIA REFERIDO AO EIXO DO MOTOR O momento de inércia J que aparece nas equações [1.34] e seguintes supõe um modelo de conjunto em que máquina e motor giram à mesma velocidade. Quando a máquina gira a uma velo-cidade diferente da do motor, torna-se necessário referir o momento de inércia da máquina ao eixo do motor para que as equações possam ser aplicadas. Em outras palavras, trata-se de determinar como o momento de inércia da máquina é visto do lado do motor. A figura 1.16 mostra um conjunto em que os eixos da máquina e do motor giram a velocidades diferentes obtidas por meio de um re-dutor de velocidades de engrenagens. A MOTOR A ω Jm

B MÁQUINA B ω1 J1

Figura 1.16 - Motor e máquina giram a velocidades diferentes

O eixo AA do motor gira à velocidade ω rad/s e o seu momento de inércia é Jm. O eixo BB

da máquina gira à velocidade ω1 rad/s e o seu momento de inércia, tomado em relação a este eixo, é J1. Em geral, o momento de inércia do sistema de transmissão é tomado como um percentual do

26

momento de inércia do rotor do motor, da ordem de 20%, e somado a este último. O problema con-siste, portanto, em referir apenas o momento de inércia da máquina. Para isto, vamos supor um momento de inércia J equivalente aos momentos de inércia existentes no conjunto, referido ao eixo do motor.

A energia cinética armazenada nele será igual à soma das energias cinéticas armazenadas em cada um dos momentos de inércia do conjunto, ou seja:

222,1

222,0

22

211

2211

222 ωωωωωω JJJJJJ mmm +=++= [1.41]

Fazendo as simplificações necessárias teremos:

21

12,1 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=ωωJJJ m [1.42]

Se o conjunto for mais complexo e possuir outras máquinas interligadas, com seus eixos de rotação paralelos, girando a velocidades diferentes ω1, ω2, ω3, .........ωn, com seus respectivos momentos de inércia J1, J2, J3, ..........Jn, o momento de inércia equivalente referido ao eixo do motor será dado por:

222

2

21

12,1 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⋅⋅⋅⋅⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=

ωω

ωω

ωω n

nm JJJJJ [1.43]

Se o conjunto for semelhante ao da figura 1.17 que representa, simplificadamente, um guin-cho ou talha para levantamento de cargas, o momento de inércia equivalente será obtido a partir da equação [1.44].

AA ω MOTOR Jm

B TAMBOR B

ω1

F

G v (m/s)

Figura 1.17 - Guincho ou talha simples para levantamento de cargas

27

22

122

122

2,1222

2,12

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+=∴++=

ωωωωωω vmJJJmvJJJ

tbmtbm [1.44]

onde mGg

= , é a massa da carga em kg a ser levantada com a velocidade de v m/s e Jtb é o momento

de inércia do tambor sobre o qual o cabo de aço se enrola. Os exemplos acima mencionados são clássicos e representam uma grande maioria de con-

juntos. Outros tipos de acionamentos devem ser examinados procurando torná-los equivalentes aos acima estudados.

1.4.4) CONJUGADO RESISTENTE REFERIDO AO EIXO DO MOTOR O conjugado resistente desenvolvido pela máquina em uma velocidade diferente da veloci-dade do motor, necessita, como foi feito para o momento de inércia, ser referido ao eixo do motor antes de se poder aplicar as equações básicas do acionamento. Para se referir o conjugado resistente da máquina ao eixo do motor, devemos simplesmente nos lembrar que a potência fornecida pelo motor no seu eixo é igual à potência consumida pela máquina somada às perdas que ocorrem no sistema de transmissão. Como sabemos, (ver equação 1.07), a potência e o conjugado desenvolvi-dos no eixo de um motor ou de uma máquina que gira à velocidade ω rad/s estão relacionados entre si através da equação [1.30], repetida na equação [1.45]:

ωω PCCP =∴= [1.45]

Consideremos o conjunto da figura 1.16 e seja Cr1 o conjugado resistente que a máquina desenvolve no seu eixo que gira à velocidade de ω1 rad/s e Cr o seu valor referido ao eixo do motor. Sendo η o rendimento do sistema de transmissão, podemos escrever a seguinte equação:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=∴=ωω

ηωωη 11

11r

rrrCCCC [1.46]

Quando se tratar de um conjunto semelhante ao da figura 1.17 sendo F a força que é exerci-da pelo guincho ou talha para equilibrar o peso G que é alçado à velocidade de v m/s, (F igual e oposta a G), esta força F será referida ao eixo do motor como um conjugado resistente. Chamando de Cr o conjugado equivalente à força F, referido ao eixo do motor, teremos:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=∴=ωη

ωη vFCFvC rr [1.47]

onde Cr será obtido em Nm; F em N, v em m/s e ω em rad/s.

1.4.5) EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

28

1) Determinar a potência e a velocidade que o motor está fornecendo para elevar o peso G da figura 1.17 sabendo-se que: a) O peso G é igual a 1000 kgf.; b) A velocidade de levantamento é igual a 0,6 m/s; c) O rendimento do sistema de transmissão é 85%; d) O diâmetro do tambor sobre o qual se enrola o cabo de aço é 0,60 m; e) A relação das velocidades dos eixos AA e BB é 61:1. Solução:

A potência requerida para elevar o peso G a uma velocidade de 0,6 m/s será:

( ) wattsFv 58866,081,91000 =⋅= (1 kgf = 9,81 N)

Esta potência será fornecida pelo motor através do sistema de transmissão que tem um ren-

dimento de 85%. Logo, a potência que o motor deverá fornecer será:

kwwFvP 9,67,692485,0

5886====

η

A sua velocidade n será obtida através de n = 61n1. A velocidade n1 está relacionada com a

velocidade de levantamento do peso G (velocidade tangencial do tambor) através de rvn

== 11

602

ωπ

, sendo r o raio do tambor. Substituindo v e r pelos seus valores teremos 099,193,06,0

602

11 =∴= n

nπ

RPM. Portanto, a velocidade do eixo do motor será n = 61x19,099 = 1165 RPM Se fôssemos escolher o motor através de catálogo, para uma freqüência de 60 Hz, seria um

motor de 6 pólos e potência padronizada de 7,5 Kw. A subida do peso G seria “enxergada” pelo motor como um conjugado resistente igual a

76,5611659247,695509550 ===

nPCr Nm, dos quais a elevação do peso consumiria 85% e os restan-

tes 15% seriam consumidos no sistema de transmissão. 2) Com relação ao acionamento anterior, determinar qual o momento de inércia total referi-do ao eixo do motor sabendo-se que: a) O momento de inércia do rotor do motor escolhido é 0,05 kgm2; b) O momento de inércia do tambor (cilindro maciço) é 3,4 kgm2. Solução:

O momento de inércia total referido ao eixo do motor será igual à soma de cada um dos momentos de inércia dos componentes referidos, individualmente, ao eixo do motor. Teremos:

0851,0122

6,010006114,305,02,1

60116522,1

22

2

21 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+×=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

×+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+= π

vmnnJJJ tbm kgm2

29

3) Uma bomba centrífuga (característica mecânica parabólica), possui os seguintes dados operacionais: a) Conjugado nominal: 95 Nm; b) Conjugado de atrito: 9,5 Nm; c)Velocidade nomi-nal: 3550 RPM; d) Momento de inércia: 2,8 kgm2

Ela foi acoplada diretamente, por engano, (a placa com seus dados estava ilegível), a um

motor trifásico de 37 kW, 440 V, 60 Hz, 4 pólos, 1775 RPM, Jm = 0,354 kgm2. O motor foi ligado à rede e então se percebeu que a bomba não fornecia a vazão esperada. Pede-se: a) Porque a bomba não operava corretamente? Qual a potência que o motor estava fornecendo a ela? b) Na tentativa de resolver o problema, instalou-se um multiplicador de velocidades de relação igual 2 e rendimento 80% que estava disponível. O problema foi resolvido? Porque? c) Determinar o momento de inércia de todo o conjunto, bem como o conjugado resistente médio, na condição do item b), referidos ao eixo do motor. Solução a) Sendo a velocidade nominal da bomba 3550 RPM, ao ser acoplada diretamente a um mo-tor que girava a 1775 RPM, o seu conjugado útil que é igual a Cu = 95 – 9,5 = 85,5 Nm, vai variar om o quadrado da velocidade, ou seja: c

37,21355017755,85

22

1

' =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

nnCC uu Nm

Portanto, a bomba não poderia operar corretamente pois o seu conjugado útil requerido ha-via se reduzido para 25% do necessário. A potência total requerida pela bomba, a ser fornecida pelo motor será então:

( ) ( )P

C C nr

u o'' , ,

,=+

=+

=9550

21 37 9 5 17759550

5 74 kW (R)

b) Sendo instalado um multiplicador de relação igual a 2, a velocidade da bomba retorna à sua velocidade nominal e a sua potência requerida passa a ser:

PC n

rrn=×

=×

=9550

95 35509550

35 31, Nm

A potência fornecida pelo motor deverá ser então:

PP

motr

t= = =η

35 310 80

44 14,,

, kW (R).

O motor estaria operando com uma sobrecarga contínua de 44 14

37119

,,= que, prova-

velmente, provocaria a atuação dos relés de proteção contra sobrecarga. Logo, o problema não foi resolvido (R).

c) O momento de inércia total no eixo do motor será:

J = × + × =1 2 0 354 2 8 2 11 6252, , , , kgm2 (R)

30

O conjugado resistente médio da bomba será igual a:

Crm = +−

=9 595 9 5

338,

, Nm. Este valor referido ao eixo do motor será igual a:

( ) =×= 280,0

38refCrm 95 Nm (R)

1.5) EXERCÍCIOS PROPOSTOS

01) Um motor de indução trifásico, rotor em gaiola, possui os seguintes dados: 220 V; 60 Hz; 4 pólos; estator ligado em estrela (Y)

As constantes do circuito equivalentes, como o da figura 1.03, têm os seguintes valores, em ohms por fase: R1 = 0,3; R2 = 0,1; X1 = 0,5; X2 = 0,2; Xm = 10,0 As perdas rotacionais a vazio totalizam 400 W. O motor opera em regime permanente com um escorregamento de 2%. Pede-se calcular: a) A velocidade do motor; b) O conjugado útil; c) A potência mecânica útil disponível no eixo; d) A corrente do estator; e) O fator de potência; f) O ren-dimento do motor (Problema do provão elétrica 2000).

02) Um motor de 3,7 kW, 220 V, 60 Hz, 4 pólos, 1730 RPM, possui uma corrente de partida rotórica igual a 7,5 pu tomando a corrente nominal do rotor como corrente base. Qual deve ser o seu conjugado de partida, em pu e em Nm, tomando o conjugado nominal como conjugado base?

03) Os dados do circuito equivalente de um motor de indução trifásico, rotor em gaiola, esta-tor ligado em estrela, de 37 kW, 440 V, 60 Hz, 1766 RPM, segundo o modelo de Thévénin, são os seguintes (valores por fase):

VTh = 266 V; RTh = 0,133 ohms; XTh = 0,497 ohms; R2 = 0,10 ohms; X2 = 0,20 ohms

O motor operava na sua condição nominal quando ocorreram, simultaneamente, dois even-tos: a tensão do barramento caiu para 85% do seu valor e uma sobrecarga momentânea no eixo do motor fez aumentar o conjugado resistente em 35% durante 25 segundos (o relé de proteção contra sobrecargas não atuou, pois estava ajustado para atuar com 30 segundos). Pergunta-se: a) O motor terá conjugado suficiente para acionar a carga nesta condição? b) Se o motor não conseguir acionar a carga ele vai se desacelerar. Qual o valor do seu conjugado mínimo Cmin, sabendo-se que ele ocor-re a 560 RPM?

04) Um motor de indução opera na sua condição nominal acionando uma carga cujo conju-

gado resistente é constante com a velocidade. O seu conjugado máximo é igual a 2,0 pu. Qual o valor mínimo que a tensão pode ser rebaixada de modo a permitir que o motor continue a acionar a sua carga?

05) Um motor de indução trifásico, rotor em gaiola, tem um escorregamento a plena carga

igual a 4%. A resistência e a reatância por fase do rotor são, respectivamente, 0,02 ohms e 0,10

31

ohms, podendo ser desprezadas a resistência e a reatância do estator. O motor aciona uma carga de conjugado constante com a velocidade. Deseja-se reduzir a velocidade do motor a 50% da nominal. Pede-se: a) Qual o percentual de redução deve ocorrer na tensão aplicada? b) A mesma pergunta quando o conjugado útil da carga varia parabolicamente.

06) A figura 1.18 representa um volante de inércia cortado por um plano que passa pelo seu centro. Calcular o seu momento de inércia em relação ao eixo de giração que passa pelo seu centro, decompondo-o em volumes semelhantes aos da figura 1.10. As dimensões são dadas em mm e o material usado na fabricação da peça é aço de massa específica igual a 7,8 kg/dm3.

30 60 10 100 240 300

Figura 1.18 - Volante de inércia OBSERVAÇÃO Volante de inércia é uma peça metálica, em geral de aço, que é acoplada ao eixo de motores elétricos que acionam máquinas que demandam potência variável durante o seu regime de trabalho (britadores, prensas, laminadores, etc). Durante o processo de aceleração do conjunto, o volante de

inércia armazena energia sob a forma 2

2ωJ , (ω é sua velocidade de operação) e depois a utiliza

para manter a velocidade quando esta diminui motivada por um aumento da carga. Com isto, as flutuações de potência requerida da rede elétrica que alimenta o motor tornam-se mais suaves.

07) O volante da questão anterior será acoplado diretamente ao eixo de um motor elétrico que gira a 1760 RPM nas condições normais de trabalho, acionando um britador (figura 1.19). O rotor do motor, que pode ser considerado um cilindro maciço, possui uma massa igual a 50 kg e o seu diâmetro mede 0,20 m. O momento de inércia do britador é igual a 2 kgm2. Calcular a energia armazenada no conjunto.

VOLANTE

32

MOTOR BRITADOR

ACOPL.

Figura 1.19 - Conjunto de acionamento com volante de inércia

08) Supondo que o britador do problema anterior esteja acoplado ao motor através de um re-

dutor de velocidades de relação 0,333, qual seria a energia cinética acumulada no conjunto? 09) A figura 1.20 representa, simplificadamente, um conjunto para fazer levantamento de cargas. O tambor do guincho, sobre o qual se enrola um cabo de aço que faz o levantamento da car-ga, tem um diâmetro igual a 0,4 m. O sistema está projetado para levantar cargas de até 20000 N de peso a uma velocidade de ascensão constante igual a 0,62 m/s. acoplamento a1 . A n A Motor A b2

b1

B B nB c C C nC

Tambor

G v = 0,62 m/s

Figura 1.20 - Conjunto para levantamento de cargas

Os momentos de inércia dos elementos componentes do conjunto são os seguintes: Momento de inércia do acoplamento: Jac = 0,075 kgm2

Momento de inércia do tambor: Jtb = 400 kgm2

Momento de inércia da engrenagem a1: Ja1 = 0,05 kgm2

Momento de inércia da engrenagem b2: Jb2 = 0,159 kgm2

33

Momento de inércia da engrenagem b1: Jb1 = 0,525 kgm2

Momento de inércia da engrenagem c: Jc = 1,375 kgm2

O rendimento de todo o sistema de transmissão é igual a 90,25% e as relações de velocida-

des dos eixos são:

AABB

= 6; BBCC

= 10

Pede-se: a) Determinar a potência que o motor está fornecendo (dar seu número de pólos pa-

ra uma freqüência de 60 Hz; b) Calcular o momento de inércia total referido ao eixo do motor. 10) A figura 1.21 representa um conjunto de engrenagens (“trem de engrenagens”) que de-

verá ser empregado para se conseguir uma redução de 0,125 na velocidade do motor e de modo a se obter o mínimo momento de inércia equivalente referido ao eixo do motor. Todas as engrenagens são maciças, têm a mesma largura e o momento de inércia dos eixos sobre os quais elas estão mon-tadas é desprezível.

Calcular os momentos de inércia de cada uma das soluções dadas a seguir, referidos ao eixo do motor, tomando como base o momento de inércia da engrenagem (pinhão) do eixo do motor, o qual será suposto conhecido e igual a 1 pu.

a) Primeira solução: redução simples: 0,125; b) Segunda solução: redução dupla: 0,5 seguida de 0,25; c) Terceira solução: redução dupla: 0,333 seguida de 0,375; d) Quarta solução: redução dupla: 0,25 seguida de 0,5

a1 A MOTOR A nA b B B nB a2 c C MÁQUINA C nC ACOPL.

Figura 1.21 - Trem de engrenagens

EXPLICAÇÕES SOBRE A FIG. 1.21 a – As engrenagens a1 e a2, chamadas pinhões, são iguais.

34

b – Quando se tratar da primeira solução o eixo BB desaparece e a engrenagem c se engrena diretamente ao pinhão a1 do eixo do motor.

c – O momento de inércia do acoplamento do eixo CC é desprezado.

11) Um compressor de ar centrífugo é acionado por um motor de indução trifásico, rotor em gaiola. Nas suas condições nominais de operação o compressor desenvolve um conjugado de 150 N.m à velocidade de 3555 RPM. Ele está acoplado ao motor através de um multiplicador de veloci-dades de relação 3 cujo rendimento é igual a 90%. O momento de inércia do compressor é 8 kgm2. Pede-se: a) Qual a potência e número de pólos do motor, para uma freqüência de 60 Hz? b) Qual o momento de inércia do compressor referido ao eixo do motor?

12) Sabendo-se que o motor síncrono é um motor de velocidade constante para qualquer va-lor de conjugado que ele desenvolve, desenhar a sua característica de conjugado C = f(n) compa-rando-a com a característica do motor de indução de rotor em gaiola.

13) Uma planta industrial possui geração própria na freqüência de 50 Hz. A maior parte da carga é constituída de bombas centrífugas acionadas por motores de indução de rotor em gaiola. Foi decidido eliminar a geração própria e comprar energia da concessionária cuja freqüência é de 60 Hz. Quais as conseqüências desta mudança sobre os motores e que medidas podem ser tomadas para resolver os problemas surgidos?

14) A tiragem de um forno de aquecimento de uma refinaria de petróleo é feita com o auxí-

lio de um exaustor (característica mecânica parabólica crescente com a velocidade) acionado por um motor de indução trifásico, rotor em gaiola, acoplado diretamente ao seu eixo. O conjugado de atrito do compressor é igual a 10% do seu conjugado nominal. Quando o conjunto opera na sua condição nominal, para evitar baixa temperatura no interior do forno, na saída do exaustor há uma válvula tipo borboleta que controla a vazão dos gases e que opera numa posição semi-aberta. Desta forma, há perda de energia localizada durante a operação que foi estimada em 12% de toda a ener-gia consumida pelo exaustor quando ele opera na velocidade de 1780 RPM. As principais caracte-rísticas do motor são:

30 kW - 60 Hz - 4 pólos - 1780 RPM - 440 V

Para reduzir estas perdas, o engenheiro recomendou a instalação de um inversor de freqüên-cia que vai permitir o motor operar na velocidade de 1580 RPM, sem elevar sua temperatura a valo-res perigosos para sua classe de isolamento e permitir que a válvula borboleta opere numa posição menos inclinada para economizar energia. As perdas na nova condição operacional do exaustor fo-ram calculadas em 8% de toda a energia consumida pelo exaustor. Supondo que o forno opera 360 dias/ano, 24 horas/dia, qual será a energia economizada pelo exaustor, em kWh, com a instalação do inversor?

15) A figura 1.22 representa de uma forma simplificada uma correia transportadora (repre-

sentação nos planos horizontal e vertical) cujos dados são fornecidos abaixo: a) Velocidade da correia: v = 4 m/s

b) Comprimento da correia: L = 15 m c) Largura da correia: T = 0,75 m d) Altura de elevação do material: H = 5 m e) Taxa de transporte da carga: 120 ton/h

35

f) Momento de inércia da correia (tambores + esteira de lona) referido ao eixo do tambor de acionamento: 3,2 kgm2.

g) Diâmetro dos tambores (de acionamento e de inversão): d = 0,20 m h) Rendimento do acoplamento: η = 0,95. i) Fator de redução do acoplamento do motor para o eixo do tambor: 0,3333

Pede-se: a) Escolher o motor para acionar a correia, utilizando o catálogo da WEG. Dar sua

potência e número de pólos para uma freqüência de 60 Hz; b) Calcular o momento de inércia total referido ao eixo do motor. OBSERVAÇÃO: PARA RESOLVER ESTE PROBLEMA É NECESSÁRIO LER O APÊN-DICE B NO FIM DO CAPÍTULO. L d Plano Vertical Tambores de desvio Roldanas de Tambor suporte Acionador

T

Plano Horizontal Tambor de inversão Motor

Figura 1.22 - Correia transportadora simplificada

16) Uma calandra, máquina para conformar chapas de aço para serem usadas na fabricação de tanques, cuja característica mecânica é linear crescente com a velocidade, possui os seguintes dados:

36

Conjugado nominal: 90 Nm Velocidade nominal: 950 RPM Conjugado de atrito: 10 Nm Momento de inércia: 5 kgm2

A máquina está acoplada diretamente ao eixo de um motor de indução trifásico, rotor em gaiola de 11 kW, 380 V, 50 Hz, 6 pólos, 950 RPM, Jm = 0,125 kgm2 (o conjunto foi importado da Europa). Ao se instalar a máquina no Brasil, não se observou que a freqüência do motor era 50 Hz e ele foi ligado à nossa rede de 60 Hz, à mesma tensão). Verificou-se que a máquina atingiu a veloci-dade de 1140 RPM sendo o motor desligado pelo relé de sobrecarga após um curto tempo de opera-ção. Não foi encontrado nenhum defeito no motor que justificasse a atuação do relé. Pergunta-se: a) Qual a explicação possível para a ocorrência? Que potência o motor fornecia quando houve o desli-gamento? b) Na tentativa de resolver o problema foi instalado um redutor de velocidades de relação 0,833 e de rendimento 88%. O problema foi resolvido? Porque? Justificar as respostas com cálculo.

17) Uma bobinadeira de papel (máquina de característica mecânica hiperbólica), possui os seguintes dados: a) Conjugado nominal: 100 Nm; b) Conjugado de atrito: 10 Nm; c) Velocidade nominal: 3550 RPM; d) Momento de inércia: 2,8 kgm2. Ela foi submetida a ensaios de desempenho na fábrica e foi acoplada diretamente, a um motor trifásico de 45 kW, 440 V, 60 Hz, 4 pólos, 1775 RPM, Jm = 0,354 kgm2. Pede-se: a) Qual o conjugado requerido pela bobinadeira, quando o tacôme-tro que media sua velocidade indicava 1630 RPM? b) Qual a potência que o motor fornecia? c) Em outro ensaio, instalou-se um multiplicador de velocidades de relação igual 2 e rendimento 90%. O motor conseguirá acionar a carga na sua condição nominal? Porque? Justificar as respostas com cálculos; d) Determinar o momento de inércia de todo o conjunto referido ao eixo do motor; e) De-terminar o conjugado resistente médio, entre os limites de velocidade 3550 RPM e 2350 RPM, na condição do item c), referidos ao eixo do motor. 18) A característica mecânica de uma máquina é linear crescente e varia de acordo com a seguinte equação:

C nr = +40 0 25, sendo n a velocidade de seu eixo principal em RPM e Cr o seu conjugado resistente em Nm. Ela é acionada por um motor elétrico através de um redutor de velocidades de relação 0,4. Nas condições nominais de operação, a rotação do eixo principal da máquina é 710 RPM. O rendimento do redutor é 88%. Pede-se: a) Qual a potência que o motor fornece no seu eixo nestas condições? b) Reescre-ver a característica mecânica da máquina referida ao eixo do motor; c) Calcular o seu valor médio referido. 19) Uma máquina possui a seguinte característica mecânica: . Para as condi-ções nominais de operação tem-se os seguintes valores:

2nKCC ror +=

Crn = 300 Nm; Co = 30 Nm; n = 1200 RPM;

Ela será acionada por um motor de indução trifásico, rotor em gaiola, 45 kW, 60 Hz, 4 pó-

los, 1775 RPM, Jm = 0,56 kgm2 cujos rendimentos em função da carga no eixo são os seguintes:

Carga ( %) Rendimento (pu)

37

95 – 100 0,95 90 – 95 0,92 85 – 90 0,89

A máquina está acoplada ao motor através de um “trem” de engrenagens redutor que, man-

tendo a mesma velocidade de entrada do motor permite obter várias velocidades de saída. O rendi-mento do “trem” para qualquer relação de velocidades é 88 %. Com o objetivo de economizar ener-gia foi proposto que a máquina devesse girar a 1050 RPM. Pede-se: a) Qual a energia em kWh foi economizada na nova condição operacional em relação à condição nominal, durante 30 dias, com a máquina operando 10 horas/dia? b) Reescrever a característica da máquina para o eixo do motor na condição operacional fora da nominal; c) Calcular a energia cinética armazenada no conjunto na condição nominal de operação.

1.5.1) RESPOSTAS DOS PROBLEMAS DO CAPÍTULO I

01: a) 1764 RPM; b) 39 Nm; c) 7208 W; d) 25,84 A; e) 0,849 indutivo; f) 89,28% 02: Cp = 2,187 pu. = 44,68 Nm 03: a) O conjugado resistente atinge 270 Nm; o conjugado máximo é reduzido para 427 Nm.

b) Cmin = 290,25 Nm. 04: 0,707 pu. 05: a) Tensão aplicada: 0,757 pu (redução de 24,3%); b) Tensão aplicada: 0,378 pu (redução de

62,2%) 06: 0,25 kgm2

07: 42461 joules 08: 12266 joules 09: a) Potência fornecida pelo motor: 13,74 kW; b) J = 0,3084 kgm² 10: a) 65 pu.; b) 69,25 pu.; c) 74,11 pu.; d) 81,06 pu. 11: a) Potência fornecida pelo motor: 50,18 kW; motor escolhido: 55 kW, 6 pólos; b) J = 72 kgm2. 14: 14941 kWh 15: a) Potência fornecida: 6,113 kW; motor escolhido: 7,5 kW, 6 pólos; b) J = 0,56 kgm² 16: a) A potência solicitada pela máquina passou a ser 12,65 kW, ou seja, o motor estava com so-

brecarga de 15%; b) o problema foi resolvido pois o motor passou a fornecer uma potência de 10,17 kW.

17: a) 206 Nm; b) 35,16 kW; c) Sim. A potência requerida é 41,3 kW; d) J = 11,554 kgm²; e) Crm = 244,08 Nm

18: a) 18,37 kW; b) Cr = 18,18 + 0,045n; c) 58,11 Nm

APÊNDICE A

CONCEITO DE MOMENTO DE INÉRCIA DE UM CORPO EM MOVIMENTO ROTATIVO

38

Consideremos a figura 1.23 que mostra um corpo rígido de massa m que pode girar em torno do eixo OY, descrevendo um ângulo θ que varia com o tempo, isto é, θ = f(t).

Y r r d = 2r A m dr 0 r r X B ds Figura 1.23 - Corpo de massa m girando Figura 1.24 - Cilindro maciço ao redor do eixo 0Y com coroa de espessura dr

Quando o corpo gira em torno de OY, cada ponto, tal como o ponto A que está situado a

uma distância r do eixo de rotação, descreverá uma circunferência de raio r. Se ds representa um arco infinitesimal desta circunferência, ao qual corresponde o ângulo dθ, descrito durante o tempo dt, a velocidade instantânea do ponto A será igual a:

dtdsv = [1.47]

Porém, ds está relacionado com o ângulo dθ, quando este é medido em radianos, através da seguinte relação:

θdrds .= [1.48] Substituindo [1.50] em [1.49], teremos:

ωθ rdtdrv == [1.49]

sendo dtdθω = a velocidade angular em rad/s do corpo em torno de OY, medida em rad/s.

Se ω for constante ao longo do tempo, todos os pontos situados a uma mesma distância do

eixo de rotação OY possuem a mesma velocidade instantânea v. Se ω for variável com o tempo, isto é, se o corpo está em movimento não uniforme, os pontos situados a uma distância r terão uma ace-leração instantânea definida por:

dtdr

dtdvat

ω== [1.50]

Consideremos uma massa elementar infinitesimal dm ao redor do ponto A. A força elemen-tar que vai atuar sobre ela será:

39

dmdtdrdmadF tω

== [1.51]

Esta força elementar, aplicada sobre dm aumentará a sua velocidade de dω. O produto desta força pela distância ao eixo de rotação OY, representa o conjugado de aceleração elementar, isto é:

( )dtddmrdFrCCd rω2. ==− [1.52]

Integrando a equação acima teremos:

C C C r dmddt

ddt

r dmr a− = = = ∫∫ 2 2ω ω [1.53]

A expressão é chamada de MOMENTO DE INÉRCIA do corpo de massa m e é

representado pela letra J, ou seja∫ dmr 2

: dmrJ ∫= 2 [1.54]

O resultado da integração da equação [1.56] vai nos conduzir a um resultado como o que se segue:

2.RmJ = [1.55] onde R representa o raio de giração do corpo de massa m em relação ao eixo de rotação OX.

Como exemplo, vamos calcular o raio ou o diâmetro de giração de um cilindro maciço em relação ao eixo de giração que passa pelo seu centro. A mesma sistemática poderá ser aplicada a outros volumes conhecidos. Consideremos no cilindro maciço uma coroa circular elementar de espessura dr, situada a uma distância r do eixo de rotação, conforme mostra a figura 1.24. Sendo dm a massa elementar desta coroa, ρ a sua massa específica e dV o seu volume elementar, podemos escrever:

dVdm .ρ= [1.56] ( ) drrhhrhdrrdV .2.. 22 πππ =−+= [1.57]

Substituindo [1.59] em [1.58] teremos:

( )drrhdm .2πρ= [1.58]

Substituindo [1.58] em [1.54], teremos:

∫∫ ==2/

0

32/

0

3 22.dd

drrhdrhrJ ρππρ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

4.162

4dhρπ [1.59]

A massa m total do cilindro será:

ρπ hdm ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

4

2

[1.60]

Levando os valores de J e m obtidos nas expressões acima na equação [1.61] teremos:

40

( )28

28

2222 rrd

mJR ==== ou

282

22

22 dDdD=∴=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ [1.61]

ΩΩΩΩΩΩΩΩΩΩ

APÊNDICE B

DETERMINAÇÃO DA POTÊNCIA NOMINAL DE UM MOTOR ELÉTRICO

PARA ACIONAR UMA CORREIA TRANSPORTADORA9

A grande maioria das correias transportadoras opera numa posição inclinada, isto é, além de transportar o material elas precisam de eleva-lo a uma determinada altura. A potência requerida para realizar a operação de transporte é calculada em 3 parcelas, a saber:

P1 = potência requerida para transportar o material sobre a correia no plano horizontal. P2 = potência requerida para elevar o material a uma altura H. P3 = potência requerida para acionar a correia a vazio. É a parcela da potência que alimenta

as perdas por atrito. A potência total requerida pela correia transportadora será a soma das 3 parcelas:

Pr = P1 + P2 + P3

A seguir, serão apresentadas tabelas que permitem calcular as parcelas acima mencionadas. A tabela P1 fornece a potência K1 necessária para transportar 100 t/h de material no plano horizontal.

TABELA P1 Comp. [m] 10 15 20 25 30 40 50 60 70 80 90 100 K1 [kW] 0,46 0,50 0,54 0,58 0,63 0,71 0,79 0,88 0,95 1,04 1,12 1,20

A potência P1, em kW, requerida para transportar na horizontal uma carga Q diferente de 100 t/h será dada por:

11 100KQP =

A tabela P2 fornece a potência K2 necessária para elevar uma carga de 100 t/h de material a uma altura H.

TABELA P2

H [m] 02 03 05 7,5 10 12,5 15 17,5 20 22,5 25 27,5 30 K2 [kW] 0,66 0,90 1,42 2,09 2,76 3.51 4,18 4,85 5,52 6,27 6,94 7,61 8,29

9 Transcrito do catálogo da WEG, Especificação de Motores Elétricos.

41

A potência P2, em kW, necessária para elevar uma carga Q diferente de 100 t/h é dada por:

22 100KQP =

A tabela P3 fornece a potência K3 necessária para acionar uma correia transportadora a vazio

à velocidade de 100 m/min. TABELA P3

Largura K3 - Potência requerida pela correia, a vazio, a 100 m/min [kW]

da L – Comprimento da correia transportadora [m] Correia

[cm]

10

15

20

25

30

40

50

60

70

80

90

100

40 0,61 0,66 0,71 0,76 0,82 0,93 1,04 1,15 1,26 1,38 1,48 1,5950 0,79 0,86 0,94 1,02 1,08 1,23 1,38 1,51 1,66 1,80 1,96 2,1060 0,96 1,05 1,13 1,22 1,31 1,38 1,66 1,83 2,02 2,19 2,36 2,5375 1,35 1,46 1,61 1,71 1,80 2,08 2,32 2,57 3,81 3,06 3,30 3,5590 1,58 1,72 1,88 2,03 2,17 2,38 2,75 3,04 3,32 3,62 3,92 4,20100 1,92 2,09 2,27 2,44 2,61 2,97 3,30 3,66 4,02 4,36 4,72 5,06

A potência P3 requerida para acionar a correia transportadora, a vazio, em kW, a uma velo-cidade Vc diferente de 100 m/min será dada por:

33 100K

VP c=

A potência do motor necessária para acionar a correia será, portanto, igual a:

ηη321 PPPP

P r ++==

sendo η o rendimento do acoplamento do motor com o eixo acionador da correia.

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APÊNDICE C

NORMAS BRASILEIRAS REGISTRADAS (NBR)

UTILIZADAS EM PROBLEMAS DE ACIONAMENTO

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A Associação Brasileira de Normas Técnicas - ABNT, tem editado várias normas que dizem respeito à fabricação e aplicação das máquinas girantes em geral. Vamos relacionar estas normas porque elas são de muita utilidade para o engenheiro que lida com a especificação e aplicação das máquinas elétricas girantes, em especial dos motores.

a) NBR-5031/1977 - Máquinas elétricas girantes: classificação das formas construtivas e mon-tagens.

b) NBR-5110/1977 - Máquinas elétricas girantes: classificação dos métodos de resfriamento. c) NBR-5117/1984 - Máquinas síncronas: Especificação. d) NBR-5363/1977 - Invólucros à prova de explosão para equipamentos elétricos. e) NBR-5383/1982 - Máquinas elétricas girantes: determinação das características das máqui-

nas de indução; Métodos de ensaio. f) NBR-5418/1977 - Instalações elétricas em ambientes com líquidos, gases ou vapores infla-

máveis. g) NBR-5432/1983 - Máquinas elétricas girantes: dimensões e potências nominais. h) NBR-5453/1972 - Sinais e símbolos literais para eletricidade. i) NBR-5457/1980 - Terminologia para máquinas elétricas girantes. j) NBR-7034/1981 - Classificação térmica dos materiais isolantes elétricos. k) NBR-7094/1996 - Máquinas elétricas girantes: especificação de motores de indução. l) NBR-7565/1982 - Máquinas elétricas girantes: limites de ruído. m) NBR-7844/1983 - Identificação dos terminais e terminações de equipamentos elétricos. n) NBR-9383/1987 - Equipamentos elétricos para atmosferas explosivas. o) NBR-9884/1987 - Máquinas elétricas girantes: graus de proteção dados pelos invólucros. p) NBR-10350/1987 - Motor de indução de gaiola para uso naval q) NBR-11723/1987 - Máquinas elétricas girantes: motores assíncronos trifásicos de anéis para

regime intermitente.

Éderson Bustamante – fevereiro de 2005

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