aplicações à geometria plana - midia.atp.usp.br · 33 aplicações à geometria plana 3 licenciatura em ciências · Usp/Univesp t Ó pico gil da costa marques aplicações à

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aplicações à geometria plana 3

licenciatura em ciências · Usp/Univesp

tÓpi

co

gil da costa marques


3.1 introdução3.2 relações e Funções

3.3.1 retas e segmentos de retas no plano3.3.2 posição relativa de duas retas

3.4.1 Ângulos e medidas de Ângulos3.4.2 mais sobre Ângulos

3.5 polígonos3.6.1 cônicas3.6.2 Hipérbole 3.6.3 parábola3.6.4 elipse3.6.5 a circunferência

Licenciatura em ciências · USP/ Univesp

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3.1 Introdução

A geometria teve início cerca de 3.000 anos antes de Cristo no Egito. A necessidade de

medir com precisão as terras constantemente demarcadas após as sucessivas inundações do Nilo,

ou o uso dessas demarcações para efeito de pagamento de impostos, constituiu-se no pano de

fundo desse desenvolvimento inicial da geometria. A palavra geometria advém desses primeiros

esforços de “medidas da terra”. Os babilônicos introduziram aperfeiçoamentos nessa área do

conhecimento, a qual foi consolidada pelos gregos. O marco dessa consolidação foi a coletânea

de livros Os Elementos, escritos por Euclides.

A geometria experimentou grandes revoluções ao longo da História. A primeira delas deve

ser creditada a René Descartes, que introduziu a Geometria Analítica. Bolyai, Lobatchesvky,

Gauss e Riemmann desenvolveram geometrias não Euclidianas. Einstein associou uma proprie-

dade do espaço à matéria nele existente. A teoria das Cordas e a Teoria M propõem espaços

com mais de três dimensões.

Na geometria analítica, o conceito de função tem um papel central, com aplicações tanto

na geometria plana quanto na geometria espacial. Neste tópico, analisaremos aplicações do

conceito de função no estudo das retas, semirretas, segmentos de reta, bem como de algumas

figuras planas, especialmente polígonos, e, finalmente, as cônicas.

Na geometria analítica, o espaço é pensado como um conjunto (infinito) de pontos. Assim,

ao introduzir a ideia de pontos no espaço, somos levados a pensar como caracterizar cada ponto

desse espaço. Com isso, procuramos dar uma definição mais operacional para esse conceito.

Isso pode ser feito uma vez introduzido um referencial. Adotado um determinado sistema

de referência, cada ponto do espaço pode ser especificado a partir das suas coordenadas. Um

ponto pode ser especificado por meio das coordenadas cartesianas (x, y, z). Temos assim, uma

correspondência biunívoca entre um ponto do espaço e suas coordenadas.

Geometria é um ramo da matemática que estuda as propriedades do espaço e as figuras que ele comporta. No caso das figuras, procuramos analisar suas formas, tamanhos, posições relativas, bem como deduzimos resultados (Teoremas ou Proposições) que podem ser obtidos a partir de alguns postulados. As figuras contidas num plano são alvo de estudo da geometria dita plana. As figuras tridimensionais são estudadas na geometria espacial.

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terra e UniVerso Fundamentos da matemática i

3.2 Relações e FunçõesConsideremos uma relação entre as coordenadas (x,y) no plano, que pode ser escrita gene-

ricamente como:

Uma curva no plano pode ser escrita como uma relação da forma acima. Por exemplo, a

circunferência é definida como a curva para a qual vale a seguinte relação:

Onde R é o raio da circunferência.

Na relação acima temos duas funções implícitas nela. A primeira delas é a função:

que descreve apenas um segmento da circunferência. A segunda é a função:

Assim, nem toda relação é uma

função. No entanto, relações como a

acima definem funções implícitas.

3.3.1 Retas e Segmentos de retas no Plano

No plano, estabelecemos uma correspondência biunívoca entre os pontos do plano e o par

de coordenadas (x, y) a ele associado:

3.1( ), 0F x y =

3.22 2 2x y R+ =

3.3( ) 2 2y x R x+ = + −

Figura 3.1: Segmentos da circunferência descrito por funções. / Fonte: Cepa.

3.4( ) 2 2y x R x− = − −

3.5( ),P x y⇔

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Considerando-se uma reta contida no plano x – y (o plano caracterizado pela equação

z = 0), sua expressão mais geral é:

ou seja, a equação que relaciona

as coordenadas x e y dos pontos

que pertencem à reta é uma equa-

ção do primeiro grau. Muitas

vezes, especialmente quando y e

x se referem a grandezas físicas,

referimo-nos às constantes a e b

como parâmetros.

Um gráfico típico da função

afim, aquela sob a forma da ex-

pressão 3.6, é apresentado na

figura 3.2.

O parâmetro b pode ser facilmente identificado com o valor da coordenada y quando x = 0,

ou seja, ele corresponde ao valor da função para esse valor de x:

O parâmetro a é denominado coeficiente angular da reta. Para determiná-lo, basta conside-

rar dois pontos P1 e P2, que pertencem à reta e cujas coordenadas são:

Da expressão 3.6 segue-se que, uma vez que eles pertençam à reta, temos:

Figura 3.2: Gráficos da função afim e a determinação dos parâmetros a e b. / Fonte: Cepa.

3.6y ax b= +

3.7( )0y b=

3.8( )( )

1 1 1

2 2 2

,

,

P x y

P x y

⇔

⇔

3.91 1

2 2

y ax by ax b= += +



Subtraindo-se a primeira da segunda, encontramos:

Uma reta não perpendicular ao eixo x é inteiramente caracterizada pelo seu coeficiente

angular (a) e pelo ponto (0, b) no qual a reta intercepta o eixo y.

A partir de um ponto A localizado sobre uma reta, (x, y)+, podemos determinar duas se-

mirretas. Cada uma delas é caracterizada como o lugar geométrico dos pontos do espaço que

satisfazem a expressão 3.6, bem como a uma das duas condições:

Dois pontos A e B sobre uma reta, de coordenadas (xA, yA) e (xB, yB), determinam um segmento de reta. Este, por outro lado, é definido como

o lugar geométrico dos pontos do espaço que satisfazem à condição:

3.3.2 Posição relativa de duas retas

Pode-se falar de 3 posições relativas de duas retas.

Diz-se que duas retas são reversas quando elas não estão

contidas na mesma superfície plana. ou seja, não há uma su-

perfície plana que contenha as duas retas. Nesse caso, as retas

não se encontram.

Consideremos agora as duas situações possíveis quando

duas retas pertencem ao mesmo plano.

Duas retas são ditas paralelas se elas tiverem o mesmo

coeficiente angular. Diferem, portanto, apenas no que diz

respeito ao parâmetro b.

3.102 1

2 1

y y yax x x− ∆

= =− ∆

3.11A

A

x xx x≥≤

Figura 3.3: Segmento de reta. / Fonte: Cepa.

3.12A Bx x x≤ ≤

Figura 3.4: Retas reversas. / Fonte: Cepa.

Figura 3.5: Retas paralelas. / Fonte: Cepa.

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Quando duas retas r e s não são paralelas, elas se interceptam

em algum ponto P no plano. Nesse caso, dizemos que as retas

são concorrentes.

O ponto no qual duas retas, satisfazendo às equações

se interceptam, tem coordenadas (xP ,yP) dadas pelas expressões:

Por exemplo, o ponto de encontro das retas

tem coordenadas (3, 11).

3.4.1 Ângulos e Medidas de Ângulos

Considere o caso de duas retas concorrentes. As semirretas r’ e s’, que se originam no ponto

de intersecção, têm orientações que diferem entre si pela inclinação entre elas. Para medir a

inclinação definimos a grandeza ângulo. Ângulos podem ser medidos, uma vez que podem ser

comparados. O ângulo especifica quão inclinadas as duas retas estão uma em relação à outra.

Para entender o conceito de ângulo, consideremos circunferências concêntricas desenhadas

a partir do ponto P. Consideremos agora a relação entre o comprimento do arco e o raio da

circunferência. Dadas duas retas congruentes quaisquer, essa relação não depende do raio da

circunferência. É uma característica das direções relativas entre elas a sua inclinação.

Figura 3.6: Retas concorrentes. / Fonte: Cepa.

3.131 1 1

2 2 2

y a x by a x b= += +

3.14

2 11 2 1 1 2 2

1 2

2 12 2 2 2

1 2

P P P P

P p P

b by y y a x b a x b xa a

b by a x b y a ba a

−= = ⇒ + = + ⇒ =

−

−= + ⇒ = + −

3.151

2

5 43 2

y xy x= −= +



Podemos fazer uso de duas unidades de medida de ângulos.

É muito comum, no estudo do movimento circular, o uso de variáveis angulares. Assim,

é importante entender como medimos ângulos. Na medida de um ângulo podemos utilizar

qualquer uma das duas unidades: graus e radianos.

No caso do grau, dividimos a circunferência completa em 360 subdivisões. Um grau corres-

ponde a uma dessas 360 subdivisões.

Sugerimos aqui que se dê uma boa olhada no transferidor. A medida de um ângulo em graus

é efetuada determinando-se quantas vezes o ângulo é maior do que um grau.

Para a medida do ângulo em radia-

nos, determinamos o comprimento do

arco(s) associado a ele e o dividimos

pelo valor do raio. Temos, portanto:

A circunferência toda corresponde a 2π radianos. Portanto, ao valor de 360° correspondem

2π radianos.

Pode-se escrever o coeficiente angular de uma reta, em termos do ângulo θ que ela forma

com o eixo x, como:

Figura 3.7: Com o transferidor medimos ângulos em graus. / Fonte: Cepa. Figura 3.8: Definição de grau como unidade de medida de ângulos. / Fonte: Cepa.

Figura 3.9: Definição de radiano como unidade de medida de ângulos. / Fonte: Cepa.

3.16sR

ϕ =

3.172 1

2 1

tgy yax x−

= = θ−

41



3.4.2 Mais Sobre Ângulos

Levando-se em conta a possibilidade de três retas

serem congruentes num ponto comum a todas, os ân-

gulos formados quando levamos em conta uma delas

são ângulos adjacentes.

Duas retas concorrentes definem quatro ângulos.

Os pares de ângulos não adjacentes são denominados

opostos pelo vértice.

O ângulo entre duas retas de coeficientes an-gulares definidos pelos ângulos θ1 e θ2 é dado pela diferença desses coeficientes:

Os ângulos opostos pelo vértice são iguais.Dois ângulos são complementares se a soma de

seus valores for igual a 90°.Ângulo reto é aquele cujo valor da medida re-

sulta ser igual a 90°. Ângulo raso é aquele para o qual sua medida resulta ser 180°.

Ângulos agudos são aqueles cujos valores são menores do que 90°. Ângulos obtusos são aqueles que excedem, em valor, 90°.

Dizemos que duas retas concorrentes são per-

pendiculares se o valor de qualquer um dos quatro

ângulos por elas formados for um ângulo reto.

Retas perpendiculares obedecem à seguinte rela-

ção entre seus coeficientes angulares:

desde que existam 1 e 2.

Figura 3.10: Ângulos adjacentes, opostos pelo vértice e complementares. / Fonte: Cepa.

3.181 2θ = θ − θ

Figura 3.11: Retas Perpendiculares. / Fonte: Cepa.

Figura 3.12: Retas perpendiculares entre si. / Fonte: Cepa.3.191

2

1aa

= −



Por exemplo, as retas

são ortogonais entre si.

3.5 PolígonosOutra classe relevante de figuras planas são aquelas que podem ser geradas a partir de um

conjunto de pontos A1, A2, ......An pertencentes ao plano. Analisaremos o caso em que nenhum

conjunto de três deles, contíguos, não pertencentes à mesma reta, esteja alinhado.

Cada um desses pontos tem coordenadas dadas por:

A distância d(A1, A2) entre dois pontos A1, A2 no plano é dada pela expressão:

Faremos, em seguida, com que cada um desses pontos seja unido por meio de segmentos de linha ou por meio de arcos. Isso será feito em sucessão, terminando finalmente pelo pri-

meiro (aquele pelo qual começamos). Unimos o ponto A1 até o ponto A2, depois ao ponto A3 e assim sucessiva-mente, até voltarmos ao ponto A1.

Algumas das figuras geradas por meio do procedimento acima têm um grande apelo estético.

3.20

1

2

5 41 35

y x

y x

= −

= − +

3.211 1 1 2 2 2( , ); ( , ); ; ( , ) ( , )i i i n n nA y x A y x A y x A y x⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Figura 3.13: Polígonos Irregulares. / Fonte: Cepa.

3.22( ) ( ) ( )2 21 2 1 2 1 2,d A A y y x x= − + −

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Neste tópico, analisaremos as curvas resultantes do processo acima descrito quando uti-lizamos segmentos de reta para interligar os pontos em sucessão. A curva resultante tem o nome de polígono.

Os pontos A1, A2, ......An são denominados vértices do polígono. Os segmentos entre cada par de pontos são denominados lados do polígono.

Podemos classificar os polígonos em côncavos e convexos. Estes últimos são mais inte-ressantes, pois eles incluem os polígonos regulares não estrelados.

Nomeamos os polígonos de acordo com o seu número de lados. Triângulos são polígo-nos com três lados. São denominados quadriláteros aqueles com quatro lados. Dando con-tinuidade à nomenclatura, utilizamos sempre os prefixos gregos para designá-los. Eles são chamados pentágonos (aqueles com 5 lados), hexágonos (contendo 6 lados), heptágonos (7), octógonos (8), eneágonos (9), decágonos (10), e assim por diante.

São chamados polígonos regulares aqueles que têm todos os lados con-gruentes (de mesmo comprimento), bem como são congruentes todos os ângulos. O fato notável em relação aos polígonos regulares é poderem todos eles ser construídos com os instrumentos euclidianos: a régua e o compasso. Para construí-los devemos saber como dividir uma circunferên-cia em partes iguais.

Figuras triláteras são aquelas que têm três lados; e triângulo equilátero é o que tem os 3

lados iguais; triângulo isósceles é aquele que tem 2 lados iguais, enquanto definimos o triângulo

Para entendermos a diferença entre as duas categorias, basta tracejar uma linha reta que coincida com algum dos lados. Podemos agora antever duas situações. Ou as linhas retas aludidas acima cortam o polígono para algum segmento considerado ou não cortam o polígono, independentemente do lado considerado. Neste último caso, dizemos que o polígono é convexo. De outra forma, ele é dito côncavo.

Figura 3.14: Polígonos regulares. / Fonte: Cepa.



escaleno como aquele que tem 3 lados desiguais; um triângulo é dito retângulo quando ele

tem um ângulo reto e o triângulo é obtusângulo quando tem um ângulo obtuso; um triângulo

acutângulo é aquele que tem o 3 ângulos agudos.

Entre as figuras que têm 4 lados - os quadriláteros, o quadrado é aquele que tem os 4 lados iguais.

O perímetro de um polígono é dado pela soma das distâncias entre seus vértices. Escrevemos:

A área S de um po-

lígono pode ser expressa

em função das coorde-

nadas dos pontos A1, A2, ......An. Assim, no caso de

um triângulo, podemos

escrever sua área em

função das coordenadas

dos vértices como:

3.6.1 Cônicas

As cônicas são curvas que podem ser descritas por meio de

funções. É importante salientar, no entanto, que isso só é possível

quando expressamos a distância do ponto no espaço em função do

ângulo formado pela reta que interliga esse ponto e a origem das co-

ordenadas. Essas coordenadas são denominadas coordenadas polares.

Seja r a coordenada distância do ponto até a origem e θ, o

ângulo já mencionado. Em termos dessas coordenadas, uma cônica

Figura 3.15: A área de um triângulo, um polígono de três lados, pode ser calculada por meio das coordenadas de seus vértices. No exemplo “A” um triângulo–retângulo e, em “B”, um triângulo qualquer. / Fonte: Cepa.

3.231 2 2 3 1 1( , ) ( , ) ( , ) ( , )n n nP d A A d A A d A A d A A−= + + ⋅⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ +

A B

3.24( )( ) ( )( ) ( )( )1 2 1 2 2 3 2 3 3 1 3 112

S y y x x y y x x y y x x = + − + + − + + −

Figura 3.16: Distância e ângulo associado a um ponto do espaço (coordenadas polares). / Fonte: Cepa.

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é uma função que expressa a dependência da distância do ponto com o ângulo. A forma mais

geral de uma cônica é:

Onde Rc e ε são constantes. Desta última constante, denominada parâmetro de excentri-

cidade, ε, depende a forma da cônica. O parâmetro Rc será definido como o comprimento

característico da cônica.

A relação entre os dois parâmetros pode ser utilizada como uma forma de definir a excentri-

cidade das diversas cônicas. Assim, podemos introduzir relações entre eles de duas formas distintas.

A primeira forma é válida tanto para a elipse quanto para a hipérbole. Escrevemos nesse caso:

onde o sinal + se aplica à elipse

enquanto o sinal menos se aplica

à hipérbole. Para a circunferên-

cia e para a parábola escrevemos

A seguir apresentaremos, de

forma sucinta, as diversas cônicas.

3.25( )(1 cos )

CRr =+

θε θ

Finalmente, queremos ressaltar que as cônicas podem ser escritas em coordenadas polares por meio do uso da excentricidade e de outro parâmetro com dimensão de comprimento. Este parâmetro é introduzi-do quando tais curvas são definidas a partir de distâncias a pontos ou retas. O parâmetro definido a partir das distâncias de pontos sobre a curva até pontos fixos ou retas (como o semieixo maior da elipse) será doravante designado por a. Essas definições introduzem uma distância característica da curva. Como é de se esperar, existe uma relação entre o parâmetro Rc da expressão e a distância caraterística já mencionada.

Figura 3.17: As quatro cônicas. / Fonte: Cepa.

3.26( )21CR a= ± − ε

3.27cR a=



3.6.2 Hipérbole

A partir da expressão 3.26 podemos constatar que, para valores do parâmetro excentri-cidade superiores a 1, a cônica é uma hipérbole. As assíntotas da hipérbole são as linhas cujas

inclinações são dadas pela expressão:

com

Levando-se em conta a relação entre a metade da distância entre os focos, uma distância característica da hipérbole, e o comprimento também característico dela, dada pela expres-são 3.26, escrevemos essa curva em coordenadas polares como:

onde os sinais ± estão associados aos diferentes ramos da hipérbole. A seguir, considerare-mos, como já o fizemos antes, apenas o ramo associado ao sinal positivo.

Essa curva é caracterizada ou definida a partir dessa propriedade pelo fato de que as distâncias r e r' de um ponto sobre a curva até dois pontos localizados no plano, denominados focos, são tais a satisfazerem:

onde, na expressão acima, 2a é a distância entre os focos. O sinal + ou – se aplica a cada um dos ramos da hipérbole. Lembramos que a hipérbole é uma curva que contém dois ramos, cada um deles tendo um foco distinto (Figura 3.18).

3.282r r a′− = ±

Figura 3.18: “A”: quando ε > 1, temos a hipérbole. “B”: quando ε = 1 temos a parábola. / Fonte: Cepa.

A B

3.291cos −α = ±ε

3.301ε >

3.31( ) ( )21( 1 cos )

ar

− −=

± +

εθ

ε θ

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3.6.3 Parábola

A parábola é o lugar geométrico dos pontos do plano que se situam a distâncias iguais de um

ponto (denominado foco) e de uma reta conhecida como diretriz. O parâmetro a, a distância

característica da parábola, é a distância do foco à diretriz (Figura 3.19).

A parábola é uma cônica para a qual a excentricidade assume o valor ε = 1. Assim, podemos descrevê-la, utilizando coordenadas polares por meio do uso de apenas um parâmetro, o comprimento característico dado pela expressão 3.27. Escrevemos tal curva, em função desse parâmetro, como:

3.321 cos

ar =+ θ

Figura 3.19: Qualquer ponto na hipérbole está mais próximo de um foco do que de outro. Qualquer ponto na parábola está à mesma distância do foco e da diretriz. / Fonte: Cepa.



3.6.4 Elipse

Em analogia com o caso da hipérbole (Expressão 3.28), definimos o parâmetro a como a

metade da distância mantida constante ao longo da elipse. É fácil perceber que a distância a é

igual ao semieixo maior da elipse.

A elipse se distingue das cônicas anteriores pelo fato de que sua excentricidade é ne-

gativa (ε < 1). De acordo com o que foi discutido na introdução, podemos escrever a seguinte

equação para a elipse:

Quando escrevemos a equação da elipse em coordenadas polares, fazemos uso do semieixo

maior da elipse bem como do semieixo menor. Claramente podemos relacioná-lo aos dois

parâmetros utilizados quando a escrevemos em coordenadas polares. A relação entre o semieixo

menor e os dois parâmetros já mencionados é obtida a partir de uma relação simples envolven-

do triângulos retângulos. Da figura 3.20a, inferimos que:

Utilizando a expressão 3.34 concluímos que os pontos de aproximação máxima e mínima

da origem, denominados, respectivamente, afélio e periélio, ocorrem para valores dos ângulos

para os quais cosθ = ±1. Assim, os valores r+ (distâncias máximas) e r− (distâncias mínimas) são

dados por:

A elipse é definida como o lugar geométrico dos pontos do plano que distam de dois pontos, conhecidos como focos, por um valor fixo que denotamos por 2a. Ou seja, sendo r e r’ tais distâncias, escrevemos para os pontos localizados sobre a elipse:

3.332r r a′+ =

3.34( ) ( )21(1 cos )

ar

−=

+

εθ

ε θ

3.3521b a= − ε

3.36( )1r a± = ± ε

49



Lembramos, finalmente, que a área da elipse é dada pela expressão:

Figura 3.20: “A”: semi-eixo maior; “B”: foco; “C”: afélio e periélio; “D”: área da elipse. / Fonte: Cepa.

3.6.5 A Circunferência

A circunferência é o lugar geométrico dos pontos do

plano equidistantes de um ponto denominado centro da

circunferência. Essa distância é identificada como o compri-

mento característico da circunferência. Da expressão 3.26

segue-se que a circunferência é uma cônica cuja excentrici-

dade é nula (ε = 0). Escrevemos nessas circunstâncias:

3.37A ab= π

A

C

B

D

Figura 3.21: A circunferência é uma elipse de excentricidade 0. Isto acontece quando os dois focos estão sobrepostos, no centro da circunferência. / Fonte: Cepa.

3.38Cr a R= =

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