INVESTIGACIÓN OPERATIVA

Curso 2008

ASPECTOS GENERALES DE PROGRAMACION LINEAL

Tema 2 PROGRAMACIÓN MATEMÁTICA1. Introducción. Relación con la Programación

Lineal Continua

2. Aplicaciones. Medida de la eficiencia productiva mediante modelos de análisis envolvente de datos (DEA).

3. Formulación de problemas de programación entera y mixta. Aplicaciones.

4. Algoritmos de solución

5. Implementación informática

6. Estudios de casos reales de aplicación

1. Introducción. Programación Lineal Continua

• Objetivos: minimizar o maximizar una función lineal en la presencia de restricciones lineales del tipo desigualdad o igualdad.

• Llamamos “vector factible” al conjunto de valores que satisfacen todas las restricciones.

• Resolución: consiste en encontrar aquel valor del vector factible que minimiza/maximiza la función objetivo “solución óptima”.

Formulación del problema

Función objetivo: Max(Min) Z=c1x1+c2x2+..+cnxn

Restricciones (limitaciones del conjunto de soluciones)

s.a a11x1+a12x2+..+a1nxn = b1

a21x1+a22x2+..+a2nxn = b2

.................................................

am1x1+am2x2+..+ammxn = bm

Otras restricciones características del tipo de variables

x1,x2,...xn 0

Variables de decisión (incógnitas) xj (j=1,2,....n)

Recursos disponibles (datos) b1,b2,...bm

Coeficientes tecnológicos aij , cj (i=1,2,..,m: j=1,2,....,n)

Ejemplo1

X1 cantidad de producto 1

X2 cantidad de producto 2 

Planta Capacidad usada Capacidad disponible

  Producto 1 Producto 2  

123

103

022

41218

Ganancia 3 5  

 

 

 

Lupita está preocupada por su sobrepeso y el costo de la comida diaria, ella sabe, que para bajar de peso, debe consumir a lo más, 1350 kcalorías, pero requiere de un mínimo de 500 mgr de vitamina A, 350 mgr. de Calcio, 200 mgr. de proteinas y 150 mgr de minerales. Con los alimentos de la tabla, formula el PL que resolvería la dieta de Lupita.

ALIMENTO PORCION VITAM. A CALCIO PROTEINAS MINERALES COSTO KALORIAS

LECHE 1 TAZA 105 75 50 35 $ 5 60

HUEVO 2 PIEZAS 75 80 50 15 $ 7 50

ESPINACAS 1 RACION 100   125 78 $ 2  

CHULETAS 2 CHULETS 25 10 55   $45 175

PESCADO 1 MOJARRA 150 50 100 50 $60 150

PASTEL 2 REB. 30 05 08   $50 200

Ejercicio 2

La cadena de restaurantes California, que trabaja 24 h. al día, ha abierto un nuevo restaurante en Las Palmas, y por ello requiere contratar camareros. El administrador ha dividido las 24 horas en varios turnos. Si cada camarero trabaja 3 horarios consecutivos, formular el problema de P.L. que determine el mínimo número de camareros por contratar.

Horario mínimo camareros

0-3 4

3-6 3

6-9 8

9-12 6

12-15 7

15-18 14

18-21 10

21-24 5

Ejercicio 3

Una empresa determinada tiene disponible un millón de euros para invertir. El gerente tiene a su cargo, la díficil tarea de decidir en cuales de los cinco proyectos siguientes desea invertir:

PROYECTO COSTO UTILIDAD

1 500000 325000

2 200000 122000

3 195000 095000

4 303000 111000

5 350000 150000

Si el elegir un proyecto implica, pagar el costo total del mismo, formular el modelo P.L. que defina la mejor inversión para la empresa.

Métodos de resolución: Método Gráfico

Muy fácil de utilizar pero sólo es aplicable a problemas con dos variables.

Max Z= X1+1.4X2

S.a X1+0.5X26, 0.5X1+X26, X1+X27 1.4X1+X29

X1,X20

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

0 2 4 6 8 10 12 14

X2_1

X2_2

X2_3

X2_4

Resolver gráficamente el problema de P.L del Ejemplo1:

Max Z=3x1+5x2

s.a.

x14

2x2 12

3x1+2x2 18

x1,x20

Métodos de resolución: Método Simplex

Suposiciones:

1. El conjunto formado por las restricciones es convexo

2. La solución siempre ocurre en un punto extremo

3. Un punto extremo siempre tiene dos puntos adyacentes

Método:

• Encontrar una solución inicial factible y calcular su valor en la la función objetivo

• Examinar un punto extremo adyacente al encontrado en la etapa 1 y calcular el nuevo valor de Z. Si el Z mejora repetir la etapa 2. Caso contrario examinar otro punto.

• Regla de parada: cuando no existe ningún extremo adyacente que mejore la solución, nos hallamos en el óptimo.

Programación Lineal Entera

De aplicación cuando las variables de decisión han de ser enteras (número de personal a contratar).

Debemos indicar qué variables ha de tomar valores enteros

El Método Simplex no garantiza un solución factible adecuada al problema

Algoritmo de Bifurcación y Acotamiento ABA

• Primeramente aplicamos el M. Simplex para obtener una solución inicial. Si esta es entera (final)

• Caso contrario aplicamos ABA: cada iteración de ABA escoge un variable que presenta solución no entera y divide el problema en dos sub-problemas añadiendo a cada uno de ellos una nueva restricción (valor superio/inferior). Cada sub-problema se resuleve aplicando el M. Simplex

Programación Lineal Binaria

De aplicación cuando las variables de decisión sólo pueden tomar dos valores Xi (0,1) “Ejercicio 3”

Max Z=325x1+122x2+95x3+11x4+150x5

s.a 500x1+200x2+195x3+303x4+350x51000

Resolución:

Mediante el algoritmo ABA modificado, sujeto a Xi (0,1)

Programación Multiobjetivo

En muchas ocasiones, el decisor se enfrenta a situaciones en donde existen varios objetivos a maximizar o minimizar:

Ejemplo: Podemos querer maximizar el bienestar de la población minimizando los costes de implantación de una determinada política

“El enfoque multiobjetivo busca el conjunto de soluciones eficientes o pareto óptimas

Max Z1=2x1-x2+95x3+11x4+150x5

Max Z2=-x1+5x2

s.a x1+x28

-x1+x23

x16, x24 , x1,x20

Análisis Envolvente de Datos (DEA)