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Problemas de aplicacin de lmites
Pregunta 1
Se sabe que el precio de un artculo P a travs del tiempo t (en
meses) est
dado por la funcin: bt8at)t(P +
+= , si se sabe que el precio de este artculo el prximo mes ser
de $6.50, y el siguiente mes ser de $6.00. Se desea saber:
a) El precio del artculo para este mes. b) En que mes el precio
ser de $5.50. c) Qu ocurre con el precio a largo plazo?
Resolucin
Tenemos t: tiempo (meses)
P: precio del artculo ($)
bt8at)t(P +
+=
Consideraremos el mes actual como 0t = luego, el prximo mes
corresponder a 1t = y el siguiente mes (siguiente mes al prximo)
corresponder a 2t = . Dato: El precio de este artculo el prximo mes
ser de $6.50.
50.6)1(P = b)1(8)1(a)1(P +
+=
1b8a5.6 +
+=
de donde 5.1b5.6a = (I) Dato: El precio de este artculo el
siguiente mes - al prximo - ser de $6.00.
00.6)2(P = b)2(8)2(a)2(P +
+=
2b8a26 +
+=
de donde 2b3a = (II)
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Resolviendo el sistema formado por (I) y (II) obtenemos: 5a = ,
1b =
Con 5a = y 1b = tenemos la funcin: 1t8t5)t(P +
+=
a. El precio del artculo para este mes: )0(P
81)0(8)0(5)0(P =+
+=
En este mes el precio del artculo es $8.00.
b. En un tiempo t el precio del artculo ser $5.50:
50.5)t(P =
1t8t550.5 +
+= resolviendo obtenemos: 5t =
Dentro de cinco meses el precio del artculo ser $5.50.
c. El precio a largo plazo ocurrir cuando +t
5
t11
t85
lim1t8t5lim)t(Plim
ttt=
+
+=+
+= +++
A largo plazo el precio del artculo tiende a $5.00.
Pregunta 2
Se estima que dentro de t aos, la poblacin P de un cierto pas
ser de:
t06.0e12880)t(P += , millones de habitantes.
a. Cul es la poblacin actual?
b. Cul ser la poblacin dentro de 50 aos?
c. Despus de cuanto tiempo la poblacin ser de 5 millones de
habitantes?
d. Qu le suceder a la poblacin a largo plazo?
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Resolucin
Tenemos t: tiempo (aos)
P: poblacin (millones de habitantes)
t06.0e12880)t(P +=
a. Poblacin actual: )0(P
4e128
80)0(P )0(06.0 =+=
La poblacin actual es de 4 millones de habitantes.
b. Poblacin dentro de 50 aos: )50(P
3.9e128
80)50(P )50(06.0 =+=
Dentro de 50 aos la poblacin ser de 9.3 millones de
habitantes.
c. En un tiempo t la poblacin ser de 5 millones de habitantes:
5)t(P =
5e128
80t06.0 =+
32e t06.0 = resolviendo 8.6
06.032ln
t =
=
Dentro de 6.8 aos la poblacin ser de 5 millones de
habitantes.
d. La poblacin a largo plazo: +t
10)0(128
80e128
80lim)t(Plim t06.0tt =+=
+= ++
A largo plazo la poblacin ser de 10 millones de habitantes.
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Pregunta 3
Se estima que t meses despus del inicio de la crisis econmica,
el porcentaje de la poblacin econmicamente activa que se encontrar
desempleada estar dado por
be1a)t(P t2.0 ++= . Si se sabe que inicialmente el 4% de la PEA
est desempleada y al
cabo de 5 meses lo estar el 4.58%.
a) Encuentre los valores de a y b b) Qu porcentaje estar
desempleado al cabo de 1 ao? c) Qu porcentaje estar desempleado a
largo plazo?
Resolucin
Tenemos t: tiempo (meses)
P: porcentaje de la PEA que est desempleada (%)
be1a)t(P t2.0 ++=
Dato: Inicialmente el 4% de la PEA est desempleada
0t = , 4P = : be1a4 )0(2.0 ++=
b2a4 +=
8b2a =+ (I) Dato: Al cabo de 5 meses lo estar el 4.58%.
5t = , 58.4P = : be1a58.4 )5(2.0 ++=
b368.1a58.4 +=
265.6b368.1a =+ (II) Resolviendo el sistema formado por (I) y
(II) obtenemos: 51.2a = 745.2b =
Con estos valores: 745.2e151.2)t(P t2.0 ++=
b. Al cabo de 1 ao: 12t =
05.5745.2e151.2)12(P )12(2.0 =++=
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Al cabo de 1 ao el 5.05% de la PEA estar desempleada.
c. A largo plazo: +t
26.5745.2)0(1
51.2745.2e151.2lim)t(Plim t2.0tt =++=
++= ++
A largo plazo el 5.26% de la PEA estar desempleada.
