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Aplicaciones de la Integral
Cálculo
16/03/2014 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 1 de 20
ÁREA ENTRE DOS CURVAS
16/03/2014 Prof. José G. Rodríguez Ahumada
dxxgxfA
b
a
)()(
dxA
b
a
abajo gráfica-arriba gráfica
Sea f, g dos funciones tal que
para todo valor x en [a, b]. Entonces, el área
A entre sus gráficas en el intervalo [a, b] es:
𝑖=1
𝑛
𝐴 = lim𝑛→∞
𝑓𝑖 𝑥 − 𝑔𝑖(𝑥) ∆𝑥𝑖
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Ejemplo 1
• Calcule el área entre y .
• Solución:
• Paso 1 – Grafique ambas funciones e identifique cuál
es la función que está por encima.
2xy xy
16/03/2014 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 3 de 20
Ejemplo 1 …
• Paso 2: Determine puntos de intersección
• Evalúe el integral definido:
2xy
xy
2xx 1,0x
dxxxA
1
0
2
1
0
3
3
1
3
2
xxx
3
1
3
2
3
1
16/03/2014 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 4 de 20
Ejemplo 2
• Aproxime el área entre , y por la rectas
verticales x = 0 y x = 1 a la diez milésima más
cercana.
• Solución:
xey xy
dxxeA x
1
0
1
0
2
2
1xex
2
3 e
218281828.1
16/03/2014 Prof. José G. Rodríguez Ahumada
2183.1
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Ejercicio #1
• Calcule el área entre y .
• Solución:
22 xy xy
16/03/2014 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 6 de 20
Ejercicio #1
• Calcule el área entre y .
• Solución:
22 xy xy 22 xx
1,2x
022 xx
0)1)(2( xx
dxxxA 2
1
2
2
1
2
23
232
xx
x
2
4
3
84
2
1
3
12
2
9
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Ejemplo 4
• Calcule el área entre y
• Solución:
xxxxf 103)( 23 xxxg 2)( 2
xxxxx 2103 223
2,0,2x
0123 3 xx
0)2)(2(3 xxx
dxxfxgdxxgxfA )()( )()(
2
0
0
2
dxxxdxxxA 123 123
2
0
3
0
2
3
0
2
24
64
3
xx
2
0
24
64
3x
x
2412)12(
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VOLUMEN DE UN SÓLIDO DE
REVOLUCIÓN
16/03/2014 Prof. José G. Rodríguez Ahumada
Si A(x) representa el área de la
sección transversal, entonces el
volumen V está dado por:
b
a
dxxAV )(
𝑖=1
𝑛
𝑉 = lim𝑛→∞
𝐴𝑖 𝑥 ∆𝑥𝑖
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Método por Discos
• Se basa en que el volumen V de un disco o cilindro circular con
radio r y ancho h es:
• Por tanto, si un sólido se puede dividir en cilindros circulares (no
necesariamente del mismo grueso), su volumen:
Prof. José G. Rodríguez Ahumada16/03/2014
altura círculo del Área V
hrV 2
b
a
dxxAV )( b
a
dxxr 2)]([
b
a
dxxr 2)]([
b
a
dxxrV 2)]([
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Ejemplo 5
• Encuentre el el volumen del sólido formado al girar
alrededor del eje de x la gráfica de
para los valores de x entre x = 1 y x = 4
• Solución:
Prof. José G. Rodríguez Ahumada16/03/2014
54)( 2 xxxf
Paso 1 – Bosqueje la
gráfica.
Paso 2 –Visualice la
región que se crea
cuando la región se
gira.
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Ejemplo 5 …
•
Prof. José G. Rodríguez Ahumada16/03/2014
Paso 3 –
Visualice una
sección
transversal de la
región.
54)( 2 xxxr
Paso 4 –
Identifique la
función que
define el radio
r(x).
b
a
dxxrV 2)]([
4
1
22 ]54[ dxxx
4
1
234 ]2540268[ dxxxxx
4
1
2345 25203
262
5
1
xxxxx
5
78
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Ejercicio #1
• Encuentre el el volumen del sólido formado al girar
alrededor del eje de x la gráfica de para
valores de
Prof. José G. Rodríguez Ahumada16/03/2014
xxf sin)(
x0
xy sin
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Ejercicio #1
• Encuentre el el volumen del sólido formado al girar
alrededor del eje de x la gráfica de para
valores de
• Solución:
Prof. José G. Rodríguez Ahumada16/03/2014
xxf sin)(
x0
b
a
dxxrV 2)]([
0
2]sin[ dxxV
0
][sin dxx
0cos x 0coscos 2
xy sin
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Método por Arandelas
• Se basa en que el volumen V de un sólido se puede dividir por
arandelas con radio interior r(x) y radio exterior R(x) de ancho.
• El volumen de una arandela sería:
• Por consiguiente, el volumen del sólido se determinaría por:
Prof. José G. Rodríguez Ahumada16/03/2014
hxrhxRV 22 )()(
b
a
dxxrxRV 22 )]([)]([
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Ejemplo 6
• Encuentre el el volumen del sólido formado al girar
alrededor del eje de y la región en el cuadrante I,
encerrada por la gráficas de y
• Solución:
Prof. José G. Rodríguez Ahumada16/03/2014
3)( xxf 4
xy
3 xy
4
xy
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Ejemplo 6 …
Prof. José G. Rodríguez Ahumada16/03/2014
3 xy
4
xy
b
adyyyV
2324
dyyyb
a 6216
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Ejemplo 6 …
Prof. José G. Rodríguez Ahumada16/03/2014
• Determine los puntos de intersección para determinar los límites
del integral.
3 xy
4
xy
4
3 xx
64
3xx
8,0 x2,0,2y
dyyyV 2
0
6216
• Los valores de y que interesan son aquellos que definen la
región del cuadrante 1. Estos son: 0 y 2.
640 2 xx
2
0
73
73
16
yy
7
)2(
3
)2(16 73
7
128
3
128
21
512
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TRABAJO
16/03/2014 Prof. José G. Rodríguez Ahumada
Trabajo es igual a fuerza por distancia
b
a
dxxfW )(
Trabajo se mide en joules o newton-metros.
Un newton es la fuerza que requiere darle una masa de 1 kg una
aceleración de 1 metro por segundo cuadrado.
Si f(x) representa la fuerza que requiere
mover un objeto a lo largo de una línea,
entonces el trabajo W está dado por:
𝑖=1
𝑛
𝑊 = lim𝑛→∞
𝑓𝑖 𝑥 ∆𝑥𝑖
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Ejemplo 7
• Si la fuerza (en newtons)
requerida para mantener un
resorte estirado 𝑥 pulgadas
está dado por 𝐹(𝑥) = 300𝑥, determine el trabajo que se
necesita para estirar el resorte
0.3 metros de su posición
normal.
• Solución:
Prof. José G. Rodríguez Ahumada16/03/2014
𝑊 = 0
0.3
300𝑥𝑑𝑥
= 150𝑥2|0.30
= 150(0.3)2−150(0)2
= 13.5 joules
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