APLICAŢII – SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE DINAMICĂ

8/7/2019 APLICAII SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE DINAMIC

1/190

CONSTANTIN IONESCU

APLICAII SISTEME CU UN GRAD DELIBERTATE DINAMIC

IAI, 2004


2/190


3/190


4/190

STABILITATEA I DINAMICA CONSTRUCIILOR 3

[s],

T2

= (1.2)

Pentru frecvena proprie de vibraie formula (1.3):

[Hz]sau][s,

Tf 1-

2

1== . (1.3)

Principalele etape de calcule sunt prezentate n continuare:

a) Se stabilete sistemul vibrant. Se pleac de la sistemulconstructiv real, pentru care se construiete modelul static(schema static a structurii), iar prin concentrarea masei ntr-o seciune i acordarea gradului de libertate semnificativ seobine sistemul dinamic (modelul dinamic), cu un GLD.

b) Se determin flexibilitatea sistemului vibrant, figura 1.1:i. notaii: sau f;ii. definiie flexibilitatea reprezint deplasarea msurat

pe direcia gradului de libertate dinamic a unui sistemvibrant, produs de o for egal cu unitatea aplicatn dreptul masei i pe direcia gradului de libertate;

iii. unitate de msur [ ]1mN ;iv. schema de calcul, figura 1.1;v. relaie de calcul:

dxl

EI)x(M)x(M

=0

. (1.4)

Aplicarea relaiei (1.4) presupune existena a dou situaii (stri) dencrcare: starea real i starea virtual (fictiv). Starea real estedefinit ca n figura 1.1. Aceasta, este constituit din modelul static alconstruciei, ncrcat n dreptul masei i pe direcia GLD cu o foregal cu unitatea. Starea virtual este realizat din structura dat(schema static, modelul static) acionat, n dreptul masei i pe direciape care dorim s determinm deplasarea, aici direcia este tot direciaGLD, de o for egal cu unitatea. Rezult faptul c, n cazul sistemelorcu 1GLD, cele dou stri real i virtual, coincid;

vi. Metode pentru trasarea diagramelor de eforturi. ncazul structurilor static nedeterminate, n vedereatrasrii diagramelor de eforturi momentencovoietoare, se folosesc dou metode: a eforturilor(a forelor) i a deplasrilor (deformaiilor).


5/190

SISTEME CU 1GLD. Caracteristicilor dinamice4

1GLD

m MD m

MD

1 MS

1

MS

1

MD MS

MD

1

MS

Fig. 1.1. Modele dinamice i situaii de ncrcare

pentru calculul flexibilitii

c) Determinarea pulsaiei, frecvenei i perioadei proprii devibraie, relaiile: (1.1), (1.2) i (1.3).

1.1. Grinzi drepte

1.1.1. Structura 1

Pentru structura din figura 1.2 se vor determina pulsaia i perioada

proprie de vibraie. Se vor parcurge etapele de calcul expuse npreambulul capitolului.


6/190


3aGLD

a2

M,M

.a

.c

.b

1,1

M

Fig.1.2. Sistem dinamic cu 1 GLD: a. sistem dinamic; b. Situaii de

ncrcare pentru calculul flexibilitii, ; c. Diagrame de mometencovoietoare corespunztoare celor dou stri: real, i virtual,M

SV

SS

Calculul flexibilitii

Pentru determinarea flexibilitii se aplic relaia (1.4). Prin nmulireacelor dou diagrame de momente ncovoietore (figura 1.2.c.) rezult:

aaa

333

= ,EIa

3

273

=

Determinarea pulsaiei proprii de vibraie

Prin aplicarea relaiei (1.1) se deduce:

39

1

ma

EI

m =

= ,

33330

ma

EI.= .

Calculul perioadei proprii de vibraie

Aplicnd expresia (1.2) se deduce perioada proprie de vibraie:

T2

= ,EI

ma.T

3

85018= .


7/190


1.1.2. Structura 2

Pentru structura din figura 1.3 se vor determina pulsaia i perioadaproprie de vibraie.

1.5aGLD

1.5a

.a

1,1

.b

a.750

.c M,M


ncrcare pentru calculul flexibilitii, ; c. Diagrame de mometencovoietoare corespunztoare celor dou stri: real, i virtual,M M

SV

SS


n figura 1.3. sunt trasate diagramele de momente corespunztoarecelor dou stri de ncrcare: real i virtual. n cest caz situaiile dencrcare sunt identice.

Pentru determinarea flexibilitii se aplic relaia (1.4). Prin nmulireacelor dou diagrame de momente ncovoietore rezult:

2

51

2

51

3

512

a.a.EIa.

= ,EIa

.3

6881

3

=




8/190


36881

1

ma.

EI

m =

= ,

33331

ma

EI. = .

Calculul perioadei proprii de vibraieAplicnd expresia (1.2) se deduce perioada proprie de vibraie:

T2

= ,EI

ma.T

3

7144= .

1.1.3. Structura 3


2aGLD

a

.a

a.6670

.c M,M

1,1

.b

1 23

SV

SS


ncrcare pentru calculul flexibilitii, ; c. diagrame de mometencovoietoare corespunztoare celor dou stri: real, i virtual,M M


n vederea trasrii diagramele de momente corespunztoare celor doustri de ncrcare: real i virtual se vor parcurge cteva etape de

calcul. Se vor determina reaciunile grinzii simplu rezemat (sistemul


9/190


static, modelul static) ncrcat cu o for egal cu unitatea (cele doustri sunt identice, n cazul structurilor static determinate).

Calculul reaciunilor

02 =M ; 0131 = aaV 3

1

1 =V .

01 =M ; 02132 =+ aaV 3

2

2 =V .

Verificare:

0= Y ; 01 21 =+ VV ; 03

21

3

1=+ .

Concluzie reaciunile sunt corect calculate.

Calculul momentelor ncovoietoare

aaVM 23

12131 == , a

3

2

31 =M

aaVM ==3

2

232 , a3

2

32 =M .

Diagrama de momente ncovoietoare (identic n cele dou stri) este

trasat n fig. 1.4.c.Pentru determinarea flexibilitii se aplic relaia (1.4). Prin nmulireacelor dou diagrame de momente ncovoietore rezult:

aaEIa

aaEIa

3

2

3

2

33

2

3

2

3

2+= ,

EIa

.3

3331

3

=



33331

31

ma.

EI

m =

= ,

351

ma

EI. = .



T2

= ,EI

ma.T

3

1894= .


10/190


1.1.4. Structura 4


2a GLDa

.a

1,1

.b

.c

a


ncrcare pentru calculul flexibilitii, ; c. diagrame de mometencovoietoare corespunztoare celor dou stri: real, i virtual,

1 2 3

SV

SS

M M

M,M


n vederea trasrii diagramele de momente corespunztoare celor doustri de ncrcare: real i virtual se vor parcurge cteva etape de

calcul. Se vor determina reaciunile grinzii simplu rezemat (sistemulstatic, modelul static) ncrcat cu o for egal cu unitatea (cele doustri sunt identice, n cazul structurilor static determinate).


02 =M ; 0121 =+ aaV 2

1

1 =V .

01 =M ; 1 023 2 = aVa 2

3

2 =V .

Verificare:


11/190


;0= Y 011 21 =+ VV ; 012

3

2

1=++ .



012 =M ,

aaVM 22

12121 == , M a=21 ,

032 =M ,

aM = 123 , M a=23

Diagrama de momente ncovoietoare (identic n cele dou stri) estetrasat n fig. 1.5.c.


aaEIa

aaEIa

+=33

2,

EIa

3

3

3

=



3

1

ma

EI

m =

= ,

3ma

EI = .



T2

= ,EI

ma.T

3

2836= .

1.1.5. Structura 5


Structura este static nedeterminat dup cum rezult din determinareagradului de nedeterminare static. Se aplic relaia de calcul (1.5):


12/190


Fig.1.6. Sistem dinamic cu 1 GLD: a. sistem dinamic; b. sistem static i situaie

de ncrcare pentru calculul flexibilitii, ; c. sistem de baz corespunztormetodei forelor; d. situaie de ncrcare pentru calculul coeficientului 11 i

diagram de momente ncovoietoare corespunztoare; e. situaie de ncrcare

pentru calculul termenului liber P1 i diagram de momente corespunztoare;f. diagram de momente finale

a.3750

a.250ff M,M.f

SD

aGLD

a

.a

a

.b

1,1

SS

1,11

X

SBS.c

1,1

1,1

M,MP

a.50

.e

11M,M

50. 1

.d


13/190


( ) crlGNS 3+= (1.5)

unde: l reprezint numrul de legturi simple interioare,r numrul de legturi simple din reazeme;

c numrul de corpuri.Din analiza structurii, se distinge un singur corp, 1=c i trei reazeme:unul articulat, r i alte dou simple, fiecare presupune r . Aplicndrelaia (1.5), rezult:

2= 1=

( ) 11340 =+=GNS ,

prin urmare structura are o singur nedeterminare static. Numrul denedeterminri statice este egal cu numrul de necunoscute n metodaforelor.

n metoda deplasrilor numrul de necunoscute este dat gradul denedeterminare cinematico-elastic a structurii, notat , care secalculeaz cu relaiile (1.6) i (1.7):

GNCE

gNGNCE += , (1.6)

( )rlcg += 3 , (1.7)

unde: N reprezint numrul de noduri rigide,g numrul de grade de libertate, care se determin pe o

structur obinut din structura dat (static nedeterminat) prinintroducerea de articulaii n nodurile rigide i n reazemele ncastrate;

c, l, r idem relaia (1.5)

n primul rnd, se determin gradul de libertate al structurii, structuradeterminat obinut din structura dat prin introducerea unei articulaiin nodul notat , se identific, n acest caz cu sistemul de baz desenatn figura 1.6.c Constatm existena a dou corpuri, notate

3

31 i ,a unui articulaii interioare n nodul , a unui reazem articulat i a doureazeme simple, deci:

23

3

2=c , 2=l , 112 ++=r ,( )112223 +++=g 0=g .

Cum structura considerat are un singur nod rigid, nodul , conchidem:3

1=N i 01 +=GNCE 0=GNCE .

n concluzie, structura este cu noduri fixe i are o singur necunoscutcorespunztoare metodei deplasrilor.

Pentru ridicarea nedeterminrii statice, se vor utiliza, succesiv, cele dou

metode cunoscute din Statica Structurilor: metoda forelor i metodadeplasrilor.


14/190


n figura 1.6 sunt prezentate situaiile de ncrcare i diagramele deeforturi necesare aplicrii metodei forelor, iar n figura 1.7 situaiile dencrcare i deformatele specifice metodei deplasrilor.


n vederea trasrii diagramele de momente corespunztoare celor doustri de ncrcare: real i virtual, necesare determinrii flexibilitii, sevor parcurge cteva etape de calcul, prezentate n continuare.

Ridicarea nedeterminrii statice prin metoda forelor

Ecuaia de echilibru corespunztoare metodei forelor este:

01111 =+ PX .

n figura 1.6.c. este prezentat sistemul de baz, iar n figura 1.6.d. suntdesenate diagramele unitare de momente ncovoietoare, n cele dousituaii de ncrcare: real si virtual, acestea sunt identice. Integrndcele dou diagrame rezult:

11EI3a

11EI3a2

dxEI

)x(M)x(M

l

011

11 +== EIa

11 = .

Situaia de ncrcare pentru calculul termenului liber al ecuaiei deechilibru este prezentat n figura 1.6.e, de asemenea, i diagrame demomente ncovoietoare corespunztoare. Se aplic relaia de calcul:

)aa

(EIaa

EIa

dxEI

)x(M)x(Ml PP

20

2

101

22

12

622

1

30

1

1 ++++==

EIa

P4

2

1 = .

Prin rezolvarea ecuaiei de echilibru rezult:

a

EI

EI

a

X P =

=4

2

11

11

4

1

aX = .

Calculul eforturilor i trasarea diagramei finale

n vederea determinrii eforturilor, se aplic principiul suprapuneriiefectelor, cu ajutorul relaiei de calcul:

,Pijijfij MXMM += 1

1

se obin eforturile:

,013 =f

M


15/190


22

1

141

aXMf +=

8

3

41

af =M ,

01 13234 +== XMMff

43234a

Mff

==M ,

.023 =fM

Diagrama de momente ncovoietoare final este desenat n figura 1.6.f.

Verificarea diagramei finale

Verificarea diagramei finale se face, conform celor cunoscute din StaticaStructurilor, aplicnd relaia:

0dxEI )x(M)x(Ml0

f1 = .

Prin urmare, se integreaz diagramele din figurile 1.6.d. i e., se obine:

,EIa

EIaa

Eia

)aaaa

(EIaa

EIa

dxEI

)x(M)x(Ml f

048

9

16

3

41

3

8

31

42

1

412

8

3

2

12

68

3

2

1

3

22

0

1

==

++=

n concluzie diagrama a fost corect trasat.Ridicarea nedeterminrii statice prin metoda deplasrilor


01111 =+ PRZr .

n figura 1.7.c. este prezentat sistemul de baz, iar n figura 1.7.d. esteprezentat deformata sistemului de baz pentru ncrcarea, cedare dereazem, Exprimnd echilibrul nodului , se obine relaia decalcul al coeficientului :

11 =Z 3

11r

03 =M , 0313211 = KKr ,se cunosc expresiile de calcul ale rigiditilor:

aEI

lEI

K2

33

31 == , aEI

lEI 33

32 ==K

i rezult:

a

EIr

2

9

11 .


16/190


Fig.1.7. Sistem dinamic cu 1 GLD: a. sistem dinamic; b. sistem static i situaie

de ncrcare pentru calculul flexibilitii, k ; c. sistem de baz corespunztormetodei deplasrilor; d. situaie de ncrcare pentru calculul coeficientului 11r ;

e. situaie de ncrcare pentru calculul termenului liber PR1 ;f. diagram de momente finale

.e

PR11,1

31M

1,11Z

.c SBS

.d.c

31K

32K

11r

11=Z

.b

1,1

SS

a.3750

a.250ff M,M.g

.f

1,11 2 32

4

3V2V1V 2V

aGLD

a

.a

a

SD

1 32

4


17/190


n figura 1.7.e. este prezentat deformata sistemului de baz, pentruncrcarea exterioar, de intensitate egal cu unitatea, pentru calculul

termenului liber . Exprimnd echilibrul nodului , se obine relaia decalcul al coeficientului:

1PR 3

03 =M , R ,0=P1 31M-unde

16a23

16PL3

M31

== ,16

6=

a31M 8

a3P1 =R .


EI9a2

8a3

rR

Z11

P11 == EI12

a1 =Z .



,Pij1ijfij ZKM M+=

,31131f31 ZKM M = 8a3)

EI12a(

a2EI3f31 = M 4

af31 =M .

Pentru aflarea valorii momentului ncovoietor, n seciunea, notat , ncare este aplicat fora concentrat, se descompune structura dat ndou grinzi simplu rezemate ncrcate cu fora exterioar i momenteledin extremiti, determinate anterior,

4

3231 MM = , figura 1.7.g.

Calculul reaciunilor la grinda 1 24 :

,0M2 = 04a

a1a2V1 =+ 8

3

V1 = ;

,0M1 = 0a14a

a2V2 =++ 85

V2 = .

Verificare:

0 ,Y = 01VV 21 =+ 0185

83

=+ ,

rezult c reaciunile sunt calculate corect.

Calculul momentului ncovoietor din seciunea :4


18/190


19/190


1.1.6. Structura 6


2aGLD

a

a2

M,M

.a

.c

1,1

.b


ncrcare pentru calculul flexibilitii, ; c. Diagrame de mometencovoietoare corespunztoare celor dou stri: real, i virtual, MM


Pentru determinarea flexibilitii se aplic relaia (1.4). Prin nmulireacelor dou diagrame de momente ncovoietore, trasate n (figura 1.8.c.)rezult:

a2a2EI3a2

= , EI3a8

3

=



3ma8

EI3

m

1 =

= ,

3ma

EI612.0 = .




20/190


T2

= ,EI

ma260.10T

3= .

1.1.7. Structura 7


1,1

.b

a2

M,M.c

2aGLDa

.a


ncrcare pentru calculul flexibilitii, ; c. Diagrame de mometencovoietoare corespunztoare celor dou stri: real, i virtual, MM


Pentru determinarea flexibilitii se aplic relaia (1.4). Prin nmulireacelor dou diagrame de momente ncovoietore, trasate n (figura 1.9.c.)rezult:

aaEI3a

= ,EI3

a

3=



3

ma

EI3

m

1 =

= ,

3

ma

EI732.1 = .


21/190




T 2= ,

EIma628.3T

3= .

1.1.8. Structura 8



( ) crlGNS 3+= (1.5)

unde: l reprezint numrul de legturi simple interioare,r numrul de legturi simple din reazeme;c numrul de corpuri.

Din analiza structurii, se distinge un singur corp, 1=c i dou reazeme:unul ncastrat, r 3= i un altul simplu rezemat cu 1=r . Aplicnd relaia(1.5), rezult:

( ) 11340GNS =+= ,


Pentru ridicarea nedeterminrii statice, se utilizeaz metoda forelor.

n figura 1.10 sunt prezentate situaiile de ncrcare i diagramele deeforturi corespunztoare.


n vederea trasrii diagramele de momente corespunztoare celor dou

stri de ncrcare: real i virtual, necesare determinrii flexibilitii, sevor parcurge cteva etape de calcul, prezentate n continuare.



01111 =+ PX .

n figura 1.10.c. este prezentat sistemul de baz, iar n figura 1.10.d.sunt desenate diagramele unitare de momente ncovoietoare, n celedou situaii de ncrcare: real si virtual, acestea sunt identice.

Integrnd cele dou diagrame rezult:


22/190


2a a

GLD

a2

1,1

11 M,M

a3

1,1

M,MP

.a

.e

.f

.d

a.50 a

ff M,M

1,1

1X

SBS.c

.b

1,1

Fig.1.10. Sistem dinamic cu 1 GLD: a. sistem dinamic; b. sistem static i

situaie de ncrcare pentru calculul flexibilitii, ; c. sistem de bazcorespunztor metodei forelor; d. situaie de ncrcare pentru calculul

coeficientului 11 i diagram de momente ncovoietoare corespunztoare; e.

situaie de ncrcare pentru calculul coeficientului P1 i diagram de momentecorespunztoare; f. diagram de momente finale

SD

SS

123


23/190


a2a2EI3a2

dxEI

)x(M)x(M

l

011

11 == EI3a8 3

11 = .


)a2aa30a3a22a02(EI6a2

dxEI

)x(M)x(Ml

0P1

P1 +++==

EI3a14 3

P1 = .


3

3

11

P11

a8

EI3EI3a14

X ==

47

X1 = .



,Pijijfij MXMM += 1

1

se obin eforturile:

,0Mf12 =

M ,a1Mf21 = af21 =

a3Xa2M 1f32 += 2

af34 =M .

Diagrama de momente ncovoietoare final este desenat n figura

1.10.f.Verificarea diagramei finale


0dxEI

)x(M)x(Ml

0f1 = .

Prin urmare, se integreaz diagramele din figurile 1.10.d i e, se obine:

0)a2a2a0

2aa22a02(

EI6a2dx

EI)x(M)x(Ml

0f1 =++= ,


24/190


n concluzie diagrama a fost corect trasat.

Flexibilitatea se determinarea aplicnd relaia (1.4). Prin nmulireacelor dou diagrame de momente ncovoietore finale, rezult:

dxEI

)x(M)x(M

l

0ff

= ,

)2a

a22a

2a

2aa2(EI6a2

aaEI3a

++= EI6a5

3

= .

De asemenea, flexibilitatea se poate determina i aplicnd relaia:

dx

EI

)x(M)x(M

l

0

f= ,

deoarece starea virtual se constituie i din orice structur staticdeterminat obinut din structura dat. Aici, se consider sistemul debaz, iar diagrama de momente ncovoietoare este identic cu diagramatrasat pentru ncrcarea exterioar, care este o for de intensitateegal cu unitatea, figura 1.10.c. Prin urmare, se integreaz diagramele:

fM i M , rezult:

)aa3

2

aa

2

aa32aa2(

EI6

aaa

EI3

a ++=

EI6

a5 3= ,

se constat c s-a obinut aceeai valoare pentru flexibilitate.



3ma5

EI6

m

1

=

= ,

3ma

EI095.1= .



T2

= ,EI

ma738.5T

3= .

1.1.9. Structura 9




25/190


2aa

GLD

a3

1,1

M,MP

.a

.f

a

1,111

M,M.e

.ga a2

ff M,M

1,1

.b

1,1

1X

SBS.c


situaie de ncrcare pentru calculul flexibilitii, ; c. sistem de bazcorespunztor metodei forelor; d. situaie de ncrcare pentru calculul

coeficientului 11 i diagram de momente ncovoietoare corespunztoare; e.

situaie de ncrcare pentru calculul coeficientului P1 i diagram de momentecorespunztoare; f. diagram de momente finale

SD

SS

123


26/190


( ) crlGNS 3+= (1.5)

unde: l reprezint numrul de legturi simple interioare,r numrul de legturi simple din reazeme;

c numrul de corpuri.Din analiza structurii, se disting: un corp, 1=c i dou reazeme: unulncastrat, i un altul simplu rezemat cu . Aplicnd relaia(1.5), rezult:

3r = 1=r

( ) 11340GNS =+= ,


Pentru ridicarea nedeterminrii statice, se utilizeaz metoda forelor.



n vederea trasrii diagramele de momente corespunztoare celor doustri de ncrcare: real i virtual, necesare determinrii flexibilitii, sevor parcurge cteva etape de calcul, prezentate n continuare.



01111 =+ PX .

n figura 1.11.c. este prezentat sistemul de baz, iar n figura 1.11.dsunt desenate diagramele unitare de momente ncovoietoare, n celedou situaii de ncrcare: real si virtual, acestea sunt identice.Integrnd cele dou diagrame rezult:

aaEI3

a

dxEI

)x(M)x(M

l

0

11

11 == EI3a3

11 = .


)a30a2aa3a2a02(EI6a

dxEI

)x(M)x(Ml

0P1

P1 +++==

EI3

a4 3P1 = .


27/190



3

3

11

P11

a

EI3EI3a4

X ==

X 41 = .



,Pijijfij MXMM += 1

1

se obin eforturile:

,0Mf12 =

M ,a21Mf21 = a2f21 =

M .a3XaM 1f32 += a

f34 =

Diagrama de momente ncovoietoare final este desenat n figura1.11.f.



0dxEI

)x(M)x(Ml

0f1 = .

Prin urmare, se integreaz diagramele din figurile 1.11.d i e, se obine:

0)aa2a00a2a202(dxEI

)x(M)x(Ml

0f1 =+= ,

n concluzie diagrama a fost corect trasat.


dxEI

)x(M)x(M

l

0ff

= ,

)aa22aa2a2a22(EI6a

a2a23a2

++= EI3a11 3

= .

De asemenea, flexibilitatea se poate determinar i aplicnd relaia:


28/190


dxEI

)x(M)x(M

l

0f

= ,

deoarece starea virtual se constituie i din orice structur staticdeterminat obinut din structura dat. Aici, se consider sistemul debaz, iar diagrama de momente ncovoietoare este identic cu diagramatrasat pentru ncrcarea exterioar, care este o for de intensitateegal cu unitatea, figura 1.11.c. Prin urmare, se integreaz diagramele:

fM i M , rezult:

)a3a2aa2aa32a2a22(EI6a

a2a2EI3a2

++= EI3a11

3

= ,

se constat c s-a obinut aceeai valoare pentru flexibilitate.Determinarea pulsaiei proprii de vibraie


3ma11

EI3

m

1

=

= ,

3ma

EI522.0= .



T2

= ,EI

ma032.12T

3= .

1.1.10. Structura 10



Pentru determinarea flexibilitii se aplic relaia o relaie de calcul dintabelul ?????, corespunztoare situaiei de ncrcare artat n figura1.11.c:

EI)ba(

ba

3

33

+

= ,

EI)a3(

)a5.1()a5.1(3

33

=

EI3a

266.13

=




29/190


a b

1,1

.c

1.5a

GLD

1.5a

.a

1,1

.b

Fig.1.12. Sistem dinamic cu 1 GLD: a. sistem dinamic;

b. situaii de ncrcare pentru calculul flexibilitii, ; c. grindadublu ncastrat, caz general, acionat de o for concentrat

3ma266.1

EI3

m

1

=

= ,

3ma

EI539.1 = .



T

2= ,

EIma083.4T

3= .

1.1.11. Structura 11



Pentru determinarea flexibilitii se aplic relaia de calcul din tabelul

?????, corespunztoare situaiei de ncrcare artat n figura 1.12.c:


30/190


2a

GLDa

.a

a b

1,1

.c

1,1

.b

Fig.1.13. Sistem dinamic cu 1 GLD: a. sistem dinamic;b. situaii de ncrcare pentru calculul flexibilitii, ; c. grindadublu ncastrat, caz general, acionat de o for concentrat

EI)ba(

ba

3

33

+

= ,

EI)a3(

)a()a2(

3

33

=

EIa

296.03

=



3ma296.0

EI

m

1

=

= ,

3ma

EI838.1= .



T2

= ,EI

ma418.3T

3= .


31/190


1.2. Cadre

1.2.1. Structura 1

Pentru cadrul din figura 1.14 se vor determina pulsaia i perioadaproprie de vibraie. Se vor parcurge etapele de calcul expuse npreambulul capitolului.

1,1

.b

1V

2V

1H

a2

a3

1

3

2

4

GLD

.a

a2

M,M

.c

.d

Fig.1.14. Sistem dinamic cu 1 GLD: a. sistem dinamic; b. situaii de

ncrcare pentru calculul flexibilitii, ; c. diagrame de mometencovoietoare corespunztoare celor dou stri: real, i virtual,d. deformata sistemului datorit aplicrii aciunii egale cu unitatea

SV SS

MM


n vederea trasrii diagramele de momente corespunztoare celor doustri de ncrcare: real i virtual calcul se vor determina reaciunilecadrului (sistemul static, modelul static) ncrcat cu o for egal cuunitatea (cele dou stri sunt identice, n cazul structurilor staticdeterminate).


32/190



0X = ; 1 0H1 = ; H 11 = .

02 =M ; 0a21a3V1 =+ 321 =V .

0M1 = ; 1 0a3Va2 2 = 32

2 =V .

Verificare:

0= Y ; 0VV 21 =+ ; 032

32

=+ .

Concluzie reaciunile sunt corect calculate.Calculul momentelor ncovoietoare

0M13 =

a2HM 131 = , M a213 =

3134 MM = ,

0MM 4224 == .



dxEI

)x(M)x(M

l

0= ,

a2a2EI3a3

a2a2EI3a2

+= , EI3a20

3

=



3ma20

EI3

m

1 =

= ,

3ma

EI387.0= .




33/190


T2

= ,EI

ma223.16T

3= .

1.2.2. Structura 2


1,1

.b

1V

2V

1H

2H

a2

a.51

1

3

2

4

GLD

.aa.51

M,M

.c

a

a a

.d


ncrcare pentru calculul flexibilitii, ; c. diagrame de mometencovoietoare corespunztoare celor dou stri: real, i virtual,d. deformata sistemului datorit aplicrii aciunii egale cu unitatea

SV SS

MM

5


n vederea trasrii diagramele de momente corespunztoare celor doustri de ncrcare: real i virtual calcul se vor determina reaciunile


34/190


cadrului (sistemul static, modelul static) ncrcat cu o for egal cuunitatea (cele dou stri sunt identice, n cazul structurilor staticdeterminate).


02 =M ; 0a21a3V1 =+ 32

V1 = ,

0M1 = ; 1 0a3Va2 2 = 32

2 =V ,

;0Mstg4 = 0a2Ha5.1V 11 =+ 21

1 =H ,

;0Mdr4 = 0a2Ha5.1V 22 =+ 212 =H .

Verificare:

; 10 0HH 21X = = 1 05.05.0 =

0= Y ; 0VV 21 =+ ; 032

32

=+ .



0M13 = ,

a2HM 131 = , M a13 =

0MM 4543 == ,

a2Ha3VM 1154 += M a54 = ,

0M52 = .



dxEI

)x(M)x(M

l

0= ,

aaEI3

a5.1aa

EI3

a2 += ,

EI3

a7

3=


35/190




3ma7 EI3m1=

= , 3maEI655.0 = .



T2

= ,EI

ma597.9T

3= .

1.2.3. Structura 3



n vederea trasrii diagramele de momente corespunztoare celor doustri de ncrcare: real i virtual calcul se vor determina reaciunilecadrului (sistemul static, modelul static) ncrcat cu o for egal cuunitatea (cele dou stri sunt identice, n cazul structurilor static

determinate).Calculul reaciunilor

Sistemul secundar 3-4-2, figura 1.16.c.

0X = ; 01H3 =+ H 13 =

0M3 = ; 0a3V2 = 0V3 = ,

;0M2 = 0a21a2Ha3V 33 =+ 0V2 = ,

Verificare:

0= Y ; 0VV 23 =+ ; 0 00 =+ .


Sistemul principal 1-3- figura 1.16.c.

0X = ; 0HH 31 =+ H 11 =

0=

Y ; 0VV 31=

; 000=+

.


36/190


.b

a2

a3

1

3

2

4

GLD

.a

.e

3V

3H

1,1

.c

2V

1H

3V

3H

21

3 3

1V

1,1

a2M,M

.d


ncrcare pentru calculul flexibilitii, ;c. sistemul secundar i sistemulprincipal utilizate pentru calculul reaciunilor; d. diagrame de mometencovoietoare corespunztoare celor dou stri: real, i virtual,

d. deformata sistemului datorit aplicrii aciunii egale cu unitatea

MM


37/190



0MMMMM 3142244334 ===== ,

a2HM 313 = , M a213 = .Diagrama de momente ncovoietoare (identic n cele dou stri) estetrasat n fig. 1.16.d.


dxEI

)x(M)x(M

l

0= ,

a2a2EI3a2 = , EI3a83

=



3ma8

EI3

m

1 =

= ,

3ma

EI612.0 = .



T2

= ,EI

ma260.1T

3= .

1.2.4. Structura 4



( ) crlGNS 3+=

Din analiza structurii, constatm existen unui singur corp, i adou reazeme articulate - r

1=c4= . Aplicnd relaia (1.5), rezult:

( ) 11340GNS =+= ,

prin urmare structura are o singur nedeterminare static. Numrul de

nedeterminri statice este egal cu numrul de necunoscute n metodaforelor.


38/190


.b

a2

a3

1

3

2

4

GLD

.a

1,1

1,1

1X

SBS

.c .d

1,1

1X

SBS

.f

a2

a2

11 M,M

.e

1V 2V

1H 1,1


situaie de ncrcare pentru calculul flexibilitii, ; c. i d. sisteme de bazcorespunztor metodei forelor; e. situaie de ncrcare pentru calculul

coeficientului 11 ; f. diagram de momente ncovoietoare corespunztoare

aciunii, de intensitate egal cu unitatea, aplicat pe direcia necunoscutei


39/190


.h.g

a2

1,1

1V 2V

1H M,MP

.jFig.1.11. Sistem dinamic cu 1 GLD - continuare: g. situaie de ncrcare pentrucalculul termenului liber P1 h. diagram de momente produs de aciunea

exterioar aplicat pe sistemul de baz; i. diagram de momente finale;j. deformata sistemului

ff M,M

.i

a a

Pentru ridicarea nedeterminrii statice, vom utiliza metoda forelor.

n figura 1.17 sunt prezentate situaiile de ncrcare i diagramele de

eforturi corespunztoare.Calculul flexibilitii

Pentru trasrii diagramele de momente corespunztoare celor dou stride ncrcare: real i virtual, necesare determinrii flexibilitii, se vorparcurge cteva etape de calcul, prezentate n continuare.


01111 =+ PX .


40/190


Calculul coeficientului 11

n figura 1.17.b. este prezent structura ncrcat cu o for deintensitate egal cu unitatea, n vederea calculului flexibilitii, iar n

figura 1.17.e, sistemul de baz corespunztor metodei forelor.Calculul reaciunilor

Sistemul static determinat din figura 1.17.e.

0X = ; 01H1 =+ H 11 =

0M2 = ; 0a3V1 = V 01 = ,

0= Y ; 0VV 21 =+ ; 0V2 = .


0MM 3124 == ,

a2HM 131 = , M a231 = ,

a21M42 = , M a242 = .

Diagrama de momente ncovoietoare (identic n cele dou stri) estetrasat n fig. 1.17.f.


a2Ei

a2a3a2a2

EI3a2

2dxEI

)x(M)x(M

l

011

11

+== EI3a52

3

11 = .

Calculul termenului liber P1

n figura 1.17.g este prezentat sistemul de baz acionat, n dreptulmasei i pe direcia gradului de libertate dinamic, cu o for deintensitate egal cu unitatea.


Sistemul static determinat din figura 1.17.g.

0X = ; 01H1 =+ H 11 =

0M2 = ; 0a21a3V1 =+ 32

1 =V ,

0= Y ; 0VV 21 =+ ; 32

V2 = .


41/190



0MM 3124 == ,

a2HM 131 = , M a231 = ,a2Ha3VM 1142 += , M 042 = .

Diagrama de momente ncovoietoare este trasat n fig. 1.17.h.

Pentru determinarea termenului liber se aplic relaia:

a2EI

a3a2a2a2

EI3a2

dxEI

)x(M)x(Ml

0P1

P1

+== EI3a26 3

P1 = .

Rezolvarea ecuaiei de echilibru


3

3

11

P11

a52

EI3EI3a26

X ==

X 5.01 = .



,Pijij

fij MXMM += 1

1

se obin eforturile:

,0Mf13 =

Ma2Xa2MM 1f34

f31 +== aM

f34

f31 ==

M .0Xa2MM 1f42

f43 +== aM

f42

f43 ==

Diagrama de momente ncovoietoare final este desenat n figura1.11.h.



0dxEI

)x(M)x(Ml

0f1 = .

Prin urmare, se integreaz diagramele din figurile 1.11.f i h, se obine:


42/190


0dxEI

)x(M)x(Ml

0f1 = ,

deoarece se integreaz o diagram simetric cu alta antisimetric, nconcluzie diagrama a fost corect trasat.


dxEI

)x(M)x(M

l

0ff

= ,

aaEI3

a5.12aa

3a2

+= EI3a7 3

= .


dxEI

)x(M)x(M

l

0f

= ,

deoarece starea virtual se constituie i din orice structur staticdeterminat obinut din structura dat. Aici, se consider sistemul debaz, iar diagrama de momente ncovoietoare este identic cu diagramatrasat pentru ncrcarea exterioar, care este o for de intensitateegal cu unitatea, figura 1.17.h. Prin urmare, se integreaz diagramele:

fM i M , rezult:

)a0aa2a02aa22(EI6a3

a2aEI3a2

+++= EI3a7

3

= ,




3ma7EI3

m1

=

= ,

3maEI655.0= .



T2

= ,EI

ma597.9T

3= .


43/190


44/190


a2

a3

1

3

2

4

GLD

.a .b

1,1

.c

SBS

1,1

.d

SBS

1,1

1X

1X

.e

SBS

1,1

1X

.f1,1


situaie de ncrcare pentru calculul flexibilitii, ; c., d. i e. sisteme

de baz corespunztor metodei forelor; f. situaie de ncrcarepentru calculul coeficientului 11 ;

SV SS

1H

1V

1M


45/190


Fig.1.18. Sistem dinamic cu 1 GLD - continuare: g. diagram unitar demomente corespunztoare aciunii, de intensitate egal cu unitatea, aplicat pedirecia necunoscutei; h. situaie de ncrcare pentru calculul termenului liber

P1 i. diagram de momente produs de aciunea exterioar aplicat pe

sistemul de baz; j. diagram de momente finale; k. deformata sistemului

.i

a2

M,MP

.j

a.3331

a.6670

ff M,M

.g

a3

11M,M

.h

1,1

1H

1V

1M SS

.k

1,1


0MMM 434224 === ,

a31MM 3134 == M a3M3134 == ,

113 MM = M a342 = .


46/190


Diagrama de momente ncovoietoare (identic n cele dou stri) estetrasat n fig. 1.18.g.


a3a3EI3a3

EIa3a3a2

dxEI

)x(M)x(M

l

011

11 +

== EI3a27 3

11 = .


n figura 1.18.h este prezentat sistemul de baz acionat, n dreptulmasei i pe direcia gradului de libertate dinamic, cu o for deintensitate egal cu unitatea.


Sistemul static determinat din figura 1.18.h.

0X = ; 01H1 =+ H 11 =

0M1 = ; 0a21M1 =+ M a21 = ,

0= Y ; 0V1 = V 01 = .Calculul momentelor ncovoietoare

0MMMM 31434224====

,a21M13 = , M a213 = .

Diagrama de momente ncovoietoare este trasat n fig. 1.18.i.


a3EI2

a2a2dx

EI)x(M)x(Ml

0P1

P1

== EIa6 3

P1 = .



3

3

11

P11

a27

EI3EIa6

X ==

92

X1 = .



,

P

ijij

f

ij MXMM+=

1

1


47/190


se obin eforturile:

,0Mf13 =

a2Xa3MM 1f34f31 == 3

a4Mf34f31 ==M

1f34

f31 Xa3MM == 3

a2Mf34

f31 ==M .

Diagrama de momente ncovoietoare final este desenat n figura1.18.j.



0dxEI

)x(M)x(Ml

0f1 = .

Prin urmare, se integreaz diagramele din figurile 1.18.g i j, se obine:

0EIa4EIa43a2a33a3

)3a2

a3a33a4

3a2

a323a4

a32(EI6a2

dxEI

)x(M)x(M

33

l

0f1

=+=+

+++=,

rezult c diagrama final a fost corect trasat.


dxEI

)x(M)x(M

l

0ff

= ,

3a2

3a2

EI3a3

)3a4

3a2

a23a2

3a2

23a4

3a4

2(EI6a2

++=

EI3a4

3

= .


dxEI

)x(M)x(M

l

0f

= ,

deoarece starea virtual se constituie i din orice structur staticdeterminat obinut din structura dat. Aici, se consider sistemul de


48/190


49/190


.b

1,1

SBS

1X

.c

1,1

.d

1X

SBS

GLD

1

3

2

4

a2

a2 a

.a

.e

1,1

1X

SBS

.f

1,1

1V 2V

1H

1,1

.h


situaie de ncrcare pentru calculul flexibilitii, ; c., d. i e. sisteme

de baz corespunztor metodei forelor; f. situaie de ncrcarepentru calculul coeficientului 11 ;

SV SS


50/190


.j

ff M,M

a.5670 a.1890

a.. 43310

a.6670a2

M,MP

.i

.g

3330.

11M,M

1

1,1

.h

1,1

1V 2

V1

H

1,1

.i

Fig.1.19. Sistem dinamic cu 1 GLD - continuare: g. diagram unitar demomente corespunztoare aciunii, de intensitate egal cu unitatea, aplicat pedirecia necunoscutei; h. situaie de ncrcare pentru calculul termenului liber

P1 i. diagram de momente produs de aciunea exterioar aplicat pe

sistemul de baz; j. diagram de momente finale; k. deformata sistemului


51/190



Pentru trasarea diagramele de momente corespunztoare celor doustri de ncrcare: real i virtual, necesare determinrii flexibilitii, se

vor parcurge cteva etape de calcul, prezentate n continuare.Ecuaia de echilibru corespunztoare metodei forelor este:

01111 =+ PX .


n figura 1.19.b. este prezent structura ncrcat cu o for deintensitate egal cu unitatea, n vederea calculului flexibilitii, iar nfigura 1.18.e, sistemul de baz corespunztor metodei forelor.


Sistemul static determinat din figura 1.19.f.

0X = ; H 01 = H 01 =

0M1 = ; 0a3V1 2 =+ a31

V2 = ,

0M2 = ; 01a3V1 = a31

1 =V ,

Verificare:

0= Y ; 0VV 21 = 031

31

= ,

rezult c reaciunile sunt corect calculate.


113M = 0M24 = ,

1MM 3134 == ,

a3VMM 24342 == 31

42 =M .



)1

3

12

3

1

3

12112(

EI6

a3

EI

11a2dx

EI

)x(M)x(M

l

0

1111 +++

==


52/190


31

31

EI3

a)a2(

22

++

EIa527.3

11 =


n figura 1.19.h este prezentat sistemul de baz acionat, n dreptulmasei i pe direcia gradului de libertate dinamic, cu o for deintensitate egal cu unitatea.


Sistemul static determinat din figura 1.19.h.

0X = ; 1 0H1 = H 11 =

0M1 = ; 0a21a3V2 =+ 322 =V ,

0M2 = ; 0a21a3V1 =+ 32

1 =V ,

verificare:

0= Y ; 0VV 21 =+ 032

32

=+ ,

rezult c reaciunile sunt corect calculate.


0M13 = M 024 = ,

a2HMM 13134 == M a2M3134 == ,

aVM 242 = M a242 = .

Diagrama de momente ncovoietoare este trasat n fig. 1.18.i.


++

== 3a2

31

2a212(EI6a3

1EI2

a2a2dx

EI)x(M)x(Ml

0P1

P1

31

31

EI3

a)a2()a2

31

3a2

122 +

+ EI

a055.5 2P1 = .


Prin rezolvarea ecuaiei de echilibru se obine soluia:


53/190


2

2

11

P11

a527.3

EI3EI

a055.5

X ==

a433.1X1 = .

Calculul eforturilor i trasarea diagramei finalen vederea determinrii eforturilor, se aplic principiul suprapuneriiefectelor, cu ajutorul relaiei de calcul:

,Pijijfij MXMM += 1

1

se obin eforturile:

M1f13 X1M = a433.1

f13 =

M a2X1MM 1f34

f31 +== a567.0M

f34

f31 ==

a32

X31

MM 1f42

f43 +== M ,a189.0M

f42

f43 ==

.0MM f24f13 ==

Diagrama de momente ncovoietoare final este desenat n figura1.19.j.



0dxEI

)x(M)x(Ml

0f1 = .

Prin urmare, se integreaz diagramele din figurile 1.18.g i j, se obine:

+= a567.01a567.012a433.112(EI6a2

dxEI

)x(M)x(Ml

0f1

+ )a567.031

a189.01a189.031

2a567.012(EI6a3

)a433.11

0EI

a433.1EI

a433.1a189.0

31

EI3

a)a2( 2222==

+

rezult c diagrama final a fost corect trasat.

Flexibilitatea se determinarea aplicnd relaia (1.4). Prin nmulirea

celor dou diagrame de momente ncovoietore finale, rezult:


54/190


dxEI

)x(M)x(M

l

0ff

= ,

++= )a567.0)a433.1(2)a567.0(2)a433.1(2(EI6a2

22

++++ )a189.0a567.02)a189.0(2)a567.0(2(EI6a3 22

222

)a189.0(EI3

a)a2(

+ 3a

EI533.1

= .


dxEI

)x(M)x(M l0

f= ,


fM i M , rezult:

+++= )a567.00a433.1a2a567.0a22a433.102(EI6a2

+++++ )a567.0a32

a189.0a2a189.0a32

2a567.0a22(EI6a3

a189.0a32

EI3

a)a2( 22

+ 3a

EI533.1

= ,




3ma533.1

EI

m

1

=

= ,

3ma

EI808.0 = .




55/190


56/190


.b


situaie de ncrcare pentru calculul flexibilitii, ; c., d. i e. sistemede baz corespunztor metodei forelor; f. situaie de ncrcare

pentru calculul coeficientului 11 ;

.f

1,1

1H

1V

1M

.c

SBS

1,1

1X 2X

.e

SBS

1,1

1X

2X

1X

SBS

1,1

2X 2X

.d

a2

a3

1

3

2

4

GLD

.a

SV

1,1

SS


57/190


1,1

1H

1V

1M

2H2V

2M

.h.g

a3

11M,M

.i

a2

a222 M,M

1,1

.j

1,1 1,1

1H

1V

1M

2H2V

2M

.k

a5

a3

1,1

.l1H 1V

1M

2H2V

2Mss M,M

Fig.1.20.1. Sistem dinamic cu 1 GLD - continuare: g. diagram unitar demomente corespunztoare aciunii, de intensitate egal cu unitatea, aplicat pedirecia necunoscutei X1; h. situaie de ncrcare pentru calculul coeficientului

22 i. diagram unitar de momente corespunztoare aciunii, de intensitate

egal cu unitatea, aplicat pe direcia necunoscutei X2;j. situaie de ncrcarepentru erificarea coeficienilor; k. diagram de momente unitar sumat; l.

situaie de ncrcare pentru calculul termenilor liberi


58/190


.n

a4444.0

6667.0a8889.0

ff M,M

.m

a2M,MP

Fig.20.2. Sistem dinamic cu 1 GLD: m. diagram de momente produs deaciunea exterioar aplicat pe sistemul de baz; j. diagram de momente

finale; k. deformata sistemului

.o

0= Y ; V 011 = V 11 =

0M1 = ; 0a31M1 =+ M a31 = .

Subsistemul 4-2:

0X = ; H 02 = H 02 =

0= Y ; 1 0V2 = 1V2 =

0M2 = ; 0M2 = M 02 = .


244243 === ,0MMM

a31MM 3134 == M a3M3134 ==


59/190


a3MM 113 == M a313 = .



a3a3EI3a3

a3EI

a2a3dx

EI)x(M)x(M

l

011

11 +

== EIa527.3

11 = .


n figura 1.20.h. este prezentat sistemul de baz ncrcat cu o for deintensitate egal cu unitatea, n vederea calculului coeficientului , iarn figura 1.20.i, sistemul de baz corespunztor metodei forelor.

22


Sistemul static determinat din figura 1.20.h. Subsistemul 1-3-4:

0X = ; 01H1 =+ H 11 =

0= Y ; 0V1 = 0V1 =

0M1 = ; 0a21M1 =+ M a21 = .

Subsistemul 4-2:0X = ; H 012 = H 12 =

0= Y ; 0V2 = 0V2 =

0M2 = ; M 0a212 = M a22 = .


MMMM 031344243 ==== ,

224 MM = M a224 =

113 MM = M a213 = .

Diagrama de momente ncovoietoare (identic n cele dou stri) estetrasat n fig. 1.20.i.


a3EI2

a2a22dx

EI

)x(M)x(M

l

0

22

22

==

EI3

a16

22= .


60/190



Pentru calculul coeficientului lateral (secundar) se integreazdiagramele din figurile 1.21.g. i i. Rezult:

12

a3EI2

a2a2dx

EI)x(M)x(M

l

021

12

== EIa6 3

11 =

Verificarea coeficienilor

Se ncarc sistemul de baz cu fore concentrate de intensiti egale cuunitatea aplicate, simultan, pe direcia necunoscutelor ( i ) i sedetermin o diagram unitar (M ), egal cu suma diagramelor unitaretrasate pentru fiecare necunoscut ( , ). Integrnd diagrama

unitar cu ea nsi, se obine . Dac valoarea este egal cusuma tuturor coeficienilor necunoscutelor sistemului de ecuaii, rezultc toi coeficienii au fost corect calculai.

1X

ss

2X

s

1M 2M

sM ss

In figura 1.21.j, sistemul de baz este acionat, pe direciilenecunoscutelor de fore cu intensiti egale cu unitatea. Calcululreaciunilor:

Subsistemul 1-3-4:

0X = ; 01H1 =+ H 11 =

0= Y ; 01V1 = 1V1 =

;0M1 = 0a21a5.11M1 =++ M a5.31 = .Subsistemul 4-2:

0X = ; H 012 = H 12 =

0= Y ; 01V2 =+ 1V2 =

0M2 = ; 0a21M2 =+ M a22 = .


4243 == ,0MM

a31MM 3134 == M a3M3134 ==

113 MM = M a313 = .

224 MM = M a224 =


61/190


Diagrama de momente ncovoietoare (identic n cele dou stri: real ivirtual) este trasat n fig. 1.20.k.


+++== )a5a32a3a32a5a52(EI6a2

dxEI

)x(M)x(M

l

0ss

ss

a2a2EI3a2

a3a3EI3a3

+++ EI3

a133ss = .

nsumnd coeficienii se obine:

122211ss 2++=

EI3

a133

ss=

,

rezult c s-au calculat corect coeficienii.


n figura 1.20.l este prezentat sistemul de baz acionat, n dreptulmasei i pe direcia gradului de libertate dinamic, cu o for deintensitate egal cu unitatea.


Sistemul static determinat din figura 1.20.l.Subsistemul 1-3-4:

0X = ; 01H1 =+ H 11 =

0= Y ; V 01 = V 01 =

0M1 = ; 0a21M1 =+ M a21 = .

Subsistemul 4-2:

2 = , 0V = , M2 02 = ,0H

sistemul nefiind ncrcat.


0MMMMM 2442433134 ===== ,

113 MM = M a213 = .

Diagrama de momente ncovoietoare este trasat n fig. 1.20.m. Pentru

determinarea termenului liber se aplic relaia:


62/190


++

== 3a2

31

2a212(EI6a3

1EI2

a2a2dx

EI)x(M)x(Ml

0P1

P1

31

31

EI3a)a2()a2

31

3a21

22++

EIa055.5 2P1 = .

Verificarea termenilor liberi

Integrnd diagrama unitar cu diagrama produs prin ncrcareasistemului de baz cu aciunile exterioare, , se obine termenul .Dac valoarea termenului este egal cu suma tuturor termenilorliberi din sistemului de ecuaii, rezult c toi coeficienii au fost corectcalculai.

sM

sP

PM sP

)a2a3a2a52(EI6a2

dxEI

)x(M)x(Ml

0Ps

sP +== EI3a26 3

sP = .

nsumnd termenii liberi se obine:

P21psP += EI3a26 3

sP = ,


Rezolvarea ecuaiei de echilibruPrin rezolvarea ecuaiei de echilibru se gsete soluia:

1481.0X1 = 31

2 =X .



,Pij2

2ij1

1ij

fij MXMXMM ++=

se obin eforturile:

Ma2Xa2Xa3M 21f13 = a8889.0

f13 =

M0X0Xa3MM 21f34

f31 ++== a4444.0M

f34

f31 ==

M ,0Xa2X0M 21f24 += a6667.0

f24 =

.0MM f42f43 ==


63/190


Diagrama de momente ncovoietoare final este desenat n figura1.20.m.



0dxEI

)x(M)x(Ml

0f1 = .

Prin urmare, se integreaz diagramele din figurile 1.20.gi m, se obine:

++= )a8889.0()a3(2a4444.0)a3(2(EI6a2

dxEI

)x(M)x(Ml

0f1

=+++ a4444.0)a3(EI3a3

)a4444.0)a3(a8889.0a3

EIa

6664.2EIa

6667.233

= ,

EIa

0003.03

a = ,

1.00112.0100

EIa

6667.2

% 3

ar


64/190


dxEI

)x(M)x(M

l

0f

= ,


fM i M , rezult:

a4444.0a2a2a8889.02(EI6a2

=

EIa8889.0= ,




3ma8889.0

EI

m

1

=

= ,

3ma

EI061.1 = .



T2

= ,EI

ma922.5T

3= .

1.2.8. Structura 8

Pentru cadrul din figura 1.21 se vor determina pulsaia i perioadaproprie de vibraie. Se vor parcurge etapele de calcul expuse n

preambulul capitolului.Structura este static nedeterminat dup cum rezult din determinareagradului de nedeterminare static. Se aplic relaia de calcul (1.5):

( ) crlGNS 3+=

Din analiza structurii, constatm existen a dou corpuri, , a uneiarticulaii interioare,

2c =2l = i un reazem articulat i un reazem ncastrate

- r . Aplicnd relaia (1.5), rezult:5=

( ) 12352GNS =+= ,


65/190


.b


situaie de ncrcare pentru calculul flexibilitii, ; c. i d. sistemede baz corespunztoare metodei forelor; e. situaie de ncrcare

pentru calculul coeficientului 11 ;f. diagram unitar de momente

.c

SBS

1,1

a2

a3

1

3

2

4

GLD

.a

SV

1,1

SS

1X

SBS

1,1

1X

.d

.e1

V

4V

4H4V

1,1

2V

2H1

1

4

2M

2

.f

a2

a211

M,M


66/190


.g1

V

4V

4H4V

2V

2H1

1

4

2M

2

.h

a2

.i

a571.0

a2

1,1

ff M,M

M,MP

a429.1

.d .j

1,1

Fig.21.1. Sistem dinamic cu 1 GLD: g. situaie de ncrcare produs de o forexterioar de intensitate egal cu unitatea; h. diagram de momente produsde aciunea exterioar aplicat pe sistemul de baz; i. diagram de momente

finale; j. deformata sistemului

prin urmare structura este o dat static nedeterminat. Numrul denedeterminri statice este egal cu numrul de necunoscute n metodaforelor.

Pentru ridicarea nedeterminrii statice, vom utiliza metoda forelor.



Pentru trasarea diagramele de momente corespunztoare celor doustri de ncrcare: real i virtual, necesare determinrii flexibilitii, sevor parcurge cteva etape de calcul, prezentate n continuare.


01111 =+ PX .


67/190



n figura 1.21.b este prezent structura ncrcat cu o for deintensitate egal cu unitatea, n vederea calculului flexibilitii, iar n

figura 1.21.d, sistemul de baz corespunztor metodei forelor.Calculul reaciunilor

Sistemul static determinat din figura 1.21.e. Subsistemul 1-3-4:

0X = ; 1 0H4 = H 14 =

0M4 = ; 0a21a3V1 = 32

V1 = .

0M1 = ; 0a2Ha3V 44 = 32V1 = .

0= Y ; 0VV 41 = 032

32

= ,

n concluzie, reaciunile au fost corect calculat.

Subsistemul 4-2:

0X = ; H 0H24 = H 12 =

0= Y ; 0VV 42 = 0V2 =

0M2 = ; 0a2HM 42 =+ M a22 = .


0MMM 424313 === ,

a21MM 3431 == M a2M3431 ==

224MM = M a2

24= . .

Diagrama de momente ncovoietoare (identic n cele dou stri) estetrasat n fig. 1.20.f.

a2a2EI3a2

a2a2EI3a3

a2a2EI3a2

dxEI

)x(M)x(M

l

011

11 ++==

EI3a8 3

11 =



68/190


n figura 1.21.g este prezentat sistemul de baz acionat, n dreptulmasei i pe direcia gradului de libertate dinamic, cu o for deintensitate egal cu unitatea.

Calculul reaciunilorSistemul static determinat din figura 1.21.g.

0X = ; 1 0H4 = H 14 =

;0M1 = 0a21aM2Ha3V 144 =+ 0V4 = .

0= Y ; 0VV 41 =+ 0V1 = Subsistemul 4-2:

0X = ; H 0H24 = H 12 =

0= Y ; 0VV 42 = 0V2 =

0M2 = ; 0a2HM 42 =+ M a22 = .


Subsistemul 1-3-4:

0MMMM 42343113 ==== ,

224 MM = M a224 = .

Diagrama de momente ncovoietoare este trasat n fig. 1.21.h.


a2a2EI3a3

dxEI

)x(M)x(Ml

0P1

P1 ==

EI3a82

P1 =


Prin rezolvarea ecuaiei de echilibru se obine soluia:

EI3a28EI3a8

X

3

3

11

P11 ==

X 286.01 = .


69/190




,Pijijfij MXMM += 1

1

se obin eforturile:

M0Mf13 = a433.1f13 =

M 0Xa2MM 1f34

f31 +== a5714.0M

f34

f31 ==

,0MM f42f43 ==

Ma2Xa2M 1f42 += a4286.1

f42 =

Diagrama de momente ncovoietoare final este desenat n figura1.19.i.



0dxEI )x(M)x(Ml

0f1 = .

Prin urmare, se integreaz diagramele din figurile 1.18.f i i, se obine:

a5714.0a2EI3a3

a5714.0a2EI3a2

dxEI

)x(M)x(Ml

0f1 =

EIa9048.1

EIa9047.1

a4286.1a2EI3a2 33

+=+ ,

EIa0001.0 3a = ,

1.00052.0100

EIa

9048.1

%

3a

r


70/190


dxEI

)x(M)x(M

l

0ff

= ,

222 )a4286.1(EI3a2

)a5741.0(EI3a3

)a5741.0(EI3a2

++=

EIa

9048.13

= .


dxEI

)x(M)x(M

l

0f

= ,


fM i M , rezult:

a4286.1a2EI3a2

= EIa

9048.13

= ,

se constat c s-a obinut aceeai valoare pentru flexibilitate.Determinarea pulsaiei proprii de vibraie


3ma9048.1

EI

m

1

=

= ,

3ma

EI7246.0= .



T2

= ,EI

ma6717.8T

3= .

1.2.9. Structura 9




71/190


.b


situaie de ncrcare pentru calculul flexibilitii, ; c., d. i e. sistemede baz corespunztor metodei forelor; f. situaie de ncrcare

pentru calculul coeficientului 11 ;

.c

SBS

1,1

1X 2X

.e

SBS

1,1

1X

2X

a2

a3

1

3

2

4

GLD

.a

SV

1,1

SS

1X

SBS

1,1

2X 2X

.d

.f

1,1

1H

1V

1M2H

2V

2M


72/190


1,1

1H

1V

1M2H

2V

2M

.j

a5.1 a5.1

11M,M

1,1

1H

1V

1M2H

2V

2M

g. .h

a2 a222 M,M

.i

.k

a5.3

a5.1

a5.0

a5.1

ss M,M

1,1

2H

2V

2M

1H

1V

1M

.l

Fig.1.22.1. Sistem dinamic cu 1 GLD: g. diagram unitar de momentecorespunztoare aciunii, de intensitate egal cu unitatea, aplicat pe direcia

necunoscutei X1; h. situaie de ncrcare pentru calculul coeficientului 22 i.

diagram unitar de momente corespunztoare aciunii, de intensitate egal cuunitatea, aplicat pe direcia necunoscutei X2;j. situaie de ncrcare pentru

erificarea coeficienilor; k. diagram de momente unitar sumat; l. situaie dencrcare pentru calculul termenilor liberi

( ) crlGNS 3+=

Din analiza structurii, constatm existen a dou corpuri, , a unei

articulaii interioare, l

2c =

2=

i a dou reazeme ncastrate - r 6=

. Aplicndrelaia (1.5), rezult:


73/190


( ) 22362GNS =+= ,

prin urmare, structura are dou nedeterminare statice. Numrul denedeterminri statice este egal cu numrul de necunoscute n metoda

forelor.Pentru ridicarea nedeterminrii statice, vom utiliza metoda forelor.



Pentru trasarea diagramele de momente corespunztoare celor doustri de ncrcare: real i virtual, necesare determinrii flexibilitii, sevor parcurge cteva etape de calcul, prezentate n continuare.

Sistemul de ecuaii de echilibru corespunztor metodei forelor este:

.0XX

0XX

P2222121

P1212111

=++

=++


n figura 1.22.f este prezentat sistemul de baz ncrcat cu o for deintensitate egal cu unitatea, n vederea calculului coeficientului , iarn figura 1.22.g, sistemul de baz corespunztor metodei forelor.

11


Sistemul static determinat din figura 1.20.f. Subsistemul 1-3-5:

0X = ; H 01 = H 01 =

0= Y ; V 011 = V 11 =

0M1 = ; 0a5.11M1 =+ M a5.11 = .

Subsistemul 5-4-2:0X = ; H 02 = H 02 =

0= Y ; 1 0V2 = 1V2 =

0M2 = ; 1 0Ma5.1 2 = M a5.12 = .


244243 === ,0MMM

a5.11MM 3135 == M a5.1M3135 == ,


74/190


0MM 5453 == ,

a5.11MM 4245 == M a5.1M4245 == ,

224 MM = M a5.124 = .Diagrama de momente ncovoietoare (identic n cele dou stri) estetrasat n fig. 1.22.g.


a5.1a5.1EI3

a5.12a3

EIa2a5.1

2dxEI

)x(M)x(M

l

011

11 +

==

EI

a25.1111 = .


n figura 1.20.l. este prezentat sistemul de baz ncrcat cu o for deintensitate egal cu unitatea, n vederea calculului coeficientului .22


Sistemul static determinat din figura 1.20.l. Subsistemul 1-3-5:

0X = ; 01H1 =+ H 11 =

0= Y ; V 01 = V 01 =

0M1 = ; 0a21M1 =+ M a21 = .

Subsistemul 5-4-2:

0X = ; H 012 = H 12 =

0= Y ; V 02 = V 02 =

0M2 = ; M 0a212 = M a22 = .


MMM 0MM 4231355453 ===== ,

224 MM = M a224 =

113 MM = M a213 = .

Diagrama de momente ncovoietoare (identic n cele dou stri) estetrasat n fig. 1.20.i.


75/190



a2a2EI3a2

2dxEI

)x(M)x(M

l

022

22 == EI3a16

22 = .


Pentru calculul coeficientului lateral (secundar) se integreazdiagramele din figurile 1.21.g. i i. Rezult:

12

0dxEI

)x(M)x(M

l

021

12 == 011 = .

deoarece am integrat o diagram simetric cu alta antisimetric.

Verificarea coeficienilor

Se ncarc sistemul de baz cu fore concentrate de intensiti egale cuunitatea aplicate, simultan, pe direcia necunoscutelor ( i ) i sedetermin o diagram unitar (M ), egal cu suma diagramelor unitaretrasate pentru fiecare necunoscut ( , ). Integrnd diagramaunitar cu ea nsi, se obine . Dac valoarea este egal cusuma tuturor coeficienilor necunoscutelor sistemului de ecuaii, rezultc toi coeficienii au fost corect calculai.

1X

ss

2X

s

1M 2M

sM ss

In figura 1.21.j, sistemul de baz este acionat, pe direciilenecunoscutelor de fore cu intensiti egale cu unitatea.


Subsistemul 1-3-5:

0X = ; 01H1 =+ H 11 =

0= Y ; V 011 = V 11 =

;0M1 = 0a21a5.11M1 =++ M a5.31 = .Subsistemul 5-4-2:

0X = ; H 012 = H 12 =

0= Y ; 01V2 =+ 1V2 =

; M0M2 = 0a5.11a212 =+ M a5.02 = .

Calculul momentelor ncovoietoare5453 == ,0MM


76/190


a5.11MM 3135 == M a5.1M3135 ==

113 MM = M a5.313 = .

224 MM = M a5.024 = a5.11MM 4245 == M a5.1M4245 ==

Diagrama de momente ncovoietoare, identic n cele dou stri: real ivirtual, este trasat n fig. 1.20.k.


++== 2l

0ss

ss )a5.1(2(EI6a2

a5.15.1EI3

a5.12dx

EI)x(M)x(M

++++++ 222 )a5.0(2)a5.1(2(EI6a2

))a5.3()a5.1(2)a5.3(2

)a5.0()a5.1(2)a5.0(2 2 += EI3

a75.49 3ss = .

nsumnd coeficienii se obine:

02

EI3

a16

EI

a25.112

33

122211ss ++=++=

EI3

a75.49ss = ,



n figura 1.20.l este prezentat sistemul de baz acionat, n dreptulmasei i pe direcia gradului de libertate dinamic, cu o for deintensitate egal cu unitatea.


Sistemul static determinat din figura 1.20.l.

Subsistemul 1-3-5:

0X = ; 01H1 =+ H 11 =

0= Y ; V 01 = V 01 =

0M1 = ; 0a21M1 =+ M a21 = .Subsistemul 5-4-2:

2 = , 0V = , M2 02 = ,0H


77/190


sistemul nefiind ncrcat.


0MMMMM2442533135

===== ,

113 MM = M a213 = .

m. .n

a2

M,MP

ff M,M

a4.0

a4.0

a6.0

a6.0

.o

Fig.22.2. Sistem dinamic cu 1 GLD: h. diagram de momente produs deaciunea exterioar aplicat pe sistemul de baz; i. diagram de momente

finale; j. deformata sistemului

Diagrama de momente ncovoietoare este trasat n fig. 1.20.m. Pentrudeterminarea termenului liber se aplic relaia:

a5.1EI2

a2a2dx

EI)x(M)x(Ml

0P1

P1

== EIa3 2

P1 = ,

a2a2EI3a2

dxEI

)x(M)x(Ml

0P1

P2 == EIa8 2

P1 = .

Verificarea termenilor liberi

Integrnd diagrama unitar cu diagrama produs prin ncrcareasistemului de baz cu aciunile exterioare, , se obine termenul .

Dac valoarea termenului este egal cu suma tuturor termenilor

sM

sP

PM sP


78/190


liberi din sistemului de ecuaii, rezult c toi coeficienii au fost corectcalculai.

)0a5.3a2a5.1a5.10.25.3a22(EI6

a2

dxEI

)x(M)x(Ml

0Ps

sP +++==

3sP aEI317

= .

nsumnd termenii liberi se obine:

P21psP += 3

sP aEI317

= ,



Prin rezolvarea ecuaiei de echilibru se gsete soluia:

2667.0X1 = X 5.02 = .



,P

ij2

2

ij1

1

ij

f

ij MXMXMM ++=se obin eforturile:

M )a2(X)a2(X)a5.1(M 21f13 ++= a6.0

f13 =

M 0X0Xa)5.1(MM 21f35

f31 ++== a4.0M

f34

f31 ==

M ,0X0Xa5.1MM 21f45

f42 ++== a4.0M

f45

f24 ==

,0MMf35

f53 ==

M ,0Xa5.1X)a2(M 12f24 ++= a6.0

f24 =

Diagrama de momente ncovoietoare final este desenat n figura1.20.n.




79/190


0dxEI

)x(M)x(Ml

0f1 = .

Prin urmare, se integreaz diagramele din figurile 1.20.gi m, se obine:

++= )a5.1(a4.0a2(EI6a2

2a4.0)a5.1(EI3

a5.12dx

EI)x(M)x(Ml

0f1

)a5.1(a4.0)a5.1()a6.0()a5.1()a6.0(2 +++

rezult c diagrama final a fost trasat corect.

Flexibilitatea se determinarea aplicnd relaia (1.4). Prin nmulireacelor dou diagrame de momente ncovoietore finale, se obine:

dxEI

)x(M)x(M l0

ff= ,

a4.0a4.0EI3

a5.12))a6.0()a4.0(2)a6.0(2)a4.0(2(

EI6a2

22 ++=

EIa

6.13

= .


dxEI

)x(M)x(M

l

0f

= ,


fM i M , rezult:

dxEI

)x(M)x(M

l

0ff

= ,

)a2(a4.0)a6.0(0a4.002)a6.0()a2(2(EI6a2

+++=

EIa

6.13

= ,




80/190



3ma6.1

EI3

m

1

=

= ,

3ma

EI369.1= .



T2

= ,EI

ma590.4T

3= .


81/190

APLICAIA 2SISTEME CU 1GLD

1. Determinarea caracteristicilor dinamice alestructurilor utiliznd rigiditatea sistemului

Caracteristicile proprii de vibraie ale unui sistem vibrant, cu un singurgrad de libertate dinamic, de determin folosind urmtoarele relaii decalcul:

a) Pentru pulsaia proprie de vibraie

mk

= , (1)

funcie de rigiditatea sistemului vibrant;

b) Pentru perioada proprie de vibraie


82/190


[s],

T2

= ; (2)

c) Pentru frecvena proprie de vibraie

[Hz]sau][s,

Tf 1-

2

1== . (3)

Principalele etape de calcule sunt prezentate n continuare:

a) Se stabilete sistemul vibrant. Se pleac de la sistemulconstructiv real, pentru care se construiete modelul static(schema static a structurii), iar prin concentrarea masei ntr-o seciune i acordarea gradului de libertate semnificativ seobine sistemul vibrant (modelul dinamic), cu un GLD.

b) Se determin rigiditatea sistemului vibrant, figura 1:i. notaie: k;ii. definiie rigiditatea reprezint fora care aplicat n

dreptul masei i pe direcia GLD, produce pe aceastdirecie o deplasare egal cu unitatea;

iii. unitate de msur [ ]Nm 1 ;iv. scheme de calcul, figura 1.

Exist mai multe posibiliti pentru a afla valoarea unei rigiditi.Prima metod const n stabilirea unui model static n conformitate cudefiniia rigiditii. Astfel, rigiditatea este egal cu fora aplicat pestructur, figurile 1.a sau 1.b, notat , necunoscut, determin pedirecia GLD o deplasare egal cu unitatea. Se aplic metoda Mohr-Maxwell i se calculeaz expresia deplasrii produse de fora , careprin egalare cu unitatea evideniaz o ecuaie, n care necunoscuta estefora . Prin soluionarea ecuaiei se obine valoarea rigiditii.

k

k

k

A doua cale pentru gsirea valorii rigiditii const n blocareadeplasrii pe direcia GLD

Documents

APLICAŢII – SISTEME CU UN GRAD DE LIBERTATE DINAMICĂ