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APLICAÇÕES EM ESCOAMENTOS COM RE
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APLICAÇÕES EM
ESCOAMENTOS COM RE<1
• Meios Porosos (Darcy)• Tubo de Seção Variável• Mancais• Hele shaw
MEIOS POROSOSESCOAMENTO DE DARCY
Porosidade ()
Porosidade define o volume
livre de armazenamento.
= Vv / (VV +Vs)
Vs vol. sólidos VV vol. vazios
A razão volumétrica num meio isotrópico também coincide
com a razão entre a área tranversal livre para o escoamento e
a área transversal total.
= Av / (AV +As)
Porosidade: arranjos com esferas arranjo geométrico granulometria
Porosidade não isotrópica
Propriedade direcional! Inter-granular ou fraturas
Clark, 1969 Clark, 1969
A lei de Darcy (1856)
k PQ A
L
base de quase todos os métodos para a medição de permeabilidades!!!
Amyx (1960)
http://en.wikipedia.org/wiki/Henry_Darcy
Permeabilidade absoluta, k
Q Lk
A P
Permeabilidade k (m2) (wikipedia)
• Na geologia, a permeabilidade é a medida da capacidade de um material (tipicamente uma rocha) para transmitir fluídos. É de grande importância na determinação das características de fluxo dos hidrocarbonetos em reservatórios de petróleo e gás e da água nos aquíferos. A unidade de permeabilidade é o darcy ou, mais habitualmente, o mili-darcy ou md (1 darcy = 1 x 10-12 m2). A permeabilidade é usada para calcular taxas de fluxo através da lei de Darcy.
• Para que uma rocha seja considerada um reservatório de hidrocarbonetos explorável, a sua permeabilidade deve ser maior que cerca de 100 md (o valor exato depende da natureza do hidrocarboneto - reservatórios de gás com permeabilidades mais baixas ainda são exploráveis devido à menor viscosidade do gás relativamente ao petróleo). Rochas com permeabilidades significativamente menores que 100 md podem formar selos eficientes (ver geologia do petróleo). Areias não consolidadas podem ter permeabilidades de mais de 5000 md.
Ranges of common intrinsic permeabilities
• Source: wikipedia
Lei de Darcy• A velocidade média por unidade de área através da seção transversal
da coluna de material poroso é diretamente proporcional ao gradiente de pressão estabelecido através da coluna e inversamente proporcional a viscosidade do fluido, .
• k é o coef. Permeabilidade; unidades m2 ou Darcy;
• 1 Darcy é equivalente a 9.869233×10−13 m² ou 0.9869233 (µm)². • Esta conversão é usualmente aproximada por 1 (µm)²
k dpu
dx
Lei de Darcy: um processo de média• Ela informa a velocidade média em um ponto no espaço mesmo se
naquele ponto haja um material sólido. • Ela trata os meios sólido e fluido como se fossem interpenetrantes. • O resultado da lei de Darcy (empírica) equivale a uma média na
velocidade na seção transversal da matriz porosa.• Na S.C. da figura a velocidade calculada é a média na seção e não
aquela que passa através dos poros.
k dpu
dx
u u
Relação entre velocidades• A relação entre a velocidade média que cruza a seção
transversal de uma matriz porosa e a velocidade média nos poros é dada por meio da porosidade
• u – velocidade média na seção transversal matriz• uf – velocidade média do fluido nos espaços livres
u u
f v fuA u A u u
Lei de Darcy – análise de escala•A lei de Darcy (empírica) está fundamentada por escoamentos com ausência de termos inerciais.
•Considere ‘d’ uma dimensão representativa do espaço instersticial do material poroso; uf a velocidade média do fluido entre os interstícios; então a razão:
•sendo que d é estimado pelo coef. Permeabilidade: então
• Desde que Rek <<1 o escoamento nos interstícios não possui inércia e pode ser representado pela equação de Stokes
2p v r
2f f
2f
Inércia u d u d1
Viscosos u d
:
d k
fk
Inércia u d u kRe 1
Viscosos
:
Lei de Darcy – campo 3D• Um detalhado conhecimento da distribuição espacial dos interstícios
não é disponível. Consequentemente o conhecimento da velocidade local também não será.
• Considerando o escoamento através de um grande número de poros pode-se tirar uma média espacial da velocidade.
• Se o meio for isotrópico (um gradP aplicado nas 3 direções produz a mesma vazão) pode-se re-escrever a equação q. movimento como:
• p e u representam a pressão e velocidade médias e k é a permeabilidade do meio
u k u kp ou u p desde que 1
k
rr
k equivalente (isotrópico) – associação em paralelo
• Os meios porosos estão submetidos a mesma pressão.
O resultado possui analogia direta c/ lei de ohm, V=P, i=u e R=hi/ki
i i ii
p 1Q Q h k
L
eqk p Q h
L
k4, h4
k3, h3
k2, h2
k1, h1
Q1
Q2
Q3
Q4
Q1
Q2
Q3
Q4k, h=
ii i i i
k pQ u h h
L
i i
eqi
h kk
h
k equivalente (isotrópico) – associação em série
k 4
L 4
k 3
L 3
k 2 L 2
k 1
L 1u u
k, L
=
Os meios porosos em série estão submetidos a mesma vazão ou velocidade!
O resultado possui analogia direta c/ lei de ohm, V=P, i=u e Ri=hi/ki
ii
i i i
Lp p u
k
ii
eq
L p u
k
ieq i
i i i
Lk L
k
i i
i
ii
i
k pu
L
L
p uk
p1 p2 p3 p4
O potencial de Velocidades• A pressão modificada, , engloba a contribuição da força e campo,
possibilitando que o campo de velocidade seja determinado tanto pela pressão como pelo peso da coluna de líquido:
• Note que o campo de velocidades é irrotacional:
• e a equação da massa é satisfeita desde que o Laplaciano de seja nulo:
• Portanto é uma função potencial: o gradiente de expressa o campo de velocidades.
ku onde p gy
r r
ku 0
r
2ku 0
rg
Solução do Potencial de Velocidades
• A Equação de Laplace é uma equação elíptica e necessita de informação em todo contorno para ser resolvida:
2 0
n 0 para fronteira impermeáveisc.c. p const em superfícies livres.
Escoamento em um Poço Radial
2 1r 0 r Aln r B
r r r
r
P
PwCondição de contorno
w
w
w w w w
w
p pA
Ln r rp Aln r B
p Aln r B p Ln r r p Ln r rB
Ln r r
As constantes de integração
Cálculo da velocidade radial em r = rw
w w
ww
w w
kU r r
p pk A k 1U r
r Ln r r r
w
w
w
Q U 2 r hp p2 hk
QLn r r
Vazão m3/s por metro de poço
h
IP de um reservatório• O índice de produtividade de um reservatório, IP (em inglês
Productivity Index) é uma razão entre o volume produzido e a razão entre a diferença de pressão do reservatório e do fundo do poço:
w
QIP
P P
w ww
2 hkQ p p Q IP p p
Ln r r
• A origem desta expressão está na relação de vazão dada no slide anterior:
• A vazão produzida é determinada pela diferença (p-pw), quanto menor pw maior é a vazão.
• Mas pw acopla o reservatório com a linha de elevação, pw é determinado pela perda de carga causada pelo escoamento na linha.
Calcule k p/ geometrias cilíndricas: série e paralelo.
w
2 hk pQ
ln r r
Todas camadas estão na m/ma P
Leitos paralelos
rw
r
k1, h1k2, h2k3, h3
i i i eq ii w w
eq i i i
P 2 2 pQ h k k h
Ln r r Ln r r
k h k h
Q cruza todas camadas
Leitos em série
rwr1 r
i Ni i 1 w
ii i 0 i eq
i Ni i 1
eq wi 0 i
Ln r r Ln r rQ QP
2 h k 2 h k
Ln r r k Ln r r
k
wln r rQ
p2 hk
h
Aplicação em barragens
Extensão Lei de Darcy: Forchheimer (1901)
• Relação quadrática entre o gradiente de pressão e a velocidade. A forma mais comum é:
• O termo de Darcy e Forchheimer estão associados ao arrasto (ou resistência) que o meio poroso causa a passagem do fluido. A extensão de Forchheimer está associada ao arrasto de forma interno a matriz porosa e ajustada por meio do coeficiente da matriz, CF.
• Tanto a relação de Darcy quanto Forchheimer não possuem embasamento matemático/teórico, são relações empíricas.
F
U Uup C
k k
Tubo de Seção Variável (Batchelor)
Considere um tubo circular cujo raio ‘a’ varia lentamente ao longo da direção axial.
O escoamento ocorre em Regime Permanente. As extremidades do tubo estão a pressão constante. Como o raio do tubo varia com a posição axial, a = a(z), então o gradiente de pressão também varia com z.
ar
z
Análise de Ordem de Magnitude
O problema simplifica se pudermos desprezar os termos de inércia. Neste caso a solução reduz para a solução de Poiseuille. A questão é: quando a aproximação é válida?
1. Sabemos que se o raio ‘a’ for constante a solução de Poiseuilli é exata.
2. Queremos saber para qual taxa de variação de ‘a’ com ‘z’ ainda é válida a aproximação de inércia desprezível.
3. Para isto temos que determinar escalas para as velocidades axial e radial, W e V.
ar
z
Escalas de W e V
Tana=r/z << 1 ~ a
Dz
a-Dra
aW0
Escala da velocidade z : W0
Balanço de massa na direção z:
220 0
WW a W z a r
z
0
0 0
0
2 WW escala taxa de W em z:
z a
W 2 WW a escala z: z
z z a 2
WW escala taxa de W em r:
r a
tan
tan
tan
Balanço de massa na direção r:
220 0W a a r V a r z
0 0escala de V : V 2 W tan
Escala da velocidade y: ?
Avaliação do Termos Inercial x Viscosos O termo de inércia e viscoso eq. q. mov. na direção z:
Os termos inerciais são desprezíveis desde que .a Rea<<1 e << 1. A eq. q. movimento reduz para:
02
2a0 0
W
Viscoso 1 1aInercia Re2 W W 2a
a
tan tantan
2
2
w w 1 w w pv w r -
r z r r r zz
p 1 wr Poiseuille
z r r r
(termo dominante desde que << 1)
Perfil de Velocidades (Batchelor)
Desprezando os termos de inércia, vamos encontrar a solução de Poiseuille:
ar
x
V V
2 2a z r
dpw z r
dz 4
,
A vazão é constante em qualquer seção do tubo:
4a
0
dp dz aQ w z r 2 rdr
8,
4dp 8
Qdz a z
Perfil de Velocidades (Batchelor)
Substituindo a definição de dp/dz no perfil de velocidade:
2 2
2a z r
W z r W z onde W z 2Q a z4
,
As linhas de corrente não são exatamente paralelas a z mas inclinadas pelo ângulo a. Existe uma componente radial v ~ aw, conhecendo-se w a velocidade v é estimada.
A queda de pressão vem da integral do gradiente:
2
1
z
1 24 4z
dp 8 8 Q dzQ p p
dza z a z
Influência do perfil a(z)A solução proposta é válida
desde que << 1 e tan(a).Rea<<1.
Considere, por exemplo, um perfil em contração linear em z com : r(z) = a0 – .z; a0 = 0.05, e = 0.005, 0.010 e 0.025 radianos
2
1
zz ini
4z
p p dz
8 Qa z
A figura mostra que a diferença de pressão varia de forma não linear
arz
z
a (graus) a (rad)
1.43 0.0250.57 0.0100.29 0.005
=0.
025
=0.0
10
=0.005
ESCOAMENTOS EM FILMES FINOS DE LIQUIDO
EQUAÇÃO DE REYNOLDS
APLICAÇÃO EM MANCAIS
Equações de Reynolds e o Mancal de Deslizamento
Dedução a partir da aproximação por um escoamento de Couette + Poiseuille para Re << 1
• Perfil de velocidades adimensional para escoamento laminar completamente desenvolvido entre placas paralelas infinitas, placa superior movendo-se com velocidade U. Solução: superposição linear:
22u y y 1 dp a y y
U a U dx 2 a a
0 1 2 3
(y/a)
1
(u/U)
0dx
dp
0dx
dp
0dx
dp
Escoamento Plano: Superposição Linear E.D.O.
Poiseuille + Couette P + C
y = 0 u = 0 + u = 0 u = 0
y = a u = 0 + u = U u = U
c -dp/dx + 0 -dp/dx
u(y) +
Q +
2dP a y y1
dx 2 a a
a
yU
a
y
a
y
2
ac
a
yU
22
0dx
dP
dy
du
dy
d
aU
2
3dp a
dx 12
3dp a aU
dx 12 2
1. A figura representa um bloco estacionário com uma parede deslizante.
2. O contrário é possível, porém o problema passa a ser transiente. Neste caso é aconselhável fixar um referencial no bloco e a parede que se movimenta. Nesta configuração coincide com aquela proposta no 1º caso.
Man
cal d
e D
esliz
amen
to
A vazão por unidade de comprimento z:
3d
00
dp h 1Q udy U h
dx 12 2
Como a vazão independe de x isto requer que:
02 3
Udp 2Q6
dx h h
Mancal de Deslizamento
Aproximações:(i) h/L << 1, garante ausência de
efeitos de borda e que d2u/dy2 >> d2u/dx2;
(ii) Red.(h/L) << 1 garante inércia desprezível, sol. Poiseuille
Integrando a pressão em x teremos:
x x
0 0 2 30 0
dx dxp x p 6 U 12Q
h h
p0 é a pressão em x=0
Mancal de Deslizamento
02 3
Udp 2Q6
dx h h
Mancal de DeslizamentoVamos considerar uma variação linear de H com x
1 1 2h x h x onde = h -h L
A variação de pressão entre a entrada e saída passa a ser:
Considerando que a pressão em x = L também seja p0, então a vazão Q é dada por:
0 0 2 21 1
6 1 1 1 1p x p U Q
h h h h
1 20
1 2
h hQ U
h h
Mancal de DeslizamentoA variação de pressão passa a ser:
Note que p-p0>0 somente quando h1>h2. A pressão é gerada pelo movimento relativo entre as placas que arrasta fluido da abertura mais larga para a mais estreita.
1 200 2
1 2
h h h h6 Up x p
h h h
distribuição pressão
Mancal exemplo: L = 0.1m, h1 = 0.005 m
0
0
p x p
6 U
= 0.01
= 0.02
= 0.03
Mancal de Deslizamento
A força normal exercida no bloco por unidade de largura
A força tangencial:
L1 20 1
0 20 2 1 2
h h6 U hp x p dx 2
h h h
log
L1 20 1
0 21 2y d
h h2 U hudx 3
y hh h
log
hh L 1 e Re h L 1
Equ
ação
de
Rey
nold
s (1
886)
Condições de contorno u(0) = u0 e w(0) = 0u(h) = 0 e w(h) = 0
Equação de ReynoldsA equação da continuidade pode ser re-escrita termo a termo:
h h
0 00
h h
0 0
h
0
d du dhudy dy U h (T. Leibiniz)
dx dx dx
d dwwdy dy
dz dz
dvdy v h v 0 0
dy
h h
0 0
d dudy wdy 0
dx dz
Para bloco estacionário, a equação integral do volume na seção transversal (y) do mancal passa a ser:
Equação de ReynoldsObserve que os termos da integral representam as vazões nas direções x e z, b é a largura do mancal na dir. Z
3 30
HidrodinâmicaHidrostática
d p d p dhh h 6 U
dx x dz z dx
Dependendo da ordem de magnitude dos termos o mancal pode ser governado por forças hidrostáticas ou hidrodinâmicas ou misto.
h h
x z0 0
d d d dubdy wbdy 0 Q Q 0
dx dz dx dz
Qx advém da superposição de Couette + Poiseuille dir X
3
x 0dP h h
Q b U bdx 12 2
Qz advém de Poiseuille dir. Z3
zdP h
Q bdz 12
• Esta é a Eq. de Reynolds (1886) para lubrificação em um canal variável h(x) com a parede inferior movendo-se com velocidade U0. Este é um modelo básico em lubrificação.
• . A distribuição de pressão pode ser determinada conhecendo-se a geometria e o movimento das paredes.
• A essência do fenômeno de lubrificação está na pequena espessura do filme e paredes inclidas que gera altas tensões no fluido que por sua vez gera elevadas pressões.
• A força motriz do escoamento é o movimento relativo entre as paredes.
HELESHAW FLOW
O aparato Hele-Shaw gera um escoamento dominado pela viscosidade que pode ser
visualizado como irrotacional (Potencial) em uma direção preferencial.
How to build• The cell consists primarily of two
transparent plates separated by a narrow gap. A thin spacer runs along the internal edges of the plates to maintain their separation and keep the fluid from leaking out. Air bubbles are introduced into the cell through a port along one of the edges. The fluid can be pushed or pulled through the cell by a pump connected to other ports. Alternatively, the cell can simply be propped up at a slant or mounted vertically so that gravity and buoyancy move the fluid and the bubbles.
FIM
Flow Straigthner – aplicação em túneis de vento.
