UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADASIngeniera Mecatrnica
Materia:
Ecuaciones diferenciales ordinarias
Nivel:
TERCERO a
Alumnos: Ricardo Gamboa David Oleas
2014 2015
Contenido
1.TEMA:3Aplicaciones de las Ecuaciones
Diferenciales.32.OBJETIVOS32.1 OBJETIVO GENERAL:32.1 OBJETIVO
ESPECFICOS:33.APLICACIONES.33.1 La funcin de transferencia de
sistemas lineales.33.2 Simulacin del fenmeno de creep en suelos
arcillosos mediante reologa y ecuaciones diferenciales
fraccionarias.43.3 Ecuaciones en diferencias en finanzas:63.4 La
Ecuacin logstica o Ley de Verhulst73.5 Problemas
Geomtricos7CONCLUSIONES.10BIBLIOGRAFA.10
1. TEMA: Aplicaciones de las Ecuaciones Diferenciales.
2. OBJETIVOS
2.1 OBJETIVO GENERAL:
Investigar y analizar diversas aplicaciones en las cuales se use
Ecuaciones Diferenciales.
2.1 OBJETIVO ESPECFICOS:
Entender la importancia de las Ecuaciones Diferenciales en el
mundo de Fsico. Aumentar el conocimiento acerca del uso de las
Ecuaciones Diferenciales.
3. APLICACIONES.
3.1 La funcin de transferencia de sistemas lineales.
La funcin de transferencia de un sistema se define como la
relacin entre la transformada de Laplace de la variable de salida y
la transferencia de Laplace de la variable de entrada, suponiendo
que todas las condiciones iniciales se hacen iguales a cero. La
funcin de transferencia de un sistema (o elemento) representa la
relacin que describe la dinmica del sistema considerado.Una funcin
de transferencia puede definirse solamente para un sistema lineal y
estacionario (de parmetro constante). Un sistema no estacionario,
denominado a veces sistema variable en el tiempo, tiene uno ms
parmetros que varan en dicha forma y no puede utilizarse la
transformada de Laplace. Adems, una funcin de transferencia es una
descripcin entrada-salida del comportamiento de un sistemaEntonces
la funcin de transferencia es:
La funcin de transferencia del circuito RC mostrado en la
figura
Se obtiene escribiendo la ecuacin de Kirchhoff del voltaje, lo
cual da:
El voltaje de salida es:
Entonces se obtiene la funcin de transferencia como la relacin
V2(s) / V1(s), la cual es:Donde = RC es la constante de tiempo del
circuito. El polo simple G(s) es s = -1/ .
El concepto y enfoque de funcin de transferencia es muy
importante, ya que proporciona al analista y diseador un modelo
matemtico til de los elementos del sistema.
3.2 Simulacin del fenmeno de creep en suelos arcillosos mediante
reologa y ecuaciones diferenciales fraccionarias.
Los conceptos bsicos acerca del clculo fraccional y la reologa
fraccionaria utilizados en el estudio del comportamiento visco
elstico de materiales y la aplicacin de dicha metodologa en el
modelado del fenmeno de creep. Tambin se presenta la solucin de una
ecuacin diferencial fraccionaria que modela dicho fenmeno. Las
curvas que se obtuvieron experimentalmente se reproducen
adecuadamente utilizando la solucin de la ecuacin diferencial
fraccionaria que modela el fenmeno de creep. Fenmeno de creep: La
deformacin por fluencia lenta (en ingls, creep 'reptar,
arrastrarse, deslizarse despacio') se debe al incremento de
deformacin que sufre un material visco elstico cuando est sometido
a una tensin mecnica constante
Ecuaciones diferenciales fraccionariasEn estas ecuaciones, como
su nombre lo indica, el orden de las derivadas es fraccionario y,
por tanto, aparecen en ella trminos con derivadas fraccionarias. A
manera de ejemplo se presenta una ecuacin de este tipo y sus
soluciones para diferentes casos:[D2+aD+bD0]+y(t)=0
Donde es el orden de la derivada (D) fraccionaria, y sus
soluciones son:
Donde:q
eates la funcin exponencial
Et(v,a)es la funcinEty (z) son la funcin gama.
Reologa clsica y fraccionaria
La reologa es una parte de la mecnica del medio continuo que
estudia la relacin entre el esfuerzo y la deformacin en los
materiales que son capaces de fluir. Una de las tareas ms
importantes en reologa es encontrar ecuaciones constitutivas para
modelar el comportamiento de los materiales
3.3 Ecuaciones en diferencias en finanzas:
La resolucin de ecuaciones lineales en diferencias finitas
resulta ser fundamental para estaAproximacin porque gran parte de
los ejemplos financieros bsicos pueden ajustarse a la resolucin de
una ecuacin de este tipo, en particular de grado uno o dos. A la
hora de enfocar la obtencin de productos y valoraciones financieras
mediante el planteamiento y resolucin de ecuaciones en diferencias
finitas, ha de hacerse un tratamiento e interpretacin diferente de
los datos de partida, pero que llevan a la misma resolucin cuando
se aplican las tcnicas clsicas de la Matemtica Financiera. Entre
los temas que pueden trabajarse bajo esta perspectiva de las
ecuaciones en diferencias finitas estn los siguientes: la valoracin
de rentas financieras, el valor de depsitos bancarios y el saldo de
prstamos segn diferentes sistemas de amortizacin, en particular los
sistemas de amortizacin francs y uniforme (Garca, 2008).En la
valoracin de rentas financieras, si se considera un conjunto de
aportaciones constantes a en una cuenta remunerada al tanto de
inters i, se llega a la siguiente ecuacin en diferencias lineal
para el clculo del valor final:
Con valor inicial y donde representa el valor de la renta en el
instante t. Por otro lado, si el conjunto de aportaciones es
variable siguiendo una progresin geomtrica de razn q y comenzando
con una aportacin inicial a, entonces la ecuacin en diferencias que
se tiene para una tasa de inters i sera donde el valor inicial
nuevamente es y con representando el valor de la renta en el
instante t.Tambin aparecen las ecuaciones en diferencias en las
valoraciones de depsitos. Por ejemplo, si consideramos una cuenta
de ahorros en la que se hacen aportaciones constantes de cuanta a
con saldos que se remuneran con tasa de inters i, la expresin que
explica este fenmeno correspondera a la siguiente ecuacin en
diferencias:
Donde el valor inicial corresponder al capital con el que se
abre la cuenta de ahorros y con representando el valor del depsito
en el instante t. Si en lugar de hacer un ingreso en la cuenta tras
un perodo temporal fijado, lo que se lleva a cabo es un reintegro
de valor a, entonces la ecuacin en diferencias resulta ser:
Con el mismo valor inicial que antes y el mismo significado para
la variable . Obviamente, pueden considerarse situaciones
intermedias a la descritas (ingresos de determinada cuanta y
reintegros de otra, reintegros de un porcentaje del saldo de cada
ao).
3.4 La Ecuacin logstica o Ley de Verhulst
Esta ecuacin se utiliza para describir el crecimiento de la
poblacin de una manera ms precisa que la Ley de Malthus. Esta
ecuacin toma en cuenta le decrecimiento de la poblacin con el
termino
Donde y son constantes arbitrarias. Esta ecuacin es separable y
la solucin tiene la forma de:
Y por lo tanto:
3.5 Problemas Geomtricos
Una tractriz es una curva que pasa por el punto del eje de
abscisas, con la propiedad de que la longitud del segmento de la
recta tangente desde cualquier punto de la curva al eje de
ordenadas es constante. El nombre alemn para la tractriz es
Hundekurve (curva del perro), ya que representa el camino que
seguira un perro obstinado cuando su dueo pasea en lnea recta de
norte a sur. Vamos a determinar una ecuacin diferencial cuyas
soluciones representan una tractriz. Para ello, consideremos el
tringulo de la figura y notemos que la pendiente de la recta
tangente a la curva buscada en el punto (x, y) es:
(El signo menos obedece a que la pendiente es negativa). Por
otra parte, y segn la interpretacin geomtrica de la derivada, dicha
pendiente es precisamente . Por tanto, igualando las dos
expresiones para la pendiente, obtenemos:
Esta ecuacin diferencial necesita complementarse con un dato
adicional: como la curva pasa por el punto , tenemos que:
En resumen, para encontrar la ecuacin de la tractriz debemos
resolver el siguiente problema de valor inicial:
En este caso, la ecuacin diferencial puede resolverse mediante
integracin directa:
El clculo de la primitiva se realiza mediante el cambio de
variable . Tras una serie de clculos enrevesados, se obtiene la
siguiente expresin:+CDonde C es una constante arbitraria.
Imponiendo la condicin , podemos determinar el valor de C:
Finalmente, la ecuacin de la tractriz viene dada por:
CONCLUSIONES.
Al realizar la investigacin se logr adquirir nuevos
conocimientos de las diversas aplicaciones que existen tanto como
en el mbito de la ingeniera mecnica como en el campo administrativo
El uso de las bibliotecas virtuales es de gran ayuda al momento de
investigar ya que as se pudo conocer ms acerca de diferentes libros
que contienen informacin sobre Ecuaciones Diferenciales
Ordinarias
BIBLIOGRAFA.
Castro Figueroa, Abel R.. Estabilidad: de las ecuaciones
diferenciales ordinarias y de las ecuaciones funcionales: con sus
aplicaciones. Mxico: Instituto Politcnico Nacional, 2010. ProQuest
ebrary. Web. 27 February 2015. Tenorio Villaln, ngel F.Revista de
Mtodos Cuantitativos para la Economa y la Empresa: Ecuaciones
Diferenciales y en diferencias aplicadas a los conceptos econmicos
y financieros. Espaa(Sevilla) Universidad Pablo de Olavide.2013
ProQuest.ebrary. Web. 27 February 2015.
