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ADC/FCTUC/EB/DSBF/Captulo 3/ 2005

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DINMICA DE SISTEMAS BIOLGICOS E FISIOLGICOS

Captulo 3

Funo de transferncia e dinmicas dos sistemas

3.1. Aplicao da transformada de Laplace s equaes diferenciais A transformada de Laplace uma boa ferramenta para a resoluo de equaes diferenciais. Por exemplo no Captulo 2 vimos o sistema mecnico da suspenso de um automvel, para o qual obtivemos a equao diferencial de 2 ordem

Aplicando o a propriedade da derivao no domnio temporal, obtm-se


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Verifica-se que a sada Y(s) tem duas parcelas: i) a devida s condies iniciais, Yzi, e entrada nula (zi de zero input) ii) a devida entrada, Yzs, e condies iniciais nulas (zs de zero (initial) state) Considerando as duas em simultneo, depois de reduzir ao mesmo denominador,

Procurando as razes do denominador e decompondo-o em fraces parciais, obtm se

Calculando agora os resduos A1, A2 e A3 pela tcnica que estudmos,

obtm-se


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Calculando agora a transformada inversa obtm-se y(t)

Verifica-se que y(0)=-1, como era de esperar. 3.2. Polinmio caracterstico, modos e estabilidade Se calcularmos a resposta da suspenso quando apenas as condies iniciais so no nulas (no aplicamos qualquer entrada), obtemos,

e invertendo, decompondo previamente em fraces parciais,

Calculando A1 e A2,


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podemos constatar os seguintes factos:

E por isso podemos afirmar que as duas exponenciais

so caractersticas intrnsecas do sistema, independentes de toda a realidade externa e das condies iniciais. Chamam-se por isso, aos seus expoentes -0,5 e -1, modos do sistema e so como que a sua DNA. Analisando mais em detalhe, obtemos

Para certas combinaes particulares de condies iniciais o sistema exibe um comportamento estranho. Vejamos. Se

a resposta s depende de um dos modos; o outro modo no aparece, no excitado. E se


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a resposta tambm s depende de um dos modos, no sendo o outro excitado. Podemos assim constatar que,

Qual a origem dos modos? Se no exemplo da suspenso automvel considerarmos M=2, B=4, K=20, u=0, t0, vem

Calculemos a resposta temporal, invertendo este Y(s):

Desenvolvendo,


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Ou seja, consultando a tabela da transformada de Laplace,

e graficando,

obtemos o movimento oscilatrio da suspenso. Se aumentarmos B de 4 para 14 (maior atrito, maior amortecimento) a suspenso deixa de oscilar (verifique, refazendo os clculos, ou use o Simulink, com condies iniciais nos integradores). Portanto os modos derivam das propriedades construtivas do sistema. No caso geral temos, sendo p o operador de derivao,


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Aplicando a transformada de Laplace (a ambos os lados da equao)

ou seja, rearranjando,

e se a entrada u(t) for nula para todo o t


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verifica-se que Yzi(s), e portanto yzi(t) depende das condies iniciais 3.3. Estabilidade em relao s condies iniciais Se um modo do sistema tem parte real positiva, ou se tem parte real nula e multiplicidade maior do que um, ento a sua exponencial (seja real, seja complexa) tende para infinito em valor absoluto. Se uma dada condio inicial excita um destes modos, a sada do sistema tender para infinito, mesmo que a entrada seja nula. O sistema diz-se ento instvel. No caso contrrio, em que todos os modos tm parte real negativa o sistema estvel. Um modo e parte real nula mas de multiplicidade 1 mantm a estabilidade do sistema. Assim podemos enunciar uma condio necessria de estabilidade em relao s condies iniciais:

A resposta s condies iniciais pode representar-se por

em que


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Chama-se a

A resposta livre, ou no forada, a que se obtm com entrada nula (e condies iniciais no nulas). 3.4 Funo de transferncia Seja o exemplo

Calculando a transformada de Laplace, com todas as condies iniciais nulas,

Ou seja


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G(s) transfere a entrada para a sada, ou de outro modo, a entrada transfere-se para a sada atravs ou pela aco de G(s) e por isso chama-se a G(s) funo de transferncia.

A funo de transferncia obtm-se a partir da equao diferencial de ordem n que descreve o sistema, aplicando-lhe a transformada de Laplace e resolvendo para Y/U. Se tivermos a possibilidade de aplicar um impulso de Dirac ao sistema, a sua resposta ser

( ) ( ) ( ) ( ).1 ( )Y s G s U s G s G s= = = e portanto

1 1( ) [ ( )] [ ( )]y t L Y s L G s = = ou seja, a funo de transferncia tambm se pode definir como a transformada de Laplace da resposta do sistema a um impulso de Dirac. Por isso se conhecermos s funo de transferncia e quisermos calcular a resposta impulsional h(t), basta fazermos

PARA


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Por exemplo

Exemplos de clculo da funo de transferncia: sistema de dois tanques (o mesmo da ingesto de um frmaco, com A1=A2=1)

No caso geral, sendo p o operador de derivao,


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Plos e zeros da funo de transferncia Os plos de G(s) so as razes do seu denominador. Os zeros so as razes do seu numerador.

A funo de transferncia pode escrever-se com o numerador e o denominador factorizados, dizendo-se que est na forma plo-zero.

A funo de transferncia assim completamente caracterizada por - os plos - os zeros - o ganho K, no numerador, uma constante caracterstica do sistema.


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Se por exemplo tivermos uma funo de transferncia G(s) com

zeros: -2, -3 plos: -1, -0.5, -4 G(0)=5

Dos plos e zeros poderemos escrever

Para calcularmo o valor de K usa-se o terceiro dado, obtendo-se

(continua em Capitulo3B)

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