APLICATII 1 - numere reale M2.pdf

Prof. Daniel Prutescu [MULIMEA NUMERELOR REALE]

MULIMI

I. Mulimea numerelor naturale. *3 ;0 ; 5 ;2,35

II. Mulimea numerelor ntregi.

3 ;0 ; 5 ; 2,5 ;1, 3

III. Mulimea numerelor raionale.

*13 ;0 ; 5,26 ;9, 35 ;2012

Tipuri de fractii:

a) Fractii zecimale finite. Exemple: 7 75 123 20450,7 ;0,75 ;1,23 ; 2,04510 100 100 1000

b) Fractii zecimale infinite periodice simple. Exemple:

3 13 1 12 1235 12 1223 312 3 309

0, 3 ;1, 3 ;12, 35 ; 3, 129 9 9 99 99 99 99

c) Fractii zecimale infinite periodice mixte. Exemple:

23 2 21 135 13 122

0,2 3 ;1,3 5 ;90 90 90 90

2134 213 2134 213 1921 5131 51 5080

2,13 4 ; 5,1 31900 900 900 990 990

IV. Mulimea numerelor iraionale. 1

2 3 \ ; 5 \ ; \ ; 9 \ ;2

V. Mulimea numerelor reale. 1

2 3 ; 9 ; ; 4 ;2 7

OPERAII CU NUMERE REALE. ORDONAREA NUMERELOR REALE

1. Utiliznd valoarea absolut, rescriei inegalitile:

a) x 2 sau x 2 b) 2


12. Se consider urmtoarele mulimi de numere: 23 xxA R i 92 xxB R . S se determine mulimile A i B i s se calculeze BA ,

ABBABA \,\, .

13. S se arate c dac: a,b,c

bcacabcbacbaabccbR 222333 3a:atunci, 14. Calculai produsul primelor zece zecimale ale numrului 170

15. S se determine toate numerele naturale nenule n care verific relaia 1+2+3+..............+n

30

16. Reprezentai pe axa numerelor reale mulimea: 21/ xRx 17. Determinai valorile reale x pentru care : 211 x

18. Artai c dac x

0 atunci: 411

yx

yx

21. Calculai:

a) 3

2 1 2 5 2 2

b) 3 2 22 1 8 1x x x x

c) 1

4 2 32 3

d) 2

4 2x x x , tiind c 2,4x

e) media aritmetic a numerelor 5 2 9a i 3

2 1b

f) media armonic a numerelor 7 4 3a i 1

2 3b

22. Descompunei n factori expresiile:

a) 38 a

b) 3 3 3x

c) 2 22 3a ab b

d) 2 20x x

e) 2 30x x

f) 4 2 22a b bc c

23. Se d mulimea A = 2 7

/ 13

xx

.

a) Scriei A sub form de interval;

b) Efectuai : A , A 2 i \ A;

c) Artai c, pentru orice yA, avem: 2 3 8,17y .

24. Se d mulimea A = / 4 2 3 5x x . a) Scriei A sub form de interval;

b) Efectuai : A , A 2 i \ A;

25. Artai c, pentru orice yA, avem: 2 3 5,1y . a)

26. Rezolvai ecuaiile:

a) 7 2 3 2x

b) 2 3 3x

c) 2 3 4x x

d) 2

3

xx

27. Demonstrai inegalitatea ab bc ac a b c , pentru orice

, , 0,a b c .

28. Demonstrai inegalitatea: 8a b b c c a abc , pentru , , 0,a b c

29. S se calculeze:

a) 7

325

7

43 ;

b) 2132322

c) 222 2333122332 30. S se determine partea ntreag i partea fracionar a numerelor:

a) 3,28 b) 4,(24)


c) 3

23 ;

d) .8 31. S se rezolve ecuaiile:

a) 36x

b) ;043 z

c) 282 x

d) 763 x

e) 7

20

6

13

xx

32. Se consider intervalele de numere reale:

2

5,I , ,3J , 3,2K

S se calculeze:

a) KI b) JI c) KI /

d) KJ e) KJ

33. Calculai: BA ; BA ; BA ; AB AC tiind c: 22/ xxA

i

62

35/

xxB .

34. Comparai:

a) 89

25

23

7 i ;

b) 5559 i ;

c) 10

56

65

3

i ;

d) 90015224 i ;

e) 2740 12525 i ;

f) 3,14 i .; g) -7,87(89) i -7, 8(789);

h) 123

5

74

3i ;

i) -3070 52 i .

35. Demonstrai inegalitile;

a) 2

cba

ca

ac

cb

bc

ba

ab

, pentru a>0, b>0, c>0;

b) abcabccabcba 6222222 , pentru a>0, b>0, c>0; c) 1862 xx , x R;

d) ,04110822 yxyx yx, R;

e) 44

xx , x R;

f)

cbacba

cba ,,,9111

R;

g) 50049955005 ;

h) )(3 2222 zyxzyx , x,y,z R.

36. Artai c 1 1 1

...1 2 2 3 8 9

este numr natural.

37. S se calculeze 0

12,51 2

2010

,unde a reprezint partea ntreag a numrului a

.

38. Dac 1

0,11

ab , calculai P a b .

39. Aflai x i y pentru care , 0,3 0,3x y .

40. Ordonai perechile de numere raionale (a,b), n cazurile:

a) (4

25;6,752);

b) (-3,275(6);- 3,27(57)).

41. Demonstrai c: 5 nu este raional.

42. Calculai: ,x-+,y-, ,x+y- i comparai aceste numere, n cazul:x = 2,(3); y = 6

7.

43. Calculai: *x++*y+ i *x+y+, i comparai aceste numere, dac:x = 3

7; y = -5,(23).

44. Reprezentai pe axa numerelor reale, mulimea: 42/ xRx . 45. Utiliznd valoarea absolut, rescriei inegalitile:x < - 2 sau x > 6.

46. Rezolvai ecuaia: x53 = 7.


47. Ordonai perechile de numere raionale (a,b), n cazurile:

a) ( 3

26; 8,667 );

b) ( -9, (3); -9,334).

48. Demonstrai c: 7 nu este raional.

49. Calculai: ,x-+,y-, ,x+y- i comparai aceste numere, n cazul:x = 3

2, y = - 3,17.

50. Calculai: *x++*y+ i *x+y+, i comparai aceste numere, dac:x = 3, (4); y = 6, (8).

51. Reprezentai pe axa numerelor reale, mulimea: 31/ xRx 52. Utiliznd valoarea absolut, rescriei inegalitile: 53. x < - 3 sau x > 5.

54. Rezolvai ecuaia: x23 = 5. 55. Scriei urmtoarele numere raionale sub form fracionar:

a) 13,2; b) 2,49; c) 1,75; d) 11,003; e) 3,0004; f) 1,(3); g) 0,(23); h) 0,(231); i) 5,(5); j) 1,(12); k) 7,(4); l) 0,(40); m) 0,(235); n) 2,1(3); o) 3,2(13); p) 2,3(415); q) 3,2(4); r) 4,9(05); s) 0,1(235); t) 5,30(5)

56. Scriei urmtoarele numere raionale sub form zecimal:

a) 10

17

;

b) 100

1034

;

c) 1000

17

;

d) 10000

100009

;

e) 10000

54

;

f) 2

1

;

g) 4

34

;

h) 40

125

;

i) 16

15

;

j) 8

13

;

k) 9

17

;

l) 27

56

;

m) 3

83

;

n) 27

100

;

o) 6

17

;

p) 12

19

;

q) 15

263

;

r) 36

1005

;

s) 24

231


57. S se scrie partea ntreag i fracionar a numerelor: a)

; b)

; c)

;

d) -0,227; e) -1,2(34). 58. Pentru perechile de numere de mai jos calculai: i) , - , - , - ; ii) * +

* + * +, apoi comparai ntre ele numerele de la i), respectiv ii). a) x=6, y=11; b) x=-10, y=-36; c) x=3,3; y=2,6; d) x= -3,4; y=-2,8.

59. Poziionai pe axa de coordonate numerele: 3,2; .2,4;

;

;

;

.

60. Determinai un numr raional cuprins ntre perechile de numere reale: a) (0,315; 0,317);

b) ( ); c) ( ( ) ); d) ( ); e) ( ( ) )

61. Reprezentai pe axa numerelor reale mulimile urmtoare. Scriei elementele lor (explicit sau sub form de interval): A=* || | +; B=* || | +; C=* || | +; D=* | | | +; E=* | | | +; F=* | | | +

62. Determinai valorile lui x pentru care avem: a) | | ; b) | | ; c)|| | |

d) || | | ; e) | | | |; f) | | | | ; g) | | ; h) | | ; i) | | ; j) | | ; k) | | ; l) | | ; m) | | ; n) | | | | .

63. Calculai: a) .

/ ; b) .

/ ; c) .

/ ; d) .

/ ; e) .

/

; f) .

/

; g) .

/

64. Utiliznd operaiile cu puteri s se aduc la o form mai simpl: a) .

/

;

b) 0.

/

.

/1

; c) .

/ ; d) ;

e) ,( ) - ,( ) - .

/

; f)

; g)

( ) ( )

( ) ; h)

;

i) ( )

( ) ; j) [ .

/ ]

; k) ( )

( ) ( ) ; l) [.

/ ]

.

65. Operaii elementare cu radicali

66. S se calculeze: a) 2 ; b) ; c)

7 ; d) ( ) ;

e) ( ) ( ) ; f) ( )

; g) .

/

; h)

( ) ; i) ( )

;

67. S se raionalizeze numitorii: a) 3

21; b)

32

18; c)

272

27 d)

; e)

; f)

68. Rezolvai:

1) 2 3X 11) 5

53

X

2) 3 0X 12) 9 2X

3) 3 4X O 13) 4X X

4) 4 5 8X 14) 4 3X

5) 3 5 7X 15) 7 6 1

5 2

XX

6) 5 6 1X 16) 1 2 3 2X X X

7) 4 2X 17) 1

2 12

X

8) 4 7 0X 18) 3 1

12

XX

9) 3 2 1X 19) 3 5

4

XX

10) 2 1 3 5X 20) 1X Y

69. Verificai egalittile urmtoare:

a) 2 2 2 1

,b)

2 () nn n n c) [] 0

a aa d)

2( 1 ) n n =impar

e) (1)

1223... (1) ()2

nnnn n

f) 1 2... 99615 g)

2 2 2 2 *1 2... 22, n n nnnn

h)

2 2 21 1

2 2 2

n n n i) 31 32, n n n

j) 2 2 24121 nnnn n n


70. Artati c 221212424213 .

71. Artati c dac , a b i{ 2} { 2}a b atunci a=b. 72. Gsiti partea ntreag si prima zecimal a urmtoarelor numere

2 2 2 *, 91, 94,annbncnnn

73.

2

1x]x[]x2[)x(P , unde s-

ntreag a numrului real x.

a) Calculai )2(P i )3(P .

b) Demonstrai c P(x) = 0, pentru orice valoarea real a numrului x1

[0,2

.

c) Artati c 1

Px P(x)2

i deducei c P(x)=0 pentru orice x-real.

74. Calculai valoarea sumei

011

2010

2 2

22010...

2

22010

2

12010S .

75. Rezolvai urmtoarele ecuaii :

2 23442) 4,) ,)3 4563

x xx xxa b c ,d) 5 23[] 8{} x x x,e)

1 1 1

{} [ ]

x x x

f) 1 2535

3 6 2

x x x , g) 31313163

4 4 2 5

x x x x ,h)

1 1[] {}[] {} x xx x

i) 1 2

[21]3 3

xx x x ,j)

21[4]14

2

xx x

76. Rezolvai sistemele urmtoare

a) [ ] {} 1,3

{} [ ] 3,2

x y

x y b)

2 {} 3,5

{} 1

x y

x y

77. Artati c pentru orice x>1 avem adevrat inegalitatea [] 5

2[] 2 x x

x x

78. Artati c pentru orice numr real x este adevrat relaia

3 4 5 11

6 6 6 23

x x x x x

79. Calculati nS unde 22 22 221111 111 1 ...12334 (1)

nS

nn

80. Utiliznd

22222222 ;2;2 bababababababababa s se

calculeze 22 2113 xxxxE .

81. Comparai numerele: 5

11;1,2;

7

16;

2

5.

82. Transformai in fracie ordinar : )24(13,0);34(,12);3(2,0;3,1 .

83. Calculai media aritmetic i media geometric a numerelor 347 i 347 .

84. Artai c Q 43...531 i NnQRn ,\25 .

85. S se determine partea ntreag a numerelor: 32;3;6

17);5(,3;43,2 .

86. Scrierea sub form de fracie zecimal a numrului 11

5 este ...,0 321 aaa . S se calculeze

107 aa .

87. S se determine elementele mulimilor 532 xRxA ,

33

342

xRxB .

88. Calculai: 33:125752243 . 89. Calculai:

27

10

27

5

.


90. Calculai: 2

2

1

3

1

3

53,1

.

91. Calculai: 6364...2312 .

92. Calculai:

4

100...

4

3

4

2

4

1.

93. Comparai:

a) 89

25

23

7 i ;

b) 5559 i ;

c)10

56

65

3

i ;

d) 90015224 i ;

e) 2740 12525 i ;

f) 3,14 i .;

g) -7,87(89) i -7, 8(789);

h) 123

5

74

3i ;

i) -3070 52 i .

94. Demonstrai inegalitile;

1)2

cba

ca

ac

cb

bc

ba

ab

, pentru a>0, b>0, c>0;

2) abcabccabcba 6222222 , pentru a>0, b>0, c>0;

3) 1862 xx , x R;

4) ,04110822 yxyx yx, R;

5) 44

xx , x R;

6)

cbacba

cba ,,,9111

R;

7) 50049955005 ;

8) )(3 2222 zyxzyx , x,y,z R.

95. Sa se calculeze partea intreaga si partea fractionara a numerelor :

7,3 ; -1,56 ; 2,(8) ; -32

1 ; -

16

425 ; -

12

2586 ;

14

2005 ; 3,(6) ; 1,72(32) ; -3,(12) ; (-1,3)

2 ; (-3,4)

3 ;

(-1,1)4.

96. Fie numarul 1)(nn

1...

43

1

32

1

21

1a

, n 1. Sa se determine n N*

astfel incat {a} = 0,999.

97. Se considera expresia E(x) = [2x] - [x] [x + 2

1] Sa se arate ca pentru orice x , 0 x <

2

1 ,

avem E(x) = 0.Sa se arate ca E(x + 2

1) = E(x).

98. Sa se rezolve ecuatiile : a) [x] = 0 b) [x] = 1 c) [x] = -1 d) [x -1] = 2 e) [2x -1] = 3

f) [3x + 4] = 5

1

g) 2

1x

6

67x

h) 4

2

3

2

xx

i) 2

1

3

1

xx ;

2

12

3

12

n

nx

n

nx, n N, fixat.


j) 3

2

3

2

x

x ;

1n

nx

1n

nx

, n N* \ {1}, fixat.

99. Folosind identitatea lui Hermite rezolvati ecuatiile :

a) 04

13

4

13

xx2005

4

13

4

13

xx, cercetati numarul

radacinilor intregi . b)

c) 14

13

4

13

xx

d) 20034

13

4

13

xx

e) Znnxx

,

4

13

4

13, cercetati numarul radacinilor intregi .

100. S se rezolve ecuaia: .2321 xxx Soluie Aplicand proprietatea 3 ecuaia se mai poate scrie:

.2321 xxx

)7,6[6 xx

S se rezolve n Z ecuaia: 44

3

3

2

xx, unde *+ este partea ntreag a

numrului real. Soluie:Metoda I:

Folosind proprietatea 2 : 1 aaa avem:

Dac ;13

2

3

2

3

2

3

2

xxxxa

Dac ;14

3

4

3

4

3

4

3

xxxxa

-------------------------------------------------------------(+)

4 64

3

3

2

xx / 12

7217748 x / - 17

55731 x /: 7

7

55

7

31 x

Cum Zx avem }.7,6,5{x

Verificand n ecuaie rezult c .7x Deci S={5.6}.

Metoda II:

Fie }.11,...,1,0{,,,12 rZrZkrkx

Ecuaia devine: 44

312

3

212

rkrk,

4

4

33

3

24

rk

rk

4

4

33

3

24

rk

rk

4

4

3

3

27

rrk

4

3

3

247

rrk

.4

3

7

1

3

2

7

1

7

4

rrk

Analizand fiecare caz n parte obinem:

r=0 rezult .7

4

4

3

7

1

3

2

7

1

7

4Zk

r=1 rezult .7

2

7

1

7

1

7

4

4

4

7

1

3

3

7

1

7

4Zk

r=2 rezult .7

2

7

1

7

1

7

4

4

5

7

1

3

4

7

1

7

4Zk


r=3 rezult .7

2

7

1

7

1

7

4

4

6

7

1

3

5

7

1

7

4Zk

r=4 rezult .7

1

7

1

7

2

7

4

4

7

7

1

3

6

7

1

7

4Zk

r=5 rezult .07

0

7

2

7

2

7

4

4

8

7

1

3

7

7

1

7

4Zk

r=6 rezult .07

0

7

2

7

2

7

4

4

9

7

1

3

8

7

1

7

4Zk

r=7 rezult .07

1

7

2

7

3

7

4

4

10

7

1

3

9

7

1

7

4Zk

r=8 rezult .07

1

7

2

7

3

7

4

4

11

7

1

3

10

7

1

7

4Zk

r=9 rezult .07

2

7

3

7

3

7

4

4

12

7

1

3

11

7

1

7

4Zk

r=10 rezult .07

3

7

3

7

4

7

4

4

13

7

1

3

12

7

1

7

4Zk

r=11 rezult .07

3

7

3

7

4

7

4

4

14

7

1

3

13

7

1

7

4Zk

Deci 55012 x si 66012 x .

Avem S ={5,6 }.

101. S se rezolve urmtoarea ecuaie: .6

78

3

12

3

2

3

12

xxxx

Soluie:

Notm 2

13

3

12

yxy

x.

Avem .2

14

6

78;

3

2

3

12;

3

1

3

2

yxy

xy

x

Ecuaia devine : 2

14

3

2

3

1

yyyy

Aplicand proprietatea 7 : nxn

nx

nxx

1...

1(Identitatea lui

Hermite).avem: .2

143

yy

Se impun condiile Zy

2

14si ).

2

1,

2

1[3

2

1413

yy

yy

.8

7,

8

1

4

1,

4

1}0,1{2

1

2

3

)2

1,

2

1[

4

12

2

14

xyk

Zk

kkyZk

y

102. S se determine care din elementele mulimii },b,,a,,,,16{A 742

6

3

825

sunt numere naturale. Dar ntregi? Dar raionale? Dar reale? 103. Ordonai descresctor elementele mulimii A.

104. Rezolvai ecuaiile a) 9x (1 punct) b) 5x (1 punct) c) 45 x (1 punct)

105. Aproximai prin lips i prin adaos cu o zecimal i cu dou zecimale urmtoarele dou

numere: a) 34 (1 punct) b) 7

12(1 punct)

106. S se calculeze J\IiJI,JI unde I=(7; 15), J=(9; 18).


10

3

736


109. Rezolvai ecuaiile a) 6x (1 punct) b) 8x (1 punct) c) 67 x (1 punct).




13 (1 punct).



12

3

54





15 (1 punct).


117. 2 S se determine care din elementele mulimii

},b,,a,,,,64{A 592

20

3

1149

sunt numere naturale. Dar ntregi? Dar

raionale? Dar reale? 118. Ordonai descresctor elementele mulimii A.




16 (1 punct).

121. Calculai:

a)

3

13 b) 24 c) 5,2 d)

17

143 e)

6

7 f)

5

19

122. Determinai Rx astfel nct:

a) 26

1x4

b)

7

20x

6

13x

123. Dac 3x i 2y , aflai ce valori pot lua expresiile: i) 1y2x ;

ii) 4y2x3 .

124. Aflai partea ntreag a numrului: A =

201200

1...

32

1

21

1

.

125. Determinai urmtoarele mulimi: Z40

47,

3

11

b)

126. Determinai Rx astfel nct: a) 25x34,0 ;

b) 3

2x

5

5x2

;

c) 04

3x

;

d) 3x46 .

127. Dac 3,1x i 4,0y , aflai ce valori pot lua expresiile:

i) x i

2

x;

ii) 2y3x .

128. Calculai suma : 64...321S . 129. S se efectueze:

10

1

5

26)

4

3

24

13

48

7(

130. S se calculeze: 21323222

131. Rezolvai ecuaiile:

a) 752 x

b) 2312 xx

c) 512 x


132. S se determine partea ntreag i partea fracionar a numrului 4

65

133. Rezolvai ecuaia :*2x-1]=3

134. S se determine mulimile A=,xR/-2


b) Reprezentai pe ax mulimile: A B; A B.

158. Stabilii elementele mulimii: 52,/ xRxx i reprezentai-le pe axa numerelor.

159. Scriei numerele urmtoare sub form zecimal i precizai-le partea ntreag i

partea fracionar: a) 310

30017 ; b)

15

301 .

160. Scriei sub form fracionar numerele: a) 3, 7(25) ; b) 0, 2001 . 161. Calculai:

a) 1 + ( 0, 5 0, 4)0 ;

b) ( 0 , 3 )7 : ( 0 , 3 )

6 ;

c)

66

3

1

:

66

3

1

;

d) - 9 . 10024,0 .

162. Scriei prescurtat: x = termeni10

5,4...5,45,4 ; y =

factori10

5,4...5,45,4 .

163. Stabilii care din numerele: 52 ; 01,032 este raional i care iraional ?

164. Calculai c. m. m. d. c. i c. m. m. m. c. al numerelor: 100 ; 90 ; 256.

165. Scriei: opusul, modulul, inversul, ptratul numrului - 2

3 .

166. Aproximai prin lips i adaos, la sutimi, numrul: 3

19

167. Se consider intervalele: A = ( - ; 2 ) ; B = ( - 3; 4 ]. Se cere: a) Reprezentai pe ax intervalele. b) Reprezentai pe ax mulimile: A B; A B.

168. Stabilii elementele mulimii: 43,/ xRxx i reprezentai-le pe axa numerelor.

169. Pentru fraciile zecimale periodice urmtoare, s se gseasc numrul raional pe care-l reprezint:

a) 0,9

b) 0,(15)

c) 1,3(41)

d) 0,3(14)

e) 1,7

f) 3,(02)

170. S se determine partea ntreag i partea fracionar a numerelor:

a) 31

5

b) 26

5

c) 233

8

d) 109

4

171. Se consider numrul 1,23456789 . S se aproximeze prin lips la partea ntreag, s se

scrie aproximearea prin adaos cu o eroare mai mica dect 310 . Rotunjii la a sasea

zecimal.

172. Rezolvati ecuatiile in :

a) 1 2x

b) 3 1 4x

c) 3 1

4 3

x x

173.

a) Utiliznd valoarea absolut, rescriei inegalitatea: 2x sau 2x .

b) S se determine soluiile ntregi n cazul 10 1

03 6 4

x

x

.

174. S se calculeze partea ntreag a numrului 2

*1 ,n n n .

175. Se consider numrul 12,3456789 . S se aproximeze prin lips la partea ntreag, s se

scrie aproximearea prin adaos cu o eroare mai mica dect 310 . Rotunjii la a sasea

zecimal.

176. Rezolvati ecuatiile in :

a) 1 2x

b) 4 1 3x


c) 4 2 1

4 3

x x

177.

a) Utiliznd valoarea absolut, rescriei inegalitatea: 2x i 2x .

b) S se determine soluiile ntregi n cazul 2 7 3 2 0x x . 178. S se calculeze partea ntreag a numrului

2 *1 2 2 3 ... ,n n n

.

Documents

APLICATII 1 - numere reale M2.pdf