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PRESIDENTE DA REPÚBLICA Luiz Inácio Lula da Silva MINISTRO DA EDUCAÇÃO Fernando Haddad GOVERNADOR DO ESTADO Wellington Dias REITOR DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ Luiz de Sousa Santos Júnior SECRETÁRIO DE EDUCAÇÃO DO ESTADO DO PIAUÍ Antonio José Medeiros SECRETÁRIO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA DO MEC Carlos Eduardo Bielschowsky DIRETOR DE POLITICAS PUBLICAS PARA EAD Hélio Chaves COORDENADORIA GERAL DA UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL Celso Costa COORDENADOR GERAL DO CENTRO DE EDUCAÇÃO ABERTA A DISTÂNCIA DA UFPI Gildásio Guedes Fernandes SUPERITENDÊNTE DE EDUCAÇÃO SUPERIOR NO ESTADO Eliane Mendonça DIRETOR DO CENTRO Helder Nunes da Cunha COORDENADOR DO CURSO NA MODALIDADE EAD João Benício de Melo Neto CHEFE DO DEPARTAMENTO Jurandir de Oliveira Lopes COODENADORA DE MATERIAL DIDÁTICO DO CEAD/UFPI Cleidinalva Maria Barbosa Oliveira DIAGRAMAÇÃO Emanuel Alcântara da Silva Ezequiel Vieira Lima Júnior João Paulo Barros Bem Joaquim Carvalho de Aguiar Neto Josimária da Silva Macedo
Copyright © 2008. Todos os direitos desta edição estão reservados à Universidade Federal do
Piauí (UFPI). Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, transmitida e gravada, por qualquer
meio eletrônico, por fotocópia e outros, sem a prévia autorização, por escrito, do autor.
XXXX OLIVEIRA, G. L. Matemática para Administração/Gilvan Lima de Oliveira – Teresina: UFPI/UAPI
2008. 140p. Incluir bibliografia
1 – xx CDU: 32
3
APRESENTAÇÃO
Este texto destina-se aos estudantes que participam do
programa de Educação a Distância da Universidade Aberta do
Piauí (UAPI) vinculada ao consórcio formado pela Universidade
Federal do Piauí (UFPI), Universidade Estadual do Piauí
(UESPI) e Centro Federal de Ensino Tecnológico do Piauí
(CEFET-PI), com apoio do Governo do Estado do Piauí,
através da Secretaria Estadual de Educação.
O texto é composto de IV unidades, contendo itens e
subitens, que discorrem sobre:
Na Unidade 1, estudaremos, de forma prática e aplicada
à Administração, a teoria das funções reais de variável real e
seus gráficos. Daremos uma ênfase maior às funções
elementares: algébricas, trigonométricas, exponenciais,
logarítmicas e inversas.
Na Unidade 2, discutiremos a noção de limite e
continuidade das funções elementares descritas na unidade 1,
os quais serão de grande valia para o desenvolvimento da
unidade seguinte.
Na Unidade 3, faremos um estudo sistemático e prático
da noção de derivada das funções elementares, bem como de
sua interpretação geométrica e da sua caracterização como
taxa de variação entre grandezas. Como aplicação,
discutiremos sobre Análise Marginal de certas funções como:
Demanda, Receita, Custos, Lucros, Análise do Ponto de
Equilíbrio, Oferta, etc.
Na Unidade 4, abordaremos o conceito de integrais das
funções elementares, dando ênfase à relação existente entre
integrais e a noção de área sob curvas.
4
SUMÁRIO
UNIDADE 1: Funções e Gráficos 1.1 Introdução 8
1.2 Função 9
1.2.1. A Noção de Função 9
1.2.2. Funções Polinomiais 15
1.2.2.1. Função Afim 19
1.2.2.2. Função Quadrática 22
1.2.3. Funções Exponenciais 30
1.2.3.1. Potenciação 31
1.2.4. Funções Logarítmicas 33
1.2.4.1. Logaritmo 33
1.2.5. Funções Trigonométricas 37
1.2.5.1. Ciclo Trigonométrico 37
1.2.5.2. Função Seno 38
1.2.5.3. Função Cosseno 44
1.2.5.4. Função Tangente 49
Exercícios 52
UNIDADE 2: Limite e Continuidade 2.1. Introdução 57
2.2. Limite de Funções 58
2.2.1. Noção Intuitiva de Limite 58
2.2.2. Definição de Limite 59
2.2.3. Propriedades Operatórias de Limites 59
2.2.4. Limites Fundamentais 60
2.2.5. Limite da Função Composta
2.3. Continuidade de Funções 65
2.3.1. Definição de Continuidade 65
5
2.3.2. Pontos de Desconhecimento de uma Função 67
2.3.2. Propriedades Operatórias entre Funções Contínuas 68
UNIDADE 3: Derivadas 3.1. Introdução 74
3.2. Derivadas 74
3.2.1. Definição 74
3.2.2. Interpretação Geométrica 78
3.2.3. Propriedades Operatórias 79
3.2.4. Derivada da Função Inversa 81
3.2.5. Derivadas Sucessivas 86
3.2.6. Máximos e Mínimos 88
3.2.6.1. Localização dos Pontos de Máximos ou Mínimos 89
3.3.7. Regra de L’Hospital 92
UNIDADE 4: Noções de Integrais 4.1. Introdução 99
4.2. Integral Indefinida 100
4.2.1. Definição 100
4.2.2. Propriedades Operatórias de Integração 101
4.2.3. Tabela de Integrais Imediatas 106
4.3. Integral Definida 113
4.3.1. Soma Integral 113
4.3.2. Integral Definida 114
4.3.3. Teorema Fundamental do Cálculo 115
4.3.4. Aplicações: Cálculo de Áreas 116
Bibliografia 127
Sobre o Autor 130
6
7
SUMÁRIO
UNIDADE 1: Funções e Gráficos 1.1 Introdução 8
1.2 Função 9
1.2.1. A Noção de Função 9
1.2.2. Funções Polinomiais 15
1.2.2.1. Função Afim 19
1.2.2.2. Função Quadrática 22
1.2.3. Funções Exponenciais 30
1.2.3.1. Potenciação 31
1.2.4. Funções Logarítmicas 33
1.2.4.1. Logaritmo 33
1.2.5. Funções Trigonométricas 37
1.2.5.1. Ciclo Trigonométrico 37
1.2.5.2. Função Seno 38
1.2.5.3. Função Cosseno 44
1.2.5.4. Função Tangente 49
Exercícios 52
8
1. FUNÇÕES E GRÁFICOS 1.1 Introdução Um dos conceitos pertencente aos fundamentos da Matemática
Moderna é o de função. Trata-se de uma ferramenta de suma
importância no princípio de funcionamento de muitos
fenômenos na natureza. Por exemplo, a idéia de mapear o
comportamento evolutivo das células de um tecido cancerígeno
tem sido objeto de estudo de muitos pesquisadores atuais. O
objetivo deste procedimento nada mais é do que tentar se
descrever de forma precisa como tais células se desenvolvem
e a partir daí obter algo que possa controlar tal crescimento ou,
se possível, acabar com tal evolução. O controle da evolução
dessas células, passa pelo conhecimento da noção de função.
Outra situação, diz respeito à deterioração de uma substância
química com o passar do tempo, a qual também se utiliza a
noção de função. Numa empresa é importante, para efeito de
otimização de custos, precisar a quantidade ótima de
funcionários para o perfeito funcionamento da mesma, levando-
se em consideração as metas estabelecidas por esta empresa.
A quantidade de funcionários, suas remunerações, os custos
da mesma, constituem variáveis importantes para se
determinar o lucro ótimo desta empresa. Enfim, são muitas as
situações práticas onde o conceito de função faz-se necessário.
Portanto, é importante começarmos nosso livro abordando um
tema de natureza matemática simples, porém de muita
importância para o entendimento dos temas que virão
posteriormente.
9
1.2. Função
1.2.1. A Noção de Função A definição de função BAf →: , como um subconjunto do
produto cartesiano BA× , deixa muito a desejar e não fica claro
o verdadeiro sentido do que é função. Tal definição é, por
demais, simplória, formal, estática e não evidencia a idéia
intuitiva de função como uma correspondência, transformação,
dependência entre duas grandezas. Para nós, tais
características não podem deixar de serem evidenciadas e
mostradas aos nossos alunos para que estes possam fazer
suas reflexões a cerca do assunto. A definição que
mostraremos a seguir evidencia de forma clara a essência da
idéia correta do tema que estudaremos agora.
Função é uma terna composta de: um conjunto de saída
(domínio), um conjunto de chegada (contradomínio) e uma lei
(ou regra) que associa a cada elemento do conjunto de saída
um único elemento do conjunto de chegada.
Essa definição se apresenta de forma geral, conclusiva, não se
importando com a natureza dos conjuntos de saída e de
chegada, portanto mais abrangente. O importante nela é a
correspondência única existente entre cada elemento do
conjunto de saída com um elemento do conjunto de chegada.
Vale ressaltar aqui que nesse jogo nenhum elemento do
domínio pode ficar de fora e, esse deve estar em comunicação
com um, e apenas um, elemento do contradomínio.
Notação: A notação correta que utilizaremos para nos
referirmos às funções, será apresentada como segue:
( )xfxBAf
a
→:
O estudo de funções e de outros conteúdos do ensino médio pode ser complementado no site somatematica.
10
Aqui vale citar que A e B denotam o conjunto de saída,
(domínio) e o conjunto de chegada (contradomínio) da
função, respectivamente. A notação
( )xfx a
indica que, por meio de f , cada elemento Ax∈ , é associado o
elemento Bxf ∈)( .
No decorrer desse nosso texto, muitas vezes diremos a “função
f ” ao invés de “a função BAf →: ”. Isso não deverá provocar
no leitor dúvida alguma. Certifique-se!
A seguir mostraremos alguns exemplos e contra-exemplos, não
muito convencionais, de função. Nesses exemplos deixamos
claro que duas condições são imprescindíveis: não deve haver
exceções no domínio e não deve haver ambigüidades ao nos
referirmos ao correspondente ( )xf do elemento x oriundo do
domínio de f .
Exemplos:
1. Sejam T o conjunto dos triângulos do plano e ∗+ℜ o
conjunto dos números reais positivos e ∗+ℜ→Tf : a
correspondência que faz associar cada triângulo Tx∈ a
sua área )(xf . Claramente, f assim definida
representa uma função, uma vez que a qualquer
triângulo temos em correspondência sua área a qual é
única.
2. Aproveitando os conjuntos do exemplo anterior,
consideremos agora a correspondência Tf →ℜ∗+: que
associa cada número real positivo ∗+ℜ∈x , um triângulo
Txf ∈)( cuja área é x . Esta lei não representa uma
função, pois para cada ∗+ℜ∈x existem infinitos
triângulos )(xf cuja área é x .
Não devemos confundir a função f com o seu valor no ponto x, a saber, f(x).
11
3. Sejam ℜ o conjunto dos números reais e ℜ→ℜ:f a
correspondência que associa cada número real x um
número real )(xf , tal que 1)( =⋅ xfx . Do jeito que foi
definida f , esta regra não representa uma função, pois
para o número real 0=x não existe )(xf tal que
1)0(0 =⋅ f .
4. Por outro lado, se considerarmos ℜ→ℜ∗:f que
associa cada número real não-nulo x o número real
)(xf tal que 1)( =⋅ xfx , segue-se que esta regra
representa uma função.
Outra noção que queremos tornar clara aos nossos leitores é a
de Gráfico de uma função. O gráfico de uma função BAf →:
é o subconjunto BAfG ×⊆)( formado pelos pares ordenados
))(,( xfx , onde Ax∈ e Bxf ∈)( . Simbolicamente temos,
{ })(;),()( xfyBAyxfG =×∈= .
Reciprocamente, para que um subconjunto BAG ×⊆ seja
gráfico de uma função BAf →: é necessário e suficiente que,
para cada Ax ∈0 arbitrário, deve existir um único par ordenado
Gyx ∈),( 0 . Geometricamente esta condição significa que toda
reta paralelamente traçada, por um ponto Ax∈ , ao eixo das
ordenadas, ou seja, ao eixo dos sy' , deve cortar o gráfico G
num único ponto.
Figura 1
Seja a função BAf →: e AX ⊆ , um subconjunto não-vazio
de A , a imagem do conjunto X pela função f , é o conjunto
12
BXf ⊆)( formado pelos valores )(xf assumidos por f nos
pontos Xx∈ . Comumente, nos livros de ensino médio,
costuma-se indicar )(Xf pela notação )Im( f . Portanto,
simbolicamente:
{ }XxxffXf ∈== );()Im()( ,
de outra forma:
{ }XxxfyByfXf ∈=∈== ),(;)Im()( .
No caso em que AX = , diremos que o conjunto )(Af é a
imagem da função f .
Exemplos:
5. Para a função ℜ→ℜ:f dada pela lei 2)( xxf = , a
imagem de f é o conjunto +ℜ .
6. A imagem da função definida no Exemplo 4 acima é o
conjunto ∗ℜ ; de fato, dado ∗ℜ∈y , considerando y
x 1= ,
temos que yxf =)( .
Na maioria dos casos, para uma função BAf →: , a imagem
de f é um subconjunto próprio de B , isto é, BAf ⊂)( . Nos
casos em que BAf =)( , diremos que f é uma função
sobrejetiva (ou sobrejetora). Ou equivalentemente, diremos
que BAf →: é sobrejetiva quando, para cada By∈ existe
pelo menos um Ax∈ tal que yxf =)( . Isto é, todo e qualquer
elemento de B possui uma pré-imagem em A .
Observe que para caracterizar a sobrejetividade de uma função
f é preciso que saibamos, a priori, qual é o seu contradomínio
para que possamos compará-lo com a imagem de f . Isso
reforça o fato de que uma função só fica completamente
definida quando se é estabelecido seu domínio, seu
contradomínio e a lei que a rege. Isso quer dizer que não faz
13
sentido perguntarmos se determinada função f é sobrejetora,
ou não, se antes não especificarmos seu contradomínio.
Exemplos:
7. A função, ℜ→ℜ:f dada pela lei 2)( xxf = , não é
sobrejetora, uma vez que a imagem +ℜ=ℜ)(f é
diferente do contradomínio ℜ . Agora, se definirmos f
como +ℜ→ℜ:f , onde 2)( xxf = , a mesma, nestas
condições, passa a ser sobrejetora.
Ou seja, qualquer função pode tornar-se sobrejetora, bastando
para isso determinar o seu conjunto-imagem e colocá-lo como
sendo o contradomínio de f .
Seja BAf →: uma função. Diremos que f é injetiva (ou
injetora) quando, dados yx, quaisquer em A , se )()( yfxf = ,
então yx = , ou equivalentemente, se yx ≠ , em A , então
)()( yfxf ≠ , em B .
14
Exemplos:
8. A função ℜ→ℜ:f definida por 2)( xxf = não é injetiva,
uma vez que 4)2()2( ==− ff e, no entanto, 22 ≠− .
9. A função ℜ→ℜ:f dada por 3)( xxf = é injetiva, de
fato, )()( yfxf = , temos que 33 yx = , o que implica
yx = .
Uma função BAf →: é dita bijetiva (ou bijetora, ou
correspondência biunívoca) quando é sobrejetiva e injetiva ao
mesmo tempo.
Exemplos: 10. Sejam ba, números reais com 0≠a . A função
ℜ→ℜ:f , dada por baxxf +=)( é bijetora; de fato,
sejam yx, números reais tais que )()( yfxf = . Assim,
baybax +=+ , somando b− em ambos os lados da
igualdade temos que ayax = . Como 0≠a , temos que
existe a1 e multiplicando a última igualdade por a
1 ,
segue-se que yx = , isso mostra a injetividade de f .
Por outro lado, dado ℜ∈y no contradomínio de f ,
fazendo yxf =)( , segue-se que ybax =+ , portanto
temos que ℜ∈−
=a
byx ; isso mostra a sobrejetividade
de f . Daí, pela injetividade e sobejetividade de f ,
resulta que f é uma função bijetiva.
11. A função ℜ→ℜ+:f dada por xxf =)( não é bijetiva,
uma vez que a mesma não é sobrejetiva; de fato, a
imagem ++ ℜ=ℜ )(f a qual é diferente do contradomínio
de f . Por outro lado, se redefinirmos f da forma:
++ ℜ→ℜ:f , com xxf =)( , segue-se que tal função é
A noção de
sobrejetividade e
injetividade é de
suma
importância no
estudo das
funções, pois
com elas
podemos definir
a inversa de uma
função.
15
bijetiva. O leitor não terá dificuldades para comprovar tal
fato.
1.2.2. Funções Polinomiais
Dentre as funções elementares, podemos dizer que as
polinomiais representam as mais simples da classe. Trata-se
de funções fáceis de trabalhar; a soma, a diferença, o produto
e o quociente de polinômios são funções ainda muito simples e
de uma trabalhabilidade considerável.
Definição: Diz-se que ℜ→ℜ:p é uma função polinomial
quando existem números 011 ,,,, aaaa nn ⋅⋅⋅− tais que, para todo
ℜ∈x , tem-se
011
1)( axaxaxaxp nn
nn ++⋅⋅⋅++= −
− .
Se 0≠na , dizemos que p tem grau { }⋅⋅⋅⋅⋅⋅=∈ ,,,4,3,2,1 nNn .
A definição dada acima se encontra na referência [3]. Nós
vamos adotá-la por ser, sob nosso ponto de vista, a mais
correta, simples e direta definição de função polinomial.
A soma e o produto de funções polinomiais são ainda funções
polinomiais. Aqui vale ressaltar que ao somarmos duas funções
polinomiais, o grau da nova função polinomial pode ser menor
que o grau de cada função polinomial envolvida na soma; de
fato, por exemplo, se 132)( 21 +−= xxxp e 122)( 2
2 ++−= xxxp ,
temos que 2))(( 21 +−=+ xxpp . Este por sua vez é uma função
polinomial de grau 1, enquanto que as outras duas têm grau 2 .
Diremos que o número real α é raiz (ou zero) da função
polinomial 011
1)( axaxaxaxp nn
nn ++⋅⋅⋅++= −
− se, e somente se,
0)( =αp .
16
Exemplos: 12. O número real 2=α é raiz da função polinomial
53)( 2 +−= xxxp .
13. A função polinomial 44)( 23 +−−= xxxxp admite como
raízes reais os números 21 −=α , 12 =α e 22 =α .
14. Já a função polinomial 4)( 2 += xxp não possui raízes
reais; de fato basta observar que 442 ≥+x .
O resultado a seguir nos fornece uma caracterização para que
um número real seja raíz de uma função polinomial dada. Mas
antes apresentaremos uma definição que será necessária na
prova da proposição a seguir.
A função polinomial )(xpp = é divisível pela função polinomial
)(xdd = se, existe uma terceira função polinomial )(xqq = tal
que )()()( xqxdxp ⋅= .
Nestas condições, dizemos que as funções polinomiais
)(xdd = e )(xqq = são divisores da função polinomial
)(xpp = .
17
Exemplo:
15. A função polinomial 3232)( 23 −+−= xxxxp é divisível
por 32)( −= xxd ; de fato,
)32()1()( 2 −⋅+= xxxp .
Na verdade, de acordo com definição 3232)( 23 −+−= xxxxp
também é divisível por 1)( 2 += xxq .
Proposição: O número real α é uma raiz da função polinomial
011
1)( axaxaxaxp nn
nn ++⋅⋅⋅++= −
− se, e somente se, )(xp é
divisível por α−x .
Demonstração: Se )(xp é divisível por α−x segue-se que )()()( xqxxp ⋅−= α .
Portanto, 0)(0)()()( =⋅=⋅−= ααααα qqp . Essa é a parte fácil
da proposição. Suponhamos, por outro lado, que α seja raíz
da função polinomial 011
1)( axaxaxaxp nn
nn ++⋅⋅⋅++= −
− .
Inicialmente, observemos que nnx α− é divisível por α−x ; de
fato, para tal basta observarmos a identidade:
)()( 1221 −−−− ++⋅⋅⋅++⋅−=− nnnnnn xxxxx ααααα
Para quaisquer números reais x e α , temos:
)()()()()( 111
1 αααα −+⋅⋅⋅+++−=− −−− xaxaxapxp nn
nnn
n
Pela identidade citada acima cada parcela, desta última soma,
é divisível por α−x , logo )()()()( xqxpxp ⋅−=− αα , onde
)(xqq = é uma função polinomial de grau 1−n . Uma vez que
α é raiz de )(xpp = , ou seja, 0)( =αp , segue-se que
)()()( xqxxp ⋅−= α . Conforme queríamos demonstrar. ■
No caso em que a função polinomial )(xp possuir como raízes
kαααα ,,,, 321 ⋅⋅⋅ , o uso da proposição anterior indutivamente
implica que: ),()())()(()( 321 xqxxxxxp kαααα −⋅⋅⋅−−−= onde
)(xq é uma função polinomial de grau kn − , caso o grau de
)(xp seja n . Como conseqüência importante deste fato, temos
18
toda função polinomial )(xp de grau n , não possui mais do
que n raízes.
Dois fatos que têm importância muito grande na teoria das
funções polinomiais é o de função polinomial identicamente
nula e igualdade entre duas funções polinomiais. Porém, tais
noções são muito simples e não devem acarretar nenhuma
dificuldade de entendimento para o leitor.
Diremos que uma função polinomial )(xp é identicamente
nula, se 0)( =xp para todo ℜ∈x . Tal definição nos permite
atribuir valores convenientemente escolhidos e concluir que a
função polinomial,
011
1)( axaxaxaxp nn
nn ++⋅⋅⋅++= −
−
é identicamente nula se, e só se, todos seus coeficientes
011 ,,,, aaaa nn ⋅⋅⋅− são nulos.
Outra observação importante decorrente da nulidade de uma
função polinomial )(xp , é que nenhum número inteiro positivo
n pode ser grau de )(xp ; de fato, se 0)( =xp para todo ℜ∈x ,
então )(xp possui infinitas raízes, contrariando o fato
mencionado acima, de que uma função polinomial de grau n ,
possui n raízes no máximo.
A igualdade entre duas funções polinomiais )(xp e )(xq
decorre imediatamente da noção de nulidade estabelecida
anteriormente.
As funções polinomiais 011
1)( axaxaxaxp nn
nn ++⋅⋅⋅++= −
− e
011
1)( bxbxbxbxq nn
nn ++⋅⋅⋅++= −
− serão ditas iguais se, e
somente se, 001111 ,,,, babababa nnnn ==⋅⋅⋅== −− .
19
Dentre as funções polinomiais, há duas que devemos
dar uma importância maior devido às suas inúmeras aplicações
em situações práticas, a saber, a função afim e a função
quadrática.
1.2.2.1. Função Afim
Uma função polinomial ℜ→ℜ:p é dita afim quando existem
constantes ℜ∈ba, tais que baxxp +=)( , para todo ℜ∈x .
Como dizemos anteriormente, caso 0≠a tal função será dita
de grau 1. São casos particulares de funções afins: a função
identidade ℜ→ℜ:p , definida por xxp =)( ; as funções
lineares definidas por axxp =)( e as funções constantes
bxp =)( .
Exemplos: 16. Uma situação bem corriqueira refere-se ao preço pago
numa corrida de taxi, o qual é dado por uma função afim
baxxp +a: , onde x representa a distância percorrida
(geralmente expressa em quilômetros). Nesse caso, a
constante b representa a bandeirada e o preço de cada
quilômetro (ou metro) rodado é dado pelo valor da
constante a .
17. No regime de juros simples, o modelo matemático que
melhor retrata o valor atualizado do montante é
estabelecido pela função afim ( ) CniCnM += .. , onde n
representa o número de período da transação financeira,
i a taxa acordada pelas partes envolvidas na
negociação e C o capital investido.
O gráfico da função afim baxxp +a: é uma linha reta.
Do ponto de
vista
matemático,
existe uma
diferença sutil
entre função
polinomial e
polinômio. Em
nosso contexto,
não faremos
distinção, mas o
leitor interessado
em maiores
detalhes deve
consultar a
referência [3].
20
Existem várias maneiras de se mostrar esse fato, mas há uma
demonstração que, sob nosso ponto de vista, é bastante
simples, geométrica e que utiliza apenas a noção de distância
entre pontos. O leitor interessado pode consultar [3].
Geometricamente, a constante b representa a ordenada onde
a reta corta o eixo OY e a constante a representa a taxa de
variação da função afim baxxp +a: num determinado
intervalo, também chamada de inclinação (ou coeficiente
angular) dessa reta em relação ao eixo horizontal OX .
Na função afim baxxp +a: , a constante b fica determinada a
partir do valor )0(p ; a constante a , por sua vez, pode ser
conhecida a partir dos valores )( 1xp e )( 2xp , assumidos pela
função afim p em dois pontos distintos 1x e 2x ,
respectivamente; de fato, sendo baxxp += 11)( e baxxp += 22 )( ,
temos que ( )2121 .)()( xxaxpxp −=− , isto é:
21
21 )()(xx
xpxpa−−
= .
A partir desta expressão para o valor da constante a , podemos
caracterizar o crescimento ou decrescimento da função afim
baxxp +a: ; com efeito, sabemos que uma função é dita
crescente se )()( 2121 xpxpxx <⇒< e p será dita decrescente
se, dados 1x e 2x , com 21 xx < implicar que )()( 21 xpxp > .
Conseqüentemente, teremos que a função polinomial afim
baxxp +a: é crescente se, e só se, 0>a e será decrescente
se, e só se, 0<a . Ou seja, no sentido de crescimento da
variável independente x , quando 0>a , o gráfico de p é uma
reta ascendente e quando 0<a , a reta é descendente.
21
FIGURA 2
Exemplos:
18. A taxa de inscrição num clube de natação é de
R$ 150,00 para o curso de 12 semanas. Se uma pessoa
se inscreve após o início das aulas, a taxa é reduzida
linearmente. Nessas condições, expressar a taxa de
inscrição como função do número de semanas
transcorridas desde o início do curso. Para uma pessoa
que se inscreveu 5 semanas após o início do curso,
quanto irá pagar?
Solução: Nas condições do problema se chamarmos
)(xP o valor da taxa de inscrição a ser pago após x
semanas do início do curso, temos que 150)0( =P . Uma
vez que esta função é linear, segue-se que esta será
dada pela fórmula: 150)( += mxxP . Para determinarmos
o coeficiente angular, observemos que o mesmo é
negativo, pois se refere à diminuição do valor a ser pago
e observemos, também, que este nos dá o valor a ser
deduzido em cada semana após o início do curso,
portanto, será: 50,1212150
−=−=m . Portanto a função
obtida será: 1505,12)( +−= xxP . Daí, após 5 semanas do
início do curso uma pessoa deverá pagar:
50,871505,12)5( =+⋅−= xP
ou seja, R$ 87,50.
22
19. Um fabricante adquiriu uma máquina por R$ 2.000,00,
valor este que sofre uma depreciação linear até
R$ 100,00 após 10 anos. Calcule o valor da máquina
após 4 anos de uso.
Solução: Por se tratar de um modelo linear, temos que
a função que melhor modela essa situação é a função
afim. Sendo )(xV o valor após x anos de uso, temos
que: 2000)( += mxxV , onde 100 ≤≤ x . O valor do
coeficiente angular pode ser obtido através do quociente:
010)0()10(
−−
=VVm
isto é,
19010
2000100−=
−=m
Portanto, 2000190)( +−= xxV e, conseqüentemente,
1240200076020004190)4( −=+−=+⋅−=V
ou seja, R$ 1.240,00 será o valor da máquina após 4
anos de uso.
1.2.2.2. Função Quadrática
Uma função polinomial ℜ→ℜ:p é dita quadrática (ou de
grau 2) quando existem constantes ℜ∈cba ,, tais que
cbxaxxp ++= 2)( , para todo ℜ∈x , com 0≠a .
Exemplos:
20. A função ℜ→ℜ:p , dada pela lei 12)( 2 +−= xxxp ;
nesse caso, 1,2 −== ba e 1=c .
21. Para a função ℜ→ℜ:p definida por 1)( 2 +−= xxp ,
tem-se que 0,1 =−= ba e 1=c .
23
22. Já para a função ℜ→ℜ:p , dada por 3
)(2xxp = , tem-se
que 31
=a e 0== cb .
Da mesma forma que nas funções afins, geometricamente, a
constante c representa a ordenada onde a parábola corta o
eixo OY e a constante a dá a concavidade da função
cbxaxxp ++2: a ; na referência indicada acima [3], prova-se
que se 0>a , a concavidade da parábola está voltada para
cima e quando 0<a , a concavidade está voltada para baixo.
Vale ressaltar aqui que tal formato da concavidade diz respeito
ao eixo horizontal OX .
Construindo o Gráfico da Função Quadrática Para se construir o gráfico de uma função quadrática é
extremamente importante atentar para os seguintes pontos:
concavidade, o ponto do gráfico que corta o eixo das
ordenadas, os pontos que cortam o eixo das abscissas e
localizar o vértice da parábola.
O formato da concavidade da função quadrática é dado pelo
sinal da constante 0≠a ; como já citamos antes, se 0>a , a
concavidade fica voltada para cima e, quando 0<a a
concavidade fica voltada para baixo.
O ponto do gráfico da função quadrática que corta o eixo das
ordenadas, ou eixo dos sy' é obtido fazendo 0=x na
expressão cbxaxxp ++= 2)( , ou seja, cp =)0( . Portanto, o
ponto em questão é ),0( cP = . Este ponto já é automaticamente
fornecido pela expressão polinomial da função quadrática dada.
O gráfico de
uma função
quadrática é
uma curva plana
chamada
parábola. A
demonstração
desse fato
encontra-se
detalhada na
referência [3].
24
Por exemplo, para a função dada por 13)( 2 ++−= xxxp , o
ponto que corta o eixo dos sy' é o ponto )1,0(=P .
Os pontos que cortam o eixo das abscissas, ou eixo dos sx' ,
podem ser encontrados resolvendo a equação 02 =++ cbxax .
Para isolarmos a incógnita x nesta equação, podemos
conseguir por completude de quadrados como segue:
inicialmente, multiplicando a equação por a4 , obtém-se:
0444 22 =++ acabxxa
Depois, somemos 2b a ambos os membros desta última
igualdade, obtemos: 2222 444 bacbabxxa =+++
Mas esta equação, nada mais é do que: 24)2( bacbax =++
ou equivalentemente,
acbbax 4)2( 22 −=+
Fazendo acb 42 −=∆ , temos que se 0<∆ , a função quadrática
não corta o eixo das abscissas, pois a última equação não
possuirá raízes reais; se 0>∆ , então a equação acima
possuirá duas raízes reais e distintas, a saber:
abx
21∆−−
= e a
bx22
∆+−=
Finalmente, se 0=∆ , a solução da equação acima será dita
raiz real dupla da função quadrática e será dada por a
bx2
−= .
Geometricamente, temos que se 0<∆ o gráfico da função
quadrática não corta o eixo das abscissas, quando 0>∆ , o
gráfico corta duas vezes o eixo das abscissas, a saber, nos
pontos de abscissas a
bx21
∆−−= e
abx
22∆+−
= . Finalmente,
se 0=∆ , então o gráfico da função quadrática “toca” somente
25
uma vez no eixo das abscissas, exatamente no ponto
−= 0,
2abP .
FIGURA 3
O vértice da função quadrática cbxaxxpx ++= 2)(a , é o
ponto cuja abscissa é o número a
bxv 2−= , conseqüentemente,
a ordenada correspondente será o número )( vv xpy = , isto é,
ca
bba
bayv +
−+
−=
22
2
ou seja,
aacbc
ab
abayv 4
424
22
2
2 −−=+−
= .
Portanto, o vértice é o ponto do gráfico da parábola dado por:
∆
−−=aa
bV4
,2
.
Se 0<a , a parábola estará voltada para cima e, portanto, o
vértice V será dito ponto de mínimo da função quadrática,
enquanto que se 0>a , a parábola estará voltada para baixo e,
nesse caso, o vértice V será o ponto de máximo da função
quadrática.
Exemplos: 23. Um fabricante produz objetos por R$ 3,00 cada,
vendendo-os por R$ 5,00. Com este preço, tem havido
uma demanda de 5000 objetos por mês, pelos
consumidores. Pensando em elevar o preço, o
fabricante observa que venderá menos 500 objetos por
mês para cada R$ 1,00 aumentado. Nessas condições,
A observação da
concavidade da
função
quadrática é de
grande valia na
resolução de
problemas na
área Otimização.
26
qual deve ser o novo preço de cada objeto para se obter
o maior lucro possível nas vendas?
Solução: Para esse problema o que queremos é maximizar
a função-lucro. O lucro pode ser expresso da seguinte
maneira:
( ) ( )objetoporlucrovendidosobjetosdenúmeroLucro ⋅=
Seja x o novo preço de venda de cada objeto e )(xL o
lucro correspondente. De acordo com os dados do
problema, o número de objetos vendidos é dado através da
diferença:
( )55005000 −− x
onde 5−x representa o número de aumentos de R$ 1,00.
Como o custo de produção de cada objeto é R$ 3,00, temos
que o lucro por cada objeto é dado pela diferença 2−x .
Portanto, o lucro será dado como:
( )[ ] ( )355005000)( −⋅−−= xxxL
Ou seja,
( )( )315500)( −−= xxxL
Abaixo, está o gráfico da função-lucro obtida acima na
forma fatorada, restrito a seu domínio de importância prática.
Figura 4
27
O valor que fornece o valor máximo desta da função-lucro
corresponde à abscissa do vértice dessa função que é:
92
18==Vx
Ou seja, o novo preço de cada objeto para obtermos o
maior lucro possível deve ser R$ 9,00. E, de acordo com
nossos dados, o lucro máximo é obtido determinando a
imagem de 9=x . Portanto temos
( ) ( ) 180006650039915500)9( =⋅⋅=−⋅−⋅=L
Ou seja, o lucro máximo é R$ 18.000,00.
24. A demanda de um certo produto pelo consumidor é
dado pela fórmula 80050)( +−= ppD unidades mensais,
quando o preço de mercado é de p reais por unidade.
Estime o preço de mercado com o qual é maior o gasto
total mensal do consumidor.
Solução: Nesse caso, o gasto total, )( pG , a ser
determinado, será dado pelo produto entre a demanda e o
preço de mercado, ou seja:
( ) ppppDpG ⋅+−=⋅= 80050)()(
Observe que a função-gasto trata-se de uma função
polinomial de segundo grau em p com concavidade voltada
para baixo. Ademais, pondo
( ) pppG ⋅+−⋅= 1650)(
observamos facilmente que suas raízes são os números
reais 01 =p e 162 =p . Da mesma forma que na questão
anterior, o preço ótimo de mercado com o qual o gasto total
é máximo corresponde à abscissa do vértice dessa
parábola que é obtido como segue:
82
16==vp ,
isto é, R$ 8,00.
28
Figura 5
25. Dentre todos os retângulos de perímetro p qual aquele
de área máxima?
Solução: Essa pergunta pode ser respondida determinando
o valor máximo de uma função quadrática
convenientemente determinada; de fato, sendo x e y as
medidas do comprimento e altura, respectivamente, do
retângulo de perímetro p , temos que: pyx =+ 22 . A área
de tal retângulo é dada pela expressão xyA = . Portanto,
uma vez que 22xpy −
= , resulta que:
−⋅=
22xpxA , ou
seja,
xpxxA2
)( 2 +−=
Portanto, para que )(xAA = seja máxima, devemos
determinar o ponto de máximo de tal função, o qual é dado
pela abscissa do vértice da parábola xpxxA2
)( 2 +−= , pois
tal função é uma parábola com a concavidade voltada para
baixo. Logo:
4)1(22
2p
p
abxv =
−⋅−=−=
Portanto, a outra dimensão do retângulo é dada por
29
424
2p
ppy =
⋅−
=
Logo, tal retângulo de área máxima é um quadrado de
lado 4p .
26. Um ônibus de 60 lugares foi fretado para uma excursão
em Parnaíba (PI). A empresa exigiu de cada passageiro
R$ 40,00 mais R$ 5,00 por cada lugar desocupado. Para
que a rentabilidade da empresa seja máxima determine
o número de passageiros necessários.
Solução: Chamando de x o número de passageiros
presentes, temos que o número de lugares vagos é dado
por x−60 . Sendo )(xR a rentabilidade obtida em função
de x , segue-se que:
( )xxxxR −+= 60560)(
Isto é,
xxxR 3605)( 2 +−=
Portanto a função rentabilidade é uma função polinomial
quadrática com a concavidade voltada para baixo.
Sendo assim )(xR possui um ponto de máximo, a saber,
dado pela abscissa de seu vértice:
3610360
)5(2360
==−⋅
−=vx
Assim serão precisos 36 passageiros presentes para
que a rentabilidade seja a maior possível.
27. Tio João possui uma fábrica de sorvetes. Mensalmente
são vendidos, em média, 400 caixas de picolés pelo
preço R$ 25,00 cada. Com o objetivo de incentivar o
aumento da venda do número de caixas de sorvetes, Tio
João observa que a cada R$ 1,00 diminuído no preço da
caixa, ele vende 40 caixas a mais. Sendo assim, quanto
Tio João deveria cobrar pela caixa para que sua receita
fosse máxima?
30
Solução: Sendo x o número de R$ 1,00 deduzido no preço
de cada caixa, temos que o novo preço da caixa será x−25
e x40400+ será o número de caixas vendidas. Portanto a
receita total recebida por Tio João será dada pela
expressão:
( ) ( )xxxR 4040025)( +⋅−=
Ou seja,
1000060040)( 2 ++−= xxxR
O ponto de máximo desta função quadrática é dado pela
abscissa do vértice, isto é:
( ) 5,780600
402600
==−⋅
−=vx
Não esqueçamos que x é o número de R$ 1,00 deduzido
de R$ 25,00. Logo, o preço ótimo será fornecido pela
diferença
50,17$50,7$00,25$ RRR =−
1.2.3. Funções Exponenciais
As funções exponenciais desempenham um papel de suma
importância no entendimento de muitos modelos matemáticos
complexos. Operações financeiras como capitalização pelo
regime de juros compostos pode ser interpretada com o uso
adequado de manipulações algébricas e modelos exponenciais.
A desintegração radioativa de uma determinada substância, no
decorrer do tempo, pode ser entendida matematicamente
através de modelos exponenciais.
Portanto, faz-se necessário estudar funções exponenciais e,
para tal, começaremos entendendo as propriedades das
potências onde os expoentes são números reais, as quais
servem de alicerce para o desenvolvimento destas funções.
A importância
dos modelos
exponenciais
também aparece
nas operações
financeiras de
empréstimos.
31
1.2.3.1. Potenciação Definição: Seja a um número real tal que 10 ≠< a e n um
número natural. O número real na é definido como segue:
≠⋅⋅⋅⋅=
= 0,...0,1
nseaaaanse
avezesn
n
4434421
Por exemplo, ( ) ( ) ( ) ( ) 333933333
⋅=⋅=⋅⋅= . Como
vemos, a potenciação nada mais é do que uma operação
criada para sintetizar a idéia de um produto de fatores iguais.
Esta notação se presta muito bem a algumas manipulações
algébricas utilizadas em cálculos que envolvam modelos
exponenciais. Como veremos, a mesma tornar-se-á prática e
muito trabalhável. Mais esta definição está restrita a expoentes naturais, e isso
limita muito a aplicabilidade dessa importante ferramenta
matemática. Por exemplo, o que representaria 43− ? No caso
das potências com expoentes do tipo nm −= , onde Nn∈ ,
define-se:
nnm
aaa 1
== −
Por exemplo, 91
313 2
2 ==− . E se, quiséssemos calcular o valor
de 32
21 −
? Nesses casos, onde a potência possui um
expoente fracionário, usaremos a seguinte definição:
n mnm
aa =
Então voltando ao nosso exemplo, temos:
3
332
3
232
4
411
211
21
21
==
=
=
−−
32
E como se define a potência 25 ? Nesse caso, o que se faz é
considerar uma seqüência de números racionais )( nx
convergindo para 2 , isto é, 2→nx , com Qxn ∈ , e definir
nx
n5lim5 2
+∞→=
Agora estamos em condições de definir a função exponencial.
Definição: Seja a um número real tal que 10 ≠< a . A função
ℜ→ℜ:f , dada pela lei xaxfx =)(a , onde ℜ∈x , é
chamada função exponencial.
Observações: 1. Obviamente, temos que 1)0( =f ;
2. Para qualquer ℜ∈x , 0)( >= xaxf , ou seja, o gráfico da
função exponencial não toca o eixo das abscissas,
ficando sempre no semi-plano superior determinado por
tal eixo;
3. Se 10 << a , a função exponencial dada por xaxf =)( é
decrescente, pois se yx < , então yx aa > ;
4. Se 1>a , a função exponencial dada por xaxf =)( é
crescente, pois se yx < , então yx aa < ;
5. Uma propriedade, menos óbvia, da função exponencial
é que a mesma é convexa, isto é, o seu gráfico é
“voltado para cima”. Maiores informações, leia [4]. Veja
o gráfico da função exponencial nos dois casos citados
acima:
O corpo dos números reais é um conjunto completo, no sentido que toda seqüência de Cauchy é convergente. Este é um tópico avançado da Matemática e, portanto, foge ao escopo desse livro.
33
FIGURA 6
Exemplos:
28. ℜ→ℜ:f , dada por xxf 3)( = ;
29. ℜ→ℜ:f , dada por x
xf
=
21)( ;
30. ℜ→ℜ:f , dada por xxf π=)( ;
1.2.4. Função Logarítmica
A função que ora apresentaremos, tem com a função
exponencial uma relação muito intrínseca, na verdade uma é a
inversa da outra. Por isso, ambas desempenham um papel
importante no contexto elucidativo do comportamento de
determinadas grandezas matemáticas.
Do mesmo modo que fizemos no estudo das funções
exponenciais começaremos com algumas definições e
propriedades.
1.2.4.1. Logaritmo
Nomenclatura:
Na notação
cba =log , o
número a é
chamado base do
logaritmo, o
número b de
logaritmando e o
número real c é
o logaritmo.
34
Definição: Sejam a e b números reais tais que 10 ≠< a e
0>b . O logaritmo de b , na base a , o qual denotaremos pelo
símbolo balog , é o número real c , tal que cab = . Isto é:
ca abcb =⇔=log
Então, como vimos, o logaritmo de um determinado número
positivo é o expoente que devemos elevar a base para
obtermos o número positivo dado a priori.
Observe, nesta definição, a relação natural entre potências e
logaritmos; a partir de um se tem o outro e vice-versa. Nesse
sentido é que afirmamos que, como veremos, a função
logarítmica é a inversa da função exponencial.
Por exemplo,
1. 38log2 = , pois 823 = ;
2. 213log3 = , pois 332
1
= ;
3. 38log21 −= , pois 8
21 3
=
−
.
Agora apresentaremos uma lista de propriedades decorrentes
da definição dos logaritmos que serão muito úteis
posteriormente. A título de entendimento, demonstraremos
algumas destas propriedades e deixaremos as demais para o
leitor, como exercício. Por sinal, um belo exercício!
Propriedades dos Logaritmos:
1. 01log =a ;
2. 1log =aa ;
3. ( ) cbcb aaa logloglog +=⋅ ;
4. cbcb
aaa logloglog −=
;
5. ( ) bcb ac
a loglog ⋅= ;
6. ( ) bc
b aac log1log ⋅= ;
35
7. abb
c
ca log
loglog = . (Mudança de Base)
Prova: A título de exemplificação, mostremos a propriedade 4;
fazendo, xcb
a =
log , yba =log e zca =log , por definição,
segue-se que: xacb= , yab = e zac = . Portanto, substituindo
estas duas últimas igualdades na primeira, temos:
zyxaaaaa zyx
z
yx −=⇒=⇒= − ,
ou seja, cbcb
aaa logloglog −=
, como queríamos. ■
Definição: Seja a um número real tal que 10 ≠< a . A função
logarítmica é definida pela seguinte lei de formação:
xxfxf
alog)(: *
=ℜ→ℜ +
a
Exemplos:
3311.. ℜ→ℜ +*:f , dada por xxf 5,0log)( = ;
3322.. ℜ→ℜ +*:f , dada por xxf 5,1log)( = ;
3333.. ℜ→ℜ +*:f , dada por ( )xxf 3log)( π= ;
3344.. ℜ→ℜ +*:f , dada por
=
5log)( 3
xxf .
Convenções: No estudo dos logaritmos é comum fazer as
seguintes convenções: para o logaritmo na base 10=a ,
escreveremos apenas xlog , ao invés de x10log . E, quando
718,2≈= ea (Constante de Napier), escreveremos xln para
representar xelog .
NNeemm sseemmpprree oo ddoommíínniioo ddaa ffuunnççããoo llooggaarrííttmmiiccaa éé oo ccoonnjjuunnttoo ddooss
nnúúmmeerrooss rreeaaiiss ppoossiittiivvooss +ℜ* ; ddee ffaattoo,, aa ddeeffiinniiççããoo eexxiiggee qquuee oo
llooggaarriittmmaannddoo sseejjaa ppoossiittiivvoo ee iissssoo ppeerrmmiittee aalltteerraarr mmuuiittoo oo
36
ddoommíínniioo ddaa ffuunnççããoo llooggaarrííttmmiiccaa ddaaddaa.. PPoorr eexxeemmpplloo,, ppaarraa aa
ffuunnççããoo llooggaarrííttmmiiccaa ddaaddaa ppeellaa rreeggrraa ( )13log)( 3 −= xxf , devemos
impor que 013 >−x , ou seja, 31
>x . Nesse caso, o domínio da
função dada será o conjunto
>ℜ∈=
31; xxD . Vejamos mais
alguns exemplos.
EExxeemmppllooss::
3355.. ℜ→
−>ℜ∈
21;: xxf , ( )12log)( 5,0 += xxf ;
3366.. ℜ→
<ℜ∈
23;: xxf , ( )xxf 23log)( 5,1 −= ;
3377.. ℜ→ℜ*:f , xxf ln)( = ;
3388.. ℜ→
−−ℜ
23:f , 32ln)( += xxf .
OO ggrrááffiiccoo ddaa ffuunnççããoo llooggaarrííttmmiiccaa,, aaoo ccoonnttrráárriioo ddaa ffuunnççããoo
eexxppoonneenncciiaall,, aaoo iinnvvééss ddee sseerr ccoonnvveexxoo éé ccôônnccaavvoo vvoollttaaddoo ppaarraa
bbaaiixxoo.. PPeellaa pprróópprriiaa ddeeffiinniiççããoo,, nnããoo ttooccaarráá oo eeiixxoo ddaass oorrddeennaaddaass
nnoo ppllaannoo ccaarrtteessiiaannoo ee eessttaarr ssiittuuaaddoo àà ddiirreeiittaa ddoo rreeffeerriiddoo eeiixxoo,,
uummaa vveezz qquuee sseeuu llooggaarriittmmaannddoo éé ppoossiittiivvoo.. DDaa mmeessmmaa ffoorrmmaa
qquuee aa ffuunnççããoo eexxppoonneenncciiaall,, qquuaannddoo aa bbaassee ddoo llooggaarriittmmoo ffoorr
ppoossiittiivvoo ee mmeennoorr qquuee 11,, aa ffuunnççããoo llooggaarrííttmmiiccaa sseerráá ddeeccrreesscceennttee
ee qquuaannddoo aa bbaassee ffoorr mmaaiioorr qquuee 11,, aa ffuunnççããoo llooggaarrííttmmiiccaa sseerráá
ccrreesscceennttee..
FFIIGGUURRAA 77
37
1.2.5. Funções Trigonométricas
1.2.5.1. O Círculo Trigonométrico A maneira mais didática, e de certa forma mais elementar, de
se introduzir as funções trigonométricas é através da utilização
do ciclo trigonométrico. O ciclo trigonométrico nada mais é do
que uma circunferência de raio unitário centrada na origem do
plano cartesiano, onde se convencionou um sentido positivo de
percurso, a saber, o sentido contrário ao movimento dos
ponteiros de um relógio.
Na prática o que se faz é considerar o ângulo x , com medida
dada em radiano e, em seguida, percorrer no sentido positivo
de percurso um arco, no ciclo trigonométrico, de medida x . A
esse arco fica subtendido um ângulo central que mede x
radianos. Na figura abaixo representamos o Ciclo
trigonométrico, denotado por C , e as coordenadas de um
ponto genérico ( )yxQ ,= . Então, como CQ∈ , temos que x e
y , satisfazem à equação 122 =+ yx .
FIGURA 8
Do ponto de vista formal matemático o que acabamos de
estabelecer foi uma correspondência entre o conjunto dos reais
e o conjunto de pontos do ciclo trigonométrico; de fato, a cada
número real x associa-se um ponto P do ciclo trigonométrico,
Não esqueçam:
No Círculo
Trigonométrico
adota-se o
sentido positivo
como sendo o
sentido anti-
horário!
38
construído da maneira descrita acima. E dado um ponto P do
ciclo trigonométrico, a medida do arco OP , representa o
número real x determinado por tal ponto.
A correspondência obtida acima é sobrejetora, porém não é
injetora; de fato, suponhamos que o ponto P do ciclo
trigonométrico esteja associado a um certo número real x , o
mesmo ocorrerá com os números reais expressos pela
igualdade πkxy 2+= , onde k é um número inteiro positivo.
Essa observação é imediata, basta o leitor observar que o
inteiro positivo k indicará o número de voltas percorridas no
sentido positivo ao sairmos de O até chegarmos ao ponto final
P .
1.2.5.2. Função Seno Nesta seção faremos uma introdução ao seno de um número
real x , a partir do círculo trigonométrico, tal como foi feito no
ensino médio. Em seguida, definiremos a função seno e
estudaremos algumas propriedades da mesma.
Para definir o seno do número real x começamos, tal como
indicado na figura abaixo, considerando o ângulo orientado θ
cuja medida em radianos é x . A partir da correspondência
acima descrita, consideramos, no círculo trigonométrico, o
ponto P associado ao número real x . Tal ponto possui
coordenadas ),( βα=P tais que 122 =+ βα . Finalmente o seno
de x corresponde à ordenada do ponto P , isto é, xsen=β .
39
FIGURA 9
Desta forma, a cada número real x fica associado um outro
número real que chamaremos de seno de x , usualmente
designado por xsen .
De imediato, observemos que da igualdade 122 =+ βα e,
lembrando que xsen=β , vale a seguinte desigualdade
122 ≤= xsenβ , ou seja, 1≤xsen . Portanto, eliminando o
módulo, segue-se que:
11 ≤≤− xsen
O que fizemos foi definir o seno de um determinado número
real x . Portanto considerando arbitrariamente um número real
qualquer x , temos a seguinte função, chamada de Função
Seno:
[ ]xsenx
sena
1,1: −→ℜ
Para determinados valores de x , utilizando o círculo
trigonométrico, é muito fácil determinar o correspondente valor
do seno de x , senão vejamos:
( ) 12
0212
3
012
00
−=
−=−=
==
=
πππ
ππ
sensensen
sensensen
40
Para obtermos o seno de alguns outros ângulos elementares
podemos recorrer à trigonometria no triângulo retângulo. Para
isso devemos utilizar as razões trigonométricas seno e cosseno.
Mas também podemos utilizar o círculo trigonométrico, que traz
em si uma geometrização muito interessante. Por exemplo,
vamos obter o seno dos seguintes ângulos, expressos em
radianos, ,6π
3π e
4π . Para o cálculo do seno do ângulo
6π ,
observemos a figura abaixo:
Figura 10
O valor do seno do ângulo 6π , corresponde à medida do
segmento PR , ou seja, simbolicamente, PRsen =
6π . Mas
observemos que o triângulo OQP∆ é eqüilátero; de fato, tal
triângulo já é isósceles, pois os segmentos OP e OQ são
congruentes e, ambos, medem 1 unidade, que corresponde à
medida do raio do círculo trigonométrico. Por outro lado, os
ângulos OPR∠ e OQR∠ são congruentes e medem 3π
radianos. Isso mostra que o triângulo OQP∆ é eqüilátero e,
conseqüentemente, 1=== PQOQOP . Uma vez que os
triângulos ORP∆ e ORQ∆ são ambos retângulos e
congruentes, temos que os lados RP e RQ possuem a mesma
medida e, conseqüentemente, 21
== RQRP , isto é,
41
21
6=
πsen .
Para calcularmos o valor do seno de 4π recorreremos, mais
uma vez, ao círculo trigonométrico. Observando a figura abaixo,
Figura 11
temos que o triângulo OQP∆ é retângulo, em Q , e isósceles,
cuja hipotenusa mede 1 unidade de comprimento. Pelo
Teorema de Pitágoras, segue-se que:
122 =+QPOQ
Como QPOQ = , resulta: 1.2 2 =QP , ou seja, 22
=QP . Da
definição, temos que:
22
4=
πsen .
Finalmente, para o cálculo do seno de 3π , recorremos mais
uma vez ao círculo trigonométrico. Observe a figura abaixo.
Figura 12
42
Por construção, os triângulos ORS∆ e OQP∆ são retângulos
em S e Q , respectivamente e, além disso, são congruentes.
Pela correspondência de congruência, os lados SR e QP são
congruentes e, uma vez que
21
6=
=πsenQP ,
segue-se que 21
=SR . Aplicando o Teorema de Pitágoras no
triângulo ORS∆ , temos: ( ) ( ) 122 =+ SROS
Daí segue-se que:
( )43
211
22 =
−=OS
isto é, 23
=OS . Mas por construção, o comprimento do
segmento OS é exatamente o seno de 3π , logo acabamos de
mostrar que 23
3=
πsen .
Um fato muito importante nesse contexto é que a função seno
é uma função ímpar, isto é, para qualquer número real x , vale:
( ) xsenxsen −=−
De fato, esta igualdade fica muito evidente ao observarmos a
figura abaixo:
Figura 13
A curva obtida
ao construirmos
o gráfico da
função sendo, é
denominada
senóide.
43
os triângulos ORP∆ e ORQ∆ são congruentes e,
correspondentemente, RQRP = . Mas, por definição sabemos
que RPxsen = e ( ) RQxsen −=− ; portanto, segue-se que
( )xsenxsen −−= , como queríamos.
Analogamente, usado a mesma técnica utilizada acima,
podemos mostrar as seguintes igualdades, que serão de
grande valia para os cálculos que envolvem a função seno:
( )( )
−=
+
−=+=−
−=
+
xsenxsen
xsenxsenxsenxsen
xsenxsen
23
23
22
ππππ
ππ
Abaixo exibimos o gráfico da função seno restrita ao intervalo
]2,0[ π .
Figura 14
A função seno é periódica, de período π2 , isto é:
( ) ℜ∈∀=+ xxsenxsen ,2π .
Isto quer dizer que, a partir de π2 , ou seja, depois de uma
volta no círculo trigonométrico, os valores do seno se repetem
e, devido a isso, em termos do esboço gráfico a função seno se
estende de forma repetida ao que está figurado no intervalo
]2,0[ π , para a direita e para a esquerda do esboço acima. Veja
a figura abaixo:
44
Figura 15
Uma outra coisa muito importante envolvendo o seno de
números reais e que pode ser resolvido com o auxílio do
círculo trigonométrico diz respeito à resolução da equação: αsenxsen =
onde ℜ∈α . Como resolver esta equação? Como sabemos o
seno do número real α satisfaz: 11 ≤≤− αsen . Para resolver a
equação trigonométrica dada, basta observar que traçando-se
uma reta horizontal r definida pela equação αseny = , os
números reais x que são soluções da equação dada
correspondem aos pontos de interseção P e Q do círculo
trigonométrico com a reta αseny = . Conseqüentemente os
valores de x que resolvem tal equação é α ou απ − , ou difere
destes valores por um múltiplo inteiro de π2 . Desta forma,
temos:
παα kxsenxsen 2+=⇔= ou ( ) παπ kx 2+−=
onde Zk ∈ .
Figura 16
1.2.5.3. Função Cosseno
45
O cosseno de um número real x é definido de maneira
inteiramente análoga à dada para o seno de x . O cosseno de
x é a abscissa do ponto P do círculo trigonométrico associado
ao número real x , tal como está representado na figura abaixo.
FIGURA 17
A função cosseno é aquela que a cada número real x associa
o cosseno de x , que denotaremos por xcos , da seguinte forma:
[ ]xx cos1,1:cos
a
−→ℜ
Da mesma forma que a função seno, temos que a função
cosseno, tal como definida acima, é sobrejetiva, porém não é
injetiva.
A primeira expressão importante que relaciona o cosseno com
o seno e que justifica a razão do nome cosseno, que para ser
mais correto é escrito como co-seno, diz respeito aos arcos
complementares, ou seja:
−= xsenx
2cos π , para todo ℜ∈x .
Com efeito, observando a figura abaixo:
46
Figura 18
temos que os triângulos OQP∆ e ORS∆ são congruentes. O
segmento OQ corresponde ao cosseno do número real x ,
enquanto o segmento OS corresponde ao seno do número real
x−2π . Como eles representam dois lados correspondentes
pela congruência dos triângulos OQP∆ e ORS∆ , segue-se que:
−=⇒= xsenxOSOQ
2cos π .
Agora, o número real x que trabalhamos no parágrafo anterior
está relacionado com um ponto P do círculo trigonométrico
situado no primeiro quadrante. Mas este mesmo raciocínio
estende-se de forma bastante natural para os demais
quadrantes, de forma que:
ℜ∈∀
−= xxsenx ,
2cos π .
Esta igualdade permite-nos calcular o valor do cosseno de
alguns ângulos elementares nos quais sabemos calcular o
respectivo valor do seno, senão vejamos:
• 12
02
0cos =
=
−=
ππ sensen
• 23
3626cos =
=
−=
ππππ sensen
• 22
4424cos =
=
−=
ππππ sensen
47
• 21
6323cos =
=
−=
ππππ sensen
• 1222
cos −=
−=
−=
−=
πππππ sensensen
• ( ) 02
322
3cos =−=−=
−=
πππππ sensensen
• ( ) ( ) 112
32
322
2cos =−−=
−=
−=
−=
πππππ sensensen
Com a utilização do círculo trigonométrico, é fácil provar que a
função cosseno é par, isto é,
( ) ℜ∈∀−= xxx ,coscos
de fato,
( ) xxsenxsenx cos22
cos =
−=
+=−
ππ .
Vale também as seguintes igualdades, para todo ℜ∈x :
( )( ) xx
xxcoscoscoscos
−=−−=+
ππ
Para maiores esclarecimentos ao leitor, mostremos a primeira
dessas duas igualdades, a outra igualdade é demonstrada de
forma inteiramente análoga:
( ) ( )
−−=
+−=+ xsenxsenx
22cos ππππ
ou seja,
( ) xxsenxsenx cos22
cos −=
+−=
+−=+
πππ
A igualdade
−= xsenx
2cos π , mostra que o gráfico da função
cosseno pode ser obtido a partir do gráfico da função seno
transladando-o para a esquerda 2π unidades. Veja o gráfico da
função cosseno a seguir:
48
Figura 19
Seja x um número real e ( )δε ,=P o ponto no círculo
trigonométrico associado ao número real x dado. Por
definição, sabemos que xcos=ε e xsen=δ correspondem aos
catetos de um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 1
unidade de comprimento. Pelo Teorema de Pitágoras, segue-
se que 122 =+δε , isto é,
1cos 22 =+ xsenx .
Esta é conhecida como a Relação Trigonométrica
Fundamental, a qual é verdadeira para qualquer ℜ∈x .
Agora, como fizemos ao estudarmos a função seno, vamos
aprender resolver algumas equações trigonométricas
envolvendo o cosseno de números reais. Para tal comecemos
com a equação: αcoscos =x
onde α é um número real dado e x é a incógnita. Usando a
igualdade
−= xsenx
2cos π , resulta:
−=
− αππ
22senxsen ,
portanto, temos
παππ kx 222
+−=− ou παπππ kx 222
+
−−=− ,
para todo Zk ∈ , ou seja,
πα kx 2+= ou πα kx 2+−= ,
ou equivalentemente,
Zkkx ∈∀+±= ,2 πα .
49
Consideremos agora a equação do tipo: xsenx =cos , para todo
ℜ∈x . A idéia é transformarmos toda a equação em função
somente de seno ou cosseno. Uma vez que
−= xxsen
2cos π ,
logo,
−= xx
2coscos π ,
ou seja,
ππ kxx 22
+
−= ou ππ kxx 2
2+
−−=
A segunda equação é impossível, portanto, obrigatoriamente
temos que:
Zkkxkxx ∈∀+=⇒+
−= ,
42
2ππππ .
1.2.5.4. Função Tangente
A tangente de um número real x , denotado por xtg , é definido
como a razão entre o seno e o cosseno, nessa ordem, do
número real x , ou seja,
xxsenxtg
cos= .
Observemos que, para essa razão devemos impor que
0cos ≠x . Daí só existe tangente para os números reais x
pertencentes ao conjunto:
∈+≠ℜ∈= ZkkxxD ,
2; ππ
Portanto, a função tangente é definida como segue:
xxsenxtgx
Dtg
cos
:
=
ℜ→
a
50
Geometricamente, a tangente de um número real x
pertencente ao intervalo ,2
,0
π possui uma interpretação muito
simples no círculo trigonométrico, o qual encontra-se
representado no gráfico abaixo:
Figura 20
Observemos que os triângulos, representados no círculo
trigonométrico acima, OQP∆ e OSR∆ são semelhantes,
portanto seus lados são proporcionais, isto é:
OSSR
OQQP
=
Pela definição, OQQPxtg = e, observando que 1=OS , pois é o
raio do círculo trigonométrico, segue-se que:
SROQQPxtg ==
Para
∈
2,0 πx , como o círculo trigonométrico possui raio
medindo 1 unidade de comprimento, temos que o comprimento
do arco SP é igual à medida (em radianos) do ângulo ao
centro, ou seja, x . Concluímos assim que, para todo
∈
2,0 πx
, se tem xxsen ≤ . Retornando ao triângulo OSR∆ no círculo
anterior, temos que a área desse triângulo é maior que a área
do setor circular OSP . Por outro lado, como o raio do círculo
trigonométrico mede 1 unidade de comprimento, sabemos que
51
a área do setor circular OSP é dada por x21 e, a área do
triângulo OSR∆ é dada por SROS ⋅⋅21 ; portanto, segue-se que:
SROSx ⋅⋅≤⋅21
21
Uma vez que, 1=OS e xtgSR = , segue-se que:
xtgx ≤
Concluindo, para todo
∈
2,0 πx , temos que:
xtgxxsen ≤≤
52
EXERCÍCIOS
1. Sejam T o conjunto dos triângulos do plano e )(rC o
conjunto dos círculos do plano cartesiano de raio 0>r e
)(: rCTf → a correspondência que associa a cada
triângulo Tx∈ um círculo )()( rCxf ∈ que possuem
áreas iguais. Pergunta-se: “ f é função?” Justifique sua
resposta.
2. Determinar o domínio da função ℜ→Df : , definida
pela regra: xx
xxf313)( 2 −
+= .
3. Desde o início do mês, um reservatório de água de um
local tem sofrido um vazamento numa razão constante.
No dia 15, o reservatório possuía cerca de 100 milhões
de litros de água e, no dia 25, possuía somente 44
milhões de litros.
a) Expresse a quantidade de água como função do
tempo e construa o gráfico correspondente.
b) Calcule a quantidade de água do reservatório, no dia
12.
4. A cada 20 anos, um certo livro tem seu valor triplicado.
Originalmente, o preço do livro era de R$ 300,00.
Nestas condições, pede-se:
a) O valor do livro quando tiver 40 anos. E quando tiver
60 anos?
b) A relação entre o valor e o tempo do livro é linear?
Justifique.
5. Qual o conjunto imagem da função ℜ→ℜ:f definida
pela lei 1)( 2 −= xxf .
6. Determine o conjunto dos números reais x tais que:
.2
122
2
xxxx
−−+
53
7. Com um lápis cuja ponta tem mm02,0 de espessura,
deseja-se traçar o gráfico da função xxf 2)( = . Até que
distância à esquerda do eixo vertical pode-se ir sem que
o gráfico atinja o eixo horizontal?
8. A grandeza y se exprime como tbay = em função do
tempo t . Sejam d o acréscimo que se deve dar a t para
que y dobre e m (meia-vida de y ) o acréscimo de t
necessário para que y se reduza à metade. Mostre que
dm −= e dt
by 2.= , logo 2log
12loga
ad == .
9. Observações feitas durante longo tempo mostram que,
após período de mesma duração, a população da terra
fica multiplicada pelo mesmo fator. Sabendo que essa
população era de 2,68 bilhões em 1956 e 3,78 bilhões
em 1972, pede-se:
a) O tempo necessário para que a população da terra
dobre de valor.
b) A população estimada para o ano 2012.
c) Em que ano a população da terra era de 1 bilhão.
10. A função ( )tP 04,1.60= representa a estimativa do
Produto Interno Bruto em bilhões de dólares (PIB) de um
país no ano t adotando-se a seguinte convenção:
0=t representa o ano de 1996;
1=t representa o ano de 1997;
2=t representa o ano de 1998;
e assim por diante. Use a calculadora e responda:
a) Qual a estimativa do PIB em 2005?
b) Em que ano o PIB será o dobro do que era em
1996? E o triplo? Em geral, em que ano o PIB
será igual ao PIB inicial multiplicado por x ?
11. Determine as três menores soluções positivas da
equação: 04
3cos =
−
πx .
54
12. Determinar o conjunto dos números reais x tais que:
−
32tan πx
13. Para que valores de x tem-se 21
>xsen ?
14. Para que valores reais de m existe x tal que
23 −= mxsen ?
55
56
SUMÁRIO
UNIDADE 2: Limite e Continuidade 2.1. Introdução 57
2.2. Limite de Funções 58
2.2.1. Noção Intuitiva de Limite 58
2.2.2. Definição de Limite 59
2.2.3. Propriedades Operatórias de Limites 59
2.2.4. Limites Fundamentais 60
2.2.5. Limite da Função Composta
2.3. Continuidade de Funções 65
2.3.1. Definição de Continuidade 65
2.3.2. Pontos de Desconhecimento de uma Função 67
2.3.2. Propriedades Operatórias entre Funções Contínuas 68
Exercícios 70
57
2 LIMITE E CONTINUIDADE
2.1. Introdução
Em toda esta unidade estudaremos, sem muito rigor
matemático, as noções básicas de limites e derivadas. Na
verdade, dessas duas a mais importante pelo seu conteúdo é a
noção de limite, pois como veremos derivada é, por definição,
um limite especial.
Muitos estudiosos famosos estudaram e expuseram
suas idéias sobre o importante tema Limite. O matemático
francês, Augustin Louis Cauchy (1789-1857) foi, dentre outros,
um grande estudioso da Teoria dos Limites. Mas antes dele,
podemos citar outros grandes nomes, a saber, o matemático e
físico inglês Isaac Newton (1642-1727), o matemático alemão
Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) já haviam desenvolvido
o Cálculo Infinitesimal.
A noção de Limite é essencialmente o que há de
sustentação na teoria de derivação e integração. Por conta
disso, essa noção também se estende às teorias de equações
diferenciais ordinárias, estas por sua vez desempenham um
papel crucial no desvendamento do comportamento de
determinados fenômenos tanto na Física como na Biologia,
Química e outras áreas das Ciências Exatas.
Basicamente esta unidade encontra-se dividida em duas
seções: na primeira estudaremos as noções básicas de limites,
enquanto que na segunda seção descreveremos o que há de
importante, nesse contexto, sobre derivadas.
As demonstrações de proposições e teoremas, aqui
enunciados, podem ser encontradas com rigor matemático em
muitas referências, mas queremos aqui indicar o livro de
Análise Real do autor Elon Lages Lima. Trata-se de uma
referência brilhante no assunto.
O tópico Limites, a nível de ensino médio, pode ser visto com mais detalhes no site da Revista do Professor de Matemática da Sociedade Brasileira de Matemática.
58
2.2. Limites Nesta seção dissertaremos sobre limites que se constitui
numa das mais belas e imprescindíveis idéias do calculo
diferencial e integral. Nós poderíamos citar milhões de
exemplos onde se utilizada largamente os cálculos envolvendo
limites. Mas deixaremos essa descoberta para o nosso aluno
que a partir de então se prevalecerá da aprendizagem de uma
das mais importantes idéias de toda a Matemática Moderna.
2.2.1. Noção Intuitiva de Limite
A idéia de limite, como o próprio nome diz, refere-se à
noção de proximidade, à noção de está próximo o suficiente.
Aqui estaremos preocupados em estudar o comportamento das
imagens de pontos que estão “próximos” de um determinado
número real.
Ou seja, estaremos considerando pontos arbitrariamente
próximos de um determinado ponto e ao olharmos para as
imagens desses pontos estaremos interessados em
observarmos se tais imagens ficam próximas de algum número
real. Caso afirmativo esse será o limite em questão.
Formalizando melhor esta idéia, consideremos uma
função
ℜ→ℜ⊆fDf :
e escolhamos um número real a tal que possamos se
aproximar desse número por pontos fDx∈ , isto é, para
qualquer número suficientemente pequeno 0>ε , a interseção
( ) φεε ≠∩+− fDaa ,
Assim sendo, para todo ( ) fDaax ∩+−∈ εε , , onde 0>ε e
arbitrário, queremos saber se )(xf estão próximos de algum
número real L .
59
2.2.2. Definição de Limite
Definição: Sejam que ℜ→ℜ⊆fDf : e a um ponto que pode
ser aproximado por pontos fDx∈ , diremos que o limite de
)(xf existe, e é igual a L , se, e somente se:
para fDx∈ “próximo” de a ⇒ )(xf esteja “próximo” de L
Simbolicamente, a representação será:
Lxfax
=→
)(lim
Exemplos:
1. 82lim 33
2==
→x
x
2. 31
3313
31lim
3=
−−+−
=
−+
−→ xx
x
3. 02
3cos2
2cos2
2coslim ==
−=
−
→
πππππ
xx
4. 204822lim22 2.33
2==
→
x
x
5. 14
tan44
.2tan4
2tanlim4
==
−=
−
→
πππππ
xx
2.2.3. Propriedades Operatórias de Limites
O resultado a seguir reúne todas as propriedades
indispensáveis para o andamento de nossos cálculos
referentes a derivadas. Não demonstraremos, uma vez que
essa meta foge aos objetivos deste livro. Mas o leitor
interessado em ver as demonstrações pode consultar [3].
Teorema: Sejam ℜ→ℜ⊆Dgf :, funções e ℜ∈a tais que
existam os limites:
Lxfax
=→
)(lim e Mxgax
=→
)(lim
Importante:
Não é necessário
que a pertença
ao domínio da
função. A
exigência que se
faz sobre o
número a é que o
mesmo possa ser
aproximado por
pontos do
domínio de f .
60
Então as funções gf + , gf − , gf ⋅ e gf admitem limite no
ponto ℜ∈a e, além disso, vale:
• ( ) ;)(lim)(lim)(lim MLxgxfxgfaxaxax
+=+=+→→→
• ( ) ;)(lim)(lim)(lim MLxgxfxgfaxaxax
−=−=−→→→
• ( ) ;)(lim)(lim)(lim MLxgxfxgfaxaxax
⋅=⋅=⋅→→→
• )0(,)(lim
)(lim)(lim ≠==
→
→
→M
ML
xg
xfx
gf
ax
ax
ax.
• Se )()( xgxf ≤ , para todo Dx∈ , então temos que:
)(lim)(lim xgxfaxax →→
≤ , isto é, ML ≤ .
Exemplos:
6. ( ) 912.2212lim 22
2=++=++
→xx
x
7. ( ) ( ) ( ) 1168123213lim 33
2−=++−=+−−−=+−
−→xx
x
8. ( )( ) ( )( ) ( ) 155.32.3112311lim 22
2−=−=−−=−−
→xx
x
2.2.4. Limites Fundamentais
A seguir enunciaremos alguns limites que serão de
grande valia para os nossos propósitos futuros, no que
concerne aos cálculos envolvendo limites e, posteriormente,
derivadas.
As demonstrações destes limites encontram-se nas mais
diversas referências bibliográficas, mas a título de sugestão, o
leitor interessado pode consultar [2] ou [3].
61
22..22..44..11.. LLiimmiittee TTrriiggoonnoommééttrriiccoo FFuunnddaammeennttaall
PPrrooppoossiiççããoo:: 1lim0
=→ x
xsenx
MMaaiiss uummaa vveezz,, aa ddeemmoonnssttrraaççããoo ddeessssee ffaattoo ppooddee sseerr
eennccoonnttrraaddoo eemm [[33]].. AAqquuii oo nnoossssoo oobbjjeettiivvoo éé uussaarr ttaall lliimmiittee nnaa
rreessoolluuççããoo ddooss pprroobblleemmaass qquuee eennvvoollvvaamm ccáállccuulloo ddee lliimmiitteess ddee
oouuttrraass ffuunnççõõeess ttrriiggoonnoommééttrriiccaass..
Exemplos:
9. Calcular o valor do seguinte limite: ( )x
xsenx
3lim0→
.
Solução: Para calcular o valor desse limite, basta fazermos
a seguinte mudança de variável xy 3= . Daí temos:
( )y
yseny
ysenx
xsen⋅== 3
3
3
Agora, observemos que se 0→x , temos que 0→y .
Portanto, segue-se que:
( ) 313lim33lim3lim000
=⋅=⋅=⋅=→→→ y
yseny
ysenx
xsenyyx
10. Calcular o limite:
6
32
lim6
π
π
π−
−
→ x
xsen
x.
Solução: Aqui fazendo a mudança de variável 3
2 π−= xy ,
temos que 26yx =−
π . E, observando que se 6π
→x resulta
que 0→y , segue-se que:
212lim22lim
2
lim
6
32
lim000
6
=⋅=⋅=
⋅==
−
−
→→→→ yysen
yysen
yysen
x
xsen
yyyx π
π
π
11. Calcule o limite: x
xx
cos1lim0
−→
62
Solução: Esse limite, aparentemente, não decorre do limite
trigonométrico fundamental. Mas, como havíamos dito antes,
qualquer limite que envolva funções trigonométricas
devemos pensar, a priori, no limite trigonométrico
fundamental. Sendo assim, observe que:
( )( )( ) ( )xx
xxx
xxx
xcos1
cos1cos1
cos1cos1cos1 2
+−
=+
+−=
−
Agora recordando a relação trigonométrica fundamental,
1cos 22 =+ xxsen ,
temos que xxsen 22 cos1−= , portanto voltando à igualdade
anterior envolvendo x
xcos1− , resulta que:
( ) xxsen
xxsen
xxxsen
xx
cos1cos1cos1 2
+⋅=
+=
−
Logo, calculando o limite teremos:
+
⋅=−
→→ xxsen
xxsen
xx
xx cos1limcos1lim
00
Pelas propriedades operatórias de limite, segue-se que:
00.1cos1
limlimcos1lim000
==
+
⋅
=
−→→→ x
xsenx
xsenx
xxxx
22..22..44..22.. LLiimmiittee EExxppoonneenncciiaall FFuunnddaammeennttaall
PPrrooppoossiiççããoo:: ex
x
x=
+
+∞→
11lim ,, oonnddee 32 << e ,, éé uumm nnúúmmeerroo
iirrrraacciioonnaall,, ddeennoommiinnaaddoo ccoonnssttaannttee ddee EEuulleerr..
NNaa vveerrddaaddee,, nnoo lliimmiittee ddeessssaa pprrooppoossiiççããoo,, ppooddeemmooss ssuubbssttiittuuiirr
+∞→x ,, ppoorr −∞→x qquuee oo rreessuullttaaddoo sseerráá oo mmeessmmoo.. OOuu sseejjaa,,
ex
x
x=
+
±∞→
11lim
VVaammooss nneessssee mmoommeennttoo ccaallccuullaarr oo vvaalloorr ddee aallgguunnss lliimmiitteess
qquuee eennvvoollvveemm oo lliimmiittee eexxppoonneenncciiaall ddeessccrriittoo aacciimmaa.. ÉÉ bboomm
rreessssaallttaarr qquuee nneessssee ppoonnttoo sseerriiaa mmuuiittoo iimmppoorrttaannttee qquuee oo lleeiittoorr,,
ccaassoo nneecceessssáárriioo,, ffaaççaa uummaa rreevviissããoo ssoobbrree ppootteenncciiaaççããoo..
63
EExxeemmppllooss::
1122.. CCaallccuullee oo vvaalloorr ddoo lliimmiittee:: x
x x
321lim
−
+∞→
SSoolluuççããoo:: PPaarraa ccaallccuullaarr oo vvaalloorr ddeessssee lliimmiittee,, sseerreemmooss bbeemm
oobbjjeettiivvooss ee pprrááttiiccooss.. AA iiddééiiaa éé ffaazzeerr ccoomm qquuee aappaarreeççaa aa
eexxpprreessssããoo x
x
+
11 ,, ccoomm ±∞→x ;; ppaarraa ttaall ffaarreemmooss aa
sseegguuiinnttee mmuuddaannççaa ddee vvaarriiáávveell:: xy21
−= ,, eeqquuiivvaalleenntteemmeennttee
tteemmooss yx 2−= .. SSeennddoo aassssiimm,, oobbsseerrvveemmooss qquuee ssee +∞→x ,,
tteemmooss qquuee −∞→y .. PPoorrttaannttoo,, rreessuullttaa::
6
663 11lim11lim21lim −
−
−∞→
−
−∞→+∞→=
+=
+=
− e
yyx
y
y
y
y
x
x
1133.. QQuuaall oo vvaalloorr ddoo lliimmiittee 12
21lim
−
+∞→
−+ x
x xx
SSoolluuççããoo:: IInniicciiaallmmeennttee,, oobbsseerrvveemmooss aass sseegguuiinntteess
mmaanniippuullaaççõõeess aallggéébbrriiccaass:: 1212
231
21 −−
−+=
−+ xx
xxx
AAggoorraa ffaazzeennddoo 2
31−
=xy
,, sseegguuee--ssee qquuee 23 += yx ,, llooggoo
363612 11111121
+⋅
+=
+=
−+
+−
yyyxx
yyx
PPoorr oouuttrroo llaaddoo,, ssee +∞→x ,, tteemmooss qquuee +∞→y ,, ppoorrttaannttoo
6636
12
11111lim21lim ee
yyxx
y
y
x
x=⋅=
+⋅
+=
−+
+∞→
−
+∞→
64
UUmmaa oouuttrraa ffoorrmmaa ddee oollhhaarrmmooss ppaarraa oo lliimmiittee eexxppoonneenncciiaall
ffuunnddaammeennttaall éé aattrraavvééss ddaa mmuuddaannççaa ddee vvaarriiáávveell x
y 1= ..
NNeessssee ccoonntteexxttoo,, tteemmooss qquuee ssee ±∞→x ,, eennttããoo 0→y ..
PPoorrttaannttoo,, oo lliimmiittee eexxppoonneenncciiaall rreedduuzziirr--ssee--áá::
( ) yyx
ye1
01limlim +==
→±∞→
1144.. QQuuaall oo vvaalloorr ddoo lliimmiittee;;
( ) x
xx 3
021lim −
→
SSoolluuççããoo:: NNeessssee ccaassoo ffaaççaammooss aa mmuuddaannççaa ddee vvaarriiáávveell
xy 2−= ,, ppoorrttaannttoo rreessuullttaa qquuee 2yx −= ;; llooggoo,, uummaa vveezz qquuee
0→x ,, rreessuullttaa ttaammbbéémm qquuee 0→y .. SSeennddoo aassssiimm tteemmooss::
( ) ( ) ( )[ ] 23
23
02
3
0
3
01lim1lim21lim
−−
→
−
→→=+=+=− eyyx y
y
y
y
x
x
2.2.5. Limite da Função Composta
Usaremos, para nossos propósitos, o resultado a seguir,
sem nos preocupar com demonstrações, uma vez que isso
foge aos objetivos desse livro.
Proposição:
Sejam f e g funções reais de variável real tais que:
bxfax
=→
)(lim e g seja contínua em b , isto é, )()(lim bgxgbx
=→
.
Então, podemos afirmar que:
( ) )()(lim))((lim bgxfgxfgaxax
==→→
AAllgguummaass aapplliiccaaççõõeess ddeessssee iimmppoorrttaannttee rreessuullttaaddoo ppooddeemm sseerr
vviissttaass nnooss eexxeemmppllooss aabbaaiixxoo::
1155.. ( ) ( )( ) ( ) 10ln24.3ln23limln23lnlim44
=−=−=−→→
xxxx
1166.. 21
3cos
32limcos
32coslim ==
−
=
−
→→
πππππ
xxxx
Sobre a
definição do
limite de uma
função
composta,
podemos
encontrar uma
argumentação
mais rigorosa, do
ponto de vista
matemático, em
[3].
65
1177.. ( ) ( ) 3333lim 1111lim1
1
22
12
=== +−+−+−
→
→xxxx
xx
2.3. Continuidade Uma primeira aplicação do conceito de limite diz respeito
à noção de continuidade. É muito importante tal conceito, uma
vez que, em sua quase maioria, a s funções com as quais
trabalhamos são funções contínuas e que possuam uma
“suavidade” bastante razoável para os nossos propósitos.
Mais adiante daremos um tratamento mais correto, do
ponto de vista matemático, dessa última afirmação feita no
parágrafo anterior.
2.3.1. Definição de Continuidade
Definição:
I. Diremos que uma função ℜ→ℜ⊆fDf : é
contínua num ponto fDa∈ se, e somente se:
)()(lim afxfax
=→
II. Diremos que ℜ→ℜ⊆fDf : é contínua, se ela é
contínua em todo fDa∈ .
Ou seja, a função )(xf é contínua num ponto a , se:
1) a função é determinada no ponto a , isto é, fDa∈ ;
2) existe o limite finito )(lim xfax→
;
3) além disso, este limite é igual ao valor da função no ponto a ,
isto é, )()(lim afxfax
=→
.
Uma outra forma de se expressar continuidade de uma
função um ponto de seu domínio, é através da mudança:
axh −= . Observe, que se x se aproxima de a , a diferença
66
axh −= se aproxima de zero. Portanto, o limite )()(lim afxfax
=→
,
pode ser reescrito na forma: )()(lim0
afhafh
=+→
ou equivalentemente, [ ] 0)()(lim0
=−+→
afhafh
. Observemos que
nessa última igualdade, a partir da igualdade axh −= ,
obtemos hax += .
Abaixo, mostramos alguns exemplos gráficos de funções
contínuas e outras que não o são.
Figura 2 1
Figura 22
Exemplos:
1188.. MMoossttrreemmooss qquuee aa ffuunnççããoo 2)( xxf = éé ccoonnttíínnuuaa ppaarraa ttooddoo
ℜ∈a ..
SSoolluuççããoo:: DDee ffaattoo,,
67
[ ] ( )[ ] [ ] 02limlim)()(lim 2
0
22
00=+=−+=−+
→→→hahahaafhaf
hhh
1199.. AAggoorraa,, vveerriiffiiqquueemmooss qquuee aa ffuunnççããoo xseny = éé ccoonnttíínnuuaa..
SSoolluuççããoo:: DDee ffaattoo,, uussaannddoo aa ffóórrmmuullaa iiddeennttiiddaaddee
ttrriiggoonnoommééttrriiccaa::
( )
+
=−+
2cos
22 hahsenasenhasen ,,
tteemmooss qquuee::
( ) hhah
hsenasenhasen ⋅
+⋅
=−+2
cos
2
2
UUmmaa vveezz qquuee,, ppaarraa ttooddoo ℜ∈x ,, tteemmooss::
,1cos ≤x
segue-se que:
hh
hsenhha
h
hsen⋅
≤⋅
+⋅
≤
2
22
cos
2
20
Ao limite com 0→h , observando que:
0lim1
2
2lim00
==
→→he
h
hsen
hh
segue-se que:
[ ] 0)()(lim0
=−+→
asenhasenh
ou seja,
( ) asenhasenh
=+→0
lim
2.3.2. Pontos de Descontinuidade de uma Função
Uma função )(xfy = é dita descontínua num ponto a
de seu domínio, quando a mesma não é contínua nesse ponto.
Por exemplo, a função ℜ→ℜ:f definida pelas sentenças:
68
2)( xxf = , se 0≤x e 1)( −= xxf , se 0>x , é descontínua no
ponto 0=x ; de fato, os limites laterais à esquerda e à direita,
valem respectivamente, 0 e 1− . Como esses limites laterais
são distintos, segue-se que a condição (2), da definição de
continuidade, é violada. Um outro exemplo é a função definida
pela lei ( )21
1)(−
=x
xf , se 1≠x e 0)1( =f ; aqui, a condição (2)
também é violada, pois o limite da função no ponto 1=x não é
finito.
2.3.3. Propriedades Operatórias de Continuidade
As propriedades de funções contínuas, praticamente são
as mesmas relacionadas no Teorema na seção de Limite.
Vamos enunciá-las, da mesma forma que fizemos no estudo
dos limites, para evidenciar a importância de todas elas e para
usá-las quando preciso.
Teorema 1:
Sejam ℜ→ℜ⊆Dgf :, funções contínuas num ponto
Da∈ . Então as funções gf + , gf − , gf ⋅ e gf , também são
contínuas no mesmo ponto Da∈ e, além disso, vale:
• ( ) );()()(lim)(lim)(lim agafxgxfxgfaxaxax
+=+=+→→→
• ( ) );()()(lim)(lim)(lim agafxgxfxgfaxaxax
−=−=−→→→
• ( ) );()()(lim)(lim)(lim agafxgxfxgfaxaxax
⋅=⋅=⋅→→→
• )0)((,)()(
)(lim
)(lim)(lim ≠==
→
→
→ag
agaf
xg
xfx
gf
ax
ax
ax.
Como na maioria dos casos as funções que trabalhamos
são funções oriundas da composição de outras funções, vamos
enunciar um resultado que trata da continuidade de funções
69
compostas. Como sempre, evitaremos as demonstrações
desses fatos, pois os mesmos fogem aos objetivos desse livro,
numa primeira instância.
Teorema 2: A composta de duas funções contínuas é contínua.
Ou seja, se ℜ→ℜ⊆Af : e ℜ→ℜ⊆Bg : são contínuas nos
pontos Aa∈ e Bb∈ , respectivamente, e, além disso,
BAf ⊂)( , então ℜ→ℜ⊆Afg :o é contínua no ponto Aa∈ .
Exemplos: 20. Uma vez que a função xx a é contínua em toda a reta
real, isto é, para todo ℜ∈x , pelo Teorema 1, o mesmo
ocorre com a função nxx a , para todo número natural
n .
21. Ainda com o uso do Teorema 1, temos que todo
polinômio ℜ→ℜ:p , dado por:
012
21
1)( axaxaxaxaxp nn
nn +++⋅⋅⋅++= −
−
onde os coeficientes 0121 ,,,,, aaaaa nn ⋅⋅⋅− são números
reais, são funções contínuas.
22. Também é contínua, toda função racional )()()(
xqxpxf =
(quociente de dois polinômios), nos pontos onde é
definida, ou seja, nos pontos onde seu denominador não
se anula, ou seja, 0)( ≠xq .
23. Agora consideremos a função ℜ→ℜ:f , definida por
xx
xf =)( , se 0≠x e 0)0( =f . Nesse caso, 1)( −=xf
para 0<x e 1)( =xf para 0>x . Portanto, a função f é
contínua para todo 0≠x , mas não o é para 0=x , uma
vez que não existe o limite )(lim0
xfx→
.
70
EEXXEERRCCÍÍCCIIOOSS
11)) MMoossttrree,, aattrraavvééss ddee eexxeemmppllooss,, qquuee aa eexxiissttêênncciiaa ddoo lliimmiittee
( ))()(lim xgxfax
⋅→
,,
nnããoo iimmpplliiccaa nnaa eexxiissttêênncciiaa ddooss sseegguuiinntteess lliimmiitteess::
)(lim)(lim xgexfaxax →→
22)) CCaallccuullaarr oo vvaalloorr ddee ccaaddaa lliimmiittee aabbaaiixxoo::
aa)) 11lim
3
1 −−
→ xx
x
bb))
−−
−→ 31 13
11lim
xxx
cc)) 20
cos1lim
xx
x
−→
33)) CCaallccuullaarr oo lliimmiittee aabbaaiixxoo::
aa)) 2
121lim
x
x xx
++
+∞→
bb)) ( )x
xx
+→
1lnlim0
44)) DDeetteerrmmiinnee oo vvaalloorr ddaa ccoonnssttaannttee ℜ∈k qquuee ttoorrnnee
ccoonnttíínnuuaa aa ffuunnççããoo aabbaaiixxoo::
>+≤−
=2,22,1
)(2
xkxxx
xf
55)) DDêê eexxeemmpplloo ddee dduuaass ffuunnççõõeess ccuujjaa ssoommaa éé ccoonnttíínnuuaa,, mmaass
ttaaiiss ffuunnççõõeess nnããoo sseejjaamm ccoonnttíínnuuaass..
66)) DDêê eexxeemmpplloo ddee dduuaass ffuunnççõõeess ccuujjoo pprroodduuttoo éé uummaa ffuunnççããoo
ccoonnttíínnuuaa,, ppoorréémm ttaaiiss ffuunnççõõeess ssããoo ddeessccoonnttíínnuuaass..
77)) AA ffuunnççããoo ℜ→ℜ:f ddeeffiinniiddaa ppeellaa lleeii::
=
≠−−+
=0,
21
0,11
)(x
xx
xx
xf
71
éé ccoonnttíínnuuaa eemm ttooddoo oo sseeuu ddoommíínniioo?? JJuussttiiffiiqquuee ssuuaa
rreessppoossttaa..
88)) EExxpprreessssee aa áárreeaa ddee uumm ccaammppoo rreettaanngguullaarr ccuujjoo ppeerríímmeettrroo
éé ddee 332200 mmeettrrooss ccoommoo ffuunnççããoo ddoo ccoommpprriimmeennttoo ddee uumm
ddooss llaaddooss.. CCoonnssttrruuaa oo ggrrááffiiccoo ccoorrrreessppoonnddeennttee ee ccaallccuullee
aass ddiimmeennssõõeess ddoo ccaammppoo ddee áárreeaa mmááxxiimmaa..
99)) MMoossttrree qquuee aa ffuunnççããoo ℜ→ℜ:f ,, ddaaddaa ppoorr xxf cos)( = éé
ccoonnttíínnuuaa.. FFaaççaa oo mmeessmmoo ppaarraa aa ffuunnççããoo ddaaddaa ppoorr
xsenxf =)( ..
72
73
SUMÁRIO UNIDADE 3: Derivadas 3.1. Introdução 74
3.2. Derivadas 74
3.2.1. Definição 74
3.2.2. Interpretação Geométrica 78
3.2.3. Propriedades Operatórias 79
3.2.4. Derivada da Função Inversa 81
3.2.5. Derivadas Sucessivas 86
3.2.6. Máximos e Mínimos 88
3.2.6.1. Localização dos Pontos de Máximos ou Mínimos 89
3.3.7. Regra de L’Hospital 92
Exercícios 96
74
3 DERIVADAS 3.1. Introdução
A noção de derivada é uma das importantes no ramo da
Matemática. A idéia de derivada está intrínsicamente
relacionada com a idéia de taxa de variação (crescimento e
decrescimento) de grandezas. Por exemplo, se considerarmos
uma partícula deslocando-se de um ponto A para um ponto B
sobre uma reta R . Definamos a função [ ] ℜ→ℜ⊆Tf ,0: que,
para cada instante [ ]Tt ,0∈ , dá a posição da partícula sobre a
reta R . Fixado [ ]Tc ,0∈ , a razão incremental
ctcftf
−− )()(
representa a velocidade média da partícula no trecho entre
)(tf e )(cf . O limite desse quociente no ponto c representa a
velocidade da partícula no instante ct = .
Vamos, a partir de agora, aprofundar um pouco mais
sobre a noção de derivada. Mas, evitaremos demonstrações
matemáticas da maioria das afirmações que faremos, uma vez
que tais demonstrações são dispensáveis ao profissional da
área de Administração.
3.2. Derivadas
3.2.1. Definição: Diremos que uma função ℜ→ℜ⊆Df : é
derivável num ponto fDa∈ se, e somente se, existe o limite
−−
→ axafxf
ax
)()(lim
As idéias, aqui
apresentadas, se
estendem
naturalmente ao
estudo de custo
marginal, receita
marginal e, de
uma forma geral,
análise marginal,
conceito muito
importante nas
áreas de
Administração e
Economia.
75
O limite acima, quando existe, é chamado a derivada da
função f no ponto ax = e, denotaremos o valor desse limite
pelo símbolo )(' af ou pelo símbolo )(adxdf . Ou seja,
−−
=→ ax
afxfafax
)()(lim)('
Há uma outra forma de nos referirmos ao limite acima é através
da mudança de variável axh −= . Uma vez que ax → , temos
que 0→h . Portanto, podemos dar uma nova versão para a
definição da derivada a partir da variação em termos de h , a
saber:
hafhafaf
h
)()(lim)('0
−+=
→
EExxeemmppllooss::
24. UUssaannddoo a definição de derivada, obtenha )(' af ,
sabendo se nxxf =)( , onde Nn∈ .
Solução: Nesse caso, usaremos a primeira forma de definir a
derivada; portanto
axax
axafxfaf
nn
axax −−
=−−
=→→
lim)()(lim)('
O quociente axax nn
−− pode ser obtido por um processo
elementar utilizado na divisão de polinômios. Esse processo
nos leva à seguinte identidade:
( )( )123221 −−−−− ++⋅⋅⋅+++−=− nnnnnnn axaxaaxxaxax
Portanto, temos:
( ) 1123221lim)(' −−−−−−
→=++⋅⋅⋅+++= nnnnnn
axnaaxaxaaxxaf
Importante: A notação, )(' af , por ser mais simples e prática é a mais utilizada, porém nela não fica claro a variável na qual está sendo feita a derivação. Nesse sentido, a segunda notação
)(adxdf é mais
completa.
76
25. Obter a derivada da função xsenxf =)( , para todo ℜ∈x .
Solução: Usando a definição, teremos:
ax
axaxsen
axasenxsenaf
axax −
+
−
=−−
=→→
2cos
22
limlim)('
Ou seja,
+
⋅−
−
=→ 2
cos
2
2lim)(' axax
axsenaf
ax
Agora lembremos, via limite trigonométrico fundamental,
que
1
2
2lim =−
−
→ ax
axsen
ax,
Logo segue-se que: aaf cos)(' = .
26. Agora, calcule a derivada da função xxf cos)( = , para
todo ℜ∈x .
Solução: Usando a definição, teremos:
ax
axsenaxsen
axaxaf
axax −
+
−
−=
−−
=→→
222
limcoscoslim)('
Ou seja,
+
⋅−
−
−=→ 2
2
2lim)(' axsenax
axsenaf
ax
Da mesma forma que exemplo anterior, via limite
trigonométrico fundamental, segue-se que: asenaf −=)(' .
77
27. Determine a derivada da função xaxf =)( , onde
10 ≠< a .
Solução: Usando a segunda versão para a definição de derivada,
temos que:
( )h
aah
aah
aaafh
h
xhx
h
xhx
h
1lim1limlim)('000
−⋅=
−=
−=
→→
+
→
Uma vez que,
ah
ah
hln1lim
0=
−→
Portanto, segue-se que: aaxf x ln)(' = .
28. Vamos agora determinar a derivada da função
xxf alog)( = , onde 10 ≠< a .
Solução: Usando a definição temos:
( )h
xhxxf aa
h
logloglim)('
0
−+=
→
Usando as propriedades de logaritmos para simplificar o
quociente temos que:
( )axh
ax
hx
hxhx
hhxhx
h
aaa
ln
1ln
ln
ln1log1loglog
1
+
=
+
⋅=
+
⋅=−+
Observando que
xxh h
h
11lim1
0=
+
→
Sendo assim, segue-se que
axaxh
xf
h
h ln1
ln
1lnlim)('
1
0 ⋅=
+
=→
78
3.2.2. Interpretação Geométrica
Para entendermos o que representa geometricamente a
idéia de derivada, basta que entendamos inicialmente o que
representa geometricamente o quociente
axafxf
−− )()(
Observando a figura abaixo, para o gráfico de uma função
arbitrária f , temos que o quociente ax
afxf−− )()( representa o
coeficiente angular da reta secante ao gráfico da função f nos
pontos ( ))(, afa e ( ))(, xfx .
FIGURA 23
Ao limite com ax → , o que se observa é que as retas secantes
com coeficientes angulares expressos pelo quociente mostrado
acima tendem para uma reta que se mostra tangente ao gráfico
da função f no ponto com coordenadas ( ))(, afa .
Dessa forma, quando o limite
axafxf
ax −−
→
)()(lim
existir, ele representará o coeficiente angular da reta tangente
ao gráfico da função f no ponto com coordenadas ( ))(, afa .
Essa é de fato a interpretação geométrica da noção de
derivada.
Um projeto da Universidade Estadual de Maringá produziu um Kit de sobrevivência em Cálculo.
79
3.2.3. Propriedades Operatórias
AA sseegguuiirr lliissttaarreemmooss aass pprroopprriieeddaaddeess qquuee sseerrvviirrããoo ddee
bbaassee ppaarraa oobbtteerrmmooss ddeerriivvaaddaass ddee oouuttrraass ffuunnççõõeess.. EEssssaa lliissttaa
vviirráá nnoo ffoorrmmaattoo ddee uumm tteeoorreemmaa ee aa ddeemmoonnssttrraaççããoo ddoo mmeessmmoo
ppooddeerráá sseerr eennccoonnttrraaddoo eemm [[33]]..
TTeeoorreemmaa::
SSeejjaamm ℜ→ℜ⊆Igf :, ffuunnççõõeess ddeerriivváávveeiiss nnoo ppoonnttoo
Ia∈ .. EEnnttããoo vvaallee::
aa)) ( ) );(')(')(' agafagf +=+
bb)) ( ) );(')(')(' agafagf −=−
cc)) ( ) )('.)('. afkafk = ,, oonnddee ℜ∈k ;;
dd)) ( ) )(').()().(')('. agafagafagf += ;;
ee)) [ ]2)(
)(').()().(')('ag
agafagafagf −
=
,, oonnddee 0)( ≠ag
ff)) ((DDeerriivvaaddaa ddaa FFuunnççããoo CCoommppoossttaa))::
( ) )(')).((')(' agagfagf =o
AAggoorraa vvaammooss mmoossttrraarr aallgguummaass aapplliiccaaççõõeess eennvvoollvveennddoo aass
pprroopprriieeddaaddeess ooppeerraattóórriiaass ddaass ddeerriivvaaddaass qquuee ccoonnssttaamm nnoo
tteeoorreemmaa aacciimmaa.. EEllaass ssããoo ppoorr ddeemmaaiiss úútteeiiss ee sseerrããoo ddee ggrraannddee
vvaalliiaa eemm iinnúúmmeerrooss ccáállccuullooss qquuee eennvvoollvveemm aa nnooççããoo ddee ddeerriivvaaddaa..
AApplliiccaaççõõeess::
2299.. Derive aa ffuunnççããoo 212)(
−+
=xxxf ..
SSoolluuççããoo::
AApplliiccaannddoo aa rreeggrraa ppaarraa aa ddeerriivvaaddaa ddoo qquuoocciieennttee qquuee
ccoonnssttaa nnoo tteeoorreemmaa aacciimmaa,, rreessuullttaa::
( ) ( )( ) ( )22
'
23
21.122.2
212)('
−−
=−
+−−=
−+
=xx
xxxxxf
80
3300.. OObbtteennhhaa aa ddeerriivvaaddaa ddaa ffuunnççããoo ddaaddaa ppeellaa lleeii
( )13ln)( 2 +−= xxxf ..
SSoolluuççããoo::
AApplliiccaannddoo aa rreeggrraa ppaarraa aa ddeerriivvaaddaa ddaa ffuunnççããoo ccoommppoossttaa,,
tteemmooss::
( )13
323213
1)(' 22 +−−
=−⋅+−
=xx
xxxx
xf
3311.. DDeetteerrmmiinnee aa eeqquuaaççããoo ddaa rreettaa ttaannggeennttee aaoo ggrrááffiiccoo ddaa
ffuunnççããoo ℜ→ℜ:f ,, ddaaddaa ppeellaa lleeii xsenxf =)( ,, nnoo ppoonnttoo
ddee aabbsscciissssaa 3π
=x ..
SSoolluuççããoo::
CCoommoo vviimmooss,, oo ccooeeffiicciieennttee aanngguullaarr ddaa rreettaa ttaannggeennttee aaoo
ggrrááffiiccoo ddee f ,, sseerráá ddaaddoo ppeelloo nnúúmmeerroo rreeaall
3' πf ;; oorraa,, ccoommoo
ffooii vviissttoo aanntteerriioorrmmeennttee,, xxf cos)(' = .. PPoorrttaannttoo,,
21
3cos
3' =
=
ππf
AAssssiimm,, aa eeqquuaaççããoo ddaa rreettaa eemm qquueessttããoo rreedduuzz--ssee aa::
bxxT +=21)(
oonnddee aa ccoonnssttaannttee b rreepprreesseennttaa oo ccooeeffiicciieennttee lliinneeaarr ddaa
rreeffeerriiddaa rreettaa.. PPaarraa ddeetteerrmmiinnaarrmmooss eessssaa ccoonnssttaannttee,, bbaassttaa
oobbsseerrvvaarrmmooss qquuee ttaall rreettaa ppaassssaa ppeelloo ppoonnttoo ddee ccoooorrddeennaaddaass
23,
3π .. DDeessssaa ffoorrmmaa,, sseegguuee--ssee qquuee::
633
321
23 ππ −
=⇒+⋅= bb
PPoorrttaannttoo,, aa eeqquuaaççããoo ddaa rreettaa ttaannggeennttee ssoolliicciittaaddaa,, nnaa ffoorrmmaa
rreedduuzziiddaa,, éé ddaaddaa ppeellaa eeqquuaaççããoo::
633
21)( π−
+= xxT
81
3322.. DDeetteerrmmiinnee aa eeqquuaaççããoo ddaa rreettaa nnoorrmmaall aaoo ggrrááffiiccoo ddaa
ffuunnççããoo ddeeffiinniiddaa ppoorr 2)( xxf = ,, nnoo ppoonnttoo ddee aabbsscciissssaa
1=x ..
SSoolluuççããoo::
AA iiddééiiaa éé qquuee ddeetteerrmmiinneemmooss,, iinniicciiaallmmeennttee,, oo ccooeeffiicciieennttee
aanngguullaarr ddaa rreettaa ttaannggeennttee aaoo ggrrááffiiccoo ddee f ee,, eemm sseegguuiiddaa,,
uussaannddoo ppeerrppeennddiiccuullaarriiddaaddee eennttrree rreettaass,, ddeetteerrmmiinnaarr aa
eeqquuaaççããoo ddaa rreettaa nnoorrmmaall..
PPaarraa aa oobbtteennççããoo ddoo ccooeeffiicciieennttee aanngguullaarr ddaa rreettaa ttaannggeennttee
aaoo ggrrááffiiccoo ddee f ,, nnoo ppoonnttoo ddee aabbsscciissssaa 1=x ,, bbaassttaa qquuee
ccaallccuulleemmooss ( )1'f ;; oorraa aa ddeerriivvaaddaa ddaa ffuunnççããoo éé xxf 2)(' = ,,
ppoorrttaannttoo sseegguuee--ssee qquuee:: ( ) 21' =f ..
LLooggoo oo ccooeeffiicciieennttee aanngguullaarr ddaa rreettaa nnoorrmmaall aaoo ggrrááffiiccoo ddee
f nnoo ppoonnttoo ddee aabbsscciissssaa 1=x ,, sseerráá iigguuaall aa 21
− .. PPoorrttaannttoo,, aa
eeqquuaaççããoo ppeeddiiddaa tteerráá oo ffoorrmmaattoo
bxxN +−=21)(
PPaarraa ddeetteerrmmiinnaarrmmooss oo ccooeeffiicciieennttee aanngguullaarr b ,, uusseemmooss oo ffaattoo
qquuee ttaall rreettaa ppaassssaa ppeelloo ppoonnttoo ddee ccoooorrddeennaaddaass ( )1,1 ..
SSuubbssttiittuuiinnddoo eessssaa iinnffoorrmmaaççããoo nnaa eeqquuaaççããoo ddaa rreettaa nnoorrmmaall,,
sseegguuee--ssee qquuee::
23
2111
211 =+=⇒+⋅−= bb
FFiinnaallmmeennttee,, aa eeqquuaaççããoo ddaa rreettaa nnoorrmmaall ssoolliicciittaaddaa sseerráá ddaaddaa
ppeellaa lleeii ddee ffoorrmmaaççããoo::
23
21)( +−= xxN ..
3.2.4. Derivada da Função Inversa
EEssssaa sseeççããoo éé ddeessttiinnaaddaa àà oobbtteennççããoo ddaass ffuunnççõõeess iinnvveerrssaass,,
ffuunnççõõeess ccoommoo aarrccoo--sseennoo,, aarrccoo--ccoosssseennoo,, aarrccoo--ttaannggeennttee,, eettcc..
EEssssaass,, àà pprriimmeeiirraa vviissttaa,, ppooddeemm aappaarreennttaarr ddee ppoouuccaa uuttiilliizzaaççããoo,,
82
mmaass ssee pprreessttaamm ppeerrffeeiittaammeennttee aa rreessoollvveerr eeqquuaaççõõeess qquuee
eennvvoollvvaamm ffuunnççõõeess ttrriiggoonnoommééttrriiccaass.. AAqquuii,, tteemmooss mmaaiiss uummaa
bbrriillhhaannttee aapplliiccaaççããoo ddaa ddeerriivvaaddaa ppaarraa ffuunnççõõeess ccoommppoossttaass
((ccoonnhheecciiddaa ccoommoo RReeggrraa ddaa CCaaddeeiiaa))..
CCoommeeççaarreemmooss eessttaa sseeççããoo rreelleemmbbrraannddoo uummaa ddeeffiinniiççããoo
mmuuiittaa uuttiilliizzaaddaa nnoo eennssiinnoo mmééddiioo,, qquuee éé aa ddee ffuunnççããoo iinnvveerrssaa..
DDeeffiinniiççããoo::
SSeejjaamm BAf →: ee CBg →: ffuunnççõõeess.. DDiizz--ssee qquuee aa
ffuunnççããoo g éé aa iinnvveerrssaa ddaa ffuunnççããoo f ,, ee ddeennoottaarreemmooss 1−= fg ,, ssee,,
ee ssoommeennttee ssee,, ppaarraa ttooddoo Ax∈ ,, ttiivveerrmmooss qquuee::
( ) ( ) xxfgxgf == )()( oo
OObbsseerrvvee qquuee ddeessssaa iigguuaallddaaddee,, ppooddeemmooss oobbtteerr ffaacciillmmeennttee
aa ddeerriivvaaddaa ddaa ffuunnççããoo iinnvveerrssaa.. DDee ffaattoo,, ddeerriivvaannddoo aammbbooss ooss
llaaddooss ddeessssaa úúllttiimmaa iigguuaallddaaddee sseegguuee--ssee qquuee::
( ) ( ) 1')()(' == xfgxfg o
PPeellaa RReeggrraa ddaa CCaaddeeiiaa,, tteemmooss::
1)('))((' =⋅ xfxfg ,,
LLooggoo,, ssuuppoonnddoo 0)(' ≠xg ,, tteerreemmooss::
)('1))(('
xfxfg = ..
EEssssaa éé aa ffóórrmmuullaa qquuee nnooss ppeerrmmiittiirráá oobbtteerr aa ddeerriivvaaddaa ddaass
ffuunnççõõeess aarrccoo--sseennoo,, aarrccoo--ccoosssseennoo ee aarrccoo--ttaannggeennttee.. AAss oouuttrraass
ffuunnççõõeess ssããoo oobbttiiddaass aapplliiccaannddoo--ssee oo mmeessmmoo pprroocceeddiimmeennttoo ccoomm
aass ddeevviiddaass aaddaappttaaççõõeess..
33..22..44..11.. DDeerriivvaaddaa ddaa FFuunnççããoo AArrccoo--SSeennoo::
QQuuaannddoo eessccrreevveemmooss xseny = ,, eessttaammooss ddiizzeennddoo,, ddee
uummaa oouuttrraa ffoorrmmaa,, qquuee::
““ x éé oo aarrccoo ccuujjoo sseennoo éé y ””
EEssccrriittoo ddee uummaa ffoorrmmaa ssiimmbboolliiccaammeennttee mmaatteemmááttiiccaa,, tteemm--ssee:: ysenarcxxseny =⇔=
83
EExxeemmppllooss::
3333.. 22
422
4senarcsen =⇔=
ππ ;;
3344.. 23
323
3senarcsen =⇔=
ππ ;;
3355.. 21
621
6senarcsen =⇔=
ππ
EEnnttããoo,, ccoonnssiiddeerreemmooss aa ffuunnççããoo [ ] ℜ→− 1,1:f ,, ddeeffiinniiddaa ppeellaa lleeii::
xsenarcxf =)(
PPeelloo qquuee ffooii ddiittoo aanntteerriioorrmmeennttee,, rreessuullttaa qquuee::
( ) xxfsenxsenarcxf =⇔= )()(
DDeerriivvaannddoo eessttaa úúllttiimmaa iigguuaallddaaddee,, sseegguuee--ssee qquuee::
( ) ( ))(cos1)('1)(')(cos
xfxfxfxf =⇒=⋅
AAggoorraa,, ddaa RReellaaççããoo TTrriiggoonnoommééttrriiccaa FFuunnddaammeennttaall,, tteemmooss qquuee::
( ) ( ) ( ) ( ))(1)(cos1)()(cos 2222 xfsenxfxfsenxf −=⇒=+
PPoorrttaannttoo,, ssuubbssttiittuuiinnddoo eessttaa úúllttiimmaa iigguuaallddaaddee nnaa eexxpprreessssããoo ddee
)(' xf ,, tteemmooss qquuee::
( ))(11)('
2 xfsenxf
−= ,,
mmaass ( ) xxfsen =)( ,, llooggoo
( )21
1)(')('x
xsenarcxf−
==
EExxeemmpplloo::
3366.. AAssssiimm,, ppaarraa ddeerriivvaarr aa ffuunnççããoo ddaaddaa ppeellaa lleeii ddee ffoorrmmaaççããoo::
( )13)( −= xsenarcxf
uussaannddoo aa RReeggrraa ddaa CCaaddeeiiaa sseegguuiirr--ssee--áá::
( )( )
( )22 131
3'13131
1)('−−
=−⋅−−
=x
xx
xf
SSiimmpplliiffiiccaannddoo,, rreessuullttaa::
84
2963)('
xxxf
−=
33..22..44..22.. DDeerriivvaaddaa ddaa FFuunnççããoo AArrccoo--CCoosssseennoo::
QQuuaannddoo eessccrreevveemmooss xy cos= ,, eessttaammooss ddiizzeennddoo,, ddee
uummaa oouuttrraa ffoorrmmaa,, qquuee::
““ x éé oo aarrccoo ccuujjoo ccoosssseennoo éé y ””
SSiimmbboolliiccaammeennttee,, tteemm--ssee:: yarcxxy coscos =⇔=
EExxeemmppllooss::
3377.. 22cos
422
4cos arc=⇔=
ππ ;;
3388.. 23cos
623
6cos arc=⇔=
ππ ;;
3399.. 21cos
321
3arcsen =⇔=
ππ ..
EEnnttããoo,, ccoonnssiiddeerreemmooss aa ffuunnççããoo [ ] ℜ→− 1,1:f ,, ddeeffiinniiddaa ppeellaa lleeii::
xarcxf cos)( =
TTeemmooss qquuee::
( ) xxfxarcxf =⇔= )(coscos)(
DDeerriivvaannddoo eessttaa úúllttiimmaa iigguuaallddaaddee,, sseegguuee--ssee qquuee::
( ) ( ))(1)('1)(')(
xfsenxfxfxfsen −=⇒=⋅−
PPeellaa RReellaaççããoo TTrriiggoonnoommééttrriiccaa FFuunnddaammeennttaall,, tteemmooss qquuee::
( ) ( ) ( ) ( ))(cos1)(1)()(cos 2222 xfxfsenxfsenxf −=⇒=+
PPoorrttaannttoo,, ssuubbssttiittuuiinnddoo eessttaa úúllttiimmaa iigguuaallddaaddee nnaa eexxpprreessssããoo ddee
)(' xf ,, tteemmooss qquuee::
( ))(cos11)('
2 xfxf
−−= ,,
PPoorréémm,, ( ) xxf =)(cos ,, llooggoo
( )21
1)('cos)('x
xarcxf−
−==
85
EExxeemmpplloo::
4400.. PPaarraa ddeerriivvaarr aa ffuunnççããoo ddaaddaa ppeellaa lleeii ddee ffoorrmmaaççããoo::
( )12cos)( 2 −= xarcxf
vviiaa RReeggrraa ddaa CCaaddeeiiaa sseegguuee--ssee::
( )( )
( )22
2
22 121
4'12121
1)('−−
=−⋅−−
−=x
xxx
xf
SSiimmpplliiffiiccaannddoo,, rreessuullttaa::
42 444)('
xxxxf−
=
33..22..44..33.. DDeerriivvaaddaa ddaa FFuunnççããoo AArrccoo--TTaannggeennttee::
QQuuaannddoo eessccrreevveemmooss xy tan= ,, eessttaammooss ddiizzeennddoo,, ddee uummaa
oouuttrraa ffoorrmmaa,, qquuee::
““ x éé oo aarrccoo ccuujjaa ttaannggeennttee éé y ””
SSiimmbboolliiccaammeennttee,, tteemm--ssee:: yarcxxy tantan =⇔=
EExxeemmppllooss::
4411.. 1tan4
14
tan arc=⇔=ππ ;;
4422.. 33tan
633
6tan arc=⇔=
ππ ;;
4433.. 3tan3
33
tan arc=⇔=ππ ..
EEnnttããoo,, ccoonnssiiddeerreemmooss aa ffuunnççããoo
−→ℜ
2,
2: ππf ,, ddeeffiinniiddaa ppeellaa
lleeii::
xarcxf tan)( =
TTeemmooss qquuee::
( ) xxfxarcxf =⇔= )(tantan)(
DDeerriivvaannddoo eessttaa úúllttiimmaa iigguuaallddaaddee,, sseegguuee--ssee qquuee::
( ) ( ))(sec1)('1)(')(sec 2
2
xfxfxfxf =⇒=⋅
86
UUmmaa iiddeennttiiddaaddee ttrriiggoonnoommééttrriiccaa rreellaacciioonnaannddoo aa ffuunnççããoo ttaannggeennttee
ee aa ffuunnççããoo sseeccaannttee éé aa sseegguuiinnttee::
( ) ( ))(tan1)(sec 22 xfxf +=
PPoorrttaannttoo,, ssuubbssttiittuuiinnddoo eessttaa úúllttiimmaa iigguuaallddaaddee nnaa eexxpprreessssããoo ddee
)(' xf ,, tteemmooss qquuee::
( ))(tan11)(' 2 xf
xf+
= ,,
mmaass ( ) xxf =)(tan ,, llooggoo
( ) 211)('tan)('x
xarcxf+
==
EExxeemmpplloo::
4444.. OObbtteennhhaa aa ddeerriivvaaddaa ddaa ffuunnççããoo ddeeffiinniiddaa ppoorr::
( )2tan)( xxarcxf −=
vviiaa RReeggrraa ddaa CCaaddeeiiaa sseegguuee--ssee::
( )( )
( )22
222 1
21'1
1)('xxxxx
xxxf
−+
−=−⋅
−+=
3.2.5. Derivadas Sucessivas
AA pprreesseennttee sseeççããoo sseerrvvee ddee pprreeppaarraaççããoo ppaarraa aa sseeççããoo
sseegguuiinnttee qquuee ttrraattaarráá ddaa bbuussccaa ddee ppoonnttooss ddee mmááxxiimmooss ee ppoonnttooss
ddee mmíínniimmooss.. AA ddeetteerrmmiinnaaççããoo ddeesssseess ppoonnttooss éé mmuuiittoo iimmppoorrttaannttee
nnooss pprroobblleemmaass ddee mmaaxxiimmiizzaaççããoo ee mmiinniimmiizzaaççããoo..
DDaaddaa uummaa ffuunnççããoo f vviimmooss,, aattéé oo pprreesseennttee,, mmoommeennttoo
rreeggrraass ooppeerraattóórriiaass qquuee nnooss ppeerrmmiittiiaamm ddeetteerrmmiinnaarr aa ssuuaa
ddeerriivvaaddaa 'f ..
EEssssaass mmeessmmaass pprroopprriieeddaaddeess sseerrvveemm ppaarraa oobbtteerrmmooss aass
ddeerriivvaaddaass ssuuppeerriioorreess ddee 'f .. DDaaqquuii pprráá ffrreennttee,, tteerreemmooss::
( ) ( ) ⋅⋅⋅== ,'''''','''',' fffff
87
DDee uumm mmooddoo ggeerraall,, ssiimmbboolliiccaammeennttee,, ddaaddoo *Nn∈ ,, aa ddeerriivvaaddaa
ddee oorrddeemm n ddaa ffuunnççããoo f nnoo ppoonnttoo a sseerráá iinnddiiccaaddaa ccoomm aa
nnoottaaççããoo ( ) )(af n ee ddeeffiinniiddaa iinndduuttiivvaammeennttee::
[ ] ( ) [ ] ( ) ( )[ ] )(')(...,),(''')()('''),('')('' 13 afafafafafafaf nn −====
PPoorr eexxeemmpplloo,, ppaarraa aa ffuunnççããoo ℜ→ℜ:f ,, ddeeffiinniiddaa ppeellaa lleeii
134)( 23 −++= xxxxf
tteerreemmooss::
•• 1612)(' 2 ++= xxxf
•• 624)('' += xxf
•• 24)(''' =xf
•• ( ) ( ) 4,0)()(4 ≥∀==⋅⋅⋅= nxfxf n
EExxiisstteemm aallgguummaass ffuunnççõõeess qquuee ssuuaass ddeerriivvaaddaass ddee oorrddeemm
ssuuppeerriioorreess ppeerrmmaanneecceemm iinnvvaarriiáávveeiiss,, ccoommoo éé oo ccaassoo ddaa ffuunnççããoo
eexxppoonneenncciiaall xexf =)( ,, ppaarraa ttooddoo ℜ∈x .. NNaa vveerrddaaddee,, tteemmooss:: ( ) xn exf =)( ,,
ppaarraa ttooddoo Nn∈ ..
HHáá uummaa oouuttrraa ccllaassssee ddee ffuunnççõõeess qquuee aass ddeerriivvaaddaass ddee
oorrddeemm ssuuppeerriioorreess ffiiccaamm ssee rreeppeettiinnddoo eemm cciiccllooss,, ccoommoo éé oo ccaassoo
ddaass ffuunnççõõeess ttrriiggoonnoommééttrriiccaass sseennoo ee ccoosseennoo.. SSeennããoo vveejjaammooss::
•• xsenxf =)(
•• xxf cos)(' =
•• xsenxf −=)(''
•• xxf cos)(''' −=
•• ( ) xsenxf =)(4 ,,
•• ee aassssiimm ssuucceessssiivvaammeennttee..
88
3.2.6. Máximos e Mínimos
A noção de máximos e mínimos para uma função
definida num intervalo [ ] ℜ⊂ba, , é a mais clara possível e
utilizaremos, a posteriori, a noção de derivada para a
determinação daqueles.
Definição: Sejam [ ] ℜ→baf ,: uma função e [ ]bax ,0 ∈ .
Diremos que 0x é um ponto de máximo local (ou mínimo
local) de f , se existir 0>δ , tal que ( ) [ ]baxxx ,, 00 ⊂+−∈∀ δδ ,
tivermos que )()( 0xfxf ≤ (ou )()( 0xfxf ≥ ).
De forma inteiramente análoga, definimos máximos e mínimos
absolutos de uma função [ ] ℜ→baf ,: . É o que faremos nesse
instante.
Definição: Sejam [ ] ℜ→baf ,: uma função e [ ]bax ,0 ∈ .
Diremos que 0x é um ponto de máximo absoluto (ou mínimo
absoluto) de f se, e somente se, )()( 0xfxf ≤ (ou
)()( 0xfxf ≥ ) para todo [ ]bax ,∈ .
FIGURA 24
Por exemplo, para a função ℜ→ℜ:f dada por 2)( xxf = , o
ponto 00 =x é o ponto de mínimo absoluto, pois 02 ≥x , para
todo ℜ∈x . Enquanto que para a função ℜ→ℜ:f dada por
89
1)( 2 +−= xxf , o ponto 00 =x é o ponto de máximo absoluto de
f , uma vez que:
ℜ∈∀=≥+= xfxxf ,1)0(1)( 2 .
3.2.6.1. Localização dos Pontos de Máximos ou Mínimos
Observe a função ℜ→ℜ:f representada no gráfico abaixo.
FIGURA 25
Conforme observamos no gráfico, nos pontos de
máximo ou de mínimo, a função admite uma reta tangente
paralela ao eixo das abscissas. Isto significa que nesses
pontos a derivada tem quer nula, pois como vimos
anteriormente, a derivada representa o coeficiente angular
dessas retas tangentes. E, uma vez que nesse caso a reta
tangente é paralela ao eixo das abscissas, segue-se que tais
retas têm coeficiente angular nulos.
Portanto, concluímos que nos pontos 0x de máximos, ou
de mínimos de uma função f , devemos ter obrigatoriamente
que 0)(' 0 =xf .
Mas aí surge uma pergunta natural: quer dizer que se
0)(' 0 =xf , então 0x é um ponto de máximo ou um ponto de
mínimo? A resposta é não! Existem pontos 0x nos quais
0)(' 0 =xf , no entanto eles não são nem de máximo e nem de
90
mínimos. Tais pontos são denominados de Pontos de Inflexão.
Nesse ponto enunciaremos um resultado de Análise
Real que caracteriza os pontos de máximos ou pontos de
mínimos ou pontos de inflexão. Porém, não exibiremos a
demonstração desse teorema, pois isso foge aos objetivos
dessas notas.
Teorema: Seja ℜ→ℜ⊆If : uma função n vezes derivável num
ponto Ia∈ . Se 0)(' =af , a chama-se um ponto crítico de f .
Suponhamos que: ( ) ,0)()('')(' 1 ==⋅⋅⋅== − afafaf n
mas ( ) .0)( ≠af n Afirmamos que:
1º) Se n for par, então a será um ponto de máximo local
desde que ( ) ,0)( <af n ou um ponto de mínimo local se ( ) .0)( >af n
2º) Se n for ímpar, o ponto a não será de máximo nem
de mínimo.
Prova: Veja [3].
EExxeemmppllooss::
45. AA função definida pela lei 2
)( xexf −= possui um ponto
de máximo local (de fato, máximo absoluto) no ponto
0=x ; com efeito, inicialmente a derivada de f é: 2
2)(' xxexf −−= ,
portanto,
002)('2
=⇔=−= − xxexf x .
A derivada segunda de f é: 22 242)('' xx exexf −− +−=
Para encontrar os pontos de mínimo e pontos de máximo de uma função f, devemos buscar dentre aqueles nos quais a derivada de f se anula.
91
Daí, 02)0('' <−=f e, pelo Teorema citado acima, 0=x
é ponto de máximo local.
Uma vez que 0)(''2
>= −xexf , para todo ℜ∈x , segue-
se que 0=x é ponto de máximo absoluto da função f ,
cujo valor máximo é igual a 1)0( =f .
46. Agora consideremos a função ℜ→ℜ:f dada por
133)( 23 −+−= xxxxf . Daí tem-se 363)(' 2 +−= xxxf ,
logo o ponto crítico de f é o ponto 1=x . Além disso,
temos 0)1('' =f e 0)1(''' >f . Logo, 1=x não é ponto de
máximo local nem de mínimo local, nesse caso, 1=x é
ponto de inflexão.
47. Para a função ℜ→ℜ:f dada por 6)( xxf = , temos que: ( ) ( ) 0)0()0()0(''')0('')0(' 54 ===== fffff
e, finalmente, ( ) 0720)0(6 >=f . Portanto, 0=x , de
acordo com nosso Teorema, é ponto de mínimo local.
Na verdade, 0=x , é ponto de mínimo absoluto; com
efeito, ,0)( 6 ≥= xxf para todo ℜ∈x . Observe, que o
valor mínimo é alcançado, pois 0)0( =f .
48. Para a função ℜ→ℜ:f , dada por xsenxf =)( , temos
que xxf cos)(' = . Os pontos críticos de f são os pontos
soluções da equação trigonométrica: 0cos =x , ou seja,
para os pontos ππ kx +=2
, com Zk ∈ . Além disso,
observemos que:
xsenxf −=)(''
Portanto, nos pontos ππ kx 22+= , com Zk ∈ , temos
pontos de mínimos de f , enquanto que nos pontos
ππ kx 22
3+= , temos os pontos de máximos de f .
92
49. DDeennttrree ooss rreettâânngguullooss ddee ppeerríímmeettrroo iigguuaall aa cm24 ,,
ddeetteerrmmiinnee oo ddee áárreeaa mmááxxiimmaa..
SSoolluuççããoo:: SSeennddoo x ee y aa bbaassee ee aa aallttuurraa,, rreessppeeccttiivvaammeennttee,,
ddoo rreettâânngguulloo,, tteemmooss qquuee::
122422 =+⇒=+ yxyx
A área de tal retângulo é dada por: yxA ⋅= , portanto
usando a relação entre x e y , segue-se que
xxxxxA 12)12()( 2 +−=−⋅=
Derivando a função área, temos 122)(' +−= xxA . Portanto o
único ponto crítico desta função é obtido fazendo 0)(' =xA ,
ou seja, 6=x . Este é um máximo local (de fato, máximo
absoluto), pois 02)6('' <−A . Logo, o retângulo de área
máxima solicitado é um quadrado de lado cm6 .
3.2.7. Regra de L’Hospital
Na maioria dos cálculos de limites que envolvem
funções racionais, isto é, funções que são quocientes de
polinômios, nos deparamos com indeterminações do tipo 00 .
Nesses casos o procedimento a ser adotado é eliminarmos de
alguma forma tal indeterminação. Às vezes, as manipulações
algébricas para obtermos tal êxito são complicadas e
trabalhosas.
Para esses casos temos um resultado de grande
importância para a solução de tais problemas. Trata-se da
Regra de L’Hospital, cujo enunciado daremos a seguir e cuja
demonstração pode ser encontrada em [3]. Como veremos esse resultado transformará tais
problemas em simples cálculos de limites envolvendo funções
que permitam um cálculo quase que imediato do limite em
questão.
93
Proposição (Regra de L’Hospital): SSeejjaamm ℜ→ℜ⊆Igf :,
ffuunnççõõeess n vveezzeess ddeerriivváávveeiiss nnoo ppoonnttoo Ia∈ .. SSuuppoonnhhaammooss qquuee
f ee g ,, jjuunnttaammeennttee ccoomm ssuuaass ddeerriivvaaddaass aattéé oorrddeemm 1−n
((iinncclluussiivvee)) ssee aannuullaamm nnoo ppoonnttoo a mmaass qquuee ( ) )(af n ee ( ) )(ag n
nnããoo ssããoo aammbbaass nnuullaass.. AAlléémm ddiissssoo,, ssuuppoonnhhaammooss qquuee 0)( ≠xg ,,
ppaarraa ttooddoo ax ≠ qquuee eesstteejjaamm ssuuffiicciieenntteemmeennttee pprróóxxiimmoo ddee a ..
NNeessttee ccaassoo,, tteemmooss::
•• ( )
( ) )()(
)()(lim
agaf
xgxf
n
n
ax=
→,, ssee ( ) ;0)( ≠ag n
•• +∞=→ )(
)(limxgxf
ax,, ssee ( ) .0)( =ag n
33..22..77..11.. AApplliiccaaççõõeess ddaa RReeggrraa ddee LL’’HHoossppiittaall nnoo CCáállccuulloo ddee
LLiimmiitteess ddee FFuunnççõõeess
CCoommoo vveerreemmooss aa sseegguuiirr,, aa RReeggrraa ddee LL’’HHoossppiittaall ppooddee sseerr
aammppllaammeennttee uuttiilliizzaaddaa nnooss ccáállccuullooss ddee lliimmiitteess ddee ffuunnççõõeess ee ttaaiiss
ccáállccuullooss,, aanntteess mmuuiittoo ccoommpplliiccaaddooss,, ttoorrnnaamm--ssee mmeerrooss ccáállccuullooss
ssiimmpplleess ddee lliimmiitteess.. OObbsseerrvveemm ooss eexxeemmppllooss aabbaaiixxoo..
EExxeemmppllooss::
5500.. CCaallccuullee oo vvaalloorr ddoo lliimmiittee
24lim
2
2 −−
→ xx
x
SSoolluuççããoo:: AAqquuii nnooss ddeeppaarraammooss ccoomm uummaa iinnddeetteerrmmiinnaaççããoo ddoo
ttiippoo 00 .. AApplliiccaannddoo aa RReeggrraa ddee LL’’HHoossppiittaall,, tteemmooss qquuee::
412lim
24lim
2
2
2==
−−
→→
xxx
xx..
5511.. CCaallccuullee oo vvaalloorr ddoo lliimmiittee
Nnaxax nn
ax∈
−−
→,lim
94
SSoolluuççããoo:: EEssssee lliimmiittee jjáá ffooii ccaallccuullaaddoo aanntteerriioorrmmeennttee,, mmaass
aaggoorraa ccaallccuullaarreemmooss vviiaa RReeggrraa ddee LL’’HHoossppiittaall,, ppooiiss ttrraattaa--ssee ddee
uumm lliimmiittee qquuee oorriiggiinnaa uummaa iinnddeetteerrmmiinnaaççããoo ddoo ttiippoo 00 ::
11 ..limlim −−
→→==
−− nn
ax
nn
axanxn
axax
5522.. CCaallccuullee oo lliimmiittee::
xa x
x
1lim0
−→
,, )10( ≠< a
SSoolluuççããoo:: MMaaiiss uummaa vveezz,, nnooss ddeeppaarraammooss ccoomm uummaa
iinnddeetteerrmmiinnaaççããoo ddoo ttiippoo 00 .. AApplliiccaannddoo aa RReeggrraa ddee LL’’HHoossppiittaall,,
tteemmooss qquuee::
( ) aaax
a x
x
x
xlnln.lim1lim
00==
−→→
5533.. CCaallccuullaarr oo lliimmiittee aabbaaiixxoo::
20
cos1limx
xx
−→
SSoolluuççããoo:: UUmm ccáállccuulloo ddiirreettoo mmoossttrraa--nnooss qquuee ttaall lliimmiittee nnooss
lleevvaa àà iinnddeetteerrmmiinnaaççããoo ddoo ttiippoo 00 .. AAggoorraa,, vviiaa RReeggrraa ddee
LL’’HHoossppiittaall,, tteemmooss qquuee::
21
2limcos1lim
020−=
−=
−→→ x
xsenx
xxx
,,
ppooiiss ssaabbeemmooss qquuee:: 1lim0
=→ x
xsenx
..
5544.. CCaallccuullaarr oo vvaalloorr ddoo lliimmiittee::
axasenxsen
x −−
→0lim
SSoolluuççããoo:: EEssssee lliimmiittee ppooddeerriiaa sseerr rreessoollvviiddoo uuttiilliizzaannddoo
ssuubbssttiittuuiiççõõeess ttrriiggoonnoommééttrriiccaass ccoonnvveenniieenntteess,, ppoorr eexxeemmpplloo,,
uuttiilliizzaannddoo aa iigguuaallddaaddee::
+
−
=−2
cos2
2 axaxsenasenxsen
95
MMaass ccoommoo ttrraattaa--ssee ddee uumm lliimmiittee qquuee nnooss lleevvaa aa uummaa
iinnddeetteerrmmiinnaaççããoo ddoo ttiippoo 00 ,, ppooddeemmooss ccaallccuullaarr ttaall lliimmiittee
uuttiilliizzaannddoo aa RReeggrraa ddee LL’’HHoossppiittaall,, oouu sseejjaa,,
axax
asenxsenaxax
coscoslimlim ==−−
→→
5555.. CCaallccuullee oo vvaalloorr ddoo lliimmiittee::
xsenxx
x
−→
2
0lim
SSoolluuççããoo:: EEssssee lliimmiittee ttaammbbéémm sseerriiaa eexxttrreemmaammeennttee
ccoommpplliiccaaddoo rreessoollvvêê--lloo sseemm oo aauuxxíílliioo ddaa RReeggrraa ddee LL’’HHoossppiittaall,,
aa qquuaall ssee aaddééqquuaa ppeerrffeeiittaammeennttee.. PPoorrttaannttoo,, sseegguuee--ssee::
1cos
12limlim0
2
−=−
==−
→→ xx
xsenxx
xax..
5566.. AApplliiccaannddoo aa RReeggrraa ddee LL’’HHoossppiittaall,, ccaallccuullee oo vvaalloorr ddoo lliimmiittee::
( )xx
x ln1cos1lim
1
−−→
SSoolluuççããoo:: VViiaa RReeggrraa ddee LL’’HHoossppiittaall,, tteemmooss qquuee::
( ) 01
1lim1
=−
→
x
xsenx
96
EEXXEERRCCÍÍCCIIOOSS
11.. CCaallccuullaarr oo vvaalloorr ddee ccaaddaa lliimmiittee aabbaaiixxoo::
aa)) 11lim
3
1 −−
→ xx
x
bb))
−−
−→ 31 13
11lim
xxx
cc)) 20
cos1lim
xx
x
−→
22.. CCaallccuullaarr oo lliimmiittee aabbaaiixxoo::
aa)) 2
121lim
x
x xx
++
+∞→
bb)) ( )x
xx
+→
1lnlim0
33.. DDeetteerrmmiinnaarr aa eeqquuaaççããoo ddaa rreettaa ttaannggeennttee aaoo ggrrááffiiccoo ddaa
ffuunnççããoo ℜ→ℜ:f ,, ddeeffiinniiddaa ppoorr 13)( 3 +−= xxxf ,, nnoo
ppoonnttoo ddee ccoooorrddeennaaddaass )1,1( −=P ..
44.. OObbtteennhhaa aa eeqquuaaççããoo ddaa rreettaa nnoorrmmaall aaoo ggrrááffiiccoo ddaa ffuunnççããoo
ddaaddaa ppeellaa lleeii ( )12ln)( −= xxf ,, ppaarraa 21
>x ,, nnoo ppoonnttoo ddee
ccoooorrddeennaaddaass ( )3ln,2=P ..
55.. DDeerriivvee aa ffuunnççããoo ddeeffiinniiddaa ppeellaa lleeii::
+−
=212tan)(
xxarcxf
66.. DDeemmoonnssttrraarr qquuee aa ffuunnççããoo 2
2x
xey−
= ssaattiissffaazz aa eeqquuaaççããoo
ddiiffeerreenncciiaall ( )yxxy 21' −= ..
77.. DDeetteerrmmiinnaarr ooss vvaalloorreess mmíínniimmoo ee mmááxxiimmoo aabbssoolluuttooss ddaa
ffuunnççããoo 33)( 3 +−= xxxf ,, nnoo sseeggmmeennttoo 25
23
≤≤− x ..
88.. TToorrcceerr uumm ffiioo ddee aarraammee ddee ccoommpprriimmeennttoo l ddee mmaanneeiirraa aa
ffoorrmmaarr uumm rreettâânngguulloo,, ccuujjaa áárreeaa sseejjaa aa mmaaiioorr ppoossssíívveell..
97
98
SUMÁRIO
UNIDADE 4: Noções de Integrais 4.1. Introdução 99
4.2. Integral Indefinida 100
4.2.1. Definição 100
4.2.2. Propriedades Operatórias de Integração 101
4.2.3. Tabela de Integrais Imediatas 106
4.3. Integral Definida 113
4.3.1. Soma Integral 113
4.3.2. Integral Definida 114
4.3.3. Teorema Fundamental do Cálculo 115
4.3.4. Aplicações: Cálculo de Áreas 116
Exercícios 125
Bibliografia 127
Sobre o Autor 130
99
4 NOÇÕES DE INTEGRAIS
4.1. Introdução
Nesta unidade daremos uma noção introdutória do
integral de Riemann. A principal motivação para os conceitos e
resultados introduzidos nesta unidade encontra-se em
calcularmos áreas de regiões planas. Ou mais especificamente,
suponhamos dada uma função [ ] ℜ→baf ;: , contínua (na
verdade, precisaríamos apenas que f fosse limitada).
Admitamos por razões de simplicidade, que f seja não-
negativa no intervalo [ ]ba; , isto é, 0)( ≥xf , [ ]bax ;∈∀ .
Consideremos a seguinte região do plano determinada pelo
gráfico de f : ( ){ })(0,;, 2 xfybxayxC ≤≤≤≤ℜ×ℜ=ℜ∈= , a
qual é formada pelos do plano que estão compreendidos entre
o eixo das abscissas, o gráfico de f , e as retas verticais ax =
e bx = . Pergunta-se: qual a área desta região do plano?.
Como veremos a integral definida nos fornecerá uma
forma efetiva de determinar a medida de tal grandeza.
Uma circunstância notável é que a noção de área está
estritamente relacionada com a noção de derivada. Como diz o
Prof. Elon Lages Lima, em seu livro: Curso de Análise – vol. 1,
esta interdependência entre a derivação e a integração é
expressa pelo fato de que o conjunto C , acima associado à
função f , tem como área o número )()( aFbF − , desde que F
seja uma função cuja derivada é f . Essa afirmação é o que
consta essencialmente no enunciado de um dos mais
importantes resultados da Matemática, a saber, o Teorema
Fundamental do Cálculo.
Nesta unidade, apresentaremos as definições de Integral
Indefinida ou Primitiva e Integral Definida de uma função f .
Enunciaremos o Teorema Fundamental do Cálculo e faremos
Para uma excelente complementação do estudo de Cálculo, veja o site de um projeto da Universidade de São Paulo.
100
algumas aplicações deste magnífico resultado para o cálculo
de áreas de regiões planas.
4.2. Integral Indefinida A integração indefinida nada mais é do que o processo
inverso da derivação. Ou seja, nesse contexto nos será
fornecida a derivada de uma função e, em seguida, estaremos
interessados a obter informações da função original.
4.2.1. Definição: (Primitiva de uma Função) A integral indefinida ou primitiva de uma função
ℜ→ℜ⊆If : é uma função ℜ→ℜ⊆IF : , tal que
IxxfxF ∈∀= ),()(' .
Notação: Se ),()(' xfxF = simbolicamente, teremos:
∫ += ,)()( cxFdxxf
onde ℜ∈c é uma constante arbitrária.
Observações sobre a notação: a. A função )(xff = é denominada função integrando;
b. O símbolo ∫ é chamado de integral;
c. A função )(xFF = é chamada primitiva ou integral
indefinida ou antiderivada;
d. O símbolo dx indica a variável que está sendo
considerada para obtermos )()(' xfxF = .
Exemplos:
1. ∫ ++=+ cxxdxx 2)12( ; de fato, pois derivando a
função integrando com respeito à variável x obtém-se:
12)( 2 +=++ xcxxdxd ;
2. ∫ += cxsendxxcos ; de fato, xcxsendxd cos)( =+ ;
101
3. ∫ += cdxx
x
2ln22 ; pois x
x
cdxd 2
2ln2
=
+ ;
4.2.2. Propriedades Operatórias de Integração
Citaremos nesse ponto algumas das principais regras
para obtermos a primitiva de uma determinada função. A
verificação dessas propriedades é imediata, do ponto de vista
matemático. Na verdade segue-se da própria definição e das
propriedades operatórias das derivadas.
1) Se )()(' xfxF = , então:
∫ ℜ∈+= ccxFdxxf ,)()( ;
2) ∫ ∫= dxxfadxxaf )()( , onde *ℜ∈a ;
3) ( )∫ ∫ ∫±=± dxxgdxxfdxxgxf )()()()( ;
4) Se ∫ += cxFdxxf )()( e )(xu ϕ= é derivável, então
∫ ℜ∈+= ccuFduuf ,)()( .
4.2.3. Método de Substituição A Tabela acima contém um número razoavelmente
grande de integrais indefinidas prontas para serem utilizadas.
Porém para uma integral que não faz parte da tabela, como
deveremos proceder para achar sua primitiva? Essa pergunta
não pode ser respondida em sua totalidade, mas podemos
utilizar algumas técnicas, ou métodos, que nos auxiliam na
determinação dessas primitivas. Existem vários métodos, mas
nos restringiremos a apenas dois, os quais num certo sentido
implicam no surgimento dos demais.
Começaremos com o Método de Substituição, que se
constitui numa versão em integração da regra da cadeia.
102
Suponha que )(tgx = , onde t é uma nova variável e g
uma função contínua derivável, na qual 0)(' ≠tg . Então,
teremos
( )∫ ∫= dttgtgfdxxf )(')()(
A função g deve ser escolhida de tal maneira que o segundo
membro da fórmula integral acima tome uma forma mais
adequada para a integração. A seguir faremos alguns
exemplos para explicar melhor o que estamos dizendo.
Exemplo: 4. Achar a integral:
∫ + dxxx 12
Solução: Fazendo 12 += xt , obtemos
212 −
=tx
donde segue-se que: dttdx = . Então a integral original tornar-
se-á:
( ) ( )∫∫ ∫ −=⋅⋅
−=+ dtttdttttdxxx 24
2
21
2112
Daí obtemos:
( )∫ +
−=− cttdttt
3521
21 35
24
Uma vez que nossa variável independente original é x ,
devemos expressar o nosso resultado em função desta, para
isso substituímos a nova variável t pela expressão que
utilizamos para resolver a integral. Logo, em nosso caso, após
fazermos tal substituição obteremos:
( ) ( )∫ ℜ∈++−+=+ ccxxdxxx ,126112
10112 35
Vamos supor que, de alguma maneira, conseguimos
transformar a expressão dxxf )( na seguinte forma:
,)()( duugdxxf =
103
onde )(xu ϕ= . Se a nova integral ∫ duug )( é conhecida, ou
seja,
∫ += cuFduug )()( ,
então, segue-se que:
∫ += cxFdxxf ))(()( ϕ
Na maioria das vezes essa sistemática adotada torna o
processo de integração mais simples e mais rápido de se fazer.
Exemplos: 5. Achar a integral
∫+
dxx
x21
Aqui vamos fazer 21 xu += , daí obteremos dxxdu 2= .
Então a integral inicial tornar-se-á:
∫ ∫ ∫ ++−
⋅===+
+−− cuduu
ududx
xx
1212
121
21
121
21
2
Ou seja,
∫ ℜ∈++=+=+
ccxcudxx
x ,11
2
2
6. Determinar a primitiva )(xFF = da função real, de
variável real, definida por 22 3
)( += xexxf , tal que
1)0( −=F .
Solução: Inicialmente, devemos achar:
∫ += dxexxF x 22 3
)(
Fazendo, 23 += xu , temos que dxxdu 23= , daí:
∫ ∫ ∫ +==
=+ cedueduedxex uuux
31
31
322 3
Logo,
cexF x += +23
31)(
Uma vez que 2)0( =F , segue-se que:
22
3122
31)0( ecceF −=⇒=+=
104
Nessas condições, segue-se que;
32
31)(
223 eexF x −+= +
7. Ache a integral
∫ +1xedx
utilizando a substituição: tx ln−= .
Solução: Fazendo tx ln−= , segue-se que:
teet xx 1
=⇒= −
além disso, dtt
dx 1−= . Fazendo as substituições na integral
original resulta:
( )∫ ∫ ++−=+
−=+
−ctdt
tt
dtt 1ln
11
11
1
Portanto, obtemos:
( ) ℜ∈++−=+
−∫ ccee
dx xx ,1ln
1
4.2.4. Integração por Partes O método de integração por partes refere-se à
determinação de integrais onde a função integrando é um
produto de duas outras funções. Ou seja, tal método é mais
utilizado ao nos deparar com a integral:
∫ dxxgxf )()(
Nem sempre essa integral é simples, porém quando um dos
fatores da função integrando é derivada de alguma outra
função, então esse cálculo pode tornar-se mais trabalhável
mediante o método de integração por partes.
Num certo sentido, essa técnica é uma reformulação da
regra do produto para derivação. Senão vejamos, da derivada
do produto de duas funções f e g sabemos que:
105
( ) )(')()()('')()( xgxfxgxfxgxf +=
Nessa última equação, integrando ambos os membros, segue-
se que:
∫ ∫+= dxxgxfdxxgxfxgxf )(')()()(')()(
Logo, temos, por exemplo, que:
∫ ∫−= dxxgxfxgxfdxxgxf )()(')()()(')(
Essa é a fórmula que utilizaremos para acharmos algumas
integrais onde a função integrando é um produto de funções.
Vamos aos exemplos para melhor entendermos essa
pequena teoria sobre integrais.
Exemplos: 8. Achar a integral
∫ dxxx ln
Solução: Aqui fazendo xxf ln)( = e xxg =)(' , teremos:
xxf 1)(' = e
2)(
2xxg = . Portanto, segue-se que:
∫ ∫∫ −=−= dxxxxdxxx
xxdxxx2
ln22
1ln2
ln222
Assim sendo, temos
∫ +−= cxxxdxxx4
ln2
ln22
9. Achar a função ∫= dxxxF ln)( , tal que 2)1( =F .
Solução: Para acharmos a função integral ∫= dxxxF ln)( ,
observamos que a função integrando pode ser vista como
produto de duas outras funções, da seguinte maneira:
∫ ∫ ⋅== dxxdxxxF ln1ln)(
Procedendo da mesma forma que na questão anterior,
façamos xxf ln)( = e 1)(' =xg . Então, segue-se que
xxf 1)(' = e xxg =)( . Portanto, usando a fórmula de
integração por partes teremos:
106
∫ ∫ ∫−=−= dxxxdxxx
xxdxx 1ln1lnln
ou seja,
∫ ℜ∈+−= ccxxxdxx ,lnln
Dessa forma, cxxxxF +−= ln)( , onde ℜ∈c . Uma vez que
2)1( =F , segue-se que:
321211ln1 =⇒=+−⇒=+−⋅ ccc
Isto é,
( ) 3ln1)( +−= xxxF
4.2.5. Tabela de Integrais Imediatas
Uma grande parte das integrais encontradas em
Ciências Sociais, Ciências Humanas, como Administração, e
Ciências Naturais, como Biologia, Química, pode ser resolvida
aplicando-se técnicas discutidas aqui em nosso livro. Porém,
às vezes, uma integral pode não ser resolvida utilizando tais
técnicas. Nesse caso, faz-se muito necessária a utilização de
Tabelas de Integrais. Na maioria dos livros de Cálculo
encontramos tais tabelas. Abaixo, exibimos uma pequena
amostra de fórmulas que aparecem nessas tabelas.
A verificação das igualdades, constantes na tabela abaixo,
é feita de forma imediata usando a definição de primitiva e,
conseqüentemente, as propriedades das derivadas.
A. ∫ −≠++
=+
1,1
1
ncnxdxx
nn ;
B. ∫ += cxx
dx ln ;
C. ∫ += cxdxxsen cos ;
D. ∫ +−= cxsendxxcos ;
E. ∫ += ca
adxax
x
ln, onde 10 ≠< a ;
F. ( )∫ +−= cxxdxx ln1ln ;
107
G. ∫ +=+
caxarctg
aaxdx 1
22 , onde 0≠a ;
H. ∫ ++−
=−
caxax
aaxdx ln
21
22 , onde 0≠a ;
I. ∫ +−+
=−
cxaxa
axadx ln
21
22 , onde 0≠a ;
J. ( )∫ ++
=+
cbax
xbbaxx
dx ln1 , onde 0≠b ;
K. ∫ +±+=±
caxxax
dx 22
22ln , onde 0≠a ;
L. ∫ +=−
caxarcsen
xadx
22, onde 0>a ;
M. ∫ += cxtgx
dx2cos
;
N. ∫ +−= cxgxsen
dx cot2 ;
O. cxctgxeccxtgxsen
dx+−=+=∫ cosln
2ln ;
P. ∫ ++=+
+= cxtgxcxtg
xdx secln
42ln
cosπ
Os exemplos a seguir ilustram a utilização destas fórmulas,
bem como os métodos de integração até aqui discutidos.
Exemplos: 10. Calcule a integral
( )∫ + 53xxdx
Solução: Fazendo uso da fórmula integral no ítem (J) da
tabela acima, com 3=a e 5=b , obtemos:
( )∫ ++
=+
cxx
xxdx
53ln
51
53, onde ℜ∈c
Método Alternativo: (Funções Racionais) Para acharmos a integral do item (10) acima, podemos
ter outro procedimento. Na verdade, não existe um
procedimento único para determinarmos a primitiva de uma
108
função dada, até porque o que queremos é acharmos uma
função cuja derivada é a função dada anteriormente.
Portanto, essa é uma meta que pode ser alcançada por
diversas formas. Senão vejamos, a função integrando do
item anterior
( )531)(+
=xx
xf
pode ser transformada numa soma de funções racionais
mais simples; de fato, tentemos achar constantes A e B
tais que:
( ) 53531)(
++=
+=
xB
xA
xxxf
Simplificando a soma do lado direito da expressão cima,
obteremos
( )( )( )53
5353
1)(+++
=+
=xx
BxxAxx
xf
Logo, temos
( )( )
( )5353
531)(
+++
=+
=xx
AxBAxx
xf
Como estamos interessados achar A e B satisfazendo a
igualdade acima, devemos impor a igualdade:
( ) 153 =++ AxBA
onde a igualdade acima é válida para todo ℜ∈x . Pela
igualdade entre polinômios, devemos, obrigatoriamente, ter
03 =+ BA e 15 =A . Assim sendo, temos que:
51
=A e 53
−=B .
Portanto, voltando à nossa integral original segue-se que:
( ) ( )∫ ∫ ∫ ∫ +−=
+
−=+ 535
351
5353
51
53 xdx
xdxdx
xxxxdx
Dessa forma, obtém-se:
( ) ,3
53ln53
5ln
53c
xxxxdx
++
−=+∫
Ou seja,
109
( ) [ ] cxxcxx
xxdx
++
=++−=+∫ 53
ln5153lnln
51
53
Esse procedimento pode ser utilizado sempre que
pudermos transformar uma função racional )()(
xQxP numa
soma de funções racionais mais simples do tipo bax
A+
,
onde A , a e b são constantes reais.
11. Achar a integral
∫ − 249 xdx .
Solução: Podemos utilizar o item (I) da Tabela acima ou
podemos utilizar a técnica das funções racionais discutida
acima; de fato, inicialmente observemos a identidade:
( )( )xxx 23231
491
2 +−=
−
Então achemos constantes reais A e B tais que:
( )( ) xB
xA
xx 232323231
++
−=
+−
Daí simplificando o lado direito da igualdade acima,
( )( )( ) ( )( )( )xx
xBxAxx 2323
23232323
1+−
−++=
+−,
Isto é,
( )( )( ) ( )( )( )xx
xBABAxx 2323
232323
1+−−++
=+−
Logo, por igualdade de polinômios, segue-se que:
( ) 13 =+ BA e 0=− BA . Daí temos, BA = e, por
conseguinte, 16 =A , o que implica que BA ==61 . Portanto,
voltando à nossa integral temos:
∫ ∫ ∫ ++
−=
− xdx
xdx
xdx
2361
2361
49 2
Daí segue-se que:
∫ +
++−−=
−cxx
xdx 23ln
2123ln
21
61
49 2
110
Portanto, fazendo as simplificações necessárias, obtemos:
∫ ℜ∈+−+
=−
ccxx
xdx ,
2323ln
121
49 2 .
4.2.6. Integrais Indefinidas: Aplicações
Nessa seção aplicaremos, através de vários exemplos,
os conceitos estudados a respeito de integração indefinida na
resolução de problemas dos mais variados tipos, com o intuito
de mostrar ao leitor a importância dessa ferramenta
matemática.
Exemplos: 12. Estima-se que daqui a t meses, a população de uma
certa cidade variará a uma taxa de 32
54 t+ pessoas por
mês. Se a população atual é de, aproximadamente,
10.000 pessoas, qual será a população daqui a 8 meses?
Solução: Nesse caso, devemos achar a função população.
Foi dito no problema, que a derivada de tal função é dada
pela lei 32
54 t+ , isto é, 32
54)(' ttP += . Portanto,
∫
+= dtttP 3
254)(
ou seja,
ℜ∈++
⋅+=+
cctttP ,13
254)(
132
isto é,
ℜ∈++= cctttP ,34)( 35
Uma vez que a população atual, )0(P , é igual a 10.000,
resulta 000.10=c . Portanto, a função população é dada por:
000.1034)( 35++= tttP
Logo, daqui a 8 meses a população será:
128.10000.108384)8( 35
=+⋅+⋅=P pessoas.
111
13. O preço de revenda de certa máquina decresce a uma
taxa que varia com o tempo. Quando a máquina tiver t
anos de uso, a taxa de variação de seu valor será
( )10220 −t reais por ano. Se a máquina foi comprada por
R$ 12.000,00, quanto valerá daqui a 10 anos?
Solução: No contexto do problema, a função-preço dessa
máquina é interpretada como sendo a primitiva da função
( )10220 −t , isto é:
( )∫ −= dtttP 10220)(
Portanto, temos que:
( ) ℜ∈+−= ccttP ,10110)( 2
Se a máquina foi comprada por R$ 12.000,00, segue-se
que 12000)0( =P , ou seja:
( ) 100012000100110 2 =⇒=+− cc
Assim sendo, temos ( ) 100010110)( 2 +−= ttP . Dessa forma,
temos que, daqui a 10 anos, o preço da máquina será
obtido através da substituição 10=t , ou seja,
1000)10( =P
Isto é, R$ 1.000,00.
14. Um objeto se move a uma velocidade expressa pela
função quadrática 326 2 ++ tt metros por minuto, após t
minutos. Qual a distância percorrida pelo objeto durante
o segundo minuto?
Solução: Como sabemos, a velocidade é a taxa de
variação do espaço percorrido, como função do tempo, ou
seja,
( )∫ ++= dtttts 326)( 2
Portanto, segue-se que:
ℜ∈+++= cctttts ,33)( 22
Para calcular a distância percorrida pelo objeto durante o
segundo minuto, basta obtermos )0()2( ss − . Sendo assim,
segue-se que:
112
2223223)0()2( 22 =⋅++⋅=− ss
isto é, 22 metros.
15. Um fabricante calculou que o custo marginal é 16 +q
reais por unidade, quando q unidades são produzidas.
O custo total de produção da 1ª unidade é de R$ 130,00.
Qual o custo total de produção das 10 primeiras
unidades?
Solução: Como sabemos, o custo marginal é a derivada do
custo total. Portanto, o custo total de produção de q
unidades é dado por:
( )∫ += dqqqC 16)(
ou seja,
ℜ∈++= kkqqqC ,3)( 2
Uma vez que o custo total de produção da 1ª unidade é de
R$ 130,00, temos que:
13013)1( =++= kC
ou seja, 126=k , portanto, a função custo-total é expressa
por: 1263)( 2 ++= qqqC . Nessas condições, o custo total de
produção das 10 primeiras unidades é dado por )10(C , isto
é,
4361261010.3)10( 2 =++=C
Ou seja, o custo total é R$ 436,00.
16. Um fabricante estima que a receita marginal seja de
21
100 −q reais por unidade, ao produzir q unidades. O
custo marginal correspondente é de q4,0 reais por
unidade. Suponha que o fabricante lucre R$ 520,00, ao
produzir 16 unidades. Qual será o lucro do fabricante, ao
produzir 25 unidades?
Solução: Nessas condições, temos que o lucro marginal
(receita marginal – custo marginal) é dado, via integração,
por:
113
∫
−= − dqqqqL 4,0100)( 2
1
Portanto, segue-se que:
ℜ∈+−+−
⋅=+−
kkqqqL ,2,012
1100)( 2
121
Isto é,
ℜ∈+−= kkqqqL ,2,0200)( 221
Uma vez que o lucro do fabricante, ao produzir 16 unidades, é
R$ 520,00, temos que: 520)16( =L , portanto
80,24880,748520520162,016200 221
−=−=⇒=+⋅−⋅ kk
Logo, a função lucro-total é dada por:
80,2482,0200)( 221
−−= qqqL
Dessa forma, o lucro do fabricante, ao produzir 25 unidades
será:
80,248252,025200)25( 221
−⋅−⋅=L
ou seja,
20,626)25( =L
Portanto, o lucro do fabricante, ao produzir 25 unidades será de
R$ 626,20.
4.3. Integral Definida
4.3.1. Soma Integral. Seja )(xff = uma função definida no
segmento bxa ≤≤ e bxxxxa n =<⋅⋅⋅<<<= 210 , uma divisão
arbitrária deste segmento em n partes, como mostra a figura
abaixo. A soma expressa por
∑−
=
∆=1
1)(
n
iiin xfS ξ ,
onde,
( )1,,3,2,1,0;; 11 −⋅⋅⋅=−=∆≤≤ ++ nixxxxx iiiiii ξ ,
114
recebe o nome de Soma Integral da função )(xff = no
intervalo fechado [ ]ba; . Observe que nS representa
geometricamente a soma algébrica das áreas dos retângulos
correspondentes, conforme figura abaixo.
FIGURA 26
4.3.2. Integral Definida.
Na soma nS representada na seção anterior,
considerando-se o limite com +∞→n e 0→∆ ix , caso esse
exista, chamaremos ao valor desse limite de integral definida
de )(xff = entre os limites de integração ax = e bx = , ou
seja,
∫∑ =∆−
=→∆
b
a
n
iiixmáx
dxxfxfi
)()(lim1
10ξ .
A integral, definida geometricamente, é a soma algébrica
das áreas dos retângulos esboçados na figura, na qual as
áreas das partes, situadas sobre o eixo OX, são tomadas com
sinal positivo, enquanto que as áreas das partes que se
encontram abaixo do eixo OX são tomadas com sinal negativo.
Portanto, para uma função [ ] ℜ→baf ;: , contínua e positiva,
isto é, 0)( >xf , para todo [ ]bax ;∈ , a integral definida
115
∫b
a
dxxf )(
Representa a área do plano delimitada pelas desigualdades
)(0 xfyebxa ≤≤≤≤ ,
e pelas retas ax = e bx = . Veja a figura abaixo.
FIGURA 27
4.3.3. Teorema Fundamental do Cálculo.
O resultado que enunciaremos a seguir constitui-se num
dos mais importantes e belos resultados da Matemática. É de
uma praticidade enorme e de uma utilização teórica fabulosa.
No nosso contexto o utilizaremos apenas para cálculo de áreas
de figuras planas. Mas sua utilização estende-se a
determinação de outras grandezas como, comprimento de
curvas, volume de corpos sólidos de revolução, cálculo de
áreas superficiais, etc.
O aluno que se interessar em sua demonstração, pode
encontrá-la no livro Curso de Análise, de autoria de Elon Lages
Lima [3].
Teorema Fundamental do Cálculo. Se uma função integrável
[ ] ℜ→baf ;: possui uma primitiva [ ] ℜ→baF ;: , então:
116
)()()( aFbFdxxfb
a
−=∫ .
Entendendo o Teorema Fundamental do Cálculo: É preciso que entendamos o que, de fato, o teorema
fundamental do cálculo se refere. Na prática, para calcularmos
áreas de figuras planas definidas por uma função [ ] ℜ→baf ;: ,
o que teremos que fazer é o seguinte: inicialmente,
determinemos a primitiva [ ] ℜ→baF ;: de f , ou seja,
determinemos uma função F tal que fF =' e, em seguida,
calculemos a diferença entre os valores )(bF e )(aF .
Não podemos esquecer que o valor da diferença
representa uma soma algébrica de áreas, portanto para o
nosso caso, como estamos considerando a nossa função
contínua e positiva, tal diferença sempre será positivo. Mas a
priori, tal diferença pode ser negativa, nula ou positiva.
4.3.4. Aplicações das Integrais Definidas 4.3.4.1. Aplicações em Cálculo de Áreas
1. Determinar o valor da área limitada pela parábola 2)( xxf = , pelas retas 1=x e 3=x e pelo eixo das
abscissas.
Solução: Neste caso, o valor da área será dado por:
326
319
31
33
3
333
1
33
1
2 =−=−=== ∫xdxxA .
Logo, a área solicitada é igual a: ..3
26 auA =
2. Calcular a área da figura limitada pela curva 22 yyx −−= e pelo eixo das ordenadas.
117
Solução: Neste caso, os eixos coordenadas estão invertidos e
devido a isso a área procurada é dada pela expressão
integral:
( ) ..29
3222
1
2
1
2
322 auyyydyyyA =
−−=−−= ∫
− −
Os limites de integração 21 −=y e 12 =y correspondem
às intersecções da curva com o eixo das ordenadas.
Numa situação mais geral, quando a área A da região
plana, a qual estamos querendo calcular, encontra-se limitada
por duas curvas contínuas )(1 xfy = e )(2 xfy = e pelas retas
verticais ax = e bx = , onde )()( 21 xfxf ≤ para bxa ≤≤ ,
conforme a figura abaixo:
FIGURA 28
Então, teremos:
[ ]∫ −=b
a
dxxfxfA )()( 12 .
118
Exemplos: 3. Calcular a área da figura plana compreendida entre as
curvas 2xyexy ==
Solução: Inicialmente observemos que as intersecções
dessas duas curvas ocorrem nos pontos de abscissas 0=x
e 1=x . Ademais, no segmento 10 ≤≤ x temos que
xx ≤≤ 20 . Portanto segue-se que:
( ) ..61
31
21
32
1
0
321
0
2 auxxdxxxA =−=
−=−= ∫
4. Calcule a área da figura plana compreendida entre as
curvas xyexy == 2 .
Figura 29
Solução: Da mesma forma que no exemplo anterior, as
intersecções entre essas duas curvas ocorrem nos pontos
de abscissas 0=x e . Além disso, nesse segmento,
temos que xx ≤≤ 20 . Assim sendo, temos:
( )∫ ∫
−=−=
1
0
1
0
221
2 dxxxdxxxA
logo,
..31
31
32
332
1
0
323
auxxA =−=
−=
1=x
119
5. Você possui uma quantidade de dinheiro para aplicar em
um plano de investimentos escolhido entre dois planos
concorrentes. Após x anos, o primeiro plano produzirá
uma renda com taxa de 21 350)( xxR += milhares de
reais por ano, enquanto que o segundo produzirá uma
renda com taxa constante de 200)(2 =xR milhares de
reais por ano. Se utilizar o segundo plano, que renda
você receberá a mais do que se utilizasse o primeiro
plano, após 5 anos?
Solução: As funções )(1 xR e )(2 xR representam as
taxas de variação do primeiro e do segundo planos de
investimentos, respectivamente e a diferença
)()( 12 xRxR − representa a taxa de variação entre o
segundo e o primeiro plano de investimento, nessa
ordem. Segue-se que a renda, a mais, recebida por
você ao se utilizar o segundo plano em detrimento do
primeiro, após 5 anos será dada através da integral
definida:
( )dxxRxR∫ −5
012 )()(
isto é,
( )[ ] ( )∫ ∫ −=+−5
0
5
0
22 3150350200 dxxdxx
Portanto, pelo Teorema Fundamental do Cálculo segue-
se que:
( ) ( )∫ =−⋅=−=−5
0
35
0
32 625551501503150 xxdxx
Logo o segundo plano de investimento renderá, a mais
do que o primeiro, R$ 625.000,00.
6. Quando uma máquina tem x anos de uso, gera dinheiro
a uma taxa de 254575)( xxR −= reais por ano, e resulta
em custos que se acumulam com uma taxa de 2101200)( xxC += reais por ano.
120
(a) Por quantos anos o uso da máquina é lucrativo?
(b) Qual é o ganho total líquido gerado pela máquina
durante o período do item (a)?
Solução: (a) Para sabermos por quantos anos o uso da máquina
é mais lucrativo, basta determinarmos todos os
valores reais de x para os quais se tenha:
0)()( ≥− xCxR
ou seja,
( ) ( ) 010120054575 22 ≥+−− xx
isto é,
( ) ( )( ) 015151522515 2 ≥+−=− xxx
Então, resolvendo esta inequação produto, levando
em consideração o contexto do problema, obtemos
como conjunto-solução:
{ }150; ≤≤ℜ∈= xxS
Portanto, até os 15 primeiros anos de uso a
utilização da máquina será lucrativa.
(b) O ganho total líquido gerado pela máquina durante
esses 15 anos será obtido através da utilização da
integral definida:
( ) ( )∫ ∫ −=−15
0
15
0
2153375)()( dxxdxxCxR
Portanto, via Teorema Fundamental do Cálculo,
teremos:
( ) ( )∫ −=−15
0
15
0
32 53375153375 xxdxx
isto é,
( )∫ =⋅−⋅=−15
0
32 33750155153375153375 dxx
Ou seja, o ganho total líquido gerado pela máquina
durante esses 15 anos será de R$ 33.750,00.
121
4.3.4.2. Valor Médio de uma Função Existem muitas situações práticas é muito importante
calcularmos o valor médio de uma grandeza matemática; por
exemplo, o nível médio de poluição do ar, em um determinado
período do dia; a velocidade média de um automóvel durante
uma viagem de 4 horas; a pressão média sangüínea de um
paciente durante uma cirurgia; a produtividade média de um
operário no trabalho num determinado período de meses; a
média do total dos alunos aprovados, num determinado curso,
num programa seriado de ingresso a uma universidade, a
quantidade média dos alunos cotistas que não conseguiram
aprovação num vestibular, etc.
No estudo das integrais definidas, existe uma fórmula
que nos permite trabalhar com essas situações; trata-se do
valor médio de uma função que enunciaremos a seguir:
Proposição: (Valor Médio de uma Função) O valor médio de uma função contínua )(xfy = em um
intervalo bxa ≤≤ , o qual denotaremos por )( fVM , é dado
pela fórmula:
∫−=
b
a
dxxfab
fVM )(1)(
No contexto desse livro é mais interessante
entendermos melhor o que, de fato, representa o valor médio
de uma função.
A fórmula da integral para valor médio de uma função
admite uma interpretação geométrica bastante interessante.
Inicialmente, observemos que tal fórmula pode ser reescrita na
seguinte maneira:
( ) ∫=−b
a
dxxffVMab )()(
Portanto, se a função f for não-negativa, como
sabemos, a integral do lado direito dessa igualdade representa
A demonstração da Propriedade do Valor Médio de uma função é apresentada na maioria dos livros de Cálculo Diferencial e Integral onde se utiliza, basicamente, a soma de Riemann discutida no início deste capítulo.
122
a área da região do plano abaixo do gráfico de f , entre as
retas verticais ax = e bx = e, limitada inferiormente, pelo eixo
dos sx' , isto é, a reta 0=y . No lado esquerdo dessa igualdade,
temos geometricamente a área de um retângulo cuja base
mede ab − e, cuja altura, é dada pelo valor médio de f , no
intervalo bxa ≤≤ . Assim sendo, o valor médio de f , no
intervalo bxa ≤≤ é igual à altura do retângulo cuja base é o
intervalo de comprimento ab − e cuja área é equivalente à área
abaixo do gráfico de )(xfy = entre ax = e bx = e, limitada
inferiormente, pelo eixo das abscissas, isto é, pela reta 0=y .
Figura 30
Exemplos: 7. Estima-se que t horas após a meia-noite, a temperatura
de certo local seja dada pela regra 1043,0)( 2 ++−= tttf
graus centígrados. Qual era a temperatura média no
local entre 9 horas da manhã e meio-dia?
Solução: Pela fórmula do Valor Médio da função f ,
temos que:
( )∫ ++−−
=12
9
2 1043,0912
1)( dtttfVM ,
ou seja,
( )12
9
23 1021,031)( tttfVM ++−=
Segue-se daí que,
( ) ( )[ ]901629,721202888,17231)( ++−−++−=fVM
123
isto é,
7,181,5631)( =⋅=fVM
Portanto, a temperatura média nes te local entre 9 horas
da manhã e meio-dia é 18,7°C.
8. Após t meses no emprego, um funcionário dos Correios
consegue classificar a correspondência a uma taxa de tetQ 5,0400700)( −−= cartas por hora. Determine a taxa
média segundo a qual o funcionário classifica a
correspondência durante os 3 primeiros meses.
Solução: Nesse caso, utilizando a fórmula do valor
médio para a função )(tQQ = dada no enunciado do
problema, temos que:
( )∫ −−=3
0
5,040070031)( dteQVM t
Ou seja,
( )3
0
5,080070031)( tetQVM −+=
Realizando as substituições 0=t e 3=t na expressão
acima, segue-se que:
( )[ ]800800210031)( 5,1 −+= −eQVM
logo,
83,49238001300)(
5,1
≅+
=−eQVM
Portanto, a taxa média segundo a qual o funcionário
classifica a correspondência durante os 3 primeiros
meses é de, aproximadamente, 492,83 cartas por hora.
9. Estima-se que daqui a t meses após o início do ano, o
preço de certo produto será dado pela expressão
matemática 2,12,006,0)( 2 +−= tttP reais por quilograma.
Nessas condições, qual o preço médio do produto
durante o primeiro semestre do ano?
124
Solução: O valor médio solicitado será calculado como
segue:
( )∫ +−=6
0
2 2,12,006,061)( dtttPVM
portanto, temos
( ) 6
0
23 2,11,002,061)( tttPVM +−=
isto é,
( ) 32,1692,762,161,0602,0
61)( 23 ==⋅+⋅−⋅=PVM
Logo, o preço médio do produto durante o primeiro
semestre do ano é de R$ 1,32.
125
EXERCÍCIOS
1) Determinar as primitivas das funções indicadas em
cada item abaixo:
a) ∫ −12xdx
b) ( )∫ −+− dxxxx 14 23
c) ∫
++ dx
xx
1232
2) Determinar a primitiva da função ℜ→ℜ:f definida
pela lei ( )xsenxf 2)( = que passa pelo ponto
2;
4π .
3) O lucro marginal (receita marginal – custo marginal)
de uma certa fábrica é de q2100 − reais por unidade,
quando q unidades são produzidas. Se o lucro é de
R$ 700,00, produzindo-se 10 unidades, qual será o
lucro máximo da fábrica?
4) Um estudo do meio ambiente de certa comunidade
indica que, daqui a t anos, a taxa de monóxido de
carbono no ar estará variando de 1,01,0 +t partes por
milhão por ano. Se a taxa de monóxido de carbono
no ar é de 3,4 partes por milhão, qual será a taxa
daqui a 3 anos?
5) Uma árvore foi transplantada e, após x anos, está
crescendo a uma taxa de ( )21
11+
+x
metros por ano.
Após 2 anos, alcançou 5 metros de altura. Qual era a
sua altura, quando foi transplantada?
6) Calcular a área da figura plana limitada pela curva
( )1ln −= xy , pelas retas 2=x e 9=x e pelo eixo das
abscissas.
126
7) Determinar a área da figura limitada pela parábola 22 xxy −= e pela reta xy −= .
8) Calcular a área do segmento da parábola 2xy = , que
corta a reta xy 23 −= .
9) Calcular a área da figura compreendida entre as
parábolas 3
2xy = e 2
324 xy −= .
10) Calcular a área da figura compreendida entre as
curvas xseny = e xy cos= , no intervalo 2
0 π≤≤ x .
127
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130
Sobre o autor
Prof. Dr. Gilvan Lima de Oliveira, graduou-se no Curso de
Licenciatura Plena em Ciâncias com Habilitação em
Matemática, em 1986, pela Universidade Federal do Piauí.
Em 1995 obteve título de Mestre em Ciências pela
Universidade Federal do Ceará, apresentando a dissertação
de Mestrado intitulada: “Evolução de Curvas Convexas Pela
Curvatura”, sob a orientação do Prof. Dr. Levi Lopes de
Lima – UFC. Obteve grau de Doutor em Engenharia de
Sistemas e Computação em 2002 na Universidade Federal
do Rio de Janeiro – COPPE/UFRJ, apresentando a tese
intitulada: “Uma Nova Classe de Métodos de Ponto
Proximal com Métrica Variável Para Problemas em
Otimização com Restrições de Positividade”, sob a
orientação do Prof. Dr. Paulo Roberto Oliveira – UFRJ e do
Prof. Dr. João Xavier da Cruz Neto – UFPi. Atualmente é
professor adjunto–1, lotado no Departamento de
Matemática do Centro de Ciências da Natureza da
Universidade Federal do Piauí, membro da Comissão
Permanente de Vestibular – COPEVE e Coordenador
Regional de Iniciação Científica dentro do Projeto das
Olimpíadas Brasileiras de Matemática – OBMEP
(http://www.obmep.org.br/)