APLICACIONES DE LA DERIVADA II - gecousb.com.vegecousb.com.ve/guias/GECO/Matemáticas 1 (MA-1111)/Guías de... · Ejercicios resueltos En los ejercicios 1 a 3, verifique que las condiciones

Ejercicios tomados del Problemario Cálculo Diferencial e Integral por publicar

UNIVERSIDAD SIMÓN BOLÍVAR Enero-Marzo 2010 DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS PURAS Y APLICADAS MATEMÁTICA I (MA-1111) Fecha de publicación: 03-03-2010

Contenido Tercer Parcial

PRÁCTICA DE APLICACIÓN DE LAS DERIVADAS II

Contenidos

• Teorema de Rolle.

• Teorema del valor medio

• Formas indeterminadas y regla de L’Hopital.

RECUERDE QUE: Las situaciones en las que no es posible conocer, de antemano, el valor de la operaciones

con límites son:

Lo que sucede con los límites de f

y g

Expresión

reducida

Técnicas para hallar el límite

∞→∞→

=g

fLim

∞∞

• Estudio de los grados del numerador y del

denominador (3)

• Regla de L’Hôpital (2)

0

0

→→

=g

fLim

0

0

• Descomponer el factores

• Infinitésimos equivalentes (1)

• Regla de L’Hôpital (2)

)()( ∞→−∞→=− gfLim ∞−∞

• Realizar las operaciones indicadas

• Análisis del grado de f y g

• Multiplicar y dividir por (f + g)

)()0( ∞→⋅→=⋅ gfLim 0.∞ • Realizar las operaciones indicadas

Repaso en una Corchea


2

• Convertir a:∞∞

→=•g

fgf

1

• Convertir a o

o

f

ggf →=•

1

Convertir ∞±∞+ →=• g f eegf LnLn

( ) ∞→→= 1f gLim 1∞ • ( ) ( )gf

eLim1limgf −=

( ) 0g 0f →→=Lim 0

0 • ( ) ∞=→= .0.limgf eeLimLnfg

( ) 0gf →∞→=Lim ∞

0 • ( ) ∞=→= .0.limgf eeLimLnfg

Regla de L’Hôpital: En los casos de indeterminación del tipo ∞→∞→

→→

0

0y se puede

aplicar la que se conoce como Regla de L’Hopital: '

'

g

fLim

g

fLim =

Ejercicios

1.Aplicando la Regla de L’hopital calcule los siguientes límites:

a) xx

xx

x 23

3lim

4

23

0 −

−→

b) 675

252lim

2

2

2 −−

+−→ xx

xx

x

c) 1

21lim

1 −−+

→ x

x

x d)

2

)1ln(lim

2 −

−→ x

x

x

Observación: Hay ejercicios que no hace falta aplicar L’Hopital, lo recomendable es que deriven para que practiquen.

Limites donde se aplica la regla de L’Hopital


3

−∞=+−

−∞=+

−−+∞=

+−−

+∞=+−−+

−∞=+

−+−∞=

−−+

+∞=+

−+=

−−+

=−−+

−=+−+−

−=+−

++=

+−+−

=−−

=−−

=++−+−

=++−+

+∞→−∞→+∞→−∞→

−∞→+∞→+∞→−∞→

+∞→−∞→+∞→+∞→

−∞→+∞→+∞→+∞→

2

32

2

123

2

123

2

12

2

12

2

12

2

120

1

12

01

122

323

5625'0

562

3252

52

413

031

130

31

135'0

431

522

22

134

2

3

2

23

2

232

222

3

2

3

2

2

2

2

2

2

2

222

2

2

2

limlimlimlim

limlimlimlim

limlimlimlim

limlimlimlim

x

xx

x

xx

x

xx

x

xx

x

xx

x

xx

x

xx

x

xx

x

xx

xx

xx

xx

xx

xx

xx

x

x

x

x

xx

xx

xx

xx

xxxx

xxxx

xxxx

xxxx

012

165'0

1

125'02

1

842

1

84

21

842

1

842

1

142

1

14

012

16

116

125'0

116

122

12

16

2

2

2

4

2

3 6

2

3 6

3 33 3

2

2

2

2

3

2

2

2

2

2

limlimlimlim

limlimlimlim

limlimlimlim

=−−

=++

−=−−

=−−

−=−−

−=−−

=−

−=

−

−

=−−

∞=−

−−=

−

−+=

−−

+∞→+∞→−∞→+∞→

−∞→+∞→−∞→+∞→

−∞→+∞→−∞→+∞→

x

xx

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

xx

x

x

x

x

x

xx

xxxx

xxxx

xxxx

( )( )

( )

( )( )

−−

−∞=−−

−

=−

+

−

+=

−−

=−−

∞=++

=+

=++

=+

+−=

−×

+

−∞=

−−

×+−

∞→∞→

∞→∞→∞→

∞→

∞→∞→∞→

∞→∞→∞→

355

3 23

2

2

2

22

3 2

224

32

1

32

43

4x 3

124

3

19

16

43

14

23

14

13

1 0

2

31

2

13

11

110

1

1

13

24

13

72

limlim

limlimlim

lim

limlimlim

limlimlim

x

x

xx

x

x

x

x

xx

x

x

x

x

x

xx

xx

x

x

x

x

xx

xxx

x

x

x

x

xx

xx

x

xxx

x

xx

n

x

xxx


4

( )

3294

31

12

4

3

264

191

13

14150

16

23

32

1

2

23

22

2

44

25

6

3

4

limlim

limlimlim

=−−

=−+

=−−

−−∞=

+−

+−−−=

+−

−+−

−+

−

∞→∞→

∞→∞→∞→

xx

x

x

x

xx

xx

xx

xxx

xx

xx

xx

x

xx

xxx

RECUERDE QUE: Teorema de Rolle: Si f es una función en la que se cumple:

(i) f es continua en el intervalo cerrado [a, b]

(ii) f es diferenciable en el intervalo abierto (a, b)

(iii) f (a) = 0 y f (b) = 0

Entonces, existe un número c que pertenece a (a, b) tal que

f '(c) = 0 E l Teorema de Rolle se atribuye al matemático francés Michel Rolle (1652-

1719). Teorema del Valor medio: Si f es una función en la que se cumple que:

(i) f es continua en el intervalo cerrado [a, b]

(ii) f es diferenciable en el intervalo abierto (a, b)

Entonces, existe un número c que pertenece a (a, b) tal que

3

Repaso en una SemiCorchea

Ejercicios

Teoremas: Valor medio derivadas y Rolle.

( ) [ ]. , h x

x f ++−

= 2 2 intervalo el en 3

1 función la de C del

T.V.M. la Hallaa)

2


5

b) Con el resultado obtenido, calcula f '(2). 4

b) Con el resultado obtenido, calcula f '(1).

5 Ejercicios resueltos

En los ejercicios 1 a 3, verifique que las condiciones (i), (ii) y (iii) de la hipótesis del

Teorema de Rolle se cumplen para la función indicada en el intervalo dado. Luego halle

un valor adecuado para c que satisfaga la conclusión del teorema de Rolle.

En los ejercicios 4 a 9, compruebe que la hipótesis del Teorema del Valor medio se

cumple para la función dada en el intervalo indicado. Luego halle un valor adecuado para

c que cumpla la conclusión del Teorema del valor medio.

En los ejercicios 10 a 12, (a) trace la gráfica de la función dada en el intervalo indicado;

(b) compruebe las tres condiciones de la hipótesis del teorema de Rolle y determine

cuáles se cumplen y cuáles, de haberlas, no se cumplen; (c) si las tres condiciones se

cumplen, determine un punto por el cual pase una recta tangente horizantal.

En los ejercicios 13 y 14, calcule un valor de c que satisfaga la conclusión del teorema

del valor medio, trace la gráfica de la función y la recta que pasa por los puntos (a, f(a))

y (b, f(b)).

( ) [ ]. , h x

x f ++

= 11 intervalo el en 1

3 función la de C del

T.V.M. la Halla a)


6

Ejercicios Tipo Selección Simple: I. En cada caso, selecciona el valor del límite indicado. .

1. x

x

x 2

)(arcsenlim

0→

2. 62

72lim

3

23

−

+++∞→ x

xx

x

3. ( ) ( )xx

x

πtan12lim

2

1

−→

4.

−

−−+→ 39

18lim

23 x

x

xx

a) 0 b) ∞+

c) 2

1−

d) 2

1

a) ∞+

b) 2

2

c) 2

1

d) No existe

a) π

2

b) 0

c) π

2−

d) ∞+

a) ∞−∞+

b) 3

2

c) 2

3

d) 2

3−

e) Ninguna de las

anteriores e) Ninguna de las



anteriores

5.

−

+→ xx

x

1ccslim

0

6.

−

−−+→ 3

1

9

6lim

23 xxx

7. xx

x

x sen

47lim

2

0

+→

8. x

x

x tan

1sec5lim

2

+π

→

a) 0 b) senx

a) ∞+

b) 6

1

a) 7

b) 7

1

a) 0 b) 10


7

c) π

d) ∞+

c) 6

1−

d) ∞−

c) 4 d) ∞+

c) ∞+

d) 5

e) Ninguna de las




anteriores

9. x

x

x

arctanlim

0+→

10. x

x

x −

−−→

1coslim

0

11.

)tan(seclim

2

π

xx

x

+−

−→

12.

−

+→ xx

x

1csclim

0

a) 1 b) 0

c) 2

1

d) ∞+

a) No existe b) 1 c) 0 d) ∞−

a) ∞+

b) 2

π−

c) 2 d) 0

a) ∞−

b) ∞+

c) 0 d) 1

e) Ninguna de las




anteriores

13. 30 8

)(arctan-lim

x

xx

x→

14. x

xtan

7sec3lim

2

π

+−

→

15. 4

8lim

364 −

−

→ x

x

x

16. ( )

π-4

π2coslim

4

π x

x

x

−

→

a) 0 b) ∞+

a) ∞+

b) 7

a) 3

1

b) 0

a) 0

b) 4

1


8

c) 24

1−

d) 24

1

c) 3 d) No existe

c) 3

1−

d) 2

c) 2

1

d) 2

1−

e) Ninguna de las




anteriores II. En cada caso, selecciona la afirmación correcta. ¿Cuáles de las funciones definidas a continuación satisfacen las hipótesis del teorema de Rolle en el intervalo indicado?

1) 4

2 1)(

x

xxf

−= , en [ ]1,1− 2) 1)( 8 −= xxf , en [ ]1,1- 3) xxf tan)( = , en [ ]π,0

4) xxf cos)( = , en

2

π3,

2

π3- 5)

1

4)(

2

2

−

−=x

xxf , en [ ]2,2− 6) xxf arctan)( = en [ ]1,1−

a) Sólo la 2 b) La 2) y la 3) c) La 2), la 3) y la 4) d) Sólo la 2) y la 4) e) Ninguna de las anteriores ¿Cuáles de las funciones definidas a continuación satisfacen las hipótesis del teorema del valor medio en el intervalo indicado?

1) 1

1)(

−+

=x

xxf , en [ ]2,3 −− 2) 4)( += xxf , en [ ]12,0

3) x

xxxf

cos

23)(

4 +−= , en

−

4

π,

4

π 4) xxxf 5)( 4 += − , en [ ]2,1-

5) x

xxf

−=

3

)2arctan()( , en [ ]π,0 6)

3

4cos

)(

82

+

=x

xf , en [ ]10,4−


9

a) Sólo 1) y 2) b) 1), 2), 4) c) 2) y 5) d) 1), 2), 3) y 6) e) Ninguna de las anteriores III. Selecciona, en cada caso, el número c garantizado por el Teorema del valor medio.

1. xxf 3)( = en [ ]3,1

2. xxf arctan)( = en [ ]1,0

3. 2

)(2

+=x

xxf en [ ]1,1−

a) 13 −

b) 31−

c) ( )213 −

d) 13 −

a) 1π

4−

b) 1π

4−

c) 14

π−

d) No se cumple el teorema

a) 5

2−

b) 2−

c) 3

2−


e) Ninguna de las anteriores e) Ninguna de las anteriores e) Ninguna de las anteriores IV. Selecciona, en cada caso, el valor o valores de c garantizados por el Teorema de Rolle.

1. xxf 2cos)( = en

−

4

π5,

4

π

2. ( )2arctan)( xxf = en [ ]1,1−

3. 21

1)(

xxf

+= en [ ]1,1−

a) π0 21 == cyc

b) πcπ,0 321 === ycc

a) 4

π

4

π21 =−= cyc

b) 0=c

a) 0=c

b) 11 21 =−= cyc


10

c) 0=c


c) 14

π−


c) 2

1

2

121 =−= cyc


e) Ninguna de las anteriores e) Ninguna de las anteriores e) Ninguna de las anteriores


11

Ejercicios Extras


12

Practica elaborada por la Prof:

Aida Montezuma. Ampliada por Prof

Antonio Di Teodoro. 2010. (Basada en prácticas anteriores de la USB-Matemáticas), en

Especial las prácticas de la Profa Diasparra Maikol.

Formato doc->Pdf

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