Upload
others
View
3
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Technická univerzita v Liberci
Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická
Katedra matematiky a didaktiky matematiky
APOLLONIOVY ÚLOHY
Pomocný učební text
Petra Pirklová
Liberec, září 2013
2
Apolloniovy úlohy mají jméno podle řeckého geometra Apollonia z Pergy (262 – 200 př.
n. l.), který se jimi zabýval a řešil je.
Původně to byla pouze jedna úloha: sestrojit kružnici, která se dotýká tří kružnic daných.
Později byly tyto kružnice nahrazeny bodem (kružnicí o nulovém poloměru) a přímkou (kružnicí o
nekonečně velkém poloměru). Nyní Apolloniovými úlohami nazýváme úlohy sestrojit kružnici,
která se dotýká bodu, nebo kružnice, nebo přímky.
Z výše uvedeného zadání je patrné, že získáme 10 různých případů Apolloniovy úlohy
(BBB (bod-bod-bod), BBp (bod-bod-přímka), BBk (bod-bod-kružnice), Bpp, Bpk, Bkk, ppp, ppk,
pkk a kkk), přičemž obecná úloha má nejvýše 8 řešení.
My se budeme zabývat řešením Apolloniovy úlohy pouze eukleidovskými prostředky,
tedy pomocí množin bodů daných vlastností a metodou geometrických zobrazení (konkrétně
stejnolehlosti). Jsou známé také jiné metody, např. užitím kuželoseček, cyklografií, deskriptivní
geometrií, geometrií projektivní (kolineací) apod., avšak těmito metodami se zabývat nebudeme.
V následujících tabulkách jsou uvedeny všechny Apolloniovy úlohy a vzájemné polohy
jednotlivých útvarů vystupujících v těchto úlohách.
Zkratky uvedené v tabulkách: MBDV – množiny bodů dané vlastnosti, MBKK – mocnost
bodu ke kružnici, KI – kruhová inverze, STEJN – stejnolehlost. Zkratky typu např. ppT jsou
vysvětleny v kapitole Pappovy úlohy níže. Pokud je to možné, je v každé úloze vyřešen
nejobecnější případ dané Apolloniovy úlohy. V tabulce je označena tučně v počtu řešení a
tmavým pozadím.
1. Apolloniova úloha typu BBB: Sestrojte kružnici l, která prochází body A, B, C.
Vzájemná
poloha
prvků
A, B, C leží na přímce A, B, C neleží na přímce
Metoda
řešení MBDV
Počet
řešení 0 1
Jelikož jsou body A, B, C nekolineární, jedná se o
konstrukci kružnice opsané danému trojúhelníku, určeného
třemi zadanými body. K řešení použijeme metodu množin
bodů dané vlastnosti. Hledaný střed kružnice je bodem
průniku os úseček AB, BC a AC (množina středů všech kružnic,
které procházejí dvěma různými body). Každá z úseček AB,
BC, AC má právě jednu osu. Tyto osy jsou různoběžné přímky,
které se protnou právě v jednom bodě O. Úloha má právě
jedno řešení.
Úloha typu BBB
3
2. Apolloniova úloha typu BBp: Sestrojte kružnici l, která prochází body A, B a dotýká se
přímky p.
Vzájemná
poloha
prvků
{A,B} ⊂ p A ∈ p, B ∉ p
{A,B} ⊄ p
A, B v opačných
polorovinách
určených p
A, B ve stejné
polorovině
určené p
AB ∥p AB∦p
Metoda
řešení BpT MBDV
MBKK
nebo KI
Počet
řešení 0 1 0 1 2
Řešíme využitím mocnosti bodu ke kružnici. Přímka AB protne přímku p v bodě M.
Přímka p je tečnou hledané kružnice l, má s ní tedy právě jeden společný bod T. Bod T nalezneme
s využitím mocnosti bodu ke kružnici. Jelikož body A, B leží na kružnici l, platí m =|MA|⋅|MB|.
Pro dotykový bod T přímky p a kružnice l potom platí |MT|2 =|MA|⋅|MB|.
Vzdálenost MT určíme pomocí Euklidovy věty o odvěsně, tj. |MT|=|MA|⋅|MB|. Bod T
získáme jako průnik přímky p s kružnicí se středem v bodě M a poloměrem MT. Úlohu tak
převedeme na nalezení kružnice opsané trojúhelníku ABT (viz úloha BBB). Kružnice se středem v
bodě M a poloměrem MT protne přímku p ve dvou bodech. Úloha má dvě řešení.
Úloha typu BBp
3. Apolloniova úloha typu BBk: Sestrojte kružnici l, která prochází body A, B a dotýká se
kružnice k(S,r).
Vzájemná
poloha
prvků
{A,B} ⊂ k A ∈ k, B ∉ k
{A,B} ⊄ k
A leží vně, B uvnitř
kružnice
Body vně nebo uvnitř
kružnice
Metoda
řešení BkT MBKK nebo KI
Počet
řešení 0 1 0 2
4
Řešíme s využitím potenčního středu a metodou množin bodů dané vlastnosti. Hledaná
kružnice l prochází body A, B, proto její střed leží na ose o úsečky AB. Kružnice l se dotýká zadané
kružnice k v neznámém bodě T. Tečna kružnice k, která prochází bodem T, je společnou tečnou
kružnic l, k a zároveň i jejich chordálou. Zvolme kružnici l', která prochází body A, B a protíná
kružnici k ve dvou bodech, pak přímka AB je chordálou kružnice l a l'.
Najdeme-li potenční střed P kružnic l, l' a k, potom chordála kružnic l a k, která prochází
potenčním středem, je tečnou z bodu P ke kružnici k. Dotykový bod této tečny a kružnice k je
bod T. Střed hledané kružnice l patří do množiny středů všech kružnic, které se dotýkají kružnice
k v bodě T, tj. přímka ST bez bodů S, T.
Úloha typu BBk
Jestliže osa o úsečky AB neprochází středem S zadané kružnice k, jsou chordály kružnic l,
l', k navzájem různoběžné přímky, které se protínají právě v jednom bodě P. Z bodu P lze k dané
kružnici k vést právě dvě tečny, čímž získáme dva body T. Úloha má dvě řešení.
Jestliže osa o úsečky AB prochází středem S zadané kružnice k, jsou chordály kružnic l, l',
k navzájem rovnoběžné přímky, kolmé k ose o. Osa o je střednou kružnic k, l. Potenční střed P
neexistuje. Společná tečna t kružnic k, l je kolmá na střednou těchto kružnic a hledaný dotykový
bod T je průsečíkem osy o a kružnice k. Získáme tak opět dva průsečíky. Úloha má dvě řešení.
4. Apolloniova úloha typu Bpp: Sestrojte kružnici l, která prochází bodem B a dotýká se
přímek p1, p2.
Vzájemná
poloha
prvků
p1∥p2 p1∦p2
B vně pásu
p1, p2
B ∈ p1∧
B ∉ p2
B uvnitř
pásu p1, p2 B=p1∩p2 B∈p1∧ B∉p2 B∉p1∧ B∉p2
Metoda
řešení ppT MBDV ppT STEJN
Počet
řešení 0 1 2 0 1 2
5
Řešíme s využitím stejnolehlosti. Hledaná kružnice se dotýká přímek p1 a p2, proto střed
O leží na ose o úhlu určeného přímkami p1 a p2, jemuž náleží bod B.
Nyní musíme zajistit, aby kružnice splňovala i podmínku třetí – procházela bodem B.
Podle vět o stejnolehlosti dvou kružnic víme, že jsou každé dvě kružnice stejnolehlé. Speciálně v
tomto případě jsou stejnolehlé hledaná kružnice l a zvolená kružnice l', a to ve stejnolehlosti se
středem P (P ∊ p1∩p2). Bod B leží na kružnici l(O; r), a proto s ním stejnolehlý bod B' musí ležet na
kružnici l'(O'; r'). Navíc vzhledem k definici stejnolehlosti jsou vzor, obraz a střed stejnolehlosti
kolineární, a proto bod B' náleží přímce PB. Ve stejnolehlosti je každý směr samodružný, a proto
jsou přímky OB a O'B' rovnoběžné. Střed hledané kružnice O získáme jako průnik osy úhlu
určeného přímkami p1, p2 a přímky vedené bodem B rovnoběžně s přímkou O'B'. Přímka PB
protne kružnici l' ve dvou bodech B', které určují dvě stejnolehlosti. Tyto stejnolehlosti převedou
kružnici l' na dvě kružnice l. Úloha má dvě řešení.
Úloha typu Bpp
5. Apolloniova úloha typu Bpk: Sestrojte kružnici l, která prochází bodem B a dotýká se
přímky p a kružnice k(S,r).
Vzájemná
poloha
prvků
B=p∩k B∈p
∧
B∉k
B∈k
∧
B∉p
B∉p∧B∉k
p sečn
a k
p te
čna k
p nesečna k p tečna k
p sečn
a k
B u
vnitř k
B, k v o
pačn
ých
po
loro
vinách
dan
ých p
B, k ve ste
jné
po
loro
vině d
ané p
B u
vnitř k
B, k v o
pačn
ých
po
loro
vinách
dan
ých p
B, k v téže p
olo
rovin
ě,
B vn
ě k
Metoda
řešení kpT pkT KI kkT kkT KI KI
Počet
řešení 0 ∞ 2 2 0 0 4 1 1 3 2
6
6. Apolloniova úloha typu Bkk: Sestrojte kružnici l, která se dotýká kružnic k1(S1,r1),
k2(S2,r2) a prochází bodem B.
Vzájemná
poloha
prvků
k1, k2 soustředné
r1<r2
k1, k2 nesoustředné
k1 uvnitř k2,
r1<r2
k1,k2 vnitřní dotyk
B u
vnitř k
1
B vn
ě k2
B ∈
k1
B v m
ezikruží
B u
vnitř k
1
B vn
ě k2
B n
a jed
né z kru
žnic
B vn
ě k1 , u
vnitř k
2
B b
od
em d
otyku
kružn
ic
B n
a jed
né z kru
žnic
B ∉
k1 ∧
B ∉
k2
Metoda
řešení kkT
MB
DV
kkT KI kkT KI
Počet
řešení 0 0 2 4 0 0 2 4 ∞ 1 3
Vzájemná
poloha
prvků
k1, k2 vnější dotyk k1, k2 se protínají k1,k2 vně sebe B
bo
dem
do
tyku kru
žnic
B n
áleží jedn
é z kružn
ic
B vn
ě ob
ou
kružn
ic
B b
od
prů
niku
kružn
ic
B n
a jed
né z kru
žnic
B vn
ě ob
ou
kružn
ic
B u
vnitř jed
né kru
žnice
B n
a jed
né z kru
žnic
B vn
ě ob
ou
kružn
ic
Metoda
řešení kkT KI kkT KI kkT KI
Počet
řešení ∞ 1 3 0 2 2 0 2 4
7
7. Apolloniova úloha typu ppp: Sestrojte kružnici l, která se dotýká tří přímek p1, p2, p3.
Vzájemná
poloha
prvků
p1∥p2∥p3 p1, p2, p3 různoběžné p1∥p2∦p3
p1 ∩
p2 ∩
p3 =R
pro
tínají se ve třech
bo
dech
Metoda
řešení MBDV MBDV
Počet
řešení 0 0 4 2
Řešíme metodou množin bodů dané vlastnosti. Přímky p1, p2, p3 se protínají ve třech
různých bodech. Jedná se o konstrukci kružnice vepsané a kružnic připsaných trojúhelníku,
určeného třemi zadanými přímkami.
Hledané středy kružnic jsou body průniku os úhlů určených přímkami p1, p2, p3 (množina
středů všech kružnic, které se dotýkají dvou různoběžných přímek). Každé dvě různoběžky
vytínají v rovině čtyři úhly, přičemž každý z těchto úhlů má jednu osu. Osy se protnou vždy po
třech ve čtyřech bodech O. Úloha má čtyři řešení.
Úloha typu ppp
8
8. Apolloniova úloha typu ppk: Sestrojte kružnici l, která se dotýká přímek p1, p2 a
kružnice k(S,r).
Vzájemná poloha prvků Metoda
řešení
Počet
řešení
p1∥p2
k vně pásu přímek p1, p2 0
p1 nebo p2 tečnou k S vně pásu p1, p2 MBDV 1
S uvnitř pásu p1, p2 MBDV 3
jedna přímka je sečna k, nebo jsou přímky tečnami MBDV 2
přímky sečnami k MBDV 4
k uvnitř pásu p1, p2 MBDV 4
p1∦p2
p1∩k=p2∩k={} STEJN 4
p1∩k=R ppT 4
k protíná p1 STEJN 4
k se dotýká p1 a protíná p2 STEJN 6
k protíná p1, p2 STEJN 8
Řešíme s využitím stejnolehlosti. Střed hledané kružnice l leží na ose úhlu určeného
přímkami p1, p2, tj. množina středů všech kružnic, které se dotýkají dvou různoběžných přímek.
Dále víme, že kružnice k a hledaná kružnice l mají společný jeden bod dotyku T. Tento bod T je
zároveň středem stejnolehlosti kružnic l a k. K přímkám p1 a p2 existují stejnolehlé přímky p'1 a
p'2, rovnoběžné s přímkami p1, p2. Protože jsou přímky p1 a p2 tečnami kružnice l, musí být
přímky p'1 a p'2 tečnami kružnice k.
Průsečík P přímek p1, p2 a průsečík P' přímek p'1, p'2 jsou stejnolehlé v uvažované
stejnolehlosti. Z vlastností stejnolehlosti vyplývá, že body T, P, P' jsou kolineární, stejně tak i body
T, O, S musí být kolineární. Střed hledané kružnice nalezneme jako průsečík osy o s přímkou TS.
Ke kružnici k existují pro každou z přímek p1, p2 dvě rovnoběžné tečny. Tyto tečny se
protínají ve čtyřech bodech P'. Přímky PP' protnou kružnici k v osmi bodech T a každá z přímek ST
má s osou o vždy jeden společný bod. Úloha má osm řešení.
Úloha typu ppk
9
Všechna řešení nejobecnější úlohy typu ppk
9. Apolloniova úloha typu pkk: Sestrojte kružnici l, která se dotýká kružnic k1(S1,r1), k2(S2,r2)
a přímky p.
Vzájemná poloha prvků Metoda
řešení
Počet
řešení
k1, k2
soustředné
p tětivou alespoň jedné kružnice MBDV 4
p ∩ k1 = p ∩ k2 = {} 0
k1, k2
nesoustředné
p má s kružnicemi jeden společný bod ∞
p má s kružnicemi dva společné body 0
p má s kružnicemi tři společné body 0
p nemá s kružnicemi
žádný společný bod
kružnice ve stejné polorovině KI 8
kružnice v opačných polorovinách 0
10
10. Apolloniova úloha typu kkk: Sestrojte kružnici l, která se dotýká kružnic k1(S1,r1),
k2(S2,r2), k3(S3,r3).
Vzájemná poloha prvků Metoda
řešení
Počet
řešení
k1, k2, k3 soustředné, r1 < r2 < r3 0
k1, k2
soustředné,
r1 < r2
k1 ∩ k3 = k2 ∩ k3 = {} k3 neleží v mezikruží k1, k2 0
k3 leží v mezikruží k1, k2 MBDV 8
k1 ∩ k3 = R ∨ k2 ∩ k3= R MBDV 6
k3 protíná k2 MBDV 4
k3 protíná k1 i k2 MBDV 4
k1, k2, k3
nesoustředné
k1 ∩ k2 ∩ k3 = {} KI 8
k1 ∩ k2 ∩ k3 = R KI 4
k1 protíná k2 ve dvou bodech KI 4
11
PAPPOVY ÚLOHY
Pappova úloha má následující znění: "Jsou dány tři různé prvky (kružnice, přímky, body),
z nichž alespoň jeden je kruhová křivka a alespoň jeden je bod, přičemž tento bod leží na dané
kruhové křivce. Sestrojte kružnici, která se dotýká zadané kruhové křivky v daném bodě a dále se
dotýká další kruhové křivky nebo prochází dalším zadaným bodem.".
Obecná úloha se dělí na 6 podúloh. Jednoduchou konstrukcí můžeme počet variant snížit
na polovinu. Máme-li v zadání bod ležící na kružnici, sestrojíme v tomto bodě tečnu a úlohu
převedeme na hledání kružnice, která se dotýká přímky v tečném bodě.
Pro označení Pappovy úlohy se používá dolního indexu T vždy u křivky, na které bod leží.
Např. symbol BkT znamená, že je daná kružnice k a dva body, z nichž právě jeden leží na kružnici k.
1. Úloha typu BpT: Sestrojte kružnici l, která se dotýká dané přímky p v daném bodě T a
prochází dalším daným bodem B.
Řešíme metodou množin bodů dané vlastnosti. Hledaný střed O nalezneme jako průnik
dvou množin. První je množina středů všech kružnic, které procházejí body B, T, což je osa úsečky
BT (BT je tětiva hledané kružnice l). Druhá je množina středů všech kružnic, které se dotýkají
přímky p v bodě T bez bodu T. Náleží-li bod B přímce p, úloha nemá řešení. V ostatních případech
má úloha právě jedno řešení.
Úloha typu BpT
2. Úloha typu ppT: Sestrojte kružnici l, která se dotýká dvou daných přímek p, q a prochází
daným bodem T, který leží na jedné z přímek.
Při tomto zadání jsou možné různé vzájemné polohy vstupních prvků:
1. bod B leží na téže přímce jako bod T
2. přímky p, q jsou rovnoběžné
3. přímky p, q jsou různoběžné
Řešíme metodou množin bodů dané vlastnosti. Hledaný střed O nalezneme jako průnik
dvou množin. První množinou je přímka a bez bodu T, která je kolmá na přímku p a prochází
bodem T.
12
Druhá hledaná množina musí splňovat podmínku, aby střed měl stejnou vzdálenost od
obou přímek. V případě rovnoběžných přímek je takovou množinou osa pásu určeného přímkami
p, q. Jsou-li přímky p, q různoběžné jedná se o osy čtyř úhlů vymezených danými přímkami.
Náleží-li bod B téže přímce jako bod T, úloha nemá řešení. Jsou-li přímky p, q rovnoběžné
jsou přímky a a o navzájem kolmé, průsečíkem je právě jeden bod, úloha má tedy právě jedno
řešení. Jsou-li přímky p, q různoběžné přímka a protíná osy ve dvou bodech, úloha má právě dvě
řešení.
Úloha ppT, pokud jsou přímky rovnoběžné
Úloha ppT, pokud jsou přímky různoběžné
3. Úloha typu kpT: Sestrojte kružnici l, která se dotýká dané kružnice k(S,r) a dané přímky
p v daném bodě T.
Řešíme metodou geometrických zobrazení (stejnolehlosti). Střed hledané kružnice leží
na přímce a kolmé na přímku p procházející bodem T, bez bodu T (množina středů všech kružnic,
které se dotýkají přímky p v bodě T bez bodu T).
Dále víme, že kružnice k a hledaná kružnice l mají společný jeden bod dotyku R. Tento
bod R je zároveň středem stejnolehlosti kružnic l a k. Ve stejnolehlosti se středem R se zobrazí
kružnice l na kružnici k, přímka a na přímku a' a přímka p na přímku p', která má dotyk s
hledanou kružnicí. Bod T se zobrazí do bodu P.
Vycházíme z toho, že střed, vzor a obraz jsou ve stejnolehlosti kolineární, bod R tedy
nalezneme jako průsečík kružnice l a přímky TP. Průnikem přímky a a přímky SR (množiny středů
13
všech kružnic stejnolehlých ke kružnici k podle středu stejnolehlosti R) dostaneme bod S (střed
hledané kružnice).
Ke kružnici k lze vést dvě tečny, vzniknou dva body dotyku. Sestrojíme dvě přímky TP.
Každá přímka TP protne kružnici k v jednom bodě, vzniknou dva středy stejnolehlosti úloha má
dvě řešení.
Úloha typu kpT
4. Úloha typu BkT: Sestrojte kružnici l, která se dotýká dané kružnice k(S,r) v daném bodě
T a prochází dalším daným bodem B.
Řešíme metodou množin bodů dané vlastnosti. Sestrojíme tečnu kružnice k v bodě T a
úlohu převedeme na úlohu typu BpT. Hledaný střed je průsečíkem dvou přímek. Úloha má právě
jedno řešení.
Úloha typu BkT
5. Úloha typu pkT: Sestrojte kružnici l, která se dotýká dané kružnice k(S,r) v daném bodě
T a dané přímky p.
Řešíme metodou množin bodů dané vlastnosti. Sestrojíme tečnu kružnice k v bodě T a
úlohu převedeme na úlohu typu ppT.
14
Osy o1, o2 jsou dvojice navzájem kolmých přímek a t s nimi různoběžná, protne osy ve
dvou bodech (středech hledané kružnice). Úloha má dvě řešení.
Úloha typu pkT
6. Úloha typu kkT: Sestrojte kružnici l, která se dotýká dvou daných kružnic k1(S1,r1),
k2(S2,r2) a prochází bodem T, který leží na jedné z kružnic.
Řešíme metodou množin bodů dané vlastnosti. Sestrojíme tečnu kružnice k v bodě T a
úlohu převedeme na úlohu typu kpT. Ke kružnici k2 lze vést dvě tečny, vzniknou dva body dotyku,
sestrojíme dvě přímky TP, každá přímka TP protne kružnici k2 v jednom bodě, vzniknou dva
středy stejnolehlosti. Úloha má dvě řešení.
Úloha typu kkT